MANUAL PARA EL DISEÑO DE FUNDACIONES SOMETIDAS

MANUAL PARA EL DISEÑO DE FUNDACIONES

SOMETIDAS A CARGAS DINÁMICAS

TRABAJO ESPECIAL DE GRADO

presentado ante la

UNIVERSIDAD CATÓLICA ANDRÉS BELLO

como parte de los requisitos para optar al título de

INGENIERO CIVIL

REALIZADO POR Daniela A. Alcalá F.

Gerardo J. Vidal A.

TUTOR Ing. Ludwig Moncrieff

FECHA Septiembre, 2017

ANILLADOXx° Promoción

ii

iii

iv

Dedicatoria

Esta Tesis se la dedico a todos aquellos que contribuyeron a que llegara a este

momento, incluyéndome a mí.

Rie por aquellos que no pueden reir

Camina por aquellos que no pueden caminar

Llora por aquellos que no pueden llorar

Y vive intensamente cada momento de tu vida.

Daniela Alcalá

v

Agradecimiento

Agradezco primeramente a mis padres y a mi familia por haber estado allí en toda mi

carrera universitaria y durante toda mi vida.

También le agradezco a todos los profesores con los que tuve la oportunidad de ver

clases, ya que todos, en mayor o en menor medida, directa o indirectamente, sin

querer o premeditadamente, influyeron en mí y me convirtieron en lo que soy hoy.

Con esto no quiero decir que todos fueron el ideal de profesor que pudieron haber

sido, para nada.

Pero unos agradecimientos especiales a aquellos profesores de vocación que en sus

clases no se limitan a dar contenido de una materia sino a formar personas con

criterio y opinión. Para esos profesores siempre habrá un lugar dentro de mí junto a

sus enseñanzas.

A mis compañeros de aventuras universitarias, a mis hermanos de vida, a aquellas

personas que conocí en el transcurso de mi vida universitaria y que tengo el honor de

llamarlos mis amigos, también gracias.

A mi compañero de tesis, Gerardo Vidal, sin ti y tu apoyo incondicional este

momento no sería posible. Gracias por nunca dejarme sola y estar allí cuando más

necesite a un amigo, jamás podre pagártelo (Esa carpeta de materiales me salió

barata).

Y no podía faltar, por supuesto, a la que realmente dirige la escuela de Ing. Civil,

nuestra querida secretaria Yelitza que con tanta paciencia soporto mis constantes e

irritantes visitas a la escuela a preguntar siempre la misma cosa, y por su disposición

a siempre ayudar a una estudiante en apuros.

Gracias a todos los amigos desconocidos de los foros de ayuda de Excel en internet

que hicieron posible esta tesis. Ocuparon parte de su tiempo y sin siquiera verme la

cara compartieron conmigo algo tan valioso como menospreciado, su conocimiento y

experiencia sin pedir nada a cambio. Gracias por eso.

A Todos, mis más profundos agradecimientos.

Daniela Alcalá

vi

Agradecimiento

Primeramente quiero agradecer a mi familia quienes me apoyaron en cada aspecto

no solo en el desarrollo de este trabajo especial de grado sino también desde el

comienzo de mis estudios universitarios, especial agradecimiento a mi mama cuyos

sacrificios me han traído hasta este momento y ser a quien le debo todo lo que tengo y

tendré en mi vida, a mi papa a pesar de estar lejos sigue ayudándome y enseñándome

a seguir hacia adelante.

A lo largo de este proyecto han ocurrido muchas cosas, es difícil creer que al

principio era una persona totalmente distinta a la que soy al momento de finalizar y

no puedo dejar por fuera a quien me acompaño en esta experiencia, por lo que

agradezco a mi compañera por hacer este proyecto junto a mí, ella ha sido una

persona muy importante para mí y debo reconocer que el proyecto no hubiera sido el

mismo sin ella, y me alegra que fuera ella quien luchara junto a mi como mi

compañera y mi amiga.

Y agradezco a la UCAB por preparar a los estudiantes tan bien como siempre han

hecho, es loable su labor y las cosas que aprendí en esta institución me duraran toda

la vida, en lo que mi concierne el conocimiento es invaluable y así como el

conocimiento la UCAB también debe serlo.

Gerardo Vidal

vii

Índice de contenido

CAPÍTULO I: EL PROBLEMA .................................................................................. 3

1.1 Planteamiento del problema ............................................................................. 3

1.2 Objetivos de la investigación: ........................................................................... 5

1.2.1 Objetivo general ............................................................................................ 5

1.2.2 Objetivos específicos .................................................................................... 5

1.3 Justificación ....................................................................................................... 5

1.4 Alcances y limitaciones: .................................................................................... 7

CAPÍTULO II: MARCO TEÓRICO ........................................................................... 9

2.1 Antecedentes ...................................................................................................... 9

2.2 Bases teóricas ................................................................................................... 11

2.2.1 Generalidades.............................................................................................. 11

2.2.2 Materiales empleados en fundaciones ........................................................ 11

2.2.3 Tipos de Maquinas ...................................................................................... 12

2.2.3.1 Según las fuerzas dinámicas que originan. .......................................... 12

2.2.3.2 Según su frecuencia de excitación. ...................................................... 14

2.2.4 Tipos de Cimientos de máquinas. ............................................................... 15

2.2.4.1 Cimientos de bloque o macizos............................................................ 15

2.2.4.2 Cimientos de placas.............................................................................. 18

2.2.4.3 Cimientos aporticados .......................................................................... 19

2.2.4.4 Cimientos sobre pilotes ........................................................................ 21

2.2.5 Anclajes ...................................................................................................... 22

2.2.6 Teoría de Vibración .................................................................................... 23

2.2.6.1 Vibración Libre .................................................................................... 24

2.2.6.2 Vibraciones Forzadas ........................................................................... 29

2.2.6.3 Vibraciones libres amortiguadas .......................................................... 32

2.2.6.4 Vibraciones Forzadas amortiguadas .................................................... 38

2.2.7 Aislamiento vibratorio ................................................................................ 44

2.2.8 Conservación de energía ............................................................................. 46

2.2.9 Tipos de cargas. .......................................................................................... 47

2.2.9.1 Cargas estáticas. ................................................................................... 48

2.2.9.2 Cargas dinámicas. ................................................................................ 50

2.2.10 Tipos de excitación mecánica. .................................................................. 50

2.2.10.1 Calculo de cargas en máquinas reciprocantes .................................... 51

2.2.10.2 Calculo de cargas en máquinas reciprocantes de múltiples cilindros. 54

2.2.10.3 Máquinas de dos cilindros verticales. ................................................ 57

2.2.10.4 Cilindros en la misma dirección. ........................................................ 58

viii

2.2.10.5 Cilindros con ángulo de 90º. .............................................................. 59

2.2.10.6 Cilindros con ángulo de 180º. ............................................................ 60

2.2.10.7 Máquina de tres cilindros verticales. .................................................. 60

2.2.10.8 Máquina cuatro cilindros.................................................................... 61

2.2.10.9 Máquina seis cilindros........................................................................ 61

2.2.10.10 Calculo de cargas en máquinas rotativas ......................................... 62

2.2.11 Evolución de los métodos de diseño para fundaciones dinámicas. .......... 64

2.2.12 Modos de Vibración.................................................................................. 70

2.2.13 Coeficientes de diseño: interacción suelo-estructura ................................ 74

2.2.13.1 Propiedades dinámicas del Suelo de Fundación ................................ 74

2.2.13.2 Constante de resorte ........................................................................... 76

2.2.13.3 Amortiguamiento ............................................................................... 81

2.2.14 Parámetros de diseño. ............................................................................... 84

2.2.14.1 Resonancia ......................................................................................... 84

2.2.14.2 Frecuencia de Resonancia (fr) ............................................................ 86

2.2.14.3 Amplitud de vibración ....................................................................... 87

CAPÍTULO III: MARCO METODOLÓGICO ......................................................... 90

3.1 Tipo de Investigación ...................................................................................... 90

3.2 Diseño de la investigación ............................................................................... 91

3.3 Variables ........................................................................................................... 92

3.4 Unidad de investigación .................................................................................. 93

3.5 Técnicas e instrumentos para la recolección de datos .................................. 93

3.6 Técnicas de procedimiento y Análisis de datos ............................................. 94

CAPITULO IV: PRESENTACIÓN Y ANALISIS DE LOS RESULTADOS ......... 96

4.1 Criterios de diseño. .......................................................................................... 96

4.2 Modelo elegido para el análisis dinámico de fundaciones para maquinas

reciprocantes y rotativas ....................................................................................... 98

4.3 Procedimiento de Cálculo ............................................................................... 99

4.3.1 Información requerida para el análisis. ....................................................... 99

4.3.1.1 Características del equipo. ................................................................. 100

4.3.1.2 Características del suelo. .................................................................... 100

4.3.1.3 Pre-dimensionado ............................................................................... 100

4.3.2 Algoritmia de ecuaciones para el diseño de fundación............................. 106

4.4 Flujograma del Método de Cálculo.............................................................. 118

4.5 Ejemplo de aplicación. .................................................................................. 119

4.6 Programa para análisis dinámicos en fundaciones .................................... 132

ix

4.6.1 Lenguaje de programación usado ............................................................. 132

4.6.2 Ejecución del programa: ........................................................................... 133

4.6.3 Diseño de fundación haciendo uso de la hoja de cálculo ......................... 140

4.6.4 Comportamiento de la fundación diseñada con el uso del programa

“SAFE” .............................................................................................................. 148

CAPÍTULO V: CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES ............................. 158

5.1 Conclusiones. .................................................................................................. 158

5.2 Recomendaciones. .......................................................................................... 159

Bibliografía ............................................................................................................... 161

ANEXO A ................................................................................................................. 163

x

Índice de Tablas

Tabla 2-1: Rangos para el coeficiente de Poisson en diferentes tipos de suelos.

Fuente: KRAMER, S.L. “Geotechnical Earthquake Engineering”. ........................... 74

Tabla 2-2: Distintos valores del módulo de corte G para diferentes tipos de suelos.

Fuente: María Graciela Fratelli- “Suelos, muros y fundaciones” ............................... 75

Tabla 2-3: Distintos valores del módulo de corte G para diferentes tipos de suelos.

Fuente: KRAMER, S.L. “Geotechnical Earthquake Engineering”. ........................... 75

Tabla 2-4: Expresiones para el coeficiente de rigidez en fundaciones rectangulares.

Fuente: Suresh C. Arya, “Desing of Structures and Foundations for Vibrating

Machines” ................................................................................................................... 76

Tabla 2-5: Expresiones para el coeficiente de rigidez. Fuente: Suresh C Arya,

“Desing of Structures and Foundations for Vibrating Machines” .............................. 78

Tabla 2-6: Expresiones para el radio equivalente en diferentes modos de vibración.

Fuente: Suresh C Arya, “Desing of Structures and Foundations for Vibrating

Machines” ................................................................................................................... 79

Tabla 2-7: Expresiones para los coeficientes de enterramiento en diferentes modos de

vibración. Fuente: Suresh C Arya, “Desing of Structures and Foundations for

Vibrating Machines” ................................................................................................... 80

Tabla 2-8: Expresiones para la relación de masa en diferentes modos de vibración.

Fuente: Suresh C Arya, “Desing of Structures and Foundations for Vibrating

Machines” ................................................................................................................... 82

Tabla 2-9: Expresiones para el factor de amortiguamiento geométrico en diferentes

modos de vibración. Fuente: Suresh C. Arya, “Desing of Structures and Foundations

for Vibrating Machines” ............................................................................................. 82

Tabla 2-10: Expresiones para el factor de amortiguamiento geométrico en diferentes

modos de vibración. Fuente: Suresh C. Arya, “Desing of Structures and Foundations

for Vibrating Machines” ............................................................................................. 83

Tabla 2-11: Valores típicos de amortiguamiento interno. Fuente: RICHART, F.E

“Vibrations of soils and foundations”. ........................................................................ 84

Tabla 4-1: Dimensiones Típicas de Pernos de Anclaje. Fuente: Norma de diseño DS-

103, CVG Bauxilum. ................................................................................................. 101

xi

Índice de Figuras

Figura 2.1: Variación en el tiempo de las fuerzas de inercia periódicas debidas al

funcionamiento de máquinas. Fuente: “Suelos, Fundaciones y Muros”, Fratelli,

1993. ............................................................................................................................ 13

Figura 2.2: Variación en el tiempo de las fuerzas de inercia aperiódicas debidas al

funcionamiento de máquinas. Fuente: “Suelos, Fundaciones y Muros”, Fratelli, 1993.

..................................................................................................................................... 14

Figura 2.3: Variantes de las cimentaciones tipo bloque superficial, a) Cimiento

macizo de una sola masa, que sirve de base a una prensa neumo-hidráulica, b)

cimentación constituida por dos masas: la superior de concreto armado normal y la

inferior de concreto ciclópeo. Fuente: “Suelos, Fundaciones y Muros”, Fratelli, 1993.

..................................................................................................................................... 16

Figura 2.4: Momentos de inercia de un prisma rectangular para los ejes x, y y z.

Elaborado por: el autor. ............................................................................................... 18

Figura 2.5: Cimiento tipo placa. Fuente: “Suelos, Fundaciones y Muros”, Fratelli,

1993. ............................................................................................................................ 19

Figura 2.6: Pórtico de fundación con su respectiva máquina. Fuente: “Suelos,

Fundaciones y Muros”, Fratelli, 1993. ........................................................................ 19

Figura 2.7: Fundación aporticada con placa rigidizadora en su base. Fuente: “Suelos,


Figura 2.8: Vibración trasnacional y rotacional respectivamente. Fuente: “Suelos,


Figura 2.9: Sección típica de una fundación con pilotes sosteniendo un planta

eléctrica. Fuente: “Suelos, Fundaciones y Muros”, Fratelli, 1993. ............................. 22

Figura 2.10: Tipos de anclajes: a) Anclajes embutidos en concreto. b) Anclajes

desmontables. Fuente: “Suelos, Fundaciones y Muros”, Fratelli, 1993...................... 23

Figura 2.11: Esquema del sistema masa-resorte: a) Sistema en su estado de equilibrio

estático. b) Sistema en un tiempo t después que la masa fuera desplazada hasta una

distancia Ym de su posición de equilibrio. Elaborado por: los autores. ...................... 25

Figura 2.12: Variación del desplazamiento de la partícula de masa m respecto al

tiempo en una vibración libre. Elaborado por: los autores.......................................... 27

Figura 2.13: Esquema del sistema masa-resorte con una fuerza aplicada F. Elaborado

por: los autores. ........................................................................................................... 29

Figura 2.14: Factor de amplificación respecto a la razón entre frecuencias. Elaborado

por: los autores. ........................................................................................................... 31

Figura 2.15: Esquema del sistema masa-resorte con un embolo amortiguador.

Elaborado por: los autores. .......................................................................................... 33

Figura 2.16: Desplazamiento de la partícula de masa respecto al tiempo, en una

vibración libre sobre-amortiguada. Elaborado por: los autores. ................................. 35

xii

Figura 2.17: Variación del desplazamiento de la partícula de masa respecto al tiempo

en una vibración libre. Elaborado por: los autores. ..................................................... 36

Figura 2.18: Posición de la masa respecto al tiempo en una vibración Sub-

amortiguada. Elaborado por: los autores. .................................................................... 37

Figura 2.19: Suma vectorial de los términos en la Ecuación 33. Fuente: José García

“Vibraciones en Estructuras”. ..................................................................................... 40

Figura 2.20: Representación gráfica de la Ecuación 36. Elaborado por: Los autores. 41

Figura 2.21: Representación gráfica de la Ecuación 37. Fuente: José L. García.


Figura 2.22: Representación gráfica de la Ecuación 39. Elaborado por: Los autores. 44

Figura 2.23: Representación gráfica de la Ecuación 40. Fuente: José L. García


Figura 2.24: Partes principales de las máquinas reciprocantes. Fuente: BARKAN,

D.D. “Dynamics of bases and foundations”................................................................ 51

Figura 2.25: Máquina Reciprocante. Fuente: BARKAN, D.D. “Dynamics of bases

and foundations”. ........................................................................................................ 52

Figura 2.26: Máquina Multicilindro. Fuente: BARKAN, D.D. “Dynamics of bases

and foundations”. ........................................................................................................ 54

Figura 2.27: Máquina reciprocante de dos cilindros. Fuente: BARKAN, D.D.

“Dynamics of bases and foundations”. ....................................................................... 58

Figura 2.28: máquina de sistema rotativo. Elaborado por: Los autores ...................... 62

Figura 2.29: Izquierda-Esquema de una cimentación tipo bloque apoyada

directamente en la superficie del terreno. Derecha- analogía del problema con un

sistema masa-resorte. Elaborado por: Los autores ...................................................... 66

Figura 2.30: Analogía del problema con un sistema masa-resorte-amortiguador.

Elaborado por: Los autores ......................................................................................... 69

Figura 2.31: Desplazamientos y rotaciones a lo largo y alrededor de los ejes ejes X,

Y y Z. Elaborado por: Los autores. ............................................................................. 70

Figura 2.32: Izquierda- Modo de vibración vertical. Derecha- Modo de vibración

horizontal. Elaborado por: Los autores. ...................................................................... 72

Figura 2.33: Modo de vibración rotacional vertical. Fuente: Shamsher Prakash y

Vijay K. Puri -“Foundations for vibrating machines” ................................................ 73

Figura 2.34: Modo de vibración rotacional horizontal. Fuente: Shamsher Prakash y

Vijay K. Puri -“Foundations for vibrating machines” ................................................ 73

Figura 2.35: Grafico para determinar los valores de β para todos los modos de

vibración. Fuente: Suresh C Arya, “Desing of Structures and Foundations for

Vibrating Machines” ................................................................................................... 77

Figura 4.1: Recomendaciones para las dimensiones iniciales de una fundación tipo

bloque rectangular. .................................................................................................... 103

Figura 4.2: Falla de desprendimiento de cono de 45°. .............................................. 104

xiii

Figura 4.3 Dimensión en planta del pedestal para una fundación tipo bloque circular.

................................................................................................................................... 104


bloque circular. .......................................................................................................... 105

Figura 4.5: Detallado típico del acero inferior en una fundación tipo bloque. ......... 114

Figura 4.6: Detallado típico del acero superior e inferior en una fundación tipo

bloque. ....................................................................................................................... 116

Figura 4.7: Portada de inicio de la hoja de cálculo. Fuente: Los autores .................. 133

Figura 4.8: Elección de la forma que se desea para la fundación. Fuente: Los autores

................................................................................................................................... 134

Figura 4.9 Interfaz para la introducción de las dimensiones en una fundación

Rectangular. Fuente: Los autores. ............................................................................. 135

Figura 4.10 Interfaz para la introducción de las dimensiones en una fundación

Circular. Fuente: Los autores. ................................................................................... 135

Figura 4.11 Cuadros desplegables con recomendaciones acerca de las dimensiones de

la fundación. Fuente: Los autores. ............................................................................ 136

Figura 4.12 Interfaz para la introducción de los datos del suelo de fundación. Fuente:

Los autores. ............................................................................................................... 136

Figura 4.13 Cuadro emergente con los valores típicos del módulo de corte para

diferentes tipos de suelos. Fuente: Los autores ......................................................... 137

Figura 4.14 Interfaz para la introducción de los datos del equipo vibratorio. Fuente:

Los autores. ............................................................................................................... 137

Figura 4.15 Opciones para el funcionamiento de la máquina. Fuente: Los autores. 138

Figura 4.16 Interfaz para la Introducción de datos para mecanismo rotativo. Fuente:

Los autores ................................................................................................................ 139

Figura 4.17 Cuadro de confirmación para realizar el análisis con los todos los datos

introducidos. Fuente: Los: autores ............................................................................ 139

Figura 4.18 Datos del problema de aplicación introducidos en la interfaz. Fuente: Los

autores. ...................................................................................................................... 140

Figura 4.19 Datos del suelo introducidos en la interfaz. Fuente: los autores............ 141

Figura 4.20 Datos del equipo introducidos en la interfaz. Fuente: Los autores. ....... 141

Figura 4.21 dimensiones de los componentes del sistema fundación-maquina. Fuente:

los autores ................................................................................................................. 142

Figura 4.22 Calculo de centro de gravedad del sistema e inercia. Fuente: los autores

................................................................................................................................... 143

Figura 4.23 Calculo de coeficientes dinámicos 1. Fuente: los autores ..................... 144

Figura 4.24 Calculo de coeficientes dinámicos 2. Fuente: los autores ..................... 145

Figura 4.25 Calculo de amplitudes. Fuente: los autores ........................................... 146

Figura 4.26 Chequeo de resonancia. Fuente: los autores .......................................... 147

Figura 4.27 Chequeo de la excentricidad y capacidad portante del suelo. Fuente: los

autores ....................................................................................................................... 147

xiv

Figura 4.28 vista en el plano xy de la zapata ............................................................ 149

Figura 4.29 vista de perspectiva de la fundación ...................................................... 150

Figura 4.30 conjunto de esfuerzos por banda............................................................ 155

Figura 4.31vista de la deformación de la fundación ................................................. 156

Figura 4.32 vista de la deformación de la fundación en el eje z ............................... 156

Figura 4.33 modelado 3D de la zapata de fundación ................................................ 157

xv

Manual para el diseño de fundaciones sometidas a cargas dinámicas

Autores: Daniela A. Alcala F.

Gerardo J. Vidal A.

Tutor: Ludwig Moncrieff

Fecha: Septiembre, 2017

Resumen

Dado que los equipos vibratorios son de uso común en los complejos industriales

en general, el conocimiento para el diseño de fundaciones o estructuras que sean

capaces de soportar este tipo de máquinas es clave. Considerando que en los diseños

regulares no se toman en cuenta las cargas dinámicas, el presente manual busca

establecer una metodología para su diseño considerando estas cargas sin necesidad de

programas estructurales. Basado en las investigaciones de autores como Barkan,

Richart y Suresh el presente trabajo es el resultado de una recopilación de

información y criterios que procuran el buen comportamiento de la fundación durante

la operación del equipo. Esta información se esquematizo en un flujograma para el

proceso de diseño que luego se utilizó para hacer una hoja de cálculo en el ambiente

de Microsoft Excel la cual aplica los cálculos y criterios de manera automática. El

método de cálculo aplicado en el manual es el método sugerido por Khazam y

Osechas, que parte de un predimensionamiento para asemejar la interacción dinámica

suelo-fundación a un sistema masa-resorte-amortiguador. Dependiendo de ciertos

parámetros que indicaran la naturaleza de la vibración se verifican las dimensiones

iniciales. Una vez definido el método de cálculo se utilizó un programa de análisis

estructural (SAFE) para poner a prueba las dimensiones de una fundación

previamente verificadas en Excel. Se observaron que los esfuerzos generados en el

suelo por la fundación sometida a las cargas dinámicas de servicio no superaban en

ningún punto el esfuerzo admisible, por lo que se toma esto para avalar el manual

como herramienta de diseño.

Palabras clave: Vibraciones, Fundaciones Dinámicas, Compresores, Constante de

resorte, Amortiguamiento.

ANILLADOXx° Promoción

1

Introducción

En una construcción se debe velar por el correcto funcionamiento de los

miembros estructurales, por lo tanto se debe asegurar al diseñar, que los miembros

estructurales sean capaces de soportar las cargas y transmitirla al sistema tierra de

forma efectiva. Entre los miembros de mayor importancia para la estabilidad de la

estructura se encuentran las fundaciones, que son las que permiten este traspaso de

cargas de la estructura al suelo.

Por los métodos actuales de diseño de fundaciones en Venezuela, la

consideración de las cargas a soportar se supone estáticas, lo cual en la mayoría de

los casos es cierto o por lo menos válido, como son las fundaciones para las

edificaciones. Sin embargo al momento de diseñar las fundaciones para equipos

rotativos no es lo más apropiado considerar las cargas estáticas, ya que en este caso

la realidad es otra. La mayoría de las veces máquinas que generalmente se usan en

las industrias (compresores, motores, bombas), presentan movimientos vibratorios

durante su funcionamiento, lo que a su vez generan cargas de carácter dinámico que

se transmiten a la fundación.

Además de las cargas estáticas (de su peso propio y el peso del motor), entre las

cargas que soportan esta clase de fundaciones, están las cargas dinámicas que deben

considerarse como tal con cálculos diferentes para su correcto diseño.

Una vibración mecánica es el movimiento de una partícula o cuerpo que oscila

alrededor de una posición de equilibrio. La mayoría de las vibraciones en máquinas

y estructuras son indeseables debido al aumento de los esfuerzos y a las pérdidas de

energía que las acompañan. Por lo tanto, es necesario eliminarlas o reducirlas en el

mayor grado posible mediante un diseño apropiado. El análisis de vibraciones se ha

vuelto cada vez más importante en los últimos años debido a la tendencia actual para

producir máquinas de más alta velocidad y estructuras más ligeras. Hay razones para

2

esperar que esta tendencia continuará y que una, necesidad incluso mayor, de

análisis de vibraciones se generará en el futuro.

El análisis de vibraciones es un tema muy amplio al cual se han dedicado textos

completos. En consecuencia, este estudio se tratara del diseño de fundaciones para

máquinas que constituyen una fuente de vibraciones, con fuerzas estáticas y

dinámicas u oscilantes, debido a la acciones de masas giratorias.

El tema de diseño de fundaciones que soportan cargas dinámicas ha sido más

desarrollado en otros países, en la presente tesis se pretende en base a estos estudios

establecer una metodología para el diseño de fundaciones que soportan cargas de

equipos rotativos aplicado a la zona industrial de Guayana. Este manual estará

acompañado con un documento en Excel que calculara automáticamente las

dimensiones de la fundación, con la finalidad de desarrollar una herramienta para

realizar chequeos de forma rápida y sencilla que sirva de referencia tanto a

estudiantes como a ingenieros especializados en la materia.

CAPÍTULO I:

EL PROBLEMA

1.1 Planteamiento del problema

Los equipos dinámicos han sido una pieza importante para el desarrollo de la

industria moderna como la conocemos. Su importancia vital para cualquier complejo

industrializado yace en que permite la agilización y la automatización de procesos,

además que facilita llevar a cabo tareas que de otro modo serían muy complicadas.

Estas máquinas tales como compresores, turbinas, bombas, motores de combustión

interna, máquinas de cribado o trituradoras ejecutan sus diferentes propósitos al

transformar la energía suministrada en energía cinética, la cual en mayoría de los

casos trae como efecto negativo la generación de vibración.

Dentro de las causas más comunes del problema de la vibración en máquinas

rotativas se destacan: el desbalance, al desplazamiento y rotación de las distintas

partes en movimiento y la falla de los rodamientos (Vega Marquis, 2009). Sea cual

sea el origen de la vibración, en todas generan cargas de carácter dinámicos que se

transmiten al suelo. La razón por la que estas vibraciones son tan indeseadas es

porque con ellas se generan cargas dinámicas que, a su vez, inducen a una fatiga

prematura sobre los elementos estructurales que la soportan e incrementa

considerablemente los esfuerzos de tensión.

En la práctica que se emplea para el diseño de este tipo de fundaciones no se

determinan las magnitudes de las cargas dinámicas a los que son sometidas sino que

se mayoran las cargas estáticas con el fin de que las cargas dinámicas se vean

4

incluidas en el factor de mayoración, sin embargo con esta práctica imprecisa se corre

el riesgo de sobre diseñar la fundación. Al no conocer con exactitud la magnitud real

de las cargas a las se somete se podrían obtener dimensiones mayores a las que

necesitaría para cumplir con todos sus requerimientos y concurrir en el error de un

sobredimensionamiento. De ser así se podría optar por una fundación de menores

dimensiones, lo que conllevaría a un diseño más eficiente ya que se haría lo mismo a

un menor costo.

La única referencia nacional que tenemos a disposición es la que se encuentra en

el capítulo 11 del libro dirigido al tema de fundaciones de la profesora María Graciela

Fratelli (Referencia 3), en el cual se explica un método simplificado de cálculo. Si

bien es cierto que la información encontrada en dicho capítulo es de lo más

enriquecedora, el procedimiento no incluye las cargas dinámicas en el diseño.

Los manuales en la práctica de la ingeniería civil son un instrumento de gran

utilidad, ya que a través de ellos se puede registrar y transmitir una serie de

información básica para el mejor funcionamiento de los equipos. La información

transmitida a través de los manuales permite conducir al recurso humano a desarrollar

sus funciones sin conflictos. Al mismo tiempo facilita el trabajo dando una

información clara, la cual es obtenida por medio de estudios, dando como resultado

un diseño ideal con los materiales necesarios, reduciendo así, tiempo y costos de la

obra.

Por todo lo dicho anteriormente, surge la iniciativa de realizar un trabajo de

investigación que aborde el diseño de fundaciones para equipos rotativos, de manera

detallada y sistemática, considerando los posibles problemas que se puedan presentar.

Desarrollando así una herramienta que permita tanto a estudiantes de ingeniería como

a profesionales especializados en la materia realizar cálculos y chequeos de forma

rápida y sencilla.

5

En el presente Trabajo Especial de Grado se propone la elaboración de un manual

para el diseño de fundaciones sometidas a cargas dinámicas provenientes de por

máquinas de compresión de aire. En este manual se establecerán tanto los criterios

como los aspectos generales de diseño, ambos basados en libros especializados e

investigaciones dirigidas al estudio las vibraciones mecánicas y sus efectos sobre las

estructuras de concreto, además de los reportes más actualizados del Instituto

Americano de Concreto ACI 351.3R-04.

1.2 Objetivos de la investigación:

1.2.1 Objetivo general

Realizar un manual para el diseño de fundaciones tipo bloque superficial

sometidas a cargas dinámicas por medio de fórmulas empíricas.

1.2.2 Objetivos específicos

1. Definir los procesos de diseño de las fundaciones tipo bloque superficial.

2. Elaborar diagrama de flujo.

3. Diseñar la hoja de cálculo utilizando Microsoft office Excel.

4. Verificar los resultados obtenidos mediante fórmulas empíricas usando el

software SAFE.

5. Definir la estructura y el contenido técnico del manual.

1.3 Justificación

Es indudable que no puede erigirse ninguna estructura si no se construye

previamente una buena cimentación. Es el elemento constructivo que ha de soportar

todas las cargas y transmitirlas bien distribuidas al terreno. Un cimiento mal

construido, incapaz de cumplir tan importante misión, provocará la ruina y

6

derrumbamiento de la obra. Es por lo tanto de primordial importancia para todo

constructor saber cómo ha de proyectar y construir la cimentación adecuada. Cuando

las cargas transmitidas a la masa del suelo son de carácter dinámico, las fuerzas de

inercia adquieren importancia en relación a las estáticas y se deben aplicar criterios

especiales en el diseño de las fundaciones y para analizar el comportamiento y la

deformación del suelo.

Actualmente no existe un manual o instructivo en Venezuela que indique como

calcular fundaciones tomando en cuenta estas cargas dinámicas, ni siquiera existe

una norma que regulen el diseño o que de luces de una manera más eficiente para su

construcción. Es necesario un manual que presente criterios de diseño basados en el

tipo de equipo dinámico según su dimensión y comportamiento real, para que así sea

una guía confiable al realizar diseño y construcción de fundaciones con menos

material.

Más allá del daño que se pueda generar hacia lo material, si no se tiene un buen

control de las vibraciones que imponen las maquinarias, estas pueden atentar contra

el bienestar de las personas. Se ha sabido de casos en que edificios aledaños a las

maquinas vibratorias experimentan movimientos oscilatorios, puesto que estos son

transmitidos a través de las fundaciones desde la fuente hasta el recinto. No hace

falta mencionar como la constante exposición a dichas condiciones genera molestias

y fatiga por parte de los ocupantes de la edificación. Otro aspecto importante de esta

misma índole es la del ruido que las maquinas producen en su funcionamiento,

debido a las trepidaciones y vibraciones, como lo indica Fratelli (1993):

“Dando lugar a la llamada contaminación acústica cuando se superan los

85 decibeles. Debe recordarse que a los 65 decibeles es el nivel máximo

aconsejable por la Organización Mundial de la Salud como tolerable por

el ser humano sin riesgo de enfermedad o sensación de cansancio o

fatiga”

7

Finalmente la elaboración de este manual facilitará la ampliación de

conocimientos sobre el diseño de fundaciones sometidas a cargas dinámicas tratadas

en este estudio, y motivará a futuros investigadores para que complemente este

manual o se planteen la realización de un nuevo modelo con distintos tipos de

fundaciones.

