View
170
Download
19
Category
Preview:
DESCRIPTION
Teorija elektri;nih kola ya rje[avanje vremenski promjenljivih elektri;nih kola
Citation preview
SADRZAJ
UVOD 9
1.1 Osnovni pojmovi i definicije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2 Podjela elemenata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3 Ulazna i izlazna snaga elementa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4 Uslov pasivnosti elementa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.5 Rezistivni elementi sa jednim pristupom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.5.1 Klasifikacija otpornika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.5.2 Otpornost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.5.3 Ulazna snaga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.5.4 Uslov pasivnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.5.5 Ulazna snaga i uslov pasivnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.6 Otvorena i kratka veza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.7 Idealna dioda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.7.1 Osobine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.8 Idealni naponski generator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.8.1 Definicija i karakteristike . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.8.2 Osobine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.9 Strujni generator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.9.1 Definicija i karakteristike . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.9.2 Osobine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.10 Singularni element . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.10.1 Nulator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.10.2 Norator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.11 Kapacitivni elementi sa jednim pristupom - kondenzatori . . . . . . . . . . . . 23
1.11.1 Klasifikacija kondenzatora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.11.2 Kapacitivnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.11.3 Akumulisana energija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.11.4 Ulozena energija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.11.5 Uslov pasivnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.11.6 Teorema o neprekidnosti napona kondenzatora . . . . . . . . . . . . . . 27
1
2
1.11.7 Akumulisana i ulozena energija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.11.8 Uslov pasivnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.12 Induktivni elementi sa jednim pristupom - kalemovi . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.12.1 Klasifikacija kalemova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.12.2 Napon kalema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.12.3 Akumulisana energija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.12.4 Ulozena energija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.12.5 Uslov pasivnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.12.6 Linearan vremenski nepromjenljiv kalem . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.12.7 Teorema o neprekidnosti struje kalema . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.12.8 Akumulisana i ulozena energija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.12.9 Uslov pasivnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.13 Rezistivni elementi sa dva pristupa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.13.1 Definicija elemenata sa dva pristupa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.13.2 Rezistivni elementi sa dva pristupa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.13.3 Klasifikacija rezistivnih elemenata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.14 Zavisni ili kontrolisani izvori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
ELEMENTI TEORIJE GRAFOVA I ANALIZA ELEKTRICNIH KOLA 40
2.1 Uvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.2 Graf mreze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.3 Topološke matrice grafa elektricnog kola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.3.1 Matrica kontura Ba∼
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.3.2 Matrica nezavisnih kontura B∼
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.3.3 Matrica skupova (presjeka) Qa∼
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.3.4 Matrica nezavisnih presjeka (snopova) Qn×b∼
. . . . . . . . . . . . . . . 50
2.3.5 Matrica cvorova (incidencije) Aa∼
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.4 Veze izmeu topoloških matrica. Centralna topološka teorema . . . . . . . . . 55
2.5 Kirhofovi zakoni i nezavisne promjenljive elektricnog kola . . . . . . . . . . . . 62
2.6 Karakteristike elemenata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
EKSITACIJE U ELEKTRICNIM KOLIMA 70
3.1 Osnovni vremenski oblici eksitacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.1.1 Hevisajdova funkcija (Heviside function) . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.1.2 Funkcija sgnt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.1.3 Funkcija pa(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.1.4 Usponska funkcija r(at) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.1.5 Hevisajdov naponski i strujni generator . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.1.6 Predstavljanje nekih eksitacija H-ovom funkcijom . . . . . . . 76
3
3.2 Predstavljanje proizvoljne funkcije preko zbira Heaviside-ove funkcije . . . . . 82
3.3 Prostoperiodicna eksitacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.3.1 Periodicna (slozenoperiodicna) funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3.4 Pseudoperiodicna eksitacija -prigušena periodicna eksitacija . . . . . . . . . . 84
3.5 Impulsna funkcija i eksitacija (Dirakova funkcija) . . . . . . . . . . . . . . . . 87
3.6 Predstavljanje eksitacija impulsnom funkcijom . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
3.7 Impulsne funkcije višeg reda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
3.8 Svojstvo odabiranja impulsne funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
3.9 Osobine D-ove impulsne funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
3.9.1 Aproksimacije D-ove impulsne funkcije . . . . . . . . . . . . . . . 95
3.9.2 H-ova funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
INDUKTIVNO SPREGNUTA KOLA 96
4.1 Izvoenje jednacina linearnog transformatora razlaganjem fluksa na fluks rasi-
panja i ukupni meusobni fluks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.2 Savršeni transformator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
4.3 Prikaz linearnog transformatora preko savršenog transformatora . . . . . . . . 102
4.4 Idealni transformator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
4.4.1 Snage idealnog transformatora i posledice . . . . . . . . . . . . . . . . 106
4.5 Ekvivalentne šeme linearnog preko idealnog transformatora. . . . . . . . . . . 108
USTALJENI SLOZENOPERIODICNI REZIM 117
5.1 Kompleksni oblik Furijeovog reda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
5.2 Veza izmeu slozenoperiodicne funkcije i koeficijenata njenog Furijeovog reda . 124
5.3 Funkcija odabiranja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
5.4 Analiza kola sa slozenoperiodicnim strujama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
5.4.1 Efektivna vrijednost slozenoperiodicnih velicina . . . . . . . . . . . . . 133
5.4.2 Analiza elektricnih kola sa slozenoperiodicnim strujama i naponima . . 136
5.4.3 Snage u kolu slozenoperiodicnih velicina . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
MREZE SA DVA PARA KRAJEVA 144
6.1 Uvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
6.2 Jednacine i parametri mreza sa dva para krajeva . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
6.3 Ulazne impedanse otvorene i kratko spojene mreze . . . . . . . . . . . . . . . . 155
6.4 Simetricne mreze sa dva pristupa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
6.5 Sekundarni parametri mreza sa dva pristupa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
6.6 Transmitansa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
6.6.1 Prenosna funkcija napona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
6.6.2 Prenosna funkcija struje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
4
6.6.3 Prenosna funkcija mreze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
