( )2 2 2 - halapa · Hitac je složeno gibanje koje se sastoji od jednolikog gibanja po pravcu po četnom brzinom v 0 i slobodnog pada s ubrzanjem g. Za vertikalni hitac prema dolje

1

Zadatak 501 (Ella, gimnazija)

Kolika je masa tijela ako se ono pod djelovanjem sile od 500 N giba akceleracijom 3 m/s2?

Koliki će put to tijelo prijeći i koliku će brzinu postići za pola minute?

Rješenje 501

F = 500 N, a = 3 m/s2, t = 0.5 min = 30 s, m = ?, s = ?, v = ?

Drugi Newtonov poučak: Ako na tijelo djeluje stalna sila u smjeru njegova gibanja, tijelo ima

akceleraciju koja je proporcionalna sili, a obrnuto proporcionalna masi tijela te ima isti smjer kao i

sila.

.F

am

=

Drugi Newtonov poučak opisuje ponašanje tijela kad na njega djeluje određena vanjska sila F.

Akceleracija a tijela je razmjerna sili i ima smjer sile.

Jednoliko ubrzano gibanje duž puta s jest gibanje za koje vrijede izrazi

1 2,

2,s a t v a t= ⋅ ⋅ = ⋅

gdje su s i v put, odnosno brzina za tijelo pošto se pokrenulo iz mirovanja i gibalo jednoliko ubrzano

akceleracijom a za vrijeme t.

Masa tijela iznosi:

500166.67 .

3

/

2

F F F Na a m kg

mm m a

s

m

a= ⇒ = ⇒ = = =⋅

Put koji tijelo prijeđe za pola minute iznosi:

( )1 1 22

3 30 1350 .22 2

ms a t s m

s

= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =

Za pola minute tijelo će postići brzinu:

3 30 90 .2

m mv a t s

ss

= ⋅ = ⋅ =

Vježba 501

Kolika je masa tijela ako se ono pod djelovanjem sile od 1000 N giba akceleracijom 6 m/s2?

Rezultat: 166.67 kg.

Zadatak 502 (Tonkica, gimnazija)

Tijelo se giba jednoliko ubrzano po pravcu. Put od 63 m prijeđe za 6 s pri čemu se njegova

početna brzina v0 poveća pet puta. Odredite ubrzanje tijela.

Rješenje 502

s = 63 m, t = 6 s, v0, v = 5 · v0, a = ?

Za jednoliko ubrzano pravocrtno gibanje sa početnom brzinom v0 vrijedi formula za konačnu brzinu

v:

0.v v a t= + ⋅

Za jednoliko ubrzano pravocrtno gibanje sa početnom brzinom v0 vrijedi formula za put s:

1 20 2

.s v t a t= ⋅ + ⋅ ⋅

Ubrzanje tijela iznosi:

5 5 40 0 0 0 0 0

1 1 1 12 2 2 20 0 0 02 2 2 2

v v a t v v a t v v a t v a t

s v t a t v t a t s v t a t s v t a t s

= + ⋅ ⋅ = + ⋅ ⋅ − = ⋅ ⋅ = ⋅ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒

= ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ + ⋅ ⋅ =

2

40 0 1 24

1 1 4 22 20 0 2

4

2

1/

a tv a t v

a tt a t s

v t a t s v t a t s

⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅

⇒ ⇒ ⇒ ⋅ + ⋅ ⋅ = ⇒ ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ + ⋅ ⋅ =

⋅

2 21 12 2 2

/ 42

2 44 2 4 2

a t a ta t s a t s a t a t s

⋅ ⋅⇒ + ⋅ ⋅ = ⇒ + ⋅ ⋅ = ⇒ ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅⋅ ⇒

( )

1/

23

4 4 632 23 4 3 4 2.33 .

2 2 23 3 6t

s m ma t s a t s a

t ss

⋅ ⋅⇒ ⋅ ⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ ⋅ = ⋅ ⇒ = = =

⋅ ⋅

⋅⋅

Vježba 502

Tijelo se giba jednoliko ubrzano po pravcu. Put od 252 m prijeđe za 12 s pri čemu se njegova

početna brzina v0 poveća pet puta. Odredite ubrzanje tijela.

Rezultat: 2.33 m / s2.

Zadatak 503 (Tonkica, gimnazija)

Predmet je bačen vertikalno dolje s visine 80 m početnom brzinom 20 m/s. Kolika mu

je brzina na visini 30 m i koliko traje pad do te visine? (ubrzanje slobodnog pada g = 9.81 m/s2)

Rješenje 503

h0 = 80 m, v0 = 20 m/s, h = 30 m, g = 9.81 m/s2, v = ?, t = ?

Složena gibanja pri kojima jednu komponentu gibanja uzrokuje djelovanje sile teže zovu se hici.

Vertikalni hitac prema dolje je gibanje složeno od jednolikog pravocrtnoga gibanja prema dolje i

slobodnog pada. Visina h vertikalnog hica prema dolje s početnom brzinom v0 u času kad je prošlo

vrijeme t dana je izrazom

1 20 0

,2

h h v t g t= − ⋅ − ⋅ ⋅

gdje je h0 početna visina.

h0

h

Računamo brzinu na visini h.

0 0 0

1 1 12 2 20 0 0 0 0 02 2 2

v v g t v g t v g t v v

h h v t g t h h v t g t h h v t g t

= + ⋅ + ⋅ = ⋅ = −

⇒ ⇒ ⇒= − ⋅ − ⋅ ⋅ = − ⋅ − ⋅ ⋅ = − ⋅ − ⋅ ⋅

3

00

1 2 1 20 0 0 02 2

1/

v vg t v v t

g

h h v t g t h h v t g t

g

−⋅ = − =

⇒ ⇒ ⇒

= − ⋅ − ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅

⋅

− ⋅

210 0

0 0 2

v v v vh h v g

g g

− −⇒ = − ⋅ − ⋅ ⋅ ⇒

2 2 2210 0 0 0

0 22

v v v v v v vh h g

g g

⋅ − − ⋅ ⋅ +⇒ = − − ⋅ ⋅ ⇒

2 2 2210 0 0 0

0 2 2

vg

v v v v v vh h

g g

⋅ − − ⋅ ⋅ +⇒ = − − ⋅ ⋅ ⇒

2 2 2210 0 0 0

0 2

v v v v v v vh h

g g

⋅ − − ⋅ ⋅ +⇒ = − − ⋅ ⇒

2 2 22

0 0 0 00 2

v v v v v v vh h

g g

⋅ − − ⋅ ⋅ +⇒ = − − ⇒

⋅

2 2 22

0 0 0 00 2

/ 2v v v v v v v

h hg

gg

⋅ − − ⋅⋅

⋅ +⇒ = − − ⋅ ⇒

⋅

( ) ( )2 2 22 2 2 2

0 0 0 0 0g h g h v v v v v v v⇒ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − − − ⋅ ⋅ + ⇒

