N-1 Numeros Naturales y Enteros

8182019 N-1 Numeros Naturales y Enteros

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PREUNIVERSITARIO PAIDAGOGOS ndash OrsquoHIGGINS 1395 CONCEPCION ndash FONO 412217361 1

P

REUNIVERSIT RIO

Matemaacutetica 2016Eje Temaacutetico Nuacutemeros

Guiacutea Teoacuterico-Praacutectica N-1Nuacutemeros Naturales y Enteros

Fecha

Nombre

N-1 Nuacutemeros Naturales y Enteros

N-2 nuacutemeros Racionales

N-2E Ejercitacioacuten nuacutemeros Racionales

N-3 Potencias en Q irracionales y reales

N-3E Ejercitacioacuten de Potencias en Q

N-4 Raiacuteces Eneacutesimas

N-4E Ejercitacioacuten de Raiacuteces Eneacutesimas

N-5 Nuacutemeros Complejos

N-5E Ejercitacioacuten de Nuacutemeros Complejos

N-6E Ejercitacioacuten de Conjuntos Numeacutericos

N-7 Razoacuten Proporcioacuten y Porcentaje

M a t e

m aacute t i c a s P S

U

N-1

Aquiacute vamos




CONJUNTOS NUMERICOS

NUacuteMEROS NATURALES Y CARDINALES (NN0)

1 Los Nuacutemeros Naturales ( )Los nuacutemeros naturales aparecen por primera vez en el proceso natural que tuvoel ser humano de contar y ordenar animales comida objetos etcEl conjunto de los nuacutemeros naturales parte con el nuacutemero 1 o la unidad y losotros elementos se forman a partir de la adicioacuten sucesiva de unidades de lasiguiente manera 1 1+1=2 2+1=3 3+1=4 etc En base a esto podemosdecir que el conjunto de los nuacutemeros naturales es ordenado y posee infinitoselementos El conjunto se designa con la letra N y se puede representar sobrela recta numeacuterica como se muestra a continuacioacuten

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

1 2 345

Si a este conjunto le unimos el conjunto formado por el cero obtenemos

0 01 2 3 N llamado ldquoconjunto de los nuacutemeros cardinalesrdquo

11 Propiedades de los nuacutemeros naturales

Giuseppe Peano matemaacutetico italiano fue el creador del sistema axiomaacuteticodel cual deriva la aritmeacutetica de los nuacutemeros naturales en este caso resultaconveniente acudir a sus axiomas para conocer algunas propiedades quecumplen estos nuacutemeros

Axiomas de Peano Versioacuten actual de los axiomas de Peano

1 es un nuacutemero 1 es un nuacutemero natural por lo tanto elconjunto de los nuacutemeros naturales no esvaciacuteo

El sucesor inmediato de un nuacutemerotambieacuten es un nuacutemero

Si a es un nuacutemero natural entonces el sucesorde a es decir a+1 tambieacuten es un nuacutemeronatural

1 no es el sucesor inmediato deninguacuten nuacutemero

1 no es sucesor de ninguacuten nuacutemero natural porlo tanto corresponde al primer elemento delconjunto numeacuterico de los naturales




Dos nuacutemeros distintos no tienen elmismo sucesor inmediato

Si los sucesores de dos nuacutemeros naturales a yb son distintos entonces los nuacutemerosnaturales a y b son distintos

Toda propiedad perteneciente a 1 y alsucesor inmediato de todo nuacutemero quetambieacuten tenga esa propiedadpertenece a todos los nuacutemeros

Si un conjunto de nuacutemeros naturales contieneal 1 y a los sucesores de cada uno de suselementos entonces contiene a todos losnuacutemeros naturales (Axioma de induccioacutenmatemaacutetica)

A continuacioacuten definiremos algunos subconjuntos importantes de

12 Los Nuacutemeros ParesLos nuacutemeros pares es un conjunto ordenado con infinitos elementos que

corresponden a los nuacutemeros naturales muacuteltiplos de dos El conjunto se puederepresentar como se muestra a continuacioacuten

Pares = 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22

Y matemaacuteticamente se puede expresar asiacute

p es un nuacutemero par p = 2n con n

13 Los Nuacutemeros Impares

Los nuacutemeros impares es un conjunto ordenado con infinitos elementos los quecorresponden a todos los nuacutemeros naturales que no son pares El conjunto sepuede representar como se muestra a continuacioacuten

Impares = 135791113151719infin


I es un nuacutemero impar I = 2n + 1 oacute I = 2nminus1 con n

En base a los dos subconjuntos vistos anteriormente podemos realizar lasiguiente actividad




Actividad Ndeg1Verifica algebraicamente cada proposicioacuten

a La suma de dos nuacutemeros impares es un nuacutemero par

b El producto de dos nuacutemeros impares es un nuacutemero impar

c La suma de un nuacutemero par y uno impar es un nuacutemero impar

d El producto de un nuacutemero par y uno impar es un nuacutemero par




14 Los Nuacutemeros Primos

Los elementos del conjunto de los nuacutemeros primos son todos aquellos nuacutemerosnaturales mayores que 1 tales que no son exactamente divisibles por alguacutennuacutemero excepto siacute mismo y el 1

Los Nuacutemeros Primos = 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 4143 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97

15 Los Nuacutemeros Compuestos

Los Nuacutemeros Compuestos es un conjunto de infinitos elementos formado portodos los naturales que no son primos es decir por aquellos que tienen maacutesde dos factores o divisores Por extensioacuten podemos escribir

Los Nuacutemeros Compuestos = 4 6 8 9 10 12 14 15 16 18 20 2122

Ejemplos

63= 32 7108= 2233

16 Los Muacuteltiplos de x (M(x))

Si x es un nuacutemero natural cualquiera el conjunto de los Muacuteltiplos de x estaacuteformado por infinitos elementos que se obtienen al multiplicar x por cualquiernuacutemero natural En siacutembolos este conjunto lo definimos como

M(x) = y ℕ y = nx n ℕ

Asiacute por ejemplo la extensioacuten de los muacuteltiplos de 5 es el conjuntoM(5) = y ℕ y = 5n n ℕ = 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55

TEOREMA FUNDAMENTAL DE ARITMETICATodo nuacutemero compuesto se puede expresar de manera uacutenica como elproducto de factores de nuacutemeros primos




17 Los Divisores de x (D( x ))Si x es un nuacutemero natural cualquiera el conjunto de los Divisores de x estaacuteformado por un nuacutemero finito de elementos cuya propiedad es dividirexactamente a x En siacutembolos este conjunto se puede definir como

D( x ) = y ℕ n ℕ tal que yn = x

Asiacute por ejemplo la extensioacuten de los divisores de 18 es el conjuntoD(18) = y ℕ n ℕ tal que yn = 18 = 1 2 3 6 9 18

18 Nuacutemeros Primos entre siacute

Dos nuacutemeros naturales son primos entre siacute cuando el maacuteximo comuacutendivisor entre ambos es 1 Por ejemplo 8 y 15 son primos entre siacutepues D(8) = 1 2 4 8D(15) = 1 3 5 15 y D(8) cap D(15) = 1

NUacuteMEROS ENTEROS ( )

Los elementos del conjunto Z = hellip -3 -2 -1 0 1 2 hellip se denominanldquonuacutemeros enterosrdquo

Algunos subconjuntos de Z son

Z = 1 2 3 hellip enteros positivos

0

Z = 0 1 2 hellip enteros no negativos

Z = -1 -2 -3 hellip enteros negativos

0

Z = 0 -1 -2 -3 hellip enteros no

positivos

ℤ = ℤminus cup 0 cup ℤ+

Tambieacuten se cumple que

ℕ = ℤ+

1 Son cuadrados perfectos los enteros 1 4 9 16 36 49 64 81 100121 144 169 196 225 256 hellip

2 Son cubos perfectos los enteros 1 8 27 64 125 216 343 512 7291000 hellip y tambieacuten -1 -8 -27 -64 -125 -216 -343 hellip




MUacuteLTIPLO Y DIVISOREn la expresioacuten a = b sdot c en que a b y c son nuacutemeros enteros a esmuacuteltiplo de b y de c o bien b y c son divisores o factores de a

Ejemplo -24=(-4)6 entonces -24 es muacuteltiplo de -4 y 6 oacute tambieacuten

podemos decir que -4 y 6 son divisores (factores) de -24

REGLAS DE DIVISIBILIDADUn nuacutemero entero es divisible

Por Cuando2 Termina en cifra par3 La suma de sus cifras es muacuteltiplo de tres

4Las dos uacuteltimas cifras forman un nuacutemero muacuteltiplo decuatro o bien son ceros

5 La uacuteltima cifra es cero o cinco6 Es divisible por dos y por tres a la vez

7La diferencia entre el doble de la uacuteltima cifra y elnuacutemero que forman las cifras restantes es muacuteltiplo desiete

8Las tres uacuteltimas cifras forman un nuacutemero muacuteltiplo deocho o bien son ceros

9 La suma de sus cifras es muacuteltiplo de nueve10 Termina en cero

11La diferencia entre la suma de las cifras ubicadas en loslugares pares y las que ocupan los lugares impares es

muacuteltiplo de once

MIacuteNIMO COMUacuteN MUacuteLTIPLO (mcm)Es el menor muacuteltiplo comuacuten positivo de dos o maacutes enteros

MAacuteXIMO COMUacuteN DIVISOR (MCD)Es el mayor divisor comuacuten entre dos o maacutes enteros




CAacuteLCULO DEL mcm y MCD MEDIANTE DESCOMPOSICIOacuteN ENFACTORES PRIMOSSe descomponen los nuacutemeros en factores primos

1 El mcm se obtiene como producto de todos los factores primos En el caso

de existir factores primos comunes se considera aquel que posea el exponentemayor

2 El MCD se obtiene como producto de los factores primos comunesconsiderando aquel que posea el exponente menor

Ejemplo1Determinar el miacutenimo comuacuten muacuteltiplo entre 12 14 y 45Solucioacuten Primero descomponemos cada nuacutemero en factores primos12 = 22 middot 314 = 2 middot 745 = 32 middot 5Luego elegimos los factores primos repetidos y no repetidos con mayorexponente

22 32 5 7Finalmente el producto de los nuacutemeros anteriores es el mcm (121445)mcm(12 14 45) = 22 middot 32 middot 5 middot7 = 1260

Ejemplo2Determinar el maacuteximo comuacuten divisor entre 6 18 y 42Solucioacuten Primero descomponemos cada nuacutemero en factores primos