6.7 Izbor sekundarnih parametara . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
6.8 Karakteristicni parametri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
6.9 Iterativni parametri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
6.10 Imaz parametri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
6.11 Specijalne mreze sa dva para krajeva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
6.11.1 "T" - mreza sa dva para krajeva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
6.11.2 Karakteristicni parametri simetricne "T" mreze . . . . . . . . . . . . . 176
6.11.3 "Π" mreza sa dva para krajeva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
6.11.4 Karakteristicni parametri simetricne "Π" mreze . . . . . . . . . . . . . 178
6.11.5 Rešetkasta mreza sa dva para krajeva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
6.11.6 Karakteristicni parametri simetricne rešetkaste mreze . . . . . . . . . . 181
6.11.7 Premoštena "T" mreza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
6.11.8 Karakteristicni parametri simetricne premoštene "T" mreze . . . . . . 182
6.11.9 "L" mreza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
6.12 Ekvivalentne mreze sa dva para krajeva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
6.12.1 Ekvivalentna "Π" - mreza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
6.12.2 Ekvivalentnost "T" i "Π" mreze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
6.12.3 Ekvivalentnost simetricne "T" mreze i simetricne rešetkaste mreze . . . 191
6.12.4 Ekvivalentnost simetricne premoštene "T" mreze i simetricne "T" mreze 192
6.13 Vezivanje mreza sa dva para krajeva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
6.13.1 Redna veza mreza sa dva para krajeva . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
6.13.2 Paralelna veza mreza sa dva pristupa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
6.13.3 Redno-paralelna veza mreza sa dva pristupa . . . . . . . . . . . . . . . 199
6.13.4 Paralelno-redna veza mreza sa dva pristupa . . . . . . . . . . . . . . . 200
6.13.5 Povratna sprega (veza) mreza sa dva pristupa . . . . . . . . . . . . . . 202
6.13.6 Kaskadna veza mreza sa dva pristupa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
6.14 Konvertori impedansi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
6.15 Inverotri impedansi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
6.16 Kontrolisani izvori - T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
6.16.1 Naponom kontrolisani naponski izvor (NKNI) . . . . . . . . . . . . . . 215
6.16.2 Strujom kontrolisani naponski izvor (SKNI) . . . . . . . . . . . . . . . 216
6.16.3 Naponom kontrolisani strujni izvor (NKSI) . . . . . . . . . . . . . . . . 217
6.16.4 Strujom kontrolisani strujni izvor (SKSI) . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
6.17 Osnovne podjele konvertora i invertora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
6.17.1 Podjela konvertora: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
6.17.2 Podjela invertora: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
5
6.18 Idealni operacioni pojacavac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
6.19 Riordanov zirator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
6.20 Realni elementi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
6.21 Teorija aktivnih mreza sa dva pristupa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
6.21.1 Negativni konvertor izrazen preko kontrolisanih izvora . . . . . . . . . . 236
6.21.2 Nulator i Norator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
6.21.3 L - mreze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
6.22 FILTRI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
6.22.1 Opis i karakteristicni parametri filtra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
6.22.2 Osnovne jednacine filtra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
6.22.3 Propusni i nepropusni opseg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
6.22.4 K-filtri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
ANALIZA SLOZENIH ELEKTRICNIH KOLA 272
7.1 Metode formiranja sistema jednacina elektricnih kola . . . . . . . . . . . . . . 272
7.2 Sistemi jednacina promjenljivih grana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
7.3 Sistem jednacina struja grana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
7.4 Sistem jednacina napona grana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
7.5 Sistemi jednacina nezavisno promjenljivih . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
7.5.1 Sistem jednacina nezavisnih struja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276
7.5.2 Sistem jednacina nezavisnih napona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
7.6 Premještanje nezavisnih generatora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
7.7 Dualnost. Princip dualnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
7.7.1 Dualni grafovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280
7.8 Analiza slozenih elektricnih kola u vremenskom domenu . . . . . . . . . . . . . 286
7.9 Metod nezavisnih struja. Operatorski oblik u vremenskom domenu uzimajuci
u obzir i pocetne uslove . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
ODZIVI U ELEKTRICNIM KOLIMA 293
8.1 Klasicna metoda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
8.2 Princip superpozicije: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
8.3 Specificnosti primjene teorije diferencijalnih jednacina na linearna kola . . . . 297
8.4 Sopstveni odziv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300
8.5 Komutacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300
8.6 Opšti slucaj kola drugog reda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306
8.7 Osnovne osobine sopstvenog odziva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308
8.8 Odziv usled djelovanja generatora (odziv ukljucenja) . . . . . . . . . . . . . . 309
8.9 Odziv na impulsnu ekscitaciju . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315
8.10 Interpretacija odziva na impulsnu eksitaciju kao odziva usled akumulisane energije321
6
8.11 Izmjena pocetnih uslova pri djelovanju impulsne eksitacije . . . . . . . . . . . 324
8.12 Osobine odziva ukljucenja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325
8.13 Potpuni (kompletan) odziv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
8.13.1 Direktno rješavanje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329
8.13.2 Rješavanje superpozicijom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330
8.13.3 Opšti zakljucak za klasicnu metodu: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335
JEDNACINE STANJA - MODEL STANJA 341
9.1 Nacini rešavanja jednacina stanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345
FURIJEOVA TRANSFORMACIJA 349
10.1 Direktna Furijeova transformacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349
10.1.1 Osnovni uslovi za egzistenciju direktne Furijeve transformacije . . . . . 349
10.2 Inverzna Furijeova transformacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350
10.3 Drugi oblik za DFT i IFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351
10.4 Treci oblik za DFT i IFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352
10.5 Osobine Furijeove transformacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353
10.6 Funkcija prozora (W F ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358
10.7 Primjena Furijeove transformacije u analizi elektriocnih kola . . . . . . . . . . 364
10.8 Vrste odziva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365
10.8.1 Odziv usled akumulisane energije (pocetnih uslova) . . . . . . . . . . . 365
10.8.2 Odziv ukljucenja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365
10.8.3 Kompletan (potpun) odziv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366
LAPLASOVA TRANSFORMACIJA TRANSFORMACIJA 374
11.1 Osobine i svojstva Laplasove transformacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375
11.2 Inverzna Laplasova transformacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376
11.3 Neke Laplasove Transformacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376
11.4 Osobine Laplasove Transformacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378
11.5 Primjena Laplasove transformacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386
11.6 Metod konturnih struja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393
