Unidad 3 ECUACIONES DIFERENCIALES

Unidad 3

ECUACIONES DIFERENCIALES

ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias De Primer Orden

3 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER

ORDEN

3.1 Ecuaciones diferenciales ordinarias de variable separableSe representa de la forma: F (x, y, y’) = 0……………….. (1)x: variable independientey: variable independiente

y’= : primera derivada

D e (1) despejamos la derivada: = g (x,

y)

3.1 Ecuaciones Diferenciales Ordinarias De Variable Separable

Si = g(x, y) podemos expresar de la

forma:

M (x) + N (y) =0 …….…………............................... (2)

M es una función solo de (x) y N es unafunción solo en (y), entonces a la ecuación(2) se le denomina “ecuación diferencialordinaria de variables separables”, la

135


solución general se obtiene por integracióndirecta.

, c es la constante deintegración

Ejemplos:

Resolver las siguientes ecuacionesdiferenciales:

1.Solución: Separamos las variables eintegramos

2. Solución: La ecuación diferencial la

expresamos así:

Separamos

variables

Integramos

136


,

(es la fracciónparcial.)

, ,

Encontrar la solución particular de laecuación diferencial

3. ,

Solución: Ordenamos la ecuación eintegramos

137


Reemplazamos lascondiciones iniciales

4. ;

Solución: Luego de ordenar la ecuaciónqueda así:

138


3.2 Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Reducibles A Variables Separables

Sean ecuaciones diferenciales de la forma:

………………………………………... (1)

Son constantesEstas ecuaciones no son de variableseparable, empleamos la sustitución

………………………………..……….....… (2)reduce la ecuación (1) a variablesseparables

………...……….……………….………… (3)

Reemplazamos (3) y (2) en (1)

Ecuación de variable

separable,

Integramos

139


Ejemplos:

Resolver las ecuaciones diferencialessiguientes:1. y constantespositivos diferentes Solución: Empleamos la sustituciónsugerida

y ,

luego

Separamos variables e

integramos.

140


Cambio devariable

2.

Solución: La ecuación diferencialexpresamos en la forma:

Reemplazo en la ecuación

Haciendooperaciones

141


Integramos

Regreso a la

variable original

3.

Solución: Empleamos la sustitución:

Reemplazo en la

ecuación.

Haciendooperaciones

Separamos

variables

Integramos

Otras ecuaciones diferenciales ordinariasque conducen a separación de variables son:

142


4. Solución: Despejamos

5. Cuando

Solución: Separamos variables eintegramos:

Como Cuando ,

entonces

143


144


PROBLEMAS PROPUESTOSResuelva las siguientes ecuaciones medianteseparación de variables.

1. R:

2.

R:

3. R:

4. Sug:

R:

5. R:

6. R:

145


7. R:

8.

R:

9.

R:

10. R:

11. R:

12. R:

13.

R:

14. Cuando

146


R:

15. R:;

Resolver el problema de valor inicial deprimer orden

1. R:

2. R: 3.

R:

4.

R:

5.

R:6.

R:

147


Resolver el problema de valor inicial ydetermine el intervalo de existencia.

1.

R:

2.

R:

3.3 Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Homogéneas.

Una función en dos variables se llamahomogénea de grado si cualquier f (x, y)se cumple:

Ejemplos:

Demostrar si f es homogénea y dar el grado.1.

Solución: Aplicamos la condición.

148


Es homogénea de grado 4.

2.

Es homogénea de grado 0

3.

No es homogénea

IMPORTANTE

La ecuación diferencial ………………………………………… (1)

Se denomina homogénea si:

149


M es homogénea de grado

N es homogénea de grado

M y N son homogéneas y del mismo grado.

Ejemplos:Demostrar si las siguientes ecuaciones sonhomogéneas.

1.

Solución: Verificamos si M y N sonhomogéneas y del mismo grado

M es homogénea, grado 1

N eshomogénea, grado 1

150


La ecuación diferencial es homogénea,grado 1.

