View
213
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
Aleksandar Karač
zgrada Rektorata, kancelarija 31*
tel: 44 44 20
akarac@unze.ba; akarac@ptf.unze.ba
www.ptf.unze.baOdsjek proizvodni biznis Nastavni materijali OMzI (http://ptf.unze.ba/osnove-matematike-za-inzenjerstvo)
OSNOVE MATEMATIKE ZA INŽENJERSTVO
DIO II
*od 1.3. u zgradi Mašinskog fakulteta, kancelarija 1111
Osnove matematike za inženjerstvo – dio II 2018/2019. 1
Izvođenje nastave• predavanja: 2 časa sedmično
• vježbe (auditorne) : 2 časa sedmično
Obaveze studenata• redovno prisustvo na predavanjima i vježbama (ponesite digitron/kalkulator!!!)
• urađena zadaća – PREDATA U ZADANOM ROKU!!!
Uvod u DIO II....
Cilj predmeta • upoznati studente prve godine studija sa jednostavnošću matematike i njenom sposobnošću dajasno opiše inženjerske probleme
• pomoći promijeni percepcije da je matematika isključivo apstraktna i istaknuti njen značaj zainženjerstvo
• pomoći studentima da razviju vještine rješavanja problema primijenom matematike uinženjerstvu
• razviti vještine rješavanja problema na rigorozan, racionalan i jasan način• pomoći studentima da sami procijene i sami popune praznine u prethodnom matematičkom
obrazovanjuKompetencije(Ishodi učenja)
Po uspješnom završetku kursa studenti će biti u stanju da:• pokažu svijest o važnosti matematike u širokom rasponu tema, posebno uključujući mehaniku i
računarsko inženjerstvo• pokažu sposobnost korištenja matematičke terminologije kao dijela analize i rješavanja
tehničkih problema• pokažu sposobnosti da izaberu i primijene ispravan matematički metod na jednostavnim
problemima mehanike i inženjerskih aplikacija
Osnove matematike za inženjerstvo – dio II 2018/2019. 2
Sadržaj/program kursa – dio II
(1) Funkcije 2 sedmice
(2) Diferenciranje 1 sedmica
(3) Integriranje 1 sedmica
TEST – 14.12.2018. u 9.30
Uvod u DIO II....
ZADAĆA:
Zadata: 09. novembar 2017.Rok za predaju: 21. decembar 2017. (petak)
KonsultacijeRadnim danom (osim srijede) od 12.00-14.00
Osnove matematike za inženjerstvo – dio II 2018/2019. 33
LITERATURA
dodatna
osnovna • Predavanja, vježbe (sve dostupno na web stranici)
• Michael Batty (2011) Essential Engineering Mathematics, ISBN: 978-87-7681-735-0, http://bookboon.com/en/essential-engineering-mathematics-ebook
• Bird J., Basic Engineering Mathematics, Routledge, 7th edition, 2014.
• Bird J., Engineering Mathematics, Routledge, 7th edition, 2014.
• Bird J., Higher Engineering Mathematics, Routledge, 7th edition, 2014.
• Bird J., Understanding Engineering Mathematics, Routledge, 7th edition, 2014.
• Dave Benson: Music: A Mathematical Offering (2008) ISBN: 978-05-2161-999-8 http://homepages.abdn.ac.uk/mth192/pages/html/music.pdf
• Anthony Croft, Robert Davison, Martin Hargreaves (2001) Essential Engineering Mathematics, 0-13-026858-5• Azem Dautović, Huse Fatkić, Narcis Behlilović: Zbirka zadataka za pripremnu nastavu iz matematike,
Elektrotehnički fakultet u Sarajevu, 2011. godina• B.P. Demidovič: Zadaci i riješeni primjeri iz više matematike s primjenom na tehničke nauke,. Tehnička knjiga,
Zagreb, 1980.
Uvod u DIO II....
Osnove matematike za inženjerstvo – dio II 2018/2019. 4
Kompetencije nakon ovog dijela:
• Prepoznati standardne krive i njihove jednačine: pravac, kvadratna, kubna, trigonometrijska, logaritamska, eksponencijalna funkcija, krug, elipsa, hiperbola
• Izvršiti jednostavne grafičke transformacije
• Definisati kontinuitet funkcija
• Definisati parnost funkcija
• Definisati inverznu funkciju
• Skicirati grafike jednostavnih funkcija
II-1 Funkcije
Osnove matematike za inženjerstvo – dio II 2018/2019. 5
Definicija funkcije II-1 Funkcije
Funkcija je relacija između skupa ulaznih podataka i skupa dozvoljenih izlaznih podataka, pri čemu svaki ulaznipodatak ima tačno jedan izlazni podatak.
Na primjer, funkcija je relacija koja svaki realni broj x povezuje s njegovim kvadratom x2.
Izlazna vrijednost funkcije f koja se odnosi na ulaznu vrijednost x (argument) označava se sa f(x) (f od x)
Ako je f(x)=x2, onda je f(2)=22=4.
Grafici i funkcije
Za poznatu jednačinu, za određeni opseg vrijednosti, moguće je izračunati koordinate, pa se jednačina može prikazati(opisno) u obliku grafika. Ponekad je korisno prikazati sve karakteristike neke jednačine, pa se u tom slučaju moženacrtati skica koja opisuje jednačinu, a tačan grafik je manje važan (skiciranje krive).
Ako, na primjer, y zavisi od x, kaže se da je y funkcija od x, a ova zavisnost se piše y=f(x). x predstavlja nezavisnupromjenljivu, a y zavisno promjenljivu.
U nauci i tehnici, odgovarajuće vrijednosti dobivaju se na osnovu testova i eksperimenata.
Osnove matematike za inženjerstvo – dio II 2018/2019. 6
Grafici i funkcije
Grafik je slikovita reprezentacija informacija koja pokazuje kakose jedna veličina mijenja u odnosu na drugu veličinu.
Uobičajen način prikazivanja je pomoću Kartezijevog(pravouglog) koordinatnog sistema (slika desno).
Tačke na grafiku nazivaju se koordinate. Na primjer, tačka A imakoordinate (3, 2), tačka B koordinate (-4,3), ...
Horizontalna udaljenost tačke od vertikalne ose je abscisa, avertikalna udaljenost od horizontalne ose je ordinata.
II-1 Funkcije
Grafici i dijagrami omogućuju jednostavan i moćan pristup mnogim inženjerskim problemima: periodične funkcijeopisuju oscilacije, talase i ostale fenomene koji pokazuju periodičnost, mnoge osnovne funkcije (linearne, kvadratne,eksponencijalne, ...) i znanja o njima su neophodne kako bi se odredilo kako ih upotrijebiti za generiranje mnogokomplikovanijih oblika (kvadratni, nazubljeni, ...), razumijevanje kontinuiteta/diskontinuiteta funkcija, parnosti,inverznih funkcija, ..., u mnogome pomažu u svemu tome (kaže se da je to sve dio ‘jezika inženjerstva’).
Osnove matematike za inženjerstvo – dio II 2018/2019. 7
Pravac
3 2
Nagib (gradijent) pravca je odnos promjene vrijednosti y i promjene vrijednosti x između bilo koje dvije tačke na pravcu
nagib
= 2
Pozitivan nagib (2):s povećanjem x povećava se y;funkcija raste
Presjek s y-osom je vrijednost y za x=0.