11.6.1 Laplasova transformacija - metod nezavisnih struja za elektricna kola
bez spregnutih elemenata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394
11.7 Metod nezavisnih napona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395
11.7.1 Laplasova transformacija - metod nezavisnih napona za elektricna kola
bez spregnutih elemenata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396
11.8 Operatorske šeme za spregnuto kolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397
7
FUNKCIJA KOLA 402
12.1 Definicija i oblik funkcije kola u kompleksnom domenu . . . . . . . . . . . . . 402
12.2 Osobine funkcije kola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406
12.3 Funkcije kola u vremenskom domenu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408
12.3.1 Indiciona funkcija kola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408
12.3.2 Grinova funkcija (impulsna karakteristika) . . . . . . . . . . . . . . . . 409
12.4 Veza izmeu funkcija kola u kompleksnom i vremenskom domenu . . . . . . . 410
12.5 Primjena funkcije kola za odreivanje ustaljenog odziva
[S-S R ] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411
12.5.1 Prostoperiodicni ustaljeni rezim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414
12.5.2 Pseudoperiodicni ustaljeni rezim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416
12.5.3 Rezonantni odziv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 420
12.5.4 Odziv u kolu kada su polovi eksitacije blizu polova funkcije kola . . . . 424
12.5.5 Odziv kada se polovi funkcije kola i eksitacije poklapaju - rezonantni odziv426
SPECIJALNE METODE RJEŠAVANJA ELEKTRICNIH KOLA 428
13.1 Odreivanje odziva ukljucenja pomocu konvolucionog integrala . . . . . . . . . 428
13.2 Odreivanje odziva ukljucenja pomocu superpozicionog (DuHamel-ov) integrala 429
VODOVI 438
14.1 Parcijalne diferencijalne jednacine voda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439
14.2 Kompleksne diferencijalne jednacine voda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441
14.3 Koeficijent prostiranja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444
14.4 Opšte rješenje kompleksnih diferencijalnih
jednacina voda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445
14.5 Neogranicen vod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447
14.5.1 Kompleksne jednacine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447
14.5.2 Efektivne vrijednosti napona i struje i njihove pocetne faze . . . . . . . 448
14.5.3 Efektivna vrijednost na mjestu x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 449
14.5.4 Pocetne faze (t = 0) na mjestu x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 449
14.5.5 Fazna razlika izmeu napona i struje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 449
14.5.6 Fazorski dijagram napona i struje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 450
14.5.7 Trenutne vrijednosti napona i struje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 450
14.6 Vod bez gubitaka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452
14.7 Vod prikljucen na vremenski konstantan izvor . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453
14.8 Vod prikljucen na izvor veoma visoke ucestanosti . . . . . . . . . . . . . . . . 453
14.9 Opšte jednacine ogranicenog voda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453
14.10Vod zatvoren proizvoljnom impedansom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455
14.11Otvoren vod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456
8
14.12Trenutne vrijednosti napona i struje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 458
14.13Vod u kratkom spoju . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 458
14.14Impedansa voda zatvorenog proizvoljnom impedansom Zp . . . . . . . . . . . 461
14.15Slucaj vrlo dugackog voda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461
14.16Vod zatvoren karakteristicnom impedansom Zp = Zc . . . . . . . . . . . . . . 462
14.17Prirodna snaga voda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463
14.18Prostiranje talasa napona i struje duz voda. Brzina prostiranja . . . . . . . . . 464
14.19Zavisnost izmeu talasne duzine i brzine prostiranja kog neogranicenog voda . 466
14.20Zavisnost v, α i β od poduznih parametara i ucestanosti . . . . . . . . . . . . 466
14.21Vod Hevisajdovog tipa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467
14.22Razlaganje napona i struje na direktnu i reflektovanu komponentu . . . . . . . 468
14.23Brzine prostiranja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469
14.24Trenutne vrijednosti direktne i reflektovane komponente . . . . . . . . . . . . . 471
14.25Ulazna impedansa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472
14.26Stojeci talasi u ogranicenom vodu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472
14.27Stojeci talasi ogranicenog voda u kratkom spoju . . . . . . . . . . . . . . . . . 474
DODATAK 477
UVOD
Bez obzira na veliku raznolikost elektrotehnickih sistema, postrojenja, ureaja i aparata
savremene elektronike i elektrotehnike u cjelini, zajednicko za sve njih je to što se u njima
odvijaju fizicki procesi koji se podcinjavaju jednim te istim zakonima elektromagnetizma. U
proizvoljnom elektrotmagnetskom sistemumi imamo posla sa kretanjem naelektrisanih cestica,
s kojim je neraskidivo povezano vremenski i prostorno promjenljivo elektromagnetsko polje.
Teorija elektromagnetskog polja je osnovna teorija koja opisuje i objašnjava fizicke procese
u elektricnim sistemima. Elektromagnetski procesi praceni su meusobnim transformisanjem
energije elektricnog i magnetskog polja ili transformisanje elektromagnestke energije u druge
vidove energije.
Tacna analiza tih procesa, koji se opisuju Maksvelovim jednacinama, zahtijeva slozeni
matematicko-teorijski aparat, jer se radi o parcijalnim diferencijalnim jednacinama. Anali-
ticko rješavanje tih jednacina predstavlja prakticno veoma slozen problem, koji se teško razr-
ješava cak i u prostim slucajevima. Ali za inzinjerske proracune i projektovanje sistema i
ureaja neophodna je kvantitativna analiza. Zato se javlja potreba za formiranjem pribliznih
metoda analize, koje bi sa dovoljnim stepenom tacnosti omogucile rješavanje širokog spek-
tra inzinjerskih zadataka. Takve metode razrauju se i u teoriji elektricnih kola kao speci-
jalan slucaj teorije elektromagnetskog polja. Ova teorija za karakterisanje elektromagnetskih
procesa umjesto diferencijalnih i vektorskih velicina elektromagnetskog polja, koje zavise od
prostornih koordinata i vremena, uvodi integralne skalarne velicine (struju, napon, snagu,
energiju, kolicina elektriciteta, magnetski fluks i dr.) koje su samo funkcije vremena.
Za priblizno predstavljanje procesa transformacije elektromagnetske energije i signala u
teoriji elektricnih kola uvode se idealizovani elementi sa dva ili više krajeva (polova) kroz koje
tece elektricna struja. Takvi elementi su na primjer: kalem ili induktivitet koji modeluje aku-
mulisanje energije u magnetskom polju, kondenzator koji modeluje akumulisanje energije u
elektricnom polju, otpornici ili rezistori pomocu kojih se uzima u obzir nereverzibilni proces
transformacije elektromagnetske energije u druge vidove energije. Za uzimanje u obzir transfor-
macije energije neelektricne prorode (hemijske, mehanicke toplotne i td.) u elektricnu energiju
uvode se elementi koji nazivamo nezavisnim izvorima (generatorima). Spajajuci meusobno
na odgovarajuci nacin te idealne elemente, dobijamo elektricno kolo, koje priblizno odrazava
elektromagnetske procese u bilo kojem sistemu, ureaju, aparatu i sl. Izdvajajuci odreene
sklopove, u kojima se ispoljavaju ove ili one osobenosti elektromagnetskog polja u svojstvu
9
10
elemenata elektricnog kola dobijamo mogucnost da koristimo teoriju elektricnih kola za izradu
novijih slozenih sklopova i ureaja koji ispunjavaju zadate funkcije.
Teorija elektricnih kola imala je i ima izuzetno brz razvoj blagodareci sledecim njenim
prednostima:
• Ona daje relativno jednotavna rješenja (dovoljne tacnosti) za veliku klasu problema
koja bi inace bila vrlo komplikovana i skoro nerješiva kada bi se koristila stroga teorija
elektromagnetskog polja.
• Mnogi korisni sistemi postaju manje komplikovani ako ih opišemo pomocu elektromag-
netskih pojava koje se dešavaju na krajevima elektricnih elemenata i komponenti koji
cine sistem.
• Teorija elektricnih kola je znacajna i po tome što je u mnogome doprinijela razvoju i
drugih inzenjersko teorijsko strucnih disciplina.
