View
220
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
1
WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW
REOLOGIA
Naukę zajmującą się badaniem zachodzących w czasie odkształceń ciał nazywa
się reologią. W reologicznym równaniu stanu musi zatem występować czas.
Reologiczne równanie stanu, sformułowane dla jednoosiowego rozciągania,
zgodnie z jedną z klasycznych teorii – teorią starzenia – ma postać:
( ) 0,, ==constTtF εσ
w której: σ − napręŜenie, ε − odkształcenie, t – czas, T – temperatura.
PowyŜsze równanie odpowiada załoŜeniu, Ŝe w określonej temperaturze istnieje
pewna powierzchnia we współrzędnych σ, ε, t. Po przecięciu tej powierzchni
płaszczyznami prostopadłymi do poszczególnych osi układu σ, ε, t otrzymuje
się trzy róŜne rodzaje krzywych, a mianowicie:
• krzywe pełzania – uzyskane przez przecięcie powierzchni F(σ,ε,t)
płaszczyznami σ = const (rys. 1),
Rys. 1. Krzywe pełzania
2
• krzywe relaksacji – uzyskane przez przecięcie powierzchni F(σ,ε,t)
płaszczyznami ε = const (rys. 2),
Rys. 2. Krzywe relaksacji.
• izochroniczne krzywe pełzania – uzyskane przez przecięcie powierzchni
F(σ,ε,t) płaszczyznami t = const (rys. 3).
Rys. 3. Izochroniczne krzywe pełzania.
Pełzanie i relaksacja to dwa podstawowe procesy reologiczne.
3
PEŁZANIE
Pełzanie jest to zjawisko zmiany odkształcenia elementu w czasie pod
wpływem stałego napręŜenia (obciąŜenia) w stałej temperaturze.
W temperaturze pokojowej pełzanie uwidacznia się w tworzywach sztucznych
i w stopach metali lekkich, w temperaturach podwyŜszonych i wysokich takŜe
w stalach.
Pełzanie moŜe być spręŜyste albo plastyczne (rys. 4). W pierwszym przypadku
odkształcenia zmniejszają się po odciąŜeniu najpierw bardzo szybko, a następnie
powoli w miarę upływu czasu i w końcu zanikają całkowicie. W drugim
przypadku nie znikają całkowicie. W metalach zachodzi przede wszystkim
pełzanie plastyczne, w tworzywach sztucznych – spręŜyste i plastyczne,
w zaleŜności od stanu tworzywa. Polimery usieciowane charakteryzują się pełzaniem spręŜystym, a nieusieciowane – plastycznym.
Rys. 4. Pełzanie spręŜyste i plastyczne.
OA - odkształcenie spręŜyste εs = σ/E, AB – odkształcenie pełzania εp, BC –
nawrót spręŜysty εs = σ/E, CD – nawrót niespręŜysty εe, odkształcenie trwałe –
εt.
Wykres pełzania
W obliczeniach części maszyn z uwzględnieniem pełzania wykorzystuje się w zasadzie wyniki badań próbek w jednoosiowym stanie napręŜenia (proste
rozciąganie). Prawidłowa ocena warunków bezpiecznej pracy takich części
maszyn wymaga znajomości zmian odkształcenia i napręŜenia. Wynikają stad
dwa główne zadania. Jedno to ustalenie zaleŜności odkształcenia od czasu
constdlat == σεε )( (rys. 5), drugie zaś – to określenie związku między
prędkością pełzania a napręŜeniem i temperaturą ),( Tσεε && =
4
Rys. 5. Wykres pełzania.
Proces pełzania, który rozpoczyna się w punkcie A, moŜna podzielić na trzy
okresy:
I – okres pełzania nieustalonego, charakteryzujący się ciągłym
zmniejszaniem się prędkości odkształcenia (odcinek AB),
II – okres pełzania ustalonego o stałej prędkości odkształcenia (odcinek BC),
III – okres pełzania przyspieszonego, w którym prędkość odkształcenia
wzrasta, co prowadzi do złomu (odcinek CD).
Odkształcenie moŜna podzielić na odkształcenie początkowe (natychmiastowe)
εo, które moŜe być spręŜyste lub spręŜyste i plastyczne oraz odkształcenie
pełzania εp, które składa się z trzech części odpowiadających trzem zakresom
pełzania: εpI, εpII, εpIII.
