Teorija potražnje I

Teorija potražnje I

Maksimizacija korisnosti

i funkcija potražnje

Potrošačev problem - ukratko U analizi ponašanja potrošača istaknuli

smo četiri konstrukcijska elementa: Skup mogućih izbora Skup dostupnih izbora (budžetski skup)

Relaciju preferencije ≿ definiranu na Pretpostavku ponašanja (potrošač bira najbolju

od mogućih alternativa u skladu sa svojom relacijom preferencije) ili

tako da x* ≿ x za svaki

LX LB

L

* Bx Bx

Funkcija korisnosti - ukratko Svaka binarna relacija koja je potpuna,

refleksivna, tranzitivna i neprekidna može se predstaviti funkcijom koju zovemo funkcija korisnosti

Funkcija korisnosti sadrži iste informacije o potrošačevim preferencijama kao i relacija preferencije ≿

Svojstva preferencija prenose se na svojstva funkcije korisnosti

Funkcija korisnosti - ukratko Ako su preferencije racionalne, neprekidne,

lokalno nezasićene i konveksne, funkcija korisnosti se “lijepo ponaša”

Ove pretpostavke osiguravaju da je funkcija korisnosti neprekidna

Mi ćemo još pretpostaviti i da je diferencijabilna (tada možemo koristiti metode diferencijalnog računa za detaljniju analizu potrošačevog ponašanja)

Funkcija korisnosti - ukratko Također znamo da je funkcija korisnosti

strogo rastuća i strogo kvazikonkavna te da su to njena ordinalna svojstva (koja se ne mijenjaju pod utjecajem pozitivnih monotonih transformacija)

Oblik funkcije korisnosti (da li je ona konkavna ili konveksna) je kardinalno svojstvo funkcije korisnosti koje se ne čuva pod utjecajem pozitivnih monotonih transformacija

Funkcija korisnosti - ukratko Funkcija korisnosti nam je potrebna

jer se njenom maksimizacijom izvodi funkcija potražnje

U tu svrhu razvit ćemo model u kojem potrošači između košara dobara koje su im dostupne biraju onu koju najviše vole

Izbor potrošača

Walrasovski budžetski skup

Cijene i bogatstvo (dohodak) su

strogo pozitivni

, :wB X w p x p x

0 0i w p

Potrošačev problem

Potrošačev problem može se napisati kao

... (3.1)

maxLu

xx

. . :t d w p x

Pitanja

Pitanja koja postavljamo: Da li postoji rješenje ovog problema? Ako rješenje postoji, kako do njega

doći?

Da li rješenje postoji?

Budući da je u (x) neprekidna funkcija definirana na skupu

koji je kompaktan (zatvoren i ograničen), možemo primjeniti Teorem o maksimalnoj vrijednosti

Prema ovom teoremu neprekidna funkcija definirana na kompaktnom skupu ima maksimum (i minimum)

Dakle, ovaj problem ima rješenje

,wBp

Kako do rješenja?

Potrošač se suočava sa problemom maksimizacije funkcije cilja (korisnosti) uz ograničenja

Funkcije ograničenja mogu biti predstavljene kao:

uvjeti nenegativnosti jednakosti nejednakosti

(primjeri za L=2)

1 20, 0x x 1 2( , )h x x c

1 2( , )g x x b

Kako do rješenja?

Naše ograničenje dato je u formi nejednakosti

Ova činjenica, zajedno sa činjenicom da imamo i uvjete nenegativnosti, omogućuje primjenu Kuhn-Tuckerove metode

Ovu metodu nelinarnog programiranja detaljnije će obraditi profesor Neralić

1 2( , )g x x w p x

Kako do rješenja?

Mi ćemo poći od pretpostavke monotonosti preferencija te naročito njihove lokalne nezasićenosti

Ovo svojstvo osigurat će da će se optimalno rješenje nalaziti u gornjem rubu budžetskog skupa, dakle, ograničenje će biti obvezujuće

Tako će se potrošačevo ograničenje moći izraziti u formi jednakosti ili

1 2( , )h x x w p x

Kako do rješenja?

U svijetu L = 2 i uz momentalno zanemarivanje uvjeta nenegativnosti potrošačev problem postaje

1 2

1 1 2 2

max( , )

. .

x x

t d p x p x w

Kako do rješenja?

