Representación espinorial de la propagación de ondas electromagnéticas

BENEMERITA UNIVERSIDAD AUTONOMA DE

PUEBLA

FACULTAD DE CIENCIAS FISICO-MATEMATICAS

Representacion espinorial de la propagacion de

ondas electromagneticas

Tesis presentada al

Colgegio de Fısica

como requisito parcial para la obtencion del grado de

Licenciado en Fısica

por

Iraıs Rubalcava Garcıa

asesorada por

Dr. Gerardo F. Torres del Castillo

Puebla Pue.

Julio de 2009

BENEMERITA UNIVERSIDAD AUTONOMA DE

PUEBLA

FACULTAD DE CIENCIAS FISICO-MATEMATICAS

Representacion espinorial de la propagacion de

ondas electromagneticas

Tesis presentada al

Colgegio de Fısica

como requisito parcial para la obtencion del grado de

Licenciado en Fısica

por

Iraıs Rubalcava Garcıa

asesorada por


Puebla Pue.

Julio de 2009

Tıtulo: Representacion espinorial de la propagacion de ondas

electromagneticas

Estudiante:Iraıs Rubalcava Garcıa

COMITE

Dr. Gilberto Silva Ortigoza

Presidente

Dr. Roberto Cartas Fuentevilla

Secretario

Dr. Humberto Salazar Ibarguen

Vocal

Dr. Alfonso Rosado Sanchez

Vocal


Asesor

Indice general

Agradecimientos V

Resumen VI

Introduccion VII

1. Formalismo espinorial 1

1.1. Rotaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2. Espinores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2.1. Espinores de dos componentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2.2. Producto interior entre espinores . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2.3. Interpretacion geometrica del producto interior de dos espinores 14

2. Representacion espinorial de ondas electromagneticas 17

2.1. Campo electrico de ondas monocromaticas . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.2. Superposicion de ondas monocromaticas . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.2.1. Fases relativas y transporte paralelo . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.3. Los parametros de Stokes y la esfera de Poincare . . . . . . . . . . . . 27

2.4. Representacion del vector de Jones en la esfera de Poincare . . . . . . 28

3. Representacion espinorial de la propagacion de ondas electro-

magneticas. 32

3.1. Medio defasador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.1.1. Interpretacion geometrica de un medio defasador . . . . . . . 36

3.2. Medio atenuador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.2.1. Interpretacion geometrica de un medio atenuador . . . . . . . 40

3.3. Medio girotropo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

A. La ecuacion de onda en medios materiales 47

A.1. La ecuacion de onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

A.2. Polarizacion elıptica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

ii

INDICE GENERAL iii

Conclusiones 52

Bibliografia 53

Indice de figuras

1. Triangulo geodesico formado por el haz original y los haces superpues-

tos que lo forman. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x

1.1. Proyeccion estereografica de la esfera de Riemann sobre el plano complejo. 2

1.2. Significado geometrico de ζ en coordenadas esfericas. . . . . . . . . . 4

1.3. Representacion geometrica de un espinor. . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.4. Representacion geometrica de un espinor y su companero. . . . . . . . 13

1.5. Representacion geometrica del producto interior entre dos espinores. . 16

1.6. Representacion geometrica del producto interior entre dos espinores. . 16

2.1. Elipse descrita por el campo electrico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.2. Representacion grafica de los diferentes tipos de polarizacion presentes

en la esfera de Poincare. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.3. Representacion grafica de los espinores correspondientes a dos ondas

en fase. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.4. Diferencia de fase alrededor de una curva cerrada. . . . . . . . . . . . 27

3.1. Representacion grafica del efecto de un medio defasador sobre espinores

en la esfera de Poincare. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.2. Representacion grafica del efecto de un medio atenuador sobre espino-

res en la esfera de Poincare. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

A.1. Propagacion del campo electrico en la direccion del eje z. . . . . . . . 47

A.2. La elipse formada el por el campo electrico, rotada un angulo φ/2 con

respecto al eje x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

iv

Agradecimientos

A mi asesor, Dr. Gerardo Torres del Castillo, por ser un gran maestro, por mos-

trarme cada vez la magia en la fısica y las matematicas, por compartir conmigo su

tiempo, sus conocimientos, por su apoyo y guıa todos estos anos, por ser un ejemplo

a seguir. A el mi mas profundo agradecimiento, respeto y afecto.

Mi gratitud y agradecimiento al Departamento de Matematicas del ICUAP, por su

generosa e invaluable hospitalidad durante todos estos anos. La cual fue determinante

para culminar mis estudios de manera exitosa.

A los miembros del jurado, por sus comentarios, preguntas y observaciones hechas

no solo en esta tesis, sino a lo largo de mis estudios; y en general por su interes en mi

formacion academica.

A mis amigos que, con un chiste, una palabra de aliento, su companıa, han estado

ahı y contribuido con su granito de arena a que mi paso por la Universidad y en

general por la vida sea mas rico y mas ameno.

Al Cuerpo Academico de Partıculas, Campos y Relatividad General de la Uni-

versidad Autonoma de Puebla, por su apoyo economico para la realizacion de este

trabajo.

v

Resumen

En el presente trabajo se revisan las bases del formalismo espinorial y su re-

presentacion geometrica en terminos de rotaciones, de lo cual se desprende que un

espinor puede ser representado de manera grafica como un punto en la esfera y un

vector tangente a esta en dicho punto. Se muestra que el estado de polarizacion y la

amplitud de una onda elıpticamente polarizada quedan completamente determinados

por punto en la esfera, que este contexto es la esfera de Poincare, y su fase por un

vector tangente a la esfera en dicho punto, que corresponden a un espinor de dos

componentes; lo cual permite encontrar varios resultados interesantes, como el hecho

de que cuando dos ondas son superpuestas, estas se encuentran en fase si el angulo que

forman los vectores tangentes a la esfera de Poincare en dichos puntos con respecto

a la geodesica que los une son iguales. Tambien se da una relacion entre este enfoque

y los formalismos mas comunmente empleados para estudiar las ondas elıpticamente

polarizadas, i.e., los parametros de Stokes y el vector de Jones. Y finalmente como

aportacion principal de este trabajo, mediante el formalismo espinorial, se estudia

la representacion e interpretacion geometrica de algunos filtros opticos, un medio

defasador, un atenuador y uno girotropo; obteniendo que la accion de estos medios

sobre las ondas electromagneticas es equivalente a transformaciones de los espinores,

correspondientes a dichas ondas, en la esfera de Poincare; siendo estas rotaciones,

transformaciones conformes y rotaciones respectivamente.

vi

Introduccion

Las ondas electromagneticas, desde su descubrimiento, han jugado un papel muy

importante en la Fısica, desde las aplicaciones tecnologicas con las que ahora esta-

mos familiarizados, como son el uso de las microondas para calentar alimentos hasta

las ondas de radio para comunicarnos ya sea por celular o a traves de internet en

esta era inalambrica; por lo que resulta fundamental comprender y encontrar nuevas

herramientas para estudiar esta parte de la Fısica tan util como interesante.

En 1865 James Clerk Maxwell publico un artıculo titulado, A Dynamical Theory

of the Electromagnetic Field, donde se puede apreciar, la que considero, su contri-

bucion mas importante al Electromagnetismo, i.e., introdujo un termino en la Ley

de Ampere, la derivada temporal de un campo electromagnetico (conocido como co-

rriente de desplazamiento), con lo que pudo notar que las ecuaciones para un campo

electromagnetico variable admiten soluciones tipo onda; esto sugerıa que el campo

electromagnetico era susceptible de propagarse en forma de ondas, y no solo eso,

tambien predijo que estas ondas debıan propagarse en el vacıo a una velocidad cons-

tante c, que coincidıa bastante bien con el valor de la velocidad de la luz hasta

entonces medido; por lo que identifico la luz como una onda electromagnetica, uni-

ficando ası la Optica con el Electromagnetismo. Este descubrimiento suscito ciertas

dudas en su momento, conduciendo al famoso experimento de Michelson y Morley con

el cual se descartarıa la existencia del eter. La constancia de la velocidad de la luz

quedarıa explicada casi medio siglo despues con la teorıa de la Relatividad Especial

de Einstein. Cabe mencionar que los primeros experimentos para detectar fısicamente

las ondas electromagneticas los realizo Heinrich Hertz en 1888, mediante un aparato

que construyo, el cual emitıa y detectaba ondas electromagneticas V HF y UHF (con

30− 300 MHz, 10m− 1m y 300− 3000 MHz, 1m− 100mm de frecuencia y longitud

de onda respectivamente).

Christiaan Huygens, en el transcurso de sus investigaciones, descubrio la polari-

zacion notando que cada uno de los rayos provenientes de la refraccion en la calcita

puede ser suprimido si los hacemos pasar por un segundo cristal del mismo material

pero rotado alrededor de la direccion del rayo. Pero fue Newton quien interpreto este

fenomeno, suponiendo que los rayos tienen “lados”; en efecto, esta “transversalidad”

vii

viii Introduccion

le parecio una objecion insuperable para la teorıa ondulatoria de la luz. Algunos

ejemplos de esta propiedad, la cual describe la orientacion de las oscilaciones de una

onda electromagnetica, son: La luz reflejada por algunas superficies, como el agua,

al ser parcial o totalmente polarizada produce reflejos que pueden ser bloqueados al

utilizar un filtro polarizador. La luz dispersada por la atmosfera produce brillo y color

en el cielo despejado, en este caso, si se quiere oscurecer el cielo y aumentar el contraste

en una fotografıa, basta con utilizar un filtro polarizador. Algunos insectos, como

las abejas, utilizan la polarizacion de la luz para orientar sus danzas con las cuales

se comunican. En geologıa se utiliza este fenomeno para identificar minerales. En

astronomıa mediante el estudio de la polarizacion de la luz recibida, se puede obtener

informacion de las fuentes de radiacion y dispersion, y en el caso de la radiacion

cosmica de fondo se utiliza para estudiar la Fısica del universo muy temprano. En

tecnologıa una de las muchas aplicaciones es el cristal lıquido.

Actualmente los formalismos mas utilizados para estudiar la propagacion de ondas

electromagneticas polarizadas son los parametros de Stokes y el calculo de Jones. Los

parametros de Stokes son un conjunto de valores que describen el estado de polariza-

cion de la radiacion electromagnetica; fueron definidos por George Gabriel Stokes en

1852, como una alternativa matematica conveniente a la descripcion mas comun de la

radiacion incoherente o parcialmente polarizada, en terminos de su intensidad total

(I), y los parametros de forma de la polarizacion elıptica, los cuales pueden verse como

un punto en la esfera, que en este contexto se conoce como esfera de Poincare. Cabe

mencionar que posteriormente H. Mueller noto que estos parametros pueden ser vistos

como un vector de 4 componentes. El vector de Jones (introducido por R. C. Jones en

1941) es un vector complejo de dos componentes, cuyas entradas son las componentes

en x y y del campo electrico, ası, cualquier transformacion de estos campos puede ser

representada por una matriz 2×2 compleja actuando sobre dicho vector. Sin embargo,

tambien se puede utilizar el formalismo espinorial para estudiar la propagacion de

ondas electromagneticas elıpticamente polarizadas, trayendo consigo la ventaja de

que se puede dar una interpretacion geometrica tanto al estado de polarizacion de la

onda, a su fase, como tambien a su propagacion por diferentes medios no conductores.

Los espinores fueron descubiertos de manera general por Elie Cartan en 1913,

pero fue Wolfgang Ernst Pauli, quien utilizo por primera vez el concepto en la Fısica,

siendo en 1927 cuando introduce las matrices que llevan su nombre, como base para

los operadores de espin. Un ano mas tarde, Paul Adrien Maurice Dirac basado en el

trabajo de Pauli sobre los sistemas con espın no relativista, propuso la ecuacion y los

espinores de Dirac. Estos espinores de 4 componentes, son necesarios para la descrip-

cion matematica de los estados cuanticos del electron relativista. En la teorıa cuantica

de campo los espinores describen el estado de sistemas relativistas de muchas partıcu-

ix

las. En la teorıa de los grupos ortogonales, los spinores son elementos de un espacio

vectorial complejo, siendo introducidos para expandir la nocion de un vector espacial.

En este contexto, los espinores son necesarios debido a que la estructura completa del

grupo de rotaciones en un determinado numero de dimensiones normalmente requiere

algunas dimensiones extra para exhibirse.

En 1956 Shivaramakrishnan Pancharatnam (Pancharatnam 1956), estudio la su-

perposicion de haces de luz polarizada usando el hecho de que el estado de polarizacion

de estos haces puede ser representado por puntos en la esfera de Poincare; ası mismo,

de acuerdo con la definicion de Pancharatnam, dos haces se encuentran en fase entre

sı, cuando la intensidad de su superposicion alcanza su valor maximo para amplitudes

dadas. Ademas Pancharatnam muestra, mediente geometrıa esferica, que si un haz

esta compuesto por dos haces superpuestos, la fase relativa entre estos haces esta re-

lacionada con el area del triangulo geodesico formado por los puntos de los dos haces,

y el punto diametralmente opuesto al haz original (ver figura (1)). Posteriormente en

1987 Michael Berry (Berry 1987), presento la posibilidad de utilizar los espinores para

representar los haces de luz polarizados, y que los resultados de Pancharatnam pueden

relacionarse con el transporte paralelo; tambien mostro que hay cierta similitud entre

la fase de Pancharatnam y la fase adiabatica en Mecanica Cuantica. Cabe mencionar

que hay una diferencia fundamental entre estas dos fases. La fase adiabatica aparece

cuando se consideran cambios lentos en la hamiltoniana, y puede ser representada

por una curva en el espacio de parametros de la hamiltoniana; esta puede ser obser-

vada, por ejemplo, en el efecto Aharonov-Bohm, donde el parametro adiabatico es el

campo magnetico dentro del solenoide, y la diferencia involucrada en la medicion por

interferencia, corresponde a una curva cerrada. Por otra parte, cuando dos haces po-

larizados son superpuestos, la intensidad del haz resultante puede ser relacionada con

la geodesica, i.e. el arco de cırculo maximo, en la esfera de Poincare que une los dos

puntos que representan los haces superpuestos, aunque esta ultima es solo un objeto

auxiliar que no tiene significado fısico. A pesar de que Berry ya habıa propuesto el uso

de los espinores para estudiar los haces polarizados, no le asigna ningun significado

al factor complejo global del espinor, solo el cociente e−iφ cot 12θ es asociado con un

punto en la esfera de Poincare. Sin embargo, este factor global define la direccion

de un vector tangente a la esfera unitaria, y estos vectores nos permiten hablar de

manera natural del transporte paralelo. Posteriormente Gerardo Torres del Castillo

(ver el artıculo Torres del Castillo 2008), muestra que la amplitud, la fase y el estado

de polarizacion de una onda electromagnetica plana quedan determinados de manera

completa por un espinor de dos componentes (SU(2)), el cual puede ser representado

por un vector tangente a la esfera de Poincare. Tambien muestra que el producto

interior hermitiano entre espinores involucra el transporte paralelo de vectores tan-

x Introduccion

gentes a lo largo de geodesicas de la esfera y que dos ondas estan en fase, de acuerdo

con la definicion de Pancharatnam, cuando los vectores tangentes a la esfera, que

representan las dos ondas, son paralelos entre sı a lo largo del cırculo maximo que

une los dos puntos correspondientes de la esfera.

Haz original

Haces superpuestosque forma el hazoriginal

Figura 1: Triangulo geodesico formado por el haz original y los haces superpuestos

que lo forman.

Por lo anterior, en este trabajo se da una interpretacion geometrica a la propa-

gacion de las ondas electromagneticas, utilizando el lenguaje espinorial, a traves de

diferentes filtros opticos; haciendo enfasis en las propiedades geometricas que se ha-

cen evidentes utilizando este enfoque. Esto es, debido a que podemos representar un

espinor como un vector tangente a la esfera en un punto, la transformacion de dichas

ondas al pasar por los diferentes medios, pueden ser vistas como transformaciones de

estos vectores tangentes en la esfera de Poincare.

