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Teoria dei Giochi
Anna Torre
Almo Collegio Borromeo 2 marzo 2010
A. Torre Caso, intelligenza e decisioni razionali
UN PO’ DI STORIA
A. Torre Caso, intelligenza e decisioni razionali
UN PO’ DI STORIA
La teoria dei giochi è una disciplina matematica molto recente.La sua nascita viene convenzionalmente fissata con l’uscita del
libro di von Neumann “ Theory of Games and EconomicBehavior”(Princeton, 1944);
A. Torre Caso, intelligenza e decisioni razionali
UN PO’ DI STORIA
La teoria dei giochi è una disciplina matematica molto recente.La sua nascita viene convenzionalmente fissata con l’uscita del
libro di von Neumann “ Theory of Games and EconomicBehavior”(Princeton, 1944);
Prima del 1944 ci sono stati altri importanti contributi allo studiomatematico dei giochi (per esempio Ernst Zermelo 1912
congresso di Cambridge), ma il libro di von Neumann eMorgenstern è il primo a proporre questo programma in maniera
sistematica e in relazione allo studio delle scienze sociali.
A. Torre Caso, intelligenza e decisioni razionali
UN PO’ DI STORIA
A. Torre Caso, intelligenza e decisioni razionali
UN PO’ DI STORIA
Dalla fine del settecento c’era il progetto di estendere ad altri
campi del sapere il metodo matematico che aveva rivoluzionatolo studio della fisica.
A. Torre Caso, intelligenza e decisioni razionali
UN PO’ DI STORIA
Dalla fine del settecento c’era il progetto di estendere ad altri
campi del sapere il metodo matematico che aveva rivoluzionatolo studio della fisica.
I tentativi fatti erano però volti a riproporre un modello moltosimile a quello della fisica matematica (vedi “Elements of Pure
Economics” di Walras 1874).
A. Torre Caso, intelligenza e decisioni razionali
UN PO’ DI STORIA
Dalla fine del settecento c’era il progetto di estendere ad altri
campi del sapere il metodo matematico che aveva rivoluzionatolo studio della fisica.
I tentativi fatti erano però volti a riproporre un modello moltosimile a quello della fisica matematica (vedi “Elements of Pure
Economics” di Walras 1874).
Nella prima parte del libro di von Neumann e Morgenstern è
presente una critica radicale alla teoria walrasiana dell’equilibrioeconomico generale, rea, secondo gli autori, di non tenere in
considerazione l’influsso che le interazioni con gli altri individuihanno sulle decisioni di ogni singolo individuo.
A. Torre Caso, intelligenza e decisioni razionali
UN PO’ DI STORIA
A. Torre Caso, intelligenza e decisioni razionali
UN PO’ DI STORIA
La vera rivoluzione non è usare i metodi matematici utili per lostudio della fisica applicandoli all’economia, ma costruire una
“matematica nuova”, che fornisca uno strumento adatto allostudio di questi argomenti: la teoria dei giochi.
A. Torre Caso, intelligenza e decisioni razionali
UN PO’ DI STORIA
La vera rivoluzione non è usare i metodi matematici utili per lostudio della fisica applicandoli all’economia, ma costruire una
“matematica nuova”, che fornisca uno strumento adatto allostudio di questi argomenti: la teoria dei giochi.
Un altro consistente impulso dato alla modellizzazione deifenomeni economici fu dato da Harsanyi che propose un modello
per descrivere e analizzare le situazioni di incompletezzainformativa (1967-68): ad esempio quando un giocatore non
conosce esattamente la scala di priorità degli altri.
