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COLEGIO TÉCNICO PROFESIONAL DARÍO SALAS CHILLÁN Cuadernillo de Aprendizaje en Matemática para logros en PSU, Educación Superior y/o Ramas Uniformadas Contenidos, Ejercicios Resueltos y Problemas Propuestos Colaboradores Director CDS-Técnico Profesional: Don Jorge Molina Autores Profesores de Matemática CDS-Técnico Profesional 1

CUADERNILLO ECUACIONES

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COLEGIO TÉCNICO PROFESIONALDARÍO SALASCHILLÁN

Cuadernillo de Aprendizaje en Matemática para logros en PSU, Educación Superior y/o

Ramas UniformadasContenidos, Ejercicios Resueltos y

Problemas Propuestos

Colaboradores

Director CDS-Técnico Profesional: Don Jorge Molina

Autores

Profesores de Matemática CDS-Técnico Profesional

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CHILLÁN

Í N D I C ECONTENIDOS PÁGINASPortada…………………………………………………………………………………………………………………… 1Índice……………………………………………………………………………………………………………………... 2Introducción……………………………………………………………………………………………………………. 31er Capítulo: Números 1) Número Naturales y Cardinales……………………………………………………………………… 42) Números Enteros....………………………………………………………………………………………... 43) Números Primos, Compuestos y Descomposición en Factores…………………………. 4-54) Ejercicios Resueltos de Números Naturales, Números Enteros y Valor Absoluto……... 55) Ejercicios Propuestos de Números Naturales, Números Enteros y Valor Absoluto…….. 6-76) Números Racionales………………………………………………………………………………………. 7-97) Ejercicios Resueltos de Números Racionales…………………………………………………… 98) Ejercicios Propuestos de Números Racionales………………………………………………… 10-119) Potencias en Q ………………………………………………………………………………………………………... 1110) Ejercicios Resueltos de Potencias en Q ……………………………………………………………………. 1211) Ejercicios Propuestos de Potencias en Q …………………………………………………………………. 13-142do Capítulo: Álgebra12) Valoración de Expresiones Algebraica ……………………………………………………………………. 1413) Ejercicios Resueltos de Valoración de Expresiones Algebraica ………………………………… 1414) Ejercicios Propuestos de Valoración de expresiones Algebraicas …………………………….. 1515) Ecuaciones de Primer Grado ………………………………………………………………………………….. 1516) Ejercicios Resueltos de Ecuaciones de Primer Grado ………………………………………………. 16-1717) Ejercicios Propuestos de Ecuaciones de Primer Grado …………………………………………….. 17-18

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18) Términos Semejantes……………………………………………………………………………………………… 18-1919) Operatoria Algebraica ………………………………………………………………………………………......... 1920) Productos Notables ………………………………………………………………………………………………... 1921) Ejercicios Resueltos Términos Semejantes, Operatoria y Productos notables…………….. 2022) Ejercicios Propuestos términos Semejantes, Operatoria y Productos Notables…………... 21-22

INTRODUCCIÓN La matemática es una de las ciencias más esquivas por parte de los alumnos desde la enseñanza básica, pasando por la enseñanza media y luego por la universidad. Por otra parte nuestro querido país Chile no está exento de esta matemática, encuestas revelan que en los últimos 10 años somos los jaguares más malos en matemática de Sudamérica en cuanto a esta disciplina. ¿Qué está pasando serán los profesores de matemáticas malos, los alumnos serán flojos, o el sistema educacional chileno sólo está siendo gobernado por gente que no tiene que ver con educación y que lo único que quiere es ver mano de obra barata para que los alumnos no vayan al sistema educacional superior?No podemos dar una respuesta clara pero hay cierta disparidad en educación pública y privada, esto se ve reflejado en el actual sistema de PSU (Prueba de selección universitaria) que cada vez está más elitista ya que las preguntas de matemática ya están en otro nivel y van dirigidas sólo a alumnos de colegios particulares lo cual deja de lado al sistema público o colegios subvencionados municipales quienes tienen que hacer esfuerzos descomunales para la formación de alumnos en la asignatura de