Geometrijski, naš cilj je pronaći najviši nivo skup (krivulju indiferencije) koji ima dodirnu točku sa skupom ograničenja

Dakle, krivulju koja je tangencijalna na skup ograničenja u točki optimalnog rješenja x*

Maksimizacija korisnosti

Slika 3.1: U optimalnom rješenju x* najviša nivo krivulja od f tangencijalna je na skup ograničenja C

b x*

C

Maksimizacija korisnosti

Nagib nivo krivulje od f u točci x* je

*

1

*

2

( )

( )

fx

fx

x

x

Maksimizacija korisnosti

Skup ograničenja, odnosno njegov gornji rub, lokalno aproksimiramo funkcijom ograničenja h

Nagib funkcije ograničenja u točci x* je

*

1

*

2

( )

( )

hx

hx

x

x

Maksimizacija korisnosti

Kako su (zbog tangencijalnosti) nagibi funkcije f i ograničenja h u točci optimalnog rješenja x* jednaki, možemo pisati

... (3.2)

* *

1 1

* *

2 2

( ) ( )

( ) ( )

f hx xf hx x

x x

x x

Maksimizacija korisnosti

Preuredimo ovaj izraz na sljedeći način

... (3.3)

* *

1 2

* *

1 2

( ) ( )

( ) ( )

f fx xh hx x

x x

x x

Maksimizacija korisnosti

Kako su vrijednosti ovih omjera jednake te uz pretpostavku da su nazivnici različiti od nule, vrijednost ovog omjera označit ćemo sa

... (3.4)

* *

1 2

* *

1 2

( ) ( )

( ) ( )

f fx xh hx x

x x

x x

Maksimizacija korisnosti

Napišimo izraz (3.4) kao dvije jednadžbe

... (3.5)

* *

1 1

* *

2 2

( ) ( ) 0

( ) ( ) 0

f h

x x

f h

x x

x x

x x

Maksimizacija korisnosti

Imamo dvije jednadžbe sa tri nepoznanice

Treća jednadžba nam je jednadžba ograničenja pa sustav jednadžbi postaje:

1 2( , , )x x

Maksimizacija korisnosti

...(3.6)

* *

1 1

* *

2 2

1 2

( ) ( ) 0

( ) ( ) 0

( , ) 0

f h

x x

f h

x x

h x x c

x x

x x

Maksimizacija korisnosti

Definirajmo Lagrangeovu funkciju

Ako uvrstimo naše funkcije cilja i ograničenja izraz postaje

... (3.7)

1 2 1 2 1 2( , , ) ( , ) ( ( , ) )L x x f x x h x x c

1 2 1 2 1 1 2 2( , , ) ( , ) ( )L x x u x x p x p x w

Maksimizacija korisnosti

Sistem (3.6) ekvivalentan je zahtjevu da je diferencijal od L jednak nuli,

Odavde slijedi da se ekstremi traže “bez ograničenja”

Ovo funkcionira samo kada su i iz izraza (3.3) u optimalnom rješenju različiti

od nule

1 2( , , ) 0DL x x

1

h

x

2

h

x

Kvalifikacija ograničenja

To se naziva kvalifikacija ograničenja i predstavlja blagu restrikciju skupa

ograničenja Ono znači da se kritične točke funkcije

ograničenja h ne nalaze među rješenjima ovog sistema jednadžbi

1

0h

x

2

0h

x

Kvalifikacija ograničenja

Ako je ograničenje linearno, kvalifikacija ograničenja bit će automatski zadovoljena

Može se prijeći na postupak maksimizacije korisnosti kao da se radi o neograničenoj optimizaciji

Maksimizacija korisnosti

Kritične ili stacionarne točke u problemu neograničene optimizacije dobiju se izjednačavanjem parcijalnih derivacija prvog reda po svim varijablama s nulom

Maksimizacija korisnosti

Ovi se uvjeti nazivaju uvjeti prvog reda (First Order Conditions) Za izraz (3.7) uvjeti prvog reda su sljedeći:

... (3.8)

11 1

22 2

1 1 2 2

0

0

( ) 0

L up

x x

L up

x x

Lp x p x w

Maksimizacija korisnosti

Jednadžbe (3.8) predstavljaju nužne ali ne i dovoljne uvjete za maksimum

Za dovoljne uvjete treba konzultirati uvjete drugog reda

Međutim, ako je funkcija korisnosti strogo kvazikonkavna (opadajuća MRS za dva dobra), tada su uvjeti prvog reda i nužni dovoljni da bi rješenje bilo pravi unutarnji maksimum

