Dispensa del Corso di Motori a Combustione Interna

METODI NUMERICI PER LA RISOLUZIONE DELLE

EQUAZIONI DI CONSERVAZIONE 1D PER FLUSSI

INSTAZIONARI E COMPRIMIBILI

Federico Piscaglia

1 Equazioni di Conservazione

Le leggi di conservazione possono essere ottenute partendo da una control mass

(CM) e dalle sue proprieta estensive, come massa, quantita di moto ed energia.Questo tipo di approccio e utilizzato per lo studio della dinamica del corpo rigi-do, dove la massa di controllo (o sistema) e facilmente identificabile. Quando sitratta con i fluidi, seguire una particella di materia e piuttosto complesso. Spessoe molto piu conveniente invece considerare un volume di controllo fisso, che vieneattraversato dal flusso (formulazione euleriana).Il set di variabili che descrive il fluido considerato e chiamato set delle variabili

primitive o set delle variabili fisiche. Queste variabili sono la densita ρ = ρ(x, t),la pressione p = p(x, t) e la velocita v = v(x, t). Una scelta alternativa consistenel considerare le variabili conservate. Queste variabili sono la densita ρ = ρ(x, t),la componente del momento ρu e l’energia totale per unita di massa E. Dal puntodi vista fisico, la conservazione di queste quantita deriva dall’applicazione delleleggi di conservazione della massa, della quantita di moto e dell’energia.

Figura 1: Volume di controllo per la discretizzazione a volumi finiti

Le equazioni di conservazione descrivono come le proprieta estensive del flussoall’interno del volume di controllo considerato siano legate all’ambiente esterno.L’equazione di conservazione della massa puo essere scritta nella forma

1.1 Classificazione dei sistemi di equazioni differenziali 3

Dm

Dt= 0 (1)

La quantita di moto del sistema risente dell’azione delle forze esterne e puo essereformulata come:

D(mv)

Dt=

∑

f (2)

dove f indica la i-esima forza di volume agente sul sistema preso in consider-azione. Analogamente l’equazione di conservazione dell’energia appare nella suaforma piu generale come:

DE

Dt=

∑

q (3)

Il significato fisico dell’espressione (3) e analogo a quello della equazione (2): lavariazione temporale della grandezza considerata (energia) e direttamente lega-to alla presenza di sorgenti all’interno del sistema (forze per l’equazione dellaquantita di moto, potenza termica nell’equazione (3) ).

1.1 Classificazione dei sistemi di equazioni differenziali

Dato un sistema di conservazione nella forma

∂W

∂t+

∂F(W)

∂x+ C = 0 (4)

il sistema omogeneo associato e:

∂W

∂t+

∂F(W)

∂x= 0 (5)

La (5) puo essere riscritto come:

∂W

∂t+ A

∂W

∂x= 0 (6)

con A = matrice Jacobiana. In base al valore del determinante della matrice A,il sistema e classificato come ellittico, iperbolico oppure parabolico.

• det |A| > 0 il sistema e iperbolico

4

• det |A| = 0 il sistema e ellittico

• det |A| < 0 il sistema e parabolico

Con riferimento ai problemi di propagazione del moto ondoso tipici dei motoria combustione interna, dal punto di vista fisico un sistema iperbolico descriveil fenomeno di un punto il cui stato e influenzato da onde che si propaganolungo direzioni precise (caratteristiche) sul piano (x,t). Per un sistema di tipoparabolico il disturbo viene da un semipiano retrostante il punto considerato.Per un sistema ellittico infine l’informazione arriva da tutte le direzioni. Neicasi trattati per i motori a combustione interna, il sistema e di tipo iperbolico: idisturbi si propagano alla velocita del suono lungo una particolare direzione nellospazio (x,t).

