P1961 001 V2 Le Distribuzioni Di Probabilita Implicite Da Contratti Derivati

a: Lea ZicchinoRiccardo Tedeschi

da: Teresa Sardena Davide Boldarin nome doc.: Le distribuzioni di probabilità implicite da contratti derivati

una misura delle aspettative dei mercati data: 26 novembre 2008 no. doc.: P1961_001_v2

Sommario

1. Introduzione ................................

2. Utilizzo delle PDF a fini congiunturali

3. Metodi di stima ................................

4. Contratti “sintetici” ad orizzonte costante

5. I risultati dai nostri modelli di stima

6. Conclusioni ................................

Appendice I: Metodi di stima

Mistura di log normali

Metodo non parametrico:

Appendice II: Metodi di stima della PDF ad orizzonte costant

Appendice III: Filtri sui dati

Bibliografia ................................

1

Lea Zicchino Riccardo Tedeschi

in copia: Chiara FornasariPaolo OnofriGiuseppe Flavio CoccoEmanuele De MeoCosimo MusielloPier Luigi CoriazziRita RomeoChiara SabbiUgo SpeculatoGiacomo Tizzanini

Teresa Sardena Boldarin

distribuzioni di probabilità implicite da contratti derivatimisura delle aspettative dei mercati

26 novembre 2008

P1961_001_v2

................................................................................................................................

Utilizzo delle PDF a fini congiunturali................................................................................................

................................................................................................................................

“sintetici” ad orizzonte costante ................................................................

I risultati dai nostri modelli di stima ................................................................................................

................................................................................................................................

Appendice I: Metodi di stima ................................................................................................

Mistura di log normali ................................................................................................................................

Metodo non parametrico: Cubic Smoothing Spline ................................................................

Appendice II: Metodi di stima della PDF ad orizzonte costante ................................

Appendice III: Filtri sui dati ................................................................................................................................

................................................................................................................................................................

Chiara Fornasari Paolo Onofri Giuseppe Lusignani Flavio Cocco Emanuele De Meo Cosimo Musiello Pier Luigi Coriazzi Rita Romeo Chiara Sabbi Ugo Speculato Giacomo Tizzanini

distribuzioni di probabilità implicite da contratti derivati (PDFs):

............................................................................. 2

.......................................................... 3

....................................................................... 8

.............................................................................. 11

........................................................... 12

.............................................................................. 19

................................................................................ 20

........................................................ 20

............................................................ 22

......................................................................... 27

.................................................... 29

.................................................... 32

L’obiettivo di questa nota èprobabilità (dette in breve

prezzi delle opzioni su un dato utilizzo delle PDF per l’analisi congiunturale

La nota è organizzata come segue: dopo una breve introduzione (sezione 1), si discute di come le PDF possano (sezione 2) e si espongonoillustrando l’importanza di stimare le PDF su contratti sintetici che sui contratti scambiati sui mercati a scadenze prefissate (sezione 4) mostrano i primi risultati o

1.1.1.1. IntroduzioneIntroduzioneIntroduzioneIntroduzione

Negli ultimi anni le banche centrali, i sviluppato un’intera letteratura sui metodi delle attività finanziariemercati sull’andamento futurodelle commodity.

L’idea base attorno a cui questa letteratura si è sviluppata è la seguente:indicatori costruiti usandbackward-looking (ad esempio, la volatilità costruita con rolling windowdell’incertezza), indicatori ottenuti dafuturo andamento del sottostante

esempio, dalle PDF si può ottenere unaazionari che i mercati si aspettano delle opzioni alle distribuzioni di probabilità sui prezzi L’intuizione è piuttosto semplice: esercizio diversi, ma medesimamercato ai possibili esiti futuro corrispondente alla

Infatti, le opzioni sono contratti che danno il diritto (ma non l’obbligo) vendere un sottostante aLe opzioni call (put) hanno valore esercizio dell’opzione, il sottostante prezzo di esercizio stesso. acquistare (vendere) un’azione, esercizio, si può inferire l’opinione di mercato sulla possibilità che il prezzo del sottostante salga (scenda) prezzo di esercizio.

E’ importante ricordare che le probabilità implicite ottenute dalle opzioni sono

2

di questa nota è di illustrare il lavoro di stima delle funzioni di distribuzione di dette in breve PDF, dall’inglese probability density functions

un dato asset sottostante e di spiegare le finalità e il possibile analisi congiunturale.

La nota è organizzata come segue: dopo una breve introduzione (sezione 1), si discute possano essere usate per l’analisi congiunturale dei

si espongono brevemente i due metodi di stima adottati illustrando l’importanza di stimare le PDF su contratti sintetici a orizzonte costante oltre che sui contratti scambiati sui mercati a scadenze prefissate (sezione 4)

i primi risultati ottenuti sui diversi sottostanti.

banche centrali, i risk manager e gli investitori istituzionali hanno sviluppato un’intera letteratura sui metodi di estrazione delle PDF delle attività finanziarie dai prezzi delle opzioni, al fine di inferire le aspettative dei

sull’andamento futuro di tassi di interesse, indici azionari, tassi di cambio

L’idea base attorno a cui questa letteratura si è sviluppata è la seguente:indicatori costruiti usando le serie storiche dei rendimenti o prezzi degli asset

(ad esempio, la volatilità storica dei rendimenti degli indici azionari rolling windows – può dare indicazioni sull’evoluzione passindicatori ottenuti dai prezzi delle opzioni, incorporan

futuro andamento del sottostante, possono invece dare informazioni

dalle PDF si può ottenere una stima della volatilità dei rendimenti degli indici che i mercati si aspettano fra tre mesi, sei mesi, ecc.). Ma come si arriva dai prezzi

delle opzioni alle distribuzioni di probabilità sui prezzi delle attivitàL’intuizione è piuttosto semplice: osservando i prezzi delle opzioni

medesima scadenza, si può inferire la probabilità assegnata dal (in questo caso, livelli) del sottostante sull’orizzonte

futuro corrispondente alla scadenza delle opzioni.

e opzioni sono contratti che danno il diritto (ma non l’obbligo) a una certa data futura a un dato prezzo di esercizio pre

hanno valore se e solo se vi è una certa probabilità che alla data di il sottostante raggiunga un prezzo maggiore

prezzo di esercizio stesso. Quindi osservando le opzioni call (put) che danno diritto ad acquistare (vendere) un’azione, a un prefissato momento nel futuro, a diversi prezzi di

si può inferire dal prezzo a cui questi contratti sono scambiati, quale sia l’opinione di mercato sulla possibilità che il prezzo del sottostante salga (scenda)


stima delle funzioni di distribuzione di probability density functions), ottenute dai

le finalità e il possibile

La nota è organizzata come segue: dopo una breve introduzione (sezione 1), si discute essere usate per l’analisi congiunturale dei mercati finanziari

ma adottati (sezione 3) orizzonte costante oltre

che sui contratti scambiati sui mercati a scadenze prefissate (sezione 4) e infine si

e gli investitori istituzionali hanno dei futuri rendimenti

, al fine di inferire le aspettative dei tassi di cambio e prezzi

L’idea base attorno a cui questa letteratura si è sviluppata è la seguente: mentre gli serie storiche dei rendimenti o prezzi degli asset sono

dei rendimenti degli indici azionari – sull’evoluzione passata

incorporando le aspettative sul informazioni forward-looking (ad

rendimenti degli indici Ma come si arriva dai prezzi delle attività sottostanti?

delle opzioni che hanno prezzi di probabilità assegnata dal

ll’orizzonte temporale

e opzioni sono contratti che danno il diritto (ma non l’obbligo) ad acquistare o un dato prezzo di esercizio pre-fissato. è una certa probabilità che alla data di

un prezzo maggiore (minore) rispetto al Quindi osservando le opzioni call (put) che danno diritto ad

un prefissato momento nel futuro, a diversi prezzi di dal prezzo a cui questi contratti sono scambiati, quale sia

l’opinione di mercato sulla possibilità che il prezzo del sottostante salga (scenda) sopra il


neutrali al rischio - ossia ipotizzano che gli investitori non richiedano un compenso per il rischio - poiché i modelli di pricing dei contratti derivati sono a loro volta cl’ipotesi di misure di probabilità

Per comprendere –prezzi delle opzioni, si consideri una call (europea) con prezzo sottostante con prezzo pari a scadenza futura. Il prezzo dell’opzione call al tempo valutazione neutrale al rischio

tTrC ))(*exp( −−=

dove r è il tasso di interesse

(neutrale a rischio) del prezzo del sottostante alla data di scadenzadensità del sottostante f

che sia quotato un numero sufficientemente ampiodifferenti prezzi di esercizio

2.2.2.2. Utilizzo delle PDF a fini congiunturaliUtilizzo delle PDF a fini congiunturaliUtilizzo delle PDF a fini congiunturaliUtilizzo delle PDF a fini congiunturali

Dato che la PDF può essere interpaggregata del prezzo del essere usate a fini congiunturalisull’andamento di una particquella “vera” ma è trasformata per tener conto preferenze degli operatori

Considerando i diversi momenti della distribuzione stimata, possiamo classificare le indicazioni estraibili dalle PDF in tre diverse categorie:

- central projection

valutare quale sia il rendimento atteso da parte dell’investitore, mentre guardando ai percentili si può valutare la probabilità che il sottostante giaccia a scadenza tra due dati valori;

- amount of risk: considerando le misure di dispersione della distribuzione, qdeviazione standard, è possibile valutare l’incertezza percepita dagli investitori, che è una componente importante del rischio;

- balance of risk: considerando statistiche di asimmetria della distribuzione, quali skewness si riesce

1 In maniera analoga si può determinare il prezzo delle opzioni put.2 Ad esempio, sulla base di un modello di equilibrio generale di asset pricing, come il Consumption

Capital Asset Pricing (C-CAPM), la probabilità neutrale al rischio rifletterà il grado di avversione al rischio dell’agente rappresentativo e la volatilità d

3

ossia ipotizzano che gli investitori non richiedano un compenso per il poiché i modelli di pricing dei contratti derivati sono a loro volta c

l’ipotesi di misure di probabilità neutrali al rischio.

– in modo più formale - come possa essere estratta la PDF dai prezzi delle opzioni, si consideri una call (europea) con prezzo C al tempo

prezzo pari a S. Sia poi K il prezzo di esercizio dell’opzione e scadenza futura. Il prezzo dell’opzione call al tempo t, calcolato in base al principio di

e al rischio, è:

TTT

K

dSKSSf )()()) −⋅⋅ ∫∞

;

è il tasso di interesse privo di rischio e )( TSf indica la funzione di densità

del prezzo del sottostante alla data di scadenza1.)( TSf può essere ricostruita dai prezzi delle opzioni a

un numero sufficientemente ampio di opzioni sullo stesso sottostante di esercizio.

Utilizzo delle PDF a fini congiunturaliUtilizzo delle PDF a fini congiunturaliUtilizzo delle PDF a fini congiunturaliUtilizzo delle PDF a fini congiunturali

Dato che la PDF può essere interpretata come la distribuzione di probabilità sottostante a una specifica scadenza, le stim

a fini congiunturali per analizzare le aspettative desull’andamento di una particolare classe di sottostanti. Inoltre, poiché la probabilità non

trasformata per tener conto del rischio, le PDF rifletteranno anche le degli operatori e il grado di incertezza percepita sulla crescita dell’

erando i diversi momenti della distribuzione stimata, possiamo classificare le indicazioni estraibili dalle PDF in tre diverse categorie:

central projection: l’analisi del momento primo della distribuzione permette di

quale sia il rendimento atteso da parte dell’investitore, mentre guardando ai percentili si può valutare la probabilità che il sottostante giaccia a scadenza tra due

considerando le misure di dispersione della distribuzione, qdeviazione standard, è possibile valutare l’incertezza percepita dagli investitori, che è

ponente importante del rischio;

: considerando statistiche di asimmetria della distribuzione, quali si riesce a inferire a quale direzione dei movimenti del prezzo del

In maniera analoga si può determinare il prezzo delle opzioni put. Ad esempio, sulla base di un modello di equilibrio generale di asset pricing, come il Consumption

CAPM), la probabilità neutrale al rischio rifletterà il grado di avversione al rischio dell’agente rappresentativo e la volatilità della crescita della ricchezza aggregata.

ossia ipotizzano che gli investitori non richiedano un compenso per il poiché i modelli di pricing dei contratti derivati sono a loro volta costruiti sotto

come possa essere estratta la PDF dai al tempo t, basata su un

il prezzo di esercizio dell’opzione e T la sua , calcolato in base al principio di

la funzione di densità

. Quindi, la funzione di dai prezzi delle opzioni a condizione

sullo stesso sottostante con

retata come la distribuzione di probabilità e stime ottenute possono degli agenti economici

Inoltre, poiché la probabilità non è rischio, le PDF rifletteranno anche le

crescita dell’economia2.

erando i diversi momenti della distribuzione stimata, possiamo classificare le

l’analisi del momento primo della distribuzione permette di

quale sia il rendimento atteso da parte dell’investitore, mentre guardando ai percentili si può valutare la probabilità che il sottostante giaccia a scadenza tra due

considerando le misure di dispersione della distribuzione, quali la deviazione standard, è possibile valutare l’incertezza percepita dagli investitori, che è

: considerando statistiche di asimmetria della distribuzione, quali e direzione dei movimenti del prezzo del

Ad esempio, sulla base di un modello di equilibrio generale di asset pricing, come il Consumption CAPM), la probabilità neutrale al rischio rifletterà il grado di avversione al rischio

sottostante l’investitore attribuisca maggiore probabilità. Dalla curtosi (ossia statistiche legate adall’investitore a variazioni estreme.

Diversi metodi possono essere usati per presentare e rappresentare l’infcontenuta nelle PDF.

Il primo, il più semplice confrontare:

- due distribuzioniprincipale utilità di questo metodo è quello di mettere a fuoco variazioni pronunciate nella densità o ampicambiamenti nelle aspettative degli operatori prima e dopo un determinato evento- due distribuzioni ottenute con due metodi di stima diversi temporale.

