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1 ISTITUTO COMPRENSIVO DI CASALGUIDI SCUOLA MEDIA “ E. FERMI” A.S. 2008-2009 CLASSI IAM e ID Insegnante Fossi Daniela ISTITUTO COMPRENSIVO DI CASALGUIDI SCUOLA MEDIA “E. FERMI” A.S. 2008-2009

Il-Problemando.pdf - ISTITUTO COMPRENSIVO G. GARIBALDI

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ISTITUTO COMPRENSIVO DI CASALGUIDI SCUOLA MEDIA “ E. FERMI”

A.S. 2008-2009

CLASSI IAM e ID

Insegnante Fossi Daniela ISTITUTO COMPRENSIVO DI CASALGUIDI

SCUOLA MEDIA “E. FERMI”

A.S. 2008-2009

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IL PROBLEMANDO

CLASSE IAM , ID, IIIA Insegnante Fossi Daniela

Nell’anno scolastico 2008-2009, nell’affrontare il grande argomento della risoluzione dei problemi, in due classi prime della scuola secondaria di primo grado è stato introdotto il gioco matematico “Il Problemando “ variante indegna dell’ormai noto gioco matematico “Il Numerando”.

Se percorrere la strada dell’attività laboratoriale con i numeri e la geometria si era presentato lavoro arduo, farlo con i problemi sarebbe diventato una sfida per tutti: così era lo spirito iniziale con cui è stata avviata la ricerca-azione di questo anno. L’attività condotta, anche se si presta bene a sviluppare il pensiero creativo e l’immaginazione degli alunni, stimola il pensiero critico e la concretezza nel matematizzare il mondo che li circonda, anche attraverso il “fantastico”; si è dimostrato inoltre un utile strumento per saggiare ulteriormente la padronanza linguistica nel comporre e scomporre problemi. L’esperienza, avviata in due classi prime in due plessi diversi, con la stessa insegnante di Matematica che quindi faceva da tramite fra le due classi per mantenerne il contatto, è stata condotta nell’arco del secondo quadrimestre, anche se alcuni tentativi sono stati fatti sin da novembre. Visto il successo riscosso dal Numerando anche questo anno, sia come impatto con la didattica che con gli alunni, ho pensato di utilizzarlo per la realizzazione del Problemando e farlo diventare parte integrante del piano di lavoro della Matematica. Il Problemando, o perlomeno questa prima fase, ha apportato un sicuro aiuto nella ricerca di un metodo generale di lavoro in classe, basato sulla operatività, sulla procedura per problemi e sull’impegno in prima persona degli allievi. L’attesa, da parte degli alunni, di un gioco da eseguire in classe al pari del Numerando e, da parte mia, la voglia di vivacizzare ed arricchire di significato le normali attività del curricolo di aritmetica apportando in più il divertimento e la gratificazione del gioco, sono stati decisivi per la scelta e l’evoluzione dell’esperienza.

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Non sapevo come avrei potuto percorrere questo sentiero accidentato di difficoltà: un’idea però era chiara: cercare di rendere comprensibile un problema e la sua risoluzione alla maggior parte degli alunni. All’inizio abbiamo affrontato i problemi “dall’esterno” cioè cercando di risolvere i problemi classici proposti nei testi , poi “dall’interno ”, entrare nel problema come protagonisti inventandone testo e contesto di sana pianta. La partecipazione attiva degli alunni e il loro entusiasmo sono stati determinanti . Al momento il nostro Problemando è a buon livello: l’insostituibile sfida finale, già in atto, è ancora in fase di rodaggio e necessita di una messa a punto. Quello che sicuramente non è mancato è stata la discussione in classe che ha chiarito le idee non solo agli alunni ma anche all’insegnante, soprattutto per quel che riguarda la differenza fra fare esercizi e avere a che fare con il problem-solving. Per adesso abbiamo affrontato i problemi aritmetici, piano piano estenderemo le nostre attenzioni anche a problemi geometrici e anche di logica e statistica: sarà una buona partenza per continuare, all’inizio dell’anno prossimo, lo studio dei rapporti e proporzioni Riguardo alla risoluzione dei problemi, molti sono i riferimenti che si trovano nell’ambito della scuola primaria: di fronte a tali vere e proprie metodologie innovative si rende più evidente il contrasto tra le formazioni didattiche dei docenti dei due ordini di scuola. La difficoltà iniziale è stata dunque un chiarimento personale nell’orientamento sulle varie metodologie: per questo il gruppo di Ricerca-azione è stato di fondamentale importanza. Obiettivi dell’esperienza:

• produrre testi scritti coerenti e significativi • favorire l’acquisizione della matematica in modo consapevole e significativo • rendere l’alunno protagonista del proprio percorso formativo • coinvolgere attivamente tutti gli alunni, anche quelli che non"amano" la matematica perché possano rafforzare la propria autostima • mettersi in gioco nell’esporre, raccontare e presentare il proprio “prodotto” ai compagni • sviluppare la creatività nella problematizzazione della realtà e nella ricerca di soluzioni • contribuire alla formazione del pensiero critico offrendo i mezzi per valutare situazioni fare ipotesi e trovare soluzioni. • stimolare la creatività e lo sviluppo del pensiero divergente, guidando ad atteggiamenti di flessibilità nell’operare • aiutare gli allievi svantaggiati in un lavoro di recupero

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Descrizione dell’esperienza

Prima fase

Da quando mi trovo nell’ambito scolastico ed in particolare della scuola media, ho sempre rilevato l’esigenza di investigare un metodo per l’insegnamento dei problemi. Sebbene sia vero che molti ragazzi abbiano difficoltà nell’affrontare questo tipo di argomento, è anche vero che parte di tali difficoltà vengono superate simulando, per esempio, contesti reali, vicini cioè alla vita quotidiana. Dopo un periodo iniziale trascorso a risolvere gli esercizi- problemi del libro di testo ho chiesto loro di inventare problemi. Il primo impatto con la richiesta è stato di diffidenza: c’è stato grande imbarazzo di fronte a questo tipo di richiesta, guardare i problemi “dall’interno ”e inventarli, qualcuno aveva avuto occasione di farne alla Scuola Primaria non si aspettavano di poter ripetere l’esperienza alla Scuola Media. Gli alunni hanno prodotto problemi molto semplici nella loro formulazione e tentato di complicare via via.

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Seconda fase

Gianmarco: perché non facciamo i problemi col Numerando? Come sempre dopo aver giocato al Numerando diventa difficile immaginare qualcosa di ugualmente attraente : ciò non è assolutamente limitante per la didattica anzi la disponibilità degli alunni a fare Matematica in un modo diverso dal solito è lusinghiero. Forse l’ignoto, la novità può spaventare l’insegnante che non ha mai provato a lavorare così ma sicuramente è proprio questo che diventa allettante per il docente: provare ogni volta una metodologia didattica diversa; studiare le reazioni degli alunni e stupirli ogni volta diventa una sfida! Ancora una volta Il Numerando viene in nostro soccorso, infatti abbiamo utilizzato proprio la magia di quel gioco per fare esperienze con i problemi: ma perché non ci è venuto in mente prima ? All’inizio il gioco, a coppie, non prevedeva il raggiungimento del bersaglio ma semplicemente le cifre estratte costituivano il contesto e con altre 3 cifre e due operazioni estratte servivano per costruire il problema e risolverlo. Anche così bastava per rendere piacevole fare problemi!

0 fattoria ID

1 giardino 2 biblioteca 3 scuola 4 banca 5 supermercato 6 casa

7 lunapark 8 gelateria 9 treno

0 supermercato IAM 1 treno 2 nave 3 bar 4 scuola 5 banca 6 edicola

7 ristorante 8 pullman 9 città

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Matteo e Federico Il babbo di Filippo ha con sé � 400 . Uscito di casa prende il pullman che costa � 9 andata e ritorno. Arrivato al supermercato va a pagare il bollettino della mensa scolastica che costa � 99,99. Tornato a casa prende l’auto per andare a prendere suo figlio a scuola ed essendo in ritardo cerca di aumentare la velocità ma prende una multa di � 94. Quanto spende in tutto? Quanto gli rimane? Dati utili Biglietto pullman = � 9 Bollettino scuola = � 99,99 Multa = � 94 Spesa totale = ? Rimanente = ? 99,99 + 94 + 9 = 202,99 � spesa totale 400 – 202,99 = 197,01 � rimanenti

Tommaso e Lucrezia Luca va in banca e fa un prelievo di 95 �. Dopo va in edicola e compra 5 biglietti per il pullman da 3 � ciascuno per i suoi 5 amici, 3 giornali il cui totale è 9 � e una ricarica telefonica da 35 �. Quanto spenderà in tutto? Quanto gli rimane? Quanto costa un giornalino? 3x5 = 15 � costo dei biglietti 9-3-3=3 � costo di un giornale 95-15= 80 � 80-9 = 71 �

71-35 = 36 � resto 35+15+9 = 59� quanto ha speso

804 pullman, supermercato, scuola Cifre: 0, 4, 9

operazione + e -

856 pullman, banca, edicola Cifre: 3, 9, 5

operazione x e -

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Terza fase

La tentazione di raggiungere il bersaglio è troppo forte ed infatti si passa ad una modalità diversa di fare problemi che prevede la risoluzione del Numerando e sulla sequenza delle operazioni imbastire il problema. Ben presto si rendono conto che raggiungere il bersaglio è un gioco da nulla in confronto a formulare problemi sensati e soprattutto risolvibili. Preparazione del Problemando Si prepara una serie di cartellini contenenti le cifre da 0 a 9 corrispondenti ciascuno ad una cosa o un luogo della vita quotidiana e quattro contenenti i segni delle 4 operazioni. Viene formato un bersaglio di 3 cifre, estraendo per tre volte un cartellino-

cifra e rimettendo ogni volta nel mazzo il cartellino estratto, per cui il numero ottenuto può essere costituito da cifre uguali; poi si estraggono, ancora casualmente, ma questa volta senza rimettere il cartellino nel mazzo, tre cifre e due operazioni, il tutto usato a piacere per raggiungere il numero bersaglio ma anche tre cose per creare il contesto di un problema. Lo scopo del gioco è quello di arrivare, nel tempo stabilito di 20 minuti, più vicino possibile al numero bersaglio con le cifre estratte e su quella sequenza di operazioni inventare un problema. Allo scadere del tempo un alunno di ogni gruppo (in genere quello meno pronto nel calcolo e nel risolvere problemi) consegna il problema fatto.

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Alcuni esempi

Massimiliano e Giulio Una preside va in biblioteca a comprare 24 libri che complessivamente costano 493 �. Dopo essere andata a prendere i libri, va al supermercato a fare la spesa e compra 2 bistecche che costano 4 � l’una, l’affettato a 3 � e compra un giocattolo che costa 4 �. Poi va in giardino a giocare. Quanto paga la preside in tutto? Dati 24 libri 493 � = costo dei libri 2 bistecche 4 � = costo bistecche l’una 3 �= costo affettato 4 � = costo giocattolo 493+4+4+4+4+3= 512 Risposta: La preside nell’arco della giornata paga 512 �.

Gianluca e Debora Luca a casa trova 780 biglie: Poi chiama gli amici per giocarci: con gli amici gioca in giardino a biglie. La prima volta ne perde 88, la seconda 80. Quante biglie gli sono rimaste in tutto? Dati utili 780 biglie 88 e 80 ne perde 780-88= 692 692-80= 612

Numero bersaglio :512 supermercato, biblioteca, giardino

Cifre: 4, 3, 9

operazione + e x

Numero bersaglio : 611 casa, giardino Cifre: 8, 7, 0

operazione - e :

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Quarta fase

Nel tentativo di rendere unica la lista di personaggi, da abbinare alle cifre, stabilita separatamente dalle due classi, è saltato fuori “il paese dei balocchi”. Ma allora perché non fare un Numerando a tema? “Pinocchio” era venuto fuori proprio per miracolo: è sempre stato amico dei ragazzi! Così abbiamo fatto i seguenti abbinamenti: Il numero bersaglio oppure i numeri estratti per raggiungerlo avrebbero dato poi l’indicazione dei personaggi da utilizzare. E VOILÀ! Variante del gioco Dopo che gli alunni hanno compilato il problema, i problemi di ogni gruppo vengono fotocopiati e consegnati agli altri gruppi per farli risolvere a tutti gli altri.

• 5 video poker

• 6 gelateria

• 7 fata turchina

• 8 luna park

• 9 carrozza

• 0 Paese dei balocchi

• 1 Pinocchio

• 2 Lucignolo

• 3 dolciumi

• 4 slot machine

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Problema blu

La fata turchina in un casinò gioca alla slot machine e la prima volta vince � 361. Il giorno dopo torna e vince � 96 e poi altri � 13. Il giorno dopo rivince � 3 e poi � 6. Dopo va in gelateria e spende � 3 per un gelato. Quanti soldi ha ora la fata in tutto?

