Fellesforelesning - uke 43

Tall og telling

BFØ220Onsdag 24. oktober 2007

Reidar Mosvold

Oversikt

• Barns utvikling av tallforståelse• Antall• Tall og telling• Oppfatning av antall• Illustrasjon av antall

Hva er tall?

• Tall er aritmetikkens grunnbegrep og et tall er en abstrakt matematisk enhet som beskriver en størrelse (no.wikipedia.org/wiki/Tall)

• Et tall er en abstrakt størrelse som representerer en opptelling eller et mål. Et symbol for et tall kalles for et siffer. I vanlig bruk blir sifrene brukt som merkelapper (f.eks. veier, telefonnummer, husnummer), til å indikere orden (nummer i serie) og som koder (ISBN) (en.wikipedia.org/wiki/Number)

• Tall. Aritmetikkens grunnbegrep. (Nevner videre naturlige tall, negative tall, rasjonale tall, irrasjonale tall, reelle tall, imaginære tall, komplekse tall og transcendente tall.) (caplex.no)

Tall er ikke så enkelt...

• Vi teller alder i år, men hvor mye er «et halvt»?• Ole har fire lekebiler mens Petter har seks. Ole

skulle ønske at han hadde flere...• Hvorfor sier vi at vi kjøper to liter is når vi bare

kjøper én is?• Hva er det vi teller når vi teller fem minutter?

Teller vi tiden som kommer, eller den som går?• Hvordan kan «et øyeblikk» av og til være snart og

av og til aldri?• Nina er den første i køen til dissa, mens Jens er

den andre. Så sier plutselig de voksne at nå skal de eldste gå tur og de andre skal leke inne...

Oppsummert fra sist:

• Hovedinndeling av tallbegrepsutviklingen:– kardinaltall (antall, mengde)– ordinaltall (rekkefølge, serie)– tall som identitet

• Antallskonservering

Tall i ulike sammenhenger

En voksen sitter sammen med fire barn rundt et bord og spiser «Tressis» (is med tre farger). Barna er

enige om at de som spiser rosa is er «på lag». Inger Stine (fylte 5 år i forrige måned): «Nå er vi mange

på lag, jeg skal telle!» Hun peker på barna mens hun teller høyt. Alle ungene følger nøye med i tellingen. Hun peker på Anders (5 år om to måneder) so mer den tredje hun teller, og sier «Tre». Han blir sint og reagerer umiddelbart ved å si: «Jeg er fire!» Inger Stine er helt sikker på at hun har telt riktig, så hun bare sukker og begynner tellingen om igjen. Denne gangen begynner hun på seg selv slik at Anders blir

nummer fire...

Diskusjonsoppgave

• Hvilke aspekter ved tallbegrepet er det Anders blander sammen?

• Hva kan du si om tallbegrepene til Inger Stine og Anders?

Barns utvikling av tallforståelse

For at barn skal ha en god talloppfatning må de forstå endel grunnleggende begreper, som:

• antall• ordenstall• måletall• tallremser• tallenes egenskaper• osv.

Intuitiv følelse

• Tall – språk • Regneord – uttrykker noe eksakt• Ulike «regneskjemaer»• Flere «regnespråk»• (Spør besteforeldrene dine hvordan de lærte å

løse ett eller annet regnestykke!)

Møte med antall

• Vilje/drivkraft til å utforske og forstå verden• Kvantitet – griper noe først med den ene hånden,

så med den andre. • Når de vil ha en tredje ting strekker ikke hendene

til lenger...• De må bestemme seg for hva de skal slippe

De naturlige tallene

• Fram til 5 år – lære tallene 1-10• Forskjell på grupper av to eller tre gjenstander• Synes å være medfødt – «subtizing»• En, to, tre – mange

Naturlige tallPositive, hele tall. Dvs. 0, 1, 2, 3, ...