Odkształcenie natychmiastowe nie jest wynikiem pełzania i w uproszczonych
obliczeniach części maszyn jest pomijane. W dokładniejszych obliczeniach nie
moŜna jednak pomijać tego odkształcenia, gdyŜ o zachowaniu się konstrukcji
podczas uŜytkowania decyduje wartość odkształcenia, a nie sposób jego
powstania.
Analiza trzeciego okresu pełzania umoŜliwia poznanie mechanizmu zniszczenia
i określenie kryterium zniszczenia elementu w warunkach pełzania.
Odkształcenie powstałe w trzecim okresie pełzania nie uwzględnia się jednak
zazwyczaj w obliczeniach inŜynierskich, poniewaŜ ze względu na
bezpieczeństwo konstrukcji wejście jakiegokolwiek jej elementu w trzeci okres
pełzania przyjmuje się często za jej zniszczenie.
5
Całkowite odkształcenie podczas pełzania (dla małych odkształceń – według
Andrade’a) opisuje następujące równanie:
tKtopo ++=+= 3
1
βεεεε
Odkształcenie pełzania:
tKtp += 3
1
βε
obejmuje odkształcenie w I okresie pełzania (człon 3
1
tβ ) i w II okresie
pełzania(człon tK ), gdzie β i K – funkcje napręŜenia i temperatury.
RóŜniczkując powyŜsze równanie względem czasu otrzymamy zaleŜność
prędkości pełzania pdt
dε
ε&= od czasu:
KtAp +=−
3
2
ε&
w której A – funkcja napręŜenia i temperatury.
ZaleŜność prędkości pełzania od czasu w pierwszym okresie pełzania (pełzanie
nieustalone) moŜna przedstawić w ogólnej postaci:
n
p tA′−=ε&
gdzie n’ – stała materiałowa (0 ≤ n’ ≤ 1).
Stała prędkość pełzania w drugim okresie pełzania (pełzanie ustalone) K = const
jest minimalną prędkością w procesie pełzania. Teoretyczne określenie
zaleŜności tej prędkości od napręŜenia i temperatury jest trudne. Taką zaleŜność określa się doświadczalnie. Oznaczając przez pIIε& prędkość odkształcenia przy
pełzaniu ustalonym przedstawia się tę wielkość jako funkcję napręŜenia za
pomocą formuł empirycznych, spośród których moŜna wymienić trzy
następujące:
)1(n
pII kσε =&
6
)2()1e(C spII −=ε
σ
&
)3(sinhd
DpII
σε =&
gdzie: k, C, D, n, s, d – stałe zaleŜne od materiału i temperatury.
Najbardziej znaną i powszechnie stosowaną w zakresie pełzania ustalonego jest
formuła (1) zwana zaleŜnością Nortona-Baileya. W formule tej zaleŜność stałej
k od temperatury moŜna przedstawić następująco:
−=
TR
Ukk exp1
gdzie k1 – stała materiałowa, R – stała gazowa, U – energia aktywacji.
Rys. 6. Wykresy pełzania stali H23N18 w róŜnych temperaturach przy stałym napręŜeniu.
7
Rys. 7. Wykresy pełzania stali H23N18 w stałej temperaturze przy róŜnych napręŜeniach.
Hipotezy pełzania
Techniczne hipotezy pełzania moŜna zestawić w trzech zasadniczych grupach,
jako:
1) hipotezy starzenia (Andrade-1919, Soderberg-1936, Robotnow-1948)
które przy σ = const reprezentuje zapis
( ) ( )tp
n
tE
Φ+= σσ
ε
2) hipotezy płynięcia (Norton-1929, Narin-1946), które reprezentuje
równanie
( ) ( )t
n
t Jσε =&
3) hipotezy wzmocnienia (Nadai-1938, Davenport-1938), które reprezentuje
zapis
( ) ( )
na
tt Aσ
εε−
=&
8
gdzie: ( )tpΦ – funkcja pełzania, ( )tJ – jądro pełzania, n, A, a – stałe.
Przyjmując dla drugiego okresu pełzania (decydującego o wytrzymałości na
pełzanie) w hipotezach grupy 1 i 2
( ) tktpII =Φ
( ) kJ tII =
otrzymamy
( )n
t tkE
σσ
ε +=
( )n
t kσε =&
Zakładając ponadto, Ŝe praktycznie ( )tps εε <<
otrzymamy według hipotezy starzenia ( )n
t tk σε ≅ .