1.4 Alcances y limitaciones:

El presente trabajo está orientado a la elaboración de un manual de cálculo que

permite el diseño de fundaciones tipo bloque específicamente para los equipos más

utilizados en la zona industrial de Guayana, como son los compresores, por lo que

este estudio estará principalmente basado en elementos que pueden ser de mecanismo

rotativos o reciprocantes. Dicho manual dictara las pautas a seguir para especificará

las dimensiones de las fundaciones. Además que el manual incluirá indicaciones de

instalación en campo.

Cabe mencionar que las fundaciones que aquí se diseñan son aisladas, es decir que no

están unidas o sujetas de alguna manera a otras fundaciones o edificaciones aledañas

y se considera que cada fundación es base para una sola máquina. El tipo de acero de

refuerzo sugerido a utilizar será de 2100 kg/cm² y 4200 kg/cm², y la resistencia del

concreto puede variar entre 200kg/cm2 a 240kg/cm2 aunque el diseño puede

utilizarse de todos modos cualquier tipo de acero o de concreto.

Con este trabajo se pretende:

1. Consultar manuales, libros, catálogos impresos o digitales, normas, etc.

Relacionados con fundaciones de maquinaria.

2. Desarrollar un marco teórico que permita al ingeniero el estudio y comprensión

de la transmisibilidad de esfuerzos de las máquinas a las fundaciones.

8

3. Predecir estados de resonancia de la máquina, o de riesgo de la fundación con

respecto a los esfuerzos transmitidos.

4. Simular de manera real diversos estados de la fundación, para poder evaluar el

diseño de la fundación

5. Permitir tanto al estudiante como al profesional de Ingeniería Mecánica utilizar un

programa, que facilite el estudio de los esfuerzos que transmiten las máquinas a

sus fundaciones.

6. Obtener una metodología computacional que pueda usarse en la aplicación de la

ingeniería.

CAPÍTULO II:

MARCO TEÓRICO

2.1 Antecedentes

Para el desarrollo de este proyecto se van a tomar en cuenta aspectos de algunas

investigaciones previas que se han hecho acerca del tema que se está tratando, hay

trabajos de grado que sirven de soporte para la investigación:

Araujo y Peralta (2004): en su trabajo de investigación “Diseño simplificado de un

sistema de fundaciones superficiales sobre lecho elástico” tenía como objetivo

principal la simplificación del proceso de diseño de un sistema de fundaciones

superficiales aplicando una serie de hojas de cálculos realizadas con la finalidad de

agilizar los procesos de cálculo y diseño. Este trabajo de grado sirve como guía para

el presente, específicamente para agilizar los cálculos de diseños de fundaciones

superficiales debido a que lo que se quiere es crear un manual para facilitar el trabajo

del ingeniero en la obra.

Khazam y Osechas (2008): realizaron un proyecto de investigación titulado

“Metodología numérica para analizar y diseñar fundaciones de máquinas alternativas,

rotativas y de impacto” como objetivo general desarrollaron una metodología que

permite generar un modelo físico - matemático que luego pueda ser validado, el cual

se compilará en un programa de computación que facilite al ingeniero predecir qué

tipo de fundación es la más adecuada para soportar el tipo de máquina a utilizar en

condiciones seguras de operación. De esta investigación se tomará el estilo de la

metodología numérica utilizada para diseñar fundaciones tipo bloque para equipos

rotativos.

10

Pascual (1980): En su estudio “Determinación del tamaño de la base para

máquinas estacionarias. (Vibraciones verticales).” Revisa para el caso de vibraciones

verticales, los parámetros más importantes en el estudio de la vibración vertical.

Barkan (1959): fue uno de los primeros en estudiar las vibraciones en fundaciones.

En su libro “Dynamics Of Bases And Foundations” analiza varios tipos de

fundaciones para maquinas, tomando en consideración todas las variables que la

rodean. Aquí se determina el papel que tiene el suelo como amortiguador en el

sistema, y se determina los factores principales que afectan las vibraciones en una

fundación.

Richart (1970): Sus estudios se concentran en fundaciones para maquinas que

generan vibraciones. A partir de las teorías de BARKAN, el desarrolla nuevas

fórmulas para el estudio de fundaciones.

Suresh (1979): Continuo los estudios para el análisis y diseño de fundaciones tipo

bloque superficial y los consagro en sus libros “Design of Structures and Foundations

for Vibrating Machines”, contribuyendo con expresiones para determinar parámetros

de importancia para la teoría de vibraciones, las cuales se les da uso en este trabajo,

como son el factor de amortiguamiento y la constante de resorte. También hizo un

libro llamado “Foundation Design For Reciprocating Compressors”, que es referencia

en el diseño de fundaciones específicamente para compresores.

2.2 Bases teóricas

2.2.1 Generalidades

La fundación de una máquina es un elemento constructivo que tiene por misión

conducir al terreno (suelo de la cimentación) los esfuerzos debidos a la existencia de

maquinaria, tanto los de carácter estático (pesos propios) como los de carácter

dinámico originado por el hecho de existir masas en movimiento. Las fundaciones de

máquinas deben ser capaces de transmitir estos esfuerzos de tal forma que no se

produzcan asentamientos y reducir desplazamientos y vibraciones, que podrían

perjudicar el funcionamiento de la máquina o el de las estructuras contiguas a ella.

Podemos en líneas generales clasificarlas en superficiales y profundas.

Las fundaciones superficiales consisten fundamentalmente en superficies grandes

de repartición de las cargas, por ejemplo, un cubo de concreto.

Cuando las capas superiores del terreno no tienen suficiente resistencia, las

estructuras se apoyan sobre otras más profundas a las que se llega con unos elementos

de fundación conocidos con el nombre de pilares o pilotes.

En general podemos decir que la elección de uno u otro sistema de fundación

dependen de dos factores fundamentalmente:

- Clase de terreno sobre el que se apoya la fundación

- Características funcionales de las estructuras

2.2.2 Materiales empleados en fundaciones

Los materiales comúnmente empleados para la construcción de fundaciones son

los más utilizados en el resto del mundo de la construcción, siendo estos:

12

- Ladrillo

-Concreto Ciclópeo

- Concreto armado

Los dos primeros trabajan especialmente bien cuando solo existen esfuerzos

estáticos que deben de ser transmitidos al terreno, debido a que no son capaces de

soportar esfuerzos de tracción ni esfuerzos cortantes de importancia. Sin embargo, el

material más utilizado es el concreto armado, que es capaz de soportar una mayor

variedad de esfuerzos y transmitirlos satisfactoriamente, además su alta densidad

contribuye notoriamente a aumentar la masa del conjunto fundación-máquina y así

poder reducir las amplitudes de vibración que producen. Se emplean otros materiales

en menor cuantía, aunque no menos importantes, como son el corcho aglomerado, el

caucho y otros materiales elásticos, que juegan siempre el papel de amortiguadores.

También en esta línea se emplean los resortes metálicos aunque con menos profusión.

2.2.3 Tipos de Maquinas

Debido a la enorme diversidad de modelos de máquinas que existen, se vuelve

impráctico cualquier tipo de clasificación muy específica, por lo que un modo global

de clasificación puede ser: de acuerdo las fuerzas dinámicas que genera y la velocidad

de operación (frecuencia de excitación).

2.2.3.1 Según las fuerzas dinámicas que originan.

Las fuerzas dinámicas que producen las maquinas pueden ser de dos tipos según la

naturaleza de su aplicación:

Periódicas

13

Las fuerzas periódicas son aquellas cuya aplicación es repetitiva y con

regularidad cada cierta cantidad de tiempo como se puede apreciar en la

Figura 2.1. A su vez estas pueden ser armónicas o de frecuencia múltiple.

(a) Las armónicas: son por lo general fuerzas oscilantes que varían

según funciones sinusoidales en el tiempo.

(b) De frecuencia múltiple

Aperiódicas

Las fuerzas aperiódicas son aquellas cuya aplicación viene de un golpe súbito

aislado temporalmente, ósea que no posee replicas a corto plazo (Ver Figura

2.2). Dentro de las máquinas que producen las producen se pueden mencionar:

los martinetes, los partillos pilón, las machacadoras, las punzadoras entre

otras.

Figura 0.1: Variación en el tiempo de las fuerzas de

inercia periódicas debidas al funcionamiento de

máquinas. Fuente: “Suelos, Fundaciones y Muros”,

Fratelli, 1993.

14

2.2.3.2 Según su frecuencia de excitación.

Las maquinas se pueden clasificar según su frecuencia operacional en: baja

frecuencias, frecuencia mediana y, altas o muy altas frecuencias, siendo la frecuencia

el número de revoluciones o ciclos completos en su régimen de servicio.

1) Máquinas de baja frecuencia: de 0 a 300 rev/min.

Dentro de este grupo están las maquinas rotativas, los motores diesel pesados,

los motogeneradores, las máquinas de embolo, las de biela manivela, los

motores de combustión, las bombas y compresores de piston.

2) Máquinas de mediana frecuencia: de 300 a 1000 rev/min.

Máquinas de embolo medianas, las turbomáquinas lentas, los motores Diesel

intermedios, las maquinas sincrónicas standard con partes rotativas, los

motores alternativos de compresores.

Figura 0.2: Variación en el tiempo de las fuerzas de

inercia aperiódicas debidas al funcionamiento de

máquinas. Fuente: “Suelos, Fundaciones y Muros”,

Fratelli, 1993.

15

3) Máquinas de alta frecuencia: de 1000 a 3000 rev/min y Máquinas de muy alta

frecuencia: 3000 a 10000 rev/min.

Se agrupan aquí los turbogeneradores, las turbinas de vapor, los turbodinamos

y las turbomáquinas en general.

Es de suma importancia el conocimiento exacto de la frecuencia del impulso que

impone una máquina, de modo de poder proyectar cimientos cuya frecuencia natural

sea mucho menor o mucho mayor a la excitación, para alejar así el peligro de la

resonancia (Ver Sección 2.2.6.2)

2.2.4 Tipos de Cimientos de máquinas.

2.2.4.1 Cimientos de bloque o macizos

Son grandes masas de concreto armado, de considerable resistencia y rigidez que -

apoyan directamente sobre el suelo de fundación, o se ubican dentro de fosos que se

aíslan sobre lechos elásticos, para amortiguar las vibraciones. Su altura varía entre 1,5

y 4 m, según la máquina. La altura mínima del cimiento, sin embargo, no debe ser

inferior a 0,8 m por razones constructivas, para un correcto anclaje de los pernos de

sujeción de la máquina al cimiento.

En la Figura 2.3a un cimiento macizo de una sola masa, que sirve de base a una

prensa neumo-hidráulica, mientras que la Figura 2.3b muestra a una cimentación

constituida por dos masas: la superior de concreto armado normal y la inferior de

concreto ciclópeo, con lo cual se reduce sensiblemente el costo de obra. Con un

cimiento dispuesto de esta manera se puede optar por colocar entre las masa resortes

o amortiguadores para tratar de aislar la vibración ocasionada por la máquina.

16

Figura 0.3: Variantes de las cimentaciones tipo bloque superficial, a) Cimiento macizo de

una sola masa, que sirve de base a una prensa neumo-hidráulica, b) cimentación constituida

por dos masas: la superior de concreto armado normal y la inferior de concreto ciclópeo.

Fuente: “Suelos, Fundaciones y Muros”, Fratelli, 1993.

La frecuencia natural de los cimientos macizos o de bloque es generalmente muy

baja, por lo que resultan ser los más idóneos para fundar máquinas de alta frecuencia

operacional, como los turbogeneradores rápidos. Con ellos se evita el peligro de la

resonancia por coincidencia de frecuencias. Los cimientos macizos resultan los

únicos indicados para soportar máquinas de choque o -impacto. En este caso el

cimiento debe aislarse del suelo mediante adecuados sistemas de amortiguamiento de

modo de disminuir el efecto de los golpes sobre el suelo.

Debe tenerse en cuenta, sin embargo, que aun cuando las máquinas de alta

frecuencia operacional, como los turbogeneradores, no producen vibraciones en los

17

cimientos macizos durante su régimen de servicio, pueden dar lugar a trepidaciones

en el lapso del encendido o apagado. Esto debido a que la maquina no llega a su

frecuencia de operación al instante sino que cuando se enciende la frecuencia va

aumentando desde 0 hasta llegar a la frecuencia de operación, mientras que cuando se

apaga la frecuencia disminuyendo hasta llegar a 0, en estos momentos en que la varia

puede haber una coincidencia entre la frecuencia de la máquina y la de la fundación.

Por suerte esto ocurre en periodos muy breves de tiempo, a veces sólo fracciones de

segundo, por lo cual la frecuencia pasa por el intervalo peligroso de resonancia

rápidamente.

Con la certeza que la frecuencia natural de un sistema es inversamente

proporcional a su masa, es práctica común en el diseño de fundaciones hacer que la

masa del cimiento sea 3 o 5 veces la masa de la máquina (Fratelli, 1993). Otro criterio

de diseño empleado es la de considerar a los cimientos como bloques absolutamente

rígidos, por lo cual no es necesario verificar su estado tensional, pues la magnitud de

los esfuerzos debidos a las cargas estáticas y dinámicas aplicadas, no son suficientes

para deformarlo notoriamente. Por otro lado como medida de seguridad se debe

asegurar que el esfuerzo debido a cargas estáticas no exceda de la capacidad portante

del suelo de fundación dividida entre tres (σadm/3).

Según explica Maria Fratelli:

En maquinarias de choque o impactos, el centro de gravedad de la máquina,

del cimiento y del amortiguador, debe coincidir con la vertical del golpe o eje

del mecanismo de percusión. De esta manera se logra que el impulso actúe

sobre una vertical y las vibraciones producidas sean sólo verticales,

eliminando las vibraciones horizontales, rotativas o torsionales, tan

perjudiciales para el conjunto máquina-cimiento. Si los cimientos macizos

deben fundarse en suelos inundables, conviene asentarlos dentro de cajones

18

impermeables de concreto armado, colocando entre el cimiento y el cajón, un

lecho elástico adicional.-Suelos, Fundaciones y Muros, 1993.

2.2.4.2 Cimientos de placas

Partiendo de la forma básica de la fundación tipo bloque, una placa es un bloque

con una relación de espesor-área de apoyo menor que 1, ver Figura 2.5. Resultan

especialmente adecuados para fundar máquinas de bajas frecuencias de excitación. Al

incrementar el área de contacto con el suelo y disminuir la altura del cimiento

aumenta la frecuencia natural de vibración y disminuye la amplitud de las

oscilaciones del cimiento, de este modo la frecuencia natural será mucho mayor que

la de la máquina y se está evitando que entre en resonancia. La razón por la que esto

sucede es por qué la frecuencia natural del cimiento depende tanto del volumen de la

masa como de su distribución en el espacio, la masa debe ser distribuida en forma tal

de obtener el mínimo momento de inercia con respecto al eje vertical y un máximo

momento de inercia respecto a alguna de las dimensiones del área de la base. Si se

hace un simple análisis matemático de las expresiones que definen la inercia en los

ejes coordinados xyz de un prisma (Figura 2.4) se llega a la conclusión de que para

lograr lo dicho anteriormente debe reducirse la altura de la placa y aumentar en lo

posible su área de base.

Figura 0.4: Momentos de inercia de un prisma rectangular para

los ejes x, y y z. Elaborado por: el autor.

19

Los cimientos de placas son adecuados para fundar máquinas del tipo de biela

manivela tales como los motores de combustión o las bombas de pistón, cuya

frecuencia de excitación no supera generalmente las 500 rev/min. Una posible ventaja

colateral del aumento del área en planta, es que permite que dos o más máquinas se

apoyen sobre él, lo cual puede resultar conveniente.

2.2.4.3 Cimientos aporticados

Los cimientos a porticados, están dirigidos a maquinas que requieran de un

mantenimiento e inspección frecuente, ya que al posicionarlas en un piso arriba del

suelo facilita el acceso a su mecanismo interno. Además, resultan más económicos

Figura 0.6: Pórtico de fundación con su

respectiva máquina. Fuente: “Suelos,

Fundaciones y Muros”, Fratelli, 1993.

Figura 0.5: Cimiento tipo placa. Fuente: “Suelos,


20

que los cimientos tipo bloque. Se usan preferentemente para fundar máquinas de

frecuencia de excitación alta, como los turbogeneradores o diversos tipos de

máquinas eléctricas.

…..Como todo pórtico este cimiento está constituido por vigas conectadas a

columnas y sirven de apoyo a las maquinas (Figura 2.6). Aunque puedan parecer

parte la edificación adyacentes se debe hacer hincapié que ninguno de los elementos

estructurales de la fundación deben estar conectados al pórtico de alguna construcción

vecina. En las estructuras de concreto, las columnas que sirven de apoyo a las placas

deben confinarse convenientemente con estribos o zunchos y las vigas perimetrales, a

más de la armadura requerida por flexión y corte, deben reforzarse con armaduras de

paramento y separaciones no mayores a 25 cm. Las placas que aguantan los

dispositivos accesorios deben ser doblemente armadas y ni las máquinas ni sus

accesorios deben estar en voladizos, sin que éstos sean convenientemente reforzados,

pues constituyen puntos débiles en la estructura.

Es práctica usual construir otra placa inferior, que enlace los pies de las columnas,

apoyada sobre el suelo de fundación (Ver Figura 2.7), para dar mayor rigidez al

conjunto. Las placas de los cimientos aporticados que sirven de apoyo a las

Figura 0.7: Fundación aporticada con placa

rigidizadora en su base. Fuente: “Suelos, Fundaciones

y Muros”, Fratelli, 1993.

21

máquinas, deben poseer gran solidez, para formar con ellas una estructura monolítica

que asegure su equilibrio estático.

En el diseño de cimientos a porticados se debe tener muy en cuenta la correcta

distribución de las masas de los equipos que se apoyan en él, debido a que un

desequilibrio de estas es la causa de la vibración en la mayoría de los casos. Por

ejemplo se busca que el pórtico sea siempre simétrico con respecto al plano

longitudinal vertical que contiene al eje de rotación de la máquina. En cualquier caso,

se tratarán de evitar las vibraciones rotativas y torsionales del pórtico, por ser las más

peligrosas.

2.2.4.4 Cimientos sobre pilotes

Algunas de las cimentaciones previamente mencionadas pueden estar asentadas

directamente sobre el suelo o en pilotes. Los pilotes son elementos en forma de pilar

alargados como columnas de concreto armado que van enterradas en el suelo de

fundación. Al estar unidos a la cimentación esta transfiere los esfuerzos captados

desde la superestructura del edificio a los pilotes los cuales a su vez los transmiten al

estrato donde se apoyan. Son utilizados en ocasiones donde el suelo no sea de mucha

resistencia y tienda a presentar asentamientos significativos. Por ello se opta por

Figura 0.8: Vibración trasnacional y rotacional respectivamente. Fuente:

“Suelos, Fundaciones y Muros”, Fratelli, 1993.

22

apoyar el cimiento en estratos profundos con mayor capacidad portante. Los pilotes

utilizan la presión final, la adhesión friccional o una combinación de ambas para

transferir las cargas axiales al suelo soportante.

2.2.5 Anclajes

Los anclajes tienen la misión de unir la fundación a la bancada de la máquina para

asegurar su fijación. Generalmente se usan anclajes de cabeza cuadrada o hexagonal,

y tomando en cuenta solo su condición de movilidad dentro de la fundación los

anclajes se pueden clasificar en fijos y desmontables. En máquinas livianas se suelen

usar pernos fijos con ganchos ahogados en el concreto, los cuales se ubican antes del

vaciado. Cabe destacar que en máquinas pesadas también pueden utilizarse anclajes

fijos, sin embargo, los pernos se alojan en cavidades que quedan libres al vaciar, de

modo que luego que el concreto ha endurecido se los coloca con gran precisión y se

rellenan los huecos con concreto de alta calidad, como muestra la Figura 2.10a.

Los pernos desmontables van sujetos a placas de anclaje fijas a la masa del concreto a

la profundidad adecuada, y la cavidad donde se ubican permanece vacía de modo de

poder inspeccionar con facilidad el anclaje (Figura 2.10b). Siempre es recomendable

Figura 0.9: Sección típica de una fundación con pilotes

sosteniendo un planta eléctrica. Fuente: “Suelos,


23

extender la longitud ahogada de los pernos en el concreto tanto como sea posible

dejando un recubrimiento inferior de 15 cm como mínimo.

2.2.6 Teoría de Vibración

Una vibración mecánica se produce por lo general cuando un sistema se desplaza

de una posición de equilibrio estable. El sistema tiende a retornar a su posición bajo

la acción de fuerzas restauradoras (ya sea fuerzas elásticas, como en el caso de una

masa unida a un resorte, o fuerzas gravitacionales, como en el caso de un péndulo).

Pero el sistema por lo general alcanza su posición original con cierta velocidad

adquirida que lo lleva más allá de esa posición. Puesto que el proceso puede repetirse

de manera indefinida, el sistema se mantiene moviéndose de un lado a otro de su

posición de equilibrio. El intervalo de tiempo requerido para que el sistema realice un

ciclo de movimiento completo recibe el nombre de periodo de la vibración. El

número de ciclos por unidad de tiempo define la frecuencia y el desplazamiento

máximo del sistema a partir de su posición de equilibrio se conoce como amplitud de

la vibración.

Figura 0.10: Tipos de anclajes: a) Anclajes embutidos en concreto. b) Anclajes

desmontables. Fuente: “Suelos, Fundaciones y Muros”, Fratelli, 1993.

24

Cuando el movimiento se mantiene únicamente por medio de fuerzas

restauradoras, se dice que es una vibración libre (Secciones 2.2.6.1 y 2.2.6.3).

Cuando se aplica una fuerza periódica al sistema, el movimiento resultante se

describe como una vibración forzada (Secciones 2.2.6.2 y 2.2.6.4). Cuando es posible

ignorar los efectos de la fricción se afirma que las vibraciones son no amortiguadas.

Sin embargo, todas las vibraciones son en la realidad amortiguadas hasta cierto

grado. Si una vibración libre sólo se amortigua de manera ligera, su amplitud decrece

de manera lenta hasta que, después de cierto tiempo, el movimiento se interrumpe.

Pero si el amortiguamiento es suficientemente largo para evitar cualquier vibración

verdadera, en ese caso el sistema recupera lentamente su posición original (Sección

2.2.6.3). Una vibración forzada amortiguada se mantiene siempre y cuando se aplique

la fuerza periódica que la produce. Sin embargo, la amplitud de la vibración se ve

afectada por la magnitud de las fuerzas de amortiguamiento (Sección 2.2.6.4).

2.2.6.1 Vibración Libre

Con el fin de estudiar y entender este movimiento se empleara un sistema idealizado

constituido por un cuerpo de masa m unido a un resorte de constante de elasticidad K,

el cual se puede apreciar en la Figura 2.11a. Para simplificar aún más el modelo se

considera como si el cuerpo fuera una partícula con la su masa concentrada en un

punto. Cuando la partícula está en equilibrio estático, las fuerzas que actúan sobre ella

son su peso W y la fuerza T ejercida por el resorte, de magnitud T=K·𝛿est, donde

𝛿estática indica la longitud de deformación del resorte para cuando este está en

quieto. Si se hace una sumatoria de fuerzas verticales en este estado estático se tendrá

que W= K·𝛿est. Suponiendo que la partícula se desplaza a una distancia Ym desde su

posición de equilibrio y se suelta sin velocidad inicial, gracias a las fuerzas

restauradoras del resorte al que está unido, la partícula se moverá automáticamente

hacia el punto de equilibrio estático del cual fue desplazado y más que eso lo rebasara

hasta llegar a una distancia Ym, para luego regresar al punto de partida, tal como se

representa en la Figura 2.11b. Este recorrido se repite una y otra vez, diciendo así que

25

se acaba de generar una vibración de amplitud Ym. Advierta que la vibración también

puede producirse impartiendo cierta velocidad inicial a la partícula cuando ésta se

encuentra en la posición de equilibrio estático, de manera más general, es posible

iniciar el movimiento de la partícula con una velocidad inicial v. Para hallar la

ecuación de movimiento de dicha vibración, se considerará la partícula en una

distancia y, medida desde la posición de equilibrio en algún tiempo arbitrario t

(Figura 2.11b).

Denotando por y el desplazamiento medido desde la posición de equilibrio (positivo

hacia abajo), se nota que las fuerzas que actúan sobre la partícula son su peso W y la

fuerza T ejercida por el resorte que, en esta posición, tiene una magnitud T = K·(𝛿est

+ y). Como W= K·𝛿est se encuentra que la magnitud de la resultante F de las dos

fuerzas (positiva hacia abajo) es:

F= W - K·(𝛿est + y) = -Ky ( 1)

Figura 0.11: Esquema del sistema masa-resorte: a) Sistema en su estado de equilibrio estático.

b) Sistema en un tiempo t después que la masa fuera desplazada hasta una distancia Ym de su

posición de equilibrio. Elaborado por: los autores.

26

De tal modo la resultante de las fuerzas ejercidas sobre la partícula es proporcional al

desplazamiento y. Recordando la convención de signos, se advierte que F está

dirigida siempre hacia la posición de equilibrio. Sustituyendo F en la ecuación

fundamental F =ma y recordando que a es la segunda derivada (��) de y con respecto

a t, se escribe:

𝑚�� + 𝐾𝑦 = 0 ( 2)

Hay que observar que debe usarse la misma convención de signos para la aceleración

�� que para el desplazamiento y, a saber, positivo hacia abajo.

El movimiento definido por la ecuación anterior recibe el nombre de movimiento

armónico simple. Éste se caracteriza por el hecho de que la aceleración es

proporcional al desplazamiento y de dirección opuesta. Se puede verificar que cada

una de las funciones y1 = sen (√K

mt) y y2 = cos (√

K

mt) satisface la ecuación. Por

lo tanto, estas funciones constituyen dos soluciones particulares de la ecuación

diferencial. La solución general de la ecuación se obtiene al multiplicar cada una de

las soluciones particulares por una constante arbitraria y sumarlas. De tal manera, la

solución general se expresa como

y = C1 y1 + C2 y2 = C1 sen (√K

mt) + C2 cos (√

K

mt) ( 3)

Observe que y es una función periódica del tiempo t tal y como se puede observar en

la Figura 2.12. El coeficiente de t en la expresión obtenida se conoce como la

frecuencia circular natural de la vibración y se denota por ωn. Se tiene:

27

Frecuenciaa circular natural = ωn = √K

𝑚 ( 4)

Al sustituir √K

𝑚 en la ecuación, se escribe

y = C1 sen (ωnt) + C2 cos (ωnt) ( 5)

Esta es la solución a la ecuación diferencial

𝑦 + ωn2𝑦 = 0 ( 6)

Que puede obtenerse de la ecuación al dividir ambos términos ente m y al observar

que K/m = ωn. Al diferenciar dos veces ambos miembros de la ecuación con respecto

a t, se obtienen las siguientes expresiones de velocidad y aceleración respecto al

tiempo:

𝑣 = �� = 𝐶1𝜔𝑛 cos(𝜔𝑛𝑡) − 𝐶2𝜔𝑛 sen(𝜔𝑛𝑡) ( 7)

Figura 0.12: Variación del desplazamiento de la partícula de

masa m respecto al tiempo en una vibración libre. Elaborado

por: los autores.

28

𝑎 = �� = −𝐶1𝜔𝑛2 sen(𝜔𝑛𝑡) − 𝐶2𝜔𝑛

2 cos(𝜔𝑛𝑡) ( 8)

Los valores de las constantes C1 y C2 dependen de las condiciones iniciales del

movimiento. Por ejemplo, se tiene C1 = 0 si la partícula se desplaza desde su posición

de equilibrio y se suelta en t = 0 sin ninguna velocidad inicial, y C2 = 0 si la partícula

empieza desde la posición de equilibrio en t = 0 con cierta velocidad inicial. En

general, al sustituir t = 0 y los valores iniciales y0 y v0 del desplazamiento y la

velocidad en las ecuaciones, se halla que C1 = v0/ωn y C2 = y0.

El valor correspondiente de t, denotado por τn, se llama el periodo de la vibración

libre y se mide en segundos. Se tiene:

Periodo = τn =2π

ωn ( 9)

El número de ciclos descritos por unidad de tiempo se denota mediante f n y se

conoce como frecuencia natural de la vibración. Se escribe

Frecuencia natural = 𝑓𝑛 =1

τn=

ωn

2π ( 10)

La unidad de frecuencia es una frecuencia de 1 ciclo por segundo, correspondiente a

un periodo de 1 s. En términos de unidades fundamentales la unidad de frecuencia es

consecuentemente 1/s. Se denomina Hertz (Hz) en el sistema internacional de

unidades. También se concluye de la ecuación de arriba que una frecuencia de 1 s-1 o

1 Hz corresponde a una frecuencia circular de 2π rad/s. En problemas que implican

velocidades angulares expresadas en revoluciones por minuto (rpm), se tiene que 1

rpm = 1

60s−1=

1

60 Hz, o 1 rpm = (2π/60) rad / s.

29

Al recordar que ωn se definió en términos de la constante K del resorte y de la masa m

de la partícula, se observa que el periodo y la frecuencia son independientes de las

condiciones iniciales y de amplitud de la vibración. Hay que observar que τn y fn

dependen de la masa y no del peso de la partícula y, por ello, son independientes del

valor de la gravedad.

2.2.6.2 Vibraciones Forzadas

Desde el punto de vista de las aplicaciones de la ingeniería las vibraciones

forzadas son las más importantes, estas ocurren cuando un sistema se sujeta a una

fuerza periódica. En la Figura 2.13 se considera un cuerpo de masa m suspendido de

un resorte y sometido a la acción de una fuerza periódica F, y que impone una

frecuencia circular ωf que se conoce como frecuencia circular forzada.

La ecuación de movimiento que define a las vibraciones forzadas es:

Figura 0.13: Esquema del sistema masa-resorte con

una fuerza aplicada F. Elaborado por: los autores.

30

F0sen(ω𝑓t) + W − K(δestatica + 𝑦) = m�� ( 11)

Como W=K 𝛿𝑒𝑠𝑡𝑎𝑡𝑖𝑐𝑎, la ecuación se escribe:

F0sen(ω𝑓t) = 𝑚�� + K𝑦 ( 12)

Nótese que la ecuación anterior posee un miembro del lado de la igualdad que es

diferente de cero, por lo tanto la ecuación no es homogénea y su solución general se

obtiene al sumar una solución particular de la ecuación dada a la solución general de

la ecuación homogénea correspondiente, esta solución particular se obtiene de la

forma:

𝑦𝑝 = Ymsen(ω𝑓t) ( 13)

Al sustituir 𝑦p por y en la ecuación se obtiene:

−𝑚ω𝑓2Ymsen(ω𝑓t) + K Ymsen(ω𝑓t) = F0sen(ω𝑓t) ( 14)

Que puede resolverse para la amplitud

Ym =F0

K−m𝜔𝑓2

( 15)

Sabiendo que K/m=𝜔𝑛2 la ecuación se escribe de la siguiente forma:

Ym =F0

K⁄

1−(ω𝑓

ωn⁄ )

2 ( 16)

La ecuación homogénea correspondiente a la Ecuación 11 es la misma que se

define para vibraciones libres cuya solución general denominada función

complementaria y se escribe:

31

𝑦𝑐 = C1sen(ωnt) + C2cos (ωnt) ( 17)

Al sumar la ecuación particular con la ecuación anterior se obtiene la ecuación

general de la Ecuación 11.

