paper ID: A039 /p.1

Ed. J.P. Arenas

Estudio del Comportamiento No-lineal en Andesita: Primeros Resultados

L. Gaetea, R. Fuentesa, Y. Vargasa, J. Gallegob, F. Montoyab, J. Pereirac,

O. Quezadac & R. Molinac

a Laboratorio de Ultrasonidos, Universidad de Santiago de Chile, Casilla 307, Santiago, Chile,

lgaete@lauca.usach.cl b Consejo Superior de Investigaciones Científicas, Serrano 144, 28006 Madrid, España

c CODELCO-Chile, División El Teniente, Millán 1020, Rancagua, Chile

RESUMEN: En este trabajo se presenta una caracterización de la Andesita como un material no-lineal ante la propagación de ondas ultrasónicas. Partiendo de la teoría acústica no-lineal se ha diseñado un experimento para establecer los principales aspectos de las no-linealidades del material en estudio. El material presenta una acusada no-linealidad geométrica que se manifiesta en una baja en la frecuencia de resonancia, cuando la amplitud de vibración de la muestra de Andesita aumenta. El exponente de no-linealidad vale 107, similar a otros exponentes encontrados en rocas de diferente naturaleza. KEYWORDS: Acustica no lineal, Rocas, Ultrasonidos

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1. INTRODUCCION La caracterización del macizo rocoso es un parámetro de vital importancia en las tareas mineras. Una buena caracterización podría permitir el diseño de sistemas para mejorar las condiciones de seguridad en las instalaciones y facilitar las tareas de fragmentación que es la primera etapa en el complejo proceso de extracción en minería. En este trabajo se presenta una investigación experimental para caracterizar la Andesita, roca que forma parte de los principales yacimientos mineros en Chile. A pesar de sus interesantes características, esta roca ha sido muy poco estudiada y muchos de sus comportamientos aún no han sido establecidos. Las rocas han sido identificadas como un material anisótropo, fuertemente no-lineal y no-homogéneo, estas características dificultan la experimentación y la interpretación de los datos. Los fenómenos de resonancia presentan una buena oportunidad de estudiar las no-linealidades de un material. En este trabajo se presenta un estudio de resonancias en probetas construidas especialmente para estos efectos. Una completa caracterización litológica hace que los resultados sean extensibles a otros sitios de similares características.

2. TEORIA El comportamiento elástico de un sólido es caracterizado por la ecuación constitutiva que describe las relaciones entre el tensor de esfuerzo σij, el tensor de rigidez, Cijkl y el tensor de deformación, εij:

klijklij C εσ = (1) Como es bien sabido, el tensor de deformación está definido por:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂

∂

∂+

∂∂

+∂∂

=l

p

k

p

k

l

l

kkl x

uxu

xu

xu

21ε , (2)

donde u representa el desplazamiento de un punto de un sólido y xl las coordenadas espaciales. El tercer término del tensor de deformación es no-lineal, característica que se refleja en la relación entre el tensor de deformación y el de esfuerzo. Así, el problema de la elasticidad puede ser dividido en dos familias, la primera de ellas aparece si se desprecia los

términos de segundo orden ( p p

k l

u ux x∂ ∂

∂ ∂) dando origen a la elasticidad lineal. La teoría así

originada tiene validez para deformaciones pequeñas, en esta situación el tensor de rigidez es independiente del nivel de deformación y la velocidad de propagación del sonido es constante. Para el caso unidimensional, esto se expresa como:

εσ M= Sólido lineal. (3)

Si se trabaja con deformaciones finitas, también para el caso unidimensional la expresión que se obtiene para la relación tensión-deformación sería:

( )εεσ M= Sólido no lineal, (4)

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donde M representa el módulo de elasticidad, sin pérdida de generalidad. Esta no linealidad es intrínseca del material y se llama geométrica, no depende de si el nivel de deformación es infinitesimal o finito, sin embargo sus efectos son notorios sólo cuando las amplitudes de deformaciones son altas. Las deformaciones pueden ser estáticas, como las que se producen en ensayos clásicos de compresión o dinámicas, producto de ondas elásticas propagándose en el material.

La ecuación (4) se puede desarrollar en serie en torno a un estado (σ0, ε0) donde el módulo de elasticidad es M0.

