Numere realeNumere reale

MULŢIMEA NUMERELOR REALEMultimea numerelor naturale:Multimea numerelor intregi:

Multimea numerelor irationale:

Multimea numerelor rationale:

N = {0; 1; 2; 3; 4; ….}Z = {…,-3; -2; -1; 0; +1; +2; +3;…}

Numerele irationale I sunt numere care in exprimarea zecimală au partea zecimala infinita si neperiodica.

Exemple de numere irationale:

Fie multimea

N Z Q I R⊆ ⊆ ⊆ ⊆.

2 NR Q Z 0

1

−23−3

14616

−7

0,2−2,74

9,0(223)

0,101001000100001…

3

−1,23232323…2,666666…

Teoremă: ORICĂRUI NUMĂR REAL ÎI CORESPUNDE UN PUNCT DE PE O DREAPTĂ(AXA NUMERELOR)

AXA NUMERELOR

Numerelor reale -3; 2; ;5,3 li se asociază

025‒3 5,32

A B C D

52

punctele geometrice A,B,C,D situate pe axa numerelor.

Cum reprezentăm pe axă numerele iraţionale ?

+∞-∞ π

Pentru a demonstra este suficient să considerăm una din mediile cunoscute, de exemplu media aritmetică:Dacă < 𝑎 𝑏 sunt cele două numere se știe că:

Obs!!! Între două puncte de pe o dreaptă (oricât de apropiate ar fi) există numere REALE!

Aplica ie: Scrie i două numere reale între ț ț

O altă soluție:

5) 3)

6) 3) ⇒ 16

<1690

;1790

<15

iș

𝑎 < < 𝑏

● Georg Cantor (1845-1918) a avut o contribuţie remarcabilă în fundamentarea teoriei mulţimilor. În acelaşi timp el a dat o construcţie a numerelor reale printr-o metodă diferită de cele realizate de predecesorii săi.● Creator al teoriei numerelor reale, poate fi însă considerat matematicianul grec

Eudoxus (408-355 î.Hr.)● Ideile sale inspirate din geometrie au fost preluate de Karl Weierstrass (1815-1897) şi de Richard Dedekind (1831-1916) şi dezvoltate prin metode aritmetice şi analitice moderne.

Creatori al teoriei numerelor reale

Operaţii cu numere reale

a) b)

c) d)