Funcion inversa trigonometria

INVERSA DE UNA FUNCIÓN

Función y función inversa guía y ejercicios

Héctor Zúñiga 516249Adolfo Avila 516221

Eduardo Fanjon 516236

INTRODUCCIÓN

Una función es una regla de correspondencia entre dos conjuntos de tal manera que a cada

elemento del primer conjunto le corresponde uno y sólo un elemento del segundo conjunto.

Pensando en esto, hoy:

Verificaremos si una función es 1-1

Hallaremos su inversa

Utilizaremos la composición de funciones para determinar que dos funciones son inversas.

FUNCIÓN 1-1

FUNCIÓN INYECTIVA

¿CÓMO DETERMINAR SI ES UNA FUNCIÓN…

...EN UNA TABLA DE VALORES?

x y

2 4

1 2

0 1

-1 ½

-2 ¼

Aquí es solamente observando el dominio. Será una función si los

valores del dominio no se repiten.No olvides Dominio: x Recorrido: y

Es función

x y

2 -3

1 -1

0 1

-1 3

-2 5Es

función

x y

2 1

1 2

1 3

0 4

-1 5

x y

3 -6

1 2

0 3

-1 2

-3 -6Es

funciónNo es

funciónRepite el dominio

1

1


...EN LOS CONJUNTOS?

Será una función si para cada elemento del dominio existe un solo

elemento en el recorrido.No olvides Dominio: x Recorrido: y

Es funciónPara cada elemento del

dominio hay un elemento en el recorrido.

No es funciónFíjate que un elemento del dominio tiene dos

valores en el recorrido.

0

-22

13

1-2

f (x)0

2

10

-13

2

g (x)

A B C


Si al pasar la línea vertical sobre las gráficas, esta sólo las interseca en un solo punto a la vez podremos

concluir que son funciones.Las gráficas A y C son funciones.

...EN UNA GRÁFICA?

Es función

Es función

No es función

Línea vertical toca en más de 1 punto

CONTESTA LO SIGUIENTE

Estas gráficas, ¿serán funciones?

Sí, pues cumplen con el análisis de la línea vertical.

¿Recuerdas cómo se llaman cada una de ellas?

Cuadrática(Parábola)

Valor absoluto

¿QUÉ ES UNA FUNCIÓN 1-1?

Es la característica de aquellas funciones que poseen un solo valor del dominio para un solo valor del

recorrido. Una sola x para una sola y. De ahí proviene el nombre 1-1.

ES UNA FUNCIÓN INYECTIVA

Si tenemos una tabla de valores de una función podremos decir que es una función inyectiva o 1-1, si no existen

valores repetidos en el recorrido.Pero si lo que tenemos es la gráfica de

una función podremos hacer un análisis con la línea horizontal.

PRUEBA DE LA LÍNEA HORIZONTAL

Haremos un proceso similar a la línea vertical pero ahora será con la

línea horizontal. Si toda línea horizontal que se dibuje sobre la

gráfica la interseca en no más de un punto, decimos que es función

inyectiva ó 1-1.

PARA SABER SI ES UNA FUNCIÓN 1-1

Es función 1-1No es función 1-1

FUNCIÓN INVERSA

f -1(x)

Esto NO REPRESENTA

un exponente

ANALIZA LO SIGUIENTE

Si las siguientes tablas corresponden a dos funciones 1-1

(inyectivas), ¿qué puedes decir con relación a sus dominios y

recorridos?

x y

2 4

1 2

0 1

-1 ½

-2 ¼

x y

4 2

2 1

1 0

½ -1

¼ -2

Los elementos del dominio y recorrido

están intercambiados.

Es decir, la Función B es la inversa de

la A.

Función A Función B

2

1

-1

-2

0

2

1

-1

-2

0

4

2

½

¼

1

4

2

½

¼

1

2

1

-1

-2

0

4

2

½

¼

1

¿QUÉ IMPORTANCIA TIENE LA FUNCIÓN 1-1?

Si una función es 1-1 entonces tiene función inversa. La función inversa consiste en intercambiar entre sí el conjunto del dominio y el recorrido.

Si una función tiene inversa se puede escribir así:

f -1 ó f -1(x) se lee “inversa de f ”

Halla la inversa de la función, si existe.