1.2 Le equazioni di Eulero

In questa sezione vengono mostrate le equazioni monodimensionali per il casonon stazionario che descrivono la dinamica di un gas comprimibile. Il sistema diconservazione risultante e di tipo iperbolico non lineare.Il modello presentato si basa sull’approssimazione monodimensionale di un flussoinstazionario e comprimibile in un condotto di sezione variabile. Le variabilitermodinamiche sono ritenute costanti sulla sezione trasversale dei condotti evariabili solamente lungo la coordinata assiale x e del tempo t.

u

u + ∂u∂x

dx

ρ

ρ + ∂ρ

∂xdx

pp + ∂p

∂xdx

F

F + ∂F∂x

dx

τw

Figura 2: Volume di controllo monodimensionale

1.2 Le equazioni di Eulero 5

Si consideri un condotto di sezione variabile come quello di figura (2), attraver-sato da un gas perfetto. Trascurando il contributo della forza gravitazionale, leleggi di conservazione della massa, della quantita di moto e dell’energia per ilvolume di controllo descritto in fig. 1 sono qui a seguito ricavate.

1.2.1 Equazione di conservazione della massa

Con riferimento al volume di controllo di fig. 1, assumendo la coordinata assialecon direzione positiva da sinistra verso destra, si definiscono:

• portata massica entrante min: ρ u F

• portata massica uscente mout: (ρ + ∂ρ

∂xdx) · (u + ∂u

∂xdx) · (F + ∂F

∂xdx)

• variazione temporale della portata massica mt:∂ρFdx

∂t

Il bilancio complessivo della portata massica puo essere scritto per il volume dicontrollo considerato come:

min − mout + mt = 0 (7)

(ρ +∂ρ

∂xdx) · (u +

∂u

∂xdx) · (F +

∂F

∂xdx) − ρ u F +

∂ρFdx

∂t= 0

Trascurando i termini i termini delle derivate di ordine superiore al primo, il bi-lancio di massa complessivo attraverso il volume di controllo considerato diventa:

∂(ρFdx)

∂t+

∂(ρuF )

∂xdx = 0 (8)

Si noti come il fatto che in un sistema chiuso la massa non si crei ne si distruggacomporta l’assenza dei termini sorgente al secondo membro dell’equazione (8).

1.2.2 Equazione di conservazione della quantita di moto

La variazione temporale della quantita di moto del fluido nel volume di controlloe uguaglia il flusso netto di quantita di moto attraverso il volume e di controlloe i contributi delle forze di pressione e di attrito sulla superficie di controllo.

6

Sempre con riferimento allo schema di figura ?? si valutano i contributi checompaiono nella equazione di bilancio delle forze per il volume di controllo.

• contributo netto delle forze di pressione:

pF − (p +∂p

∂xdx)(F +

∂F

∂xdx) + p

∂F

∂xdx = [−

∂(pF )

∂xdx + p

∂F

∂xdx]

con p∂F

∂xdx che rappresenta il contributo dovuto alla variazione di sezione

lungo il condotto.

• Forze di attrito:

lo sforzo di attrito τw puo essere definito come:

τw = f ·1

2ρu2 → τw = −f

ρu2

2(πDdx) (9)

• Variazione temporale della quantita di moto:

∂(ρFdx · u)

∂t=

∂(mu)

∂t(10)

Sommando i quattro contributi si ottiene l’equazione di conservazione della quan-tita di moto:

∂(ρuF )

∂t+

∂(ρu2 + p)F

∂x= p

∂F

∂x−

1

2ρu2fπD dx (11)

1.2.3 Equazione di conservazione dell’energia

Per il volume di controllo considerato, il primo principio della termodinamica persistemi fluenti esprime come la variazione dell’energia del sistema (nel tempo enello spazio) sia uguale allo scambio di potenza termica e meccanica del sistemacon l’esterno.

∂(E0)

∂t+

∂H0

∂xdx = Q − W (12)

con:

1.3 Equazioni in notazione matriciale 7

• Q = potenza termica scambiata dal sistema con l’esterno = q · ρFdx

q rappresenta la potenza termica trasmessa per unita di massa attraver-so le pareti del condotto. Q e positivo se fornito al sistema.

• L = potenza meccanica. Nel caso di un gas che percorre i condotti aventipareti rigide, la potenza meccanica trasmessa dal sistema all’esterno e nulla.

•∂H0

∂xdx = flusso netto di entalpia di ristagno.

