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1.1 RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO

1.1.1 NOCIONES DE RECTAS EN EL ESPACIO En el plano una recta no paralela al eje “y” queda determinada por un punto sobre ella y por un número real “m”, llamado su pendiente, el cual representa la inclinación de esta recta (rectas con la misma pendiente son paralelas). Esta pendiente se puede hallar conociendo dos puntos sobre la recta, pues una recta queda determinada por dos puntos. Se trata ahora de considerar una recta en el espacio y de determinar su ecuación: fijamos un vector

( ) 0,,r

≠= cbaV , recurriendo a la idea primaria que tenemos de paralelismo, es claro que existirán infinitas rectas paralelas a ese vector; pero si además de V, fijamos un punto ( )0,000 , zyxP = , solamente existirá una recta paralela a V que pase por ese punto 0P , es decir, una recta queda determinada por un vector V que indica su dirección y un punto 0P sobre la recta.

Figura 1.1.1.1

x

y

z

O

V

• P0

P

En la Figura 1.1.1.1 tenemos una recta que lleva la dirección de ( )cbaV ,,= y pasa por el punto ( )0,000 , zyxP = , sea ( )zyxP ,,= un punto cualquiera representativo de la recta; el vector 0PP− como

reposa en la recta entonces lleva la misma dirección de V, es decir 0PP− es paralelo a V, luego existe un Rt ε (que depende de P) tal que:

VtPP =− 0 Al cambiar de posición P, el número real t cambiará, y recíprocamente si t recorre los números reales, P recorrerá todos los puntos de la recta. Es decir VtPP =− 0 con Rt ε es la ecuación de esta recta, y se llama “ecuación vectorial de la recta”. Si representamos P, 0P y V por medio de sus coordenadas tenemos: ( ) ( ) ( )cbatzyxzyx ,,,,,, 000 =− ( ) ( )tctbtazzyyxx ,,,, 000 =−−− es decir:

taxx =− 0 tbyy =− 0

tczz =− 0 con Rt ε , que son las llamadas “ecuaciones paramétricas de la recta”. Si fijamos dos puntos ( )0,000 , zyxP = y ( )1,111 , zyxP = , estos dos puntos evidentemente determinan una recta: la recta que pasa por 0P (ó por 1P ) y que lleva la dirección del vector ( )1001 PPóPP −− , el cual como reposa sobre la recta lleva la dirección de ella; así la ecuación vectorial de la recta que pasa por 0P y por 1P está dada por:

( )010 PPtPP −=− con Rt ε y sus paramétricas por:

( )010 xxtxx −=− ( )010 yytyy −=−

( )010 zztzz −=− con Rt ε

EJEMPLO 1.1.1.1.Ecuación de una recta dado un punto y un vector director, y dados dos puntos a. Las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por ( )1,2,1 − y lleva la dirección de ( )5,3,2 son:

tx 21 =− ty 32 =− tz 51 =+ con Rt ε

b. Las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por los puntos ( ) ( )3,1,22,7,5 −=−= SyR , están dadas por:

( ) txtx 35525 −=−→−=− ( ) tyty 87717 =+→+=+ ( ) tztz 52232 −=−→−−=− con Rt ε

1.1.2 NOCIONES DE PLANOS EN EL ESPACIO Entre las figuras importantes en el estudio de la Geometría del Espacio están los Planos. Intuitivamente un plano en el espacio se puede considerar como una de las caras de una tabla (solo la faz, sin considerar ningún grosor) a la que se han hecho tender sus bordes hacia el infinito. Con esta idea tratemos de encontrar los elementos esenciales que determinan un plano: Primero que todo diremos que un vector es perpendicular a un plano, si lo es a cada uno de los vectores que reposan en él (los que tienen sus puntos final e inicial sobre el mismo plano). De acuerdo a esto, si fijamos un vector ( )CBAN ,,= , existirán infinitos planos a los cuales es perpendicular ese vector N (todos los infinitos planos “paralelos” a los cuales llega N perpendicularmente), pero solamente uno de ellos pasará por un punto fijo ( )0,000 , zyxP = dado. Es decir, un plano queda determinado por algún punto conocido que pertenezca a dicho plano, y por un vector que sea perpendicular (o también se dice “normal”) al mismo.

Figura 1.1.2.1 En la Figura 1.1.2.1 hemos representado el plano que pasa por el punto fijo ( )0,000 , zyxP = y es

N

P • P0 •

x

y

z

normal a un vector dado ( )CBAN ,,= . Sea ( )zyxP ,,= un punto representativo del plano, como

0PP− es un vector que reposa en él, entonces N debe ser perpendicular a 0PP− para cualquier P sobre el plano, es decir

( ) 00 =−• PPN que es la llamada ecuación vectorial de ese plano. Si representamos N, P, 0P por medio de sus componentes tenemos: ( ) ( ) ( )[ ] 0,,,,,, 000 =−• zyxzyxCBA ( ) ( ) 0,,,, 000 =−−−• zzyyxxCBA ( ) ( ) ( ) 0000 =−+−+− zzCyyBxxA

( ) 0000 =++−++ CzByAxCzByAx

000 CzByAxCzByAx ++=++ como 000 ,,,,, zyxCBA son números dados, entonces llamando 000 CzByAxD ++= , se obtiene la conocida “ecuación cartesiana” del plano que pasa por 0P y es normal al vector ( )CBAN ,,= :

DCzByAx =++ NOTAS: 1. Si se quiere hallar la ecuación de un plano que pasa por un punto 0P y que es normal a un vector

N, se puede hallar también tomando en lugar de N cualquier vector paralelo a N, o también tomando en lugar de 0P cualquier otro punto fijo sobre el plano. Las ecuaciones halladas de una u otra forma difieren en que la una es el producto de una constante por la otra.