In secondo luogo, per valutare come le aspettative sul futuro andamento dei prezzi dei sottostanti varino nel tempo enell’andamento dei diversi sottostantiossia registrare giornalmente nel database le statistiche delle PDF.framework le statistiche calcolate sono:

- mmmmediaediaediaedia. La media della PDF misura il centro di granon rappresenta il ”vero” valore atteso prezzo futuro atteso neutrale al rischio;- vvvvolatilità implicitolatilità implicitolatilità implicitolatilità implicitattorno alla media. Le nostre procedure non aggiustano la volatilità implicita per il “time to expirationannualizzata; - sssskewkewkewkewnessnessnessness. La skewmisura la probabilità relativa sopra o sotto la media attesa. Se la PDF presenta una destra sarà più grande della cohanno una view positiva riguardo Per questo si dice che la skweness esprime il “- ccccurtosiurtosiurtosiurtosi. La curtosi fornisce una movvero il grado di "appiattimento" della PDF. E’ solitamente confrontata con la curtosi di una distribuzione normale. L’eccesso di curtosi (ossia una distribuzione lepto-curtica) implica sia un’alta probabilità distribuzione più “appuntito”. Questi due effetti congiunti si traducono nel fatto che un aumento dell’eccesso di curtosi sia Secondo una prima interpretazione, che gli agenti si aspettano una variazione futura del prezzo del sottostante piuttosto ampia e quindi l’aumentodell’incertezza nel mercato del sottostante. D’apuò indicare, altresì, che gli agenti divengono più sicuri del livello attuale dei prezzi cosicché la distribuzione diviene “più appuntita” questi due interpretazioni Nakamura e Shi

4

sottostante l’investitore attribuisca maggiore probabilità. Dalla curtosi (ossia statistiche legate alle code spesse) si può inferire la probabilità assegnata dall’investitore a variazioni estreme.

ssono essere usati per presentare e rappresentare l’inf

il più semplice e intuitivo, è quello grafico. Tale metodo

due distribuzioni ottenute con la stessa metodologia in due istanti diversiprincipale utilità di questo metodo è quello di mettere a fuoco variazioni pronunciate nella densità o ampi cambiamenti nella dispersione. E’ spesso usato per analizzare cambiamenti nelle aspettative degli operatori prima e dopo un determinato evento

ue distribuzioni ottenute con due metodi di stima diversi

In secondo luogo, per valutare come le aspettative sul futuro andamento dei prezzi nel tempo e, quindi, interpretare ex-post e conciliare gli sviluppi

nell’andamento dei diversi sottostanti, è utile stimare e storicizzare le statistiche di sintesiossia registrare giornalmente nel database le statistiche delle PDF.

e statistiche calcolate sono: . La media della PDF misura il centro di gravità della

non rappresenta il ”vero” valore atteso del sottostante a una data futura, bensì il prezzo futuro atteso neutrale al rischio;

olatilità implicitolatilità implicitolatilità implicitolatilità implicitaaaa. La volatilità implicita misura la dispersione della PDF attorno alla media. Le nostre procedure non aggiustano la volatilità implicita per il time to expiration” e per tanto non forniscono una misura della volatilità

. La skewness fornisce una misura dell’asimmetria della PDF, ossia misura la probabilità relativa - pesata da una distanza cubica - che il prezzo futuro sia sopra o sotto la media attesa. Se la PDF presenta una skewnessdestra sarà più grande della coda sinistra e ciò suggerisce che gli agenti del mercato

positiva riguardo all’andamento futuro del prezzo del sottostante. Per questo si dice che la skweness esprime il “directional bias” delle aspettative.

La curtosi fornisce una misura dello "spessore" di entrambe le code, ovvero il grado di "appiattimento" della PDF. E’ solitamente confrontata con la curtosi di una distribuzione normale. L’eccesso di curtosi (ossia una distribuzione

curtica) implica sia un’alta probabilità di eventi estremi sia un centro della distribuzione più “appuntito”. Questi due effetti congiunti si traducono nel fatto che un aumento dell’eccesso di curtosi sia riconducibile a due distinte e divergenti cause.Secondo una prima interpretazione, l’aumento della curtosi può derivare dal fatto che gli agenti si aspettano una variazione futura del prezzo del sottostante piuttosto ampia e quindi l’aumento nell’eccesso di curtosi implicherebbe

mercato del sottostante. D’altro canto un aumento della curtosi può indicare, altresì, che gli agenti divengono più sicuri del livello attuale dei prezzi cosicché la distribuzione diviene “più appuntita” al centro. Al fine di discriminare tra questi due interpretazioni Nakamura e Shiratsuka (1999) suggeriscono di guardare

sottostante l’investitore attribuisca maggiore probabilità. Dalla curtosi (ossia si può inferire la probabilità assegnata

ssono essere usati per presentare e rappresentare l’informazione

. Tale metodo è utile per

in due istanti diversi. La principale utilità di questo metodo è quello di mettere a fuoco variazioni pronunciate

E’ spesso usato per analizzare cambiamenti nelle aspettative degli operatori prima e dopo un determinato evento;

ue distribuzioni ottenute con due metodi di stima diversi al medesimo istante

In secondo luogo, per valutare come le aspettative sul futuro andamento dei prezzi post e conciliare gli sviluppi zare le statistiche di sintesi

All’interno del nostro

vità della PDF. Tale indicatore una data futura, bensì il

. La volatilità implicita misura la dispersione della PDF attorno alla media. Le nostre procedure non aggiustano la volatilità implicita per il

” e per tanto non forniscono una misura della volatilità

fornisce una misura dell’asimmetria della PDF, ossia che il prezzo futuro sia

skewness positiva, la coda da sinistra e ciò suggerisce che gli agenti del mercato

andamento futuro del prezzo del sottostante. ” delle aspettative.

isura dello "spessore" di entrambe le code, ovvero il grado di "appiattimento" della PDF. E’ solitamente confrontata con la curtosi di una distribuzione normale. L’eccesso di curtosi (ossia una distribuzione

eventi estremi sia un centro della distribuzione più “appuntito”. Questi due effetti congiunti si traducono nel fatto che

a due distinte e divergenti cause. l’aumento della curtosi può derivare dal fatto

che gli agenti si aspettano una variazione futura del prezzo del sottostante piuttosto nell’eccesso di curtosi implicherebbe un aumento

ltro canto un aumento della curtosi può indicare, altresì, che gli agenti divengono più sicuri del livello attuale dei prezzi

Al fine di discriminare tra ratsuka (1999) suggeriscono di guardare

contemporaneamente l’eccesso di curtosi e la deviazione standard: l’aumento congiunto dell’eccesso di curtosi e della deviazione standard può essere interpretato come un aumento dell’incertezza nel mercato rispetto afuture estreme del prezzo del sottostante quindi l’effetto delle code spesse enfatizzato. Viceversa se la deviazione standard diminuisce mentre aumenta l’eccesso di curtosi diviene plausibile interpretare questo effetto come un aumento nel grado di fiducia nella persistenza del livello corrente del sottostante ossia gli agenti del mercato stanno attribuendo un’alta probabilità a picsottostante. La tabella sottostante un utile strumento interpretativo delle fasi di mercato

- ppppercentiliercentiliercentiliercentili. L’x-la somma delle frequenze dei valori minori o uguali a in termini percentuali)

Per dare un esempio dei risultati ottenuti, il grafico sottostante mostra l’andamento nel mese di ottobre delle serie storiche giornaliere della media e della volatilità calcolate dalle PDF dei prezzi delle opzioni sul tasso di cambio USD/EUR con scadenza ad un mesestimate con il metodo non parametrico

3 Per completezza abbiamo deciso di stimare dieci diversi percentili

0.65 0.75 0.85 0.95), ma è importante sottolineare che i percentili molto bassi e molto alti (0.05 e 0.95) sono notevolmente influenzati dalle tecniche di stima e di estrapolazione della PDF, poiché spesso cadono al di fuori dell’insieme supporto dei prezzi di esercizio realmente rilevato. Quindi è preferibile utilizzare i percentili che cadono all’interno dell’insieme

Deviazione Standard

Deviazione Standard

Deviazione Standard

Deviazione Standard

Au

me

nta

Ampio rischio di una

variazione di prezzo

Forte aspettativa

estremo

Dim

inu

isce

Basso rischio di una


Forte confidenza sull’attuale

livello di prezzo

Tabella 1: Interpretazione congiunta dell’eccesso di curtosi e della

5

contemporaneamente l’eccesso di curtosi e la deviazione standard: l’aumento congiunto dell’eccesso di curtosi e della deviazione standard può essere interpretato come un aumento dell’incertezza nel mercato rispetto afuture estreme del prezzo del sottostante quindi l’effetto delle code spesse enfatizzato. Viceversa se la deviazione standard diminuisce mentre aumenta l’eccesso di curtosi diviene plausibile interpretare questo effetto come un aumento

grado di fiducia nella persistenza del livello corrente del sottostante ossia gli agenti del mercato stanno attribuendo un’alta probabilità a picsottostante. La tabella sottostante sintetizza questo comportamento

mento interpretativo delle fasi di mercato:

-esimo percentile indica il punto della distribuzione la somma delle frequenze dei valori minori o uguali a xq è uguale al valore q (espresso in termini percentuali)3.

Per dare un esempio dei risultati ottenuti, il grafico sottostante mostra l’andamento nel mese di ottobre delle serie storiche giornaliere della media e della volatilità calcolate

ezzi delle opzioni sul tasso di cambio USD/EUR con scadenza ad un mesecon il metodo non parametrico .

Per completezza abbiamo deciso di stimare dieci diversi percentili (0.05 0.15 0.25 0.35 0.45 0.55

, ma è importante sottolineare che i percentili molto bassi e molto alti (0.05 e 0.95) sono evolmente influenzati dalle tecniche di stima e di estrapolazione della PDF, poiché spesso cadono al di

fuori dell’insieme supporto dei prezzi di esercizio realmente rilevato. Quindi è preferibile utilizzare i percentili che cadono all’interno dell’insieme supporto rilevato.

Eccesso di curtosiEccesso di curtosiEccesso di curtosiEccesso di curtosi

Aumenta Diminuisce



+

Forte aspettativa di un esito

estremo



+

Bassa confidenza

sull’attuale livello di prezzo



+

Forte confidenza sull’attuale

livello di prezzo



+

Bassa confidenza


Interpretazione congiunta dell’eccesso di curtosi e della standard deviation

contemporaneamente l’eccesso di curtosi e la deviazione standard: l’aumento congiunto dell’eccesso di curtosi e della deviazione standard può essere interpretato come un aumento dell’incertezza nel mercato rispetto alle variazioni future estreme del prezzo del sottostante quindi l’effetto delle code spesse è enfatizzato. Viceversa se la deviazione standard diminuisce mentre aumenta l’eccesso di curtosi diviene plausibile interpretare questo effetto come un aumento

grado di fiducia nella persistenza del livello corrente del sottostante ossia gli agenti del mercato stanno attribuendo un’alta probabilità a piccole variazioni del

sintetizza questo comportamento e può essere

esimo percentile indica il punto della distribuzione xq, per il quale è uguale al valore q (espresso

Per dare un esempio dei risultati ottenuti, il grafico sottostante mostra l’andamento nel mese di ottobre delle serie storiche giornaliere della media e della volatilità calcolate

ezzi delle opzioni sul tasso di cambio USD/EUR con scadenza ad un mese,

0.05 0.15 0.25 0.35 0.45 0.55 , ma è importante sottolineare che i percentili molto bassi e molto alti (0.05 e 0.95) sono

evolmente influenzati dalle tecniche di stima e di estrapolazione della PDF, poiché spesso cadono al di fuori dell’insieme supporto dei prezzi di esercizio realmente rilevato. Quindi è preferibile utilizzare i



standard deviation

Un’importante osservazione, da farsi in questa sede, è sintesi dipendano dal modello di stima utilizzato e dalla parametrizzazione del modello stesso, per tanto non ha senso confrontare segmenti di statistiche di sintesi derivanti da modelli diversi: le statistiche di sintesi devono quiconfrontabili a parità di modello.

Inoltre le statistiche di sintesi possono risentire degli stessi problemi da cui è affetta la stima dei momenti campionari: skewness e curtosi possono essere meno stabili nel tempo quindi la loro attendibilità suggerisce l’utilizzo di questi indicatori solo avendo a disposizione un campione temporale sufficientemente profondo.

Le serie storiche delle statistiche di sintesiaiutarci a rispondere, ad esempio, alle seguenti domande:

- possiamo costruire degli indicatori di mercati o viceversa su possibili riprese dei mercatipassato delle statistiche di sintesinuovamente lo studio di Nakamura e Shiratsuka (1999) i quali costruiscoindicatore di identificazione

4 Si è elaborata una routine MATLAB che a partire dalla griglia dei prezzi (indipendentemente dal

metodo di stima con cui questa griglia di prezzi è stata ricavata) calcola le statistiche “campionarie”.

Grafico 1: Serie storiche delle statistiche Media e Volatilità derivanti dalla PDF dei

tasso di cambio USD/EUR con scadenza ad un mese stimata con il metodo non parametrico (

Smoothing Spline).Source: elaborazione

0.60

0.62

0.64

0.66

0.68

0.70

0.72

0.74

0.76

0.78

0.80

0.82Media (asse SN)

Volatilità (asse DX)

6

Un’importante osservazione, da farsi in questa sede, è rilevare sintesi dipendano dal modello di stima utilizzato e dalla parametrizzazione del modello stesso, per tanto non ha senso confrontare segmenti di statistiche di sintesi derivanti da modelli diversi: le statistiche di sintesi devono quindi essere lette come valori relativi confrontabili a parità di modello.

Inoltre le statistiche di sintesi possono risentire degli stessi problemi da cui è affetta la stima dei momenti campionari: skewness e curtosi possono essere meno stabili nel

attendibilità inferiore rispetto a media e varianzasuggerisce l’utilizzo di questi indicatori solo avendo a disposizione un campione temporale sufficientemente profondo.

Le serie storiche delle statistiche di sintesi4 delle distribuzioni implicite potranno poi aiutarci a rispondere, ad esempio, alle seguenti domande:

costruire degli indicatori di early warning mercati o viceversa su possibili riprese dei mercati sulla base dell

elle statistiche di sintesi? A tal proposito è interessante richiamare nuovamente lo studio di Nakamura e Shiratsuka (1999) i quali costruisco

identificazione delle “fasi del mercato” analizzando congiuntamente le

Si è elaborata una routine MATLAB che a partire dalla griglia dei prezzi (indipendentemente dal

metodo di stima con cui questa griglia di prezzi è stata ricavata) calcola le statistiche “campionarie”.

Serie storiche delle statistiche Media e Volatilità derivanti dalla PDF dei

asso di cambio USD/EUR con scadenza ad un mese stimata con il metodo non parametrico (

Source: elaborazione Prometeia su dati Bloomberg

Media (asse SN)

Volatilità (asse DX)

come le statistiche di sintesi dipendano dal modello di stima utilizzato e dalla parametrizzazione del modello stesso, per tanto non ha senso confrontare segmenti di statistiche di sintesi derivanti da

ndi essere lette come valori relativi

Inoltre le statistiche di sintesi possono risentire degli stessi problemi da cui è affetta la stima dei momenti campionari: skewness e curtosi possono essere meno stabili nel

media e varianza. Per questo si suggerisce l’utilizzo di questi indicatori solo avendo a disposizione un campione temporale

tribuzioni implicite potranno poi

su possibili crisi nei sulla base dell’andamento è interessante richiamare

nuovamente lo studio di Nakamura e Shiratsuka (1999) i quali costruiscono un analizzando congiuntamente le

Si è elaborata una routine MATLAB che a partire dalla griglia dei prezzi (indipendentemente dal metodo di stima con cui questa griglia di prezzi è stata ricavata) calcola le statistiche “campionarie”.

Serie storiche delle statistiche Media e Volatilità derivanti dalla PDF dei prezzi delle opzioni sul

asso di cambio USD/EUR con scadenza ad un mese stimata con il metodo non parametrico (Cubic-

0.00%

0.05%

0.10%

0.15%

0.20%

0.25%

0.30%

tre statistiche deviazifase di crescita del mercato azionario è caratterizzata da due seminella prima semi-fasedeviazione standard,variazione della skewnessmentre nella seconda semiravvisare una diminuzione della devdiminuzione dell’eccesso di curtosi sia al fatto che la negativa. - le statistiche di sintesi hanno potere previsivo riguardo all’economia reale e/o finanziaria? Ad esempio la volatilità estrattvolatilità “realizzata”?- qual è il legame tra le aspettative di mercato in distinte aree geografiche? Analizzando i legami di correlazione e di causalità alla Grangersintesi di diverse aree geografiche si riesce l’incertezza attesa in Usa e UK.si riesce ad analizzare se l’inclinazione della struttura a termineffetti causali sull’incertezza presente nei mercati dei tassi di interesse.- qual è l’appetito per il rischio di un investitore avverso al rischio in un dato mercato? Gai and Vausedi appetito per il rischio da basato sulla variazione nel rapporto tra distribuzione di probabilità neutrale al rischio e la distribuzione di probabilità soggettiva usata dagli investitori nel valutai pay-off attesi di un dato sottostante.

