Wykład 6: Praca i energia

Wykład 6: Praca i energia

dr inż. Zbigniew Szklarski

szkla@agh.edu.pl

http://layer.uci.agh.edu.pl/Z.Szklarski/

22.03.2018 Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Teleinformatyka

2

Energia a praca

Energia jest to wielkość skalarna, określająca stan, w jakim znajduje się jedno lub wiele ciał. Np. energia kinetyczna jest związana ze stanem ruchu ciała.

Praca jest to energia przekazana ciału lub od niego odebrana w wyniku działania na ciało siłą. Gdy energia jest przekazana ciału, praca jest dodatnia, a gdy energia jest ciału odebrana, praca jest ujemna. Praca jest równa zmianie energii.

Jednostką pracy i energii w układzie SI jest 1J.

22.03.2018 Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Teleinformatyka

3

cossFW sF

ABs

Wektor przesunięcia

F

A B

φ φ

vAvB

Wskutek wykonanej nad ciałem pracy wzrasta jego

prędkość od vA do vB czyli rośnie energia kinetyczna

AB vv

Praca stałej siły

22.03.2018 Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Teleinformatyka

4

Pracę wykonuje składowa x-owa siły F

2

2tatvs x

A

F φ

Fx

samsFW xxAB

t

vva AB

x

tvv

s AB

2

zatem

kAkBABAB

ABABAB

EEmvmvW

tvv

t

vvmW

22

2

1

2

1

2

Praca wykonana przez siłę

nad cząstką swobodną jest

równa zmianie energii

kinetycznej cząstki

2

2

1mvEk

ale vmp

m

pEk

2

2

22.03.2018 Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Teleinformatyka

5

Praca zmiennej siły

Załóżmy, że siła F zależy od położenia x czyli F(x)

Dzielimy przedział <x1, x2> na

odcinki Δx, na których można

przyjąć, że siła jest stała.

Obliczamy pracę ΔW wykonaną przez siłę stałą na odcinku Δ x

ΔW = F Δx

2

1

x

x

xFWSumując otrzymamy

22.03.2018 Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Teleinformatyka

6

Gdy Δx 0

2

1

2

1

x

x

x

x0x

FdxxFW lim

B

A

rF

dABWW ogólnym przypadku:

dtddt

dvr

rv

skoro

więc

Moc jest definiowana jako : P = dW/dt

B

A

t

t

AB tdW vF

B

A

t

t

tPdWABvF

P

2

1

x

x

xFW

22.03.2018 Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Teleinformatyka

7

k

k

k

k

Energia potencjalna – nie tylko grawitacyjna

2

1

2

1

2

2x

x

x

x

xkxdxkW

)( 1xxkF

Praca siły zależnej od położenia – siły harmonicznej

rkF

2

1

2

1

x

x

x

x

dxkxFdxdWW

22

21

2xx

kW skoro

2

2kxEEW pp

Energia potencjalna sprężystości

W – praca wykonana przez siłę sprężystości

Problem z energią potencjalną sprężystości ?

Powieszenie masy m wydłużyło sprężynę o x

Energia potencjalna rozciągniętej sprężyny:

kosztem:

22.03.2018 Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Teleinformatyka

8

2

2

1kxEs mgxE p

mgkxmgxkx 2

1

2

1 2

Warunek równowagi: mgkx ??

Stan równowagi – po wygaśnięciu drgań – uzupełnienie zasady zachowania energii: Qmgxkx 2

2

1 Ile energii traci

sprężyna - połowę !!

22.03.2018 Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Teleinformatyka

9

Energia potencjalna

Aby móc wprowadzić pojęcie energii potencjalnej, pole sił

musi mieć określoną własność - taką, że praca wykonana w

tym polu nie może zależeć od drogi, wzdłuż której zachodzi

przemieszczenie

Takie pola i siły nazywamy zachowawczymi

Energia potencjalna Ep jest to energia związana

z konfiguracją układu ciał, działających na siebie

siłami.

22.03.2018 Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Teleinformatyka

10

Praca wykonana przez siłę

zachowawczą nie zależy od

drogi lecz zależy jedynie od

położeń punktów A i B.

WABdroga1 = WAB

droga2 =

WABdroga3

Praca wykonana przez siłę

zachowawczą nad cząstką

poruszającą się po drodze

zamkniętej jest równa zeru.

WAA = WAB + WBA = 0

Droga 1

Droga 3

Droga 2

L

0dWAA rF

•

A

•B

22.03.2018 Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Teleinformatyka

11

Przykład

Dane jest pole wektorowe o składowych Fx= Ky; Fy= Kx; Fz= 0;

gdzie K jest stałą. Sprawdzić czy to pole jest zachowawcze

obliczając pracę po konturze trójkątnym o bokach y = x; y = 0;

x = x0.

Rozwiązanie

jKxiKyF ˆˆ

A(0,0)

B(x0,x0)

C(x0,0)

B

A

C

B

A

C

rdFrdFrdFrdFW ˆˆˆˆ

jyixr ˆˆ

KxdyKydxdyFdxFrdF yx

.....

000

00

yx

xyB

A

xy

x

AB KxdyKydxrdFW

22.03.2018 Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Teleinformatyka

12

ISTOTNE SIŁY RZECZYWISTE

Siły centralne:

Siła ciężkości (siła grawitacji)

Siła oddziaływania elektrostatycznego (siła

kulombowska)

są siłami zachowawczymi

Siła tarcia NIE JEST siłą zachowawczą !

rF ˆ)(rf

rF ˆr

MmG)r(

2

rF ˆr

Qq

4π

1)r(

2

0

22.03.2018 Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Teleinformatyka

13

Jak obliczać energię potencjalną?

r

A

pp d)A(E)(E rFr

)BA(W)A(E)B(E pp

r

p d)(E rFr

Z definicji

Wartość energii potencjalnej w punkcie opisanym wektorem rjest określona z dokładnością do stałej - równej Ep(A), którą można obrać umownie.

