Алгебрични модели на преходи между заплетени състояния и специфични собствени стойности на системи

ПУБЛИКУВАНО ОНЛАЙН ОКТОМВРИ 2012

Николай Райчев © 2012

Алгебрични модели на преходи между заплетени състояния и специфични

собствени стойности на системи с две или три нива

Николай Райчев

Abstract— В това проучване са разгледани последните теоретични изследвания и приложения на чисти и смесени двойн o

и тройнo-заплетени състояния. След запознаване с основните понятия на традиционните методологии за заплитане, са

обобщени основните явления и наблюденията на различните подходи за многомерно заплитане. По-специално се изследва

влиянието на различните параметри на тези системи на заплитането. В това изследване е предложен алгоритмичен модел

за трансформация на смесени заплетени състояния, и отстраняване на кюбит от GHZ състояние чрез измерване по оста на

въртене, която е перпендикулярна на оста на заплитане и с помощта на резултата от измерването може да се направи

корекция на фазата.

Index Terms— boolen function, circuit, composition, encoding, gate, phase, quantum

I. ВЪВЕДЕНИЕ

Всяко многочастично унитарно преобразувание може да се разложи като произведение от едночастични гейтове и двучастични CNOT гейтове [1]. Контролираното многочастично взаимодействие между кюбитите създава така наречените заплетени състояния, които са интересни освен за фундаменталното изучаване на квантовата механика, така също намират приложение в свръх прецизната спектроскопия [7] и в квантовата информация [1]. Заплетено състояние е многочастично състояние, вълновият вектор на което не може да се представи като тензорно произведение на индивидуалните едночастични вълнови вектори. Като пример за такова заплетено състояние е двукюбитното Бел състояние

|𝐵𝑒𝑙𝑙⟩ =1

√2(|01⟩|02⟩ + |11⟩|12⟩)

Където |𝑛1,2⟩ (𝑛 = 1,2) е състоянието, съответно на първия и втория кюбит. Според вероятностната

интерпретация на квантовата механика, ако първия кюбит е намерен в състояние |01⟩ или |11⟩, то тогава втория кюбит ще е в състояние |12⟩ или |01⟩, дори когато няма физическо взаимодействие между тях. 2. ОБЩ МОДЕЛ ЗА РЕДУЦИРАНЕ НА ТРОЙНО ЗАПЛИТАНЕ ДО СИСТЕМА С ДВЕ НИВА. В това изследване се преглеждат последните теоретични изследвания и приложения на чисти и смесени двойно и тройно заплетени състояния. След запознаване с основните понятия на традиционните методологии за заплитане, са обобщени основните явления и наблюдения на различните подходи за многомерно заплитане. По-специално, ние изследваме влиянието на различните параметри на тези системи на заплитането. Подчертани са конкретните предимства на



използването на атомната Wehrl и Шанън ентропията. Въз основа на този резултат, ние предлагаме общ модел за редуциране на тройно заплитане до система с две нива. Ние разкриваме нови алгебрични модели за преходи между смесени заплетени състояния и специфични собствени стойности на системи с две и три нива, както и някои забележителни свойства на заплитанията, които могат да разкрият нов поглед върху квантовите корелации, които присъстват в моделите на няколко нива. Освен това, ние предлагаме една интуитивна представа за поведението на смесено заплетено състояние в присъствието на декохерентността. В това изследване числено се идентифицира и демонстрира района на параметрите, в които може да се получи значително заплитане. Заплетени състояния са експериментално демонстрирани в различни физични системи, като йони в йонна уловка, фотони, атоми в резонатор, Бозе-Айнщайн кондензат в оптична решетка, квантови точки и др. Стъпка към разбирането на ролята на заплетените състояния в квантовата информация е въвеждането на модела на еднопосочния квантов компютър [8]. В този нов модел, системата от кюбити се приготвя в заплетено клъстер състояние. Създаването на различни едникюбитни и двукюбитни гейтове се осъществява чрез измерване на определен брой кюбити, по този начин клъстер състоянието се разрушава, следователно процесът е необратим (еднопосочен). Интересен проблем в квантовата информация е използването на системи с повече от две състояния, наречени кюнити. Причината за това е факта, че в система от N състояния информацията се кодира в 2(N-1) реални параметри. Като сравнение, в кюбит информацията се кодира в два параметъра: една заселеност и една фаза. Следователно, използването на кюнити, вместо кюбити би довело до значително редуциране на броя частици, необходими за извършването на даден квантов алгоритъм. Основен проблем в квантовата информация е нежеланото взаимодействие между кюботите и заобикалящата ги среда, водещо до необратима загуба на кохерентност. Пример за такива некохерентни процеси са дефазирането и спонтанната емисия. Общи изисквания при замерване на заплитане: • C = 0 за уможение на състояния ρ = ρ𝐴⨂ρ𝐵. • C е константа за локални унитарни преобразования. Замерването е независимо от избора на базис. Мярката, която задоволява тези изисквания за чистите състояния е ентропията на заплитане. Това е една от най-простите мерки за квантово заплитане. Тя използва фон Нойман ентропията на операторa за плътност

