Sở Giáo Dục Và Đào TạoQuảng Nam Trường THPT LêQuý Đôn

BÀI TẬP THỂTÍCH KHỐI ĐADIỆN

GIÁO VIÊN : TRƯƠNG QUANGTHÀNH Tổ : Toán - Tin

Trường THPT Lê Quý Đôn

Trong chương trình giáo dục phổ thông thì môn toán được nhiều học

sinh yêu thích và say mê, nhưng nói đến phân môn hình học thì lại

mang nhiều khó khăn và trở ngại cho không ít học sinh, thậm trí ta

có thể dùng tứ ” SỢ” học.Đặc biệt là hình học không gian tổng hợp.

Đây là phần có trong cấu trúc thi cao đẳng và đại học và thường

xuyên xuất hiện trong các đề thi tuyển chọn học sinh giỏi vì kiến

thức phần này yêu cầu học sinh phải tư duy cao,khả năng phân tích

tổng hợp và tưởng tượng mà một chủ điểm của quan trọng của hình

học không gian tổng hợp đó là tính thể tích khối đa diện. Nhằm

giúp học sinh vượt qua khó khăn và trở ngại đó và ngày càng yêu

thích và học toán hơn yêu cầu các thầy cô chúng ta phải có nhiều

tâm huyết giảng dạy và nghiên cứu .Qua thực tế giảng dạy tôi có

chút kinh nghiệm giảng dạy phần này mong được chia sẻ cùng các

thầy cô đồng nghiệp và những người yêu thích môn toán.

I )TÍNH THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN THEO CÔNG THỨC

Việc áp dụng công thức thông thường yêu cầu

a)xác định đường cao

b)tính độ dài đường cao và diện tích mặt đáy

Để xác định đường cao ta lưu ý

Hình chóp đều có chân đường cao trùng với tâm của đáy.

Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau thì chân đường cao trùng

với tâm đường tròn ngoại tiếp mặt đáy.

Hình chóp có các mặt bên cùng tạo với đáy những góc bằng nhau

thì chân đường cao chính là tâm đường tròn nội tiếp mặt đáy.

Hình chóp có một mặt bên vuông góc với đáy thì chân đường cao

nằm trên giao tuyến của mặt phẳng đó và đáy.

Hình chóp có hai mặt bên cùng vuông góc với đáy thì đường cao

nằm trên giao tuyến của hai mp đó

Để tính độ dài đường cao và diện tích mặt đáy cần lưu ý

Các hệ thức lượng trong tam giác đặc biệt là hệ thức lượng trong

tam giác vuông.

Các khái niệm về góc, khoảng cách và cách xác định.

Sau đây là các bài tập

Bài1

Chóp tam giác đều SABC có đáy là tam giác đều cạnh bằng a,

các cạnh bên tạo với đáy một góc 600.Hãy tính thể tích của khối

chóp đó.

Bài giải

Gọi D là trung điểm của BC và E là tâm đáy

Khi đó

AB

C

S

DE

AE= AD=

Ta có SAD=600 nên SE=AE.tan600=a

SABC= Do đó VSABC= SE.SABC=

BÀI 2: Cho hình chóp tam giác SABC có SA=5a,BC=6a,CA=7a. Các mặt

bên SAB,SBC,SCA cùng tạo với đáy một góc 600.Tính thể tích của

khối chóp

Bài giải

Ta có hình chiếu của đỉnh S trùng tâm D đường tròn nội tiếp

đáy

Ta có p= =9a Nên SABC= =6a2.

mặt khác SABC=pr r= =

trong SDK có SD=KDtan600 = r.tan600= 2a.

Do đó VSABC= SD.SABC=8a3.

A

B

C

S

D

k

Bài 3

Cho hình chóp SABC có các cạnh bên bằng nhau cùng hợp với đáy góc

600, đáy là tam giác cân AB=AC=a và BAC=1200 .Tính thể tích khối

chóp đó.

