SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES

ECUACIÓN.

Definición:

Es una igualdad que tiene una o más incógnitas. Ejemplos:

Solución de una ecuación.

Solucionar o resolver una ecuación es hallar el valor o los valores de las incógnitas que la satisfacen o bien, advertir que no existen tales valores. Para tal fin, es importante identificar el tipo de ecuación, de tal manera que, se pueda implementar un procedimiento adecuado que permita resolverla. Ejemplos:

La ecuación tiene como solución

La ecuación posee dos soluciones: y

La ecuación tiene cuatro soluciones: , , y .

Gráfica de las soluciones.

Cuando una ecuación tiene una sola incógnita y su solución o soluciones son números reales, entonces la gráfica de dicha solución o soluciones se localizan en la recta real.

Ejemplo:

Las dos soluciones y de la ecuación tienen por gráfica.

Si la ecuación tiene dos o más incógnitas, sus soluciones se acostumbran a denotar por ordenadas, donde representa el número de incógnitas. En el caso de dos o tres incógnitas, es posible representarlas gráficamente en el plano cartesiano o bien en el espacio tridimensional.

Si la ecuación tiene incógnitas, ( ) sus soluciones se acostumbran a denotar por ordenadas, es decir, si las incógnitas de la ecuación se denotan por entonces la solución de dicha ecuación se escribirá como ( ). En el caso de que la ecuación tenga dos o tres incógnitas, las soluciones se pueden representar gráficamente en el plano cartesiano o bien en el espacio tridimensional, respectivamente

Plano Cartesiano

Espacio Tridimensional Octante

Nota: Un octante es una de las 8 partes que resultan de dividir el espacio por tres planos perpendiculares entre sí.

Ejemplo:

La ecuación tiene infinitas soluciones, entre las que podemos mencionar:

⁄

En forma de parejas, estas soluciones pueden ser escritas como:

( ) ; ( ⁄ ) ; ( ); ( ⁄ ) ; ( ) ; (

)

Gráfica de la ecuación

En la gráfica podemos observar, que todas las soluciones de esta ecuación se encuentran a lo largo de una línea recta.

Ecuación Lineal:

Es aquella donde la incógnita o las incógnitas son de grado 1. En el caso de que la ecuación presente dos o más incógnitas, para que la ecuación se pueda considerar lineal, no debe aparecer en la expresión el producto de dos o más de ellas.

Ejemplo:_

, , , etc..

Una ecuación lineal que consta de dos , tres o más incógnitas tiene un número infinito de soluciones.

Si la ecuación tiene dos incógnitas sus soluciones serán parejas ordenadas, las cuales, gráficamente, constituyen una línea recta en el plano cartesiano. En caso de poseer tres incógnitas, las soluciones serán ternas ordenadas y su gráfica determina un plano en el espacio tridimensional.

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Es un conjunto formado por dos o más ecuaciones lineales.

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES DE ( 2 ecuaciones con, 2 incógnitas).

Son sistemas de la forma

Donde los coeficientes ( representa los números reales) y, y , al igual que y , no pueden ser simultáneamente iguales a cero.

Las notaciones y , se utilizan para nombrar cada una las líneas rectas.

Claramente, cada ecuación y tienen infinitas soluciones, la idea es hallar entre esas infinitas soluciones, aquella que sean común o comunes a ambas, en caso de que existan.

Ejemplo de un sistema de ecuaciones lineales

POSICIÓN RELATIVAS DE DOS RECTAS EN EL PLANO

Dos rectas en el plano pueden tener alguna de las siguientes posiciones

a) y son paralelas, por lo tanto el b) y poseen un punto común, sistema no tienen solución común. Luego la solución del sistema es unica.

c) y coinciden, lugo el sistema tienen infinitas soluciones

x

y

x

y

a

b

(a,b)

x

y

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES DE ( 3 ecuaciones con 3 incógnitas )

Son sistema de la forma

Donde los coeficientes y ; y , no pueden ser simultáneamente cero.

