Teoria delle Lubrificazione e applicazioni

Ing. Antonio Pellegrino

Università degli studi di Catania Facoltà di ingegneria – Dipartimento di ingegneria

industriale e meccanica

Applicazione tecnica della teoria della lubrificazione nei cuscinetti

portanti e di spinta

COPPIA PRISMATICA DI ALLUNGAMENTOFINITO E INFINITO

h1 = altezza meato all’estremo di altezza minimaH2 = altezza meato all’estremo di altezza massima L = dimensione della slitta nel senso della velocità Vb = dimensione della slitta in senso normale alla velocità Vb/l = allungamentoP = carico nomrale ala slittaT = fP = resistenza della slittaF = coefficiente di attrito fluido e = distanza della retta d’azione del carico dalla mezzeria della lastra (eccentricità) e/l = eccentricità relativa

bhlVP 2

1

2

lh

PTf 1'

Come è noto dalle teoria generale della lubrificazione:


k = k (n,m)k’ = k’(n,m)e/l = e/l (n, m)

toallungamenlbn 1

1

2

1

12

hh

hhhm

m è funzione del rapporto tra gli spessori estremi del meato e torna comodo nei calcoli, specie per quelli riguardanti il caso di allungamento infinito per il quale si può scrivere (in questo caso P/b è il carico per unità di lunghezza):

mmm

mk

221ln6

2

kmmk 1

262

31' kmmm

mmm

le 1

23

21

22

2


ALLUNGAMENTO FINITO

Per l’allungamento finitola soluzione esatta èdovuta a Frossellmediante lunghi calcolinumerici basati susviluppi in serie indicatiper la prima volta daMitchell.

I diagrammi riportano irisultati di tali calcoli infunzione della quantità:

ma 11


ALLUNGAMENTO FINITO

UTILIZZOFissata la geometria del meato (h2/h1, cioè m) è possibile determinare i coefficienti k e k’ cioè portanza e resistenza. Esiste anche un altro diagramma che fornisce l’eccentricità relativa. Naturalmente entrambi i diagrammi sono parametrizzati dall’allungamento e deve essere utilizzato per primo il diagramma a sinistra


Sottile strato di ossido Eccessivo surriscaldamento

Per le applicazioni più comuni ed importanti ovvero i cuscinetti Mitchell a pattini orientabili la considerazione di h2,h1, di m o di a (funzione di questi ultimi)non ha nessun interesse tecnico se non per il fatto che riesce semplice scrivere le relazioni teoriche che determinano capacità portante e resistenza in funzione di questi parametri (vedi formule precedenti di k,k’,m). Ha invece notevole interesse la considerazione diretta dell’eccentricità relativa e/l che è funzione di m noto che sia l’’allungamento (e/l è funzione di m parametrizzata dall’allungamento)


Lastra di base soggetta ad abrasione

Infatti per un dato pattino orientabile di un supporto Mitchell essendo definita la cerniera attorno alla quale il pattino oscilla risulta definita anche la posizione della risultante che deve necessariamente passare per il punto n cui è posizionata la cerniera. E’ dunque certamente nota l’eccentricità relativa e/l

Nella pratica si vede che vi è una corrispondenza biunivoca tra la posizione della cerniera attorno al quale ruota il pattino e l’inclinazione del pattino stesso (h1/h2 che è correlabile a m).


Cuscinetto reggispinta Kinsbury

Cuscinetto reggispinta NE Kinsbury

Quindi una volta stabilita la posizione della cerniera è automaticamente definita la posizione del pattino per un noto allungamento (le curve sono parametrizzate per ogni allungamento b/l).Per questo motivo i diagrammi che vedremo nella pagina seguente forniscono i coefficienti k e k’in funzione dell’eccentricità relativa (per ogni allungamento). Ci consentono perciò una volta nota la posizione della cerniera di determinare P e T che di k e k’ sono funzione. Si tratta quindi di scegliere la posizione di incernieramento tale che P sia il più grande possibile e T sia il minimo possibile.