𝑦 = C1sen(ωnt) + C2 cos(ωnt) + Ymsen(𝜔𝑓t) ( 18)

El último término en la Ecuación 18 representa la vibración de estado estable

producida y mantenida por la fuerza aplicada. Su frecuencia es la frecuencia forzada

impuesta por esta fuerza, y su amplitud Ym, definida por Ecuación 15 o 16, depende

de la razón de frecuencias ωf / ωn. El coeficiente entre la amplitud Ym de la

vibración de estado estable y la deflexión estática 𝛿=F0/K causada por una fuerza, se

llama factor de amplificación. A partir de las ecuaciones 15 y 16, se obtiene:

Factor de amplificacion =Ym

F0 K⁄=

1

1 − (ω𝑓ωn

)2

( 19)

En la Figura 2.14 se grafica el factor de amplificación en función de la razón de

frecuencia ωf / ωn. Se advierte que cuando ωf / ωn = 1 la amplitud de la vibración

forzada se vuelve infinita y se dice que la fuerza aplicada está en resonancia con el

Figura 0.14: Factor de amplificación respecto a la

razón entre frecuencias. Elaborado por: los autores.

32

sistema dado. Por fortuna, en la realidad es imposible que la amplitud de la vibración

sea infinita debido a fuerzas que impiden el pleno desarrollo del movimiento,

llamadas fuerzas amortiguadoras (Ver Sección 2.2.6.3). A pesar que en la realidad la

amplitud de un sistema en resonancia sea finita, si llega a ser muy grande, lo

suficiente como para generar una vibración que afecte significativamente sus

alrededores. Una situación de este tipo debe evitarse por lo que frecuencia forzada no

debe ser demasiado parecida a la frecuencia natural del sistema. Hasta el contacto con

el aire genera fricción que con el tiempo termina por parar el movimiento.

2.2.6.3 Vibraciones libres amortiguadas

Los sistemas vibratorios considerados anteriormente en este capítulo se supusieron

libres de amortiguamiento, pero la práctica revela que todas las vibraciones son

amortiguadas en menor o mayor medida gracias a las fuerzas de amortiguamiento.

Estas fuerzas pueden deberse a la fricción que existe entre dos cuerpos cuando entran

en contacto. No hay que subestimar el papel de las fuerzas de fricción en el campo de

la física aplicada, de hecho, esta se encuentra presente en cada movimiento de un

cuerpo a menos que éste se encuentre levitando en el espacio exterior; incluso el aire

que rodea a una pelota cuando es lanzada genera fricción (fricción fluida), solo que en

muchas ocasiones se desprecia su influencia. La fricción se puede separar en:

Fricción seca, cuando el contacto sucede entre cuerpos rígidos. Ej.: Un

ladrillo siendo arrastrado a lo largo del suelo.

Fricción fluida, cuando un cuerpo rígido se mueve en un fluido. Ej.: El

contacto entre el agua y una barca cuando está en movimiento.

Fricción interna, cuando es entre las moléculas de un cuerpo

aparentemente elástico.

Un tipo de amortiguamiento de interés especial es el amortiguamiento viscoso

ocasionado por fricción o rozamiento de un fluido a velocidades bajas y moderadas.

33

El amortiguamiento viscoso se caracteriza por el hecho de que la fuerza de fricción es

directamente proporcional y opuesta a la velocidad del cuerpo en movimiento.

Una forma en la que se puede representar este tipo de vibraciones es como se muestra

en la Figura 2.15 el cual muestra una disposición similar a la Figura 2.11b, este nos

indica que podemos considerar un cuerpo de masa m suspendido de un resorte de

constante K, donde se supondrá que el cuerpo está conectado al embolo de un

amortiguador. La magnitud de la fuerza es Cẏ, donde la constante C se expresa en

N·s/m y que se conoce como coeficiente de amortiguamiento viscoso, depende de las

propiedades físicas del fluido y la fricción que ejerza entre las paredes del embolo.

La ecuación de movimiento que define a las vibraciones libres amortiguadas es:

W − K(δ + 𝑦) − C�� = 𝑚�� ( 20)

Cuando W=K δ, la ecuación se escribe:

Figura 0.15: Esquema del sistema masa-resorte con un

embolo amortiguador. Elaborado por: los autores.

34

0 = 𝑚�� + 𝑐�� + Kδ ( 21)

Se busca resolver el problema de una manera diferente a la trivial, por lo tanto se

sustituye y=𝑒𝜆𝑡 y dividir por 𝑒𝜆𝑡 se escribe la ecuación característica:

0 = 𝑚λ2 + Cλ + K

( 22)

El cual tiene como raíces:

λ = −C

2𝑚 ± √(

C

2𝑚)2

−K

𝑚 ( 23)

El cual cuando el valor de C hace que el radical en la ecuación se iguale a cero se

escribe:

Cc = 2𝑚√K

𝑚= 2𝑚𝜔𝑛 ( 24)

Donde ωn es la frecuencia circular natural del sistema en ausencia de

amortiguamiento. Se pueden distinguir tres casos diferentes de amortiguamiento,

dependiendo del valor del coeficiente C.

Entre los casos posibles de amortiguamiento según el valor de c se encuentra:

Sobre amortiguamiento C > Cc.

Cuando el coeficiente de amortiguamiento es menor al amortiguamiento critico (C >

Cc), las raíces de la Ecuación 23 son reales y distintas (λ1,λ2), por lo que la solución

para la Ecuación 21 se define en la Ecuación 25.

35

𝑦 = 𝐶1𝑒𝜆1𝑡 + 𝐶2𝑒

𝜆2𝑡 ( 25)

La representación gráfica de la Ecuación 25 se muestra en la Figura 2.16 y

corresponde a un movimiento no vibratorio o aperiódico. El amortiguamiento es de

tal magnitud que en cuanto empieza el movimiento éste es forzado a detenerse

rápidamente, sin siquiera completar o realizar el primer ciclo.

Matemáticamente, y nunca llega a ser cero sino que tiende a cero cuando t

aumenta de manera indefinida. Sin embargo, el sistema en la práctica vuelve a su

posición de equilibrio después de un tiempo finito.

Amortiguamiento critico C = Cc.

Cuando el coeficiente de amortiguamiento es igual al amortiguamiento crítico (C =

Cc) la ecuación 21 tiene una doble raíz la cual es 𝜆 = −𝐶𝑐

2𝑚, y la solución general

queda de la siguiente forma:

Figura 0.16: Desplazamiento de la partícula de masa respecto al tiempo, en una

vibración libre sobre-amortiguada. Elaborado por: los autores.

36

𝑦 = (𝐶1 + 𝐶2𝑡)𝑒−𝜔𝑛𝑡 ( 26)

El movimiento que define a la ecuación al igual que en caso anterior es no

vibratorio. Los sistemas críticamente amortiguado son de especial interés en

aplicaciones de ingeniería, pues vuelven a su posición de equilibrio en el tiempo más

corto posible sin oscilación.

Sub-amortiguamiento C < Cc.

Ocurre cuando el coeficiente de amortiguamiento es menor que el coeficiente de

amortiguamiento critico (C < Cc) las raíces de la ecuación general son complejas y

conjugadas, y la solución general es de la forma

𝑦 = e−(c

2m)t(C1sen(ωdt) + C2 cos(ωdt)) ( 27)

Donde 𝜔𝑑 se define por la relación

𝜔𝑑2 =

𝑘

𝑚− (

𝑐

2𝑚)2

( 28)

Figura 0.17: Variación del desplazamiento de la partícula de masa respecto

al tiempo en una vibración libre. Elaborado por: los autores.

37

Al sustituir 𝑘 𝑚⁄ = 𝜔𝑛2 y despejando 𝜔𝑑, se tiene que: 𝜔𝑑 = 𝜔𝑛√1 − (

𝐶

𝐶𝑐)2

donde la constante 𝑐 𝑐𝑐⁄ se conoce como el factor de amortiguamiento y se denota en

los libros de dinámica con la letra ς. A pesar que el movimiento en realidad no se

repite a sí mismo, la constante 𝜔𝑑 se conoce comúnmente como la frecuencia

circular de la vibración amortiguada. Una sustitución en la ecuación general queda de

la siguiente forma:

𝑦 = 𝑦𝑜e−(

c2m

)tsen(ωdt + θ) ( 29)

El movimiento definido por la Ecuación 29 es vibratorio con amplitud decreciente

(Figura 2.18), y el intervalo de tiempo τd = 2πωd

⁄ que separa dos puntos sucesivos

donde la curva definida por la Ecuación 29 toca una de las curvas límite que se

muestran en la Figura 2.18 se conoce comúnmente como el periodo de vibración

Figura 0.18: Posición de la masa respecto al tiempo en una vibración Sub-

amortiguada. Elaborado por: los autores.

38

amortiguada. De acuerdo con la Ecuación 28, se observa que 𝜔𝑑<𝜔𝑛 y, por ello, que

𝜏𝑑 es más grande que el periodo de vibración 𝜏𝑛 del sistema no amortiguado

correspondiente.

2.2.6.4 Vibraciones Forzadas amortiguadas

Si el sistema considerado en la sección anterior está sujeto a una fuerza periódica

F, la ecuación de movimiento se convierte en:

𝑚�� + C�� + K𝑦 = F ( 30)

Siendo F la fuerza que mantiene el movimiento, la fuerza excitatriz, resulta de

especial interés su estudio. Se ha clasificado las fuerzas deacuerdo a su naturaleza

pudiendo ser: armónicas, por impulso ó arbitrarias, siendo las primeras las que poseen

la siguiente forma:

F=F0·Sen (ωf t) ó F=F0·Cos (ωf t)

Estas fuerzas son las más importantes para fines del presente trabajo de

investigación, puesto que representan las fuerzas generadas por las máquinas.

Además, la fuerza F0 puede tener una magnitud constante o variable en el tiempo,

como por ejemplo en las prensas perforadoras o en las máquinas de impacto en

general. También puede depender de la frecuencia de vibración, como en los

compresores o las máquinas de embolo o poseen un mecanismo de masa rotativa.

En el primer caso: F0= constante (Prensas perforadoras)

En el segundo caso: F0= mr e ωf 2 (Compresores rotativos)

39

Donde m r es la masa que rota a una distancia e de un eje de rotación no alineado

con el eje de la máquina, mientras que ωf es su respectiva frecuencia.

La solución de este movimiento consta de dos partes: una que es la solución

homogénea o complementaria (yc) y la otra que es la solución particular (yp). La

solución complementaria (yc) fue estudiada anteriormente y está definida por la

siguiente ecuación:

𝑦C = YCe−(

Ct2m

)sen (ωdt + θ)

Yc=y0

( 31)

La solución particular (yp) es transitoria y está basada en las vibraciones libres del

sistema, produciendo una oscilación estacionaria armónica uniforme de la misma

frecuencia ωf=ω de excitación, de amplitud de oscilación Yp y ángulo de fase φ

respecto a la fuerza excitatriz. De esta forma razonablemente se puede asumir a la

solución particular de la forma:

𝑦P = YPsen (ωt − φ) ( 32)

Siendo sus derivadas:

��P = ωYPsen (ωt − φ) ��P = ω2YPsen (ωt − φ)

Sustituyendo en la ecuación 30 se tiene:

−𝑚ω2YPsen (ωt − φ) + CωYP cos (ωt − φ) + KYPsen (ωt − φ) = F0sen (ωt)

( 33)

40

Como en el movimiento armónico las fases de la velocidad y la aceleración están

adelante del desplazamiento en 90° a 180° respectivamente, los términos de la

ecuación diferencial antes indicada se representan vectorialmente de la siguiente

manera:

Entonces: F02 = YP

2(K − 𝑚ω2)2 + YP2(Cω)

F0 = YP√(K − 𝑚ω2)2 + (Cω)2

Luego:

YP =F0

√(K − 𝑚ω2)2 + (Cω)2=

F0

K

√(1 −𝑚ω2

K )2

+ (CωK )

2

(

(34)

Figura 0.19: Suma vectorial de los términos en la Ecuación 33.

Fuente: José García “Vibraciones en Estructuras”.

41

tanφ =

CωK

1 −𝑚ω2

K

( 35)

Entonces las expresiones no dimensionales de la amplitud (o factor de

amplificación) y ángulo de fase en función de la relación de frecuencias ωf / ωn.

YPK

F0=

1

√(1 − (ω𝑓ωn)

2

)

2

+ (2ςω𝑓ωn)

2

( 36)

tanφ =2𝜍

ω𝑓ωn

1 − (ω𝑓ωn)

2

ggggg(

(37)

Cuyas represiones graficas son:

Figura 0.20: Representación gráfica de la Ecuación 36. Elaborado por: Los

autores.

YPK

F0

𝜔𝑓 𝜔𝑛⁄

42

Las curvas de las Figuras 20 y 21, muestran que el factor de amortiguamiento

tiene gran influencia sobre la amplitud y el ángulo de fase en la región próxima a la

resonancia (ωf / ωn ≅ 1). A mayor factor de amortiguamiento (ς), menor es la

amplitud Yp. Cuando ωf / ωn < 1, el ángulo de fase es menor de 90°, la fuerza del

resorte (KYp) es mayor que la fuerza de inercia (mYpω2) y tanto ésta como la fuerza

de amortiguamiento (CYpω) se incrementan a medida que aumenta el ángulo de fase.

Cuando ωf / ωn = 1, el ángulo de fase e igual a 90°, la fuerza de inercia equilibra a la

fuerza del resorte y la fuerza aplicada (F0) supera a la fuerza de amortiguamiento. De

esta manera la amplitud de resonancia es igual a:

Cuando ωf / ωn > 1, el ángulo de fase varía entre 90° y 180°, la fuerza de inercia

es mayor que la fuerza del resorte y la fuerza de amortiguamiento disminuye a

medida que aumenta el ángulo de fase.

Figura 0.21: Representación gráfica de la Ecuación 37. Fuente: José L. García. “Vibraciones

en Estructuras”.

43

En definitiva la solución de la ecuación: 𝑚�� + C�� + K𝑦 = F es la suma de la

ecuación complementaria y la particular:

y= yc + yp

Entonces:

y = YCe−(

Ct2m

)sen (θ + ωdt) +F0sen (ω𝑓t)

K√(1 − (ω𝑓ωn)

2

)

2

+ (2ςω𝑓ωn)

2

( 38)

Donde Yc y θ se obtienen evaluando la ecuación anterior para cuando t=0, tanto para

y como su derivada ẏ.

Las expresiones previamente deducidas son correctas asumiendo una Fuerza de

inicial de excitación (F0) constante, pero si la fuerza proviene de una masa rotativa la

ecuación del movimiento seria:

(m − mr)�� + m𝑦 + C�� + K𝑦 = 0

En la resolución de esta ecuación se procedería de manera similar a la Ecuación 30,

dando como resultado las siguientes expresiones adimensionales para la amplitud y el

ángulo de fase:

YPK

mre=

𝜔𝑓2

√(1 − (ω𝑓ωn)

2

)

2

+ (2ςω𝑓ωn)

2

( 39)

tanφ =2𝜍

ω𝑓ωn

1 − (ω𝑓ωn)

2 ( 40)

44

Se advierte que las expresiones para el ángulo de fase de la Ecuación 37 y 40 son

iguales, por lo que sus gráficas también. Mientras que tanto la ecuación como la

gráfica (Figura 2.22) del factor de amplificación cambian ligeramente.

2.2.7 Aislamiento vibratorio

En el diagrama de fuerzas que se aprecia en la Figura 2.19 se tiene que la fuerza

transmitida es igual a:

Ft = √(KYp)2 + (CωYp)

2 = KYp√1 + (Cω

K) ( 41)

Sustituyendo YP en la expresión anterior por la Ecuación 34 y simplificando se

tiene la razón de transmisibilidad de la fuerza en forma adimensional:

Figura 0.22: Representación gráfica de la Ecuación 39. Elaborado

por: Los autores.

𝜔𝑓 𝜔𝑛⁄

YPK

mre

45

Ft

Fo=

√1 + (Cω𝑓K )

2

√(1 − (mω𝑓2

K))

2

+ (Cω𝑓K

)2

=

√1 + (2ςω𝑓ωn)

2

√(1 − (ω𝑓ωn

)2

) + (2ςω𝑓ωn

)2 ( 42)

Si se grafica esta última expresión para varios valores de 𝜍 se obtiene la gráfica en

la Figura 2.23. Como puede observarse, cuando ωf / ωn= √2 para cualquier valor de

𝜍, la relación de transmisibilidad es igual a 1. Por consiguiente el aislamiento

vibratorio ocurre cuando la relación de ωf / ωn > √2 ya que a partir de este punto la

relación de transmisibilidad Ft / F0 < 1, controlando así el factor de transmisibilidad.

De esta manera se puede decir que un resorte sin amortiguamiento es mejor que un

resorte con amortiguamiento, sin embargo lo recomendable es tener algún

Figura 0.23: Representación gráfica de la Ecuación 40. Fuente: José L. García

“Vibraciones en Estructuras”.

46

amortiguamiento mínimo para los casos en el que ωf tenga que aumentar de forma

progresiva hasta su valor correspondiente. En dichos casos debe haber algún

amortiguamiento para controlar las grandes amplitudes de la vibración cuando ωf

pase por la zona de resonancia (ωf / ωn ≅ 1).

“Cuando el amortiguamiento es despreciable o igual a cero, la relación de frecuencia

ωf / ωn debe mantenerse superior a la √2 , para evitar que la frecuencia ωf pase por la

región de resonancia y no se produzca la misma”.- Vibraciones en estructuras. José

Luzardo García Guerrero.

2.2.8 Conservación de energía

En la Sección 2.2.6.1 se vio que cuando una partícula de masa m está en

movimiento armónico simple, la resultante de las fuerzas ejercidas sobre la partícula

tiene una magnitud que es proporcional al desplazamiento y, medido desde la

posición de equilibrio. Se puede observar que el sistema descrito en la sección 2.2.6.1

posee dos formas de energía mecánica, una es la energía potencial proveniente del

resorte y otra es la energía cinética que se manifiesta cuando empieza el movimiento

de la masa. Estas formas de energía tienen magnitudes bien definidas y son las que

corresponden a continuación:

Energía Cinética: T = 1

2my2

Energía Potencial: V= 1

2Ky2

Sabiendo que la fuerza del resorte (Fr =K·y) es una fuerza conservativa, puede

hacerse la suposición que en el sistema no hay transformaciones de energía y que por

lo tanto esta se conserva, dado lugar a la siguiente expresión:

T + V = constante 1

2my2 +

1

2Ky2= constante

47

El principio de conservación de la energía proporciona una forma conveniente de

determinar el periodo de vibración de un cuerpo rígido o de un sistema de cuerpos

rígidos que poseen un solo grado de libertad, una vez que se ha establecido que el

movimiento del sistema es un movimiento armónico simple o que puede aproximarse

mediante un movimiento armónico simple. Al elegir una variable apropiada, como la

distancia y, se consideran dos posiciones particulares del sistema:

1. Posición de energía potencial máximo (V2 = Máximo y T2 = 0): esta es la posición

en el instante justo antes de comenzar el movimiento vibratorio. Se dice que la

energía potencial es máxima debido a que es en esta que se ejerce la deformación

máxima Y, detonante del movimiento, sobre el resorte, mientras que la energía

cinética en nula ya que al no existir ningún movimiento su velocidad es cero.

2. Posición de equilibrio (V2 = 0 y T2 = Máximo): esta posición coincide con la

posición donde la deformación del resorte es cero, por lo que su energía potencial es

nula. En cambio, al estar la partícula en su punto de velocidad máxima la energía

cinética tiene su valor máximo.

Finalmente, se expresa que la energía total del sistema se conserva y se escribe V1 =

T2.

2.2.9 Tipos de cargas.

La cimentación de los equipos dinámicos debe ser diseñada para soportar todas las

fuerzas que a estas se le impongan durante el periodo de vida de la planta. Las cargas

aplicadas pueden variar de máquina a máquina, sin embargo el tipo de cargas

actuantes en una fundación pueden ser separadas en dos grandes grupos como son:

cargas estáticas y cargas dinámicas.

48

2.2.9.1 Cargas estáticas.

Son aquellas que no variaran en el tiempo, entre las cuales se encuentran:

Carga muerta

La función principal por naturaleza de la fundación es soportar las cargas de gravedad

(muertas) de lo que se apoya en ella:

El peso de la maquinaria

El peso de las tuberías.

Contenedores propios del equipo.

Protección contra incendios.

.El peso propio.

Los pesos de los componentes de la máquina son suministrados normalmente por el

fabricante de la máquina. La distribución del peso de la máquina sobre la cimentación

depende de la ubicación de los puntos de soporte. Normalmente, hay múltiples puntos

de apoyo y por lo tanto no es recomendable tomar una distribución uniforme de los

pesos.

Cargas vivas

Son las cargas que produce el equipo de mantenimiento: son producidas por personal,

herramientas y equipos y materiales de mantenimiento. Las cargas vivas utilizadas en

el diseño deben ser las cargas máximas esperadas durante la vida útil de la máquina.

Para la mayoría de los diseños, las cargas vivas se distribuyen uniformemente sobre

las áreas de acceso alrededor de las fundaciones. Normalmente sus valores varían y se

pueden encontrar en los códigos o normativas locales, pero lo típico es que estén

comprendidas entre 60 lbf / ft2 (2,9 kPa) para el personal y 150 lbf / ft2 (7,2 kPa) para

equipos y materiales de mantenimiento.

49

Cargas viento

Las cargas debidas al viento en las superficies de la máquina, equipo auxiliar y la

cimentación se basan en la velocidad del viento de diseño para el sitio en particular y

normalmente se calculan de acuerdo con el código local. Las cargas de viento rara

vez rigen el diseño de las cimentaciones de la máquina, excepto, quizás, cuando la

máquina se encuentra en un recinto que también está soportado por la fundación.

Al diseñar las cimentaciones de la máquina y las estructuras de soporte, la mayoría

de los practicantes usan las provisiones de carga de viento de la ASCE 7. El

procedimiento analítico de la ASCE 7 proporciona presiones y fuerzas de viento para

el diseño de los sistemas resistentes a la fuerza del viento y el anclaje de componentes

de la máquina.

La mayoría de los sistemas estructurales que involucran máquinas y fundaciones

de máquinas son relativamente rígidos. En consecuencia, los sistemas pueden ser

tratados como rígidos con respecto al factor de efecto de ráfaga de viento, y se

pueden usar procedimientos simplificados. Si la máquina está soportada en aisladores

flexibles y está expuesta al viento, la asunción rígida puede no ser razonable y es

necesario un tratamiento más elaborado de los efectos de ráfaga como se describe en

ASCE 7 para sistemas estructurales flexibles.

Cargas sísmicas.

50

Las fundaciones de maquinaria localizadas en regiones sísmicamente activas se

analizan para cargas sísmicas. Cuando se trata de sismos se debe tener especial

cuidado con las maquinarias que estén soportadas en un nivel superior al suelo o

sobre pedestales flexibles, como es el caso de los cimientos aporticados.

Cargas térmicas.

Las temperaturas cambiantes de las máquinas y sus cimientos causan expansiones

y contracciones, y distorsiones, haciendo que las distintas partes intenten deslizarse

sobre las superficies de soporte. La magnitud de las fuerzas de fricción resultantes

depende de la magnitud del cambio de temperatura, de la ubicación de los soportes y

de la condición de las superficies de soporte. Las fuerzas térmicas no imponen una

fuerza neta sobre la cimentación que se transmita al suelo. Las fuerzas térmicas, sin

embargo, pueden regir el diseño del sistema de lechada.

2.2.9.2 Cargas dinámicas.

Las fuerzas dinámicas son producto de la operación de la máquina y se describirán

a detalle en las secciones siguientes.

2.2.10 Tipos de excitación mecánica.

Las fuerzas dinámicas son las fuerzas que son producidas por la maquinaria

durante su funcionamiento y son la fuente de vibraciones. La causa de estas cargas

depende del tipo de máquina que las origina. Así, mientras que en las máquinas

centrífugas su aparición se debe a excentricidades respecto al eje de giro, en las

máquinas alternativas, o mejor conocidas como reciprocantes, estas cargas se deben

al desplazamiento y rotación de las distintas partes en movimiento (pistones, bielas,

51

manivelas, etc.). Por tanto se ha de conocer primero el origen de estas fuerzas para

poder calcularlas en caso de que no sean facilitadas por el fabricante.

2.2.10.1 Calculo de cargas en máquinas reciprocantes

Las máquinas alternativas o reciprocantes son aquellas en las que el movimiento,

debido generalmente a la expansión violenta de un gas, se logra mediante la

combinación de émbolos, bielas y manivelas. El movimiento alternante, generalmente

armónico simple, del émbolo, se transforma por la acción de la biela en un

movimiento circular de la manivela. Generalmente son máquinas de baja velocidad.

Entre los tipos de máquinas reciprocantes pueden mencionarse: máquinas de vapor,

motores diesel y de gasolina, compresoras de émbolo, y bombas de émbolo.

Las vibraciones forzadas en máquinas de movimiento alternativo, son en su

mayoría producidas por el desbalance de las fuerzas de inercia de las partes que

constituyen el mecanismo.

En la Figura 2.24 se ilustran las diversas partes de una máquina reciprocante.

Figura 0.24: Partes principales de las máquinas reciprocantes. Fuente: BARKAN, D.D.

“Dynamics of bases and foundations”.

52

El pistón A y su barra acopladora B realizan un movimiento alternativo, la

manivela D ejecuta un movimiento circular alrededor del eje que pasa por O,

mientras que la biela C realiza un movimiento periódico bastante complicado, sus

puntos describen elipses. Cada una de las partes del mecanismo puede tener

desbalance de sus fuerzas de inercia, produciendo en una forma independiente,

vibraciones a la fundación. De acuerdo a las leyes de la estática. Realizaremos una

reducción de fuerzas al punto O, y ubicamos en este punto el origen del sistema de

coordenadas X, Y, Z.

La fuerza inercial resultante del mecanismo será igual a la suma de las fuerzas

inerciales de sus partes en movimiento: la manivela, la biela, el pistón y la barra

conectora.

Figura 0.25: Máquina Reciprocante. Fuente: BARKAN, D.D.

“Dynamics of bases and foundations”.

53

Para simplificar los cálculos concentraremos la masa del mecanismo no en tres

puntos, sino en dos puntos. Esto simplifica las ecuaciones obtenidas para Px, Pz.

Donde:

R Longitud de la manivela

L Longitud de la biela.

M1= Masa de la manivela

M2= Masa del pistón y la barra conectora

M3 = Masa de la biela

R1= Longitud entre el centro de gravedad de la manivela y el eje de rotación 0.

L1= Longitud entre el centro de gravedad de la biela y la manivela

L2= Longitud entre el centro de gravedad de la biela y la barra conectora

En la Figura 2.25 Observamos las distancias y los puntos en donde estarán

concentradas las masas del mecanismo. Al concentrar las masas en los puntos a y b,

obtenemos:

𝑀𝑎 = 𝑀11 + 𝑀31 =𝑅1

𝑅𝑀1 +

𝐿2

𝐿𝑀3 ( 43)

𝑀𝑏 = 𝑀2 + 𝑀32 = 𝑀2 +𝐿1

𝐿𝑀3 ( 44)

Las proyecciones de las fuerzas de todo el mecanismo quedan de la siguiente

manera, teniendo en cuenta que la velocidad de operación de la máquina es ωf:

𝑃𝑥 = 𝑅𝜔𝑓2𝑀𝑎𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑓 ∙ 𝑡) ( 45)

𝑃𝑧 = 𝑅𝜔𝑓2 ∙ [(𝑀𝑎 + 𝑀𝑏) cos(𝜔𝑓 ∙ 𝑡) + 𝛼𝑀𝑏 (1 +𝛼2

4) cos(2𝜔𝑓 ∙ 𝑡) −

𝑀𝑏𝛼2

4cos (4𝜔𝑓 ∙ 𝑡)] ( 46)

𝛼 =𝑅

𝐿 ( 47)

54

2.2.10.2 Calculo de cargas en máquinas reciprocantes de múltiples

cilindros.

El método para determinar las cargas en máquinas que tengan cilindros múltiples,

en principio es el mismo que para máquinas de un solo cilindro. Cada mecanismo

motor usualmente el número de cilindros no excede los diez. Las fuerzas inerciales

son calculadas de manera similar para las máquinas horizontales y verticales.

Donde:

ly1 = Distancia desde el primer cilindro hasta el eje z

lyk = Distancia desde el cilindro “k” hasta el eje z

lz= Distancia entre el eje de rotación de la máquina y el eje y.

Colocamos el eje y en dirección al cigüeñal de la máquina, el eje x perpendicular a

los cilindros y el eje z paralelo al recorrido de los pistones. Colocamos el origen en el

centro de masas de la fundación y la máquina.

Figura 0.26: Máquina Multicilindro. Fuente: BARKAN, D.D. “Dynamics of

bases and foundations”.

55

Denotamos con βk el ángulo de la barra del cilindro k y la primera barra.

Las Cargas dinámicas para el cilindro k quedaran:

𝑃𝑥𝑘 = 𝑅𝑘𝜔𝑓2𝑀𝑎𝑘𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑓 ∙ 𝑡 + 𝛽𝑘) ( 48)

𝑃𝑧𝑘 = 𝑅𝑘𝜔2[(𝑀𝑎𝑘 + 𝑀𝑏𝑘) cos(𝜔𝑓 ∙ 𝑡 + 𝛽𝑘) + 𝑀𝑏𝑘𝛼𝑘cos (𝜔𝑓 ∙ 𝑡 + 𝛽𝑘)] ( 49)

Los términos de las expresiones 50 y 51 son despreciados, para simplificar los

cálculos, quedando:

𝑀𝑏𝑘

𝛼𝑘3

4cos 2(𝜔𝑓 ∙ 𝑡 + 𝛽𝑘) = 0 ( 50)

𝑀𝑏𝑘

𝛼𝑘3

4cos 4 (𝜔𝑓 ∙ 𝑡 + 𝛽𝑘) = 0 ( 51)

Para obtener la carga resultante transmitida a la fundación por todos los cilindros,

haremos la sumatoria de cargas de todos los cilindros:

𝑃𝑥 = 𝜔2 ∑ 𝑅𝑘𝑀𝑎𝑘𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑓 ∙ 𝑡 + 𝛽𝑘)

𝑛

𝑘=1

( 52)

𝑃𝑧 = 𝜔2 ∑ 𝑅𝑘[(𝑀𝑎𝑘 + 𝑀𝑏𝑘) cos(𝜔𝑓 ∙ 𝑡 + 𝛽𝑘) + 𝑀𝑏𝑘𝛼𝑘 cos 2(𝜔𝑓 ∙ 𝑡 + 𝛽𝑘)]

𝑛

𝑘=1

( 53)

Aparte de las fuerzas también tendremos momentos resultantes:

56

𝑀𝑥 = ∑ 𝑃𝑧𝑘𝑙𝑦𝑘

𝑛

𝑘=1

𝑀𝑦 = ∑ 𝑃𝑥𝑘𝑙𝑧𝑘

𝑛

𝑘=1

𝑀𝑧 = ∑ 𝑃𝑥𝑘𝑙𝑦𝑘

𝑛

𝑘=1

( 54)

Si el mecanismo del cigüeñal y las barras es el mismo en todos los cilindros, las

ecuaciones de las fuerzas se pueden simplificar.