6 = 2 middot 318 = 2 middot 32 42 = 2 middot 3 middot 7Luego elegimos los factores primos repetidos con menor exponente

2 3Finalmente el producto de los nuacutemeros anteriores es el MCD (61842)MCD(6 18 42) = 2 middot 3 = 6




OPERATORIA EN Z

ADICIOacuteN

i Al sumar nuacutemeros de igual signo se suman los valores absolutos de ellos

conservando el signo comuacuten

ii Al sumar dos nuacutemeros de distinto signo al de mayor valor absoluto se leresta el de menor valor absoluto y al resultado se le agrega el signo del mayorvalor absoluto

Elemento neutro aditivo Existe un nuacutemero entero el cero que sumado concualquier nuacutemero entero no le altera su valorEs decir si x ℤ x + 0 = 0 + x = x

Elemento inverso aditivo u opuesto Cada elemento entero posee unelemento opuesto de manera que al sumar ambos nuacutemeros dan por resultadoel cero o neutro aditivoEs decir si x ℤ existe un elemento x tal que x + (- x ) = (- x ) + x = 0

Ejemplo 4 + (-4) = (-4) + 4 = 0

Decimos entonces que - x es el opuesto de x y viceversa

MULTIPLICACIOacuteN

i Si se multiplican dos nuacutemeros de igual signo al resultado es siemprepositivo

ii Si se multiplican dos nuacutemeros de distinto signo el resultado es siemprenegativo

OBSERVACIOacuteN La divisioacuten cumple con las reglas de signos de lamultiplicacioacuten




VALOR ABSOLUTO

Es la distancia que existe entre un nuacutemero y el 0

DEFINICIOacuteN n

0

0

nsin

nsin

ALGORITMO DE LA DIVISIOacuteN

Si D d = c entonces D = d c + r r

D = dividendod = divisorc = cuociente o cocienter = resto

OBSERVACIONES

1) 0 le r lt d

2) La divisioacuten por cero no estaacute definida

PRIORIDAD DE LAS OPERACIONESAl realizar distintas operaciones a la vez se debe respetar el siguiente orden1 Resolver los pareacutentesis

2 Realizar las potencias3 Realizar multiplicaciones yo divisiones de izquierda a derecha4 Realizar adiciones yo sustracciones de izquierda a derecha




RELACIOacuteN DE ORDEN EN Z

Si a y b son nuacutemeros enteros entonces diremos que

i a gt b si y soacutelo si (a - b) es un entero positivo

ii

a lt b si y soacutelo si (a - b) es un entero negativoiii a ge b si y soacutelo si (a gt b) o (a = b) (no ambos a la vez)iv a le b si y soacutelo si (a lt b) o (a = b) (no ambos a la vez)

ACTIVIDAD 2

1 Resuelve los siguientes ejercicios combinados

a) 16 ( - 2 ) ndash ( - 4 + 2 ) + 5 middot ( - 1 ) =

b) 8 ndash 6 ( - 3 ) + 4 middot ( - 2 ) + 5 middot ( - 10 ) =

c) 4 ndash ( - 5 + 2 ) ndash 15 ( - 5 ) + 4 middot ( - 2 ) =

d) 2 + ( 8 4 ) ndash (- 2 middot 3 ) + 9 (- 3 ) =

e) 8 ( - 4 ) ndash ( - 5 ndash 3 ) + 3 middot 2 =

f) 4 middot 14 (- 2) + 9 middot ( - 3 ) ndash 2 (- 2) =

g) 3 ndash 4 (- 4) + 4 middot ( - 4 ) ndash 1 =




2 Si a lt 0 entonces a a a

A) 2aB) 0C) -2aD) -2

E) a

3 Si cuatro nuacutemeros enteros positivos consecutivos son dividido cada uno porcuatro la suma de los restos es

A) 6B) 5C) 4D) 3

E) 0

4 La temperatura miacutenima de un diacutea de Julio en Concepcioacuten fue -3ordm y lamaacutexima en ese mismo diacutea fue 17ordm iquestCuaacutento fue la variacioacuten de temperaturaese diacutea

A) 9ordmB) 12ordmC) 14ordmD) 15ordmE) 20ordm




Ejercicios PSU

1 Juan cuenta de 3 en 3 Pedro lo hace de 6 en 6 y Pablo de 8 en 8 entoncescoinciden en el nuacutemero

A) 6B) 8C) 12D) 16E) 24

2 Si agtb entonces b a

A) a-bB) 0C) b-a

D) ndasha-bE) a+b

3 Si n = 2 y m = -3 iquestcuaacutel es el valor de ndashnm ndash(n + m)

A) -11B) -5C) 5D) 7E) -7

4 Si q es un entero impar el nuacutemero impar antecesor de 3q + 6 es

A) 3qB) 3q+8C) 3q+7D) 3q+5E) 3q+4

5 Claudia teniacutea en el banco $ 4p Retiroacute la mitad y horas maacutes tarde depositoacute

el triple de lo que teniacutea al comienzo iquestCuaacutento dinero tiene ahora Claudia en elbanco

A) $ 8pB) $ 10pC) $ 12pD) $ 16pE) $ 14p




6 Para completar la tabla adjunta se debe seguir la siguiente regla el uacuteltimonuacutemero de cada fila es la suma de los tres nuacutemeros anteriores y el uacuteltimonuacutemero de cada columna es la suma de los tres nuacutemeros anteriores iquestCuaacutel esel valor de xA) 5

B) 7C) 8D) 9E) 16

7 Si ldquo2prdquo es par entonces el sucesor impar del antecesor de ldquo2prdquo es

A) 2p ndash 1B) 2p + 1C) 2pD) 2p + 2E) 2p ndash 2

8 Si a es un nuacutemero compuesto impar menor que 10 entonces a ndash 1 esI) primoII) compuestoIII) impar

Es (son) verdadera(s)

A) Soacutelo IB) Soacutelo IIC) Soacutelo IIID) Soacutelo I y IIE) Soacutelo II y III

9 Se define 3ba b a b y a b = 2a - 4b para a y b nuacutemeros enteros

el valor de (2 5) (-2) es

A) 82B) 66C) 60D) 68E) 22

x 4 204 9

8 1324 16 55




10 Al sumar el cuarto y el quinto teacutermino de la secuencia x - 5 2(2x + 7)3(3x - 9) 4(4x + 11) resulta

A) 41x - 2B) 61x + 25

C) 41x - 109D) 41x + 109E) 41x - 21

11 Si a gt 0 y a gt b entonces iquestcuaacutel de las siguientes opciones es siempreverdadera

A) b gt 0B) a lt bC) -a lt -bD) b lt 0E) -a gt -b

12 Si hoy es Lunes iquestqueacute diacutea de la semana seraacute en 95 diacuteas maacutes a partir dehoy

A) ViernesB) SaacutebadoC) Lunes

D) MieacutercolesE) Jueves

13 iquestCuaacutel de los siguientes nuacutemeros se puede(n) expresar como la suma de 2nuacutemeros primos consecutivos

I) 20II) 36III) 52

A) Soacutelo IB) Soacutelo IIC) Soacutelo I y IID) Soacutelo II y IIIE) I II y III




14 Para que el nuacutemero de cuatro cifras 6 22 sea divisible por 6 iquestcuaacutel es el

menor nuacutemero que se debe colocar en el espacio en blancoA) 0B) 1C) 2

D) 3E) 4

15 Si p es el menor nuacutemero primo no par q es el sucesor primo de p y r esel antecesor de q entonces el resultado de 2r + 3p ndash q es

A) 12B) 13C) 17D) 20

E) 25

16 Una prueba tiene 40 preguntas El puntaje corregido se calcula de lasiguiente manera ldquoCada 3 malas se descuenta 1 buena y 3 omitidas equivalena 1 malardquo iquestCuaacutel es el puntaje corregido si un estudiante obtuvo 15 malas y 9omitidasA) 8B) 6C) 9D) 10

E) Ninguna de las anteriores

17 Si a es un nuacutemero entero positivo y b un nuacutemero entero negativo iquestCuaacutel delas siguientes proposiciones es siempre verdaderas

A) abgt0B) a+b gt0C) a+blt0D) b agt0

E) a b lt0




18 M N y P son nuacutemeros enteros mayores que 1 Si ninguno de ellos tienefactores en comuacuten salvo el 1 cuando M = 9 y N = 8 iquestcuaacutel es el menor valorposible de P

A) 7

B) 5C) 4D) 3E) 1

19 Si n es un nuacutemero entero positivo entonces se puede determinar que nes divisible por 2 si se sabe que

(1) 2n es par(2) 3n es par

A) (1) por siacute solaB) (2) por siacute solaC) Ambas juntas (1) y (2)D) Cada una por siacute sola (1) oacute (2)E) Se requiere informacioacuten adicional

20 La suma de tres nuacutemeros impares consecutivos es siempreI) divisible por 3

II) divisible por 6

III) divisible por 9

Es (son) verdadera(s)A) Solo IB) Solo IIC) Solo I y IIID) Solo II y IIIE) I II y III




21 La suma de tres nuacutemeros enteros consecutivos es 0 Con respecto a estosnuacutemeros iquestcuaacutel(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)

I) La suma del menor y el mayor es 0II) El cuadrado del menor es igual al cuadrado del mayor

III) El mayor menos el menor es 0A) Solo IB) Solo IIC) Solo IIID) Solo I y IIE) I II y III

22 iquestCuaacutel de los siguientes pares de nuacutemeros debe colocarse en los cuadrados

vaciacuteos para que el nuacutemero de 6 cifras 7 201 sea divisible por 9

A) 2 y 0B) 3 y 9C) 5 y 3D) 4 y 5E) 3 y 3

23 Si ab isin ℤminus y cd isin ℤ+ iquestQueacute expresioacuten es falsa

A) amiddotb+clt0 B) (a+b)middotclt0 C)

amiddotc+bmiddotdlt0 D) (c+d)middota2 gt0 E) (a2+b2)middota lt0

24 Si la suma de tres nuacutemeros enteros consecutivos es -42 entonces elsucesor del nuacutemero mayor esA) -15B) -14C) -13

D) -12E) -11




25- Si n es un nuacutemero natural par entonces el sucesor par del sucesor de

n+1 estaacute representado por

A) n + 3

B) n + 4

C) 2n + 2

D) 2n + 4

E) n + 2

26- iquestCuaacutel (es) de los siguientes nuacutemeros es (son) divisores de 105