H0 = mh0 = (ρuF ) · (cvT +p

ρ+

u2

2)

essendo valide per l’energia interna la relazione

e0 = e +1

2u2

mentre per l’entalpia totale

h0 +p

ρ

• Variazione temporale dell’energia del volume di controllo:

∂E

∂t=

∂[(ρFdx)(cvT + u2

2)]

∂t

Nel caso di gas che percorre un condotto di un motore a combustione interna, ilcontributo del lavoro meccanico e nullo, essendo le pareti del sistema rigide.Sostituendo le relazioni mostrate in (12) l’equazione dell’energia assume la forma:

∂(ρe0F )

∂t+

∂(ρuh0F )

∂x− ρqF = 0 (13)

1.3 Equazioni in notazione matriciale

Le tre equazioni di conservazione per il flusso instazionario, comprimibile per ilcaso monodimensionale sono:

8

∂ρF

∂t+

∂(ρuF )

∂xdx = 0

∂(ρuF )

∂t+

∂(ρu2 + p)F

∂x−p∂F

∂x+ 1

2ρu2fπDdx = 0

∂(ρe0F )

∂t+

∂(ρuh0F )

∂x− ρqF = 0

Una forma alternativa per rappresentare il sistema iperbolico e quella matriciale,in cui le equazioni sono espresse in funzione delle variabili conservate (densitaρ = ρ(x, t), componente del momento ρu ed energia totale per unita di massa E ).La forma matriciale assume la forma:

∂W(x, t)

∂t+

∂F(W)

∂x+ B(W) + C(W) = 0 (14)

in cui sono stati definiti i seguenti vettori:

W(x, t) =

ρF

ρuF

ρe0F

, F(W) =

ρuF

pF + ρu2F

ρuh0F

,

B(W) =

0−pdF

dx

0

, C(W) =

0ρGF

−ρ(q + qre)F

Il termine G che compare nel vettore C(W) rappresenta la componente di re-sistenza che le pareti del condotto esercitano sul fluido e viene espressa tramitela seguente relazione:

G = fu2

2

u

|u|

4

D. (15)

dove f indica il coefficiente di attrito sulle pareti del condotto. Il valore di f

e valutato sulla base di correlazioni empiriche presenti in letteratura [5].

1.4 Chiusura del set di equazioni 9

1.4 Chiusura del set di equazioni

Il sistema descritto in (8), (11) e (13) e composto da tre equazioni in quattroincognite (p, ρ, u, e) ed, in quanto tale, non ammette soluzione. Nel caso diproblemi riguardanti il moto dei gas nei condotti di un motore a combustione in-terna, l’equazione di stato per i gas ideali puo costituire la relazione che permettela chiusura del sistema di equazioni.

p

ρ= RT (16)

La relazione di gas ideale (16) introduce la variabile T (temperatura del gas), maallo stesso tempo fornisce la possibilita di esprimere energia interna ed entalpiadel gas come funzioni della temperatura:

e = e(T ) (17)

h = h(T ) (18)

Nell’ipotesi di gas ideale, il sistema da risolvere diventa di sei equazioni indipen-denti in sei incognite (ρ, u, p, h e T).

1.4.1 Ipotesi di gas perfetto

Nel caso in cui il gas sia anche assunto come perfetto, l’entalpia h e l’energiainterna e sono direttamente proporzionali alla temperatura del gas:

e = cvT (19)

h = cpT (20)

1.4.2 Ipotesi di gas ideale multicomponente

Per un gas ideale multicomponente si assume che i calori specifici siano dipendentidalla temperatura e dalla composizione chimica. L’ipotesi di gas ideale multicom-ponente permette di valutare gli effetti che la variazione di composizione del gase la presenza di superfici di contatto hanno sulla propagazione del moto ondosoall’interno dei condotti. Le molecole componenti il gas hanno gradi di libertavibrazionali e rotazionali differenti e quindi una differente risposta termica. Par-tendo dall’espressione dell’equazione di stato dei gas perfetti e considerando ognisingolo componente del gas come se occupasse da solo tutto il volume disponibile,per ogni singola specie vale la relazione:

pj

V

Nj

= RT. (21)