1) f(x) = {(1,2), (2, 4), (3, 9)}

Ejemplos:

2) g(x) = {(1,2), (2, 4), (3, 2)}

f -1(x) = {(2,1), (4, 2), (9, 3)}

g(x) no es 1-1, no tiene g-1

CALCULANDO LA FUNCIÓN INVERSA

Como hemos visto anteriormente, conseguir la función inversa en

funciones definidas por su conjunto de dominio y recorrido es muy fácil. Pero ¿qué hacemos para calcular f -1

si la función está definida por una ecuación?

EN FUNCIONES DEFINIDAS POR ECUACIONES

Método para calcular la inversa de una función:

1. Sustituye f(x) por y.

2. Intercambia entre ellas todas las x y las y.

3. Despeja para y.

4. Sustituye y por f -1(x).

CALCULANDO LA FUNCIÓN INVERSA

Para comprobar si la función inversa es correcta, solo tienes que hacer la

composición de ambas funciones[ f (x) y f -1(x) ] en cualquier orden.

Si todo está correcto debes obtener la función identidad:

f o f -1 = x y f -1 o f = x

EN FUNCIONES DEFINIDAS POR ECUACIONES

Si dibujamos ambas gráficas podrías observar que f -1 tiene una gráfica que es el reflejo de la función original, a lo largo de la

recta y = x, con el mismo dominio.

LA GRÁFICA DE LA FUNCIÓN INVERSA

La gráfica de f -1 es una reflexión de f con respecto a la recta y = x. f -1 es la imagen espejo de f

ESTA IMAGEN FUE CREADA CON GEOGEBRA

En este caso f (x) inicia en (2, 0). Por lo tanto su f -1

tiene que iniciar en ese par ordenado pero invertido (0, 2).

EJEMPLOS

Halla la inversa de cada función y comprueba:

12)( )1 xxf

211

21

)(

21

12

12

x

x

xf

y

yx

yx

xy

x

x

ffffx

11

1)(2

)( o

21

11

Comprobación

Como la comprobación es la identidad entonces, es una función inversa

EJEMPLOS


132)( )2

xxxf

x

ffff

xx

x

x

xx

xxx

xxx

xx

xx

xx

xx

xxxx

51

15

2)(3)(

11

15

15

12232

13332

1)1(2

132

1)1(3

132

132132

)( o

Comprobación

Existe la identidad entonces, es una función inversa2

31

23

132

1)(32

)(

3)2(

32

32

32)1(

xx

xx

yy

xx

xf

y

xxy

xyxy

yxxy

yyx

x

y

Recuerda en f (x), x ≠ 1

; si x ≠ 2

EJEMPLOS


1)( )3 xxf

x

x

x

x

ffff

2

2

2

11

11

1)1(

)( o

Comprobación

El resultado fue la identidad por lo tanto, la inversa calculada está correcta.

1)(

1

1

1

1

1

21

2

2

22

xxf

yx

yx

yx

yx

xy

Recuerda en f (x) , x ≥ 1

EJERCICIOS DE PRÁCTICA

4)( )9

)( )7

1)( )5

)( )3

12)( )1

121

3

432

xxf

xf

xxf

xf

xxf

x

x

Escribe la función inversa y comprueba

2)( )10

)( )8

)( )6

)( )4

2.01)( )2

381

13

73

xxf

xxf

xf

xf

xxf

xx

x

No olvides limitar el valor de la x donde aplique.

EJERCICIOS DE PRÁCTICA

TRAZAR Y CONSTRUIR GRÁFICAS DE FUNCIONES INVERSAS

Luego de observar los vídeos anteriores podrás utilizar el programado GEOGEBRA para trazar y construir las gráficas de las funciones inversas de los ejercicios anteriores.

Si no tienes este programado lo puedes bajar completamente gratis en la dirección de Internet que aparece en las referencias.

REFERENCIAS

http://juanpomales.blogspot.com/

Para mas informacion sobre funciones inversas.

Visite nuestro BlogCURSO:

Trigonometria 4to semestre.

Héctor Zúñiga Capistran 516249

Eduardo Ortega Fanjón 516236Adolfo Ávila 516221

http://matematicasmagico.blogspot.com/ /



Documents

Funcion inversa trigonometria