2.Solución: procedemos como en el caso

anterior

M eshomogénea, grado 2

N es homogénea,grado 3

La ecuación diferencial no es homogéneaya que M y N son de grados diferentes

Nota:Cuando una ecuación de la forma 1 eshomogénea, se puede resolver empleando unade las siguientes sustituciones algebraicas

Donde u y v son nuevas variablesdependientes que reducen la ecuaciónhomogénea a ecuación diferencial ordinariade variables separables.

El siguiente es un modelo que no debe sermemorizado:

151


,

es el gradode la ecuaciónhomogénea

Dividimosentre

Separamos

variables

Integramos esta última expresión y

regresamos a la variable original, si hay

condiciones iniciales, reemplazamos y

obtenemos la solución particular.

152

Sugerencia:Conviene emplear la sustitución

, cuando M(x,y) es de estructuramas simple que N(x,y).


Ejemplos:Resolver las siguientes ecuacionesdiferenciales, usando la sustituciónadecuada.

1.Solución: Conviene emplear

Ya que M(x,y) es de estructura más simpleque N(x,y).

El segundo término se integra porfracciones parciales:

Integramos y regresamos a variablesoriginales.

2.

Solución: Ordenamos la ecuación.153


Es una ecuaciónhomogénea, grado 2

Es la sustitución

Solución General.

En la solución general, reemplazamos.

Solución Particular3.

Solución: Analizamos si la ecuación eshomogénea:

Homogénea de grado 1 Homogéneade grado 1

Luego:Homogénea, grado 1

Es lasustitución

154


Integramos y regresamos a la variableoriginal:

Solución

General.

Solución

Particular.

155


PROBLEMAS PROPUESTOS

Determine si la función dada es homogénea,en este caso determine su grado.

1. Homogénea,

grado en x e y

2. Homogénea,

grado -1 en x e y

3. No es

homogénea

4. Homogénea, grado 0

en x e Verificar si las siguientes ecuaciones sonhomogéneas y resolverlas empleando lasustitución adecuada.

1. R:

2.

R:

3.

156


R:

4. R:

5. R:

6. R:

7. R:

8.

R:

9.

R:

10. R:

Resolver las ecuaciones diferenciales conlas condiciones iniciales dadas.

157


1. , CI:R:

2. CI:

R:

3. CI:

R:

4. CI:

R:

5. CI:

R:

6. CI:

R:

7. CI:

158


R:

8. CI: R:

9. CI:

R:

10. CI: R:

159


3.4 Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Reducibles a Homogéneas

Las ecuaciones diferenciales de la forma:

…………………..……...(1)No son homogéneas ya que aparecen lasconstantes y Para resolver la ecuación (1) consideramoslas ecuaciones:

…………..……….. (2)

Tenemos los siguientes casos:

CASO 1:

i)

Encontramos el determinante del sistema (2)

Cuando , empleamos como cambio devariable:

160


Sustitución:

Diferencial

Reemplazamos la sustitución y diferencialen i), esta se reduce a la forma:

Y corresponde a separación de variables.Si graficamos las rectas. Figura 1.

No secortan

El sistema

no tiene solución

161

x

y

o

2L

1L


(Incompatible)

Ejemplo:

1.Solución: Encontramos el valor deldeterminante del sistema:

Sustitución:

Reemplazamos en la ecuación:

Integramos y regresamos a la variableoriginal.

162


Solución General.

CASO 2ii)

Encontramos el determinante del sistema(2).

La solución del sistema es único,gráficamente las dos rectas se cortan enun punto . Figura 2.

163

x

y


Figura: 2.