Rispetto ai tradizionali modelli econometrici (di tipo serie storica), il metodo di stima delle PDF presenta alcuni punti di forza ed è particolarmente adatto strumento per l’analisi congiuntpermette di ottenere non solo una previsione puntuale del rendimento futuro bensìdistribuzione dello stesso.storiche lunghe per consentire stime accurate evariazione nelle aspettative dei mercaticogliere l’incertezza nei mercati finanziari. Questo pdipende dai dati di mercato disponibili lungo funzione matematica degli errori standard di un modello econometrico. Infine, le PDF sono costruite sulla base di un numero relativamda un modello specifico: per tale motivo relativamente indipendente dal modello utilizzato

5 Una variabile x causa in sens

qualche utilità per predire y. Per una definizione più accurata si rimanda a 6 Ad esempio, un cambiamento improvviso dovuto ad un annuncio di un policy maker o a una n

economica viene catturato immediatamente dai prezzi delle opzioni e quindi incorporato nelle PDF mentre gli indicatori basati su dati storici presentano tipicamente un certo ritardo strutturale nell’incorporare tali cambiamenti.

7 Ciò che risente di più della scelta del modello è la stima della distribuzione di probabilità nelle code.

7

tre statistiche deviazione standard, skewness ed eccesso di curtosi.fase di crescita del mercato azionario è caratterizzata da due semi

fase, “ripresa del mercato”, si può ravvisare un aumento della deviazione standard, congiunto a un aumento dell’eccesso di curtosi

skewness (diviene negativa e aumenta il suo valore assoluto), mentre nella seconda semi-fase, “recupero della stabilità del mercato”ravvisare una diminuzione della deviazione standard congiuntamente sia diminuzione dell’eccesso di curtosi sia al fatto che la skewness

statistiche di sintesi hanno potere previsivo riguardo all’economia reale e/o finanziaria? Ad esempio la volatilità estratta dalle PDF ha potere previsivo della volatilità “realizzata”?

è il legame tra le aspettative di mercato in distinte aree geografiche? Analizzando i legami di correlazione e di causalità alla Grangersintesi di diverse aree geografiche si riesce a indagare il legame esistente tra l’incertezza attesa in Usa e UK. Nel mercato azionario e nei tassi di interesse,

ad analizzare se l’inclinazione della struttura a termineffetti causali sull’incertezza presente nei mercati dei tassi di interesse.

è l’appetito per il rischio di un investitore avverso al rischio in un dato Gai and Vause (2006) illustrano come possa essere costruito un indicato

di appetito per il rischio da un’elaborazione numerica delle statistiche delle PDF, basato sulla variazione nel rapporto tra distribuzione di probabilità neutrale al rischio e la distribuzione di probabilità soggettiva usata dagli investitori nel valuta

attesi di un dato sottostante.

Rispetto ai tradizionali modelli econometrici (di tipo serie storica), il metodo di stima delle PDF presenta alcuni punti di forza ed è particolarmente adatto strumento per l’analisi congiunturale dei mercati. In primo luogo, la stima della PDF permette di ottenere non solo una previsione puntuale del rendimento futuro bensìdistribuzione dello stesso. Inoltre, tale metodologia non richiede la disponibilità di serie storiche lunghe per consentire stime accurate ed è capace di cogliere repentinamente la variazione nelle aspettative dei mercati.6 In secondo luogo, le PDF sono più adatte a cogliere l’incertezza nei mercati finanziari. Questo perché la forma della distribuzione dipende dai dati di mercato disponibili lungo i diversi prezzi di eserciziofunzione matematica degli errori standard di un modello econometrico. Infine, le PDF sono costruite sulla base di un numero relativamente limitato di ipotesi imposte dalla teoria o

per tale motivo la stima della parte centrale delle distribuzioni è relativamente indipendente dal modello utilizzato7.

Una variabile x causa in senso di Granger una variabile y se le osservazioni nel passato di x sono di

qualche utilità per predire y. Per una definizione più accurata si rimanda a Granger (1969)

Ad esempio, un cambiamento improvviso dovuto ad un annuncio di un policy maker o a una neconomica viene catturato immediatamente dai prezzi delle opzioni e quindi incorporato nelle PDF mentre gli indicatori basati su dati storici presentano tipicamente un certo ritardo strutturale nell’incorporare tali

ù della scelta del modello è la stima della distribuzione di probabilità nelle code.

ed eccesso di curtosi. Ad esempio una fase di crescita del mercato azionario è caratterizzata da due semi-fasi successive:

si può ravvisare un aumento della un aumento dell’eccesso di curtosi e a una marcata

aumenta il suo valore assoluto), “recupero della stabilità del mercato”, si può iazione standard congiuntamente sia a una

skewness diviene meno

statistiche di sintesi hanno potere previsivo riguardo all’economia reale e/o a dalle PDF ha potere previsivo della

è il legame tra le aspettative di mercato in distinte aree geografiche? Analizzando i legami di correlazione e di causalità alla Granger5 tra statistiche di

indagare il legame esistente tra el mercato azionario e nei tassi di interesse, invece,

ad analizzare se l’inclinazione della struttura a termine dei tassi abbia effetti causali sull’incertezza presente nei mercati dei tassi di interesse.

è l’appetito per il rischio di un investitore avverso al rischio in un dato (2006) illustrano come possa essere costruito un indicatore

elaborazione numerica delle statistiche delle PDF, basato sulla variazione nel rapporto tra distribuzione di probabilità neutrale al rischio e la distribuzione di probabilità soggettiva usata dagli investitori nel valutare

Rispetto ai tradizionali modelli econometrici (di tipo serie storica), il metodo di stima delle PDF presenta alcuni punti di forza ed è particolarmente adatto a essere usato come

urale dei mercati. In primo luogo, la stima della PDF permette di ottenere non solo una previsione puntuale del rendimento futuro bensì l’intera

la disponibilità di serie di cogliere repentinamente la

In secondo luogo, le PDF sono più adatte a erché la forma della distribuzione

i diversi prezzi di esercizio e non dalla funzione matematica degli errori standard di un modello econometrico. Infine, le PDF sono

ente limitato di ipotesi imposte dalla teoria o la stima della parte centrale delle distribuzioni è

o di Granger una variabile y se le osservazioni nel passato di x sono di

Granger (1969).

Ad esempio, un cambiamento improvviso dovuto ad un annuncio di un policy maker o a una news economica viene catturato immediatamente dai prezzi delle opzioni e quindi incorporato nelle PDF mentre gli indicatori basati su dati storici presentano tipicamente un certo ritardo strutturale nell’incorporare tali

ù della scelta del modello è la stima della distribuzione di probabilità nelle code.

3.3.3.3. Metodi di stima Metodi di stima Metodi di stima Metodi di stima

Le tecniche per la stima dell- metodi parametricimetodi parametricimetodi parametricimetodi parametricidistruzione ; - metodi non parametricimetodi non parametricimetodi non parametricimetodi non parametricidel sottostante.

Formula di option Formula di option Formula di option Formula di option pricingpricingpricingpricing

Esiste una formula chiusa per il pricing delle opzioni. E’ basata sul modello di Black e S(1973)di pricing fatta sulla distribuzione del sottostante.

Parametri StimatiParametri StimatiParametri StimatiParametri Stimati Dipende dalle ipotesi fatte sulla distribuzione del sottostante.

Smoothing splineSmoothing splineSmoothing splineSmoothing spline Non si utilizza alcuna funzione di interpolazione

Metodo di estrazione Metodo di estrazione Metodo di estrazione Metodo di estrazione della funzione di della funzione di della funzione di della funzione di

probabilità implicitaprobabilità implicitaprobabilità implicitaprobabilità implicita

Minimizzazione di una funzione di perdita quadratica

Tabella 2: I due approcci di stima

I metodi parametrici sono piuttosto parsimoniosi. Sono preferiti quando si vuole stimare la PDF a fini di pricing o per la valutazione della distribuzione di probabilità nelle code (valutazioni di tipo VaR).

I metodi non parametrici invece sonoindicatori sulle aspettative di mercato per scopi di analisi congiunturale. Poiché si vuole ottenere una prospettiva dei mercati alcuna ipotesi aggiuntiva sull’andamento del sottostante ed estrarre dai dati solamente ciò che è contenuto nei dati, senza tentare di sopperire all’informazione mancante con specifiche assunzioni parametriche sulla dinamica dei sottostanti. Un limite dei metodi non parametrici è che, essendo meno strutturati, e quindi dei problemi su piccoli campionila distribuzione.

La tabella 2 sintetizza le principali differenze tra i due approcci,

8

Metodi di stima Metodi di stima Metodi di stima Metodi di stima

tecniche per la stima delle PDF possono essere ricomprese in metodi parametricimetodi parametricimetodi parametricimetodi parametrici, i quali ipotizzano che il sottostante abbia una determinata

metodi non parametricimetodi non parametricimetodi non parametricimetodi non parametrici, i quali non formulano alcuna ipotesi sulla distribuzione

Metodo parametricoMetodo parametricoMetodo parametricoMetodo parametrico Metodo Metodo Metodo Metodo non parametriconon parametriconon parametriconon parametricoEsiste una formula chiusa per il pricing delle opzioni. E’ basata sul modello di Black e Scholes (1973) o Black (1976). Il modello di pricing è adattato all’ipotesi fatta sulla distribuzione del sottostante.

La formula di pricing è utilizzata in modo indiretto.

Dipende dalle ipotesi fatte sulla distribuzione del sottostante.

Non vi sono parametri da stimare

Non si utilizza alcuna funzione di interpolazione

Si interpola la volatilità implicita

Minimizzazione di una funzione di perdita quadratica

Metodi basati sul risultato di Breeden e Litzenberger (1976) ossia che in mercati dinamicamente completi, la PDF del sottostante è proporzionale alla derivata seconda della funzione di prezzo delle opzioni call calcolata rispetto al prezzo di esercizio.

di stima delle PDF

metodi parametrici sono piuttosto strutturati, semplici da stimare e solitamente Sono preferiti quando si vuole stimare la PDF a fini di pricing o per la

valutazione della distribuzione di probabilità nelle code (valutazioni di tipo VaR).

I metodi non parametrici invece sono solitamente preferiti per la ricostruzione di indicatori sulle aspettative di mercato per scopi di analisi congiunturale. Poiché si vuole ottenere una prospettiva dei mercati la più obiettiva possibile, si preferisce non introdurre

va sull’andamento del sottostante ed estrarre dai dati solamente ciò che è contenuto nei dati, senza tentare di sopperire all’informazione mancante con specifiche assunzioni parametriche sulla dinamica dei sottostanti. Un limite dei metodi

è che, essendo meno strutturati, e quindi data-drivendei problemi su piccoli campioni e risentire fortemente della bontà dei dati su cui è stimata

La tabella 2 sintetizza le principali differenze tra i due approcci, mentre la tabella 3 mette

in due filoni: abbia una determinata

ipotesi sulla distribuzione

non parametriconon parametriconon parametriconon parametrico formula di pricing è utilizzata in

modo indiretto.

Non vi sono parametri da stimare

volatilità implicita

Metodi basati sul risultato di e Litzenberger (1976)

ossia che in mercati dinamicamente completi, la PDF

sottostante è proporzionale alla derivata seconda della funzione di prezzo delle opzioni call calcolata rispetto al prezzo di

strutturati, semplici da stimare e solitamente Sono preferiti quando si vuole stimare la PDF a fini di pricing o per la

valutazione della distribuzione di probabilità nelle code (valutazioni di tipo VaR).

solitamente preferiti per la ricostruzione di indicatori sulle aspettative di mercato per scopi di analisi congiunturale. Poiché si vuole

, si preferisce non introdurre va sull’andamento del sottostante ed estrarre dai dati solamente

ciò che è contenuto nei dati, senza tentare di sopperire all’informazione mancante con specifiche assunzioni parametriche sulla dinamica dei sottostanti. Un limite dei metodi

driven, possono presentare e risentire fortemente della bontà dei dati su cui è stimata

mentre la tabella 3 mette

in luce i punti di forza di entrambi i modelli in termini di implementazione risultati e robustezza della stima e suggerisce, infine, in quali circostanze e a quali fini siaun approccio rispetto all’altro .

Per il progetto di stima delle PDF, si è costruiti sia un modello parametrico modello non parametrico.Pricing Unit & Financial Innovationvalutazione di opzioni scritte sul sottostante considerato.

8 Risultato analogo viene raggiunto da M. Andersson and M. Lomakka (2001), che dimostrano

che le bande di confidenza elaborate tramite bootstrap degli errori di pricing deparametrico sono più strette delle bande di confidenza costruite con il metodo parametrico.

9 La deviazione standard ottenuta con il metodo delle spline è più bassa di quella ottenuta con qualunque altra tecnica. (Campa

ImplementazioneImplementazioneImplementazioneImplementazione

E’ sufficiente un numero ridotto di dati per la stimaMetodo numerico basato su procedure di ottimizzazione. Può presentare problemi di:

Il comportamento delle code dipende

Comportamento nelle Comportamento nelle Comportamento nelle Comportamento nelle Code Code Code Code

La stima dei percentili estremi è coerente con il modello utilizzato

Adatto a valutazioni di VaR

Distribuzioni produrre delle distribuzioni spiked

RobustezzaRobustezzaRobustezzaRobustezza

Piccole variazioni nei prezzi di input inficiano la stabilità statistiche di sintesi. Per tantol’interpretazione delle variazioni temporali delle statistiche di sintesi può non essere univoca.

Tabella 3: Vantaggi e Svantaggi dei due metodi di stima

9

in luce i punti di forza di entrambi i modelli in termini di implementazione risultati e robustezza della stima e suggerisce, infine, in quali circostanze e a quali fini siaun approccio rispetto all’altro .

Per il progetto di stima delle PDF, si è costruiti sia un modello parametrico modello non parametrico. Il modello parametrico è stato studiato ed implementato dalla

& Financial Innovation al fine di costruire una superficie di volatilità volta alla valutazione di opzioni scritte sul sottostante considerato. Il modello non parametrico

Risultato analogo viene raggiunto da M. Andersson and M. Lomakka (2001), che dimostrano

che le bande di confidenza elaborate tramite bootstrap degli errori di pricing deparametrico sono più strette delle bande di confidenza costruite con il metodo parametrico.

La deviazione standard ottenuta con il metodo delle spline è più bassa di quella ottenuta con qualunque altra tecnica. (Campa – Chang – Reider 1998)

Metodo Metodo Metodo Metodo parametricoparametricoparametricoparametrico Metodo non parametricoMetodo non parametricoMetodo non parametricoMetodo non parametricoE’ sufficiente un numero ridotto di dati per la stima

Non introduce ipotesi aggiuntive

Metodo numerico basato su procedure di ottimizzazione. Può presentare problemi di:

- Ottimo Globale, - Lentezza nella

convergenza.

Risente negativamente di insiemi supporto di rilevazione dei prezzi di esercizio ridotti

Il comportamento delle code dipende dal modello ipotizzato.

Non definisce della distribuzione nelle code(momento terzo e quarto risultano meno attendibili).

La stima dei percentili estremi è coerente con il modello utilizzato

La stima dei percentili estremi dipende dalle ipotesi sulle code.

Adatto a valutazioni di VaR Il metodo non si presta a valutazioni di VaR.

Distribuzioni spiked: può produrre delle distribuzioni spiked.

Raramente produce distribuzioni spiked all’interno dell’insieme supporto.