• U teoriji elektricnih kola fizicki procesi se opisuju pomocu integralnih velicina (napon,
struja, energija, rad, snaga, kolicina elektriciteta, magnetski fluks i slicno).
• Teorija elektricnih kola moze se koristiti u onim slucajevima u kojima su prostorne
dimenzije ureaja ili sistema u poreenju sa brzinom prostiranja elektromagnetskih
procesa takve da se moze smatrati da se procesi dešavaju trenutno u posmatranom sis-
temu. Za takve sisteme koristimo termin “sistem (kolo) sa kancentrisanim parametrima”
da bi smo naglasili da prostorne dimenzije sistema ne ulaze u model kola.
Da li problem pripada modelu kola ili modelu polja odreuje se na osnovu utvrivanja
talasne duzine prostiranja elektromagnetskog signala λ i prostornih dimenzija sistema.
Primjer: Ocjena granica primjenljivosti teorije elektricnih kola.
λ =v
f
gdje je: v = v0 = 3 × 108msbrzina prostiranja signala koja je jednaka brzini prostiranja
svjetlosti u vakuumu a f ucestanost signala u Hz.
a) Elektroenergetski sistemi
f = 50Hz ⇒ λ =v
f=
3× 108
50m = 6000 km
Svi ureaji, postrojenja i sl. koji imaju znatno manje prostorne dimenzije od 6000 km
mogu se analizirati pomocu teorije elektricnih kola. Vodovi za prenos elektricne energije i
signala su sistemi sa rasporeenim parametrima.
11
b) Radio sistemi
f = 109Hz ⇒ λ =v
f=
3× 108
109m = 0.3m
i u ovom slucaju se koristi model polja.
Teorija elektricnih kola sastoji se iz dvije meusobno povezane naucne discipline:
— Analize elektricnih kola.
— Sinteze elektricnih kola.
3
2
1
Slika 1.1:
U blok dijagramu prikazanom na slici 1.1. imamo sledece oznake koje predstavljaju:
1 - pobudu ili eksitaciju
2 - elektricno kolo
3 - odziv
Kod analize elektricnih kola postavka problema je: dato je 1 i 2 treba odrediti 3 .
Kod sinteze elektricnih kola postavka problema je: dato je 1 i 3 treba odrediti 2 .
Ovaj kurs posvecen je u stvari analizi elektricnih kola tj. formiranju metoda analize lin-
earnih pasivnih i aktivnih kola. Uloga teorije elektricnih kola kao cjeline za inzenjere elek-
trotehnicke struke je neobicno velika. Ona definiše vaznije pojmove i analiticki aparat, koji
se koristi za proracun i dizajn ne samo elektrotehnickih sistema vec i drugih fizicko-tehnickih
sistema. Znanje steceno u okviru kursa teorije elektricnih kola je neophodno za uspješno us-
vajanje i savladavanje sadrzaja svih strucnih disciplina. Ono je neophodno takoe za uspješan
rad savremenih inzenjera pri istrazivanju, proracunu i projektovanju novih ureaja i sistema.
Teorija elektricnih kola formira temelj na kojem se bazira sva profesionalna i stvaralacka dje-
latnost savremenog inzenjera elektrotehnicke struke. Garancija uspjeha u ovoj djelatnosti je
dobro ovladavanje aparatom i metodama analize i sinteze elektricnih kola i umijece njihove
primjene za rješavanje prakticnih problema.
12
1.1 Osnovni pojmovi i definicije
Element elektricnog kola jeste osnovni dio kola koji vrši odreenu funkciju. Element moze
biti prost (iz jednog sastavnog dijela, npr. otpornik, kalem, kondenzator, dioda i slicno) ili
slozen (iz više sastavnih djelova, npr. integrisano kolo, transformator i slicno), ali takav da
se ne moze razloziti a da pri tome ne izgubi svoju osnovnu funkciju. Element ima izvedene
krajeve (prikljucke) pomocu kojih se vezuje za druge elemente u kolu. Krajevi elemenata se
nazivaju i cvorovima. Elementi eleketricnih kola su idealizovani modeli za opisivanje nekih
fizickih procesa u djelovima realnih elektricnih sistema. Elementi kojima se bavi teorija elek-
tricnih kola, predstavljaju idealizovane modele fizickih komponenti. Idealizacija se vrši na
taj nacin što se fizickim komponentama zadrzavaju samo osnovne (dominantne) funkcije a
zanemaruju ostale uzgredne pojave. Tako se, na primjer, kalem uzima kao element u kome se
samo akumuliše magnetska energija. Isto tako, kondenzator se smatra elementom za akumu-
laciju elektricne energije. Idealizovani elementi se uvode da bi se uprostila analiza elektricnih
kola. Prevashodni cilj idealizovanja jeste da se zadrze samo osnovni faktori koji opisuju, sa
zadovoljavajucom tacnošcu, suštinu pojava i procesa u sistemu.
1.2 Podjela elemenata
Klasifikacija (podjela) elemenata moze se vršiti na razne nacine, zavisno od usvojenih kriteri-
juma. Na osnovu broja prikljucaka (krajeva) odnosno na osnovu pristupa, elementi mogu biti
sa dva kraja (sa jednim pristupom), sa tri kraja (najviše sa dva nezavisna pristupa) i elementi
sa više krajeva (pristupa) i oni su prikazani na slici 1.2.
1 1′ 1
1′
2
2′
1
1′
n
n ′
)a )b )c
Slika 1.2: a) Element sa dva kraja ili sa jednim pristupom (otpornik, kalem, kondenzator i dr.);b) Element sa cetiri kraja ili sa dva pristupa (dva para krajeva); c) Element sa n - pristupa
Na osnovu fizickih procesa koji se odvijaju u elementu moze se vršiti druga znacajna pod-
jela. U realnom, fizickom elementu se uvijek jednovremeno dešavaju razni procesi. Svaki
realan element mozemo modelovati (manje ili više uspješno) pomocu idealizovanih elemenata
kod kojih smatramo da se dešava samo jedan fizicki proces: nepovratni “gubitak” energije, aku-
mulisanje magnetske energije i stvaranje magnetskog polja, odnosno akumulisanje elektricne
13
energije i stvaranje elektricnog polja. Navedeni idealizovani elementi se nazivaju rezistivnim,
induktivnim i kapacititvnim, respektivno. Ovi elmenti se mogu opisati algebarskim relacijama
izmeu elektricnih velicina na pristupima i to na sledeci nacin:
1. Rezistivni elementi su opisani algebarskim vezama napona ui i struje ii na pristupima.
Za element sa jednim pristupom ta je relacija oblika:
F (ui, ii; t) = 0
Za posmatrani rezistivni element napon i struja na pristupu nijesu nezavisni, vec moraju
zadovoljiti gornju relaciju. Ta relacija, dakle, karakteriše posmatrani element te se krace
naziva karakteristikom elementa. Ako se karakteristika ne mijenja sa vremenom ona
je oblika:
F (ui, ii) = 0
Rezistivni elementi nemaju sposobnost akumulisanja energije. Oni se nazivaju i ned-
inamickim elementima, ili elementima bez memorije. Ako se jednacina karakteristike
moze napisati u obliku u = f(i, t) za rezistivni elemet kazemo da je kontrolisan strujom.