Geometrijska interpretacija Lagrange-ovog multiplikatora

Označimo sa

i sa

gradijent vektore funkcije korisnosti i ograničenja u točci x

1

2

( )

f

xf

f

x

x

1

2

( )

hx

hhx

x

Geometrijska interpretacija Lagrange-ovog multiplikatora

Budući da nivo skupovi od f i h imaju isti nagib u točci x* , njihovi gradijenti u točki x* leže na istom pravcu

Gradijent vektor pokazuje smjer najbrže promjene funkcije

U slučaju maksimuma oni pokazuju u istom smjeru ( u slučaju minimuma u obrnutom)

Geometrijska interpretacija Lagrange-ovog multiplikatora

• Slika 3.2: Gradijenti od f i h leže na istom pravcu kroz x* kada je x* ograničeni maksimum (a) ili minimum (b) (kolinearni su)

*h xx*

C

x*

C

*f x

*h x

*f x

Geometrijska interpretacija Lagrange-ovog multiplikatora

Izraz (3.5) uz pomoć gradijent vektora možemo napisati kao

ili f (x*) = h (x*)

1 1

2 2

f h

x x

f h

x x

Geometrijska interpretacija Lagrange-ovog multiplikatora

To znači da su gradijent vektori kolinearni Lagrange-ov multiplikator je faktor

proporcionalnosti, skalar kojim se množi gradijent vektor ograničenja kako bi se izjednačio (i po duljini) sa gradijent vektorom funkcije korisnosti

Geometrijska interpretacija Lagrange-ovog multiplikatora

Kvalifikacija ograničenja u slučaju maksimizacije funkcije 2 varijable i jednog ograničenja u formi jednakosti uz pomoć gradijent vektora izražava se kao

... (3.9)

* *

1 2

( ), ( ) 0,0h h

x x

x x

Geometrijska interpretacija Lagrange-ovog multiplikatora

Kvalifikacija ograničenja u slučaju maksimizacije funkcije n varijabli i jednog ograničenja u formi jednakosti uz pomoć gradijent vektora izražava se kao

... (3.10)

* * *

1 2

( ), ( ),..., ( ) 0,0,...,0n

h h h

x x x

x x x

Geometrijska interpretacija Lagrange-ovog multiplikatora

Ako umjesto jednog ograničenja u formi jednakosti imamo m jednadžbi koje definiraju skup ograničenja, logika analize ostaje ista ali se umjesto gradijent vektora koristi Jacobijeva matrica parcijalnih derivacija prvog reda

Jacobijeva matrica parcijalnih derivacija prvog reda za m ograničenja

* *1 1

1

* *2 2

1

* *

1

( ) ... ( )

( ) ... ( )( )

( ) ( )

n

n

m m

n

h h

x x

h h

x xD

h h

x x

x x

x xh x

x x

Jacobijeva matrica parcijalnih derivacija prvog reda za m ograničenja Kaže se da ograničenje zadovoljava NDCQ (nondegenerate

constraint qualification) (nedegeneriranu kvalifikaciju ograničenja) ako vrijedi r(Dh(x*))=m ,to jest, ako je rang Jacobijeve matrice maksimalan

Ovo je uvjet regularnosti koji osigurava da skup ograničenja ima svugdje dobro definirane n-m dimenzionalne tangencijalne ravnine

1( ,...., )mh h

Implikacije uvjeta prvog reda u svijetu L = 2 Uvažavajući uvjete tangentnosti iz (3.2)-(3.4)

prve dvije jednadžbe iz (3.8) možemo napisati kao

što je poznati izraz za jednakost granične stope supstitucije MRS i omjera cijena u točci ravnoteže potrošača

11

2

2

upx

u px

Implikacije uvjeta prvog reda u svijetu L = 2 U rubnom optimumu gdje ova

jednakost ne vrijedi, potrošač nije u mogućnosti podesiti potrošnju oba dobra da se izjednače MRS i omjer cijena

Geometrijska interpretacija Lagrange-ovog multiplikatora

Slika 3.3:(a) Unutarnje rješenje (b) Rubno rješenje

*u x

x1

x2

*112

2

pnagib MRS

p x

x1

x2

*:u ux xp

* ,x wx p

p

λp

*u x

* ,x wx p

1

2

pnagib

p

*12nagib MRS x

Ekonomska interpretacija Lagrange-ovog multiplikatora Kada sistem jednadžbi (3.8) riješimo za

dobijemo sljedeći rezultat

Ovo pokazuje da u točci optimalne potrošnje potrošač ostvaruje jednaku graničnu korisnost po jedinici novca (dohotka)

1 2

1 2

u ux xp p

Ekonomska interpretacija Lagrange-ovog multiplikatora Izraz

pokazuje koliko dodatne korisnosti potrošač dobije ako potroši malo više na dobro i