Donde son las soluciones delsistema (2)La sustitución:

Reducen ii) a la forma:

Donde ha desaparecido el términoindependiente, la ecuación se convierte enhomogénea que resolvemos mediante:

Ejemplo:Resolver la siguiente ecuación

2.Solución: Encontramos el valor deldeterminante del sistema:

164

o


La solución es única, resolvemos elsistema:

Luego:

Reemplazamos en la ecuación:

Ecuaciónhomogénea de grado 1

,Reemplazamos en la ecuación

Separamosvariables

Integramos y regresamos a la variableoriginal:

SoluciónGeneral

3. ………………………………………(3)Solución: Empleamos la sustitución

165


Se reemplaza en laecuación (3)

………………………... (*)

Término Grado

Para que la ecuación (*) sea homogéneadebe cumplirse:

Luego:

En la ecuación (3)De donde

En la ecuación homogénea de grado 2

Reemplazamos en la ecuación homogénea

Simplificamos y

separamos variables

Integramos

166


Ya que: 4. ………………..

(4)Solución: La sustitución adecuada es:

Reemplazamos en (4)

……………………….…(*)

La solución es única, resolvemos elsistema::

Sean: Reemplazamos en (*)

Ecuaciónhomogénea de grado 1

Sea:

Reemplazamos en la

ecuación homogénea

167


Integrando

Ya que:

168



1.

R:

2.R:

3.

R:

4. Sug: ,

R:

5.

R:

6.

169


R:

7. , CI:

R:

8.R:

9.

R:

10. Sug:

R:

170


3.5 Ecuaciones Diferenciales OrdinariasExactas

La ecuación diferencial:

…………………………………………. (1)Se dice que es exacta si sus términoscorresponden al diferencial total deuna función es decir:

Donde,

……………………………………………………… (2)

………………………………………………….…… (3)

171


Una condición necesaria y suficiente para

que la ecuación (1) sea exacta es:

…………………………………………………………. (4)En una región R del plano .

Solución de una Ecuación Exacta.

Siempre que se cumpla la condiciónnecesaria y suficiente (4) se sugiere losprocedimientos siguientes:

i) Consideramos (2)

Integramos………………………………… (5)

Donde: es Constante

172


Integramos

Este resultado reemplazamos en (5)

…. (6)La solución general se expresa en laforma: si hay condicionesiniciales reemplazamos y obtenemos elvalor de la c para la solución particular

ii) Partimos de (3)

Integramos…………………………………...

(7)

173


Este resultado reemplazamos en (7)

…. (8)La solución general es: Reemplazamos las condiciones iniciales,si las hay, obtenemos c y escribimos lassolución particular,

iii) Si pertenece a la región R delplano , entonces:

En la

práctica

En el primer término integramos respectoa x y el segundo respecta a y.Los términos que se repiten se escribenuna sola vez. La solución general es

174


Si hay condiciones inicialesreemplazamos.

Resolver las siguientes ecuaciones:

Solución: Escribimos la ecuación en la forma (1) y

comprobamos la condición.

Partimos de:

175


………………………….... (*)

Reemplazamos en (*)

Luego:Se llega a la misma respuesta por losotros métodos.

Solución: Comparamos si se cumple lacondición.

Integramos:

176


Luego:

CI:Solución: Se cumple la condición: Luego:

, la soluciónparticular es:

FACTORES INTEGRANTES (fi)

Si: es una ecuacióndiferencial donde:

Entonces buscamos un factor

integrante (fi) tal que: le

transforme en ecuación exacta y se cumpla

177


Condiciones:

i)son continuas en una vecindad del

ii) son continuas en una región R del plano

.

iii)

Donde: .

CASOS1) factor integrante depende de x.En la parte final de la condición iii)

178


Si los términos de la derecha correspondena una función f que depende únicamente de xtenemos:

Es una función continua de x en unaregión R del plano

Supongamos variablesIntegramos

Es el fi. por el que debemos multiplicar laecuación para convertirla en exacta.

Ejemplo:

Resolver la siguiente ecuación.1. CI:

Solución: Aplicamos la condiciónnecesaria y suficiente.

