Teorema Limit Pusat

Nunung Nurhayati Teori Peluang (PAM 2231)-Unsoed

4.3 Konvergen dalam Distribusi

Pada Subbab 4.2 telah dibahas konsep ”konvergen dalam peluang” yang dapat digunakanuntuk memeriksa kedekatan estimator dengan parameter yang diestimasinya. Pada sub-bab ini dibahas jenis kekonvergenan lainnya, yaitu ”konvergen dalam distribusi”. Materiini merupakan konsep dasar yang perlu dipelajari untuk pembahasan Teorema Limit danpembahasan distribusi asimtotik serta selang kepercayaan suatu estimator.

Definisi 1 (Konvergen dalam distribusi) Misal {Xn} barisan variabel acak dengancdf masing-masing FXn , dan X suatu variabel acak dengan cdf FX . Barisan variabel acak{Xn} dikatakan konvergen dalam distribusi ke X, dinotasikan

Xnd−→ X

jikalimn→∞

FXn(x) = FX(x),

untuk setiap x ∈ C(F (x)), dengan C(F (x)) menyatakan himpunan semua titik sehinggaFX kontinu.

Pada Definisi 1, distribusi dari X yang dinyatakan dalam cdf F (x), disebut distribusiasimtotik atau distribusi limit dari barisan {Xn}.

Sebagai contoh, pernyataan

”Xnd−→ X dengan X berdistribusi normal standar”

atau secara singkat,

Xnd−→ N(0, 1)

dapat dibaca sebagai ”Xn mempunyai distribusi asimtotik normal standar.”

Contoh 4.3.1. Misal Xn mempunyai cdf

Fn(x̄) =

∫ x̄

−∞

1√1/n√

2πe−nw

2/2dw.

Jika dimisalkan v =√nw maka

Fn(x̄) =

∫ √nx̄−∞

1√2πe−v

2/2dv

sehingga

limn→∞

Fn(x̄) =

0, x̄ < 01/2, x̄ = 01, x̄ > 0

1

Nunung Nurhayati Teori Peluang (PAM 2231)-Unsoed

Definisikan fungsi

F (x̄) =

{0, x̄ < 01, x̄ ≥ 0

makalimn→∞

Fn(x̄) = F (x̄)

untuk setiap titik x̄ sedemikian sehingga F (x̄) kontinu. Artinya, ketika F tidak kontinudi x = 0, Fn(0) tidak harus konvergen ke F (0). Jadi, yang diperhatikan hanya titik-titiksedemikian sehingga F kontinu. Berdasarkan hasil ini, maka barisan X1, X2, X3, . . .konvergen ke variabel acak yang berdistribusi degenerate di x̄ = 0. �

Contoh 4.3.2. Misal X1, . . . , Xn sampel acak dari distribusi U(0, θ). Misalkan Yn =max{X1, . . . , Xn}, dan Zn = n(θ − Yn).

(a). Tentukan cdf dari Yn.

(b). Tunjukkan Zn konvergen dalam distribusi dan tentukan distribusi asimtotiknya.

Penyelesaian.

(a). Diketahui Yn = max{X1, . . . , Xn} maka DYn = {y ; 0 < y ≤ θ}. Misal diambily ∈ (0, θ]. Fungsi distribusi (cdf ) dari Yn adalah

FYn(y) = P (Yn ≤ y) = P (max{X1, . . . , Xn} ≤ y)

= P (X1 ≤ y, . . . , Xn ≤ y)

= [P (X ≤ y)]n (karena X1, . . . , Xn independen)

= [FX1(y)]n

Karena X1 berdistribusi U(0, θ), maka

FX1(y) = P (X1 < y) =

∫ y

0

1

θdx =

y

θ,

sehingga untuk 0 < y ≤ θ,

P (Yn ≤ y) = [FX1(y)]n =(yθ

)n.