𝑃𝑥 = 𝜔2𝑀𝑎𝑅 ∑ 𝑠𝑒𝑛 (𝜔𝑓 ∙ 𝑡 + 𝛽𝑘)

𝑛

𝑘=1

( 55)

𝑃𝑧 = 𝜔2𝑅 [(𝑀𝑎 + 𝑀𝑏) ∑ cos(𝜔𝑓 ∙ 𝑡 + 𝛽𝑘) + 𝑀𝑏𝛼 ∑ cos2(𝜔𝑓 ∙ 𝑡 + 𝛽𝑘)

𝑛

𝑘=1

𝑛

𝑘=1

] Ddddd

( 56)

Para los cálculos despreciaremos los armónicos y asumimos que los cilindros de la

máquina son todos iguales, esto simplificara los cálculos en el modelo, para ello se

igualan las siguientes expresiones a cero:

∑ cos(𝜔𝑓 ∙ 𝑡

𝑛

𝑘=1

+ 𝛽𝑘) = 0 ∑ 𝑙𝑥𝑘 cos(𝜔 ∙ 𝑡 + 𝛽𝑘) = 0

𝑛

𝑘=1

∑ 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑓 ∙ 𝑡 + 𝛽𝑘)

𝑛

𝑘=1

= 0 ∑ 𝑙𝑧𝑘 𝑠𝑒𝑛

𝑛

𝑘=1

(𝜔𝑓 ∙ 𝑡 + 𝛽𝑘) = 0

∑ cos 2(𝜔𝑓 ∙ 𝑡 + 𝛽𝑘) = 0

𝑛

𝑘=1

∑ 𝑙𝑦𝑘 𝑠𝑒𝑛 (𝜔𝑓 ∙ 𝑡 + 𝛽𝑘) = 0

𝑛

𝑘=1

57

Cuando la máquina tiene más de un cilindro pueden aparecer, según el caso, un

momento de giro debido a la distinta orientación de las fuerzas en un instante dado.

Esta rotación se produce en torno a un eje que es perpendicular al desplazamiento

del pistón y cigüeñal y su ubicación depende de la disposición de los cilindros. Como

dicho momento es provocado por las fuerzas originadas por el desplazamiento del

pistón, se tendrá un momento primario (provocado por las fuerzas primarias) y uno

secundario (por las fuerzas secundarias). De la misma forma las fuerzas originadas

por la rotación de la manivela también pueden generar un momento de giro cuyo eje

tiene la misma dirección que el desplazamiento del pistón.

Estas fuerzas y momentos pueden ser equilibradas en parte o totalmente mediante

un sistema de masas en movimiento tal que unido al sistema motor (mecanismo biela-

manivela) origine fuerzas y momentos resultantes constantes en magnitud y sentido, o

iguales a cero. Para equilibrar las fuerzas centrífugas de las masas en rotación basta

con equilibrar el cigüeñal mediante contrapesos.

Evaluaremos las cargas y momentos generados por diferentes máquinas

reciprocantes.

2.2.10.3 Máquinas de dos cilindros verticales.

Suponemos que la máquina está montada asimétricamente en la fundación y

ambos cilindros son idénticos. Con la disposición asimétrica de la máquina, debemos

tener la distancia de separación de los cilindros con respecto al eje Z.

58

Donde:

l=Distancia entre los cilindros

lx =Distancia paralela al eje de giro, entre el primer cilindro y el eje vertical

lz = Distancia entre el eje de giro y el eje y

Px1, Px2 = Componentes horizontales de la fuerza en dirección x de cada cilindro

Pz1, Pz2 =Componentes verticales de la fuerza en dirección z de cada cilindro

Según la disposición de los cilindros, tenemos varios tipos de máquinas.

Evaluaremos el cálculo de cargas para cada una de ellas.

2.2.10.4 Cilindros en la misma dirección.

Para este tipo de máquinas, el ángulo β de cada cilindro con respecto al primero

cilindro será:

β1=0 β2=0

Siguiendo los cálculos de las formulas estudiadas anteriormente, las componentes

de las fuerzas y los momentos, que son generados por la máquina, quedan de la

siguiente manera:

Figura 0.27: Máquina reciprocante de dos cilindros. Fuente: BARKAN,

D.D. “Dynamics of bases and foundations”.

59

𝑃𝑥1 = 𝑃𝑥2 = 𝑅𝜔𝑓2𝑀𝑎𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑓 ∙ 𝑡) 𝑀𝑥 = 𝑃𝑧1(𝑙 + 2𝑙𝑥)

( 57)

𝑃𝑧1 = 𝑃𝑧2 = 𝑅𝜔𝑓2(𝑀𝑎 + 𝑀𝑏)cos (𝜔𝑓 ∙ 𝑡)

𝑀𝑦 = 2𝑃𝑥1𝑙𝑧

𝑃𝑥 = 2𝑅𝜔𝑓2𝑀𝑎𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑓 ∙ 𝑡)

𝑃𝑧 = 2𝑅𝜔2(𝑀𝑎 + 𝑀𝑏) cos(𝜔𝑓 ∙ 𝑡) 𝑀𝑧 = 𝑃𝑥1(𝑙 + 2𝑙𝑥)

2.2.10.5 Cilindros con ángulo de 90º.

Estas máquinas tienen un ángulo de 90 grados entre sus cilindros, las fuerzas

resultantes generadas por la maquina serán:

𝑃𝑥 = 𝑅𝜔2𝑀𝑎(𝑠𝑒𝑛𝜔𝑓 ∙ 𝑡 + 𝑐𝑜𝑠𝜔𝑓 ∙ 𝑡) = √2𝑅𝜔2𝑀𝑎𝑠𝑒𝑛 (𝜔𝑓 ∙ 𝑡 +𝜋

4)

𝑃𝑧 = 𝑅𝜔𝑓2(𝑀𝑎 + 𝑀𝑏)(cos(𝜔𝑓 ∙ 𝑡) − 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑓 ∙ 𝑡)) = √2𝑅𝜔𝑓2(𝑀𝑎 + 𝑀𝑏)𝑐𝑜𝑠 (𝜔𝑓 ∙ 𝑡 +𝜋

4)

( 58)

Los momentos análogamente serán:

𝑀𝑥 = 𝑃𝑧1(𝑙 + 𝑙𝑦) + 𝑃𝑧2𝑙𝑦

𝑀𝑦 = (𝑃𝑥1 + 𝑃𝑥2)𝑙𝑧

𝑀𝑧 = 𝑃𝑥1(𝑙 + 𝑙𝑦) + 𝑃𝑥2𝑙𝑦

( 59)

h

ly =Distancia paralela al eje y, entre el primer cilindro y el eje vertical.

60

2.2.10.6 Cilindros con ángulo de 180º.

Los ángulos de los cilindros con respecto al primer cilindro son:

β1=0 β2=π

Debido a la posición de los pistones en estas máquinas, las fuerzas primarias se

anulan. Dando como resultado que las componentes de las fuerzas serán igual a 0.

Px=0 Pz=0

Y los momentos iguales a:

Mx=Pz1l My=0 Mz=Px1l ( 60)

2.2.10.7 Máquina de tres cilindros verticales.

Estas máquinas manejan los siguientes ángulos.

β1=0° β2=120° β3=240°

Y como

cos(0) + cos(120°) + cos(240°) =0

sen(0) + sen (120°) + sen (240°) = 0

Las componentes de las fuerzas quedan igualadas a 0

Px=0 Pz=0

61

Los momentos quedan:

𝑀𝑥 = 𝑃𝑧1(2𝑙 + 𝑙𝑦) + 𝑃𝑧2( 𝑙 + 𝑙𝑦) + 𝑃𝑧3𝑙𝑦

( 61) 𝑀𝑦 = 0

𝑀𝑧 = 𝑃𝑥1(2𝑙 + 𝑙𝑦) + 𝑃𝑥2(𝑙 + 𝑙𝑦) + 𝑃𝑥3𝑙𝑦

2.2.10.8 Máquina cuatro cilindros.

En estas máquinas los ángulos serán:

β1=0° β2=180° β3=180° β4=360°

Con este arreglo, se tiene que las fuerzas de primer orden son nulas pues las

fuerzas son idénticas y opuestas en todo momento por lo que se anulan. Lo mismo

ocurre con los momentos, por ser el cigüeñal totalmente simétrico respecto a su plano

perpendicular medio.

2.2.10.9 Máquina seis cilindros

En estas máquinas el arreglo de los cilindros es el siguiente:

β1=0 ; β2=2𝜋

3 ; β3=

4𝜋

3 ; β4=

4𝜋

3 ; β5=2π ; β6=

8𝜋

3

Las fuerzas para este arreglo están balanceadas, y los momentos quedan

expresados de la siguiente manera:

𝑀𝑥 = √3𝑃𝑧𝑙 𝑀𝑦 = 0 𝑀𝑧 = √3𝑃𝑥𝑙 ( 62)

62

2.2.10.10 Calculo de cargas en máquinas rotativas

Las máquinas rotativas son aquellas en las que el desplazamiento de casi todas las

partes móviles describe una trayectoria circular. En la Figura 2.28 se muestra la

estructura más simple de una maquina con mecanismo rotativo, que consiste en una

masa m que gira alrededor de un centro a una distancia e. El movimiento

generalmente obedece a la ley de acción y reacción al desplazarse un fluido entre los

álabes de una o más ruedas. En otros casos el movimiento se debe a la existencia de

un conductor dentro de un campo magnético variable. Generalmente son máquinas de

alta velocidad. Entre los tipos de máquinas rotativas pueden mencionarse las

siguientes: turbogeneradores, bombas y compresores rotativos, y motores eléctricos.

Los compresores centrífugos y turbinas son máquinas que presentan, por muy

perfecta que sea su fabricación y montaje, ciertas excentricidades respecto a su eje de

giro. Estas excentricidades son las que al girar a una velocidad dada van a provocar

una fuerza centrífuga, que se determina con la Ecuación 63, y será tanto mayor

cuanto mayor sea la velocidad de giro y la excentricidad:

𝐹 = mr ∙ 𝑎 = mr ∙ 𝜔𝑓2 ∙ 𝑒 ( 63)

Figura 0.28: máquina de sistema rotativo. Elaborado por: Los autores

63

Donde:

mr = Masa del rotor [kg]

ωf = Velocidad de angular del rotor [rad/s]

e = Excentricidad dinámica [m]

Si la descomponemos, obtenemos las fuerzas en los ejes coordenados X y Z:

𝐹𝑥 = 𝑚𝑒 ∙ 𝜔𝑓2 ∙ 𝑒 ∙ 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑓 ∙ 𝑡)

𝐹𝑧 = 𝑚𝑒 ∙ 𝜔𝑓2 ∙ 𝑒 ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑓 ∙ 𝑡)

( 64)

Cada una de estas fuerzas son de carácter armónico al ser funciones de sen(t) y

cos(t). La excentricidad dinámica a la velocidad de operación es la excentricidad que

tiene el rotor durante su funcionamiento y difiere sensiblemente de la excentricidad

estática (con la máquina parada). La primera depende de esta última en cuanto que es

modificada. Esto es así ya que la fuerza centrífuga provoca sobre el eje del rotor una

flexión que acentúa el valor de la excentricidad, aumentando así el valor de la fuerza

generada. A velocidad constante se establece un equilibrio en el que la excentricidad

y la fuerza centrífuga permanecen también constantes. Podemos establecer una

relación entre las excentricidades a través de la formula, en donde eo es la

excentricidad estática:

𝑒 =𝑒0

1 − (𝜔𝑓𝜔𝑐

)

( 65)

Donde ωf es la frecuencia de operación de la máquina y ωc su frecuencia crítica.

El fabricante deberá suministrar como dato, bien la excentricidad estática (lo más

normal) o la excentricidad dinámica. En caso de que se dé la primera, la segunda la

podremos obtener mediante la ecuación anterior.

64

2.2.11 Evolución de los métodos de diseño para fundaciones dinámicas.

Ampliamente conocidas y utilizadas por muchos ingenieros proyectistas en la

práctica profesional, las reglas de proporcionalidad másica máquina-fundación fueron

una de las primeras propuestas en la búsqueda de un diseño resiste a los abates del

tiempo y de las máquinas. Por ejemplo, una de las reglas consiste en multiplicar la

masa de la maquina por un coeficiente comprendido en el intervalo de 3 a 5; el

producto resúltate corresponde a la masa de la fundación y partir de allí se definen las

dimensiones que cumplan con la masa previamente calculada. Dichas reglas están

basadas en las observaciones y experiencias de ingenieros que después de años de

ejercicio encontraron que los diseños que cumplían con esta relación presentaban

comportamientos satisfactorios, por lo que es una relación totalmente empírica.

Dando como resultado diseños de resistencia satisfactoria, estas relaciones son

consideradas por muchos como criterios a tomar en cuenta. Aunque tal argumento

puede parecer lógico a simple vista ya que a mayor masa el orden de las amplitudes

disminuye, en las últimas décadas se ha considerado como una práctica obsoleta ya

que no toma en consideración el efecto que tienen todas las otras variables sobre el

movimiento, por ejemplo, tipo de vibración o la naturaleza del suelo de apoyo. Por un

lado el aumento de la masa de una fundación disminuye las posibilidades de que ésta

entre en resonancia con máquinas de alta frecuencia operacional, pero por otro lado

estudios más recientes demuestran que también reduce el amortiguamiento del

sistema (Lysmer y Richart, 1966). Obviamente, este último aspecto era ignorado los

que aplicaban la regla.

Otro de los métodos más antiguos fue una serie de procedimientos de análisis

empíricos que se desarrollaron y utilizaron al menos hasta la década de 1950 en base

a los primeros estudios experimentales llevados a cabo por el alemán Degebo a

principios de la década de 1930. Estos métodos se centraron en determinar sólo la

frecuencia natural de una fundación. Para ello, se desarrollaron conceptos como:

65

“masa en fase” y “frecuencia natural reducida”, a pesar que ya no se apliquen estos

conceptos se explicaran brevemente.

El primer concepto asume que una cierta masa de suelo inmediatamente debajo de

la cimentación que se mueve como un cuerpo rígido, en fase con ésta. Mientras que el

segundo concepto postula que la “frecuencia natural” es únicamente una función del

área de contacto, la presión del suelo y el tipo de suelo. La realidad física contradice

el concepto de una "masa en fase". Ninguna masa del suelo se mueve como un cuerpo

rígido con la fundación. Por el contrario, las ondas de corte y dilatación emanan de la

interfaz suelo-fundación hacia el suelo, causando deformaciones oscilantes en su

superficie y disipando parte de la energía que es suministrada al sistema. Los factores

que influyen en estos fenómenos no pueden ser representados a través de un concepto

tan irreal. De hecho, los primeros intentos de obtener valores específicos de la "masa

en fase" se vieron frustrados por la sensibilidad de esta “masa” al peso de la

fundación, al modo de vibración, al tipo de fuerza excitatriz, al área de contacto y a la

naturaleza del suelo subyacente. Por todo lo dicho anteriormente, este concepto no

tiene ninguna validez y su uso en la práctica no es recomendable. El concepto de

“frecuencia natural reducida” de Tschebotarioff, basado en los resultados de unos

cuantos casos, fue un paso más allá del concepto de “masa en fase”. La “frecuencia

natural reducida” se definió como:

ωn (reducida) = ωn√PVm

Donde:

ωn = la frecuencia natural

PVm = Promedio de la presión vertical

Se representaba gráficamente en función del área de contacto y según el tipo de

suelo. Aunque este método no estaba errado del todo, a menudo se tenía la falsa

creencia de que “el factor más importante en el diseño de la máquina-cimentación era

66

la presión admisible del suelo”. Así, en ocasiones, el diseño se basaba en valores de

capacidad de carga del suelo tomadas de los códigos de construcción locales.

Además de los inconvenientes antes mencionados, estas viejas reglas sólo evitaban

la ocurrencia del fenómeno de resonancia entre el cimiento y la máquina, pero no

proporcionaban ninguna información sobre las amplitudes de vibración, que son

parámetros de diseño

Modelo Winkler dinámico

Este modelo se introdujo como una extensión de la bien conocida "Winkler" o

hipótesis de lecho elástico. Con el fin de simular las características de rigidez del

suelo, el modelo lo reemplaza por un lecho de resortes elásticos independientes sobre

el cual se apoya una cimentación rígida, así como se muestra en la Figura 2.29, donde

el bloque de masa m vendría siendo la masa del sistema formada por la masa del

equipo y de la cimentación.

Para este método la constante de resorte o rigidez de cada suelo se puede

considerar como una propiedad característica de este y mediante Pruebas de Placa de

Carga, realizadas en campo, es determinado su valor. También se ha demostrado que,

Figura 0.29: Izquierda-Esquema de una cimentación tipo bloque apoyada directamente en

la superficie del terreno. Derecha- analogía del problema con un sistema masa-resorte.

Elaborado por: Los autores

67

en cada caso, el coeficiente dinámico es aproximadamente igual a la relación entre el

incremento de la presión aplicada y el desplazamiento resultante durante las Pruebas

de Cargas Estáticas Repetidas. En estas pruebas se imponen por primera vez cargas

estáticas "similares" a las cargas muertas y vivas combinadas, junto con cargas

repetitivas a frecuencias del orden de 0,001 cps, es decir, mucho más lentas de lo

esperado en la realidad. Por lo que este modelo solamente puede ser utilizado para dar

alguna información razonable sobre la respuesta de una fundación sometida a

vibraciones de baja frecuencia (casi estática).

Al no incluirse amortiguamiento en el método, la amplitud del movimiento en las

zonas de frecuencias cercanas a la resonancia no puede ser estimada de forma

realista. La acción del amortiguamiento restringe el pleno desarrollo de la amplitud

por lo que al despreciarlo se estarían determinando amplitudes que no se reflejan en

la realidad. Cerca de la zona de resonancia las amplitudes para vibraciones sin ningún

amortiguamiento tienden al infinito lo que obliga al método a aplicar parámetros de

seguridad que terminan dando como consecuencia un sobredimensionamiento de la

fundación al llevarlas a la realidad. Una versión mejorada del modelo dinámico de

Winkler (llamado modelo Winkler-Voigt) coloca un conjunto de amortiguadores

viscosos independientes en paralelo con los resortes elásticos. Sin embargo el modelo

en sí sigue sin proporcionar información sobre sus coeficientes de resorte y

amortiguamiento. En cambio, éstas se tienen que determinar a partir de ensayos

dinámicos llevados a cabo en el campo.

Como se observa, el modelo "Winkler-Voigt" es puramente empírico, requiriendo

ensayos estáticos y dinámicos de Placas de Carga para cada situación particular. Tales

ensayos no sólo son muy caros y difíciles de llevar a cabo con éxito, sino que además

producen resultados que no pueden ser fácilmente interpretados. En otras palabras: el

método carece manifiestamente de lo que todos los modelos deberían poseer, poder

predictivo.

68

En la actualidad el uso práctico de los modelos dinámicos de Winkler en el

análisis máquina-fundación solo es posible si se cuenta con una gran base de datos

con los resultados de los ensayos realizados en la zona. Estos datos, a menudo

disponibles en forma de tablas, pueden ser utilizados directamente en la práctica,

evitando así la tarea de realizar ensayos.

Métodos Modernos

Los métodos modernos para el análisis de las fundaciones sometidas a vibración

intentan acercarse cada vez más a la realidad en la interacción dinámica suelo-

fundación y exponerlo de manera racional. La innovación de los métodos modernos

en comparación a los anteriores es la incorporación de la teoría de la propagación de

ondas en un sólido elástico o viscoelástico (continuo). Esta teoría surgió en 1904

cuando Lamb publicó su estudio sobre la vibración de un sólido semi-infinito elástico

(medio espacio) causada por una carga concentrada (problema de Boussinesq

dinámico), y desde entonces ha sido cada vez más aceptada y desarrollada.

Numerosas aplicaciones, principalmente en los campos de la sismología y la

mecánica aplicada, han dado un gran impulso al crecimiento de la teoría

“elastodinámica”. Reissner en 1936 desarrollo lo que se considera la primera

aplicación de la teoría de propagación de ondas al estudio de las cimentaciones

Dinámicas. Su publicación sobre la respuesta de un disco (análogo a una cimentación

circular) cargada verticalmente y considerando al suelo como una fracción del

espacio con propiedades elásticas marcó el comienzo de la dinámica de suelo

moderna.

La solución fue sólo aproximada ya que se asumió una repartición uniforme de

presiones como simplificación matemática. Para muchas fundaciones masivas, el

asumir una distribución uniforme de esfuerzos es poco realista, ya que produce un

patrón no uniforme de desplazamientos en la interfaz suelo-fundación. Para

69

aproximarse más al movimiento rígido del cuerpo de tales cimientos, varios autores

de mediados de los años cincuenta asumieron distribuciones de esfuerzos de contacto

que producen desplazamientos uniformes o lineales en la interfaz, bajo la aplicación

de cargas de fuerza o momento. Sin embargo, los trabajos de Reissner ofrecieron una

importante contribución al revelar la existencia del amortiguamiento, un fenómeno

antes insospechado pero que hoy se entiende claramente. Cada vez que una fundación

se mueve contra el suelo, las ondas de presion se originan en la superficie de contacto

y se propagan hacia afuera en forma de ondas del cuerpo y de la superficie. Estas

ondas transportan parte de la energía transmitida por la fundación al suelo, un

fenómeno que recuerda la absorción de energía por un amortiguador viscoso.

Quizá el porte más importante de todos los investigadores que después de Reissner

siguieron desarrollando esta rama de la ingeniera a partir de su descubrimiento, fue la

propuesta hecha por Hsieh y por Lysmer de que el comportamiento dinámico de una

fundación maciza cargada verticalmente podía ser análogo a un sistema "masa-

resorte-amortiguador” de un grado de libertad, tal como se puede observar en la

Figura 2.30. En consecuencia, el bloque de masa m constituiría la masa del sistema

aportada por la máquina y la misma cimentación, el resorte de rigidez K representaría

las propiedades elásticas del suelo mientras que el amortiguador C su capacidad para

Figura 0.30: Analogía del problema con un sistema masa-resorte-amortiguador.

Elaborado por: Los autores

70

disipar la energía. Por su parte, Lysmer dio un paso más adelante al sugerir el uso de

fórmulas empíricas ya tabuladas, e independientes de la frecuencia de operación de la

máquina, para transformar las propiedades físicas del suelo y determinar la constante

de resorte (K) y el coeficiente de amortiguamiento (C) equivalentes a la situación

real. Dichas expresiones se explicaran a detalle en las secciones subsecuentes.

2.2.12 Modos de Vibración.

En comparación con el suelo sobre el que se apoya, un bloque de concreto típico

es considerado como un cuerpo rígido, esto significa que en caso de presentar

deformación esta es tan pequeña que es despreciable. Al no poseer deformación se

puede considerar que todas las partículas que constituyen al cuerpo rígido

experimentan el mismo vector de desplazamiento e implica que todas se mueven con

una misma magnitud, dirección y sentido. Bajo la acción de fuerzas desequilibradas,

el cuerpo rígido solamente puede sufrir los siguientes movimientos (Figura 2.31):

Figura 0.31: Desplazamientos y rotaciones a lo largo y alrededor de

los ejes ejes X, Y y Z. Elaborado por: Los autores.

71

1. Traslación según el eje Z

2. Traslación a lo largo del eje X

3. Traslación a lo largo del eje Y

4. Rotación alrededor del eje Z

5. Rotación alrededor del eje X

6. Rotación alrededor del eje Y

Cualquier posición a la que llegue el cuerpo rígido puede ser descrita si se conocen

estos desplazamientos. Por lo que se dice que el bloque tiene seis grados de libertad,

en cada uno de los cuales puede desarrollarse movimientos vibratorios con sus

respectivas frecuencias naturales. Si se le son añadidos algún tipo de elemento de

sujeción que impida el movimiento en alguno de estos ejes se le restaran al cuerpo

tantos grados de libertad como movimiento le sean restringidos.

El éxito de la aproximación de Lysrner al reproducir con muy buena exactitud la

respuesta real del suelo tuvo un profundo efecto en el desarrollo de las teorías del

"Semi-espacio elastico". Richart y Whitman extendieron la analogía de Lysmer

demostrando que todos los modos de vibración pueden ser estudiados por medio de

sistemas de masa-resorte-amortiguador y usando para cada modo una expresión que

defina la constante de resorte y el coeficiente de amortiguamiento, independientes de

la frecuencia.

72

A pesar que la fundación puede vibrar en cualquiera de estos ejes (Seis diferentes

modos de vibración, uno por cada grado de libertad), los desarrolladores de las

expresiones para K y C definieron cuatro formas diferentes de vibrar: verticalmente,

horizontalmente, Torsionalmente (Rotando alrededor del eje Z) o Balanceándose

(Rotando alrededor de los ejes horizontales). Esto debido a que al desarrollar las

ecuaciones para la traslación en X e Y se determinó que estas eran idénticas, así que

se agruparon estos dos modos en uno solo llamado “Vibraciones Horizontales”. De

igual manera pasó con la vibración rotacional alrededor de los ejes X e Y, las cuales

se agruparon en el modo de “Vibraciones Rotacionales Horizontales”. Cada modo se

describe en las Figuras a continuación:

Figura 0.32: Izquierda- Modo de vibración vertical. Derecha- Modo de vibración

horizontal. Elaborado por: Los autores.

73

Cabe destacar que, Como en las vibraciones rotacionales las coordenadas que

definen el desplazamiento son los ángulos de rotación, la masa del sistema queda

representada ahora por el momento de inercia respecto al eje de giro.

Figura 0.34: Modo de vibración rotacional horizontal. Fuente: Shamsher

Prakash y Vijay K. Puri -“Foundations for vibrating machines”

Figura 0.33: Modo de vibración rotacional vertical. Fuente: Shamsher

Prakash y Vijay K. Puri -“Foundations for vibrating machines”

74

2.2.13 Coeficientes de diseño: interacción suelo-estructura

2.2.13.1 Propiedades dinámicas del Suelo de Fundación

De la revisión de las ecuaciones para la constante de resorte y relación de

amortiguamiento, para cualquier modo particular de vibración, se observa que se

requiere determinar dos propiedades del suelo, como son: Relación de Poisson (ν) y

módulo de corte (G). Estas propiedades deberán ser determinadas por un estudio

geotécnico previo al análisis de la fundación. Para que la semejanza con el sistema

masa-resorte-amortiguador sea satisfactoria es necesario que los resultados de los

ensayos arrojen valores lo más apegados a la realidad y poseer una información

completa sobre las características del suelo: la existencia de diferentes estratos de

suelo y/o la presencia de agua subterránea cerca de la superficie. Esta información

puede obtenerse mediante técnicas habituales de exploración subsuperficial

Cuando no se disponga de un informe geotécnico completo del sitio considerado y

para efectos del diseño preliminar, “ν” y “G” pueden ser estimados con cierta

precisión a partir de tablas con los valores típicos de estas propiedades para cada

suelo. Generalmente, se ha determinado que la relación de Poisson varía entre 0,25 a

0,35 para suelos no cohesivos y entre 0,35 a 0,45 para suelos cohesivos. Por lo tanto y

para efectos de diseño, pueden asumirse sin mucho error, valores de 0,30 y 0,40 de la

relación de Poisson para suelos no cohesivos y cohesivos, respectivamente. Los

mismos rangos concuerdan los valores reflejados en la siguiente tabla extraída de

“Geotechnical Earthquake Engineering”:

Rango Recomendado

Arenas y Gravas 0,25-0,40 0,33

Arcillas y Limos 0,35-0,50 0,45

TIPO DE

SUELO

Radio de poisson

Tabla 0-1: Rangos para el coeficiente de Poisson en diferentes tipos de

suelos. Fuente: KRAMER, S.L. “Geotechnical Earthquake Engineering”.

75

Los valores de “G” pueden obtenerse a partir de ensayos de laboratorio,

considerando que este parámetro varía con la presión de confinamiento. De las Tablas

2-2 y 2-3 podremos seleccionar valores aproximados del módulo de corte para

distintos suelos.

TIPO DE SUELO Gs (Kg/cm²)

Granito 307.944,48-381.766,79

Piedra Caliza 172.955,12-318.490,53

Piedra Arenisca 113.194,21-240.449,80

Arena compactada 760,72 - 1.318,26

Arena medio compactada 568,78 - 1.000,26

Arena sin compactar 381,77 - 745,96

Arcilla dura 748,07 - 1.018,75

Arcilla medio dura 487,93 - 748,07

Arcilla blanda 239,04 - 487,93

Tabla 0-3: Distintos valores del módulo de corte G para diferentes tipos de suelos. Fuente:

KRAMER, S.L. “Geotechnical Earthquake Engineering”.

Tabla 0-2: Distintos valores del módulo de corte G para diferentes tipos de suelos. Fuente:

María Graciela Fratelli- “Suelos, muros y fundaciones”

SUELO Gs (Kg/cm²)

Grava arenosa densa 700

Arena de cuarzo limpia 120-200

Arena fina micacea 160

Arena limosa 100

Arcilla sedimentaria 250-350

Arcilla arenosa 120-300

Arcilla mediana 120-300

Arcilla blanda Seca 170-210

Arcilla blanda humeda 90-150

76

2.2.13.2 Constante de resorte

La constante de resorte, también llamada constante de rigidez, es el parámetro más

importante entre los utilizados en un sistema de un grado de libertad. Las expresiones

para las constantes de resorte teóricas para los modos de vibración vertical,

horizontal, rotaciones en los ejes horizontales y en eje vertical se dan en las Tablas 2-

4 y 2-5. Aquí se presentan las fórmulas para el cálculo de la constante de resorte

obtenidas mediante la teoría de elasticidad para fundaciones circulares y

rectangulares apoyadas en la superficie de una fracción del espacio elástica. Estas

fórmulas fueron desarrolladas separadamente por diversos autores, sin embargo

Suresh (1979) las recopilo, ordeno en tablas y presento en su libro “Desing of

Structures and Foundations for Vibrating Machines”.

Para las Zapatas Rectangulares tenemos las siguientes fórmulas para cada modo de

vibración:

Tabla 0-4: Expresiones para el coeficiente de rigidez en fundaciones rectangulares. Fuente:

Suresh C. Arya, “Desing of Structures and Foundations for Vibrating Machines”

Modo de Vibración Expresión

Vertical 𝐾𝑦 =𝐺. 𝛽𝑦. √𝐵. 𝐿. 𝑁𝑦

1 − 𝑣

Horizontal 𝐾𝑥 = 2. (1 + 𝑣). 𝐺. 𝛽𝑥. √𝐵. 𝐿. 𝑁𝑥

Rotación H. 𝐾Ѱ =𝐺. 𝛽Ѱ. (𝐵. 𝐿)2. 𝑁Ѱ

1 − 𝑣

77

En donde:

B = Ancho del área de la fundación que está en contacto con el suelo

L = Longitud del área de la fundación que está en contacto con el suelo

Para la rotación vertical no hay ecuaciones para zapatas rectangulares, usaremos la

fórmula de radio equivalente para zapatas circulares.

Para zapatas rectangulares, los valores de β se obtendrán con la Figura 2.35:

Para las Zapatas circulares tenemos las siguientes fórmulas para cada modo de

vibración:

Figura 0.35: Grafico para determinar los valores de β para todos los modos de vibración. Fuente:

Suresh C Arya, “Desing of Structures and Foundations for Vibrating Machines”

78

Tabla 0-5: Expresiones para el coeficiente de rigidez. Fuente: Suresh C Arya, “Desing of

Structures and Foundations for Vibrating Machines”


Vertical 𝐾𝑦 =4. (𝐺. 10000). 𝑟𝑜 . 𝑁𝑦

1 − 𝑣

Horizontal 𝐾𝑥 =32. (1 − 𝑣). (𝐺. 10000). 𝑟𝑜 . 𝑁𝑥

7 − 8. 𝑣

Rotación H. 𝐾Ѱ =8. (𝐺. 10000). 𝑟𝑜

3. 𝑁Ѱ

3. (1 − 𝑣)

Rotación V. 𝐾𝜃 =16. (𝐺. 10000). 𝑟𝑜

3

3

Estas fórmulas son aplicables en fundaciones colocadas a poca profundidad. La

profundidad de enterramiento de la fundación incrementa la frecuencia natural, pero

este cambio no es significativo hasta que la profundidad es similar al ancho de la

base.