Sens fizyczny ma jedynie różnica energii potencjalnej pomiędzy dwoma punktami.

Umowa: A leży w nieskończoności czyli Ep(∞)=0

Jak obliczać energię potencjalną grawitacji?

22.03.2018 Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Teleinformatyka

14

gF

r

r

ggr

rdrGMmrdFW

3

drrrdr

r

MmG

r

MmG

r

drGMmW r

r

g

2

0

EEEW rpgr

MmGEp

lub3

rF

r

MmGg r

r

MmGg ˆ

2F

22.03.2018 Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Teleinformatyka

15

Siła zachowawcza Energia potencjalna układ:

rF ˆr

MmG)r(

2

gF

m mgx)x(Ep

r

MmG)r(Ep masa m – masa M

rF ˆr

Qq

4π

1)r(

2

0

r

Qq

4π

1)r(E

0

p

rF ˆkr)r(

2

p kr2

1)r(E masa m – sprężyna k

masa m - Ziemia

ładunek q –ładunek Q

22.03.2018 Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Teleinformatyka

16

Związek pomiędzy siłą a energią potencjalną

pE

Przypadek jednowymiarowy

Uogólnienie na 3D

x

xp dxF)x(Edx

dEF

p

x

r

p d)(E rFr

kjiF ˆ

z

Eˆ

y

Eˆ

x

E ppp

kji ˆz

ˆy

ˆx

pEgrad

operator „nabla”

stąd ?...F

22.03.2018 Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Teleinformatyka

17

rkji

gradF

k)ˆzyˆk(x

Ep

zatem:

UWAGA! Praca wykonana nad układem przez siłę zewnętrzną

jest przeciwna do pracy wykonanej przez siły układu.

22.03.2018 Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Teleinformatyka

18

Przykład – siła sprężystości

Energia potencjalna układu masa-sprężyna dana jest wzorem:

Korzystając z zależności wyprowadzić wzór na siłę

sprężystości.

Rozwiązanie:

pEgradF

2

p kr2

1)r(E

)zyk(x2

1kr

2

1)r(E 2222

p

kxzyxk2

1

x)zy,x,(E

x

222

p

kyzyxk2

1

yE

y

222

p

kzzyxk2

1

zE

z

222

p

kjigrad ˆkzˆkyˆkxEp

rkjigradF

k)ˆzyˆk(xEp

22.03.2018 Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Teleinformatyka

19

Zasada zachowania energii

W układzie izolowanym, w którym zmiany energii pochodzą jedynie od sił zachowawczych energia kinetyczna i potencjalna mogą się zmieniać, lecz ich suma czyli energia mechaniczna Emech nie może ulegać zmianie.

0 = ΔEk+ ΔEp 0 = Ek2 - Ek1+ Ep2 - Ep1

Ek1+Ep1 = Ek2 + Ep2 Ek+Ep = const

0)EE(dt

dpk

22.03.2018 Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Teleinformatyka

20

Zastosowanie zasady zachowania energii dla oscylatora harmonicznego

0)EE(dt

dpk

2

vmE

2

k 2

xkE

2

p

0)( 2

xk

2

vm

dt

d 22

0dt

dxx2

2

k

dt

dvv2

2

m0 kx

dt

xdm

2

2

równanie oscylatora harmonicznego

22.03.2018 Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Teleinformatyka

21

Podsumowanie

Istnieje ścisły związek pomiędzy pracą a energią

O energii potencjalnej układu można mówić tylko dla sił zachowawczych

Zasada zachowania energii mechanicznej pozwala rozwiązywać zagadnienia, które są trudne lub niemożliwe do rozwiązania na gruncie zasad dynamiki

Całkowita energia jest wielkością stałą. Energia może być przekształcana z jednej formy w inną, ale nie może być wytwarzana ani niszczona

W = ΔEmech+ ΔEterm +ΔEwew

22.03.2018 Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Teleinformatyka

22

Energia relatywistyczna

Lukrecjusz (99 p.n.e.-55 p.n.e.) „De Rerum Natura” –„Rzeczy nie mogą powstawać z niczego, a gdy zostały stworzone, nie mogą zamienić się w nicość” – pierwsze sformułowanie ZASADY ZACHOWANIA MATERII.

Lavoisier (1743-1794) zasada zachowania masy

Einstein (1915r) „Teoria względności połączyła w jedną zasadę: zasadę zachowania masy i zasadę zachowania energii”.

Masa relatywistyczna

2/120

2

2

0 )1(

1

m

c

v

mm

22.03.2018 Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Teleinformatyka

23

m0 m zatem energia kinetyczna:

dla małych prędkości, gdy = v/c <<1

Zasada równoważności masy i energii:

Każda ilość dostarczonej energii

powoduje wzrost masy ciała.

Przykład:

powstawanie deuteronu (jądra deuteru)

mp = 1,00731 u

mn = 1,00867 u

md = 2,01360 u

20

2

1vmEk 22

02

02 cmcmmcmmcEk

20

2

1vmEk

2c

Em

Hnp 21

10

11

Δm = 0,00238 u E = 2,225·106 eV

22.03.2018 Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Teleinformatyka

24

Taka energia wyzwala się jako kwant - energia wiązania.

Energia całkowita = en. spoczynkowa + en. kinetyczna

stąd

Energia a pęd

nierelatywistycznie:

relatywistycznie

stąd

kEcmcm 20

20

120 cmEk

HRW, t4

02 2 mEp k

20

222 cmEEcp kk

220

22 cmcpE

E = 2,225·106 eV