Funaioli elaborò i risultati di Frossell ottenendo l’abaco in figura che riporta i coefficienti di portanza e di attrito k e k’ in funzione dell’eccentricità relativa e/l.

OSSERVAZIONI• La capacità portante dipende in misura molto sensibile da e/l

• l’eccentricità relativa per cui si ha la massima capacità portante è compresa tra 7,5% (allungamento infinito) e circa 10% (allungamento unitario)

• eccentricità tutte dello stesso segno (carico sempre dalla parte con spessori minori

• per un valore di capacità portante si hanno sempre due possibili eccentricità (tranne quando il valore di k è quello massimo)


OSSERVAZIONI

• Le eccentricità più convenienti sono quelle che si ottengono, nella parte inferiore dell’abaco, dalle intersezioni della retta tratteggiata con i diagrammi relativi a k’.

• Queste intersezioni forniscono valori di k’ molto vicini al valore minimo. Si scelgono percentuali di eccentricità maggiori di quelle corrispondenti ai valori di massima portanza perché a questi valori corrispondono valori minimi (o quasi) della resistenza e valori della capacità portante quasi massimi.

CALCOLO DEI CUSCINETTI REGGISPINTA MITCHELL

d = diametro mediob = larghezza vari segmentil = lunghezza media vari segmentidi = diametro interni vari segmenti

• La velocità non è più costante nel senso della profondità ma ci si può riferire, in prima approssimazione, a quella corrispondente al diametro medio (N=velocità di rotazione in giri al minuto)

• I segmenti non sono più rettangolari ma si sostituiscono per il calcolo con superfici rettangolari di dimensioni b x l

60dNV

CALCOLO DEI CUSCINETTI REGGISPINTA MITCHELL

ALCUNE APPLICAZIONI DEI CUSCINETTI MITCHELL• generatori idroelettrici• Turbine a vapore, a gas e idrauliche• Motori elettrici• Compressori centrifughi • Pompe di dragaggio, pompe oleodinamiche, pompe sommerse• gruppi turbina compressore• Albero elica navi

CUSCINETTI A PATTINI ORIENTABILI: PERCHE’ ESISTONO

Principali vantaggi:

• Capacità di sopportare un allineamento non perfetto tra l’asse dell’albero e quello del supporto reggispinta

• Possibilità di variare opportunamente l’inclinazione del pattino al variare delle condizioni di funzionamento cioè al variare della spinta, della velocità angolare e della viscosità del lubrificante

Coppia perno cuscinetto di allungamento infinito

R = raggio cuscinetto r = raggio perno f= angoli contati a partire dalla sezione ristretta di altezza ho e = eccentricità = distanza tra gli assi di cuscinetto e perno durante il funzionamentoe = e/(R-r) = eccentricità relativaY = (R-r)/r = gioco relativo V = velocità periferica del pernom = viscosità assoluta del lubrificante

Spessore minimo del meato di lubrificante = hmin = h0 = (R-r)-e = (R-e)-e(R-r) = (R-r) (1-e)

Spessore massimo del meato di lubrificante = hmax = (R-r) + e = (R-e) + e(R-r) = (R-r) (1+e)

Spessore del meato nella sezione di generica anomalia :f = h = (R-r) – e sen (90-f) = (R-r) – ecosf = (R-r) – e (R-r) cos f = (R-r)*(1-ecosf)


www.machinelubrication.com

Lo studio della lubrificazione idrodinamica si effettua integrando la relazione:

36h

hhV

dxdp m

• hm = altezza meato nel punto di pressione massima

Utilizzando l’ipotesi, verificata sperimentalmente da Stanton che si abbia il distacco del velo di lubrificante nel punto in cui dp/dx = 0

NOTA: il verso di rotazione è sempre tale da trascinare l’olio verso altezze del meato decrescenti


