ITO LEMMASIDoc. Dr. Kutlu MERİH

Ito Lemması olarak bilinen stokastik analiz ve modelleme tekniği, stokastik modellerin

çözümünde olağanüstü katkı sağlayan bir yaklaşım olarak yaygın bir şekilde uygulanıyor.

Ito’nun Lemması

• Stokastik modellerin çözümünde olağanüstü katkı sağlayan bir yaklaşım. Önce tek değişkenli fonksiyon etrafında fikir geliştirelim.

• Şimdi reel değerli, f(X): RR olan bir fonksiyon verilsin.

• Bunun Taylor serisi açılımı aşağıdaki gibidir;

f(X+D)=f(X)+fX(X) D+(1/2)fXX(X) D2

+(1/6)fXXX(X) D3+o(D3)• Burada fX ifadeleri f fonksiyonunun X değişkenine göre kısmi türevlerini gösteriyor.

)o(Δ(X) Δ)f/(

(X) Δ)f/((X)Δff(X)Δ)f(X

XXX

XXX

33

2

61

21

Ito’nun lemması

X “standart” bir değişken ise; D2 nin değeri o(D)mertebesindedir.

Yani D->0 için sıfır olur.

f(X+D)=f(X)+fX(X) D+o(D)

f(X+dX)=f(X)+fX(X)dX+o(D)

df(X)=fX(X)dX

Ito’nun lemması

• Şayet X rasgele (stokastik) değişken ise, (difuzyon ile oluşan) bu halde dX2 değeri sıfıra gitmeyecektir.

dX=adt+sdW

(dX)2=a2(dt)2+2asdtdW+s2(dW)2

(dX)2=s2dt

• Burada daha önce diferansiyel çarpımları ile ilgili yaptığımız çalışmanın yararını görüyoruz.

Ito’nun lemması (tek değişken)

• Şimdi tek değişkenli fonksiyonumuzun açılımına tekrar dönelim. DİFUZYON çalışmasında bulduğumuz (dW)2 burada işimize yarayacak.

f(X+dX)=f(X)+fX(X) dX+(1/2)fXX(X) (dX)2

df(X)=fX(X) dX+(1/2)fXX(X) (dX)2

df=fXdX+(1/2)fXX(X) (dX)2

df=fXdX+(1/2)s2fXX(X) dt

• Şimdi çok değişkenli esas modelimizi inceleyebiliriz

Ito’nun lemması (çok değişken)

• Şimdi f = f(X,t) şeklinde bir çok değişkenli fonksiyon ise ve dX = adt + sdW olarak verilmiş ise, en az iki defa türetilebilir olma koşulu ve çok değişkenli Taylor açılımı yardımı ile elde edilen Ito formülü aşağıdaki gibidir:

df=(afX+(1/2)s2fXX+ft)dt+sfXdW

Ito’nun lemması (çok değişken)

• X bir stokastik süreç olsun. a ve s nın (Xt, t) ye bağlılığı varsayılmış fakat açıkça gösterilmemiştir.

• Şimdi Yt = f(Xt, t) yeni bir stokastik süreç olup bunun diferansiyeli aşağıdaki gibi verilir.

• Burada f(.) fonksiyonunun Xt ve t ye göre iki kere türetilebilen sürekli bir fonksiyon olduğu unutulmamalıdır.

• Gerçekte Ito formülü için sadece fx, fxx, ve ft türevlerinin varlığı ve sürekliliği yeterlidir.

tttxttxxttttxt dWtXfdttXftXftXfdY ssa ),(]),(),(),([ 22

1

Ito’nun lemması (çok değişken)f(Xt + dt, t + dt) fonksiyonunun (Xt, t) civarında ikinci

mertebeden Taylor serisi açılımı ile dYt diferansiyeli;

dYt=f(Xt+dt, t+dt)-f(Xt,t)

)(),(2

))(,())(,(

),(),(),(),(

21

2

212

21

residualRdtdXtXf

dttXfdXtXf

dttXfdXtXftXfdttXf

ttxt

tttttxx

ttttxtdtt

Şimdi popüler deyim: “gösterilebilir ki dt 0 iken

R 0 olacaktır”.