En el capıtulo 2 se introducen los espinores de una manera elemental utilizando la

proyeccion estereografica, notando que cada punto del espacio puede ser representado

por un vector complejo (espinores) y que las rotaciones alrededor del origen son

representadas por matrices complejas 2×2 pertenecientes al grupo SU(2). Se estudia el

producto interior entre dos espinores, y su interpretacion geometrica, la cual introduce

de manera natural la idea de transporte paralelo.

En el capıtulo 3 se ocupa el formalismo espinorial, revisado en el capıtulo 2, para

ver que una onda electromagnetica monocromatica elıpticamente polarizada puede

ser representada de manera completa por un espinor de dos componentes, donde el

punto en la esfera de Poincare representado por el espinor corresponde al estado de

polarizacion y la direccion del vector tangente en este punto da la fase de la onda.

Tambien se expresan los parametros de Stokes en terminos de un espinor de dos

xi

componentes, y ademas se muestra que el vector de Jones es en escencia un espinor

de dos componentes solo que expresado en una base apropiada.

En el capıtulo 4 se encuentra la representacion geometrica en la esfera de Poin-

care del efecto de diferentes filtros opticos. En el caso de un medio defasador, en-

contramos que el efecto de este filtro optico puede ser representado por una rotacion

en la esfera de Poincare mientras que un medio atenuador es representado por una

transformacion conforme y un medio girotropo se reduce a una rotacion en la esfera,

de la misma manera que un medio defasador.

A lo largo de todo el trabajo se utilizara principalmente el enfoque utilizado en

Torres del Castillo 2003 y 2008. La exposicion tiene la intencion de ser lo mas au-

tocontenida posible, dentro de los alcances de una tesis de licenciatura, teniendo en

mente que puede ser leıda por companeros de licenciatura.

Capıtulo 1

Formalismo espinorial

En este capıtulo se revisan las bases del formalismo espinorial y su interpretacion

geometrica en terminos de rotaciones.

El tratamiento mas comunmente empleado en la literatura (vease, por ejemplo,

Goldstein 2002) para representar rotaciones, es encontrar las matrices 3×3 reales, que

representan rotaciones1. Estas rotaciones pueden parametrizarse mediante los angulos

de Euler o mediante el eje y el angulo de rotacion, siendo la primera la mas empleada

en la literatura; y la forma usual en la que se obtienen las matrices complejas 2 × 2

que representan rotaciones2, es utilizando el homomorfismo de SU(2) sobre O(3). Sin

embargo, aquı se seguira otro enfoque. En la seccion 1.1 se utilizara la correspondencia

entre puntos de la esfera y el plano complejo, i.e. la proyeccion estereografica, para

mostrar que las rotaciones en tres dimensiones pueden ser representadas por ciertas

funciones de variable compleja y por matrices 2 × 2 complejas, las cuales a su vez

estan relacionadas con los espinores. En la seccion 1.2 se introducen los espinores,

conectandolos con resultados de la seccion 1.1, y se da el formalismo basico necesario

para el resto del trabajo.

El enfoque seguido en Torres del Castillo 2003, donde se muestra que mediante el

uso de la proyeccion estereografica pueden representarse las rotaciones mediante ma-

trices 2×2 sin necesidad de recurrir a la teorıa de grupos o conceptos mas elaborados,

es particularmente clara y elegante; por lo se sigue ese enfoque aquı.

1.1. Rotaciones

La proyeccion estereografica es una correspondencia biyectiva entre los puntos de

la esfera S2 = {(x, y, z)|x2 + y2 + z2 = 1}, llamada esfera de Riemann, y el plano

complejo. Para visualizar esto, podemos pensar en el plano complejo como un plano

1Estas matrices forman un grupo, llamado SO(3).2Estas matrices forman el grupo SU(2).

1

CAPITULO 1. FORMALISMO ESPINORIAL

1.1. ROTACIONES

que pasa por el ecuador de una esfera centrada en el punto O = (0, 0, 0). A cada

punto del plano le corresponde exactamente un punto P = (x, y, z) de la superficie de

la esfera, este punto queda determinado por la interseccion con la superficie esferica

de la recta que pasa por ζ = X + iY y por el polo norte de la esfera N = (0, 0, 1)3.

Recıprocamente, a cada punto P de la esfera le corresponde un unico punto en el

plano (el punto (0, 0, 1) lo asociamos con el punto al infinito), como se muestra en la

figura 1.1.

Figura 1.1: Proyeccion estereografica de la esfera de Riemann sobre el plano complejo.

Utilizando la semejanza entre los triangulos4 OζN y zPN , de la figura 1.1 se

puede ver que,1

ζ=

1− z

x+ iy, (1.1)

siendo ϑ el angulo formado por el plano complejo y la recta que pasa por ζ , (x, y, z)

y (0, 0, 1), con lo cual

ζ =x+ iy

1− z. (1.2)

Para obtener la relacion inversa, i.e., x, y, z en terminos de ζ , conviene fijarnos en la

3Estrictamente hablando, al hacer la proyeccion estereografica lo que se esta haciendo es proyectar

los puntos de la esfera sobre el plano xy, y se establece una asociacion uno a uno de los puntos de este

plano con los del plano complejo.4Para obtener esta relacion, uno se fija en las magnitudes de las distancias en cuestion, y debido a

que estas cantidades tienen todas el mismo signo, se puede ver la validez de esta expresion.

2


1.1. ROTACIONES

expresion

ζζ =x2 + y2

(1− z)2=

1− z2

(1− z)2=

1 + z

1− z(1.3)

lo cual implica que,

z =ζζ − 1

ζζ + 1. (1.4)

Tomando en cuenta la relacion anterior y la Ec. (1.2), se obtiene

x =ζ + ζ

ζζ + 1, y =

ζ − ζ

i(ζζ + 1), z =

ζζ − 1

ζζ + 1. (1.5)

Debido a la simetrıa esferica del problema5 resulta conveniente expresar ζ en coorde-

nadas polares,

ζ =sen θ cos θ + isen θsen φ

1− cos θ=

sen θ

1− cos θeiφ =

2sen θ2cos θ

2

2sen 2 θ2

eiφ = eiφ cot1

2θ. (1.6)

El significado geometrico de esta expresion puede verse en la figura 1.2, donde se

dibuja el triangulo 0ζN de la figura 1.1, y se muestra, mediante geometrıa basica,

que el angulo ϑ no es otro que θ2, con lo cual se puede ver que cot θ

2= |ζ|

1, y de

la figura 1.1 se ve que el factor eiφ no es mas que una fase que tiene que ver con el

angulo φ de las coordenadas esfericas, con lo cual queda determinada de manera unica

el punto ζ6 (si 0 < φ < 2π). Otra manera de ver esto es recordando que cualquier

numero complejo escrito en su forma polar esta dado en terminos de la magnitud de

la distancia al origen de dicho punto, multiplicada por una fase cuyo argumento es el

angulo polar φ.

Si se considera la rotacion, alrededor de un eje n por un angulo α, de un punto en

la esfera, este es mapeado a otro punto en la esfera. Ademas, mediante la proyeccion

estereografica se puede hacer una asociacion uno a uno7 de los puntos de la esfera

con el plano complejo. Por lo que es facil visualizar que, cualquier rotacion en R3,

puede verse como un mapeo del plano complejo en sı mismo. El tratamiento usual

para estudiar estas rotaciones arbitrarias, es considerar el sistema de tres ecuaciones

diferenciales ordinarias que determinan el cambio de un vector, r, bajo rotaciones

alrededor de un eje unitario n (para la deduccion de este sistema de ecuaciones ver

la seccion 4.8 de Goldstein 2002),

dr

dα= n× r, (1.7)

donde α es el angulo de rotacion alrededor de n. Debido a que cada punto de la

esfera se puede conectar biyectivamente con los puntos del plano complejo, una forma

5Encontrar el equivalente de las rotaciones en R3, en el plano complejo C.6Este punto en plano complejo es el correspondiente al punto (x, y, z) en la esfera de Riemann.7Esto es valido unicamente cuando se asocia el polo norte de la esfera con el punto al infinito.

3


1.1. ROTACIONES

q

90- 2q/

90+ 2q/

90-q q/2

O

P=(x,y,z)

N=(0,0,1)

z=X+iY

Figura 1.2: Significado geometrico de ζ en coordenadas esfericas.

equivalente de ver la ecuacion anterior es fijarse en la variacion de ζ , que corresponde

al punto r ≡ (x, y, z) de la esfera S2, bajo rotaciones por un angulo α alrededor de

n, la cual esta dada por

dζ

dα= − i

2(n1 − in2)(ζ − ζ2)(ζ − ζ1). (1.8)

La relacion anterior puede obtenerse mediante calculo directo 8, ocupando la regla

de la cadena, la definicion de ζ , i.e. Ec. (1.2), las componentes de n = (n1, n2, n3), y

8

dζ

dα=∂ζ

∂x

dx

dα+∂ζ

∂y

dy

dα+∂ζ

∂z

dz

dα=

1

1− z

(dx

dα+ i

dy

dα

)+

x+ iy

(1 − z)2dz

dα

=1

1− z[n2z − n3y + i(n3x− n1z)] +

x+ iy

(1 − z)2(n1y − n2x),

utilizando Ecs. (1.2) y (1.5)

=ζζ + 1

2[n1(yζ − iz) + n2(−ζx+ z) + in3(x+ iy)]

pero,

yζ − iz =i(1− z2)

ζζ + 1, −ζx+ z =

−(1 + z2)

ζζ + 1, x+ iy =

2ζ

ζζ + 1

por lo que

dζ

dα= − i

2(n1 − in2)

[ζ2 − 2n3

n1 − in2ζ − n1 + in2

n1 − in2

]= − i

2(n1 − in2)

(ζ − n3 − 1

n1 − in2

)(ζ − n3 + 1

n1 − in2

)

finalmente,dζ

dα= − i

2(n1 − in2)(ζ − ζ2)(ζ − ζ1)

4


1.1. ROTACIONES

haciendo las siguientes dos definiciones (por simplicidad de las ecuaciones),

ζ1 ≡n3 + 1

n1 − in2y ζ2 ≡

n3 − 1

n1 − in2. (1.9)

La conveniencia de la Ec. (1.8) con respecto a la Ec. (1.7), reside en el hecho de que

se pasa de un sistema de tres ecuaciones diferenciales ordinarias (no independientes)

a una sola ecuacion diferencial, la cual nos permite encontrar conexiones con otras

estructuras, es analıtica9 y ademas esta ultima, a diferencia de (1.7), puede integrarse

de manera elemental unicamente utilizando las Ecs. (1.8) y (1.9). Integrando por

fracciones parciales, se obtiene el siguiente resultado10,

ln

[ζ ′ − ζ1ζ − ζ1

ζ − ζ2ζ ′ − ζ2

]= −iα, (1.10)

donde ζ y ζ ′ representan los puntos en el plano complejo antes y despues de la rotacion,

respectivamente. Lo cual, despejando, implica que,

ζ ′ =e−iαζ2(ζ − ζ1)− ζ1(ζ − ζ2)

e−iα(ζ − ζ1)− (ζ − ζ2)=e−iα/2ζ2(ζ − ζ1)− eiα/2ζ1(ζ − ζ2)

e−iα/2(ζ − ζ1)− eiα/2(ζ − ζ2)(1.11)

y, sustituyendo las expresiones (1.9), se obtiene

ζ ′ =(cos 1

2α + in3sen

12α)ζ + (in1 − n2)sen

12α

((in1 + n2)sen12α)ζ + cos 1

2α− in3sen

12α

(1.12)

En lugar de la variable ζ conviene utilizar

ξ ≡ ζ =x− iy

1− z= e−iφ cot

1

2θ. (1.13)

De las Ecs. (1.12) y (1.13) resulta

ξ′ =(cos 1

2α− in3sen

12α)ξ − (in1 + n2)sen

12α

(−in1 + n2)ξ + cos 12α + in3sen

12α

, (1.14)

9Es analıtica puesto que ζ no aparece en la expresion. Recordemos ademas que una funcion f de

variable compleja z es analıtica en un conjunto abierto, si tiene derivada en todos los puntos del conjunto.10Integrando la ecuacion (1.8) se tiene,

−i

∫ α

0

dα =2

n1 − in2

∫ ζ′

ζ

dζ

(ζ − ζ1)(ζ − ζ2)=

∫ ζ′

ζ

dζ

ζ − ζ1−∫ ζ′

ζ

dζ

ζ − ζ2

= ln

(ζ′ − ζ1ζ − ζ1

)− ln

(ζ′ − ζ2ζ − ζ2

)= ln

ζ′ − ζ1ζ − ζ1ζ′ − ζ2ζ − ζ2

= ln

((ζ′ − ζ1)(ζ − ζ2)

(ζ − ζ1)(ζ′ − ζ2)

)

lo que finalmente implica que,

−iα = ln

((ζ′ − ζ1)(ζ − ζ2)

(ζ − ζ1)(ζ′ − ζ2)

)

5


1.1. ROTACIONES

que es de la forma 11

ξ′ =βξ + γ

δξ + ǫ, (1.15)

donde β,γ,δ y ǫ son numeros complejos; la Ec. (1.15) puede ser asociada con la matriz

compleja (β γ

δ ǫ

). (1.16)

Una rotacion sobre ξ′ quedarıa como

ξ′′ =ηξ′ + κ

µξ′ + ν(1.17)

la cual a su vez corresponde a la matriz compleja

(η κ

µ ν

). (1.18)

Ası el efecto de una segunda rotacion sobre ξ se obtiene sustituyendo la Ec. (1.17) en

(1.15), i.e.,

ξ′′ =

ηβξ + γ

δξ + ǫ+ κ

µβξ + γ

δξ + ǫ+ ν

=(ηβ + κδ)ξ + (ηγ + κǫ)

(µβ + νδ)ξ + (µγ + νǫ), (1.19)

lo cual, a su vez, corresponde a la matriz

(ηβ + κδ ηγ + κǫ

µβ + νδ µγ + νǫ

)=

(η κ

µ ν

)(β γ

δ ǫ

). (1.20)

Lo anterior significa que cada transformacion de la forma (1.15) se puede representar

por la matriz (1.16), de tal manera que la composicion de transformaciones corres-

ponde al producto matricial12. Notese que existe cierta indeterminacion en la matriz

asociada a la transformacion (1.15), ya que esta tambien puede escribirse como

ξ′ =λβξ + λγ

λδξ + λǫ, (1.21)

con λ 6= 0 ∈ C, con lo cual se ve que todas las matrices de la forma

(λβ λγ

λδ λǫ

)= λ

(β γ

δ ǫ

)(1.22)

11Las funciones de la forma (1.15) se conocen como transformaciones de Mobius en honor de August

Ferdinand Mobius, tambien se les nombra transformaciones homomorfas, trasformaciones fraccionales

lineales o transformaciones lineales fraccionales. El conjunto de todas las transformaiones de Mobius

forma un grupo bajo la composicion, llamado el grupo de Mobius.12Estas matrices forman un grupo bajo la operacion de composicion.

6


1.1. ROTACIONES

son equivalentes.

Para aminorar esta indeterminacion, imponemos que el determinante de la matriz

(1.16) sea igual a 1. En lo sucesivo se supondra que, para estas matrices, este es igual

a la unidad. Con los coeficientes de la expresion (1.14) podemos formar la matriz

Q =

(cos α

2− in3sen

α2

−(in1 + n2)senα2

(n2 − in1)senα2

in3senα2+ cos α

2

)(1.23)

la cual, ademas de tener determinante igual a 1, es unitaria13. La matriz Q tambien

puede escribirse como14

Q = cosα

2I − isen

α

2(n1σ1 + n2σ2 + n3σ3), (1.24)

con σ1, σ2 y σ3 las matrices de Pauli.15

Ahora, podemos definir las siguientes expresiones,

ξ =u

vy ξ′ =

u′

v′, (1.26)

que, por analogıa con Ec. (1.15), podemos escibir

u′

v′=β(u/v) + γ

δ(u/v) + ǫ=βu+ γv

δu+ ǫv. (1.27)

La ecuacion anterior se satisface si u′ = βu+ γv y v′ = δu+ ǫv, que escrito en forma

matricial queda como (u′

v′

)=

(β γ

δ ǫ

)(u

v

). (1.28)

Los numeros complejos u y v pueden ser vistos como las componentes de un vector

complejo ψ, el cual llamamos espinor, que se transforma de acuerdo con la Ec. (1.28).

