1

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW

REOLOGIA

Naukę zajmującą się badaniem zachodzących w czasie odkształceń ciał nazywa

się reologią. W reologicznym równaniu stanu musi zatem występować czas.

Reologiczne równanie stanu, sformułowane dla jednoosiowego rozciągania,

zgodnie z jedną z klasycznych teorii – teorią starzenia – ma postać:

( ) 0,, ==constTtF εσ

w której: σ − napręŜenie, ε − odkształcenie, t – czas, T – temperatura.

PowyŜsze równanie odpowiada załoŜeniu, Ŝe w określonej temperaturze istnieje

pewna powierzchnia we współrzędnych σ, ε, t. Po przecięciu tej powierzchni

płaszczyznami prostopadłymi do poszczególnych osi układu σ, ε, t otrzymuje

się trzy róŜne rodzaje krzywych, a mianowicie:

• krzywe pełzania – uzyskane przez przecięcie powierzchni F(σ,ε,t)

płaszczyznami σ = const (rys. 1),

Rys. 1. Krzywe pełzania

2

• krzywe relaksacji – uzyskane przez przecięcie powierzchni F(σ,ε,t)

płaszczyznami ε = const (rys. 2),

Rys. 2. Krzywe relaksacji.

• izochroniczne krzywe pełzania – uzyskane przez przecięcie powierzchni

F(σ,ε,t) płaszczyznami t = const (rys. 3).

Rys. 3. Izochroniczne krzywe pełzania.

Pełzanie i relaksacja to dwa podstawowe procesy reologiczne.

3

PEŁZANIE

Pełzanie jest to zjawisko zmiany odkształcenia elementu w czasie pod

wpływem stałego napręŜenia (obciąŜenia) w stałej temperaturze.

W temperaturze pokojowej pełzanie uwidacznia się w tworzywach sztucznych

i w stopach metali lekkich, w temperaturach podwyŜszonych i wysokich takŜe

w stalach.

Pełzanie moŜe być spręŜyste albo plastyczne (rys. 4). W pierwszym przypadku

odkształcenia zmniejszają się po odciąŜeniu najpierw bardzo szybko, a następnie

powoli w miarę upływu czasu i w końcu zanikają całkowicie. W drugim

przypadku nie znikają całkowicie. W metalach zachodzi przede wszystkim

pełzanie plastyczne, w tworzywach sztucznych – spręŜyste i plastyczne,

w zaleŜności od stanu tworzywa. Polimery usieciowane charakteryzują się pełzaniem spręŜystym, a nieusieciowane – plastycznym.

Rys. 4. Pełzanie spręŜyste i plastyczne.

OA - odkształcenie spręŜyste εs = σ/E, AB – odkształcenie pełzania εp, BC –

nawrót spręŜysty εs = σ/E, CD – nawrót niespręŜysty εe, odkształcenie trwałe –

εt.

Wykres pełzania

W obliczeniach części maszyn z uwzględnieniem pełzania wykorzystuje się w zasadzie wyniki badań próbek w jednoosiowym stanie napręŜenia (proste

rozciąganie). Prawidłowa ocena warunków bezpiecznej pracy takich części

maszyn wymaga znajomości zmian odkształcenia i napręŜenia. Wynikają stad

dwa główne zadania. Jedno to ustalenie zaleŜności odkształcenia od czasu

constdlat == σεε )( (rys. 5), drugie zaś – to określenie związku między

prędkością pełzania a napręŜeniem i temperaturą ),( Tσεε && =

4

Rys. 5. Wykres pełzania.

Proces pełzania, który rozpoczyna się w punkcie A, moŜna podzielić na trzy

okresy:

I – okres pełzania nieustalonego, charakteryzujący się ciągłym

zmniejszaniem się prędkości odkształcenia (odcinek AB),

II – okres pełzania ustalonego o stałej prędkości odkształcenia (odcinek BC),

III – okres pełzania przyspieszonego, w którym prędkość odkształcenia

wzrasta, co prowadzi do złomu (odcinek CD).

Odkształcenie moŜna podzielić na odkształcenie początkowe (natychmiastowe)

εo, które moŜe być spręŜyste lub spręŜyste i plastyczne oraz odkształcenie

pełzania εp, które składa się z trzech części odpowiadających trzem zakresom

pełzania: εpI, εpII, εpIII.

