Teorema de la funcion inversa para funciones de lipschitz

Enero 4 - 6 II WIMFA 2012

Topicos de Analisis Real: Teorema de la FuncionInversa

Dany Nina Huaman1

dany 3003@hotmail.com,Universidad Nacional del Callao, Peru

Resumen

En este trabajo vamos a enunciar y desarrollar el famoso teoremade la Funcion Inversa guıandonos de [1], para posteriormente tratarde debilitar las condiciones a fin de llegar a casos analogos, como parael caso en que la funcion sea de Lipschitz (no derivable).

1. Introduccion

Fue en el ano de 1770, cuando J.L. Lagrange enuncio un teorema conocidocomo el Teorema de Inversion de Lagrange, el cual fue una de las primerasversiones del teorema conocido actualmente como Teorema de la FuncionInversa. Tambien en estos artıculos Lagrange probo el Teorema de la FuncionImplıcita como un caso particular de su teorema. Estos trabajos de Lagrangefueron muy bien utilizados para el estudio de la Mecanica Celestial, el cual eramuy estudiado en esa epoca. Cabe mencionar que el Teorema de la FuncionInversa contribuyo en el mejoramiento de la Teorıa de Variedades en Rn, estoultimo por las teorıas desarrollada por Dini.

Sean U, V ⊂ Rn abiertos.Un difeomorfismo f : U −→ V como se sabees una aplicacion biyectiva diferenciable cuya inversa es tambien diferencia-ble.Un homeomorfismo diferenciable puede tener inversa que no es diferencia-ble como ejemplo f : R −→ R ; f(x) = x3 es un homeomorfismo diferenciablesin que su inversa sea diferenciable.

Un resultado nos dice que si f es un difeomorfismo entonces se cumpleque f ′(x) : Rn −→ Rn es un isomorfismo, o sea det(f ′(x)) 6= 0, ∀x ∈ U .Es natural averiguar bajo que condiciones se cumple el recıproco en vista aesta respuesta se enuncia el Teorema de la Funcion Inversa que nos dice quebajo cierta condiciones hay un difeomorfismo local. Pero se podra debilitarlas condiciones(como por ejemplo para la funcion se convexa, de lipschizt,etc) de modo que se cumpla el recıproco.

1Bach.

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2. Desarrollo del trabajo

Preliminares

Lema 2.1. Sea H : Rn 7−→ Rn una transformacion lineal es invertible si ysolo si existe c > 0 tal que |H.x| ≥ c |x| para todo x ∈ Rn

Demostracion.- Supongamos que H es invertible y sea c =1

‖H−1‖, para

todo x ∈ Rn tenemos |x| =∣∣H−1(HX)

∣∣ ≤ ∥∥H−1∥∥ |Hx| =

1

c|Hx|, |x| ≤

1

c|Hx|, c |x| ≤ |Hx| Ası tenemos |Hx| ≥ c |x| para todo x ∈ Rn

En la demostracion del reciproco como |Hx| ≥ c |x|para todo x ∈ Rn

sea x, y ∈ Rn tales que Hx = Hy, entonces para H(x− y) = 0 se cumpleque 0 = |H(x− y)| ≥ c |x− y| ası vemos que x = y por lo que H es inyectivay como va de Rn en Rn es sobreyectiva por lo que posee inversa �

Como ejemplo tenemos que para A =

(3 00 3

)es una matriz invertible

donde la constante c puede ser 2 cumpliendose que |Ax| ≥ 2 |x|

Y si A =

(1 00 0

)el cual es una matriz no invertible vamos a verificar

que no cumple con el resultado del teorema para c > 0 existe x = (1,1

c) tal

que |Ax| < c |x|

Definicion 2.1. Denotemos por L(Rn) el conjunto de funciones lineales aco-tadas A : Rn −→ Rn

Proposicion 2.1. Dado A ∈ Rn con ‖I − A‖ < 1. Entonces A es invertibley la inversa es dada por:

A−1 =∞∑

k=0

(I − A)k = I + (I − A) + (I − A)2 + · · ·+, satisfaciendo :