I 15

II 21

III 35

A) Solo I y II

B) Solo I y III

C) Solo II y III

D) I II y III

E) Ninguno de ellos

27- Si A = 23

32

∙5 B = 2 33

∙52

y C = 22

33

∙7 entonces iquestcual(es) de lassiguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)

I 23 es un divisor comuacuten de A y C

II B es un muacuteltiplo de 325

III 2∙32 es divisor comuacuten de A B y C

A) Soacutelo II

B) Soacutelo III

C) Soacutelo II y III

D)

I II y III

E) Ninguna de ellas




28-Si a es primo entonces a2 es necesariamente un nuacutemero

A) par

B) impar

C) primo

D) compuesto

E) par y compuesto

29-El nuacutemero 2856 es el producto de tres factores Si dos de los factores son

12 y 14 iquestcuaacutel es el otro factor

A) 17

B) 16

C) 15

D)

13


30-Si un nintildeo comienza contando de 5 en 5 y otro lo hace de 6 en 6 iquesten que

nuacutemero se encuentran por segunda vez

A) 15

B) 30

C) 45

D) 60

E)

75

31- 5 ndash [ 6 ndash (ndash 8 + 7 ndash 2)] =

A) ndash 14

B) ndash 4

C) ndash 2

D) 2

E) 12




32- Si a y b son nuacutemeros enteros positivos tales que a gt b entonces el

orden creciente de las fraccionesa b a b

yb a b a

A)

a b b a

b a a b

B)

a b a b

b a b a

C)

a b b a

b a a b

D)

b a b a

a b a b

E)

b a a b

a b b a

33-Si t + 3 es el sucesor del nuacutemero natural n entonces el sucesor de t en

funcioacuten de n es

A) n + 2

B) n + 1

C) n

D) n ndash 1

E) n ndash 2

34-Sea M un conjunto de tres nuacutemeros naturales pares consecutivos cuyo

elemento menor es (n ndash 4) entonces iquestCuaacutel(es) de las siguientes aseveraciones

es (son) verdadera(s)

I el promedio de los tres teacuterminos es n ndash 2

II el producto de los tres nuacutemeros es par

III la suma de los tres nuacutemeros es muacuteltiplo de 6

A)

Soacutelo IB) Soacutelo I y II

C) Soacutelo I y III

D) Soacutelo II y III

E) I II y III




35-Dos letreros luminosos se encienden con intermitencias de 42 y 54

segundos respectivamente Si a las 20 horas y 15 minutos se encuentran

ambos encendidos iquesta que hora estaraacuten nuevamente ambos encendidos

A) 20 hr 21 min 18 seg

B) 20 hr 21 min 42 seg

C) 20 hr 21 min 36 seg

D) 20 hr 15 min 54 seg

E) 20 hr 16 min 54 seg

36- Al descomponer el nuacutemero 360 en sus factores primos se obtiene a3b2cEntonces a + b ndash c es igual a

A) -4

B) 0C) 4D) 6E) 10

37- Si n entonces el antecesor impar de 2n + 1 y el consecutivo de 2n

respectivamente son

A) 2n - 3 2n + 1B) 2n - 1 2n + 1

C) 2n - 1 2n + 2D) 2n 2n + 1E) 2n 2n + 2

38-La suma de 3 nuacutemeros impares consecutivos es 57 iquestcuaacutel es el nuacutemerocentral

A) 9B) 17C) 19

D) 21E) Ninguno de los valores anteriores




39- Si p = -2 q = -1 y r = 1 entonces 3r ndash [r ndash (p ndash q)] representa unnuacutemero

A) primoB) compuestoC) antecesor de 0

D) sucesor de 1E) antecesor de 2

40-Se define m n = ndash n + mn y m otimes n = m ndash 3n con m y n nuacutemerosenteros El valor de (2 ndash 5 ) otimes (ndash 1) es

A) ndash 15B) ndash 12C) ndash 9D) ndash 2E) 8

41- Si a = -1 b = -2 y c = 1 entonces [a ndash b(c ndash a)] es un nuacutemeroA) primoB) compuestoC) antecesor de 2D) sucesor de 4E) par

42-Sean 5 enteros consecutivos es posible determinarlos si

(1) La suma de ellos es 115(2) Uno de ellos es nuacutemero primo





43- Si a es par y b es impar entonces iquestcuaacutel(es) de las siguientesexpresiones es (son) par(es)

I) a + bII) 2a + bIII) a + 2b

A) Soacutelo IB) Soacutelo IIC) Soacutelo IIID) Soacutelo I y IIIE) Soacutelo II y III

44- El nuacutemero 144-283 es muacuteltiplo de

I 2II 3III 4IV 9

A) Soacutelo I y IIB) Soacutelo II y IIIC) Soacutelo III y IVD) Soacutelo III y IIIE) I II III y IV

45- Al ordenar en forma decreciente los nuacutemeros a= 245 b=336 c= 427

d= 518 resulta A) abcdB) dcbaC) bcadD) bacdE) dacb

46- Los nuacutemeros a b c son nuacutemeros naturales consecutivos en ordencreciente Entonces el valor de c2 ndash ab

A) 0B) 1C) 2a+bD) 2a+cE) 2b+c




47- Si k∆m = k(k-m) entonces (5∆1)+ (4∆1)=

A) 84B) 72C) 32

D) 20E) 9

48- Si p y q son nuacutemeros enteros y el sucesor de p es q y el antecesor de p es -9 entonces p + q =

A) -14B) -15C) -16D) -18E) -20

49-Si n es un numero primo y m un numero natural entonces iquestcual(es) delas siguientes afirmaciones es(son) siempre verdaderas

I)- El miacutenimo comuacuten muacuteltiplo entre n y m es nmII)- El maacuteximo comuacuten divisor entre n y m es nIII)- El producto de n y m no es necesariamente un nuacutemero primo

A) Soacutelo IB) Soacutelo II

C) Solo IIID) Soacutelo I y IIE) Solo II y III

50- iquestCuaacutel de las siguientes afirmaciones es (son) siempre verdadera(s) conrespecto a la expresioacuten a gt b

I) a gt bII) b gt aIII) La distancia de a al cero es mayor que la distancia de b al cero

A) Soacutelo IB) Soacutelo IIC) Soacutelo IIID) Soacutelo I y IIIE) Ninguna de ellas



Pauta de Nuacutemeros Naturales y Enteros

1 E 21 D 41 A2 A 22 C 42 A3 D 23 A 43 C

4 E 24 D 44 D5 E 25 B 45 C6 D 26 D 46 E7 B 27 C 47 C8 B 28 D 48 B9 A 29 A 49 C10 E 30 D 50 C11 C 31 B12 A 32 A13 D 33 D

14 C 34 E15 A 35 A16 D 36 B17 E 37 B18 B 38 C19 B 39 E20 A 40 D




CONJUNTOS NUMERICOS

NUacuteMEROS NATURALES Y CARDINALES (NN0)

1 Los Nuacutemeros Naturales ( )Los nuacutemeros naturales aparecen por primera vez en el proceso natural que tuvoel ser humano de contar y ordenar animales comida objetos etcEl conjunto de los nuacutemeros naturales parte con el nuacutemero 1 o la unidad y losotros elementos se forman a partir de la adicioacuten sucesiva de unidades de lasiguiente manera 1 1+1=2 2+1=3 3+1=4 etc En base a esto podemosdecir que el conjunto de los nuacutemeros naturales es ordenado y posee infinitoselementos El conjunto se designa con la letra N y se puede representar sobrela recta numeacuterica como se muestra a continuacioacuten

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

1 2 345

Si a este conjunto le unimos el conjunto formado por el cero obtenemos

0 01 2 3 N llamado ldquoconjunto de los nuacutemeros cardinalesrdquo

11 Propiedades de los nuacutemeros naturales

Giuseppe Peano matemaacutetico italiano fue el creador del sistema axiomaacuteticodel cual deriva la aritmeacutetica de los nuacutemeros naturales en este caso resultaconveniente acudir a sus axiomas para conocer algunas propiedades quecumplen estos nuacutemeros

Axiomas de Peano Versioacuten actual de los axiomas de Peano

1 es un nuacutemero 1 es un nuacutemero natural por lo tanto elconjunto de los nuacutemeros naturales no esvaciacuteo

El sucesor inmediato de un nuacutemerotambieacuten es un nuacutemero

Si a es un nuacutemero natural entonces el sucesorde a es decir a+1 tambieacuten es un nuacutemeronatural

1 no es el sucesor inmediato deninguacuten nuacutemero

1 no es sucesor de ninguacuten nuacutemero natural porlo tanto corresponde al primer elemento delconjunto numeacuterico de los naturales











Pares = 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22


























Ejemplos

63= 32 7108= 2233


















0



0


positivos



ℕ = ℤ+



































OPERATORIA EN Z

ADICIOacuteN






Ejemplo 4 + (-4) = (-4) + 4 = 0


MULTIPLICACIOacuteN







VALOR ABSOLUTO


DEFINICIOacuteN n

0

0

nsin

nsin




OBSERVACIONES

1) 0 le r lt d










ii


ACTIVIDAD 2


a) 16 ( - 2 ) ndash ( - 4 + 2 ) + 5 middot ( - 1 ) =



d) 2 + ( 8 4 ) ndash (- 2 middot 3 ) + 9 (- 3 ) =








A) 2aB) 0C) -2aD) -2

E) a


A) 6B) 5C) 4D) 3

E) 0






Ejercicios PSU


A) 6B) 8C) 12D) 16E) 24


A) a-bB) 0C) b-a

D) ndasha-bE) a+b


A) -11B) -5C) 5D) 7E) -7


A) 3qB) 3q+8C) 3q+7D) 3q+5E) 3q+4



A) $ 8pB) $ 10pC) $ 12pD) $ 16pE) $ 14p





B) 7C) 8D) 9E) 16








A) 82B) 66C) 60D) 68E) 22

x 4 204 9

8 1324 16 55





A) 41x - 2B) 61x + 25

C) 41x - 109D) 41x + 109E) 41x - 21







I) 20II) 36III) 52







D) 3E) 4


A) 12B) 13C) 17D) 20

E) 25





E) a b lt0





A) 7

B) 5C) 4D) 3E) 1





II) divisible por 6











A) 2 y 0B) 3 y 9C) 5 y 3D) 4 y 5E) 3 y 3





D) -12E) -11






A) n + 3

B) n + 4

C) 2n + 2

D) 2n + 4

E) n + 2


I 15

II 21

III 35

A) Solo I y II

B) Solo I y III

C) Solo II y III

D) I II y III

E) Ninguno de ellos

27- Si A = 23

32

∙5 B = 2 33

∙52

y C = 22

33





A) Soacutelo II

B) Soacutelo III


D)

