View
217
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
04/12/2012
1
Model Model Loss Loss SistemSistem
AnharAnharProdi Teknik Elektro S1Prodi Teknik Elektro S1URUR
Topik BahasanTopik Bahasan....
� Notasi Model Antrian (Kendall)
� Model Poisson (∞ customers, ∞ servers)
� Model Erlang (∞ customers, n < ∞ servers)
� Binomial model (k < ∞ customers, n = k servers)
� Engset model (k < ∞ customers, n < k servers)
2
04/12/2012
2
Notasi Model Antrian (Kendall)Notasi Model Antrian (Kendall)
� A/B/n/p/k– A menyatakan proses kedatangan
� Interarrival time distribution:� M= exponential (memoryless)� D= deterministic� G= general
– B menyatakan waktu pelayanan (service times)� Service time distribution:� M= exponential (memoryless)� D= deterministic� G= general
– n = jumlah server– p = jumlah tempat dalam sistem
= jumlah server + tempat menunggu
3
Notasi Model Antrian (Kendall) Notasi Model Antrian (Kendall) (cont.)(cont.)
◦ k = populasi pelanggan
◦ Nilai-nilai default (biasanya tidak dimunculkan) :
� p = ∞, k = ∞
◦ Contoh:
� M/M/1
� M/D/1
� M/G/1
� G/G/1
� M/M/n
� M/M/n/n+m
� M/M/∞ (Poisson model)
� M/M/n/n (Erlang model)
� M/M/k/k/k (Binomial model)
� M/M/n/n/k (Engset model, n < k)
4
04/12/2012
3
Model Poisson (M/M/Model Poisson (M/M/∞∞))� Model Poisson didefinisikan menggunakan model teletraffic
berikut :– Kedatangan panggilan acak (random arrival/Pure Chance Traffic) dan
independent satu sama lain
– Selang waktu antar kedatangan terdistribusi eksponensial negatif
– Jumlah sumber panggilan (customer) tak terhingga (k= ∞)
– Laju rata-rata datangnya panggilan konstan (a=λ)� Tak tergantung jumlah pendudukan yang sudah ada karena sumber panggilan
tak terhingga
– Jumlah server yang melayani tak terhingga� Setiap panggilan yang datang selalu dapat dilayani (lossless)
– Pola waktu pelayanan/pendudukan terdistribusi exponensial negatif dengan waktu pelayanan/pendudukan (service time) rata-rata = h = 1/µ
– Harga rata-rata trafik sama dengan harga variansinya
– Tidak ada buffer
– Intensitas trafik = a = λ/µ
5
Diagram Transisi KondisiDiagram Transisi Kondisi� Misalnya X(t) menyatakan jumlah customer di dalam sistem
pada saat t
� Asumsikan bahwa X(t) = i pada suatu waktu t, dan kita lihat apa saja kemungkinan yang terjadi di dalam selang waktu yang sangat pendek (t, t+dt] :
◦ dengan peluang sebesar λdt + o(dt), bisa terdapat seorang pelanggan baru datang (transisi kondisi n → n+1)
◦ jika i > 0, dengan peluang sebesar iµdt + o(dt) bisa terdapat seorang pelanggan yang meninggalkan sistem (transisi kondisi n → n−1)
� X(t) merupakan suatu proses Markov dengan diagram transisi kondisi sebagai berikut
6
0 1 2 n
λ
(n+1)µ
λ λ λ λ
nµ3µ2µµ
04/12/2012
4
• Persamaan kesetimbangan lokal
• Normalisasi
• Maka distribusi dalam kondisi setimbang adalah Poisson
7
.0,1,2,3,.. n ,!
)1()1(
)1(
0
1
1
==
+=
+=
+=
+
+
pn
ap
pn
ap
np
npp
n
i
iin
nn
µλ
µλ
aa
n
n
n
n
nn
een
ap
n
app
−−−∞
=
∞
=
∞
=
==
=
==
∑
∑∑
1
1
00
00
0
)(!
1!
.0,1,2,3,.. n ,!