Il punto di distacco del velo di lubrificante è identificato da una ascissa, rispetto alla sezione ristretta, pari a –f2 , ed è simmetrico (in riferimento all’ascissa corrispondente alla sezione ristretta f = 0) rispetto al punto in cui si verifica la pressione massima di coordinata angolare fm = f2.Il diagramma della pressione in funzione di f ha l’andamento indicato nella figura sottostante

Coppia perno - cuscinetto di allungamento infinito

Il diagramma è riferito alla pressione atmosferica, tutta la zona tratteggiata, poiché la p > patm è una zona di sovrapressione ove si ha sostentamento. Ne segue che l’arco in cui si verifica lubrificazione (cioè sostentamento) è f1 – (-f2) = f1 + f2

In figura si ha dunque effetti va lubrificazione lungo l’arco tratteggiato f1+f2.Che succede nell’arco “bianco” oltre f1 + f2 ? Il fluido c’è ma non contribuisce al sostentamento, l’unico effetto che ha è quello di provocare

COPPIA PERNO - CUSCINETTO DIALLUNGAMENTO INFINITO

attrito.In base a quanto detto quindi per punto in cui avviene il distacco del velo di lubrificante si intende quel punto a partire dal quale non si ha più sostentamento. Dallo sviluppo dei calcoli, che esula dagli scopi di questo corso si ottiene che il carico P [N/mm] per unità di lunghezza (dove per lunghezza si intende quella misurata lungo l’asse del perno) vale:

2VkP


Dalla formula precedente che definisce il carico per unità di lunghezza supportabile dalla coppia perno cuscinetto si ottiene (semplice formula inversa)

VPk 2

Definito dai parametri di input di progetto e quindi noto (numero di Sommerfield)

PVk

Da cui definendo il coefficiente d’attrito f come: f = cy si ottiene:

PVK

PVkccf kcK


Nelle formule precedenti i parametri k,c,K sono funzioni dell’angolo f1 a cui viene effettuato l’ingresso dell’olio e della eccentricità relativa e entrambe incognite essendo incognite l’eccentricità e la posizione della sezione ristretta.

Ten Bosch I diagrammi di Ten Bosch riassumono i risultati elaborati sfruttando la relazione tra f1, f2 ed e che deriva dall’ipotesi che si abbia distacco del velo di lubrificante nel punto in cui dp/dx = 0 e che tale punto di ascissa -f2 sia simmetrico rispetto al punto in cui si ha la massima pressione (f2 = -fm).

Tutte le grandezze che interessano possono essere ricavate in funzione dei due parametri:

VPk 2

1


b = angolo che caratterizza la posizione del caricof1-b= angolo compreso tra la direzione del carico e la sezione di ingresso dell’olio

Domanda: Perché f1-b è noto?

f1-b è l’angolo compreso tra la direzione del carico e la sezione di ingresso dell’olio. Se, come è scritto nell’esempio a pag.575 del Giovannozzi 1, l’ingresso dell’olio è in un piano orizzontale ed il carico è verticale f1-b=90°. Allo stesso modo si potrebbe ragionare se l’ingresso del fluido fosse in piano inclinato di 30 gradi rispetto all’orizzontale.Attenzione: guardando la figura potrebbe indurre in confusione il fatto che,non essendo nota la posizione del perno e quindi della sezione ristretta, non è nota la posizione del centro O da cui si misura f1-b. La risposta sta nel fatto che, essendo nella realtà e equindi l’eccentricità piccolissime si può considerare O coincidente con O’.


DATI IN INGRESSO

K

PARAMETRI

1RISULTATI

1. ho/(R-r)

Spessore minimo del lubrificante ed

rRho

1

Formula inversa ho


2. I coefficienti c e K attraverso i quali è possibile calcolare il coefficiente di attrito del perno

PVK

PVkccf

3. I rapporti hm/ho che permettono di calcolare hm e quindi la portata d’olio per unità di lunghezza (lunghezzamisurata nel senso dell aprofonditàfuori piano) in senso periferico


DOMANDA: come mai il parametro hm mi permette di determinare la portata (periferica) d’olio per unità di lunghezza?