2 2 22 2 2 2 2

0 0 0 0 0g h g h v v v v v v v⇒ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ − + ⋅ ⋅ − ⇒

2 2 22 2 2

0 0 02 2

0 0g h g h vv v v vv v⇒ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅ − −− ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⇒

2 2 2 2 22 2 2 2 2

0 0 0 0 0g h g h v v v g h g h v v⇒ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅ − − ⇒ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ + − ⇒

( )2 2 2 2 2 22 2 2 2 2

0 0 0 0 0 0v g h v g h v g h g h v v g h h v⇒ = ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⇒ = ⋅ ⋅ − + ⇒

( ) ( )/2 2 2

2 20 0 0 0

v g h h v v g h h v⇒ = ⋅ ⋅ − + ⇒ = ⋅ ⋅ − + =

( )2

2 9.81 80 30 20 37.16 .2

m m mm m

s ss

= ⋅ ⋅ − + =

Vrijeme pada iznosi:

37.16 200 1.75 .

9.812

m mv v

s st smg

s

−−= = =

Vježba 503

Predmet je bačen vertikalno dolje s visine 800 dm početnom brzinom 72 km / h. Kolika mu

je brzina na visini 300 dm i koliko traje pad do te visine? (ubrzanje slobodnog pada g = 9.81 m/s2)

Rezultat: 37.16 m / s, 1.75 s.

4

Zadatak 504 (Robert, gimnazija)

Kolikom početnom brzinom v0 treba baciti tijelo prema dolje da bi sa visine h = 15 m palo na

zemlju za t = 1 s? Koliku brzinu v ima tijelo pri padu na tlo? (ubrzanje slobodnog pada g = 9.81 m/s2)

Rješenje 504

h = 15 m, t = 1 s, g = 9.81 m/s2, v0 = ?, v = ?

Slobodni pad je jednoliko ubrzano pravocrtno gibanje sa početnom brzinom v0 = 0 m/s i konstantnom

akceleracijom a = g = 9.81 m/s2. Za slobodni pad vrijedi izraz:

2,

1

2h g t= ⋅ ⋅

gdje je h visina pada.

Ako tijelo ima početnu brzinu v0 tada formula za slobodni pad glasi:

1 20 2

.h v t g t= ⋅ + ⋅ ⋅


Hitac je složeno gibanje koje se sastoji od jednolikog gibanja po pravcu početnom brzinom v0 i

slobodnog pada s ubrzanjem g. Za vertikalni hitac prema dolje vrijedi izraz

0,v v g t= + ⋅

gdje je v konačna brzina, a v0 početna brzina.

Računamo početnu brzinu tijela.

1 12 2 22 2

0 0 0/ 2

2 2h v t g t h v t g t h v t g t= ⋅ + ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ + ⋅ ⋅ ⇒ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅⋅ = ⇒

2 2 22 2 2 2 2 2

0 0

1/

20v t g t h v t h g t v t h g t

t⇒ ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ ⋅ = ⋅ − ⋅⋅ ⇒ ⋅ ⋅ = − ⋅

⋅⋅ ⇒

( )2

2 15 9.81 12 2210.1 .

0 2 2 1

mm s

h g t msvt s s

⋅ − ⋅⋅ − ⋅

⇒ = = =⋅ ⋅

Pri padu na tlo tijelo ima brzinu v.

10.1 9.81 1 19.91 .0 2

m m mv v g t s

s ss

= + ⋅ = + ⋅ =

Vježba 504

Kolikom početnom brzinom v0 treba baciti tijelo prema dolje da bi sa visine h = 150 dm palo

na zemlju za t = 1 s? Koliku brzinu v ima tijelo pri padu na tlo? (ubrzanje slobodnog pada

g = 9.81 m/s2)

Rezultat: 10.1 m / s, 19.91 m / s.

Zadatak 505 (Robert, gimnazija)

Automobil, mase 1400 kg, giba se stalnom brzinom 40 km / h. Koliko je potrebno povećati

vučnu silu motora da bi se brzina automobila povećala dva puta na putu 280 m? Trenje zanemarite.

Rješenje 505

m = 1400 kg, v0 = 40 km / h = [40 : 3.6] = 11.11 m / s, v = 2 · v0 = 2 · 11.11 m / s =

= 22.22 m / s, s = 280 m, F = ?

Prvi Newtonov poučak

Ako na tijelo ne djeluje nikakva sila ili je rezultanta svih sila jednaka nuli, tijelo miruje ili se giba

jednoliko po pravcu. Zato kažemo da je tijelo tromo.



sila.

5

.F

a F m am

= ⇒ = ⋅




v:

2 22 ,

0v v a s= + ⋅ ⋅

gdje su v i s brzina, odnosno put za tijelo pošto se počelo ubrzavati i gibati jednoliko ubrzano


Automobil se u početku gibao stalnom brzinom jer na nj nije djelovala sila. Na putu s zbog djelovanja

sile F brzina automobila povećala se na v pa vrijedi:

2 2 2 2 2 22 2 2

0 0 0v v a s v a s v a s v v

F m a F m a F m a

= + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = −⇒ ⇒ ⇒

= ⋅ = ⋅ = ⋅

( )2 2 2 22 2

02 2 2002 02 2

1/

2

v v v va s v v ma F m F v vs s sF m a

s

F m a

− −⋅ ⋅ = − =⇒ ⇒ ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ − =⋅ ⋅ ⋅= ⋅ = ⋅

⋅⋅

2 21400

22.22 11.11 925.74 .2 280

kg m mN

m s s= ⋅ − =

⋅

Vježba 505

Automobil, mase 1.4 t, giba se stalnom brzinom 40 km / h. Koliko je potrebno povećati

vučnu silu motora da bi se brzina automobila povećala dva puta na putu 0.28 km? Trenje zanemarite.

Rezultat: 925.74 N.

Zadatak 506 (Marko, gimnazija)

Tijelo pada s visine h. U trenutku udara o tlo ima brzinu v. S koje visine je palo tijelo koje u

trenutku udara ima brzinu 2 · v?

. 2 . 3 . 4 . 8A h B h C h D h⋅ ⋅ ⋅ ⋅

Rješenje 506

h, v, v1 = 2 · v, h1 = ?



