INVESTIGACIÓNECUACIONES DIFERENCIALES

Yeimy Xiomara Torres Sánchezyxtorres@misena.edu.co

En las ecuaciones diferenciales (E. D.) se busca encontrar la

función primitiva de la derivada dydx=f(x), sea f(x). Los métodos

utilizados para la resolución constituyen una generalización delcálculo de primitivas.

Dentro de las definiciones encontradas podemos indicar que unaEcuación Diferencial (E.D.) es una ecuación que relaciona unafunción (o variable dependiente), su variable o variables(variables independientes) y sus derivadas.

Cuando hablamos de una Ecuación Diferencial Ordinaria (E. D. O.)nos referimos a que la ecuación contiene derivadas respecto a unasola variable independiente y en una Ecuación en DerivadasParciales (E. D. P.) si contiene las derivadas parciales respectoa dos o más variables independientes.

Ejemplos E. D. O.:dydx

−4y=2, (x+2y)dx−3ydy=0 (1)

d2ydx2

−4(dydx )3

−3y=0 (2)

Ejemplos E. D. P.

x ∂u∂x

+y ∂u∂y

=u (3)

∂3u∂x3=

∂2u∂t2−4

∂u∂t (4)

Otras ecuaciones son las Ecuaciones Diferenciales de Retraso (oretardo), caracterizadas por la presencia de un desplazamientot−t0 en el argumento de la función incógnita u (t ). En general sonmás difíciles que las anteriores, por ejemplo:

1

u' (t )=7−2u (t−3 )

1. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

En las ecuaciones diferenciales encontraremos ecuaciones de orden1, 2 y 3. Se llama orden de la ecuación diferencial al orden de laderivada o derivada parcial más alta que aparece en la ecuación.

Así, podemos determinar que las ecuaciones (1) y (3) son de orden1, la (2) es de orden 2 y la (4) es de orden 3.

Decimos que una ecuación diferencial (de orden n) está expresadaen forma implícita cuando tiene la forma

F (x,y,y',…,y(n))=0

siendo F una función F:Ω⊂Rn+2⟶R con Ω un subconjunto(generalmente abierto) de Rn+2. Y decimos que está expresada enforma explícita cuando tenemos:

y(n)=f(x,y,y',…,y(n−1 ))

Con f:D⊂Rn+1⟶R una funci´on definida en un subconjunto D(generalmente abierto) de Rn+1.

Se dice que una ecuación diferencial es lineal si tiene la forma:

an (x ) dnydxn

+an−1 (x) dn−1y

dxn−1+…+a1 (x )dydx +a0 (x )y=g(x)

Esta ecuación se llama Lineal Homogénea si, además, g(x)=0. Laecuación correspondiente a la ecuación lineal se denomina linealhomogénea asociada y a una ecuación que no es lineal se dice no lineal.

Decimos que una función y=ϕ(x) definida en un intervalo I (esdecir, ϕ:I⊂R→R) es solución de una ecuación diferencial en elintervalo si, sustituida en dicha ecuación, la reduce a unaidentidad. (En otras palabras, si satisface la E. D.) Una E. D. sedice resoluble (o integrable) por cuadraturas si su solución esexpresable mediante integrales.

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En general, la solución de una ecuación diferencial de orden ndependerá de n parámetros.

1.1. Ecuaciones Explícitas de Primer Orden

Son las que tienen la formay'=f(x,y)

Variables separadas

Si tenemos la E. D.g (x)=h (y)y'

Las ecuaciones en variables separadas son las más sencillas deintegrar y, a la vez, las más importantes, ya que cualquier otrométodo de resolución se basa esencialmente en aplicar diversostrucos para llegar a una ecuación en variables.

La expresión dydx se emplea, porque es consecuente con los

enunciados de varios importantes resultados. A la hora derecordar cómo se resuelven ecuaciones de variables separadas.

Son de la forma

g(x)=h(y)dydx ,

Descomponiendo g(x)dx=h(x)dy e integrando ambos lados de laexpresión anterior.