∥∥A−1∥∥ ≤ 1

1− ‖I − A‖,

mas aun si 0 < ρ < 1 y ‖A− I‖ , ‖B − I‖ ≤ ρ implica∥∥A−1 −B−1

∥∥ ≤1

1− ρ‖A−B‖

Demostracion.- como siempre se cumple que∥∥(I − A)k

∥∥ ≤ ‖I − A‖k y

dado que ‖I − A‖ < 1, entonces existe la serie+∞∑k=0

(I − A)k,

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dado B =+∞∑k=0

(I − A)k, tenemos que B ≤+∞∑k=0

‖I − A‖k =1

1− ‖I − A‖,

ahora comprobaremos que B es la inversa de A

AB =∞∑

k=0

A(I − A)k =∞∑

k=0

(I − (I − A))(I − A)k

=∞∑

k=0

(I − A)k −∞∑

k=0

(I − A)k+1 = I.

De forma analoga BA = I, por lo que B = A−1

Si ‖A− I‖ , ‖B − I‖ ≤ ρ, como B ≤+∞∑k=0

‖I − A‖k =1

1− ‖I − A‖en-

tonces

‖A−1‖, ‖B−1‖ ≤ 1

1− ρ, de ahı

‖A−1 −B−1‖ = ‖A−1(B − A)B−1‖ ≤ ‖A−1‖ ‖B−1‖ ‖B − A‖≤ 1

(1− ρ)2‖A−B‖ �

Proposicion 2.2. Dado A, B ∈ L(Rn). Asumiendo que A es invertible y que

B satisface ‖A−B‖ <1

‖A−1‖, entonces B es invertible y satisface:∥∥B−1

∥∥ ≤ A−1

1− ‖A−1‖ ‖A−B‖,∥∥B−1 − A−1

∥∥ ≤ ‖A−1‖2 ‖B − A‖1− ‖A−1‖ ‖A−B‖

, ademas

el conjunto de funciones lineales invertible de Rn en Rn es abierto en L(Rn)y la funcion : A 7−→ A−1 es continua en ese conjunto

Demostracion.- Vemos que B = A− (A−B) = A(I − A−1(A−B))

Pero ‖A−1(A−B)‖ ≤ ‖A−1‖ ‖A−B‖ < 1, por la prosicion 2.1 tenemosque

I − A−1(A−B) es invertible y ademas :∥∥(I − A−1(A−B))−1∥∥ ≤ 1

1− ‖A−1(A−B)‖≤ 1

1− ‖A−1‖ ‖A−B‖,

como B = A(I − A−1(A − B)), se ve que es el producto de funcioneslineales invertibles , por lo que B−1 = (I − A−1(A−B))−1A−1, obteniendo

‖B−1‖ ≤ ‖(IX − A−1(A−B))−1‖ ‖A−1‖

≤ ‖A−1‖1− ‖A−1‖ ‖A−B‖

Como A−1 −B−1 = A−1(B − A)B−1, entonces

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‖A−1 −B−1‖ ≤ ‖A−1‖ ‖A−B‖ ‖B−1‖

≤ ‖A−1‖2 ‖B − A‖1− ‖A−1‖ ‖A−B‖

�

Para A =

(3 00 3

)cuya matriz inverza es A−1 =

1

30

01

3

se tiene

que para c =1

3y para toda matriz B ∈ R2×2 satisfaciendo |B − A| < c = 1/3

implica que B es invertible

Para la matriz A =

(1 00 0

)el cual no es invertible tenemos que para

c > 0 siempre es posible encontrar una matriz B que no sea invertible tal

que |B − A| < c , en efecto tomando B =

(c2

+ 1 00 0

)ası tenemos que

|A−B| = Sup|x|=1 |(A−B)x| = c

2< c y como vemos B no posee inversa

Proposicion 2.3. Dado U ⊂ L(Rn), U es el conjunto de elemento in-vertibles, si definimos

f : U −→ L(Rn)X −→ f(X) = X−1

Entonces f es diferenciable para A ∈ U y la derivada

f ′(A) : L(Rn) −→ L(Rn)V −→ f ′(A)V = −A−1V A−1

Demostracion.-Dado L : L(Rn) −→ L(Rn), es una funcional linealLV = −A−1V A−1, para X ∈ Uf(X)− f(A)− L(X − A) = X−1 − A−1 + A−1(X − A)A−1

= X−1(A−X)A−1 + A−1(X − A)A−1

= (−X−1 + A−1)(X − A)A−1

= X−1(X − A)A−1(X − A)A−1

Tomando norma y propiedades de norma‖f(X)− f(A)− L(X − A)‖ ≤ ‖X−1‖ ‖A−1‖2 ‖X − A‖2