𝑆(ρ) = −𝑇𝑟{ρ 𝑙𝑜𝑔2(ρ)} (1) Тя изчезва за чисто състояние, когато всички популации са 0 или 1 и достига своя максимум за напълно смесено състояние, когато

𝑆 (1

𝑁1) = −

1

𝑁𝑇𝑟 (ρ 𝑙𝑜𝑔2

1

𝑁1) = 𝑙𝑜𝑔2𝑁 (2)

където N е измерение на хилбертовото пространството. Фон Нойман ентропията е свързана с мярката за информация на Shannon, което е важно в контекста на информационен капацитет, и да ентропия Gibbs от статистическата механика. Полезно тълкуване на ентропията фон Нойман е, че тя представлява минималният брой на битовете, необходими за съхраняване на резултата от случайна променлива: A чисто състояние ρ1 = |Ψ⟩⟨Ψ| винаги може да се запише в своята eigenbase като



ρ1 = (1 00 0

) (3)

Нейната ентропия изчезва,

𝑆(ρ1) = 1 𝑙𝑜𝑔2(1) + 0𝑙𝑜𝑔2(0) = 0 (4)

Подходящ измерване на наблюдаваната σz което винаги дава резултат +1 и информация получена от такова измерване изчезва. За максимално смесено състояние

ρ2 =1

2(1 00 1

) (5)

Въпреки това, ентропията достигне максималната си стойност

𝑆(ρ2) = −𝑇𝑟 {(

1

20

01

2

) 𝑙𝑜𝑔2(

1

20

01

2

)} = 𝑇𝑟 {(𝑙𝑜𝑔22 00 𝑙𝑜𝑔22

)} = 1 (6)

Тук всяка двоична променлива генерира напълно произволни стойности. Затова всеки резултат трябва да бъде представлявана в един бит, компресия не е възможна. Ентропията на заплитане за двустранни чисти състояния се определя от фон Нойман ентропията на едно от редуцираните състояния:

𝐸(ρ) = 𝑆(ρ𝐴) = 𝑆(ρ𝐵) (7) Където ρ𝐴 = 𝑇𝑟𝐵(ρ) и обратно. Ако ρ е продуктово състояние, като |↑↑⟩, ρ𝐴 и ρ𝐵 са чисти състояния и ентропията изчезва. Ако състоянието е максимално заплетено, например

|Ψ⟩ =1

√2(|↑↑⟩ + |↓↓⟩) (8)

подсистемите стават напълно смесени, ρA = ρB = 1

21. Съответната ентропия на оплитане, ентропията

на максимално заплетените 2-кюбитови състояния е 𝐸(ρ) = 𝑆(ρ𝐴) = 𝑆(ρ𝐵) = 1 Инвариантно описание на чисти 2-кюбитови състояния

|Ψ⟩ = 𝛼|↑↑⟩ + 𝛽|↑↓⟩ + 𝛾| ↓ ↑⟩ + 𝛿|↓↓⟩ (9) е

𝐶 ∶= 2|𝛼𝛿 − 𝛽𝛾| ≥ 0 (10) C (Ψ1) = 0, т.е. състоянието не е заплетено. По същия начин, за

Ψ2 =1

2(| ↑⟩ + | ↓⟩)⨂(| ↑⟩ + | ↓⟩) =

1

2(1, 1, 1, 1) (11)

отново намираме C (Ψ2) = 0.