A. Torre Caso, intelligenza e decisioni razionali
DI COSA CI OCCUPIAMO
A. Torre Caso, intelligenza e decisioni razionali
DI COSA CI OCCUPIAMO
La TdG o “Teoria delle decisioni interattive” si occupa delle situazioni
in cui nel processo decisionale:
A. Torre Caso, intelligenza e decisioni razionali
DI COSA CI OCCUPIAMO
La TdG o “Teoria delle decisioni interattive” si occupa delle situazioni
in cui nel processo decisionale:
interviene più di un decisore,
A. Torre Caso, intelligenza e decisioni razionali
DI COSA CI OCCUPIAMO
La TdG o “Teoria delle decisioni interattive” si occupa delle situazioni
in cui nel processo decisionale:
interviene più di un decisore,
ogni decisore detiene solo un controllo parziale,
A. Torre Caso, intelligenza e decisioni razionali
DI COSA CI OCCUPIAMO
La TdG o “Teoria delle decisioni interattive” si occupa delle situazioni
in cui nel processo decisionale:
interviene più di un decisore,
ogni decisore detiene solo un controllo parziale,
i decisori hanno preferenze non necessariamente uguali sugliesiti.
A. Torre Caso, intelligenza e decisioni razionali
ASSUNZIONI
A. Torre Caso, intelligenza e decisioni razionali
ASSUNZIONI
Si assume solitamente che i decisori:
conoscano la situazione di interazione (conoscenza comune),
A. Torre Caso, intelligenza e decisioni razionali
ASSUNZIONI
Si assume solitamente che i decisori:
conoscano la situazione di interazione (conoscenza comune),
possano scegliere tra diversi corsi d’azione,
A. Torre Caso, intelligenza e decisioni razionali
ASSUNZIONI
Si assume solitamente che i decisori:
conoscano la situazione di interazione (conoscenza comune),
possano scegliere tra diversi corsi d’azione,
siano intelligenti (molto intelligenti e senza limiti alle loro capacitàdi calcolo o deduzione).
A. Torre Caso, intelligenza e decisioni razionali
APPLICAZIONI
A. Torre Caso, intelligenza e decisioni razionali
APPLICAZIONI
Oggi la teoria dei giochi ha moltissimi variegati campi di applicazione.
Alcuni esempi:
Il problema di scegliere adeguati meccanismi d’asta:
A. Torre Caso, intelligenza e decisioni razionali
APPLICAZIONI
Oggi la teoria dei giochi ha moltissimi variegati campi di applicazione.
Alcuni esempi:
Il problema di scegliere adeguati meccanismi d’asta:clamorosi successi sono stati ottenuti in U.S.A. per l’allocazione
di banda da dedicare ai cellulari di seconda generazione e inG.B. per quelli di terza generazione (UMTS);
A. Torre Caso, intelligenza e decisioni razionali
APPLICAZIONI
Oggi la teoria dei giochi ha moltissimi variegati campi di applicazione.
Alcuni esempi:
Il problema di scegliere adeguati meccanismi d’asta:clamorosi successi sono stati ottenuti in U.S.A. per l’allocazione
di banda da dedicare ai cellulari di seconda generazione e inG.B. per quelli di terza generazione (UMTS);
La modellizzazione delle asimmetrie informative e dei vincoli chequeste impongono e di come si possono almeno parzialmente
affrontare;
A. Torre Caso, intelligenza e decisioni razionali
APPLICAZIONI
Oggi la teoria dei giochi ha moltissimi variegati campi di applicazione.
Alcuni esempi:
Il problema di scegliere adeguati meccanismi d’asta:clamorosi successi sono stati ottenuti in U.S.A. per l’allocazione
di banda da dedicare ai cellulari di seconda generazione e inG.B. per quelli di terza generazione (UMTS);
La modellizzazione delle asimmetrie informative e dei vincoli chequeste impongono e di come si possono almeno parzialmente
affrontare;La teoria dei giochi evolutivi che ha una buona capacità di
comprendere comportamenti animali;
A. Torre Caso, intelligenza e decisioni razionali
APPLICAZIONI
Oggi la teoria dei giochi ha moltissimi variegati campi di applicazione.