Wytrzymałość długotrwała, trwałość
Wytrzymałość trwała na rozciąganie R∞ jest to największe napręŜenie, które nie
spowoduje rozerwania próbki po dowolnie długim czasie. Wyznaczenie tego
napręŜenia jest niemoŜliwe. Dlatego wprowadza się wielkości umowne
charakteryzujące wytrzymałość długotrwałą: Granica pełzania RxTt jest to iloraz stałego obciąŜenia FxTt przez przekrój
początkowy S0 próbki, które to obciąŜenie po upływie określonego czasu t
w danej temperaturze T spowoduje trwałe wydłuŜenie próbki o określoną wartość x
0S
FR xTt
xTt =
9
Wytrzymałość na pełzanie RzTt jest to iloraz stałego obciąŜenia FzTt przez
przekrój początkowy S0 próbki, które to obciąŜenie po upływie określonego
czasu t w danej temperaturze T spowoduje rozerwanie próbki
0S
FR zTt
zTt =
Trwałość tz próbki, czyli czas do jej zniszczenia (rozerwania) wyznacza się na
podstawie doświadczeń. Doświadczalna zaleŜność Monkmana-Granta ma postać
m
pIIz Ct −= ε&
w której C, m – stałe materiałowe. Jest to zaleŜność trwałości od prędkości
pełzania ustalonego.
ZaleŜność trwałości od wytrzymałości na pełzanie jest takŜe funkcją potęgową
(*)1m
zTtz ARt =
w której A, m1 – stałe materiałowe (zaleŜne od temperatury i charakteru
zniszczenia).
Zniszczenie (złom) próbki wykonanej z metalu podczas pełzania moŜe nastąpić po wytworzeniu się przewęŜenia lokalnego, czyli szyjki (złom lepki), albo bez
lokalnego przewęŜenia (złom kruchy). Złom lepki jest charakterystyczny
w odpowiednio niskich temperaturach i przy duŜych prędkościach
odkształcenia. Złom kruchy obserwuje się natomiast w odpowiednio wysokich
temperaturach i przy małych prędkościach odkształcenia. Złom lepki ma
charakter śródkrystaliczny, a kruchy międzykrystaliczny. W temperaturach
pośrednich złom ma charakter mieszany. Na rysunku 8 pokazano zaleŜność wytrzymałości na pełzanie RzTt od trwałości tz we współrzędnych
logarytmicznych. Wykres tej zaleŜności ma charakter linii łamanej składającej
się z dwóch prostych, których kąty nachylenia określają dwie róŜne wartości
wykładnika m1 w równaniu (*). Prosta 1 na rys. 8 określa zakres złomów
lepkich, a prosta 2 zakres złomów kruchych, natomiast linią kreskowaną AB
zaznaczono zakres złomów mieszanych. W literaturze moŜna znaleźć schematy
występowania poszczególnych odmian mechanizmów pełzania, zwane mapami
Aschby’ego.
10
Rys. 8. ZaleŜność wytrzymałości na pełzanie RzTt od trwałości tz.
Na rysunku 9 pokazano zaleŜność trwałości tz od wytrzymałości RzTt dla próbek
wykonanych ze stali H23N18, badanych w warunkach pełzania w róŜnych
temperaturach przy róŜnych poziomach napręŜenia.
Rys. 9. ZaleŜność trwałości tz od wytrzymałości RzTt dla stali H23N18.
11
RELAKSACJA
Relaksacja napręŜeń jest to zjawisko zmniejszania się napręŜeń w elementach
poddanych działaniu obciąŜeń długotrwałych przy stałej wartości odkształcenia
całkowitego. Najbardziej typowym przypadkiem relaksacji jest zmniejszanie się napręŜeń w śrubach łączących kołnierze rurociągów.
Badania relaksacji mają na celu określenie czasu relaksacji albo czasu, po
którym wartość napręŜenia w elemencie (którego odkształcenie całkowite
w danej temperaturze jest stałe) zmniejszy się do poziomu określonego
warunkami eksploatacji.
Czas relaksacji tr jest to czas, po którym napręŜenie początkowe σ0 zmniejszy
się do wartości σ0/e, gdzie e – podstawa logarytmu naturalnego. Wynika to
z zaleŜności opisującej zachowanie się modelu reologicznego Maxwella:
rt
t
e−
= 0σσ
jeŜeli przyjmie się t = tr.
