zgrada Rektorata, kancelarija 31* tel: 44 44 20 akarac ...ptf.unze.ba/wp/wp-content/uploads/2018/11/OMzI-dio2.pdf · • Azem Dautović, Huse Fatkić, Narcis Behlilović: Zbirka zadataka

Aleksandar Karač

zgrada Rektorata, kancelarija 31*

tel: 44 44 20

[email protected]; [email protected]

www.ptf.unze.baOdsjek proizvodni biznis Nastavni materijali OMzI (http://ptf.unze.ba/osnove-matematike-za-inzenjerstvo)

OSNOVE MATEMATIKE ZA INŽENJERSTVO

DIO II

*od 1.3. u zgradi Mašinskog fakulteta, kancelarija 1111

Osnove matematike za inženjerstvo – dio II 2018/2019. 1

Izvođenje nastave• predavanja: 2 časa sedmično

• vježbe (auditorne) : 2 časa sedmično

Obaveze studenata• redovno prisustvo na predavanjima i vježbama (ponesite digitron/kalkulator!!!)

• urađena zadaća – PREDATA U ZADANOM ROKU!!!

Uvod u DIO II....

Cilj predmeta • upoznati studente prve godine studija sa jednostavnošću matematike i njenom sposobnošću dajasno opiše inženjerske probleme

• pomoći promijeni percepcije da je matematika isključivo apstraktna i istaknuti njen značaj zainženjerstvo

• pomoći studentima da razviju vještine rješavanja problema primijenom matematike uinženjerstvu

• razviti vještine rješavanja problema na rigorozan, racionalan i jasan način• pomoći studentima da sami procijene i sami popune praznine u prethodnom matematičkom

obrazovanjuKompetencije(Ishodi učenja)

Po uspješnom završetku kursa studenti će biti u stanju da:• pokažu svijest o važnosti matematike u širokom rasponu tema, posebno uključujući mehaniku i

računarsko inženjerstvo• pokažu sposobnost korištenja matematičke terminologije kao dijela analize i rješavanja

tehničkih problema• pokažu sposobnosti da izaberu i primijene ispravan matematički metod na jednostavnim

problemima mehanike i inženjerskih aplikacija


Sadržaj/program kursa – dio II

(1) Funkcije 2 sedmice

(2) Diferenciranje 1 sedmica

(3) Integriranje 1 sedmica

TEST – 14.12.2018. u 9.30

Uvod u DIO II....

ZADAĆA:

Zadata: 09. novembar 2017.Rok za predaju: 21. decembar 2017. (petak)

KonsultacijeRadnim danom (osim srijede) od 12.00-14.00


LITERATURA

dodatna

osnovna • Predavanja, vježbe (sve dostupno na web stranici)

• Michael Batty (2011) Essential Engineering Mathematics, ISBN: 978-87-7681-735-0, http://bookboon.com/en/essential-engineering-mathematics-ebook

• Bird J., Basic Engineering Mathematics, Routledge, 7th edition, 2014.

• Bird J., Engineering Mathematics, Routledge, 7th edition, 2014.

• Bird J., Higher Engineering Mathematics, Routledge, 7th edition, 2014.

• Bird J., Understanding Engineering Mathematics, Routledge, 7th edition, 2014.

• Dave Benson: Music: A Mathematical Offering (2008) ISBN: 978-05-2161-999-8 http://homepages.abdn.ac.uk/mth192/pages/html/music.pdf

• Anthony Croft, Robert Davison, Martin Hargreaves (2001) Essential Engineering Mathematics, 0-13-026858-5• Azem Dautović, Huse Fatkić, Narcis Behlilović: Zbirka zadataka za pripremnu nastavu iz matematike,

Elektrotehnički fakultet u Sarajevu, 2011. godina• B.P. Demidovič: Zadaci i riješeni primjeri iz više matematike s primjenom na tehničke nauke,. Tehnička knjiga,

Zagreb, 1980.

Uvod u DIO II....


Kompetencije nakon ovog dijela:

• Prepoznati standardne krive i njihove jednačine: pravac, kvadratna, kubna, trigonometrijska, logaritamska, eksponencijalna funkcija, krug, elipsa, hiperbola

• Izvršiti jednostavne grafičke transformacije

• Definisati kontinuitet funkcija

• Definisati parnost funkcija

• Definisati inverznu funkciju

• Skicirati grafike jednostavnih funkcija

II-1 Funkcije


Definicija funkcije II-1 Funkcije

Funkcija je relacija između skupa ulaznih podataka i skupa dozvoljenih izlaznih podataka, pri čemu svaki ulaznipodatak ima tačno jedan izlazni podatak.

Na primjer, funkcija je relacija koja svaki realni broj x povezuje s njegovim kvadratom x2.

Izlazna vrijednost funkcije f koja se odnosi na ulaznu vrijednost x (argument) označava se sa f(x) (f od x)

Ako je f(x)=x2, onda je f(2)=22=4.

Grafici i funkcije

Za poznatu jednačinu, za određeni opseg vrijednosti, moguće je izračunati koordinate, pa se jednačina može prikazati(opisno) u obliku grafika. Ponekad je korisno prikazati sve karakteristike neke jednačine, pa se u tom slučaju moženacrtati skica koja opisuje jednačinu, a tačan grafik je manje važan (skiciranje krive).

Ako, na primjer, y zavisi od x, kaže se da je y funkcija od x, a ova zavisnost se piše y=f(x). x predstavlja nezavisnupromjenljivu, a y zavisno promjenljivu.

U nauci i tehnici, odgovarajuće vrijednosti dobivaju se na osnovu testova i eksperimenata.


Grafici i funkcije

Grafik je slikovita reprezentacija informacija koja pokazuje kakose jedna veličina mijenja u odnosu na drugu veličinu.

Uobičajen način prikazivanja je pomoću Kartezijevog(pravouglog) koordinatnog sistema (slika desno).

Tačke na grafiku nazivaju se koordinate. Na primjer, tačka A imakoordinate (3, 2), tačka B koordinate (-4,3), ...

Horizontalna udaljenost tačke od vertikalne ose je abscisa, avertikalna udaljenost od horizontalne ose je ordinata.

II-1 Funkcije

Grafici i dijagrami omogućuju jednostavan i moćan pristup mnogim inženjerskim problemima: periodične funkcijeopisuju oscilacije, talase i ostale fenomene koji pokazuju periodičnost, mnoge osnovne funkcije (linearne, kvadratne,eksponencijalne, ...) i znanja o njima su neophodne kako bi se odredilo kako ih upotrijebiti za generiranje mnogokomplikovanijih oblika (kvadratni, nazubljeni, ...), razumijevanje kontinuiteta/diskontinuiteta funkcija, parnosti,inverznih funkcija, ..., u mnogome pomažu u svemu tome (kaže se da je to sve dio ‘jezika inženjerstva’).