Alcuni esempi:
Il problema di scegliere adeguati meccanismi d’asta:clamorosi successi sono stati ottenuti in U.S.A. per l’allocazione
di banda da dedicare ai cellulari di seconda generazione e inG.B. per quelli di terza generazione (UMTS);
La modellizzazione delle asimmetrie informative e dei vincoli chequeste impongono e di come si possono almeno parzialmente
affrontare;La teoria dei giochi evolutivi che ha una buona capacità di
comprendere comportamenti animali;
In Microbiologia: lo studio della rilevanza di alcuni geni nellainsorgenza di specifiche malattie;
A. Torre Caso, intelligenza e decisioni razionali
APPLICAZIONI
Oggi la teoria dei giochi ha moltissimi variegati campi di applicazione.
Alcuni esempi:
Il problema di scegliere adeguati meccanismi d’asta:clamorosi successi sono stati ottenuti in U.S.A. per l’allocazione
di banda da dedicare ai cellulari di seconda generazione e inG.B. per quelli di terza generazione (UMTS);
La modellizzazione delle asimmetrie informative e dei vincoli chequeste impongono e di come si possono almeno parzialmente
affrontare;La teoria dei giochi evolutivi che ha una buona capacità di
comprendere comportamenti animali;
In Microbiologia: lo studio della rilevanza di alcuni geni nellainsorgenza di specifiche malattie;
In Medicina: come organizzare un sistema di scambi di reni(cross-over) per i trapianti.
A. Torre Caso, intelligenza e decisioni razionali
PREFERENZE
A. Torre Caso, intelligenza e decisioni razionali
PREFERENZE
il termine “intelligenza” si riferisce alla capacità di analisi dellasituazione e alla capacità illimitata di calcolo degli individui che
partecipano al gioco: essi sono in grado di massimizzare la propriautilità rispetto ai vincoli imposti dal gioco.
A. Torre Caso, intelligenza e decisioni razionali
PREFERENZE
il termine “intelligenza” si riferisce alla capacità di analisi dellasituazione e alla capacità illimitata di calcolo degli individui che
partecipano al gioco: essi sono in grado di massimizzare la propriautilità rispetto ai vincoli imposti dal gioco.
Il termine “razionalità” in teoria dei giochi si riferisce alla proprietàtransitiva nell’insieme delle preferenze:
A. Torre Caso, intelligenza e decisioni razionali
PREFERENZE
il termine “intelligenza” si riferisce alla capacità di analisi dellasituazione e alla capacità illimitata di calcolo degli individui che
partecipano al gioco: essi sono in grado di massimizzare la propriautilità rispetto ai vincoli imposti dal gioco.
Il termine “razionalità” in teoria dei giochi si riferisce alla proprietàtransitiva nell’insieme delle preferenze:
se un decisore preferisce una mela a una pera e una pera a unaarancia deve preferire la mela all’arancia.
A. Torre Caso, intelligenza e decisioni razionali
PREFERENZE
A. Torre Caso, intelligenza e decisioni razionali
PREFERENZE
Perché tanta importanza alla transitività delle preferenze?
A. Torre Caso, intelligenza e decisioni razionali
PREFERENZE
Perché tanta importanza alla transitività delle preferenze?
Supponiamo di incontrare un decisore con preferenze non transitive.
A. Torre Caso, intelligenza e decisioni razionali
PREFERENZE
Perché tanta importanza alla transitività delle preferenze?
Supponiamo di incontrare un decisore con preferenze non transitive.P=pera, M=mela, A= arancia
A. Torre Caso, intelligenza e decisioni razionali
PREFERENZE
Perché tanta importanza alla transitività delle preferenze?
Supponiamo di incontrare un decisore con preferenze non transitive.P=pera, M=mela, A= arancia
Sia poi disponibile R+ denaro e il decisore abbia preferenze di questotipo:
(0,M) = (0,P) = (0,A) = (0,M)
A. Torre Caso, intelligenza e decisioni razionali
PREFERENZE
Perché tanta importanza alla transitività delle preferenze?