ZaleŜność napręŜenia od czasu, opisującą zjawisko relaksacji, moŜna uzyskać równieŜ w inny sposób z warunku stałego odkształcenia całkowitego
(z pominięciem odkształcenia natychmiastowego). Rozpatrzmy przypadek
połączenia śrubowego (rys. 10).
Rys. 10. Połączenie śrubowe.
Dla uproszczenia załóŜmy, Ŝe śruba ściąga absolutnie sztywne połączenie tak, Ŝe
odległość l między powierzchniami podkładek pozostaje w ciągu pracy śruby
niezmienna. Uwzględniamy pełzanie tylko samej śruby.
12
Wówczas constPSC =+= εεε
gdzie: TC E/0σε = − odkształcenie całkowite, 0σ − napręŜenie początkowe,
TS E/σε = − odkształcenie spręŜyste, Pε − odkształcenie pełzania, TE −
moduł Younga w danej temperaturze.
A więc P
TT EEε
σσ+=0
Po zróŜniczkowaniu tej zaleŜności względem czasu otrzyma się równanie
P
T
P
T Edt
d
dt
d
Eε
σεσ&
&+=+=
10
W wielu przypadkach odkształcenie w pierwszym okresie pełzania jest duŜo
mniejsze niŜ odkształcenie w drugim okresie pełzania, wobec tego moŜna
przyjać n
PIIP kσεε =≅ &&
Wówczas po przekształceniach otrzymamy zaleŜność dt
d
Ek
T
n σσ
1−=
a stąd n
T
d
kEdt
σ
σ1−=
Po obustronnym scałkowaniu (z wykorzystaniem warunków brzegowych σ = σ0
dla t = 0) otrzyma się zaleŜność
−
−=
−− 1
0
1
11
)1(
1nn
TkEnt
σσ
ZaleŜność tę moŜna odwzorować wykreślnie (krzywa relaksacji), jak na rys. 11
i z tego wykresu wyznaczyć wartości napręŜeń po określonych czasach działania
obciąŜenia w danej temperaturze, gdy ε = const.
13
Rys. 11. Krzywa relaksacji i określenie czasu relaksacji.
Doświadczalne krzywe relaksacji najlepiej przedstawiać w układzie σ/σ0−logt
(rys. 12). Będą to linie proste (proste regresji), które wyznacza się metodą najmniejszych kwadratów na podstawie uzyskanych wyników pomiarów. Czas
relaksacji określa punkt przecięcia prostej regresji z prostą poziomą σ/σ0 = 1/e.
Rys. 12. ZaleŜność napręŜenia od czasu.
14
LITERATURA
[1] R. śuchowski: Wytrzymałość materiałów, Oficyna Wydawnicza
Politechniki Wrocławskiej, Wrocław 1998.
[2] J. Skrzypek: Plastyczność i pełzanie. Teoria, zastosowania, zadania,
PWN, Warszawa 1986.
[3] N. N. Malinin, J. RŜysko: Mechanika materiałów, PWN, Warszawa 1981.
[4] Praca zbiorowa: Laboratorium wytrzymałości materiałów, Oficyna
Wydawnicza Politechniki Wrocławskiej, Wrocław 2001.
[5] R. śuchowski: Zmęczenie cieplne metali i elementów konstrukcji, Prace
Naukowe IMMT Pol. Wr., Seria: Monografie, Wydawnictwo Politechniki
Wrocławskiej, Wrocław 1981.
[6] A. Jakubowicz, Z. Orłoś: Wytrzymałość materiałów, Wydawnictwa
Naukowo-Techniczne, Warszawa 1978.
[7] Normy: PN-EN 10291:2003 – Metale. Próba pełzania przy jednoosiowym
rozciąganiu. Metoda badania. PN-EN ISO 899-1:2005 – Tworzywa
sztuczne. Oznaczanie charakterystyki pełzania. Część 1: Pełzanie podczas
rozciągania. PN-EN ISO 899-2:2005 – Tworzywa sztuczne.
Oznaczanie charakterystyki pełzania. Część 2: Pełzanie podczas zginania
przy trzypunktowym obciąŜeniu. PN-EN 10319-1:2005 – Metale. Badanie
relaksacji napręŜeń w próbie rozciągania. Część 1: Metoda badania przy
uŜyciu maszyn wytrzymałościowych.