}{ ==== −an
i en
apiXP
� Sifat penting distribusi Poisson
◦ E [X] = a, D2[X] = a
◦ Seluruh trafik yang ditawarkan akan dapat diolah oleh server, artinya tidak ada trafik yang hilang (lossless)
� Oleh karena itu trafik yang ditawarkan akan sama dengan trafik yang dimuat atau A = Y
8
04/12/2012
5
Model Erlang (M/M/n/n)Model Erlang (M/M/n/n)
� Model Erlang didefinisikan menggunakan model teletraffic berikut– Jumlah sumber panggilan tak terhingga (k=∞)
– Selang waktu antar kedatangan terdistribusi eksponensial negatif dengan rata-rata 1/λ� Pola kedatangan panggilan terdistribusi Poisson dengan laju rata-rata
datangnya panggilan konstan (λ)� Kedatangan panggilan acak (random arrival) dan independent satu sama lain� Tak tergantung jumlah pendudukan yang sudah ada karena sumber panggilan tak
terhingga
– Jumlah server terbatas (n < ∞) dan tidak ada buffer� Tidak setiap panggilan yang datang selalu dapat dilayani; panggilan yang datang
pada saat semua server sibuk akan tidak dapat dilayani� panggilan-panggilan yang tidak dapat dilayani akan dihilangkan (lossy) : sistem
rugi murni
– Pola waktu pelayanan/pendudukan terdistribusi exponensial negatif dengan waktu pelayanan/pendudukan rata-rata = h = 1/µ
– Intensitas trafik = a = λ/µ
9
Rumus Rugi Erlang�Dapat digunakan untuk menghitung prosentase
panggilan yang hilang bila trafik yang ditawarkan dan jumlah server (ingat, server bisa berupa berkas saluran keluar, timeslot dsb.) diketahui
�Penurunan rumus menggunakan diagram transisi kondisi dan persamaan kesetimbangan
– Koefisien kelahiran = λ (konstan)
– Koefisien kematian = nµ– A = λ/µ
10
04/12/2012
6
λP(0) = 1µP(1)A.P(0) = 1.P(1)A.P(1) = 2.P(2)A.P(2) = 3.P(3)
...A.P(n-1) = n.P(n)
.
.
.
A.P(N-1) = N.P(N)
11
0 1 2
λ λ λ λ
(N-1)µ3µ2µµ
N-1 N
λ
Nµ
12
• Dari persamaan kesetimbangan tersebut bisa kita peroleh
P(n) = P(n-1) = P(n-2)= P(n-3)= … = P(0)
• Jadi P(n) = P(0), dengan n = 0,1,2,…,N
• Mencari P(0) :
– 1 = P(n) = P(0) { 1+A+ + + … + }
– Jadi P(0) =
A
n
A2
n(n-1)
A3
n(n-1)(n-2)
An
n!
An
n!
An
n!
Σn=0
N
Σn=0
NA2
2!
A2
2!
A3
3!
A3
3!
AN
N!
AN
N!
1
Σn=0
N
Σn=0
NAn
n!
An
n!
04/12/2012
7
• Sehingga
•
Untuk n = 0,1,2,3,…, N• P(N) = Probabilitas bahwa semua server sibuk;
selama waktu ini semua panggilan yang datangditolak (dihilangkan)
13
P(n) =
An
n!
1+A+ + … +A2
2!AN
N!
� Simbol untuk menyatakan P(N)◦ E1,N(A)
◦ EN(A)
◦ B (Blocking)
◦ Rumus Rugi Erlang
◦ Rumus Erlang-B
◦ B(N,A)
◦ Grade of Service (GOS)� Dari segi nilai, GOS = Blocking
� Dari segi pengertian, GOS merupakan komplemen dari Blocking
14
04/12/2012
8
� Jadi
15
P(N) = E1,N(A) = EN(A) = B =
AN
N!
1+A+ + … +A2
2!AN
N!