Supponiamo di incontrare un decisore con preferenze non transitive.P=pera, M=mela, A= arancia
Sia poi disponibile R+ denaro e il decisore abbia preferenze di questotipo:
(0,M) = (0,P) = (0,A) = (0,M)
mentre per quanto riguarda il denaro le preferenze siano standard:
maggiore è il denaro meglio è.
A. Torre Caso, intelligenza e decisioni razionali
PREFERENZE
A. Torre Caso, intelligenza e decisioni razionali
PREFERENZE
Supponiamo anche che
(0,M) = (0,P) ⇒ (−ε,M) = (0,P)
(0,P) = (0,A) ⇒ (−ε,P) = (0,A)
(0,A) = (0,M) ⇒ (−ε,A) = (0,M)
per ε piccolo.
A. Torre Caso, intelligenza e decisioni razionali
PREFERENZE
Supponiamo anche che
(0,M) = (0,P) ⇒ (−ε,M) = (0,P)
(0,P) = (0,A) ⇒ (−ε,P) = (0,A)
(0,A) = (0,M) ⇒ (−ε,A) = (0,M)
per ε piccolo.In presenza di un tale decisore se ci si possono procurare una pera,
un’arancia e una mela ci si può arricchire .
A. Torre Caso, intelligenza e decisioni razionali
PREFERENZE
A. Torre Caso, intelligenza e decisioni razionali
PREFERENZE
Si regala la pera al decisore e poi gli si propongono scambi:M ↔ P e si guadagna ε e si resta con P,A
A. Torre Caso, intelligenza e decisioni razionali
PREFERENZE
Si regala la pera al decisore e poi gli si propongono scambi:M ↔ P e si guadagna ε e si resta con P,A
A ↔ M e si guadagna ε e si resta con P,M
A. Torre Caso, intelligenza e decisioni razionali
PREFERENZE
Si regala la pera al decisore e poi gli si propongono scambi:M ↔ P e si guadagna ε e si resta con P,A
A ↔ M e si guadagna ε e si resta con P,M
P ↔ A e si guadagna ε e si resta con M,A
A. Torre Caso, intelligenza e decisioni razionali
PREFERENZE
Si regala la pera al decisore e poi gli si propongono scambi:M ↔ P e si guadagna ε e si resta con P,A
A ↔ M e si guadagna ε e si resta con P,M
P ↔ A e si guadagna ε e si resta con M,A
M ↔ P e si guadagna ε e si resta con P,A
A. Torre Caso, intelligenza e decisioni razionali
PREFERENZE
Si regala la pera al decisore e poi gli si propongono scambi:M ↔ P e si guadagna ε e si resta con P,A
A ↔ M e si guadagna ε e si resta con P,M
P ↔ A e si guadagna ε e si resta con M,A
M ↔ P e si guadagna ε e si resta con P,A
Dopo n passaggi di questo tipo abbiamo intascato nε
A. Torre Caso, intelligenza e decisioni razionali
PREFERENZE
A. Torre Caso, intelligenza e decisioni razionali
PREFERENZE
Il problema delle preferenze sugli esiti induce una riflessione sulla
cosidetta
teoria dell’utilità .
A. Torre Caso, intelligenza e decisioni razionali
PREFERENZE
Il problema delle preferenze sugli esiti induce una riflessione sulla
cosidetta
teoria dell’utilità .
Secondo l’economia politica classica (Smith, Ricardo, Marx), l’utilitàcoincide con una proprietà fisica dei beni.
A. Torre Caso, intelligenza e decisioni razionali
PREFERENZE
Il problema delle preferenze sugli esiti induce una riflessione sulla
cosidetta
teoria dell’utilità .
Secondo l’economia politica classica (Smith, Ricardo, Marx), l’utilitàcoincide con una proprietà fisica dei beni.