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ...,'',' 3000

2000000 +−+−+−=− εεεσεεεσεεσεσ MMM (5)

Los módulos M0, M’ y M’’ están definidos en el estado (σ0, ε0) y se designan como

módulos elásticos de segundo, tercer y cuarto orden, respectivamente. La ecuación (5) también se puede escribir como:

( )( )00 εεεσσ −=− M , (6)

donde

( ) ( ) ( ) ...''' 2000 +−+−+= εεεεε MMMM (7)

M0 corresponde a la aproximación lineal y está determinado por dos constantes. En el caso de un sólido elástico, isótropo y homogéneo, estas constantes pueden ser las constantes de Lamé λ y µ, en que µ representa el módulo de rigidez al corte, o bien el módulo de Young E y la razón de Poisson ν.

M’ es el módulo elástico de tercer orden y está determinado por tres constantes. Estas pueden ser las constantes de Landau A, B y C, o bien las constantes de Murnaghan l, m, n, entre otras también definidas [1].

Por su parte, M’’ es el módulo elástico de cuarto orden y está determinado por cuatro constantes. Por ejemplo, la energía de deformación elástica dentro de la teoría de cinco constantes se escribe de la siguiente manera:

3222

3332 kkkkijjkikijkkijCBAKV εεεεεεεµµε +++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+= , (8)

donde K es el módulo volumétrico de rigidez a la compresión hidrostática, y A, B, C son las constantes de Lamé que determinan al módulo elástico de tercer orden M’.

La ecuación de movimiento que describe el paso de una onda por un elemento infinitesimal de un sólido infinito es:

2

2

tub

xi

ij

ij

∂∂

=+∂

∂ρρ

σ, (9)

donde σij es el tensor de esfuerzo, xj es la coordenada espacial, ρ es la densidad del sólido, bi representa las fuerzas de cuerpo, ui es el desplazamiento y t es el tiempo.

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Reemplazando la ecuación (4) en la ecuación (9), y despreciando las fuerzas volumétricas, se obtiene la siguiente ecuación de onda en una dimensión:

( )2

2

2

2

xuM

tu

∂∂

=∂∂

ρε . (10)

Debe ser notado que la velocidad de propagación en esta ecuación de onda, (M(ε)/ρ)(1/2), depende de la deformación (ε).

Considerando la ecuación (7), la ecuación (10) se puede reescribir como:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

+∂∂

∂∂

=∂∂ 32

02

2

xu

xu

xu

xM

tu δβ

ρ, (11)

donde 0

'MM

=β y 0

''MM

=δ son coeficientes que acompañan a los términos no lineales.

La ecuación (11) representa la ecuación de onda no lineal para un sólido hasta el segundo término en la no linealidad.

Además, la razón entre M0 y ρ representa el cuadrado de la velocidad de propagación CE, en una dimensión para un sólido lineal. Por lo tanto, la ecuación (11) también se puede escribir como:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂

=∂∂

xuC

xtu 22

2

, (12)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

+=2

22 1xu

xuCC E δβ , (13)

ρ02 MCE = . (14)

En este caso, M0 corresponde al módulo de Young E del sólido. Por lo tanto, como se dijo, la velocidad de propagación C depende del nivel de

deformación. Sin embargo, si se toma el promedio sobre un periodo de oscilación, la deformación es nula y la ecuación (13) queda como:

22

2

22

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

≈≈−

xu

CCC

E

E δδε . (15)

La velocidad de propagación se puede determinar haciendo resonar al sólido en algún

modo propio. En el caso de una barra, la velocidad longitudinal de propagación se determina a partir de la expresión:

nLfC 2

= , (16)

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donde L es la longitud de la barra, f es la frecuencia de resonancia, y n es el orden del modo de resonancia. Luego:

22

2

22

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

≈≈−

xu

fff

E

E δδε . (17)

Por lo tanto, un material no lineal tendrá diferentes frecuencias de resonancia para un

mismo modo dependiendo del nivel de deformación. El sentido de este cambio en la frecuencia de resonancia depende de si la rigidez del sólido disminuye o aumenta con la deformación. Este comportamiento también se manifiesta en los llamados resortes “blandos” o “duros” que describe la ecuación de Duffing [2]. Entonces, se puede escribir de manera más general la ecuación (17):

22

2

22

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

≈≈−

xu

fff

E

E δδε . (18)

El desplazamiento de las partículas u(x,t) se puede escribir como:

( ) ( )tkxAtxu ω−= cos, (21)

y la deformación entonces es:

( tkxAkxu ωε −−=∂

)∂= sin , (22)

donde A es la amplitud, k es el número de onda y ω es la frecuencia angular.