La funcion lineal : X −→ X−1 es continua, por proposicion 2.2entonces lım

X−→AX−1 = A−1, ası tenemos que

lımX−→A

‖f(X)− f(A)− L(X − A)‖‖X − A‖

≤ lımX−→A

∥∥X−1∥∥∥∥A−1

∥∥2 ‖X − A‖ = 0

Por lo tanto f es diferenciable �

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Lema 2.2. Dado A ⊂ Rn es un rectangulo y dado f : A −→ Rn es continu-amente diferenciable. Si hay un numero M tal que |Djf

i(x)| ≤ M para todox ∈ int(A) entonces |f(x)− f(y)| ≤ n2M |x− y| ∀x, y ∈ A

Demostracion.- Sean x, y ∈ A

x = (x1, x2, · · · , xn)y = (y1, y2, · · · , yn)

Ası tenemos:

f(y)− f(x) = f(y1, x2, · · · , xn)− f(x1, x2, · · · , xn)++ f(y1, y2, x3, · · · , xn)− f(y1, x2, x3, · · · , xn)++ f(y1, y2, y3, x4, · · · , xn)− f(y1, y2, x3, · · · , xn)+

...+ f(y1, y2, y3, · · · , yn)− f(y1, x2, · · · , xn)

f i(y)− f i(x) =n∑

j=1

[f i(y1, y2, · · · , yj, xj+1, · · · , xn)− f i(y1, y2, · · · , yj−1, xj, · · · , xn)

]Definamos

ϕj(t) : [0, 1] −→ Rt −→ f i(y1, · · · , yj−1, txj − (1− t)yj, xj+1, · · · , xn)

Por teorema del Valor medio existe zij ∈ [xj, yj] tal queϕj(1)− ϕj(0) = ϕ′j(zij) = (yj − xj)Djf

i(zij), entonces

f i(y1, y2, · · · , yj, xj+1, · · · , xn) − f i(y1, y2, · · · , yj−1, xj, · · · , xn) = (yj −xj)Djf

i(zij), de ahı

|f i(y)− f i(x)| ≤n∑

j=1

∣∣f i(y1, y2, · · · , yj, xj+1, · · · , xn)− f i(y1, y2, · · · , yj−1, xj, · · · , xn)∣∣

|f i(y)− f i(x)| ≤n∑

j=1

|yj − xj|∣∣Djf

i(zij)∣∣ ≤ n∑

j=1

M |y − x|

|f i(y)− f i(x)| ≤ Mn |y − x||f(y)− f(x)| ≤ Mn2 |y − x|

�

Lema 2.3. Una matriz m×n tiene inversa a la izquierda si y solo si, sus vec-tores columnas son l.i y tiene inversa a la derecha si, y solo si, esos vectorescolumnas generan Rn

Demostracion.- Sea A : Rn −→ Rm una transformacion lineal representa-da por una matriz en sus bases canonicas por A la cual el conjunto de susvectores columnas son L.I ası A =

(v1 v2 · · · vn

)donde vi ∈ Rm para

i ∈ {1, 2, ..., n} y ademas son L.I, veamos que A es inyectiva , en efecto sea

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x =

x1

x2...

xn

si Ax = 0, entonces(

v1 v2 · · · vn

)

x1

x2...

xn

= 0

, como los vectores {vi} son L.Ixi = 0x = 0por lo que A es inyectiva y por lo tanto posee una inversa a la izquierdaReciprocamente si A posee inversa a la izquierda entonces por resultados

de algebra A es inyectiva ası sea A =(

v1 v2 · · · vn

)la representacion

matricial de A en las bases canonicas donde v1, v2, ...vn ∈ Rm ası para

x1, ..., xn ∈ R tal quen∑

i=1

xivi = 0 equivale a(

v1 v2 · · · vn

)

x1

x2...

xn

= 0

lo que equivale a Ax = 0 con x =

x1

x2...

xn

y como A es inyectiva x = 0

ası tenemos que xi = 0 para {1, 2, ..., n} por lo tanto {v1, v2, ..., vn} son L.IDe forma analoga se prueba lo que falta �

Teorema 2.4. Si f tiene un maximo o mınimo local en a, donde

f : U −→ R, con Rn, entonces∂f(a)