In una seconda fase (a partire da Bentham) l’utilità è intesa come unacaratteristica intrinseca dei soggetti, ne misura in qualche modo il
“benessere” o la “soddisfazione” in relazione a certi consumi: l’utilitàè una funzione definita sull’insieme dei beni (o degli esiti del gioco).
A. Torre Caso, intelligenza e decisioni razionali
PREFERENZE
A. Torre Caso, intelligenza e decisioni razionali
PREFERENZE
Ma come quantificare l’utilità?La cosa più ragionevole è pensare all’ utilità come a una relazione
definita sull’ insieme E delle possibili alternative con le proprietà:
riflessiva: x ⊑ x per ogni x che appartiene a E
transitiva: x ⊑ y e y ⊑ z =⇒ x ⊑ z per ogni x y z che appartengonoa E
totale: per ogni x, y appartenenti ad E o x ⊑ y o y ⊑ x
Questo tipo di utilità si dice utilità ORDINALE
A. Torre Caso, intelligenza e decisioni razionali
PREFERENZE
A. Torre Caso, intelligenza e decisioni razionali
PREFERENZE
Preferenze ordinali o cardinali?
A. Torre Caso, intelligenza e decisioni razionali
PREFERENZE
Preferenze ordinali o cardinali?Si parla di “funzione di utilità” . Ogni individuo ha una “sua”funzione di utilità u sull’insieme dei beni . che soddisfa la proprietàx ⊑ y ⇐⇒ u(x) ≤ u(y)
A. Torre Caso, intelligenza e decisioni razionali
Sotto opportune ipotesi u esiste ma non è unica: se u rappresenta unpreordine ⊑ anche tutte le funzioni che si ottengono applicando una
trasformazione strettamente crescente a u rappresentano ⊑.
A. Torre Caso, intelligenza e decisioni razionali
GIOCHI
A. Torre Caso, intelligenza e decisioni razionali
GIOCHI
Una prima distinzione nell’ambito della teoria dei giochi è data dal
contesto istituzionale nel quale ci si muove:
Si parla di giochi cooperativi se sono ammessi accordi vincolanti;
A. Torre Caso, intelligenza e decisioni razionali
GIOCHI
Una prima distinzione nell’ambito della teoria dei giochi è data dal
contesto istituzionale nel quale ci si muove:
Si parla di giochi cooperativi se sono ammessi accordi vincolanti;
Si parla di giochi non cooperativi se non sono ammessi accordivincolanti.
A. Torre Caso, intelligenza e decisioni razionali
GIOCHI
Una prima distinzione nell’ambito della teoria dei giochi è data dal
contesto istituzionale nel quale ci si muove:
Si parla di giochi cooperativi se sono ammessi accordi vincolanti;
Si parla di giochi non cooperativi se non sono ammessi accordivincolanti.
Questa distinzione non implica che nei giochi cooperativi sianopresenti atteggiamenti più altruistici: le eventuali scelte altruistiche
sono già nel modello e vengono rappresentate dalle funzioni di utilità
dei singoli.
A. Torre Caso, intelligenza e decisioni razionali
GIOCHI
A. Torre Caso, intelligenza e decisioni razionali
GIOCHI
La TdG “nasce" nel 1944 con l’intento di approntare nuovi strumentimatematici con i quali affrontare l’analisi dei fenomeni economici e
sociali. Dopo periodi di alterna fortuna il progetto di Von Neumann eMorgenstern si sta realizzando. Naturalmente non nel senso che si
ha una matematizzazione completa e soddisfacente dei fenomenisociali, ma nel senso che la Teoria dei giochi è uno strumento
efficace ed importante per la loro analisi.