La deformación se puede determinar a partir de mediciones de velocidad o aceleración de las partículas. Esto es:

( ) ( )tkxAtxu ωω −= sin,& (23)

y ( ) ( )tkxAtxu ωω −−= cos, 2&& . (24)

En el caso de una barra libre bajo resonancia, se deben considerar las siguientes

condiciones de borde:

00

=∂∂

=∂∂

== Lxx xu

xu . (25)

La Figura 1 muestra la esquemáticamente la distribución de amplitud de

desplazamiento (azul) y deformación (negro) para una barra de longitud L resonando en su primer modo extensional (n=1) o longitudinal. Se puede apreciar que la deformación es nula en los puntos donde los desplazamientos son máximos.

Tomando los valores máximos de deformación de la ecuación (22), se tiene:

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λπε AAk

m

2== , (26)

donde λ es la longitud de onda. La amplitud A se puede obtener de los valores máximos de velocidad o aceleración, ecuaciones (23) y (24), respectivamente:

fu

A m

π2&

= . (27)

Reemplazando en (26):

Cu

fu

mmm

&&==

λε . (28)

La ecuación (28) establece que la deformación se puede obtener también como la

razón entre la velocidad de vibración de las partículas y la velocidad de fase de la onda en el sólido. Considerando la ecuación (18), se obtiene la deformación máxima en función de la velocidad máxima de las partículas para el n-ésimo modo de resonancia longitudinal de una barra de longitud L:

Lfu

n mm 2

&=ε . (29)

Análogamente, la deformación se puede escribir en función de la aceleración máxima:

Lfu

n mm 24π

ε&&

= . (30)

0 L

Figura 1: Esquema que representa las distribuciones de amplitud del desplazamiento y la

deformación en el primer modo de resonancia longitudinal de una barra. Las líneas segmentadas representan el otro semiperiodo de oscilación.

3. MATERIAL Y METODO Los experimentos de resonancia se realizaron sobre barras de roca andesita (gabro) de 251.25x10-3m de longitud y 47.45x10-3m de diámetro, con una densidad igual a 2700 kg/m3, proveniente del yacimiento El Teniente, CODELCO-Chile.

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La Figura 2 muestra un esquema del sistema experimental empleado en esta investigación. Las señales eléctricas son producidas por un generador de funciones capaz de hacer barridos en frecuencia. Por simplicidad se ha elegido hacer barridos en torno a las frecuencias de resonancia de cada modo. Las señales producidas por el generador son amplificadas por un amplificador de banda ancha de 400 W de potencia efectiva. Las señales eléctricas son convertidas en vibraciones mecánicas por una cerámica piezoeléctrica de 38x10-3m de diámetro y 4x10-3m de espesor que se ha adherido a un extremo de las piezas de roca mediante una resina epóxica. Debido, a que el espesor de la cerámica piezoeléctrica es despreciable frente a la longitud de la barra en examen, este montaje proporciona un buen acoplamiento electro mecánico y excita a las barras sin influir demasiado en sus características. Las vibraciones de la barra son detectadas en el otro extremo por un sistema que mide sin hacer contacto. El sistema de detección consiste en un sistema que genera radiación LASER pulsada la que incide en la superficie puesta en vibración por la excitación de la cerámica piezoeléctrica. La señal emitida por el LASER es “marcada” haciéndola pasar por una celda de Bragg, medio transparente que vibra a 40 MHz. El pulso incide en la superficie que está en vibración y es detectada en el interferómetro de Helio-Neón, a esta detección se le llama “detección superheterodino”. La señal así obtenida es tratada en un demodulador que es capaz de leer la velocidad de vibración que se presenta por acoplamiento Doppler entre la señal incidente y la velocidad de vibración de la barra. La señal proveniente del interferómetro es desplegada y leída en un osciloscopio digitador. De esta manera, se pueden detectar los máximos de velocidad de vibración para cada nivel de amplificación. La frecuencia a la cual ocurre el máximo de velocidad de vibración es la frecuencia de resonancia. Todos los datos son almacenados en un computador para ser tratados posteriormente.