2 · 0 1 1
Presjek s x-osom (nula funkcije) je vrijednost x za y=0.
0 2 · 1 →12
12
1 1
Kanonski oblik jednačine pravca
2 1
II-1 Funkcije
Na primjer,
Standardne funkcije (krive)
Osnove matematike za inženjerstvo – dio II 2018/2019. 8
Pravac
Opšta jednačina pravca
b
nagib
= 3
Negativan nagib (-3):s povećanjem x smanjuje se y;funkcija opada
Presjek s y-osom
3 · 0 2 2
Presjek s x-osom (nula funkcije)
0 3 · 3 →23
23
2 1
Kanonski oblik jednačine pravca
3 2
Koeficijent (pravca) a predstavlja nagib (gradijent) pravca, a koeficijent b predstavlja presjek s y-osom.
Oblast definisanosti y=ax+b: za x(- ∞, ∞)
Standardne funkcije (krive)
/ 1
II-1 Funkcije
Na primjer,
Kanonski oblik jednačine pravca
Osnove matematike za inženjerstvo – dio II 2018/2019. 9
Pravac – praktični primjeri
II-1 FunkcijeStandardne funkcije (krive)
Primjer II-1.1 Skiciraj grafik y=4x+3 u opsegu x∊[-3,4] i nađi vrijednost y za x=2.2 i vrijednost x za y=-3, te nađi gradijent (nagib) i presjecišta s x i y osom.
Primjer II-1.2 Skiciraj sljedeće grafike u rasponu x∊[-4,4] : y=x; y=x+2; y=x-3, te nađi njihove gradijente (nagib) i presjecišta s x i y osom.
Primjer II-1.3 Nađi gradijete sljedećih pravaca: y=5x-1, 2x+3y=3, pravac koji prolazi kroz tačke (-2,5) i (3,4), pravac koji prolazi kroz tačke (-2,-3) i (-1,3).
Primjer II-1.4 Ovisnost temperature u stepenima Celzijusa (°C) i stepenima Farenhajta (°F) data je u Tabeli dole.
a) Prikaži datu ovisnost grafički
b) Očitaj vrijednost temperature 55°C u °F
c) Očitaj vrijednost temperature 170°F u °C
d) Izvedi jednačinu koja daje vezu °C i °F
Osnove matematike za inženjerstvo – dio II 2018/2019. 10
Pravac – praktični primjeri
II-1 FunkcijeStandardne funkcije (krive)
Primjer II-1.5 Prilikom testiranja sijalice, dobivene su vijednosti otpora R u omima () i napona U u voltima (V). Dobivene vrijednosti su aproksimirane linearnom funkcijom s podacima datim u Tabeli.
a) Prikaži datu ovisnost grafički (otpor kao y-osu)
b) Odredi gradijent
c) Odredi presjek s R-osom
d) Kolika bi vrijednost otpora bila za 110 V
e) Izvedi jednačinu pravca
Primjer II-1.6 Brzina tijela v ovisi o vremenu t. Mjereni rezultati dati su u Tabeli.
a) Prikaži datu ovisnost grafički (vrijeme kao x-osu)
b) Odredi gradijent (ubrzanje)
c) Odredi brzinu nakon 10 s
d) Odredi vrijeme pri 20 m/s
e) Izvedi jednačinu pravca
Osnove matematike za inženjerstvo – dio II 2018/2019. 11
Kvadratna funkcija
Opšta jednačina kvadratne funkcije (parabola)
+
a > 0 (ekstrem: minimum) a < 0 (ekstrem: maksimum) b = 0 – kriva simetrična u odnosu na y-osu
b/a > 0 – pomjeranje (ekstrema) ulijevo za b/2a b/a < 0 – pomjeranje (ekstrema) udesno za b/2a
Oblast definisanosti : za x(- ∞, ∞)
II-1 FunkcijeStandardne funkcije (krive)
Osnove matematike za inženjerstvo – dio II 2018/2019. 12
Kvadratna funkcija
Nule kvadratne funkcije (korijeni kvadratne jednačine)
+ 0
,4
2
Mogu biti (2 rješenja jednačine):
dva različita realna dva ista (višestruka) realna dva konjugovano-kompleksna
4 >0 4 0 4 0
II-1 FunkcijeStandardne funkcije (krive)
Osnove matematike za inženjerstvo – dio II 2018/2019. 13
Kvadratna funkcija – praktični primjeri
II-1 FunkcijeStandardne funkcije (krive)
Primjer II-1.7 Za funkcije f(x)=4x2+4x-15 i y=-5x2+9x+7.2
a) Nacrtaj grafike
b) Nađi nule
c) Nađi koordinate i prirodu ekstrema
Primjer II-1.8 Za funkciju f(x)=10x2-13x-30 primijenjujući interval x∊[-2,3]
a) Nacrtaj grafik
b) Nađi nule
c) Nađi koordinate i prirodu ekstrema
d) Nađi vrijednost y za x=1.3
e) Nađi vrijednost x za y=10
Osnove matematike za inženjerstvo – dio II 2018/2019. 14
Kubna funkcija
Opšta jednačina kubne funkcije
+
a > 0 a < 0
Oblast definisanosti + : za x(- ∞, ∞)
II-1 FunkcijeStandardne funkcije (krive)
3 0 3 0 3 0
Osnove matematike za inženjerstvo – dio II 2018/2019. 15
Nule kubne funkcije
+ 0
Mogu biti (3 rješenja jednačine):
tri različita realnatri realna od čegadva ista (višestruka) tri ista (višestruka) realna
jedno realno i dvakonjugovano kompleksna
II-1 Funkcije
Kubna funkcija
Standardne funkcije (krive)
Δ 18 4 4 27
Δ 0 Δ 0 Δ 03 03 0
Osnove matematike za inženjerstvo – dio II 2018/2019. 16
Nule kubne funkcije
Postoji postupak tačnog rješavanja opšte jednačine 3. reda
https://en.wikipedia.org/wiki/Cubic_function
ali i 4. reda!!!
Za polinome u opštem obliku reda većeg od 4 ne postoji analitičko rješenje, nego se koriste iterativni postupci rješavanja (numeričke metode).