Odkształcenie natychmiastowe nie jest wynikiem pełzania i w uproszczonych

obliczeniach części maszyn jest pomijane. W dokładniejszych obliczeniach nie

moŜna jednak pomijać tego odkształcenia, gdyŜ o zachowaniu się konstrukcji

podczas uŜytkowania decyduje wartość odkształcenia, a nie sposób jego

powstania.

Analiza trzeciego okresu pełzania umoŜliwia poznanie mechanizmu zniszczenia

i określenie kryterium zniszczenia elementu w warunkach pełzania.

Odkształcenie powstałe w trzecim okresie pełzania nie uwzględnia się jednak

zazwyczaj w obliczeniach inŜynierskich, poniewaŜ ze względu na

bezpieczeństwo konstrukcji wejście jakiegokolwiek jej elementu w trzeci okres

pełzania przyjmuje się często za jej zniszczenie.

5

Całkowite odkształcenie podczas pełzania (dla małych odkształceń – według

Andrade’a) opisuje następujące równanie:

tKtopo ++=+= 3

1

βεεεε

Odkształcenie pełzania:

tKtp += 3

1

βε

obejmuje odkształcenie w I okresie pełzania (człon 3

1

tβ ) i w II okresie

pełzania(człon tK ), gdzie β i K – funkcje napręŜenia i temperatury.

RóŜniczkując powyŜsze równanie względem czasu otrzymamy zaleŜność

prędkości pełzania pdt

dε

ε&= od czasu:

KtAp +=−

3

2

ε&

w której A – funkcja napręŜenia i temperatury.

ZaleŜność prędkości pełzania od czasu w pierwszym okresie pełzania (pełzanie

nieustalone) moŜna przedstawić w ogólnej postaci:

n

p tA′−=ε&

gdzie n’ – stała materiałowa (0 ≤ n’ ≤ 1).

Stała prędkość pełzania w drugim okresie pełzania (pełzanie ustalone) K = const

jest minimalną prędkością w procesie pełzania. Teoretyczne określenie

zaleŜności tej prędkości od napręŜenia i temperatury jest trudne. Taką zaleŜność określa się doświadczalnie. Oznaczając przez pIIε& prędkość odkształcenia przy

pełzaniu ustalonym przedstawia się tę wielkość jako funkcję napręŜenia za

pomocą formuł empirycznych, spośród których moŜna wymienić trzy

następujące:

)1(n

pII kσε =&

6

)2()1e(C spII −=ε

σ

&

)3(sinhd

DpII

σε =&

gdzie: k, C, D, n, s, d – stałe zaleŜne od materiału i temperatury.

Najbardziej znaną i powszechnie stosowaną w zakresie pełzania ustalonego jest

formuła (1) zwana zaleŜnością Nortona-Baileya. W formule tej zaleŜność stałej

k od temperatury moŜna przedstawić następująco:

−=

TR

Ukk exp1

gdzie k1 – stała materiałowa, R – stała gazowa, U – energia aktywacji.

Rys. 6. Wykresy pełzania stali H23N18 w róŜnych temperaturach przy stałym napręŜeniu.

7

Rys. 7. Wykresy pełzania stali H23N18 w stałej temperaturze przy róŜnych napręŜeniach.

Hipotezy pełzania

Techniczne hipotezy pełzania moŜna zestawić w trzech zasadniczych grupach,

jako:

1) hipotezy starzenia (Andrade-1919, Soderberg-1936, Robotnow-1948)

które przy σ = const reprezentuje zapis

( ) ( )tp

n

tE

Φ+= σσ

ε

2) hipotezy płynięcia (Norton-1929, Narin-1946), które reprezentuje

równanie

( ) ( )t

n

t Jσε =&

3) hipotezy wzmocnienia (Nadai-1938, Davenport-1938), które reprezentuje

zapis

( ) ( )

na

tt Aσ

εε−

=&

8

gdzie: ( )tpΦ – funkcja pełzania, ( )tJ – jądro pełzania, n, A, a – stałe.

Przyjmując dla drugiego okresu pełzania (decydującego o wytrzymałości na

pełzanie) w hipotezach grupy 1 i 2

( ) tktpII =Φ

( ) kJ tII =

otrzymamy

( )n

t tkE

σσ

ε +=

( )n

t kσε =&

Zakładając ponadto, Ŝe praktycznie ( )tps εε <<

otrzymamy według hipotezy starzenia ( )n

t tk σε ≅ .

