Applicazione del Metodo di Hardy-Cross allo

schema di trave continua per l’analisi delle

sollecitazioni del solaio

Corso di Tecnica delle Costruzioni I - Teoria delle Esercitazioni Anno Accademico 2004/05

a cura di Enzo Martinelli

Dati NumericiDati NumericiDati Geometrici

Lsb= 1.15 m

L1= 5.25 m

L2= 6.10 m

L3= 4.40 m

Valori dei carichi

gk+gk'= 5.80 kN/ m gk,sb+gk,sb'= 4.30 kN/ m Fk= 1.50 kN

qk= 2.00 kN/ m qk,sb= 4.00 kN/ m Hk= 1.00 kN

- COMBI NAZI ONE 1 (SLU):

psb= 4.30 kN/ mFd= 1.50 kNHd= 0.00 kNm= 4.57 kNmp1= 11.12 kN/ mp2= 5.80 kN/ mp3= 11.12 kN/ m

a cura di Enzo Martinelli

Corso di Tecnica delle Costruzioni I - Teoria delle Esercitazioni Anno Accademico 2004/05

Coefficienti di Ripartizione e di Coefficienti di Ripartizione e di TrasportoTrasporto

ikij

ijij WW

W

ij

jiji W

Vt

I coefficienti di ripartizione vanno definiti per ogni nodo con riferimento alle (due) aste che vi convergono.

I coefficienti di trasporto vanno determinati sulle aste secondo la relazione seguente:

Nel caso in esame essi hanno valore non nullo solo per la campata intermedia e valgono tBC=tCB=0.5. Sulle campate di riva, invece, i momenti sull’estremo appoggiato sono noti a priori ed indipendenti dalle rotazioni nodali che si registrano in B e C.

a cura di Enzo Martinelli

Corso di Tecnica delle Costruzioni I - Teoria delle Esercitazioni Anno Accademico 2004/05

Momenti di incastro perfettoMomenti di incastro perfetto

kNm 03.36

257.4

825.512.11

2m

8

Lp 22AB1

BA

Asta AB:

kNm 98.17

1210.680.5

12

Lp 22BC2

BC

Asta BC:

kNm 98.17

1210.680.5

12

Lp 22BC2

BC

kNm 91.26

840.412.11

8

Lp 22CD3

CD

Asta CD:

a cura di Enzo Martinelli

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Metodo di Cross: Prima IterazioneMetodo di Cross: Prima Iterazione

Equilibrio del nodo B- Momento squilibrato

kNm 05.18

98.1703.36M )s(B

- Momento equilibrante

kNm 05.18MM )s(B

)e(B

- Ripartizione tra le aste

kNm 40.805.18466.0

MM )e(BBABA

kNm 64.905.18534.0

MM )e(BBCBC

-8.40 -9.64

- Trasporto sull’asta BC

kNm 82.464.95.0

MtM BCCBCB

-4.82

a cura di Enzo Martinelli

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Metodo di Cross: Seconda IterazioneMetodo di Cross: Seconda Iterazione

Equilibrio del nodo C- Momento squilibrato

kNm 75.1382.4

91.2698.17M )s(C

- Momento equilibrante

kNm 75.13MM )s(C

)e(C

- Ripartizione tra le aste

kNm 74.675.13490.0

MM )e(CCBCB

kNm 01.775.13510.0

MM )e(CCDCD

6.74 7.01

- Trasporto sull’asta BC

kNm 37.374.65.0

MtM CBBCBC

3.37

a cura di Enzo Martinelli

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Metodo di Cross: Terza IterazioneMetodo di Cross: Terza Iterazione

