• 考纲解读• 1．了解平面向量的基本定理及其意义．• 2．掌握平面向量的坐标表示．• 3．会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算．

• 4．理解用坐标表示的平面向量共线的条件．

• 考向预测• 1．平面向量的坐标运算及用坐标表示平面向量共线的条件，是高考考查的重点，也是历年高考的热点．

• 2．以选择题、填空题的形式进行考查，以中低档题为主．

• 3．向量的坐标运算及共线条件，常与三角、解析几何等知识结合，在知识的交汇点处命题，以解答题形式出现，属中档题．

• 知识梳理• 1．平面向量基本定理及坐标表示• (1)平面向量基本定理• 定理：如果 e1， e2是同一平面内的两个

向量，那么对于这一平面内的任意向量 a，有且只有一对实数 λ1， λ2，使 a＝ λ1e1＋ λ2e2.

• 其中，不共线的向量 e1， e2叫做表示这一平面内所有向量的一组 ．

不共线

基底

• (2)平面向量的正交分解

• 把一个向量分解为两个 的向量，叫做把向量正交分解．

• (3)平面向量的坐标表示

• ①在平面直角坐标系中，分别取与 x轴、 y轴方向相同的两个单位向量 i， j作为基底，对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数 x， y，使 a＝ xi＋ yj，把有序数对 叫做向量 a的坐标，记作 a＝ ，其中 叫 a

在 x轴上的坐标， 叫 a在 y轴上的坐标．②设OA→ ＝xi＋yj，则 就是终点 A的坐标，即若OA→

＝(x，y)，则 A点坐标为 ，反之亦成立．(O是坐标原点)

互相垂直

(x， y)

(x， y) x

y(x， y)

(x， y)

• 2．平面向量的坐标运算• (1)加法、减法、数乘运算．• (2)向量坐标的求法

• (3)平面向量共线的坐标表示• 设 a＝ (x1， y1)， b＝ (x2， y2)，其中 b≠0，则 a与 b共线⇔ a＝ λb⇔ .

已知 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB→＝(x2－x1，y2－y1)，即

一个向量的坐标等于其 的相应坐标减去 的相

应坐标．

x1y2－ y1x2＝ 0

终点 起点

3．平面向量的坐标运算

(1)已知点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB→＝ ，

|AB→ |＝ x2－x12＋y2－y12.

(2)已知 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＋b＝ ，

a－b＝ ，λa＝ ，a∥ b的充要条件

是 .

(3)非零向量 a的单位向量为±1|a|a.

(x2－ x1， y2－ y1)

(x1＋ x2， y1＋ y2)

(x1－ x2， y1－ y2) (λx1， λy1)

x1y2－ x2y1＝ 0

• A． 2 B． 3

• C． 4 D． 5

• [答案 ] 　 B

基础自测

1．(2010·湖北理)已知 ΔABC和点 M满足MA→ ＋MB→ ＋MC→

＝0.若存在实数 m使得AB→＋AC→ ＝mAM→ 成立，则 m＝(　 　 )

[解析]　 由MA→ ＋MB→ ＋MC→ ＝0 可知，M 为△ ABC 的重

心，故AM→ ＝23×

12(AB→＋AC→ )＝

13(AB→＋AC→ )，所以AB→＋AC→ ＝

3AM→ ，即 m＝3.

• 2． (教材改编题 )下列各组向量中，可以作为基底的是

• (　　 )

• A． e1＝ (0,0)， e2＝ (2，－ 3)

• B． e1＝ (2，－ 3)， e2＝ (5,7)

• C． e＝ (1，－ 2)， e2＝ (－ 2,4)

• [答案 ] 　 B

• [解析 ]　根据基底的定义知，非零且不共线的两个向量才能可以作为平面内的一组基底．A中显然 e1∥e2；C中 e2＝－ 2e1，所以 e1∥e2；D中 e1＝－ 2e2，所以e1∥e2.

D．e1＝

2，32，e2＝

－1，－34

• 3． (2011·广东汕头模拟 )若向量 a＝ (1,1)，b＝ (－ 1,1)， c＝ (4,2)，则 c＝ (　　 )

• A． 3a＋ b B． 3a－ b• C．－ a＋ 3b D． a＋ 3b• [答案 ] 　 B• [解析 ]　设 c＝ λa＋ μb，则 (4,2)＝ (λ－μ， λ＋ μ)，

即 λ－μ＝4，λ＋μ＝2，

解得 λ＝3，μ＝－1，

∴ c＝3a－b.