Bài giải

O

A C

B

S

O

Gọi D là trung BC và O là tâm đường tròn ngoại tiếp

tam giác ABC

Có SO chính là đường cao

SABC=1/2.AB.AC.sin1200= và

BC=2BD=2.ABsin600=a.

OA=R= =a SO=OA.tan600=a.

Do vậy VSABC= SO.SABC=1/4a3.

Bài 4

Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a,SA=a,

SB=a và mpSAB vuông góc với mặt đáy. Gọi M,N lần lượt là trung

điểm của AB,BC. Hãy tính thể tích khối chóp SBMDN.

Bài giải

B

A D

C

S

HM

N

Hạ SH AB tại H thì SH chính là đường cao

SADM=1/2AD.AM=a2

SCDN=1/2.CD.CN=.a2

Nên SBMDN=SABCD-SADM-SCDN=4a2 -2a2=2a2.

mặt khác SH= =

do đó VSBMDN= .SH.SBMDN=

Bài 5

Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình thang vuông tại A,D;

AB=AD=2a,CD=a. Góc giữa hai mpSBC và ABCD bằng 600. Gọi I là trung

điểm của AD, Biết hai mp SBI,SCI cùng vuông góc với mpABCD. Tính

thể tích khối chóp S.ABCD.

Bài giải

AB

D C

S

I H

J

Gọi H trung điểm là của I lên BC, J là trung

điểm AB.

Ta có SI mpABCD

IC= =a

IB= =a và BC= =a

SABCD=1/2AD(AB+CD)=3a2

SIBA=1/2.IA.AB=a2 và SCDI=1/2.DC.DI=1/2

SIBC=SABCD-SIAB-SDIC=

mặt khác SIBC= .IH.BC nên IH =

SI=IH.tan600= .

Do đó VABCD= SI.SABCD= a3

Bài 6

Cho chóp SABC có SA=SB=SC=a, ASB= 600, CSB=900, CSA=1200

CMR tam giác ABC vuông rồi tính thể tích chóp.

Bài giải

Gọi E,D lần lượt là AC,BC

AC

B

S

E

D

SAB đều AB=a, SBC Vuông BC=a.

SAC có AE=SA.sin600= AC=a và SE=SAcos600=

a.

ABC có AC2=BA2+BC2 =3a2 vậy ABC vuông tại B

Có SABC= .BA.BC=

SBE có BE= AC=

SB2=BE2+SE2=a2 nên BE SE

AC SE

Do đó SE chính là đường cao

VSABC= SE.SABC=

Bài 7

Cho khối lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có đáy là tam giác vuông

tại A,AC=a, ACB=600

Đường thẳng BC1 tạo với mp(A1ACC1)một góc 300.Tính thể tích khối

lăng trụ.

Bài giải

A B

C

A1 B1

C1

Trong tam giác ABC có AB=AC.tan600=a

AB AC và AB A1A

Nên AB mp(ACC1A) do đó AC1B=300 và

AC1=AB.cot300=3a.

Á.D pitago cho tam giác ACC1 : CC1= =2a

Do vậy VLT=CC1.SABC= 2a . .a.a =a3.

Bài 8

Cho khối trụ tam giác ABCA1B1C1 có đáy là tam giác đều cạnh a,

điểm A1 cách đều ba

điểm A,B.C,cạnh bên A1A tạo với mp đáy một góc 600.Hãy tính thể

tích khối trụ đó.

Bài giải

G

A1 B1

C1

A B

C

HI

Ta có tam giác ABC đều cạnh a nên SABC=

mặt khác A1A= A1B= A1C A1ABC là tứ diện đều

gọi G là trọng tâm tam giác ABC có A1G là đường

cao

Trong tam giác A1AG có AG=2/3AH= và A1AG=600

A1G=AG.tan600=a. vậy VLT=A1G.SABC=

Bài 9

Cho khối trụ tam giác ABCA1B1C1 có đáy là ABC là tam giác

vuông cân với cạnh huyền AB= .Cho biết mpABB1vuông góc với

đáy,A1A= ,Góc A1AB nhọn, góc giữa mpA1AC và đáy bằng 600. hãy

tính thể tích trụ.