Ako se karakteristika jednacine moze napisati u obliku i = g(u, t) za rezistivni element
kazemo da je kontrolisan naponom.
2. Induktivni elementi su opisani algebarskim vezama izmeu struja ij i magnetskih fluk-
seva Φj na pristupima. Za element sa jednim pristupom ta relacija, koja predstavlja
karakteristiku induktivnog elementa je oblika:
F (Φj, ij; t) = 0
Sa prakticnog stanovišta je prakticnije uspostaviti vezu izmeu napona i struje na pris-
tupu. Kako je uj =dΦj
dt, to je napon na pristupu induktivnog elementa odreen izvodom
struje pristupa po vremenu. Ova karakteristika moze se pisati i kao:
Φ = f(i, t)
i = g(Φ, t)
3. Kapacitivni elementi su opisani algebarskim relacijama izmeu napona uk i kolicina
elektriciteta qk na pristupima. Za element sa jednim pristupom, ta je relacija oblika:
F (qk, uk; t) = 0
što predstavlja karakteristiku kapacitivnog elementa. I ovdje je pogodnije uspostaviti
14
vezu izmeu napona i struje na pristupu. Kako je struja odreena sa ik = dqkdt, struja
kapacitivnog elementa ce, znaci, zavisiti od izvoda napona elementa po vremenu.
Induktivni i kapacitivni elementi imaju sposobnost akumulisanja energije, a nazivaju se još
i elementima sa memorijom, odnosno dinamickim elementima. Na sledecem dijagramu (slika
1.3.) simbolicki je prikazana odgovarajuca (algebarska) veza izmeu elektricnih velicina koje
karakterišu navedene elemente.
REZISTIVNI
MEMRISTORI
KA
PA
CIT
IVN
I
IND
UK
TIV
NI
u i
Φq
Slika 1.3: Podjela elemenata prema fizickim procesima u njima
Primijetimo da u praksi nijesu poznati elementi koji bi bili opisani algebarskom vezomΦ−q.
Njih je uveo C. L. O. 1971. godine za teorijska uopštavanja u teoriji elektricnih kola. Kao
što smo vidjeli, karakteristike elemenata mogu biti promjenljive sa vremenom. Takve elemente
nazivamo vremenski promjenljivim. Ako se karakteristika ne mijenja sa vremenom, takvi
elementi su vremenski nepromjenljivi. Za vremenski promjenljive/nepromjenljive elemente
koriste se i termini vremenski varijantni/invarijantni kao i nestacionarni/stacionarni.
Algebarske relacije koje opisiju element mogu biti linearne i nelinearne. Podjela eleme-
nata se moze vršiti i na osnovu drugih kriterijuma: na osnovu pasivnosti, reciprocnosti i slicno
o cemu ce rijeci biti u narednim izlaganjima. Saglasno vrsti elemenata od kojih je formirano
elektricno kolo povezano sa nezavisnim izvorima (generatorima) vrši se i njihova podjela:
— Rezistivna kola, ako u njima postoje samo rezistivni elementi. Ako ima i drugih eleme-
nata rijec je o dinamickoj mrezi.
— Linearna kola, ako su sastavljena samo od linearnih elemenata. U protivnom kolo je
nelinearno.
— Vremenski nepromjenljiva kola, ako sadrze samo vremenski nepromjenljive elemente. U
protivnom kolo je vremenski promjenljivo.
— Pasivno kolo, ako sadrzi samo pasivne elemente. Kolo koje nije pasivno aktivno je.
15
u
i
Slika 1.4: Referentni smjerovi napona i struje
— Kola sa koncentrisanim parametrima, ako sadrze samo elemente sa koncentrisanim para-
metrima, tacnije, ako su dimenzije kola mnogo manje od odgovarajuce talasne duzine
primijenjenih signala u kolu. U protivnom rijec je o kolu sa rasporeenim parametrima.
Elektricno kolopredstavlja konacan skup meusobno povezanih elemenata u kome se vrši
izmjena energije izmeu njihovih elemenata. Na pristupu elementa posmatramo dvije pot-
puno definisane velicine: napon i struju. Struja predstavlja protok kolicine elektriciteta kroz
element. Struja na jednom kraju jednaka je po intenzitetu struji na drugom kraju. Napon
elementa jednak je razlici potencijala izmeu njegovih krajeva. Naponu i struji pripisuju se
referentni (pozitivni) smjerovi. Referentni smjer struje prikazuje se strelicom a referentni sm-
jer napona znakom + na jednom kraju. Referentni smjerovi napona i struje su nezavisni jedan
od drugog i mogu se proizvoljno birati. Iz prakticnih razloga je, meutim, korisno primijeniti
usaglašene (pridruzene) referentne smjerove kao što je to prikazano na slici ?? U tom slucaju
se smatra da je znak + (plus), koji odreuje referentni smjer za napon, na kraju od njega je
usmjerena strelica za struju.
1.3 Ulazna i izlazna snaga elementa
Za pridruzene referentne smjerove za struju i napon, ulazna snaga elementa sa jednim pris-
tupom je data proizvodom napona i struje:
p(t) = u(t)i(t)
Snaga predstavlja brzinu kojom se ulaze elektricni rad u element. Ulozeni rad od trenutka t0
do trenutka t dat je sledecom relacijom:
a(t0, t) =
t∫
t0
p(τ )dτ =
t∫
t0
u(τ )i(τ)dτ
Kada je ulazna snaga negativna, element ne prima, vec daje energiju. U tom slucaju se moze
odrediti izlazna snaga, tj. brzina kojom se daje energija. Ona je jednaka negativnoj vrijednosti
ulazne snage:
pi(t) = −p = (−u)i = u(−i)
16
1.4 Uslov pasivnosti elementa
Za proizvoljni element kazemo da je pasivan ako je ulozena energija u njega uvijek nenegativna
tj:
w(t) =
t∫
−∞
p(τ )dτ =
t0∫
−∞
p(τ )dτ +
t∫
t0
p(τ )dτ = w(t0) + a(t0, t) ≥ 0 (1.1)
i to:
1. Za svaki trenutak vremena t0.
2. Za svaki trenutak t ≥ t0.
3. Za sve vremenske varijacije napona i struje.
U relaciji (1.1) je: w(t0) - akumulisana energija elementa u trenutku t = 0; a(t0, t) - ulozeni
rad koji se spolja ulaze u element u intervali od t0 do t ≥ t0. Element koji nije pasivan je
aktivan.