Wytrzymałość długotrwała, trwałość

Wytrzymałość trwała na rozciąganie R∞ jest to największe napręŜenie, które nie

spowoduje rozerwania próbki po dowolnie długim czasie. Wyznaczenie tego

napręŜenia jest niemoŜliwe. Dlatego wprowadza się wielkości umowne

charakteryzujące wytrzymałość długotrwałą: Granica pełzania RxTt jest to iloraz stałego obciąŜenia FxTt przez przekrój

początkowy S0 próbki, które to obciąŜenie po upływie określonego czasu t

w danej temperaturze T spowoduje trwałe wydłuŜenie próbki o określoną wartość x

0S

FR xTt

xTt =

9

Wytrzymałość na pełzanie RzTt jest to iloraz stałego obciąŜenia FzTt przez

przekrój początkowy S0 próbki, które to obciąŜenie po upływie określonego

czasu t w danej temperaturze T spowoduje rozerwanie próbki

0S

FR zTt

zTt =

Trwałość tz próbki, czyli czas do jej zniszczenia (rozerwania) wyznacza się na

podstawie doświadczeń. Doświadczalna zaleŜność Monkmana-Granta ma postać

m

pIIz Ct −= ε&

w której C, m – stałe materiałowe. Jest to zaleŜność trwałości od prędkości

pełzania ustalonego.

ZaleŜność trwałości od wytrzymałości na pełzanie jest takŜe funkcją potęgową

(*)1m

zTtz ARt =

w której A, m1 – stałe materiałowe (zaleŜne od temperatury i charakteru

zniszczenia).

Zniszczenie (złom) próbki wykonanej z metalu podczas pełzania moŜe nastąpić po wytworzeniu się przewęŜenia lokalnego, czyli szyjki (złom lepki), albo bez

lokalnego przewęŜenia (złom kruchy). Złom lepki jest charakterystyczny

w odpowiednio niskich temperaturach i przy duŜych prędkościach

odkształcenia. Złom kruchy obserwuje się natomiast w odpowiednio wysokich

temperaturach i przy małych prędkościach odkształcenia. Złom lepki ma

charakter śródkrystaliczny, a kruchy międzykrystaliczny. W temperaturach

pośrednich złom ma charakter mieszany. Na rysunku 8 pokazano zaleŜność wytrzymałości na pełzanie RzTt od trwałości tz we współrzędnych

logarytmicznych. Wykres tej zaleŜności ma charakter linii łamanej składającej

się z dwóch prostych, których kąty nachylenia określają dwie róŜne wartości

wykładnika m1 w równaniu (*). Prosta 1 na rys. 8 określa zakres złomów

lepkich, a prosta 2 zakres złomów kruchych, natomiast linią kreskowaną AB

zaznaczono zakres złomów mieszanych. W literaturze moŜna znaleźć schematy

występowania poszczególnych odmian mechanizmów pełzania, zwane mapami

Aschby’ego.

10

Rys. 8. ZaleŜność wytrzymałości na pełzanie RzTt od trwałości tz.

Na rysunku 9 pokazano zaleŜność trwałości tz od wytrzymałości RzTt dla próbek

wykonanych ze stali H23N18, badanych w warunkach pełzania w róŜnych

temperaturach przy róŜnych poziomach napręŜenia.

Rys. 9. ZaleŜność trwałości tz od wytrzymałości RzTt dla stali H23N18.

11

RELAKSACJA

Relaksacja napręŜeń jest to zjawisko zmniejszania się napręŜeń w elementach

poddanych działaniu obciąŜeń długotrwałych przy stałej wartości odkształcenia

całkowitego. Najbardziej typowym przypadkiem relaksacji jest zmniejszanie się napręŜeń w śrubach łączących kołnierze rurociągów.

Badania relaksacji mają na celu określenie czasu relaksacji albo czasu, po

którym wartość napręŜenia w elemencie (którego odkształcenie całkowite

w danej temperaturze jest stałe) zmniejszy się do poziomu określonego

warunkami eksploatacji.

Czas relaksacji tr jest to czas, po którym napręŜenie początkowe σ0 zmniejszy

się do wartości σ0/e, gdzie e – podstawa logarytmu naturalnego. Wynika to

z zaleŜności opisującej zachowanie się modelu reologicznego Maxwella:

rt

t

e−

= 0σσ

jeŜeli przyjmie się t = tr.