179


Encontramos

El factor integrante es:

Luego:

La ecuación es exacta,

integramos

180


;

2) factor integrante depende de y.En la parte final de la condición iii)

Si los términos de la derecha correspondena una función g que depende únicamente de ytenemos:

Es una función continua de y en unaregión R del plano

Supongamos variablesIntegramos

Es el fi por el que debemos multiplicar laecuación para convertirla en exacta.

181


Ejemplo:

Resolver la siguiente ecuación:

2.Solución: Aplicamos la condiciónnecesaria y suficiente

Encontramos

El factor integrante es:

Luego:

182


La ecuación es exacta,

integramos

3) Para una ecuación

diferencial donde: ,Nentonces:

para

apropiadas.Luego: es el factorintegrante.Multiplicamos la ecuación por este fi, debe

cumplirse:

Integramos la ecuación:

Ejemplo:

Resolver la siguiente ecuación.

183


3.Solución: Aplicamos la condiciónnecesaria y suficiente.

Luego:

Veamos si existen tal que:

a)

184


No es la adecuadab)

: Son las adecuadas.Luego:

Es el fi, multiplicamos

la ecuación.

Se cumple:

185


Luego de integrar, la solución es:

4) El factor integrante es de la forma: n y m son valores por

determinarse.

Ejemplo:

Resolver la siguiente ecuación:

4. , consideramosque el es de la forma: Solución: Multiplicamos la ecuación dadapor el factor integrante:

Debe cumplirse la condición:

186


Luego:

Tenemos el sistema de ecuaciones:

Luego de multiplicar la ecuación tenemos:

Donde:

Integramos, la solución es: Existen otras alternativas para

determinar factores integrantes.PROBLEMAS PROPUESTOSDetermine si la ecuación es exacta yresuélvala.1.

R:

187


2.

R:

3.

R:4.

R:Verifique que la ecuación no es exacta.Determine el factor integrantecorrespondiente, multiplique la ecuación ycompruebe que la nueva ecuación es exacta,resuélvala.5.

R:

6. R:7.

8.

9.10. R:

11.

188


R:

Resolver las siguientes ecuacionesdiferenciales:

12. R:

13.

R:

14. R:

15.

R: 16. R:

17.R:

18.

189


R:

19.

R:

20.

R:

190


3.6 Ecuaciones Diferenciales OrdinariasLineales

La ecuación es unaecuación lineal “ ” se puede expresar enla forma:

Se divide entre

………………………………………………… (1)

y :funciones continuas en un intervaloI donde se define la ecuación diferencial.

…………………………….…..(2)

: Es un factor integrante queconvierte a la ecuación en exacta.

Condición necesaria y suficiente para queuna ecuación sea exacta

Es una ecuación de variables

separables.191


Integramos.

Es el de la ecuaciónlineal multiplicamos (2)

……………………………………. (4)

El lado izquierdo de (3) es la derivada delproducto del y la

Luego integramos de(4)

…………………...… (5)Solución general (5).

Procedimiento para resolver una ecuacióndiferencial lineal de primer orden.

1) Escribimos la ecuación dada en la forma:

tiene como

coeficiente 1192

fi v


2) Identifique la función y determineel factor integrante ,

3) Multiplicamos el factor integrante por lavariable dependiente y en el lado derechointegramos el producto del factorintegrante por la función .

4) El lado izquierdo de 3 es la derivada delproducto del factor integrante y lavariable dependiente.

5) Integrar la ecuación del paso 4), lasolución general se escribe:

6. Si hay condiciones iniciales remplazamosen la ecuación anterior, obtenemos C yescribimos la solución particular.

Ejemplos:

Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales

1.