Jadi cdf dari Yn adalah

FYn(y) =

0, y < 0(yθ )n, 0 < y ≤ θ1, y ≥ θ

(b). Diketahui Zn = n(θ−Yn), maka DZn = {z ; 0 < z ≤ nθ}. Misal diambil z ∈ (0, nθ].Karena Zn = n(θ−Yn) ekivalen dengan Yn = θ−Zn/θ, maka fungsi distribusi dari

2

Nunung Nurhayati Teori Peluang (PAM 2231)-Unsoed

Zn adalah

FZn(z) = P (Zn ≤ z) = P [Yn ≥ θ − (z/n)]

= 1− P (Yn ≤ θ − (z/n))

= 1−(θ − (z/n)

θ

)n= 1−

(1− z/θ

n

)ndan

limn→∞

FZn(z) = 1− e−z/θ

sehingga

Znd−→ Z.

Berikut akan ditunjukkan Z berdistribusi eksponensial dengan parameter 1/θ.Misal Z berdistribusi eksponensial dengan parameter 1/θ, maka pdf dari Z,

f(z) =1

θe−z/θ, z > 0

dan 0 untuk z lainnya, sehingga cdf dari Z

FZ(z) =

∫ z

0

1

θe−x/θdx = 1− e−z/θ, z > 0

dan 0 untuk z lainnya.

Jadi, distribusi asimtotik dari Zn adalah distribusi eksponensial dengan parameter1/θ. �

Hubungan konvergen dalam distribusi dan konvergen dalam peluang dinyatakan dalamsifat-sifat berikut:

(a). Jika Xnp→ X maka Xn

d−→ X. Pernyataan sebaliknya belum tentu benar danberlaku benar hanya jika X degenerate.

(b). Jika b suatu konstanta dan Xnd−→ b maka Xn

p→ b.

(c). Jika Xnd−→ X dan Yn

d−→ 0, maka Xn + Ynd→ X.

(d). Jika Xnd−→ X dan g fungsi yang kontinu pada support dari X maka

g(Xn)d−→ g(X).

(e). (Teorema Slutsky). Misal Xn, X,An, Bn, variabel-variabel acak. Misalkan pula a

dan b konstanta. Jika Xnd−→ X, An

p→ a, dan Bnd−→ b maka An + BnXn

d−→a+ bX.

3

Nunung Nurhayati Teori Peluang (PAM 2231)-Unsoed

Teknik Fungsi Pembangkit Momen. Selain menggunakan cdf, distribusi asimtotiksuatu barisan variabel acak yang konvegen dalam distribusi, juga dapat dicari menggu-nakan teknik fungsi pembangkit momen (teknik mgf ).

Teorema 2 Misal {Xn} barisan variabel acak dengan mgf MXn(t) yang ada untuk −h <t < h dan untuk setiap n.Misalkan pula X variabel acak dengan mgfM(t) yang ada untuk|t| < h1 < h untuk setiap n. Jika

limn→∞

MXn(t) = M(t)

makaXn

d−→ X.

Berikut aturan limit di Kalkulus yang berguna dalam penentuan distribusi asimtotikberdasarkan Teorema 2:

Jika diberikan bentuk limit berikut

limn→∞

[1 +

b

n+ψ(n)

n

]cn,

dengan b dan c tidak bergantung pada n dan limn→∞ ψ(n) = 0, maka

limn→∞

[1 +

b

n+ψ(n)

n

]cn= lim

n→∞

(1 +

b

n

)cn= ebc (1)

Sebagai contoh, untuk menghitung

limn→∞

[1 +

t2

n+

t3

n3/2

]−n/2= lim

n→∞

(1− t2

n+t2/√n

n

)−n/2dapat dimisalkan b = −t2, c = −1

2 , dan ψ(n) = t2/√n sehingga limn→∞ t

2/√n = 0 dan

limn→∞

[1 +

t2

n+

t3

n3/2

]−n/2= et

2/2.

Contoh 4.3.3. Misal Yn berdistribusi B(n, p) dan untuk setiap n mean dari Yn adalahsama yaitu µ = np. Akan ditentukan distribusi asimtotik dari distribusi binomial denganp = µ/n, dengan cara mencari limit dari mgf

M(t;n) = E[etYn ] =[(1− p) + pet

]n=

[1 +

µ(et − 1)

n

]n, −∞ < t <∞

Dengan memisalkan b = µ(et − 1), c = 1 dan ψ(n) = 0, maka dari persamaan (1) dapatdiperoleh

limn→∞

M(t;n) = eµ(et−1), −∞ < t <∞,

4

Nunung Nurhayati Teori Peluang (PAM 2231)-Unsoed

yang tidak lain merupakan bentuk mgf dari distribusi Poisson dengan parameter µ.Dengan demikian, dapat disimpulkan bahwa untuk n → ∞, distribusi B(n, p) dapatdiaproksimasi oleh distribusi Poisson dengan parameter µ = np.