∂xi

= 0 para i ∈ {1, 2, ..., n}

Demostracion.- Como U es abierto existe δ > 0 tal que Bδ(a) ⊂ U ;definamos

ϕi(t) : [−δ, δ] −→ Rt −→ ϕi(t) = f(a + tei); i ∈ {1, 2, . . . , n}

tenemos∂f

∂xi

(a) = ϕ′i(0), como ϕi(0) = f(a) y ϕi(0) es un maximo local

ϕ′i(0) = 0, ası∂f

∂xj

(a) = 0, para todo j ∈ {1, 2, . . . , n} �

Teorema 2.5. Sea K ⊂ Rn compacto y F ⊂ Rn cerrado, entonces existex0 ∈ K e y0 ∈ F tal que d(K, F ) = |x0 − y0|. En particular, si K ∩ F = φ,

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entonces d(K,F ) > 0

Demostracion.- Como d(K, F ) = inf{|x− y| /x ∈ K, y ∈ F} existe unasucesion tal que

lımk−→∞

|xk − yk| = d(K, F ) donde xk ∈ K, yk ∈ F , ası |yk| ≤ |yk − xk| +|xk|, como xk ∈ K,

|xk| es acotado, como ası |yk| es acotado por Teorema de BolzanoWeierstrass existe una subsucesion de {yk} que converge analogamente tam-bien existe otra subsucesion de xk que converge , ası existe {xnk

}, {ynk} que

convergen a x0 y y0 respectivamente ademas como K y F son cerrados x0 ∈ K, y0 ∈ F ası lım

k−→∞|xnk

− ynk| = |x0 − y0|, por lo que d(K,F ) = |x0 − y0| y

como K ∩ F = Φ se tiene que d(K, F ) > 0 �La condicion de que al menos uno de los dos conjuntos K, F sea com-

pacto es muy importante, pues si ninguno es compacto puede ocurrir qued(K, F ) = 0, veamos por ejemplo sea K = {(x, 0) ∈ R2/x ∈ R} el cual es

cerrado tambien sea G = {(x,1

x) ∈ R2/x > 0} es un conjunto cerrado se ve

claramente que K ∩ F = Φ pero d(K, F ) = 0

Definicion 2.2. Sea X es un espacio vectorial normado. Una funcionf : X → X se dice que es una contraccion (o simplemente contraccion)si existe k, con 0 < k < 1, tal que ‖f(x)− f(y)‖ ≤ k ‖x− y‖ para todox, y ∈ X.

Lema 2.4. Sea X un espacio de Banach. Si F es un subespacio cerrado deX, entonces F es un espacio de Banach.

Demostracion: Sea X un espacio de Banach y F un subespacio cerrado.Si

{xk}k∈N es una sucesion de Cauchy en X, y por lo tanto existe x ∈ X talque

lımk→+∞

xk = x. Puesto que F es un subconjunto cerrado de X, concluimos

quex ∈ F , por lo que se tiene que, cada sucesion de Cauchy en F converge

a unelemento de F . �

Teorema 2.6. (Teorema Del punto fijo de Banach) Sea F un subcon-junto cerrado de un espacio de Banach X y sea T una contraccion de F enF . Entonces existe un unico x∗ ∈ F tal que Tx∗ = x∗.

Demostracion. Sea c, con 0 < c < 1, tal que

‖T (x)− T (y)‖ ≤ c ‖x− y‖

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para todo x, y ∈ F .Sea x0 un punto arbitrario en F y definamos la sucesion{xk}k∈N tal que xk = Txk−1. Mostraremos que xk es una sucesion de Cauchy. Primero observemos que para cada k ∈ N,

‖xk+1 − xk‖ ≤ c ‖xk − xk−1‖ ≤ c2 ‖xk−1 − xk−2‖ ≤ · · · ≤ cn ‖x1 − x0‖

Para m < k, tenemos‖xk − xm‖ ≤ ‖xk − xk−1‖+ ‖xk−1 − xk−2‖+ · · ·+ ‖xm+1 − xm‖

≤ ck−1 ‖x1 − x0‖+ ck−2 ‖x1 − x0‖+ · · ·+ cm ‖x1 − x0‖= (ck−1 + ck−2 + · · · cm) ‖x1 − x0‖≤ cm

1− c‖x1 − x0‖

Dado que lımm→+∞

cm

1− k= 0, {xk}k∈N es una sucesion de Cauchy.Como F

es un subconjunto cerrado de un espacio de Banach, existe x∗ ∈ F tal quelım

k→+∞= x∗ (esto es por el lema 2.4).Ahora queremos mostrar que x∗ es el

unico punto tal que Tx∗ = x∗. Notemos que lımk→+∞

xk = lımk→+∞

Txk−1, por la

continuidad de T, se tiene que lımk→+∞

xk = T ( lımk→+∞

xk−1), entonces x∗ = Tx∗.