En cuanto al valor del radio equivalente ro que relaciona una fundación circular de

radio r con una fundación rectangular equivalente de dimensiones B por L y al

coeficiente de enterramiento se dispone para su cálculo de las Tablas 2-6 y 2-7.

Los valores para radios equivalentes en los diferentes modos de vibración, serán

calculados por las formulas:

79

Tabla 0-6: Expresiones para el radio equivalente en diferentes modos de vibración. Fuente:



Vertical 𝑟𝑜 = √𝐵. 𝐿

𝜋

Horizontal 𝑟𝑜 = √𝐵. 𝐿

𝜋

Rotación H. 𝑟𝑜 = √𝐵3. 𝐿

3. 𝜋

4

Rotación V. 𝑟𝑜 = √𝐵. 𝐿. (𝐵2 + 𝐿2)

6. 𝜋

4

Los efectos de enterramiento pueden perderse parcialmente después de un tiempo,

por lo que los diferentes autores, consideran el tomar un valor reducido a 2/3 de la

profundidad de enterramiento real, para compensar esta pérdida. En la metodología

tomaremos en cuenta ese factor de corrección. La dimensión L siempre debe ser

perpendicular al eje de rotación.

Para calcular los coeficientes de enterramiento, para los diferentes modos de

vibración:

80

Tabla 0-7: Expresiones para los coeficientes de enterramiento en diferentes modos de

vibración. Fuente: Suresh C Arya, “Desing of Structures and Foundations for Vibrating

Machines”

Modo de vibración Expresión

Vertical 𝑁𝑦 =1 + 0,61. (1 − 𝑣). ℎ

𝑟𝑜

Horizontal 𝑁ℎ =1 + 0,55. (2 − 𝑣). ℎ

𝑟𝑜

Rotación H. 𝑁Ѱ = 1 + 1,2. (1 − 𝑣).ℎ

𝑟𝑜+ 0,2. (2 − 𝑣). (

ℎ

𝑟𝑜)

3

h = Profundidad de enterramiento

Para el modo de Rotación vertical, no existen fórmulas para determinar el factor

de enterramiento.

Como en la mayoría de los cálculos se utiliza r0, este parámetro puede utilizarse

también para obtener los valores de la constante de resorte para zapatas rectangulares.

81

2.2.13.3 Amortiguamiento

Numerosos experimentos realizados permitan asegurar que el amortiguamiento en

el suelo de fundación depende no solo de las características elásticas del suelo, sino

también del tamaño y la masa del cimiento y del tipo de cargas aplicadas. Por esto se

han denominado dos tipos de amortiguamiento, uno llamado amortiguamiento

geométrico (el que se obtiene mediante este modelo) y el otro amortiguamiento del

material. El componente geométrico, se manifiesta como una medida de energía

pérdida que irradiada lejos de la región inmediata de la fundación, y el

amortiguamiento del material dentro del suelo, que es medida de energía perdida

como resultado de los efectos de histéresis.

Por ejemplo, un cimiento de poca altura y gran área de contacto hace vibrar una

mayor masa de suelo que otro cimiento de gran masa y pequeña área de contacto. Al

primer caso corresponde además un coeficiente de amortiguamiento C mayor. El

valor de C también se ve influenciado por la profundidad de apoyo del cimiento y el

posterior relleno de tierra de excavación. Se ha comprobado que un cimiento

superficialmente apoyado presenta amplitudes de vibración de 3 a 4 veces mayores

que el mismo cimiento enterrado, con relleno de tierra compactada a su alrededor y

sobre la base, pues ello aumenta el área de contacto entre el cimiento y el suelo. Por

último, el amortiguamiento aumenta cuando el cimiento se ubica sumergido en un

suelo inundado.

En la Tabla 2-9 se muestran expresiones para el cálculo del factor de

amortiguamiento en los diferentes modos de vibración de un sistema masa-resorte-

amortiguador equivalente al sistema de una maquina sobre una cimentación. Los

factores de amortiguamiento en la tabla, que a diferencia de la Sección 2.2.6.3 ahora

se representan con la letra D, corresponden exclusivamente al aporte que da la

geometría de la fundación al amortiguamiento total y están en función de relaciones

de masa o de inercia (Tabla 2-8).

82

Tabla 0-8: Expresiones para la relación de masa en diferentes modos de vibración. Fuente:



Vertical 𝐵𝑦 =(1 − 𝑣)

4.

𝑊𝑡

𝛾. 𝑟𝑜3

Horizontal 𝐵𝑥 =(7 − 8𝑣)

(32. (1 − 𝑣)).

𝑊𝑡

𝛾. 𝑟𝑜3

Rotación H. 𝐵Ѱ =3(1 − 𝑣)

8.

𝐼Ѱ𝜌. 𝑟𝑜5

Rotación V. 𝐵𝜃 =𝐼𝜃

𝜌. 𝑟𝑜5

W = Peso del sistema Fundación + Máquina

I = Momento de Inercia

ρ = Densidad del suelo

Tabla 0-9: Expresiones para el factor de amortiguamiento geométrico en diferentes modos de

vibración. Fuente: Suresh C. Arya, “Desing of Structures and Foundations for Vibrating

Machines”


Vertical 𝐷𝑦 =0,425. 𝛼𝑦

√𝐵𝑦

Horizontal 𝐷𝑥 =0,288. 𝛼𝑥

√𝐵𝑥

Rotación H. 𝐷Ѱ =0,15. 𝛼Ѱ

(1 + 𝑁Ѱ. 𝐵Ѱ)√𝑁Ѱ. 𝐵Ѱ

Rotación V. 𝐷𝑦 =0,5

1 + 2. 𝐵𝜃

83

En las ecuaciones el efecto del enterramiento queda reflejado en los factores α y

N. Los factores α son coeficientes de la relación de amortiguamiento para considerar

el incremento que experimenta el amortiguamiento geométrico debido al

enterramiento efectivo. Las fórmulas para calcular el factor α para cada uno de sus

modos de vibración son las siguientes:

Tabla 0-10: Expresiones para el factor α, en diferentes modos de vibración. Fuente: Suresh

C. Arya, “Desing of Structures and Foundations for Vibrating Machines”


Vertical 𝛼𝑦 =(1 + 1,9. (1 − 𝑣). (

ℎ𝑟𝑜

))

√𝑁𝑦

Horizontal 𝛼𝑥 =(1 + 1,9. (2 − 𝑣). (

ℎ𝑟𝑜

))

√𝑁𝑥

Rotación H. 𝛼Ѱ =(1 + 0,7. (1 − 𝑣). (

ℎ𝑟𝑜

) + 0,6. (2 − 𝑣). (ℎ𝑟𝑜

)3

)

√𝑁Ѱ

Las expresiones analíticas que se dan en las Tablas 2-7 y 2-10 se han de emplear

como multiplicadores a la constante de resorte equivalente y al factor amortiguación

geométrica siempre que la cimentación esté enterrada, para considerar su

contribución. Sin embargo, una fundación solo debe ser considerada como

“enterrada” si está bien embebida en el suelo, lo que implica una cuidadosa

excavación y posterior relleno con un esfuerzo de compactación alto usando suelos

con bajo potencial de contracción. De otro modo la consideración de empotramiento

que se toma en cuenta en el método no se vería reflejado en la realidad. Un relleno

arbitrario es ineficaz.

84

El amortiguamiento del material puede determinarse A partir de ensayos de

vibración en columnas de suelos en el laboratorio. Según Richart (1970) se puede

asumir un valor de 0,05 para la relación de amortiguamiento del material, el cual se

sumará al valor de amortiguamiento geométrico. El amortiguamiento del material es

generalmente pequeño frente al amortiguamiento geométrico y puede ser descuidado

en la mayoría de los casos. Sin embargo, el amortiguamiento del material también

puede ser importantes en algunos casos de vibraciones de la base de la máquina.

Normalmente si se hace la comparación entre los valores de amortiguamiento

geométrico y del material, el primero es mucho mayor que el segundo, para

vibraciones horizontales y verticales. Por lo tanto, para estos tipos de vibración podría

no considerarse el amortiguamiento interno. Por el contrario, para vibraciones

torsionales y de balanceo, los valores de amortiguamiento geométrico son usualmente

bajos, y similares a los de amortiguamiento del material. En estos casos, se sumará un

valor de amortiguamiento material de 0,05 al de amortiguamiento geométrico. De la

siguiente tabla se pueden obtener en todo caso valores aproximados de la relación de

amortiguamiento interno.

Tabla 0-11: Valores típicos de amortiguamiento interno. Fuente: RICHART, F.E “Vibrations

of soils and foundations”.

2.2.14 Parámetros de diseño.

2.2.14.1 Resonancia

Tipo de suelo Di

Arena y grava secas 0,03 a 0,07

Arena seca y saturada 0,01 a 0,03

Arena seca 0,03

Arenas y gravas secas y saturadas 0,05 a 0,06

Arcillas 0,02 a 0,05

Arena sedimentada 0,03 a 0,1

85

Para un sistema no amortiguado, si la frecuencia natural coincide con la frecuencia

de operación, la amplitud teórica es infinita. Cuando existe amortiguamiento, la

amplitud de vibración es finita, pero puede ser excesiva y por tanto inaceptable. Ver

Figura 2.20. Para alejar a la fundación de la resonancia bastaría con que la relación de

frecuencias fuera del rango de 0,7 a 1,4. Sin embargo, como parámetro de diseño

basado en el estudio de la teoría de vibración se dice que la relación frecuencias

𝜔𝑓𝑓𝑟⁄ (frecuencia de operación entre frecuencia de resonancia) siempre debe ser

mayor que √2. Esto con el fin no solo de alejar a la fundación de la resonancia sino

también de lograr un efecto de aislamiento vibratorio (Ver Sección 2.2.7, control del

factor de transmisibilidad) sin necesidad de añadir algún dispositivo o material

aislante debajo de la fundación para este fin. En el caso de que el sistema tenga que

operar en un determinado rango de velocidades (como es el caso de un motor de

combustión interna), puede que no resulte posible evitar la resonancia y controlar el

factor de transmisibilidad con este para todo el rango de condiciones de operación.

En tales casos, se puede tomar la opción de se puede podremos tratar de aportar

amortiguamiento al sistema con el objetivo de controlar su respuesta dinámica,

mediante la introducción de fluidos (agua, aceites) que envuelvan al sistema

aportando amortiguamiento externo, o el uso de materiales estructurales con un alto

amortiguamiento interno: hierro fundido, laminado. Otra posibilidad es hacer uso de

materiales viscoelásticos que proporcionan valores muy altos de amortiguamiento

interno. Cuando se emplean este tipo de materiales en el control de vibraciones, los

mismos están sometidos a la acción de tensiones de corte o tensiones principales.

Existen diferentes tipos de disposiciones. La más sencilla es colocar una capa de

material viscoelástico sujeta a otra de material elástico. Otra, más habitual y que da

muy buenos resultados, es la formada por una capa de viscoelástico entre dos de

material elástico. Una desventaja importante asociada al uso de los materiales

viscoelásticos es que sus propiedades mecánicas se ven muy afectadas por la

86

temperatura, la frecuencia de las cargas aplicadas sobre ellos y la tensión a la que

están sometidos.

2.2.14.2 Frecuencia de Resonancia (fr)

Las Figuras 2.20 y 2.22 muestran curvas que presentan bastante parecido entre sí. Sin

embargo, si se observa detenidamente se puede notar como la cima de amplitud

máxima en la zona de la resonancia se va desplazando gradualmente por el eje de las

ordenadas a valores ligeramente por debajo o por arriba de ωf / ωn = 1 a medida que

incrementan los valores del amortiguamiento. En el caso de una fuerza excitatriz

constante la cima se produce en valores menores a 1, mientras que en el caso de una

fuerza excitatriz de masa rotativa produce a valores mayores a 1. La frecuencia a la

que la vibración llega a su amplitud máxima (La cima del gráfico) se denomina

“Frecuencia de Resonancia” y se calcula mediante la ecuación:

Si es una fuerza constante:

𝑓𝑟 = 𝑓𝑛√1 − 2𝐷2 ( 66)

Si es una fuerza de masa rotativa:

𝑓𝑟 =𝑓𝑛

√1 − 2𝐷2 ( 67)

Donde:

fr= Frecuencia de resonancia.

fn = Frecuencia natural del sistema.

D= Factor de amortiguamiento.

87

2.2.14.3 Amplitud de vibración

Amplitud de vibración es uno de los parámetros más importantes que revelan la

naturaleza de la vibración. El cálculo de las amplitudes de la fundación se realiza con

las siguientes ecuaciones:

Para Traslación:

𝐴 =𝑀 ∙ 𝐹

𝐾

F= Fuerza ejercida.

M= Factor de magnificación dinámica en la dirección de la fuerza.

K= Constate de Resorte.

Para Rotación:

𝐴 =𝑀 ∙ 𝑀𝑜

𝐾

Mo= Momento actuante.

Mientras mayor sea el valor de la amplitud de las vibraciones en la fundación, existirá

más peligro para las estructuras cercanas. Además si la amplitud de la vibración

permanece en el tiempo, la fundación puede perder su estabilidad y someterse a un

cimiento no uniforme, poniendo en peligro el trabajo normal de la máquina.

Finalmente las amplitudes que se mantienen en el tiempo pueden llevar a la

destrucción de la fundación y dañar la máquina

88

En general, no es posible establecer un máximo absoluto para las amplitudes de

vibración. En primer lugar, los niveles tolerables de amplitudes disminuyen cuando la

velocidad de la máquina aumenta; en segundo lugar, la tolerancia a las amplitudes

disminuye cuando la máquina vibratoria está en una edificación para compresores o

cercano a personas, que cuando la máquina está ubicada en una zona aislada. La

Figura 2.36 muestra los niveles de tolerancia humana y de la maquinaria a

vibraciones, los cuales ayudan a determinar la amplitud permisible para varios modos

de vibración.

Figura 0.36: Grafica de demandas medio ambientales. Fuente: PDVSA. Manual de

Ingeniería de Diseño - “Fundaciones para Compresores Reciprocantes”

89

Es muy importante indicar, que todas las ecuaciones presentadas anteriormente, para

el cálculo de las amplitudes de vibración dan como resultado valores sencillos de

amplitudes. Sin embargo, la mayoría de los instrumentos de medición de campo son

usados para medir valores reales de amplitudes, dobles o “pico a pico”. Por esta

razón, la Figura 2.36 da valores de amplitudes “pico a pico”; en consecuencia antes

de usar dicho gráfico, se deberá duplicar el valor calculado de la amplitud.

3 CAPÍTULO III:

MARCO METODOLÓGICO

3

3.1 Tipo de Investigación

La investigación será de tipo aplicada, el cual según Valarino, Yaber y Cemborain

(2010) se define como:

“Investigación Aplicada, además de generar conocimiento, busca soluciones

aceptables y pertinentes a un fenómeno determinado. Esta definición no impide la

posibilidad de que el investigador sea parte de los actores pertinentes involucrados

en el fenómeno (investigación-acción) ni tampoco impide la voluntad del

investigador que quiere mantener cierta “distancia” entre él y su objeto de estudio”

Las investigaciones que buscan desarrollar una técnica de cálculo para el diseño de

fundaciones, el cual a diferencia de métodos ya establecidos evitara el uso métodos

empíricos y se basara en un cálculo que permitirá al diseñador tener una idea de las

dimensiones de la fundación necesarias para un equipo en cuestión con lo que se

pretende determinar la relación que existe entre las dimensiones que debe tener la

fundación y las solicitaciones dinámicas del equipo rotativo que soportara, buscando

responder las interrogantes tales como ¿a medida que las dimensiones aumentan la

vibración disminuye?; o ¿Cuánto mayor sea la vibración será conveniente aumentar

las dimensiones en la dirección de las axisas o de las ordenadas?.

91

Una vez establecida las relaciones existentes se procederá a normalizar este

método para futuras aplicaciones de ingenieros que a su vez servirá de guía para el

diseño de las fundaciones que soportan cargas dinámicas.

3.1 Diseño de la investigación

El diseño de la investigación será no experimental, el cual según Hernández,

Fernández y Baptista (1991) se define como:

“La investigación donde no hacemos variar intencionalmente las variables

independientes. Lo que hacemos en la investigación no experimental es observar

fenómenos tal y como se dan en contexto natural, para después analizarlos como

señala kerlinger, la investigación en la que resulta imposible manipular variables a

asignar aleatoriamente a los sujetos o a las condiciones”

La investigación no pretende variar variables, solamente se observara los

diferentes resultados obtenidos según sea el origen de la carga dinámica, la

información para la construcción del manual será obtenida a partir de textos y de los

estudios de vibración aceptadas como válidas, permitiendo realizar una interpretación

de los datos y métodos para realizar una metodología detallada.

En el estudio se tomara en cuenta para complementar aspectos teóricos las normas:

Norma COVENIN 1753-2006 “Estructuras de Concreto Armado para

Edificaciones, Análisis y diseño”

Norma ACI 318S-14 “Requisitos de Reglamento para Concreto Estructural”

92

Se efectuara el manual en base a la teoría descrita en los antecedentes, y se

establecerá una metodología para este, el cual no variara para el mismo equipo

rotativo.

La forma de ejecutar el diseño se procederá a recopilar referentes del tema de

vibraciones y fundaciones dinámicas estudiando cómo se abordan los problemas de

cargas y los parámetros que deben cumplirse para un correcto diseño de fundación.

Una vez completado la primera fase se dispondrá de las ecuaciones conseguidas y

se determinara como usarlas a través de cálculos y relacionando las ecuaciones de los

diferentes referentes.

Se tomara los criterios de diferentes autores que aborden la parte estructural del

modelo y se comparara las ecuaciones para discernir cual se adapta más al modelo de

la fundación a diseñar para mantener una lógica entre los cálculos teóricos y la

realidad.

3.2 Variables

Las variables a trabajar en el siguiente trabajo de investigación son:

El proceso de diseño de la fundación.

Debido a que no se quiere recurrir a métodos empíricos se requiere

determinar un método de cálculo en la cual obvie la especulación sobre las

dimensiones y arroje como resultado la profundidad requerida para una

sección en particular.

Diseño del manual.

Debido a que el resultado final de trabajo de investigación es realizar un

manual para los ingenieros que se propongan a diseñar fundaciones con cargas

93

dinámicas entonces es preciso determinar la forma correcta que deberá tener

este manual incluyendo la disposición de la hoja de cálculo y la presentación

de la información de forma simple y sistemática.

Esquematización de la hoja de cálculo.

Debido a que el manual es para un público y debe ser agradable de utilizar el

flujo grama debe ser claro y los datos requeridos y los resultados bien

tabulados junto con las fórmulas que se usaron.

3.3 Unidad de investigación

La unidad de investigación serán principalmente los estudios de vibraciones que se

encuentra en las diferentes bibliografías y la aplicación de los conocimientos

estructurales para darle sentido a las ecuaciones, el primero se obtendrá directamente

de documentos, libros, tesis entre otros, y el segundo son los conocimientos previos a

la investigación.

3.4 Técnicas e instrumentos para la recolección de datos

La recolección de datos necesarios para la complementación de la tesis implica

según Hernández, Fernández y Baptista (1991):

“Seleccionar un instrumento de medición de los disponibles en el estudio del

comportamiento (el instrumento de recolección de los datos). Este

instrumento debe ser válido y confiable, de lo contrario no podemos basarnos

en sus resultados.

Aplicar ese instrumento de medición. Es decir, obtener las observaciones y

mediciones de las variables que son de interés para nuestro estudio (medir

variables).

94

Preparar la mediciones obtenidas para que puedan analizarse correctamente

(a esta actividad se le denomina codificación de los datos).”

En base a estas tres actividades se decidió a proceder con la selección del

instrumento, el cual sería el software Microsoft Excel debido a que propiamente aquí

es donde se automatizarán los cálculos, si bien los resultados obtenidos en el

programa no pueden ser definidos como medidas, son estos los valores que serán el

objeto de comparación con el programa SAFE.

Para poder obtener el valor de la fundación debemos primero llenar el software

con unos datos iniciales para poder ejecutar el programa, estos datos iniciales, como

el módulo de elasticidad del suelo, largo, profundidad, frecuencia del equipo, serán

dados respectivamente como condicionantes necesarias para el diseño.

Por último los datos son tabulados y posteriormente comparados con el programa

SAFE cuyos resultados deberán tener una deformación mínima para ser aceptable.

Entre las técnicas de recolección de datos la principal será el uso de “SAFE” para

la modelación de las deformaciones y esfuerzos del sistema bloque suelo como se

mencionó anteriormente, en este software se introducirá las dimensiones calculadas

por el método de cálculo y se modelarán en “SAFE” el cual nos indicara su

comportamiento y con estos datos se podrá decidir si el diseño es correcto o no.

3.5 Técnicas de procedimiento y Análisis de datos

En la elaboración del manual se tuvo que recurrir al estudio de diferentes fuentes

acerca del análisis de fundaciones tanto estática como dinámica, con dichos datos se

pudo tener un respaldo teórico para avalar las ecuaciones, y debido a que las

diferentes fuentes tenían diferentes enfoques de cómo abordar las fundaciones todos

concordaban con las teorías básicas de vibración lo que permitió la comparación entre

95

los diferentes textos para entender que parámetros se utilizan y como se considera el

sistema masa - amortiguamiento - resorte.

Luego de una recolección de diferentes fuentes indicadas en la bibliografía se

estudiaron los métodos de solución de cada texto y se interpretó él porque se

abordaba de esa manera, luego se procedía a conceptualizar el proceder de los

diferentes documentos, para luego definir que tenían en común todos.

Una vez estudiados los diferentes procesos para abordar los problema, se comparó

con la teoría de vibraciones aceptadas y se realizaron diferentes modelos de cómo se

deben abordar los problemas de fundaciones, para luego proceder a establecer los

pasos sugeridos en el manual, los cuales estaban constituidas por las formulas

descritas por los diferentes métodos solo que aplicada para diferentes incógnitas.

Cuando el método de cálculo estuvo terminado se realizaron diferentes

modificaciones según los parámetros escogidos como normativos para este

procedimiento y se usó para resolver el caso de aplicación descrito en capítulos

anteriores.

Al finalizar, los resultados obtenidos fueron comparados con los resultados

arrojados por SAFE el cual se le asignó el mismo caso de aplicación y de caso de

errar se volvía a comenzar desde planteamiento de las ecuaciones.

4 CAPITULO IV:

PRESENTACIÓN Y ANALISIS DE LOS RESULTADOS

4.1 Criterios de diseño.

Algunas Consideraciones a tomar en cuenta según la información recopilada son:

1. Los cimientos deben ser lo suficientemente sólidos, macizos y resistentes para

no deteriorarse por efecto del régimen de servicio de las máquinas, así como

durante su puesta en marcha o apagado. Asimismo, deben ofrecer una base

estable y firme a las máquinas, sin deformaciones excesivas ni grietas

notables, aún bajo la acción de fuerzas no balanceadas y bajo ningún motivo

colocar la fundación sobre un suelo previamente rellenado.

2. Si existen desniveles provocará un rápido desgaste en los apoyos del equipo y

las conexiones, por lo tanto la nivelación de los cimientos jugaran un papel

clave al momento de prevenir las desestabilizaciones.

3. La base del cimiento debe apoyar en un suelo seco y bien compactado,

evitando la proximidad del nivel freático. Cuando el suelo es débil o

compresible, es aconsejable mejorar su resistencia antes de construir la

fundación, compactándolo según las técnicas de mejoramiento de suelos.

97

4. El cimiento debe estar rígidamente vinculado a la máquina que sobre él apoya,

para asegurar una correcta transmisión de las fuerzas estáticas y dinámicas,

usando pernos de anclaje con vástagos ahogados en la masa del concreto.

Además, las bases deben construirse con los encajes y ranuras necesarios,

según el modelo y dimensiones de la máquina, para impedir todo

deslizamiento del equipo o de alguna de sus partes.

5. El diseño del cimiento debe ser tal que prevea la posibilidad de acceso a los

diferentes mecanismos y conexiones entre máquina y cimiento, así como a sus

sistemas de amortiguamiento, de modo de facilitar la inspección, limpieza y

mantenimiento de sus ensambles, según las especificaciones de cada máquina.

6. El equipo debe ubicarse de modo que su centro de gravedad esté contenido en

el eje vertical que pasa por el baricentro del cimiento. La máxima

excentricidad permitida es del 5% con respecto a los lados de la base en

planta.

7. El cimiento o el foso que lo contiene pueden aislarse de ser necesario, de

modo que las vibraciones de las maquinas no perturben el buen

funcionamiento de las construcciones circundantes ni la estabilidad de sus

estructuras resistentes. Para ello se hace uso de materiales amortiguadores o

de resortes que se instalan debajo de la fundación.

8. Todos los cimientos de máquinas se materializan en concreto armado, el cual

debe ser de óptima calidad, con una resistencia a la compresión comprendida

entre 200 y 240Kg/cm2, pudiendo utilizarse concreto ciclópeo. Debe

enfatizarse el hecho de que el concreto de los cimientos de máquinas debe ser

capaz de resistir los ataques químicos, de microorganismos o cualquier otra

acción agresiva que resulte de los diferentes procesos operativos de las

maquinas o provenientes del suelo de fundación.

98

9. Los cimientos de máquinas deben diseñarse con una frecuencia natural propia

lo más alejada posible de la frecuencia de excitación de máquina en régimen

de servicio, para evitar el peligro de la resonancia, o coincidencia de la

velocidad operativa de la máquina con la frecuencia propia del con junto

suelo-cimiento. Como no es posible cambiar la velocidad del régimen propio

de la máquina, debe variarse la frecuencia del cimiento. Por ejemplo, para una

determinada área en planta del cimiento, la frecuencia propia del mismo se

reduce a medida que aumenta su masa. Si por el contrario, se desea

incrementar la frecuencia propia del cimiento, se debe disminuir su altura y

aumentar el área de contacto de la base con el suelo de fundación.

10. En todos los casos es aconsejable que las presiones de contacto que ejerce el

cimiento sobre el suelo, debidas a las cargas estáticas únicamente, no superen

el valor la tercera parte del esfuerzo admisible del suelo.

4.2 Modelo elegido para el análisis dinámico de fundaciones para

maquinas reciprocantes y rotativas

Considerando la teoría previamente expuesta, y las técnicas actuales para diseñar y

analizar fundaciones de máquinas reciprocantes, desarrollaremos una metodología, la

cual tomará en cuenta los parámetros principales que actúan en la fundación así como

los modelos matemáticos existentes, para poder predecir la amplitud, fuerzas

transmitidas y posibles estados de resonancia de la fundación.

Con objeto de analizar una fundación sometida a vibraciones, se puede establecer

la analogía más simple representada por un sistema de un grado de libertad que

consta de un elemento de masa, un resorte y un amortiguador.

Conociendo la masa, la constante de resorte y la relación de amortiguamiento, la

respuesta del sistema puede determinarse para cualquier tipo de solicitación dinámica.

99

Aunque este es un sistema relativamente simple de analizar, el problema principal

radica en la determinación de valores confiables para estos parámetros: masa,

constante de resorte y relación de amortiguamiento.

Como consecuencia del trabajo de un investigador alemán de nombre Reisnner y

otros investigadores, la evaluación de estos parámetros se ha hecho más confiable

debido al uso de la “Teoría del Semi–espacio Elástico”. Esta teoría, desarrollada por

Reisnner, considera al sistema como un oscilador de disco rígido soportado por un

cuerpo elástico, isotrópico, homogéneo y semi–infinito.

A partir del trabajo de Reisnner, otros investigadores demostraron que esa teoría

conducía a soluciones que permitían representar el sistema dinámico como un sistema

masa–resorte–amortiguador de un solo grado de libertad. Los resultados de

programas extensivos de ensayos de campo realizados en modelos de fundaciones,

han demostrado que existe bastante concordancia entre los resultados experimentales

y teóricos de respuesta a vibraciones.

4.3 Procedimiento de Cálculo

4.3.1 Información requerida para el análisis.

En el procedimiento que se expondrá más adelante depende de pre-

dimensionamiento (dimensiones iniciales) de la fundación para llevar a cabo el

análisis, además de requerir de información relevante acerca del suelo y el equipo.

Dichas dimensiones solo son para poder ejecutar el procedimiento, sin embargo solo

son tentativas y el mismo método determinara si es necesario un reajuste. En la

mayoría de los casos la información de la máquina y del suelo son suministrados por

el fabricante y el estudio del suelo de fundación, respectivamente.

100

4.3.1.1 Características del equipo.

Del equipo que soportara la maquina se requerirá conocer:

La velocidad normal y la potencia de la máquina.

Peso de la máquina y su equipamiento.

El tamaño y la forma del soporte de la máquina

La distribución de las cargas estáticas creadas por la máquina sobre la

superficie de la fundación.

Tipo, magnitud, dirección y punto de aplicación de las cargas dinámicas las

cuales se generan en el proceso de operación de la máquina.

La localización de aberturas y alojamientos en la fundación, creadas por

pernos, anclajes, tornillos, tuberías, etc.

4.3.1.2 Características del suelo.

Del suelo que soportara al conjunto máquina-fundación se necesita conocer:

Peso unitario.

Coeficiente de Poisson

Módulo de corte

Profundidad de la cimentación.

4.3.1.3 Pre-dimensionado

Realmente no existe una regla o fórmula para determinar las dimensiones iniciales

que debe tener la fundación. Casi se podría decir que son dimensiones arbitrarias. Sin

embargo existen una serie de recomendaciones que surgen de la experiencia y bajo el

norte de conseguir unas dimensiones que otorguen facilidad de inspección, reparación

y limpieza del equipo, dando una correcta altura y espacio suficiente para maniobrar.

101

A continuación se presentara un listado de esas recomendaciones, algunas de las

cuales se pueden observar gráficamente en la Figura 4.1.

Recomendaciones para el pre-dimensionado.

El borde del pedestal deberá sobresalir una distancia L0 a cada lado de las

dimensiones mínimas de la maquina (base del compresor) y deberá

cumplir con la distancia requerida entre los pernos de anclaje y el borde

del pedestal. L0 se determina como se indica a continuación.

La distancia L0 del perno al borde de la fundación será el mayor valor

entre:

2×Tamaño máximo del agregado.

6×Diámetro perno.

El valor de X de la Tabla 4-1.

30cm.

Nota: Para más información acerca de las dimensiones que corresponden a las demás letras

de la tabla se añaden detalles típicos de los pernos de anclaje en el ANEXO A.

Tabla 4- 1: Dimensiones Típicas de Pernos de Anclaje. Fuente: Norma de diseño DS-103, CVG

Bauxilum.

102

Dichos valores cumplen con la distancia requerida entre los pernos de anclaje y el

borde del pedestal.

Se recomienda que la parte superior del bloque se mantenga 1 pie (30cm) por

encima de la elevación del suelo o pavimento terminado, con el fin de

prevenir los daños causados por el escurrimiento de las aguas superficiales.

La base debe ser lo suficientemente ancha para aumentar el amortiguamiento

en el modo de oscilación, el ancho debe ser de 1 a 1,5 veces, al menos, la

distancia vertical desde la base hasta la línea central de la máquina.

La longitud de la zapata o dimensión paralela al eje, será

aproximadamente de 610 mm mayor que la longitud del pedestal.

El espesor de la zapata será el adecuado para garantizar una fundación

rígida. Para cumplir con este requisito, el espesor mínimo de la zapata será

igual a dos tercios de la distancia entre el borde del pedestal y el borde de

la zapata y nunca menor que 457 mm.

Después de haber determinado la altura total de la fundación, se debe

verificar que esta cumpla, siendo mayor o igual a los siguientes valores:

60cm

0,6 + Lmax/30.

Longuitud de perno + 15cm

1/5 de la menor dimensión.

1/10 de la mayor dimensión.

Siendo Lmax la mayor dimensión que se haya escogida.

103

La longitud de los pernos también se puede obtener de la Tabla 4-1, en la que se

identifica bajo la dimensión L.