Ipak, pomoću Teoreme (testa) o racionalnim nulama polinoma, moguće je naći racionalna rješenja (koja se mogu predstaviti u obliku razlomka) ukoliko ona postoje. Moguća rješenja su svi pozitivni i negativni razlomci, kod kojih je brojnik djelilac slobodnog člana, a nazivnik djelilac koeficijenta uz najveći stepen. Na primjer:
II-1 Funkcije
Kubna funkcija
Standardne funkcije (krive)
+ 0
3 5 5 2 0 Moguća rješenja: tj. 1,21,3
1, 1, 2, 2,13 ,
13 ,23 ,
23
6 2 5 10 0 Moguća rješenja: tj. 1,2,5,101,2,3,6
1, 1, 2, 2, 5, 5,10, 10,12 ,
12 ,13 ,
13
16 ,
16 ,23 ,
23 ,52 ,
52 ,53 ,
53 ,56 ,
56 , …
Osnove matematike za inženjerstvo – dio II 2018/2019. 17
Logaritamska funkcija
→ loglog → log
Pojam logaritma (log)
3 81 → 4 log 814 je stepen ili eksponent3 je baza
4 je logaritam od 81 po bazi 3
log · log log
log log log
log · log
log 1 0
log 1
log 0 ∞
II-1 FunkcijeStandardne funkcije (krive)
Važnije vrijednosti i pravila
Osnove matematike za inženjerstvo – dio II 2018/2019. 18
Opšta jednačina logaritamske funkcije
log Logaritam od x po bazi a
log Logaritam od x po bazi 10
ln Logaritam od x po bazi e (=2.7182818...) – prirodni logaritam
Oblast definisanosti y=log(x): za x(0, ∞)
II-1 Funkcije
Logaritamska funkcija
Standardne funkcije (krive)
Osnove matematike za inženjerstvo – dio II 2018/2019. 19
Opšta jednačina eksponencijalne funkcije
Oblast definisanosti y=ex: za x(-∞, ∞)
II-1 FunkcijeStandardne funkcije (krive)
Eksponencijalna funkcija
Zakoni rasta i propadanja
Javljaju se u obliku y=Ae-kx ili y=A(1-e-kx), gdje su A i kkonstante u raznim područjima inženjerstva i nauke:
i) Linearna ekspanzija
ii) Promjena električnog otpora s temperaturom
iii) Zatezanje lanaca
iv) Njutnov zakon hlađenja
v) Biološki rast
vi) Atomosferski pritisak
vii) Pražnjenje kondenzatora
viii) Radioaktivno propadanje
ix) Porast struje u kondenzatorskom krugu
x) ........
Osnove matematike za inženjerstvo – dio II 2018/2019. 20
Eksponencijalna funkcija – praktični primjeri
II-1 FunkcijeStandardne funkcije (krive)
Primjer II-1.9 Otpor R električnog kondenzatora na temperaturi [°C] dat je izrazom R=R0e, gdje je konstanta, a R0=5000 . Odredi (na 4 značajne cifre), kada je R=6000 i =1500°C. Također, nađi temperaturu kada je otpor R=5400 .
Primjer II-1.10 Temperatura 2[°C] kalema, koji se zagrijava električnom strujom, u vremenu t data je izrazom 2=1(1-et/), gdje je 1 temperatura za t=0, a je konstanta. Izračunati:
a) temperaturu kada je 2=50°C, t=30s, a =60s
b) vrijeme t, kada temperatura 2 ima vrijednost polovine 1.
Osnove matematike za inženjerstvo – dio II 2018/2019. 21
Trigonometrijske funkcije
sin
cos
sincos tg
Opšte jednačine trigonometrijskih funkcija
II-1 FunkcijeStandardne funkcije (krive)
Osnove matematike za inženjerstvo – dio II 2018/2019. 22
Crtanje sinusne i kosinusne funkcije
II-1 Funkcije
Trigonometrijske funkcije
Standardne funkcije (krive)
Osnove matematike za inženjerstvo – dio II 2018/2019. 23
II-1 Funkcije
Trigonometrijske funkcije
Standardne funkcije (krive)
Sinusna funkcija oblika Asin(t ± )
Vektor OR slobodno rotira oko tačke O u smjeru suprotnom od kretanja kazaljke na satu (tzv. fazni vektor): za vrijeme t on se okrene za ugao t (u radijanima) i vrijedi ST=TOsint.
Ako vektor OR načini jedan obrtaj (2 radijana) u T sekundi, onda je ugaona brzina:
T se naziva period.Broj punih obrtaja u sekundi je frekvencija:
2 rads →
2
1 1s Hz 2
Osnove matematike za inženjerstvo – dio II 2018/2019. 24
II-1 Funkcije
Trigonometrijske funkcije
Standardne funkcije (krive)
Sinusna funkcija oblika Asin(t ± )
A – maksimalna vrijednost sinusnog talasa – amplituda
– ugaona brzina (=2f) u radijanima u sekundi [rad/s]
T – period (=2/) u sekundama [s]
f – frekvencija (=/2) u hercima [Hz]
– fazni ugao u radijanima [rad] – ako je znak +, funkcija je ispred, a ako je – onda kasni za funkcijom oblika sint
Osnove matematike za inženjerstvo – dio II 2018/2019. 25
Trigonometrijske funkcije – praktični primjeri
II-1 FunkcijeStandardne funkcije (krive)
Primjer II-1.11 Jačina naizmjenične struje data je izrazom t=30sin(100t+0.27) u amperima [A]. Nađi amplitudu, period, frekvenciju i fazni ugao (u stepenima).
Primjer II-1.12 Oscilirajući mehanizam ima maksimalno pomjeranje od 2.5 m i frekvenciju od 60 Hz. U vremenu t=0, pomjeranja je 90 cm. Izrazi pomjeranje u opštem obliku Asin(t ± ).
Primjer II-1.13 Trenutna vrijednost napona u naizmjeničnom strujnom krugu u bilo kojem vremenu t data je izrazom u= 340sin(50 t – 0.541) u voltima[V]. Odredi:
a) amplitudu, period, frekvenciju, fazni ugao (u stepenima)
b) vrijednost napona za t=0
c) vrijednost napona za t=10ms
d) vrijeme kada napon dostigne vrijednost 200V
e) vrijeme kada napon dostigne maksimalnu vrijednost
Skiciraj grafik funkcije.
Osnove matematike za inženjerstvo – dio II 2018/2019. 26
Krug
Opšta jednačina kruga
Jednačina kruga s centrom u (a,b) i poluprečnika R.
II-1 FunkcijeStandardne funkcije (krive)
Prošireni oblik jednačine kruga
2 2 0
Osnove matematike za inženjerstvo – dio II 2018/2019. 27
Krug – praktični primjeri
II-1 FunkcijeStandardne funkcije (krive)
Primjer II-1.14 Odredi poluprečnik i koordinate kruga datog jednačinom x2+y2+8x-2y+8=0.
Primjer II-1.15 Skiciraj grafik sljedeće jednačine: x2+y2-4x+6y-3=0
Osnove matematike za inženjerstvo – dio II 2018/2019. 28
Opšta jednačina elipse
1 Dužina AB (2a) je velika osa (a je velika poluosa), a dužina CD (2b) mala osa (b je mala poluosa).
II-1 Funkcije
Elipsa
Standardne funkcije (krive)
Osnove matematike za inženjerstvo – dio II 2018/2019. 29
Opšta jednačina hiperbole
1 Dužina AB jednaka je 2a.
Pravougaona hiperbola
→
II-1 Funkcije
Hiperbola
Standardne funkcije (krive)
Osnove matematike za inženjerstvo – dio II 2018/2019. 30
Jednostavne transformacije
Na osnovu grafika y=f(x) moguće je izvesti grafike funkcija koje su transformacije grafila y=f(x), kao na primjer:
y=a·f(x); y=f(x) + a; y=f(x+a); y=f(a · x); y(x)=−f(x); y=f(− x)
y=a·f(x) – ‘rastezanje’ grafika y=f(x) paralelno osi y za faktor a.
y= – f(x) – refleksija grafika y=f(x) u odnosu na osu x.