Supongamos que ahora que existe w ∈ F tal que Tw = w. Entonces se tieneque

‖x∗ − w‖ = ‖Tx∗ − Tw‖ ≤ c ‖x∗ − w‖

Dado que 0 < c < 1, se tiene que ‖x∗ − w‖ = 0, lo cual implica que x∗ = w.�

Teorema de la Funcion Inversa

Teorema 2.7. Supongamos que f : Rn −→ Rn es continuamente diferencia-ble en un conjunto abierto que contiene a ”a”, det(f ′(a)) 6= 0, entonces existeun abierto V que contiene a ”a”, y un conjunto W abierto que contiene af(a) tal que :

a) f : V −→ W tiene inversa continua

b) f−1 : W −→ V es diferenciable y para todo y ∈ W se cumple :

(f−1)′(y) =[f ′(f−1(y))

]−1

Demostracion.- Para la demostracion de este teorema vamos a seguir lospasos del Spivak en [1]

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Parte a)Como f es diferenciable en a ∈ A (donde A =dominio de f donde es

continuamente diferenciable), entonces

f(x) = f(a) + f ′(a).(x− a) + r(x) |x− a|, donde lımx−→a

r(x) = 0

Por el lema 2.1 existe c > 0 tal que |f ′(a).x| ≥ c |x| para todo x ∈ Rn,como lım

x−→ar(x) = 0 para c > 0 existe δ0 > 0 tal que 0 < |x− a| < δ0, x ∈ A

tal que |r(x)| < c

2, ası para a 6= x ∈ B(a, δ0) ∩ A, tenemos:

f(x)− f(a) = f ′(a)(x− a) + r(x) |x− a|

|f(x)− f(a)| = |f ′(a)(x− a) + r(x) |x− a|| ≥ |f ′(a)(x− a)| − |r(x)| |x− a|

|f(x)− f(a)| ≥ c |x− a| − c

2|x− a|, esto ultimo es por el lema 2.1 y la

continuidad de r(x), ası tenemos que |f(x)− f(a)| ≥ c|x− a|

2> 0, pues

x 6= a, por lo que f(x) 6= f(a) llamemos U1 = B(a, δ0) ∩ A, ası:

f(x) 6= f(a),∀x ∈ U1 \ {a} (1)

Ahora como f es continuamente diferenciable (esto es f ′ : B −→ L(Rn; Rn)es continua). Como det(f ′(a)) 6= 0 entonces f ′(a) pertenece al conjunto deelementos invertibles de L(Rn) y como por el proposicion 2.3 los elementosinvertibles de L(Rn) es abierto , tenemos que existe ε0 > 0 tal que para todoA ∈ L(Rn) y ‖A− f ′(a)‖ < ε0 entonces

A es invertible (2)

Usemos la continuidad de f ′, para ε0 > 0 existe δ1 > 0 tal que x ∈ A,0 < |x− a| < δ implica que ‖f ′(x)− f ′(a)‖ < ε0 de aqui por (2.1) tenemosque f ′(x)) posee inversa, lo que quiere decir que para cualquier x ∈ U2 =A ∩B(a, δ1) tenemos:

det(f ′(x)) 6= 0 (3)

Como f ′ es continua, parac

2n2(donde c =

1

‖f ′(a)−1‖) existe δ2 > 0 tal

que x ∈ A, 0 < |x− a| < δ2 entonces ‖f ′(a)− f ′(x)‖ <c

2n2, para ej =

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(0, ..., 0, 1, 0, ..., 0) tenemos que