Ditabelkan
Kongesti Waktu dan Kongesti Panggilan�Probabilitas kondisi adalah lamanya waktu suatu
kondisi berlangsung selama satu jam pengamatan (jam sibuk), maka
�P(N) dapat diartikan sebagai lamanya waktu dimana semua server (=N) sibuk berlangsung dalam jam jam sibuk sehingga P(N) disebut pula sebagai Kongesti Waktu (Time Congestion)
�Dapat pula dikatakan :P(N) adalah bagian waktu dimana N server sibuk
16
04/12/2012
9
17
• Pengertian Kongesti Panggilan = R(N)
• Atau dengan kata lain :
R(N) adalah bagian panggilan yang ditolak
• Untuk kedatangan yang acak P(N) = R(N)
R(N) = Jumlah panggilan yang ditolak
Jumlah panggilan selama 1 jam
Efisiensi dan Kepekaan
� Efisiensi (= A/N)
◦ Untuk B tertentu, dengan bertambahnya A, akan diperlukan N yang lebih besar pula
◦ Makin besar A, makin besar (baik) efisiensinya
18
B = 1%
N A A/N
2 0,15 0,075
4 0,87 0,215
10 4,46 0,440
50 37,90 0,760
04/12/2012
10
� Kepekaan
◦ Seberapa besar pengaruh perubahan A terhadap perubahan B untuk N tetap
◦ Makin besar A, makin besar kepekaaannya (perubahan B-nya)
19
B = 1%
N A 1,1A (A naik 1%) Trafik 1,1A dan dengan N
tetap; B berubah menjadi
2 0,15 0,165 0,012 (=1,2 %)
4 0,87 0,957 0,013 (=1,3 %)
10 4,46 4,906 0,015 (=1,5 %)
50 37,90 41,690 0,030 (=3,0 %)
� Model Erlang dapat diterapkan pada trafik telepon di dalam suatu berkas saluran trunk dimana jumlah user yang menggunakannya sangat banyak
◦ customer = call
−λ = call arrival rate (calls per time unit)
◦ h = 1/µ = average call holding time (time units)
◦ a = λ /µ = traffic intensity
◦ N = kapasitas link (jumlah saluran)
20
04/12/2012
11
21
• Harga rata-rata trafik yang dimuat oleh berkas
saluran (pada rumus Erlang)
– Merupakan jumlah saluran rata-rata yang diduduki
(selama waktu 1 jam sibuk)
– Y = trafik yang dimuat =
– Y = A [ -B + 1]
Σn=0
N
Σn=0
N
n.P(n)= Σn=0
N
Σn=0
N An/(n-1)!
Σj=0
N
Σj=0
N
Aj/j!
= A Σn=0
N
Σn=0
N An-1/(n-1)!
Σj=0
N
Σj=0
N
Aj/j!
= AAN/N!
Σj=0
N
Σj=0
N
Aj/j!
+Σn=0
N
Σn=0
N An/n!
Σj=0
N
Σj=0
N
Aj/j!
-
B 1
� Jadi :
◦Y = A[1-B] atau
◦A = Y + AB
� A = Trafik yang ditawarkan (rata-rata)
� Y = Trafik yang dimuat (rata-rata)
� AB = R = Trafik yang ditolak (hilang)
22
04/12/2012
12
Rumus Rekursif ErlangRumus Rekursif Erlang
23
En+1(A)=An+1/(n+1)!
1+A+ A2
2!An+1
(n+1)!+…+
=[A/(n+1)] An/n!
1+A+ A2
2!An+1
(n+1)!+…+
Rumus Rekursif Erlang (2)Rumus Rekursif Erlang (2)
24
En+1(A)=
An/n!
1+A+ A2
2!An
n!+…+
An+1/(n+1)!
1+A+ A2
2!An+1
(n+1)!+…+
A
(n+1) 1+
04/12/2012
13
Rumus Rekursif Erlang (3)Rumus Rekursif Erlang (3)
25
En+1(A)=
An+1/(n+1)!
1+A+ A2
2!An
n!+…+
A.En(A)
(n+1) 1+ A
(n+1)
=
En(A)
A.En(A)
(n+1) 1+ A
(n+1)
Rumus Rekursif Erlang (4)Rumus Rekursif Erlang (4)
26
En+1(A)=A.En(A)
n + 1 + A.En(A)
Jadi
atau
En (A)=A.En-1(A)
n + 1 + A.En-1(A)
04/12/2012
14
Rumus Rekursif Erlang (5)Rumus Rekursif Erlang (5)
� Misalkan akan dihitung blocking dari suatu sistem dengan A=15,7 Erlang dan N=10 saluran
� Perhitungannya dimulai dengan n=0 yaitu E0(15,7)=1 dan seterusnya sampai E10(15,7)
27
latihanlatihan
� Dua buah PABX akan dihubungkan satu sama lain. Trafik total yg ditawarkan dari PABX A ke PABX B adalah 25 erlang, demikian pula sebaliknya. Bila blocking pada berkas saluran penghubung diinginkan 1%, tentukan :◦ Hitung jmlh saluran yg harus disediakan bila
digunakan sirkuit one way.
◦ Hitung jmlh saluran yg harus disediakan bila digunakan sirkuit two way.
28
04/12/2012
15
� Suatu berkas saluran terdiri dari 18 saluran. Ditawari trafik dng laju kedatangan panggilan 480 panggilan/jam dan rata-rata waktu pendudukan selama 105 detik. Bila kedatangan panggilan terdistribusi Poisson, hitung trafik yg ditawarkan, time congestion, call congestion dan jumlah panggilan yg ditolak rata-rata perjamnya.