Pravac

3 2

Nagib (gradijent) pravca je odnos promjene vrijednosti y i promjene vrijednosti x između bilo koje dvije tačke na pravcu

nagib

= 2

Pozitivan nagib (2):s povećanjem x povećava se y;funkcija raste

Presjek s y-osom je vrijednost y za x=0.

2 · 0 1 1

Presjek s x-osom (nula funkcije) je vrijednost x za y=0.

0 2 · 1 →12

12

1 1

Kanonski oblik jednačine pravca

2 1

II-1 Funkcije

Na primjer,

Standardne funkcije (krive)


Pravac

Opšta jednačina pravca

b

nagib

= 3

Negativan nagib (-3):s povećanjem x smanjuje se y;funkcija opada

Presjek s y-osom

3 · 0 2 2

Presjek s x-osom (nula funkcije)

0 3 · 3 →23

23

2 1


3 2

Koeficijent (pravca) a predstavlja nagib (gradijent) pravca, a koeficijent b predstavlja presjek s y-osom.

Oblast definisanosti y=ax+b: za x(- ∞, ∞)


/ 1

II-1 Funkcije

Na primjer,



Pravac – praktični primjeri

II-1 FunkcijeStandardne funkcije (krive)

Primjer II-1.1 Skiciraj grafik y=4x+3 u opsegu x∊[-3,4] i nađi vrijednost y za x=2.2 i vrijednost x za y=-3, te nađi gradijent (nagib) i presjecišta s x i y osom.

Primjer II-1.2 Skiciraj sljedeće grafike u rasponu x∊[-4,4] : y=x; y=x+2; y=x-3, te nađi njihove gradijente (nagib) i presjecišta s x i y osom.

Primjer II-1.3 Nađi gradijete sljedećih pravaca: y=5x-1, 2x+3y=3, pravac koji prolazi kroz tačke (-2,5) i (3,4), pravac koji prolazi kroz tačke (-2,-3) i (-1,3).

Primjer II-1.4 Ovisnost temperature u stepenima Celzijusa (°C) i stepenima Farenhajta (°F) data je u Tabeli dole.

a) Prikaži datu ovisnost grafički

b) Očitaj vrijednost temperature 55°C u °F

c) Očitaj vrijednost temperature 170°F u °C

d) Izvedi jednačinu koja daje vezu °C i °F


Pravac – praktični primjeri


Primjer II-1.5 Prilikom testiranja sijalice, dobivene su vijednosti otpora R u omima () i napona U u voltima (V). Dobivene vrijednosti su aproksimirane linearnom funkcijom s podacima datim u Tabeli.

a) Prikaži datu ovisnost grafički (otpor kao y-osu)

b) Odredi gradijent

c) Odredi presjek s R-osom

d) Kolika bi vrijednost otpora bila za 110 V

e) Izvedi jednačinu pravca

Primjer II-1.6 Brzina tijela v ovisi o vremenu t. Mjereni rezultati dati su u Tabeli.

a) Prikaži datu ovisnost grafički (vrijeme kao x-osu)

b) Odredi gradijent (ubrzanje)

c) Odredi brzinu nakon 10 s

d) Odredi vrijeme pri 20 m/s

e) Izvedi jednačinu pravca


Kvadratna funkcija

Opšta jednačina kvadratne funkcije (parabola)

+

a > 0 (ekstrem: minimum) a < 0 (ekstrem: maksimum) b = 0 – kriva simetrična u odnosu na y-osu

b/a > 0 – pomjeranje (ekstrema) ulijevo za b/2a b/a < 0 – pomjeranje (ekstrema) udesno za b/2a

Oblast definisanosti : za x(- ∞, ∞)



Kvadratna funkcija

Nule kvadratne funkcije (korijeni kvadratne jednačine)

+ 0

,4

2

Mogu biti (2 rješenja jednačine):

dva različita realna dva ista (višestruka) realna dva konjugovano-kompleksna

4 >0 4 0 4 0



Kvadratna funkcija – praktični primjeri


Primjer II-1.7 Za funkcije f(x)=4x2+4x-15 i y=-5x2+9x+7.2

a) Nacrtaj grafike

b) Nađi nule

c) Nađi koordinate i prirodu ekstrema

Primjer II-1.8 Za funkciju f(x)=10x2-13x-30 primijenjujući interval x∊[-2,3]

a) Nacrtaj grafik

b) Nađi nule

c) Nađi koordinate i prirodu ekstrema

d) Nađi vrijednost y za x=1.3

e) Nađi vrijednost x za y=10


Kubna funkcija

Opšta jednačina kubne funkcije

+

a > 0 a < 0

Oblast definisanosti + : za x(- ∞, ∞)


3 0 3 0 3 0


Nule kubne funkcije

+ 0

Mogu biti (3 rješenja jednačine):

tri različita realnatri realna od čegadva ista (višestruka) tri ista (višestruka) realna

jedno realno i dvakonjugovano kompleksna

II-1 Funkcije

Kubna funkcija


Δ 18 4 4 27

Δ 0 Δ 0 Δ 03 03 0


Nule kubne funkcije

Postoji postupak tačnog rješavanja opšte jednačine 3. reda

https://en.wikipedia.org/wiki/Cubic_function

ali i 4. reda!!!

Za polinome u opštem obliku reda većeg od 4 ne postoji analitičko rješenje, nego se koriste iterativni postupci rješavanja (numeričke metode).