Si ψ =

(u

v

)y ψ′ =

(u′

v′

), podemos ver la transformacion dada por Ec. (1.28)

como

ψ′ = Qψ (1.29)

Debido a la unitariedad de Q, el producto ψ†ψ es invariante bajo rotaciones alrededor

del origen16.

13Las matrices Q, que representan rotaciones en el espacio, pertenecen al grupo SU(2), el cual esta for-

mado por las matrices U complejas, 2 × 2, unitarias (U †U = U−1U = I) y con determinante igual a la

unidad.14Porque cualquier matriz 2× 2 se puede expresar como combinacion lineal de {I, σ1, σ2, σ3}.15

σ1 ≡(

0 1

1 0

), σ2 ≡

(0 −i

i 0

), σ3 ≡

(1 0

0 −1

). (1.25)

16Porque,

(ψ′)†(ψ′) = (Qψ)†(Qψ) = ψ†Q†Qψ = ψ†ψ,

esto ultimo debido a que Q†Q = I, i.e., Q es unitaria.

7


1.2. ESPINORES

Hasta este momento se ha visto que cada punto de la esfera S2 corresponde a un

numero complejo ζ o ξ que se transforma bajo rotaciones de manera fraccional lineal,

Ec. (1.14), mientras que el espinor ψ, asociado a ξ, se transforma de manera lineal,

Ec. (1.29), lo cual evidencia la conveniencia de utilizar los espinores para representar

puntos en la esfera S2 y sus respectivas rotaciones.

1.2. Espinores

El formalismo espinorial se emplea en diversas areas y contextos mostrando su

utilidad. Como ya se vio, se pueden representar puntos del espacio, R3, mediante

un espinor, el cual bajo rotaciones alrededor del origen, se transforma linealmente.

Ademas el formalismo espinorial se puede ver como la aplicacion a un nivel mas pro-

fundo en la estructura del espacio-tiempo, el cual podemos considerar practicamente

como una variedad suave de dimension 4 provista con una metrica lorentziana. El

formalismo usual con el que se estudia este espacio-tiempo es el calculo tensorial,

sin embargo afortunadamente en el caso de 4 dimensiones podemos tambien aplicar

el formalismo 2-espinorial para estudiarlo de una manera mas conveniente, como se

muestra en Penrose-Rindler 1984. Otra ventaja del formalismo espinorial es su ınti-

ma relacion con los numeros complejos, los cuales a su vez hacen su aparicion de

manera natural en la Mecanica Cuantica; usualmente se utilizan los espinores de dos

componentes para estudiar las partıculas de espın 1/2.

1.2.1. Espinores de dos componentes

Se puede definir, un espinor

ψ =

(u

v

), (1.30)

que, como ya se menciono, representa puntos rψ = (x1, x2, x3) en la esfera S2. Las

componentes de dicho vector estan dadas por17

xi = ψ†σiψ. (1.31)

Ademas de este vector, nos conviene introducir un vector complejo Mψ =

(M1,M2,M3) que, como se ve mas adelante, junto con el vector rψ nos ayuda a

dar un interpretacion geometrica del factor global del espinor, con

Mi = ψtǫσiψ (1.32)

17Como se muestra mas adelante en la ecuacion (1.35), si uno sustituye el espinor dado por (1.34) en

(1.31), uno obtiene las expresiones comunes para las coordenadas cartesianas en terminos de las esfericas.

8


1.2. ESPINORES

donde

ε =

(0 1

−1 0

)(1.33)

y t denota trasposicion.

Parametrizando las componentes de ψ en la forma18

ψ =√re−iχ/2

(e−iφ/2 cos θ

2

eiφ/2sen θ2

)(1.34)

donde el factor√re−iχ/2 viene de escoger λ =

√re−iχ/2 de tal manera que |λ|2 = |r|2,

puede verse que las ecuaciones (1.31) y (1.32) implican que,

rψ = r(sen θ cosφ, sen θsen φ, cos θ) = rer (1.35)

y

Mψ = re−iχ [(cos θ cosφ, cos θsen φ,−sen θ) + i(−sen φ, cosφ, 0)]

= re−iχ(eθ + ieφ)

= r [(cosχeθ + sen χeφ) + i(−sen χeθ + cosχeφ)] , (1.36)

donde la tercia {er, eθ, eφ} es la base inducida por las coordenadas esfericas.

Las ecuaciones (1.36) muestran que los vectores ReMψ y ImMψ pueden obtenerse

mediante una rotacion de los ejes eθ y eφ por un angulo χ.

Con lo anterior se ve que la tercia {ReMψ, ImMψ, rψ} es una base ortonormal con

|ReMψ|2 = |ImMψ|2 = |rψ|2 = ψ†ψ. Ademas ψ y −ψ definen los mismos vectores

(r−ψ)i = (−ψ)†σi(−ψ) = ψ†σiψ = (rψ)i

(M−ψ)i = (−ψ)tǫσi(−ψ) = ψtǫσiψ = (Mψ)i.

Debido a que ReMψ y ImMψ son ortogonales a rψ, los primeros pueden ser vistos

como vectores tangentes, en el punto rψ, a la esfera de radio r centrada en el origen.

Tomando en cuenta que {rψ,ReMψ, ImMψ} es una terna derecha y que

|ReMψ|2 = |ImMψ|2 = |rψ|2, entonces ImMψ puede ser definida por rψ y ReMψ

de la siguiente manera

ImMψ =rψ × ReMψ

|rψ|. (1.37)

Por lo tanto, un espinor ψ (ψ 6= 0), puede ser representado de manera geometrica por

un punto en la esfera y un vector tangente a esta, ReMψ, en dicho punto dado por

rψ. De manera equivalente podemos representar un espinor por una bandera (ver por

ejemplo, Torres del Castillo 2003), en donde el asta es rψ y la bandera se encuentra

en el plano formado por rψ y ReMψ, como se muestra en la figura (1.3).

18Recordando que ξ = ζ = uv , que es equivalente al espinor ψ, y ζ = eiφ cot θ

2 , se ve que si ψ =

9


1.2. ESPINORES

f

q

cr

ReM

x

y

z

eq

ef

Figura 1.3: Representacion geometrica de un espinor.

1.2.2. Producto interior entre espinores

El producto interior Hermitiano entre dos espinores esta dado por α†β (con α y

β espinores), el cual es invariante bajo transformaciones del grupo SU(2)19. Aparte

√re−iχ/2

(e−iφ/2 cos θ

2

eiφ/2sen θ2

), entonces ξ = eiφ cot θ

2 = ζ, lo cual concuerda con las expresiones obtenidas

previamente.19Si α y β se transforman bajo rotaciones, dadas por la matriz Q ∈ SU(2), como

α′ = Qα y β′ = Qβ.

Entones,

(α′)†β′ = (Qα)†(Qβ) = α†Q†Qβ = α†β

con lo que se muestra que el producto interior Hermitiano es invariante bajo transformaciones del grupo

SU(2).

10


1.2. ESPINORES

de este, hay un producto interior bilinear y antisimetrico dado por αtεβ20, el cual

tambien es invariante bajo transformaciones de SU(2)21. Tomando en cuenta que

εt = −ε y ε2 = −I, estos productos pueden ser relacionados de la siguiente manera,

α†β = αtβ = αtεtεβ = (εα)tεβ (1.38)

Ası, definiendo el companero (o conjugado), α, de un espinor de dos componentes α,

como

α ≡ −εα, (1.39)

la ecuacion (1.38) puede expresarse

α†β = −αtεβ, (1.40)

ademas puede verse queˆα = −α. (1.41)

Con lo anterior, el producto interior bilinear antisimetrico definido anteriormente

puede ser escrito de la siguiente manera

αtεβ = ¯αtεβ = (−εα)†β = α†β, (1.42)

y

α†α = 0. (1.43)

La antisimetrıa de ε asegura la validez de la Ec. (1.43); y debido a esta, se puede

decir que α es ortogonal a α 22.

20Notese que este producto es un escalar, con este hecho y con las propiedades del producto de matrices

se ve de manera directa la bilinealidad, y la antisimetrıa puede verse de la siguiente manera,

αtεβ = (βtǫtα)t = −(βtǫα)t,

y debido a que es un escalar la trasposicion lo deja invariante, por lo que

αtεβ = −βtǫα,

lo que muestra que al intercambiar los papeles de α y β hay un cambio de signo.

21De acuerdo con que ε2 = −I y queQ−1 = − 1

detQεQtε, se puede ver facilmente que cualquier matriz

del grupo SU(2) satisface que Qtε = εQ−1 = ǫQ†. De lo anterior se sigue que, bajo tranformaciones del

grupo SU(2),

(α′)tεβ′ = (Qα)tεQβ = αtQtεQβ = αtεQ†Qβ = αtεβ,

con lo que se muestra que este producto interior tambien es invariante bajo tranformaciones de SU(2).22Notese que el signo menos en la definicion del conjugado se introdujo de tal manera que el companero

de

(1

0

)es

(0

1

), i.e.,

ψ = −εψ = −(

0 1

−1 0

)(1

0

)= −

(0

−1

)=

(0

1

).

11


1.2. ESPINORES

Tambien puede verse que las componentes de los vectores rψ y Mψ definidos por

las ecuaciones (1.31) y (1.32), pueden escribirse en terminos de ψ de la siguiente

manera,

xi = ψ†σiψ = ψ†εtεσiψ = (εψ)tεσiψ = −ψtǫσiψ (1.44)

Mj = ψtεσjψ = −ψtεtσjψ = −ψ†ε†σjψ = (−εψ)†σjψ = ψ†σjψ. (1.45)

El companero de ψ es otro espinor, que se transforma de igual manera que este,

i.e. se transforma linealmente por una ecuacion de la forma (1.29), donde Q es una

matriz perteneciente al grupo SU(2).Y en el caso de un espinor, cuyas componentes

estan parametrizadas por (1.34),

ψ =√reiχ/2

(−e−iφ/2sen θ

2

eiφ/2 cos θ2

)=

√re−i(π−χ)/2

(e−i(π+φ)/2 cos (π−θ)

2

ei(π+φ)/2sen (π−θ)2

)(1.46)

La ecuacion anterior muestra que el companero ψ, de un espinor ψ, que representa

un punto en la esfera S2, es el punto antıpoda del primero; equivalentemente, ψ y ψ

son antiparalelos entre sı, como se muestra en la figura (1.4). Por tanto, rψ = −rψ y

Mψ = −Mψ23.

De las ecuaciones (1.42) y (1.43), se puede ver facilmente que α†β = 0 si y solo

si β es proporcional a α (o de manera equivalente si α es proporcional a β)24, lo que

significa que rα y rβ son antiparalelos entre sı, como se puede ver del parrafo anterior

y de la figura (1.4).

El conjunto {α, β} es linealmente independiente si y solo si, αtεβ 6= 0, o de manera

equivalente, si α†β 6= 025.

Cabe mencionar que cualquier spinor ψ de la forma (1.34), puede ser escrito como,

ψ = Q(φ, θ, χ)

(1

0

),

donde Q(φ, θ, χ) ∈ SU(2) esta parametrizada en terminos de los angulos de Euler (ver Torres del Castillo

2003), con lo cual se ve la conveniencia de utilizar los espinores

(1

0

)y

(0

1

)como base para el

conjunto de espinores.23Esto ultimo puede verificarse de manera directa sustituyendo ψ por ψ en la Ec. (1.32) o bien de

manera geometrica, notanto que cambiar ψ por ψ en la figura (1.4), equivale a cambiar χ por −χ y eθ

por −eθ, con lo que unicamente utilizando la paridad de las funciones seno y coseno en la Ec. (1.32),

puede notarse la veracidad de esta afirmacion.24Prueba:

⇒] Si β = κα, con κ = constante implica que, α†β = α†κα = κ(α†α)† = 0, porque α†α = 0

⇐] Si α†β = 0, (β†α)† = 0, pero como α†α = 0, entonces, β = κα con κ = constante.25Prueba:

supongamos que α y β son linealmente dependientes y α†β 6= 0, lo cual implica que, β = aα con

a = cte y α†β 6= 0 ⇒ α†α = 0 y α†(aα) 6= 0. Lo cual es una contradiccion con lo que queda probada la

afirmacion.

12


1.2. ESPINORES

f

q

cy

ReM

x

y

z

eq

ef

f

q

y

cReM

ef

eq

Figura 1.4: Representacion geometrica de un espinor y su companero.

Por su utilidad, conviene fijarse en bases ortonormales. Un candidato es el conjunto

ortogonal {α, α}; para ver que es una base solo resta probar que α y α son linealmente

independientes y generan el conjunto de los espinores de dos componentes. Pero por

el parrafo anterior, {α, α} son linealmente independientes si ˆα†α = α†α 6= 0, y como

∀α 6= 0, α†α 6= 0, se muestra que son linealmente independientes.

Cualquier espinor puede ser escrito como combinacion lineal de un conjunto li-

nealmente independiente {α, β}, como

ψ = c1α + c2β (1.47)

con c1 y c2 escalares complejos. Multiplicando la ecuacion anterior por α† y usando

la ortogonalidad entre α y α,

α†ψ = c1α†α + c2α

†β = c2α†β, (1.48)

con lo que se ve,

c2 =α†ψ

α†β. (1.49)

De manera similar, ahora multiplicando por β†,

β†ψ = c1β†α + c2β

†β = c1β†α, (1.50)

13


1.2. ESPINORES

que implica,

c1 =β†ψ

β†α, (1.51)

pero por la Ec. (1.42,) se tiene

β†α = (−εβ)†α = βtεα = (βtεα)t = αtεtβ = α†ε†β = −(−εα)†β = −α†β, (1.52)

con lo cual

ψ =1

α†β

[−(β†ψ)α + (α†ψ)β

]. (1.53)

En particular, si β = α, la ecuacion anterior se convierte en

ψ =1

α†α

[−(α†ψ)α + (α†ψ)α

], (1.54)

lo cual evidencia el hecho de que {α, α} genera al conjunto de espinores de dos com-

ponentes, con lo que se prueba completamente que {α, α} es una base ortonormal.

1.2.3. Interpretacion geometrica del producto interior de dos

espinores

Como ya se vio en secciones anteriores, un espinor puede ser representado por un

vector tangente a la esfera en el punto r, utilizando este hecho, el producto interior de

dos espinores puede ser relacionado con algunas propiedades geometricas de dichos

vectores tangentes.

Debido a la invarianza bajo rotaciones del producto interior, cualquier propiedad

de este tambien debe mantenerse invariante bajo tranformaciones del grupo SU(2).

Considerando dos espinores unitarios α y β (i.e. α†α = 1 = β†β) y por lo dicho ante-

riormente conviene elegir, sin perdida de generalidad, la orientacion de estos espinores

de manera que simplifique su interpretacion. Existe una unica U ∈ SU(2), tal que

mapea α en

(1

0

)26; ası, el producto interior entre α y β puede ser expresado como,

α†β = (Uα)†Uβ =

(1

0

)†

e−iχ/2

(e−iφ/2 cos 1

2θ

eiφ/2sen 12θ

)= ei(χ+φ)/2 cos

1

2θ, (1.55)

26Debido a que cualquier vector ψ puede ser escrito como ψ = Q(φ, θ, χ)

(1

0

), se tiene que

(1

0

)= Q−1(φ, θ, χ)ψ,

con Q(φ, θ, χ) la matriz de tranformacion inversa (parametrizada en terminos de los angulos de Euler),

la cual es unica. Ver por ejemplo, Torres del Castillo 2003.

14


1.2. ESPINORES

donde θ y φ son las coordenadas esfericas del punto de la esfera correspondiente a

γ ≡ Uβ (ver ecuacion (1.34)). Como el vector r que corresponde al espinor

(1

0

)es

(0, 0, 1), θ es el angulo formado por r y γ, y ası mismo, igual a la distancia entre los

puntos correspondientes a estos espinores (la longitud del arco de cırculo que pasa

por ellos). Esto es rα · rβ = cos θ y por lo tanto 1 + rα · rβ = 2|α†β|227.Con el fin de encontrar la relacion geometrica entre los vectores tangentes, notese

que ReM definida por el espinor

(1

0

)es igual a (1, 0, 0) (ver ecs. (1.36)), lo cual

muestra que ReM forma un angulo −φ con el arco que une (0, 0, 1) con rγ, y ademas

como ya se vio en la seccion (1.2.1), ReMγ hace un angulo χ con eθ, o equivalente-

mente, con el vector tangente al arco que une (0, 0, 1) con rγ , en el punto rγ.