Bài giải

Tam giác ABC có cạnh huyền AB= và cân nên CA=CB=1;

SABC=1/2.CA.CA=1/2.

. MpABB1vuông góc với ABC từ A1 hạ A1G AB tại G.

A1G chính là đường cao

Từ G hạ GH AC tại H

Gt góc A1HG=600

Đặt AH=x(x>0)

Do AHG vuông cân tại H nên HG=x và AG=x

HGA1 có A1G=HG.tan600=x.

A1AG có A1A2=AG2+A1G2 3=2x2+3x2 hay x=

Do đó A1G= vậy VLT=A1G.SABC=

A1 B1

C1

A

C

BGH

Bài 10

Cho khối hộp ABCD.A1B1C1D1 có đáy là hcn với AB= và AD= . Các

mặt bên ABB1A1 và A1D1DA lần lượt tạo với đáy những góc 450 và 600.

Hãy tính thể tích khối hộp đó biết cạnh bên bằng 1.

giải

A1

D1 C1

A

D

B

C

FB1

NHM

Gọi H là hình chiếu của A1 lên mpABCD

Từ H hạ HM AD tại M và HN AB tại N

Theo gt A1MH=600 và A1NH=450

Đặt A1H=x(x>0) ta có A1M= =

tứ giác AMHN là hcn( góc A,M,N vuông)

Nên HN=AM mà AM= =

Mặt khác trong tam giác A1HN có HN=x.cot450

Suy ra x = hay x= vậy VHH=AB.AD.x= 3.

II ) TÍNH GIÁN TIẾP

Nghĩa là ta sử dụng phân chia lắp ghép khối đa diện, để đưa

về bài toán áp dụng tính thể tích theo công thức hoặc dùng bài

toán tính tỉ lệ hai khối tứ diện(chóp tam giác)

Cho hình chóp SABC. Trên các đoạn thẳng SA,SB,SC lấy lần

lượt ba điểm A1,B1,C1 khác với S thì

Chứng minh bài toán Tỉ số thể tích hai khối tứ diện(chóp

tam giác)

S

A

B

C

E H

A1

B1

C1

Gọi H,E lần lượt là hình chiếu của A,A1 trên mpSBC

AH / / A1E nên SAH và SA1E đồng dạng

Khi đó VSABC= AH.SSBC= AH.SB.SC.sinBSC.

VSA B C = A1E.SSB C = A1E.SB1.SC1.sinBSC.

Do vậy

Nên

Bài 1

Cho hình chóp SABC có SA=a,SB=2a,SC=3a và BSA=600, ASC=1200,

CSB=900. Hãy tính thể tích chóp

Bài giải

Nhận xét các mặt ở đây không có các lưu ý nên việc xác định

đường cao là khó nhưng ta thấy các góc ở đỉnh S là rất quen

thuộc. Ta liên tưởng đến bài 6 phần I

Vây ta có lời giải sau

S

C

B

A

C1

B1

Trên SB lấy B1 Sao cho SB1=a,

Trên SC lấy C1 sao cho SC1=a,

Ta có (theo bài 6)

Mà =

Bài 2 : Cho khối trụ tam giác ABCA1B1C1 có đáy là tam giác đều

cạnh a. A1A =2a và A1A tạo với mpABC một góc 600. Tính thể tích

khối tứ diện A1B1CA.

giải

A1 C1

B1

A

B

CH

K

Gọi H là hình chiếu của A1 trên mpABC

Khi đó A1H=A1A.sinA1AH=2a.sin600=a.