Problema arancione

La fata turchina vince alla slot machine � 631 e la volta dopo � 361. Compra 6 gelati e spende in tutto � 18. Compra una slot machine per casa e spende � 361. Mentre gioca perde � 313. La volta dopo guadagna � 166 e la volta dopo ancora guadagna � 10. Quanto guadagna la prima volta alla slot machine? Quanto le rimane dopo che ha comprato i gelati? Quanto le rimane dopo che ha comprato la slot machine?

Quanti soldi ha adesso in tutto la fata turchina ?

Problema rosso

La fata turchina gioca alla slot machine e vince � 361 e � 136. Perde � 31 ma successivamente rivince � 13. Dopo, delusa, va a comprare alla gelateria un megagelato che costa � 3. Quanto vince alla slot machine? Quante monete le restano?

361+96=457 457+13=470 470+3=473 473+6=479 479-3=476

631+361=992 992-18=974 974-361=613 613-313=300 300+166=466 466+10=476

ROSSI 361+136=497 497-31=466 466+13=479 479-3=476

Numero bersaglio: 476 Cifre: 1, 3, 6

operazione + e - slot machine, fata turchina, gelateria

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Problema giallo

La fata turchina ha � 3631 e spende � 136 alla slot machine; mentre gioca le vengono rubati � 31 ma, per fortuna vince � 13. Quando è sulla strada del ritorno spende � 1 in una gelateria per comprarsi un gelato.

Quanti soldi le rimangono?

Problema verde

La fata turchina gioca due volte alla slot machine: al primo giro vince � 336, al secondo ne vince � 136. Il giorno dopo

gioca altre due volte e vince la prima volta � 3 e la seconda � 1. Quanto ha vinto in tutto la prima volta ? E la seconda? Quanto vince in tutto? Sono caduti nella trappola come i naselli di Pinocchio: fanno i problemi contenti!! Ilaria: raggiungere il bersaglio è facile, è difficile costruire il problema: forse si sono ostruiti i pori della fantasia! Lorenzo: abbiamo fatto Lucignolo ricco! Federico: troppo bello inventare problemi!!

631-136=495 495-31=464 464+13=477 477-1=476

336+136=472 472+3+1=476

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Alcuni strani problemi

La difficoltà nella risoluzione dei problemi può talvolta non essere imputabile ad una mancanza di logica ma essere caratteristica di ragazzi con una forte dose di fantasia, che non riescono a concretizzare le loro idee, che pensano che la difficoltà di un problema sia superiore alle loro possibilità e quindi vanno oltre e si arrendono. Durante il nostro viaggio “all’interno del problema”, ne abbiamo incontrati alcuni senza richieste e con la risoluzione ben chiara: la traccia del Numerando era ben fatta ma non certo quella del problema per il quale si rende necessario una buona dose di logica. “Giocando con i problemi tutto è permesso se è vero che si possono fare come vogliamo”: così devono aver pensato due alunne scrivendo il problema: Davanti a tale problema formulato da due ragazze con maggiori difficoltà a Matematica, gli alunni sono rimasti meravigliati prima di tutto perché nel problema non si parlava di euro e lecca-lecca ma aveva connotazioni geometriche anche se le misure usate non erano proprio realistiche e le domande non erano presenti ma deducibili dalle intenzioni dalla risoluzione data.

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La discussione non è certo mancata: gli alunni hanno rilevato l’incoerenza tra il testo e lo svolgimento del problema e si sono sbizzarriti a formulare le domande più svariate, scriverle alla lavagna e cancellare quelle non pertinenti, fino alla decisione che si rende necessario modificare il testo perché è necessario puntualizzare il contesto! Questo problema è stato veramente tosto da correggere e anche le autrici ne hanno convenuto. Non sono mancati errori da parte di alunni capaci, forse per eccesso di zelo volevano creare, per così dire, un problema più complicato di altri e sono caduti anch’essi nell’errore di risoluzione: far notare la pecca ha ridimensionato la “sapientina” e inorgoglito i più deboli.

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Altri ancora, incuranti dei cambiamenti apportati via via al gioco e quindi delle nuove decisioni prese, hanno risolto e formulato il problema in modo non coerente con le variazioni.