• [答案 ] 　 D

4．(2011·福建泉州模拟)已知向量OM→ ＝(3，－2)，ON→ ＝

(－5，－1)，则12MN→ 等于(　 　 )

A．(8,1) B．(－8,1)

C.

4，－12 D.

－4，12

[解析]　12MN→ ＝

12(ON→ －OM→ )＝

12[(－5，－1)－(3，－2)]

＝

－4，12 .

5．已知点 A(1，－2)，若点 A、B的中点坐标为(3,1)，

且AB→与向量 a＝(1，λ)共线，则 λ＝________.

[答案]　32

[解析]　 由 A、B的中点坐标为(3,1)可知 B(5,4)，

∴ AB→＝(4,6)，

又∵ AB→ ∥ a，∴ 4λ－1× 6＝0，

∴ λ＝32.

• [答案 ] 　 30°

6． (2011·海南模拟 )设向量 a＝

1

2，sinα ， b＝

3

2 ，cosα，且 a与 b共线，则锐角 α＝________.

[解析]　 ∵ a与 b共线，∴12cosα－

32 sinα＝0，

∴ sin(30°－α)＝0，∴ 锐角 α＝30°

• 7．已知向量 a＝ (1,2)， b＝ (x,1)， u＝a＋ 2b， v ＝ 2a－ 2b，且 u∥v ，求 x.

• [解析 ] 　 u＝ (1,2)＋ 2(x,1)＝ (2x＋ 1,4)，• v ＝ 2(1,2)－ (x,1)＝ (2－ x,3)．• ∵ u∥v ，•∴由向量平行的充要条件得• (2x＋ 1)·3－ 4(2－ x)＝ 0，

解得 x＝12

[例 1]　 如图所示，在△ OAB中，OC→ ＝14OA→ ，OD→ ＝

12OB→ ，

AD与 BC交于点 M，设OA→ ＝a，OB→ ＝b，以 a、b为基底

表示OM→ .

[解析]　 设OM→ ＝ma＋nb(m，n∈ R)，

则AM→ ＝OM→ －OA→ ＝(m－1)a＋nb，

AD→ ＝OD→ －OA→ ＝12b－a＝－a＋

12b.

因为 A，M，D三点共线，所以m－1－1＝n12

，即 m＋2n＝1.

而CM→ ＝OM→ －OC→ ＝(m－14)a＋nb，

[分析]　 先用平面向量基本定理设出OM→ ＝ma＋nb，

再利用共线向量的条件列出方程组，确定 m，n的值．

CB→ ＝OB→ －OC→ ＝b－14a＝－

14a＋b，

因为 C，M，B 三点共线，所以m－

14

－14

＝n1，即 4m＋n

＝1.

由 m＋2n＝1

4m＋n＝1，解得

m＝17

n＝37

，所以OM→ ＝17a＋

37b.

• [点评 ] 　 (1)本题利用了两次共线的条件，并且注意方程思想的利用；

• (2)解决类似问题应重视平面几何的知识；• (3)用基底表示向量是用向量解决问题的基础，应根据条件灵活应用，并熟练掌握．

如图，PQ过△ ABO的重心 G，OA→ ＝a，OB→ ＝b，OP→ ＝

ma，OQ→ ＝nb，试求1m＋

1n的值．

[解析]　 ∵ G是△ ABO的重心，

∴ OG→ ＝23OC→ ＝

13(OA→ ＋OB→ )＝

13(a＋b)，

∴ GP→ ＝OP→ －OG→ ＝ma－13(a＋b)＝

m－13 a－

13b，

GQ→ ＝OQ→ －OG→ ＝nb－13(a＋b)＝－

13a＋

n－13 b，

又GP→ ∥ GQ→ ，∴

m－13

n－13＝

19，

∴13(m＋n)＝mn，即

1m＋

1n＝3.