La longitud y ancho del cimiento se ajustan de manera que el centro de

gravedad de la máquina y equipo se encuentre en un rango del 5% de cercanía

con el centro de gravedad de la fundación. El centro de gravedad combinado

debería coincidir con el centro de resistencia del suelo.

En fundaciones de sección circular el anclaje deberá tener como mínimo un

recubrimiento de ℎ𝑒𝑓 siendo este la altura efectiva del perno, esto si se

asume un tipo de falla de desprendimiento de cono de 45° como se muestra

en la Figura 4.2.

Figura 4. 1: Recomendaciones para las dimensiones iniciales de una fundación tipo

bloque rectangular. Fuente: Los autores.

104

El radio del pedestal se determina sumando la distancia que hay entre el

centro geométrico del equipo y el perno con el radio del espaciamiento

mínimo del perno como se muestra en la siguiente Figura 4.3.

El diámetro de la zapata debe ser el mayor valor entre el diámetro del

pedestal más 0,61 y 1,5 de la distancia entre el suelo y el eje de la máquina,

(ver Figura 4.4).

Las recomendaciones del consultor geotécnico suelen incluir la profundidad

de la cimentación. Si la calidad del suelo es pobre, siempre se puede

aumentar el área de contacto para disminuir el esfuerzo transmitido al suelo

por el peso de la fundación. No bastando la acción anterior para suelos muy

Figura 4.1 Dimensión en planta del pedestal para una

fundación tipo bloque circular. Elaborado por: Los autores.

Figura 4. 2: Falla de desprendimiento de cono de 45°. Fuente: Álvarez

M. y Loza J. “Diseño Técnico de Pernos de Anclaje al Concreto”.

105

pobres se puede optar por la implementación de una fundación con pilotes.

En caso de incluir los pilotes al diseño, la fundación pasaría a ser de otro

tipo y su procedimiento de cálculo ya no entraría en el alcance de este

trabajo, sin embargo a continuación se incluyen recomendaciones para el

pre-dimensionamiento de esta clase de cimiento:

a. Si se trata de una maquina reciprocante, la masa del cabezal debe ser

de 2,5 a 4 veces la masa de la máquina.

b. El espesor, anchura y longitud del bloque se selecciona como se

menciona en los puntos anteriores.

c. El número y tamaño de los pilotes se seleccionara de tal manera que

ningún elemento soporte más allá de la mitad de la carga de diseño

permisible.

d. Los pilotes estarán dispuestos de modo que el centroide del grupo,

coincida con el centro de gravedad combinado de la estructura y de

la máquina.

e. Los pilotes deben estar anclados adecuadamente a la losa, para una

mejora de la rigidez y para cumplir con las condiciones de diseño

asumidos durante la fase de análisis.


bloque circular. Elaborado por: Los autores.

106

4.3.2 Algoritmia de ecuaciones para el diseño de fundación.

PASO N° 1. Determinación del centro de gravedad del sistema

fundación-máquina

Una vez designada las dimensiones iniciales de la fundación, se utilizara el

siguiente sistema de coordenadas para ubicar espacialmente el sistema y las fuerzas a

las que se ve sometido, nótese que se estableció al eje Y como eje alineado con el eje

de revolución de la maquina:

Teniendo como origen el vértice inferior del bloque de la fundación es fácil saber

el centro de gravedad de cada elemento que conforma el sistema, según sea forma

rectangular o circular. Para determinar la coordenada X del centro de gravedad del

sistema completo primero se multiplica las coordenadas X del centro de cada

elemento del sistema por su respectiva masa y al sumarlas se divide entre la masa

total del sistema, tal y como se expresa en las siguientes ecuaciones. Esta operación

se repite para las otras direcciones para determinar el centro gravedad en el espacio.

𝑋𝑜 =𝑋𝑖. 𝑚𝑖 + 𝑋𝑖+1.𝑚𝑖+1 + 𝑋𝑖+2. 𝑚𝑖+2

𝑚𝑇

𝑌𝑜 =𝑌𝑖 . 𝑚𝑖 + 𝑌𝑖+1. 𝑚𝑖+1 + 𝑌𝑖+2. 𝑚𝑖+2

𝑚𝑇

𝑍𝑜 =𝑍𝑖 . 𝑚𝑖 + 𝑍𝑖+1. 𝑚𝑖+1 + 𝑍𝑖+2. 𝑚𝑖+2

𝑚𝑇

107

PASO N° 2. Cálculo de Inercia de la fundación

Si la maquina genera pares de fuerzas se deben calcular los momentos de inercia

del sistema en la dirección o las direcciones en la que esas fuerzas causen un

momento. Se determina la inercia respecto al centro de gravedad del sistema

completo tanto de la maquina como de la fundación, por lo que en las ecuaciones de

las inercias se incluye el teorema de Steiner:

𝐼𝑓𝑗𝑖 = 𝐼𝐶𝐺 𝑗 𝑖 + 𝑚𝑖 × 𝑟𝑗𝑖2

𝐼𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑒𝑛 𝑗 = 𝐼𝑚 𝑗 + ∑𝐼𝑓𝑗𝑖

𝑛

𝑖=1

Siendo:

j= Dirección en la cual se desea calcular la inercia, pudiendo ser X, Y o Z.

i= El número del elemento de la fundación que forma parte del sistema.

ICG i j = Inercia del centro de gravedad de cada elemento i, en la dirección j.

mi = Masa del elemento i.

rj i = Es la distancia perpendicular respecto a j que hay entre el del elemento i y el

centro de masa del sistema.

Im j = Inercia de la máquina en la dirección j.

I total en j = Inercia Total en la dirección j.

PASO N° 3. Cálculo de densidad del suelo.

𝜌 =𝛾

9,81

PASO N° 4. Cálculo de profundidad de embutimiento.

ℎ =2

3. ℎ𝑜

108

PASO N° 5. Cálculo de radio de equivalente.

Debido a que las ecuaciones establecidas por Suresh C. son requerido tener las

dimensiones equivalentes a la de una fundación con sección circular.

𝑟𝑜𝑣 = √𝐵. 𝐿

𝜋

𝑟𝑜𝜑 = √𝐵. 𝐿3

3. 𝜋

4

𝑟𝑜𝜙 = √𝐵. 𝐿. (𝐵2 + 𝐿2)

6. 𝜋

4

PASO N° 6. Cálculo de factores de embutimiento

𝑁𝑧 =1 + 0,61. (1 − 𝜈). ℎ

𝑟𝑜𝑣

𝑁ℎ =1 + 0,55. (2 − 𝜈). ℎ

𝑟𝑜𝑣

𝑁𝜑 = 1 + 1,2. (1 − 𝜈).ℎ

𝑟𝑜𝜑+ 0,2. (2 − 𝜈). (

ℎ

𝑟𝑜𝜑)3

PASO N° 7. Cálculo de Constante de Resorte

109

La ecuación de la constante de resorte dependerá de la forma de las fundaciones, en

el caso de ser una fundación rectangular las ecuaciones serán las siguientes:

𝐾𝑧 =𝐺. 𝛽𝑧. √𝐵. 𝐿. 𝑁𝑧

1 − 𝜈 Vertical

𝐾𝑥 = 2. (1 + 𝜈). 𝐺. 𝛽𝑥. √𝐵. 𝐿. 𝑁𝑥 Horizontal

𝐾𝜑 =𝐺. 𝛽𝜑. (𝐵. 𝐿)2. 𝑁𝜑

1 − 𝜈 Rotación Horizontal

En el caso de que la fundación sea circular las ecuaciones serían las siguientes:

𝐾𝑧 =4. (𝐺. 10000). 𝑟𝑜 . 𝑁𝑧

1 − 𝜈 Vertical

𝐾𝑥 =32. (1 − 𝜈). (𝐺. 10000). 𝑟𝑜 . 𝑁𝑥

7 − 8. 𝜈 Horizontal

𝐾𝜑 =8. (𝐺. 10000). 𝑟𝑜

3. 𝑁𝜑

3. (1 − 𝜈) Rotación Horizontal

𝑘𝜙 =16. (𝐺. 10000). 𝑟𝑜

3

3 Rotación Vertical

PASO N° 8. Calculo de la frecuencia natural

Para traslaciones en x, y, z las ecuaciones son las siguientes:

60

2𝜋∙ √

𝑘

𝑚

Para rotaciones en x, y, z las ecuaciones son las siguientes:

60

2𝜋∙ √

𝑘

𝐼

PASO N° 9. Cálculo de Relaciones de masa

110

𝐵𝑧 =(1 − 𝜈)

4.

𝑊𝑡

𝛾. 𝑟𝑜𝑣3 Vertical

𝐵ℎ =(7 − 8. 𝜈)

(32. (1 − 𝜈)).

𝑊𝑡

𝛾. 𝑟𝑜ℎ3 Horizontal

𝐵𝜑 =3. (1 − 𝜈)

8.

𝐼𝑥𝜌. 𝑟𝑜𝜑

5 Rotación Horizontal

𝐵𝜙 =𝐼𝜙

𝜌. 𝑟𝑜𝜙5 Rotación Vertical

PASO N° 10. Cálculo del factor α

𝛼𝑧 =(1 + 1,9. (1 − 𝜈). (

ℎ𝑟𝑜𝑣

)

√𝑁𝑧

Vertical

𝛼ℎ =(1 + 1,9. (2 − 𝜈). (

ℎ𝑟𝑜ℎ

)

√𝑁𝑧

Horizontal

𝛼𝝋 =(1+0,7.(1−𝜈).(

ℎ

𝑟𝑜ℎ)+0,6.(2−𝜈).(

ℎ

𝑟𝑜𝜑)3

)

√𝑁𝜑.. Rotación Horizontal

PASO N° 11. Cálculo de Amortiguamiento Geométrico

𝐷ℎ =0,288. 𝛼ℎ

√𝐵ℎ

Horizontal

𝐷𝑧 =0,425. 𝛼𝑧

√𝐵𝑧

Vertical

𝐷𝜑 =0,15. 𝛼𝜑

(1 + 𝑁𝜑 . 𝐵𝜑). √𝑁𝜑 . 𝐵𝜑

Rotación Horizontal

𝐷𝑜𝑧 =0,5

1 + 2. 𝐵𝜙 Rotación Vertical

PASO N° 12. Cálculo Relación Total de Amortiguamiento

111

𝐷𝑡𝑧 = 𝐷𝑧 + 𝐷𝑖

𝐷𝑡ℎ = 𝐷ℎ + 𝐷𝑖

𝐷𝑡𝜑 = 𝐷𝜑 + 𝐷𝑖

Si la relación total de amortiguamiento es mayor que 0,7, se dice que el sistema

esta sobreamortiguado en dichos modos de vibración.

PASO N° 13. Cálculo de la frecuencia de resonancia

𝑓𝑟 =𝑓𝑛

√1 − 2𝐷2

PASO N° 14. Cálculo factor de amplificación dinámica

𝑀𝑧 =

[ 1

[1 − (𝜔𝑓𝑛𝑧

)2]2

+ [2. 𝐷𝑧 . (𝜔𝑓𝑛𝑧

)]2

] 1

2⁄

Vertical

𝑀ℎ =

[ 1

[1 − (𝜔𝑓𝑛ℎ

)2]2

+ [2. 𝐷𝑧 . (𝜔𝑓𝑛ℎ

)]2

] 1

2⁄

Horizontal

𝑀𝜑 =

[

1

[1 − (𝜔𝑓𝑛𝜑

)2]2

+ [2. 𝐷𝑧 . (𝜔𝑓𝑛𝜑

)]2

] 1

2⁄


𝑀𝜙 =

[

1

[1 − (𝜔𝑓𝑛𝜙

)2]2

+ [2. 𝐷𝑧 . (𝜔𝑓𝑛𝜙

)]2

] 1

2⁄

Rotación Vertical

112

PASO N° 15. Cálculo factor Transmisibilidad

𝑇𝑟𝑧 = 𝑀𝑧 . √1 + [2. 𝐷𝑧 . (𝜔

𝑓𝑛𝑧)]

2

Vertical

𝑇𝑟ℎ = 𝑀ℎ . √1 + [2. 𝐷ℎ . (𝜔

𝑓𝑛ℎ)]

2

Horizontal

𝑇𝑟𝜑 = 𝑀𝜑 . √1 + [2. 𝐷𝜑 . (𝜔

𝑓𝑛𝜑)]

2


𝑇𝑟𝜙 = 𝑀𝜙. √1 + [2. 𝐷𝜙. (𝜔

𝑓𝑛𝜙)]

2

Rotación Vertical

PASO N° 16. Cálculo de la fuerza Transmitida

𝐹𝑡𝑧 = 𝑇𝑟𝑧 . 𝐹𝑧

𝐹𝑡ℎ = 𝑇𝑟ℎ. 𝐹ℎ

𝑀𝑡𝑥 = 𝑇𝑟𝜑. 𝑀𝑥

𝑀𝑡𝑦 = 𝑇𝑟𝜙.𝑀𝑦

PASO N° 17. Cálculo de la Amplitud

𝐴𝑧 =𝑀𝑧 . 𝐹𝑧

𝐾𝑧

𝐴𝑦 =𝑀ℎ. 𝐹ℎ

𝐾𝑦

113

𝐴𝜑 =𝑀𝜑 . 𝐹𝑥

𝐾𝜑

𝐴𝜙 =𝑀𝜙. 𝐹𝑥

𝐾𝜙

PASO N° 18. Cálculo de Excentricidad

𝑒𝑦 =|𝑌𝑜 −

𝐿2|

𝐿. 100

𝑒𝑥 =|𝑋𝑜 −

𝐵2|

𝐵. 100

La Excentricidad no debe exceder más del 5% para que la distribución de masa del

sistema sea correcta.

PASO N° 19. Cálculo de Presión del suelo

𝑝𝑠 =𝑊𝑡

𝐵. 𝐿

Para que el dimensionamiento sea correcto la presión del suelo no debe exceder la

tercera parte de la presión permisible.

PASO N° 20. Estudio de Resonancia

Como se indica en el marco teórico el rango de valores para evitar la resonancia en

el sistema debe cumplir con lo siguiente:

114

0,7 < 𝑅 < 1,4

Pero si además evitar de la resonancia se quiere generar un aislamiento vibratorio

debe cumplirse el siguiente rango de valores:

√2 < 𝑅

Siendo que:

𝑅 =𝜔

𝑓𝑟

En los modos de vibración donde el sistema esta sobreamortiguado no hace falta

hacerse el estudio de resonancia, puesto que no puede haber resonancia en dichos

modos.

PASO N° 21. Diseño del Acero.

Se supone la fundación como una losa y se aplica el procedimiento del cálculo de

acero para losas. En la Figura 4.4 se muestra la disposición de las dimensiones:

Figura 4.3: Detallado típico del acero inferior en una

fundación tipo bloque.

115

Para calcular el acero de refuerzo se debe calcular la siguiente relación

adimensional:

𝜇 =𝑀𝑢

𝑓´𝑐 . 𝑎. 𝑑2

Se determina el Qmáx y se compara con q.

𝑞𝑏 = 0,85.0,85.6300

6300 + 𝐹𝑦

𝑞𝑚𝑎𝑥 = 0,5. 𝑞𝑏

𝑞 = 0,85. (1 − √1 −2. 𝜇

0,85)

Si:

𝑞 < 𝑞𝑚𝑎𝑥 El miembro esta simplemente armado

𝑞 > 𝑞𝑚𝑎𝑥 El miembro esta doblemente armado

Se determina el factor Ju

𝑗𝑢 = 1 − 0,59. 𝑞

Determinación del acero de refuerzo sabiendo que φ=0,9

𝐴𝑠 =𝑀𝑢

𝜙. 𝐹𝑦. 𝑗𝑢. 𝑑

Recordar que el acero mínimo por retracción de fraguado y temperatura

𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛 = 0,0018. 𝑎. 𝑐

116

Para tener un mejor agarre se confinara el concreto con el acero, es decir se

repetirá el diseño del acero en la parte superior de la fundación y se armara en las dos

direcciones, para cualquier otro parámetro estructural para el diseño del acero se

sugiere recurrir a las normas pertinentes.

Figura 4.4: Detallado típico del acero superior e inferior en una fundación

tipo bloque.

117

También puede utilizarse la siguiente Tabla 2.1 del libro “Diseño estructural de

concreto armado”, Fratelli (1998), que aquí se presenta como Tabla para conseguir la

incógnita ju, sabiendo los valores de ω y μ

118

4.4 Flujograma del Método de Cálculo.

119

4.5 Ejemplo de aplicación.

Ejemplo de Aplicación: Diseño de Fundación para Compresores Reciprocante

En el siguiente problema se presenta los datos seguir escribiendo el enunciado

Parámetros del equipo

Tipo de Equipo: Compresor

Velocidad de Operación: 585 RPM

Peso del Equipo: 26070,22 Kg

Máximas Fuerzas

Vertical: 𝐹𝑧 = 602,824 𝑘𝑔

Horizontal:𝐹𝑦 = 328,824 𝑘𝑔

Momento respecto a x: 𝜏𝜑 = 1563,11 𝑘𝑔.𝑚

Parámetros del Suelo y Fundación

Módulo de balastro = 2,0394E+00

Peso Unitario: 𝛾 = 2402,7 𝑘𝑔

𝑚3⁄

Peso Unitario del suelo: 𝛾 = 25629,5413 𝑘𝑔

𝑚3⁄

Embutimiento: ℎ𝑜 = 1,37 𝑚

Módulo de Corte: 𝐺 = 984,297 𝑘𝑔/𝑐𝑚2

Relación de Poisson: 𝜈 = 0,35

Amortiguamiento del Suelo: 𝐷𝑖 = 0,05

120

Dimensiones de la Fundación

Sentido del Eje de Coordenadas

El origen de coordenadas se ubica en la esquina inferior izquierda del sistema de

fundación. Además, las coordenadas X y Y del centro gravedad del equipo coinciden

con las coordenadas en los ejes X y Y de la zapata.

SOLUCIÓN:

Cálculo de volumen del pedestal y fundación

𝑉1 = 7,77 × 4,19 × 0,15 = 4,883445 𝑚3

121

𝑉2 = 8,38 × 4,8 × 1,37 = 55,10688 𝑚3

Cálculo del peso de los elementos de la fundación

𝑊1 = 4,8834 × 2402,7 = 11733,4533 𝑘𝑔

𝑊2 = 55,10688 × 2402,7 = 132405,3006 𝑘𝑔

Cálculo de la masa de los elementos de la fundación

𝑚1 =11733,4533

9,81= 1196,0706

𝑘𝑔. 𝑠2

𝑚

𝑚2 =132405,3006

9,81= 13496,9725

𝑘𝑔. 𝑠2

𝑚

Cálculo de masa total y peso total

𝑀𝑎𝑠𝑎 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 1196,070673 + 13496,97254 + 2657,5

𝑀𝑎𝑠𝑎 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 17350,54321 𝑘𝑔. 𝑠2

𝑚

𝑃𝑒𝑠𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 11733,4533 + 132405,3006 + 26,07022

𝑃𝑒𝑠𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 170208,9739 𝑘𝑔

Cálculo de Centro de Gravedad

𝑥𝑜 = 2,4 𝑚

122

𝑦𝑜 = 4,07 𝑚

𝑧𝑜 =1196,070673.1,445 + 13496,97254.0,685 + 2,23.2,6575

14695,70071

𝑧𝑜 = 0,974 𝑚

Cálculo momento de inercia

𝐼𝑥2 =1

12. 13496,97254. (8,382 + 4,372) + 13496,9725 ∙ ((4,19 − 4,07)2

+ (0,69 − 0,97)2)

𝐼𝑥2 = 82428,8 𝑘𝑔. 𝑠2. 𝑚

𝐼𝑥1 =1

12. 1196,070673. (7,772 + 0,152) + 1196,07 ∙ ((2,4 − 4,07)2

+ (1,45 − 0,97)2)

𝐼𝑥1 = 9607,24 𝑘𝑔. 𝑠2. 𝑚

𝐼𝑚𝑎𝑞 = 2657,5 ∙ ((4,19 − 4,07)2 + (2,23 − 0,97)2)

𝐼𝑥 = 82428,8 + 9607,24 + 4232,55

𝐼𝑥 = 96268,59 𝑘𝑔. 𝑠2. 𝑚

Se omite el cálculo de las inercias en otras direcciones debido a que en las demás no

hay momento aplicado, el único momento actuante está en la dirección X.

123

Cálculo de densidad

𝜌 =25629,541392

9,8

𝜌 = 2615,259326 𝑘𝑔

𝑚3⁄

Cálculo de profundidad de embutimiento efectiva.

ℎ =2.1,37

3

ℎ = 0,913333 𝑚

Cálculo de radios equivalentes

𝑟𝑜𝑣 = √𝐵 × 𝐿

𝜋

𝑟𝑜𝑣 = √8,38 × 4,8

𝜋

𝑟𝑜𝑣 = 3,579 𝑚

𝑟𝑜𝜑 = √𝐵 × 𝐿3

3. 𝜋

4

124

𝑟𝑜𝜑 = √4,8 × 8,383

3. 𝜋

4

𝑟𝑜𝜑 = 4,16078 𝑚

Cálculo de los factores de embutimiento

𝑁𝑧 =1 + 0,61. (1 − 0,35). 0,913333

3,57913

𝑁𝑧 = 0,38057

𝑁ℎ =1 + 0,55. (2 − 0,35). 0,913333

3,57913

𝑁ℎ = 0,51097

𝑁𝜑 =1 + 1,2. (1 − 0,35).

0,9133334,16078 + 0,2. (2 − 0,35). (

0,913334,16078)3

3,57913

𝑁𝜑 = 1,1747

En la Figura 2.35 para un L/B= 1,75

𝛽𝑧 = 2,1

𝛽𝜑 = 0,58

𝛽𝑥 = 1

Cálculo de constante de resorte

125

𝑘𝑧 =(984,297.10000). 2,1. √8,38.4,8. 0,38057

1 − 0,35

𝑘𝑧 = 76755459,82 𝑘𝑔/𝑚

𝑘𝑥 = 2. (1 + 0,35). (984,297.10000). 1. √8,38.4,8. 0,51097

𝑘𝑥 = 86124746,43 𝑘𝑔/𝑚

𝑘𝜑 =(984,297.10000). 0,58. (8,38.4,8)2. 1,1747

1 − 0,35

𝑘𝜑 = 16693149360 𝑘𝑔/𝑚

Cálculo de la frecuencia natural

𝑓𝑛 =60

2. 𝜋.√

𝑘

𝑚

𝑓𝑛𝑧 = 635,14 𝑅𝑃𝑀

𝑓𝑛𝑥 = 672,7889 𝑅𝑃𝑀

𝑓𝑛𝜑 = 3976,47 𝑅𝑃𝑀

Cálculo de la relación de masa

𝐵𝑧 =(1 − 0,35)

4.

170208,9739

25629,54. (3,57913)3

126

𝐵𝑧 = 0,024

𝐵𝑛 =(7 − 8.0,35)

32. (1 − 0,35).

170208,9739

25629,54. (3,57913)3

𝐵ℎ = 0,02924

𝐵𝜑 =3. (1 − 0,35)

8.

191574,1435

2615,2593. (4,16)5

𝐵𝑧 = 0,007

Cálculo del factor α

𝛼𝑧 =(1 + 1,9. (1 − 0,35). (

0,9133333,57933

))

√0,38057

𝛼𝑧 = 2,1318

𝛼ℎ =(1 + 1,9. (2 − 0,35). (

0,9133333,57933

))

√0,51097

𝛼ℎ = 2,518

𝛼𝜑 =(1 + 0,7. (1 − 0,35). (

0,9133334,16 ) + 0,6. (2 − 0,35). (

0,913334,16 )3)

√1,1747

127

𝛼𝜑 = 1,02

Cálculo de amortiguamiento

𝐷𝑜𝑧 =0,425 ∙ 2,1318

√0,037479

𝐷𝑜𝑧 = 5,9

𝐷𝑜ℎ =0,288 ∙ 2,518

√0,02924

𝐷𝑜ℎ = 4,24

𝐷𝑜𝜑 =0,15 ∙ 1,02

(1 + 0,38057 ∙ 0,01433) ∙ √1,1747 ∙ 0,01433

𝐷𝑜𝜑 = 1,66

𝐷𝑧 = 5,9 + 0,05 = 5,95

𝐷ℎ = 4,24 + 0,05 = 4,29

𝐷𝜑 = 1,66 + 0,05 = 1,71

Debido a que todos los amortiguamientos son mayores a 0,7 el sistema está sobre

amortiguado.

Cálculo de factor de amplificación dinámica

128

𝑀𝑧 =

[ 1

[1 − (𝜔𝑓𝑛𝑧

)2]2

+ [2. 𝐷𝑧 . (𝜔𝑓𝑛𝑧

)]2

] 1

2⁄

𝑀𝑧 = 0,091

𝑀ℎ =

[ 1

[1 − (𝜔𝑓𝑛ℎ

)2]2

+ [2. 𝐷ℎ . (𝜔𝑓𝑛ℎ

)]2

] 1

2⁄

𝑀ℎ = 0,133

𝑀𝜑 =

[

1

[1 − (𝜔𝑓𝑛𝜑

)2]2

+ [2. 𝐷𝜑 . (𝜔𝑓𝑛𝜑

)]2

] 1

2⁄

𝑀𝜑 = 0,908

Cálculo del factor de transmisibilidad

𝑇𝑟𝑧 = 0,091.√1 + [2.5,95. (585

635,14)]

2

𝑇𝑟𝑧 = 1,001

𝑇𝑟ℎ = 0,133. √1 + [2.4,29. (585

672,7889)]

2

129

𝑇𝑟𝑧 = 1,01

𝑇𝑟𝜑 = 0,908.√1 + [2.1,71. (585

3976,47)]

2

𝑇𝑟𝜑 = 1,01

Cálculo de fuerza transmitida

𝑓𝑡𝑧 = 602,824 × 1

𝑓𝑡𝑧 = 602,824 𝑘𝑔𝑓

𝑓𝑡𝑦 = 328,854 × 1,01

𝑓𝑡𝑦 = 332,14 𝑘𝑔𝑓

𝑀𝑡𝑥 = 1563,11 × 1,01

𝑀𝑡𝑥 = 1578,74 𝑘𝑔𝑓.𝑚

Cálculo de amplitud

𝐴𝑧 =0,091.602,824.1000

76755459,82

𝐴𝑧 = 0,000714 𝑚𝑚

𝐴𝑦 =0,133.328,854.1000

86124746,43

130

𝐴𝑦 = 0,000507 𝑚𝑚

𝐴𝜑 =0,908.1563,11.1000

16693149360

𝐴𝜑 = 0,000085 𝑟𝑎𝑑

El estudio de resonancia no aplica en este problema debido a que el sistema está

sobre amortiguado y en estos modos de vibración no existe resonancia.

Excentricidad

𝑒𝑦 =|4,07 −

8,382 | . 100

8,38

𝑒𝑦 = 1,43

𝑒𝑥 =|2,4 −

4,82 | . 100

4,8

𝑒𝑥 = 0

La excentricidad cumple con los valores mínimos

Cálculo del acero

𝑍𝑥 =1563,11

280.838.137

𝑍𝑥 = 0,004862

131

𝑞𝑏 = 0,85 × 0,85 ×6300

6300 + 4200

𝑞𝑏 = 0,4335

𝑞𝑚𝑎𝑥 = 0,5.0,4335 𝑞𝑚𝑎𝑥 = 0,21675

𝑞 = 0,85. (1 − √1 −2. 𝑧

0,85)

𝑞𝑥 = 0,004875

𝐽𝑢𝑥 = 1 − 0,59.0,04875

𝐽𝑢𝑥 = 0,97123

𝐴𝑠𝑥 =156311

0,9.4200.0,97123.132

𝐴𝑠𝑥 = 0,3225 𝑐𝑚2

Por conveniencia comercial se revestirá toda la sección con 4 cabillas de 3/8”

debido a que permitirá coser el concreto y cumplirá con la cantidad de acero

requerida.

132

4.6 Programa para análisis dinámicos en fundaciones.

Luego de haber desarrollado la metodología del análisis dinámico para

fundaciones de máquinas reciprocantes y rotativas, observamos la gran cantidad de

cálculos que hay que realizar para el estudio de una fundación. En el día a día el

factor tiempo es cada vez más importante en todos los proyectos de ingeniería y una

forma de disminuir esos tiempos es simplificando las tareas con ayuda de las

tecnologías disponibles actualmente.

Es por esta razón que uno de los objetivos de este proyecto es el transferir todos

los datos y cálculos reunidos en este capítulo y en el manual a una hoja de cálculo en

el ambiente de Microsoft Excel, que sea de fácil uso e interfaz amigable. Esto trae

consigo una disminución en los tiempos de estudio, una mejor precisión en los

cálculos y una ayuda en la toma de decisiones tecno-económicas. Para lograrlo, este

programa permitirá analizar una fundación tomando en cuenta los aspectos más

importantes como datos de entrada, realizará los cálculos de los coeficientes y

parámetros de diseño automáticamente y presentará los resultados de una forma

rápida y práctica.

4.6.1 Lenguaje de programación usado

A pesar de que la hoja de cálculo sea un archivo de Microsoft Excel, se recurrió al

uso de programación en el lenguaje Visual Basic para crear una interfaz gráfica que

proporcionara una mejor experiencia de usuario. El lenguaje Visual Basic para

Aplicaciones (o por sus siglas en ingles VBA), es usado en todos los programas de

Office para ampliar su potencial y funcionalidades y se encuentra dentro del grupo de

lenguajes orientados a objetos y manejados por eventos, lo que significa que su

código está dividido en bloques o módulos.

Actualmente, los programas con Visual Basic sólo funcionan en Windows. El

ambiente VBA, permite crear una interfaz con botones, listas desplegables, botones

133

de opción, etc. de forma sencilla con solo arrastrar y soltar los elementos. Luego se

pueden definir las apariencias, posiciones y comportamientos tanto de forma visual

como utilizando códigos de programación.

Este lenguaje toma elementos de diferentes paradigmas como el orientado a

objetos y el orientado a eventos. Visual Basic permite crear aplicaciones de forma

rápida, especialmente para prototipos.

4.6.2 Ejecución del programa:

A penas se abre el archivo de Excel, se despliega la interfaz de usuario en medio

de la pantalla cuya primera ventana corresponde a la presentación del programa:

En la Figura 4.7 se puede visualizar una imagen alusiva al tema y una pequeña

reseña de lo que se trata el programa. Además se tienen dos botones, el primero inicia

el proceso de diseño y el segundo hace que el Excel se cierre automáticamente.

Figura 4.5: Portada de inicio de la hoja de cálculo. Fuente: Los

autores

134

La interfaz está diseñada para guiar al usuario durante la elección y recolección de

datos necesarios para la operación del programa/ejecución de la metodología de

diseño y hacer de esta tarea más fácil.

Como el procedimiento es aplicable tanto para fundaciones de forma rectangular

como circular, la interfaz, en la ventana siguiente al inicio, da a elegir la forma que se

desea para la fundación a diseñar como se indica en la Figura 4.8.

Una vez hecha la elección de la forma, se deben introducir las dimensiones con las

cuales se cree que la fundación resistirá las cargas a las que será sometida (pre-

dimensionado). Cada casilla corresponde a alguna dimensión diferente de la

fundación. Puede observarse que al lado de cada casilla hay botones, que al hacer

click sobre ellos se despliegan cuadros con las recomendaciones acerca de las

magnitudes de las dimensiones. La misma interfaz no permite el avance del proceso

hasta que todos los campos hayan sido rellenados.

Figura 4.6: Elección de la forma que se desea para la fundación. Fuente: Los

autores

135

Figura 4.8: Interfaz para la introducción de las dimensiones en una

fundación Circular. Fuente: Los autores.

Figura 4.7: Interfaz para la introducción de las dimensiones en una

fundación Rectangular. Fuente: Los autores.

