NÚMEROS NATURALES Y ENTEROS

MATEMÁTICAS 1º ESO

NÚMEROS NATURALES Y DIVISIBILIDAD

• 1.SISTEMAS DE NUMERACIÓN:• Desde la antigüedad el hombre ha inventado métodos para contar las cosas,

ejemplo: los romanos utilizaban algunas letras mayúsculas del alfabeto latino (I, V, X, L, C, D, M) para representar los números.

• Realiza las siguientes actividades:• http://www.genmagic.net/mates3/nro1c.swf • Nosotros utilizamos unos símbolos llamados cifras, utilizamos 10 cifras para formar

cualquier número de nuestro sistema de numeración. Al conjunto de todos estos números se llama “números naturales”. Los números naturales están formados por todos los números positivos.

• N= ( 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,...) • Los números naturales los representamos en una recta ordenados de menor a

mayor, en la recta señalamos un punto que marcamos con el número 0 y a la derecha de 0 y con las mismas separaciones situamos de menor a mayor los siguientes números naturales.

• La cantidad de números naturales es infinita pues siempre se puede añadir un número más.

• Aquí se poidría añadir una dirección de internet: • http://www.digital-text.com/muestra_capitulos/m101e.html

SISTEMAS DE NUMERACIÓN

• Es el conjunto de nomas que se utilizan para escribir y expresar

cualquier número. Nuestro sistema tiene dos características fundamentales:

• es decimal: pues utiliza 10 cifras para construir todos los números. Por lo tanto, una unidad de cualquier orden equivale a 10 unidades del orden inmediato inferior y a la inversa, 10 unidades de cualquier orden constituyen una unidad del orden inmediato superior.

• b) es posicional: pues el valor que representa cada cifra depende de la posición que ocupe dentro del número. Ej.: en el nº 58.655 aparece tres veces la cifra 5, pero cada una de ellas tiene otro valor, si vamos de derecha a la izquierda, el primer 5 que encontramos representa las unidades, por eso vale 5, el 2º 5 representa las decenas y vale 50, el 3º centenas de mil y vale: 500.000.

LECTURA DE NÚMEROS NATURALES

• 1º Dividiremos el número en grupos de seis cifras, intercalando subíndices 1,2,3

• 2º Cada grupo de seis lo dividiremos en dos grupos de tres cifras mediante un punto.

• 3º Se empieza a leer el número empezando por la izquierda, leyendo trillón al llegar al subíndice 3, billón al 2, y millón al 1; se lee mil cada vez que llegamos a un punto.

ENTRETENIMIENTO

• Se recomienda la lectura del siguiente libro: http://www.librosmaravillosos.com/eldiablodelosnumeros/index.html

1. Escribe en un papel el numero 12345679 (ojo, falta el 8) pide a un amigo que te diga una cifra del 1 al 9, multiplícala mentalmente por 9, escribe el resultado bajo el numero 12345679 y pide a tu amigo que multiplique las dos cifras. Se asombrara del resultado.

2. Pon sobre la mesa un sobre cerrado, un papel y un lapicero, pide a un amigo que escriba en él papel cualquier numero de tres cifras, por ejemplo 528, después que escriba este mismo numero con las cifras invertidas, en nuestro ejemplo 825, que reste el menor del mayor, 825-528=297 y por ultimo que sume los dígitos del numero obtenido, 2+7+9=18.Entonces abre el sobre y saca un papel que pusiste antes de cerrarlo con la frase "El numero obtenido es el 18"¿Qué como lo sabias? el resultado siempre es 18, únicamente una precaución, el numero inicial no puede ser capicúa, al hacer la resta daría 0 de resultado.

ENTRETENIMIENTO

3. Pon otro sobre encima de la mesa y pide que escriban esta vez un numero de 4 dígitos, por ejemplo 2536, debajo de este otro con los mismos dígitos pero en otro orden, por ejemplo 3265, que resten el menor del mayor, 3265-2536=729, que sumen los dígitos del numero obtenido, 7+2+9=18, si el resultado es un numero de dos dígitos que los sumen entre si, 1+8=9, entonces abre el sobre y saca el papel donde escribiste "El numero obtenido es el 9" ¿Sorprendido?

4. Escoge un número de tres cifras, el que más te guste, y escríbelo dos veces seguidas para tener un número de seis cifras. Divídelo por 7: verás que da exacto. Divide el cociente por 11: vuelve a ser exacto. Y el segundo cociente divídelo otra vez, ahora por 13. ¡Sorpresa! No solamente vuelve a ser exacto, sino que el cociente final es el número de tres cifras del que has partido. Puedes comprobar que pasa siempre lo mismo, sea cual sea el número elegido. Se trata de que encuentres las razones por las que eso sucede.Ejemplo: 475 ..... 475475 : 7 = 67925 : 11 = 6175 : 13 = 475

PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES CON NÚMEROS NATURALES

• De la suma y multiplicación: conmutativa: el orden de los sumandos o de los factores no varía el

resultado. • Ej: 4+2 = 2+4; 3X5 = 5X3

asociativa: el orden en que se realicen las sumas o multiplicaciones no varía el resultado.