15
OBLICZENIA WYTRZYMAŁOŚCIOWE PRZY PEŁZANIU
Rozciąganie
Metody obliczeń na pełzanie moŜna zestawić w trzech grupach:
1) dopuszczalnego odkształcenia εεεεdop
n
E
dop
doptk
1
=≤
εσσ
, gdzie: k – stała z równania Nortona-Baileya, tE – czas
eksploatacji
2) dopuszczalnej prędkości pełzania w drugim okresie doppIIε&
npII
dopk
dop
1
=≤
εσσ
&
, gdzie: k – stała z równania Nortona-Baileya
3) dopuszczalnego napręŜenia kp
p
xTtp
p
zTtp
x
Rk
x
Rk ==≤ ;σ
, gdzie: xp – współczynnik bezpieczeństwa
Tabela 1. Pełzanie - parametry dopuszczalne
Agregat Element konstrukcyjny Odkształcenie
dopε
Czas eksploatacji
Et [h]
Prędkość pełzania
doppIIε& [1/h]
węŜownice 0,0200 20 000 10-6÷10
-5
Kotły
parowe rurociągi parowe
rury kotłowe 0,0300 100 000 10
-7
tarcze wirujące 0,0001 100 000 10-9
Turbiny
parowe śruby, kołnierze 0,0010 100 000 10
-8
16
Zginanie Rozpatrzmy przypadek równomiernego zginania pręta o stałym przekroju i osi
prostej. Przyjmujemy następujące załoŜenia upraszczające:
− pręt ma płaszczyznę symetrii, w której leŜą wszystkie siły obciąŜające;
− poprzeczny przekrój zginanego pręta podczas odkształcania się pozostaje
płaski;
− w pręcie występuje jednoosiowy stan napręŜenia;
− pełzanie przy rozciąganiu i ściskaniu opisuje się tą samą zaleŜnością;
− rozpatrujemy jedynie ustalony stan pełzania n
pII kσε =& .
NapręŜenia
Odkształcenie względne εx w kierunku osi pręta x w punkcie przekroju
oddalonym o y od osi obojętnej (rys. 13) wyraŜa się wzorem
( )y
y
d
ddyx κ
ρϕρ
ϕρϕρεε ==
−+== , gdzie κ − krzywizna odkształconej
osi pręta.
Rys. 13.Odkształcony odcinek pręta.
17
RóŜniczkując ostatnie wyraŜenie względem czasu otrzymuje się yκε && = , gdzie
κ& - prędkość zmiany krzywizny.
Uwzględniając przyjęte załoŜenie o rozpatrywaniu tylko pełzania ustalonego,
mamy ykn κσ &= , a stąd
n
k
y1
=
κσ
&
Jest to zaleŜność dla napręŜeń dodatnich σ > 0, dla napręŜeń ujemnych prędkość naleŜy uwaŜać za ujemną. Wprowadzając wartość bezwzględną do powyŜszego
równania moŜna je przedstawić w postaci ogólnej, obejmującej obydwa
przypadki, a więc dla σ > 0 i dla σ < 0.
yyk
nn 1
11
−
=
κσ
&
W celu wyznaczenia rozkładu napręŜeń w pręcie zginanym naleŜy określić połoŜenie osi obojętnej zginania z w przekroju oraz wartość κ& . MoŜna to
uczynić wiedząc, Ŝe układ sił wewnętrznych w poprzecznym przekroju pręta
w przypadku czystego zginania sprowadza się do pary sił o momencie M, a więc
równania równowagi przyjmują następująca postać:
( )
0==∑ ∫A
dAX σ
( ) ( )
MdAyMdAyMAA
z =⇒=−= ∫∑ ∫ σσ 0
Podstawiając wcześniej wyprowadzoną zaleŜność na σ, otrzymamy:
( )
MdAyk
A
nn
=
∫
+1
1
1
κ& lub po przekształceniach ( )#
1
p
n
I
M
k=
κ&
gdzie ( )
dAyI n
A
p
11+
∫= jest geometryczną charakterystyką przekroju
pręta podlegającego pełzaniu, wyznaczoną względem osi obojętnej z. Łatwo
zauwaŜyć, Ŝe dla n =1, Ip = Iz – moment bezwładności przekroju poprzecznego
pręta względem osi z.
