APS de Física II

Ondas sonoras, ondas em corda e Efeito Doppler

Rodrigo RafaelCiência da Computação - ICC11

Ondas sonoras

Quando o professor fala uma palavra na sala de aula, ele gera umabreve perturbação no ar em torno da sua boca que se propaga para osouvidos dos alunos na sala e sinaliza que algo foi dito. Mesmo que secoloque um biombo na frente do professor, ainda assim os alunosouvirão o que foi dito. Isto decorre do fato de que o som é uma onda.

O som é uma onda mecânica longitudinal que se propaga em um meiomaterial. Portanto, na ausência de um meio (como no vácuo)não há som.O meio material pode ser de qualquer natureza: gasoso como o ar,líquido como a água ou sólido como uma barra metálica.

Por ser uma onda, o som possui todas as propriedades de ondas jávistas nas aulas anteriores: velocidade finita de propagaçãodependente das características do meio, reflexão e transmissão eminterfaces entre dois meios, e todos os fenômenos decorrentes doprincípio de superposição, como interferência, batimentos e ondasestacionárias.

Vamos considerar o caso mais simples de onda sonora: a onda sonoraque se propaga em uma dimensão.

As ondas sonoras produzidas no ar quando o professor fala não sepropagam em apenas uma dimensão (e é por isso que todos os alunospodem ouvi-lo). Elas são, aproximadamente, ondas esféricaspropagando-se em todas as direções a partir da fonte que é a boca doprofessor. No entanto, a uma distância muito grande da boca doprofessor (em comparação com o comprimento de onda do som produzidopelo professor) as perturbações do ar (as “frentes de onda”) atingemo ouvinte como ondas planas que se propagam em uma única direção.Veja a figura abaixo.

Outro exemplo de onda sonora que se propaga em uma única direção é aprovocada pela membrana esticada de um tambor. Imagine que o tamborestá seguro pelo seu tocador de maneira que a membrana estejaperpendicular ao eixo horizontal, que chamaremos de eixo x. Quando otocador bate na membrana ela vibra para frente e para trás como nafigura abaixo.

Se nos concentrarmos na região central da membrana, para evitar ascurvaturas das frentes de onda nas bordas, teremos frentes de ondaaproximadamente planas que se propagam na direção x.

Quando a membrana se move para frente (para a posição indicada por Ano desenho), ela desloca as moléculas de ar em contato com ela para adireita na figura. Essas moléculas de ar se aproximam das moléculas

de ar que estão mais à frente, causando aumento na densidade do arnaquela região. Esse aumento na densidade causa aumento da pressãonessa região. A maior pressão faz com que as moléculas de ar dessaregião se desloquem mais para a direita. Esse deslocamento provocaaumento na densidade do ar ainda mais à frente, o que provoca aumentona pressão e o processo todo vai se repetindo, gerando um pulso quese propaga para a direita.

Por outro lado, quando a membrana se desloca para trás (posiçãoindicada por B na figura) após ter empurrado as moléculas de ar parafrente, a densidade de ar na região logo à frente da membranadiminui. Consequentemente, a pressão também diminui. A densidade e apressão nessa região voltarão a aumentar quando a membrana tornar ase movimentar para frente, provocando o deslocamento da zona de baixadensidade e baixa pressão para a direita. Teremos então duas zonas dealta densidade e pressão separadas por uma zona de baixa densidade epressão e essas três zonas se propagarão para a direita. À esquerdadelas uma nova zona de baixa densidade e pressão irá se formar quandoa membrana retornar uma vez mais para a posição B. Essa nova zona debaixa densidade e pressão se propagará para a direita, seguindo azona de alta densidade e pressão à sua frente, quando a membrana umavez mais atingir a posição A.

A repetição do movimento da membrana para frente e para trásprovocará uma sucessão de regiões de ar com densidades e pressõesaltas e baixas intercaladas (alta, baixa, alta, baixa, etc) que sepropagarão para a direita. Esta é a onda sonora.Os processos físicos envolvidos quando ocorre uma onda sonora são osseguintes:

1. O fluido se movimenta e isso aumenta a densidade;2. A mudança de densidade provoca aumento da pressão;3. As diferenças de pressão produzem deslocamento do fluido.

Fontes sonoras: Cordas vibrantes

Se você chacoalhar a extremidade de uma corda esticada e presa a umaparede, uma onda periódica se propagará ao longo dela, será refletidana extremidade lixa e retornará invertida, em relação à ondaincidente. Se você continuar a vibrar a corda, existirão duas ondas

se propagando ao longo da corda, indo uma de encontra a outra queirão interferir entre si.

De modo geral, a onda resultante poderá ser uma onda qualquer, mas sevocê vibrar a extremidade da corda com determinadas frequências, asduas ondas poderão interferir e dar origem a uma onda estacionária degrande amplitude.As frequências com que as ondas estacionárias são produzidas são asfrequências naturais ou frequências ressonantes da corda, e asdiferentes ondas estacionárias que poderão se estabelecer nessa cordacorrespondem aos modos ressonantes de vibração.

Em um instrumento musical de corda, por exemplo, a vibração da cordaprovoca o surgimento de uma onda sonora que se propaga pelo ar atéatingir nossos ouvidos. A frequência do som ouvido será igual àfrequência de vibração dos pontos da corda.

A vibração da corda, e consequentemente a emissão de um som pode serobtida de várias maneiras, dependendo do instrumento. A corda doinstrumento pode ser tangida (como no violão), friccionada (como noviolino) ou percutida (como no piano).