I II y III

E) Ninguna de ellas





A) par

B) impar

C) primo

D) compuesto

E) par y compuesto



A) 17

B) 16

C) 15

D)

13




A) 15

B) 30

C) 45

D) 60

E)

75


A) ndash 14

B) ndash 4

C) ndash 2

D) 2

E) 12






yb a b a

A)

a b b a

b a a b

B)

a b a b

b a b a

C)

a b b a

b a a b

D)

b a b a

a b a b

E)

b a a b

a b b a



A) n + 2

B) n + 1

C) n

D) n ndash 1

E) n ndash 2







A)




E) I II y III













A) -4

B) 0C) 4D) 6E) 10


respectivamente son

A) 2n - 3 2n + 1B) 2n - 1 2n + 1

C) 2n - 1 2n + 2D) 2n 2n + 1E) 2n 2n + 2


A) 9B) 17C) 19





















I 2II 3III 4IV 9





A) 0B) 1C) 2a+bD) 2a+cE) 2b+c





A) 84B) 72C) 32

D) 20E) 9


A) -14B) -15C) -16D) -18E) -20











1 E 21 D 41 A2 A 22 C 42 A3 D 23 A 43 C


14 C 34 E15 A 35 A16 D 36 B17 E 37 B18 B 38 C19 B 39 E20 A 40 D











Pares = 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22


























Ejemplos

63= 32 7108= 2233


















0



0


positivos



ℕ = ℤ+



































OPERATORIA EN Z

ADICIOacuteN






Ejemplo 4 + (-4) = (-4) + 4 = 0


MULTIPLICACIOacuteN







VALOR ABSOLUTO


DEFINICIOacuteN n

0

0

nsin

nsin




OBSERVACIONES

1) 0 le r lt d










ii


ACTIVIDAD 2


a) 16 ( - 2 ) ndash ( - 4 + 2 ) + 5 middot ( - 1 ) =



d) 2 + ( 8 4 ) ndash (- 2 middot 3 ) + 9 (- 3 ) =








A) 2aB) 0C) -2aD) -2

E) a


A) 6B) 5C) 4D) 3

E) 0






Ejercicios PSU


A) 6B) 8C) 12D) 16E) 24


A) a-bB) 0C) b-a

D) ndasha-bE) a+b


A) -11B) -5C) 5D) 7E) -7


A) 3qB) 3q+8C) 3q+7D) 3q+5E) 3q+4



A) $ 8pB) $ 10pC) $ 12pD) $ 16pE) $ 14p





B) 7C) 8D) 9E) 16








A) 82B) 66C) 60D) 68E) 22

x 4 204 9

8 1324 16 55





A) 41x - 2B) 61x + 25

C) 41x - 109D) 41x + 109E) 41x - 21







I) 20II) 36III) 52







D) 3E) 4


A) 12B) 13C) 17D) 20

E) 25





E) a b lt0





A) 7

B) 5C) 4D) 3E) 1





II) divisible por 6











A) 2 y 0B) 3 y 9C) 5 y 3D) 4 y 5E) 3 y 3





D) -12E) -11






A) n + 3

B) n + 4

C) 2n + 2

D) 2n + 4

E) n + 2


I 15

II 21

III 35

A) Solo I y II

B) Solo I y III

C) Solo II y III

D) I II y III

E) Ninguno de ellos

27- Si A = 23

32

∙5 B = 2 33

∙52

y C = 22

33





A) Soacutelo II

B) Soacutelo III


D)

I II y III

E) Ninguna de ellas





A) par

B) impar

C) primo

D) compuesto

E) par y compuesto



A) 17

B) 16

C) 15

D)

13




A) 15

B) 30

C) 45

D) 60

E)

75


A) ndash 14

B) ndash 4

C) ndash 2

D) 2

E) 12






yb a b a

A)

a b b a

b a a b

B)

a b a b

b a b a

C)

a b b a

b a a b

D)

b a b a

a b a b

E)

b a a b

a b b a



A) n + 2

B) n + 1

C) n

D) n ndash 1

E) n ndash 2







A)




E) I II y III













A) -4

B) 0C) 4D) 6E) 10


respectivamente son

A) 2n - 3 2n + 1B) 2n - 1 2n + 1

C) 2n - 1 2n + 2D) 2n 2n + 1E) 2n 2n + 2


A) 9B) 17C) 19





















I 2II 3III 4IV 9





A) 0B) 1C) 2a+bD) 2a+cE) 2b+c





A) 84B) 72C) 32

D) 20E) 9


A) -14B) -15C) -16D) -18E) -20











1 E 21 D 41 A2 A 22 C 42 A3 D 23 A 43 C


14 C 34 E15 A 35 A16 D 36 B17 E 37 B18 B 38 C19 B 39 E20 A 40 D


















Ejemplos

63= 32 7108= 2233


















0



0


positivos



ℕ = ℤ+



































OPERATORIA EN Z

ADICIOacuteN






Ejemplo 4 + (-4) = (-4) + 4 = 0


MULTIPLICACIOacuteN







VALOR ABSOLUTO


DEFINICIOacuteN n

0

0

nsin

nsin




OBSERVACIONES

1) 0 le r lt d










ii


ACTIVIDAD 2


a) 16 ( - 2 ) ndash ( - 4 + 2 ) + 5 middot ( - 1 ) =



d) 2 + ( 8 4 ) ndash (- 2 middot 3 ) + 9 (- 3 ) =








A) 2aB) 0C) -2aD) -2

E) a


A) 6B) 5C) 4D) 3

E) 0






Ejercicios PSU


A) 6B) 8C) 12D) 16E) 24


A) a-bB) 0C) b-a

D) ndasha-bE) a+b


A) -11B) -5C) 5D) 7E) -7


A) 3qB) 3q+8C) 3q+7D) 3q+5E) 3q+4



A) $ 8pB) $ 10pC) $ 12pD) $ 16pE) $ 14p





B) 7C) 8D) 9E) 16








A) 82B) 66C) 60D) 68E) 22

x 4 204 9

8 1324 16 55





A) 41x - 2B) 61x + 25

C) 41x - 109D) 41x + 109E) 41x - 21







I) 20II) 36III) 52







D) 3E) 4


A) 12B) 13C) 17D) 20

E) 25





E) a b lt0





A) 7

B) 5C) 4D) 3E) 1





II) divisible por 6











A) 2 y 0B) 3 y 9C) 5 y 3D) 4 y 5E) 3 y 3





D) -12E) -11






A) n + 3

B) n + 4

C) 2n + 2

D) 2n + 4

E) n + 2


I 15

II 21

III 35

A) Solo I y II

B) Solo I y III

C) Solo II y III

D) I II y III

E) Ninguno de ellos

27- Si A = 23

32

∙5 B = 2 33

∙52

y C = 22

33





A) Soacutelo II

B) Soacutelo III


D)

I II y III

E) Ninguna de ellas





A) par

B) impar

C) primo

D) compuesto

E) par y compuesto



A) 17

B) 16

C) 15

D)

13




A) 15

B) 30

C) 45

D) 60

E)

75


A) ndash 14

B) ndash 4

C) ndash 2

D) 2

E) 12






yb a b a

A)

a b b a

b a a b

B)

a b a b

b a b a

C)

a b b a

b a a b

D)

b a b a

a b a b

E)

b a a b

a b b a



A) n + 2

B) n + 1

C) n

D) n ndash 1

E) n ndash 2







A)




E) I II y III













A) -4

B) 0C) 4D) 6E) 10


respectivamente son

A) 2n - 3 2n + 1B) 2n - 1 2n + 1

C) 2n - 1 2n + 2D) 2n 2n + 1E) 2n 2n + 2


A) 9B) 17C) 19





















I 2II 3III 4IV 9





A) 0B) 1C) 2a+bD) 2a+cE) 2b+c





A) 84B) 72C) 32

D) 20E) 9


A) -14B) -15C) -16D) -18E) -20











1 E 21 D 41 A2 A 22 C 42 A3 D 23 A 43 C


14 C 34 E15 A 35 A16 D 36 B17 E 37 B18 B 38 C19 B 39 E20 A 40 D










Ejemplos

63= 32 7108= 2233


















0



0


positivos



ℕ = ℤ+



































OPERATORIA EN Z

ADICIOacuteN






Ejemplo 4 + (-4) = (-4) + 4 = 0


MULTIPLICACIOacuteN







VALOR ABSOLUTO


DEFINICIOacuteN n

0

0

nsin

nsin




OBSERVACIONES

1) 0 le r lt d










ii


ACTIVIDAD 2


a) 16 ( - 2 ) ndash ( - 4 + 2 ) + 5 middot ( - 1 ) =



d) 2 + ( 8 4 ) ndash (- 2 middot 3 ) + 9 (- 3 ) =








A) 2aB) 0C) -2aD) -2

E) a


A) 6B) 5C) 4D) 3

E) 0






Ejercicios PSU


A) 6B) 8C) 12D) 16E) 24


A) a-bB) 0C) b-a

D) ndasha-bE) a+b


A) -11B) -5C) 5D) 7E) -7


A) 3qB) 3q+8C) 3q+7D) 3q+5E) 3q+4



A) $ 8pB) $ 10pC) $ 12pD) $ 16pE) $ 14p





B) 7C) 8D) 9E) 16








A) 82B) 66C) 60D) 68E) 22

x 4 204 9

8 1324 16 55





A) 41x - 2B) 61x + 25

C) 41x - 109D) 41x + 109E) 41x - 21







I) 20II) 36III) 52







D) 3E) 4


A) 12B) 13C) 17D) 20

E) 25





E) a b lt0





A) 7

B) 5C) 4D) 3E) 1





II) divisible por 6











A) 2 y 0B) 3 y 9C) 5 y 3D) 4 y 5E) 3 y 3





D) -12E) -11






A) n + 3

B) n + 4

C) 2n + 2

D) 2n + 4

E) n + 2


I 15

II 21

III 35

A) Solo I y II

B) Solo I y III

C) Solo II y III

D) I II y III

E) Ninguno de ellos

27- Si A = 23

32

∙5 B = 2 33

∙52

y C = 22

33





A) Soacutelo II

B) Soacutelo III


D)