Ito’nun lemması (çok değişken)

• Şimdi dXt, dt, ve dt2 terimlerinin ne olacaklarını biliyoruz fakat

(dXt)2 ve dXtdt terimlerinin durumu ne olur?

000)(

00 22

dtdWdtdtdX

dtdt

tttt

tt

sa

ss

dttdWtttdWtdtt

tdWtdtttdX

sasa

sa

22222

2)(2)(

Beklenen değeri dt olarak biliniyordu. Bu değeri alıyoruz

Ito’nun lemması (çok değişken)

• Taylor’s seri açılımında her şeyi toparlarsak;

tdWtttXxfdttttXxxfttXtftttXxf

ttXfdtttdXtXf

ttXfdttdttXftdY

ssa ),(]2),(2

1),(),([

),(),(

),(),(

Ito formülünü elde ederiz.

Ito Lemması

• DS bağıntımızın çok ufak Dt, değerleri için geçerli olduğunu kabul edelim, şimdi f fonksiyonu S ve t değişkenleri cinsinden tanımlanmış olsun ve iki kere türetilebilsin.

f = (S,t)• Bu fonksiyon ufak Dt değerleri için aşağıdaki bağıntıyı

gerçekler;

)2()()()222

2

21( totS

S

ftS

S

f

t

fS

S

ff DD

D

D ss

İSPAT:

Şimdi F yukarıdaki gibi tanımlanmış olsu. Bu iki değişkenli fonksiyona Taylor

açılımını uygularsak ikinci mertebeden terimlere kadar Df için aşağıdaki bağıntı

yazılabilir,

)(2

22

2

212

2

2

21 totS

Sf

ft

t

fS

S

ft

t

fS

S

ff DDD

D

D

D

D

D

Burada DS için daha önceki bağıntımızı yerine koyarsak,

).()(2

22

2

21

2)(2

2

21)(

tottStSSf

ft

t

f

tStSS

ft

t

ftStS

S

ff

DDDD

D

DD

D

DD

D

s

ss

So

).(232

22

22

2

21222

2

2

21

23

22

2222

2

2

21

totSSt

ftS

St

ft

t

ftS

S

f

tSS

ftS

S

ft

t

ftS

S

ftS

S

ff

DD

D

D

D

D

D

D

D

D

D

ss

ss

Açılımı elde edilir. Biraz karışık görünse de sadece iki değişkenli bir

Taylor açılımıdır.

Şimdi, Dt son derecede küçük bir değer olarak (diferansiyel) düşünüldüğünden,

Dt nin 1. dereceden yüksek üslerini ihtiva eden terimler sıfıra gider ve bu ifade

basitleşir.

)()()2222

2

21(

)(2222

2

21

totSS

ftS

S

f

t

fS

S

ff

totSS

ft

t

ftS

S

ftS

S

ff

DD

D

D

DD

D

D

D

D

ss

ss

Bu ifade ile Ito lemması arasındaki tek fark ilk terimindeki 2 katsayısıdır.

Bunu gidermek için,.

E(2Dt) = Dt[E(2)] = Dt ( ~ N(0,1) olduğu için.)

22)2()4(

2)22()24()2(

)(2

tEE

tEtEtVAR

tott

D

DDD

DDD

)()(

)222

2

21(

totSS

f

tSS

f

t

fS

S

ff

DD

D

D

s

s

Elde edilir ve (2) bağıntısı ile verilen lemma gerçeklenmiş olur.

Buna göre 2Dt varyansı 0 civarında ise ve,

2Dt nin beklenen değeri Dt ise, 2Dt = Dt + o(Dt) olur ve

Ito’nun lemması (uygulamala-1)

• Bir stokastik süreç Yt = Wt2, t 0, bağıntısı ile verilsin.

• Burada Wt standart Brown hareketidir. Yt ile bunun karesinin davranışını araştıracağız. dYt diferansiyeline bakalım;

• Lemmayı kullanabilmek için Önce Xt, sonra f() ve fx, fxx, ve ft değerleri hesaplanır.