Solución:193


Identificamos P(x), obtenemos el factorintegrante y resolvemos la ecuación

; Es una ecuación lineal

de 1er orden en y P(x) = 2

;

Aplicamos integración tabular, lasolución general es:

2. ;

;

Solución: Ordenamos la ecuación

194


; Es una ecuación lineal de

1er orden en T; P(t) = -K

; El factor

integrante es:

;

Solución general , ;

Solución particular

3. , ;

Solución: Ordenamos la ecuación

; Es una ecuación lineal

en i; P(t) = -R/L

195


; El factor

integrante es: .

; Solución general

, ;

Solución particular

4. ;

Solución: la ecuación no es separable, homogénea, exacta, lineal en y, tomamos la reciproca:

; Es una ecuación

lineal en x; P(y) = 1/y; El factor integrante es:

.; Solución general

;

196


; Al remplazar la

condición inicial

5. ;

Solución: Resolvemos en cada intervalo

5.1) , ,

; Es el f i

,

5.2) ,

; Es el f i

Aplicamos límites parahallar c2

197


198


La solución se escribe para cada intervalo:

La representación gráfica de la solución sepresenta en la Fig. 1

Fig. 1

199

X(t)

t

1

0.5

1


200



Determine la solución general de la ecuación diferencial. Calcule el mayor intervalo en el cual este definida la solución general.

1. R:

2.

3. R:

4.

5.

y(0) = 0

201


R:

6.

y(0) = 2

R:

7.

Donde cuando

R: 8.

R:

9.

R:

202


10.

R:

Hallar la solución particular de la ecuación diferencial con las condiciones iniciales:11.

R:

12.

R:

13. y es acotada cuando

R: 14. cuando

R:

15. ,

R:

16. R:

203


17. R:

3.7 Ecuación de Bernoulli

Son ecuaciones diferenciales que tienen la forma:

………………

………… (1)

Cuando n=0 o n=1 la ecuación (1) es lineal en y.

Para su resolución primero se transforma a una ecuación diferencial lineal, mediante el procedimiento siguiente:

……………………………………….. (2)

La ecuación (1) se multiplica por

Cambio de variable

Reemplazo en la

ecuación (2)204


Es una

ecuación lineal en v

Se resuelve como ecuación lineal en v que es la variable dependiente siendo:

, el factor integrante (fi), esto es:

Ejemplo:

Resolver las ecuaciones diferenciales siguientes:

1.

Solución.- Dividimos cada Termino por y4

205


Reemplazo en

la ecuación

Es la ecuación

lineal en v Es el fi

Ecuación de Ricatti

Es una ecuación diferencial no lineal cuyo modelo es:

………………………………………. (1)

son funciones solo de x

Para su resolución sabemos que Y1 es una solución conocida, entonces la sustitución:

206


…………………………………………………..(2)

Nos permite solucionar (1)

Ejemplos:Resolver la siguiente ecuación:

1. : solución

conocida

Solución: Aplicamos la sustitución sugeriday remplazamos:

Es una ecuación

de Bernoulli

2.

Solución: Cada término dividimos por y2:

207


Reemplazo en

la ecuación

Ecuación

lineal en vEs el fi

Luego:

Es la solución

general

Es una ecuación

lineal en zIntegramos y

remplazamos en y

Solución

general

208

Integramos cada


PROBLEMAS PROPUESTOSResolver las siguientes ecuaciones diferenciales.

1. R:

2. R:

3. R:

4. R:

5. R:

6. R:

7.

R:

209


8.

R:

9.

R:

10.

R:

11. 3.8 Ecuaciones Diferenciales de Primer

Orden no Resueltas Respecto a la Derivada

1. Ecuación de prime orden y de grado n con respecto a y’

La ecuación diferencial:

……………… (1)

210


Es de primer orden y grado n, resolvemos esta ecuación respecto a y’ donde:

………. (2)

Son las soluciones reales de (1)

El conjunto de las integrales:

, ,….,, donde es la integral de la

ecuación:

, i=1,2,…,k

Representa la integral general de la ecuación (1)

Por cada punto del dominio en que y’ toma valores reales, pasan “K” curvas integrales.