ZaleŜność napręŜenia od czasu, opisującą zjawisko relaksacji, moŜna uzyskać równieŜ w inny sposób z warunku stałego odkształcenia całkowitego

(z pominięciem odkształcenia natychmiastowego). Rozpatrzmy przypadek

połączenia śrubowego (rys. 10).

Rys. 10. Połączenie śrubowe.

Dla uproszczenia załóŜmy, Ŝe śruba ściąga absolutnie sztywne połączenie tak, Ŝe

odległość l między powierzchniami podkładek pozostaje w ciągu pracy śruby

niezmienna. Uwzględniamy pełzanie tylko samej śruby.

12

Wówczas constPSC =+= εεε

gdzie: TC E/0σε = − odkształcenie całkowite, 0σ − napręŜenie początkowe,

TS E/σε = − odkształcenie spręŜyste, Pε − odkształcenie pełzania, TE −

moduł Younga w danej temperaturze.

A więc P

TT EEε

σσ+=0

Po zróŜniczkowaniu tej zaleŜności względem czasu otrzyma się równanie

P

T

P

T Edt

d

dt

d

Eε

σεσ&

&+=+=

10

W wielu przypadkach odkształcenie w pierwszym okresie pełzania jest duŜo

mniejsze niŜ odkształcenie w drugim okresie pełzania, wobec tego moŜna

przyjać n

PIIP kσεε =≅ &&

Wówczas po przekształceniach otrzymamy zaleŜność dt

d

Ek

T

n σσ

1−=

a stąd n

T

d

kEdt

σ

σ1−=

Po obustronnym scałkowaniu (z wykorzystaniem warunków brzegowych σ = σ0

dla t = 0) otrzyma się zaleŜność

−

−=

−− 1

0

1

11

)1(

1nn

TkEnt

σσ

ZaleŜność tę moŜna odwzorować wykreślnie (krzywa relaksacji), jak na rys. 11

i z tego wykresu wyznaczyć wartości napręŜeń po określonych czasach działania

obciąŜenia w danej temperaturze, gdy ε = const.

13

Rys. 11. Krzywa relaksacji i określenie czasu relaksacji.

Doświadczalne krzywe relaksacji najlepiej przedstawiać w układzie σ/σ0−logt

(rys. 12). Będą to linie proste (proste regresji), które wyznacza się metodą najmniejszych kwadratów na podstawie uzyskanych wyników pomiarów. Czas

relaksacji określa punkt przecięcia prostej regresji z prostą poziomą σ/σ0 = 1/e.

Rys. 12. ZaleŜność napręŜenia od czasu.

14

LITERATURA

[1] R. śuchowski: Wytrzymałość materiałów, Oficyna Wydawnicza

Politechniki Wrocławskiej, Wrocław 1998.

[2] J. Skrzypek: Plastyczność i pełzanie. Teoria, zastosowania, zadania,

PWN, Warszawa 1986.

[3] N. N. Malinin, J. RŜysko: Mechanika materiałów, PWN, Warszawa 1981.

[4] Praca zbiorowa: Laboratorium wytrzymałości materiałów, Oficyna

Wydawnicza Politechniki Wrocławskiej, Wrocław 2001.

[5] R. śuchowski: Zmęczenie cieplne metali i elementów konstrukcji, Prace

Naukowe IMMT Pol. Wr., Seria: Monografie, Wydawnictwo Politechniki

Wrocławskiej, Wrocław 1981.

[6] A. Jakubowicz, Z. Orłoś: Wytrzymałość materiałów, Wydawnictwa

Naukowo-Techniczne, Warszawa 1978.

[7] Normy: PN-EN 10291:2003 – Metale. Próba pełzania przy jednoosiowym

rozciąganiu. Metoda badania. PN-EN ISO 899-1:2005 – Tworzywa

sztuczne. Oznaczanie charakterystyki pełzania. Część 1: Pełzanie podczas

rozciągania. PN-EN ISO 899-2:2005 – Tworzywa sztuczne.

Oznaczanie charakterystyki pełzania. Część 2: Pełzanie podczas zginania

przy trzypunktowym obciąŜeniu. PN-EN 10319-1:2005 – Metale. Badanie

relaksacji napręŜeń w próbie rozciągania. Część 1: Metoda badania przy

uŜyciu maszyn wytrzymałościowych.