• Sonra

tttt

tttttt

XTfveXtXfY

dWdXboyleceWXve

],0[:),(

10

2

sa

0),(2),(2),( tXfvetXfXtXf tttxxttx

Ito’nun lemması (uygulamala-1)

• dYt için Ito lemması ile aşağıdaki bağıntı elde edilir:

• Buna göre Yt yine bir stokastik süreçtir. Drifti (a) = 1 ve volatilitesi = (s) = 2Wt. Olarak bulunur.

tttt

ttt

tttxttxxttttxt

WXdWWdt

dWXdtX

dWtXfdttXftXftXfdY

21

12]12002[

),(]),(),(),([

22

1

22

1 ssa

Ito’nun lemması (uygulama-2)

• Bir aritmetik Brown hareketi için dinamik denklemi ,

Xt=at+sWt

• Şimdi bir St stokastik süreci So > 0.

St = f(Xt, t); f(Xt, t) = So.exp(Xt)• Olarak verilsin.

fx=So.exp(Xt) fxx=Soexp(Xt) ft=0• Ito lemması ile dSt diferansiyeli;

• Buradan görüyoruz ki St bir Geometrik Brown hareketidir.

ttt

ttttt

dWSdtS

dWXSdtXSXSdS

ssa

ssa

])[(

)exp(])exp()exp([

22

1

02

021

0

Ito Analiz Tekniği

• Bu iki uygulamadan görüyoruz ki, Ito lemması ve analiz tekniği stokastik süreçlerin incelenmesinde ve uygun modellerin geliştirilmesinde vazgeçilemeyecek bir yardımcı tekniktir.

• Ito formülasyonu stokastik süreçlerin analizinde karşımıza çok sık çıkan kısmi diferansiyel denklemlerin – KDD (fokker-planck ısı denklemi gibi) çözümlenmesinde çok güçlü bir destek sağlar.

• Türev ürünlerin fiyatlarının hesaplanmasında genellikle kullanılan Black-Scholes teknikleri Ito formulasyonu sayesinde elde edilmiştir. (başka bir sunumun konusu)

Finansal Uygulama

• Varsaylım ki X rasgele değişkeni, drift a ve volatilite sile bir geometrik Brownian hareketine tabidir.

• Değeri V olan bir finansal aktif sürekli olarak Xdt getirisi sağlamaktadır.

• V bir ortalama a oranı ile exponansiyel olarak büyümektedir. Nakit akışında ise bazı riskler söz konusu olmaktadır.

• Ekonomi risk-nötral yapıdadır, ve risksiz faiz oranı rdeğeri ile sabittir.

• Bu yatırımın değeri nedir?

Finansal Uygulama1. V = V(X), ve V fiyatı zamana tabi değil.

dV = VxdX + 0.5 VxxdX2,

dX = aXdt + sXdW,

dX2= s2X2dt

Ito lemması ile;

dV = [aXVx+0.5 s2X2Vxx]dt +sXVxdW

2. Beklenen kapital kazancı:

E[dW] = 0 olduğu için;

ECG = E[dV] = [aXVx+0.5 s2X2Vxx]dt

3. Beklenen nakit akışı:

ECF = X dt

Finansal Uygulama

4. Toplam getiri:

TR = ECG + ECF = [aXVx+X+0.5s2X2Vxx]dt

5. Getiri V üzerine yağılan risksiz yatırımla aynı düzeyde olmalı

rVdt = [aXVx+X+0.5s2X2Vxx]dt

6.Buna göre KDD:

rV = aXVx+X+0.5s2X2Vxx

rV = aXVx+X+0.5s2X2Vxx

Şeklini alır.

Finansal Uygulama

Bunu çözmek için çeşitli teknikler vardır.

X ikiye katlanırsa V fiyatı da ikiye katlansın; Yani V ile X oransal olsun;

Buna göre; V = X, Vx= , and Vxx=0, olur ve denklem;

r X= aX+X

= 1/(r- a)

V(X) = X/(r- a)

Olarak elde edilir.