II-1 Funkcije
Osnove matematike za inženjerstvo – dio II 2018/2019. 31
Jednostavne transformacije
y=f(x+a) – translacija grafika y=f(x) za –a paralelno x osi.
y=f(x) + a – translacija grafika y=f(x) za a paralelno y osi.
II-1 Funkcije
Osnove matematike za inženjerstvo – dio II 2018/2019. 32
Jednostavne transformacije
y=f(a · x) – ‘rastezanje’ grafika y=f(x) paralelno osi x za faktor 1/a
y=f(– x) – refleksija grafika y=f(x) u odnosu na osu y.
II-1 Funkcije
Osnove matematike za inženjerstvo – dio II 2018/2019. 33
Jednostavne transformacijeII-1 Funkcije
Praktični primjeri
Primjer II-1.16 Skiciraj grafike y=(x-4)2 i f(x)=x3-8
Primjer II-1.17 Skiciraj grafike y=5-(x+2)2 i f(x)=1+3sin2x
Primjer II-1.18 Skiciraj grafik y = x - x2
Osnove matematike za inženjerstvo – dio II 2018/2019. 34
Periodičnost
Neprekidnost funkcija
Za funkciju se kaže da je periodična ako vrijedi f(x)=f(x+T) za sve vrijednosti x, gdje je T neki pozitivan broj. T je vrijeme između uzastopnih ponavljanja i naziva se period.
Na primjer:
sin sin 21, za 01, za0
Neke karakteristike funkcija
Ukoliko grafik funkcije nema nagle skokove ili prekide za funkciju se kaže da je neprekidna ili kontinuirana (na primjer, funkcije sinus i kosinus). Ukoliko skokovi ili prekidi postoje (na primjer, grafik gore desno ili tangens funkcija) funkcija je prekidna (diskontinuirana).
II-1 Funkcije
Osnove matematike za inženjerstvo – dio II 2018/2019. 35
ParnostNeke karakteristike funkcija
Za funkciju se kaže da je parna ako vrijedi f(x)=f(-x) za sve vrijednosti x. Grafici parnih funkcija su uvijek simetrični u odnosu na osu y (slika u ogledalu).
Za funkciju se kaže da je neparna ako vrijedi f(-x)=-f(x) za sve vrijednosti x. Grafici neparnih funkcija su uvijek simetrični u odnosu na koordinatni početak.
Većina funkcija, ipak, nije ni parna ni neparna (logaritamska, ...)
II-1 Funkcije
Osnove matematike za inženjerstvo – dio II 2018/2019. 36
Inverzne funkcije
Neke karakteristike funkcija
Ako je y funkcija od x, grafik x-y može poslužiti da se nađe vrijednost x, ako je poznata vrijednost y. Drugim riječima, grafik x-y pokazuje da je x funkcija u odnosu na y. Za takve dvije funkcije se kaže da su inverzne. Inverzna funkcija se označava sa y=f-1(x).
Inverzna funkcija se dobiva kada se x predstavi u ovisnosti od y, a onda im se zamijene mjesta
Na primjer:
2 1 → 1
2 → 212
2 1 → 212
Inverzna funkcija je refleksija funkcije u odnosu na pravac y=x.
II-1 Funkcije
Osnove matematike za inženjerstvo – dio II 2018/2019. 37
Inverzne trigonometrijske funkcije
Neke karakteristike funkcija
sin → sin arcsin
cos → cos arccos
tg → tg arctg
S obzirom da su inverzne trigonometrijske fukcije periodične, prilikom izračunavanja ugla (u radijanima) traži se najmanja vrijednost, i to za funkcije sinus i kosinus u intervalu 0<y<, a za funkciju tangens u intervalu –/2<y<
II-1 Funkcije
Osnove matematike za inženjerstvo – dio II 2018/2019. 38
Neke karakteristike funkcija
II-1 Funkcije
Praktični primjeri
Primjer II-1.19 Odredi inverzne funkcije za
a) f(x)=x+1
b) f(x)=5x+1
c) f(x)=1/x+2
Skiciraj funkcije i njihove inverzne funkcije.
Primjer II-1.20 Izračunaj vrijednosti sljedećih funkcija: arcsin(-1), arccos(0.5), arctg(0.5), arcctg(2), arcsin(1/3)+arccos(4/5)+arctg(8/9).
Osnove matematike za inženjerstvo – dio II 2018/2019. 39
II-2 Diferenciranje
Kompetencije nakon ovog dijela:
• Opisati gradijent krive i njegovu graničnu vrijednost
• Diferencirati standardne funkcije
Osnove matematike za inženjerstvo – dio II 2018/2019. 40
II-2 Diferenciranje
Gradijent krive
Uvod Postoje mnoge praktične situacije koje inženjeri trebaju analizirati, a koje uključuju veličine koje se mijenjaju: naponi u opterećenim gredama, temperatura industrijskih hemikalija, brzina promjene brzine nekog vozila, struja u električnom krugu, moment uvijanja na turbinskoj lopatici, ... Diferenciranje je matematička tehnika kojom se analizira način promjene funkcija i korisna je u tim slučajevima.
Ako se nacrta tangenta u tački P krive, gradijent (nagib) tangente predstavlja gradijent krive u tački P.
Gradijent krive u tački P jednak je gradijentu tangente PQ.
Osnove matematike za inženjerstvo – dio II 2018/2019. 41
Gradijent krive
Gradijent tetive AB dat je izrazom
nagib
Primjer: f(x)=x2
Gradijent tetive AB 4
Gradijent tetive AC 3
Gradijent tetive AD..
2.5
Gradijent tetive AE (E(1,1,f(1,1)))..
2.1
Gradijent tetive AF (E(1,01,f(1,01)))..
2.01
Približavanje graničnoj vrijednosti gradijenta u tački A (=2).
II-2 DiferenciranjeUvod
Osnove matematike za inženjerstvo – dio II 2018/2019. 42
Diferenciranje - definicija Neka su tačke A i B vrlo blizu jedna drugoj, odnosno vrijednosti x(delta x) i y (delta y) predstavljaju male udaljenosti u x i y pravcu, respektivno.
Gradijent tetive AB
Kako se x približava nuli, tako se y/x približava graničnoj vrijednosti, odnosno gradijent tetive AB se približava gradijentu tangente u A.
lim→
lim→
(Prvi) izvod funkcije y=f(x) lim→
lim→
′ lim→
lim→
Postupak pronalaženja izvoda funkcije naziva se diferenciranje.
II-2 Diferenciranje
Osnove matematike za inženjerstvo – dio II 2018/2019. 43
Geometrijsko značenje prvog izvoda
II-2 Diferenciranje
Prema prethodnim izlaganjima,
gradijent tangente u nekoj tački (P) predstavlja vrijednost prvog izvoda u toj tački!!!!
Ukoliko je vrijednost prvog izvoda u nekoj tački, odnosno gradijent tangente u toj tački, veći od nule, funkcija raste!
Ukoliko je vrijednost prvog izvoda u nekoj tački, odnosno gradijent tangente u toj tački, manja od nule, funkcija opada!
Ukoliko je vrijednost prvog izvoda u nekoj tački, odnosno gradijent tangente u toj tački, jednaka nuli, funkcija niti raste niti opada (ekstrem ili prevojna tačka)!