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matemática para que dichos alumnos puedan optar a dar una prueba medianamente regular en la PSU.El siguiente apunte es un cuadernillo de Aprendiza en Matemática con contenidos, Ejercicios Resueltos y Ejercicios Propuestos que va dirigido a los alumnos de CDS-Técnico Profesional, pues bien el alumno esquivo probablemente diga pero no me gusta la matemática pero la matemática ayuda a desarrollar el pensamiento lógico y te abre puertas en otras áreas, tales como rendir una buena PSU, entrar a la Educación Superior o dar la prueba para entrar a las ramas uniformadas.Simplemente la matemática te sirve hasta para ir a comprar y no te pasen gato por libre con el vuelto, calcular costos, intereses, ganancias, eso en la vida cotidiana normal. Ahora si planeas ser ingeniero, físico, matemático, o estudiar alguna carrera que tenga alguna asignatura de matemática afín tienes que saber si o si, esta disciplina hermosa pero a la vez incomprendida.Así que a ti alumno motívate en los años de tu enseñanza media que la PSU y la Educación Superior están a la vuelta de la esquina que la matemática no es difícil ya que sólo se necesita un 25% de tu capacidad intelectual para resolver ejercicios matemáticos, tú puedes así que anímate y a estudiar matemática.

1°CAPÍTULO: NÚMEROS1) NÚMEROS NATURALES Y CARDINALES (IN, IN0)Los elementos del conjunto lN = {1, 2, 3,…} se denominan “números naturales”. Si a este conjunto le unimos el conjunto formado por el cero, obtenemos lN0 = {0, 1, 2,…} llamado “conjunto de los números cardinales”.2) NÚMEROS ENTEROS (Z)Los elementos del conjunto Z = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2,…} se denominan “números enteros”, algunos subconjuntos de Z son:

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Z+ = {1, 2, 3,…} enteros positivos Z0+ = {0, 1, 2,…} enteros no negativosZ- = {-1, -2, -3,…} enteros negativos Z0− = {0, -1, -2, -3,…} enteros no positivosA) Son cuadrados perfectos los enteros: 1, 4, 9, 16, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400, 441,...B) Son cubos perfectos los enteros: 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000,… y también: -1, -8, -27, -64, -125, -216, -343,…2.1) OPERATORIA EN (Z)A) ADICIÓN EN ( Z)I. Al sumar números de igual signo, se suman los valores absolutos de ellos conservando el signo común.II. Al sumar dos números de distinto signo, al de mayor valor absoluto se le resta el de menor valor absoluto y al resultado se le agrega el signo del mayor valor absoluto.B) MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN EN (Z)I. Si se multiplican o se dividen dos números de igual signo al resultado es siempre positivo.II. Si se multiplican o dividen dos números de distinto signo el resultado es siempre negativo.2.2) VALOR ABSOLUTOEs la distancia que existe entre un número y el 0 Notación de valor Absoluto: n n, si n ≥ 0 - n, si n < 0 2.3) PRIORIDAD DE LAS OPERACIONES PARA (IN), (IN0) Y (Z)Al realizar distintas operaciones a la vez, se debe respetar el siguiente orden:I) Resolver los paréntesis.II) Realizar las potencias.III) Realizar multiplicaciones y/o divisiones de izquierda a derecha.IV) Realizar adiciones y/o sustracciones de izquierda a derecha.

3) NÚMEROS PRIMOS, COMPUESTOS Y DESCOMPOSICIÓN EN FACTORES3.1) MÚLTIPLO Y DIVISOR: En la expresión a = b · c en que a, b y c son números enteros, a es múltiplo de b y de c o bien b y c son divisores o factores de a.

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A) MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (M.C.M.):Es el menor múltiplo común positivo de dos o más enteros.B) MÁXIMO COMÚN DIVISOR (M.C.D.):Es el mayor divisor común entre dos o más enteros.3.2) NÚMEROS PRIMOS: Son aquellos enteros positivos que tienen sólo dos divisores distintos. Los primeros números primos son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, …3.3) NÚMEROS COMPUESTOS: Son todos los enteros positivos mayores que uno que no son primos. Los primeros números compuestos son: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, …A) TEOREMA FUNDAMENTAL: Todo número compuesto se puede expresar de manera única como el producto de aquellos números que cumplen con la propiedad de ser factores de números primos.3.4) CÁLCULO DEL M.C.M. y M.C.D. MEDIANTE DESCOMPOSICIÓN EN FACTORES PRIMOSSe descomponen los números en factores primos:A) El M.C.M. se obtiene como producto de todos los factores primos. En el caso de existir factores primos comunes se considera aquel que posea el exponente mayor. B) El M.C.D. se obtiene como producto de los factores primos comunes considerando aquel que posea el exponente menor.