22 ,v g h= ⋅ ⋅


Za dvije promjenjive međusobno zavisne veličine x i y kažemo da su razmjerne, upravo razmjerne ili

direktno proporcionalne s koeficijentom razmjernosti (proporcionalnosti) k, k ≠ 0, ako je

, .y

y k x kx

= ⋅ =

Svako povećanje (smanjenje) jedne veličine dovodi jednako toliko puta do povećanja (smanjenja)

druge veličine.

1.inačica

( )

22 222 2

2

metoda

zamje2 2 n2 4 22 21 1 11

e

v g hv g h v g h

v g h v g hv g h

= ⋅ ⋅= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒

= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

6

4 2 2 8 21

/2

2 8 2 81 1 1 1

g h g h g h g h g hg

g h g h g h⇒ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⇒ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⇒ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅⋅ ⋅⋅

⋅ ⇒

4 .1

h h⇒ = ⋅

Odgovor je pod C.

2.inačica

Preoblikujemo formulu za slobodni pad.

12 2 2 22 2 2

1

2/

2.v g h g h v g h v

gh v

g= ⋅ ⋅ ⇒ ⋅ ⋅ = ⇒ ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅

⋅⋅

⋅=

Vidimo da je visina razmjerna s kvadratom brzine jer je g konstantno.

1 12.

2 2

2 2h v

g gh v h v= ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒

⋅ ⋅∼

Poveća li se brzina 2 puta, visina će biti 4 puta veća (22 = 4).

Odgovor je pod C.

Vježba 506

Tijelo pada s visine h. U trenutku udara o tlo ima brzinu v. S koje visine je palo tijelo koje u

trenutku udara ima brzinu 3 · v?

. 6 . 9 . 3 . 27A h B h C h D h⋅ ⋅ ⋅ ⋅

Rezultat: B.

Zadatak 507 (Karlo, srednja škola)

Tijelo se giba akceleracijom 14 cm / s2. Poslije 3 s od početka gibanja ima brzinu 82 cm / s.

a) Kolika je početna brzina?

b) Koliki je put prešlo tijelo za 10 s?

c) Nacrtajte v, t – dijagram.

Rješenje 507

a = 14 cm / s2, t = 3 s, v = 82 cm / s, t1 = 10 s, v0 = ?, s1 = ?

Za jednoliko ubrzano pravocrtno gibanje sa početnom brzinom v0 vrijede formule za brzinu v i put s:

1 20 0

,2

,v v a t s v t a t= + ⋅ = ⋅ + ⋅ ⋅

gdje je a akceleracija, t vrijeme.

a)

Početna brzina tijela glasi:

82 14 3 40 .0 0 0 2

cm cm cmv v a t v a t v v v a t s

s ss

= + ⋅ ⇒ + ⋅ = ⇒ = − ⋅ = − ⋅ =

b)

Za vrijeme t1 tijelo će prijeći put s1.

( )1 1 22

40 10 14 10 1100 11 .1 0 1 1 22 2

cm cms v t a t s s cm m

s s

= ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ + ⋅ ⋅ = =

c) Crtamo v, t – graf

40 140 2

cm cmv v a t v t

s s

= + ⋅ ⇒ = + ⋅

7

t / s 40 14

2

cm cmv t

s s

= + ⋅

t = 0 40 14 0 402

cm cm cmv v

s ss

= + ⋅ ⇒ =

t = 1 40 14 1 542

cm cm cmv s v

s ss

= + ⋅ ⇒ =

t = 2 40 14 2 682

cm cm cmv s v

s ss

= + ⋅ ⇒ =

t = 3 40 14 3 822

cm cm cmv s v

s ss

= + ⋅ ⇒ =

t / s 0 1 2 3

v / cm

s 40 54 68 82

t / s

v / cm

s

32

80

70

60

50

40

30

20

0

10

1

Vježba 507 Tijelo se giba akceleracijom 7 cm / s2. Poslije 6 s od početka gibanja ima brzinu 82 cm / s.

Kolika je početna brzina?

Rezultat: 40 cm / s.

Zadatak 508 (Jurja, gimnazija)

Vagon mase 15 tona giba se početnom brzinom 10 m / s i usporenjem 0.2 m / s2.

a) Kolika je sila kočenja?

b) Za koje će se vrijeme vagon zaustaviti?

c) Nađite zaustavni put vagona.

Rješenje 508

m = 15 t = 1.5 · 104 kg, v0 = 10 m / s, a = 0.2 m / s2, F = ?, t = ?, s = ?



8

sila.

.F

a F m am

= ⇒ = ⋅



Za jednoliko usporeno pravocrtno gibanje sa početnom brzinom v0 vrijede formule za brzinu v i put s:

1 20 0

,2

,v v a t s v t a t= − ⋅ = ⋅ − ⋅ ⋅

gdje je a akceleracija (usporenje, deceleracija), t vrijeme.

a)

Sila je po iznosu jednako velika kao kad bi morala vagon mase m jednoliko ubrzavati akceleracijom a

do vrzine v0. Sila kočenja iznosi:

41.5 10 0.2 3000 3 .

2

mF m a kg N kN

s

= ⋅ = ⋅ ⋅ = =

b)

Računamo vrijeme za koje se vagon zaustavi.

Budući da je konačna brzina jednaka nuli, vrijedi:

10000 50 .

0 0 00 0.2

2

1/

mvv

sv a t a t v a t v t sv v a t ma

s

a

= ⇒ = − ⋅ ⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ = = == − ⋅

⋅

c) Zaustavni put vagona je:

( )1 1 22

10 50 0.2 50 250 .0 22 2

m ms v t a t s s m

s s= ⋅ − ⋅ ⋅ = ⋅ − ⋅ ⋅ =

Vježba 508

Vagon mase 30 tona giba se početnom brzinom 10 m / s i usporenjem 0.1 m / s2.

a) Kolika je sila kočenja?

b) Za koje će se vrijeme vagon zaustaviti?

Rezultat: 3 kN, 100 s.


Kolika sila mora djelovati na vagon koji stoji na pruzi da bi se počeo gibati jednoliko ubrzano

te za 20 s prešao put 16 m? Masa je vagona 20 tona. Za vrijeme gibanja na njega zbog trenja djeluje

sila koja iznosi 0.05 težine vagona te ima smjer suprotan gibanju. (ubrzanje slobodnog pada

g = 9.81 m / s2)

Rješenje 509

t = 20 s, s = 16 m, m = 20 t = 2 · 104 kg, Ftr = 0.05 · G, g = 9.81 m / s

2, F = ?