2. Un plano de la forma 0=++ CzByAx , es un plano que pasa por el origen, pues tomando

( )0,0,00 =P entonces ( ) ( ) 00,0,0,,0 === •• CBAPND

DEFINICIÓN 1.1.2.1. Planos paralelos Dos planos se dicen paralelos si todo vector normal a uno de ellos es paralelo a cualquier vector normal al otro. De acuerdo a esta definición, dos planos paralelos siempre se pueden representar mediante ecuaciones que solo difieran en el valor de D.

EJEMPLO 1.1.2.1. Ecuaciones de planos y de planos paralelos a. Para hallar la ecuación del plano que pasa por el punto ( )5,2,3 − y es normal al vector ( )4,3,2

1 ,

hallamos primero ( ) ( ) 2252062

34,3,215,2,3 −=−+=−= •D ,

entonces la ecuación de este plano será:

22543

21

−=++ zyx

b. La ecuación del plano que pasa por el origen y es normal al vector ( )9,7,2 − es:

0972 =+− zyx

c. Los planos: 32743 =+− zyx y 721129 =+− zyx son paralelos, pues el vector ( )7,4,3 − es paralelo al vector ( )21,12,9 − , pues ( ) ( )7,4,3321,12,9 −=− .

d. Cualquier vector paralelo al plano xy, pasará por todos los puntos de la forma ( )cyx ,, para algún c fijo; en especial pasará por el punto ( )c,0,0 , y lógicamente el vector ( )1,0,0=k

r será normal a

él, por consiguiente su ecuación será: ( ) ( )1,0,0,0,0100 •=++ czyx es decir cz = e. Análogamente, cualquier plano paralelo al plano xz será de la forma cy = , y cualquier plano

paralelo al plano yz será de la forma cx = .

DEFINICIÓN 1.1.2.2. Vectores paralelos a planos y planos perpendiculares a. Un vector V se dice paralelo a un plano Π si es perpendicular a cualquier vector normal al plano

Π, es decir si 0=• NV siendo N cualquier vector normal al plano Π .

b. Dos planos Π1 y Π2 se dicen perpendiculares si 021 =• NN donde 1N es cualquier vector normal al plano Π1 y 2N cualquier vector normal al plano Π2.

Dados tres puntos no colineales en el espacio, existe solamente un plano que los contiene a todos, es decir, tres puntos no colineales determinan un plano. Surge entonces la pregunta de cómo encontrar la ecuación de un plano conocidos tres puntos en él?, pregunta que se responderá satisfactoriamente si logramos encontrar un vector normal a dicho plano. Como los tres puntos determinan dos vectores que reposan en el plano, entonces basta con hallar un vector que sea normal a los dos vectores, y este como sabemos puede ser el producto vectorial entre ellos. Así (Figura 1.1.2.2) sean 0P , P1 y 2P , tres puntos en el espacio no colineales, los vectores 0P - 1P , y 2P - 1P reposan en un mismo plano, por tanto el vector ( 0P - 1P ) × ( 2P - 1P ) es un vector perpendicular a este plano. Considerando este vector como el vector N normal al plano, y cualquiera de los puntos dados, por ejemplo 0P , como el punto sobre él, se tiene por tanto que su ecuación vectorial estará dada por:

[( 0P - 1P ) × ( 2P - 1P ) ] • ( P - 0P ) = 0

Figura 1.1.2.2

P1

P0

P2

( P0 - P1 ) × ( P2 –

EJEMPLO 1.1.2.2. Ecuación de plano que pasa por tres puntos dados Para hallar la ecuación del plano que pasa por los puntos P1 = (1, 0,0), P2 = (2, 0,1) y P3 = (1,-1,2), hallamos primero los vectores (P3 - 1P ), y ( 2P - 1P ): ( 2P - 1P ) = (2, 0,1) - (1, 0,0) = (1, 0,1) (P3 - 1P ) = (1,-1,2) - (1, 0,0) = (0, -1, 2) los cuales reposan sobre el plano buscado. Luego hallamos el vector normal N que es el producto vectorial de estos dos vectores, es decir:

( ) ( ) ( ) Nkji

PPPP =−=−

=−×− 1,2,12101011312

y tomando como P0 cualquiera de los tres puntos dados, por ejemplo tomemos el punto P1 = (1, 0,0) entonces D = (1, 0,0). (1, 2,-1) = 1, y la ecuación quedará: x + y – z = 1