La notación , y , se utiliza para nombrar cada uno de los planos

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES DE ( : número de ecuaciones y : número de incógnitas)

Son sistemas de la forma

( )

Donde y constituyen los coeficientes y los términos independientes de la ecuación y las

son las incógnitas.

Nota:

1. Los dos subíndices de , se usan para la ubicación del coeficiente en el sistema; esto es:

el subíndice nos dice que es un coeficiente en la ecuación y el subindice que corresponde a la incognita.

2. Si , el sistema recibe el nombre de sistema homogéneo.

Clasificación de los sistemas de ecuaciones lineales según su número de soluciones

Los sistemas de ecuaciones lineales según tengan o no solución pueden ser compatibles o incompatibles respectivamente. Es decir:

1. Compatibles: Tienen solución. Estos a su vez pueden ser : 1.1. Compatible determinado: Solución única 1.2. Compatible Indeterminado: Infinitas soluciones.

2. Incompatibles: No tienen solución.

En este curso resolveremos los sistemas de ecuaciones lineales usando el método de Gauss-Jordan , el método matricial y el método de Cramer.

Método de Gauss- Jordán

Antes de entrar a revisar este método consideremos las siguientes definiciones necesarias para su desarrollo.

Matriz de .

Definición:

Una matriz de , es un arreglo rectangular de números dispuestos en renglones y columnas, los cuales, se encuentran encerrados entre corchetes o bien entre paréntesis.

j-esima columna

[

]

o

(

)

i-esimo renglón

Los , y , representan números reales y el subíndice hace referencia a que

se trata del elemento que se encuentra en el renglón y la columna. De esta manea , se utiliza para representar cualquier elemento de la matriz y recibe el nombre de

elemento de la misma.

Nota: Los dos subíndices presentes en permiten ubicar el elemento en la matriz. El subíndice

corresponde al renglón y el subíndice a la columna donde se encuentra.

Ejemplo es el elemento ubicado en el segundo renglón y la tercera columna.

Representaremos las matrices por letras mayúsculas de nuestro alfabeto , , etc. o bien por su

elemento representativo dentro de un paréntesis, esto es ( ) para la matriz y ( ) para la matriz

.

Una matriz de , se dice que es de tamaño y el espacio al cual pertenece lo denotaremos por .

Ejemplo:

[

]

Observe que la matriz es una matriz de , es decir .

Algunos de sus elementos son: , y

Matriz de coeficientes

Definición: Una matriz de coeficientes es aquella cuyos elementos corresponden a los coeficientes de un sistema de ecuaciones.

En otras palabras una matriz de coeficientes es una matriz asociada a todo sistema de ecuaciones lineales y sus elementos corresponden a los coeficientes presentes en dicho sistema.

La matriz de coeficientes correspondiente al sistema de ecuaciones lineales ( ) es:

[

]

( )

Ejemplo:

La matriz de coeficientes asociada al sistema de ecuaciones

Es la matriz

[

]

Matriz Aumentada

Definición:

Es una representación abreviada de un sistema de ecuaciones lineales, en ella, por simplicidad, se prescinde de las incógnitas. La representación en forma de matriz aumenta del sistema ( ) corresponde a la matriz

(

|

|

)

( )

Coeficientes términos independiente

Si en el sistema de ecuaciones ( ) llamamos a la matriz de coeficientes y hacemos ⃗

(

)

,

entonces podemos expresar abreviadamente el sistema de ecuaciones ( ) en la forma:

( | ⃗ )

Ejemplo: El siguiente sistema de ecuaciones expresado en forma tradicional

Puede escribirse, en forma de matriz aumentada como:

(

| )

Nota: Es importante observar que siempre es posible revertir el procedimiento, en el sentido que, dado un sistema de ecuaciones expresado en forma de matriz aumenta, este, se puede escribir en la forma tradicional

Sistema de ecuaciones equivalentes

Dos o más sistemas de ecuaciones lineales son equivalentes si tienen la misma solución:

Ejemplo:

Los sistemas

( ) 2

( ) ( )

( ) ( ) Tienen como solución común la pareja ( ) ( ) ( verificarlo); luego son equivalentes.

Seguidamente veremos cómo obtener sistemas equivalentes a partir de un sistema dado.