10

Dalla combinazione delle equazioni (16), (21) si esprime la composizione del gasin termini di frazione molare:

pj

p= xj =

Nj

N= RT (22)

dove xj e appunto la frazione molare della specie j-esima. L’equazione di statocercata e scritta, nella forma finale, come:

p =ρRT

N∑

j=1

xjMmi

(23)

Come gia mostrato in precedenza, la chiusura del sistema di equazioni e possi-bile mediante l’introduzione di due ulteriori relazioni; nel caso di gas perfettole relazioni utilizzate erano la (17) e la (18). Avendo ora ipotizzato di trattareun gas composto da una miscela di gas ideali, la dipendenza dell’energia internadalla temperatura diventa leggermente piu complessa che nel caso di gas per-fetto monocomponente a calori specifici costanti. E necessario infatti ricavarele espressioni cercate per ogni singola specie della miscela, tenendo conto dellafrazione massica della specie all’interno della miscela. Per ogni singola specie valequindi la seguente relazione:

ej(T ) =N

∑

k=1

ajkTk (24)

dove i coefficienti ajk sono determinati sperimentalmente e disponibili in letter-atura. Nel caso in cui si utilizzi una relazione polinominale di secondo grado, la(24) assume la forma:

ej(T ) = aj1T + aj2T2. (25)

L’energia interna della miscela sara la somma delle energie interne delle singolespecie della miscela pesate rispetto alla loro frazione molare.

e(T ) =2

∑

i=1

N∑

j=1

xjajiTi (26)

La formulazione del sistema iperbolico (45) scritto deve allora essere estesa: no-do per nodo e necessario considerare le singole specie componenti la miscela digas ideali e bisogna introdurre nel vettore dei termini sorgenti il contributo dellereazioni chimiche. Cio e possibile dal punto di vista analitico applicando il princi-pio di conservazione della massa a tutte le n specie chimiche presenti nella misceladi gas. Le propieta del fluido vengono ancora descritte dal sistema iperbolico diequazioni visto nel caso di gas perfetto, in cui pero la velocita della miscela e

1.4 Chiusura del set di equazioni 11

definita come la velocita del centro di massa e l’energia interna e calcolata sec-ondo l’Eq. (26). Affinche il sistema risulti chiuso e necessario aggiungere Nn−1

equazioni di continuita per le singole specie chimiche:

∂(ρYiF )

∂t+

∂(ρuYiF )

∂x− ρYiF = 0 (27)

che in forma matriciale si scrive:

∂Wi

∂t+

∂Fi(W )

∂x+ Bi(W ) + Ci(W ) = 0, (28)

dove i termini Wi, Fi e Ci sono

Wi =

ρY1F

ρY2F

ρY3F...

ρYn−1F

,Fi =

ρuY1F

ρuY2F

ρuY3F...

ρuYn−1F

,Bi = [0],Ci =

−ρY1F

−ρY2F

−ρY3F...

−ρ ˙Yn−1F

, (29)

in cui Yj e la frazione massica nel volume di controllo per la specie j-esima e Yj

e la corrispondente velocita di variazione di concentrazione dovuta alla presenzadi reazioni chimiche. L’Eq. (28) esprime la conservazione della massa per N-1specie; la frazione massica della N-esima specie e funzione delle restanti:

NS∑

j=1

Yj = 1 (30)

Quanto detto mostra che il sistema di conservazione nel caso in cui si trasportinole specie chimiche e composto da tre equazioni di massa, energia e quantita dimoto, da N-1 equazioni di conservazione della massa delle singole specie chimichee da un’equazione di stato per le specie chimiche. Il sistema iperbolico in no-tazione matriciale assumera la seguente espressione:

12

∂W

∂t+

∂F(W )

∂x+ B(W ) + C(W ) = 0, (31)

W =

ρF

ρuF

ρe0F

ρY1F...

ρYn−1F

, F =

ρuF

pF + ρu2F

ρuh0F

ρuY1F...