Ası, ReMα hace un angulo −φ y ReMβ un angulo χ con el arco de cırculo maximo

que une rα y rβ, como se muestra en la figura (1.5). De esta manera, de la ecuacion

(1.55) se puede concluir que el producto interior entre dos espinores es un numero

complejo cuyo modulo es el coseno de la mitad del angulo formado entre los puntos

de la esfera correspondientes a los espinores, y su fase es un medio de la diferencia

entre los angulos formados por los vectores tangentes con respecto a la geodesica entre

dichos puntos.

De manera analoga, se puede encontrar una unica transformacion U ∈ SU(2)

tal que mapea α en

(0

1

), con lo que el producto

α†β = (Uα)†Uβ =

(0

1

)†

e−iχ/2

(e−iφ/2 cos 1

2θ

eiφ/2sen 12θ

)= ei(φ−χ)/2sen

1

2θ, (1.56)

donde los angulos θ, φ y χ tienen el mismo significado que en el caso anterior, lo cual

se representa graficamente en la figura (1.6).

Los vectores r y ReM, correspondientes al espinor

(0

1

)son, (0, 0,−1) y

(−1, 0, 0) respectivamente, y de la figura (1.6) puede verse que el angulo formado

por ReM en el punto (0, 0,−1) y eθ es φ. Lo cual explica el cambio de signo de la

fase con respecto a la ecuacion (1.55). Ademas el sen 12θ proviene de fijarse en el

coseno del angulo fomado entre (0, 0,−1) y rγ, el cual es π−θ y mediante identidades

trigonometricas se ve que es igual a sen 12θ, que tiene el mismo significado geometrico

que el caso anterior.

27De la expresion (1.55) se ve que |α†β|2 = cos2 12θ, utilizando la identidad trigonometrica 2 cos2 1

2θ =

cos θ + 1, y como rα · rβ = cos θ, se tiene que 2|α†β|2 = cos θ + 1 = rα · rβ + 1.

15


1.2. ESPINORES

f

q

cg ReM

x

y

z

eq

f

g

Re =(-1,0,0)M

r ra b

r ra b

f

cq

(0,0,1)

Figura 1.5: Representacion geometrica del producto interior entre dos espinores.

f

q

cReM

x

y

z

eq

Re = (-1,0,0)M

p f-

eq

g

g

(0,0,-1)

f

f

x

y

eq

Re = (-1,0,0)M

Visto desde “arriba”

Figura 1.6: Representacion geometrica del producto interior entre dos espinores.

16

Capıtulo 2

Representacion espinorial de ondas

electromagneticas

Como ya se menciono en la introduccion, desde hace mas de 60 anos existen

varios formalismos para estudiar las ondas electromagneticas polarizadas, como son

los parametros de Stokes y el vector de Jones. Recientemente en Torres del Castillo

2008 se muestra que tambien se puede utilizar el formalismo espinorial para estudiar

estas ondas, teniendo la ventaja de que evidencia varias propiedades geometricas que

con los otros metodos no son tan evidentes. En dos trabajos previos, Pancharatnam

1956 y Berry 1987, se intuyo y sugirio la riqueza geometrica de las ondas elıpticamente

polarizadas y su posible relacion con los espinores, respectivamente. El trabajo de

Pancharatnam es ingenioso y lleno de intuicion, donde se mencionan muchas de las

propiedades que en el presente trabajo se deduciran de manera natural utilizando

el formalismo espinorial. En el segundo, Berry se da cuenta que se puede asociar,

de alguna manera, el estado de polarizacion de una onda elıpticamente polarizada

a un espinor de dos componentes, sin embargo no se le asigna ningun significado al

factor globlal, que como aquı se vera juega un papel clave para ver si dos ondas se

encuentran en fase y relacionar este hecho con el transporte paralelo sobre la esfera

de Poincare, entre otras cosas.

En la seccion 2.1, se muestra que la fase y el estado de polarizacion de una onda

electromagnetica elıpticamente polarizada quedan completamente determinados por

un espinor de dos componentes, esto se logra notando que las componentes del campo

pueden ser escritas en terminos de los parametros de polarizacion de la elipse, los

cuales pueden verse como un punto en la esfera de Poincare, y recordando que los

espinores pueden ser vistos como puntos, con sus respectivos vectores tangentes, en

la esfera. En la seccion 2.2, se estudia la superposicion entre ondas, se encuentra la

relacion entre las intensidades de las ondas, y se encuentra que dos ondas se encuentran

en fase si el angulo que forman con la geodesica que las une es el mismo, lo que

17

CAPITULO 2. REPRESENTACION ESPINORIAL DE ONDAS

ELECTROMAGNETICAS

2.1. CAMPO ELECTRICO DE ONDAS MONOCROMATICAS

introduce o requiere de manera natural el transporte paralelo. En la seccion 2.3, se

encuentra que los parametros de Stokes pueden ser escritos en terminos de un espinor

de dos componentes y finalmente en la seccion 2.4 se muestra que el vector de Jones es,

en esencia, un espinor de dos componentes, solo que expresado en una base distinta.

2.1. Campo electrico de ondas monocromaticas

El campo electrico (real) de una onda elıpticamente polarizada, propagandose en

la direccion z, cuyo semieje mayor esta rotado un angulo φ/2 con respecto al eje x,

puede escribirse como,

E =

[a cos

1

2φ cos

(ωt− kz +

1

2χ

)− b sen

1

2φ sen

(ωt− kz +

1

2χ

)]i

+

[a sen

1

2φ cos

(ωt− kz +

1

2χ

)+ b cos

1

2φ sen

(ωt− kz +

1

2χ

)]j(2.1)

(vease Apendice 1 para la deduccion de esta expresion), donde a y b son constantes

reales que representan los semiejes mayor y menor, con |a| > |b|; ω y k son la frecuencia

angular y el numero de onda, respectivamente. El factor de 12que acompana a la fase

χ se introdujo por conveniencia para calculos posteriores (ver por ejemplo, Torres del

Castillo 2008). Tomando en cuenta la simetrıa de la elipse (i.e. que bajo una rotacion

por un angulo π alrededor del origen se mantiene invariante), basta con considerar

0 6 φ 6 2π. La elipse formada por el campo electrico dado en (2.1), se ve en la figura

(2.1).

Figura 2.1: Elipse descrita por el campo electrico.

18


ELECTROMAGNETICAS


Podemos expresar la elipticidad, b/a, de la siguiente manera1,

b

a= tan

(π

4− θ

2

). (2.2)

Como |a| > |b|, entonces |b/a| 6 1, con lo cual se ve que para un valor de b/a, existe

un unico θ ∈ [0, π]2. Notese que el cociente b/a es positivo si 0 6 θ 6 π/23 (en cuyo

caso tenemos polarizacion derecha), y el cociente b/a es negativo si π/2 6 θ 6 π4

(teniendo ası polarizacion izquierda). De esta manera, θ = 0 y θ = π corresponde a

polarizacion circular, mientras que para θ = π/2 tenemos polarizacion lineal (vease

la figura (2.2))5.

En particular, si elegimos6

a =√2A cos

(π

4− θ

2

)= A

(cos

θ

2+ sen

θ

2

)

b =√2Asen

(π

4− θ

2

)= A

(cos

θ

2− sen

θ

2

), (2.3)

suponiendo que A es positiva, y utilizando las ecuaciones (2.3) se puede reescribir

1En algunos libros (vease por ejemplo, Born-Wolf 1997 y Guenther 1990) se define la elipticidad como

b/a ≡ tanϕ. El nombre del argumento es irrelevante, lo importante es que para cada valor de b/a, haya

un unico valor del argumento, en el intervalo correspondiente.

2Como |b/a| 6 1, entonces

∣∣∣∣π

4− θ

2

∣∣∣∣ 6π

4, con lo cual

−π46π

4− θ

26π

4⇔ −π

26 −θ

26 0 ⇔ 0 6 θ 6 π.

3Ya que |b/a| 6 1 y b/a > 0, entonces

0 6π

4− θ

26π

4⇔ −π

46 −θ

26 0 ⇔ 0 6 θ 6

π

2.

4|b/a| 6 1 y b/a 6 0, entonces

−π46π

4− θ

26 0 ⇔ −π

26 −θ

26 −π

4⇔ π

26 θ 6 π.

5Es facil ver que, cuando θ = 0 o θ = π, b/a = 1 o b/a = −1, i.e. los semiejes tienen la misma

longitud (la elipse se convierte en un cırculo). Por otra parte, en el contexto de la teorıa cuantica del

campo, se dice que la luz tiene helicidad negativa si rota en la direccion de las manecillas del reloj, la cual

se llama polarizacion izquierda de acuerdo con el hecho que las cantidades “izquierdas” son negativas.

Sin embargo, en optica la luz que rota en el sentido de las manecillas del reloj, se llama polarizacion

derecha. Aquı se sigue la primera de las convenciones mencionadas.6Puede verse facilmente que esta eleccion de a y b satisface la definicion de elipticidad dada previamen-

te, con la ventaja de que permite reescribir la expresion del campo electrico de una manera conveniente.

Esta conveniencia puede verse mas adelante en los calculos.

19


ELECTROMAGNETICAS


q

f

x

yX

Z

Yx

y

x

y

x

y

x

y

x

y

Figura 2.2: Representacion grafica de los diferentes tipos de polarizacion presentes en

la esfera de Poincare.

(2.1) en la forma,

E = A

{(cos

θ

2

[cos

φ

2cos

(ωt− kz +

1

2χ

)− sen

φ

2sen

(ωt− kz +

1

2χ

)]

+ senθ

2

[cos

φ

2cos

(ωt− kz +

1

2χ

)+ sen

φ

2sen

(ωt− kz +

1

2χ

)])ı

+

(cos

θ

2

[sen

θ

2cos

(ωt− kz +

1

2χ

)+ cos

θ

2sen

(ωt− kz +

1

2χ

)]

+ senφ

2

[sen

θ

2cos

(ωt− kz +

1

2χ

)− cos

θ

2sen

(ωt− kz +

1

2χ

)])

}

lo cual, utilizando identidades trigonometricas de suma y resta de angulos, resulta en

E = A

{[cos

θ

2cos

(ωt− kz +

1

2χ+

1

2φ

)+ sen

θ

2cos

(ωt− kz +

1

2χ− 1

2φ

)]i

+

[cos

θ

2sen

(ωt− kz +

1

2χ +

1

2φ

)− sen

θ

2sen

(ωt− kz +

1

2χ− 1

2φ

)]j

}.(2.4)

Notese que las ecuaciones (2.1) y (2.4) para el campo electrico, son completamente

equivalentes pues ambas contienen cuatro parametros reales independientes, con la

ventaja de que los parametros de esta ultima especifican de manera explıcita el estado

de polarizacion de la onda (ver ecuaciones (2.3)).

Mas aun, si se consideran θ y φ como las coordenadas esfericas usuales (θ el

angulo polar y φ el azimutal), el par (θ, φ) se puede ver como un punto en la esfera

20


ELECTROMAGNETICAS


unitaria, que en este contexto se llamara de Poincare (ver por ejemplo Born-Wolf 1997,

Guenther 1990 y Kliger-Lewis 1990). Por el argumento anterior y tomando en cuenta

la ecuacion (2.4) se puede ver que un punto en la esfera de Poincare respresenta

el estado de polarizacion del campo electrico, mientras que la direccion del vector

tangente a la esfera en dicho punto, ReM, dada por el angulo 12χ (ver seccion 1.2.1),

determina la fase de la onda.

Las componentes de la ecuacion anterior se pueden reescribir de manera compacta

como,

Ex + iEy = A

[cos

θ

2ei(ωt−kz+χ/2+φ/2) + sen

θ

2ei(−ωt+kz−χ/2+φ/2)

]

Ex − iEy = A

[cos

θ

2e−i(ωt−kz+χ/2+φ/2) + sen

θ

2e−i(−ωt+kz−χ/2+φ/2)

](2.5)

o, de manera equivalente, en terminos de un espinor unitario de dos componentes7

o =

(o1

o2

)= e−iχ/2

(e−iφ/2 cos θ

2

eiφ/2sen θ2

)(2.6)

y su companero

o =

(o1

o2

)= eiχ/2

(−e−iφ/2sen θ

2

eiφ/2 cos θ2

), (2.7)

las ecuaciones (2.5) toman la forma8

Ex + iEy = A[e−i(ωt−kz)o2 + ei(ωt−kz)o2

]

Ex − iEy = A[e−i(ωt−kz)o1 − ei(ωt−kz)o1

]. (2.8)

De esta manera, toda la informacion de la amplitud de la onda esta dada por A,

mientras que la polarizacion y la fase estan dadas por el espinor unitario o.

Las relaciones anteriores constituyen una descomposicion de una onda como la

superposicion de ondas circularmente polarizadas, con las componenetes o1 y o2 siendo

las amplitudes relativas de esta descomposicion.

Por otra parte, debido a que unicamente podemos medir la intensidad de la luz,

resulta importante calcular el promedio en el tiempo del cuadrado del campo electrico,

para poder contrastar los resultados teoricos con los experimentales9, Ası, el promedio

7Notese que o, tambien puede obtenerse a partir de

o = eiξd o

dθ.

8Esto se puede verificar facilmente sustituyendo (2.6) y (2.7) en (2.8).9Es usual en el tratamiento presentado en los libros de texto, que que se reemplace 〈E2〉, por I, la

intensidad del campo. Esto debido a que solamente estan interesados en las intensidades relativas, por

lo que desprecian las constantes de proporcionalidad (ver por ejemplo Guenther 1990).

21


ELECTROMAGNETICAS


en el tiempo del cuadrado del campo electrico esta dado por

< E2 >= A2(o2o1 − o1o2) = A2o†o = A2. (2.9)

Este ultimo resultado se obtiene considerando que E2 = E2x +E2

y = (Ex + iEy)(Ex −iEy), con Ex + iEy y Ex − iEy dadas por las ecuaciones (2.8), a partir de lo cual se

tiene

E2 = A2[e−2i(ωt−kz)o1o2 − o2o1 + o1o2 − e2i(ωt−kz)o1o2]

= A2[o2o1 − o2o1] + 2ARe[e−2i(ωt−kz)o1o2],

lo cual implica que (ver por ejemplo Guenther 1990),

< E2 >=1

T

∫ t0+T

t0

E2dt

= A2[o2o1 − o2o1] +2A

TRe

[o1o2

∫ t0+T

t0

e−2i(ωt−kz)dt

],

pero tomando en cuenta que, el periodo T es el tiempo de respuesta del detector de la

onda de luz, el cual normalmente es mucho mayor que el periodo de oscilacion de la

onda misma, se tiene que ωT >> 1, por lo que se puede despreciar el ultimo termino

de la ecuacion anterior10. Notando que (vease ecuacion (1.40)),

o†o = −otεo = −(o1 o2

)( 0 1

−1 0

)(o1

o2

)= o2o1 − o1o2, (2.10)

finalmente llegamos a la ecuacion (2.9). Una manera mucho mas facil de convenserse

de la veracidad de esta ecuacion es notando que

E2 = A2(|o1|2 + |o2|2) = A2o†o = A2 (2.11)

y puesto que la expresion anterior no depende del tiempo,

< E2 >= A2.

De esta manera, de acuerdo al teorema de Wigner, la energıa transportada por la

onda no cambia si y solo si o esta sometido a una transformacion unitaria o antiuni-

taria.

Se puede definir el espinor de dos componentes, ψ, como

ψ ≡ Ao (2.12)

10Para el caso de la luz verde el termino que despreciamos no es mas grande que 10−6 (ver por ejemplo

Guenther 1990), por lo que este resultado es suficientemente preciso.