Piccole variazioni nei prezzi di input inficiano la stabilità delle statistiche di sintesi. Per tantol’interpretazione delle variazioni temporali delle statistiche di sintesi può non essere univoca.

Il metodo cubic smoothingpresenta il più alto livello di robustezza alle variazioni dei dati di input8. Piccole perturbazioni nei prezzi di input nonstabilità delle statistiche di sintesi ottenute, ossia non generano ampie variazioni nella stima della PDF e quindi non producono ampie variazioni nelle statistiche della distribuzione stessa

: Vantaggi e Svantaggi dei due metodi di stima

in luce i punti di forza di entrambi i modelli in termini di implementazione risultati e robustezza della stima e suggerisce, infine, in quali circostanze e a quali fini sia preferibile

Per il progetto di stima delle PDF, si è costruiti sia un modello parametrico che un Il modello parametrico è stato studiato ed implementato dalla

al fine di costruire una superficie di volatilità volta alla l modello non parametrico,

Risultato analogo viene raggiunto da M. Andersson and M. Lomakka (2001), che dimostrano che le bande di confidenza elaborate tramite bootstrap degli errori di pricing del modello non parametrico sono più strette delle bande di confidenza costruite con il metodo parametrico.

La deviazione standard ottenuta con il metodo delle spline è più bassa di quella ottenuta con

Metodo non parametricoMetodo non parametricoMetodo non parametricoMetodo non parametrico Non introduce ipotesi aggiuntive

Risente negativamente di insiemi supporto di rilevazione dei prezzi di

ridotti

definisce il comportamento ella distribuzione nelle code (momento terzo e quarto risultano meno attendibili). La stima dei percentili estremi dipende dalle ipotesi sulle code.

metodo non si presta a valutazioni

Raramente produce distribuzioni all’interno dell’insieme

cubic smoothing spline presenta il più alto livello di robustezza alle variazioni dei dati di

. Piccole perturbazioni nei non inficiano la

stabilità delle statistiche di sintesi ossia non generano ampie

variazioni nella stima della PDF e quindi non producono ampie variazioni nelle statistiche della distribuzione stessa9.

invece, è stato sviluppato internamente al team di Analisi congiunturalpractice di Publishing e vorrà essere utilizzato principalmente a fini congiunturali

Si è preferito ricorrere a due modelli diversi sia perché i due approcci rispondono esigenze diverse sia per avere in ogni momento un confronto tra due metodologie. Tra i modelli parametrici si è normali e in particolare la mistura di log(2003), poiché presenta un elevato grado di flessibilgamma di distribuzioni.

Per i modelli non parametrici invece si è scelto il modello basato sulle tecniche di “cubic smoothing spline” (BoE) divenuta un benchmark utilizzato da tutte le banche centrali. delinea brevemente la teoria su cui si basano

Il grafico 2 mostra un confronto tra le due metodologie da noi implementate alla stessa data di riferimento, sdistribuzioni sono molto simili all’interno dell’intervallo di supporto mentre le code assumono un comportamento diverso, completamente il comport

Grafico 2: Distribuzione di probabilità estratta dai prezzi delle opzioni

USD/EUR con data valutazione 25/8/2008

parametrico sia con il metodo non parametrico.

Bloomberg

0%

5%

10%

15%

20%

25%

0.55 0.6

PDF im

plicita

PDF im

plicita

PDF im

plicita

PDF im

plicita

Css

Mistura Log Normali

10

è stato sviluppato internamente al team di Analisi congiunturale vorrà essere utilizzato principalmente a fini congiunturali

Si è preferito ricorrere a due modelli diversi sia perché i due approcci rispondono esigenze diverse sia per avere in ogni momento un confronto tra i risultati ottenuti con le

Tra i modelli parametrici si è preferito il modello di misture di login particolare la mistura di log-normali secondo l’approccio Rebonato

), poiché presenta un elevato grado di flessibilità e permette di riprodurre un ampia

er i modelli non parametrici invece si è scelto il modello basato sulle tecniche di (Css), seguendo la metodologia sviluppata dalla B

divenuta un benchmark utilizzato da tutte le banche centrali. la teoria su cui si basano i due approcci.

mostra un confronto tra le due metodologie da noi implementate alla stessa data di riferimento, stessa scadenza e per il medesimo sottostante. Si nota che le distribuzioni sono molto simili all’interno dell’intervallo di supporto mentre le code assumono un comportamento diverso, poiché il modello non parametrico non modellizza completamente il comportamento della distribuzione nelle code.

: Distribuzione di probabilità estratta dai prezzi delle opzioni sul tasso di cambio

con data valutazione 25/8/2008 con scadenza ad un mese stimata sia con il

metodo non parametrico. Source: elaborazione Prometeia

0.65 0.7 0.75

USD/EURUSD/EURUSD/EURUSD/EUR

Mistura Log Normali

è stato sviluppato internamente al team di Analisi congiunturale dei mercati della e vorrà essere utilizzato principalmente a fini congiunturali.

Si è preferito ricorrere a due modelli diversi sia perché i due approcci rispondono a i risultati ottenuti con le

il modello di misture di log-normali secondo l’approccio Rebonato-Cardoso

ità e permette di riprodurre un ampia

er i modelli non parametrici invece si è scelto il modello basato sulle tecniche di , seguendo la metodologia sviluppata dalla Bank of England

divenuta un benchmark utilizzato da tutte le banche centrali. Nell’appendice I si

mostra un confronto tra le due metodologie da noi implementate alla tessa scadenza e per il medesimo sottostante. Si nota che le

distribuzioni sono molto simili all’interno dell’intervallo di supporto mentre le code il modello non parametrico non modellizza

sul tasso di cambio

stimata sia con il metodo

Prometeia su dati

0.8

4.4.4.4. CCCContrattontrattontrattontrattiiii ““““sinteticsinteticsinteticsintetic

Le opzioni scambiate sui mercati sono contratti con una data di scadenza prefissata. La stima giornaliera delle PDF estratte dai prezzi di mercato esprime sulle possibili variazioni del prezzo del sottostante tra il giorno di rilevazione dei prezzi e il giorno di scadenza delle opzioni in esame. Questo significa confronto delle PDF a date diverse diviene difficile.

Infatti, il grado di incertezza relativo al valore del sottostante a scadenza diminuiscenaturalmente all’avvicinarsi della scadenza sia un cambiamento nel grado di rischiosità

Ci si pone quindi il problema di distinguere quanta parte della variazione nella dispersione della PDF sia imputabile alquanta parte sia semplicemente una conseguenza fisiologica scadenza del contratto di opzione

Per separare questi due effetti si è deciso di costruire dei contratti sintetici “orizzonte costante” e stimare su di essi le PDFcostante 3 mesi guarderà sempre tre mesi avanti. In questo modo, le variazioni nella dispersione della PDF in due giorni consecutivi saranno unicamente da attribuire a cambiamenti nelle aspettative dei mercati: ad esempio una marcata variazione da un giorno all’altro nella volatilità implicita nelle opzioni future sull’Euribor a tre mespercepita dagli operatori sul futuro valore dell’Euribor a tre mesi.

In generale i movimentcontratti sintetici saranno scevri da ogni effetto scadenza.parametrico e non parametricdistinto. Una breve spiegazioneopzioni sintetiche è in appendice.

La visualizzazione più comunebande di confidenza note in letteratura come Fan Chartuna misura grafica dell’intervallo dell’incertezza attorno alla proiezione centrale rappresentata nel colore più scuro. Il costruito utilizzando i percentili della PDF mesi.

In linea teorica nulla vieterebbe di costruire le Fan Chart sulle PDF costruite sulle opzioni scambiate sul mercato ma è evidente cmaggiormente a quelle a orizzonte costante.

11

sinteticsinteticsinteticsinteticiiii”””” aaaa orizzonte costanteorizzonte costanteorizzonte costanteorizzonte costante

Le opzioni scambiate sui mercati sono contratti con una data di scadenza prefissata. elle PDF estratte dai prezzi di mercato esprime

sulle possibili variazioni del prezzo del sottostante tra il giorno di rilevazione dei prezzi e il giorno di scadenza delle opzioni in esame. Questo significa che con il passare del temp

ronto delle PDF a date diverse diviene difficile.

il grado di incertezza relativo al valore del sottostante a scadenza diminuiscenaturalmente all’avvicinarsi della scadenza stessa del contratto di opzionesia un cambiamento nel grado di rischiosità percepita del sottostante.

Ci si pone quindi il problema di distinguere quanta parte della variazione nella dispersione della PDF sia imputabile alla nuova informazione presente nel mercato e quanta parte sia semplicemente una conseguenza fisiologica

del contratto di opzione.

Per separare questi due effetti si è deciso di costruire dei contratti sintetici “ostante” e stimare su di essi le PDF. Ad esempio un contratto a orizzonte

costante 3 mesi guarderà sempre tre mesi avanti. In questo modo, le variazioni nella dispersione della PDF in due giorni consecutivi saranno unicamente da attribuire a

lle aspettative dei mercati: ad esempio una marcata variazione da un giorno all’altro nella volatilità implicita nelle opzioni a orizzonte costante definite sul

Euribor a tre mesi potrà essere interpretata come un aumento dell’incertezza ita dagli operatori sul futuro valore dell’Euribor a tre mesi.

In generale i movimenti nelle statistiche di sintesi delle PDF estratte da questi contratti sintetici saranno scevri da ogni effetto scadenza. I due metodi di stima parametrico e non parametrico costruiscono i “contratti con orizzonte costante” in modo

Una breve spiegazione di come i due diversi approcci permettano di costruire le in appendice.

La visualizzazione più comune delle PDF a orizzonte costante è bande di confidenza note in letteratura come Fan Chart. Questo tipo di grafico fornisce una misura grafica dell’intervallo dell’incertezza – rappresentata dall’area sfumataattorno alla proiezione centrale rappresentata nel colore più scuro. Il costruito utilizzando i percentili della PDF a orizzonte costante e in particolare a 3

In linea teorica nulla vieterebbe di costruire le Fan Chart sulle PDF costruite sulle opzioni scambiate sul mercato ma è evidente che l’interesse degli osservatori è rivolto

orizzonte costante.

Le opzioni scambiate sui mercati sono contratti con una data di scadenza prefissata. elle PDF estratte dai prezzi di mercato esprime l’opinione di mercato

sulle possibili variazioni del prezzo del sottostante tra il giorno di rilevazione dei prezzi e il che con il passare del tempo il

il grado di incertezza relativo al valore del sottostante a scadenza diminuisce contratto di opzione, senza che vi

percepita del sottostante.

Ci si pone quindi il problema di distinguere quanta parte della variazione nella nuova informazione presente nel mercato e

quanta parte sia semplicemente una conseguenza fisiologica dell’avvicinarsi della

Per separare questi due effetti si è deciso di costruire dei contratti sintetici “a d esempio un contratto a orizzonte

costante 3 mesi guarderà sempre tre mesi avanti. In questo modo, le variazioni nella dispersione della PDF in due giorni consecutivi saranno unicamente da attribuire a

lle aspettative dei mercati: ad esempio una marcata variazione da un orizzonte costante definite sul come un aumento dell’incertezza

delle PDF estratte da questi I due metodi di stima

o costruiscono i “contratti con orizzonte costante” in modo di come i due diversi approcci permettano di costruire le

orizzonte costante è costituita dalle uesto tipo di grafico fornisce

rappresentata dall’area sfumataattorno alla proiezione centrale rappresentata nel colore più scuro. Il range di incertezza è

in particolare a 3, 6, e 12

In linea teorica nulla vieterebbe di costruire le Fan Chart sulle PDF costruite sulle i osservatori è rivolto

5.5.5.5. I risultati dai nostri modelli di stimaI risultati dai nostri modelli di stimaI risultati dai nostri modelli di stimaI risultati dai nostri modelli di stima

I modelli di stima delle PDF sono stati imple- Opzioni su futures EuroDollaro a tre mesi - Opzioni su futuresBund - Opzioni su futuresY GBP GILT - Opzioni su - Opzioni su futuresfuture non esista): opzioni su FTSE 100 EuroSTOXX 50 -opzioni su S&P MIB - Opzioni OTC su USDGBP-JPYGBP). Si è deciso di non considerare le opzioni su cambio (dati CME) perché per alcuni cambi risultavano posi è preferito utilizzare la stessa fonte dei dati (e quindi lo stesso tipo di modello) per ciascuna valuta.

Per tutti i fattori di rischio sono stimabilorizzonte costante sia a scadenza fissa

Questi modelli possono fornire un gran numero di informazioni, utili per l’analisi congiunturale dei mercati. Nei prossimi paragrafifornisce una prima interpretazione,

Grafico 3: Fan Chart ottenuta dalla distribuzione di probabilità implicita

estratta con il metodo non parametrico dai prezzi delle opzioni sullo S&PMIB alla data

20/10/2008. Source: elaborazione

-60.0%

-40.0%

-20.0%

0.0%

20.0%

40.0%

60.0%

S&P MIB

S&P MIB

S&P MIB

S&P MIB -- --Rendimento

Rendimento

Rendimento

Rendimento

12

I risultati dai nostri modelli di stimaI risultati dai nostri modelli di stimaI risultati dai nostri modelli di stimaI risultati dai nostri modelli di stima

I modelli di stima delle PDF sono stati implementati sui seguenti fattori difutures su tassi di interesse a breve termine

a tre mesi - Short Sterling a tre mesi, EuroYen a tre mesi);futures su titoli governativi a 10 anni (Opzioni su futures su 10Y USD Treasury Bond- Opzioni su

Opzioni su futures su 10 Y Japanese Bond); futures su indici azionari o opzioni su indici azionari stessi (qualora il

non esista): opzioni su FTSE 100 - opzioni sul future sul S&P 500 opzioni su S&P MIB -opzioni su Nikkei;

Opzioni OTC su tassi di cambio: (EURUSD-EURJPYJPYGBP). Si è deciso di non considerare le opzioni su

CME) perché per alcuni cambi risultavano poco liquide e per uniformità è preferito utilizzare la stessa fonte dei dati (e quindi lo stesso tipo di modello) per

Per tutti i fattori di rischio sono stimabili le PDF con entrambi i metodi sia costante sia a scadenza fissa e sono consultabili le statistiche di sintesi.

Questi modelli possono fornire un gran numero di informazioni, utili per l’analisi congiunturale dei mercati. Nei prossimi paragrafi se ne presenta una prima analisi e se ne fornisce una prima interpretazione, suggerendo alcuni tipi di visualizzazioni che potranno

: Fan Chart ottenuta dalla distribuzione di probabilità implicita a orizzonte costante



3 mesi 6 mesi

mentati sui seguenti fattori di rischio: tassi di interesse a breve termine (Euribor a tre mesi -

Short Sterling a tre mesi, EuroYen a tre mesi); (Opzioni su futures su 10YR

Opzioni su futures su BOND 10

o opzioni su indici azionari stessi (qualora il sul S&P 500 - opzioni su

EURJPY-EURGBP-USDJPY-JPYGBP). Si è deciso di non considerare le opzioni su futures su tasso di

co liquide e per uniformità è preferito utilizzare la stessa fonte dei dati (e quindi lo stesso tipo di modello) per

i le PDF con entrambi i metodi sia a e sono consultabili le statistiche di sintesi.