Osnove matematike za inženjerstvo – dio II 2018/2019. 44
Izvodi osnovnih funkcija
Funkcija Izvod
sin cos
cos sin
ln1
Ukoliko se nakon diferenciranja, izvrši diferenciranje prvog izvoda (sukcesivno diferenciranje), dobiva se izvod drugog reda
(de 2 y po de x na kvadrat)
itd ....
II-2 Diferenciranje
Osnove matematike za inženjerstvo – dio II 2018/2019. 45
Brzina promjene neke veličine
Ukoliko neka veličina y zavisi i mijenja se u odnosu na veličinu x, brzina promjene y u odnosu na x je
data izrazom
Na primjer, brzina promjene pritiska p s visinom h je , brzina promjene struje i u vremenu je ,
brzina promjene temperature T duž provodnika , itd.
II-2 Diferenciranje
Osnove matematike za inženjerstvo – dio II 2018/2019. 46
II-2 DiferenciranjePraktični primjeri
Primjer II-1.21 Nacrtaj krivu f(x)=4x2-1 za vrijednosti x[-1, 4]. Na grafiku označi tačke J i K s koordinatama (3, f(3)) i (1, f(1)), respektivno, i nađi gradijent tetive JK. Pomjerajući se prema K nađi gradijent tangente u K.
Primjer II-1.22 Nađi izvode sljedećih funkcija (po x): y=4x7, y=3/x2, y=5, 41
Primjer II-1.23 Nađi izvode sljedećih funkcija (po t): y=4sin 3t, f(x)=2sin 2t – 5cos 4t.
Primjer II-1.24 Jačina naizmjenične struje data je izrazom i=5sin 100t, gdje je t vrijeme u sekundama. Odredi brzinu promjene struje kada je t=0.01. Da li u toj tački jačina struje raste ili opada? Skiciraj na grafiku!!!
Primjer II-1.25 Nađi gradijent krive za x=1. Da li funkcija u toj tački raste ili opada?
32 sin 4
2ln
Primjer II-1.26 Njutnov zakon hlađenja je dat izrazom =0e kt. Odredi brzinu promjene temperature nakon 50 s, ako je 0=°C i k=-0.02. Da li se temperatura povećava ili smanjuje?
Primjer II-1.27 Atmosferski pritisak p se mijenja s visinom h prema izrazu p=p0e h/c, gdje je p0 pritisak na zemlji, a c je konstanta. Odredi promjenu pritiska na visini 1550 m, ako je p0=100 kPa, a c=6.2x104 m.
Osnove matematike za inženjerstvo – dio II 2018/2019. 47
II-3 Integriranje
Kompetencije nakon ovog dijela:
• Razumjeti proces integracije kao inverzni proces diferenciranja
• Određivanje integrala standardnih funkcija
• Izračunavanje određenog integrala
• Izračunavanje površine ispod krive
Osnove matematike za inženjerstvo – dio II 2018/2019. 48
II-3 Integriranje
Proces integriranja
Uvod
Slično diferenciranju, integriranje je neizostavna tehnika u radu inženjera, istraživača i naučnika. Tipični primjeri primjene integrala su određivanja i izračunavanja površina, srednjih vrijednosti, zapremine rotirajućih tijela, težišta, momenata inercije, diferencijalnih jednačina, Fourierove analize, itd. Ovo poglavlje je posvećeno određivanju površina ispod krivih.
Integriranje je proces obrnut procesu diferenciranja. Kod diferenciranja, ako je f(x)=2x2, onda je f’(x)=4x. Na taj način, integral od 4x je 2x2, odnosno integriranje je proces u kojem se od f’(x) dobiva f(x).
Integriranje je proces sabiranja ili dodavanja dijelova, a simbolički se označava izduženim S, koje se piše sa ⨛, a čita se „integral od”.
U procesu diferenciranja, izvod dy/dx označava da se diferenciranje obavlja u odnosu na x (dx). Slično, integraciona promjenljiva se označava dodavanjem slova d nakon funkcije koju treba integrirati.
4 znači, integral od 4x u odnosu na x
2 znači, integral od 2t u odnosu na t
Osnove matematike za inženjerstvo – dio II 2018/2019. 49
Proces integriranja
Izvod od je 4x, ali vrijedi i
izvod od je 4x (izvod konstante je 0)
Stoga može biti i i
U ovom slučaju radi se o neodređenim integralima te se prilikom integriranja rezultatu dodaje i konstanta c. Dakle,
4 2
2
2 5
4 2 2 5
a konstanta c se naziva (proizvoljna) konstanta integracije.
II-3 Integriranje
Osnove matematike za inženjerstvo – dio II 2018/2019. 50
Integrali osnovnih funkcija
Funkcija Integral
1
sin
cos
1
cos
sin
ln
osim za n=-1 (vidi dole)
II-3 Integriranje
Osnove matematike za inženjerstvo – dio II 2018/2019. 51
Integrali osnovnih funkcija – praktični primjeri
II-3 Integriranje
Primjer II-1.28 Nađi integrale sljedećih funkcija (po x): y=4x7, y=3/x2, y=5,
Primjer II-1.29 Nađi integrale sljedećih funkcija (po t): y=4sin 3t, f(t)=2sin 2t – 5cos 4t, 41
32 sin 4
2ln
Osnove matematike za inženjerstvo – dio II 2018/2019. 52
Određeni integrali
Ukoliko integrali u svojim rješenjima sadrže konstantu c, radi se o neodređenim integralima, s obzirom da nije moguće odrediti tačnu vrijednost bez dodatnih informacija.
Određeni integrali su oni kod kojih su primijenjene granice integracije.
Ako napišemo izraz , vrijednost b se naziva gornja granica, a vrijednost a donja granica, pa se
operacija primjenjivanja granica definiše sa
Vrijednost integrala funkcije x2 u granicama od 1 do 3 (vrijednost x se mijenja od 1 do 3) se piše i računa na sljedeći način:
333
13 8
23
II-3 Integriranje
Osnove matematike za inženjerstvo – dio II 2018/2019. 53
Određeni integrali – praktični primjeri
II-3 Integriranje
Primjer II-1.30 Izračunaj:
a)
b)
c)
d)
1 2
4 cos 3
34
4
Osnove matematike za inženjerstvo – dio II 2018/2019. 54
Površina ispod krive
Površina ispod krive može se izračunati korištenjem integracije, odnosno izračunavanjem određenog integrala.
šrafiranapovršina
Primjeri primjene:
a) grafik brzina-vrijeme – dobivanje pređenog puta,
b) grafik sila-pomjeranje – dobivanje utrošenog rada,
c) grafik napon-jačina struje – dobivanje snage,
d) ....
II-3 Integriranje
Osnove matematike za inženjerstvo – dio II 2018/2019. 55
Površina ispod krive
Ukoliko je potrebno naći površinu kao na slici dole, gdje kriva ima i negativne vrijednosti, neophodno je za taj dio staviti negativan znak ispred integrala
šrafiranapovršina
II-3 Integriranje
Osnove matematike za inženjerstvo – dio II 2018/2019. 56
Površina ispod krive – praktični primjeri
II-3 Integriranje
Primjer II-1.31 Nađi površinu koja je omeđena krivom y=2x+3, x-osom i ordinatama x=1 i x=4.