1.5 Rezistivni elementi sa jednim pristupom
Osnovni predstavnik ovih elemenata je otpornik ili rezistor. Njegov graficki simbol je
ili .
1.5.1 Klasifikacija otpornika
Imamo cetiri osnovna tipa otpornika koji su prikazani na slici 1.5 i to:
)a )b )c )d
Slika 1.5: Tipovi otpornika
1. Linearni vremenski nepromjenljiv otpornik - slika 1.5a) .
2. Linearni vremenski promjenljiv otpornik - slika 1.5b).
3. Nelinearni vremenski nepromjenljiv otpornik - slika 1.5c).
4. Nelinearni vremenski promjenljiv otpornik - slika 1.5d).
17
1.5.2 Otpornost
Otpornost otpornika je njegov osnovni parametar i u opštem slucaju definisan je parcijalnim
izvodom:
R =∂u
∂i= R(u, i, t)
Ona je predstavljena koeficijentom pravca tangente u odgovarajucoj tacki karakteristike
R = tanα što je prikazano na slici 1.6. U opštem slucaju otpornost zavisi od vrijednosti
napona i struje kao i vremena.
u
i
α
P
0
Slika 1.6:
1.5.3 Ulazna snaga
Ulazna snaga otpornika je data proizvodom p(t) = u(t)i(t). Ona je predstavljena šrafiranim
pravougaonikom koji koordinate radne tacke P obrazuju u trenutku t i ravni i−u karakteristike
prema slici 1.7. Radna tacka P odgovara vrijednostima napona i struje na pristupu otpornika.
Kada je otpornik kontrolisan strujom, snaga se moze izraziti u obliku:
u
i
α
P
0 ( )i t
( )u t
Slika 1.7:
p(t) = f(i, t)i(t)
a kada je kontrolisan naponom u obliku:
p(t) = u(t)g(u, t)
18
Ulozena energija u otpornik od trenutka t0 do trenutka t izrazava se po sledecem obrazcu:
a(t0, t) =
t∫
t0
p(τ )dτ =
t∫
t0
u(τ )i(τ)dτ
1.5.4 Uslov pasivnosti
Rezistivni element je pasivan, ako je ulozena energija u njega a(t0, t) ≥ 0 i to za svaki pocetni
trenutak t0, za svako t ≥ t0 i za sve vremenske varijacije napona i struje. Navedeni uslov
bice zadovoljen, ako i samo ako je ulazna snaga u svakom trenutku i za sve moguce varijacije
vrijednosti napona i struje p(t) = u(t)i(t) ≥ 0. Jer kada je ovaj uslov zadovoljen, navedeni
integral sigurno nije negativan i obrnuto, ako ovaj integral nije negativan za svako t0 i t, ne
moze ni snaga p(t) biti negativna ni u kakvom intervalu (t1, t2). u Protivnom slucaju on bi
bio negativan tj:t2∫
t1
p(τ)dτ < 0
što je u suprotnosti sa postavljenim uslovima. Stoga pasivan otpornik nikad ne odaje energiju.
Rezistivan element koji nije pasivan naziva se aktivnim. Kada je radna tacka na karakteristici
u I i III kvadrantu i − u ravni, ulazna snaga je pozitivna. Kada je ona u II i IV kvadrantu
snaga je negativna. Stoga je otpornik pasivan, ako i samo ako mu se karakteristika nalazi u
svakom trenutku u I i III kvadrantu, ukljucujuci u njih i koordinatne ose (slika 1.8).U ovom
u
i0
u
i0
)a )b
Slika 1.8: Uslov pasivnosti: a) pasivan otpornik; b) aktivan otpornik
kursu mi cemo raditi uglavnom sa linearnim, vremenski nepromjenljivim otpornicima. Njihova
karakteristika je linearna funkcija (slika 1.9.)
u = Ri
i = Gu
19
u
i
u
i0
α
Slika 1.9:
G - je provodnost i ona je jednaka G = 1
R.
R =∂u
∂i= tanα
1.5.5 Ulazna snaga i uslov pasivnosti
p(t) = Ri2 = Gu2
a(t0, t) = R
t∫
t0
i2(τ)dτ = G
t∫
t0
u2(τ )dτ
što je ekvivalentno uslovu R ≥ 0. Drugim rijecima, potreban i dovoljan uslov da ovakav
otpornik bude pasivan jeste da nema negativnu otpornost.
1.6 Otvorena i kratka veza
Otvorena veza je element sa jednim pristupom, cija struja ima vrijednost nula za svaku vri-
jednost napona (slika 1.10.).Karakteristika otvorene veze se poklapa sa osom napona. Njena
u
i
u
i0
Slika 1.10:
jednacina je i = 0. Otpornost ovog elementa je R = ∞ a provodnost G = 0. Stoga se otvorena
veza moze smatrati linearnim vremenski nepromjenljivim otpornikom. Ulazna snaga otvorene
veze je u bilo kom trenutku p = ui = 0, te ovaj element spada u grupu pasivnih elemenata.
20
Kratka veza je element sa jednim pristupom, ciji napon ima vrijednost nulu za svaku vri-
jednost struje (slika 1.11.).Karakteristika kratke veze poklapa se osom struje. Njena jednacina
u
i
u
i0
Slika 1.11:
je u = 0. Kratka veza se moze smatrati linearnim vremenski nepromjenljivim otpornikom
R = 0. Njena provodnost je G = ∞. Ulazna snaga kratke veze je u bilo kom trenutku takoe
p = ui = 0.Stoga je kratka veza pasivni element.
1.7 Idealna dioda
Idealna dioda je element sa jednim pristupom, koji se za pozitivne struje ponaša kao kratka
veza. Za negativnu struju se ponaša kao otvorena veza, jer napon moze da uzme bilo koju
negativnu vrijednost. Pri tome se podrazumijeva da su usvojeni oni referentni smjerovi, koji su
uobicajeni za element sa jednim pristupom. Negativne struje nedopušta. Idealna dioda je fik-
tivni element i predstavlja idealizovani model elektronske cijevi diode. Predstavlja se grafickim
simbolom prikazanim na slici 1.12. Karakteristika idealne diode sastoji se iz pozitivnog dijela
u
i
u
i0
Slika 1.12:
ose struje i negativnog dijela ose napona.
1.7.1 Osobine
Idealna dioda spada u grupu nelinearnih vremenski nepromjenljivih rezistivnih elemenata.
Ona nije ni strujom ni naponom kontrolisana. Za i = 0, napon moze imati svaku vrijednost
kojanije pozitivna. Takoe, za u = 0 struja moze imati svaku vrijednost koja nije negativna.