Mà VLT=A1H.SABC=

nhận thấy khối lăng trụ được chia làm ba khối chóp

khối chóp CA1B1C1 có = VLT

khối chóp B1ABC có = VLT

Khối chóp A1B1CA do đó = VLT =

Bài 3 :Cho khối hộp chữ nhật ABCD.A1B1C1D1 có AB=a,A1A=c,BC=b. Gọi

E,F lần lượt là trung điểm của B1C1 và C1D1. Mặt phẳng FEA chia

khối hộp thành hai phần. hãy tính tỉ số thể tích hai khối đa diện

đó

Bài giải

DDF

Mp(FEA) cắt các đoạn thẳng A1D1,A1B1,B1B,D1D lần lượt tại

J,I,H,K(hv)

Gọi V1,V2 lần lượt là thể tích phần trên và phần dưới mp

Ta nhận thấy rằng hai phần khối đa diện chưa phải khối

hình quen thuộc nhưng khi ghép thêm hai phần chóp HIEB1 và chóp

KFJD1 thì phần dưới là hình chóp AIJA1

Ba tam giác IEB1,EFC1,FJD1 bằng nhau “ c.g.c”

Theo TA-LET Và

H

K

A D

B C

B1 C1

D1A1

I

E

F

J

V1= -2. =

V2= Vhh-V1= do vậy

III) BÀI TOÁN ÔN TẬP

Sau khi đã trang bị phần phương pháp như vậy ta cũng giúp

học sinh đưa ra cách giải một bài toán linh hoạt bằng cả hai

phương pháp để học sinh so sánh đối chiếu lựa chọn và đưa ra bài

tập ở mức độ tổng hợp

Bài 1

Cho khối lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có tất cả các cạnh đều

bằng a.

a)hãy tính thể tích khối tứ diện A1BB1C.

b)Mp đi qua A1B1và trọng tâm tamgiác ABC cắt AC,BC lần lượt tại

E,F. Hãy tính thể tích chóp C.A1B1FE.

Giải

a)Cách 1 tính trực tiếp

gọi H là trung điểm B1C1 suy ra Vtd=

A C

B

A1

B1

C1

K

H

Tương tự gọi K là trung điểm AB

Cách 2

Nên

b)cách 1 Tính trực tiếp

gọi Q là trung điểm của A1B1,G là trọng tâm tam giác ABC

Khi đó qua G kẻ d // với AB thì E=AC d và F=BC d

MpCKQ chính là mp trung trực của AB,FE

Nên khoảng cách từ C đến QG chính là khoảng cách từ C đến

mpA1B1FE

Ta có

Mặt khác

Cách 2 dùng gián tiếp (sử dụng bài toán tỉ lệ thể tích )

G

A C

B

A1

B1

C1

K

E

F

C 2

Q

Bài 2 :Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hcn,AB=a,AD=a

,SA=2a và SA ABCD, Một mp đi qua A và vuông góc với SC,cắt

SB,SC,SD lần lượt tại H,I,K. Hãy tính thể tích khối chóp S.AHIK

theo a

Bài giải

Cách 1 tính trực tiếp

Ta có

Nên cân tại A mà AI SC nên I là trung điểm SC

AI=SI=

Mà cho nên

Trong tam giác vuông HAI có

Tương tự ta có

A D

B C

S

I K

H

AK=

Cách 2 tính gián tiếp

Tương tự như các 1 ta chỉ lập luận AH SB, AK SD

Tương tự

Do đó VSAHIK=

Bài 3

Cho hai đường thẳng chéo nhau x và y. lấy đoạn thẳng AB có

độ dài a trượt trên x, đoạn thẳng CD có độ dài b

trượt trên y. CMR VABCD không đổi

giải

nhận xét các yếu tố không đổi a,b,góc và khoảng cách giữa

hai đường thẳng x và y

đặt (x,y)= và d(x,y)=d

Ta dựng hình lăng trụ ABF.CED như (hv)