29
Model Binomial (M/M/k/k/k)Model Binomial (M/M/k/k/k)
�Model Binomial didefinisikan oleh model teletraffic berikut :– Jumlah sustomer terbatas tapi independen satu sama
lain (k < ∞)� on-off type customers (alternating between idleness and activity)
– Idle times terdistribusi eksponensial negatif dengan mean 1/υ
– Jumlah server sama dengan jumlah customer (n = k)
– Waktu pelayanan terdistribusi eksponensial negatif dengan mean 1/µ
– Tidak ada buffer
– Model Binomial bersifat lossless
30
04/12/2012
16
OnOn--off tye customeroff tye customer
� Misalkan Xj(t) menyatakan kondisi dari customer j ( j = 1,2,…,k ) pada waktu t
� State 0 = idle, state 1 = active = dalam pelayanan
� Kita lihat peristiwa yang terjadi selama selang waktu yang sangat singkat (t, t+h]:◦ Jika Xj(t) = 0, customer menjadi aktif (terjadi transisi dari 0 ke 1)
dengan peluang sebesar υh + o(h),
◦ Jika Xj(t) = 1, customer menjadi idle (terjadi transisi dari 1 ke 0) dengan peluang sebesar µh + o(h)
� Proses Xj(t) merupakan proses Markov dengan diagram transisi kondisi sebagai berikut
31
� Persamaan kesetimbangan lokal :
32
• Normalisasi :
• Dengan demikian distribusi pada kondisi setimbang dari seorang
customer adalah distribusi Bernoulli dengan peluang sukses
sebesar υ/(υ +µ)
• offered traffic adalah υ/(υ +µ)
• Dari sini kita bisa mengambil deduksi bahwa distribusi pada kondisi
setimbang dari kondisi sistem secara keseluruhan (yaitu jumlah
customer yang aktif) adalah distribusi binomial Bin(k, υ /(υ +µ))
04/12/2012
17
Diagram Transisi KondisiDiagram Transisi Kondisi� Misalnya X(t) menyatakan jumlah customer yang aktif
◦ Asumsikan bahwa X(t) = i pada saat t, dan kita perhatikan kejadian selama selang waktu yang sangat singkat (t, t+h]:
� Jika i < k, seorang customer yang idle menjadi aktif (terjadi transisi kondisi dari i ke i+1) dengan peluang sebesar (k−i)υh + o(h)
� Jika i > 0, seorang customer yang aktif menjadi idle (terjadi transisi kondisi dari i ke i-1) dengan peluang iµh + o(h),
� Proses X(t) adalah proses Markov dengan diagram transisi kondisi sebagai berikut
33
� Persamaan kesetimbangan lokal
34
• Normalisasi
04/12/2012
18
� Jadi distribusi dalam kondisi setimbang adalah binomial
35
Model Engset (M/M/n/n/k)Model Engset (M/M/n/n/k)
�Model Engset didefinisikan oleh model teletraffic berikut :– Jumlah pelanggan terbatas tetapi independen satu sama
lain (k < ∞)� on-off type customers (alternating between idleness and activity)
– Idle times terdistribusi eksponensial negatif dengan mean 1/υ
– Jumlah server lebih kecil daripada jumlah customer (n < k)
– Waktu pelayanan terdistribusi eksponensial negatif dengan mean 1/µ
– Tidak ada buffer
– Model Engset bersifat lossy
36
04/12/2012
19
Diagram Transisi KondisiDiagram Transisi Kondisi
� Misalnya X(t) menyatakan jumlah customer yang aktif
◦ Asumsikan X(t) = i pada saat t, dan kita perhatikan apa yang terjadi selama selang waktu yang sangat singkat (t, t+h]:
� Jika i < n, seorang customer yang idle menjadi aktif (terjadi transisi kondisi dari i ke i+1) dengan peluang sebesar (k−i)υh + o(h)
� Jika i > 0, seorang customer yang aktif menjadi idle (terjadi transisi kondisi dari i-1 ke i) dengan peluang iµh + o(h),
◦ Proses X(t) merupakan proses Markov dengan diagram transisi kondisi sebagai berikut
37
� Persamaan kesetimbangan lokal
38
• Normalisasi
04/12/2012
20
� Jadi distribusi pada kondisi setimbang adalah truncated binomial distribution:
39
• Offered traffic dinyatakan oleh kυ/(υ +µ)
� Time Blocking
40
• Karena proses kedatangan tidak terdistribusi Poisson, maka
pada model Engset, Time Blocking tidak sama dengan Call
Blocking
Recommended