Ipak, pomoću Teoreme (testa) o racionalnim nulama polinoma, moguće je naći racionalna rješenja (koja se mogu predstaviti u obliku razlomka) ukoliko ona postoje. Moguća rješenja su svi pozitivni i negativni razlomci, kod kojih je brojnik djelilac slobodnog člana, a nazivnik djelilac koeficijenta uz najveći stepen. Na primjer:

II-1 Funkcije

Kubna funkcija


+ 0

3 5 5 2 0 Moguća rješenja: tj. 1,21,3

1, 1, 2, 2,13 ,

13 ,23 ,

23

6 2 5 10 0 Moguća rješenja: tj. 1,2,5,101,2,3,6

1, 1, 2, 2, 5, 5,10, 10,12 ,

12 ,13 ,

13

16 ,

16 ,23 ,

23 ,52 ,

52 ,53 ,

53 ,56 ,

56 , …


Logaritamska funkcija

→ loglog → log

Pojam logaritma (log)

3 81 → 4 log 814 je stepen ili eksponent3 je baza

4 je logaritam od 81 po bazi 3

log · log log

log log log

log · log

log 1 0

log 1

log 0 ∞


Važnije vrijednosti i pravila


Opšta jednačina logaritamske funkcije

log Logaritam od x po bazi a

log Logaritam od x po bazi 10

ln Logaritam od x po bazi e (=2.7182818...) – prirodni logaritam

Oblast definisanosti y=log(x): za x(0, ∞)

II-1 Funkcije

Logaritamska funkcija



Opšta jednačina eksponencijalne funkcije

Oblast definisanosti y=ex: za x(-∞, ∞)


Eksponencijalna funkcija

Zakoni rasta i propadanja

Javljaju se u obliku y=Ae-kx ili y=A(1-e-kx), gdje su A i kkonstante u raznim područjima inženjerstva i nauke:

i) Linearna ekspanzija

ii) Promjena električnog otpora s temperaturom

iii) Zatezanje lanaca

iv) Njutnov zakon hlađenja

v) Biološki rast

vi) Atomosferski pritisak

vii) Pražnjenje kondenzatora

viii) Radioaktivno propadanje

ix) Porast struje u kondenzatorskom krugu

x) ........


Eksponencijalna funkcija – praktični primjeri


Primjer II-1.9 Otpor R električnog kondenzatora na temperaturi [°C] dat je izrazom R=R0e, gdje je konstanta, a R0=5000 . Odredi (na 4 značajne cifre), kada je R=6000 i =1500°C. Također, nađi temperaturu kada je otpor R=5400 .

Primjer II-1.10 Temperatura 2[°C] kalema, koji se zagrijava električnom strujom, u vremenu t data je izrazom 2=1(1-et/), gdje je 1 temperatura za t=0, a je konstanta. Izračunati:

a) temperaturu kada je 2=50°C, t=30s, a =60s

b) vrijeme t, kada temperatura 2 ima vrijednost polovine 1.


Trigonometrijske funkcije

sin

cos

sincos tg

Opšte jednačine trigonometrijskih funkcija



Crtanje sinusne i kosinusne funkcije

II-1 Funkcije




II-1 Funkcije



Sinusna funkcija oblika Asin(t ± )

Vektor OR slobodno rotira oko tačke O u smjeru suprotnom od kretanja kazaljke na satu (tzv. fazni vektor): za vrijeme t on se okrene za ugao t (u radijanima) i vrijedi ST=TOsint.

Ako vektor OR načini jedan obrtaj (2 radijana) u T sekundi, onda je ugaona brzina:

T se naziva period.Broj punih obrtaja u sekundi je frekvencija:

2 rads →

2

1 1s Hz 2


II-1 Funkcije



Sinusna funkcija oblika Asin(t ± )

A – maksimalna vrijednost sinusnog talasa – amplituda

– ugaona brzina (=2f) u radijanima u sekundi [rad/s]

T – period (=2/) u sekundama [s]

f – frekvencija (=/2) u hercima [Hz]

– fazni ugao u radijanima [rad] – ako je znak +, funkcija je ispred, a ako je – onda kasni za funkcijom oblika sint


Trigonometrijske funkcije – praktični primjeri


Primjer II-1.11 Jačina naizmjenične struje data je izrazom t=30sin(100t+0.27) u amperima [A]. Nađi amplitudu, period, frekvenciju i fazni ugao (u stepenima).

Primjer II-1.12 Oscilirajući mehanizam ima maksimalno pomjeranje od 2.5 m i frekvenciju od 60 Hz. U vremenu t=0, pomjeranja je 90 cm. Izrazi pomjeranje u opštem obliku Asin(t ± ).

Primjer II-1.13 Trenutna vrijednost napona u naizmjeničnom strujnom krugu u bilo kojem vremenu t data je izrazom u= 340sin(50 t – 0.541) u voltima[V]. Odredi:

a) amplitudu, period, frekvenciju, fazni ugao (u stepenima)

b) vrijednost napona za t=0

c) vrijednost napona za t=10ms

d) vrijeme kada napon dostigne vrijednost 200V

e) vrijeme kada napon dostigne maksimalnu vrijednost

Skiciraj grafik funkcije.


Krug

Opšta jednačina kruga

Jednačina kruga s centrom u (a,b) i poluprečnika R.


Prošireni oblik jednačine kruga

2 2 0


Krug – praktični primjeri


Primjer II-1.14 Odredi poluprečnik i koordinate kruga datog jednačinom x2+y2+8x-2y+8=0.

Primjer II-1.15 Skiciraj grafik sljedeće jednačine: x2+y2-4x+6y-3=0


Opšta jednačina elipse

1 Dužina AB (2a) je velika osa (a je velika poluosa), a dužina CD (2b) mala osa (b je mala poluosa).

II-1 Funkcije

Elipsa



Opšta jednačina hiperbole

1 Dužina AB jednaka je 2a.

Pravougaona hiperbola

→

II-1 Funkcije

Hiperbola



Jednostavne transformacije

Na osnovu grafika y=f(x) moguće je izvesti grafike funkcija koje su transformacije grafila y=f(x), kao na primjer:

y=a·f(x); y=f(x) + a; y=f(x+a); y=f(a · x); y(x)=−f(x); y=f(− x)

y=a·f(x) – ‘rastezanje’ grafika y=f(x) paralelno osi y za faktor a.

y= – f(x) – refleksija grafika y=f(x) u odnosu na osu x.

II-1 Funkcije



y=f(x+a) – translacija grafika y=f(x) za –a paralelno x osi.

y=f(x) + a – translacija grafika y=f(x) za a paralelno y osi.

II-1 Funkcije



y=f(a · x) – ‘rastezanje’ grafika y=f(x) paralelno osi x za faktor 1/a

y=f(– x) – refleksija grafika y=f(x) u odnosu na osu y.

II-1 Funkcije


Jednostavne transformacijeII-1 Funkcije

Praktični primjeri

Primjer II-1.16 Skiciraj grafike y=(x-4)2 i f(x)=x3-8

Primjer II-1.17 Skiciraj grafike y=5-(x+2)2 i f(x)=1+3sin2x

Primjer II-1.18 Skiciraj grafik y = x - x2


Periodičnost

Neprekidnost funkcija

Za funkciju se kaže da je periodična ako vrijedi f(x)=f(x+T) za sve vrijednosti x, gdje je T neki pozitivan broj. T je vrijeme između uzastopnih ponavljanja i naziva se period.