4) EJERCICIOS RESUELTOS DE NÚMEROS (IN), (Z) Y VALOR ABSOLUTO1) En cierto país nacen diariamente 3600 guaguas. ¿Cuántas guaguas nacen en promedio por hora en dicho país?A) 36 B) 72 C) 75 D) 150

Solución 1: 24 horas equivalen a 1 día, por lo tanto nos queda la siguiente división 3600 :24=150 , luego la respuesta es que nacen en promedio 150 guaguas en una hora. La alternativa correcta es D.2) 12+12:−6−8=?A) 10 B) 4 C) 2 D) -4

Solución 2: 12+12:−6−8 ¿12+(−2 )−8 ¿12−2−8 =10−8

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¿2 Alternativa correcta C3) |10|−10 ∙|−10|=?A) -110 B) -90 C)-10 D) 90

Solución 3: |10|−10 ∙|−10| ¿10−10∙10 ¿10−100 ¿−90 Alternativa correcta B4) −5 ∙−4+5 ∙−4=?A) -20 B) 20 C) 0 D) Ninguna

Solución 4: −5 ∙−4+5 ∙−4 = 20+(−20) ¿0 Alternativa correcta C 5) EJERCICIOS PROPUESTOS DE NÚMEROS (IN), (Z) Y VALOR ABSOLUTO1) 5−[4−3 ∙(2−1)]=A) 2B) 3C) 4D) 5

2) Si s y t son enteros positivos y st=72, ¿cuál es el menor valor posible de s+t ?A) 1B) 17C) 22D) 383) ¿Cuál es el valor de 37 ∙19−37 ∙18 ?A) 37B) -37C) 19D) 18

4) El sucesor par de -18 esA) -16B) -17C) -19D) -205) Si |p−6|=|−q| y p=−2, ¿cuál de los siguientes puede ser un valor de q ?A) -8B) -4C) 4D) 6

6) ¿Cuánto milímetros mide un cuerda cuya longitud es de 10 mts con 10 cmsA) 1.100 milímetrosB) 1.010 milímetrosC) 10.010 milímetrosD) 10.100 milímetros7

7) El sucesor del triple de -15 esA) -41B) -43C) -44D) -458) ¿Cuál de los siguientes es el mínimo valor que puede tomar la suma de dos números naturales cuyo producto es 48?A) 14B) 16C) 19D) 48

5.1) ALTERNATIVAS A LOS EJERCICIOS PROPUESTOS1) 2) 3) 4)5) 6) 7) 8)

6) NÚMEROS RACIONALESLos números racionales son todos aquellos números de la forma ab con a y b números enteros y b distinto de cero. El conjunto de los números racionales se representa por Q.

6.1) IGUALDAD ENTRE NÚMEROS RACIONALES 6.2) ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS RACIONALES Si ab , cd ∈ Q entonces:

OBSERVACIONES1. El inverso aditivo (u opuesto) de ab es - ab , el cual se puede escribir también como −ab o a−b 2. El número mixto A bc se transforma a fracción con la siguiente fórmula:

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6.3) MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE NÚMEROS RACIONALESSi ab , cd ∈Q , entonces:A) MULTIPLICACIÓNB) DIVISIÓN

OBSERVACIÓNEl inverso multiplicativo (o recíproco) de ab es (ab ¿¿−1 = ba , con a ≠ 0

6.4) RELACIÓN DE ORDEN EN Q

OBSERVACIONES1. Para comparar números racionales, también se pueden utilizar los siguientes procedimientos:a. igualar numeradores.b. igualar denominadores.c. convertir a número decimal.2. Entre dos números racionales cualesquiera hay infinitos números racionales.6.5) NÚMEROS DECIMALESAl efectuar la división entre el numerador y el denominador de una fracción, se obtiene un desarrollo decimal, el cuál puede ser finito, infinito periódico o infinito semiperiódico.a. Desarrollo decimal finito: Son aquellos que tienen una cantidad limitada de cifras decimales.Ejemplo: 0,425 tiene 3 cifras decimalesb. Desarrollo decimal infinito periódico: Son aquellos que están formados porla parte entera y el período.Ejemplo: 0,444.... = 0, 4c. Desarrollo decimal infinito semiperiódico: Son aquellos que están formados por la parte entera, un anteperíodo y el período.Ejemplo: 24,42323... = 24,4236.6) OPERATORIA CON NÚMEROS DECIMALES