Eфекта на "заплитащ гейт", е подобен на този от CNOT гейт, ако ϕ = π,

𝐶𝑁 =

(

11

𝑐𝑜𝑠φ

2−𝑠𝑖𝑛

φ

2

𝑠𝑖𝑛φ

2𝑐𝑜𝑠

φ

2 )

(12)

Но.

Ψ3 = 𝐶𝑁 .Ψ2 = 1

2(1, 1, 𝑐𝑜𝑠

φ

2− 𝑠𝑖𝑛

φ

2, 𝑐𝑜𝑠

φ

2+ 𝑠𝑖𝑛

φ

2) (13)

Това съответства на "предварително измерване" в теорията на квантовото измерване, което заплита

системата с апарата. За това състояние, инвариантното описание е Ψ3 = 𝑠𝑖𝑛φ

2. Следователно

състоянието се заплита за всеки краен ъгъл φ. Заплитането достига своя максимум от 1/2 за ϕ = π,

където CN ≈ CNOT, с изключение на знака - и се връща към 0 за ϕ = 2π. Също така може да се изчисли ентропията на заплитането за това състояние. Операторът на пълна плътност има формата

𝜌3 =1

4

(

1 11 1

𝐶− 𝐶+𝐶− 𝐶+

𝐶− 𝐶−𝐶+ 𝐶+

1 − 𝑠𝑖𝑛 φ 𝑐𝑜𝑠φ

4

𝑐𝑜𝑠φ

41 + 𝑠𝑖𝑛 φ)

(14)

Където

𝐶∓ = 𝑐𝑜𝑠φ

2∓ 𝑠𝑖𝑛

φ

2 (15)

В тази статия се показва как да се „изтрие“ кюбит от GHZ състояние.

За подсистемите се получава

𝜌𝐴 = 𝑇𝑟𝐵(𝜌) =1

2(1 𝑐𝑜𝑠

φ

2

𝑐𝑜𝑠φ

21) (16)

𝜌𝐵 = 𝑇𝑟𝐴(𝜌) =1

2(1 −

1

2𝑠𝑖𝑛 φ 𝑐𝑜𝑠2

φ

2

𝑐𝑜𝑠2φ

21 +

1

2𝑠𝑖𝑛 φ

) (17)

Където използваме тригонометрична идентичност 1 + 𝑐𝑜𝑠φ 4 = 𝑐𝑜𝑠2 φ 2⁄⁄ . Разликата между ρA и ρB отразява асиметрична роля между контролният и целевият бит в CNOT оператора.



Зависимостта е различна от тази на инвариантност C(Ψ3) за същото състояние, което започва линейно с φ и достига максимална стойност от 0,5. Въпреки това и двете заплитания достигат максимума за едно и също състояние и изчезват, когато състоянието е отделимо. За плътностни матрици, инвариантността се определя като

𝐶(𝜌) = max (0,λ1 −λ2 −λ3 −λ4) (18) Където λ𝑖 са собствени стойности на Ермитов оператор в нарастващ ред.

𝑅 = √√𝜌�̃�√𝜌 �̃� = (𝜎𝑦⨂𝜎𝑦) 𝜌∗(𝜎𝑦⨂𝜎𝑦) (19)

Инвариантността и ентропията определят количественото оплитането между 2 кюбита. В 3-кюбитова система ABC, кюбитите могат да бъдат по заплетени по двойки, т.е. A може да се заплете с B или C, но също така съществуват и threeway заплетени състояния, които не са заплетени по двойки. Тройните заплитания може да се определят количествено чрез няколко мерки за заплитане, които се наричат "tangle".