15

OBLICZENIA WYTRZYMAŁOŚCIOWE PRZY PEŁZANIU

Rozciąganie

Metody obliczeń na pełzanie moŜna zestawić w trzech grupach:

1) dopuszczalnego odkształcenia εεεεdop

n

E

dop

doptk

1

=≤

εσσ

, gdzie: k – stała z równania Nortona-Baileya, tE – czas

eksploatacji

2) dopuszczalnej prędkości pełzania w drugim okresie doppIIε&

npII

dopk

dop

1

=≤

εσσ

&

, gdzie: k – stała z równania Nortona-Baileya

3) dopuszczalnego napręŜenia kp

p

xTtp

p

zTtp

x

Rk

x

Rk ==≤ ;σ

, gdzie: xp – współczynnik bezpieczeństwa

Tabela 1. Pełzanie - parametry dopuszczalne

Agregat Element konstrukcyjny Odkształcenie

dopε

Czas eksploatacji

Et [h]

Prędkość pełzania

doppIIε& [1/h]

węŜownice 0,0200 20 000 10-6÷10

-5

Kotły

parowe rurociągi parowe

rury kotłowe 0,0300 100 000 10

-7

tarcze wirujące 0,0001 100 000 10-9

Turbiny

parowe śruby, kołnierze 0,0010 100 000 10

-8

16

Zginanie Rozpatrzmy przypadek równomiernego zginania pręta o stałym przekroju i osi

prostej. Przyjmujemy następujące załoŜenia upraszczające:

− pręt ma płaszczyznę symetrii, w której leŜą wszystkie siły obciąŜające;

− poprzeczny przekrój zginanego pręta podczas odkształcania się pozostaje

płaski;

− w pręcie występuje jednoosiowy stan napręŜenia;

− pełzanie przy rozciąganiu i ściskaniu opisuje się tą samą zaleŜnością;

− rozpatrujemy jedynie ustalony stan pełzania n

pII kσε =& .

NapręŜenia

Odkształcenie względne εx w kierunku osi pręta x w punkcie przekroju

oddalonym o y od osi obojętnej (rys. 13) wyraŜa się wzorem

( )y

y

d

ddyx κ

ρϕρ

ϕρϕρεε ==

−+== , gdzie κ − krzywizna odkształconej

osi pręta.

Rys. 13.Odkształcony odcinek pręta.

17

RóŜniczkując ostatnie wyraŜenie względem czasu otrzymuje się yκε && = , gdzie

κ& - prędkość zmiany krzywizny.

Uwzględniając przyjęte załoŜenie o rozpatrywaniu tylko pełzania ustalonego,

mamy ykn κσ &= , a stąd

n

k

y1

=

κσ

&

Jest to zaleŜność dla napręŜeń dodatnich σ > 0, dla napręŜeń ujemnych prędkość naleŜy uwaŜać za ujemną. Wprowadzając wartość bezwzględną do powyŜszego

równania moŜna je przedstawić w postaci ogólnej, obejmującej obydwa

przypadki, a więc dla σ > 0 i dla σ < 0.

yyk

nn 1

11

−

=

κσ

&

W celu wyznaczenia rozkładu napręŜeń w pręcie zginanym naleŜy określić połoŜenie osi obojętnej zginania z w przekroju oraz wartość κ& . MoŜna to

uczynić wiedząc, Ŝe układ sił wewnętrznych w poprzecznym przekroju pręta

w przypadku czystego zginania sprowadza się do pary sił o momencie M, a więc

równania równowagi przyjmują następująca postać:

( )

0==∑ ∫A

dAX σ

( ) ( )

MdAyMdAyMAA

z =⇒=−= ∫∑ ∫ σσ 0

Podstawiając wcześniej wyprowadzoną zaleŜność na σ, otrzymamy:

( )

MdAyk

A

nn

=

∫

+1

1

1

κ& lub po przekształceniach ( )#

1

p

n

I

M

k=

κ&

gdzie ( )

dAyI n

A

p

11+

∫= jest geometryczną charakterystyką przekroju

pręta podlegającego pełzaniu, wyznaczoną względem osi obojętnej z. Łatwo

zauwaŜyć, Ŝe dla n =1, Ip = Iz – moment bezwładności przekroju poprzecznego

pręta względem osi z.