• [分析 ]　根据题意可设出点 C、D的坐标，然后利用已知的两个关系式列方程组，求出坐标．

[例 2]　 已知点 A(－1,2)，B(2,8)以及AC→ ＝13AB→，DA→ ＝

－13BA→，求点 C、D的坐标和CD→ 的坐标．

[解析]　 设点 C、D 的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，

由题意得AC→ ＝(x1＋1，y1－2)，AB→＝(3,6)，DA→ ＝(－1－x2,2

－y2)，BA→＝(－3，－6)．

因为AC→ ＝13AB→，DA→ ＝－

13BA→，

所以有 x1＋1＝1，y1－2＝2

和 －1－x2＝1，2－y2＝2，

解得

x1＝0，y1＝4

和 x2＝－2，y2＝0，

所以点 C、D的坐标分别是(0,4)，(－2,0)，

从而CD→ ＝(－2，－4)．

已知 A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，且CM→ ＝3CA→ ，

CN→ ＝2CB→ ，求 M、N及MN→ 的坐标．

[解析]　 ∵ A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，

∴ CA→ ＝(1,8)，CB→ ＝(6,3)，

∴ CM→ ＝3CA→ ＝(3,24)，CN→ ＝2CB→ ＝(12,6)．

设M(x，y)，则CM→ ＝(x＋3，y＋4)＝(3,24)，

∴ x＋3＝3，y＋4＝24.

∴ x＝0，y＝20.

，

∴ M(0,20)．

同理可求 N(9,2)，因此MN→ ＝(9，－18)．

∴ M(0,20)，N(9,2)，MN→ ＝(9，－18).

• [例 3] 平面内给定三个向量 a＝ (3,2)， b＝ (－ 1,2)， c＝ (4,1)．

• (1)若 (a＋ kc)∥(2b－ a)，求实数 k；• (2)设 d＝ (x， y)，满足 (d－ c)∥(a＋ b)，且 |d－ c|＝ 1，求 d.

• [分析 ] 　 (1)由两向量平行的条件得出关于k的方程，从而求出实数 k的值．

• (2)由两向量平行及 |d－ c|＝ 1得出关于x， y的两个方程，解方程组即可得出 x， y的值，从而求出 d.

• [解析 ] 　 (1)∵(a＋ kc)∥(2b－ a)，• 又 a＋ kc＝ (3＋ 4k,2＋ k)， 2b－ a＝ (－ 5,2)，

∴ 2× (3＋4k)－(－5)× (2＋k)＝0，∴ k＝－1613.

(2)∵ d－c＝(x－4，y－1)，a＋b＝(2,4)，

又(d－c)∥ (a＋b)且|d－c|＝1，

∴ 4x－4－2y－1＝0，x－42＋y－12＝1，

∴ 解得

x＝4＋5

5 ，

y＝1＋2 5

5 ，或

x＝4－5

5 ，

y＝1－2 5

5 ，

∴ d＝

4＋

55 ，1＋

2 55 或

4－

55 ，1－

2 55 .

• [点评 ] 　 1.解决向量平行有关的问题，一般考虑运用向量平行的充要条件．

• 2．向量共线的坐标表示提供了通过代数运算来解决向量共线的方法，也为点共线、线平行问题的处理提供了容易操作的方法．

• 提醒：利用共线向量证明三点共线，有坐标时，只需使三点构成的两个向量的坐标对应成比例或利用共线向量定理．

• (2009·广东理 )若平面向量 a， b满足 |a＋ b|＝ 1， a＋ b平行于 x轴， b＝ (2，－ 1)，则 a＝ ________.

• [答案 ] 　 (－ 3,1)或 (－ 1,1)

• [解析 ]　考查平面向量的线性运算、共线、模及数量积的坐标表示等．

• 设 a＝ (x， y)，则 a＋ b＝ (x＋ 2， y－ 1)，• ∵ |a＋ b|＝ 1，∴ (x＋ 2)2＋ (y－ 1)2＝ 1①

• 又∵ a＋ b平行于 x轴，∴ a＋ b与 e1＝ (1,0)或 e2＝ (－

1， 0)共线，∴ y－ 1＝ 0，∴ y＝ 1.

• 代入①中得 x＝－ 3或－ 1，∴ a＝ (－ 3,1)或 (－ 1,1).