𝜏2 =𝐶122 +𝐶23

2 +𝐶132

3 (20)

Където Cik измерва заплитането по двойки между кюбити i и k. Всяка от тях се определя чрез проследяване през третият кюбит и след това с помощта уравнение (18) за полученото 2-кюбитово подпространството, което може да бъде чисто или заплетено. Заплитането между единият кюбит и двата други може да се измери чрез двустранна инвариантност

𝐶𝑖(𝑗𝑘) = √2− 2𝑇𝑟(𝜌𝑖2) (21)

където ρi е подсистемата на кюбит I, получен чрез проследяване над другите двa кюбитa. Ако

чистото 3- кюбитово състояние е продуктово състояние, ρi е чисто състояние и затова ρi = 𝜌𝑖2 и Tr(𝜌𝑖

2)

= 1 и 𝐶𝑖(𝑗𝑘) = 0. За заплетено състояние Tr(𝜌𝑖2) < 1 и 𝐶𝑖(𝑗𝑘) > 0. За максимално заплетеното състояние

ρi = 1

21 и 𝐶𝑖(𝑗𝑘) = 1.

Тази двустранната инвариантност показва, дали даден кюбит i е заплетен само с един от другите два кюбита или и с двата. Това може да се определи количествено чрез тройно заплитане τ3, което изважда заплетените двойки кюбити i с 𝑗 и 𝑘 от двустранната инвариантност, за да се получи значението на тройното заплитане от чисто три кюбитово състояние:

𝜏3 = 𝐶𝑖(𝑗𝑘)2 − (𝐶𝑖𝑗

2 + 𝐶𝑖𝑘2 ) (22)

Разликата между чистo 2-но и 3-но заплитане може да се види, като се разгледат GHZ и W състоянията:



|𝑊⟩001 =1

√3(|001⟩ + |010⟩ + |100⟩) |𝐺𝐻𝑍∓⟩ =

1

√2(|000⟩ ∓ |111⟩)

Figure 1 GHZ and W entanglements

Съществената разлика между тези състояния става очевидна, ако се извърши измерване на един от трите кюбита. В случай на GHZ състоянието, ако замери например кюбит 3 и се получи резултата 0, системата се срива в състояние |000⟩. Ясно е, че това вече не е заплетено състояние, и замерването на всеки един от кюбитите напълно унищожава заплитането.Това е така поради същността на тройното заплитане. Ако се измери третия кюбит на W състоянието и се получи резултат 0, състоянията |010⟩ и |100⟩ се запазват, при което първите два кюбита все още са максимално заплетени. Поради тази причина, този вид заплитане се нарича двойно заплитане. Различните видове заплитания са взаимно допълващи се: Ако системата е тройно заплетена, неините двустранни заплитания не могат да бъдат големи. Това може да бъде изразено количествено за система с три кюбита

𝜏3 + 𝜏2(𝑘) + 𝑆𝑘

2 = 1 (23)

Тук, Sk характеризира количествено единичното състояние на кюбит к. 𝜏2(𝑘) е двойното заплитане

на кюбит к с другите кюбити и τ3 изразява същността на тройното заплитане. GHZ тройки и двойки на Бел Двойка на Бел е множество от два кюбита в суперпозиция на всички OFF и ON, т.е. в състояние 1

√2|00⟩ +

1

√2|11⟩. GHZ състояние е като двойка на Бел, но с повече включени кюбитове. Например,

GHZ тройка е множество от три кюбита в състояние 1

√2|000⟩ +

1

√2|111⟩.

Може да се очаква, че кюбитовете в GHZ състояние са „по-заплетени“ в сравнение с кюбитовете в двойка на Бел, тъй като суперпозицията е по-голяма, но в действителност е вярно обратното. Поради моногамията на заплитането кюбитовете в двойка на Бел са по-заплетени един с друг отколкото кюбитовете в GHZ състояние. Третият кюбит в GHZ тройка има склонност да е по-скоро излишен отколкото полезен.