ρuYn−1F

,

(32)

B =

0−pdF

dx

00...0

, C =

0ρGF

−ρ(q + qre)F

−ρY1F...

−ρYn−1F

Dal punto di vista computazionale, esprimere il sistema di conservazione in fun-zione delle variabili conservate puo risultare vantaggioso. In tempi piuttostorecenti una larga classe di metodi numerici per la risoluzione del sistema di con-servazione nel dominio discreto. Qui a seguito verranno mostrati alcuni meto-di risolutivi L’ipotesi base e che le grandezze trattate siano continue, cosicchel’operazione di differenziazione risulta definita.

1.5 Formulazione conservativa

Le equazioni di conservazione del sistema (45) appaiono nella formulazione co-munemente definita come conservativa; lo stesso set di equazioni puo essere scrittoin una formulazione alternativa, detta non conservativa. Questo tipo di nomen-clatura puo a volte trarre in inganno, dal momento che in entrambi i casi levariabili si conservano. Se si considera l’equazione della quantita di moto per uncondotto a sezione costante

∂(ρu)

∂t+

∂(ρuu)

∂x= S (33)

1.5 Formulazione conservativa 13

Sviluppando i termini all’interno delle parentesi

ρ∂u

∂t+ u

∂ρ

∂t+ u

∂(ρu)

∂x+ (ρu)

∂u

∂x= S

e dopo opportuno raccoglimento, si ha:

u

[

∂(ρu)

∂x+

∂ρ

∂t

]

+ ρ

(

∂u

∂t+ u

∂u

∂x

)

= S (34)

Sostituendo la (8) in (34), l’equazione della quantita di moto risulta:

ρ

(

∂u

∂t+ u

∂u

∂x

)

= S (35)

L’equazione (35) e l’equazione di conservazione della quantita di moto espressanella forma non conservativa. Dal punto di vista analitico le due formulazionisono esattamente equivalenti, mentre non e cosı quando si integrano le equazioniper via numerica mediante discretizzazione. Nella (35) i termini non lineari nonsono infatti piu contenuti nell’operatore di derivazione. Osservando il termine deiflussi nella (11) si ha:

∂(ρu2)

∂x(36)

mentre nella (35):

u∂(ρu)

∂x(37)

Mentre l’integrazione del termine (36) richiede solamente che la condizione “de-bole” di integrabilita della funzione sia soddisfatta, la (37) richiede quella mag-giormente restrittiva di derivabilita, la quale viene a cadere in corrispondenzadelle discontinuita. Da cio consegue che la conservazione delle variabili integran-do per via numerica e piu semplicemente ottenibile con la formulazione conser-vativa. La forma integrale del sistema di conservazione scritto con formulazione

14

conservativa e:

∫

x

∫

t

[

∂W

∂t+

∂F(W )

∂x+ B(W ) + C(W )

]

dxdt = 0, (38)

La conservazione e ovviamente possibile anche con la formulazione non conserva-tiva, ma l’operazione dal punto di vista matematico e piu complessa.Si noti infine che, quando si parla di conservazione, ci si riferisce sempre ai terminidi flusso, non alle equazioni. Nella forma conservativa e piu semplice garantirela conservazione dei flussi che attraversano il volume di controllo: per questomotivo la formulazione conservativa e preferita per problemi in cui si possanoverificare fenomeni di onde d’urto (shock). Non essendo possibile definire unamesh cosı fitta da discretizzare il fenomeno dello shock, l’unico modo di studiarloe racchiuderlo all’interno del volume di controllo considerato e trattarlo con unopportuno metodo numerico, cercando di garantire la conservazione delle vari-abili tra l’ingresso e l’uscita del volume di controllo. I metodi adatti a risolverequesto tipo di problema sono chiamati “metodi shock-capturing” e si basano pro-prio sulla risoluzione delle equazioni di conservazione in forma conservativa. Unaalternativa a questi metodi e rappresentata dai metodi “characteristic based” cherichiedono la formulazione non conservativa.

