Zápočet z fyzikálního semináře 102XFS - cvut.czZápočet z fyzikálního semináře...

Zápočet z fyzikálního semináře 102XFS

• Kalkulačka je povolená.

• 5 příkladů, jeden správně vyřešený příklad – 2 body.

• Písemka na poslední hodině v semestru.

• Pro zápočet je nutné získat alespoň 6 bodů z možných 10.

• Jeden opravný termín.

• 100 minut.

• Splněná docházka (max. 2 absence).

Průběh zkoušky z předmětu 102FY01

Zápočet z fyzikálního semináře nenahrazuje zápočet z početních cvičení.

Fyzikální veličina:

• Rozměr a jednotka

• Číselná hodnota

• Přesnost

Rozměr: délka

Jednotka: cm

Přesnost: 0,1 cm

Číselná hodnota: 23,9

Rozměr: délka

Jednotka: cm

Přesnost: 0,1 cm

Číselná hodnota: 23,9

Jednotka: in

Přesnost: 0,06 in

Číselná hodnota: 9,37

šířka

výška

šířka

výška

𝑥

𝑦

𝑥′

𝑦′𝑥′ = 𝑥 ∙ cos𝛼 − 𝑦 ∙ sin 𝛼

𝑦′ = 𝑥 ∙ sin 𝛼 + 𝑦 ∙ cos𝛼

𝛼

Prostor

Čas

Prostor

Čas

Lorentzova transformace:

𝑥′ = 𝑥 ∙1

1 −𝑣2

𝑐2

− 𝑡 ∙𝑣

1 −𝑣2

𝑐2

𝑡′ = 𝑥 ∙ −

𝑣𝑐2

1 −𝑣2

𝑐2

+ 𝑡 ∙1

1 −𝑣2

𝑐2

𝑡′ =𝑡

1 −𝑣2

𝑐2

𝑡 = 1 den

𝑣 ≈ 3,9 km/s

𝑐 ≈ 300 000 km/s

𝑡′ − 𝑡 ≈ 7 μs

chyba ≈ 𝑐 𝑡′ − 𝑡 ≈ 2,2 km

Dimenzionální (rozměrová) analýza

Kolik je 5 kg + 3 m? Co je větší: 8 mg nebo 12 let?

Všechny členy rovnice musejí mít stejný rozměr (jednotky).

Příklad:

Dostředivé zrychlení tělesa, pohybujícího se po kružnici o poloměru R rychlostí v.

Jednotky R jsou m (metry).Jednotky v jsou m∙s-1 (metry za sekundu).

My chceme dostat zrychlení a, jehož jednotky jsou m∙s-2 . Jaká kombinace jednotek R a v poskytuje jednotky a?

Abychom získali sekundu na druhou v jmenovateli, potřebujeme si vzít rychlost na druhou.Pak ale zároveň dostaneme metry na druhou v čitateli. Abychom se zbavili přebytečných metrů v čitateli, vydělíme výsledek R. Takže jediná kombinace, která má správné jednotky, je v2/R.

Závěr: 𝑎 ~𝑣2

𝑅(koeficient úměrnosti tímto způsobem určit nedokážeme).

Příklad:

Těleso volně padá z výšky ℎ. Za jak dlouho dopadne na zem?

Víme, že všechna tělesa padají dolů se stejným zrychlením, které se nazývá tíhové zrychlení a zpravidla se označuje jako 𝑔. Proto můžeme očekávat, že výsledná doba pádu 𝑡 bude záviset na výšce ℎ a tíhovém zrychlení 𝑔.

Jednotky: ℎ = m, 𝑔 = m ∙ s−2.Potřebujeme: 𝑡 = s.

Hledáme výsledek ve tvaru součinu mocnin zadaných veličin: 𝑡 ~ ℎ𝑥𝑔𝑦, kde 𝑥 a 𝑦 jsou zatím neznámá čísla (koeficient úměrnosti touto metodou určit nelze). Jednotky kombinace ℎ𝑥𝑔𝑦:

ℎ𝑥𝑔𝑦 = m𝑥 ∙ (ms−2)𝑦 = m𝑥 ∙ m𝑦 ∙ s−2𝑦 = m𝑥+𝑦 ∙ s−2𝑦

Chceme aby nám zůstaly jenom sekundy, proto musí platit:

𝑥 + 𝑦 = 0−2𝑦 = 1

Z toho plyne 𝑦 = −1

2, 𝑥 =

1

2. Jinými slovy, doba pádu je úměrná ℎ1/2𝑔−1/2, tj. 𝑡 ~

ℎ

𝑔

http://etesty2.mdcr.cz/Test/TestPractise/19

Auto brzdí, protože na něj působí třecí síla. Velikost třecí síly je úměrná tíze auta.