18

Wzór określający rozkład napręŜeń w przekroju poprzecznym pręta

podlegającego pełzaniu w stanie ustalonym przyjmuje ostatecznie postać:

yyI

Mn

p

11

−=σ

Alternatywny zapis: n

p

yI

M=σ

, gdzie ( )

dAyI n

n

A

p

+

∫=1

Linia ugięcia

Zbadajmy ugięcie belki y (teraz y oznacza ugięcie, a nie odległość od osi z),

podlegającej pełzaniu w stanie ustalonym, pod wpływem stałego obciąŜenia

zewnętrznego. W takim przypadku pIIεε && = nie zaleŜy od czasu. Z tego wynika,

Ŝe prędkość zmiany krzywizny osi belki κ& teŜ nie zaleŜy od czasu. A zatem

moŜna przyjąć, Ŝe krzywizna jest liniową funkcją czasu t określoną wzorem

tκκ &= . Przy załoŜeniu małych odkształceń, krzywiznę moŜna wyrazić wzorem

2

2

x

y

∂

∂=κ . Uwzględniając równanie (#) otrzymuje się następujące równanie

róŜniczkowe odkształconej osi belki podlegającej pełzaniu

n

pI

Mtk

x

y

=

∂

∂2

2

Weźmy pod uwagę belkę swobodnie podpartą o rozpiętości l obciąŜoną siłą skupioną P w środku (rys. 14).

Rys. 14. Ugięcie belki podlegającej pełzaniu.

19

W pierwszym przedziale belki (0 < x < l/2) moment zginający w przekroju o

współrzędnej x wyraŜa się wzorem M = − (P/2)x i równanie róŜniczkowe

przyjmuje postać

n

n

p

xI

Ptk

x

y

−=

∂

∂

22

2

Całkując to równanie względem x otrzymuje się

)(12

1

1

tCn

x

I

Ptk

x

yn

n

p

++

−=

∂

∂ +

ZaleŜną od czasu funkcję C1(t) wyznacza się z warunku, Ŝe dla x = l/2 ze

względu na symetrię 0=∂

∂

x

y

1

1221

)(

+

+=

nn

p

l

I

P

n

kttC

Przy wyznaczonej funkcji C1(t) poprzednie wyraŜenie przyjmuje postać

−

+=

∂

∂ +

+

1

1

221

n

nn

p

xl

I

P

n

kt

x

y

Po ponownym scałkowaniu i uwzględnieniu warunku y(0) = 0, ugięcie y wyraŜa

się funkcją

+−

+=

++

2221

21

n

xx

l

I

P

n

kty

nnn

p

Największe ugięcie ymax występuje w środku belki (x = l/2) i jest równe

20

2

max222

+

+=

nn

p

l

I

P

n

kty

Zakładając, Ŝe maksymalne ugięcie belki po upływie czasu tE nie powinno

przekraczać wartości dopuszczalnej ydop dochodzi się do warunku

odkształceniowego w postaci równania

( ) ( ) doppspryyy ≤+ maxmax

gdzie: (ymax)spr – największe ugięcie spręŜyste, (ymax)p – największe ugięcie

wywołane pełzaniem.

W przypadku obliczania belki obciąŜonej siłą skupioną w środku powyŜszy

warunek przyjmuje postać

dop

nn

p

E

z

yl

I

P

n

kt

EI

Pl≤

++

+23

22248

EIz – sztywność zginania belki.

Z ostatniej zaleŜności moŜna wyznaczyć dopuszczalne obciąŜeni belki

wynikające z warunku odkształceniowego (przemieszczeniowego).

Alternatywny zapis:

n

p

p

I

Mtk

x

f

=

∂

∂2

2

Φ=

n

p

pI

tkf max

gdzie: fp – ugięcie belki, Φ - funkcja zaleŜna od rodzaju podparcia i obciąŜenia

belki

21

Skręcanie NapręŜenia określa zaleŜność (rys. 15)

n

p

sp

I

M1

ρτ =

Rys. 15. Odcinek pręta podlegający skręcaniu.

22

Uogólniony moment przekroju kołowego

3

1312

013

22

++

+== ∫

nn

nR

p Rn

ndI

πρρπ

Jednostkowy kąt skręcenia

n

p

sp

I

Mkt

=θ

23

PRZYKŁADY

Zadanie 1.