22


ELECTROMAGNETICAS


con lo que las ecuaciones (2.8) se pueden reescribir de la siguiente manera

Ex + iEy = e−i(ωt−kz)ψ2 + ei(ωt−kz)ψ2

Ex − iEy = e−i(ωt−kz)ψ1 − ei(ωt−kz)ψ1 (2.13)

Ademas la ecuacion (2.9) queda

< E2 >= ψ†ψ. (2.14)

Las ecuaciones (2.13), muestran ahora que tanto el estado de polarizacion, como

la amplitud de la onda estan determinadas completamente por el espinor ψ. Y la

ecuacion (2.14), que el promedio en el tiempo del cuadrado del campo electrico, que

para fines practicos se toma como la intensidad, es igual al producto interior de ψ

consigo mismo. Lo anterior resulta muy conveniente, ya que como se vio en la seccion

(1.2.3), el producto interior entre espinores involucra de manera natural el transporte

paralelo de los vectores tangentes a la esfera. Ası, la ecuacion (2.14) permite relacionar

la intensidad de la onda con el transporte paralelo, lo cual va a servir para ver cuando

dos ondas se encuentran en fase.

Notese que, de acuerdo a la definicion del angulo φ, una rotacion de los ejes

coordenados en el plano xy alrededor de un eje n por un angulo α, es equivalente a

sustituir φ/2 por φ/2− α11, el cual corresponde a la accion de la matriz12

(eiα 0

0 e−iα

)= exp(iασ3) (2.15)

sobre el espinor o. Esta matriz de SU(2) corresponde a una rotacion sobre la esfera

de Poincare por un angulo −2α alrededor del eje z13.

11Una rotacion activa, i.e. rotamos un punto por un angulo α alrededor del origen sobre el plano xy, es

equivalente a tener una rotacion pasiva, i.e. rotar los ejes, solo que ahora los ejes se “acercan” al punto

por lo que es equivalente a rotar el punto por angulo −α.12Las matrices de la forma

(eiα 0

0 e−iα

)pertenecen a SU(2) ∀α ∈ R. Ademas, si G es un grupo

continuo, como lo es SU(2), al menos para elementos cercanos a la identidad, para A ∈ G

A = expJi,

donde Ji es un generador del grupo. Y, por ejemplo, en el caso de las rotaciones se sabe que cualquier

rotacion finita se puede construir a partir de la composicion de rotaciones infinitesimales, en general se

puede escribir

A = expαJi,

que para el caso de las rotaciones α representa el angulo de rotacion. En particular, para el grupo SU(2),

los generadores estan dados por iσi, con σi el conjunto de las matrices de Pauli.13Lo anterior se puede comprobar facilmente de la siguiente manera. Para encontrar la matriz de SO(3)

23


ELECTROMAGNETICAS

2.2. SUPERPOSICION DE ONDAS MONOCROMATICAS

2.2. Superposicion de ondas monocromaticas

Como es sabido de los cursos de electrodinamica, una de las propiedades de los

campos electromagneticos es que pueden superponerse; este principio, llamado prin-

cipio de superposicion, establece que la suma de soluciones a la ecuacion de onda es

tambien una solucion de la ecuacion. Una consecuencia fısica de este principio es el

fenomeno de interferencia. Cabe mencionar que la primera observacion de la interfe-

rencia fue hecha por Robert Boyle en 1964, pero no fue hasta 1812, cuando Fresnel

realizo sus experimentos que finalmente descartarıan la, hasta entones idea aceptada,

de la teorıa corpuscular de la luz (de la cual fue partidario Newton).

Ahora considerense dos ondas monocromaticas planas con la misma frecuencia

y propagandose en la misma direccion. Como se vio en la seccion anterior, cada

una de estas ondas puede ser representada por los espinores A1α y A2β, con A1 y A2

numeros reales que representan las amplitudes de las ondas y α, β espinores unitarios.

Del principio de superposicion y de la ecuacion (2.12), se puede ver que

ψ = A1α + A2β (2.16)

que, comparando con la ecuacion (1.47), en efecto se nota que ψ es el espinor corres-

pondiente la superposicion de estas ondas.

El interes ahora es encontrar la intensisdad de cada una de las ondas en terminos

de la intensidad total, para lo cual conviene definir ψ = Aγ, con A un numero

real positivo y γ un espinor unitario de dos componentes. De las ecuaciones (1.49),

identificando A1 con c1, y (1.56) se obtiene

A21 =

|β†ψ|2|α†β|2 = A2 |β†γ|2

|α†β|2 = A2 sen2 12a

sen 2 12c

(2.17)

que le corresponde a A =

(eiα 0

0 e−iα

), se calculan

Aσ1A−1 =

(0 e2iα

e−2iα 0

)=

(0 cos 2α+ isen 2α

cos 2α− isen 2α 0

)= cos 2ασ1 − sen 2ασ2

Aσ2A−1 =

(0 −ie2iα

ie−2iα 0

)=

(0 sen 2α− i cos 2α

sen 2α+ i cos 2α 0

)= sen 2ασ1 + cos 2ασ2

Aσ1A−1 =

(1 0

0 −1

)= σ3,

y considerando que AσiA−1 = ajiσj con aji las entradas de las matriz de SO(3) correspondiente a A14,

se ve que

(aji ) =

cos 2α sen 2α 0

−sen 2α cos 2α 0

0 0 1

,

la cual representa una rotacion en el plano xy por un angulo (−2α).

24


ELECTROMAGNETICAS


donde a tiene el mismo significado que θ en las ecuaciones (1.55) y (1.56), i.e. a es el

angulo formado por rα y rβ correspondientes a α y β. Recordando que, de acuerdo

con la ecuacion (2.9), A2 la podemos relacionar con la intensidad de la onda, I; de la

ecuacion anterior podemos relacionar ahora las intensidades I e I1 de acuerdo con

I1 = Isen 2 1

2a

sen 2 12c. (2.18)

De manera similar de las ecuaciones (1.49), identificando c2 con A2, y (1.56) se

tiene

A22 =

|α†ψ|2|α†β|2 = A2 |α†γ|2

|α†β|2 = A2 sen2 12b

sen 2 12c

(2.19)

donde b es el angulo formado entre los vectores en la esfera unitaria, rα y rγ, corres-

pondientes a α y γ. Ası, como en el caso anterior,

I2 = Isen 2 1

2b

sen 2 12c. (2.20)

Ahora bien, de acuerdo con las ecuaciones (2.9) y (2.14), las amplitudes A1, A2 y A

estan relacionadas por15

A2 = ψ†ψ = (A1α + A2β)†(A1α + A2β) = A2

1 + A22 + 2A1A2Re(α

†β). (2.21)

Haciendo uso de la ecuacion (1.55), se puede mostrar que

Re(α†β) = cos1

2θ cos

1

2(χ− φ),

con lo que la ecuacion (2.21) queda como

A2 = A21 + A2

2 + 2A1A2 cos1

2θ cos

1

2(χ− φ). (2.22)

La ecuacion anterior alcanza su maximo valor posible cuando χ = −φ, esto debido a

que el coseno alcanza un maximo cuando el argumento es cero. Con lo que se puede

ver que, de acuerdo con la definicion de Pancharatnam16, las ondas se encuentra en

15Como α y β son espinores unitarios, A1 y A2 son cantidades reales positivas, por calculo directo se

ve que

A2 = (A1α+A2β)†(A1α+A2β) = A2

1α†α+A1A2α

†β +A2A1β†α+A2

2β†β

= A21 +A2

2 +A1A2(α†β + β†α),

como β†α = (α†β)†,

A2 = A21 +A2

2 +A1A2Re(α†β)

16Esto es, dos ondas elıpticamente polarizadas estan en fase cuando la intensidad de su superposicion

alcanza su maximo valor posible.

25


ELECTROMAGNETICAS


fase si χ = −φ. Lo anterior significa que los angulos formados por ReMα y ReMβ con

el arco de cırculo maximo que une los puntos de la esfera unitaria correspondientes a

α y β, coinciden (ver, por ejemplo, la figura (1.5)).

La ecuacion (2.21) muestra que no hay interferencia constructiva o destructiva

entre las ondas si y solo si α†β es igual a cero o es imaginario puro.

Ya que α†β es igual a cero si y solo si β es proporcional a α†, como se vio en

la seccion (1.2.2), los puntos en la esfera de Poincare que satisfacen esta condicion

son diametralmente opuestos, en este se dice que las ondas correspondientes a α y β

tienen polarizacion opuesta (Pancharatnam 1956).

2.2.1. Fases relativas y transporte paralelo

El hecho de que dos ondas esten en fase, i.e. que los angulos formados por los

vectores tangentes a la esfera de Poincare en los puntos correspondientes a los espino-

res α y β (ReMα y ReMβ , respectivamente), con respecto al arco de cırculo maximo

que une dichos puntos sean iguales, es equivalente a decir que ReMβ se obtiene al

transportar paralelamente ReMα a lo largo de la geodesica17 que une los puntos de

la esfera unitaria, tal como se ve en la figura (2.3).

cc

q rra b

Figura 2.3: Representacion grafica de los espinores correspondientes a dos ondas en

fase.

Ademas, el hecho de que la esfera tenga curvatura constante distinta de cero,

implica que si α esta en fase con β, y a su vez β esta en fase con γ, entonces existe

17Una curva geodesica

26


ELECTROMAGNETICAS

2.3. LOS PARAMETROS DE STOKES Y LA ESFERA DE POINCARE

una diferencia de fase entre α y γ igual a la mitad del area del triangulo geodesico

con vertices rα, rβ y rγ (Berry 1987), figura (2.4).

r

rr

a

b g

Figura 2.4: Diferencia de fase alrededor de una curva cerrada.

2.3. Los parametros de Stokes y la esfera de Poin-

care

Un conjunto de parametros muy empleados para representar la polarizacion de

una onda son los parametros de Stokes, s0, s1, s2, s3, los cuales escritos en terminos

de los angulos θ y φ (en este contexto y como ya se vio anteriormente, los parametros

de polarizacion elıptica) estan dados por18,

(s1, s2, s3) = s0(sen θ cosφ, sen θsen φ, cos θ), (2.23)

18Los parametros de Stokes tambien suelen representarse por,

s0 =< E20x > + < E2

0y >, s1 =< E20x > − < E2

0y >

s2 =< 2E0yE0x cos δ >, s3 =< 2E0xE0ysen δ >,

que satisfacen

s21 + s22 + s23 = s20.

En la derivacion de estas expresiones se asume que las amplitudes y fase relativa de las dos ondas

ortogonales polarizadas, fuese constante. Se puede relajar esta condicion definiendo los parametros de

Stokes como promedios en el tiempo.

27


ELECTROMAGNETICAS

2.4. REPRESENTACION DEL VECTOR DE JONES EN LA ESFERA DEPOINCARE

el cual puede verse como un punto en la esfera de Poincare, con radio s0. Esta rela-

cion existente entre los parametros de polarizacion de la elipse y los parametros de

Stokes, los convierte en una caracterizacion util del estado de polarizacion de una

onda elıpticamente polarizada.

Debido a que el vector r = (r1, r2, r3) = (sen θ cosφ, sen θsen φ, cos θ) en la esfera

unitaria (ver ecuacion (1.35)), representa el estado de polarizacion de una onda (segun

se vio en la seccion (2.1)); el vector,

1

s0(s1, s2, s3) = (sen θ cosφ, sen θsen φ, cos θ) = r (2.24)

es el punto en la esfera de Poincare correspondiente a dicha polarizacion. Por lo tanto,

de la ecuaciones (2.24) y (1.31), puede verse que los parametros de Stokes pueden ser

escritos de la siguiente manera en terminos de un espinor unitario de dos componentes

o,sis0

= ri = o†σio. (2.25)

Cabe mencionar que para cualquier onda dada, los parametros de Stokes pueden

encontrarse mediante experimentos sencillos (ver por ejemplo, seccion 10.8.3 de Born-

Wolf 1997).

2.4. Representacion del vector de Jones en la es-

fera de Poincare

Ademas de los parametros de Stokes existe otra representacion para describir la luz

polarizada, el vector de Jones. Esta representacion es complementaria a los parametros

de Stokes, con la ventaja de que, cuando se tienen ondas electromagneticas con fase

y amplitudes conocidas, al emplear parametros complejos se reduce el numero de

variables simplificando ası los calculos. Sin embargo, el formalismo de Jones deja de

aplicarse para ondas no polarizada o parcialmente polarizada, donde la utilizacion de

los parametros de Stokes sigue siendo aplicable.19

El vector de Jones, es un vector complejo de dos componentes, cuyas entradas

son las componentes complejas en x y y del campo electrico. La forma usual en la

que se escribe este vector es (ver, por ejemplo, Guenther 1990, Han et al. 1997a y las

referencias ahı citadas)

(Ex

Ey

)=

(E0x exp{i(kz − ωt+ φ1)}E0y exp{i(kz − ωt+ φ2)}

)(2.26)

19Se puede utilizar el formalismo de la matriz de densidad para corregir esta deficiencia del vector de

Jones, sin embargo la simplicidad de la representacion de Jones se pierde.

28


ELECTROMAGNETICAS


sin embargo, utilizando las ecuaciones (2.8), se puede ver que las componentes del

campo electrico estan dadas por20

Ex = Re{A[e−i(ωt−kz)(o1 + o2)]}Ey = Re{A[e−i(ωt−kz)(io1 − io2)]}. (2.27)

Cabe remarcar que las entradas del vector de Jones son cantidades complejas, lo cual

aquı se enfatiza utilizando un superındice c, y las componentes en x y y del campo

electrico estan dadas por la parte real de estas. Por lo que una forma mas conveniente

de escribir este vector es21,(Ecx

Ecy

)=

√2e−iπ/4Ae−i(ωt−kz) e

iπ/4

√2

(1 1

i −i

)(o1

o2

). (2.28)

Una manera de encontrar algunas propiedades de este vector, es analizando la

matriz

U ≡ eiπ/4√2

(1 1

i −i

), (2.29)

la cual puede comprobarse que pertenece al grupo SU(2)22 (i.e. es unitaria y su de-

20Estas ecuaciones se pueden obtener facilmente notando que, de (2.6) y (2.7) se tiene o2−o1 = o1+o2

y o2 + o1 = o1 − o2, y si las ecuaciones en (2.8) se suman,

2Ex = A[e−i(ωt−kz)(o1 + o2) + ei(ωt−kz)(o2 − o1)]

⇒ Ex =A

2{e−i(ωt−kz)(o1 + o2) + [e−i(ωt−kz)(o1 + o2)]}

= ARe[e−i(ωt−kz)(o1 + o2)]

mientras que si se restan,

2iEy = A[e−i(ωt−kz)(o2 − o1) + ei(ωt−kz)(o2 + o1)]

⇒ Ey =A

2{e−i(ωt−kz)(io1 − io2) + ei(ωt−kz)(io2 − io1)}

=A

2{e−i(ωt−kz)(io1 − io2) + e−i(ωt−kz)(io1 − io2)}

= ARe[e−i(ωt−kz)(io1 − io2)].

21Si desarrollamos esta expresion, es facil verificar que las componentes reales Ex y Ey, en efecto son

la parte real del vector, (Ec

x

Ecy

)= Ae−i(ωt−kz)

(o1 + o2

io1 − io2

),

que es el mismo de la ecuacion (2.28), y se ve de manera directa de(2.27).22La matriz U puede ser escrita como,

U =1

2

(1 + i 1 + i

−1 + i 1− i

),

29


ELECTROMAGNETICAS


terminante es igual a la unidad), y que ademas satisface las siguientes relaciones23

Uσ1U−1 = σ3, Uσ2U−1 = σ1, Uσ3U−1 = σ2. (2.30)

Al ser U una matriz de SU(2), representa una rotacion, y debido a que se satisfacen

las relaciones anteriores puede verse que ademas esta matriz corresponde a una trans-

formacion de SO(3)24 que permuta los ejes coordenados. Uno puede convencerse de

la veracidad de esta afirmacion si se considera la expresion25

AσiA−1 = ajiσj (2.31)

y recordando la ecuacion (1.31), i.e. xi = ψ†σiψ, puede verse que, cuando A = U , yademas se satisfacen las relaciones (2.30). El efecto de la matriz U sobre las matrices de

Pauli, que estan relacionadas con las coordenadas por xi = ψ†σiψ, es cambiar σ1 por

σ3 y sus permutaciones cıclicas, lo cual finalmente equivale a permutar cıclicamente

los ejes coordenados.