‖(f ′(a)− f ′(x))ej‖ ≤ supw∈Rn\0

|(f ′(a)− f ′(x))w||w|

<c

2n2

De aquı |Djf(a)−Djf(x)| = |(f ′(a)− f ′(x))ej| <c

2n2como la norma

euclideana es mayor o igual que cada de sus componentes en valor absolutotenemos que para todo i, j ∈ {1, 2, ..., n}, ∀x ∈ A ∩B(a, δ2) = U3∣∣Djf

i(a)−Djfi(x)

∣∣ <c

2n2(4)

llamemos U4 = U1 ∩ U2 ∩ U3 de U4 podemos obtener un rectangulo cerradoque contenga a a en su interior al cual llamaremos U , ası de (1),(3) y (4)tenemos que para todo x ∈ U se cumple:

1. f(x) 6= f(a), x 6= a

2. det(f ′(x)) 6= 0

3. |Djfi(a)−Djf

i(x)| < c

2n2, para todo i, j ∈ {1, 2, ..., n}

Tomando g(x) = f(x)− f ′(a).x

Vemos que |Djgi(x)| = |Djf

i(x)−Djfi(a)| < c

2n2esto ultimo es por (4),

ası tenemos que |Djgi(x)| < c

2n2de esta ultima desigualdad por el lema 2.2

tenemos que

|g(x1)− g(x2)| ≤ n2(c

2n2) |x1 − x2|

|(f(x1)− f ′(a)x1)− (f(x2)− f ′(a)x2)| ≤ c |x1 − x2|2

|(f(x1)− f(x2))− (f ′(a)x1 − f ′(a)x2)| ≤ c |x1 − x2|2

|f ′(a)(x1 − x2)| − |f(x1)− f(x2)| ≤ c |x1 − x2|2

c |x1 − x2| − |f(x1)− f(x2)| ≤ c |x1 − x2|2

c |x1 − x2|2

≤ |f(x1)− f(x2)|

|x1 − x2| ≤2

c|f(x1)− f(x2)| (5)

Como U es acotado, ∂U es compacto y como a ∈ int(U), entoncesa /∈ ∂U ,entonces por teorema 2.5 existe d > 0 tal que

|f(a)− f(x)| > d ∀x ∈ ∂U (6)

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Definamos W = {y; |y − f(a)| < d

2} si y ∈ W , x ∈ ∂U entonces:

|y − f(a)| < d

2< d ≤ |f(a)− f(x)|

|y − f(a)| < |f(a)− f(x)| (7)

Afirmacion: Para y ∈ W existe un unico x ∈ int(U) tal que f(x) = y.

Definamos g :−→ Rx −→ g(x)

donde g(x) = |y − f(x)|2 =n∑

i=1

(yi − f i(x))2 esto para y fijo pero arbi-

trario, como g es continua y U es compacto, entonces g tiene mınimo en U .Sea x ∈ ∂U por (7) g(a) = |y − f(a)|2 < |f(x)− f(a)|2 = g(x) entoncesg(a) < g(x), ası el mınimo de g no es tomado en ∂U , esto quiere decir que elmınimo de g en U pertenece al interior de U , por el teorema 2.4 Djg(x) = 0∀j ∈ {1, 2, ..., n} lo que significa que:

n∑i=1

(yi − f i(x))Djfi(x) = 0 (8)

D1fi

...Dnf

i

es el i-esimo vector columna de f ′(x)

En (8) tomando αi = 2(yi − f i(x)) tenemosn∑

i=1

αiDjfi(x) = 0 lo que es

equivalente an∑

i=1

αiDf i(x) = 0 como f ′(x) es invertible por el lema 2.3 los

vectores columnas {Df i(x)} son l.i entonces αi = 0 para todo i ∈ {1, 2, ..., n}ası tenemos que

αi = 2(yi − f i(x)) = 0

yi = f i(x)y = f(x)

Supongamos que existe z ∈ U tal que y = f(z), entonces por (5) tenemos

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|z − x| ≤ 2

c|f(z)− f(x)|

|z − x| ≤ 2

c|y − y|

|z − x| ≤ 0

Ası llegamos a que z = x, por lo que x es unico. Sea V = [int(U)]∩f−1(W ), dela afirmacion tenemos que f : V −→ W tiene inversa igual a f−1 : W −→ V ,

f−1(y) = x, donde x = mınw∈W

|y − f(w)|2, ahora vamos a demostrar que

f−1 es continua.De (5) |x1 − x2| ≤ 2

c|f(x1)− f(x2)| en particular para x1 = f−1(y1), x2 =

f−1(y2) para y1, y2 ∈ W , tenemos∣∣f−1(y1)− f−1(y2)∣∣ ≤ 2

c|y1 − y2| (9)

Vemos de (9) que f−1 es de Lipschitz en W por lo que es continua.