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1. Adición o sustracción de números decimales: Para sumar o restar números decimales se ubican las cantidades enteras bajo las enteras, las comas bajo las comas, la parte decimal bajo la decimal y a continuación se realiza la operatoria respectiva.Así por ejemplo 0,19 3,81 + 22,2__ 26,202. Multiplicación de números decimales: Para multiplicar dos o más números decimales, se multiplican como si fueran números enteros, ubicando la coma en el resultado final, de derecha a izquierda, tantos lugares decimales como decimales tengan los números en conjunto.Así por ejemplo: 3,21 · 2,3 963 642__ 7,3833. División de números decimales: Para dividir números decimales, se puede transformar el dividendo y el divisor en números enteros amplificando por una potencia en base 10.Así por ejemplo: 2,24: 1,2 se amplifica por 100 224: 120 y se dividen como números enteros6.7) TRANSFORMACIÓN DE DECIMAL A FRACCIÓN1. Decimal finito: Se escribe en el numerador todos los dígitos que forman el número decimal y en el denominador una potencia de 10 con tantos ceros como cifras decimales tenga dicho número.Por ejemplo: 3,24 = 3241002. Decimal infinito periódico: Se escribe en el numerador la diferencia entre el número decimal completo (sin considerar la coma) y el número formado por todas las cifras que anteceden al período y en el denominador tantos nueves como cifras tenga el período.Por ejemplo: 2,15= 215−299

3. Decimal infinito semiperiódico: Se escribe en el numerador la diferencia entre el número completo (sin considerar la coma) y el número formado por todas las cifras que anteceden al período y en el denominador se escriben tantos nueves como cifras tenga el período, seguido de tantos ceros como cifras tenga el anteperíodo.Por ejemplo: 5,34 = 534−5390

7) EJERCICIOS RESUELTOS DE NÚMEROS RACIONALES (Q)10

1) 9100

+ 71000

+ 5100.000

=¿A) 0,975 B) 0,0795 C) 0,09705 D) 0,009705Solución 1: Como las alternativas están expresadas en decimales, me conviene pasar todas las fracciones a decimal y luego sumarlas 0,09+0,007+0,00005 = 0,09705. La alternativa correcta es C

2) ¿Cuál de los siguientes números se ubica en la recta numérica entre 0,35 y 0,48?A) 15 B) 25 C) 35 D) 45Solución 2: analizamos las alternativas transformando de decimal a fracción.A) 15 = 0,2 luego 0,4 se ubica entre

B) 25 = 0,4 0,35 y 0,48 0,35; 0,4; 0,48 Alternativa correcta B 3) En cuál de las siguientes alternativas se indica orden creciente?A) 67 < 89 < 78 B) 89 < 78 < 67 C) 78 < 67 < 89 D)67 < 78 < 89

Solución 3: orden creciente, es de menor a mayor 67 < 78 < 89 Alternativa correcta D8) EJERCICIOS PROPUESTOS NÚMEROS RACIONALES (Q)

1) 3 ∙102∙4 ∙102∙5 ∙10−5=¿A) 600B) 6C) 0,06D) 0,0062) 0,1 ∙ 0,2 ∙ 0,3 ∙ 0,5 =A) 3,0B) 0,3C) 0,03D) 0,003

3) 75 ( 37− 25 ) =A) 1

165

4) ¿Qué precio tiene una mercadería si los 23 de los 34 de ella valen $ 7.500?11

B) 135C) 125D) 915

A) $ 9.000B) $ 12.500C) $ 15.000D) $ 17.5005) Una persona compró dos séptimos de 3 12 docenas de naranjas. ¿Cuántas naranjas compró?A) 2 docenasB) 1 12C) 1 14D) 1 docena

6) Si a cinco enteros un medio se le suma el producto de tres octavos por cuatro quintos, se obtiene.A) 4 910B) 4 710C) 4 45D) 5 457) El valor 3

4−25

¿710−¿

815 ¿

es:A) 9

28B) 2110C) 65D) 2

8) 13− 11214

=A) 49B) 0C) 14D) 1

9) 0 ,42 =A) 1433B) 2150C) 3314D) 195

10) En una liquidación de temporada, los 23 de los 914 del precio de una camisa son $1.500. Entonces, el precio de la camisa, en pesos, es:A) 3.500B) 4.5007C) 13.7507D) 5.0008.1) ALTERNATIVAS A LOS EJERCICIOS PROPUESTOS

1) 2) 3) 4) 5)6) 7) 8) 9) 10) 12

9) POTENCIAS EN Q 9,1) Definición de Potencia: Es la operación en la cual la cantidad llamada base se debe multiplicar por ella misma las veces que lo indica el exponente cuya notación es:

9,2) Casos especiales o particulares de Potencias: Sea a base de una potencia se definen las potencias de exponente 0 y de exponente negativo cuyas notaciones son:

Observaciones en las Potencias: i)0n=0 , si n>0 ii)1n=1 iii)00 no está definido 9,3) Signos de una Potencia

Si a≠0 y n es par, entonces el resultado de an es positivo. Si a<0 y n es impar, entonces es resultado de an es negativo.