Questi modelli possono fornire un gran numero di informazioni, utili per l’analisi se ne presenta una prima analisi e se ne

suggerendo alcuni tipi di visualizzazioni che potranno

orizzonte costante


1 anno

essere aggiornate a frequenza

In riferimento ai mercati monetariopzioni sui futures sui tassi di interesse a breve possiamo inferire le aspettative di politica monetaria e definire la viewtassi di interesse. Per una lettura più agevole dell’incertezza sui tassi di interesse a breve, i cui cambiamenti avvengono per intervalli didistribuzione di probabilità

La distribuzione di probabilità aspettative degli operatori di mercato a quella stessa datasuccessive si mettono in risalto le

Nel grafico 3 riportiamo un esempio: è la discretizzata ottenuta dai tagliato il tasso di riferimento di 50

Si vede come a seguito della mossa di politica monetaria si sia ampliato l’insieme supporto della distribuzione, sia a destra sia a sinistra

10 Il modello utilizza i prezzi di chiusura delle opzioni e del future, pertanto l’analisi della PDF

dell’8/10/2008 incorpora già il taglio della BCE.

Grafico 4: Distribuzione di probabilità discretizzata estratta (con il metodo non parametrico) dai

prezzi delle opzioni sul future sull’euribor a tre mesi con scadenza 17/11/2008 a due

successive. Source: elaborazione

0%

5%

10%

15%

20%

25%

30%

35%

3.75 - 4.00 4.00 -4.25

PDF Discretizzata

PDF Discretizzata

PDF Discretizzata

PDF Discretizzata

13

frequenza giornaliera e utilizzati per monitorare i

mercati monetari, dalla distribuzione di probabilità dei prezzi delle sui tassi di interesse a breve possiamo inferire le aspettative di politica

view di mercato riguardo ai possibili rischi sul percorso una lettura più agevole dell’incertezza sui tassi di interesse a breve, i

cui cambiamenti avvengono per intervalli di 25 punti base, abbiamodistribuzione di probabilità, in modo da poterla rappresentare con un grafico

La distribuzione di probabilità a una singola data ci fornisce la fotografia delle aspettative degli operatori di mercato a quella stessa data, mentre confrontando due date successive si mettono in risalto le variazioni nelle aspettative del mercato.

riportiamo un esempio: è la distribuzione di probabilità discretizzata ottenuta dai dati del 6/10/2008 e l’ 8/10/200810 giorno in cui la BCE ha

mento di 50 punti base.

Si vede come a seguito della mossa di politica monetaria si sia ampliato l’insieme supporto della distribuzione, sia a destra sia a sinistra, denotando un forte aument

Il modello utilizza i prezzi di chiusura delle opzioni e del future, pertanto l’analisi della PDF

dell’8/10/2008 incorpora già il taglio della BCE.

: Distribuzione di probabilità discretizzata estratta (con il metodo non parametrico) dai

prezzi delle opzioni sul future sull’euribor a tre mesi con scadenza 17/11/2008 a due


4.25 - 4.50 4.50 - 4.75 4.75 - 5.00 5.00 - 5.25 5.25 -5.50 5.50-5.75

Euribor a mesi (%)Euribor a mesi (%)Euribor a mesi (%)Euribor a mesi (%)

06/10/2008 08/10/2008

monitorare i mercati.

, dalla distribuzione di probabilità dei prezzi delle sui tassi di interesse a breve possiamo inferire le aspettative di politica

di mercato riguardo ai possibili rischi sul percorso futuro dei una lettura più agevole dell’incertezza sui tassi di interesse a breve, i

25 punti base, abbiamo discretizzato la con un grafico a istogrammi.

una singola data ci fornisce la fotografia delle confrontando due date

mercato.

distribuzione di probabilità dei tassi a breve giorno in cui la BCE ha

Si vede come a seguito della mossa di politica monetaria si sia ampliato l’insieme denotando un forte aumento

Il modello utilizza i prezzi di chiusura delle opzioni e del future, pertanto l’analisi della PDF

: Distribuzione di probabilità discretizzata estratta (con il metodo non parametrico) dai

prezzi delle opzioni sul future sull’euribor a tre mesi con scadenza 17/11/2008 a due date

5.75 5.75 -6.00

08/10/2008

dell’incertezza nel mercato: (attorno al 15%) al fatto che il tasso Euribor raggiunga il 6%attribuiscono una probabilità pari circa al 30% all’evento che i tassi scendano sotto il 4,25%, mentre due giorni prima le loro aspettative erano incentristretto tre 4,25% e 5,75%.

Un utile e istruttivo esercizio ci è sembrato quello di confrontare le probabilità estratte dal nostro modello e quelle consultabili in Bloomberg, come 4. Per le opzioni sul tasso Euribor a tre mesi, di tre mesi e confrontata con quella elaborata da Bloomberg per la stessa data.

Le differenze nella numerosità delle opzioni nellche causa un ribasamento della PDFlimitato a dieci strike (10 strike per le opzioni put e 10 per le opzioni per contemperare l’obbiettivo di una buona stima con quello di contenimento dei costi, mentre è molto probabile chenumero di dati da utilizzare, sia

Questa considerazione è supportata dal fatto che modificando il tipo di

Grafico 5: Distribuzione di probabilità estratta (con il

opzioni sul future sull’euribor a tre mesi con valutazione successive 5/10 /2008

elaborazione Prometeia su dati

0.0%

0.2%

0.4%

0.6%

0.8%

1.0%

1.2%

0.00% 1.00%

PDF a Orizzonte costante



PDF a Orizzonte costante -- --3 mesi

3 mesi

3 mesi

3 mesi

Stima Prometeia

Stima Prometeia estrapolazioneStima

14

dell’incertezza nel mercato: gli operatori attribuiscono una probabilità (attorno al 15%) al fatto che il tasso Euribor raggiunga il 6% e contemporaneamente attribuiscono una probabilità pari circa al 30% all’evento che i tassi scendano sotto il 4,25%, mentre due giorni prima le loro aspettative erano incentrate su un intervallo più ristretto tre 4,25% e 5,75%.

istruttivo esercizio ci è sembrato quello di confrontare le probabilità estratte dal nostro modello e quelle consultabili in Bloomberg, come

er le opzioni sul tasso Euribor a tre mesi, è stata calcolata la PDF tre mesi e confrontata con quella elaborata da Bloomberg per la stessa data.

Le differenze nella forma delle distribuzioni sono, a nostro avviso, e opzioni nell’insieme supporto utilizzato dai due metod

ribasamento della PDF: il nostro modello è stimato su un insieme supporto dieci strike (10 strike per le opzioni put e 10 per le opzioni

contemperare l’obbiettivo di una buona stima con quello di contenimento dei costi, molto probabile che il modello di Bloomberg, evidentemente privi di limiti sul

numero di dati da utilizzare, sia stimato utilizzando l’intero insieme di opzioni disponibili.


Distribuzione di probabilità estratta (con il metodo non parametrico) dai prezzi delle

opzioni sul future sull’euribor a tre mesi con valutazione successive 5/10 /2008

su dati Bloomberg

2.00% 3.00% 4.00% 5.00%

Euribor (livelli)Euribor (livelli)Euribor (livelli)Euribor (livelli)

Stima Prometeia -CSs

Stima Prometeia -CSs senza estrapolazioneStima - Bloomberg

gli operatori attribuiscono una probabilità positiva ed elevata e contemporaneamente

attribuiscono una probabilità pari circa al 30% all’evento che i tassi scendano sotto il rate su un intervallo più

istruttivo esercizio ci è sembrato quello di confrontare le probabilità estratte dal nostro modello e quelle consultabili in Bloomberg, come mostrato nel grafico

a PDF a orizzonte costante tre mesi e confrontata con quella elaborata da Bloomberg per la stessa data.

a nostro avviso, imputabili alla metodi di estrapolazione,

modello è stimato su un insieme supporto dieci strike (10 strike per le opzioni put e 10 per le opzioni call), una scelta fatta

contemperare l’obbiettivo di una buona stima con quello di contenimento dei costi, , evidentemente privi di limiti sul

ntero insieme di opzioni disponibili.


metodo non parametrico) dai prezzi delle

opzioni sul future sull’euribor a tre mesi con valutazione successive 5/10 /2008 Source:

6.00%

estrapolazione – la curva estrapolazione – la PDF ricalca molto bene la PDF di Bloomberg a m

l’altro.

Il grafico quindi pone alla nostra attenzione un altro quesito: tpuò spiegare questa traslazioneo rappresenta un errore di modello

La traslazione non è un indice di errore del modello né inficia la bontà del contenuto informativo del modello stesso

distribuzione è nel legame tra distribuzione di probabilità neutrale al rischio e probabilità real world. Per maggior chiarezza si guardi la seguente uguaglianza, introdotta da AitSahalia e Lo (2000)

_

)(

DefinitaComponente

SqT

=

dove t rappresenta la data valutazione e T indica l’orizzonte della PDF. come la PDF neutrale al rischio

real world )( TSp della funzione di utilità aggregata

la differenza tra le due funzionutilità aggregata U(.) che interpreti le preferenze degli investitori e di un premio al rischio che funge da fattore moltiplicativo.economico bensì si traducresiduale “premio al rischio”.

Anche in riferimento ai mercati azionari, azionari si rivelano un utile strumento nel monitorare, definire potenziali nei mercati stessi.distribuzione indica una crescente percezione di movimenti inusuali nei prezzazionari e quindi una distribuzione meno “strettaminor confidenza degli operatori rispetto al futuro andamento del sottostante.

Il grafico 5 rappresenta la PDF dello S&P MIB tra la fine settembre e le prime settimane di ottobre, stimate con il medesimo metodo (non pcome la distribuzione si sia appiattita dell’incertezza degli operatoridistribuzione verso sinistra.siamo nel caso in cui è aumentaper cui possiamo concludere che vi bassa confidenza sull’attuale livello di prezzo

15

la curva verde chiaro rappresenta la stima di la PDF ricalca molto bene la PDF di Bloomberg a m

pone alla nostra attenzione un altro quesito: tquesta traslazione? Questa traslazione è integrabile con la teoria economica

o rappresenta un errore di modello?

ne non è un indice di errore del modello né inficia la bontà del contenuto informativo del modello stesso. Infatti, la spiegazione dello

legame tra distribuzione di probabilità neutrale al rischio e probabilità Per maggior chiarezza si guardi la seguente uguaglianza, introdotta da Ait

)()(

)(1

_______

'

'

T

stimadierroreundimenoaDefinita

SpTSU

tSU ∗⋅43421

λ

dove t rappresenta la data valutazione e T indica l’orizzonte della PDF. come la PDF neutrale al rischio )( TSq possa essere vista come funzione della probabilità

della funzione di utilità aggregata U(.) e del premio per il rischio

la differenza tra le due funzioni di probabilità è spiegabile in termini di una funzione di utilità aggregata U(.) che interpreti le preferenze degli investitori e di un premio al rischio che funge da fattore moltiplicativo. Pertanto la traslazione della PDF non ha un significato economico bensì si traduce semplicemente in una modifica del fattore moltiplicativo residuale “premio al rischio”.

ferimento ai mercati azionari, le PDF estratte dai prezzi si rivelano un utile strumento nel monitorare, definire e

potenziali nei mercati stessi. Ad esempio, la concentrazione di probabilità nelle code della distribuzione indica una crescente percezione di movimenti inusuali nei prezz

una distribuzione meno “stretta” e “più allargata” spesso denota una minor confidenza degli operatori rispetto al futuro andamento del sottostante.

rappresenta la PDF dello S&P MIB tra la fine settembre e le prime , stimate con il medesimo metodo (non parametrico )

come la distribuzione si sia appiattita a ottobre, denotando un aumento marcato dell’incertezza degli operatori e il valore medio atteso sia diminuito

verso sinistra. Utilizzando la tabella 1 come chiave di lettura è evidente che siamo nel caso in cui è aumentata la deviazione standard e diminuito l’eccesso di curtosi

possiamo concludere che vi è un ampio rischio di una variazione di prezzo e una bassa confidenza sull’attuale livello di prezzo.

chiaro rappresenta la stima di Prometeia senza la PDF ricalca molto bene la PDF di Bloomberg a meno di uno shift verso

pone alla nostra attenzione un altro quesito: teoricamente come si integrabile con la teoria economica

ne non è un indice di errore del modello né inficia la bontà del contenuto la spiegazione dello shift verticale della

legame tra distribuzione di probabilità neutrale al rischio e probabilità Per maggior chiarezza si guardi la seguente uguaglianza, introdotta da Ait-

dove t rappresenta la data valutazione e T indica l’orizzonte della PDF. Essa mostra possa essere vista come funzione della probabilità

e del premio per il rischio λ1. Quindi

spiegabile in termini di una funzione di utilità aggregata U(.) che interpreti le preferenze degli investitori e di un premio al rischio

Pertanto la traslazione della PDF non ha un significato ica del fattore moltiplicativo e

le PDF estratte dai prezzi degli indici e interpretare i rischi

Ad esempio, la concentrazione di probabilità nelle code della distribuzione indica una crescente percezione di movimenti inusuali nei prezzi dei titoli

” e “più allargata” spesso denota una minor confidenza degli operatori rispetto al futuro andamento del sottostante.

rappresenta la PDF dello S&P MIB tra la fine settembre e le prime arametrico ). Si può vedere

ottobre, denotando un aumento marcato diminuito, spostando la

iave di lettura è evidente che la deviazione standard e diminuito l’eccesso di curtosi è un ampio rischio di una variazione di prezzo e una

Lo studio delle PDF sui tassi di cambio permette di esaminare come i mercati anticipino o reagiscano a particolari eventidistribuzioni di probabilità neutrali al rischio estratte dai prezzi delle opzioni cambio dollaro-euro nelle prime settimane di ottobre 2008forte turbolenza dei mercati.

I primi due grafici fanno vedere la PDF decostante di tre mesi. Analizzandoli congiuntamente si può notare che nel corso dei primi diciassette giorni del mese di ottapprezzamento del dollaro a breve termine (tre mes

Grafico 6: Distribuzione di probabilità estratta dai prezzi delle opzioni sullo S&PMIB a tre

successive date valutazioni 22/9/2008, 8/10/2008,

20/03/2009stimata sia con il metodo non parametrico

elaborazione Prometeia su dati

0.000%

0.002%

0.004%

0.006%

0.008%

0.010%

0.012%

10000 15000

PDF im

plicita

PDF im

plicita

PDF im

plicita

PDF im

plicita

22/09/2008

08/10/2008

22/10/1008

16

Lo studio delle PDF sui tassi di cambio permette di esaminare come i mercati anticipino o reagiscano a particolari eventi. I grafici 6 e 7 mostrano come si sono mosse

di probabilità neutrali al rischio estratte dai prezzi delle opzioni nelle prime settimane di ottobre 2008, periodo caratterizzato dalla

forte turbolenza dei mercati.

I primi due grafici fanno vedere la PDF del cambio dollaro-nalizzandoli congiuntamente si può notare che nel corso dei primi

diciassette giorni del mese di ottobre si sono rafforzate le aspettative di un apprezzamento del dollaro a breve termine (tre mesi).