Operaciones elementales de renglón.

Son operaciones que se aplican a los sistemas de ecuaciones lineales y que nos permiten obtener sistemas equivalentes.

Las operaciones elementales de renglón son:

1. Multiplicar o dividir un renglón por una cantidad diferente de cero. 2. Agregar a un renglón un múltiplo de otro. 3. Intercambiar dos renglones.

Nota: En el contexto de los sistema de ecuaciones, expresados como matriz aumentada, el termino renglón hace referencia a una ecuación.

Matriz en la forma escalonada por renglones reducida.

Una matriz se encuentra en la forma escalonada por renglones reducida si cumple los siguientes requerimientos:

1. Si existe un renglón que contenga ceros en su totalidad, este debe de encontrarse en la parte inferior de la matriz. Este requerimiento se tiene en cuenta en la medida que exista tal renglón.

2. En cada renglón, que no contenga ceros en su totalidad, visto de izquierda a derecha, la primera cantidad diferente de cero debe ser .

3. En dos renglones consecutivos, que no contengan ceros en su totalidad, el primer 1 del renglón inferior debe de estar más a la derecha que el primer 1 del renglón superior.

4. En cada columna, que contenga el primer uno de algún renglón, debe de tener ceros en los otros elementos de la columna.

Ejemplos

(

) ; (

); (

) ;

METODO DE GAUSS JORDAN

Es un método que permite resolver sistemas de ecuaciones lineales, obviando el uso de las incógnitas y considerando, únicamente, los aspectos relevantes del sistema como lo son los coeficientes y los términos independientes.

Para aplicarlo se requiere:

1. Expresar el sistema de ecuaciones ( ) en la forma de matriz aumentada ( | ⃗ );

2. Llevar la matriz , a la forma escalonada por renglones reducida, mediante operaciones elementales de renglón ; y

3. Expresar el sistema nuevamente en su forma tradicional y determinar la solución si existe. A este nivel del procedimiento se pueden presentar tres situaciones:

Que el sistema tenga solución única. En cuyo caso, el sistema quedaría resuelto inmediatamente.

Que el sistema tenga infinitas soluciones. Lo anterior se puede observar, si el sistema resultante presenta más incógnitas que ecuaciones. En este caso se encuentra una solución general, a partir de la cual se pueda encontrar soluciones particulares.

Que el sistema no tenga solución. Situación que se evidencia si se presentan alguna inconsistencia en el sistema equivalente resultante.

Nota: Antes de proceder con un ejemplo tengamos en cuenta la siguiente notación.

a. Cada fila (ecuación) se denotara por la letra y un subíndice para resaltar la fila (ecuación) con la que vamos a trabajar. Ejemplo expresa que estamos trabajando con la ecuación .

b. representará la ecuación obtenida. Ejemplo representa la nueva fila o ecuación

obtenida.

Ejemplo 1:

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales

( )

Solución:

Primer paso: Expresamos el sistema en la forma ( | ⃗ ).

(

|

)

Segundo Paso: Expresamos la matriz (

) , presente en la parte izquierda de la barra vertical,

en la forma escalonada por renglones reducida, mediante las operaciones elementales de renglón.

( intercambiando las filas 1 y 2 )

(

|

)

( dividiendo la primera fila por 4 )

(

|

)

(

|

)

(

|

)

(

|

)

Tercer paso: Expresamos este último sistema en la forma tradicional, la cual, para este caso en particular, arroja la solución de manera inmediata.

Soluciòn que se puede escribir en notaciòn de pareja como ( )

Ejemplo 2. Resolver

Solución.

Justificación: Expresamos el sistema en forma de matriz aumentada.

(

|

)

Justificación: ( Intercambiamos las filas 1 y 2 )

(

|

)

Justificación: (multiplicamos la ecuación 1 por )

(

|

)

Justificación: ;

(

|

)

Justificación:

(

|

)

Justificación: ;

(

|

)

Justificación:

;

(

|

)

Justificación: ;

(

| )

Luego la solución del sistema es: O bien, en términos de terna ordenada ( ).