Sebagai ilustrasi, jika Y berdistribusi B(n, p) dengan n = 50 dan p = 125 maka

P (Y ≤ 1) =

(24

25

)50

+ 50

(1

25

)(24

25

)49

= 0, 400

Peluang tersebut juga dapat dihitung melalui aproksimasi distribusi Poisson yaitu denganmemisalkan µ = np = 2, sehingga

P (Y ≤ 1) = e−2 + 2e−2 = 0, 406. �

Contoh 4.3.4. Misal Zn berdistribusi χ2(n). Akan ditunjukkan bahwa distribusi limitdari Yn = (Zn − n)/

√2n adalah N(0, 1).

Diketahui Yn = (Zn − n)/√

2n, maka mgf dari Yn

M(t;n) = E[etYn ] = E

[exp

{t

(Zn − n√

2n

)}]= etn/

√2nE[etZn/

√2n]

= exp

[−

(t

√2

n

)(n2

)](1− 2

t√2n

)−n/2, t <

√2n

2.

Bentuk mgf ini juga dapat ditulis sebagai

M(t;n) =

(et√

2/n − t√

2

net√

2/n

)−n/2, t <

√2n

2.

Menurut rumus Taylor, terdapat bilangan ξ(n), antara 0 dan t√

2/n, sehingga

et√

2/n = 1 + t

√2

n+

1

2

(t

√2

n

)2

+eξ(n)

6

(t

√2

n

)3

.

Akibatnya,

M(t;n) =

(1− t2

n+ψ(n)

n

)−n/2,

dengan

ψ(n) =

√2t3eξ(n)

3√n

−√

2t3√n− 2t4eξ(n)

3n.

Karena ξ(n)→ 0 ketika n→∞, maka limn→∞ ψ(n) = 0 untuk setiap nilai t.

Dari persamaan (1) dapat diperoleh

limn→∞

M(t;n) = et2/2, −∞ < t <∞.

5

Nunung Nurhayati Teori Peluang (PAM 2231)-Unsoed

Karena bentuk pada ruas kanan merupakan mgf dari distribusi normal standar, makadapat disimpulkan bahwa distribusi asimtotik dari Yn = (Zn − n)/

√2n adalah normal

standar. �

Latihan

Soal No.1-11, 18, 19 (Hogg, dkk., hal 218-220).

4.4 Teorema Limit Pusat

Pada Subbab 3.4 telah dibahas bahwa jika X1, X2, . . . , Xn sampel acak dari distribusiN(µ, σ2) maka variabel acak (Xn − µ)/(σ/

√n) berdistribusi N(0, 1). Permasalahannya

bagaimana perilaku variabel acak tersebut jika distribusi asalnya sembarang? Jawaban-nya dapat ditemukan pada teorema limit pusat.

Teorema 3 (Teorema Limit Pusat) Misal X1, X2, . . . , Xn sampel acak dari suatu dis-tribusi dengan mean µ dan variansi σ2, maka variabel acak

Yn =Xn − µσ/√n

d−→ N(0, 1)

Bukti. Pembuktian dengan teknik mgf memerlukan asumsi tambahan, yaitu mgf M(t) =E[etX ] ada untuk −h < t < h. Dengan asumsi ini, maka fungsi

m(t) = E[et(X−µ)] = e−µtM(t)

juga ada untuk −h < t < h. Karena m(t) mgf untuk X − µ, maka m(0) = 1, m′(0) =E[X − µ] = 0, dan m′′(0) = E[(X − µ)2] = σ2.