2 Metodi mumerici

La relazione (38) descrive un sistema iperbolico alle derivate parziali la cui risoluzioneanalitica e, a tutti gli effetti, impossibile da ricavare se non con l’introduzionedi ipotesi semplificative. Per questo motivo la soluzione numerica, e quindi inquanto tale approssimata, costituisce l’unica via per risolvere il problema. Leequazioni di conservazione verranno quindi discretizzate e ridotte a relazioni al-gebriche definite per ogni punto rappresentativo del dominio. Storicamente, ilmetodo delle caratteristiche, introdotto per la prima volta da Riemann, costi-tuisce il primo capitolo della storia del calcolo numerico applicato a problemifluidodinamici. Nel caso di problemi non lineari tuttavia, tale metodo presentavanumerose difficolta nel catturare e trasportare discontinuita nella soluzione qualipossono essere superfici di contatto od onde d’urto che si propagano in seno alfluido. Lax [2] successivamente propose un metodo shock-capturing basato sullascrittura delle equazioni di conservazione in forma integrale. Tale metodo vennein seguito esteso ad ordini di accuratezza superiori da altri studiosi, tra i qualiMacCormack [4] e Ritchmyer. I metodi numerici di tipo “shock capturing” sipossono dividere pertanto in due famiglie:

• Metodi non-upwinded, detti anche simmetrici o centrati .Fissato un numero di maglie n per il condotto in esame, queste tecniche

2.1 Il metodo delle caratteristiche 15

applicano in ogni nodo lo schema alle differenze finite per esprimere i terminialle derivate parziali. A questa famiglia appartengono i metodi di Lax-Wendroff e di MacCormack.

• Metodi upwinded, o characteristic-based .A questo gruppo appartengono i metodi che sfruttano l’informazione porta-ta dalle linee caratteristiche. Contrariamente al caso precedente, le differen-ze finite sono in questo caso upwinded (inclinate), in base alla direzione delsegno della velocita caratteristica.

metodi

2.1 Il metodo delle caratteristiche

Il metodo delle caratteristiche e stato uno dei primi metodi numerici utilizzatiper la risoluzione di problemi di fluidodinamica. Il metodo, applicato alla formu-lazione non conservativa delle equazioni di conservazione, si basa sulla proprietasecondo cui in tutti i problemi descritti da sistemi di equazioni di tipo iperbolicola perturbazione si propaga lungo una direzione precisa sul piano (x,t) [6]. Lungotali direzioni caratteristiche, dunque, il sistema alle derivate parziali puo essereridotto ad un sistema di equazioni differenziali ordinarie di cui e possibile trovarela soluzione analitica.Il metodo delle caratteristiche e un metodo numerico con accuratezza del primoordine basato sulla formulazione non conservativa e non puo risolvere le disconti-nuita in seno al flusso; nonostante cio, questo metodo e molto utilizzato, dal mo-mento che storicamente fu il primo metodo ad essere applicato per la risoluzionedelle equazioni di conservazione [7].

Di seguito vengono ricavate di nuovo le equazioni di conservazione della quan-tita di moto e dell’energia nella forma non conservativa, su cui la teoria dellecaratteristiche verra applicata.

2.1.1 Equazione di conservazione della quantita di moto nella formu-

lazione non conservativa

L’equazione (11) nella formulazione conservativa era:

∂(ρuF )

∂t+

∂(ρu2 + p)F

∂x= p

∂F

∂x−

1

2ρu2fπD

Essendo F = F (x) (la sezione non varia in funzione del tempo, ma varia so-lamente in funzione della coordinata assiale), si puo scrivere:

16

[

∂(ρuF )

∂t+

∂(ρuuF )

∂x

]

+∂pF

∂x− p

∂F

∂x+

1

2ρu2fπD = 0 (39)

da cui:

[

u∂(ρF )

∂t+ ρ

∂(uF )

∂t+ (ρuF )

∂u

∂x+ u

∂(ρuF )

∂x

]

+∂pF

∂x− p

∂F

∂x+

1

2ρu2fπD =

= u

[

∂(ρF )

∂t+

∂(ρuF )

∂x

]

+ ρF

[

∂u

∂t+ u

∂u

∂x

]

+ F∂p

∂x+ p

∂F

∂x− p

∂F

∂x+

1

2ρu2fπD dx =

= ρ F

[

∂u

∂t+ u

∂u

∂x

]

+ F ·∂p

∂x+

1

2ρu2fπD = 0

pertanto:

[

∂u

∂t+ u

∂u

∂x

]

+1

ρ

∂p

∂x+ G = 0 (40)

con

G =1

2u2fπD

F=

1

2u2f

4

D

ed F =πD2

4.