To znači da potrošač ima više novaca za potrošiti, to jest, da je njegovo ograničenje oslabljeno

Slabljenje ograničenja znači da potrošač ima veći dohodak

*( )i

up

x

Ekonomska interpretacija Lagrange-ovog multiplikatora Ovaj rezultat implicira da

predstavlja graničnu vrijednost relaksiranja ograničenja u problemu maksimizacije korisnosti

Pokazuje (u optimumu) graničnu korisnost dodatne novčane jedinice u potrošnji, to jest, graničnu promjenu korisnosti izazvanu graničnim povećanjem dohotka

Ekonomska interpretacija Lagrange-ovog multiplikatora Tako se ekonomski interpretira

kao granična korisnost dohotka Na taj način predstavlja novu

mjeru vrijednosti rijetkih resursa u problemu maksimizacije uz ograničenje

Rješenje problema maksimizacije korisnosti Dakle, rješenjem problema maksimizacije

korisnosti uz ograničenje kada je rješenje jedinstveno dobijemo dvije vrste objekata:

Vektor (ili skup vektora) optimalnog rješenja x* i vrijednost Lagrange-ovog multiplikatora

Vrijednost potrošačeve maksimalne korisnosti

Rješenje problema maksimizacije korisnosti Analizirajmo prvo vektor optimalne

potrošnje Vektor optimalne potrošnje x* ovisi

o parametrima iz problema potrošačevog izbora (p i w) i bit će jedinstveno određen

1 2( , ) ( ( , ), ( , ),..., ( , ))Lw x w x w x wx p p p p

Rješenje problema maksimizacije korisnosti

Rješenje problema maksimizacije potrošačeve korisnosti uz dato ograničenje možemo smatrati FUNKCIJOM iz skupa cijena i dohotka,

, u skup količina

1L LX

Funkcija potražnje

Pravilo koje svakom paru cijena i bogatstva u problemu maksimizacije korisnosti

pridružuje vektor optimalne potrošnje označava se sa i predstavlja Walrasovu (običnu, tržišnu) funkciju potražnje

Ako se svakom paru cijene-bogatstvo pridružuje SKUP optimalnih vektora potrošnje to se naziva Walrasovo višeznačno preslikavanje ili korespondencija potražnje

, 0wp

( , ) Lw x p

Maksimizacija korisnosti – funkcija potražnje• Slika 3.4: Izvođenje krivulje potražnje iz

maksimizacije korisnosti

0 02w p

0 01 2p p 1 0

1 2p p

01p

11p

0 0 02 1 2, ,x p p w

1 0 02 1 2, ,x p p w

0 0 01 1 2, ,x p p w 1 0 0

1 1 2, ,x p p w

0 0 01 1 2, ,x p p w 1 0 0

1 1 2, ,x p p w

2x

1p

1x

1x

0 01 1 2, ,x p p w

Funkcija potražnje

Iz Slike 3.4 vidljivo je da će različite razine dohotka i cijene dobra 2 mijenjati položaj i oblik krivulje potražnje za dobrom 1

Međutim, njen će položaj i oblik uvijek ovisiti o relaciji preferencije datog potrošača

Korespondencija potražnje

Kada je preslikavanje višeznačno, umjesto pojma funkcija potražnje koristimo pojam korespondencija potražnje

Ako je u neprekidna funkcija korisnosti koja predstavlja lokalno nezasićenu relaciju preferencije ≿ definiranu na skupu moguće potrošnje , tada Walrasova korespondencija potražnje x(p,w) ima sljedeća svojstva:

LX

Korespondencija potražnje

Walrasova korespondencija potražnje je:

Homogena nultog stupnja Zadovoljava Walrasov zakon Konveksna je

Korespondencija potražnje

Homogenost nultog stupnja Skup mogućih potrošnji u problemu

maksimizacije korisnosti ne mijenja se ako se sve cijene i dohodak pomnože sa nekim skalarom

To znači da se u tim uvjetima ne mijenja ni skup optimalnih košara dobara

: :LL w w x p x x p x

( , ) ( , )w w x p x p

Korespondencija potražnje

Walrasov zakon Jedini način da x* bude optimalna

košara dobara je ako ne postoji košara koja je u budžetskom skupu a koju bi potrošač više volio

Ovo proizlazi iz pretpostavke o lokalnoj nezasićenosti preferencija i vrijedi samo ako x* zadovoljava ( , )w w p x p