18
Wzór określający rozkład napręŜeń w przekroju poprzecznym pręta
podlegającego pełzaniu w stanie ustalonym przyjmuje ostatecznie postać:
yyI
Mn
p
11
−=σ
Alternatywny zapis: n
p
yI
M=σ
, gdzie ( )
dAyI n
n
A
p
+
∫=1
Linia ugięcia
Zbadajmy ugięcie belki y (teraz y oznacza ugięcie, a nie odległość od osi z),
podlegającej pełzaniu w stanie ustalonym, pod wpływem stałego obciąŜenia
zewnętrznego. W takim przypadku pIIεε && = nie zaleŜy od czasu. Z tego wynika,
Ŝe prędkość zmiany krzywizny osi belki κ& teŜ nie zaleŜy od czasu. A zatem
moŜna przyjąć, Ŝe krzywizna jest liniową funkcją czasu t określoną wzorem
tκκ &= . Przy załoŜeniu małych odkształceń, krzywiznę moŜna wyrazić wzorem
2
2
x
y
∂
∂=κ . Uwzględniając równanie (#) otrzymuje się następujące równanie
róŜniczkowe odkształconej osi belki podlegającej pełzaniu
n
pI
Mtk
x
y
=
∂
∂2
2
Weźmy pod uwagę belkę swobodnie podpartą o rozpiętości l obciąŜoną siłą skupioną P w środku (rys. 14).
Rys. 14. Ugięcie belki podlegającej pełzaniu.
19
W pierwszym przedziale belki (0 < x < l/2) moment zginający w przekroju o
współrzędnej x wyraŜa się wzorem M = − (P/2)x i równanie róŜniczkowe
przyjmuje postać
n
n
p
xI
Ptk
x
y
−=
∂
∂
22
2
Całkując to równanie względem x otrzymuje się
)(12
1
1
tCn
x
I
Ptk
x
yn
n
p
++
−=
∂
∂ +
ZaleŜną od czasu funkcję C1(t) wyznacza się z warunku, Ŝe dla x = l/2 ze
względu na symetrię 0=∂
∂
x
y
1
1221
)(
+
+=
nn
p
l
I
P
n
kttC
Przy wyznaczonej funkcji C1(t) poprzednie wyraŜenie przyjmuje postać
−
+=
∂
∂ +
+
1
1
221
n
nn
p
xl
I
P
n
kt
x
y
Po ponownym scałkowaniu i uwzględnieniu warunku y(0) = 0, ugięcie y wyraŜa
się funkcją
+−
+=
++
2221
21
n
xx
l
I
P
n
kty
nnn
p
Największe ugięcie ymax występuje w środku belki (x = l/2) i jest równe
20
2
max222
+
+=
nn
p
l
I
P
n
kty
Zakładając, Ŝe maksymalne ugięcie belki po upływie czasu tE nie powinno
przekraczać wartości dopuszczalnej ydop dochodzi się do warunku
odkształceniowego w postaci równania
( ) ( ) doppspryyy ≤+ maxmax
gdzie: (ymax)spr – największe ugięcie spręŜyste, (ymax)p – największe ugięcie
wywołane pełzaniem.
W przypadku obliczania belki obciąŜonej siłą skupioną w środku powyŜszy
warunek przyjmuje postać
dop
nn
p
E
z
yl
I
P
n
kt
EI
Pl≤
++
+23
22248
EIz – sztywność zginania belki.
Z ostatniej zaleŜności moŜna wyznaczyć dopuszczalne obciąŜeni belki
wynikające z warunku odkształceniowego (przemieszczeniowego).
Alternatywny zapis:
n
p
p
I
Mtk
x
f
=
∂
∂2
2
Φ=
n
p
pI
tkf max
gdzie: fp – ugięcie belki, Φ - funkcja zaleŜna od rodzaju podparcia i obciąŜenia
belki
21
Skręcanie NapręŜenia określa zaleŜność (rys. 15)
n
p
sp
I
M1
ρτ =
Rys. 15. Odcinek pręta podlegający skręcaniu.
22
Uogólniony moment przekroju kołowego
3
1312
013
22
++
+== ∫
nn
nR
p Rn
ndI
πρρπ
Jednostkowy kąt skręcenia
n
p
sp
I
Mkt
=θ
23
PRZYKŁADY
Zadanie 1.