Ademas del factor√2e−iπ/4Ae−i(ωt−kz), el vector

(Ecx

Ecy

)es, en escencia, el espinor

(o1

o2

)en una base distinta. Esto es, tomando

(o1

o2

)≡ U

(o1

o2

), (2.32)

y de la ecuacion (2.28) se tiene(Ecx

Ecy

)=

√2e−iπ/4Ae−i(ωt−kz)

(o1

o2

). (2.33)

Notese que, mientras que los espinores base

(o1

o2

)=

(1

0

)y

(o1

o2

)=

(0

1

)

(que corresponden a θ = 0 y θ = π, respectivamente) representan ondas circularmente

con lo cual se ve que

U†U =1

4

(1− i −1− i

1− i 1 + i

)(1 + i 1 + i

−1 + i 1− i

)=

(1 0

0 1

),

y ademas detU = 14 (2− (i2) + 1) = 1. Con lo que queda demostrado que en efecto U ∈SU(2).

23

24Esto es debido al homomorfismo entre SU(2) y SO(3). Cuando se prueba que, en efecto hay un

homomorfismo 2 a 1 entre estos dos grupos, se introducen las matrices de Pauli, las cuales son hermitianas

y tienen traza cero (y de hecho son una base para el espacio de matrices 2 × 2 hermitianas con traza

cero). Y se consideran las matrices AσiA−1 = ajiσj con A ∈ SU(2) y se prueba que (ajk) ∈ SO(3) (i.e.

la matriz a es ortogonal, a−1 = at, donde t denota trasposicion; y a tiene determinante igual a 1); cada

una de estas matrices es tambien hermitiana y con traza cero.25Ver por ejemplo, capıtulo 1 de Torres del Castilo 2003, para la deduccion de esta ecuacion.

30


ELECTROMAGNETICAS


polarizadas (ver figura (2.2)); los espinores base

(o1

o2

)=

(1

0

)y

(o1

o2

)=

(0

1

)

representan ondas linealmente polarizadas. En consecuencia, la matriz U ∈ SU(2),

dada por la ecuacion (2.29), representa la conexion entre estas bases de los estados

de polarizacion comunmente empleadas.

De acuerdo con la ecuacion (2.32), los vectores dados por xi y Mi tal como se

definieron en la seccion (1.2.1), se pueden escribir en terminos del espinor o de la

siguiente manera (considerando que, o = Uo ⇔ o = U−1o)26,

xi = o†σio = (U−1o)†σi(U−1o) = o†UσiU−1o (2.34)

y27

Mi = otεσio = (U−1o)tεσi(U−1o) = ot(U−1)tεσi(U−1o) = otεUσiU−1o. (2.35)

Las ecuaciones anteriores son de la misma forma que (1.31) y (1.32), donde o se

reemplaza por o y σi por UσiU−1, que es de nuevo una matriz de Pauli como se ve en

las relaciones (2.30).

26El ultimo paso en esta ecuacion es valido debido a la unitariedad de U27De la formula general Q−1 = − 1

detQεQtε, valida para cualquier matriz 2×2 no singular, se ve que,

si en particular Q = U−1, con U ∈ SU(2), se tiene

U = −ε(U−1)t ⇔ εU = (U−1)tε,

considerando que ε2 = −I y εt = −ε.

31

Capıtulo 3

Representacion espinorial de la

propagacion de ondas

electromagneticas.

En este capıtulo se estudia la representacion e interpretacion geometrica del efecto

de algunos filtros opticos. Esto es, debido a que el estado de polarizacion y la fase de

una onda quedan completamente determinados por un espinor de dos componentes,

el efecto de un filtro optico sobre las componentes del campo electrico se convierte

en una transformacion de los espinores sobre la superficie de la esfera de Poincare.

Siguiendo el enfoque anterior, en la seccion 3.1 se estudia el efecto de un medio

defasador, un medio que transforma de diferente manera la fases de las componenstes

en x y y del campo electrico, encontrando que el efecto de dicho medio sobre las

componentes del campo es equivalente a una transformacion sobre un espinor, la cual

corresponde a una rotacion en la esfera de Poincare. En la seccion 3.2 se estudia

el efecto de un medio atenuador, un medio que atenua las componentes del campo

electrico, y se encuentra que la transformacion ya no corresponde a una rotacion sobre

la esfera de Poincare, de hecho la matriz 2× 2 correspondientes es unimodular, pero

ya no pertenece al grupo SU(2), mas bien es una transformacion conforme a la esfera,

ademas se muestra que el producto interior no se preserva bajo esta transformacion. Y

finalmente en la seccion 3.3 se estudia un medio girotropo, que transforma de manera

distinta las ondas electromagneticas circularmente polarizadas derecha e izquierda,

encontrando que, bajo un cambio de base, su efecto es el mismo que el de un medio

defasador.

32

CAPITULO 3. REPRESENTACION ESPINORIAL DE LA PROPAGACION

DE ONDAS ELECTROMAGNETICAS.

3.1. MEDIO DEFASADOR

3.1. Medio defasador

Si hay un cambio de fase, δ1 para la componente en x del campo electrico y δ2,

posiblemente diferente a δ1, para la componente en y, el vector de campo electrico

dado por (2.4) se convierte en

E′ = A

{[cos

θ

2cos

(ωt− kz +

1

2χ+

1

2φ+ δ1

)

+ senθ

2cos

(ωt− kz +

1

2χ− 1

2φ+ δ1

)]i (3.1)

+

[cos

θ

2sen

(ωt− kz +

1

2χ +

1

2φ+ δ2

)(3.2)

− senθ

2sen

(ωt− kz +

1

2χ− 1

2φ+ δ2

)]j

}. (3.3)

con lo que para este caso, de un medio dafasador, la combinacion E ′x + iE ′

y queda

como

E ′x + iE ′

y = A

{cos

θ

2cos

(ωt− kz +

1

2χ+

1

2φ+ δ1

)

+senθ

2cos

(ωt− kz +

1

2χ− 1

2φ+ δ1

)(3.4)

+i cosθ

2sen

(ωt− kz +

1

2χ+

1

2φ+ δ2

)(3.5)

− isenθ

2sen

(ωt− kz +

1

2χ− 1

2φ+ δ2

)}. (3.6)

Definiendo δ ≡ δ2−δ11, escribiendo las funciones seno y coseno de las fases en terminos

de exponenciales2, y reagrupando las exponenciales de δ para reconstruir las funciones

trigonometricas, se tiene

E ′x + iE ′

y = A

{eiχ/2ei(

δ1+δ22 )

(eiφ/2 cos

1

2θ cos

1

2δ + e−iφ/2sen

1

2θ(−i)sen

1

2δ

)

+ e−iχ/2e−i( δ1+δ22 )

(e−iφ/2 cos

1

2θ cos

1

2δ + eiφ/2sen

1

2θ(i)sen

1

2δ

)}, (3.7)

1Lo cual implica que δ1 = δ1+δ22 − δ

2 y δ2 = δ1+δ22 + δ

2 .2Esto es,

cos z =eiz + e−iz

2

sen z =eiz − e−iz

2i.

33




conjugando complejamente se obtiene que E ′x + iE ′

y = E ′x − iE ′

y, debido a que las

componentes en x y y del campo electrico son funciones reales, con lo que

E ′x − iE ′

y = A

{e−iχ/2e−i( δ1+δ2

2 )(e−iφ/2 cos

1

2θ cos

1

2δ + eiφ/2sen

1

2θ(i)sen

1

2δ

)

+ eiχ/2ei(δ1+δ2

2 )(eiφ/2 cos

1

2θ cos

1

2δ + e−iφ/2sen

1

2θ(−i)sen

1

2δ

)}(3.8)

identificando de manera adecuada los terminos en las ecuaciones (3.8) y (3.7), puede

verse que estas ecuaciones pueden ser escritas en la forma (2.8), ahora en terminos

de un espinor de dos componentes y su companero

o′ =

(cos 1

2δ isen 1

2δ

isen 12δ cos 1

2δ

)e−iχ/2

(e−iφ/2 cos 1

2δ

eiφ/2sen 12δ

)e−i( δ1+δ2

2 ) =

(o′1

o′2

)(3.9)

y

o′ =

(cos 1

2δ −isen 1

2δ

−isen 12δ cos 1

2δ

)eiχ/2

(−e−iφ/2sen 1

2δ

eiφ/2 cos 12δ

)ei(

δ1+δ22 ) =

(o′1

o′2

)(3.10)

E ′x + iE ′

y = A{e−i(ωt−kz)o′2 + ei(ωt−kz)o′2

}(3.11)

y

E ′x − iE ′

y = A{e−i(ωt−kz)o′1 − ei(ωt−kz)o′1

}. (3.12)

Las dos ecuaciones anteriores se obtuvieron por calculo directo, primeramente to-

mando en cuenta que la fases de las componentes del campo electrico en x y y se

transforman de distinta manera bajo la accion de un medio defasador; luego utili-

zando las relaciones entre las funciones trigonometricas e hiperbolicas y la funcion

exponencial, se muestra que la combinacion E ′x+iE ′

y y su conjuada pueden escribirse

de manera tal que se pueden agrupar e identificar de manera conveniente los termi-

nos en las ecuaciones (3.11) y (3.12), para obtener ecuaciones de la forma (2.8). Lo

anterior significa que transformar de manera, posiblemente distinta, las fases de las

componenetes en x y y del campo electrico es equivalente a transformar el espinor

unitario o y su companero o, , salvo por el factor de fase ei(δ1+δ2

2 ), por las matrices

C =

(cos 1

2δ isen 1

2δ

isen 12δ cos 1

2δ

)y C =

(cos 1

2δ −isen 1

2δ

−isen 12δ cos 1

2δ

)que aparecen en las ecua-

ciones (3.9) y (3.10) respectivamente. Notese que las matrices C y C son matrices

unitarias con determinante igual a la unidad, por lo que pertenecen al grupo SU(2), y

como ya se vio en el capıtulo 1, una matriz del grupo SU(2) correponde a rotaciones

en la esfera, que en este contexto es la de Poincare.

Tambien se ve que la matriz C, puede escribirse en terminos de la exponencial de

los generadores del grupo de la siguiente manera

C =

(cos 1

2δ isen 1

2δ

isen 12δ cos 1

2δ

)= (cos

1

2δ)I + i(sen

1

2δ)σ1 = exp(i

1

2δσ1). (3.13)

34




Esto ultimo se puede verficarse facilmente si uno considera el desarrollo en serie de

la exponencial y de ahı se reconocen los terminos por separado del desarrollo en serie

de las funciones seno y coseno, y ademas se considera la propiedad de las matrices de

Pauli σ2i = I. Otra manera de ver la validez de la expresion anterior es encontrando la

matriz de SO(3) correspondiente a la matriz C, esto se logra utilizando la expresion

CσiC−1 = ajiσj , (3.14)

con aji las entradas de una matriz 3 × 3 ∈ SO(3), donde el superındice indica el

numero de renglon. Desarrollando,

Cσ1C−1 =

(−i cos 1

2δsen 1

2δ + i cos 1

2δsen 1

2δ cos2 1

2δ + sen 2 1

2δ

cos2 12δ + sen 2 1

2δ i cos 1

2δsen 1

2δ − i cos 1

2δsen 1

2δ

)

=

(0 1

1 0

)= σ1, (3.15)

Cσ2C−1 =

(−2 cos 1

2δsen 1

2δ −i(cos2 1

2δ − sen 2 1

2δ)

i(cos2 12δ − sen 2 1

2δ) 2 cos 1

2δsen 1

2δ

)

=

(−sen δ −i cos δ

i cos δ sen δ

)= −sen δσ3 + cos δσ2 (3.16)

y

Cσ3C−1 =

(cos2 1

2δ − sen 2 1

2δ −i cos 1

2δsen 1

2δ − i cos 1

2δsen 1

2δ

i cos 12δsen 1

2δ + i cos 1

2δsen 1

2δ sen 2 1

2δ − cos2 1

2δ

)

=

(i cos δ −isen 2δ

isen 2δ i cos δ

)= cos δσ3 + sen δσ2 (3.17)

con lo que finalmente se tiene

(aji ) =

1 0 0

0 cos δ sen δ

0 −sen δ cos δ

, (3.18)

la cual representa una rotacion por un angulo −δ alrededor del eje x. Por lo ya

mencionado al final de la seccion 3.1, esta rotacion puede ser expresada mediante la

matriz (eiδ/2 0

0 e−iδ/2

)= exp(i

δ

2σ1). (3.19)

Por otra parte, recordando que o′ = ei(δ1+δ2

2 )Co con C = eiδ2σ1 , si reescribimos de

manera conveniente a la matriz C como

C = eiδ2σ1 = ei

δ2(U−1Uσ1U−1U) (3.20)

35




desarrollando en serie de potencias a la exponencial

C = U−1(I)U + U−1

(iδ

2Uσ1U−1

)U + U−1

[1

2

(iδ

2Uσ1U−1

)2]U + ... , (3.21)

factorizando U−1 por la izquierda y U por la derecha, y reconstruyendo la funcion

exponencial se tiene

C = U−1[ei

δ2(Uσ1U−1)

]U . (3.22)

Aplicando la matriz C al espinor o y multiplicando por la izquierda por U ,

Uo′ = ei(δ1+δ2

2 )eiδ2(Uσ1U−1)Uo, (3.23)

lo cual puede reconocerse como

o′ = ei(δ1+δ2

2 )eiδ2σ3 o (3.24)

donde o es esencialmente el vector de Jones. Ası, esto significa que en la base usual

para los espinores,

(o1

o2

)=

(1

0

)y

(o1

o2

)=

(0

1

), que representan ondas

circularmente polarizadas, la transformacion debida a un medio defasador sobre un

espinor equivale a una rotacion al rededor del eje z, cuando uno cambia de base a los

espinores

(o1

o2

)=

(1

0

)y

(o1

o2

)=

(0

1

), que representan ondas linealmente

polarizadas, la transformacion debida al medio se convierte en una rotacion alrededor

del eje z. Lo cual significa que el efecto de un cambio de base en la trasformacion

equivale a un cambio de ejes dada por las ecuaciones (2.30).

3.1.1. Interpretacion geometrica de un medio defasador

Como ya se menciono anteriormente, la matriz correspondiente a un medio de-

fasador que transforma a un espinor de dos componentes, representa una rotacion

en la esfera de Poincare. El teorema de Euler establece que la matriz ortogonal real,

que especifica el movimiento de un cuerpo rıgido con un punto fijo, es una rotacion

alrededor de algun eje; es este caso los eigenespinores o y o dan la direccion del eje

de rotacion3; mientras que el angulo de rotacion en la esfera, correspondiente a esta

transformacion, es δ. Notese que por la paridad de las funciones trigonometricas, la

unica diferencia entre o y o, es el signo de δ, lo cual es equivalente a cambiar la di-

reccion de giro. Lo anterior puede verse de manera grafica en la figura (3.1). Ademas

como tambien ya se menciono en la seccion anterior, este eje corresponde al eje x, y

al hacer un cambio de base y pasar a los espinores o, el eje de rotacion se convierte

en el eje z.

3Recordando que los vectores correspondientes a dichos espinores son antiparalelos, ver por ejemplo

la seccion 2.2.2.

36



3.2. MEDIO ATENUADOR

Figura 3.1: Representacion grafica del efecto de un medio defasador sobre espinores

en la esfera de Poincare.

3.2. Medio atenuador

Un medio atenuador es aquel que disminuye la intensidad de la radiacion electro-

magnetica, ya sea debido a la absorcion o a la dispersion de los fotones, principal-

mente; esta ultima es causada por irregularidades a nivel molecular de la estructura

cristalina del medio. Una de las aplicaciones mas importante de estos medios y sus

propiedades la podemos encontrar en las fibras opticas, las cuales pueden ser usa-

das como un medio para las telecomunicaciones y para la creacion de redes debido a

que son flexibles y pueden ser enrolladas como cables; siendo particularmente utiles

para comunicaciones entre largas distancias puesto que las ondas electromagneticas

se propagan a traves de estas sufriendo poca atenuacion comparada con los cables

electricos. La propagacion de la luz en las fibras opticas es posible debio al fenomeno

conocido como reflexion total interna.