Subtizing

• Medfødt evne til å oppfatte antall opp til tre • Allerede i første leveuke – skille antall opp til 3-4 • 6 mnd. - «aritmetiske forventninger» av addisjon

og subtraksjon

Rosiner

• I en barnehage fikk barn i to-treårsalderen ta tre rosiner hver fra et fat

• Neste dag ble de bedt om å tegne hvor mange rosiner de fikk dagen før

• De ble også bedt om å tegne én, to og fire rosiner

Én rosin

To rosiner

Tre rosiner

Fire rosiner

Høyde – lengde

• Barn 3 mnd. - avgjøre hvilken av to gjenstander som er høyest

• Barn på drøyt 1 år oppfatter lengde når de bygger med klosser (uten å måle klossene)

Petter (1 år og 4 mnd) legger duploklosser i rekke med annen hver klosse noe lengre enn den følgende litt kortere klossen. Etter en stund er det slutt på de lengste klossene, og da synes det på ham at han er misfornøyd. Han kan ikke fortsette byggingen sin før han har fått tak i lange klosser slik at byggingen kan fortsette slik han har tenkt seg, med en lengre og en kortere klosse, en lengre og en kortere osv.

Vise på fingrene

• 2-4 år – vanlig å vise på fingrene på spørsmålet: «Hvor mange er dette?»– Hvor mange år er du?– Hvor mange karameller vil du ha?– Hvor mange biler har du?

• Noen viser fram fingrene sine• Andre viser fingre og forteller hvor mange det er• Kan oppfattes som et språk (barnas førsteordens

språk)

Angi alder

Kristian forteller meg at han har hatt bursdag. Jeg spør Kristian om hvor mange år han er. Han viser

meg tre fingre. «Å, du er stor! Vet du hvor mange år det er?» Kristian ser på meg og på fingrene. Han

smiler stort når han sier: «Så mange!»

Kristian kan ikke tallordet «tre», men han kan vise på fingrene, og han har en klar oppfatning av hvor mange år han er. En finger for hvert år.

Ginsburgs modell

• Skiller mellom ulike former for kunnskap (kalt «systemer»)

• System-1 kunnskap– Universell– Eks. metoder for å «dele rettferdig»

• System-2 kunnskap– Uformell og kulturell kunnskap– Formes utenfor skolen– Eks. tallordene våre

• System-3 kunnskap– Formell og kulturell kunnskap– Overføres mellom generasjoner gjennom skolen

Rettferdig fordeling av 10 kaker

• De tre barna får tre kaker hver, den tiende blir ikke talt med (kan gi den til noen andre)

• De deler kakene i tre, så hver får ti små kaker hver

• De tre barna får tre og en fjerdedels kake hver (de sier at de deler den siste kaken i tre, men deler den i fire og kaster siste del)

• De tre barna får tre og en tredjedels kake hver (dette illustrerer de i tegningen, men de sier at alle får tre og en halv kake hver)

Deling

• Samme strategiene går igjen• Sosialt problem – det skal deles «rettferdig»• Viktig at barn får mange muligheter til å dele!

Å bruke tallremsen

• De yngste barna synes det er kjekt å telle ting!• De sorterer og ordner ting (f.eks. perler)• De bestemmer seg for hvilke egenskaper de skal

sortere etter– farge– biler, veiskilt osv.– dyr etter slag

• Ofte asynkron telling• Oppfatter at:

– 1-3 er små tall– 4-6 er mellomstore tall– 7 og oppover er store tall

Telling

• Studie av barn 3-6 år• Bedt om å telle til 40• 3-4 åringer

– 40% teller 20-29– 30% teller 1-10

• 5-6 åringer– 55% teller til 40– 20% teller til 29– Alle teller lengre enn til 10

• 6 åringer– 57% kan hele ramsen opp til 100

• Lignende resultater fra flere studier

Tallordenes betydning

• Fuson og Hall beskriver tallordenes mening i følgende kategorier:– Tallremsen (tallordene blir en «meningsløs» remse,

som andre rim og regler)– Tallordene i tallremsen (hver gjenstand får et

tallord, en – to – tre osv.)– Tallord som antall (oppramsingen svarer på

spørsmålet om hvor mange)– Tallord som ordenstall (ordenstallene ofte

vanskeligere enn grunntallene)– Tallord som måltall (først ikke-standardiserte mål,

som en bøtte vann osv.)– Tallord som identifikasjon (tallordene har ikke

numerisk innhold, bare betegnelse eller merkelapp. Som husnummer, telefonnummer, osv.)

Eks.