Na primjer:

sin sin 21, za 01, za0

Neke karakteristike funkcija

Ukoliko grafik funkcije nema nagle skokove ili prekide za funkciju se kaže da je neprekidna ili kontinuirana (na primjer, funkcije sinus i kosinus). Ukoliko skokovi ili prekidi postoje (na primjer, grafik gore desno ili tangens funkcija) funkcija je prekidna (diskontinuirana).

II-1 Funkcije


ParnostNeke karakteristike funkcija

Za funkciju se kaže da je parna ako vrijedi f(x)=f(-x) za sve vrijednosti x. Grafici parnih funkcija su uvijek simetrični u odnosu na osu y (slika u ogledalu).

Za funkciju se kaže da je neparna ako vrijedi f(-x)=-f(x) za sve vrijednosti x. Grafici neparnih funkcija su uvijek simetrični u odnosu na koordinatni početak.

Većina funkcija, ipak, nije ni parna ni neparna (logaritamska, ...)

II-1 Funkcije


Inverzne funkcije


Ako je y funkcija od x, grafik x-y može poslužiti da se nađe vrijednost x, ako je poznata vrijednost y. Drugim riječima, grafik x-y pokazuje da je x funkcija u odnosu na y. Za takve dvije funkcije se kaže da su inverzne. Inverzna funkcija se označava sa y=f-1(x).

Inverzna funkcija se dobiva kada se x predstavi u ovisnosti od y, a onda im se zamijene mjesta

Na primjer:

2 1 → 1

2 → 212

2 1 → 212

Inverzna funkcija je refleksija funkcije u odnosu na pravac y=x.

II-1 Funkcije


Inverzne trigonometrijske funkcije


sin → sin arcsin

cos → cos arccos

tg → tg arctg

S obzirom da su inverzne trigonometrijske fukcije periodične, prilikom izračunavanja ugla (u radijanima) traži se najmanja vrijednost, i to za funkcije sinus i kosinus u intervalu 0<y<, a za funkciju tangens u intervalu –/2<y<

II-1 Funkcije



II-1 Funkcije

Praktični primjeri

Primjer II-1.19 Odredi inverzne funkcije za

a) f(x)=x+1

b) f(x)=5x+1

c) f(x)=1/x+2

Skiciraj funkcije i njihove inverzne funkcije.

Primjer II-1.20 Izračunaj vrijednosti sljedećih funkcija: arcsin(-1), arccos(0.5), arctg(0.5), arcctg(2), arcsin(1/3)+arccos(4/5)+arctg(8/9).


II-2 Diferenciranje


• Opisati gradijent krive i njegovu graničnu vrijednost

• Diferencirati standardne funkcije


II-2 Diferenciranje

Gradijent krive

Uvod Postoje mnoge praktične situacije koje inženjeri trebaju analizirati, a koje uključuju veličine koje se mijenjaju: naponi u opterećenim gredama, temperatura industrijskih hemikalija, brzina promjene brzine nekog vozila, struja u električnom krugu, moment uvijanja na turbinskoj lopatici, ... Diferenciranje je matematička tehnika kojom se analizira način promjene funkcija i korisna je u tim slučajevima.

Ako se nacrta tangenta u tački P krive, gradijent (nagib) tangente predstavlja gradijent krive u tački P.

Gradijent krive u tački P jednak je gradijentu tangente PQ.


Gradijent krive

Gradijent tetive AB dat je izrazom

nagib

Primjer: f(x)=x2

Gradijent tetive AB 4

Gradijent tetive AC 3

Gradijent tetive AD..

2.5

Gradijent tetive AE (E(1,1,f(1,1)))..

2.1

Gradijent tetive AF (E(1,01,f(1,01)))..

2.01

Približavanje graničnoj vrijednosti gradijenta u tački A (=2).

II-2 DiferenciranjeUvod


Diferenciranje - definicija Neka su tačke A i B vrlo blizu jedna drugoj, odnosno vrijednosti x(delta x) i y (delta y) predstavljaju male udaljenosti u x i y pravcu, respektivno.

Gradijent tetive AB

Kako se x približava nuli, tako se y/x približava graničnoj vrijednosti, odnosno gradijent tetive AB se približava gradijentu tangente u A.

lim→

lim→

(Prvi) izvod funkcije y=f(x) lim→

lim→

′ lim→

lim→

Postupak pronalaženja izvoda funkcije naziva se diferenciranje.

II-2 Diferenciranje


Geometrijsko značenje prvog izvoda

II-2 Diferenciranje

Prema prethodnim izlaganjima,

gradijent tangente u nekoj tački (P) predstavlja vrijednost prvog izvoda u toj tački!!!!

Ukoliko je vrijednost prvog izvoda u nekoj tački, odnosno gradijent tangente u toj tački, veći od nule, funkcija raste!

Ukoliko je vrijednost prvog izvoda u nekoj tački, odnosno gradijent tangente u toj tački, manja od nule, funkcija opada!

Ukoliko je vrijednost prvog izvoda u nekoj tački, odnosno gradijent tangente u toj tački, jednaka nuli, funkcija niti raste niti opada (ekstrem ili prevojna tačka)!


Izvodi osnovnih funkcija

Funkcija Izvod

sin cos

cos sin

ln1

Ukoliko se nakon diferenciranja, izvrši diferenciranje prvog izvoda (sukcesivno diferenciranje), dobiva se izvod drugog reda

(de 2 y po de x na kvadrat)

itd ....

II-2 Diferenciranje


Brzina promjene neke veličine

Ukoliko neka veličina y zavisi i mijenja se u odnosu na veličinu x, brzina promjene y u odnosu na x je

data izrazom

Na primjer, brzina promjene pritiska p s visinom h je , brzina promjene struje i u vremenu je ,

brzina promjene temperature T duž provodnika , itd.

II-2 Diferenciranje


II-2 DiferenciranjePraktični primjeri

Primjer II-1.21 Nacrtaj krivu f(x)=4x2-1 za vrijednosti x[-1, 4]. Na grafiku označi tačke J i K s koordinatama (3, f(3)) i (1, f(1)), respektivno, i nađi gradijent tetive JK. Pomjerajući se prema K nađi gradijent tangente u K.

Primjer II-1.22 Nađi izvode sljedećih funkcija (po x): y=4x7, y=3/x2, y=5, 41

Primjer II-1.23 Nađi izvode sljedećih funkcija (po t): y=4sin 3t, f(x)=2sin 2t – 5cos 4t.