Ejemplo.dxdy

+(senx)y=0

Despejando,dxdy

=−(senx)dx

Integrando,logy=cosx+C

Es decir,y=ecosx+C

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Tomando, K=eC

Encontramos la solución general,y=Kecosx,K∈R

Ecuación de la forma y'=f(ax+by)

Si a=0 o b=0, la ecuación es separable. En otro caso, seefectuará el cambio de función y(x) por z(x) dado por z=ax+by, de

donde z'=a+by'y, por tanto, y'=z'−ab .

Entonces, sustituyendo en la E. D. obtenemos z'−ab =f(z), es decir,

z'=a+bf (z), que es de variables separadas. La escribimos comodx=

dza+bf(z)

,

Integrando,x=∫(a+bf (z))−1dz=ϕ(z,C)

Las soluciones de la E.D. de partida seránx=φ(ax+by,C)

Encontrando y como función de x expresada en forma implícita.

Homogéneas

Son de la forma

y'=f(yx )Se hace el cambio de función y(x) por u(x) mediante y=ux,transformándose así la E. D. en una de variables separadas.

Ejemplo.

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y'=2xy−y2

x2

Con el cambio y=ux,

y'=2 yx−(yx)

2

=2u−u2

Como y'=u'x+u, sustituyendo,u'x+u=2u−u2

Es decir,xu'=u−u2

Si u≠u2 podemos utilizar duu−u2

=dxx

Para integrar, descomponemos 1

u−u2=Au

+ B1−u lo que satisface para

A=B=1.

Integrando logu−log(1−u)=log xC, es decir,

u1−u

=xC

Sustituyendo u=yx

Tenemos y /x1−y/x

=xC, de donde Cy=x(x−y)

Por otra parte, a partir de u0=0 y u0=1 (para las cuales u=u2),se tienen las soluciones singulares y=0 e y=x.

Reducibles a homogéneas.

Son de la forma

y'=f(a1x+b1y+c1ax+by+c )

Para resolverlas, hay que distinguir dos casos:

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1. Si las rectas ax+by+c=0 y a1x+b1y+c1=0 se cortan en (x0,y0),sehace el cambio de variable y de función X=x−x0, Y=y−y0. Laecuación se reduce a una homogénea.

2. Si ax+by+c=0 y a1x+b1y+c1=0 son rectas paralelas, se haceel cambio de función z=ax+by. La nueva ecuación que aparece esde variables separadas.

Ejemplo.

y'=−2x+4y−6x+y−3

Las rectas −2x+4y−6=0 y x+y−3=0 se cortan en el punto(x,y)=(1,2), con lo que efectuamos el cambio X=x−1, Y=y−2,Y'=y

Sustituyendo, obtenemos la ecuación homogénea

Y'=−2X+4YX+Y

=−2+4Y /X1+Y /X

Para resolverla, hacemos un nuevo cambio u=Y❑X , de donde Y=uX,

Y'=u'X+uTras sustituir, tenemos u'X+u=

−2+4u1+u que, después, podemos ubicar

como −X dudX=u2−3u+2

u+1

Analizando u2−3u+2≠0, podemos escribir:dXX

=−(u+1)duu2−3u+2

= Au−1

du+ Bu−2

du= 2u−1

du− 3u−2

du

Integrando, 2log(u−1)−3log(u−2)=log(KX)

Obteniendo,(u−1)2

(u−2)3=KX

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Sustituyendo u=Y /X llegamos a:(Y−X)2=K(Y−2X)3

Volviendo a las variables originales xy y obtenemos las solucionesde la E.D. de partida

(y−x−1)2=K(y−2x)3

Finalmente con u0=1 y u0=2 tenemos respectivamente las solucionesY=X e Y=2X que, sustituyendo X e Y por su valor, se traducen eny=x+1 y y=2x.

Homogéneas implícitas.

Son de la forma

F(yx ,y')=0Consideramos la curva F(α,β)=0. Si encontramos una representaciónparamétrica α=ϕ(t),β=ψ(t),F(ϕ(t),ψ(t))=0, se hace el cambio de

función y por t mediante yx=ϕ ¿), y'=ψ(t). Así, derivando y=xϕ(t)

respecto de x, aparece una ecuación en variables separadas.