Khi đó d=d(x,y)=d(AB,CD)=d(AB,CDE)=d(B,CDE) hay d chính là

chiều cao lăng trụ

VLT= d.SCDE=d. CD .CE.sin = d.b.a.sin

mặt khác Khối lăng trụ được ghép từ 3 khối tứ diện gồm

Tứ diện BCDE có VBCDE= .d(B,CDE).SCDE= .VLT

Tứ diện BACD và BAFD có thể tích bằng nhau

Do vậy VABCD= .VLT= .d.a.b.sin = hằng số

l

E

F

A

C

D

B

Cách 2 Dựng hình hộp, cách 3 dựng hbh “ Như hai hv

sau”

H

A G

B

EC

C E

A B

D

DF

Bài 4 Bài toán thể tích liên quan đến cực trị

Cho hình chóp S.ABCD,SA là đường cao,đáy là hcn với

SA=a,AB=b, AD=c. Trong mpSDB lấy G là trọng tâm tam giác SDB qua

G kẻ đường thẳng d cắt cạnh BS tại M, cắt cạnh SD tại N,mpAMN cắt

SC tại K . Xác định M thuộc SB sao cho VSAMKN đạt giá trị lớn nhất

và nhỏ nhất, Hãy tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất đó

Bài giải

G

O

D

B

S

A

C

KM

N

Gọi O Là tâm hcn ABCD

Ta có SG= .SO và K=A G SC và K là trung điểm SC

Tương tự

Do đó

Trong mpSBD B

S

DO

G

H

M N

Do M,N lần lượt nằm trên cạnh SB,SD nên

Đặt t= ( ) thì

Nhận thấy VSAMKN đạt GTLN,GTNN nếu f(t)= với

Ta có

Nên (loại)

f(1/2)=3/2 , f(1)=3/2 f(2/3)=4/3

do vậy VSAMKN = là GTLN khi M là trung điểm SB hoặc M trùng với

B

VSAMKN = là GTNN khi MB chiếm 1 phần SB

III. BÀI TẬP TỰ GIẢI

Bài 1 Cho tam giác ABC vuông cân ở A và AB=a. Trên đường

thẳngqua C và vuông góc với mp(ABC) lấy điểm D sao cho CD=a. Mặt

phẳng qua C vuông góc với BD,cắt BD tại F và cắt AD tại E. tính

thể tích khối tứ diện CDEF.

Bài 2 cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại

C,AC=a,AB=2a,SA vuông góc với đáy.Góc giữa mpSAB và mpSBC bằng

600. Gọi H,K lần lượt là hình chiếu của A lên SB,SC. Chứng minh

rằng SA vuông KH và tính thể tích khối chóp S.ABC

Bài 3

Cho hình chóp đều S.ABC cạnh đáy bằng a, Hãy tính thể tích khối

chóp S.ABC biết

a)MpSBA vuông góc với mpSCA

b)Gọi M,N lần lượt là trung điểm SA,SC và mpBMN vuông góc mpSAC

Bài 4 Cho khối lăng trụ ABC.A1B1C1 có BB1=a. Góc giữa đường

thẳng BB1và mpABC bằng 600. Tam giác ABC vuông tại C và góc BAC

bằng 600. Hình chiếu vuông góc của điểm B1 lên mpABC trùng với

trọng tâm tam giác ABC, tính thể tích khối tứ diện A1ABC theo a

Bài 5 Cho khối lăng trụ đều ABC.A1B1C1 có cạnh đáy bằng a,khoảng

cách từ tâm O của tam giác ABC đến mpA1BC bằng .hãy tính thể

tích khối trụ đó

Bài 6 Cho khối lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có đáy ABC là tam

giác cân tại A,góc giữa A1A và BC1 bằng 300, khoảng cách giữa chúng

bằng a. Góc giữa hai mặt bên qua A1A bằng 600. hãy tính thể tích

khối trụ

Bài 7 Cho lăng trụ xiên ABC.A1B1C1 có đáy ABC là tam giác

vuông tại A,AB=a,BC=2a. Mặt bênABB1A1 là hình thoi nằm trong mp

vuông góc với đáy và hợp với mặt bên một góc . hãy tính thể

tích khối lăng trụ.