Distribuzione di probabilità estratta dai prezzi delle opzioni sullo S&PMIB a tre

successive date valutazioni 22/9/2008, 8/10/2008, 22/10/2008 alla scadenza

stimata sia con il metodo non parametrico (Cubic-Smoothing Spline).

su dati Bloomberg

20000 25000 30000 35000

S&P MIBS&P MIBS&P MIBS&P MIB

Lo studio delle PDF sui tassi di cambio permette di esaminare come i mercati mostrano come si sono mosse le

di probabilità neutrali al rischio estratte dai prezzi delle opzioni sul tasso di periodo caratterizzato dalla

-euro su un orizzonte nalizzandoli congiuntamente si può notare che nel corso dei primi

le aspettative di un

Distribuzione di probabilità estratta dai prezzi delle opzioni sullo S&PMIB a tre

/10/2008 alla scadenza

Smoothing Spline). Source:

40000


prezzi delle opzioni sul cambio

Bloomberg


prezzi delle opzioni sul cambio

Bloomberg

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

0.41 0.51

PDF Discretizzata

PDF Discretizzata

PDF Discretizzata

PDF Discretizzata

tre mesi

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

0.44 0.54

PDF Discretizzata

PDF Discretizzata

PDF Discretizzata

PDF Discretizzata

tre mesi

17

Distribuzione di probabilità discretizzata estratta (con il metodo non parametrico) dai

oni sul cambio USD/EUR il 1/10/2008. Source: elaborazione Prometeia


oni sul cambio USD/EUR il 17/10/2008. Source: elaborazione Prometeia

0.61 0.71 0.81 0.91 1.01

Tasso di cambio USD/EURTasso di cambio USD/EURTasso di cambio USD/EURTasso di cambio USD/EUR

Data Riferimento : 1 ottobre 2008

0.54 0.64 0.74 0.84 0.95


Data Riferimento: 17 ottobre 2008


Prometeia su dati


Prometeia su dati

1.22

Data Riferimento : 1 ottobre 2008

1.05

17 ottobre 2008

Per il mercato dei cambi le PDF Queste opzioni sono quotate dire-6 mesi-1 anno-2 anni- 5 anni).sull’andamento delle valutediscretizzata del cambio d

Sebbene la letteratura a riguardo sia poco estesa, abbiamo applicato i medesimi modelli alle opzioni su future su titoli obbligaziestrarre le aspettative di mercato relativamenquesto mercato le opzioni hanno un orizzonte temporale meno opzioni quotate e sufficientemente

Grafico 9: Distribuzione di probabilità discretizzata estratta (con il metodo non paramet

prezzi delle opzioni a 2 anni sul cambio

su dati Bloomberg

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

0.44 0.54

PDF Discretizzata

PDF Discretizzata

PDF Discretizzata

PDF Discretizzata

due anni

18

Per il mercato dei cambi le PDF sono costruite sulle opzioni OTC sui cambi stessi. Queste opzioni sono quotate direttamente a orizzonti costanti (1 settimana

5 anni). Questo ci permette di estrarre aspettative di lungo perilute. Ad esempio il grafico 8 rappresenta la probabilità implicita dollaro- euro a due anni.

ebbene la letteratura a riguardo sia poco estesa, abbiamo applicato i medesimi modelli alle opzioni su future su titoli obbligazionari governativi rendendo così possibile estrarre le aspettative di mercato relativamente ai tassi a lungo terminequesto mercato le opzioni hanno un orizzonte temporale meno esteso

sufficientemente liquide sono relative ai mesi del trimestre in esame.

Distribuzione di probabilità discretizzata estratta (con il metodo non paramet

a 2 anni sul cambio USD/EUR il 17/10/2008. Source: elaborazione

0.64 0.74 0.84 0.95


DataRiferimento: 17 ottobre 2008

te sulle opzioni OTC sui cambi stessi. (1 settimana- 1 mese-3 mesi

Questo ci permette di estrarre aspettative di lungo periodo rappresenta la probabilità implicita

ebbene la letteratura a riguardo sia poco estesa, abbiamo applicato i medesimi onari governativi rendendo così possibile te ai tassi a lungo termine. Si rileva che su

esteso - solitamente le liquide sono relative ai mesi del trimestre in esame.


Source: elaborazione Prometeia

1.05

17 ottobre 2008

6.6.6.6. ConclusioniConclusioniConclusioniConclusioni

In questa nota si distribuzione di probabilità implicita nei prezzi delle opzioni, illustrandone i possibili utilizzi a fini congiunturali

Dopo una breve discussioneapproccio parametrico e non parametricoa orizzonti costanti, sono statipossibili schemi interpretativi che potranno essere utilizzati per estrsull’evoluzione attesa del prezzo delle attività sottostanti e che monitorati con continuità potrebbero divenire strumenti

La nostra analisi ha delle PDF sembra in linea con i benchmark di mercato (Bloomberg) suggeriti in letteratura.

Il progetto non è ancora concluso efuturi sviluppi. Innanzitutto, vi è oltre che l’estensione ai prezzi delle materie prime si sta valutando stima delle PDF di indici CDS (ad esempio, iTraxx)indici. Dalle PDF si può costruireletteratura esiste un esempio di questo approccio in un (Prasanna, Vause, 2006), dove è sfruttato il legame esistente tra PDF neutrale al rischio e PDF real world, legame che

funzione di utilità aggregata dell’investitore rappresentativo.indice che identifichi varie “fasi” di mercato azionario a partire dalle staseguendo quando proposto da

19

In questa nota si sono presentati i modelli realizzati per l’estrazione della distribuzione di probabilità implicita nei prezzi delle opzioni, illustrandone i possibili utilizzi a fini congiunturali e di valutazione.

discussione dell’intuizione economica e approccio parametrico e non parametrico e dell’importanza di costruire contratti sintetici

sono stati presentati i risultati dei due modelliinterpretativi che potranno essere utilizzati per estr

sull’evoluzione attesa del prezzo delle attività sottostanti e che monitorati con continuità potrebbero divenire strumenti utili per l’analisi congiunturale.

analisi ha dato risultati che ci sembrano confortanti, in quanto la stdelle PDF sembra in linea con i benchmark di mercato (Bloomberg) e supera i principali test

progetto non è ancora concluso e due sono le direzioni a cui stiamo futuri sviluppi. Innanzitutto, vi è la possibilità di estendere i modelli ad altri sottostanti

ai prezzi delle materie prime si sta valutando stima delle PDF di indici CDS (ad esempio, iTraxx) implicite nei prezzi

DF si può costruire un indice di appetito al rischio degli investitoriletteratura esiste un esempio di questo approccio in un articolo

, dove è sfruttato il legame esistente tra PDF neutrale al rischio e , legame che - come abbiamo visto nel paragrafo 3 - è definito a meno della

funzione di utilità aggregata dell’investitore rappresentativo. Infine, sii può costruire un indice che identifichi varie “fasi” di mercato azionario a partire dalle staseguendo quando proposto da Nakamura e Shiratsuka (1999).

i modelli realizzati per l’estrazione della distribuzione di probabilità implicita nei prezzi delle opzioni, illustrandone i possibili

e delle differenze tra ’importanza di costruire contratti sintetici

modelli, indicando alcuni interpretativi che potranno essere utilizzati per estrarre informazioni

sull’evoluzione attesa del prezzo delle attività sottostanti e che monitorati con continuità

confortanti, in quanto la stima e supera i principali test

due sono le direzioni a cui stiamo guardando per i possibilità di estendere i modelli ad altri sottostanti:

ai prezzi delle materie prime si sta valutando la possibilità della prezzi di opzioni su questi

un indice di appetito al rischio degli investitori. In pubblicato dalla BoE

, dove è sfruttato il legame esistente tra PDF neutrale al rischio e è definito a meno della

Infine, sii può costruire un indice che identifichi varie “fasi” di mercato azionario a partire dalle statistiche di sintesi

Appendice I: Appendice I: Appendice I: Appendice I: MetodiMetodiMetodiMetodi

In questa appendice si vuole fornire un’illustrazioneimplementati, sia quelloRebonato Cardoso) che quellospline.


Supponendo che la distribuzione del prezzo futuro del sottostante sia una

combinazione lineare di distribuzioni lognormali, il prezzo di un’opzione

con il modello proposto diviene una combinazione lineare di e Scholes (1973), in seguito BS,

( i

n

i

BStkitk PP ,

1,

mod, µω∑

=

=

dove ( )titi

BStkP ,,, ,σµ

modello di Black e Sholesstato del mondo i. Tra le varie versioni della metodologia sviluppate in letteratura l’approccio di Rebonato e attraverso un processo di

Il modello si basa su due condizioni:seconda condizione sui drift neutrali al rischio.

Condizione sui pesi della distribuzione

Affinché il valore dell’opzione

deve valere che:

=

∀≤≤

∑=

n

ii

i i

1

1

,10

ω

ω

Per evitare di introdurre un vincolo sui parametri da ottimizzare, Rebonato e Cardoso propongono di stimare

assumere qualsiasi valore, a partire dai quali è possibile

possibile utilizzare un’ottimizzazione non vincolata che garantisca la condizione sui pesi della mistura.

Condizione sui drift

La seconda condizione riguarda la stima dei

11

Per un maggiore dettaglio della metodologia si rimanda a Rebonato e Cardoso (2003).

20

MetodiMetodiMetodiMetodi di stimadi stimadi stimadi stima

appendice si vuole fornire un’illustrazione sintetica dei due modelli quello parametrico (mistura di log-normali secondo l’approccio di che quello non parametrico secondo l’approccio



ne lineare di distribuzioni lognormali, il prezzo di un’opzione

diviene una combinazione lineare di n funzioni di pricing alla Black (1973), in seguito BS, relative a n diversi stati di natura:

)tit ,, ,σ

indica il prezzo di un’opzione europea, call o put, secondo il

holes nel primo stato del mondo i, mentre iω Tra le varie versioni della metodologia sviluppate in letteratura

l’approccio di Rebonato e Cardoso (2003) permette di ottenere una stattraverso un processo di ottimizzazione non vincolata.

modello si basa su due condizioni: una condizione sui pesi della distribuzione seconda condizione sui drift neutrali al rischio.

ondizione sui pesi della distribuzione

Affinché il valore dell’opzione mod,tkP sia una media ponderata de

Per evitare di introdurre un vincolo sui parametri da ottimizzare, Rebonato e di stimare un set di parametri 21 ,,, θθθ K

assumere qualsiasi valore, a partire dai quali è possibile ottenere i pesi

possibile utilizzare un’ottimizzazione non vincolata che garantisca la condizione sui pesi

drift neutrali al rischio:

La seconda condizione riguarda la stima dei drift neutrali al rischio


sintetica dei due modelli normali secondo l’approccio di

non parametrico secondo l’approccio cubic-smoothing


ne lineare di distribuzioni lognormali, il prezzo di un’opzione mod,tkP , put o call,

funzioni di pricing alla Black

indica il prezzo di un’opzione europea, call o put, secondo il

è la probabilità dello Tra le varie versioni della metodologia sviluppate in letteratura

permette di ottenere una stima dei parametri

zione sui pesi della distribuzione e una

sia una media ponderata dei valori ( )titi

BStkP ,,, ,σµ

Per evitare di introdurre un vincolo sui parametri da ottimizzare, Rebonato e

1−nθ , i quali possono

ottenere i pesi iω 11. E’ così

possibile utilizzare un’ottimizzazione non vincolata che garantisca la condizione sui pesi

neutrali al rischio delle distribuzioni


log-normali. Per assicurare che il mercato sia privo di arbitraggio, la media ponderata dei valori attesi del sottostante negli

sottostante capitalizzato al tasso risk

∑ == n

k

tk

rt kee1

µω

Tale condizione, attraverso semplici passaggi algebrici, implica che il drift relativo alla prima distribuzione log

en

k

rt

ln1

21

−= ∑ =

ωω

µ

In questo modo, per ogni scadenza si devono stimare n

coefficienti µ . Per ottenere una stima sono necessari, quindi, almeno 3nopzioni disponibili sul mercato.

Per stimare i parametri sulla base dell’osservazione dei prezzi delle opzioni si

minimizza la somma degli scarti quadratici medi tra i prezzi osservati sul mercato

i diversi prezzo di esercizio

modello mod,tkP:

(1

,mod

,min∑=

−H

h

mkttktk jhjh

PPϑ

dove H è il numero di opzioni, sia put che call, disponibili ai vari

la data di scadenza jt e

stimare.

Generalizzando tali condizioni per ogni scadenza dell’opzione e minimizzando gli scarti quadratici per tutto l’insieme di opzioni disponibili, è possibildel modello in un’unica funzione di minimizzazione:

(1 1

mod,min∑∑

= =

−H

h

J

jktk jh

PPϑ

in cui J è il numero di

=

112

11111112

;,...,;,...,

;,...,;,...,

JJnJJnJ

nn

θσσµµ

θσσµµϑ M

è la matrice dei parametri da stimare.

Sebbene questa metodologia di ottimizzazione produca risultati più stabili, converge più difficilmente rispetto all’ottimizzazione su una singola

Una volta identificato il modello di ottimizzazione presentato qui sopra, i prezzi di

21

er assicurare che il mercato sia privo di arbitraggio, la media ponderata dei valori attesi del sottostante negli n stati di natura deve essere pari al valore del

sottostante capitalizzato al tasso risk-free sino a scadenza.

Tale condizione, attraverso semplici passaggi algebrici, implica che il drift relativo alla prima distribuzione log-normale sia pari a:

te t

kk

/

ω µ

er ogni scadenza si devono stimare n-1 angoli

Per ottenere una stima sono necessari, quindi, almeno 3nopzioni disponibili sul mercato.

timare i parametri sulla base dell’osservazione dei prezzi delle opzioni si

minimizza la somma degli scarti quadratici medi tra i prezzi osservati sul mercato

prezzo di esercizio k disponibili, alla data di scadenza jt, e

)2

dove H è il numero di opzioni, sia put che call, disponibili ai vari prezzi di esercizio

e ( )1112 ,...,;,...,;,..., −= nnn θθσσµµϑ è il vettore dei parametri da

Generalizzando tali condizioni per ogni scadenza dell’opzione e minimizzando gli quadratici per tutto l’insieme di opzioni disponibili, è possibile

del modello in un’unica funzione di minimizzazione:

)2

,mkt

tk jhP

in cui J è il numero di scadenze per cui sono disponibili opzioni quotate e

−

−

11

1111

,...,

,...,

Jn

n

θ

θ

è la matrice dei parametri da stimare.

Sebbene questa metodologia di ottimizzazione produca risultati più stabili, converge più difficilmente rispetto all’ottimizzazione su una singola scadenza


er assicurare che il mercato sia privo di arbitraggio, la media ponderata dei deve essere pari al valore del

Tale condizione, attraverso semplici passaggi algebrici, implica che il drift relativo

1 angoli θ , n volatilità σ e n-1

Per ottenere una stima sono necessari, quindi, almeno 3n-2 prezzi di

timare i parametri sulla base dell’osservazione dei prezzi delle opzioni si

minimizza la somma degli scarti quadratici medi tra i prezzi osservati sul mercato mkttk j

P , per

i prezzi stimati con il

prezzi di esercizio per

è il vettore dei parametri da

Generalizzando tali condizioni per ogni scadenza dell’opzione e minimizzando gli e calibrare i parametri

per cui sono disponibili opzioni quotate e

Sebbene questa metodologia di ottimizzazione produca risultati più stabili, scadenza.


un’opzione, scritta su un titolo,

ponderata di n premi calcolati con il modello di Black costruire una mistura di 2 logsarà

([X

tTr LeKC = ∫∞

−−),( )( αθτ

([X

tTr LeKP = ∫∞

−−),( )( αθτ

dove

2

1),,(

πββα

T

TS

SL =

è la densità log-normale e

τσµα

−+= 2

21

ln iii S

e

τσβ ii = .

Quindi applicando il modello di BS le funzioni di pricing divengono

⋅= −),( 1eeKC trd αθτ

⋅=

+−),(0

1eeKP trd αθτ

Dove

1

1

21

1

ln

ββα ++−

=K

d, d

La metodologia è del tutto simile per la stima dei premi di infatti, si ottiene semplicemente sostituendo le funzioni di pricing di Blackfunzioni di pricing di Black

Poiché il modello delle spline, presentato qui di seguito, è applicato su una singola scadenza, per ragioni di uniformità di metodologia si consiglia di calibrare i parametri tenendo costante la data di scadenza delle opzioni.