Figura 2: Montaje experimental para la medición de las frecuencias de resonancia en función del nivel de excitación. El voltaje sinusoidal desplegado en el osciloscopio representa la

velocidad de vibración de la barra.

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Con las condiciones experimentales para esta investigación es posible detectar la

frecuencia de resonancia midiendo la corriente que para la resonancia ha de ser máxima. Esta forma de trabajar nos obligaría a definir las condiciones para que el amplificador se comporte como una fuente de corriente, esto es relativamente sencillo debido a la potencia disponible en el amplificador. Sin embargo, hemos preferido emplear la velocidad de vibración del extremo de la barra como medida de resonancia debido al carácter no invasivo de nuestra técnica de detección y a que además de la frecuencia se mide las amplitudes de oscilación para cada caso.

Con el mismo sistema experimental, también es posible realizar un barrido longitudinal a la barra para determinar la distribución de deformación radial producida por la onda estacionaria.

4. RESULTADOS En la Figura 3 se muestra gráficos del comportamiento dinámico de la barra puesta en vibración. En los tres primeros se registra las amplitudes de desplazamiento de los extremos de las barras puestas en vibración versus las frecuencias para sus tres primeros modos de vibración. La resonancia se alcanza en los máximos de velocidad. Los valores más bajos en amplitud corresponden a las frecuencias de resonancia lineales. Un mayor nivel de amplificación produce una mayor deformación de la barra y consecuentemente, una mayor velocidad y aceleración de las partículas. En cada uno de ellos se puede apreciar el cambio de la frecuencia de resonancia hacia valores menores de velocidad de vibración.

El gráfico 4 (Figura 3) muestra la distribución de deformación radial en el tercer modo de resonancia longitudinal de la barra. La deformación se ha medido realizando un barrido longitudinal sobre la barra detectando las amplitudes de desplazamiento radial. Esta deformación crece con el nivel de amplificación. Se puede apreciar que la deformación radial tiende a cero en los extremos, comprobando las condiciones de borde de resonancia de barra libre.

La Tabla 1 muestra los principales resultados obtenidos para los tres modos de resonancia. Se muestran las velocidades de propagación tipo barra y los módulos de Young calculados a partir de la ecuación (16). Además, se agrega el factor de calidad Q de la roca, calculados de la forma clásica:

12 fffQ−

= , (31)

donde f es la frecuencia de resonancia y f1 y f2 son las frecuencias correspondientes a la mitad de la amplitud máxima de velocidad de desplazamiento.

Se debe tener en cuenta que la disminución de la velocidad de propagación C al aumentar la frecuencia de un modo a otro se debe a que se produce dispersión geométrica. Esto ocurre porque a medida que se aumenta la frecuencia, se disminuye la longitud de onda llegando a ser comparable con el diámetro de la barra. Bajo estas condiciones, la velocidad de propagación depende del parámetro (d/λ) como establece la teoría de Pchhammer-Chree [1], y se debe los acoplamientos entre las deformaciones laterales y longitudinales. Este efecto se muestra en el gráfico 4, donde la barra resuena en su tercer modo, es decir, en torno a 22900 Hz, con una longitud de onda aproximadamente tres veces el diámetro.

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7600 7640 7680 7720 7760 7800 7840 7880 79200

1

2

3

4

5

6

71er modo longitudinal

Velo

cida

d de

des

plaz

amie

nto

(mm

/s)

Frecuencia (Hz)15120 15240 15360 15480 15600 15720 15840

0

2

4

6

8

10

12

14

16 2do modo longitudinal

Velo

cida

d de

des

plaz

amie

nto

(mm

/s)

Frecuencia (Hz)

1 2

22200 22400 22600 22800 23000 23200 23400 236000

2

4

6

8

10

12

14

16

18 3er modo longitudinal

Velo

cida

d de

des

plaz

amie

nto

(mm

/s)

Frecuencia (Hz)0 50 100 150 200 250

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

4.5 3er modo longitudinal 22 dB 29 dB

Velo

cida

d de

de

spla

zam

ient

o ra

dial

(mm

/s)

Longitud (mm)

3 4

Figura 3: Resultados de los experimentos de resonancia en barras, los tres primeros gráficos corresponden a desplazamientos longitudinales, en el gráfico N° 4 se muestra el resultado de

medidas de desplazamientos radiales de la barra en resonancia.