La atenuacion de la luz tambien es importante en oceanografıa fısica, donde la

luz decrece en intensidad con la profundidad del oceano debido a la absorcion de las

moleculas de agua y a la dispersion por partıculas suspendidas. La atenuacion de los

fotones, particularmente en el espectro de los rayos X, es importante en el campo de la

Fısica Medica; debido a los efectos perjudiciales de los fotones altamente energeticos,

37




es necesario conocer cuanta energıa es depositada en los tejidos durante los dignosti-

cos que involucran dicha radiacion. Adicionalmente, en la radiacion gama usada en

tratamientos para el cancer es importante conocer cuanta energıa sera depositada en

los tejidos tumorales.

Considerese un medio que atenua las componentes Ex y Ey del campo electrico

por factores exp (−η1) y exp (−η2), respectivamente, la transformacion debida a este

medio puede escribirse de manera matricial como

(E ′x

E ′y

)=

(e−η1 0

0 e−η2

)(Ex

Ey

)(3.25)

de la ecuacion anterior y de (2.4), se ve que el vector de campo electrico se transforma

como

E = A

{e−η1

[cos

θ

2cos

(ωt− kz +

1

2χ +

1

2φ

)+ sen

θ

2cos

(ωt− kz +

1

2χ− 1

2φ

)]i

+e−η2[cos

θ

2sen

(ωt− kz +

1

2χ+

1

2φ

)+ sen

θ

2sen

(ωt− kz +

1

2χ− 1

2φ

)]j

}.(3.26)

Definiendo η ≡ η2 − η1, la expresion (3.25) puede escribirse como4

(E ′x

E ′y

)= e−(η1+η2)/2

(eη/2 0

0 e−η/2

)(Ex

Ey

), (3.27)

con lo que la combinacion E ′x + iE ′

y queda como

E ′x + iE ′

y = Ae−(η1+η2)/2

{eη/2

[cos

θ

2cos

(ωt− kz +

1

2χ+

1

2φ

)

+senθ

2cos

(ωt− kz +

1

2χ− 1

2φ

)]

+ie−η/2[cos

θ

2sen

(ωt− kz +

1

2χ +

1

2φ

)

−senθ

2sen

(ωt− kz +

1

2χ− 1

2φ

)]}. (3.28)

En la cual, escrbiendo las funciones seno y coseno en terminos de exponenciales,

las exponenciales de η en terminos de las funciones hiperbolicas5 y reagrupando, se

4Porque η ≡ η2 − η1 ⇒ η1 =η1 + η2

2− η

2y η2 =

η1 + η22

− η

2.

5Es decir,

senhz =ez − e−z

2

cosh z =ez + e−z

2.

Ver por ejemplo Ward-Churchill 2004.

38




obtiene

E ′x + iE ′

y = Ae−(η1+η2)/2

{ei(ωt−kz)

[eiχ/2 cos

θ

2cosh

η

2eiφ/2 + eiχ/2sen

θ

2senh

η

2e−iφ/2

]

+ e−i(ωt−kz)[e−iχ/2 cos

θ

2senh

η

2e−iφ/2 + e−iχ/2sen

θ

2cosh

η

2e+iφ/2

]}(3.29)

si se conjuga la relacion anterior, debido a que Ex y Ey son cantidades reales, pueder

verse que E ′x − iE ′

y = (E ′x + iE ′

y) es igual a

E ′x − iE ′

y = Ae−(η1+η2)/2

{e−i(ωt−kz)

[e−iχ/2 cos

θ

2cosh

η

2e−iφ/2 + e−iχ/2sen

θ

2senh

η

2eiφ/2

]

+ ei(ωt−kz)[eiχ/2 cos

θ

2senh

η

2eiφ/2 + eiχ/2sen

θ

2cosh

η

2e−iφ/2

]}. (3.30)

Las ecuaciones (3.29) y (3.30), pueden ser escritas en la forma (2.8), ahora en terminos

de un espinor de dos componenetes o′, si este y su companero son

o′ =

(o′1

o′2

)=

(cosh 1

2η senh 1

2η

senh 12η cosh 1

2η

)e−iχ/2

(e−iφ/2 cos 1

2θ

eiφ/2sen 12θ

)(3.31)

y

o′ =

(o′1

o′2

)=

(cosh 1

2η −senh 1

2η

−senh 12η cosh 1

2η

)eiχ/2

(−e−iφ/2sen 1

2θ

eiφ/2 cos 12θ

), (3.32)

con lo cual, finalmente se tiene

E ′x + iE ′

y = Ae−(η1+η2)/2{e−i(ωt−kz)o′2 + ei(ωt−kz)o′2

}(3.33)

y

E ′x − iE ′

y = Ae−(η1+η2)/2{e−i(ωt−kz)o′1 − ei(ωt−kz)o′1

}. (3.34)

El resultado anterior se obtuvo mediante calculo directo y notando que las compo-

nenetes en x y y del campo electrico, al ser transformadas por un medio atenuador,

su combinacion E ′x ± iE ′

y puede escribirse en la forma (2.8) si se agrupan de manera

conveniente los terminos resultantes y se asocian con las componenetes de un espinor

unitario o′ y su companero o′ dados por las ecuaciones (3.31) y (3.2). Lo anterior

significa que transformar las componentes del campo electrico debido a un medio ate-

nuador es equivalente a transformar las componentes de los espinores unitarios o y o

(ecuaciones (2.6) y (2.7) del capıpitulo 3) por las matrices B =

(cosh 1

2η senh 1

2η

senh 12η cosh 1

2η

)

y B =

(cosh 1

2η senh 1

2η

senh 12η cosh 1

2η

), que aparecen en las ecuaciones (3.31) y (3.2), respec-

tivamente. Esto ultimo salvo por el factor e−(η1+η2)/2, que es una funcion real, cuya

accion es la de “atenuar” la intensidad de la onda, A.

39




Puede verse con facilidad que la matriz B es unimodular6, pero no pertenece al

grupo SU(2), y por lo tanto no corresponde a una rotacion en la esfera de Poincare.

Sin embargo, corresponde a una transformacion conforme de la esfera.

3.2.1. Interpretacion geometrica de un medio atenuador

Transformacion conforme

El hecho de que la accion de un medio atenuador sobre las componentes del campo

electrico sea equivalente a una transformacion conforme de la esfera, puede verse de la

siguiente manera. Una transformacion conforme, grosso modo, puede ser vista como

un cambio de escala local, satisface

ds2 = ω2(x)ds2, (3.35)

con ω una funcion que depende de las coordenadas en la superficie de la esfera, distinta

de cero, y ds2 la metrica.7

En este caso, primeramente se vera que ds2 es proporcional a dζdζ, dicho de

manera burda, que los elementos de longitud en la esfera y el plano complejo son pro-

porcionales (este factor de proporcion en general es una funcion); para posteriormente

ver que en la superficie de la esfera se satisface la condicion para que la transformacion

sea conforme.

La metrica de la esfera unitaria, S2, tal como se estudia en los cursos de relatividad

general elementales, puede ser escrita como8

ds2 = dθ2 + sen 2dφ2, (3.36)

6Esto es, detB = 1, lo que se obtiene de manera directa por identidades de las funciones hiperbolicas,

detB = cosh21

2− senh 2 1

2η = 1.

7De manera elemental, se puede ver a la metrica como el producto interior entre vectores tangentes

a la variedad (la cual para fines practicos y en este contexto puede verse como la superficie de la esfera

o la superficie del plano, que son las superficies que aquı se utilizan) en un punto, cuyo resultado es una

funcion. La metrica permite establecer la nocion de distancia y angulos en dichas superficies. La metrica

contiene toda la informacion de la curvatura (al menos en una variedad Riemanniana, hablando mas

formalmente)8La veracidad de esta expresion puede verse de muchas maneras, una es fijarse en la distancia infini-

tesimal entre dos puntos de la superficie de la esfera, tal como se hace en muchos libros elementales de

Relatividad. Pero estrictamente hablando el diferencial de linea y el “dx” que aparece en la expresion de

la metrica no son lo mismo, el ultimo es un elemento de la base dual del espacio de los vectores tangentes

a la esfere (i.e. el espacio cotangente, y son 1-formas). Una manera mas precisa de escribir esta expresion

es

ds2 = dθ ⊗ dθ + sen 2dφ ⊗ dφ,

donde ⊗ representa el producto tensorial.

40




por otra parte9

dξdξ = d

(e−iφ cot

1

2θ

)d

(e−iφ cot

1

2θ

)

=

(−e−iφ1

2csc2

1

2θdθ − i cot

1

2θe−iφdφ

)(−eiφ1

2csc2

1

2θdθ + i cot

1

2θeiφdφ

)

=1

4sen 4 12θ

(dθ2 + 4 cos2

1

2θsen 21

2θdφ2

)

=1

4sen 4 12θ

(dθ2 + sen 2θdφ2

)

=(1 + ξξ)2

4ds2. (3.37)

Lo anterior implica que,

ds2 =4

(1 + ξξ)2dξdξ, (3.38)

y despues de realizar la transformacion se espera que

ds2=

4dξd˜ξ(1 + ξ ˜ξ)2

. (3.39)

Antes de comprobar que se satisface la condicion (3.35), considerese como se trans-

forma ξ (que es equivalente a un espinor unitario de dos componentes), bajo la accion

de un medio atenuador, i.e. por analogıa con la ecuacion (1.15),

ξ = ˜ζ = e−iφ cot1

2θ =

cosh 12ηe−iφ/2 cos 1

2θ + senh 1

2ηeiφ/2sen 1

2θ

senh 12ηe−iφ/2 cos 1

2θ + cosh 1

2ηeiφ/2sen 1

2θ

(3.40)

=cosh 1

2ηe−iφ/2 cot 1

2θ + senh 1

2ηeiφ/2

senh 12ηe−iφ/2 cot 1

2θ + cosh 1

2ηeiφ/2

· e−iφ/2

e−iφ/2(3.41)

=cosh 1

2ηξ + senh 1

2η

senh 12ηξ + cosh 1

2η

(3.42)

y, por la regla de cadena,

dξ =∂ξ

∂ξdξ. (3.43)

Para ver que, en efecto, se satisface una relacion de la forma (3.35), se calcularan

por separado los terminos involucrados en la expresion (3.39),

(1 + ξ ˜ξ)2 =

[1 +

(cosh 1

2ηξ + senh 1

2η


2η

)(cosh 1

2ηξ + senh 1

2η


2η

)]2(3.44)

= 4

[cosh η(1 + ξξ) + senh η(ξ + ξ)

]2

(senh 12ηξ + cosh 1

2η)2(senh 1

2ηξ + cosh 1

2η)2

(3.45)

9Tomando en cuenta que,

1 + ξξ = 1 + cot21

2θ = csc2

1

2θ.

41




y

∂ξ

∂ξ=

1

(senh 12ηξ + cosh 1

2η)2

(3.46)

por lo que finalmente la ecuacion (3.39) queda como

ds2 =dξdξ

[cosh η(1 + ξξ) + senh η(ξ + ξ)

]2 =1

4

(1 + ξξ)2[cosh η(1 + ξξ) + senh η(ξ + ξ)

]2ds2.

(3.47)

La expresion anterior muestra que, en efecto, la transformacion de los espinores

debida a un medio atenuador es conforme. Una manera grafica de ver esto se pre-

senta en la figura (3.2), donde se ve como se transforman los puntos de la esfera de

Poincare bajo la accion de un medio atenuador.

Figura 3.2: Representacion grafica del efecto de un medio atenuador sobre espinores

en la esfera de Poincare.

42



3.3. MEDIO GIROTROPO

Fase relativa entre dos ondas

Ahora se quiere ver si el producto interior entre espinores, Ec. (1.55), se mantiene

bajo las transformaciones dadas por B =

(cosh 1

2η senh 1

2η

senh 12η cosh 1

2η

)10,

(Bα)†(Bβ) = α†B†Bβ = α†(B′β) 6= α†β, (3.48)

donde

B′ = B†B =

(cosh 1

2η senh 1

2η

senh 12η cosh 1

2η

)(cosh 1

2η senh 1

2η

senh 12η cosh 1

2η

)(3.49)

=

(cosh2 1

2η + senh 2 1

2η 2senh 1

2η cosh 1

2η

2senh 12η cosh 1

2η senh 2 1

2η + cosh2 1

2η

)(3.50)

=

(cosh η senh η

senh η cosh η

)(3.51)

Debido a que el producto interior entre espinores esta directamente relacionado

con la fase relativa entre dos ondas (ver seccion (1.2.3)), la expresion anterior mues-

tra que, en general, la fase entre los vectores tangentes a la esfera correspondientes

a dos espinores no se mantiene invariante bajo transformaciones de la forma (3.31),

i.e. despues de que dos ondas pasan a traves de un medio atenuador, la diferencia

entre los angulos que forman con la geodesica que une los puntos en lugar de mante-

nerse invariante varıa como si uno se dejase fijo y al otro se le aplicara dos veces la

transformacion.

3.3. Medio girotropo

Un medio girotropo tiene la particularidad de que su permitividad electrica y

permeabilidad magnetica son tensores, teniendo interesantes propiedes ya que trans-

forman de manera distinta las ondas cirularmente polarizadas derecha e izquierda

(ver por ejemplo, Landau 1984). Ejemplos de estos medios son la ferrita y los mag-

netoplamas. Cabe mencionar que el primero en observar este fenomeno fue Arago,

quien en 1811 descubrio la actividad natural optica (el primer tipo de girotropıa), 35

anos mas tarde Faraday descubrirıa la actividad magnetooptica.

Un medio girotropo puede ser creado en un medio isotropo, situando a este en

campo magnetico constante. En este caso, la permitividad es un tensor hermitiano.

Para estos medios la permitividad electrica y permeabilidad magnetica estan dadas

10Donde B, es la matriz de transformacion dada por un medio atenuador, ver Ec. (3.31)

43




por,

(ǫik) =

ǫ1 iǫg 0

−iǫg ǫ1 0

0 0 ǫ3

(3.52)

y

(µik) =

µ1 iµ2 0

−iµ2 µ1 0

0 0 µ3

(3.53)

respectivamente.

Sea ~D = Dxı +Dy el vector de desplazamiento electrico, tomando en cuenta que~D = ǫ ~E, esta transformacion puede verse de la siguiente manera,

~D =

(ǫ1 iǫg

−iǫg ǫ1

)(Ex

Ey

)(3.54)

en forma explıcita se tiene que

Dx = (ǫ1Ex + iǫgEy) (3.55)

Dy = −i (ǫgEx + iǫ1Ey) . (3.56)

(3.57)

Utilizando la ecuacion de onda (ver Apendice A),

∇2 ~E − µǫ∂2 ~E

∂t2= 0 (3.58)

y aplicando la matriz (µik) resulta11,

∇2 ~E = µ∂2 ~D

∂t2

=

[(µ1∂2Dx

∂t2+ iµ2

∂2Dy

∂t2

)ı +

(−iµ2

∂2Dx

∂t2+ µ1

∂2Dy

∂t2

)

](3.59)

de lo cual se puede ver que12,

∇2Ex =

(µ1∂2Dx

∂t2+ iµ2

∂2Dy

∂t2

)(3.60)

∇2Ey = −i

(µ2∂2Dx

∂t2+ iµ1

∂2Dy

∂t2

)(3.61)

Sustituyendo las expresiones para Dx y Dy, en las Ecs. (3.55),

∇2Ex =

[(µ1ǫ1 + µ2ǫg)

∂2Ex∂t2

+ i (µ1ǫg + µ2ǫ1)∂2Ey∂t2

](3.62)

11Suponiendo que ε no depende del tiempo.12En coordenadas cartesianas, si ~D = Dx ı + Dy + Dzk, entonces ∇2 ~D = (∇2Dx)ı + (∇2Dy ) +

(∇2Dz)k .

44




∇2Ey = −i

[(µ1ǫg + µ2ǫ1)

∂2Ex∂t2

+ i (µ1ǫ1 + µ2ǫg)∂2Ey∂t2

](3.63)

Ahora, conviene definir13,

ER ≡ − 1√2(Ex + iEy) (3.64)

y

EL ≡ 1√2(Ex − iEy) (3.65)

La definicion anterior se puede ver como una transformacion unitaria, V ≡

− 1√2

(1 i

−1 i

), entre los campos (ER, EL) y (Ex, Ey).