Posto isso, vejamos como uma corda pode vibrar quando perturbadasegundo qualquer uma das maneiras citadas acima.Consideremos, então, uma corda esticada entre dois suportes, como acorda de um violão ou de um violino As ondas que se propagam ao longodessa corda, e que podem ter uma grande variedade de frequências,sofrem reflexão nas extremidades — e muitas delas interferem de modoaleatório com cada uma das outras e rapidamente se extinguem.Entretanto, as ondas correspondentes às frequências ressonantes dacorda persistem e ondas estacionárias se estabelecem nessa corda.

A onda estacionária de frequência mais baixa é chamada frequênciafundamental. Ela corresponde a uma onda estacionaria com um únicoventre, o harmônico fundamental ou primeiro harmônico. As demaisfrequências naturais são chamadas sobretons ou harmônicos superiores,visto que as frequências correspondentes são múltiplos inteiros dafrequência fundamental.

Uma vez que as extremidades da corda são fixas, temos, nesses pontos,nós da onda estacionária e os possíveis modos ressonantes de vibraçãoda corda são mostrados a seguir, em ordem crescente de complexidade. Lembre-se de que em uma onda estacionária, a distância entre doisnós consecutivos corresponde a λ / 2 .

Observe que existe uma relação simples entre o comprimento L da cordae o comprimento de onda λ da onda estacionária que nela seestabelece.Generalizando, para o enésimo harmônico:

O inteiro n corresponde ao número do harmônico: n = l, para oharmônico fundamental; n = 2, para o segundo harmônico; n =3, para oterceiro harmônico; e assim por diante. Da expressão anterior, temostambém:

Para determinarmos as frequências correspondentes podemos aplicar a relação v= f ⋅ λ e obter:

Para n = 1, obtemos o harmônico fundamental:

Para os demais harmônicos:

Observação:

As ondas transversais que se propagam ao longo da corda têm conforme

a equação de Taylor: onde F é a tensão aplicada sobre a corda,µ é a densidade linear da corda, medida em kg/m e v é a velocidade depropagação das ondas transversais na corda, medida em m/s. Podemosentão calcular as frequências ressonantes de uma corda pelaexpressão:

Ao afinarmos um instrumento musical de corda (um violão, porexemplo), podemos alterar a força tensora F através de uma cravelha:aumentando-se F, a freqüência fundamental, aumenta — e o somprovocado pela vibração da corda soará mais agudo; diminuindo-se atensão, a frequência fundamental diminui — e o som torna-se maisgrave.

Observe também que para uma determinada corda, sob certa tensão, adiminuição do comprimento L provoca um aumento na frequênciafundamental — e o som torna-se mais agudo. Esse fato permite a ummúsico obter diferentes notas musicais em uma mesma corda à medida

que altera a posição dos dedos e aperta a corda em pontos diferentesao longo do braço do instrumento.Note também que as cordas que emitem os sons mais graves são as demaior densidade linear µ , ou seja, as mais "grossas".

Efeito Doppler

• Introdução

O Efeito Doppler é um fenômeno observado nas ondas quando emitidas ourefletidas por um objeto que está em movimento com relação aoobservador. Se uma fonte sonora e um receptor estão se movendo, um emrelação ao outro, a frequência recebida não é a mesma frequência dafonte. Se eles estão se aproximando, a frequência recebida é maior doque a frequência da fonte; se eles estão se afastando, a frequênciarecebida é menor do que a frequência da fonte. Um exemplo típico é oda sirene da ambulância: o som que se ouve quando está longe e pertodo receptor é diferente. Neste caso, a onda se propaga num meio.

Esse fenômeno também pode ser visto em ondas eletromagnéticas, quenão precisam de um meio para se propagarem, e então é feita umaanálise relativística nesses casos. De acordo com a teoria darelatividade, o movimento absoluto não pode ser detectado, e todos os

observadores medem a mesma rapidez c para a luz, independente do seumovimento em relação a fonte. Assim a seguinte equação não pode sercorreta para o deslocamento Doppler da luz:

Onde:f = frequência emitida pela fontef’ = frequência percebida pelo receptorv = velocidade da ondau’’ = velocidade do receptoru’ = velocidade da fonte

Duas modificações devem ser feitas para o cálculo do efeito Dopplerrelativístico para a luz.

Primeiro, a rapidez das ondas que passam por um receptor é c, que éindependente do movimento do receptor. Segundo, o intervalo de tempoentre a emissão de cristas sucessivas, que é T=1/f no referencial dafonte, é diferente no referencial do receptor quando os doisreferenciais estão em movimento relativo, por causa da dilatação dotempo e da contração do comprimento relativísticos. Resulta que afrequência recebida depende apenas da rapidez relativa de aproximação(ou de afastamento) u, e relaciona-se com a frequência emitida por:

Devem ser escolhidos os sinais que desloquem para a cima a frequênciaquando a fonte e o receptor se aproximam, e vice-versa.

Um exemplo é o de um radar de polícia utilizado para medir a rapidezde um veículo. Nesta situação as ondas emitidas pelo transmissoratingem o carro em movimento. O carro atua tanto como um receptor em

movimento quanto como uma fonte em movimento, quando a onda refletenele de volta para o receptor do radar.

Referências:http://www.if.ufrgs.brhttp://sisne.orghttp://pt.wikipedia.orghttp://www.ifsc.usp.br/