Jednoliko ubrzano gibanje duž puta s jest gibanje za koje vrijedi izraz

1 2222

,s

s a t at

⋅= ⋅ ⋅ ⇒ =

gdje je s put za tijelo pošto se pokrenulo iz mirovanja i gibalo jednoliko ubrzano akceleracijom a za

vrijeme t.



sila.

.F

a F m am

= ⇒ = ⋅


9


Silu kojom Zemlja privlači sva tijela nazivamo težnom silom (silom težom). Pod djelovanjem težne

sile sva tijela padaju na Zemlju ili pritišću na njezinu površinu.

Akceleracija kojom tijela padaju na Zemlju naziva se akceleracijom slobodnog pada. Prema drugom

Newtonovom poučku

,G m g= ⋅

gdje je G težna sila, m masa tijela i g akceleracija slobodnog pada koja je za sva tijela na istome

mjestu na Zemlji jednaka.

Trenje je sila koja se javlja kad se neko tijelo giba površinom nekoga drugog tijela ili kad se tek

počinje gibati. Trenje ima smjer suprotan smjeru gibanja.

Sila m · a koja vagon mase m ubrza tako da za vrijeme t prijeđe put s jednaka je razlici ukupne vučne

sile F i sile trenja Ftr.

m ⋅⋅⋅⋅ a

Ftr

F

m ⋅⋅⋅⋅ a = F - Ftr

0.05m a F F F F m a F m a F F m a Gtr tr tr⋅ = − ⇒ − = ⋅ ⇒ = ⋅ + ⇒ = ⋅ + ⋅ ⇒

2 20.05 0.05

2 2

2

2 s sF m m g F m g

t t

sa

t

G m g

⋅ ⋅⇒ ⇒ = ⋅ + ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ +

⋅=

= ⋅

⋅ =

( )

2 1642 10 0.05 9.81 11410 .

2 220

m mkg N

ss

⋅= ⋅ ⋅ + ⋅ =

Vježba 509

Kolika sila mora djelovati na vagon koji stoji na pruzi da bi se počeo gibati jednoliko ubrzano

te za 20 s prešao put 0.016 km? Masa je vagona 20 tona. Za vrijeme gibanja na njega zbog trenja

djeluje sila koja iznosi 0.05 težine vagona te ima smjer suprotan gibanju. (ubrzanje slobodnog pada

g = 9.81 m / s2)

Rezultat: 11410 N.


Automobil vozi po horizontalnoj cesti brzinom 36 km / h. U jednom trenutku vozač isključi

motor i automobil se zaustavi budući da je s isključenim motorom prešao 150 m. Koliko se dugo

automobil gibao isključenog motora? Koliki je faktor trenja pri tom gibanju? (ubrzanje slobodnog

pada g = 9.81 m / s2)

Rješenje 510

v0 = 36 km / h = [36 : 3.6].= 10 m / s, s = 150 m, g = 9.81 m / s2, t = =, µ = ?

Za jednoliko usporeno pravocrtno gibanje sa početnom brzinom v0 vrijede formule za brzinu i put:

1 20 0

,2

,v v a t s v t a t= − ⋅ = ⋅ − ⋅ ⋅

gdje je a akceleracija kojom tijelo usporava, t vrijeme gibanja.

Silu kojom Zemlja privlači sva tijela nazivamo silom težom. Pod djelovanjem sile teže sva tijela

padaju na Zemlju ili pritišću na njezinu površinu.

10


Newtonovom poučku

,G m g= ⋅

gdje je G sila teža, m masa tijela i g akceleracija slobodnog pada koja je za sva tijela na istome mjestu

na Zemlji jednaka. Težina tijela jest sila kojom tijelo zbog Zemljina privlačenja djeluje na

horizontalnu podlogu ili ovjes. Za slučaj kad tijelo i podloga, odnosno ovjes, miruju ili se gibaju

jednoliko po pravcu s obzirom na Zemlju, težina tijela je veličinom jednaka sili teže.


počinje gibati. Trenje ima smjer suprotan smjeru gibanja i može se izračunati pomoću izraza

,F Ftr Nµ= ⋅

gdje je Ftr trenje, µ faktor trenja, FN veličina okomite komponente sile kojom tijelo djeluje na podlogu

po kojoj se giba. Na vodoravnoj površini sila trenja za tijelo težine G iznosi:

.F G F m gtr trµ µ= ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅

U trenutku kada se automobil zaustavi njegova je brzina jednaka nuli pa slijedi:

000 .

0 0 00

1/

vvv a t a t v a t v a

v v a t tt

= ⇒ = − ⋅ ⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒

⋅ =

= − ⋅

Iz formule za put kod jednoliko usporenog gibanja izračunamo vrijeme t.

01 1 120 0

0 0 0 02 2 21 20

2

2

va v v

t s v t t s v t t s v t v t

ttt

s v a t

=

⇒ = ⋅ − ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ − ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ − ⋅ ⋅ ⇒= ⋅ − ⋅ ⋅

1 1 1 2 2 15030 .

0 0 02 20 0

2

10

/2

s ms v t v t s v t s t s

mv

s

v

⋅ ⋅⇒ = ⋅ ⋅ ⇒ ⋅ ⋅ = ⇒ ⋅ ⋅ = = =⋅ ⇒ =

Sila koja, nakon isključenja motora, zaustavlja automobil je sila trenja pa ćemo pomoću drugog

Newtona poučka dobiti:

1/F F m a G m a m g m a m g a gtr

mµ µ µ µ= ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅ ⋅ ⇒ ⋅ = ⇒⋅⋅ ⋅ = ⋅ ⇒

0 01/0 0

v v vg a g g

t t g t g

va

tµ µ µ µ= ⋅⇒ ⋅ = ⇒ ⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ = =

⋅

10

0.034.

30 9.812

m

s

ms

s

= =

⋅

Vježba 510

Automobil vozi po horizontalnoj cesti brzinom 36 km / h. U jednom trenutku vozač isključi

motor i automobil se zaustavi budući da je s isključenim motorom prešao 0.15 km. Koliko se dugo

automobil gibao isključenog motora?

Rezultat: 0.034.

Zadatak 511 (Walter, gimnazija)

Na tijelo mase 2 kg koje leži na vodoravnoj podlozi djeluje stalna sila i daje mu akceleraciju

0.20 m / s2. Faktor trenja između tijela i podloge je 0.02. Kolika je vučna sila? (ubrzanje slobodnog

pada g ≈ 10 m / s2)

11

Rješenje 511

m = 2 kg, a = 0.02 m / s2, µ = 0.02, g = 10 m / s

2, F = ?



sila.

.F

a F m am

= ⇒ = ⋅



Silu kojom Zemlja privlači sva tijela nazivamo silom težom. Pod djelovanjem sile teže sva tijela

padaju na Zemlju ili pritišću na njezinu površinu.