• (1)t为何值时， P在 x轴上？在 y轴上？ P在第二象限？

• (2)四边形OABP能否成为平行四边形？若能，求出相应的 t值；若不能，请说明理由．

• [分析 ]　利用向量相等，建立点 P(x， y)与已知向量之间的关系，表示出 P点的坐标，然后根据实际问题确定 P点坐标的符号特征，从而解决问题．

[例 4]　 已知 O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)及OP→ ＝OA→ ＋tAB→，

试问：

[解析]　 (1)∵ O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)，

∴ OA→ ＝(1,2)，AB→＝(3,3)，

∴ OP→ ＝OA→ ＋tAB→＝(1＋3t,2＋3t)．

若 P在 x轴上，则 2＋3t＝0，解得 t＝－23；

若 P在 y轴上，则 1＋3t＝0，解得 t＝－13；

若 P在第二象限，则 1＋3t<0，2＋3t>0，

解得－23<t<－

13.

(2)∵ OA→ ＝(1,2)，PB→＝PO→ ＋OB→ ＝(3－3t,3－3t)，

若四边形 OABP为平行四边形，则OA→ ＝PB→，

而 3－3t＝1

3－3t＝2，无解，

∴ 四边形 OABP不能成为平行四边形．

• 如图所示，已知点 A(4,0)， B(4,4)， C(2,6)，求 AC和 OB交点 P的坐标．

[解析]　 方法一：设 P(x，y)，则OP→ ＝(x，y)，

∵ OP→ ，OB→ 共线，OB→ ＝(4,4)，

∴ 4x－4y＝0.①

又CP→ ＝(x－2，y－6)，CA→ ＝(2，－6)，

且向量CP→ ，CA→ 共线，

∴ －6(x－2)－2(6－y)＝0.②

解由①②组成的方程组，得 x＝3，y＝3，

∴ 点 P的坐标为(3,3)．

方法二：设OP→ ＝tOB→ ＝t(4,4)＝(4t,4t)，则AP→＝OP→ －OA→

＝(4t,4t)－(4,0)＝(4t－4,4t)，

AC→ ＝(2,6)－(4,0)＝(－2,6)．

由AP→，AC→ 共线的充要条件知

(4t－4)× 6－4t× (－2)＝0，

解得 t＝34，∴ OP

→ ＝(4t,4t)＝(3,3)，

∴ P点坐标为(3,3)．

• 1．平面向量基本定理• (1)平面向量基本定理的作用• 平面向量基本定理是建立向量坐标的基础，它保证了以原点为始点的向量与坐标是一一对应的，在应用时，构成两个基底的向量是不共线向量．

• (2)用向量证明几何问题的一般思路• 先选择一组基底，并运用平面向量基本定理将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来证明．

• 特别提醒： (1)零向量不能作为基底．• (2)两个非零向量共线时不能作为平面的一组基底．

• 2．对向量 a＝ (x， y)的理解• (1)a＝ xe1＋ ye2(e1， e2分别是 x轴、 y轴正方向上的单位向量 )；

• (2)若向量 a的始点是原点，则 (x， y)就是其终点的坐标．

• 3．平面向量共线的坐标表示• (1)需注意的几点

①若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a∥ b的充要条件不

能表示成x1

x2＝y1

y2，因为 x2，y2有可能等于 0，所以应表示

为 x1y2－x2y1＝0.同时，若 a＝(x1，y1)，b＝(x1，y2)，则 a

∥ b 的充要条件也不能错记为：x1x2－y1y2＝0，x1y1－x2y2

＝0等．

• ②若 a＝ (x1， y1)， b＝ (x2， y2)，则 a∥b(b≠0)

的充要条件是 a＝ λb，这与 x1y2－ x2y1＝ 0在本质上是没有差异的，只是形式上不同．

• (2)三点共线的判断方法• 判断三点是否共线，先求每两点对应的向量，然后再按两向量共线进行判定，即已知A(x1， y1)， B(x2， y2)， C(x3， y3)，

则AB→＝(x2－x1，y2－y1)，AC→ ＝(x3－x1，y3－y1)，

若(x2－x1)(y3－y1)－(x3－x1)(y2－y1)＝0，

则 A、B、C三点共线．

　　　　　　　　请同学们认真完成课后强化作业