136

La siguiente información requerida por la interfaz es lo concerniente a las

propiedades del suelo de fundación, que similar al formulario anterior (figura 4.9,

4.10, 4.11) posee botones al lado de cada casilla en la que se despliegan tablas con

los valores típicos de dicha propiedad.

Figura 4.9 Cuadros desplegables con recomendaciones acerca de las

dimensiones de la fundación. Fuente: Los autores.

Figura 4.10: Interfaz para la introducción de los datos del suelo de

fundación. Fuente: Los autores.

137

Por último, se pide los datos relevantes acerca de la máquina, tanto de sus

propiedades como su dinámica. En todo caso el peso, velocidad de operación y

coordenadas del centro de masa de la maquina son datos indispensables,

independientemente del modelo que sea.

Figura 4.11: Cuadro emergente con los valores típicos del módulo

de corte para diferentes tipos de suelos. Fuente: Los autores

Figura 4.12: Interfaz para la introducción de los datos del

equipo vibratorio. Fuente: Los autores.

138

El programa le brinda al usuario la facilidad opción de calcular automáticamente

las fuerzas generadas por el equipo. Pero en primera instancia se muestran las casillas

para la introducción manual de las fuerzas generadas, esto en caso de que se cuente

con un estudio dinámico previo de la maquina o que el usuario no se identifique con

ninguna de las opciones para el cálculo de las fuerzas que proporciona el programa.

Para dicho cálculo es necesario proveer al programa de información como: el

funcionamiento de la maquinaria, si es rotativo o reciprocante.

En el primer caso se pedirá a continuación la masa de desbalanceo y su

excentricidad respecto al eje de rotación y en el segundo caso se requiere la

introducción las masas de los componentes de los cilindros y el número del cilindraje

además de las distancias que hay entre cilindros.

Figura4.13: Opciones para el funcionamiento de la máquina.

Fuente: Los autores.

139

Al darle al botón “Siguiente” se desplegara un mensaje preguntado si está seguro

de realizar el análisis con toda la información introducida (Figura 4.17), y al

Figura 4.14: Interfaz para la Introducción de datos para mecanismo

rotativo. Fuente: Los autores

Figura 4.15: Cuadro de confirmación para realizar el análisis con

los todos los datos introducidos. Fuente: Los: autores

140

confirmar esta acción la interfaz de usuario desaparecerá para dejar ver la interfaz de

Excel con los resultados del análisis.

4.6.3 Diseño de fundación haciendo uso de la hoja de cálculo

Para probar la hoja de cálculo y exponer aquí la parte de los resultados se

resolverá el problema de aplicación anteriormente descrito en este capítulo haciendo

uso de la herramienta

Primeramente se introducen los datos de entrada así como se describió en la

sección anterior

Figura 4.16 Datos del problema de aplicación introducidos en la interfaz.


141

Figura 4.17: Datos del suelo introducidos en la interfaz. Fuente: los autores

Figura 4.18: Datos del equipo introducidos en la interfaz. Fuente: Los

autores.

142

Lo primero que se encuentra al abrirse la interfaz de Excel es la pestaña llamada

“Datos de entrada” en la cual se puede visualizar el registro de todos los datos que se

acaban de introducir de la fundación, la máquina y el suelo.

Figura 4.19: dimensiones de los componentes del sistema fundación-maquina.

Fuente: los autores

143

En la segunda pestaña llamada “Procesos Preliminares” se muestran los cálculos

que aunque no forman parte directa de la modelación dinámica de la fundación sus

resultados son necesarios para este. Estos comprenden: el cálculo de Pesos y Masas,

el cálculo de las coordenadas del centro de gravedad de todo el sistema (Fundación-

Maquina) y el cálculo de la inercia de sistema en cualquiera de los ejes. Cabe

mencionar que el cálculo de la inercia en un determinado eje dependerá

exclusivamente de la presencia de algún momento en dicha dirección. Para este caso

al solo tener momento en X solo se calculara la inercia en dicho eje.

Figura 4.20: Calculo de centro de gravedad del sistema e inercia. Fuente: los

autores

144

Luego, en la pestaña “Modelación” se presenta ordenados todos los coeficientes

necesarios para la modelación de la fundación para todos los modos de vibración.

Nótese como el valor del cálculo solo se realiza en los modos donde hay una fuerza o

momento actuante, de lo contrario se mostrara la insignia de “No aplica”. Esto bajo la

premisa de que donde hay una fuerza va a haber un movimiento (vibración) y donde

haya movimiento hay que estudiarlo.

Figura 4.21: Calculo de coeficientes dinámicos 1. Fuente: los autores

145

Por último, en la pestaña “Chequeo” se encuentran los parámetros usados para

verificar o evaluar el buen comportamiento de la fundación después del modelado:

Figura 4.22: Calculo de coeficientes dinámicos 2. Fuente: los autores

146

Uno de los parámetros más importantes que nos revela la magnitud de la vibración

es su amplitud. Por lo que además de realizar el cálculo de amplitud en la página de

“Chequeo” se anexa la gráfica que se seleccionó en el capítulo II, (Figura 4.25) para

evaluar el riesgo que tiene la amplitud de la fundación para las máquinas y las

personas alrededor de la fundación.

Figura 4.23: Calculo de amplitudes. Fuente: los autores

147

Figura 4.24: Chequeo de resonancia. Fuente: los autores

Figura 4.25: Chequeo de la excentricidad y capacidad portante del

suelo. Fuente: los autores

148

Seguidamente se evalúa los posibles estados de resonancia que pueda tener la

fundación en cualquiera de sus modos de vibración. Y finalmente se evalúan dos

parámetros importantes para la estabilidad de la fundación, como lo es la distribución

de masas y la presión ejercida en el suelo.

Como se pudo observar en las Figuras 4.25, 4.26 y 4.27, la hoja de Excel indica

que el diseño del problema de aplicación cumple con todos los requisitos por lo que

se puede asegurar que el diseño es satisfactorio. En caso contrario, el programa

indicaría al usuario la deficiencia del diseño y se tendría que devolverse a la pestaña

“Datos de Entrada”. Al inicio de esta pestaña se instalaron dos botones. Si se le da

click al que lleva la insignia de “Recalcular”, se abrirá otra vez la interfaz de usuario

con los valores del diseño actual intactos. Esto para brindarle la facilidad al usuario

de poner modificar alguno de los valores y volver a hacer el cálculo hasta conseguir

el diseño que satisfaga todos los parámetros, sin tener que volver a introducir todos y

cada uno de los datos.

Al darle click al botón con la insignia de “Nuevo Diseño” se abrirá nuevamente la

interfaz de usuario con la diferencia que todos los campos estarán vacíos y listos para

ser rellenados con los datos de un nuevo y diferente diseño de fundación.

4.6.4 Comportamiento de la fundación diseñada con el uso del programa

“SAFE”

No hay prueba más contundente de la eficacia de un diseño que someterla a las

condiciones de servicio y que soporte el transcurso del tiempo. Sin embargo, esto se

traduciría en la construcción de la fundación aquí presentada para que luego de un

tiempo en servicio ver el su desempeño el desempeño que ha demostrado. Aun siendo

esta la manera más realista de comprobación, resulta ser sumamente impráctico lo

que lleva a buscar una mejor alternativa para poder poner a prueba el diseño. Lo más

149

factible es el uso de programas de análisis estructurales que se encargaran de simular

la reacción o comportamiento de la fundación como si esta se sometiera a condiciones

reales.

Para esto se eligió SAFE, principalmente debido a la fácil accesibilidad del

programa, a la confiabilidad del software, además que de toda la gama de programas

estructurales de la empresa CSI, SAFE es su programa orientado específicamente al

modelado de zapatas y losas de fundación. Haciendo uso del programa se modelo en

el con todos los datos que nos ofrecía el ejercicio y las dimensiones chequeadas por

el ejercicio del diseño como se muestra en las siguientes imágenes.

Figura 4.26: vista en el plano xy de la zapata

150

Figura 4.27: vista de perspectiva de la fundación

El estudio del suelo de fundación del problema indica un esfuerzo admisible no

mayor a 1,22 kg/cm2. Por lo tanto se dice que el diseño es correcto cuando al verse

sometida tanto por las cargas estáticas como dinámicas en la fundación no se genera

en ningún punto un esfuerzo que supere dicho límite y es incorrecto cuando lo supera

debido a que generaría deformaciones significantes. Las imágenes a continuación

muestran a la fundación con degradado de color, que va de azul a rojo, en donde cada

color representa un intervalo de esfuerzos (x10-3) y algunos puntos significativos

donde se visualizan los esfuerzos de la fundación se muestran en la Figura 30.

151

152

153

154

155

Figura 4.28: conjunto de esfuerzos por banda

Como puede notarse en ningún punto de la fundación el esfuerzo admisible supera

los 1,22 kgf/cm2 por lo tanto las deformaciones generadas son despreciables abalando

el diseño realizado con la metodología propuesta, además todos los esfuerzos son

negativos por lo que toda la zapata presiona el suelo lo cual nos permite hacer un

análisis lineal como el que aquí se presenta.

156

Figura 4.29: vista de la deformación de la fundación

Figura 4.30: vista de la deformación de la fundación en el eje z

En el modelo se tomaron algunas consideraciones para poder adaptar el problema

al programa. Para empezar, SAFE está predeterminado para modelar zapatas para

columnas; lo que para el programa son las dimensiones de la columna, en este caso

equivaldría a las dimensiones del pedestal que sostiene a la máquina. Además que las

157

cargas a las que se ve sometida la supuesta columna no son las que vienen de un

edificio sino la del peso propio del pedestal, la maquinaria y las fuerzas transmitidas

por la vibración.

Se usaron combinaciones, haciendo que las cargas dinámicas correspondieran a

cargas por sismos con sus respectivas consideraciones.

En el modelado 3D de la fundación el pedestal no se ve representado debido a que

el programa no toma en cuenta a la columna al momento de diseñar sin embargo las

interaccione del pedestal con la zapata si se ven representadas en el modelo.

Figura 4.31: modelado 3D de la zapata de fundación

158

5 CAPÍTULO V:

CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES

5.1 Conclusiones.

En el presente proyecto de investigación se logró definir un procedimiento de

diseño para fundaciones tipo bloque superficial que soportan cargas dinámicas, el

cual toma en cuenta los parámetros principales que actúan en la fundación así como

los modelos matemáticos existentes, para poder predecir la amplitud, fuerzas

transmitidas y posibles estados de resonancia de la fundación. El carácter simple y

secuencial de procedimiento hizo posible este fuera esquematizado en un flujograma,

que luego se usó en la estructuración del manual y el desarrollo la herramientas que

agilizan la tarea del diseño.

Se consiguió transferir toda esa información a una hoja de cálculo en Microsoft

Excel con una interfaz de usuario amigable. La hoja de Excel no solo realiza todos los

cálculos de coeficientes y de parámetros para el análisis dinámico automáticamente

sino que también toma en consideración los criterios y recomendaciones previamente

investigados. Si alguno de los parámetros de verificación estuviera fuera de los

límites establecidos para el buen funcionamiento de la fundación, la hoja le indica al

usuario la deficiencia en el diseño. Todo esto reduce notablemente el tiempo de

ejecución y reduce al mínimo la posibilidad de un error de cálculo.

Además, se verificó la confiabilidad de los diseños realizados en la hoja de

cálculo, al modelar una fundación previamente diseñada con esta herramienta en el

programa estructural SAFE. Al modelar en SAFE se busca simular la reacción o

comportamiento que tendría la fundación si se sometiera a condiciones reales. Se

159

esperaba que la fundación modelada tuviera un buen comportamiento ya que dicho

diseño satisfacía todos los parámetros establecidos por el método. Finalmente el

programa reflejó que las dimensiones propuestas en el diseño eran idóneas para

soportar las cargas dinámicas de servicio debido a que los esfuerzos por cargas

dinámicas de servicio no superaban en ningún punto el esfuerzo admisible del suelo.

Por último se logró definir un manual que acopla el extenso contenido teórico y el

método de cálculo de una forma sintetizada. Su contenido comienza con una breve

introducción y una sección de definición de conceptos básicos para darle al lector una

mayor comprensión del tema y luego aborda el método de cálculo. Al final del

manual se incluyó un breve instructivo que indica la correcta introducción de datos en

la hoja de cálculo y su posterior manejo.

El manual resultante, aunque limitado a fundaciones tipo bloque superficial para

cargas para maquinas reciprocantes o rotativas, es una herramienta eficiente y

práctico. Resulta una buena alternativa a programas estructurales en caso de no

disponer uno o de ser necesaria una primera aproximación del diseño final

5.2 Recomendaciones.

Como resultado del proyecto de investigación proponemos las siguientes

recomendaciones para futuras investigaciones relacionadas con el presente proyecto

ya sea para expandir el tema de la investigación o mejorar el contenido en general:

El manual requiere para ser una guía más completa un método de cálculo para

otro tipo de fundaciones debido a que se preparó un método de cálculo solo

para fundaciones tipo bloque.

A pesar que el método de cálculo investigado funciona, no se puede evitar la

suposición inicial de las dimensiones de la zapata y el pedestal, se propone

160

entonces un método de cálculo un poco más ambicioso donde se pueda

calcular la profundidad de la zapata o las dimensiones del pedestal, y así ser

más preciso en cuanto requiere la fundación para soportar las cargas

dinámicas.

El manual requiere para ser una guía más completa extender el método de

cálculo a otros equipos que generen diferentes cargas dinámicas, expandiendo

la utilidad a todos los equipos sin importar que tipo de vibración generen.

Actualizar la hoja de cálculo a medida que se actualiza el método de cálculo

procurando mantener una interfaz amigable.

Realizar nuevas ediciones del manual con estudios más recientes.

Expandir el estudio sobre el comportamiento estructural de la fundación,

analizando la fundación como un medio elástico o tratarlo como una viga

apoyada en el suelo para desarrollar un nuevo método de cálculo analizado

desde la deformación de la fundación.

Proponer a la UCAB que incentive a los tesistas de ingeniería civil a expandir

las investigaciones acerca de fundaciones.

161

Bibliografía

1. COVENIN 1753, Proyecto y construcción de obras en concreto estructural.

(2006). Caracas, Venezuela.

2. COVENIN 1756-1, Edificaciones sismorresistentes Parte 1: Articulado

(2001). Caracas, Venezuela.

3. FRATELLI, Mariela Graciela, 1993. “Suelos, fundaciones y muros”.

Universidad Central de Venezuela, Facultad de Ingeniería, Escuela de Civil.

4. BARKAN, D.D., 1962. “Dynamics of bases and foundations”. McGraw Hill,

New York, 434 p.

5. BEER, F.P., and JOHNSTON, E.R. Jr., 1997. “Mechanics for Engineers

Dynamics”, McGraw-Hill, New York. 8th Edition.

6. RICHART, F.E., HALL, J.R. and WOODS, R.D., 1970. “Vibrations of soils

and foundations”. Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, New Jersey, 414 p.

7. RICHART, F. E., Jr., “Foundation Vibrations”, Journal of Soil Mechanics and

Foundations Division, Vol. 86, No. SM4, 1960.

8. SURESH C. Arya, ROLAND, P., DREWYER. “Foundation design for

reciprocating compressors” The CE-Lummus. Houston and George Pincus,

University of Houston, Houston.

9. PDVSA. 1991. Manual de Ingeniería de Diseño. “Fundaciones para Bombas”.

Volumen 18-I. Guía de Ingeniería PDVSA nº 0602.1.414.

10. PDVSA. 1991. Manual de Ingeniería de Diseño. “Fundaciones para

Compresores Reciprocantes”. Volumen 18-I. Guía de Ingeniería PDVSA nº

90615.1.002.

11. PDVSA. 1991. Manual de Ingeniería de Diseño. “Fundaciones para Bombas

Reciprocantes”. Volumen 18-I. Guía de Ingeniería PDVSA nº 90615.1.006.

12. PDVSA. 1991. Manual de Ingeniería de Diseño. “Fundaciones de

Compresores Reciprocantes”. Volumen 18-I. Guía de Ingeniería PDVSA nº

L–STC–003.

162

13. GAZETAS, G. 1991. “Foundation Vibrations” Foundation Engineering

Handbook, 2nd Edition, Van Nostrand.

14. PRAKASH, S., and PURI, V., 1988. “Foundations for Machines: Analysis

and Design”, John Wiley & Sons. New York.

15. ACI 351.3R: Foundations for Dynamic Equipment (2004), Farmington Hills,

Michigan, USA.

16. ACI 215R-74: Considerations for Design of Concrete Structures Subjected to

Fatigue Loading, (1992), Farmington Hills, Michigan, USA.

17. Álvarez M. y Loza J. (2011) “Diseño Técnico de Pernos de Anclaje al

Concreto y Desarrollo de un Programa de Aplicación”. Escuela Politécnica

del Ejército. Sangolqui, Ecuador.

18. Angulo, A (Junio 1946). Calculo de cimentaciones circulares, Revista de

Obras Públicas.

19. Khazam, A. y Osechas G. (2008). “Metodología numérica para analizar y

diseñar fundaciones de máquinas alternativas, rotativas y de impacto.”

20. Angostaco, M. (2009) “Manual de diseño de cimentaciones tipo bloque para

equipo dinámico”, Sangolqui, Ecuador.

21. Departamento de Ingeniería Civil Diseño de Fundaciones para Equipos

Vibratorios

22. Castro, T y Adolfo, K. (2015) “Análisis y diseño de cimentaciones de equipos

dinámicos, en plantas de generación eléctrica”. Universidad de las Fuerzas

Armadas, Sangolqui, Ecuador.

163

ANEXO A

LEER ANTES DE ABRIR EL ARCHIVO DE EXCEL

El método utilizado en la elaboración de la hoja de cálculo automatizado supone que el usuario

tendrá habilitada la ejecución de macros en Excel, de lo contrario el código jamás será

ejecutado.

De no estar seguro, el usuario debe habilitar la opción de macros siguiendo los siguientes pasos:

1. Haga clic en el botón de Microsoft Office y, a continuación, haga clic en Opciones

de Excel.

2. Haga clic en Centro de confianza, en Configuración del Centro de confianza y, a

continuación, en Configuración de ActiveX.

3. Haga clic en Habilitar todas las macros

Manual para el diseño de

fundaciones sometidas a cargas

dinámicas

Elaborado por:

Daniela Alcalá

Gerardo Vidal

2017

Manual para el diseño de

fundaciones sometidas a cargas

dinámicas

Elaborado por:

Daniela Alcalá

Gerardo Vidal

2017

Introducción El siguiente manual para el diseño de

fundaciones que soportan cargas

dinámicas se compone de un conjunto de

información pertinente reunida de

diferentes fuentes con el fin de que sea

una herramienta útil en la práctica de

ingeniería. La información que aquí se

presenta adopta un formato pequeño para

resumir el extenso tema y sea así un poco

más amigable para el ingeniero, técnico

he interesados en este campo.

Gran parte del contenido de este

manual está basado de los estudios de

Pascual, Barkan, Richart y Suresh, los

cuales se han extraído los aspectos más

relevantes a los objetivos del manual.

En esta primera edición el manual solo

abarcara el diseño de fundaciones tipo

bloque, que soportan cargas dinámicas

generadas por equipos rotativos y

reciprocante como compresores, por lo

tanto este manual no debe utilizarse para

otros tipos de fundaciones o equipos de

diferente funcionamiento, por lo tanto

queda a juicio del diseñador el uso de las

ecuaciones que se presentaran en este

manual, de ser usado en otro tipo de

diseño al planteado aquí.

En este manual se abrirá una apertura

para expandir estos estudios. Por supuesto

habrá cavidad para nuevas ediciones y

ampliar los conocimientos aquí

expuestos. Es recomendable que además

del uso de este manual el usuario debe

apoyarse de las normativas estructurales

para la construcción cuya área no tocara

en este manual.

Definición

Fundaciones Tipo Bloque:

Estas fundaciones consisten en

grandes masas de concreto armado con

una considerable resistencia y rigidez que

se apoyan directamente sobre el suelo de

fundación. En la Figura 1 se muestra una

variante de las fundaciones de tipo bloque

superficial

Figura 1: Fundación de Tipo Bloque Fuente: “Los

Autores”

Debido a su masa la frecuencia natural

de este tipo de fundaciones suele ser baja

sin embargo por su disposición se puede

optar por colocar entre el equipo y la

fundación resortes o amortiguadores para

aislar la vibración ocasionada por la

máquina.

Maquinas Rotativas:

Las maquinas rotativas son aquellas en

las que todas sus partes móviles forman

una trayectoria circular, en la Figura 2 se

muestra la estructura más simple de una

maquina con mecanismo rotativo, que

consiste en una masa m que gira

alrededor de un centro a una distancia e.

La fuerza repetitiva que causa la

vibración en el sistema máquina-

fundación es generada por el vaivén de la

masa oscilatoria obedeciendo las leyes de

acción y reacción. En ocasiones el equipo

puede generar vibraciones excesivas por

un desbalance en la masa de las piezas

móviles internas.

Figuran 2: Máquinas de sistema rotativo. Elaborado

por: Los autores

Maquinas Reciprocantes

Las máquinas alternativas o

reciprocantes son aquellas en las que el

movimiento, debido generalmente a la

expansión violenta de un gas, se logra

mediante la combinación de émbolos,

bielas y manivelas. El movimiento

alternante, generalmente armónico

simple, del émbolo, se transforma por la

acción de la biela en un movimiento

circular de la manivela. Generalmente son

máquinas de baja velocidad. Entre los

tipos de máquinas reciprocantes pueden

mencionarse: máquinas de vapor, motores

diesel y de gasolina, compresoras de

émbolo, y bombas de émbolo.

Las vibraciones forzadas en máquinas

de movimiento alternativo, son en su

mayoría producidas por el desbalance de

las fuerzas de inercia de las partes que

constituyen el mecanismo.

Figuran 3: Partes principales de las máquinas

reciprocantes.

El presente manual describe el

procedimiento para la determinación de

las dimensiones de una fundación con

equipos cuyo funcionamiento sea como se

indica en la Figura 2 o Figura 3, que

comprenden turbogeneradores, bombas y

compresores de embolo y motores

eléctricos.

Suelo:

El suelo se encarga de soportar las

cargas transmitidas y dar estabilidad a la

fundación. Por sus propiedades elásticas

diversos investigadores expertos en el

tema, asemejan su comportamiento al de

un resorte para efectos del análisis

dinámico. También se reconoce la

capacidad del suelo para disipar la energía

proveniente del movimiento vibratorio de

la fundación, así como lo haría un

amortiguador viscoso, por lo que se llega

a optar por un modelo Masa-Resorte-

Amortiguador para simular la interacción

dinámica entre el suelo y la fundación al

ser este el que logra acercarse lo más

posible a la realidad.

Para asegurar que el sistema Maquina-

Fundación-Suelo se asemeje lo más

posible a un sistema masa-resorte-

amortiguador debe conocerse con la

mayor exactitud posible la relación de

Poisson (μ) y módulo de corte (G) las

cuales deben ser obtenidas con el debido

estudio geotécnico previo al análisis de la

fundación.

Cuando no se disponga de un informe

geotécnico completo del sitio considerado

y para efectos del diseño preliminar, “μ”

y “G” pueden ser estimados con cierta

precisión. Generalmente, se ha

determinado que la relación de Poisson

varía entre 0,25 a 0,35 para suelos no

cohesivos y entre 0,35 a 0,45 para suelos

cohesivos. Por lo tanto y para efectos de

diseño, pueden asumirse sin mucho error,

valores de 0,30 y 0,40 de la relación de

Poisson para suelos no cohesivos y

cohesivos, respectivamente. Los mismos

rangos concuerdan los valores reflejados

en la Tabla 1

Tabla 1: Rangos para el coeficiente de Poisson en

diferentes tipos de suelos. Fuente: KRAMER, S.L.

“Geotechnical Earthquake Engineering”

Los valores de “G” pueden obtenerse a

partir de ensayos de laboratorio,

considerando que este parámetro varía

con la presión de confinamiento. De la

Tabla 2 podremos seleccionar valores

aproximados del módulo de corte para

distintos suelos.

Tabla 2: Distintos valores del módulo de corte G para

diferentes tipos de suelos. Fuente: María Graciela

Fratelli- “Suelos, muros y fundaciones”

Elementos de la Fundación

En la Figura 4 se visualiza los

elementos que componen la fundación,

los cuales para este diseño serán

calculados. Los elementos son los

siguientes:

1: Equipo que generara la carga dinámica

y consecuentemente hace vibrar el

sistema.

2: Pedestal, cuya función será prevenir

daños en el equipo producto del

SUELO Gs (Kg/cm²)

Grava arenosa densa 700

Arena de cuarzo limpia 120-200

Arena fina micacea 160

Arena limosa 100

Arcilla sedimentaria 250-350

Arcilla arenosa 120-300

Arcilla mediana 120-300

Arcilla blanda Seca 170-210

Arcilla blanda humeda 90-150

Rango Recomendado

Arenas y Gravas 0,25-0,40 0,33

Arcillas y Limos 0,35-0,50 0,45

TIPO DE

SUELO

Radio de poisson

Figuran 4: Fundación de Tipo Bloque Fuente:

“Los Autores”

escurrimiento y brindar facilidad de

maniobra para operar.

3 y 4: Anclajes que fijan el equipo a la

fundación haciendo que el sistema

completo se comporte como un solo

cuerpo.

5: Bloque de fundación masa de concreto

que transfiere las cargas dinámicas al

suelo, aísla el equipo del resto de la

estructura y agrega mayor inercia al

sistema para evitar la vibración.

6: Acero de refuerzo que servirá para

coser el acero, fijarlo y evitar grietas

internas en la fundación

Criterios Previos al Cálculo

Algunas Consideraciones a tomar en

cuenta según la información recopilada

son:

1. Los cimientos deben ser lo

suficientemente sólidos, macizos

y resistentes para no deteriorarse

por efecto del régimen de servicio

de las máquinas, así como durante

su puesta en marcha o apagado.

Asimismo, deben ofrecer una base

estable y firme a las máquinas, sin

deformaciones excesivas ni grietas

notables, aún bajo la acción de

fuerzas no balanceadas y bajo

ningún motivo colocar la

fundación sobre un suelo

previamente rellenado.

2. Si existen desniveles provocará un

rápido desgaste en los apoyos del

equipo y las conexiones, por lo

tanto la nivelación de los

cimientos jugaran un papel clave

al momento de prevenir las

desestabilizaciones.

3. La base del cimiento debe apoyar

en un suelo seco y bien

compactado, evitando la

proximidad del nivel freático.

Cuando el suelo es débil o

compresible, es aconsejable

mejorar su resistencia antes de

construir la fundación,

compactándolo según las técnicas

de mejoramiento de suelos.

4. El cimiento debe estar

rígidamente vinculado a la

máquina que sobre él apoya, para

asegurar una correcta transmisión

de las fuerzas estáticas y

dinámicas, usando pernos de

anclaje con vástagos ahogados en

la masa del concreto. Además, las

bases deben construirse con los

encajes y ranuras necesarios,

según el modelo y dimensiones de

la máquina, para impedir todo

deslizamiento del equipo o de

alguna de sus partes.

5. El diseño del cimiento debe ser tal

que prevea la posibilidad de

acceso a los diferentes

mecanismos y conexiones entre

máquina y cimiento, así como a

sus sistemas de amortiguamiento,

de modo de facilitar la inspección,

limpieza y mantenimiento de sus

ensambles, según las

especificaciones de cada máquina.

6. El equipo debe ubicarse de modo

que su centro de gravedad esté

contenido en el eje vertical que

pasa por el baricentro del

cimiento. La máxima

excentricidad permitida es del 5%

con respecto a los lados de la base

en planta.

7. El cimiento o el foso que lo

contiene pueden aislarse de ser

necesario, de modo que las

vibraciones de las maquinas no

perturben el buen funcionamiento

de las instalaciones de las

construcciones circundantes ni la

estabilidad de sus estructuras

resistentes. Para ello se hace uso

de materiales amortiguadores o de

resortes que se instalan debajo de

la fundación.

8. Todos los cimientos de máquinas

se materializan en concreto

armado, el cual debe ser de óptima

calidad, con una resistencia a la

compresión comprendida entre

200 y 240Kg/cm2, pudiendo

utilizarse concreto ciclópeo. Debe

enfatizarse el hecho de que el

concreto de los cimientos de

máquinas debe ser capaz de

resistir los ataques químicos, de

microorganismos o cualquier otra

acción agresiva que resulte de los

diferentes procesos operativos de

las maquinas o provenientes del

suelo de fundación.

9. Los cimientos de máquinas deben

diseñarse con una frecuencia

natural propia lo más alejada

posible de la frecuencia de

excitación de máquina en régimen

de servicio, para evitar el peligro

de la resonancia, o coincidencia de

la velocidad operativa de la

máquina con la frecuencia propia

del con junto suelo-cimiento.

Como no es posible cambiar la

velocidad del régimen propio de la

máquina, debe variarse la

frecuencia del cimiento. Por

ejemplo, para una determinada

área en planta del cimiento, la

frecuencia propia del mismo se

reduce a medida que aumenta su

masa. Si por el contrario, se desea

incrementar la frecuencia propia

del cimiento, se debe disminuir su

altura y aumentar el área de

contacto de la base con el suelo de

fundación.

10. En todos los casos es aconsejable

que las presiones de contacto que

ejerce el cimiento sobre el suelo,

dividas a las cargas estáticas

únicamente, no superen el valor la

tercera parte del esfuerzo

admisible del suelo.

Metodología de Cálculo

Determinación de Carga

dinámica

Calculo de cargas en máquinas

reciprocante

Las máquinas alternativas o

reciprocante son aquellas en las que el

movimiento, debido generalmente a la

expansión violenta de un gas, se logra

mediante la combinación de émbolos,

bielas y manivelas. El movimiento

alternante, generalmente armónico

simple, del émbolo, se transforma por la

acción de la biela en un movimiento

circular de la manivela.

El pistón A y su barra acopladora B

realizan un movimiento alternativo, la

manivela D ejecuta un movimiento

circular alrededor del eje que pasa por O,

mientras que la biela C realiza un

movimiento periódico bastante

complicado, sus puntos describen elipses.

Cada una de las partes del mecanismo

puede tener desbalance de sus fuerzas de

inercia, produciendo en una forma

independiente, vibraciones a la fundación.

De acuerdo a las leyes de la estática.

Realizaremos una reducción de fuerzas al

punto O, y ubicamos en este punto el

origen del sistema de coordenadas X, Y,

Z.

En la Figura 5 Observamos las

distancias y los puntos en donde estarán

concentradas las masas del mecanismo.

Al concentrar las masas en los puntos a y

b, obtenemos (la nomenclatura de las

siguientes ecuaciones se ubican en la

sección nomenclatura 1):

𝑀𝑎 = 𝑀11 + 𝑀31 =𝑅1

𝑅𝑀1 +

𝐿2

𝐿𝑀3

𝑀𝑏 = 𝑀2 + 𝑀32 = 𝑀2 +𝐿1

𝐿𝑀3

Las proyecciones de las fuerzas de

todo el mecanismo quedan de la siguiente

manera, teniendo en cuenta que la

velocidad de operación de la máquina es

ωf:

𝑃𝑥 = 𝑅𝜔𝑓2𝑀𝑎𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑓 ∙ 𝑡)

𝑃𝑧 = 𝑅𝜔𝑓2 ∙ [(𝑀𝑎 + 𝑀𝑏) cos(𝜔𝑓 ∙ 𝑡) +

𝑀𝑏. 𝛼. cos(2𝜔𝑓 ∙ 𝑡)]

𝛼 =𝑅

𝐿

El primer término para la expresión de

la fuerza Pz pertenece a una fuerza

primaria mientras él segundo término es

para una fuerza secundaria y a la vez es

más pequeña en comparación con la

primera y por lo tanto se desprecia

(Barkan).

Cilindros en la misma dirección

Para este tipo de máquinas, el ángulo β

de cada cilindro con respecto al primero

cilindro será:

Figura 5: Máquina Reciprocante. Fuente:

BARKAN, D.D. “Dynamics of bases and

foundations”.