Newtonovom poučku

,G m g= ⋅

gdje je G sila teža, m masa tijela i g akceleracija slobodnog pada koja je za sva tijela na istome mjestu

na Zemlji jednaka. Težina tijela jest sila kojom tijelo zbog Zemljina privlačenja djeluje na

horizontalnu podlogu ili ovjes. Za slučaj kad tijelo i podloga, odnosno ovjes, miruju ili se gibaju

jednoliko po pravcu s obzirom na Zemlju, težina tijela je veličinom jednaka sili teže.



,F Ftr Nµ= ⋅



.F G F m gtr trµ µ= ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅

Sila m · a koja tijelo mase m ubrzava akceleracijom a jednaka je razlici ukupne vučne sile F i sile

trenja Ftr.

m a F F F F m a F m a F F m a Gtr tr tr µ⋅ = − ⇒ − = ⋅ ⇒ = ⋅ + ⇒ = ⋅ + ⋅ ⇒

( ) 2 0.20 0.02 10 0.8 .2 2

m mF m a m g F m a g kg N

s s

µ µ⇒ = ⋅ + ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ =

Vježba 511

Na tijelo mase 200 dag koje leži na vodoravnoj podlozi djeluje stalna sila i daje mu

akceleraciju 2 dm / s2. Faktor trenja između tijela i podloge je 0.02. Kolika je vučna sila? (ubrzanje

slobodnog pada g ≈ 10 m / s2)

Rezultat: 0.8 N.

Zadatak 512 (Darko, tehnička škola)

Na tijelo mase 2 kg koje se giba brzinom 5.5 m / s počne djelovati u smjeru gibanja tijela

stalna sila od 10 N tijekom 2 s. Koliku će brzinu imati tijelo nakon prestanka djelovanja sile?

Rješenje 512

m = 2 kg, v0 = 5.5 m / s, F = 10 N, t = 2 s, v = ?



sila.

.F

am

=



12


v:

0.v v a t= + ⋅

Budući da sila F djeluje u smjeru gibanja tijela, ona ga ubrzava pa je tražena brzina v veća od početne

brzine v0 i iznosi:

105.5 2 15.5 .

0 20

Fa F m N m

m v v t sm s kg s

v v a t

=⇒ = + ⋅ = + ⋅ =

= + ⋅

Vježba 512

Na tijelo mase 3 kg koje se giba brzinom 5.5 m / s počne djelovati u smjeru gibanja tijela

stalna sila od 10 N tijekom 3 s. Koliku će brzinu imati tijelo nakon prestanka djelovanja sile?

Rezultat: 15.5 m / s.

Zadatak 513 (Miro, gimnazija)

Dva su tijela bačena sa istog mjesta okomito uvis jednakim početnim brzinama 12 m / s. Prvo

tijelo bačeno je 0.44 s ranije od drugog. Za koje će vrijeme od trenutka bacanja drugog tijela oba

tijela biti na istoj visini? (ubrzanje slobodnog pada g = 9.81 m / s2)

Rješenje 513

v0 = 12 m / s, ∆t = 0.44 s, t1 = t, t2 = t + ∆t, g = 9.81 m / s2, t = ?


Vertikalni hitac uvis je gibanje složeno od jednolikog pravocrtnoga gibanja prema gore i

slobodnog pada prema dolje. Visina h u času kad je prošlo vrijeme t dana je izrazom

1 20 2

,h v t g t= ⋅ − ⋅ ⋅

gdje je v0 početna brzina.

Za vrijeme t1 prvo će tijelo biti na visini h1.

1 12 2.

1 0 1 1 1 02 2h v t g t h v t g t= ⋅ − ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ − ⋅ ⋅

Za vrijeme t2 drugo će tijelo biti na visini h2.

( ) ( )1 1 22

.2 0 2 2 2 02 2

h v t g t h v t t g t t= ⋅ − ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ + ∆ − ⋅ ⋅ + ∆

Iz uvjeta zadatka slijedi:

( ) ( )1 1 22

1 2 0 02 2h h v t g t v t t g t t= ⇒ ⋅ − ⋅ ⋅ = ⋅ + ∆ − ⋅ ⋅ + ∆ ⇒

( ) ( )1 1 22

/ 20 02 2

v t g t v t t g t t⇒ ⋅ − ⋅ ⋅ = ⋅ + − ⋅ ⋅ + ∆ ⋅∆ ⇒

( ) ( )22

2 20 0

v t g t v t t g t t⇒ ⋅ ⋅ − ⋅ = ⋅ ⋅ + ∆ − ⋅ + ∆ ⇒

( )( )22 22 2 2 2

0 0 0v t g t v t v t g t t t t⇒ ⋅ ⋅ − ⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ∆ − ⋅ + ⋅ ⋅ ∆ + ∆ ⇒

( )22 2

2 2 2 20 0 0

v t g t v t v t g t g t t g t⇒ ⋅ ⋅ − ⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ∆ − ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ∆ − ⋅ ∆ ⇒

( )2

2 22

20 0 0

22 v t g tv t g t v t g t t g t⇒ = + ⋅ ⋅ ∆ − ⋅ ⋅ ⋅ ∆⋅ ⋅ − − ⋅⋅ ⋅ ⋅ ∆⋅ − ⇒

( ) ( )2 2

0 2 2 2 20 0

v t g t t g t g t t v t g t⇒ = ⋅ ⋅ ∆ − ⋅ ⋅ ⋅ ∆ − ⋅ ∆ ⇒ ⋅ ⋅ ⋅ ∆ = ⋅ ⋅ ∆ − ⋅ ∆ ⇒

13

( )12

0.442 02 2 1 .0 2 2

9.81

1/

22

mv t ssg t t v t g t t s

mg

s

g t

∆⇒ ⋅ ⋅ ⋅ ∆ = ⋅ ⋅ ∆ − ⋅ ∆ ⇒⋅

⋅ ⋅ ∆= − = − =

Vježba 513

Dva su tijela bačena sa istog mjesta okomito uvis jednakim početnim brzinama 24 m / s. Prvo

tijelo bačeno je 0.88 s ranije od drugog. Za koje će vrijeme od trenutka bacanja drugog tijela oba

tijela biti na istoj visini? (ubrzanje slobodnog pada g = 9.81 m / s2)



Dva tijela gibaju se jednoliko ubrzano pravocrtno jedno drugome u susret stalnim

akceleracijama 6 m / s2 i 4 m / s

2 i početnim brzinama 10 m / s i 15 m / s. Početna udaljenost između

njih je 750 m. Za koje će se vrijeme tijela sresti?