Ejemplo.x2(y')2−(y2+x2 )=0

Si ponemos la ecuación en la forma (y')2−(yx)2

=1, podemos recordar

que el coseno y el seno hiperbólicos satisfacen la relación(cht)2−(sht)2=1, lo que se adecúa a nuestras necesidades. Así,

tomemos ahora yx=sht y y'=cht. Si derivamos y = x sh t tenemos

en esta ecuación, el denominador no se anula nunca ya que ch t >sh t, luego no hay que preocuparse de analizar por separado lasraíces de ch t−sh t = 0) e, integrando, x = Ceφ(t) con

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φ (t )=∫ chtcht−shtdt=∫et+e−t

2e−t dt=12∫ (1+e2t¿)dt=1

2t+

14e2t¿

Entonces, la E.D. original tiene como soluciones las curvas

Ecuaciones exactas

Llamamos exacta a una ecuación diferencial de la forma:

P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0

Es decir,

y'=dydx

=−P(x,y)Q(x,y)

Cumple Py=Qx

Se busca una función F(x,y) tal que dF=ω=Pdx+Qdy, y la soluciónde la E. D.es F(x,y)=C (siendo C constante).

Ejemplo3y+ex+(3x+cosy)y'=0

Si ponemos la ecuación en la forma Pdx+Qdy=0 con P (x,y )=3y+ex y Q (x,y )=3x+cosy es claro que Py=Qx=3, luego la E. D. es exacta.Calculemos la función potencial F (que nos dará directamente lassoluciones F(x,y)=C). Como Fx=3y+ex, integrando respecto de x,F(x,y)=3yx+ex+ϕ(y). Derivando respecto de y e igualando a Q queda3x+ϕ' (y )=3x+cosy, es decir, ϕ'(y)=cosy, de donde basta tomarϕ(y)=seny, y por tanto F(x,y)=3yx+ex+seny. Así, la solución dela E. D. viene dada, implícitamente, por 3yx+ex+seny=C. (Nóteseque al integrar ϕ'(y)=cos y no hace falta poner la constante deintegración ϕ(y)=seny+C1 ya que, en ese caso, una de las dosconstantes de la solución 3yx+ex+seny+C1=C sería claramentesuperflua).

Reducibles a exactas: Factores integrantes

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Si P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 no es exacta, podemos intentar encontrarµ(x,y) tal que

µ(x,y)P(x,y)dx+µ(x,y)Q(x,y)dy=0sea exacta.

No hay ningún procedimiento general que permita encontrar factoresintegrantes. Sin embargo, sí que es posible hacerlo, y de manerasencilla, en dos casos:

a. Existencia de factor integrante de la forma µ(x). Queremos queµ(x)P(x, y) dx+µ(x)Q(x, y) dy = 0 sea exacta, esto es,

∂∂y

(µ(x)P(x,y))=∂∂x

(µ(x)Q(x,y))

Derivando, µ(x)Py(x,y)=µ'(x)Q(x,y)+µ(x)Qx (x,y), o sea,µ(x)(Py(x,y)−Qx(x,y))=µ'(x)Q(x,y). Para que esto tenga sentido,

u'(x)µ(x)

=Py (x,y)−Qx(x,y)

Q(x,y)

tiene que resultar ser una función que dependa exclusivamente de x, que denotamos h(x).

Cuando éste es el caso, es claro que la función µ que satisface larelación anterior es

µ(x)=exp (∫h(x)dx)

con lo cual hemos encontrado el factor integrante buscado.

b. Existencia de factor integrante de la forma µ(y). Repitiendo el

proceso anterior buscamos ∂∂y

(µ(y)P(x,y))=∂∂x

(µ(y)Q(x,y)), es

decir, µ' (y )P+µ (y )Py=µ(y)Qx, y por tanto µ' (y )µ(y)

=Qx−Py

P, que tiene

que ser función sólo de y, que denotamos h(y). En estascondiciones, el factor integrante es µ(y)=exp(∫h(y)dy).

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c. Aparte de los casos anteriormente tratados, para algunos tiposde problemas se puede intentar encontrar factores integrantesimponiendo a µ(x,y) condiciones restrictivas de muy diversotipo. Por ejemplo, exigiendo que sea de la forma µ(x,y)=xαyβ

con α y β constantes a determinar, que sea µ (x+y ), o µ(xy), etc.Para estudiar estos casos, lo que hay que hacer siempre es

igualar ∂∂y

(µP)=∂∂x

(µQ) e intentar resolver la nueva ecuación

que aparece, teniendo en cuenta, sobre todo, si tiene sentido.