Primjer II-1.32 Brzina v [m/s] nekog tijela u vremenu t [s] data je izrazom v=2t2+5. Nađi pređeni put tijela u vremenu od 0 do 4 s.
Primjer II-1.33 Skiciraj grafik funkcije između x=-3 i x=2 i nađi površinu koju kriva zaklapa s osom x.
2 5 6
Osnove matematike za inženjerstvo – dio II 2018/2019. 57
Ispitni zadaci
Osnove matematike za inženjerstvo – dio II 2018/2019. 58
Ispitni zadaci
Osnove matematike za inženjerstvo – dio II 2018/2019. 59
Ispitni zadaci
Osnove matematike za inženjerstvo – dio II 2018/2019. 60
Ispitni zadaci
Osnove matematike za inženjerstvo – dio II 2018/2019. 61
Ispitni zadaci
Osnove matematike za inženjerstvo – dio II 2018/2019. 62
Ispitni zadaci
Primjer II-1.1Skiciraj grafik y=4x+3 u opsegu x∊[-3,4] i nađi vrijednost y za x=2.2 ivrijednost x za y=-3, te nađi gradijent (nagib) i presjecišta s x i y osom.
f x( ) 4x 3
f 3( ) 9
f 4( ) 19
3 2 1 0 1 2 3 4
10
5
5
10
15
20
f x( )
x
f 2.2( ) 11.8
f x( ) y= 3= 4x 3= x3
2=
Nagib: 4
Presjecište s x-osom (y=0): 4x 3 0= x3
4=
Presjecište s y-osom (x=0): y 3=
Primjer II-1.2Skiciraj sljedeće grafike u rasponu x∊[-4,4] : y=x; y=x+2; y=x-3, te nađinjihove gradijente (nagib) i presjecišta s x i y osom.
f1 x( ) x
f2 x( ) x 2
f3 x( ) x 3
4 3 2 1 0 1 2 3 4
10
6
2
2
6
10
f1 x( )
f2 x( )
f3 x( )
x
Nagibi su za sve krive (pravca) jednaki 1, što se vidi iz oblika jednačina (koeficijenti pravca) - stoga supravci međusobno paralelni
Presjecišta s x-osom (y=0): a x b 0= xb
a=
f1 0
f2 2
f3 3
Presjecište s y-osom (x=0):
f1 0
f2 2
f3 3
Primjer II-1.3Nađi gradijete sljedećih pravaca: y=5x-1, 2x+3y=3, pravac koji prolazi kroztačke (-2,5) i (3,4), pravac koji prolazi kroz tačke (-2,-3) i (-1,3).
f1 x( ) 5x 1 Gradijent: 5
f2 x( )2
3 x 1 Gradijent:
2
3
(-2,5) i (3,4) Gradijent:4 5
3 2( )0.2
(-2,-3) i (-1,3) Gradijent:3 3( )
1 2( )6
Primjer II-1.4Ovisnost temperature u stepenima Celzijusa (°C) i stepenima Farenhajta (°F)data je u Tabeli dole. a) Prikaži datu ovisnost grafičkib) Očitaj vrijednost temperature 55°C u °Fc) Očitaj vrijednost temperature 170°F u °Cd) Izvedi jednačinu koja daje vezu °C i °F
C 10 20 40 60 80 100( )T
F 50 68 104 140 176 212( )T
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 12040
60
80
100
120
140
160
180
200
220
F
C
a)
b) 55°C je oko 120°F
c) 170°F je oko 78°C
d) Koristeći prva dva podatka (10,50) i (20,68), može se dobiti jednačina pravca u obliku
y y1y2 y1
x2 x1x x1 =
y 5068 50
20 10x 10( )= pa je y
9
5x 32=
Dakle, jednačina F9
5C 32 daje ovisnost stepeni Farenhajta i Celzijusa
Primjer II-1.5Prilikom testiranja sijalice, dobivene su vijednosti otpora R u omima () inapona U u voltima (V). Dobivene vrijednosti su aproksimirane linearnomfunkcijom s podacima datim u Tabeli.a) Prikaži datu ovisnost grafički (otpor kao y-osu)b) Odredi gradijentc) Odredi presjek s R-osomd) Kolika bi vrijednost otporna bila za 110 Ve) Izvedi jednačinu pravca
U 16 29 52 76 94( )T
R 30 46.25 75 105 127.5( )T
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120102030405060708090
100110120130140150
R
U
a)
b) Koristeći prva dva podatka (16,30) i (29,46.25), može se izračunati gradijent (ubrzanje)
gradijenty2 y1
x2 x1=
gradijent46.25 30
29 161.25
c) S grafika: Presjek s R osom je oko 10
d) S grafika: Vrijednost optora za 110 V bi bila oko 145
e) Koristeći prva dva podatka (16,30) i (29,46.25), može se dobiti jednačina pravca u obliku
y y1y2 y1
x2 x1x x1 =
y 3046.25 30
29 16x 16( )= pa je y
5
4x 10=
Primjer II-1.6Brzina tijela v ovisi o vremenu t. Mjereni rezultati dati su u Tabeli.• Prikaži datu ovisnost grafički (vrijeme kao x-osu)• Odredi gradijent (ubrzanje)• Odredi brzinu nakon 10 s• Odredi vrijeme pri 20 m/s• Izvedi jednačinu pravca
t 2 5 8 11 15 18( )T
v 16.9 19 21.1 23.2 26 28.1( )T
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 2015161718192021222324252627282930
v
t
a)
b) Koristeći prva dva podatka (2,16.9) i (5,19), može se izračunati gradijent (ubrzanje)
gradijenty2 y1
x2 x1=
gradijent19 16.9
5 20.7
c) S grafika: brzina nakon 10s je oko 22.5 m/s
d) S grafika: vrijeme za v=20 m/s je oko 6.5 s
e) Koristeći prva dva podatka (2,16.9) i (5,19), može se dobiti jednačina pravca u obliku
y y1y2 y1
x2 x1x x1 =
y 16.919 16.9
5 2x 2( )= pa je y
7
10x 15.5=
Dakle, jednačina u 0.7t 15.5 daje ovisnost brzine i vremena.
Primjer II-1.7Za funkcije f(x)=4x2+4x-15 i y= -5x2+9x+7.2a) Nacrtaj grafikeb) Nađi nulec) Nađi koordinate i prirodu ekstrema.
f1 x( ) 4x2
4x 15 f2 x( ) 5 x2
9x 7.2
a) Grafici
4 2 0 2 420
10
0
10
f1 x( )
x
4 2 0 2 420
10
0
10
20
f2 x( )
x
b) Nule
x14 4
24 4 15( )
2 41.5 x1
9 92
4 5( ) 7.2
2 5( )0.6
x24 4
24 4 15( )
2 42.5 x2
9 92
4 5( ) 7.2
2 5( )2.4
c) Ekstremi
x29
2 5( )0.9
x14
2 40.5
maksimum (-5<0)minimum (4>0)
Primjer II-1.8Za funkciju f(x)=10x2-13x-30 primijenjujući interval x∊[-2,3]a) Nacrtaj grafikb) Nađi nulec) Nađi koordinate i prirodu ekstremad) Nađi vrijednost y za x=1.3e) Nađi vrijednost x za y=10
f x( ) 10x2
13x 30
a) Grafik
2 1 0 1 2 3
40
20
0
20
40
f x( )
x
b) Nule
x113( ) 13( )
24 10 30( )
2 102.5
x213( ) 13( )
24 10 30( )
2 101.2
c) Ekstremi
x113
2 100.65
maksimum (10>0)
d) f 1.3( ) 30
e)
10 10x2
13x 30=10x
213x 40 solve
1769
20
13
20
13
20
1769
20
10x
213x 40 0=
Primjer II-1.9Otpor R električnog kondenzatora na temperaturi [°C] dat je izrazom
R=R0e, gdje je konstanta, a R0=5000 . Odredi (na 4 značajne cifre),kada je R=6000 i =1500°C. Također, nađi temperaturu kada je otporR=5400 .