Primjer II-1.24 Jačina naizmjenične struje data je izrazom i=5sin 100t, gdje je t vrijeme u sekundama. Odredi brzinu promjene struje kada je t=0.01. Da li u toj tački jačina struje raste ili opada? Skiciraj na grafiku!!!

Primjer II-1.25 Nađi gradijent krive za x=1. Da li funkcija u toj tački raste ili opada?

32 sin 4

2ln

Primjer II-1.26 Njutnov zakon hlađenja je dat izrazom =0e kt. Odredi brzinu promjene temperature nakon 50 s, ako je 0=°C i k=-0.02. Da li se temperatura povećava ili smanjuje?

Primjer II-1.27 Atmosferski pritisak p se mijenja s visinom h prema izrazu p=p0e h/c, gdje je p0 pritisak na zemlji, a c je konstanta. Odredi promjenu pritiska na visini 1550 m, ako je p0=100 kPa, a c=6.2x104 m.


II-3 Integriranje


• Razumjeti proces integracije kao inverzni proces diferenciranja

• Određivanje integrala standardnih funkcija

• Izračunavanje određenog integrala

• Izračunavanje površine ispod krive


II-3 Integriranje

Proces integriranja

Uvod

Slično diferenciranju, integriranje je neizostavna tehnika u radu inženjera, istraživača i naučnika. Tipični primjeri primjene integrala su određivanja i izračunavanja površina, srednjih vrijednosti, zapremine rotirajućih tijela, težišta, momenata inercije, diferencijalnih jednačina, Fourierove analize, itd. Ovo poglavlje je posvećeno određivanju površina ispod krivih.

Integriranje je proces obrnut procesu diferenciranja. Kod diferenciranja, ako je f(x)=2x2, onda je f’(x)=4x. Na taj način, integral od 4x je 2x2, odnosno integriranje je proces u kojem se od f’(x) dobiva f(x).

Integriranje je proces sabiranja ili dodavanja dijelova, a simbolički se označava izduženim S, koje se piše sa ⨛, a čita se „integral od”.

U procesu diferenciranja, izvod dy/dx označava da se diferenciranje obavlja u odnosu na x (dx). Slično, integraciona promjenljiva se označava dodavanjem slova d nakon funkcije koju treba integrirati.

4 znači, integral od 4x u odnosu na x

2 znači, integral od 2t u odnosu na t


Proces integriranja

Izvod od je 4x, ali vrijedi i

izvod od je 4x (izvod konstante je 0)

Stoga može biti i i

U ovom slučaju radi se o neodređenim integralima te se prilikom integriranja rezultatu dodaje i konstanta c. Dakle,

4 2

2

2 5

4 2 2 5

a konstanta c se naziva (proizvoljna) konstanta integracije.

II-3 Integriranje


Integrali osnovnih funkcija

Funkcija Integral

1

sin

cos

1

cos

sin

ln

osim za n=-1 (vidi dole)

II-3 Integriranje


Integrali osnovnih funkcija – praktični primjeri

II-3 Integriranje

Primjer II-1.28 Nađi integrale sljedećih funkcija (po x): y=4x7, y=3/x2, y=5,

Primjer II-1.29 Nađi integrale sljedećih funkcija (po t): y=4sin 3t, f(t)=2sin 2t – 5cos 4t, 41

32 sin 4

2ln


Određeni integrali

Ukoliko integrali u svojim rješenjima sadrže konstantu c, radi se o neodređenim integralima, s obzirom da nije moguće odrediti tačnu vrijednost bez dodatnih informacija.

Određeni integrali su oni kod kojih su primijenjene granice integracije.

Ako napišemo izraz , vrijednost b se naziva gornja granica, a vrijednost a donja granica, pa se

operacija primjenjivanja granica definiše sa

Vrijednost integrala funkcije x2 u granicama od 1 do 3 (vrijednost x se mijenja od 1 do 3) se piše i računa na sljedeći način:

333

13 8

23

II-3 Integriranje


Određeni integrali – praktični primjeri

II-3 Integriranje

Primjer II-1.30 Izračunaj:

a)

b)

c)

d)

1 2

4 cos 3

34

4


Površina ispod krive

Površina ispod krive može se izračunati korištenjem integracije, odnosno izračunavanjem određenog integrala.

šrafiranapovršina

Primjeri primjene:

a) grafik brzina-vrijeme – dobivanje pređenog puta,

b) grafik sila-pomjeranje – dobivanje utrošenog rada,

c) grafik napon-jačina struje – dobivanje snage,

d) ....

II-3 Integriranje


Površina ispod krive

Ukoliko je potrebno naći površinu kao na slici dole, gdje kriva ima i negativne vrijednosti, neophodno je za taj dio staviti negativan znak ispred integrala

šrafiranapovršina

II-3 Integriranje


Površina ispod krive – praktični primjeri

II-3 Integriranje

Primjer II-1.31 Nađi površinu koja je omeđena krivom y=2x+3, x-osom i ordinatama x=1 i x=4.

Primjer II-1.32 Brzina v [m/s] nekog tijela u vremenu t [s] data je izrazom v=2t2+5. Nađi pređeni put tijela u vremenu od 0 do 4 s.

Primjer II-1.33 Skiciraj grafik funkcije između x=-3 i x=2 i nađi površinu koju kriva zaklapa s osom x.

2 5 6


Ispitni zadaci


Ispitni zadaci


Ispitni zadaci


Ispitni zadaci


Ispitni zadaci


Ispitni zadaci

Primjer II-1.1Skiciraj grafik y=4x+3 u opsegu x∊[-3,4] i nađi vrijednost y za x=2.2 ivrijednost x za y=-3, te nađi gradijent (nagib) i presjecišta s x i y osom.

f x( ) 4x 3

f 3( ) 9

f 4( ) 19

3 2 1 0 1 2 3 4

10

5

5

10

15

20

f x( )

x

f 2.2( ) 11.8

f x( ) y= 3= 4x 3= x3

2=

Nagib: 4

Presjecište s x-osom (y=0): 4x 3 0= x3

4=

Presjecište s y-osom (x=0): y 3=

Primjer II-1.2Skiciraj sljedeće grafike u rasponu x∊[-4,4] : y=x; y=x+2; y=x-3, te nađinjihove gradijente (nagib) i presjecišta s x i y osom.

f1 x( ) x

f2 x( ) x 2

f3 x( ) x 3

4 3 2 1 0 1 2 3 4

10

6

2

2

6

10

f1 x( )

f2 x( )

f3 x( )

x

Nagibi su za sve krive (pravca) jednaki 1, što se vidi iz oblika jednačina (koeficijenti pravca) - stoga supravci međusobno paralelni