Ejemplo.

(2x2+y)dx+(x2y−x)dy=0

En este caso, P(x,y)=2x2+y y Q(x,y)=x2y−x. Esta ecuación no esexacta ya que Py=1 y Qx=2xy−1. Para intentar encontrar un factor integrante se calcula

PY−QXQ

=1−(2xy−1)

x2y−x=

2(1−xy)−x(1−xy)

=−2x

Ya que se obtiene una expresión que depende sólo de x, podemosasegurar que existe un factor integrante dado por la fórmula

µ(x)=exp(∫−2xdx)=x−2. Entonces, si multiplicamos la E. D. por

µ (x)=x−2 se obtiene la ecuación exacta (2+yx−2)dx+(y−x−1)dy=0.Por el método usual, encontramos que la función F tal que

Fx=2+yx−2 y Fy=y−x−1 es F(x,y)=2x−yx−1.+12y2. Por tanto, la

solución de la E. D. exacta, y también de la de partida, resulta

ser 2x−yx−1.+12y2=C.

Ecuaciones lineales de primer orden

Son de la forma

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y'+a (x )y=b (x ).

Hay tres métodos de resolución: (i) Encontrar un factor integrante de la forma µ(x). (ii) Resolver la ecuación lineal homogénea asociada y'+a(x)y=0

(que es de variables separadas), cuya solución esy=Cexp(−∫a(x)dx), y usar el método de variación de lasconstantes (esto es, cambiar C por C(x) en la expresiónanterior y sustituir en la ecuación lineal).

(iii) Encontrar de alguna forma una solución particular yp(x), conlo cual la solución general de la lineal es yp más lasolución general de la homogénea asociada.

(iv) Descomponer y(x)=u(x)v(x), sustituir en la lineal, e igualara 0 el coe ciente de fi u, resolviendo la ecuación que aparece (v'+a(x)v=0, que es de variables separadas); tras esto, quedauna ecuación en u(x) de variables separadas.

De cualquier modo se obtiene la solución general de la E. D.lineal es

y=(−∫a (x )dx) [∫b (x )exp (∫a (x )dx)dx+C]Ejemplo.

2xy'−3y=4x2

(i) Tenemos la ecuación lineal y'−32x

y=2x, es decir,

dy=( 32x

y+2x)dx,que es de la forma Pdx+Qdy=0 con P(x,y)=

−32x

y−2x y Q(x,y)=1.

Como Py−Qx

Q=

−3 (2x )−01

=−32x

, existe el factor integrante

µ(x)=exp (∫−32x

dx)=x−3/2.

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Así, la ecuación (−32 x−52 y−2x−1 /2)dx+x−3 /2dy=0 es exacta.

La función potencial F debe cumplir Fy=x−3/2, luego F=x−3/2y+φ(x).

Por otra parte, Fx=−32x

−52 y−2x

−12 =

−32x

−52 y+φ' (x ), de donde

ϕ (x)=−2x−12 dx=−4x

12.

Por tanto, F (x,y )=x−32 y−4x1/2, y la solución de la E. D. es

x−3/2y−4x1 /2=C, es decir, y=Cx3 /2+4x2,C∈R.

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2. MÉTODO EULER

Llamado así en honor de Leonhard Euler, es un procedimiento deintegración numérica para resolver ecuaciones diferencialesordinarias a partir de un valor inicial dado.

Teniendo la curva solución de una ecuación diferencial, trazamosla recta tangente a la curva en el punto dado por la condicióninicial.

Debido a que la recta tangente aproxima a la curva en valores cercanos al punto de tangencia, podemos tomar el valor de la rectatangente en el punto  como una aproximación al valor deseado 

. 