I dati sono stati l’aspetto molto gettonato ma anche quello più controllato e tenuto sott’occhio: i dati utili sono sempre stati riconosciuti e quelli superflui distinti dagli altri. I ragazzi si sono resi conto che se aggiungi o togli un dato il problema si deforma cambia connotati. Il Gruppo dei Blu è in crisi. Matteo: è un problema impossibile. E inizia la discussione! Federico: abbiamo scritto il problema senza control lare i dati! Gianni: hanno usato i numeri del bersaglio che non si possono usare! Gioi: si può risolvere anche se supera il bersaglio Lorenzo: potremmo cambiare i dati! Gianmarco: poteva dire di prendere una strada più Lunga di 3 metri perché la scorciatoia è bloccata!

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Ogni problema è stato rivisto a più riprese e la correzione è stata puntuale e minuziosa, grammatica a parte, anche durante la trascrizione gli errori sono stati scoperti a iosa, di qualsiasi tipo, formali e non, e gli alunni sono stati i revisori assoluti, fino a stravolgere completamente il testo di un problema, se necessario, cercando di rispettare le volontà dell’autore! Davanti a così tanti problemi, le difficoltà nel districarsi nelle correzioni sono state parecchie e gli alunni non hanno esitato ad aiutare l’insegnante nel compito ingrato: le stesse autrici e gli stessi autori partecipavano alla discussione senza mostrare alcun orgoglio ferito anzi da quel giorno il loro rapporto con i problemi si è fatto più aperto e lineare e migliorato il loro rapporto con la matematica e in generale anche il loro profitto. Lavorare poi a gruppi è stato determinante: la qualità dei testi è migliorata e anche i “pensieri più divergenti”si sono resi conto della concretezza, la discussione per la costruzione del problema ha sicuramente giovato alla loro metacognizione. Congetturare, verificare, confrontare e comunicare i propri ragionamenti in forma orale e scritta, ricostruire il procedimento seguito, riconoscere i propri punti di forza e di debolezza, scegliere il percorso più “economico” in termini di risorse e di tempo è stato il nostro modo di affrontare i problemi quest’anno. Si sono accorti che è meno faticoso risolvere i problemi proposti da altri piuttosto che inventarne di nuovi; inoltre quello che è chiaro per alcuni perché lo hanno inventato e risolto diventa invece dubbio per chi deve mettersi a risolverlo e quindi hanno dovuto mettersi nei panni del lettore. La classica gara del Numerando non c’è stata anche se inizialmente prospettata: la gara è stata quella di inventare ogni volta un problema: il problema dei problemi! Non è mai stata sentita la necessità di gareggiare, non c’erano avversari da combattere ma la sfida risiedeva ogni volta nell’inventare o correggere un problema diverso! Uno degli aspetti collaterali al gioco è stato proprio l’organizzazione, prima all’interno della coppia e dopo nel gruppo: l’affiorare di alcune tendenze comportamentali degli alunni, come la passività, se non vengono adeguatamente governati dall’insegnante, possono andare a costituire punti di crisi. Per esempio è stato necessario spostare un alunno da un gruppo ad un altro perché lavorasse e sedare così le lamentele da parte dei vecchi compagni: quelli nuovi erano in grado di farlo lavorare senza discutere! All’interno del gruppo, spontaneamente e in breve tempo, si sono presto creati i ruoli: il lettore, quello che scrive il testo, quello che fa i calcoli, quello che sperimenta più metodologie di risoluzione, quello che riguarda le

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bozze e verifica il risultato, scambiandosi i ruoli quando veniva loro in mente un’idea originale. La condivisione dei tempi e dei metodi diventa il punto di forza del lavoro di gruppo: l’alunno impara a vivere nel gruppo, ad adeguarsi alle esigenze dell’altro, rispettare i suoi tempi, cambiare rapidamente punto di vista e a rivedere la propria “centralità”, a considerare e rispettare l’altro.

Visto che siamo coinquilini con la scuola elementare nel plesso di Masotti, siamo andati in VA dove abbiamo proposto il Numerando e il Problemando come gioco per legare le due classi ponte tramite un’esperienza sia ludica che educativa. La proposta è stata accolta con entusiasmo da parte dei ragazzi che si sono sentiti gratificati delle tante fatiche: ora dovevano trasmettere queste loro conoscenze ai ragazzi che il prossimo anno sarebbero “aumentati di grado”. Così la quinta elementare, supportata dagli alunni della prima media si sono cimentati in questa esperienza nuova per entrambi le classi. Dopo pochi attimi si erano subito “imbrancati” e messi d’impegno a imparare un nuovo metodo di fare matematica giocando.