Bài 8 cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bầng a,

cạnh bên hợp với đáy góc 600, gọi M là điểm đối xứng với C qua D.

N là trung điểm SC.mpBMN chia khối S.ABCD thành hai phần. Hãy tính

tỉ số thể tích của hai phần đó

Bài 9 cho hình hộp chữ nhật ABCD.A1B1C1D1 có AB=a,BC=2a,A1A=a,M

thuộc đoạn AD sao cho AM=3MD.Hãy tính thể tích khối tứ diện

MAB1C1,

Bài 10 Cho hlp ABCD.A1B1C1D1 có cạnh a, điểm K thuộc CC1 sao cho

CK=2/3.a.Mặt phẳng (P) qua A,K và song song với BD chia khối lập

phương thành hai phần. Tính tỉ số thể tích hai phần đó.

Bài 11 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại Avà

D. Tam giác SAD là tam giác đều cạnh 2a, cạnh BC =3a. Các mặt bên

tạo với đáy các góc bằng nhau. Hãy tính thể tích khối chóp.

Bài 12 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang với các cạnh

AB=BC=CD=1/2.AD

Tam giác SBD vuông nằm trong mp vuông góc với đáy và có các cạnh

góc vuông là SB=8a,SD=15a. hãy tính thể tích khối chóp

Bài 13 Cho tứ diện ABCD có tam giác ABC,ABD là hai tam giác đều

cạnh a,mpADC vuông góc mpBCD. Tính VABCD.

Bài 14

Cho tứ diện ABCD, các điểm M,N,P lần lượt BC,BD,AC sao cho BC=4BM,

BD=2BN,AC=3AP. MpMNP chia tứ diện làm hai phần tính tỉ số thể

tích hai phần đó.

Bài 15 Cho khối lăng trụ ABC.A1B1C1 có các mặt bên (A1AB),(A1BC),

(A1CA) hợp với đáy (ABC) góc 600,gócACB=600,AB=a ,AC=2a. tính VLT.

Bài 16 Cho hlp ABCD.A1B1C1D1 có cạnh a.Gọi M,N,P lần lượt thuộc

các đoạn A1A,BC,CD sao cho A1A=3A1M,BC=3BN,CD=3DP.MpMNP chia khối

lập phương làm hai phần. tính thể tích từng phần.

Bài 17 Cho tứ diện ABCD.Gọi M là trung điểm DA.Các điểm N,P thuộc

BD sao cho BN=NP=PD.Hãy tính tỉ số thể tích của hai phần tứ diện

cắt bởi

a)mp qua MN và song song với trung tuyến AI của tam giác ABC

b)mp qua MP và song song với AI

c)mp qua MN song song với trung tuyến CE của tam giác ABC

Bài 18 Cho tứ diện ABCD có AB=BD=AC=CD= , Cạnh BC=x, khoảng

cách giữa BC và AD bằng y.Tính VABCD theo x và y,tìm x,y để VABCD đạt

giá trị Max,min.

Baì 19 Trong mp(P) cho hình vuông ABCD có cạnh AB=a, tia Ax và

tia Cy cùng vuông góc với mp(P) và cùng thuộc nửa mp bờ AC. Lấy

điểm M bất kỳ thuộc tia Ax và chọn điểm N thuộc tia Cy sao cho

mpBDM vuông góc với mpBDN

a)Tính AM.CN theo a.

b)Xác định vị trí của điểm M để thể tích khối tứ diện BDMN đạt

min.

Bài 20 Hai nửa đường thẳng Am,Bn vuông góc với nhau và nhận AB=a

làm đoạn vuông góc chung. Các điểm M,N lần lượt chuyển động trên

Am,Bn sao cho MN=AM+BN.

a)CMR VABMN không đổi, tính giá trị đó

b)Goi O là trung điểm AB,H là hình chiếu của O trên MN. CMR

.

....HẾT...