R θ( ) 5000 eαθ
=
Prema uslovima zadatka: 6000 5000 eα 1500
=
Logaritmirajući lijevu i desnu stranu imamo: ln 6000( ) ln 5000 eα 1500
= ln 5000( ) α 1500=
Sada se lako dobija ln
6000Ω
5000Ω
1500Δ°C1.215 10
4
1
Δ°C
Prema uslovima zadatka: 5400 5000 e1.215 10
4 θ=
Logaritmirajući lijevu i desnu stranu imamo:
ln 5400( ) ln 5000 e1.215 10
4 θ
= ln 5000( ) 1.215 10
4 θ=
Sada se lako dobija θ
ln5400Ω
5000Ω
1.215 104
1
Δ°C
633.424 Δ°C
Primjer II-1.10Temperatura 2[°C] kalema koji se zagrijava električnom strujom u vremenu
t data je izrazom 2=1(1-et/), gdje je 1 temperatura za t=0, a jekonstanta. Izračunati:a) temperaturu kada je 2=50°C, t=30s, a =60sb) vrijeme t, kada temperatura 2 ima vrijednost polovine 1
θ2 t( ) θ1 1 e
t
τ
=
a)
Prema uslovima zadatka: θ150Δ°C
1 e
30s
60s
127.075 Δ°C
b)
Prema uslovima zadatka:θ1
2θ1 1 e
t
τ
= pa je 1 e
t
τ
0.5= tj. e
t
τ
0.5=
Logaritmiranjem lijeve i desne strane dobija se ln e
t
τ
ln 0.5( )= tj.
t
τln 0.5( )=
t ln 0.5( ) 60 s 41.589 s
Primjer II-1.11Jačina naizmjenične struje data je izrazom t=30sin(100t+0.27) u amperima[A]. Nađi amplitudu, period, frekvenciju i fazni ugao (u stepenima).
Amplituda: 30A
Period: T2π
100 πs 0.02 s
Frekvencija: f1
T50 Hz
Fazni ugao: 0.27rad 15.47 °
Primjer II-1.12Oscilirajući mehanizam ima maksimalno pomjeranje od 2.5 m i frekvenciju od60 Hz. U vremenu t=0, pomjeranja je 90 cm. Izrazi pomjeranje u opštemobliku Asin(t ± ).
Prema uslovima zadatka:
Amplituda: A 2.5m
Ugaona brzina: f 60Hz ω 2 π f 376.991 s1
Fazni ugao: 0.9 2.5 sin α( )= pa je α asin0.9
2.5
21.1 °
Primjer II-1.13Trenutna vrijednost napona u naizmjeničnom strujnom krugu u bilo kojemvremenu t data je izrazom u= 340sin(50t – 0.541) u voltima[V]. Odredi:a) amplitudu, period, frekvenciju, fazni ugao (u stepenima)b) vrijednost napona za t=0c) vrijednost napona za t=10msd) vrijeme kada napon dostigne vrijednost 200Ve) vrijeme kada napon dostigne maksimalnu vrijednostSkiciraj grafik funkcije.
f t( ) 340 sin 50 π t 0.541( ) V
a) Amplituda: 340V
Period: T2π
50 πs 0.04 s
Frekvencija: f1
T25 Hz
Fazni ugao: 0.541 rad 30.997 °
b) f 0( ) 175.098 V
c) f 0.01( ) 291.446 V
d)
200V 340 sin 50 π t 0.541( ) V=
t
asin200
340
0.541
50 πs 7.448 ms
e)
sin 50 π t 0.541( ) 1= tasin 1( ) 0.541( )
50 πs 13.444 ms
0 0.02 0.04 0.06 0.08400
200
0
200
400
f z( )
z
Primjer II-1.14Odredi poluprečnik i koordinate kruga datog jednačinom x2+y2+8x-2y+8=0.
Zadata jednačina kruga se može prikazati kao:
x2
8x 16 y2
2y 1 8 17 0=
x 4( )2
y 1( )2
32=
Dakle, centar kruga je u (-4,1), a poluprečnik je 3.
Primjer II-1.15Skiciraj grafik sljedeće jednačine: x2+y2-4x+6y-3=0.
Zadata jednačina kruga se može prikazati kao:
x2
4x 4 y2
6y 9 3 13 0=
x 2( )2
y 3( )2
42=
Dakle, centar kruga je u (2,-3), a poluprečnik je 4.
10 8 6 4 2 0 2 4 6 8 1010864202468
10
Primjer II-1.16Skiciraj grafike y=(x-4)2 i f(x)=x3-8.
fa1 x( ) x2
fb1 x( ) x3
fa2 x( ) x 4( )2
fb2 x( ) x3
8
20 10 0 10 200
200
400
600
800
fa1 z( )
fa2 z( )
z
4 2 0 2 420
10
0
10
20
fb1 z( )
fb2 z( )
z
Primjer II-1.17Skiciraj grafike y=5-(x+2)2 i f(x)=1+3sin2x.
fa1 x( ) x2
fb1 x( ) sin x( )
fa2 x( ) x 2( )2
fb2 x( ) sin 2x( )
fa3 x( ) 5 x 2( )2
fb3 x( ) 3 sin 2x( )
fb4 x( ) 1 3 sin 2x( )
10 5 0 5 1020
10
0
10
20
fa1 z( )
fa2 z( )
fa3 z( )
z0 2 4 6
4
2
0
2
4fb1 z( )
fb2 z( )
fb3 z( )
fb4 z( )
z
Primjer II-1.18Skiciraj grafik y = x - x2.