Układ przedstawiony na rysunku, składajacy się z dwóch prętów 1 i 2
o jednakowej długości i przekroju (wykonanych z tego samego materiału) oraz
nieodkształcalnej belki 3, jest obciąŜony stałą siłą P. Wyznaczyć przemieszczenie f pod siłą P w czasie (f = f(t)), uwzględniając efekty pełzania
ustalonego. Dane: A1 = A2 = A, a, P, k, n
Rozwiązanie
Związki fizyczne n
k 11 σε =& , n
k 22 σε =& (*)
Warunki geometryczne
212121 23
2
3
246εε =⇒∆=∆=∆⇒
∆=
∆=
∆LLL
a
L
a
L
a
LP
P (**)
Warunki równowagi
0230230246 212121 =−−⇒=−−⇒=−−=∑ AAPSSPaSaSPaMA σσ (***)
Po uwzględnieniu równań (*) w równaniu (**) otrzymujemy
n 221 σσ =
Wprowadzając tą zaleŜność do równania (***) mamy
2a 2a 2a
f(t)
1 2
P
∆L2
∆L1
∆LP = f
A
l l
S2 S1
24
)12(
32
−=
nA
Pσ
PoniewaŜ l
A
PtkltkLL
n
n
n
−===∆
)12(
3222 σε
,
to z zaleŜności geometrycznej (**)
lA
PtkLLtf
n
nP
−=∆=∆=
)12(
333)( 2
Zadanie 2.
Zbadać rozkład napręŜeń w przekroju prostokątnym belki poddanej czystemu
zginaniu w warunkach pełzania ustalonego.
Rozwiązanie
Rozkład napręŜeń w przekroju poprzecznym belki określa zaleŜność
n
p
yI
M=σ
W naszym przypadku mamy moment zginający równa się momentowi M.
M
x
b
h
y
dy
y
l
25
Uogólniony moment bezwładności ( )
dAyI n
n
A
p
+
∫=1
dla rozpatrywanego
przekroju wynosi
( )
n
nh
n
n
n
n
A
p
hb
n
ndybydAyI
212/
0
11
212
22
+++
+=== ∫∫
Największe wartości σmax napręŜeń występują we włóknach skrajnych belki
(z = h/2) i wynoszą
2
1
21
4
2
21
2
212
2bh
M
n
nh
hb
n
n
My
I
M n
n
nn
p
+=
+
==+
σ
W przypadku, gdy n =1 wartość napręŜenia jest równa 2max
6
bh
M=σ
, która to
wartość odpowiada zginaniu w zakresie spręŜystym. Gdy n → ∞ rozkład
napręŜeń w pręcie dąŜy do rozkładu w stanie całkowicie uplastycznionym.
Zadanie 3.
Obliczyć maksymalne napręŜenia styczne τs oraz jednostkowy kąt skręcenia θp
w warunkach pełzania ustalonego dla wału stalowego zamocowanego
i obciąŜonego momentem skręcającym Ms = 1kNm, jak na rys. po tE = 1000h.
Stadium nieustalonego pełzania pominąć. Materiał wału – stal węglowa.
Prędkość pełzania ustalonego 00,3,11
1025,0, 9 =
×== −
nhMPa
kk
n
n
spII τν&
Temperatura T = 600°C(873K), G = 6×104 MPa. Średnica wału d = 0,05m.
26
Rozwiązanie
NapręŜenia wyznaczamy ze wzoru
n
p
sp
I
M1
ρτ =
Uogólniony moment przekroju kołowego jest równy
( ) ( )
×=
+×
×=
+=
+×+
3
10
3
10
3
1333
13
025,0884,1025,0133
32
213
2m
d
n
nI
n
p
ππ.
PoniewaŜ 2
,101 3 dNmMM s =×== ρ , otrzymujemy więc
( )
( )MPap 97,33
025,0884,1
025,0101
3
10
3
13
=×
××=τ
Jednostkowy kąt skręcenia (całkowity)
mrad
dI
Mkt
GI
Mn
p
ssp
/4192,0392,00272,0
)025,0(884,1
101
10
101025,0
106
32101
3
3
10
3
18
39
410
3
0
=+=
×
×××
+×
××=
+=
−
πθ
Ms
l = 1m
d =
0,0
5m
Recommended