Presjecišta s x-osom (y=0): a x b 0= xb

a=

f1 0

f2 2

f3 3

Presjecište s y-osom (x=0):

f1 0

f2 2

f3 3

Primjer II-1.3Nađi gradijete sljedećih pravaca: y=5x-1, 2x+3y=3, pravac koji prolazi kroztačke (-2,5) i (3,4), pravac koji prolazi kroz tačke (-2,-3) i (-1,3).

f1 x( ) 5x 1 Gradijent: 5

f2 x( )2

3 x 1 Gradijent:

2

3

(-2,5) i (3,4) Gradijent:4 5

3 2( )0.2

(-2,-3) i (-1,3) Gradijent:3 3( )

1 2( )6

Primjer II-1.4Ovisnost temperature u stepenima Celzijusa (°C) i stepenima Farenhajta (°F)data je u Tabeli dole. a) Prikaži datu ovisnost grafičkib) Očitaj vrijednost temperature 55°C u °Fc) Očitaj vrijednost temperature 170°F u °Cd) Izvedi jednačinu koja daje vezu °C i °F

C 10 20 40 60 80 100( )T

F 50 68 104 140 176 212( )T

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 12040

60

80

100

120

140

160

180

200

220

F

C

a)

b) 55°C je oko 120°F

c) 170°F je oko 78°C

d) Koristeći prva dva podatka (10,50) i (20,68), može se dobiti jednačina pravca u obliku

y y1y2 y1

x2 x1x x1 =

y 5068 50

20 10x 10( )= pa je y

9

5x 32=

Dakle, jednačina F9

5C 32 daje ovisnost stepeni Farenhajta i Celzijusa

Primjer II-1.5Prilikom testiranja sijalice, dobivene su vijednosti otpora R u omima () inapona U u voltima (V). Dobivene vrijednosti su aproksimirane linearnomfunkcijom s podacima datim u Tabeli.a) Prikaži datu ovisnost grafički (otpor kao y-osu)b) Odredi gradijentc) Odredi presjek s R-osomd) Kolika bi vrijednost otporna bila za 110 Ve) Izvedi jednačinu pravca

U 16 29 52 76 94( )T

R 30 46.25 75 105 127.5( )T

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120102030405060708090

100110120130140150

R

U

a)

b) Koristeći prva dva podatka (16,30) i (29,46.25), može se izračunati gradijent (ubrzanje)

gradijenty2 y1

x2 x1=

gradijent46.25 30

29 161.25

c) S grafika: Presjek s R osom je oko 10

d) S grafika: Vrijednost optora za 110 V bi bila oko 145

e) Koristeći prva dva podatka (16,30) i (29,46.25), može se dobiti jednačina pravca u obliku

y y1y2 y1

x2 x1x x1 =

y 3046.25 30

29 16x 16( )= pa je y

5

4x 10=

Primjer II-1.6Brzina tijela v ovisi o vremenu t. Mjereni rezultati dati su u Tabeli.• Prikaži datu ovisnost grafički (vrijeme kao x-osu)• Odredi gradijent (ubrzanje)• Odredi brzinu nakon 10 s• Odredi vrijeme pri 20 m/s• Izvedi jednačinu pravca

t 2 5 8 11 15 18( )T

v 16.9 19 21.1 23.2 26 28.1( )T

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 2015161718192021222324252627282930

v

t

a)

b) Koristeći prva dva podatka (2,16.9) i (5,19), može se izračunati gradijent (ubrzanje)

gradijenty2 y1

x2 x1=

gradijent19 16.9

5 20.7

c) S grafika: brzina nakon 10s je oko 22.5 m/s

d) S grafika: vrijeme za v=20 m/s je oko 6.5 s

e) Koristeći prva dva podatka (2,16.9) i (5,19), može se dobiti jednačina pravca u obliku

y y1y2 y1

x2 x1x x1 =

y 16.919 16.9

5 2x 2( )= pa je y

7

10x 15.5=

Dakle, jednačina u 0.7t 15.5 daje ovisnost brzine i vremena.

Primjer II-1.7Za funkcije f(x)=4x2+4x-15 i y= -5x2+9x+7.2a) Nacrtaj grafikeb) Nađi nulec) Nađi koordinate i prirodu ekstrema.

f1 x( ) 4x2

4x 15 f2 x( ) 5 x2

9x 7.2

a) Grafici

4 2 0 2 420

10

0

10

f1 x( )

x

4 2 0 2 420

10

0

10

20

f2 x( )

x

b) Nule

x14 4

24 4 15( )

2 41.5 x1

9 92

4 5( ) 7.2

2 5( )0.6

x24 4

24 4 15( )

2 42.5 x2

9 92

4 5( ) 7.2

2 5( )2.4

c) Ekstremi

x29

2 5( )0.9

x14

2 40.5

maksimum (-5<0)minimum (4>0)

Primjer II-1.8Za funkciju f(x)=10x2-13x-30 primijenjujući interval x∊[-2,3]a) Nacrtaj grafikb) Nađi nulec) Nađi koordinate i prirodu ekstremad) Nađi vrijednost y za x=1.3e) Nađi vrijednost x za y=10

f x( ) 10x2

13x 30

a) Grafik

2 1 0 1 2 3

40

20

0

20

40

f x( )

x

b) Nule

x113( ) 13( )

24 10 30( )

2 102.5

x213( ) 13( )

24 10 30( )

2 101.2

c) Ekstremi

x113

2 100.65

maksimum (10>0)

d) f 1.3( ) 30

e)

10 10x2

13x 30=10x

213x 40 solve

1769

20

13

20

13

20

1769

20

10x

213x 40 0=

Primjer II-1.9Otpor R električnog kondenzatora na temperaturi [°C] dat je izrazom

R=R0e, gdje je konstanta, a R0=5000 . Odredi (na 4 značajne cifre),kada je R=6000 i =1500°C. Također, nađi temperaturu kada je otporR=5400 .