β1=0 β2=0

Siguiendo los cálculos de las formulas

estudiadas anteriormente, las

componentes de las fuerzas y los

momentos, que son generados por la

máquina, quedan de la siguiente manera:

𝑃𝑥1 = 𝑃𝑥2 = 𝑅𝜔𝑓2𝑀𝑎𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑓 ∙ 𝑡)

𝑃𝑧1 = 𝑃𝑧2 = 𝑅𝜔𝑓2(𝑀𝑎 + 𝑀𝑏)cos(𝜔𝑓 ∙ 𝑡)

𝑃𝑥 = 2𝑅𝜔𝑓2𝑀𝑎𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑓 ∙ 𝑡)

𝑃𝑧 = 2𝑅𝜔2(𝑀𝑎 +𝑀𝑏) cos(𝜔𝑓 ∙ 𝑡)

𝑀𝑥 = 𝑃𝑧1(𝑙 + 2𝑙𝑥)

𝑀𝑦 = 2𝑃𝑥1𝑙𝑧

𝑀𝑧 = 𝑃𝑥1(𝑙 + 2𝑙𝑥)

Cilindros con ángulo de 90º.

Estas máquinas tienen un ángulo de 90

grados entre sus cilindros, las fuerzas

resultantes generadas por la maquina

serán:

𝑃𝑥 = 𝑅𝜔2𝑀𝑎(𝑠𝑒𝑛𝜔𝑓 ∙ 𝑡 + 𝑐𝑜𝑠𝜔𝑓 ∙ 𝑡)

= √2𝑅𝜔2𝑀𝑎𝑠𝑒𝑛 (𝜔𝑓 ∙ 𝑡

+𝜋

4)

𝑃𝑧 = 𝑅𝜔𝑓2(𝑀𝑎 + 𝑀𝑏)(cos(𝜔𝑓 ∙ 𝑡)

− 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑓 ∙ 𝑡))

= √2𝑅𝜔𝑓2(𝑀𝑎

+ 𝑀𝑏)𝑐𝑜𝑠 (𝜔𝑓 ∙ 𝑡 +𝜋

4)

Los momentos análogamente serán:

𝑀𝑥 = 𝑃𝑧1(𝑙 + 𝑙𝑦) + 𝑃𝑧2𝑙𝑦

𝑀𝑦 = (𝑃𝑥1 + 𝑃𝑥2)𝑙𝑧

𝑀𝑧 = 𝑃𝑥1(𝑙 + 𝑙𝑦) + 𝑃𝑥2𝑙𝑦

ly =Distancia paralela al eje y, entre el

primer cilindro y el eje vertical.

Cilindros con ángulo de 180º.

Los ángulos de los cilindros con

respecto al primer cilindro son:

β1=0 β2=π

Debido a la posición de los pistones en

estas máquinas, las fuerzas primarias se

anulan. Dando como resultado que las

componentes de las fuerzas serán igual a

0.

Px=0 Pz=0

Y los momentos iguales a:

Mx=Pz1l My=0 Mz=Px1l

Máquina de tres cilindros

verticales.

Estas máquinas manejan los

siguientes ángulos.

β1=0° β2=120° β3=240°

Y como

cos(0) + cos(120°) + cos(240°) =0

sen(0) + sen (120°) + sen (240°) = 0

Las componentes de las fuerzas

quedan igualadas a 0

Px=0 Pz=0

Los momentos quedan:

𝑀𝑥 = 𝑃𝑧1(2𝑙 + 𝑙𝑦) +𝑃𝑧2(𝑙 + 𝑙𝑦) +𝑃𝑧3𝑙𝑦

𝑀𝑧 = 𝑃𝑥1(2𝑙 + 𝑙𝑦) +𝑃𝑥2(𝑙 + 𝑙𝑦) +𝑃𝑥3𝑙𝑦

Máquina cuatro cilindros.

En estas máquinas los ángulos serán:

β1=0° β2=180° β3=180° β4=360°

Con este arreglo, se tiene que las fuerzas

de primer orden son nulas pues las

fuerzas son idénticas y opuestas en todo

momento por lo que se anulan. Lo

mismoocurre con los momentos, por ser

el cigüeñal totalmente simétrico respecto

a su plano perpendicular medio.

Máquina seis cilindros

En estas máquinas el arreglo de los

cilindros es el siguiente:

β1=0 ; β2=2𝜋

3; β3=

4𝜋

3;β4=

4𝜋

3; β5=2π ;

β6=8𝜋

3

Las fuerzas para este arreglo están

balanceadas, y los momentos quedan

expresados de la siguiente manera:

𝑀𝑥 = √3𝑃𝑧𝑙

𝑀𝑦 = 0

𝑀𝑧 = √3𝑃𝑥𝑙

Calculo de cargas en máquinas

rotativas

Los compresores centrífugos y

turbinas son máquinas que presentan, por

muy perfecta que sea su fabricación y

montaje, ciertas excentricidades respecto

a su eje de giro. Estas excentricidades son

las que al girar a una velocidad dada van

a provocar una fuerza centrífuga, y será

tanto mayor cuanto mayor sea la

velocidad de giro y la excentricidad, y se

determina con la siguiente ecuación:

𝐹 = mr ∙ 𝑎 = mr ∙ 𝜔𝑓2 ∙ 𝑒

Si la descomponemos, obtenemos las

fuerzas en los ejes coordenados X y Z:

𝐹𝑥 = 𝑚𝑒 ∙ 𝜔𝑓2 ∙ 𝑒 ∙ 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑓 ∙ 𝑡)

𝐹𝑧 = 𝑚𝑒 ∙ 𝜔𝑓2 ∙ 𝑒 ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑓 ∙ 𝑡)

Cada una de estas fuerzas son de

carácter armónico al ser funciones de

sen(t) y cos(t). La excentricidad dinámica

a la velocidad de operación es la

excentricidad que tiene el rotor durante su

funcionamiento y difiere sensiblemente

de la excentricidad estática (con la

máquina parada). La primera depende de

esta última en cuanto que es modificada.

Esto es así ya que la fuerza centrífuga

provoca sobre el eje del rotor una flexión

que acentúa el valor de la excentricidad,

aumentando así el valor de la fuerza

generada. A velocidad constante se

establece un equilibrio en el que la

excentricidad y la fuerza centrífuga

permanecen también constantes. Podemos

establecer una relación entre las

excentricidades a través de la formula, en

donde eo es la excentricidad estática:

𝑒 =𝑒0

1 − (𝜔𝑓

𝜔𝑐)

Recomendaciones para el Pre-

dimensionamiento

El borde del pedestal deberá

sobresalir una distancia L0 a cada lado

de las dimensiones mínimas de la

maquina (base del compresor) y

deberá cumplir con la distancia

requerida entre los pernos de anclaje y

el borde del pedestal. Lo se determina

como se indica:

La distancia L0 del perno al borde de

la fundación será el mayor valor entre:

2×Tamaño máximo del agregado.

6×Diámetro perno.

El valor de X de la Tabla 3.

30cm.

Se recomienda que la parte superior

del bloque se mantenga 1 pie (30cm)

por encima de la elevación del suelo o

pavimento terminado, con el fin de

prevenir los daños causados por el

Tabla 3 tabla de montaje de pernos de anclaje Fuente: “Norma de diseño DS-103,CVG Bauxilum”.

”, Fratelli, 1993

escurrimiento de las aguas

superficiales.

La base debe ser lo suficientemente

ancha para aumentar la amortiguación

en el modo de oscilación, el ancho

debe ser de al menos 1 a 1,5 veces la

distancia vertical desde la base hasta

la línea central de la máquina.

La longitud de la zapata o dimensión

paralela al eje, será aproximadamente

de 610 mm mayor que la longitud del

pedestal.

El espesor de la zapata será el

adecuado para garantizar una

fundación rígida. Para cumplir con

este requisito, el espesor mínimo de la

zapata será igual a dos tercios de la

distancia entre el borde del pedestal y

el borde de la zapata y nunca menor

que 457 mm.

Después de haber determinado la

altura total de la fundación, se debe

verificar que esta cumpla, siendo

mayor o igual a los siguientes valores:

60cm

0,6 + Lmax/30.

Longitud de perno + 15cm

1/5 de la menor dimensión.

1/10 de la mayor dimensión.

Siendo Lmax la mayor dimensión que se

haya escogido.

La longitud de los pernos también se

puede obtener de la Tabla 3, en la que se

identifica bajo la dimensión L.

La longitud y ancho del cimiento se

ajustan de manera que el centro de

gravedad de la máquina y equipo se

encuentre en un rango del 5% de

cercanía con el centro de gravedad

de la fundación. El centro de

gravedad combinado debería

coincidir con el centro de

resistencia del suelo.

En la Figura 4 puede visualizarse

las dimensiones sugeridas

anteriormente.

En fundaciones de sección

circular el anclaje deberá tener

como mínimo un recubrimiento de

ℎ𝑒𝑓 siendo este la altura efectiva

del perno, esto si se asume un tipo

de falla de desprendimiento de

cono de 45° como se muestra en la

Figura 6.

El radio del pedestal se determina

sumando la distancia que hay

entre el centro geométrico del

equipo y el perno con el radio del

espaciamiento mínimo del perno

como se muestra en la siguiente

Figura 7.

Figura 4: Fundación con dimensiones sugeridas, Fuente: Los autores

Figura 6: Falla de desprendimiento de

cono de 45°, Fuente: “los autores”

Figura 7: Dimensión en planta del

pedestal para una fundación tipo bloque

circular.

El diámetro de la zapata debe ser

el mayor valor entre el diámetro

del pedestal más 0,61 y 1,5 de la

distancia entre el suelo y el eje de

la máquina, (ver Figura 8).

Las recomendaciones del

consultor geotécnico suelen

incluir la profundidad de la

cimentación. Si la calidad del

suelo es pobre, siempre se puede

aumentar el área de contacto para

disminuir el esfuerzo transmitido

al suelo por el peso de la

fundación. No bastando la acción

anterior para suelos muy pobres se

puede optar por la

implementación de una fundación

con pilotes. En caso de incluir los

pilotes al diseño, la fundación

pasaría a ser de otro tipo y su

procedimiento de cálculo ya no

entraría en el alcance de este

trabajo, sin embargo a

continuación se incluyen

recomendaciones para el pre-

dimensionamiento de esta clase de

cimiento:

a. Si se trata de una maquina

Reciprocante, la masa del cabezal

debe ser de 2,5 a 4 veces la masa

de la máquina.

b. El espesor, anchura y longitud del

bloque se selecciona como se

menciona en los puntos anteriores.

c. El número y tamaño de los pilotes

se seleccionara de tal manera que

ningún elemento soporte más allá

de la mitad de la carga de diseño

permisible.

d. Los pilotes estarán dispuestos de

modo que el centroide del grupo,

coincida con el centro de gravedad

combinado de la estructura y de la

máquina.

e. Los pilotes deben estar anclados

adecuadamente a la losa, para una

mejora de la rigidez y para

cumplir con las condiciones de

diseño asumidos durante la fase de

análisis.

Figura 8: Recomendaciones para las dimensiones iniciales de una fundación tipo

bloque circular.

Determinación del centro de

gravedad del sistema fundación-

maquina

Una vez designada las dimensiones

iniciales de la fundación, se utilizara el

siguiente sistema de coordenadas para

ubicar espacialmente el sistema y las

fuerzas a las que se ve sometido, nótese

que se estableció al eje Y como eje

alineado con el eje de revolución de la

maquina:

Teniendo como origen el vértice

inferior izquierdo del bloque de la

fundación es fácil saber el centro de

gravedad de cada elemento que la

conforma, según sea forma rectangular o

circular. Para determinar la coordenada X

del centro de gravedad del sistema

completo primero se multiplica las

coordenadas X del centro de cada

elemento del sistema por su respectiva

masa y al sumarlas se divide entre la

masa total del sistema, tal y como se

expresa en las siguientes ecuaciones. Esta

operación se repite para las otras

direcciones para determinar el centro

gravedad en el espacio.

𝑋𝑜 =𝑋𝑖. 𝑚𝑖 + 𝑋𝑖+1. 𝑚𝑖+1 + 𝑋𝑖+2. 𝑚𝑖+2

𝑚𝑇

𝑌𝑜 =𝑌𝑖. 𝑚𝑖 + 𝑌𝑖+1. 𝑚𝑖+1 + 𝑌𝑖+2. 𝑚𝑖+2

𝑚𝑇

𝑍𝑜 =𝑍𝑖 . 𝑚𝑖 + 𝑍𝑖+1. 𝑚𝑖+1 + 𝑍𝑖+2. 𝑚𝑖+2

𝑚𝑇

Cálculo de Inercia de la

fundación

Si la maquina genera pares de fuerzas

se deben calcular los momentos de inercia

del sistema en la dirección o las

direcciones en la que esas fuerzas causen

un momento. Se determina la inercia

respecto al centro de gravedad del sistema

completo tanto de la maquina como de la

fundación, por lo que en las ecuaciones

de las inercias se incluye el teorema de

Steiner:

𝐼𝑓𝑗𝑖 = 𝐼𝐶𝐺𝑗𝑖 + 𝑚𝑖 × 𝑟𝑗𝑖2

𝐼𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑒𝑛𝑗 = 𝐼𝑚𝑗 + ∑𝐼𝑓𝑗𝑖

𝑛

𝑖=1

Siendo:

j= Dirección en la cual se desea calcular

la inercia, pudiendo ser X, Y o Z.

i= El número del elemento de la

fundación que forma parte del sistema.

ICG i j= Inercia del centro de gravedad de

cada elemento i, en la dirección j.

mi= Masa del elemento i.

rj i = Es la distancia perpendicular

respecto a jque hay entre el del elemento i

y el centro de masa del sistema.

Im j = Inercia de la máquina en la

dirección j.


Cálculo de densidad del suelo

Cálculo de profundidad de

embutimiento

Cálculo de radio de equivalente

Debido a que las ecuaciones

establecidas por Suresh C. son requerido

tener las dimensiones equivalentes a la de

una fundación con sección circular.

𝑟𝑜𝜙 = √𝐵. 𝐿. (𝐵2 + 𝐿2)

6. 𝜋

4

Cálculo de factores de

embutimiento

𝑁𝑧 =1 + 0,61. (1 − 𝜈). ℎ

𝑟𝑜𝑣

𝑁ℎ =1 + 0,55. (2 − 𝜈). ℎ

𝑟𝑜𝑣

𝑁𝜑 = 1 + 1,2. (1 − 𝜈).ℎ

𝑟𝑜𝜑+ 0,2. (2 − 𝜈). (

ℎ

𝑟𝑜𝜑)3

Cálculo de Constante de Resorte

La ecuación de la constante de resorte

dependerá de la forma de las fundaciones,

en el caso de ser una fundación

rectangular las ecuaciones serán las

siguientes:

𝐾𝑧 =𝐺. 𝛽𝑧. √𝐵. 𝐿. 𝑁𝑧

1 − 𝜈

𝐾𝑥 = 2. (1 + 𝜈). 𝐺. 𝛽𝑥 . √𝐵. 𝐿. 𝑁𝑥

𝐾𝜑 =𝐺. 𝛽𝜑 . (𝐵. 𝐿)2. 𝑁𝜑

1 − 𝜈

En el caso de que la fundación sea

circular las ecuaciones serían las

siguientes:

𝐾𝑧 =4. (𝐺. 10000). 𝑟𝑜 . 𝑁𝑧

1 − 𝜈

𝐾𝑥 =32. (1 − 𝜈). (𝐺. 10000). 𝑟𝑜 . 𝑁𝑥

7 − 8. 𝜈

𝐾𝜑 =8. (𝐺. 10000). 𝑟𝑜

3. 𝑁𝜑

3. (1 − 𝜈)

𝑘𝜙 =16. (𝐺. 10000). 𝑟𝑜

3

3

Cálculo de frecuencia natural

Para traslaciones en x, y, z las

ecuaciones son las siguientes:

60

2𝜋∙ √

𝑘

𝑚

Para rotaciones en x, y, z las

ecuaciones son las siguientes:

60

2𝜋∙ √

𝑘

𝐼

Cálculo de Relaciones de masa

𝐵𝑧 =(1 − 𝜈)

4.

𝑊𝑡

𝛾. 𝑟𝑜𝑣3

𝐵ℎ =(7 − 8. 𝜈)

(32. (1 − 𝜈)).

𝑊𝑡

𝛾. 𝑟𝑜ℎ3

𝐵𝜑 =3. (1 − 𝜈)

8.

𝐼𝑥𝜌. 𝑟𝑜𝜑

5

𝐵𝜙 =𝐼𝜙

𝜌. 𝑟𝑜𝜙5

Cálculo de Amortiguamiento por

Embutimiento

𝛼𝑧 =(1 + 1,9. (1 − 𝜈). (

ℎ

𝑟𝑜𝑣)

√𝑁𝑧

𝛼ℎ =(1 + 1,9. (2 − 𝜈). (

ℎ

𝑟𝑜ℎ)

√𝑁𝑧

𝛼𝝋 =(1 + 0,7. (1 − 𝜈). (

ℎ

𝑟𝑜ℎ) + 0,6. (2 − 𝜈). (

ℎ

𝑟𝑜𝜑)3

)

√𝑁𝜑

Cálculo de Amortiguamiento

Geométrico

𝐷ℎ =0,288. 𝛼ℎ

√𝐵ℎ

𝐷𝑧 =0,425. 𝛼𝑧

√𝐵𝑧

𝐷𝜑 =0,15. 𝛼𝜑

(1 + 𝑁𝜑 . 𝐵𝜑).√𝑁𝜑 . 𝐵𝜑

𝐷𝑜𝑧 =0,5

1 + 2. 𝐵𝜙

Cálculo Relación Total de

Amortiguamiento

Los valores de Di son sacadas de la

siguiente tabla

Cálculo de la frecuencia de

resonancia

La frecuencia a la que la vibración

llega a su amplitud máxima (La cima del

Gráfico 1) se denomina “Frecuencia de

Resonancia” y se calcula mediante la

ecuación:

Cálculo factor de amplificación

dinámica

𝑀𝑧 = [1

[1 − (𝜔

𝑓𝑛𝑧)2]

2

+ [2. 𝐷𝑧 . (𝜔

𝑓𝑛𝑧)]

2]

12⁄

𝑀ℎ = [1

[1 − (𝜔

𝑓𝑛ℎ)2]

2+ [2.𝐷𝑧. (

𝜔

𝑓𝑛ℎ)]

2]

12⁄

𝑀𝜑 =

[

1

[1 − (𝜔

𝑓𝑛𝜑)2]

2

+ [2. 𝐷𝑧. (𝜔

𝑓𝑛𝜑)]

2

] 1

2⁄

Tipo de suelo Di

Arena y grava secas 0,03 a 0,07

Arena seca y saturada 0,01 a 0,03

Arena seca 0,03

Arenas y gravas secas y saturadas 0,05 a 0,06

Arcillas 0,02 a 0,05

Arena sedimentada 0,03 a 0,1

YPK

F0

𝜔𝑓 𝜔𝑛⁄ Grafica 1: Relación de frecuencia para diferentes amortiguamientos Fuente: José L. García “Vibraciones en

Estructuras”.

𝑀𝜙 =

[

1

[1 − (𝜔

𝑓𝑛𝜙)2]

2

+ [2.𝐷𝑧. (𝜔

𝑓𝑛𝜙)]

2

] 1

2⁄

Cálculo factor Transmisibilidad

𝑇𝑟𝑧 = 𝑀𝑧 . √1 + [2. 𝐷𝑧 . (𝜔

𝑓𝑛𝑧)]

2

𝑇𝑟ℎ = 𝑀ℎ. √1 + [2. 𝐷ℎ. (𝜔

𝑓𝑛ℎ)]

2

𝑇𝑟𝜑 = 𝑀𝜑 . √1 + [2. 𝐷𝜑 . (𝜔

𝑓𝑛𝜑)]

2

𝑇𝑟𝜙 = 𝑀𝜙. √1 + [2. 𝐷𝜙. (𝜔

𝑓𝑛𝜙)]

2

Cálculo de fuerza de

Transmisibilidad

𝐹𝑡𝑧 = 𝑇𝑟𝑧. 𝐹𝑧

𝐹𝑡ℎ = 𝑇𝑟ℎ. 𝐹ℎ

𝑀𝑡𝑥 = 𝑇𝑟𝜑.𝑀𝑥

𝑀𝑡𝑦 = 𝑇𝑟𝜙.𝑀𝑦

Cálculo Amplitud

𝐴𝑧 =𝑀𝑧 . 𝐹𝑧

𝐾𝑧

𝐴𝑦 =𝑀ℎ. 𝐹ℎ

𝐾𝑦

𝐴𝜑 =𝑀𝜑 . 𝐹𝑥

𝐾𝜑

𝐴𝜙 =𝑀𝜙. 𝐹𝑥

𝐾𝜙

Cálculo de Excentricidad

La Excentricidad no debe exceder más del

5% para que la distribución de masa del

sistema sea correcta.

Cálculo de Presión del suelo

Para que el dimensionamiento sea

correcto la presión del suelo no debe

exceder la presión permisible.

𝑝𝑠 =𝑊𝑡

𝐵. 𝐿

Estudio de resonancia

Para evitar la resonancia la siguiente

relación debe cumplirse para evitar un

rango peligroso de resonancia como

puede visualizarse en la Grafica 2

Pero si además evitar de la resonancia

se quiere generar un aislamiento

vibratorio debe cumplirse el siguiente

rango de valores:

Sabiendo que:

Diseño del Acero

Se supone la fundación como una losa y

se aplica el procedimiento del cálculo de

acero para losas. En la figura 9 se muestra

la disposición de las dimensiones:

Para calcular el acero de refuerzo se

debe calcular la siguiente relación

adimensional:

𝜇𝑠 =𝑀𝑢

𝐹´𝑐 . 𝑎. 𝑑2

Se determina el Qmáx y se compara con

q.

𝑞𝑏 = 0,85.0,85.6300

6300 + 𝐹𝑦

𝑞𝑚𝑎𝑥 = 0,5. 𝑞𝑏

𝑞 = 0,85. (1 − √1 −2. 𝜇

0,85)

Si:

𝑞 < 𝑞𝑚𝑎𝑥

El miembro esta simplemente armado

𝑞 > 𝑞𝑚𝑎𝑥

El miembro esta doblemente armado

Se determina el factor Ju

𝑗𝑢 = 1 − 0,59. 𝑞

Determinación del acero de refuerzo

sabiendo que φ=0,9

Grafica ¡Error! No hay texto con el estilo especificado en

el documento.: Representación gráfica de la Ecuación de

amplitud. Fuente: José L. García “Vibraciones en

Estructuras”.

0

a

c d

b

Sección Critica

Figura 9: Dimensiones de la fundación, fuente:

“los autores”

𝐴𝑠 =𝑀𝑢

𝜙. 𝐹𝑦. 𝑗𝑢. 𝑑

Recordar que el acero mínimo por

retracción de fraguado y temperatura

𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛 = 0,0018. 𝑎. 𝑐

Para tener un mejor agarre se

confinara el concreto con el acero, es

decir se repetirá el diseño del acero en la

parte superior de la fundación y se armara

en las dos direcciones, para cualquier otro

parámetro estructural para el diseño del

acero se sugiere recurrir a las normas

pertinentes.

También puede utilizarse la siguiente

Tabla 2.1 del libro “Diseño estructural de

concreto armado”, Fratelli (1998), que

aquí se presenta como Tabla para

conseguir la incógnita ju, sabiendo los

valores de ωs y μ.

Figura 10: Detallado típico del acero inferior

en una fundación tipo bloque.

Permisibilidad de la Amplitud

Una vez completado el diseño se debe

compara las amplitudes en la gráfica 3,

para saber si la amplitud final es apta para

la tolerancia humana.

Grafica 3demandas de frecuencia y amplitud Fuente: PDVSA. Manual de

Ingeniería de Diseño - “Fundaciones para Compresores Reciprocantes”.

Flujograma del Método de Cálculo.

Ejecución del programa:

Antes de proceder con la explicación de

la hoja de cálculo se aclara los siguientes

puntos:

El usuario debe introducir los

datos en las casillas identificadas,

El resto de los valores y cálculos

es realizado automáticamente por

el software.

Al escribir números decimales

definir el decimal con punto (.)

Los valores introducidos por el

usuario deben presentarse en la

unidad mostrada por el software,

de lo contrario la herramienta

arrojará resultados erróneos ya

que ésta no realiza conversiones

de unidades de los valores

suministrados por el usuario.

A penas se abre el archivo de Excel, se

despliega la interfaz de usuario en medio

de la pantalla cuya primera ventana

corresponde a la presentación del

programa: (Figura 11)

La interfaz está diseñada para guiar al

usuario durante la elección y recolección

de datos necesarios para la operación del

programa/ejecución de la metodología de

diseño y hacer de esta tarea más fácil.

Como el procedimiento es aplicable

tanto para fundaciones de forma

rectangular como circular, la interfaz, en

la ventana siguiente al inicio, da a elegir

la forma que se desea para la fundación a

diseñar como se indica en la Figura 12.

Una vez hecha la elección de la forma,

se deben introducir las dimensiones con

las cuales se cree que la fundación

resistirá las cargas a las que será sometida

(pre-dimensionado). Cada casilla

corresponde a alguna dimensión diferente

de la fundación. Puede observarse que al

lado de cada casilla hay botones, que al

hacer click sobre ellos se despliegan

cuadros con las recomendaciones acerca

de las magnitudes de las dimensiones. La

misma interfaz no permite el avance del

proceso hasta que todos los campos hayan

sido rellenados.

La siguiente información requerida por

la interfaz es lo concerniente a las

propiedades del suelo de fundación, que

similar al formulario anterior (figura 13,

14, 15) posee botones al lado de cada

casilla en la que se despliegan tablas con

los valores típicos de dicha propiedad

(Figura 16, 17) Por último, se pide los datos relevantes

acerca de la máquina, tanto de sus

propiedades como su dinámica. En todo

caso el peso, velocidad de operación y

coordenadas del centro de masa de la

maquina son datos indispensables,

independientemente del modelo que sea

(Figura 4.18). El programa le brinda al usuario la

facilidad opción de calcular

automáticamente las fuerzas generadas

por el equipo. Pero en primera instancia

se muestran las casillas para la

introducción manual de las fuerzas

generadas, esto en caso de que se cuente

con un estudio dinámico previo de la

maquina o que el usuario no se

identifique con ninguna de las opciones

para el cálculo de las fuerzas que

proporciona el programa. Para dicho

cálculo es necesario proveer al programa

de información como: el funcionamiento

de la maquinaria, si es rotativo o

reciprocante (Figura 19).

En el primer caso se pedirá a

continuación la masa de desbalanceo y su

excentricidad respecto al eje de rotación y

en el segundo caso se requiere la

introducción las masas de los

componentes de los cilindros y el número

del cilindraje además de las distancias

que hay entre cilindros (Figura 20)

Al darle al botón “Siguiente” se

desplegara un mensaje preguntado si está

seguro de realizar el análisis con toda la

información introducida (Figura 21), y al

confirmar esta acción la interfaz de

usuario desaparecerá para dejar ver la

interfaz de Excel con los resultados del

análisis que involucran todos los pasos,

coeficientes y parámetros expuestos al

inicio de este documento.

Si alguno de los parámetros de

verificación estuviera fuera de los límites

establecidos para el buen funcionamiento

de la fundación, La hoja de Excel indica

al usuario la deficiencia del diseño y se

tendría que devolverse a la pestaña

“Datos de Entrada”. Al inicio de esta

pestaña se instalaron dos botones. Si se le

da click al que lleva la insignia de

“Recalcular”, se abrirá otra vez la interfaz

de usuario con los valores del diseño

actual intactos. Esto para brindarle la

facilidad al usuario de poder modificar

alguno de los valores y volver a hacer el

cálculo hasta conseguir el diseño que

satisfaga todos los parámetros, sin tener

que volver a introducir todos y cada uno

de los datos.

Al darle click al botón con la insignia

de “Nuevo Diseño” se abrirá nuevamente

la interfaz de usuario con la diferencia

que todos los campos estarán vacíos y

listos para ser rellenados con los datos de

un nuevo y diferente diseño de fundación.

Figura 11: Portada de inicio de la hoja de cálculo. Fuente: Los autores

Figura 12: Elección de la forma que se desea para la fundación. Fuente: Los autores

Figura 13 Interfaz para la introducción de las dimensiones en una fundación

Rectangular. Fuente: Los autores.

Figura 14 Interfaz para la introducción de las dimensiones en una fundación Circular.


Figura 15 Cuadros desplegables con recomendaciones acerca de las dimensiones

de la fundación. Fuente: Los autores.

Figura 16 Interfaz para la introducción de los datos del suelo de fundación. Fuente:

Los autores.

Figura 17 Cuadro emergente con los valores típicos del módulo de corte para diferentes

tipos de suelos. Fuente: Los autores

Figura 18 Interfaz para la introducción de los datos del equipo vibratorio.


Figura 19 Opciones para el funcionamiento de la máquina. Fuente: Los autores.

Figura 20 Interfaz para la Introducción de datos para mecanismo rotativo.

Fuente: Los autores

Figura 21 Cuadro de confirmación para realizar el análisis con los todos los

datos introducidos. Fuente: Los: autores

Abreviaturas y símbolos μ= Relacion de poisson

G= Modulo de corte

F= Fuerza

Fx=fuerza en “x”

Fz=fuerza en “z”

e= excentricidad

eo= excentricidad estática

Lo= distancia del borde de la maquina al

borde del pedestal

xo= coordenada del centro de gravedad

del sistema fundación maquina en el eje

“x”

yo= coordenada del centro de gravedad


“x”

zo= coordenada del centro de gravedad


“x”

ρ= densidad

j= Dirección en la cual se desea calcular

la inercia, pudiendo ser X, Y o Z.

i= El número del elemento de la

fundación que forma parte del sistema.

ICG i j = Inercia del centro de gravedad de

cada elemento i, en la dirección j.

mi = Masa del elemento i.

rj i = Es la distancia perpendicular

respecto a j que hay entre el del elemento

i y el centro de masa del sistema.

Im j = Inercia de la máquina en la

dirección j.


Ro= radio equivalente

Nz= Factor de embutimiento vertical

Nh= Factor de embutimiento horizontal

Nϕ= Factor de embutimiento rotación

horizontal

Kz= constante de resorte vertical

Kh= constante de resorte horizontal

Kϕ= constante de resorte rotación

horizontal

Kφ= constante de resorte rotación vertical

Bz= relación de masa vertical

Bh= relación de masa horizontal

Bϕ=relación de masa rotación horizontal

αz= amortiguamiento por embutimiento

vertical

αh= amortiguamiento por embutimiento

horizontal

αϕ= amortiguamiento por embutimiento

rotación horizontal

Do= amortiguamiento geométrico

D= amortiguamiento total

Fr= frecuencia de resonancia

Mz= factor de amplificación dinámica

vertical

Mh=factor de amplificación dinámica

horizontal

Mφ=factor de amplificación dinámica

rotación horizontal

Mϕ=factor de amplificación dinámica

rotación vertical

Ft= factor de transmisibilidad

A= amplitud

ω= frecuencia de operación de la

maquina

μs= relación adimensional

q= cuantía de acero

qb= cuantía de acero balanceada

qmax= cuantía de acero máxima

As= área de acero

Asmin=área de acero mínimo

ωs= cuantía mecánica

Nomenclatura 1:

RLongitud de la manivela

LLongitud de la biela.

M1=Masa de la manivela

M2=Masa del pistón y la barra conectora

M3=Masa de la biela

R1=Longitud entre el centro de gravedad

de la manivela y el eje de rotación 0.

L1=Longitud entre el centro de gravedad

de la biela y la manivela

L2=Longitud entre el centro de gravedad

de la biela y la barra conectora

Documents

MANUAL PARA EL DISEÑO DE FUNDACIONES SOMETIDAS