2.1.2 Equazione di conservazione dell’energia nella formulazione non

conservativa

L’equazione dell’energia (12) nella forma conservativa era:

∂(E0)

∂t+

∂H0

∂xdx = Q − W

2.1 Il metodo delle caratteristiche 17

con E0 = e +u2

2ed H0 = e +

u2

2+

p

ρ. Una volta sviluppati i termini delle

derivate parziali si ottiene:

∂e

∂t+ u

∂e

∂x−

p

ρ2

[

∂ρ

∂t+ u

∂ρ

∂x

]

− (q + uG) = 0 (41)

L’equazione dell’energia, riscritta per il caso di un gas ideale (p

ρ= RT ) diventa:

∂p

∂t+ u

∂p

∂x− a2

[

∂ρ

∂t+ u

∂ρ

∂x

]

− (k − 1)ρ(q + uG) = 0 (42)

Infatti, differenziando l’equazione (17) rispetto al tempo t ed alla distanza x,si ha:

∂e

∂t=

∂e

∂T·∂T

∂te

∂e

∂x=

∂e

∂T·∂T

∂x(43)

Per definizione cv =

(

∂e

∂T

)

, cosı

∂e

∂t= cv

∂T

∂te

∂e

∂x= cv

∂T

∂x(44)

Dalla differenziazione dell’equazione di stato dei gas perfetti (16) rispetto al tem-po ed allo spazio si ottiene:

∂T

∂t=

1

ρR·∂p

∂t−

T

ρ·∂ρ

∂t−

T

R·∂R

∂t

∂T

∂x=

1

ρR·∂p

∂x−

T

ρ·∂ρ

∂x−

T

R·∂R

∂x

Sostituendo le relazioni (44) nell’equazione dell’energia in forma non conservative

18

si ottiene la (42).L’intero sistema di conservazione puo essere pertanto scritto come:

∂ρ

∂t+

∂(ρu)

∂xdx +

ρu

F

∂F

∂x= 0

[

∂u

∂t+ u

∂u

∂x

]

+1

ρ

∂p

∂x+ G = 0

∂p

∂t+ u

∂p

∂x− a2

[

∂ρ

∂t+ u

∂ρ

∂x

]

− (k − 1)ρ(q + uG) = 0

In forma vettoriale:

∂V

∂t+ A

∂V

∂x+ C = 0 (45)

con:

V(x, t) =

ρ

ρu

p

A =

u ρ 00 u 1

ρ

0 a2ρ u

C =

ρu

0a2ρu

1

F

∂F

∂x+

0G

(k − 1)ρ(q + uG)

Le equazioni di conservazione in forma non conservativa vengono poi combinatelinearmente per giungere alla formulazione cercata:

energia + a2 · massa + ρa · [quant. di moto] = 0energia + a2 · massa − ρa · [quant. di moto] = 0energia

Il sistema di equazioni assume la forma:

2.1 Il metodo delle caratteristiche 19

∂p

∂t+ (u + a)

∂p

∂x+ ρa

[

∂u

∂t+ (u + a)

∂u

∂x

]

+ ∆1 + ∆2 + ∆3 = 0

∂p

∂t+ (u + a)

∂p

∂x− ρa

[

∂u

∂t+ (u + a)

∂u

∂x

]

+ ∆1 + ∆2 − ∆3 = 0

(

∂p

∂t+ u

∂p

∂x

)

− a2

(

∂ρ

∂t+ u

∂ρ

∂x

)

+ ∆1 = 0

con

∆1 = −(k − 1)ρ(q + uG)

∆2 =a2ρF

F

∂F

∂x(46)

∆3 = ρaG

∆1 e il termine sorgente legato al calore e all’attrito; ∆2 e il termine sorgenteche comprende il contributo della variazione di sezione del condotto; ∆3, infine,contiene il contributo dell’attrito.Esistono delle linee (linee caratteristiche) lungo le quali le equazioni appena ot-tenute possono essere scritte come equazioni differenziali alle derivate ordinarie.La pendenza nel piano (x,t) delle linee caratteristiche e dettata dalle proprietadel flusso.