R θ( ) 5000 eαθ

=

Prema uslovima zadatka: 6000 5000 eα 1500

=

Logaritmirajući lijevu i desnu stranu imamo: ln 6000( ) ln 5000 eα 1500

= ln 5000( ) α 1500=

Sada se lako dobija ln

6000Ω

5000Ω

1500Δ°C1.215 10

4

1

Δ°C

Prema uslovima zadatka: 5400 5000 e1.215 10

4 θ=

Logaritmirajući lijevu i desnu stranu imamo:

ln 5400( ) ln 5000 e1.215 10

4 θ

= ln 5000( ) 1.215 10

4 θ=

Sada se lako dobija θ

ln5400Ω

5000Ω

1.215 104

1

Δ°C

633.424 Δ°C

Primjer II-1.10Temperatura 2[°C] kalema koji se zagrijava električnom strujom u vremenu

t data je izrazom 2=1(1-et/), gdje je 1 temperatura za t=0, a jekonstanta. Izračunati:a) temperaturu kada je 2=50°C, t=30s, a =60sb) vrijeme t, kada temperatura 2 ima vrijednost polovine 1

θ2 t( ) θ1 1 e

t

τ

=

a)

Prema uslovima zadatka: θ150Δ°C

1 e

30s

60s

127.075 Δ°C

b)

Prema uslovima zadatka:θ1

2θ1 1 e

t

τ

= pa je 1 e

t

τ

0.5= tj. e

t

τ

0.5=

Logaritmiranjem lijeve i desne strane dobija se ln e

t

τ

ln 0.5( )= tj.

t

τln 0.5( )=

t ln 0.5( ) 60 s 41.589 s

Primjer II-1.11Jačina naizmjenične struje data je izrazom t=30sin(100t+0.27) u amperima[A]. Nađi amplitudu, period, frekvenciju i fazni ugao (u stepenima).

Amplituda: 30A

Period: T2π

100 πs 0.02 s

Frekvencija: f1

T50 Hz

Fazni ugao: 0.27rad 15.47 °

Primjer II-1.12Oscilirajući mehanizam ima maksimalno pomjeranje od 2.5 m i frekvenciju od60 Hz. U vremenu t=0, pomjeranja je 90 cm. Izrazi pomjeranje u opštemobliku Asin(t ± ).

Prema uslovima zadatka:

Amplituda: A 2.5m

Ugaona brzina: f 60Hz ω 2 π f 376.991 s1

Fazni ugao: 0.9 2.5 sin α( )= pa je α asin0.9

2.5

21.1 °

Primjer II-1.13Trenutna vrijednost napona u naizmjeničnom strujnom krugu u bilo kojemvremenu t data je izrazom u= 340sin(50t – 0.541) u voltima[V]. Odredi:a) amplitudu, period, frekvenciju, fazni ugao (u stepenima)b) vrijednost napona za t=0c) vrijednost napona za t=10msd) vrijeme kada napon dostigne vrijednost 200Ve) vrijeme kada napon dostigne maksimalnu vrijednostSkiciraj grafik funkcije.

f t( ) 340 sin 50 π t 0.541( ) V

a) Amplituda: 340V

Period: T2π

50 πs 0.04 s

Frekvencija: f1

T25 Hz

Fazni ugao: 0.541 rad 30.997 °

b) f 0( ) 175.098 V

c) f 0.01( ) 291.446 V

d)

200V 340 sin 50 π t 0.541( ) V=

t

asin200

340

0.541

50 πs 7.448 ms

e)

sin 50 π t 0.541( ) 1= tasin 1( ) 0.541( )

50 πs 13.444 ms

0 0.02 0.04 0.06 0.08400

200

0

200

400

f z( )

z

Primjer II-1.14Odredi poluprečnik i koordinate kruga datog jednačinom x2+y2+8x-2y+8=0.

Zadata jednačina kruga se može prikazati kao:

x2

8x 16 y2

2y 1 8 17 0=

x 4( )2

y 1( )2

32=

Dakle, centar kruga je u (-4,1), a poluprečnik je 3.

Primjer II-1.15Skiciraj grafik sljedeće jednačine: x2+y2-4x+6y-3=0.

Zadata jednačina kruga se može prikazati kao:

x2

4x 4 y2

6y 9 3 13 0=

x 2( )2

y 3( )2

42=

Dakle, centar kruga je u (2,-3), a poluprečnik je 4.

10 8 6 4 2 0 2 4 6 8 1010864202468

10

Primjer II-1.16Skiciraj grafike y=(x-4)2 i f(x)=x3-8.

fa1 x( ) x2

fb1 x( ) x3

fa2 x( ) x 4( )2

fb2 x( ) x3

8

20 10 0 10 200

200

400

600

800

fa1 z( )

fa2 z( )

z

4 2 0 2 420

10

0

10

20

fb1 z( )

fb2 z( )

z

Primjer II-1.17Skiciraj grafike y=5-(x+2)2 i f(x)=1+3sin2x.

fa1 x( ) x2

fb1 x( ) sin x( )

fa2 x( ) x 2( )2

fb2 x( ) sin 2x( )

fa3 x( ) 5 x 2( )2

fb3 x( ) 3 sin 2x( )

fb4 x( ) 1 3 sin 2x( )

10 5 0 5 1020

10

0

10

20

fa1 z( )

fa2 z( )

fa3 z( )

z0 2 4 6

4

2

0

2

4fb1 z( )

fb2 z( )

fb3 z( )

fb4 z( )

z

Primjer II-1.18Skiciraj grafik y = x - x2.

Data jednačina se može napisati u obliku

y x x2

= x2

x1

4

1

4= x

1

2

2

1

4=

fa1 x( ) x2

fa2 x( ) x1

2

2

fa3 x( ) x1

2

2

1

4

4 2 0 2 4

4

2

0

2

4

fa1 z( )

fa2 z( )

fa3 z( )

z

Primjer II-1.19Odredi inverzne funkcije zaa) f(x)=x+1b) f(x)=5x+1c) f(x)=1/x+2Skiciraj funkcije i njihove inverzne funkcije.

f z( ) z

a)

fa x( ) x 1 Zamjenom x i y x y 1= pa je fainv x( ) x 1

10 5 0 5 10

4

2

0

2

4

fa z( )

fainv z( )

f z( )

zb)

fb x( ) 5x 1 Zamjenom x i y x 5y 1= pa je fbinv x( )x 1

5

4 2 0 2 4

4

2

0

2

4

fb z( )

fbinv z( )

f z( )

z

c)

fb x( )1

x2 Zamjenom x i y x

1

y2= pa je fbinv x( )

1

x 2

4 2 0 2 4

4

2

0

2

4

fb z( )

fbinv z( )

f z( )

z

Primjer II-1.20Izračunaj vrijednosti sljedećih funkcija: arcsin(-1), arccos(0.5), arctg(0.5),arcctg(2), arcsin(1/3)+arccos(4/5)+arctg(8/9) u radijanima i stepenima.

asin 1( ) 1.571 asin 1( ) 90 °

acos 0.5( ) 1.047 acos 0.5( ) 60 °

atan 0.5( ) 0.464 atan 0.5( ) 26.565 °

atan1

2

0.464 atan1

2

26.565 °

asin1

3

acos4

5

atan8

9

1.71 asin1

3

acos4

5

atan8

9

97.975 °

Primjer II-1.21Nacrtaj krivu f(x)=4x2-1 za vrijednosti x[-1, 4]. Na grafiku označi tačke J i Ks koordinatama (3, f(3)) i (1, f(1)), respektivno, i nađi gradijent tetive JK.Pomjerajući se prema K nađi gradijent trangente u K.

f x( ) 4x2

1

1 0 1 2 3 420

0

20

40

60

80

f z( )

f 3( )

f 1( )

z 3 1

J

K

J : f 3( ) 35

K : f 1( ) 3

Nagib JKf 3( ) f 1( )

3 116

f 2( ) f 1( )

2 112

f 1.5( ) f 1( )

1.5 110

f 1.2( ) f 1( )

1.2 18.8

f 1.1( ) f 1( )

1.1 18.4

f 1.01( ) f 1( )

1.01 18.04 Gradijent u K teži ka 8.