I II y III

E) Ninguna de ellas





A) par

B) impar

C) primo

D) compuesto

E) par y compuesto



A) 17

B) 16

C) 15

D)

13




A) 15

B) 30

C) 45

D) 60

E)

75


A) ndash 14

B) ndash 4

C) ndash 2

D) 2

E) 12






yb a b a

A)

a b b a

b a a b

B)

a b a b

b a b a

C)

a b b a

b a a b

D)

b a b a

a b a b

E)

b a a b

a b b a



A) n + 2

B) n + 1

C) n

D) n ndash 1

E) n ndash 2







A)




E) I II y III













A) -4

B) 0C) 4D) 6E) 10


respectivamente son

A) 2n - 3 2n + 1B) 2n - 1 2n + 1

C) 2n - 1 2n + 2D) 2n 2n + 1E) 2n 2n + 2


A) 9B) 17C) 19





















I 2II 3III 4IV 9





A) 0B) 1C) 2a+bD) 2a+cE) 2b+c





A) 84B) 72C) 32

D) 20E) 9


A) -14B) -15C) -16D) -18E) -20











1 E 21 D 41 A2 A 22 C 42 A3 D 23 A 43 C


14 C 34 E15 A 35 A16 D 36 B17 E 37 B18 B 38 C19 B 39 E20 A 40 D













0



0


positivos



ℕ = ℤ+



































OPERATORIA EN Z

ADICIOacuteN






Ejemplo 4 + (-4) = (-4) + 4 = 0


MULTIPLICACIOacuteN







VALOR ABSOLUTO


DEFINICIOacuteN n

0

0

nsin

nsin




OBSERVACIONES

1) 0 le r lt d










ii


ACTIVIDAD 2


a) 16 ( - 2 ) ndash ( - 4 + 2 ) + 5 middot ( - 1 ) =



d) 2 + ( 8 4 ) ndash (- 2 middot 3 ) + 9 (- 3 ) =








A) 2aB) 0C) -2aD) -2

E) a


A) 6B) 5C) 4D) 3

E) 0






Ejercicios PSU


A) 6B) 8C) 12D) 16E) 24


A) a-bB) 0C) b-a

D) ndasha-bE) a+b


A) -11B) -5C) 5D) 7E) -7


A) 3qB) 3q+8C) 3q+7D) 3q+5E) 3q+4



A) $ 8pB) $ 10pC) $ 12pD) $ 16pE) $ 14p





B) 7C) 8D) 9E) 16








A) 82B) 66C) 60D) 68E) 22

x 4 204 9

8 1324 16 55





A) 41x - 2B) 61x + 25

C) 41x - 109D) 41x + 109E) 41x - 21







I) 20II) 36III) 52







D) 3E) 4


A) 12B) 13C) 17D) 20

E) 25





E) a b lt0





A) 7

B) 5C) 4D) 3E) 1





II) divisible por 6











A) 2 y 0B) 3 y 9C) 5 y 3D) 4 y 5E) 3 y 3





D) -12E) -11






A) n + 3

B) n + 4

C) 2n + 2

D) 2n + 4

E) n + 2


I 15

II 21

III 35

A) Solo I y II

B) Solo I y III

C) Solo II y III

D) I II y III

E) Ninguno de ellos

27- Si A = 23

32

∙5 B = 2 33

∙52

y C = 22

33





A) Soacutelo II

B) Soacutelo III


D)

I II y III

E) Ninguna de ellas





A) par

B) impar

C) primo

D) compuesto

E) par y compuesto



A) 17

B) 16

C) 15

D)

13




A) 15

B) 30

C) 45

D) 60

E)

75


A) ndash 14

B) ndash 4

C) ndash 2

D) 2

E) 12






yb a b a

A)

a b b a

b a a b

B)

a b a b

b a b a

C)

a b b a

b a a b

D)

b a b a

a b a b

E)

b a a b

a b b a



A) n + 2

B) n + 1

C) n

D) n ndash 1

E) n ndash 2







A)




E) I II y III













A) -4

B) 0C) 4D) 6E) 10


respectivamente son

A) 2n - 3 2n + 1B) 2n - 1 2n + 1

C) 2n - 1 2n + 2D) 2n 2n + 1E) 2n 2n + 2


A) 9B) 17C) 19





















I 2II 3III 4IV 9





A) 0B) 1C) 2a+bD) 2a+cE) 2b+c





A) 84B) 72C) 32

D) 20E) 9


A) -14B) -15C) -16D) -18E) -20











1 E 21 D 41 A2 A 22 C 42 A3 D 23 A 43 C


14 C 34 E15 A 35 A16 D 36 B17 E 37 B18 B 38 C19 B 39 E20 A 40 D

































OPERATORIA EN Z

ADICIOacuteN






Ejemplo 4 + (-4) = (-4) + 4 = 0


MULTIPLICACIOacuteN







VALOR ABSOLUTO


DEFINICIOacuteN n

0

0

nsin

nsin




OBSERVACIONES

1) 0 le r lt d










ii


ACTIVIDAD 2


a) 16 ( - 2 ) ndash ( - 4 + 2 ) + 5 middot ( - 1 ) =



d) 2 + ( 8 4 ) ndash (- 2 middot 3 ) + 9 (- 3 ) =








A) 2aB) 0C) -2aD) -2

E) a


A) 6B) 5C) 4D) 3

E) 0






Ejercicios PSU


A) 6B) 8C) 12D) 16E) 24


A) a-bB) 0C) b-a

D) ndasha-bE) a+b


A) -11B) -5C) 5D) 7E) -7


A) 3qB) 3q+8C) 3q+7D) 3q+5E) 3q+4



A) $ 8pB) $ 10pC) $ 12pD) $ 16pE) $ 14p





B) 7C) 8D) 9E) 16








A) 82B) 66C) 60D) 68E) 22

x 4 204 9

8 1324 16 55





A) 41x - 2B) 61x + 25

C) 41x - 109D) 41x + 109E) 41x - 21







I) 20II) 36III) 52







D) 3E) 4


A) 12B) 13C) 17D) 20

E) 25





E) a b lt0





A) 7

B) 5C) 4D) 3E) 1





II) divisible por 6











A) 2 y 0B) 3 y 9C) 5 y 3D) 4 y 5E) 3 y 3





D) -12E) -11






A) n + 3

B) n + 4

C) 2n + 2

D) 2n + 4

E) n + 2


I 15

II 21

III 35

A) Solo I y II

B) Solo I y III

C) Solo II y III

D) I II y III

E) Ninguno de ellos

27- Si A = 23

32

∙5 B = 2 33

∙52

y C = 22

33





A) Soacutelo II

B) Soacutelo III


D)

I II y III

E) Ninguna de ellas





A) par

B) impar

C) primo

D) compuesto

E) par y compuesto



A) 17

B) 16

C) 15

D)

13




A) 15

B) 30

C) 45

D) 60

E)

75


A) ndash 14

B) ndash 4

C) ndash 2

D) 2

E) 12






yb a b a

A)

a b b a

b a a b

B)

a b a b

b a b a

C)

a b b a

b a a b

D)

b a b a

a b a b

E)

b a a b

a b b a



A) n + 2

B) n + 1

C) n

D) n ndash 1

E) n ndash 2







A)




E) I II y III













A) -4

B) 0C) 4D) 6E) 10


respectivamente son

A) 2n - 3 2n + 1B) 2n - 1 2n + 1

C) 2n - 1 2n + 2D) 2n 2n + 1E) 2n 2n + 2


A) 9B) 17C) 19





















I 2II 3III 4IV 9





A) 0B) 1C) 2a+bD) 2a+cE) 2b+c





A) 84B) 72C) 32

D) 20E) 9


A) -14B) -15C) -16D) -18E) -20











1 E 21 D 41 A2 A 22 C 42 A3 D 23 A 43 C


14 C 34 E15 A 35 A16 D 36 B17 E 37 B18 B 38 C19 B 39 E20 A 40 D
















OPERATORIA EN Z

ADICIOacuteN






Ejemplo 4 + (-4) = (-4) + 4 = 0


MULTIPLICACIOacuteN







VALOR ABSOLUTO


DEFINICIOacuteN n

0

0

nsin

nsin




OBSERVACIONES

1) 0 le r lt d










ii


ACTIVIDAD 2


a) 16 ( - 2 ) ndash ( - 4 + 2 ) + 5 middot ( - 1 ) =



d) 2 + ( 8 4 ) ndash (- 2 middot 3 ) + 9 (- 3 ) =








A) 2aB) 0C) -2aD) -2

E) a


A) 6B) 5C) 4D) 3

E) 0






Ejercicios PSU


A) 6B) 8C) 12D) 16E) 24


A) a-bB) 0C) b-a

D) ndasha-bE) a+b


A) -11B) -5C) 5D) 7E) -7


A) 3qB) 3q+8C) 3q+7D) 3q+5E) 3q+4



A) $ 8pB) $ 10pC) $ 12pD) $ 16pE) $ 14p





B) 7C) 8D) 9E) 16








A) 82B) 66C) 60D) 68E) 22

x 4 204 9

8 1324 16 55





A) 41x - 2B) 61x + 25

C) 41x - 109D) 41x + 109E) 41x - 21







I) 20II) 36III) 52







D) 3E) 4


A) 12B) 13C) 17D) 20

E) 25





E) a b lt0





A) 7

B) 5C) 4D) 3E) 1





II) divisible por 6











A) 2 y 0B) 3 y 9C) 5 y 3D) 4 y 5E) 3 y 3





D) -12E) -11






A) n + 3

B) n + 4

C) 2n + 2

D) 2n + 4

E) n + 2


I 15

II 21

III 35

A) Solo I y II

B) Solo I y III

C) Solo II y III

D) I II y III

E) Ninguno de ellos

27- Si A = 23

32

∙5 B = 2 33

∙52

y C = 22

33





A) Soacutelo II

B) Soacutelo III


D)

I II y III

E) Ninguna de ellas





A) par

B) impar

C) primo

D) compuesto

E) par y compuesto



A) 17

B) 16

C) 15

D)

13




A) 15

B) 30

C) 45

D) 60

E)

75


A) ndash 14

B) ndash 4

C) ndash 2

D) 2

E) 12






yb a b a

A)

a b b a

b a a b

B)

a b a b

b a b a

C)

a b b a

b a a b

D)

b a b a

a b a b

E)

b a a b

a b b a



A) n + 2

B) n + 1

C) n

D) n ndash 1

E) n ndash 2







A)