Układ przedstawiony na rysunku, składajacy się z dwóch prętów 1 i 2

o jednakowej długości i przekroju (wykonanych z tego samego materiału) oraz

nieodkształcalnej belki 3, jest obciąŜony stałą siłą P. Wyznaczyć przemieszczenie f pod siłą P w czasie (f = f(t)), uwzględniając efekty pełzania

ustalonego. Dane: A1 = A2 = A, a, P, k, n

Rozwiązanie

Związki fizyczne n

k 11 σε =& , n

k 22 σε =& (*)

Warunki geometryczne

212121 23

2

3

246εε =⇒∆=∆=∆⇒

∆=

∆=

∆LLL

a

L

a

L

a

LP

P (**)

Warunki równowagi

0230230246 212121 =−−⇒=−−⇒=−−=∑ AAPSSPaSaSPaMA σσ (***)

Po uwzględnieniu równań (*) w równaniu (**) otrzymujemy

n 221 σσ =

Wprowadzając tą zaleŜność do równania (***) mamy

2a 2a 2a

f(t)

1 2

P

∆L2

∆L1

∆LP = f

A

l l

S2 S1

24

)12(

32

−=

nA

Pσ

PoniewaŜ l

A

PtkltkLL

n

n

n

−===∆

)12(

3222 σε

,

to z zaleŜności geometrycznej (**)

lA

PtkLLtf

n

nP

−=∆=∆=

)12(

333)( 2

Zadanie 2.

Zbadać rozkład napręŜeń w przekroju prostokątnym belki poddanej czystemu

zginaniu w warunkach pełzania ustalonego.

Rozwiązanie

Rozkład napręŜeń w przekroju poprzecznym belki określa zaleŜność

n

p

yI

M=σ

W naszym przypadku mamy moment zginający równa się momentowi M.

M

x

b

h

y

dy

y

l

25

Uogólniony moment bezwładności ( )

dAyI n

n

A

p

+

∫=1

dla rozpatrywanego

przekroju wynosi

( )

n

nh

n

n

n

n

A

p

hb

n

ndybydAyI

212/

0

11

212

22

+++

+=== ∫∫

Największe wartości σmax napręŜeń występują we włóknach skrajnych belki

(z = h/2) i wynoszą

2

1

21

4

2

21

2

212

2bh

M

n

nh

hb

n

n

My

I

M n

n

nn

p

+=

+

==+

σ

W przypadku, gdy n =1 wartość napręŜenia jest równa 2max

6

bh

M=σ

, która to

wartość odpowiada zginaniu w zakresie spręŜystym. Gdy n → ∞ rozkład

napręŜeń w pręcie dąŜy do rozkładu w stanie całkowicie uplastycznionym.

Zadanie 3.

Obliczyć maksymalne napręŜenia styczne τs oraz jednostkowy kąt skręcenia θp

w warunkach pełzania ustalonego dla wału stalowego zamocowanego

i obciąŜonego momentem skręcającym Ms = 1kNm, jak na rys. po tE = 1000h.

Stadium nieustalonego pełzania pominąć. Materiał wału – stal węglowa.

Prędkość pełzania ustalonego 00,3,11

1025,0, 9 =

×== −

nhMPa

kk

n

n

spII τν&

Temperatura T = 600°C(873K), G = 6×104 MPa. Średnica wału d = 0,05m.

26

Rozwiązanie

NapręŜenia wyznaczamy ze wzoru

n

p

sp

I

M1

ρτ =

Uogólniony moment przekroju kołowego jest równy

( ) ( )

×=

+×

×=

+=

+×+

3

10

3

10

3

1333

13

025,0884,1025,0133

32

213

2m

d

n

nI

n

p

ππ.

PoniewaŜ 2

,101 3 dNmMM s =×== ρ , otrzymujemy więc

( )

( )MPap 97,33

025,0884,1

025,0101

3

10

3

13

=×

××=τ

Jednostkowy kąt skręcenia (całkowity)

mrad

dI

Mkt

GI

Mn

p

ssp

/4192,0392,00272,0

)025,0(884,1

101

10

101025,0

106

32101

3

3

10

3

18

39

410

3

0

=+=

×

×××

+×

××=

+=

−

πθ

Ms

l = 1m

d =

0,0

5m