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Para la parte b), Por definicion de diferenciabilidad y usando la con-tinuidad de f ′ tenemos que f−1 es diferenciable y

(f−1)′(y) =[f ′(f−1(y))

]−1

Teorema 2.8. (Teorema de Funcion Inversa para Funciones deLipschitz)Dado B(a, r0) es una bola cerrada en Rn. Dado f : B(a, r0) −→ Rn, unafuncion lineal invertible L : Rn −→ Rn y para ρ < 1 , para x2, x1 ∈ B(a, r0)∣∣L−1f(x2)− L−1f(x1)− (x2 − x1)

∣∣ ≤ ρ |x2 − x1| (10)

Entonces para todo x1, x2 ∈ B(a, r0)

1− ρ

‖L−1‖|x2 − x1| ≤ |f(x2)− f(x1)| ≤ ‖L‖ (1 + ρ) |x2 − x1| (11)

Este f es inyectivo sobre B(x0, r0).Tambien la restriccion f |B(a,r0) : B(a, r0) 7−→ Rn, en el abierto B(a, r0)

es una funcion abierta tal que V = f(B(a, r0)) es un abierto en Rn.f : B(a, r0) −→ V es un lipeomorfismo y V contiene el abierto B(f(a), r1),

donde

r1 = βr0, β =1− ρ

‖L−1‖(12)

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Si x1 ∈ B(a, r0) se cumple que

B(f(x1), β(r0 − |x1 − a|)) ⊂ V (13)

Demostracion.- Para x1, x2 ∈ B(a, r0)|f(x2)− f(x1)| ≤ ‖L‖ |L−1(f(x2)− f(x1))|

≤ ‖L‖ |L−1f(x2)− L−1f(x1)|

≤ ‖L‖ (|L−1f(x2)− L−1f(x1)− (x2 − x1) + (x2 − x1)|)

≤ ‖L‖ (|L−1f(x2)− L−1f(x1)− (x2 − x1)|+ |x2 − x1|) , de (10)

|f(x2)− f(x1)| ≤ (ρ |x2 − x1|+ |x2 − x1|)

≤ ‖L‖ (ρ + 1) |x2 − x1| esta es la desigualdad superior de (11)Tambien

|x2 − x1| ≤ |L−1f(x2)− L−1f(x1)− (x2 − x1)|+ |L−1f(x2)− L−1f(x1)|

|x2 − x1| ≤ ρ |x2 − x1|+ ‖L−1‖ |f(x2)− f(x1)|

(1− ρ) |x2 − x1| ≤ ‖L−1‖ |f(x2)− f(x1)|

1− ρ

‖L−1‖|x2 − x1| ≤ |f(x2)− f(x1)| , esta desigualdad es la parte inferior de (11)

Obteniendo la desigualdad (11)

1− ρ

‖L−1‖|x2 − x1| ≤ |f(x2)− f(x1)| ≤ ‖L‖ (1 + ρ) |x2 − x1| (14)

Para y ∈ Rn definimos φy : B(a, r0) −→ Rn

x −→ φy(x) = x− L−1(f(x)− y)

Entonces: φy(x) = x si y solo si f(x) = y (15)

Como la condicion de (10) implica que para todo x1, x2 ∈ B(a, r0)|φy(x)− φy(x)| = |L−1f(x2)− L−1f(x1)− (x2 − x1)| ≤ ρ |x2 − x1|

Por lo tanto φy es una contraccion. Si β y r1 son definidos como en (12). Parax ∈ B(a, r0), y ∈ B(f(a), r1) tenemos |x− a| ≤ r0;