E) I II y III













A) -4

B) 0C) 4D) 6E) 10


respectivamente son

A) 2n - 3 2n + 1B) 2n - 1 2n + 1

C) 2n - 1 2n + 2D) 2n 2n + 1E) 2n 2n + 2


A) 9B) 17C) 19





















I 2II 3III 4IV 9





A) 0B) 1C) 2a+bD) 2a+cE) 2b+c





A) 84B) 72C) 32

D) 20E) 9


A) -14B) -15C) -16D) -18E) -20











1 E 21 D 41 A2 A 22 C 42 A3 D 23 A 43 C


14 C 34 E15 A 35 A16 D 36 B17 E 37 B18 B 38 C19 B 39 E20 A 40 D




OPERATORIA EN Z

ADICIOacuteN






Ejemplo 4 + (-4) = (-4) + 4 = 0


MULTIPLICACIOacuteN







VALOR ABSOLUTO


DEFINICIOacuteN n

0

0

nsin

nsin




OBSERVACIONES

1) 0 le r lt d










ii


ACTIVIDAD 2


a) 16 ( - 2 ) ndash ( - 4 + 2 ) + 5 middot ( - 1 ) =



d) 2 + ( 8 4 ) ndash (- 2 middot 3 ) + 9 (- 3 ) =








A) 2aB) 0C) -2aD) -2

E) a


A) 6B) 5C) 4D) 3

E) 0






Ejercicios PSU


A) 6B) 8C) 12D) 16E) 24


A) a-bB) 0C) b-a

D) ndasha-bE) a+b


A) -11B) -5C) 5D) 7E) -7


A) 3qB) 3q+8C) 3q+7D) 3q+5E) 3q+4



A) $ 8pB) $ 10pC) $ 12pD) $ 16pE) $ 14p





B) 7C) 8D) 9E) 16








A) 82B) 66C) 60D) 68E) 22

x 4 204 9

8 1324 16 55





A) 41x - 2B) 61x + 25

C) 41x - 109D) 41x + 109E) 41x - 21







I) 20II) 36III) 52







D) 3E) 4


A) 12B) 13C) 17D) 20

E) 25





E) a b lt0





A) 7

B) 5C) 4D) 3E) 1





II) divisible por 6











A) 2 y 0B) 3 y 9C) 5 y 3D) 4 y 5E) 3 y 3





D) -12E) -11






A) n + 3

B) n + 4

C) 2n + 2

D) 2n + 4

E) n + 2


I 15

II 21

III 35

A) Solo I y II

B) Solo I y III

C) Solo II y III

D) I II y III

E) Ninguno de ellos

27- Si A = 23

32

∙5 B = 2 33

∙52

y C = 22

33





A) Soacutelo II

B) Soacutelo III


D)

I II y III

E) Ninguna de ellas





A) par

B) impar

C) primo

D) compuesto

E) par y compuesto



A) 17

B) 16

C) 15

D)

13




A) 15

B) 30

C) 45

D) 60

E)

75


A) ndash 14

B) ndash 4

C) ndash 2

D) 2

E) 12






yb a b a

A)

a b b a

b a a b

B)

a b a b

b a b a

C)

a b b a

b a a b

D)

b a b a

a b a b

E)

b a a b

a b b a



A) n + 2

B) n + 1

C) n

D) n ndash 1

E) n ndash 2







A)




E) I II y III













A) -4

B) 0C) 4D) 6E) 10


respectivamente son

A) 2n - 3 2n + 1B) 2n - 1 2n + 1

C) 2n - 1 2n + 2D) 2n 2n + 1E) 2n 2n + 2


A) 9B) 17C) 19





















I 2II 3III 4IV 9





A) 0B) 1C) 2a+bD) 2a+cE) 2b+c





A) 84B) 72C) 32

D) 20E) 9


A) -14B) -15C) -16D) -18E) -20











1 E 21 D 41 A2 A 22 C 42 A3 D 23 A 43 C


14 C 34 E15 A 35 A16 D 36 B17 E 37 B18 B 38 C19 B 39 E20 A 40 D




VALOR ABSOLUTO


DEFINICIOacuteN n

0

0

nsin

nsin




OBSERVACIONES

1) 0 le r lt d










ii


ACTIVIDAD 2


a) 16 ( - 2 ) ndash ( - 4 + 2 ) + 5 middot ( - 1 ) =



d) 2 + ( 8 4 ) ndash (- 2 middot 3 ) + 9 (- 3 ) =








A) 2aB) 0C) -2aD) -2

E) a


A) 6B) 5C) 4D) 3

E) 0






Ejercicios PSU


A) 6B) 8C) 12D) 16E) 24


A) a-bB) 0C) b-a

D) ndasha-bE) a+b


A) -11B) -5C) 5D) 7E) -7


A) 3qB) 3q+8C) 3q+7D) 3q+5E) 3q+4



A) $ 8pB) $ 10pC) $ 12pD) $ 16pE) $ 14p





B) 7C) 8D) 9E) 16








A) 82B) 66C) 60D) 68E) 22

x 4 204 9

8 1324 16 55





A) 41x - 2B) 61x + 25

C) 41x - 109D) 41x + 109E) 41x - 21







I) 20II) 36III) 52







D) 3E) 4


A) 12B) 13C) 17D) 20

E) 25





E) a b lt0





A) 7

B) 5C) 4D) 3E) 1





II) divisible por 6











A) 2 y 0B) 3 y 9C) 5 y 3D) 4 y 5E) 3 y 3





D) -12E) -11






A) n + 3

B) n + 4

C) 2n + 2

D) 2n + 4

E) n + 2


I 15

II 21

III 35

A) Solo I y II

B) Solo I y III

C) Solo II y III

D) I II y III

E) Ninguno de ellos

27- Si A = 23

32

∙5 B = 2 33

∙52

y C = 22

33





A) Soacutelo II

B) Soacutelo III


D)

I II y III

E) Ninguna de ellas





A) par

B) impar

C) primo

D) compuesto

E) par y compuesto



A) 17

B) 16

C) 15

D)

13




A) 15

B) 30

C) 45

D) 60

E)

75


A) ndash 14

B) ndash 4

C) ndash 2

D) 2

E) 12






yb a b a

A)

a b b a

b a a b

B)

a b a b

b a b a

C)

a b b a

b a a b

D)

b a b a

a b a b

E)

b a a b

a b b a



A) n + 2

B) n + 1

C) n

D) n ndash 1

E) n ndash 2







A)




E) I II y III













A) -4

B) 0C) 4D) 6E) 10


respectivamente son

A) 2n - 3 2n + 1B) 2n - 1 2n + 1

C) 2n - 1 2n + 2D) 2n 2n + 1E) 2n 2n + 2


A) 9B) 17C) 19





















I 2II 3III 4IV 9





A) 0B) 1C) 2a+bD) 2a+cE) 2b+c





A) 84B) 72C) 32

D) 20E) 9


A) -14B) -15C) -16D) -18E) -20











1 E 21 D 41 A2 A 22 C 42 A3 D 23 A 43 C


14 C 34 E15 A 35 A16 D 36 B17 E 37 B18 B 38 C19 B 39 E20 A 40 D







ii


ACTIVIDAD 2


a) 16 ( - 2 ) ndash ( - 4 + 2 ) + 5 middot ( - 1 ) =



d) 2 + ( 8 4 ) ndash (- 2 middot 3 ) + 9 (- 3 ) =








A) 2aB) 0C) -2aD) -2

E) a


A) 6B) 5C) 4D) 3

E) 0






Ejercicios PSU


A) 6B) 8C) 12D) 16E) 24


A) a-bB) 0C) b-a

D) ndasha-bE) a+b


A) -11B) -5C) 5D) 7E) -7


A) 3qB) 3q+8C) 3q+7D) 3q+5E) 3q+4



A) $ 8pB) $ 10pC) $ 12pD) $ 16pE) $ 14p





B) 7C) 8D) 9E) 16








A) 82B) 66C) 60D) 68E) 22

x 4 204 9

8 1324 16 55





A) 41x - 2B) 61x + 25

C) 41x - 109D) 41x + 109E) 41x - 21







I) 20II) 36III) 52







D) 3E) 4


A) 12B) 13C) 17D) 20

E) 25





E) a b lt0





A) 7

B) 5C) 4D) 3E) 1





II) divisible por 6











A) 2 y 0B) 3 y 9C) 5 y 3D) 4 y 5E) 3 y 3





D) -12E) -11






A) n + 3

B) n + 4

C) 2n + 2

D) 2n + 4

E) n + 2


I 15

II 21

III 35

A) Solo I y II

B) Solo I y III

C) Solo II y III

D) I II y III

E) Ninguno de ellos

27- Si A = 23

32

∙5 B = 2 33

∙52

y C = 22

33





A) Soacutelo II

B) Soacutelo III


D)

I II y III

E) Ninguna de ellas





A) par

B) impar

C) primo

D) compuesto

E) par y compuesto



A) 17

B) 16

C) 15

D)

13




A) 15

B) 30

C) 45

D) 60

E)

75


A) ndash 14

B) ndash 4

C) ndash 2

D) 2

E) 12






yb a b a

A)

a b b a

b a a b

B)

a b a b

b a b a

C)

a b b a

b a a b

D)

b a b a

a b a b

E)

b a a b

a b b a



A) n + 2

B) n + 1

C) n

D) n ndash 1

E) n ndash 2







A)




E) I II y III













A) -4

B) 0C) 4D) 6E) 10


respectivamente son

A) 2n - 3 2n + 1B) 2n - 1 2n + 1

C) 2n - 1 2n + 2D) 2n 2n + 1E) 2n 2n + 2


A) 9B) 17C) 19





















I 2II 3III 4IV 9





A) 0B) 1C) 2a+bD) 2a+cE) 2b+c





A) 84B) 72C) 32

D) 20E) 9


A) -14B) -15C) -16D) -18E) -20











1 E 21 D 41 A2 A 22 C 42 A3 D 23 A 43 C


14 C 34 E15 A 35 A16 D 36 B17 E 37 B18 B 38 C19 B 39 E20 A 40 D





A) 2aB) 0C) -2aD) -2

E) a


A) 6B) 5C) 4D) 3

E) 0






Ejercicios PSU


A) 6B) 8C) 12D) 16E) 24


A) a-bB) 0C) b-a

D) ndasha-bE) a+b


A) -11B) -5C) 5D) 7E) -7


A) 3qB) 3q+8C) 3q+7D) 3q+5E) 3q+4



A) $ 8pB) $ 10pC) $ 12pD) $ 16pE) $ 14p





B) 7C) 8D) 9E) 16








A) 82B) 66C) 60D) 68E) 22

x 4 204 9

8 1324 16 55





A) 41x - 2B) 61x + 25

C) 41x - 109D) 41x + 109E) 41x - 21







I) 20II) 36III) 52







D) 3E) 4


A) 12B) 13C) 17D) 20

E) 25





E) a b lt0





A) 7

B) 5C) 4D) 3E) 1





II) divisible por 6











A) 2 y 0B) 3 y 9C) 5 y 3D) 4 y 5E) 3 y 3





D) -12E) -11






A) n + 3

B) n + 4

C) 2n + 2

D) 2n + 4

E) n + 2


I 15

II 21

III 35

A) Solo I y II

B) Solo I y III

C) Solo II y III

D) I II y III

E) Ninguno de ellos

27- Si A = 23

32

∙5 B = 2 33

∙52

y C = 22

33





A) Soacutelo II

B) Soacutelo III


D)