A. Torre Caso, intelligenza e decisioni razionali
GIOCHI
La TdG “nasce" nel 1944 con l’intento di approntare nuovi strumentimatematici con i quali affrontare l’analisi dei fenomeni economici e
sociali. Dopo periodi di alterna fortuna il progetto di Von Neumann eMorgenstern si sta realizzando. Naturalmente non nel senso che si
ha una matematizzazione completa e soddisfacente dei fenomenisociali, ma nel senso che la Teoria dei giochi è uno strumento
efficace ed importante per la loro analisi.
La TdG non è in grado di fornire risposte nette e ricette semplicitranne in casi molto particolari: non è sempre semplice stabilire quali
sono i “giusti" concetti di soluzione applicabili ai vari contestiinterattivi.
A. Torre Caso, intelligenza e decisioni razionali
Si deve soprattutto a von Neumann l’idea di analizzare i giochistudiando il nascere delle coalizioni fra individui, mentre è Nash che
ha dato impulso alla teoria non cooperativa.
A. Torre Caso, intelligenza e decisioni razionali
In realtà i giochi in senso letterale (scacchi, carte, backgammon,
etcE) vengono usati come “palestre” per imparare a modellizzare
interazioni economiche e sociali, qualcosa di analogo a quantoaccade per i cosidetti “giochi d’azzardo” in relazione alla probabilità.
Osserviamo che un cosidetto “gioco” contro il caso (peresempio il lotto o la roulette) in cui c’è un solo giocatore ch egioca contro la sorte non è un gioco (o meglio è un giocodegenere) nel senso della teoria dei giochi. Per esserci un g iocovero devono esserci almeno due individui razionali cheinteragiscono.
A. Torre Caso, intelligenza e decisioni razionali
a)I giocatori (I e II) hanno a disposizione un’urna contenente 5
palline numerate da 1 a 5. Ciascuno dei due giocatori estrae dalla
sua urna una pallina. Se la somma dei due numeri delle pallineestratte è pari, vince II. Altrimenti vince I.
A. Torre Caso, intelligenza e decisioni razionali
a)I giocatori (I e II) hanno a disposizione un’urna contenente 5
palline numerate da 1 a 5. Ciascuno dei due giocatori estrae dalla
sua urna una pallina. Se la somma dei due numeri delle pallineestratte è pari, vince II. Altrimenti vince I.
Poichè le possibilità sono 25, di cui 13 a favore di II e 12 favorevoli a I,il gioco viene vinto da II 13 volte su 25 e da I 12 volte su 25. Si usa
dire che il gioco non è equo.
A. Torre Caso, intelligenza e decisioni razionali
a)I giocatori (I e II) hanno a disposizione un’urna contenente 5
palline numerate da 1 a 5. Ciascuno dei due giocatori estrae dalla
sua urna una pallina. Se la somma dei due numeri delle pallineestratte è pari, vince II. Altrimenti vince I.
Poichè le possibilità sono 25, di cui 13 a favore di II e 12 favorevoli a I,il gioco viene vinto da II 13 volte su 25 e da I 12 volte su 25. Si usa
dire che il gioco non è equo.Rappresentiamo la situazione con unatabella: il numero estratto dal primo giocatore corrisponde alla riga, il
numero estratto dal secondo corrisponde alla colonna e nell’incrocio
di una riga con una colonna c’è 1 quando vince il primo giocatore e−1 quando vince il secondo giocatore.
A. Torre Caso, intelligenza e decisioni razionali
I/II 1 2 3 4 5
1 -1 1 -1 1 -1
2 1 -1 1 -1 1
3 -1 1 -1 1 -1
4 1 -1 1 -1 1
5 -1 1 -1 1 -1
A. Torre Caso, intelligenza e decisioni razionali
b)I giocatori (I e II) devono scegliere contemporaneamente e
indipendentemente un numero tra 1 e 5. Se la somma dei due numeriè pari, vince II. Altrimenti vince I. Rispetto alla situazione a) è
cambiato qualcosa? Mettetevi nei panni del giocatore I. Cosa fareste?
A. Torre Caso, intelligenza e decisioni razionali
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