Menurut rumus Taylor, terdapat bilangan ξ antara 0 dan t sehingga

m(t) = m(0) +m′(0)t+m′′(ξ)t2

2

= 1 +m′′(ξ)t2

2

Melalui manipulasi σ2t2/2− σ2t2/2 = 0, mgf m(t) dapat juga ditulis sebagai

m(t) = 1 +σ2t2

2+m′′(ξ)t2

2− σ2t2

2

= 1 +σ2t2

2+

[m′′(ξ)− σ2]t2

2. (2)

6

Nunung Nurhayati Teori Peluang (PAM 2231)-Unsoed

Berikut ini akan ditentukan mgf dari Yn:

Karena

Yn =Xn − µσ/√n

=

∑ni=1Xi − nµσ√n

maka mgf dari Yn dapat ditulis

M(t;n) = E[etYn ] = E

[exp

(t

∑Xi − nµσ√n

)]= E

[exp

(tX1 − µσ√n

)exp

(tX2 − µσ√n

)· · · exp

(tXn − µσ√n

)]= E

[exp

(tX1 − µσ√n

)]· · ·E

[exp

(tXn − µσ√n

)]=

{E

[exp

(tX − µσ√n

)]}=

[m

(t

σ√n

)], −h < t

σ√n< h.

Dari persamaan (2) dapat diperoleh

m

(t

σ√n

)= 1 +

t2

2n+

[m′′(ξ)− σ2]t2

2nσ2,

dengan ξ antara 0 dan t/σ√n dengan −hσ

√n < t < hσ

√n. Akibatnya

M(t;n) =

{1 +

t2

2n+

[m′′(ξ)− σ2]t2

2nσ2

}nKarena m′′(t) kontinu di t = 0 dan karena ξ → 0 ketika n→∞, maka

limn→∞

[m′′(ξ)− σ2] = 0.

Dari persamaan (1) dapat diperoleh

limn→∞

M(t;n) = et2/2, −∞ < t <∞

yang tidak lain merupakan mgf dari distribusi normal standar. Jadi dapat disimpulkanbahwa

Yn =Xn − µσ/√n

d−→ N(0, 1). �

Dengan adanya teorema limit pusat maka distribusi rata-rata sampel X yang berasaldari distribusi apapun dapat didekati (diaproksimasi) oleh distribusi normal. Berartiperhitungan peluang atau penentuan selang kepercayaan dari X juga dapat didekatioleh peluang distribusi normal.

7

Nunung Nurhayati Teori Peluang (PAM 2231)-Unsoed

Contoh 4.4.1. Misal X rata-rata dari sampel acak berukuran n = 75 dari distribusiuniform

f(x) =

{1, 0 < x < 10, x lainnya.

Karena µ = 12 dan variansi σ2 = 1

12 , maka

P (0, 45 < X < 0, 55) ≈ P(

0, 45− µσ/√n

< Z <0, 55− µσ/√n

)= P (−1.5 < Z < 1.5)

= P (Z < 1.5)− P (Z < −1, 5)

= 0, 9332− (1− 0, 9332)

= 0, 8664.

Contoh 4.4.2. Misal X1, X2, . . . , Xn sampel acak dari distribusi B(1, p). Di sini µ = pdan σ2 = p(1− p). Telah diketahui di Subbab 3.1 bahwa jika Yn = X1 + . . .+Xn makaYn berdistribusi B(n, p). Karena

Yn − np√np(1− p)

=√n

Xn − p√np(1− p)

=Xn − µσ/√n

konvergen dalam distribusi ke N(0, 1), maka Yn yang berdistribusi B(n, p) dapat didekatioleh distribusi N(µ, σ2) dengan µ = np dan σ2 = np(1−p). Distribusi normal yang terjadihanya untuk sampel besar disebut distribusi normal asimtotik.

Contoh 4.4.3. Misal Y berdistribusi B(n, p) dengan n = 100 dan p = 12 . Karena

µ = np = 50 dan σ2 = np(1 − p) = 25 atau σ = 5, maka dari Contoh 4.4.2 dapatdihitung

P (Y = 48, 49, 50, 51, 52) = P (47, 5 < Y < 52, 5)

≈ P(

47, 5− 50

5< Z <

52, 5− 50

5

)= P (−0, 5 < Z < 0, 5) = 0, 382.

Di sini titik Y = 47, 5 dan Y = 52, 5 disebut angka koreksi kekontinuan.

Latihan

Soal No.1-12 (Hogg, dkk., hal 225-226).

8