I II y III

E) Ninguna de ellas





A) par

B) impar

C) primo

D) compuesto

E) par y compuesto



A) 17

B) 16

C) 15

D)

13




A) 15

B) 30

C) 45

D) 60

E)

75


A) ndash 14

B) ndash 4

C) ndash 2

D) 2

E) 12






yb a b a

A)

a b b a

b a a b

B)

a b a b

b a b a

C)

a b b a

b a a b

D)

b a b a

a b a b

E)

b a a b

a b b a



A) n + 2

B) n + 1

C) n

D) n ndash 1

E) n ndash 2







A)




E) I II y III













A) -4

B) 0C) 4D) 6E) 10


respectivamente son

A) 2n - 3 2n + 1B) 2n - 1 2n + 1

C) 2n - 1 2n + 2D) 2n 2n + 1E) 2n 2n + 2


A) 9B) 17C) 19





















I 2II 3III 4IV 9





A) 0B) 1C) 2a+bD) 2a+cE) 2b+c





A) 84B) 72C) 32

D) 20E) 9


A) -14B) -15C) -16D) -18E) -20











1 E 21 D 41 A2 A 22 C 42 A3 D 23 A 43 C


14 C 34 E15 A 35 A16 D 36 B17 E 37 B18 B 38 C19 B 39 E20 A 40 D




Ejercicios PSU


A) 6B) 8C) 12D) 16E) 24


A) a-bB) 0C) b-a

D) ndasha-bE) a+b


A) -11B) -5C) 5D) 7E) -7


A) 3qB) 3q+8C) 3q+7D) 3q+5E) 3q+4



A) $ 8pB) $ 10pC) $ 12pD) $ 16pE) $ 14p





B) 7C) 8D) 9E) 16








A) 82B) 66C) 60D) 68E) 22

x 4 204 9

8 1324 16 55





A) 41x - 2B) 61x + 25

C) 41x - 109D) 41x + 109E) 41x - 21







I) 20II) 36III) 52







D) 3E) 4


A) 12B) 13C) 17D) 20

E) 25





E) a b lt0





A) 7

B) 5C) 4D) 3E) 1





II) divisible por 6











A) 2 y 0B) 3 y 9C) 5 y 3D) 4 y 5E) 3 y 3





D) -12E) -11






A) n + 3

B) n + 4

C) 2n + 2

D) 2n + 4

E) n + 2


I 15

II 21

III 35

A) Solo I y II

B) Solo I y III

C) Solo II y III

D) I II y III

E) Ninguno de ellos

27- Si A = 23

32

∙5 B = 2 33

∙52

y C = 22

33





A) Soacutelo II

B) Soacutelo III


D)

I II y III

E) Ninguna de ellas





A) par

B) impar

C) primo

D) compuesto

E) par y compuesto



A) 17

B) 16

C) 15

D)

13




A) 15

B) 30

C) 45

D) 60

E)

75


A) ndash 14

B) ndash 4

C) ndash 2

D) 2

E) 12






yb a b a

A)

a b b a

b a a b

B)

a b a b

b a b a

C)

a b b a

b a a b

D)

b a b a

a b a b

E)

b a a b

a b b a



A) n + 2

B) n + 1

C) n

D) n ndash 1

E) n ndash 2







A)




E) I II y III













A) -4

B) 0C) 4D) 6E) 10


respectivamente son

A) 2n - 3 2n + 1B) 2n - 1 2n + 1

C) 2n - 1 2n + 2D) 2n 2n + 1E) 2n 2n + 2


A) 9B) 17C) 19





















I 2II 3III 4IV 9





A) 0B) 1C) 2a+bD) 2a+cE) 2b+c





A) 84B) 72C) 32

D) 20E) 9


A) -14B) -15C) -16D) -18E) -20











1 E 21 D 41 A2 A 22 C 42 A3 D 23 A 43 C


14 C 34 E15 A 35 A16 D 36 B17 E 37 B18 B 38 C19 B 39 E20 A 40 D





B) 7C) 8D) 9E) 16








A) 82B) 66C) 60D) 68E) 22

x 4 204 9

8 1324 16 55





A) 41x - 2B) 61x + 25

C) 41x - 109D) 41x + 109E) 41x - 21







I) 20II) 36III) 52







D) 3E) 4


A) 12B) 13C) 17D) 20

E) 25





E) a b lt0





A) 7

B) 5C) 4D) 3E) 1





II) divisible por 6











A) 2 y 0B) 3 y 9C) 5 y 3D) 4 y 5E) 3 y 3





D) -12E) -11






A) n + 3

B) n + 4

C) 2n + 2

D) 2n + 4

E) n + 2


I 15

II 21

III 35

A) Solo I y II

B) Solo I y III

C) Solo II y III

D) I II y III

E) Ninguno de ellos

27- Si A = 23

32

∙5 B = 2 33

∙52

y C = 22

33





A) Soacutelo II

B) Soacutelo III


D)

I II y III

E) Ninguna de ellas





A) par

B) impar

C) primo

D) compuesto

E) par y compuesto



A) 17

B) 16

C) 15

D)

13




A) 15

B) 30

C) 45

D) 60

E)

75


A) ndash 14

B) ndash 4

C) ndash 2

D) 2

E) 12






yb a b a

A)

a b b a

b a a b

B)

a b a b

b a b a

C)

a b b a

b a a b

D)

b a b a

a b a b

E)

b a a b

a b b a



A) n + 2

B) n + 1

C) n

D) n ndash 1

E) n ndash 2







A)




E) I II y III













A) -4

B) 0C) 4D) 6E) 10


respectivamente son

A) 2n - 3 2n + 1B) 2n - 1 2n + 1

C) 2n - 1 2n + 2D) 2n 2n + 1E) 2n 2n + 2


A) 9B) 17C) 19





















I 2II 3III 4IV 9





A) 0B) 1C) 2a+bD) 2a+cE) 2b+c





A) 84B) 72C) 32

D) 20E) 9


A) -14B) -15C) -16D) -18E) -20











1 E 21 D 41 A2 A 22 C 42 A3 D 23 A 43 C


14 C 34 E15 A 35 A16 D 36 B17 E 37 B18 B 38 C19 B 39 E20 A 40 D





A) 41x - 2B) 61x + 25

C) 41x - 109D) 41x + 109E) 41x - 21







I) 20II) 36III) 52







D) 3E) 4


A) 12B) 13C) 17D) 20

E) 25





E) a b lt0





A) 7

B) 5C) 4D) 3E) 1





II) divisible por 6











A) 2 y 0B) 3 y 9C) 5 y 3D) 4 y 5E) 3 y 3





D) -12E) -11






A) n + 3

B) n + 4

C) 2n + 2

D) 2n + 4

E) n + 2


I 15

II 21

III 35

A) Solo I y II

B) Solo I y III

C) Solo II y III

D) I II y III

E) Ninguno de ellos

27- Si A = 23

32

∙5 B = 2 33

∙52

y C = 22

33





A) Soacutelo II

B) Soacutelo III


D)

I II y III

E) Ninguna de ellas





A) par

B) impar

C) primo

D) compuesto

E) par y compuesto



A) 17

B) 16

C) 15

D)

13




A) 15

B) 30

C) 45

D) 60

E)

75


A) ndash 14

B) ndash 4

C) ndash 2

D) 2

E) 12






yb a b a

A)

a b b a

b a a b

B)

a b a b

b a b a

C)

a b b a

b a a b

D)

b a b a

a b a b

E)

b a a b

a b b a



A) n + 2

B) n + 1

C) n

D) n ndash 1

E) n ndash 2







A)




E) I II y III













A) -4

B) 0C) 4D) 6E) 10


respectivamente son

A) 2n - 3 2n + 1B) 2n - 1 2n + 1

C) 2n - 1 2n + 2D) 2n 2n + 1E) 2n 2n + 2


A) 9B) 17C) 19





















I 2II 3III 4IV 9





A) 0B) 1C) 2a+bD) 2a+cE) 2b+c





A) 84B) 72C) 32

D) 20E) 9


A) -14B) -15C) -16D) -18E) -20











1 E 21 D 41 A2 A 22 C 42 A3 D 23 A 43 C


14 C 34 E15 A 35 A16 D 36 B17 E 37 B18 B 38 C19 B 39 E20 A 40 D






D) 3E) 4


A) 12B) 13C) 17D) 20

E) 25





E) a b lt0





A) 7

B) 5C) 4D) 3E) 1





II) divisible por 6











A) 2 y 0B) 3 y 9C) 5 y 3D) 4 y 5E) 3 y 3





D) -12E) -11






A) n + 3

B) n + 4

C) 2n + 2

D) 2n + 4

E) n + 2


I 15

II 21

III 35

A) Solo I y II

B) Solo I y III

C) Solo II y III

D) I II y III

E) Ninguno de ellos

27- Si A = 23

32

∙5 B = 2 33

∙52

y C = 22

33





A) Soacutelo II

B) Soacutelo III


D)

I II y III

E) Ninguna de ellas





A) par

B) impar

C) primo

D) compuesto

E) par y compuesto



A) 17

B) 16

C) 15

D)

13




A) 15

B) 30

C) 45

D) 60

E)

75


A) ndash 14

B) ndash 4

C) ndash 2

D) 2

E) 12






yb a b a

A)

a b b a

b a a b

B)

a b a b

b a b a

C)

a b b a

b a a b

D)

b a b a

a b a b

E)

b a a b

a b b a



A) n + 2

B) n + 1

C) n

D) n ndash 1

E) n ndash 2







A)