Tíha = Mg.

Tím pádem brzdná dráha L závisí na třech parametrech: rychlost auta v, jeho hmotnost Ma tíhové zrychlení g. (Součinitel tření µ je bezrozměrné číslo, proto v naších výpočtech se nevyskytuje).

𝐿 ~ 𝑣𝑥𝑀𝑦𝑔𝑧

Přirovnáváme jednotky:

𝐿 = 𝑚𝑣 = 𝑚𝑠−1

𝑀 = 𝑘𝑔𝑔 = 𝑚𝑠−2

𝑣𝑥𝑀𝑦𝑔𝑧 = 𝑚𝑥+𝑧𝑠−𝑥−2𝑧𝑘𝑔𝑦

𝑥 + 𝑧 = 1−𝑥 − 2𝑧 = 0𝑦 = 0

Proto 𝑥 = 2, 𝑦 = 0, 𝑧 = −1. To znamená, že 𝐿 ~𝑣2

𝑔.

Brzdná dráha je úměrná druhé mocnině rychlosti poroste-li rychlost auta na dvojnásobek, pak brzdná dráha se zvětší na čtyřnásobek její původní hodnoty.

http://etesty2.mdcr.cz/Test/TestPractise/19

Trinity test, 16.07.1945

Trinity test, 16.07.1945

Trinity test, 16.07.1945

Na čem závisí vzdálenost, kterou urazí nárazová vlna za čas 𝑡?

Energie výbuchu 𝐸 = kg ∙ m2 ∙ s−2

Vlastnost prostředí, ve kterém se vlna šíří.

Hustota 𝜌 = kg ∙ m−3

Hledáme vzdálenost 𝑅 ve tvaru 𝑅 ~ 𝐸𝑥𝜌𝑦𝑡𝑧.Geoffrey Ingram Taylor

Jednotky: 𝐸𝑥𝜌𝑦𝑡𝑧 = kg𝑥+𝑦m2𝑥−3𝑦s−2𝑥+𝑧

Chceme-li, aby nám zůstaly jenom metry, potřebujeme:

𝑥 + 𝑦 = 0

2𝑥 − 3𝑦 = 1−2𝑥 + 𝑧 = 0

⟹ 𝑥 =1

5, 𝑦 = −

1

5, 𝑧 =

2

5

Takže 𝑅 ~ 𝐸 1 5𝜌− 1 5𝑡 2 5 ⟹ 𝐸 ~ 𝑅5𝜌/𝑡2

Pro 𝑡 = 0,006 s máme 𝑅 ≈ 80 m. Hustota vzduchu 𝜌 ≈ 1,2 kg ∙ m−3

Proto 𝐸 ≈ 1 × 1014 kg ∙ m2 ∙ s−2

1 gram TNT uvolňuje při výbuchu energii 4 × 103 kg ∙ m2 ∙ s−2, takže 𝐸 ≈ 25 kilotun.

Trinity test, 16.07.1945

Na čem závisí vzdálenost, kterou urazí nárazová vlna za čas 𝑡?

Energie výbuchu 𝐸 = kg ∙ m2 ∙ s−2

Vlastnost prostředí, ve kterém se vlna šíří.

Hustota 𝜌 = kg ∙ m−3

Hledáme vzdálenost 𝑅 ve tvaru 𝑅 ~ 𝐸𝑥𝜌𝑦𝑡𝑧.Geoffrey Ingram Taylor

Jednotky: 𝐸𝑥𝜌𝑦𝑡𝑧 = kg𝑥+𝑦m2𝑥−3𝑦s−2𝑥+𝑧

Chceme-li, aby nám zůstaly jenom metry, potřebujeme:

𝑥 + 𝑦 = 0

2𝑥 − 3𝑦 = 1−2𝑥 + 𝑧 = 0

⟹ 𝑥 =1

5, 𝑦 = −

1

5, 𝑧 =

2

5

Takže 𝑅 ~ 𝐸 1 5𝜌− 1 5𝑡 2 5 ⟹ 𝐸 ~ 𝑅5𝜌/𝑡2

Pro 𝑡 = 0,006 s máme 𝑅 ≈ 80 m. Hustota vzduchu 𝜌 ≈ 1,2 kg ∙ m−3

Proto 𝐸 ≈ 1 × 1014 kg ∙ m2 ∙ s−2

1 gram TNT uvolňuje při výbuchu energii 4 × 103 kg ∙ m2 ∙ s−2, takže 𝐸 ≈ 25 kilotun.