Dall’equazione di equilibrio dell’elementino di fluido, integrando si ottiene il seguente profilo di velocità:

2

21

1

2

CyCydxdpu


Imponendo le seguenti condizioni al contorno:

y = h u = Vy = 0 u = 0

Si ottiene:

)(21 hyy

dxdp

hVyu

Integrando rispetto all’altezza ed ordinando si ha:

2121 3 Vhh

dxdpq

Nelle sezione di pressione massima, in cui la derivata dp/dx=0 e l’altezza è hm (hm=altezza del meato nella sezione di presisonemassima) si ha:

2mVh

q


Tale portata è costante, per il principio di continuità (per ipotesi iniziale si considera un fluido newtoniano incomprimibile)

ATTENZIONE! : tale portata è una portata per unità di lunghezza!

Interno di cuscinetto soggetto a fatica


CONSIDERAZIONI

• k < 2 –coefficiente di attrito troppo elevato

• k elevato spessore minimo del meato troppo sottile (freccia azzurra)

• Per 2<k<400 il coefficiente K può ritenersi praticamente costante


2 grafici con diverse ascisse e ordinate:

GRAFICO 1: (il alto a sinistra)L’intersezione delle curve f1-b ed e(determinato attraverso il grafico precedente) mi resistuisce in ascissa e ordinata rispettivamente f1 e b

GRAFICO 2: (in basso a destra)

In funzione di f1, così ottenuto, e di e si ricava f2 come ordinata. È dunque possibile determinare la lunghezza dell’arco lubrificato r(f1+f2) che sarà utile a valutare l’effetto di allungamento finito.


DIAGRAMMA POLARE DELLA ECCENTRICITA’ RELATIVA e IN FUNZIONE DI b

(Si hanno tanti diagrammi polari ognuno corrispondente ad un determinato f1-b)

La posizione del centro dell’albero sitrova come intersezione della curva f1-b diinteresse con la circonferenza di raggiopari alla eccentricità e.

Una volta ottenuto e dal primo dei diagrammi che abbiamo esaminato e, è possibile determinare b e quindi f1 da uno dei grafici a sinistra.

La curva tratteggiata è quella a cui si avvicinano tutti i diagrammi per f1-btendente a 180°


OSSERVAZIONE

Il diagramma definisce la posizione del perno all’interno del cuscinetto che è perfettamente definita una volta noti e e b.

Il punto corrispondente a e = 1 si ha quando la velocità è nulla ed il perno è adagiato sul fondo.Per velocità periferiche tendenti all’infinito si tenderebbe il punto corrispondente all’origine degli assi (caso ideale esposto dalla legge di Petroff per il quale non si avrebbe più sostentamento ed il perno tornerebbe eccentrico.

COPPIA PERNO - CUSCINETTO DIALLUNGAMENTO FINITO – CALCOLO

APPROSSIMATO SECONDO TEN BOSCH

Effetti dell’allungamento finito sul calcolo della coppia lubrificata perno –cuscinetto(peggioramento delle prestazioni di una coppia lubrificata perno cuscinetto ad allungamento finito nei confronti del caso ideale ad allungamento infinito):

• riduzione della capacità portante

• riduzione dello spessore minimo del meato (necessità di migliori lavorazioni superficiali)

• aumento del coefficiente di attrito


APPROSSIMATO SECONDO TEN BOSCHRIDUZIONE DELLA CAPACITA’ PORTANTE

Allungamento:

rificatoarcolunghezza

rln

lub_21

Riduzione capacità portante = 1/a <1

nKK

max_

max_1

Cuscinetti lubrificati per applicazioni navali (Thordon)