14 Las ecuaciones (3.62) y

(3.63) pueden escribirse de una manera compacta como,

∇2

(Ex ± iEy√

2

)= [(µ1ǫ1 + µ2ǫg)± (µ1ǫg + µ2ǫ1)]

∂2

∂t2

(Ex ± iEy√

2

). (3.66)

Sea

A± ≡ (µ1ǫ1 + µ2ǫg)± (µ1ǫg + µ2ǫ1) , (3.67)

aplicando las definiciones anteriores, Ecs. (3.64), (3.65) y (3.67), en la ecuacion (3.66)

obtenemos:

∇2ER = A+∂2ER∂t2

∇2EL = A−∂2EL∂t2

(3.68)

las cuales tienen justamente la forma de la ecuacion de onda (3.58).

Para la mayorıa de los medios la permeabilidad µ es practicamente la unidad. Si

este no es el caso, i.e. si µ difiere considerablemente de la unidad, se dice que el medio

13Por analogıa con la definicion de los vectores unitarios complejos e(+)k

= − 1√2(e

(1)k

+ ie(2)k

) y

e(−)k

=1√2(e

(1)k

− ie(2)k

) en Mecanica Cuantica Relativista, que dan la transformacion entre los vecto-

res (e(+)k, e

(−)k, k) y (e

(1)k, e

(2)k, k) bases para las representaciones de helicidad y de polarizacion lineal,

respectivamente; y donde el factor 1/√2 es un factor de normalizacion.(Ver por ejemplo, Merzbacher)

14Dicha transformacion en forma matricial queda como

(ER

EL

)= − 1√

2

(1 i

−1 i

)(Ex

Ey

),

donde puede verse facilmente la unitariedad de la matriz

− 1√2

(1 i

−1 i

)

.

45




es magnetico. En particular, si µ > 1, se dice que el medio es paramagnetico (como

el platino, oxıgeno, dioxido de nitrogeno), mientras que si µ < 1 se dice que es dia-

magnetico (como el bismuto, cobre, hidrogeno, agua). En el caso en que µ es cercana

a µ0, el desarrollo anterior se ve considerablemente reducido, i.e., las ecuaciones (3.68)

conservan la misma forma solamente que las constantes A+ y A−, quedan como

A± ≡ µ0(ǫ1 ± ǫg); (3.69)

estas relaciones se obtinen del caso general haciendo µ1 = µ0 y µ2 = 0.

Por otra parte, recordando que el efecto de introducir un dielectrico isotropo y

homogeneo en una region del espacio libre es cambiar µ0 por µ y ǫ0 por ǫ en las

ecuaciones de Maxwell. Por lo que la velocidad de fase en dicho medio pasa a ser

v =1√ǫµ. (3.70)

Notese que la combinacion ǫµ, es la que aparece en la ecuacion (3.58), y por analogıa,

comparando con (3.68), se puede identificar a A± ≃ ǫµ, que a su vez esta relacionada

con la velocidad de fase. Pero un cambio en la velocidad es equivalente a un cambio en

la fase15, ver por ejemplo Hecht 2000, por lo que el hecho de que A+ y A− sean distintas

implica que despues de atravesar la misma distancia, habra un cambio distinto en las

fases de ER y EL, respectivamente. Que es equivalente al caso del medio defasador,

solo que en una base distinta. Donde el paso de una base a otra esta dado por la

matriz V = V ≡ − 1√2

(1 i

−1 i

).

Se puede regresar a la base original, simplemente multiplicando por la matriz V−1

y siguiendo un procedimiento completamente analogo al de la seccion (3.1), donde se

muestra que un cambio de base es equivalente a un cambio en el eje de rotacion. En

este caso tambien se tendra, al cambiar de base, un cambio en el eje de rotacion, pero

ahora hay que utilizar las siguientes relaciones que satisface la matriz V,

Vσ1V−1 = σ2, Vσ2V−1 = −σ3, Vσ3V−1 = −σ1. (3.71)

15A medida que la onda transmitida avanza a traves del medio, el fenomeno de esparcimiento tiene

lugar repetidas veces. La luz que atraviesa la sustancia se a atrasando o adelantando progresivamente.

Es evidente que, cualquier cambio que se produzca en la fase provocara un cambio en la velocidad.

46

Apendice A

La ecuacion de onda en medios

materiales

Figura A.1: Propagacion del campo electrico en la direccion del eje z.

47

APENDICE A. LA ECUACION DE ONDA EN MEDIOS MATERIALES

A.1. LA ECUACION DE ONDA

A.1. La ecuacion de onda

Se sabe de electrodinamica, que, mediante el uso de las ecuaciones de Maxwell

para medios materiales,

∇ ·B = 0 (A.1)

∇× E = −∂B∂t

(A.2)

∇ ·D = ρlibre (A.3)

∇×H = Jlibre +∂D

∂t(A.4)

con B = µH, D = ǫE y Jlibre = gE (para medios lineales, validas para la mayorıa

de los medios siempre y cuando estos no sean magnetizables), se puede encontrar la

ecuacion de onda para describir la propagacion de ondas electromagneticas en dichos

medios.

Basta con encontrar y resolver la ecuacion de onda para el campo electrico, debido

a que las ecuaciones para el campo magnetico se obtienen a partir de las del campo

electrico intercambiando E por B y B por −E.Considerese el rotacional de la Ec. (A.2) (forma diferencial de la Ley de induccion

de Faraday),

∇× (∇× E) = ∇×(−∂B∂t

), (A.5)

tomando en cuenta que ∇ × (∇× E) = ∇(∇ · E) − ∇2E, utilizando la Ec. (A.4) y

considerando que no hay fuentes, i.e. ∇ · E = 0, se llega a que

∇2E− µǫ∂2E

∂t2− µg

∂E

∂t= 0. (A.6)

En particular, si se esta trabajando con medios no conductores (g = 0), se obtiene la

expresion usual para la ecuacion de onda en medios no conductores (ver por ejemplo,

Born-Wolf 1997, Guenther 1990 y Reitz-Milford 1993),

∇2E− µǫ∂2E

∂t2= 0. (A.7)

Para la ecuacion anterior se pueden hallar soluciones con una dependencia armonica

en el tiempo1,

E(r, t) = e−iωtE(r), (A.8)

y sustituyendo esta ultima ecuacion en (A.7), se llega a la Ecuacion de Helmholtz,

∇2E(r) + µǫω2E(r) = 0, (A.9)

1Lo cual no quiere decir que cualquier solucion de la ecuacion de onda deba tener esta forma.

48


A.2. POLARIZACION ELIPTICA

la cual, en general, tiene soluciones de la forma

E(r) ∝ eik · r, (A.10)

donde el termino del lado derecho caracteriza a una onda plana y el vector k (vector

de propagacion o vector de onda) indica la direccion de propagacion de la onda. Por

lo que una onda plana monocromatica puede ser representada por,

E(r, t) = E0ei(k · r− ωt), (A.11)

donde E0 es un vector constante posiblemente complejo y el termino (k · r−ωt) es la

fase de la onda. Hasta este momento, de la solucion (A.11) tenemos campos reales y

complejos, pero lo que es reelevante fısicamete es la parte real de estos campos, i.e.,

Re(E0e

i(k · r− ωt)). (A.12)

A.2. Polarizacion elıptica

Conviene introducir una base ortonormal adaptada a la onda, por lo que se define

u ≡ k

|k| (A.13)

y se agregan dos vectores unitarios, perpendiculares a u, de tal manera que {p, s,u}sean una terna “derecha” (es decir, p× s = u). Entonces,

E0 = E0pp+ E0ss (A.14)

donde se puede escribir

E0p = Epeiφp , E0s = Ese

iφs (A.15)

con Ep y Es constantes positivas. Ası,

E(r, t) = Re[(Epe

iφpp+ Eseiφss)ei(k · r− ωt)

]. (A.16)

En particular, cuando los ejes definidos por los vectores unitarios p y s coinciden

con los ejes cartesianos x y y (i.e. una onda propagandose en la direccion del eje z),

las componentes de la expresion anterior pueden expresarse de manera conveniente

como,

Ex = Re{A1 exp[i(kz − ωt+ φ1)]}, Ey = Re{A2 exp[i(kz − ωt+ φ2)]}, (A.17)

tomando la parte real de las ecuaciones anteriores se obtiene,

Ex = E0x cos(kz − ωt+ φ1), Ey = E0y cos(kz − ωt+ φ2), (A.18)

49



y por la paridad de la funcion coseno, y a la flexibilidad en la eleccion de la fase, las

ecuaciones anteriores son equivalentes a

Ex = E0x cos(ωt− kz + φ1), Ey = E0y cos(ωt− kz + φ2), (A.19)

con E0x y E0y las partes reales de A1 y A2, respectivamente. Con lo que puede verse

que,ExE0x

= cos(ωt− kz + φ1) yEyE0y

= cos(ωt− kz + φ2), (A.20)

varian sinusoidalmete. La cual nos permite, entre otras cosas, visualizar que

δ ≡ φ2 − φ1 = −π2. (A.21)

Ası, sustituyendo (A.21) en (A.20),

Ex = E0x cos(ωt− kz + φ1)

Ey = E0y cos(ωt− kz + φ1 −π

2) = E0ysen (ωt− kz + φ1). (A.22)

Como es conocido (ver por ejemplo, Born-Wolf 1997, Guenther 1990 y Reitz-Milford

1993), un campo electrico de la forma (A.17) describe una elipse. Utilizando este

hecho, considerense las ecuaciones (A.22) y escojase φ1 = 12χ; de las propiedades

geometricas de una elipse puede verse que, si las amplitues maximas en los ejes x y

y son los semiejes a y b (con |a| > |b|), respectivamente, un vector cualquiera E, que

representa los puntos de una elipse, puede ser escrito como,

E = a cos

(ωt− kz +

1

2χ

)i+ b sen

(ωt− kz +

1

2χ

)j, (A.23)

donde

Ex = a cos

(ωt− kz +

1

2χ

), Ey = b sen

(ωt− kz +

1

2χ

). (A.24)

Ahora bien, si se rota la elipse un angulo φ/2 con respecto al eje x, se tiene

E′ = E ′xi + E ′

yj (A.25)

=

(Ex cos

1

2φ− Ey sen

1

2φ

)i+

(Ex sen

1

2φ+ Ey cos

1

2φ

)j, (A.26)

la veracidad de la ecuacion anterior puede verse de la figura (A.2).

Finalmente, sustituyendo Ex y Ey de las ecuaciones (A.24) en (A.25), se obtiene

E′ =

[a cos

(ωt− kzt +

1

2χ

)cos

1

2φ− b sen

(ωt− kz +

1

2χ

)sen

1

2φ

]i

+

[a cos

(ωt− kz +

1

2χ

)sen

1

2φ+ b sen

(ωt− kz +

1

2χ

)cos

1

2φ

]j. (A.27)

50



f/2 x’

y’

yx

f/2

Figura A.2: La elipse formada el por el campo electrico, rotada un angulo φ/2 con

respecto al eje x.

51

Conclusiones

Como se mostro, el estado de polarizacion y la fase de una onda electromagnetica

elıpticamente polarizada quedan completamente determinados por un espinor de dos

componentes, con lo que se puede utilizar este hecho para estudiar como se propagan

dichas ondas a traves de diferentes medios, en el presente trabajo se estudiaron un

medio defasador, un medio atenuador y un medio girotropo. La ventaja de utilizar

este enfoque es que se evidencian muchas de las propiedades geometricas que con

otros enfoques, como los parametros de Stokes o el vector de Jones, no son evidentes.

Esta ventaja viene del hecho de que se puede representar un espinor como un punto

en la esfera y un vector tangente a la esfera en dicho punto; por lo que la transfor-

macion de dichas ondas al pasar por los diferentes medios, puede ser vista como una

transformacion de estos vectores tangentes en la esfera de Poincare. Para el caso de

un medio defasador se mostro que la transformacion correspondiente es una rotacion

de los puntos en la esfera de Poincare (una matriz del grupo SU(2)), que preserva el

producto interior y por lo tanto las ondas que se encontraban en fase antes de pasar

por dicho medio seguiran en fase despues de pasar por el; ademas se muestra que si se

hace un cambio de base (de los espinores), el resultado es una permutacion en el eje

de rotacion. En el caso de un medio atenuador se obtiene que la transformacion, en

la esfera de Poincare, correspondiente es unimodular, pero ya no pertenece a SU(2) y

por lo tanto ya no preserva el producto interior, ası que si dos ondas estaban en fase

en un principio, despues de pasar por el filtro optico ya no tienen porque seguir en

fase; esta trasformacion corresponde a una transformacion conforme en la esfera de

Poincare. Finalmente, para el caso del medio girotropo se muestra que mediante un

cambio de base, la transformacion correspondiente en la esfera, es una rotacion como

en el caso del medio defasador.

Una extension directa del trabajo serıa fijarse que sucede con la composicion de

un medio defasador y uno atenuador, ya que las matrices no pertenecen al mismo

grupo SU(2), pero fısicamente uno siempre puede combinar el efecto de diversos

filtros opticos y ver si este hecho conduce a una interpretacion geometrica simple.

52

Bibliografıa

[1] Berry, M.V. (1987). J. Mod. Optics 34, 1401. Reimpreso en F. Wilczek y A.

Shapere (ed), Geometric Phases in Physisc, (Singapore: World Scientific, 1989).

[2] Born, M. and Wolf, E. (1997). Principles of Optics, 6ta. Ed. (Cambridge: Cam-

bridge University Press).

[3] Carrol, S.M. (2004). Spacetime and Geometry. An Introduction to General Rela-

tivity (San Francisco, CA: Addison-Wesley).

[4] Eritsyan O.S. (1982) Sov. Phys. Usp. 25, 12.

[5] Goldstein H., Poole C. and Safko J. (2002). Classical Mechanics, 3rd. Ed. (San

Francisco, CA: Addison-Wesley).

[6] Gottfried, K. and Yan, T.M. (2003). Quantum Mechanics: Fundamentals, 2nd.

ed. (New York: Springer-Verlag).

[7] Guenther, R.D. (1990). Modern Optics, (New York: Wiley).

[8] Han, D., Kim, Y.S. and Noz, M.E. (1997a). J. Opt. Soc. Am. A 14, 2290. ar-

Xiv:physics/9703032v1

[9] Han, D., Kim, Y.S. and Noz, M.E. (1997b). Phys. Rev. E 56, 6065 - 6076.

arXiv:physics/9707016v1

[10] Hecht, E. (2000). Optica, 3ra. Ed. (Madrid: Addisson-Wesley Iberoamericana).

[11] Landau, L.D., Lifshitz, E.M. and Pitaevskı, L.P. (1984). Electrodynamics of Con-

tinuous Media, (U.K.: Pergamon Press).

[12] Konnen, G.P. (1985). Polarized Light in Nature (Cambridge University Press)

[13] Merzbacher, E. (1998) Quantum Mechanics, 3rd. Ed. (New York: Wiley).

[14] Pancharatnam, S. (1956). Proc. Ind. Acad. Sci. A 44, 47. Reimpreso en F. Wil-

czek y A. Shapere (ed), Geometric Phases in Physisc, (Singapore: World Scien-

tific, 1989).

53

[15] Payne, W.T. (1952). Am. J. Phys. 20, 253.

[16] Penrose, R. and Rindler, W. (1984). Spinors and space-time. Vol. 1, (Cambridge:

Cambridge University Press).

[17] Reitz, J.R., Milford, F.J. and Christy, R.W. (1993). Foundations of Electromag-

netic Theory, 4th ed. (MA: Addison-Wesley, Reading).

[18] Torres del Castillo, G.F. (2003). 3-D Spinors, Spin-weighted Functions and their

Applications (Boston: Birkhauser).

[19] Torres del Castillo, G.F. (2008). J. Phys. A: Math. Theor. 41, 115302.

[20] Ward Brown, J. y Churchill R.V. (2004). Variable compleja y aplicaciones, 7a.

ed. (Espana: McGraw Hill).

Documents

Representación espinorial de la propagación de ondas electromagnéticas