• Ej: (3+1)+2 = 3+(1+2); (2X7)X3 = 2X(7X3) • Propiedad distributiva del producto respecto de la suma: esta

propiedad permite transformar productos en sumas y al revés. • Ej: 3X(2+6) = 3X2 + 3X6 • Factor común: cuando se aplica la propiedad distributiva para

transformar una suma o una resta en un producto, se dice que se ha sacado factor común.

• Ej: 5X3 + 2X3 = 3X(5+2); 6X9 – 6X5 = 6X(9-5)

MÚLTIPLOS Y DIVISORES DE UN NÚMERO

• Un número es múltiplo de otro cuando es el resultado de multiplicar el segundo por cualquier número natural.

• Por tanto, para obtener los múltiplos de un número se multiplica ese número por los números naturales.

• Ej: los múltiplos de 2 son: • 2X0=0, 2X1=1, 2X2=4, 2X3=6, 2X4=8,…. • Un número es divisor de otro cuando la división

del segundo por el primero da exacta. • Ej: 6:2=3, por tanto 3 es divisor de 6.

MÁXIMO COMÚN DIVISOR Y MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO

• Para calcularlos: • 1º descompongo cada número en

producto de factores primos • 2º es m.c.d.es igual al producto de los

fctores primos comunes elevados al menor exponente.

• 3º el m.c.m. es igual al producto de los factores primos, comunes y no comunes, elevados al mayor exponente

CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD

• Un número es divisible por 2 si acaba en 0 o en cifra par. Un número es divisible por 3 si lo es la suma de sus cifras.

Un número es divisible por 5 si acaba en 0 o en 5. Un número es divisible por 6 si lo es por 2 y por 3 al mismo tiempo.

Un número es divisible por 10 si acaba en 0. Un número es divisible por 11 si lo es la diferencia entre la suma de las cifras que ocupan lugar impar y la suma de las que ocupan lugar par

NÚMEROS ENTEROS: CONCEPTOS

Son los números naturales preceidios del signo + y – y el “0”

1.Regla de los signos:

Para multiplicar dos números enteros se multiplican sus valores absolutos (número natural que resulta al quitar el signo)y luego se pone el signo, si son factores con signos iguales se pone signo +, si son distintos -.

Ejemplo: (+3)x(-2)=(-6) (-4)x(-5)=(+20)

PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS ENTEROS

• 2. Propiedad distributiva:

Permite transformar productos en sumas y al contrario.El producto de un entero por una suma es igual a la suma de los productos de dicho número por cada sumando.

Ejemplo:(-4)x((+3)+(-5))=(-4)x(+3)+(-4)x(-5) (-4)x(-2)=(+8); (-12)+(+20)=(+8) el resultado es el mismo.

3. Sacar factor común:

Es una aplicación de la propiedad distributiva.Si tenemos una suma en la que todos los sumandos tienen un factor común (número igual),la escribiremos en forma de producto.

Ejemplo: (-2)x(+6)+(-5)x(-2)=(-2)x((+6)+(-5))los sumandos (-2)x(+6) y (-5)x(-2) los hemos transformado en producto

OPERACIONES COMBINADAS

• Son operaciones mixtas sobre enteros, es decir, se hacen distintas operaciones, sumas, restas, productos o cocientes. Para ello es necesario establecer una prioridad a la hora de operar.

•-para poder sumar o restar dos números deben estar sueltos, no podemos sumar dos números si uno de ellos está unido por el otro lado a otra expresión mediante un signo de multiplicar.

- las operaciones combinadas se resuelven en varios pasos, todo lo que no se resuelva en un paso se debe copiar otra vez tal como estaba, sin olvidarlo ni cambiarlo de posición.

- por eso, antes de comenzar a resolver operaciones combinadas debemos observar la expresión y plantearnos una estrategia a seguir, lo que vamos a hacer antes y después.

REGLA OP. COMBINADAS

• Para realizar operaciones combinadas con números enteros debemos tener en cuenta la jerarquía de operaciones, de modo que:

• -Primero se realizan los corchetes y luego los paréntesis

• -Después las multiplicaciones y divisiones.• -Después las sumas y las restas.• -Cuando dos operaciones tienen la misma

importancia se realizan de izquierda a derecha.

EXPLICACIÓN PASO A PASO

Inicialmente calculamos las expresiones que hay dentro de cada corchete, si dentro de un corchete hay

algún paréntesis se opera dentro del paréntesis. 4 [ -9 (8-6-4) -8 ] +2 [ - (-9+3+9) -3 ] Se quitan los paréntesis que hay dentro de cada corchete operando con su contenido 4[-9(-2)-8]+2[-(+3)-3]Calculamos dentro de los corchetes4[18-8]+2[-6]=4·10+2·(-6)Finalmente multiplicamos y sumamos, concediendo prioridad al producto40-12=28