Rješenje 514

a1 = 6 m / s2, a2 = 4 m / s

2, v01 = 10 m / s, v02 = 15 m / s, s = 750 m, t = ?


2,

1

2s a t= ⋅ ⋅

gdje je s put tijela pošto se pokrenulo iz mirovanja i gibalo jednoliko ubrzano akceleracijom a za

vrijeme t.

Za jednoliko ubrzano pravocrtno gibanje sa početnom brzinom v0 vrijedi formula za put s:

1 20 2

.s v t a t= ⋅ + ⋅ ⋅

Za vrijeme t, do susreta, tijela prevale putove:

1 12 2, .

1 01 1 2 02 22 2s v t a t s v t a t= ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ + ⋅ ⋅

Budući da je

,1 2

s s s+ =

slijedi:

možemo1 12 2 zanemariti

mjerne j01 1 02 22 edinic2 ev t a t v t a t s

⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ = ⇒ ⇒

1 1 1 12 2 2 210 6 15 4 750 10 15 750

2 26 4

2 2t t t t t t t t⇒ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ = ⇒ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ = ⇒

2 2 2 210 3 15 2 750 10 3 15 2 750 0t t t t t t t t⇒ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⇒ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ − = ⇒

2 2/: 5

25 25 750 0 5 25 750 0 5 150 0t t t t t t⇒ ⋅ + ⋅ − = ⇒ ⋅ + ⋅ − = ⇒ + ⋅ − = ⇒

( )1 , 5 , 150 22 5 5 4 1 1505 150 0 2

4 1,2 2 11 , 5 , 1501,2 2

a b c

t tt

b b a ca b c t

a

= = = − − ± − ⋅ ⋅ −+ ⋅ − =⇒ ⇒ ⇒ = ⇒ − ± − ⋅ ⋅ ⋅= = = − =

⋅

5 25

15 25 600 5 625 5 25 21,2 1,2 1,2 5 252 2 2

2 2

t

t t t

t

− + = − ± + − ± − ±

⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ ⇒− − =

14

20101 12 1

20

2

30 nema fizikalnog smisla10 .

3

2

0 152

2 22

t t t st s

t st t

= = =

⇒ ⇒ ⇒ ⇒ = = − = − = −

Vježba 514

Dva tijela gibaju se jednoliko ubrzano pravocrtno jedno drugome u susret stalnim

akceleracijama 6 m / s2 i 4 m / s2 i početnim brzinama 36 km / h i 54 km / h. Početna udaljenost

između njih je 750 m. Za koje će se vrijeme tijela sresti?

Rezultat: 10 s.


Kolikom početnom brzinom treba baciti tijelo okomito prema dolje da bi sa visine 15 m palo

na zemlju za 1 s? Otpor zraka zanemarite. (ubrzanje slobodnog pada g = 9.81 m / s2)

Rješenje 515

h = 15 m, t = 1 s, g = 9.81 m / s2, v0 = ?


akceleracijom a = g = 9.81 m/s2. Za slobodni pad vrijede izrazi:

2,

1

2h g t= ⋅ ⋅



1 20 2

.h v t g t= ⋅ + ⋅ ⋅

Računamo početnu brzinu v0.

1 12 2 22 2

0 0 0/ 2

2 2h v t g t h v t g t h v t g t= ⋅ + ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ + ⋅ ⋅ ⇒ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅⋅ = ⇒

2 2 22 2 2 2 2 2

0 0

1/

20v t g t h v t h g t v t h g t

t⇒ ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ ⋅ = ⋅ − ⋅⋅ ⇒ ⋅ ⋅ = − ⋅

⋅⋅ ⇒

9.81 1215

10.1 .0 2 1 2

ms

h g t m msvt s s

⋅⋅

⇒ = − = − =

Vježba 515

Kolikom početnom brzinom treba baciti tijelo okomito prema dolje da bi sa visine 150 dm

palo na zemlju za 1 s? Otpor zraka zanemarite. (ubrzanje slobodnog pada g = 9.81 m / s2)


Zadatak 516 (MaturantMSN, gimnazija)

Tijelo mase 20 kg bačeno je brzinom 12 m / s uz kosinu nagiba 30 °. Ako je koeficijent trenja

0.29, na kojoj će se udaljenosti od početka kosine zaustaviti? (ubrzanje slobodnog pada

g = 9.81 m / s2)

Rješenje 516

m = 20 kg, v = 12 m / s, α = 30°, µ = 0.29, g = 9.81 m / s2, s = ?

Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine. Te dužine zovemo stranice trokuta.

Pravokutni trokuti imaju jedan pravi kut (kut od 90º). Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete,

a najdulja stranica je hipotenuza pravokutnog trokuta.

Sinus šiljastog kuta pravokutnog trokuta jednak je omjeru duljine katete nasuprot tog kuta i duljine

hipotenuze.

Kosinus šiljastog kuta pravokutnog trokuta jednak je omjeru duljine katete uz taj kut i duljine

15

hipotenuze.

Silu kojom Zemlja privlači sva tijela nazivamo težnom silom (silom težom). Pod djelovanjem težne

sile sva tijela padaju na Zemlju ili pritišću na njezinu površinu.


Newtonovom poučku

,G m g= ⋅

gdje je G težna sila, m masa tijela i g akceleracija slobodnog pada koja je za sva tijela na istome

mjestu na Zemlji jednaka.



,F Ftr Nµ= ⋅



.F G F m gtr trµ µ= ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅

Potencijalna energija je energija međudjelovanja tijela. Ona ovisi o međusobnom položaju tijela ili o

međusobnom položaju dijelova tijela. U polju sile teže tijelo mase m ima gravitacijsku potencijalnu

energiju

,E m g hgp = ⋅ ⋅

gdje je g akceleracija slobodnog pada, a h vertikalna udaljenost tijela od mjesta gdje bi prema

dogovoru tijelo imalo energiju nula.

Tijelo mase m i brzine v ima kinetičku energiju

1 2

2.E m v

k= ⋅ ⋅

Kad tijelo obavlja rad, mijenja mu se energija. Promjena energije tijela jednaka je utrošenom radu.

Tijelo obavlja rad W ako djeluje nekom silom F na putu s na drugo tijelo. Ako sila djeluje u smjeru

gibanja tijela, vrijedi

.W F s= ⋅


,

22

22

vv a s s

a= ⋅ ⋅ ⇒ =

⋅

gdje je v brzina tijela pošto se pokrenulo iz mirovanja i gibalo jednoliko ubrzano akceleracijom a za

vrijeme t. Ista formula vrijedi i kod jednoliko usporenog gibanja.



sila.