= 4 × 4 × 4 = 43 = 64 ×

Jednotky objemu: m3. Jednotky délky: m. Proto objem ~ délka3.

Jednotky plochy: m2. Proto plocha ~ délka2.

plocha

objem~

1

délka

Předměty, které mají stejné proporce ale různé rozměry, mají různý poměr plochy

povrchu k objemu. Čím je předmět menší, tím větší roli hraje povrch.

10 cm

10 cm × 40 = 400 cm

!

“bude 40x větší” ⟹ hmotnost je 40x větší.

Hmotnost ~ objem ⟹ objem je 40x větší.

Objem ~ rozměry3 ⟹ rozměry jsou 340 větší.

10 cm ×340 = 34 cm.

10 cm × 40 = 400 cm

Síla svalů je úměrná počtu svalových vláken a proto je úměrná ploše příčného řezu svalu.

Plocha příčného řezu je úměrná rozměrům těla na druhou, proto síla 𝑆 ~ 𝑅2.

Hmotnost je úměrná objemu těla, proto 𝑚 ~ 𝑅3.

Tím pádem 𝑆3~𝑅6 a zároveň 𝑚2~𝑅6, proto 𝑆3~𝑚2.

Tabulka: Světové rekordy v těžké atletice.

Kategorie, kg Světový rekord, kg Sportovec Datum

0-56 307 Long Qingquan 07.08.2016

56-62 333 Chen Lijun 22.11.2015

62-69 359 Liao Hui 10.11.2014

69-77 380 Lü Xiaojun 24.10.2013

77-85 396 Kianoush Rostami 12.08.2016

85-94 418 Ilya Ilyin 04.08.2012

94-105 437 Ilya Ilyin 04.08.2012

105+ 473 Lasha Talakhadze 16.08.2016

Světové rekordy v těžké atletice

Síla svalů je úměrná počtu svalových vláken a proto je úměrná ploše příčného řezu svalu.

Plocha příčného řezu je úměrná rozměrům těla na druhou, proto síla 𝑆 ~ 𝑅2.

Hmotnost je úměrná objemu těla, proto 𝑚 ~ 𝑅3.

Tím pádem 𝑆3~𝑅6 a zároveň 𝑚2~𝑅6, proto 𝑆3~𝑚2.

Druhá mocnina hmotnosti vzpěrače [kg2]

Třet

í mo

cnin

a vz

epře

né

hm

otn

ost

i[kg

3]

Představte si, že jste se zmenšili tak,

že máte výšku jenom pár centimetrů,

ale hustota vašeho těla zůstala stejná

jako dříve. A teď někdo hodil vás do

mixéru, který se zapne za 30 sekund.

Co uděláte?

Uvažujme zvíře o charakteristické velikosti 𝑅.

𝑅

Uvažujme zvíře o charakteristické velikosti 𝑅.

Uvažujme zvíře o charakteristické velikosti 𝑅.

𝐻

Síla svalů ~ plocha řezu ~ 𝑅2

Rozmach pohybu ~ 𝑅

Práce svalů = Síla ∙ Vzdálenost ~ 𝑅3

Práce se promění v kinetickou energiipohybu, která se pak promění v potenciální energii. V nejvyšším bodě potenciální energie je

𝐸𝑝 = 𝑚𝑔𝐻

Hmotnost 𝑚 ~ objem ~ 𝑅3, proto

𝐸𝑝 ~ 𝑅3 ∙ 𝐻

Výška skoku

𝐻 ~𝐸𝑝𝑅3

~𝑅3

𝑅3~ 1

Jinými slovy, výška skoku nezávisí na velikosti zvířete.

Zvíře Hmotnost zvířete, kg Výška skoku, m

Potkan 0,23 2

Zajíc 4 3,5

Liška 8 2

Pes 27 1,7

Vlk 45 3

Antilopa 80 2,7

Člověk 80 2,5

Klokan 85 3,2

Puma 105 4

Lev 190 3

Kůň 800 2,5

Zvíře Hmotnost zvířete, kg Výška skoku, m

Potkan 0,23 2

Zajíc 4 3,5

Liška 8 2

Pes 27 1,7

Vlk 45 3

Antilopa 80 2,7

Člověk 80 2,5

Klokan 85 3,2

Puma 105 4

Lev 190 3

Kůň 800 2,5