21
1.8 Idealni naponski generator
1.8.1 Definicija i karakteristike
Naponski generator je element koji ima na svome pristupu specificiranu varijaciju napona,
nezavisno od struje. Ova varijacija moze biti i konstantna. Naponski generator je fiktivni
element, koji se koristi za obrazovanje modela fizickih generatora. Tako naponski generator
konstantnog napona, predstavlja idealizovani model elektricne baterije sa vrlo malom un-
utrašnjom otpornošcu. Šematski prikaz ovog elementa je prikazan na slici 1.13.Karakteristika
u
i
( )gu t
u
i
E
Slika 1.13:
naponskog generatora je u opštem slucaju promjenljiva, ali uvijek prava paralelna osi struje
(slika 1.14.). Njena jednacina je u(t) = ug(t). Parametar ovog elementa je njegov napon
ug(t).Kratka veza se moze interpretirati kao naponski generator nultog napona.
u
i
1( )gu t1( )t
2( )t
3( )t
0
Slika 1.14:
1.8.2 Osobine
Naponski generator je nelinearan element, jer mu karakteristika ne prolazi kroz koordinatni
pocetak. U opštem slucaju naponski generator je vremenski promjenljiv element, jer mu se
karakteristika mijenja po odreenom zakonu sa vremenom. Kada se ug(t) mijenja po prostope-
riodicnom zakonu i generator je prostoperiodican. Kada je ug(t) konstantno i generator je
konstantan ili jednosmjeran. Naponski generator je aktivan element, jer mu karakteristika
prolazi kroz drugi ili cetrvti kvadrant. To je element koji daje energiju ostalim elementima sa
kojim je povezan. Stoga za ovaj element obicno odreujemo izlaznu snagu pg = ugi. Otpornost
idealnog naponskog generatora je nula u svim tackama karakteristike.
22
1.9 Strujni generator
1.9.1 Definicija i karakteristike
Strujni generator je element koji na svome pristupu ima specificiranu vremensku varijaciju
struje, nezavisnu od napona. Ova varijacija moze biti i konstantna. Strujni generator je
takoe fiktivan element, koji se koristi za obrazovanje modela fizickih generatora. Strujni gen-
erator, konstantne struje je idealizovani model elektricne baterije sa vrlo velikom unutrašnjom
otpornošcu. Šematski prikaz strujnog generatora je dat na slici 1.15. Karakteristika stru-
u
i
( )gi t
Slika 1.15:
jnog generatora je promjenljiva prava paralelna osi napona. Njeno rastojanje od ove ose
mijenja se po odreenom zakonu sa vremenom (slika 1.16.). Jednacina ove karakteristike je
i(t) = ig(t).Parametar strujnog generatora je baš njegova struja ig(t).Otvorena veza se moze
u
i
1( )t2( )t3( )t
0
1( )gi t
Slika 1.16:
interpretirati i kao strujni generator nulte struje.
1.9.2 Osobine
I strujni generato je, kao i naponski, nelinearni element. On je vremenski promjenljiv element
u opštem slucaju. Kada se ig(t) mijenja po prostoperiodicnom zakonu i strujni generator je
prostoperiodican. Strujni generator je aktivan element. Njegova karakteristika takoe prolazi
kroz drugi ili cetvrti kvadrant. I ovaj element daje energiju ostalim elementima sa kojima je
povezan, te i za njega odreujemo izlaznu snagu koja je jednaka pg(t) = uig(t). Otpornost
strujnog generatora u svim tackama njegove karakteristike je beskonacno velika.
23
1.10 Singularni element
1.10.1 Nulator
Nulator je element na cijem pristupu su vrijednosti struje i napona uvijek jednake nuli. Karak-
teristika nulatora sastoji se samo iz jedne tacke, tj. koordinatnog pocetka. Ona je data
jednacinom: u = 0 i i = 0 (slika 1.17.).
u
i
u
i0
Slika 1.17:
1.10.2 Norator
Norator je element koji dopušta na svome pristupu sve parove obrazovane od svih vrijednosti
napona i struje. Šema ovog elementa prikazana je na slici 1.18. Karakteristika noratora se
sastoji iz cijele i− u ravni: napon u - proizvoljan; struja i - proizvoljna.
u
i
u
i0
Slika 1.18:
1.11 Kapacitivni elementi sa jednim pristupom - kon-
denzatori
1.11.1 Klasifikacija kondenzatora
Kondenzatore, slicno otpornicima, dijelimo na linearne i nelinearne. Kondenzator je linearan,
ako mu je karakteristika u svakom trenutku prava linija kroz koordinatni pocetak. U suprot-
nom on je nelinearan. Takoe razlikujemo vremenski promjenljive i vremenski nepromjenljive
24
kondenzatore. Karakteristika vremenski nepromjenljivog kondenzatora je fiksna linija, dok se
karakteristika promjenljivog kondenzatora mijenja sa vremenom. Prema pomenutim osobi-
nama razlikujemo cetiri osnaovna tipa kondenzatora koji su prikazani na slici 1.19. i to:
)a )b )c )d
Slika 1.19: Tipovi kondenzatora
1. Linearni vremenski nepromjenljiv kondenzator - slika 1.19a).
2. Linearni vremenski promjenljiv kondenzator - slika 1.19b).
3. Nelinearni vremenski nepromjenljiv kondenzator - slika 1.19c).
4. Nelinearni vremenski promjenljiv kondenzator - slika 1.19d).
Struja kondenzatora na njegovom pristupu izrazava se pomocu njegovog opterecenja izvodom:
i(t) =dq(t)
dt
gdje je q(t) - kolicina elektriciteta ploce kondenzatora.
1.11.2 Kapacitivnost
Kapacitivnost kondenzatora je definisana parcijalnim izvodom:
C =∂q
∂u= C(q, u, t)
Ona je predstavljena koeficijentom pravca tangente u tacki karakteristike, koja za apscisu ima
napon na pristupu (slika 1.20.).
q
u
β
0
( )t( )q t
( )u t
tanC β=
Slika 1.20:
25
1.11.3 Akumulisana energija
Da bi smo izracunali akumulisanu energiju elektricnog polja u kondenzatoru, zamislimo sledeci
ogled. U uocenom trenutku t zamrznemo karakteristiku kondenzatora, pa ga ispraznimo preko
jednog linearnog vremenski nepromjenljivog otpornika (slika 1.21.). Akumulisana energija
Ru u=
i
Ri
C
R
Slika 1.21:
kondenzatora se tada sva pretvara u toplotu u otporniku. Ta energija je data integralom:
w(t) =
∞∫
t
uR(τ )iR(τ )dτ
Kako je u datom prostom kolu:
uR(τ ) = u(τ) = g [q(τ), t]
iR(τ) = −i(τ) = −dq(τ)
dτ
Ova energija se moze izraziti i u obliku:
w(t) =
q(∞)∫
q(t)
g [q(τ ), t] dq(τ)
Kako porastom vremena nestaje energije, te i kolicine elektriciteta u kondenzatoru, to je:
q(∞) = limε→0
q(τ) = 0 pa izraz za akumulisanu energiju u trenutku t postaje:
w(t) =
q(t)∫
0
g [q(τ), t] dq(τ ) (1.2)
Primijetimo da je t u irazu (1.2) fiksni parametar jer je karakteristika u tom trenutku zam-
rznuta. Stoga, akumulisana elektricna energija, pored opterecenja q eksplicitno zavisi i od
26
vremena t :
w(t) = h(q, t)
Dobijeni izraz nam pokazuje da je akumulisana energija kondenzatora graficki predstavljena u
ravni u−q površinom koju njegova karakteristika zaklapa sa q− osom od koordinatnog pocetka
do radne tacke, koja odgovara vrijednostima napona i opterecenja. Pri tome se mora uzeti
kriva kojom je karakteristika predstavljena u istom trenutku u kojem se posmatra akumulisana
energija prema slici 1.22.