Primjer II-1.22Nađi izvode sljedećih funkcija (po x): y=4x7, y=3/x2, y=5,

x4x

7 d

d28 x

6

x

3

x2

d

d

6

x3

x5( )d

d0

x4x

1

3x

2

d

d4

2

3 x3

x2

Primjer II-1.23Nađi izvode sljedećih funkcija (po z): y=4sin 3z, f(z)=2sin 2z – 5cos 4z.

z4 sin 3z( )( )d

d12 cos 3 z( )

z2 sin 2z( ) 5 cos 4z( )( )d

d4 cos 2 z( ) 20 sin 4 z( )

Primjer II-1.24

Jačina naizmjenične struje data je izrazom i=5sin 100t, gdje je t vrijeme usekundama. Odredi brzinu promjene struje kada je t=0.01s. Da li u toj tačkijačina struje raste ili opada? Skiciraj na grafiku!!!

i t( ) 5 sin 100t( )

Prvi izvod je:t

5 sin 100t( )( )d

d500 cos 100 t( )

Brzina promjene struje: 500 cos 100 0.01( ) 270.151

Brzina promjene je pozitivna, pa struja raste

0 0.02 0.04 0.066

4

2

0

2

4

6

i z( )

i 0.01( )

z 0.01

Primjer II-1.25Nađi gradijent krive za x=1. Da li funkcija utoj tački raste ili opada?

x

3

x2

2 sin 4x( )2

ex

ln x( )

d

df' x( )

1

x2 e

x 8 cos 4 x( )

6

x3

f' 1( ) 0.507 Dakle, funkcija opada u tački x=1.

Primjer II-1.26Njutnov zakon hlađenja je dat izrazom =0ekt. Odredi brzinu promjenetemperature nakon 50 s, ako je 0=°C i k=-0.02. Da li se temperaturapovećava ili smanjuje?

θ0 15Δ°C k 0.021

s

θ t( ) θ0 ek t

Prvi izvod je:t

θ0 ek t

d

dθ' t( ) k θ0 e

k t

θ' 50s( ) 0.11 K s1

Brzina promjene temperature:

Brzina promjene je negativna, pa temperatura opada

0 20 40 60 80 1000

5

10

15

θ z( )

θ 50s( )

z 50

Primjer II-1.27Atmosferski pritisak p se mijenja s visinom h prema izrazu p=p0eh/c, gdje jep0 pritisak na zemlji, a c je konstanta. Odredi promjenu pritiska na visini

1550 m, ako je p0=100 kPa, a c=6.2x104 m.

p0 100kPa c 6.2 104

m

p h( ) p0 e

h

c

hp0 e

h

c

d

d p' h( )p0 e

h

c

c

p' 1550m( ) 1.573Pa

m

0 500 1 103 1.5 10

39.7 10

4

9.8 104

9.9 104

1 105

p z( )

p 1550m( )

z 1550

Primjer II-1.28Nađi integrale sljedećih funkcija (po x): y=4x7, y=3/x2, y=5,

x4x7

dx

8

2 +c

x3

x2

d3

x +c

x5

d 5 x +c

x3

x2

2 sin 4x( )2

ex

ln x( )

d4 x e

x x cos 4 x( ) 2 x

2 ln x( ) 2 x

2 6

2 x +c

Primjer II-1.29Nađi integrale sljedećih funkcija (po t): y=4sin 3t, f(t)=2sin 2t – 5cos 4t,

t4 sin 3t( )

d4 cos 3 t( )

3 +c

t2 sin 2t( ) 5 cos 4t( )( )

d cos 2 t( )5 sin 4 t( )

4 +c

t4t1

3t2

d2 t

2

3 t

t2

1

3

+c

Primjer II-1.30Izračunaj:

a)

b)

c)

d)

a)

x1

x2

2

x

d 2 ln x( )1

x

1

2

x1

x2

2

x

d 1.886

b)

t4 cos 3t( )

d4 sin 3 t( )

3 1

2

t4 cos 3t( )

d 0.561

c)

u3

4u

d3 ln u( )

41

4

u3

4u

d 1.04

d)

x4e2x

d 2 e2 x

1

4

x4e2x

d 5.947 103

Primjer II-1.31Nađi površinu koja je omeđena krivom y=2x+3, x-osom i ordinatama x=1 ix=4.

f x( ) 2x 3 y 0 20

0 1 2 3 4 50

5

10

15

20

f z( )

y

y

z 1 4

1

4

x2x 3

d 24 (površina trapeza!!!)

Primjer II-1.32Brzina v [m/s] nekog tijela u vremenu t [s] data je izrazom v=2t2+5. Nađi

pređeni put tijela u vremenu od 0 do 4 s.

t 0 4

v t( ) 2t2

5

0 1 2 3 40

10

20

30

40

v a( )

a

v t( )

57

13

23

37

zv z( )

d2 z

3

35 z

A0

4

xv x( )

d 62.667

Primjer II-1.33Skiciraj grafik funkcije između x=-3 i x=2 i nađipovrđinu koju kriva zaklapa s osom x.

x 3 2

f x( ) x3

2x2

5x 6

3 2 1 0 1 210

5

0

5

f a( )

a

f x( )

04

0

-6

-8

0

zf z( )

dz4

4

2 z3

3

5 z2

2 6 z

A3

1xf x( )

d1

2

xf x( )

d 21.083

Documents

zgrada Rektorata, kancelarija 31* tel: 44 44 20 akarac ...ptf.unze.ba/wp/wp-content/uploads/2018/11/OMzI-dio2.pdf · • Azem Dautović, Huse Fatkić, Narcis Behlilović: Zbirka zadataka