E) I II y III













A) -4

B) 0C) 4D) 6E) 10


respectivamente son

A) 2n - 3 2n + 1B) 2n - 1 2n + 1

C) 2n - 1 2n + 2D) 2n 2n + 1E) 2n 2n + 2


A) 9B) 17C) 19





















I 2II 3III 4IV 9





A) 0B) 1C) 2a+bD) 2a+cE) 2b+c





A) 84B) 72C) 32

D) 20E) 9


A) -14B) -15C) -16D) -18E) -20











1 E 21 D 41 A2 A 22 C 42 A3 D 23 A 43 C


14 C 34 E15 A 35 A16 D 36 B17 E 37 B18 B 38 C19 B 39 E20 A 40 D





A) 7

B) 5C) 4D) 3E) 1





II) divisible por 6











A) 2 y 0B) 3 y 9C) 5 y 3D) 4 y 5E) 3 y 3





D) -12E) -11






A) n + 3

B) n + 4

C) 2n + 2

D) 2n + 4

E) n + 2


I 15

II 21

III 35

A) Solo I y II

B) Solo I y III

C) Solo II y III

D) I II y III

E) Ninguno de ellos

27- Si A = 23

32

∙5 B = 2 33

∙52

y C = 22

33





A) Soacutelo II

B) Soacutelo III


D)

I II y III

E) Ninguna de ellas





A) par

B) impar

C) primo

D) compuesto

E) par y compuesto



A) 17

B) 16

C) 15

D)

13




A) 15

B) 30

C) 45

D) 60

E)

75


A) ndash 14

B) ndash 4

C) ndash 2

D) 2

E) 12






yb a b a

A)

a b b a

b a a b

B)

a b a b

b a b a

C)

a b b a

b a a b

D)

b a b a

a b a b

E)

b a a b

a b b a



A) n + 2

B) n + 1

C) n

D) n ndash 1

E) n ndash 2







A)




E) I II y III













A) -4

B) 0C) 4D) 6E) 10


respectivamente son

A) 2n - 3 2n + 1B) 2n - 1 2n + 1

C) 2n - 1 2n + 2D) 2n 2n + 1E) 2n 2n + 2


A) 9B) 17C) 19





















I 2II 3III 4IV 9





A) 0B) 1C) 2a+bD) 2a+cE) 2b+c





A) 84B) 72C) 32

D) 20E) 9


A) -14B) -15C) -16D) -18E) -20











1 E 21 D 41 A2 A 22 C 42 A3 D 23 A 43 C


14 C 34 E15 A 35 A16 D 36 B17 E 37 B18 B 38 C19 B 39 E20 A 40 D









A) 2 y 0B) 3 y 9C) 5 y 3D) 4 y 5E) 3 y 3





D) -12E) -11






A) n + 3

B) n + 4

C) 2n + 2

D) 2n + 4

E) n + 2


I 15

II 21

III 35

A) Solo I y II

B) Solo I y III

C) Solo II y III

D) I II y III

E) Ninguno de ellos

27- Si A = 23

32

∙5 B = 2 33

∙52

y C = 22

33





A) Soacutelo II

B) Soacutelo III


D)

I II y III

E) Ninguna de ellas





A) par

B) impar

C) primo

D) compuesto

E) par y compuesto



A) 17

B) 16

C) 15

D)

13




A) 15

B) 30

C) 45

D) 60

E)

75


A) ndash 14

B) ndash 4

C) ndash 2

D) 2

E) 12






yb a b a

A)

a b b a

b a a b

B)

a b a b

b a b a

C)

a b b a

b a a b

D)

b a b a

a b a b

E)

b a a b

a b b a



A) n + 2

B) n + 1

C) n

D) n ndash 1

E) n ndash 2







A)




E) I II y III













A) -4

B) 0C) 4D) 6E) 10


respectivamente son

A) 2n - 3 2n + 1B) 2n - 1 2n + 1

C) 2n - 1 2n + 2D) 2n 2n + 1E) 2n 2n + 2


A) 9B) 17C) 19





















I 2II 3III 4IV 9





A) 0B) 1C) 2a+bD) 2a+cE) 2b+c





A) 84B) 72C) 32

D) 20E) 9


A) -14B) -15C) -16D) -18E) -20











1 E 21 D 41 A2 A 22 C 42 A3 D 23 A 43 C


14 C 34 E15 A 35 A16 D 36 B17 E 37 B18 B 38 C19 B 39 E20 A 40 D






A) n + 3

B) n + 4

C) 2n + 2

D) 2n + 4

E) n + 2


I 15

II 21

III 35

A) Solo I y II

B) Solo I y III

C) Solo II y III

D) I II y III

E) Ninguno de ellos

27- Si A = 23

32

∙5 B = 2 33

∙52

y C = 22

33





A) Soacutelo II

B) Soacutelo III


D)

I II y III

E) Ninguna de ellas





A) par

B) impar

C) primo

D) compuesto

E) par y compuesto



A) 17

B) 16

C) 15

D)

13




A) 15

B) 30

C) 45

D) 60

E)

75


A) ndash 14

B) ndash 4

C) ndash 2

D) 2

E) 12






yb a b a

A)

a b b a

b a a b

B)

a b a b

b a b a

C)

a b b a

b a a b

D)

b a b a

a b a b

E)

b a a b

a b b a



A) n + 2

B) n + 1

C) n

D) n ndash 1

E) n ndash 2







A)




E) I II y III













A) -4

B) 0C) 4D) 6E) 10


respectivamente son

A) 2n - 3 2n + 1B) 2n - 1 2n + 1

C) 2n - 1 2n + 2D) 2n 2n + 1E) 2n 2n + 2


A) 9B) 17C) 19





















I 2II 3III 4IV 9





A) 0B) 1C) 2a+bD) 2a+cE) 2b+c





A) 84B) 72C) 32

D) 20E) 9


A) -14B) -15C) -16D) -18E) -20











1 E 21 D 41 A2 A 22 C 42 A3 D 23 A 43 C


14 C 34 E15 A 35 A16 D 36 B17 E 37 B18 B 38 C19 B 39 E20 A 40 D





A) par

B) impar

C) primo

D) compuesto

E) par y compuesto



A) 17

B) 16

C) 15

D)

13




A) 15

B) 30

C) 45

D) 60

E)

75


A) ndash 14

B) ndash 4

C) ndash 2

D) 2

E) 12






yb a b a

A)

a b b a

b a a b

B)

a b a b

b a b a

C)

a b b a

b a a b

D)

b a b a

a b a b

E)

b a a b

a b b a



A) n + 2

B) n + 1

C) n

D) n ndash 1

E) n ndash 2







A)




E) I II y III













A) -4

B) 0C) 4D) 6E) 10


respectivamente son

A) 2n - 3 2n + 1B) 2n - 1 2n + 1

C) 2n - 1 2n + 2D) 2n 2n + 1E) 2n 2n + 2


A) 9B) 17C) 19





















I 2II 3III 4IV 9





A) 0B) 1C) 2a+bD) 2a+cE) 2b+c





A) 84B) 72C) 32

D) 20E) 9


A) -14B) -15C) -16D) -18E) -20











1 E 21 D 41 A2 A 22 C 42 A3 D 23 A 43 C


14 C 34 E15 A 35 A16 D 36 B17 E 37 B18 B 38 C19 B 39 E20 A 40 D






yb a b a

A)

a b b a

b a a b

B)

a b a b

b a b a

C)

a b b a

b a a b

D)

b a b a

a b a b

E)

b a a b

a b b a



A) n + 2

B) n + 1

C) n

D) n ndash 1

E) n ndash 2







A)




E) I II y III













A) -4

B) 0C) 4D) 6E) 10


respectivamente son

A) 2n - 3 2n + 1B) 2n - 1 2n + 1

C) 2n - 1 2n + 2D) 2n 2n + 1E) 2n 2n + 2


A) 9B) 17C) 19





















I 2II 3III 4IV 9





A) 0B) 1C) 2a+bD) 2a+cE) 2b+c





A) 84B) 72C) 32

D) 20E) 9


A) -14B) -15C) -16D) -18E) -20











1 E 21 D 41 A2 A 22 C 42 A3 D 23 A 43 C


14 C 34 E15 A 35 A16 D 36 B17 E 37 B18 B 38 C19 B 39 E20 A 40 D













A) -4

B) 0C) 4D) 6E) 10


respectivamente son

A) 2n - 3 2n + 1B) 2n - 1 2n + 1

C) 2n - 1 2n + 2D) 2n 2n + 1E) 2n 2n + 2


A) 9B) 17C) 19





















I 2II 3III 4IV 9





A) 0B) 1C) 2a+bD) 2a+cE) 2b+c





A) 84B) 72C) 32

D) 20E) 9


A) -14B) -15C) -16D) -18E) -20











1 E 21 D 41 A2 A 22 C 42 A3 D 23 A 43 C


14 C 34 E15 A 35 A16 D 36 B17 E 37 B18 B 38 C19 B 39 E20 A 40 D




















I 2II 3III 4IV 9





A) 0B) 1C) 2a+bD) 2a+cE) 2b+c





A) 84B) 72C) 32

D) 20E) 9


A) -14B) -15C) -16D) -18E) -20











1 E 21 D 41 A2 A 22 C 42 A3 D 23 A 43 C


14 C 34 E15 A 35 A16 D 36 B17 E 37 B18 B 38 C19 B 39 E20 A 40 D








I 2II 3III 4IV 9





A) 0B) 1C) 2a+bD) 2a+cE) 2b+c





A) 84B) 72C) 32

D) 20E) 9


A) -14B) -15C) -16D) -18E) -20











1 E 21 D 41 A2 A 22 C 42 A3 D 23 A 43 C


14 C 34 E15 A 35 A16 D 36 B17 E 37 B18 B 38 C19 B 39 E20 A 40 D





A) 84B) 72C) 32

D) 20E) 9


A) -14B) -15C) -16D) -18E) -20











1 E 21 D 41 A2 A 22 C 42 A3 D 23 A 43 C


14 C 34 E15 A 35 A16 D 36 B17 E 37 B18 B 38 C19 B 39 E20 A 40 D




1 E 21 D 41 A2 A 22 C 42 A3 D 23 A 43 C


14 C 34 E15 A 35 A16 D 36 B17 E 37 B18 B 38 C19 B 39 E20 A 40 D

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N-1 Numeros Naturales y Enteros