TRUNCHIUL DE PIRAMID Ă

TRUNCHIUL DE PIRAMIDĂDefiniţii, elemente

Trunchiul de piramidă regulată•Triunghiulară

•Patrulateră

•Hexagonală

Fie piramida SABCD.

Corpul geometric determinat de planul (ABCD) şi planul (A’B’C’D’), paralel cu planul (ABCD), se numeşte trunchi de piramidă.

Piramida SABCD se numeşte piramida generatoare.

Dacă piramida generatoare este o piramidă regulată, atunci atât piramida mică cât şi trunchiul de piramidă vor fi regulate.

SO – înălţimea piramidei generatoare

SO’ - înălţimea piramidei mici (SA’B’C’D’)

OO’ – înălţimea trunchiului de piramidă

ABCD – baza mare

A’B’C’D’ - baza mică; ABCD ~ A’B’C’D’

feţe laterale – trapeze

muchii laterale (AA’, BB’, CC’, DD’)

muchiile bazei mari (AB, BC, CD, DA)

muchiile bazei mici (A’B’, B’C’, C’D’, D’A’)

FORMULE DE CALCUL

Alaterală = Al = suma ariilor feţelor laterale

Atotală = At = Al+Ab+AB

Formula pentru determinarea volumului rezultă din asemănarea piramidei generatoare cu piramida mică. (vezi demonstraţie)

BbBb AAAAh

V 3

În demonstraţie se vor folosi următoarele notaţii:

V, h – volumul, înălţimea trunchiului de piramidă,

V1, h1 – volumul, înălţimea piramidei generatoare,

V2, h2 – volumul, înălţimea piramidei mici .

31

2221

21

131

2221

2121

131

32

31

1

21

1

2

2

1

2

233

1

2

1

2 )1.(1

;1

h

hhhhh

V

V

h

hhhhhh

V

V

h

hh

V

VV

relA

A

h

h

h

h

kA

A

kh

h

V

V

B

b

B

b

2

1

2

1

2

31

2221

211

11

3

1

3

1

3

1

h

hA

h

hAAhV

h

hhhhAhhVAhV

BBB

BB

Conform relaţiilor (1) avem bbBB AAAAh

V 3

TRUNCHI DE PIRAMIDĂ TRIUNGHIULARĂ REGULATĂ

Definiţii

Elemente, trapeze de lucru

Arie totală, arie laterală, volum

Reprezentare în plan

Trunchi de piramidă triunghiulară regulată

A

B

C

C’A’

E

E’

O

O’

S

B’

Dacă o piramidă triunghiulară regulată se secţionează cu un plan paralel cu baza şi se îndepărtează piramida mică, se obţine un trunchi de piramidă triunghiulară regulată.

• toate muchiile laterale sunt congruente, deci feţele laterale sunt trapeze isoscele;

• bazele sunt poligoane asemenea; (triunghiuri echilaterale asemenea)

)(''''''

asemãnarederaportkSE

SE

EO

OE

SO

SO

BA

AB

vezi figura

33

''' 1'

kSO

SO

V

V

SABC

CBSA

)( maribazeimuchiaBCABCAB )('''''' micibazeimuchiabACCBBA

itrunchiuluînãltimeahOO '

itrunchiuluapotemaEE '

2

3

3

2'';

2

3

3

2 bOC

BCO

2

3

3

1'';

2

3

3

1 bEO

BOE

4

3;

4

3 22 bA

BA bB

isosceletrapezeBBCCAABBAACC

cedreptunghitrapezeAAEEEEOOCCOO

'';'';''

'';'';''

Formule de calcul

bPBP

ApPPA bB

bBl 3;3;

2

bBlt AAAA

bBbB AAAAh

V 3

TRUNCHI DE PIRAMIDĂ PATRULATERĂ REGULATĂ

Definiţii

Elemente, trapeze de lucru

Arie totală, arie laterală, volum

Reprezentare în plan

Trunchi de piramidă patrulateră regulată

A B

CD

A’ B’

C’D’

O

O’

E

E’

S

Dacă o piramidă patrulateră regulată se secţionează cu un plan paralel cu baza şi se îndepărtează piramida mică, se obţine un trunchi de piramidă patrulateră regulată.

• feţele laterale sunt trapeze isoscele;

• bazele sunt poligoane asemenea; (pătrate)

)(''''''

asemãnarederaportkSE

SE

EO

OE

SO

SO

BA

AB

vezi figura

33

'''' 1'

kSO

SO

V

V

SABCD

DCBSA

)( maribazeimuchiaBDACDBCAB )('''''''' micibazeimuchiabADDCCBBA

itrunchiuluînaltimeahOO '

itrunchiuluapotemaEE '

2

2'';

2

2 bOA

BAO

2'';

2

bEO

BOE

22 ; bABA bB

isosceletrapezeBBCCAACC

cedreptunghitrapezeCCEEEEOOAAOO

'';''

'';'';''

Formule de calcul

bPBP

ApPPA bB

bBl 4;4;

2

bBlt AAAA

bBbB AAAAh

V 3

TRUNCHI DE PIRAMIDĂ HEXAGONALĂ REGULATĂ

Elemente, trapeze de lucru

Arie totală, arie laterală, volum

Reprezentare în plan

Trunchi de piramidă hexagonală regulată

A

A’

B

B’

C

C’

D

D’

E

E’

F

F’

O

O’

M

M’

V

lateralemuchiiFFEEDDCCBBAA

micibazeimuchiabFEEDDCCBBA

maribazeimuchiaBEFDECDBCAB

''''''

''''''''''

itrunchiuluînãltimeahOO '

itrunchiuluapotemaMM '

2

3'';

2

3 bMO

BOM

bDA

OABAD

AO 2

'''';

2

2'';

2

bDM

BMD

diagonalasectiuneisosceltrapez''

cedreptunghitrapeze'';'';''

AADD

MDDMOCCOOAAO4

36;

4

36

22 bA

BA bB

Formule de calcul

bPBP

ApPPA bB

bBl 6;6;

2

bBlt AAAA

bBbB AAAAh

V 3