Si ha dunque la stessa riduzione di capacità portante che si ha nel caso di coppia lubrificata piana nel passare da allungamento infinito ad allungamento finito, considerando, come valori di riferimento, i valori massimi ottenibili per le configurazioni piane.Si puà ritenere, con approssimazione accettabile, che valga, per allungamenti compresi tra 0,8 e 3 la relazione:

83,1

2,084,01

bl


APPROSSIMATO SECONDO TEN BOSCHRIDUZIONE DELLO SPESSORE DEL MEATO

Si può ammettere che l’albero assuma la posizione che assumerebbe, se l’allungamento fosse infinito qualora il carico, anziché P (carico effettivamente agente) fosse a volte P (carico maggiorato “fittizio” = aP)

Si determinano quindi :

rRho

1

rRho

Entrando nei diagrammi con un valore di k pari a:

V

Pk

2anziché

VPk

2


APPROSSIMATO SECONDO TEN BOSCHAUMENTO DEL COEFFICIENTE DI ATTRITO

A parità di forma e dimensioni del meato (quindi a parità di spessori) la forza periferica T di attrito non varia al variare dell’allungamento

Per quanto detto al punto precedente (RIDUZIONE DELLO SPESORE DEL MEATO) per avere con allungamento infinito la stessa forma del meato che si avrebbe nel cuscinetto ad allungamento finito caricato col carico P occorre riferirsi ad un cuscinetto di allungamento infinito caricato con un carico fittizio aP .



La forza di attrito T, vale quindi, secondo la formula valida per il caso di allungamento infinito (stavolta il carico è uguale ad aP):

PcPcT

Il coefficiente di attrito f corrispondente vale dunque, per la coppia perno cuscinetto di allungamento effettiva, caricata dal carico P (è solo ai fini del calcolo della forza tangenziale di attrito che si adopera un carico fittizio aP):

PVKc

PTf

kcK PVk

essendo

COPPIA PERNOCUSCINETTO DIALLUNGAMENTO FINITO – CALCOLO


Ed essendo i valori di c e di K letti in corrispondenza del parametro k

VPk 2

anziché V

Pk 2

COPPIA PERNO - CUSCINETTO DIALLUNGAMENTO FINITO – FORMULE

DI SCHIEBEL

Una teoria approssimata per coppia perno-cuscinetto di allungamento finito è stata sviluppata da A. Schiebel. Tale teoria integra l’equazione fondamentale della teoria della lubrificazione:

3 3 6p p dhh h Vx x z z dx

ammettendo a priori una distribuzione parabolica della pressione in senso trasversale (cioè nel senso della larghezza b).

Il metodo di integrazione dell’equazione utilizzato dallo Schiebel consistenell’integrare l’equazione fondamentale della teoria della lubrificazione non attraversointegrazione diretta ma attraverso la ricerca del minimo dell’integrale di una funzione Fche soddisfi le equazioni di Eulero Lagrange.


DI SCHIEBEL

Schiebel trovò che l’equazione fondamentale della teoria della lubrificazione può interpretarsi come la condizione variazionale di minimo di Eulero dell’integrale, esteso a tutta la superficie lubrificata, della funzione:

2 23 3

62 2h p h p dhF V p

x z dx


DI SCHIEBEL

Prima di tutto verifichiamo che questa funzione, sostituita nell’equazione di Eulero-Lagrange, corrisponde all’equazione di partenza.