Metodo non parametrico

Le tecniche non parametriche, non ipotizzando alcun processo o distribuzione per il

22

critta su un titolo, definiti dal modello mod,tkP si possono ottenere come media

premi calcolati con il modello di Black e ScholesBStkP ,

costruire una mistura di 2 log-normali, il prezzo di una call europea e di una put europea

) ( ) ( )]( ) TTTT dSXSSLS −−+ ;,1;, 2211 βαθβα

) ( ) ( )]( ) TTTT dSSXSLS −−+ ;,1;, 2211 βαθβα

2

2

2

)(ln

βα

π

TS

e

normale e

τ

uindi applicando il modello di BS le funzioni di pricing divengono

( ) ⋅−+

−

+−−+1)()(

222

21

5.0

21

5.0NeedKNedN trtr

dfβαβ θ

( ) −⋅−+

−−−

+−− (1)()(5.0

21

5.0 222

21 NeedKNedN trtr

dfβαβ θ

112 β−= dd , 2

222

3

lnβ

βα ++−= Kd

e 234 β−= dd

La metodologia è del tutto simile per la stima dei premi di opzioni su future: essasi ottiene semplicemente sostituendo le funzioni di pricing di Black

lack e Sholes.

Poiché il modello delle spline, presentato qui di seguito, è applicato su una singola gioni di uniformità di metodologia si consiglia di calibrare i parametri

tenendo costante la data di scadenza delle opzioni.

arametrico: Cubic Smoothing Spline


si possono ottenere come media BS

. Ipotizzando di voler una call europea e di una put europea

uindi applicando il modello di BS le funzioni di pricing divengono:

− − )4()3( dKNedN

tr f

−−− − )() 43 dKNed

tr f

opzioni su future: essa, si ottiene semplicemente sostituendo le funzioni di pricing di Black (1976) alle

Poiché il modello delle spline, presentato qui di seguito, è applicato su una singola gioni di uniformità di metodologia si consiglia di calibrare i parametri


sottostante, partono dal risultato di Rosdinamicamente completicontinua rispetto ai prezzi di esercizioderivata seconda della funzione di prezzo delle opzioni callesercizio.

Questo risultato implica che se i prezzi delle opzioni fossero noti con certezza per tutti i possibili prezzi di eserciziosemplicemente e univocamente determinabile tramite differenziazione, analitica o numerica. Sfortunatamente invece, i prezzi delle opzioni sono scambiati solamente prezzi di esercizio spaziati in modo discreto e distrib

Pertanto, tutte le procedure di stima della PDF devono gestire il problema di interpolare lungo gli prezzo di eserciziocoperto dai prezzi di esercizio

Se ne ricava che la stima della PDFbase è piuttosto semplice: la maggiore complessità della stima della PDF consiste nel ricavare e stimare una funzione di prezzo delle opzioni call continua e derivabile con continuità. Per questo i vari metoloro per il diverso metodo di interpolazione ed estrapolazione.

Il metodo della cubic smoothing splinevolti alla costruzione della funzione di presull’applicazione del risultato di Breeden e Litzenberger

1. Stima della volatilità implicitacubic smoothing spline12,

2. Trasformazione dei delta interpolati nei corrispondenti espressione della volatilità implicita10).

12 Si preferisce interpolare lo smile di volatilità e non i prezzi delle opzioni direttamente perché

questa tecnica è più semplice ed affidabile. In letteratura viene dimostrato che è particolarmente

difficile modellare in modo adeguatola curvatura della fun

costituita sia da segmenti lineari sia da parti convesse. Quindi anche piccoli errori nell’approssimazione

possono portare ad ampi errori nella stima delle distribuzioni neutrali al rischio. Viceversa lo smile

della volatilità implicita può essere generalment

effetto molto limitato sulla curvatura della funzione di prezzo delle opzioni call e quindi nella stima

delle PDF.

23

sottostante, partono dal risultato di Ross-Breeden e Litzenberger (1976)dinamicamente completi e se la funzione di prezzo delle opzioni call è una funzione

rispetto ai prezzi di esercizio, la PDF del sottostante è proporzionale alla derivata seconda della funzione di prezzo delle opzioni call, calcolata rispetto al prezzo di

Questo risultato implica che se i prezzi delle opzioni fossero noti con certezza per tutti i possibili prezzi di esercizio da zero a infinito, la stimasemplicemente e univocamente determinabile tramite differenziazione, analitica o numerica. Sfortunatamente invece, i prezzi delle opzioni sono scambiati solamente

spaziati in modo discreto e distribuiti su un intervallo limitato.

Pertanto, tutte le procedure di stima della PDF devono gestire il problema di prezzo di esercizio osservati ed estrapolare al di fuori dell’intervallo

di esercizio.

Se ne ricava che la stima della PDF è particolarmente complessa, anche se l’idea di base è piuttosto semplice: la maggiore complessità della stima della PDF consiste nel ricavare e stimare una funzione di prezzo delle opzioni call continua e derivabile con

i vari metodi non parametrici si differenziano, principalmente, loro per il diverso metodo di interpolazione ed estrapolazione.

cubic smoothing spline si basa su quattro passivolti alla costruzione della funzione di prezzo delle opzioni call mentre l’ultimo è basato sull’applicazione del risultato di Breeden e Litzenberger(1978):

Stima della volatilità implicita e del delta per le opzioni osservate cubic smoothing spline nello spazio cartesiano volatilità implicita

Trasformazione dei delta interpolati nei corrispondenti prezzespressione della volatilità implicita come funzione del prezzo di esercizio

Si preferisce interpolare lo smile di volatilità e non i prezzi delle opzioni direttamente perché


difficile modellare in modo adeguatola curvatura della funzione di prezzo delle opzioni call perché è



lla volatilità implicita può essere generalmente meglio approssimato cosicché


e Litzenberger (1976): in mercati se la funzione di prezzo delle opzioni call è una funzione

, la PDF del sottostante è proporzionale alla calcolata rispetto al prezzo di

Questo risultato implica che se i prezzi delle opzioni fossero noti con certezza per da zero a infinito, la stima della PDF sarebbe

semplicemente e univocamente determinabile tramite differenziazione, analitica o numerica. Sfortunatamente invece, i prezzi delle opzioni sono scambiati solamente a

allo limitato.

Pertanto, tutte le procedure di stima della PDF devono gestire il problema di osservati ed estrapolare al di fuori dell’intervallo

è particolarmente complessa, anche se l’idea di base è piuttosto semplice: la maggiore complessità della stima della PDF consiste nel ricavare e stimare una funzione di prezzo delle opzioni call continua e derivabile con

on parametrici si differenziano, principalmente, tra di

passi successivi, i primi tre zzo delle opzioni call mentre l’ultimo è basato

osservate e fitting di una nello spazio cartesiano volatilità implicita-delta (grafico 10)

prezzi di esercizio ed prezzo di esercizio (grafico

Si preferisce interpolare lo smile di volatilità e non i prezzi delle opzioni direttamente perché


zione di prezzo delle opzioni call perché è



e meglio approssimato cosicché piccoli errori hanno un


3. Sostituzione dell’espressione della volatilità implicitutilizzato (Black, 1976)(grafico 11).

Grafico 11: Funzione di prezzo di un’opzione call al variare del prezzo di esercizio.

4. Derivazione numerica della funzione di prezzo delle opzioni call e costruzione della PDF utilizzando il risultato di Breeden

13

Si noti che il metodo non parametrico

rappresentazione del processo di formazione del prezzo di un’opzione ma è utilizzato solamente come

metodo appropriato per mappare i prezzi nella volatilità e viceversa.

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

3.25 3.5 3.75

Prezzo

Prezzo

Prezzo

Prezzo

Grafico 10:Trasformazione dello spazio cartesiano per ottenere una maggior accuratezza nel

fitting.

0.09

0.1

0.11

0.12

0.13

0.14

0.15

3.5 3.75 4 4.25

Volatilità implicita

Tasso di interesse

24

Sostituzione dell’espressione della volatilità implicita nel modello di 1976)13 e costruzione della funzione di prezzo delle opzioni call

: Funzione di prezzo di un’opzione call al variare del prezzo di esercizio.

Derivazione numerica della funzione di prezzo delle opzioni call e costruzione della do il risultato di Breeden-Litzenberger:

Si noti che il metodo non parametrico non presume che la formula di Black (1976) sia una accurata


metodo appropriato per mappare i prezzi nella volatilità e viceversa.

4 4.25 4.5 4.75 5

Tasso di interesseTasso di interesseTasso di interesseTasso di interesse

Prezzo opzioni call (asse SN)

PDF (asse DX)

asformazione dello spazio cartesiano per ottenere una maggior accuratezza nel

4.5 4.75 5

Tasso di interesse

Volatilità Implicita

0.09

0.1

0.11

0.12

0.13

0.14

0.15

0.50.751

Volatilità implicita

Delta


nel modello di pricing prezzo delle opzioni call

Derivazione numerica della funzione di prezzo delle opzioni call e costruzione della

mula di Black (1976) sia una accurata


0.0%

5.0%

10.0%

15.0%

20.0%

25.0%

30.0%

35.0%

40.0%

45.0%

50.0%

5.25

PDF

PDF

PDF

PDF

Prezzo opzioni call (asse SN)

asformazione dello spazio cartesiano per ottenere una maggior accuratezza nel

00.25


( )2

2

eK

CSPDF T ==

δδ

L’interpolazione compiuta ai passi 1funzione due volte è necessarifunzione definita su uno spazio continuo.

Il metodo consigliato in letteratura è il polinomio di terzo grado costruit

Questo metodo di interpolazione mercato sulle opzioni che della spline cubica. Infatti, alla presenza di datidar luogo a una curva con eccessive “oscillazioni”. Invece le oscillazioni delle interpolanti andando a selezionare la soluzione del seguente problema di ottimizzazione:

[ ] +Φ−∑Φ

iiii xfy 2);(min ωλ

dove x e y sono le osservazioni da interpolare

parametri della spline, ωdi smoothing.

La funzione obiettivo è costituita di due parti, la prima rappresentala scabrezza dei dati, ossia la media pesata della differenza tra i dati osservati e i dati riprodotti dalla spline, mentre la seconda parte minimizza l’integrale del quadrato della curvatura della stessa. All’aumentare della variabilità della spline, aumenta controlla la smoothness. Il parametro di parametro troppo alto significa che la procedura assegna un elevato valore alla minimizzazione della somma dei residui, viceversa un valore troppo basso significa enfatizzare la minimizzazione della curvatursignifica che la spline collassa sull’interpolante naturale dei dati, un valore pari a zero significa scegliere una funzione che minimizza la curvatura, in questo caso la spline diviene la retta dei minimi quadrati.risentono fortemente delle coordinate cartesiane su cui è ricostruita l’interpolazione.

Il problema di questo metodo di stima consiste nell’estrapolare correttamente la PDF nelle code quindi decidere come controllare le code della distribuzione. I metodi più spesso utilizzati in letteratura sono due:

1. si assume che la funzione di spline sia lineare al di fuori dell’intervallo dosservazione. Questo metodo èequivalente ad assumere che di osservazione.

2. si suppone che la volatilità sia costante nelle code e si

25

( )211)(

2

2)( 2),(

K

ccce

K

KCe iiitTrtTr

∆−−⋅=

∂∂⋅ −+−−−− τ

erpolazione compiuta ai passi 1-3 è richiesta dal passo 4. Infatti, per funzione due volte è necessario trasformarla da funzione definita su uno spazio discreto a funzione definita su uno spazio continuo.

Il metodo consigliato in letteratura è il cubic smoothing-splinedi terzo grado costruito in modo che la funzione risulti deri

Questo metodo di interpolazione ha proprietà di ridurre le oscillazioni indotte dai dati di mercato sulle opzioni che - come prima descritto - sono “noisy” e aumentare la della spline cubica. Infatti, alla presenza di dati noisy un’esatta interpolazione potrebbe dar luogo a una curva con eccessive “oscillazioni”. Invece le smoothing splineoscillazioni delle interpolanti andando a selezionare la soluzione del seguente problema di

Φ−+ ∫ i dxxf 2" );()1( λ

sono le osservazioni da interpolare );( Φi

xf e la spline,

iω sono i pesi attribuiti alle singole osservazioni e

La funzione obiettivo è costituita di due parti, la prima rappresentala scabrezza dei dati, ossia la media pesata della differenza tra i dati osservati e i dati riprodotti dalla

re la seconda parte minimizza l’integrale del quadrato della curvatura della stessa. All’aumentare della variabilità della spline, aumenta il secondo addendo che quindi

. Il parametro di smoothing è di grande importanza, rametro troppo alto significa che la procedura assegna un elevato valore alla

minimizzazione della somma dei residui, viceversa un valore troppo basso significa enfatizzare la minimizzazione della curvatura. Un parametro di smoothing

he la spline collassa sull’interpolante naturale dei dati, un valore pari a zero significa scegliere una funzione che minimizza la curvatura, in questo caso la spline diviene la retta dei minimi quadrati. Tutti i metodi di interpolazione basati surisentono fortemente delle coordinate cartesiane su cui è ricostruita l’interpolazione.

Il problema di questo metodo di stima consiste nell’estrapolare correttamente la nelle code quindi decidere come controllare le code della distribuzione. I metodi più

spesso utilizzati in letteratura sono due:

si assume che la funzione di spline sia lineare al di fuori dell’intervallo d. Questo metodo è usato da Bliss e Panigirtzoglou

equivalente ad assumere che lo smile di volatilità sia piatto al di fuori dell’intervallo

si suppone che la volatilità sia costante nelle code e si utilizzano

Infatti, per derivare una trasformarla da funzione definita su uno spazio discreto a

spline, che utilizza un in modo che la funzione risulti derivabile nel knot-point.

proprietà di ridurre le oscillazioni indotte dai dati di ” e aumentare la smoothness

un’esatta interpolazione potrebbe smoothing spline riducono le

oscillazioni delle interpolanti andando a selezionare la soluzione del seguente problema di

e la spline, Φ è la matrice di

sono i pesi attribuiti alle singole osservazioni e λ è il parametro

La funzione obiettivo è costituita di due parti, la prima rappresentala scabrezza dei dati, ossia la media pesata della differenza tra i dati osservati e i dati riprodotti dalla

re la seconda parte minimizza l’integrale del quadrato della curvatura della secondo addendo che quindi

è di grande importanza, poiché un rametro troppo alto significa che la procedura assegna un elevato valore alla

minimizzazione della somma dei residui, viceversa un valore troppo basso significa smoothing pari a uno

he la spline collassa sull’interpolante naturale dei dati, un valore pari a zero significa scegliere una funzione che minimizza la curvatura, in questo caso la spline diviene

funzioni di tipo spline risentono fortemente delle coordinate cartesiane su cui è ricostruita l’interpolazione.

Il problema di questo metodo di stima consiste nell’estrapolare correttamente la nelle code quindi decidere come controllare le code della distribuzione. I metodi più

si assume che la funzione di spline sia lineare al di fuori dell’intervallo di Panigirtzoglou (1999) ed è

sia piatto al di fuori dell’intervallo

utilizzano la volatilità più

bassa per la coda sinistra e la vo

Il prototipo realizzato ammette tre

a) stima della PDF senza estrapolazione,

b) stima della PDF con estrapolazione costante della volatilità

c) stima della PDF con estrapolazione lineare. che noi preferiamo.