∂x

∂t= u + a

∂x

∂t= u − a

∂x

∂t= u

le prime due equazioni sono le linee caratteristiche e sono legate alla natura

20

propagatoria della soluzione cercata;∂x

∂t= u± a rappresenta la velocita assoluta

con cui la perturbazione si propaga nel condotto. La terza linea trasporta invecel’informazione relativa al flusso entropico.

2.1.3 Equazione dell’energia nel caso omoentropico

Se il flusso e omoentropico, G = 0 e q = 0. Infatti dall’equazione dell’energia(calcolata sulla path line) si ha:

∂e

∂t+ u

∂e

∂x−

p

ρ2

[

∂ρ

∂t+ u

∂ρ

∂x

]

− (q + uG) = 0 (47)

da cui:

de

dt−

p

ρ

dρ

dt− (q + uG) = 0 (48)

essendo dρ = d

(

1

v

)

=

(

−1

v2

)

dv:

−p

ρ2dρ = pdv (49)

Dalla sostituzione di (49) in (48) si ottiene:

de + pdv = (q + uG)dt (50)

Essendo de + pdv = TdS (relazione di Gibbs), si giunge a:

dS =(q + uG)

Tdt (51)

Riferimenti bibliografici 21

Un sistema e omoentropico quando il livello entropico rimane costante ed il pas-saggio dell’onda (path line) non ne cambia l’entropia. La (51) mostra che unsistema e omoentropico (dS = 0), quando q = 0 e G = 0, per cui ∆1 = ∆3 = 0.In questo caso l’equazione dell’energia diventa:

dp

dt− a2

dρ

dt= 0 (52)

quindi

(

dp

dρ

)

S=cost

= a2 (53)

Riferimenti bibliografici

[1] R. S. Benson. The thermodynamics and gas dynamics of internal combustion

engines. Clarendon Press, 1986.

[2] P. D. Lax. Weak solution of nonlinear hiperbolic equations and their numericalcomputation. Comm. Pure. Appl. Math., 1954.

[3] R. J. LeVeque. Numerical methods for conservation laws. ETH Zurich, 1992.

[4] R. W. MacCormak. The effect of viscosity in hipervelocity and impactcratering. AIAA paper, 1969.

[5] D. S. Miller. Internal flow systems. BHRA, Cranfield, 1990.

[6] A. Quarteroni. Modellistica Numerica per Problemi Differrenziali. Springer,2000.

[7] D.E. Winterbone and R. J. Pearson. Theory of engine manifold design.Society of Automotive Engineers, Inc., 2000.

22 Indice

Indice

1 Equazioni di Conservazione 2

1.1 Classificazione dei sistemi di equazioni differenziali . . . . . . . . . 31.2 Le equazioni di Eulero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2.1 Equazione di conservazione della massa . . . . . . . . . . . 51.2.2 Equazione di conservazione della quantita di moto . . . . . 51.2.3 Equazione di conservazione dell’energia . . . . . . . . . . . 6

1.3 Equazioni in notazione matriciale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.4 Chiusura del set di equazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.4.1 Ipotesi di gas perfetto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.4.2 Ipotesi di gas ideale multicomponente . . . . . . . . . . . . 9

1.5 Formulazione conservativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2 Metodi mumerici 14

2.1 Il metodo delle caratteristiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.1.1 Equazione di conservazione della quantita di moto nella

formulazione non conservativa . . . . . . . . . . . . . . . . 152.1.2 Equazione di conservazione dell’energia nella formulazione

non conservativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.1.3 Equazione dell’energia nel caso omoentropico . . . . . . . . 20