Integrar las siguientes ecuaciones:

1.

211


Solución.- Factorizamos y resolvemos cada producto

La solución general es la unión de los casos:

2.

Solución: Despejamos y’ resolvemos cada caso:

2.1.

212


Es una ecuación homogénea, grado 1

Empleamos la sustitución:

La ecuación se reduce a:

Integramos, mediante sustitución trigonométrica

213

u

1

Fig. 1


Regresamos a las variables iniciales

Es la solución

Cuando resolvemos:

, Llegamos a la respuesta

anterior

2.2.

Resolvemos mediante

separación de variables

ya que:

La ecuación de la ecuación es:

2. Ecuaciones de la forma:

2.1. Si podemos despejar: , luego:214


Resolvemos como ecuación diferencial de variable separables

2.2. Despejamos:

Si: …

(a) Además:………………(b)

a = b

La solución general se escribe en forma paramétrica:

P: parámetro

215


Integrarla siguientes ecuaciones:

1.

Solución: Remplazamos despejamos y:

Ahora diferenciando

tenemos que: dy =

Pdx

Integramos

La solución en forma paramétrica es:

P:

parámetro

216


1)

Solución: Remplazamos , la solución enforma paramétrica es:

P: parámetro

2.3. Si en la ecuación no esconveniente despejar ni y ni y’ pero estasultimas pueden expresar en formaparamétrica mediante algún parámetro t

……………………………………..(a)

……………………………………..(b)

a = b; Luego

; Integramos


217


P: parámetro


1.

Solución: Usamos las siguientes reemplazos:

…………. (a)

…………………. (b)

a = b

Luego de integrar la solución en formaparamétrica es:

P:

parámetro

218


2.

Solución: los reemplazos son:

………………………………(a)

………………………..……...... (b)

a = b

219


Luego de integrar la solución en forma paramétrica es:

P: parámetro

3. Ecuaciones de la forma:

Si en la ecuación , se puede despejar x:

, para obtener la solución se hace : y’ = P

……………………………(a)

Además: ……………..

…………………...(b)a = b

La solución general en forma paramétrica es:

P:

parámetro


220


1.

Solución:

Despejamos x, consideremos

Luego de integrar la solución en forma paramétrica es:

P: parámetro

2.

Emplear la sustitución Solución: Remplazamos la sustitución en la ecuación

221


………………………………….(a) Encontramos

Los valores de las constantes son: A=0; B=2; C=0; D=-2; E=1; F=1


222


P: parámetro

223


Ecuación de Lagrange

Tiene la forma:

Solución: consideramos

Formando diferenciales

Ordenamos

Es una

ecuación lineal en x

Es el factor integrante

=

224


=

La solución general en forma paramétrica es:

P: parámetro

Integrar la siguiente ecuación

1.

Solución: Es una ecuación de Lagrange,aplicamos los pasos del modelo

Es una

ecuación lineal en x

225


Factor integrante

Integramos por

partes

La solución en forma paramétrica queda:

P: parámetro

226


Ecuación de Clairaut

Tiene la forma:

Solución: Se resuelve como la ecuación de Lagrange

………………………………………….………….(a)

Reemplazamos en (a); Es la solución

general, corresponde a un haz Monocromático parametrito de

rectas.

y

Integrar la ecuación:

1.

Solución: Aplicamos el procedimientoexplicado

227


Reemplazo en laecuación

Es la solución general,

representa a una faz monocromático de rectas.

Para halla la solución singular eliminamosP del sistema de ecuaciones:

1. en 2)

2.

Desde el punto de vista geométrico la curva es la envolvente del haz de rectas

determinado por la solución general Fig.2

228 axy 22

Fig 2.


PROBLEMAS PROPUESTOSIntegrar las siguientes ecuaciones:1. R:

2. R:

3. R:

4.

229


R:

5.

R:

6.

R:

7.

R:

8.

R:

9.

R:

230


10.

R:

231

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