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|y − f(a)| ≤ r1 = βr0 =1− ρ

r 0

∥∥L−1∥∥, para x ∈ B(a, r0); y ∈ B(f(a, r1))

|a− φy(x)| = |a− x− L−1(f(x)− y)|

≤ |a− x− L−1(f(x)− f(a))|+ |L−1(y − f(a))|

≤ ρ |x− a|+ ‖L−1‖ |y − f(a)|

≤ ρr0 +∥∥L−1

∥∥ (1− ρ)r0

‖L−1‖= r0

|a− φy(x)| ≤ r0

Vemos que si y ∈ B(a, r1), entonces φy : B(a, r0) −→ B(a, r0), como φy

es una contraccion, por el teorema 2.6 (teorema del punto fijo de Banach ) φy

debe tener un unico punto fijo en B(a, r0). Por la equivalencia de (15) estoimplica que para y ∈ B(f(a), r1) existe un unico x ∈ B(a, r0) con f(x) = y,mostrando que B(f(a), r1) ⊂ f(B(a, r0)). Pero si |f(x)− f(a)| < r1 entonces(usando la definicion de β en (12) ) tenemos que por (14)

β |x− a| ≤ |f(x)− f(a)| < r1

|x− a| <r1

β= r0

Esto muestra que si y ∈ B(f(x0), r1), x ∈ B(x0, r0); B(x0, r1) y f(x) = yentonces x ∈ B(x0, r0). Ademas B(f(a, r1)) ⊂ f(B(a, r0))Para x1 ∈ B(x0, r0),denotando a = x1; r0 = r0 − |x1 − a|, (B(x0, r0) ⊂ f(B(x1, r0 − |x1 − a|)))

B(f(x1), β(r0 − |x1 − a|)) ⊂ f([B(x1, r0 − |x1 − a|)]) ⊂ V ,donde V = f(B(a, r0)). Esto prueba (13). Si y ∈ V entonces existe x ∈B(a, r0) con f(x) = y. Pero tambien B(y, β(r0−|x1 − a|)) ⊂ V esto nos diceque V es abierto como f |B(a,r0)es inyectiva, ası tenemos que

ϕ = (f |B(a,r0))−1 existe y tenemos que por la desigualdad (14) obtenida

anteriormente1− ρ

‖L−1‖|x2 − x1| ≤ |f(x2)− f(x1)| ≤ ‖L‖ (1 + ρ) |x2 − x1|

1− ρ

‖L−1‖|ϕ(y2)− ϕ(y1)| ≤ |y2 − y1| ≤ ‖L‖ (1 + ρ) |ϕy2 − ϕy1|

de aquı obtenemos que1

‖L‖ (1 + ρ)|y2 − y1| ≤ |ϕ(y2)− ϕ(y1)| y

|ϕ(y2)− ϕ(y1)| ≤‖L−1‖1− ρ

|y2 − y1| juntando ambas desigualdades tenemos

que1

‖L‖ (1 + ρ)|y2 − y1| ≤ |ϕ(y2)− ϕ(y1)| ≤

‖L−1‖1− ρ

|y2 − y1|

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Lo que nos garantiza que f |B(a,r0) y su inversa son lipschitzianas, por loque f |B(a,r0) es un lipeomorfismo, como tambien una funcion abierta.

3. Resultados

Entre los resultados mas relevantes de prueba del Teorema de la Funcion

Inversa de [1] utiliza el hecho de que |Djfi(a)−Djf

i(x)| <c

2n2llegando a

que |f(x2)− f(x1)− (f ′(a)x2 − f ′(a)x1)| ≤c

2|x2 − x1| con lo que demuestra

que f−1 es continua y mas adelante diferenciable. Mientras que cuando la fun-cion solo es de Lipschitz necesitamos como hipotesis adicional de un funcionlineal invertible L : Rn −→ Rn tal que |L−1f(x2)− L−1f(x1)− (x2 − x1)| ≤ρ |x2 − x1| , con 0 < ρ < 1 para llegar a que la inversa de f es de Lipschitz

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4. Conclusiones

Hemos enunciado un Teorema parecido al Teorema de la funcion Inver-sa, cuando la funcion es de Lipschitz las cuales no siempre son diferen-ciables

Hemos comprendido con mas detalle el Teorema de la Funcion Inversael cual es estudiado en los cursos basicos de pregrado , ası como unpoco de su historia

Referencias

[1] Michael Spivak, Calculus on Manifold, New York, 1965.

[2] Erwin Kreyszig, Introductory Functional Analysis with Applications,New York, 1978.

[3] Elon Lages Lima, Curso de Analise,Volumen 2, 1929

[4] Elon Lages Lima, Algebra Lineal, IMCA, 1998.

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