Понеже двойките на Бел могат да се използват за някои задачи, които не могат да се извършат от GHZ състояния (напр. суперплътно кодиране), е добре да се намали GHZ състояние в двойка на Бел чрез премахване на един от кюбитовете. Преди се приемаше, че единственият начин за това е да се намери нежеланият кюбит с контролиран NOT, контролиран от един от другите участващи кюбитове. Така се разчиства нежеланият кюбит, като се обръща неговата стойност в частта всички ON на суперпозицията, докато се оставя само в частта всички OFF на суперпозицията. Подходът с контролиран NOT работи добре, но изисква нежеланият кюбит да бъде на същото място като един от другите кюбитове (заради квантовата контролирана операция). Удовлетворяването на това условие обикновено налага преместване на кюбитове (напр. ако са необходими квантови канали с налична честотна лента). Оказва се, че е възможно да се избегне плащането на тази цена на квантовата честотна лента. Като се намери кюбитът с гейт на Адамар да закрие своята стойност, измери се и се използва резултатът от измерването за оправяне на проблема с четността на фазата, то е необходимо само да се използва класическа честотна лента. Това се нарича „изтриване“ на кюбита. Манипулация на веригата Най-лесният начин за разбиране на подхода с „изтриване“ е като се започне от веригата за подхода с контролиран NOT и се приложат няколко прости, очевидно коректни преобразувания. За начало е дадена верига, която създава GHZ тройка, след това използва контролиран NOT, за да премахне третия кюбит от GHZ състоянието: Създава GHZ състояние

Figure 2 GHZ state 1

След като третият кюбит е разчистен, може да се намери с каквато и да е операция (тъй като не се използва за нищо повече). С помощта на силата на информираната предвидливост нека бъде намерен с гейт на Адамар и после измерен: Създава GHZ състояние




Сега е време да се прескочи гейтът на Адамар върху NOT гейта. Това е позволено, но преобразува превключващия стойност NOT гейт в превключващ фаза Z гейт (защото H⋅X=Z⋅H): Създава GHZ състояние


Z гейтовете наподобяват контролирани операции по това, че нямат ефект върху кюбитове, които са OFF. В крайна сметка, размяната на Z гейт с една от неговите контроли не променя неговия ефект. Нека това се провери: Създава GHZ състояние


Наличието на контролата върху третата линия е полезно, защото контролите се придвижват с измервания (т.е. класическите условия са еквивалентни на квантовите условия). Това позволява извършването на фазова корекция след измерването вместо преди него: Създава GHZ състояние

Figure 6 GHZ State

Това е крайната верига:



1. Започва в състояние |000⟩.

2. Създава GHZ тройка в състояние 1

√2|000⟩ +

1

√2|111⟩ .

3. Намира третия кюбит с Адамар, преминавайки към състояние 1

√2|000⟩ +

1

√2| 001⟩ +

1

√2|110⟩ +

1

√2|111⟩.

4. Измерва третия кюбит, свива системата или в състояние 1

√2(|00⟩ + |11⟩)|0⟩ , или в състояние

1

√2(|00⟩ − |11⟩)|1⟩.

5. Оправя знака минус в резултата „третият кюбит беше ON” със Z гейт, контролиран от резултата на измерването.

6. Завършва с първите два кюбита безусловно в двойка на Бел в състояние 1

√2|00⟩ +

1

√2|11⟩ .

Все още се налага изпращането на информация относно третия кюбит към втория кюбит, но предадената информация е класическа (т.е. резултат от измерване) вместо квантова (т.е. оригиналният кюбит). Методът работи и за по-големи GHZ състояния, включващи повече кюбитове: могат да се изваждат кюбитове от състояние един по един чрез прилагане на Адамар+измерване+условен Z кюбит все още в състоянието. Актуализирано решение на “Algorithm for switching 4 - bit packages in full quantum network with multiple network nodes” Понеже решението от предишната статия за пъзел за квантов мрежов поток [20] включва премахване на кюбит от GHZ състояние, с помощта на „редукцията“ се позволява няколко части от мрежата да бъдат понижени от квантови в класически. Тук е дадена диаграма на подобреното решение:



Figure 7 Algorithm for switching 4 - bit packages in full quantum network with multiple network nodes

3. ОБОБЩЕНИЕ Чрез предложеният алгоритмичен модел за преобразуване на смесени заплетени състояния, дсаден кюбит може да бъде премахнат от GHZ състояние чрез измерването му по протежение на оста на въртене перпендикулярна на оста на заплитане и с помощта на резултата от измерването да се извърши корекция на фазата.

Documents

Алгебрични модели на преходи между заплетени състояния и специфични собствени стойности на системи