9,4) PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE POTENCIASSean a y b ∈Q−{0 } con m y n∈Z , tenemos las siguientes propiedades:

I) Multiplicación de potencias de igual base an ∙ am=an+m II) División de Potencias de Igual Base an:am=an−mIII) Multiplicación de Potencias de distinta an ∙ bn=(ab)n base e igual exponenteIV) División de potencias de distinta base e an:bn=(a :b)n igual exponenteV) Potencia de una Potencia

(a¿¿n)m=an∙m ¿

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10) EJERCICIOS RESUELTOS POTENCIAS EN Q1) −42−40=¿A) 15 B) 12 C) -12 D) -17 E) -20

Solución 1: = −4 ∙4−1 = −16−1 = −17 Alternativa correcta D2) ( 4

3)−2

=¿

A) −86 B) −89 C) 86 D) 916 E) 169

Solución 2: ( 34)2 = 3 ∙34 ∙4= 9

16 Alternativa correcta D3) 52 ∙53 = A) 256 B) 58 C) 56 D) 55 E) 150

Solución 3: 52+3 = 55 Alternativa correcta D4) 86 : (−8 )2=¿A) −812 B) −84 C) −83 D) 83 E) 84

Solución 4: = 86 : 82 = 86−2 = 84 Alternativa correcta E 5) (45 ∙35 ¿¿3=¿A) 1275 B) 1210 C) 1215 D) 1213 E) 128

Solución 5: ¿ = [125 ]3 = 125 ∙3 = 1215 Alternativa correcta C6) (0,6)3 :(0,3)3=¿A) (0,02)3 B) (0,2)3 C) 20 D) 23 E) 26

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Solución 6: = (0,6 :0,3)3 = ( 610 : 310 )3

= ( 610 ∙ 103 )3

= ( 6 ∙10 ∙ 103 )3

= ( 63 )3 = 23 Alternativa correcta D 11) EJERCICIOS PROPUESTOS POTENCIAS EN Q1) ¿A) -10B) -8C) -7D) -6E) -5

2) −10− {−32−[14 : (32−42) ]} =A) -12B) -10C) 8D) 6E) 33) 5−2 ∙10−2 ∙2−1

5−3 ∙10−3 ∙2−6=¿A) 80B) 10 ∙23 C) 20 ∙24 D) 25 ∙26 E) 50 ∙42

4) 63 ∙94 ∙33 ∙24=¿A) 547 ∙67 B) 187 C) 5412 ∙612 D) (6 ∙9 ∙3 ∙2¿¿14 E) 18125) 26 ∙162 ∙82 =A) 1610 B) 1624 C) 2102 D) 410 E) 25610

6) La tercera parte de la novena parte del cubo de 32 es igual aA) 9B) 33 C) 34 D) 35 E) 367) El cuádruplo de 45+45+45+45 corresponde a:A) 165 B) 1620 C) 421 D) 47 E) 46

8) a5 ∙ a3 ∙ a−1 =A) a15 B) a−15 C) a8 D) a7 E) a−7

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9) 58−25254

=¿A) 0B) 1 C) 58 D) 54−1 E) 58−1

10) (1+2¿¿0−¿ =A) 0B) 2C) 3D) 4E) 611) 3−2−9−1−27−1 =A) 19 B) −19 C) −1

27 D) 127 E) 27

12) ¿¿A) -16B) −116

C) 116 D) 16 E) 2

11.1) ALTERNATIVAS A LOS EJERCICIOS PROPUESTOS1) 2) 3) 4) 5) 6)7) 8) 9) 10) 11) 12)

2do CAPITULO: ÁLGEBRAEl álgebra es la prolongación de la aritmética representada con variables o letras que pueden ayudarnos a resolver problemas de la vida diaria, tales como, construir una casa, el pago de la luz, el pago del agua, etc.

12) VALORACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICASValorar una expresión algebraica consiste en sustituir las letras por los valores numéricos dados para luego realizar las operaciones indicadas. Esta sustitución va siempre entre paréntesis.13) EJERCICIOS RESUELTOS DE VALORACION DE EXPRESIONES ALGEBRAICA1) ¿Cuál es el valor de t – ts – (t - s) si t = -2 y s = 4?A) 16 B) 12 C) 0 D) -4 E) -16

Solución 1: = t – t ∙ s – (t – s) = -2 – (-2) ∙ 4 – (-2 – 4) = -2 – (-8) – (-6) = -2 + 8 + 6 = 16

= -2 + 14 = 12 Alternativa correcta B2) Si m = 2, entonces (5 – m)(m – 5) =A) -21 B) -9 C) 0 D) 9 E) 21

Solución 2: = (5 – m)(m – 5) = (5 – 2)(2 – 5) = 3∙(-3) = -9 Alternativa correcta B3) Si a = -1, b = -2 y c = -3, entonces a−b2 c3

abc =

A) -1096 B) -1086 C) 1076 D) -1076 E) 1096

Solución 3: =a−b2 ∙ c3a ∙b ∙ c = −1−¿¿ = −1−4 ∙−27−6 = −1+108−6 = 107−6 = −1076 Alternativa correcta D

14) EJERCICIOS PROPUESTOS DE VALORACION DE EXPRESIONES ALGEBRAICA1) El valor numérico de la expresión 2a2 - 3b2 para los valores de a=−3 y b=−2, es:A) -30B) -6C) 0D) 6

2) Si x = 2e y=−1, el valor de la expresión 2 x2 y−3 xy2+xy es:A) -16B) -12C) -4D) -3 3) SI a=2 , b=−4 , c=−3 y d=9 , entonces el valor de ba−dc +2bd es:A) -67B) -73

4) El valor numérico de la expresión −7a9b2, si a = −1 yb= 3, es:A) -63B) -21C) 017

C) -71D) -77 D) 21E) 635) Si a = 2, b = −4 y c=−1, el valor numérico de la expresión a2b+bc−5c2 es:A) -17B) -15C) -9D) -7E) 17

6) Si x = −2, el valor de la expresión (x2−3 x+2¿ : (5 – 6x + x2) es:A) -2B) 0C) 1D) 2E) 4

7) Si c = −3 y d=10, entonces el valor de la expresión cc−d +

dd−c esA) -3B) -1C) 0D) 1E) 10

8) El valor numérico de la expresión a2(b2−c2) + b2(c2−a2¿+c2(a2−b2) sabiendo que a=−8 , b=9 y c=10 es: A) 0B) 64C) 81D) 100E) 152

9) ¿Cuál es el valor numérico de la expresión a2b0, siendo a y bdistintos de cero?(1)a=10(2)b=5A) (1) por si solaB) (2) por si solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)E) Se requiere información adicional

10) Si p=23 : q=19 : r=73 ; entonces el valor de la expresión ( p+q ) ∙ 1r es:A) 3B) 4927C) 13D) −1

3E) −4927

14.1) ALTERNATIVA A LOS EJERCICIOS PROPUESTOS 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10)

15) ECUACIONES DE PRIMER GRADO18

1. Una ecuación es una igualdad condicionada en la que aplicando operaciones adecuadas se logra despejar (aislar) la incógnita.2. Cuando una ecuación contiene fracciones, puede escribirse en una forma más sencilla si se multiplican ambos miembros de la igualdad por el mínimo común múltiplo de todos los denominadores de la ecuación. De esta forma se obtiene una ecuación que no contenga fracciones.3. Para resolver un problema debemos seguir los siguientes pasos:Paso 1: Leer con atención el problema.Paso 2: Anotar los datos del problema.Paso 3: Distinguir cuál es la pregunta del problema y representar ese dato desconocido por un literal (letra).Paso 4: Con los datos del problema escribir una ecuación.Paso 5: Resolver la ecuación.Paso 6: Comprobar si el resultado está de acuerdo con los datos.

16) EJERCICIOS RESUELTOS DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO1) Si 1325 A = 1325 ∙ 526 , entonces 1A =A) 5

26 B) 265 C) −526 D) −265 E)NingunaSolución 1: 1325 A = 1325 ∙ 526 / ∙ 2513 2513 ∙ 1325 A = 2513 ∙ 1325 ∙ 526 A = 526 1A = 15

26

1A = 265 Alternativa correcta B 2) Si m=3 x2−7, entonces x2 =19

A) m3 - 7 B) m3 +7 C) m+73 D) m−7

3 E) 3m+7 Solución 2: m = 3 x2−7 / + 7 m+7=¿ 3 x2−7+7 m+7=¿ 3 x2 / ∙ 13 13 ∙ (m+7) = 13 ∙ (3 x2¿ m+7

3=x2 Alternativa correcta C

3) Si x−2=ax, ¿Cuál de los siguientes es un valor de a que hace que la ecuación no tenga solución?A) -2 B) -1 C) 0 D) 1 E) 2Solución 3: x−2=ax x−ax=2 x (1−a )=2 Para que la ecuación no tenga solución debe pasar lo siguiente: 1−a≠0 1 ≠ a Alternativa correcta D