Førskolelæreren og syv barnehagebarn på fem år er på vei hjem fra biblioteket. Bussen kommer, og det er buss nummer åtte som går forbi barnehagen. Førskolelæreren ber barna gjøre seg klar til å gå på bussen. Gustav protesterer når bussen kjører inn på holdeplassen. «Nei, vi kan ikke kjøre med den!» sier han og ser ulykkelig ut. «Jo,» roper de andre barna og trenger seg på. Gustav ser bare ulykkelig ut, og når førskolelæreren snakker med ham på reisen, kommer det fram at han trodde at når det står 8 på bussen, får bare åtte personer lov til å kjøre av gangen. Han så ikke hvor mange passasjerer det var på bussen da den kom inn på holdeplassen, men han oppfattet at det var mange og det var derfor en umulig tanke for ham at han og de andre barna skulle få plass.

Oppfatning av antall

• Gelman og Gallistels prinsipper for forståelse for ideen bak oppregning av tallene:– Prinsippet om en-til-en overensstemmelse

Sammenligne antall i mengder ved å koble to og to– Prinsippet om stabil orden

Ved oppramsing bruker barna konsekvent samme sekvens av tallord

– KardinalprinsippetSist nevnte tallord angir antall

– AbstraksjonsprinsippetAlle gjenstander i en mengde kan telles, uavhengig av hva slags gjenstand det er

– Den irrelevante ordens prinsippTellingen kan starte hvor som helst i mengden

Eks. Kort med stjerner på

• En-til-en overensstemmelse – barna teller stjernene ved å danne par mellom fingrene og stjernene (parkobling)

• Den stabile ordens prinsipp – barna bruker telleremsen riktig ved telling av stjernene

• Kardinalprinsippet – barna forstår at det siste tallordet i tellingen forteller antallet stjerner

• Abstraksjonsprinsippet – barna forstår at stjernene er avgrenset og lar seg telle

• Den irrelevante ordens prinsipp – barna begynner å telle stjernene fra ulike steder på kortet. Når de har dette prinsippet klart for seg, teller de aldri en stjerne mer enn én gang

Illustrasjon av antall

• Barns ulike måter å angi antall gjenstander – tre baller, to baller og fem hus (Sinclair m.fl.):– Global fremstilling av antall (tegner streker som

ikke stemmer overens med antall baller eller hus)– Fremstilling av gjenstandens art (tegner

gjenstanden – ball eller hus – eller skriver en bokstav/ordet)

– En-til-en overensstemmelse uten tallsymboler (tegner et grafisk symbol for hver gjenstand)

– En-til-en overensstemmelse med tallsymboler (skriver tall for hver gjenstand)

– Skriver kardinaltallene (de kan telle, «se» antallet, og skrive ned sist brukte tallord som antall)

– Skriver både kardinaltallet og gjenstandens navn (de har også tilegnet seg skriftspråket)

Typisk eksempel på samtale

Hughes: Hvor mye er to pluss én? (Lang pause, ingen respons) Hvor mange er to klosser pluss én klosse da?

Amanda: TreHughes: Jaha, så hvor mye er to pluss en?Amanda: Fire (tvilende)Hughes: Hvor mye er en kloss og en kloss til?Amanda: To klosserHughes: Så hvor mye er en pluss en?Amanda: En kanskje?

Antallsforståelse

At barn kan løse konkrete problem innebærer ikke nødvendigvis at de kan løse tilsvarende problemer i

en mer formell matematisk kontekst!

Tall og relasjoner

• Relasjoner innenfor tall– Tallet 5 er et heltall– Det kan deles opp og grupperes som 4 og 1 eller 3

og 2– Tallet 12 kan grupperes i ett titall og to entall

• Relasjoner mellom tall– Tallet 5 er én mer enn 4 og én mindre enn 6 osv.– Dette er grunnleggende for forståelse av

subtraksjon

• Relasjoner mellom tall og omverdenen– Hvor i omgivelsene våre møter vi tallet 5?– Vi har fem fingre på hendene, det er fem hverdager

i uken, lønnebladet har fem fliker, osv.

Info

• De som skal ha matematikk i praksis:– Oppgaven blir lagt ut på Praksisnettverket– Oppgaven skal leveres til faglærer på e-post

• «Sanghefte» - Jeg reinskriver og legger ut på wikien i løpet av de nærmeste dagene

• Uke 45, ekskursjon matematikk/naturfag. Ingen vanlig undervisning

Ha en fortsatt fin dag!!!