.F

a F m am

= ⇒ = ⋅


Akceleracija a tijela je razmjerna sili i ima smjer sile, a obrnuto je razmjerna masi tijela.

Kutovi s međusobno okomitim kracima su sukladni.

16

αααα

αααα

1.inačica

Kada je tijelo na kosini njegovu težinu G rastavimo na dvije komponente:

• silu F1 usporednu sa kosinom koja tijelo ubrzava niz kosinu

• silu F2 okomitu na kosinu koja pritišće kosinu.

F2

F1

G

αααααααα

Sa slike vidi se:

1 1sin sin sin sin1 1

.cos cos

2 2 2 2cos c s

/

o /

F F

F G F m gG G

F F F G F m g

G G

G

G

α α α α

α αα α

= = = ⋅ = ⋅ ⋅⇒ ⇒

⋅

⇒= ⋅ = ⋅ ⋅

= ⋅=

Tada je sila trenja Ftr jednaka:

cos .2

F F F m gtr trµ µ α= ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ ⋅

s

h

v

αααα

Iz pravokutnog trokuta čija je kateta h, a hipotenuza s pomoću funkcije sinus dobije se:

sin sin s/ in .h h

h ss s

sα α α= ⇒ = ⇒ = ⋅⋅

Rad W koji obavi sila trenja Ftr na putu s jednak je razlici kinetičke energije Ek koju tijelo ima u

17

početnom trenutku (u trenutku bacanja) i gravitacijske potencijalne energije Egp u trenutku

zaustavljanja na visini h kosine.

cos

s

1

in

2

2

FW E E F s m v m g hgp t

m

h sk

grr

t µ α

α

= ⋅= − ⇒ ⋅ = ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⇒

⋅ ⋅

= ⋅⇒

1 2cos sin

2m g s m v m g sµ α α⇒ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⇒

( )1 12 2

cos sin cos sin2 2

m g s m g s m v m g s m vµ α α µ α α⇒ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⇒ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + = ⋅ ⋅ ⇒

( )( )

1 2co

1/

cos ss si

inn

2m g s m v

m g µµ α α

α α⇒ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅⋅

+=

⋅+ ⋅ ⇒

( ) ( )

2

122

9.77 .0 02 cos sin

2 9.81 0.29 cos30 sin 302

m

v ss m

mg

s

µ α α⇒ = = =

⋅ ⋅ ⋅ +⋅ ⋅ ⋅ +

2.inačica

F

αααα

F1

Ftr

Sila F koja tijelo ubrzava uz kosinu po iznosu jednaka je zbroju sile trenja Ftr i komponente F1 sile

teže koja djeluje niz kosinu pa vrijedi:

cos

sincos sin

11

F F F F m gF m gtr

F mr gm gt

µ αα

αµ α= + ⇒ ⇒ = ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅

⋅⇒

= ⋅+ ⋅

( )cos sin .F m g µ α α⇒ = ⋅ ⋅ ⋅ +

Akceleracija a tijela mase m koje se giba uz kosinu pod djelovanjem sile F iznosi:

( )( ) ( )

cos sincos sin cos sin

F m gm g g

am

maF

mam

µ α αµ α α µ α α

= ⋅ ⋅ ⋅ +⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ +

⇒ = ⇒ = ⇒=

( )cos sin .a g µ α α⇒ = ⋅ ⋅ +

Budući da se tijelo giba jednoliko usporeno uz kosinu, prijeđeni put s iznosi:

( )

( )

cos sin 2

22 cos sin

2

a gv

sv gs

a

µ α α

µ α α

= ⋅ ⋅ +

⇒ = =⋅ ⋅ ⋅ +=

⋅

18

( )

2

12

9.77 .0 0

2 9.81 0.29 cos30 sin 302

m

sm

m

s

= =

⋅ ⋅ ⋅ +

Vježba 516

Tijelo mase 20 kg bačeno je brzinom 12 m / s uz kosinu nagiba 30 °. Ako je koeficijent trenja

0.29, na kojoj će se udaljenosti od početka kosine zaustaviti? (ubrzanje slobodnog pada

g = 9.81 m / s2)

Rezultat: 9.77 m.

Zadatak 517 (Marijan, tehnička škola)

Kojom brzinom treba baciti tijelo prema dolje da bi palo u dubinu 20 m za 1 sekundu prije

nego kad bi slobodno padalo? Zanemarite otpor zraka. (ubrzanje slobodnog pada g = 9.81 m / s2)

Rješenje 517

h = 20 m, ∆t = 1 s, g = 9.81 m / s2, v0 = ?



1 22

2,

hh g t t

g

⋅= ⋅ ⋅ ⇒ =



1 20 2

.h v t g t= ⋅ + ⋅ ⋅

Neka je t vrijeme za koje tijelo slobodno padne u dubinu h.

1 22. .

2

hh g t t

g

⋅= ⋅ ⋅ ⇒ =

Kada ga bacimo brzinom v0 u dubinu h, past će za ∆t prije nego kad bi slobodno padalo.

( ) ( ) ( ) ( )1 12 2

0 02 2h v t t g t t v t t g t t h= ⋅ −∆ + ⋅ ⋅ −∆ ⇒ ⋅ −∆ + ⋅ ⋅ −∆ = ⇒

( ) ( ) ( ) ( )1 12 2

0 02 2

1/v t t h g t t v t t h

t tg t t⇒ ⋅ −∆ = − ⋅ ⋅ − ∆ ⇒ ⋅ − ∆ = − ⋅ ⋅−∆

− ∆⋅ ⇒

( )

21 21 222

0 0

2

2

ht

g

hh g th g t t g

v vt t h

tg

⋅− ⋅ ⋅ −∆ − ⋅ ⋅ −∆ ⇒ = ⇒ ⇒ = =

−∆ ⋅

⋅=

−∆

2

1 2 2020 9.81 1

229.81

214.62 .

2 201

9.812

m mm s

ms

ms

sms

m

s

⋅ − ⋅ ⋅ −

= =⋅

−

19

Vježba 517

Kojom brzinom treba baciti tijelo prema dolje da bi palo u dubinu 200 dm za 1 sekundu prije

nego kad bi slobodno padalo? Zanemarite otpor zraka. (ubrzanje slobodnog pada g = 9.81 m / s2)


Zadatak 518 (Marijan, tehnička škola)

Tane i zvuk koji je pritom nastao dopru istodobno do visine 510 m. Kolikom je brzinom izašlo

tane iz cijevi, ako je brzina zvuka 340 m / s? Otpor zraka zanemarimo. (ubrzanje slobodnog pada

g = 9.81 m / s2)

Rješenje 518

h = 510 m, v = 340 m / s, g = 9.81 m / s2, v0 = ?

Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje za koje vrijedi izraz

,s

s v t vt

= ⋅ ⇒ =

gdje je s put tijela pošto se pokrenulo iz mirovanja i gibalo stalnom, konstantnom brzinom v za

vrijeme t.


Vertikalni hitac uvis je gibanje složeno od jednolikog pravocrtnoga gibanja prema gore i

slobodnog pada prema dolje. Visina h u času kad je prošlo vrijeme t dana je izrazom

1 20 2

,h v t g t= ⋅ − ⋅ ⋅

gdje je v0 početna brzina.

Neka je t vrijeme za koje tane i zvuk koji je pritom nastao dopru istodobno do visine h. Zvuk se širi

stalnom brzinom v i vrijedi

,h v t= ⋅

a tane se giba jednoliko usporeno pa je

1 2.

0 2h v t g t= ⋅ − ⋅ ⋅

Iz sustava jednadžbi dobijemo brzinu v0.

1 12 21 20 02

1/

2 0 2

h v t v t h v t h

h v t g t h v t g th v t g t

v⋅= ⋅ ⋅ = ⋅ =

⇒ ⇒ ⇒= ⋅ − ⋅ ⋅ = ⋅ − ⋅ ⋅

= ⋅ − ⋅ ⋅

( )

metoda zamjene

supstituc

21

01 ij

0 2

e 22

ht

h hvh v g

v vh v t g t

=

⇒ ⇒ ⇒ = ⋅ − ⋅ ⋅ ⇒

= ⋅ − ⋅ ⋅

2 2 21 1 1

0 0 0 22 2 2

h h h h h hv g h v h g v h g

v v v v v v

⇒ ⋅ − ⋅ ⋅ = ⇒ ⋅ = + ⋅ ⋅ ⇒ ⋅ = + ⋅ ⋅ ⇒

2 21 1 1

0 0 02 22 2/

22

2h h v h v v h

v h g v h g v gv h hv v

v vh

h h v h⇒ ⋅ = + ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⇒

1 1 510340 9.81 347.36 .

0 22 2340

h m m m mv v g

mv s sss

⇒ = + ⋅ ⋅ = + ⋅ ⋅ =

20

Vježba 518

Tane i zvuk koji je pritom nastao dopru istodobno do visine 0.51 km. Kolikom je brzinom

izašlo tane iz cijevi, ako je brzina zvuka 340 m / s? Otpor zraka zanemarimo. (ubrzanje slobodnog

pada g = 9.81 m / s2)


Zadatak 519 (Tonka, medicinska škola)

Stojeći na koturaljkama učenik mase 60 kg odgurnuo se od zida tako da je dobio brzinu 2 m / s

u vremenu dodira 0.6 s. Kolika je sila ''odguravanja''?

Rješenje 519

m = 60 kg, v = 2 m / s, t = 0.6 s, F = ?

Ako je početna brzina nula, za tijelo mase m na koje je za vrijeme t djelovala sila F vrijedi:

,F t m v⋅ = ⋅

gdje je v brzina na kraju vremenskog intervala t za koji je sila djelovala. Umnožak

I F t= ⋅

zovemo impulsom sile F, a umnožak p m v= ⋅

količinom gibanja mase m.

Tražena sila iznosi:

60 2

200 .0.

1/

6

mkg

m v sF t m v F t m v F Ntt s

⋅⋅

⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ = =⋅ =

Vježba 519

Stojeći na koturaljkama učenik mase 50 kg odgurnuo se od zida tako da je dobio brzinu 3 m / s

u vremenu dodira 0.5 s. Kolika je sila ''odguravanja''?

Rezultat: 300 N.

Zadatak 520 (Emaa, srednja škola ☺☺☺☺)

Vozač automobila počinje kočiti. Prilikom kočenja smanjuje brzinu ubrzanjem 2 m / s2.

Nakon 20 s automobil se zaustavi. Koliku je brzinu imao u trenutku kada je počeo kočiti? Koliki je

put prešao?

Rješenje 520

a = 2 m / s2, t = 20 s, v0 = ?, s = ?

Jednoliko ubrzano gibanje duž puta s jest gibanje za koje vrijede izrazi

, , ,1 12

2 2v a t s a t s v t= ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

gdje su v i s brzina, odnosno put za tijelo pošto se pokrenulo iz mirovanja i gibalo jednoliko ubrzano


Za jednoliko usporeno pravocrtno gibanje sa početnom brzinom v0 vrijede formule za trenutačnu

brzinu v i put s:

1 20 0

,2

.v v a t s v t a t= − ⋅ = ⋅ − ⋅ ⋅

1.inačica

Kada bismo snimili kamerom zaustavljanje automobila i nakon toga pustili snimljenu vrpcu unatrag

što bismo vidjeli? Automobil bi se gibao, doduše, unatrag, ali jednoliko ubrzano s jednakom

vrijednošću akceleracije kojom je u stvarnosti usporavao. Pritom bi prešao isti put za isto vrijeme i

postigao brzinu kojom se počeo usporavati. Brzina koju je automobil imao u trenutku kada je počeo

kočiti iznosi:

21

2 20 40 .0 2

m mv a t s

ss

= ⋅ = ⋅ =

Za to vrijeme automobil prijeđe put

( )1 1 22

2 20 400 .22 2

ms a t s m

s

= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =

Ili ovako:

1 140 20 400 .

02 2

ms v t s m

s= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =

2.inačica

U trenutku zaustavljanja trenutačna brzina v automobila jednaka je nuli pa vrijedi:

0 0 2 20 40 .0 0 20

v v a t m mv a t v a t s

sv s

= − ⋅⇒ − ⋅ = ⇒ = ⋅ = ⋅ =

=

Prijeđeni put iznosi:

( )1 1 22

40 20 2 20 400 .0 22 2

m ms v t a t s s m

s s

= ⋅ − ⋅ ⋅ = ⋅ − ⋅ ⋅ =

Vježba 520

Vozač automobila počinje kočiti. Prilikom kočenja smanjuje brzinu ubrzanjem 2 m / s2.

Nakon 10 s automobil se zaustavi. Koliku je brzinu imao u trenutku kada je počeo kočiti?

Rezultat: 20 m / s.

Documents

( )2 2 2 - halapa · Hitac je složeno gibanje koje se sastoji od jednolikog gibanja po pravcu po četnom brzinom v 0 i slobodnog pada s ubrzanjem g. Za vertikalni hitac prema dolje