17) EJERCICIOS PROPUESTOS DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO1) Si 30,003 + m = 33,003, entonces 33m=:A) 990B) 99C) 9,9D) 0,99E) 0,099

2) Si t ≠0 y 4 t 2−36 t=0, entonces t=A) -9B) -6C) 0D) 6E) 93) Si 5x + 4 = 3x + 2, entonces 2x + 1=A) -2B) -1C) 0D) 1E) 2

4) Si 5x = 4 (3 – 2x), entonces x=A) -4B) -1213C) 4D) 1213E) 131720

5) ¿Cuál es el valor de t si 2t + 7 = 5t – 5?A) -4B) 2C) 4D) 8E) 12

6) Si 25 x = 30, entonces x2,5 =A) 3B) 30C) 35D) 36E) 757) ¿Cuál es el valor de x si, x – 2x + 3x = 1 – 2 + 3?A) -2B) -1C) 0D) 1E) 2

8) Si x = y – 10, entonces (y – x) =A) -100B) -20C) 10D) 20E) 1009) Si 3x + 4 = 25, entonces 3x – 4 =A) 0B) 7C) 17D) 21E) 25

10) Si (a+b)2+1=2, entonces (a+b)2−1=¿A) -1B) 0C) 1D) 2E) 3

11) Si 3,1415 = 314,15x entonces el valor de x es:A) 102B) 10−2C) 1D) 0

12) Si 2p=0,1 entonces p+1 es igual a:A) 1,05B) 1,2C) 1,002D) 1,113) Al despejar m de la formula v=m( 1a+b) se obtiene:A) m=v ( 1a+b)B) m=av (1+ab )C) m=av ( 1ab )D) m= av

1+ab

14) Un padre tiene 5 veces la edad de su hijo y en 18 años más, el padre tendrá el doble de la edad de su hijo. Entonces sus edades son:A) Hijo: 4 años y padre: 36 añosB) Hijo: 5 años y padre: 40 añosC) Hijo: 6 años y padre: 30 añosD) Hijo: 5 años y padre: 36 años

17,1) ALTERNATIVAS A LOS EJERCICIOS PROPUESTOS1) 2) 3) 4) 5) 6) 7)

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8) 9) 10) 11) 12) 13) 14)18) TÉRMINOS SEMEJANTESSon aquellos que tienen idéntico factor literal, es decir tienen las mismas letras, y los mismos exponentes, sólo pueden diferir en el coeficiente numérico.

18.1) REDUCCIÓN DE TÉRMINOS SEMEJANTESPara reducir términos semejantes basta sumar o restar sus coeficientes numéricos y mantener su factor literal18.2) USO DE PARÉNTESIS En Álgebra los paréntesis se usan para agrupar términos y separar operaciones.Los paréntesis se pueden eliminar de acuerdo a las siguientes reglas:Si un paréntesis es precedido de un signo +, este se puede eliminar sin variar los signos de los términos que están dentro del paréntesis.Si un paréntesis es precedido por un signo –, este se puede eliminar cambiando los signos de cada uno de los términos que están al interior del paréntesis.Si una expresión algebraica tiene términos agrupados entre paréntesis y ellos a su vez se encuentran dentro de otros paréntesis, se deben resolver las operaciones que anteceden a los paréntesis desde adentro hacia fuera.

19) OPERATORIA ALGEBRAICA19.1) ADICIÓN DE POLINOMIOSPara sumar y/o restar polinomios se aplican todas las reglas de reducción de términos semejantes y uso de paréntesis. 19.2) MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOSMONOMIO POR MONOMIO:Se multiplican los coeficientes numéricos entre sí y los factores literales entre sí, usando propiedades de potencias. En el caso de multiplicar un monomio por un producto de monomios se multiplica sólo por uno de ellos. Es decir, a • (b • c) = (a • b) • cMONOMIO POR POLINOMIO:Se multiplica el monomio por cada término del polinomio.Es decir, a (b + c + d) = ab + ac + ad

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POLINOMIO POR POLINOMIO:Se multiplica cada término del primer polinomio por cada término del segundo polinomio y se reducen los términos semejantes, si los hay.20) PRODUCTOS NOTABLES:

Cuadrado de binomio: (a+b¿¿2=¿ a2 + 2ab + b2 (a−b¿¿2 = a2 - 2ab+b2Suma por su diferencia: (a +b) (a – b) = a2−b2Producto de binomios: (x + a) (x + b) = x2 + (a + b) x + abCubo de binomio: (a+b¿¿3 = a3 + 3a2b+3ab2 + ab (a−b¿¿3 = a3- 3a2b + 3ab2 - b3Cuadrado de trinomio: (a+b+c ¿¿2 = a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac (a−b−c ¿¿2 = a2+b2+c2−2ab−2bc−2acSuma de cubos: (a +b) (a2−ab+b2¿ = a3+b3Diferencia de cubos: (a – b) (a2+ab+b2¿ = a3−b321) EJERCICIOS RESUELTOS TERMINOS SEMEJANTES, OPERATORIA ALGEBRAICA Y PRODUCTOS NOTABLES.1) 2p – [q−( p−2 p) ] =A) 3(p + q) B) 2(p – q) C) 3(p – q) D) 2(p + q) E) 32

Solución 1: = 2p – [q−( p−2q)] = 2p – [q− p+2q ] = 2p - [3q−p ] = 2p – 3q + p = 3p – 3q = 3 (p – q) Alternativa correcta C2) El producto entre 3a2b

2 y 8

ab2 es:

A) 8ab B) 24ab C) 3ab D) b12a E) 12ab

Solución 2: = 3a2b2

∙ 8ab2 = 3∙82 ∙ a2a

∙ bb2

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= 242 ∙ a2−1 ∙ b1−2 = 12 ∙ a1 ∙b−1

= 12ab Alternativa correcta E3) ( 49 a+ b )( 49 a−b ) =¿

A) 169 a2−b2 B) 1681 a2−b2 C) 481 a2−b2 D) 481 a2−b2 E) N.A.Solución 3: = ( 49 a+ b ) ( 49 a−b ) Aplicamos la suma por su diferencia = ( 49 a )2 – (b)2 = 1681 a2−b2 Alternativa correcta B

4) (9m−7 p3 ¿2 =A) 18m2−14 p6 B) 81m2−496 C) 81m2−63mp3+49 p6 D) 81m2−126mp3−49 p6 E) 81m2−126mp3+49 p6 Solución 4: = (9m−7 p3 ¿2 Aplicamos cuadrado de binomio = (9m)2−2 (9m) (7 p3 )+¿ = 81m2−126mp3+49 p6 Alternativa correcta E

22) EJERCICIOS PROPUESTOS TERMINOS SEMEJANTES, OPERATORIA ALGEBRAICA Y PRODUCTOS NOTABLES.1) La expresión 0,2 x + 34 y 35 x−0,25 y equivale a:A) 45 x+0,5 y

2) Al resolver x−¿ se obtiene: A) 3 x− yB) x+ yC) y−3 xD) 3 y−x24

B) 45 x− yC) 25 x−14 yD) 0,6 x−0,5 y3) La expresión (a2+b2 ) (c2−d2 ) equivale a:A) a2c2−b2d2B) (ac )4(bd )4C) a+b+c−d ¿¿2D) a2c2+b2 c2−b2d2−a2d2

4) Al factorizar x3+8 resulta: A) ( x+2 ) ( x2+2 x+4 )B) ( x+2 ) (x2−2 x+4 )C) ( x+2 ) ( x+2 )2D) (2 x−2 ) (3 x−4 )

5) Indica el término que falta para que se cumpla la igualdad:(x−3 y )2=x2+9 y2 _______________A) 6 yB) 6 xyC) 3 xyD) −6 xy

6) La expresión algebraica 1 14 x−( 23 y+0,75 x−(x+0 ,3 y )) es equivalente a:A) x− yB) 32 x−13 yC) 32 xD) x−13 y7) El producto de (2a−b ) (4 a2+2ab+b2) es igual a:A) 8a3+4a2b+ab2−b3B) 8a3−b3C) 8a3−4 a2b−b3D) 8a3+b3

8) La expresión −33+3 x2−3 x+1 se puede expresar como:A) (x−1)3B) (−x−1)3C) (1−x )3D) 1−x39) ¿Cuál de las siguientes relaciones es incorrecta?A) (x+2 y)2=x2+4 xy+ay2B) (a−3b)2=a2−6ab+9b2C) (x2+2 y ) (x2−2 y )=x2−4 x2 y−4 y2D) (2 x−3 y)3=8 x3−36 x2 y+54 xy2−27 y3

10) La fracción a2+ab+b2(a−b)2

es igual a:A) a2+b2B) a2−b2C) 1a2−b2D) (a−b)−1

22.1) ALTERNATIVA A LOS EJERCICIOS PROPUESTOS1) 2) 3) 4) 5)6) 7) 8) 9) 10)

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