Korespondencija potražnje

Konveksnost x(p,w) je konveksni skup ako je funkcija

korisnosti u kvazikonkavna Konveksnost preferencija implicira konveksnost

x(p,w) (Slika 3.5.(a)) Stroga konveksnost preferencija implicira da je

vrijednost x(p,w) jedinstveno određena (Slika 3.5.(b))

Ovo podrazumijeva strogu kvazikonkavnost funkcije korisnosti jer ona isključuje mogućnost ravnih dijelova na krivulji indiferencije

Konveksnost i stroga konveksnost preferencija

• Slika 3.5.a: Konveksnost preferencija i x(p,w) • Slika 3.5.b: Stroga konveksnost preferencija i x(p,w)

x1

x2

xx’’x’ *:u ux x

x1

x2

xx’’x’

*:u ux x

Indirektna funkcija korisnosti

Drugi značajni objekt koji se dobije kao rezultat maksimizacije korisnosti je maksimalna vrijednost potrošačeve korisnosti

Posljedica ovog rezultata je formiranje indirektne funkcije korisnosti

Indirektna funkcija korisnosti

Walrasova funkcija potražnje x(p,w) daje košaru dobara koja maksimizira potrošačevu korisnost uz dato budžetsko ograničenje

Ako supstituiramo ovu košaru u funkciju korisnosti, dobijemo korisnost koju potrošač dobiva birajući tu košaru pri cijenama p i dohotku w

Indirektna funkcija korisnosti

Ovu funkciju nazvat ćemo indirektnom funkcijom korisnosti v (p, w)

Definirat ćemo ju kao

Primijetimo da je direktna korisnost funkcija košare dobara x dok je indirektna korisnost funkcija cijena i dohotka p i w

( , ) ( ( , ))v w u wp x p

Svojstva indirektne funkcije korisnosti

Svojstva uglavnom “naslijeđena” od funkcije potražnje

Pretpostavlja se lokalna nezasićenost preferencija

Indirektna funkcija korisnosti koja odgovara lokalno nezasićenim preferencijama ima sljedeća svojstva:

( , )wx p

Svojstva indirektne funkcije korisnosti

Homogena nultog stupnja Strogo rastuća u w i ne-rastuća u p

Kvazikonveksna u (p,w) Neprekidna Vrijedi Royev identitet

Svojstva indirektne funkcije korisnosti Homogenost nultog stupnja:

Proizlazi iz homogenosti funkcije potražnje Kako se košara koju potrošač konzumira ne

mijenja ako se sve cijene i dohodak promijene za isti iznos tako se ne mijenja ni korisnost koju potrošač njome dobiva

Kako vrijedi To isto vrijedi

( , ) ( , ) 0w w za x p x p

( , ) ( ( , )) ( ( , )) ( , )v w u w u w v w p x p x p p

Svojstva indirektne funkcije korisnosti je strogo rastuća u w

zbog lokalne nezasićenosti i ne-rastuća u p:

jer povećanje jedne ili više cijena smanjuje skup dostupnih izbora

( , )v wp

Svojstva indirektne funkcije korisnosti je kvazikonveksna u (p,w)

Skup je konveksan za sve

Konveksna kombinacija dva vektora koji daju istu indirektnu korisnost neće biti veća od te indirektne korisnosti (dokaz u knjizi)

( , )v wp ( , ) : ( , )w v w vp pv

Svojstva indirektne funkcije korisnosti je neprekidna

Male promjene u p i w rezultiraju u malim promjenama korisnosti

Ovo je naročito očito u slučaju kada su krivulje indiferencije strogo konveksne i diferencijabilne

( , )v wp

Od indirektne funkcije korisnosti do funkcije potražnje

Izraz koji nam omogućava povratak od indirektne korisnosti do funkcije potražnje naziva se Royev identitet

Uz pretpostavku (koja se može dokazati) da postoji za koji vrijedi

.. (3.11) kao i uz pretpostavku da je indirektna funkcija

korisnosti diferencijabilna

*( )

0ii

up

x

x

1,...,i l

Od indirektne funkcije korisnosti do funkcije potražnje

Parcijalne derivacije prvog reda po cijeni indirektne funkcije korisnosti bit će

...(3.12)

Kako vrijedi

**( , ) ( , )

i i

v w L

p p

p x

x

( , )0

v w

w

p

Od indirektne funkcije korisnosti do funkcije potražnje

Tako izraz (3.12) postaje

... (3.13)

čime smo dobili traženu funkciju potražnje

*

( , )

( , )( , )

i

v wp

wv ww

p

x x pp