Il grafico 13 rappresenta il confronto tra i diversi metodi di estrapolazione del modello non parametrico. Si può vedere come il metodo di estrapolazione costante,sebbene permetta di ottenere un insieme supporto più ampio, podistribuzioni “spiked”, mentre più regolari ma definite su un insieme supporto meno ampio.

Grafico 12: Distribuzione di probabilità dai prezzi delle

valutazione 25/8/2008 alla scadenza 17/10/2008 calcolata con il modello Cubic

Spline e tre diversi tipi di estrapolazione

0.000%

0.005%

0.010%

0.015%

0.020%

0.025%

22000 24000 26000

PDF im

plicita (%

)PDF im

plicita (%

)PDF im

plicita (%

)PDF im

plicita (%

)

26

bassa per la coda sinistra e la volatilità più alta nella coda destra.

Il prototipo realizzato ammette tre possibilità:

tima della PDF senza estrapolazione,

tima della PDF con estrapolazione costante della volatilità

tima della PDF con estrapolazione lineare. E’ il metodo che noi preferiamo.

Il grafico 13 rappresenta il confronto tra i diversi metodi di estrapolazione del modello non parametrico. Si può vedere come il metodo di estrapolazione costante,sebbene permetta di ottenere un insieme supporto più ampio, po

, mentre il metodo di estrapolazione lineare conduce a distribuzioni più regolari ma definite su un insieme supporto meno ampio.

Distribuzione di probabilità dai prezzi delle opzioni sullo S&PMIB con data

valutazione 25/8/2008 alla scadenza 17/10/2008 calcolata con il modello Cubic

Spline e tre diversi tipi di estrapolazione. Source: elaborazione Prometeia su dati Bloomberg

26000 28000 30000 32000 34000 36000 38000

S&P MIB (livelli)S&P MIB (livelli)S&P MIB (livelli)S&P MIB (livelli)

Spline in-sample

Spline estr.lineare

Spline estr.costante

latilità più alta nella coda destra.

tima della PDF con estrapolazione costante della volatilità,

suggerito dalla BoE e

Il grafico 13 rappresenta il confronto tra i diversi metodi di estrapolazione del modello non parametrico. Si può vedere come il metodo di estrapolazione costante, sebbene permetta di ottenere un insieme supporto più ampio, possa dar luogo a

conduce a distribuzioni

PMIB con data

valutazione 25/8/2008 alla scadenza 17/10/2008 calcolata con il modello Cubic–Smoothing

Bloomberg

38000 40000

sample

Spline estr.lineare

Spline estr.costante

Appendice II: Metodi di stima della PDF Appendice II: Metodi di stima della PDF Appendice II: Metodi di stima della PDF Appendice II: Metodi di stima della PDF

L’idea sottostante alla costruzione di un contratto sintetico utilizzato per stimare la PDF a orizzonte costante, ad esempio con scadenza 6 mesi, consiste nell’interpolare i dati di contratti “veri” con scadenzsmile della volatilità implicita di un’opzione con orizzonte costante può essere pensato come una cross-section della superficie

La tecnica di interpolazione utilizzata in entrambi gli approlineare. La letteratura (soprattutto per l’approccio non parametrico) approcci alternativi: il cubic smoothingl’interpolazione lineare (Andersen e Wagener

Nel nostro modello abbiamo si ha a disposizione un numero limitato di dati che lascia poco spazio sofisticate della semplice interpolazione lineare.

Una volta creati i contratti sinteticutilizzate per stimare la PDF di opzioni “quotate”.spazio tridimensionale in cui

Nell’approccio parametricovolatilità nello spazio tridimensionale (volatilità implicita, strike, scadenza). di Andersen e Wagener e riprendendo la nota relazione lineare tra deviazione standard e la radice dell’orizzonte temporale, nelle quotazioni disponibili sul mercato.

Date le volatilità implicite rispettivamente alla scadenza tesercizio k e scadenza t (compresa tra t

( ) ( ,, kiVoltkiVol =

Nell’approccio non parametrico,spazio tridimensionale (volatiinterpolare a parità di delta (0-1) indipendente dalla scadenza, mentre l’intervallo di definizione degli strike può vada scadenza a scadenza.metodo non parametrico.per tutti i gruppi di delta considerati e per scadenza.

La formula precedente diviene:

( ) (, iVoltiVol = δδ

27

Appendice II: Metodi di stima della PDF Appendice II: Metodi di stima della PDF Appendice II: Metodi di stima della PDF Appendice II: Metodi di stima della PDF aaaa orizzonte orizzonte orizzonte orizzonte costantecostantecostantecostante

L’idea sottostante alla costruzione di un contratto sintetico utilizzato per stimare la orizzonte costante, ad esempio con scadenza 6 mesi, consiste nell’interpolare i dati

di contratti “veri” con scadenze inferiori e superiori, ma il più vicino possibile smile della volatilità implicita di un’opzione con orizzonte costante può essere pensato

della superficie a una data particolare.

La tecnica di interpolazione utilizzata in entrambi gli approletteratura (soprattutto per l’approccio non parametrico)

cubic smoothing spline (Clews–PanigirtzoglouAndersen e Wagener, 2002)).

Nel nostro modello abbiamo preferito questa seconda possibilitàun numero limitato di dati che lascia poco spazio

sofisticate della semplice interpolazione lineare.

Una volta creati i contratti sintetici si stima la PDF con le stesse metodologie utilizzate per stimare la PDF di opzioni “quotate”. Ciò che differenzia i due approcci è lo spazio tridimensionale in cui è fatta l’interpolazione.

Nell’approccio parametrico la metodologia si basa sull’interpolavolatilità nello spazio tridimensionale (volatilità implicita, strike, scadenza). di Andersen e Wagener e riprendendo la nota relazione lineare tra deviazione standard e la radice dell’orizzonte temporale, si interpolano linearmente nel tempo le volatilità implicite nelle quotazioni disponibili sul mercato.

le volatilità implicite ( )1,tkiVol e ( )2,tkiVol per il prezzo di eserciziorispettivamente alla scadenza t1 e t2, la volatilità implicita dell’opzione con

t (compresa tra t1 e t2) sarà pari a.

) ( ) ( )( ) ( )( ) 1

12

121

22

21 ,*,,, t

tt

tttkiVoltkiVolt

−−

−+

Nell’approccio non parametrico, l’interpolazione dello smile di volatilità avviene nello (volatilità implicita, delta, scadenza) a parità di delta.

interpolare a parità di delta rispetto a parità di strike perché l’insieme supporto del delta è scadenza, mentre l’intervallo di definizione degli strike può va

da scadenza a scadenza. Questo assicura maggiore stabilità all’implementazione del metodo non parametrico. In questo modo si ricostruisce una superficie di volatilità stimata per tutti i gruppi di delta considerati e per scadenza.

precedente diviene:

) ( ) ( )( ) ( )( ) 1

12

121

22

21 ,*,,, t

tt

tttiVoltiVolt

−−

−+ δδδ

L’idea sottostante alla costruzione di un contratto sintetico utilizzato per stimare la orizzonte costante, ad esempio con scadenza 6 mesi, consiste nell’interpolare i dati

a il più vicino possibile ai sei mesi. Lo smile della volatilità implicita di un’opzione con orizzonte costante può essere pensato

La tecnica di interpolazione utilizzata in entrambi gli approcci è l’interpolazione letteratura (soprattutto per l’approccio non parametrico) suggerisce due

Panigirtzoglou–Proudman, 2000) o

possibilità poiché usualmente un numero limitato di dati che lascia poco spazio a tecniche più

i si stima la PDF con le stesse metodologie Ciò che differenzia i due approcci è lo

la metodologia si basa sull’interpolazione lineare delle volatilità nello spazio tridimensionale (volatilità implicita, strike, scadenza). Dalla proposta di Andersen e Wagener e riprendendo la nota relazione lineare tra deviazione standard e la

nel tempo le volatilità implicite

prezzo di esercizio k, , la volatilità implicita dell’opzione con prezzo di

2tt ≤≤

l’interpolazione dello smile di volatilità avviene nello a parità di delta. Si preferisce l’insieme supporto del delta è

scadenza, mentre l’intervallo di definizione degli strike può variare Questo assicura maggiore stabilità all’implementazione del

In questo modo si ricostruisce una superficie di volatilità stimata

21 tt ≤≤

dove ( )1,tiVol δ e iVol

delta δ , rispettivamente alla scadenza t

28

( )2,tiVol δ sono le volatilità implicite espresse come funzioni di

, rispettivamente alla scadenza t1 e t2,.

espresse come funzioni di

Appendice IAppendice IAppendice IAppendice IIIIII: Filtri I: Filtri I: Filtri I: Filtri suisuisuisui

I dati sui prezzi delle opzioni ricavabili dai datasignificative limitazioni, che potrebbero inficiare profondamente la stima delle PDF

Le principali cause di distorsione possono essere sint

1. lo scambioesercizio che sono vicini all’attuale prezzo del opzioni call (put) i cui of the money). Quindi i prezl’intero supporto, bensì in corrispondenza di prezzi di esercizio molto alti e/o molto bassi le opzioni non sono disponibili o hanno un volume di scambio ridotto.caso, si può dire che i dati delinferire il comportamento delle code della distribuzioneosservabile della distribuzione è “significativa”;

2. lo scambioscadenza e in corrispondenza di alcune scadenze più lontane molti contatti non sono liquidi e quindi il loro prezzo non rispecchia la

3. i prezzi di eserciziousualmente di un intervallo fisso;

4. i prezzi sono osservati e registrati con errore, infiI principali motivi di errore nella misurazione sono:- il trading delle opzioni non è si

dal data provider; - la presenza di

opzioni influenzaaffidabile.

Queste limitazioni si rifletsuperare almeno in partedei filtri che, sebbene limitino fortemente il numero di informazioni ammissibili, assicurano che la stima della PDF sia basata su informazioni coeche la stima ex-post rispecchianalisi condotte in letteratura hanno dimosgiornaliere nelle statistirilevazione dei prezzi più che a cambiamenti nelle attese degli operatori di mercato

Queste considerazionifiltri implementati.

Per meglio chiarire voluto riportare i grafici del delta prima e dopo aver applicato

29

suisuisuisui dati dati dati dati

dati sui prezzi delle opzioni ricavabili dai data-provider possono presentare che potrebbero inficiare profondamente la stima delle PDF

cipali cause di distorsione possono essere sintetizzati come segue:

lo scambio delle opzioni è fortemente concentrato per quei prezzi di esercizio che sono vicini all’attuale prezzo del future (near the money

i cui prezzi di esercizio sono sopra (sotto) i prezzi dei Quindi i prezzi di esercizio delle opzioni disponibili non coprono

l’intero supporto, bensì in corrispondenza di prezzi di esercizio molto alti e/o molto bassi le opzioni non sono disponibili o hanno un volume di scambio ridotto.

si può dire che i dati delle opzioni non contengono informazioni sufficienti per inferire il comportamento delle code della distribuzione osservabile della distribuzione è “significativa”;

lo scambio delle opzioni è molto concentrato per le opzioni più vicine a cadenza e in corrispondenza di alcune scadenze più lontane molti contatti non sono liquidi e quindi il loro prezzo non rispecchia la view di mercato;

di esercizio sono fissati su intervalli discreti, equiusualmente di un intervallo fisso;

prezzi sono osservati e registrati con errore, inficiando la stima dei modelli. principali motivi di errore nella misurazione sono: il trading delle opzioni non è sincrono e l’a-sincronicità dei dati non è registrata dal data provider; la presenza di ampi spread nella quotazione denaro-lettera d

luenza profondamente la stima della PDF

Queste limitazioni si riflettano significativamente sulla stima delle PDF questi problemi, prima di processare i dati è opportuno applicare

dei filtri che, sebbene limitino fortemente il numero di informazioni ammissibili, assicurano DF sia basata su informazioni coerenti con la teoria finanz

post rispecchi effettivamente le aspettative di mercato. analisi condotte in letteratura hanno dimostrato che la presenza di ampie

nelle statistiche di sintesi può essere dovuta a errori di misurazione e più che a cambiamenti nelle attese degli operatori di mercato

considerazioni hanno indotto a dare molta importanza all’architettura dei

Per meglio chiarire come dati noisy possano inficiare la stima delle PDF abbiamo voluto riportare i grafici del fitting dello smile di volatilità nello spazio volatilità implicita

applicato i filtri ai dati di input (grafici 14 e 15).

provider possono presentare che potrebbero inficiare profondamente la stima delle PDF.

tizzati come segue:

opzioni è fortemente concentrato per quei prezzi di near the money) o in quelle

(sotto) i prezzi dei futures (out zi di esercizio delle opzioni disponibili non coprono

l’intero supporto, bensì in corrispondenza di prezzi di esercizio molto alti e/o molto bassi le opzioni non sono disponibili o hanno un volume di scambio ridotto. In tal

le opzioni non contengono informazioni sufficienti per e che la parte non

concentrato per le opzioni più vicine a cadenza e in corrispondenza di alcune scadenze più lontane molti contatti non

di mercato;

sono fissati su intervalli discreti, equi-spaziati

ciando la stima dei modelli.

sincronicità dei dati non è registrata

lettera dei prezzi delle PDF, rendendola meno

tano significativamente sulla stima delle PDF. Per , prima di processare i dati è opportuno applicare

dei filtri che, sebbene limitino fortemente il numero di informazioni ammissibili, assicurano renti con la teoria finanziaria e quindi

di mercato. Ad esempio, le trato che la presenza di ampie fluttuazioni

errori di misurazione e più che a cambiamenti nelle attese degli operatori di mercato.

importanza all’architettura dei

possano inficiare la stima delle PDF abbiamo tà nello spazio volatilità implicita-

dati di input (grafici 14 e 15).

Grafico 13:Fitting nello spazio Delta

valutazione 25/8/2008 dove i dati delle opzioni non

0 0.1 0.2 0.3 0.4

0.2

0.25

0.3

0.35Test Fitting 19/09/2008

Imp.

Vol

.

0 0.1 0.2 0.30.16

0.18

0.2

0.22

0.24


Imp.

Vol

.

0.25 0.3 0.35 0.4 0.450.19

0.2

0.21

0.22

0.23


Imp.

Vol

.

30

:Fitting nello spazio Delta - Volatiltià implicita relativo ai dati delle opzioni sull’S&P MIB alla data

valutazione 25/8/2008 dove i dati delle opzioni non sono filtrati

0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

Test Fitting 19/09/2008

Delta0 0.1 0.2 0.3 0.4

0.12

0.14

0.16

0.18

0.2


Imp.

Vol

.

0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9


Delta0.1 0.2 0.3 0.4

0.16

0.18

0.2

0.22

0.24


Imp.

Vol

.

0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75


Delta

Volatiltià implicita relativo ai dati delle opzioni sull’S&P MIB alla data

0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1


Delta

0.4 0.5 0.6 0.7 0.8


Delta

Grafico 14: Fitting nello spazio Delta

valutazione 25/8/2008 dove i dati delle opzioni sono filtrati con i filtri opportuni

0 0.1 0.2 0.3 0.40.1

0.2


Imp.

Vol

.

0 0.1 0.2 0.3 0.40.1

0.2


Imp.

Vol

.

0.4 0.42 0.44 0.460.2

0.21


Imp.

Vol

.

31

nello spazio Delta - Volatilità implicita relativo ai dati delle opzioni sull’S&P MIB alla data

valutazione 25/8/2008 dove i dati delle opzioni sono filtrati con i filtri opportuni.

0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1


Delta0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

0.1

0.2

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