La teoría de Pochhammer-Chree establece la siguiente relación entre velocidad de propagación y el parámetro (d/λ):

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

2221λ

πν dCC E , (32)

donde ν es la razón de Poisson del material. Por lo tanto, al graficar C/CE verus (d/λ)2, se puede calcular la razón de Poisson de la roca. La regresión lineal del gráfico de la Figura 4 entrega la siguiente expresión:

2

18.000.1 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=λd

CC

E

, (33)

con un coeficiente r = 0.97. Por lo tanto, la razón de Poisson de la roca es 0.14.

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0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.090.986

0.988

0.990

0.992

0.994

0.996

0.998

1.000

1.002

C /

CE

(d / λ)2

Figura 4 : C/CE versus (d/λ)2.

A partir de estos datos es posible graficar el cambio de la frecuencia de resonancia en función de la deformación para calcular el coeficiente no lineal δ y verificar la validez del exponente cuadrático de la deformación en este material, como se puede ver en el gráfico de la Figura 5.

Tabla 1: Resultados experimentales. n=1

Amplificación (dB)

Frecuencia (Hz)

Velocidad de vibración

(mm/s)

Deformación(10-6)

20

220

fff −

(10-3)

C (m/s)

Módulo de Young

(GPa) Q

22 f0 = 7760 2.65 0.6796 3899 41.0 5226 7755 4.15 1.0650 1.2882 3897 4830 7745 6.25 1.6060 3.8622 3892 52

n=2

Amplificación (dB)

Frecuencia (Hz)

Velocidad de vibración

(mm/s)

Deformación(10-6)

20

220

fff −

(10-3)

C (m/s)

Módulo de Young

(GPa) Q

20 f0 = 15490 5.15 1.3233 3892 40.9 5224 15470 8.70 2.2383 2.5806 3887 5227 15440 11.60 2.9902 6.4454 3879 5030 15410 15.25 3.9388 10.3026 3872 44

n=3

Amplificación (dB)

Frecuencia (Hz)

Velocidad de vibración

(mm/s)

Deformación(10-6)

20

220

fff −

(10-3)

C (m/s)

Módulo de Young

(GPa) Q

20 f0 = 22990 6.40 1.6620 3851 40.0 4024 22920 10.00 2.6048 6.0803 3839 3827 22860 13.70 3.5780 11.2773 3829 3730 22780 18.00 4.7174 18.1854 3816 35

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1E-6 1E-51E-4

1E-3

0.01

δ = 107

n = 1.6

(f 02 - f2 ) /

f 02

Deformación

Figura 5: Frecuencia de resonancia en función de la deformación.

Como predice la teoría clásica de sólidos no lineales, el cambio en frecuencia de

resonancia aumenta con la deformación. Sin embargo, en este caso el exponente de la deformación es menor que 2. Esta dependencia no cuadrática de esta roca tipo andesita ya se ha verificado anteriormente para otras rocas [3, 4] y es motivo de actuales investigaciones. El orden de magnitud del coeficiente no lineal δ = 107 es característico también de otras rocas.

5. CONCLUSIONES El estudio precedente ha establecido que a medida que las deformaciones aumentan la Andesita experimenta un baja en su frecuencia de resonancia. Esta baja en frecuencia se produce para todos los modos de vibración de las barras experimentadas. Este efecto puede ser interpretado como una pérdida de rigidez de la roca en las condiciones de experimentación.

El factor de calidad de la roca desciende a medida que la deformación aumenta, este efecto puede explicarse por el aumento de las pérdidas en el material medida que la amplitud de vibración aumenta.

El coeficiente de no-linealidad de la Andesita es aproximadamente igual al encontrado anteriormente para otra roca por otros autores. Pero el exponente de deformación aparece menor que dos fenómeno que requiere de una nueva investigación.

La razón de Poisson de la Andesita aparece como extremadamente baja lo que también debe ser investigado.

El estudio de las curvas de desplazamiento radial muestra un comportamiento aparentemente contradictorio. En efecto, las curvas muestran una posición de los nodos de desplazamiento invariantes respecto a la potencia aplicada en los experimentos lo que podría estar en contradicción con el cambio en las longitudes de onda de las ondas extensionales detectada en esta experimentación y encontrada en otras litologías.

6. AGRADECIMENTOS Esta investigación fue financiada por CODELCO-Chile, División El Teniente, en el proyecto “Medición de esfuerzos por ultrasonidos”.

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REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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