0F F Fp pp x zx z

p pF F p, ,x z

considerando una

L’equazione di Eulero-Lagrange assume la forma:

derivabile sino al primo ordine


DI SCHIEBEL

Determiniamo i termini dell’equazione:

6F dhVp dx

31 22

F php xx

31 22

F php zz

Sostituendo questi termini nell’equazione di Eulero-Lagrange si ottiene:

3 36 0dh p pV h hdx x x z z

Equazione di Reynolds

COPPIA PERNO-CUSCINETTO DIALLUNGAMENTO FINITO – FORMULE

DI SCHIEBEL

Pertanto l’integrazione della equazione equivale a risolvere il problema della ricerca di minimo dell’integrale della funzione F esteso a tutto il dominio, ovvero deve essere:

p pF P, , dxdz minx z

Per la risoluzione approssimata di tale problema Schiebel utilizzò il metodo di Ritz. Tale metodo consiste nello scrivere F come somma di funzioni delle stesse variabili attraverso dei coefficienti ai :

1 1 2 2 3 3F a F a F a F

1 1 2 2a F a F ..... dxdz min

1 1 2 2G a F dxdz a F dxdz ........ min

COPPIA PERNO-CUSCINETTO DIALLUNGAMENTO FINITO – FORMULE

DI SCHIEBELEseguendo le derivate rispetto ai coefficienti ai

1 2 3i

G G G, ,a a a

ed uguagliando a zero in modo da trovare il minimo, si otterrà quindi un sistema lineare di n equazioni in n incognite.

I risultati dei complessi calcoli svolti dallo Schiebel si riferiscono a due casi principali: (1-)=180° e (1-)=90°.

CASO 1: tutto il cuscinetto è attivo (in tutto il cuscinetto la pressione del lubrificante è maggiore di quella atmmosferica)


DI SCHIEBEL

2 20

0 366 11 8

N d R rP ,hd

l

2

3 44 1 8V df ,P l

1 2

10

1 8

dlQ Vdedl

• Q1 = la portata di olio che defluisce lateralmente per effetto dell’allungamento finito (da aggiungere alla portata espressa dalla qx=Vhm/2

• d = indicato il diametro del perno

• N = numero di giri al minuto

• l = lunghezza del perno in direzione assiale

• Pl = carico totale


DI SCHIEBEL

CASO 2: Solo mezzo cuscinetto attivo ((j1-b)=90°)

2 20

0 183 11 2

N d R rP ,hd

l

2

2 81 1 2V df ,P l

1 2

1 5

1 2

d,lQ Vdedl

I valori dei coefficienti che in esse compaiono hanno carattere prudenziale, cioè dannoil massimo valore possibile del coefficiente di attrito e il minimo valore della capacitàportante del cuscinetto.

• Q1 = la portata di olio che defluisce lateralmente per effetto dell’allungamento finito (da aggiungere alla portata espressa dalla qx=Vhm/2

• d = indicato il diametro del perno

• N = numero di giri al minuto

• l = lunghezza del perno in direzione assiale

• Pl = carico totale


DI SCHIEBEL

Quando è attiva solo la metà inferiore del cuscinetto, nella metà superiore si ha, come si è detto, un velo di olio che non è in pressione, ma che oppone ugualmente una resistenza al moto e da luogo quindi ad un aumento f del coefficiente di attrito già calcolato.

il perno è eccentrico e lo spessore del meato non è quindi costante. La presenza dei canali di distribuzione dell’olio e di eventuali anelli di lubrificazione fa diminuire le superfici di attrito

Vh

l < 1 (0.5 ) (fattore riduttivo attrito)

P

Vll = lungezza assiale del perno


DI SCHIEBEL

La forza resistente totale è data da:

TOTT T f P T f P

30 2N df f PVl f f P b

a d b T

60

f f PNT

a

I valori della viscosità da introdurre nelle formule sono quelli relativi alla temperatura media del lubrificante nel meato. Nel caso dei supporti di alberi di trasmissioni, la temperatura media a cui fare riferimento è quella ambiente aumentata dell’incremento T dovuto al lavoro di attrito

EGUAGLIANDO:

Potenza persa per attrito

Calore trasmesso dal supporto all’esterno

a = coefficiente di proporzionalità 5<a<14

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Teoria delle Lubrificazione e applicazioni