Así, calculemos la ecuación de la recta tangente a la curvasolución de la ecuación diferencial  dada   en el punto ¿. De loscursos de Geometría Analítica, sabemos que la ecuación de la rectaes: 

                                             y=m (x−x0 )+y0    

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donde  m  es la pendiente. En este caso, sabemos que la pendientede la recta tangente se calcula con la derivada:

 

Por lo tanto, la ecuación de la recta tangente es: 

 

Ahora bien, suponemos que    es un punto cercano a  , y por lotanto estará dado como  . De esta forma, tenemos lasiguiente aproximación:

De aquí, tenemos nuestra fórmula de aproximación: 

 

Esta aproximación puede ser suficientemente buena, si el valor deh es realmente pequeño, digamos de una décima o menos. Pero si elvalor de  h es más grande, entonces podemos cometer mucho error alaplicar dicha fórmula. Una forma de reducir el error y obtener de

hecho un método iterativo, es dividir la distancia   en  n  partes iguales (procurando que estas partes sean de longitudsuficientemente pequeña) y obtener entonces la aproximación en  n  pasos, aplicando la fórmula anterior  n  veces de un paso a otro,

con la nueva  h  igual  a  .

En una gráfica, tenemos lo siguiente: 

Ahora bien, sabemos que: 

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  Para obtener    únicamente hay que pensar que ahora el papel de 

 lo toma el punto , y por lo tanto, si sustituímos losdatos adecuadamente, obtendremos que: 

 

De aquí se ve claramente que la fórmula recursiva general, está dada por: 

 

Esta es la conocida fórmula de Euler que se usa para aproximar elvalor de   aplicándola sucesivamente desde    hasta   enpasos de longitud  h. 

Ejemplo.

Dada la siguiente ecuación diferencial con la condición inicial: 

Aproximar  .

NotaPrimero observamos que esta ecuación sí puede resolverse por métodos tradicionales de ecuaciones diferenciales. Por ejemplo, podemos aplicar el método de separación de variables. Veamos las dos soluciones. 

Solución Analítica.

 

   

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Sustituyendo la condición inicial: 

    

 

Por lo tanto, tenemos que la curva solución real está dada: 

 

     

Y por lo tanto, el valor real que se pide es:  

Solución NuméricaAplicamos el método de Euler y para ello, observamos que la distancia entre   y   no es lo suficientemente pequeña.Si dividimos esta distancia entre cinco obtenemos un valor de 

 y por lo tanto, obtendremos la aproximación deseada en cincopasos. 

De esta forma, tenemos los siguientes datos: 

 

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Sustituyendo estos datos en la fórmula de Euler, tenemos, en un primer paso:    

 

Aplicando nuevamente la formula de Euler, tenemos, en un segundo paso: 

 

Y así sucesivamente hasta obtener  . Resumimos los resultados enla siguiente tabla: 

n0 0 11 0.1 12 0.2 1.023 0.3 1.06084 0.4 1.124455 0.5 1.2144

Concluímos que el valor aproximado, usando el método de Euler es: 

 

Puesto que en este caso, conocemos el valor verdadero, podemosusarlo para calcular el error relativo porcentual que se cometióal aplicar la fórmula de Euler. Tenemos que: 

3. MÉTODO DE RUNGE – KUTTA

Los métodos desarrollados por Runge (1885), Kutta (1901), Heun(1900) y otros para la solución de problemas con valor en lafrontera. Este consiste en obtener un resultado que se obtendría

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al utilizar un número finito de términos de una serie de Taylor dela forma:

Reajustando para los valores de f(x) y haciendo f(x)' = y + hf(x),se tiene:

Las reglas o fórmulas de Runge-Kutta de orden cuatro para laecuación diferencial:

y'=f(x,y)

Ejemplo. Usar el método de Runge-Kutta para aproximar y(0,5)

dada la siguiente ecuación diferencial:

Identificamos la ecuación y se procede con los datos:

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Para poder calcular el valor de , debemos calcular primeros los valores de

Se tiene entonces que: 

con el fin de un mayor entendimiento de las fórmulas, vea la siguiente iteración:

El proceso debe repetirse hasta obtener:

En la siguiente tabla, se resumen los resultados de las iteraciones:

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Se concluye que el valor obtenido con el método de Runge-Kutta es:

y(0.5)≈1.28403

Finalmente se calcula el error relativo verdadero:

Con lo cual se ve que efectivamente se ha reducido mucho el error relativo. De hecho se observa que tenemos 6 cifras significativas en la aproximación.

BibliografíaVarona Malumbres, Juan Luis. Métodos clásicos de resolución deecuaciones diferenciales ordinarias. Ed. Universidad de la Rioja.España. 1996.

Canale, R.P., Chapra, S.C. Métodos numéricos para ingenieros.McGraw Hill. 5 ed. México.

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