Data jednačina se može napisati u obliku
y x x2
= x2
x1
4
1
4= x
1
2
2
1
4=
fa1 x( ) x2
fa2 x( ) x1
2
2
fa3 x( ) x1
2
2
1
4
4 2 0 2 4
4
2
0
2
4
fa1 z( )
fa2 z( )
fa3 z( )
z
Primjer II-1.19Odredi inverzne funkcije zaa) f(x)=x+1b) f(x)=5x+1c) f(x)=1/x+2Skiciraj funkcije i njihove inverzne funkcije.
f z( ) z
a)
fa x( ) x 1 Zamjenom x i y x y 1= pa je fainv x( ) x 1
10 5 0 5 10
4
2
0
2
4
fa z( )
fainv z( )
f z( )
zb)
fb x( ) 5x 1 Zamjenom x i y x 5y 1= pa je fbinv x( )x 1
5
4 2 0 2 4
4
2
0
2
4
fb z( )
fbinv z( )
f z( )
z
c)
fb x( )1
x2 Zamjenom x i y x
1
y2= pa je fbinv x( )
1
x 2
4 2 0 2 4
4
2
0
2
4
fb z( )
fbinv z( )
f z( )
z
Primjer II-1.20Izračunaj vrijednosti sljedećih funkcija: arcsin(-1), arccos(0.5), arctg(0.5),arcctg(2), arcsin(1/3)+arccos(4/5)+arctg(8/9) u radijanima i stepenima.
asin 1( ) 1.571 asin 1( ) 90 °
acos 0.5( ) 1.047 acos 0.5( ) 60 °
atan 0.5( ) 0.464 atan 0.5( ) 26.565 °
atan1
2
0.464 atan1
2
26.565 °
asin1
3
acos4
5
atan8
9
1.71 asin1
3
acos4
5
atan8
9
97.975 °
Primjer II-1.21Nacrtaj krivu f(x)=4x2-1 za vrijednosti x[-1, 4]. Na grafiku označi tačke J i Ks koordinatama (3, f(3)) i (1, f(1)), respektivno, i nađi gradijent tetive JK.Pomjerajući se prema K nađi gradijent trangente u K.
f x( ) 4x2
1
1 0 1 2 3 420
0
20
40
60
80
f z( )
f 3( )
f 1( )
z 3 1
J
K
J : f 3( ) 35
K : f 1( ) 3
Nagib JKf 3( ) f 1( )
3 116
f 2( ) f 1( )
2 112
f 1.5( ) f 1( )
1.5 110
f 1.2( ) f 1( )
1.2 18.8
f 1.1( ) f 1( )
1.1 18.4
f 1.01( ) f 1( )
1.01 18.04 Gradijent u K teži ka 8.
Primjer II-1.22Nađi izvode sljedećih funkcija (po x): y=4x7, y=3/x2, y=5,
x4x
7 d
d28 x
6
x
3
x2
d
d
6
x3
x5( )d
d0
x4x
1
3x
2
d
d4
2
3 x3
x2
Primjer II-1.23Nađi izvode sljedećih funkcija (po z): y=4sin 3z, f(z)=2sin 2z – 5cos 4z.
z4 sin 3z( )( )d
d12 cos 3 z( )
z2 sin 2z( ) 5 cos 4z( )( )d
d4 cos 2 z( ) 20 sin 4 z( )
Primjer II-1.24
Jačina naizmjenične struje data je izrazom i=5sin 100t, gdje je t vrijeme usekundama. Odredi brzinu promjene struje kada je t=0.01s. Da li u toj tačkijačina struje raste ili opada? Skiciraj na grafiku!!!
i t( ) 5 sin 100t( )
Prvi izvod je:t
5 sin 100t( )( )d
d500 cos 100 t( )
Brzina promjene struje: 500 cos 100 0.01( ) 270.151
Brzina promjene je pozitivna, pa struja raste
0 0.02 0.04 0.066
4
2
0
2
4
6
i z( )
i 0.01( )
z 0.01
Primjer II-1.25Nađi gradijent krive za x=1. Da li funkcija utoj tački raste ili opada?
x
3
x2
2 sin 4x( )2
ex
ln x( )
d
df' x( )
1
x2 e
x 8 cos 4 x( )
6
x3
f' 1( ) 0.507 Dakle, funkcija opada u tački x=1.
Primjer II-1.26Njutnov zakon hlađenja je dat izrazom =0ekt. Odredi brzinu promjenetemperature nakon 50 s, ako je 0=°C i k=-0.02. Da li se temperaturapovećava ili smanjuje?
θ0 15Δ°C k 0.021
s
θ t( ) θ0 ek t
Prvi izvod je:t
θ0 ek t
d
dθ' t( ) k θ0 e
k t
θ' 50s( ) 0.11 K s1
Brzina promjene temperature:
Brzina promjene je negativna, pa temperatura opada
0 20 40 60 80 1000
5
10
15
θ z( )
θ 50s( )
z 50
Primjer II-1.27Atmosferski pritisak p se mijenja s visinom h prema izrazu p=p0eh/c, gdje jep0 pritisak na zemlji, a c je konstanta. Odredi promjenu pritiska na visini
1550 m, ako je p0=100 kPa, a c=6.2x104 m.
p0 100kPa c 6.2 104
m
p h( ) p0 e
h
c
hp0 e
h
c
d
d p' h( )p0 e
h
c
c
p' 1550m( ) 1.573Pa
m
0 500 1 103 1.5 10
39.7 10
4
9.8 104
9.9 104
1 105
p z( )
p 1550m( )
z 1550
Primjer II-1.28Nađi integrale sljedećih funkcija (po x): y=4x7, y=3/x2, y=5,
x4x7
dx
8
2 +c
x3
x2
d3
x +c
x5
d 5 x +c
x3
x2
2 sin 4x( )2
ex
ln x( )
d4 x e
x x cos 4 x( ) 2 x
2 ln x( ) 2 x
2 6
2 x +c
Primjer II-1.29Nađi integrale sljedećih funkcija (po t): y=4sin 3t, f(t)=2sin 2t – 5cos 4t,
t4 sin 3t( )
d4 cos 3 t( )
3 +c
t2 sin 2t( ) 5 cos 4t( )( )
d cos 2 t( )5 sin 4 t( )
4 +c
t4t1
3t2
d2 t
2
3 t
t2
1
3
+c
Primjer II-1.30Izračunaj:
a)
b)
c)
d)
a)
x1
x2
2
x
d 2 ln x( )1
x
1
2
x1
x2
2
x
d 1.886
b)
t4 cos 3t( )
d4 sin 3 t( )
3 1
2
t4 cos 3t( )
d 0.561
c)
u3
4u
d3 ln u( )
41
4
u3
4u
d 1.04
d)
x4e2x
d 2 e2 x
1
4
x4e2x
d 5.947 103
Primjer II-1.31Nađi površinu koja je omeđena krivom y=2x+3, x-osom i ordinatama x=1 ix=4.
f x( ) 2x 3 y 0 20
0 1 2 3 4 50
5
10
15
20
f z( )
y
y
z 1 4
1
4
x2x 3
d 24 (površina trapeza!!!)
Primjer II-1.32Brzina v [m/s] nekog tijela u vremenu t [s] data je izrazom v=2t2+5. Nađi
pređeni put tijela u vremenu od 0 do 4 s.
t 0 4
v t( ) 2t2
5
0 1 2 3 40
10
20
30
40
v a( )
a
v t( )
57
13
23
37
zv z( )
d2 z
3
35 z
A0
4
xv x( )
d 62.667
Primjer II-1.33Skiciraj grafik funkcije između x=-3 i x=2 i nađipovrđinu koju kriva zaklapa s osom x.
x 3 2
f x( ) x3
2x2
5x 6
3 2 1 0 1 210
5
0
5
f a( )
a
f x( )
04
0
-6
-8
0
zf z( )
dz4
4
2 z3
3
5 z2
2 6 z
A3
1xf x( )
d1
2
xf x( )
d 21.083
Recommended