Equilibrio del nodo B- Momento squilibrato

kNm 37.3M )s(B

- Momento equilibrante

kNm 37.3MM )s(B

)e(B

- Ripartizione tra le aste

kNm 57.137.3466.0

MM )e(BBABA

kNm 80.137.3534.0

MM )e(BBCBC

-1.57 -1.80

- Trasporto sull’asta BC

kNm 90.080.15.0

MtM BCCBCB

-0.90

a cura di Enzo Martinelli

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Metodo di Cross: Quarta IterazioneMetodo di Cross: Quarta Iterazione

Equilibrio del nodo C- Momento squilibrato

kNm 90.0M )s(C

- Momento equilibrante

kNm 90.0M )e(C

- Ripartizione tra le aste

kNm 44.090.0490.0

MM )e(CCBCB

kNm 46.090.0510.0

MM )e(CCDCD

0.44 0.46

- Trasporto sull’asta BC

kNm 22.044.05.0

MtM CBBCBC

0.22

a cura di Enzo Martinelli

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Metodo di Cross: Quinta IterazioneMetodo di Cross: Quinta Iterazione

Equilibrio del nodo B- Momento squilibrato

kNm 22.0M )s(B

- Momento equilibrante

kNm 22.0M )e(B

- Ripartizione tra le aste

kNm 10.022.0466.0

MM )e(BBABA

kNm 12.022.0534.0

MM )e(BBCBC

-0.10 -0.12

- Trasporto sull’asta BC

kNm 06.012.05.0

MtM BCCBCB

-0.06

a cura di Enzo Martinelli

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Metodo di Cross: Sesta IterazioneMetodo di Cross: Sesta Iterazione

Equilibrio del nodo C- Momento squilibrato

kNm 06.0M )s(C

- Momento equilibrante

kNm 06.0M )e(C

- Ripartizione tra le aste

kNm 03.006.0490.0

MM )e(CCBCB

kNm 03.006.0510.0

MM )e(CCDCD

0.03 0.03

- Trasporto sull’asta BC

kNm 01.003.05.0

MtM CBBCBC

0.01

a cura di Enzo Martinelli

Corso di Tecnica delle Costruzioni I - Teoria delle Esercitazioni Anno Accademico 2004/05

Metodo di Cross: Settima IterazioneMetodo di Cross: Settima Iterazione

Equilibrio del nodo B- Momento squilibrato

kNm 01.0M )s(B

- Momento equilibrante

kNm 01.0M )e(B

- Ripartizione tra le aste

kNm 01.001.0466.0

MM )e(BBABA

kNm 01.001.0534.0

MM )e(BBCBC

-0.01 -0.01

Convergenza Raggiunta!

a cura di Enzo Martinelli

Corso di Tecnica delle Costruzioni I - Teoria delle Esercitazioni Anno Accademico 2004/05

Metodo di Cross: SoluzioneMetodo di Cross: Soluzione

a cura di Enzo Martinelli

Corso di Tecnica delle Costruzioni I - Teoria delle Esercitazioni Anno Accademico 2004/05

Verifica di congruenzaVerifica di congruenza

a cura di Enzo Martinelli

Corso di Tecnica delle Costruzioni I - Teoria delle Esercitazioni Anno Accademico 2004/05

Alla fine del procedimento di convergenza che, come visto nella lezione teorica, consiste nell’imporre di volta in volta l’equilibrio nodale in corrispondenza degli appoggi interni. Alla fine del procedimento di ricerca dell’equilibrio è comunque opportuno accertarsi della congruenza delle rotazioni negli stessi nodi come

esposto nel seguito.Nodo B:

EI6402.17

EI2425.512.11

EI625.557.4

EI325.595.25

EI24

Lp

EI6

mL

EI3

LM 33AB1ABABB

BA

EI6442.17

EI2410.680.5

EI610.641.19

EI310.695.25

EI24

Lp

EI6

LM

EI3

LM 33BC2BCCBCB

BC

4BCBA 102.26422.17

6442.176402.17

Questo errore si ritiene tollerabile perché non superiore rispetto allo scarto assunto per la convergenza nella ripartizione dei momenti (0.01/10=10-3).