q
u0
( )t( )q t
( )u t
Slika 1.22:
1.11.4 Ulozena energija
Ulozenu energiju u kondenzatoru izracunavamo pomocu ulazne snage. Kako je ova snaga data
izrazom:
p(t) = u(t)i(t) = g [q(t), t]dq(t)
dt
pa je ulozena energija od trenutka t0 do trenutka t data integralom:
a(t0, t) =
t∫
t0
p(τ)d(τ)
odnosno:
a(t0, t) =
t∫
t0
g [q(t), t]dq(t)
dtd(τ )
Za vremenski nepromjneljive kondenzatore ulozena energija je jednaka promjeni akumulisane
energije. Za vremenski promjenljive kondenzatore, ona je jednaka zbiru promjene akumulisane
energije i mehanickog rada koji izvrše elektricne sile pri promjeni konfiguracije kondenzatora.
27
1.11.5 Uslov pasivnosti
Za kondenzator kazemo da je pasivan ako zbir akumulisane energije u trenutku t0 i ulozene
energije od trenutka t0 do trenutka t nije nikad negativan tj.:
w(t0) + a(t0, t) ≥ 0 (1.3)
i to:
- za svaki pocetni trenutak t0.
- za svaki trenutak t ≥ t0 i
- za sve vremenske varijacije napona.
Kondenzator koji nije pasivan naziva se aktivnim. U ovom kursu mi cemo uglavnom raditi
sa linearnim vremenski nepromjenljivim kondenzatorima. Karakteristika ovog kondenzatora
je fiksna prava kroz koordinatni pocetak u ravni u − q kao što je prikazano na slici 1.23.
Jednacina karakteristike je:
u
i
q
0
β
C
u
Slika 1.23:
q = Cu
gdje je C− kapacitivnost kondenzatora koja je jednaka (slika 1.23.) C = tan β. Reciprocna
vrijednost kapacitivnosti S = 1/C naziva se elastansa kondenzatora.
i =dq
dt= C
du
dt=
1
S
du
dt
u(t) = u(0) +1
C
t∫
0
i(τ )dτ
1.11.6 Teorema o neprekidnosti napona kondenzatora
Ako je struja linearnog vremenski nepromjenljivog kondenzatora za vrijeme zatvorenog in-
tervala [t1, t2], napon na njegovom pristupu je neprekidna vremenska funkcija u otvorenom
28
intervalu (t1, t2) . To znaci, drugim rijecima, da napon ne moze imati skokove, ako je struja u
navedenom intervalu ogranicena.
Dokaz: Dokaz teoreme izvešcemo na taj nacin što cemo pokazati da priraštaj napona tezi
nuli kada priraštaj vremena tezi ka nuli, za svako t iz posmatranog intervala. Znaci, kada
∆t → 0 priraštaj kolicine elektriciteta je jednak:
∆q = q (t+∆t)− q(t)
Izraz:
∆q =
t+∆t∫
t
i(τ )dτ
takoe tezi nuli jer i površina odreena ovim integralom tezi nuli, pošto je struja ogranicena.
Stoga i priraštaj napona:
∆u =1
C∆q → 0
za svako t iz posmatranog intervala. Time je teorema dokazana.
1.11.7 Akumulisana i ulozena energija
Kao je za linearni nepromjenljivi kondenzator (slika 1.24.):
q
u0
( )t( )q t
( )u t
P
Slika 1.24:
u(τ) = g [q(τ )] =1
Cq(τ)
to je akumulisana energija na osnovu opšteg obrasca data integralom:
w(t) =
q(t)∫
0
1
Cq(τ )dτ =
q2(t)
2C=
1
2Cu2(t)
29
Kako je ulazna snaga linearnog vremenski nepromjenljivog kondenzatora:
p(t) = u(t)i(t) =1
Cqdq
dt
to je ulozena energija u njega od trenutka t0 do trenutka t data integralom:
a(t0, t) =1
C
q(t)∫
q(t0)
q(τ)dq(τ) =q2(t)
2C−
q2(t0)
2C
ili:
a(t0, t) =1
2Cu2(t)−
1
2Cu2(t0)
Kako u vremenski nepromjenljivom kondenzatoru osim akumulisanja elektricne energije ne-
mamo drugih pojava, ulozena energija jednaka je promjeni akumulisane enrgije tj.:
a(t0, t) = w(t)− w(t0)
što nam i dobijeni rezultat pokazuje. Ako je u trenutku t0 kondenzator neopterecen, tj. ako
je q(t0) = 0 ulozena energija predstavljace ujedno i akumulisanu energiju a(t0, t) = w(t).
1.11.8 Uslov pasivnosti
Prema izrazu za ulozenu energiju, uslov pasivnosti izrazen relacijom (1.3) za linearni vremenski
nepromjenljiv kondenzator se svodi na uslov:
w(t) =1
2Cu2(t) ≥ 0
Akumulisana energija u svakom trenutku t i za sve vremenske varijacije napona ne smije biti
negativan da bi ovakav kondenzator bio pasivan. Prema izrazu za akumulisanu energiju ovaj
uslov ce biti zadovoljen ako i samo ako je kapacitivnost C ≥ 0.
1.12 Induktivni elementi sa jednim pristupom - kale-
movi
Kalem je drugo ime za induktivni element sa jednim pristupom. Osnovna funkcija ovog
elementa je akumulisanje magnetske energije. Kalemovi predstavljaju idealizovane modele
fizickih kalemova, u kojima pored akumulisanja magnetske energije imamo i niz drugih pojava.
Fizicki kalem je sastavljen od namotaja provodne zice na nekom jezgru. Karakteriustika
30
kalema je oblika:
F (Φ, i; t) = 0
Cesto je karakteristika kalema predstavljena rastucom krivom linijom kroz koordinatni pocetak
(slika 1.25.). U tom slucaju se njena jednacina moze pisati u obliku:
Φ
i0
P
Slika 1.25:
Φ = f(i, t)
i = g(Φ, t)
1.12.1 Klasifikacija kalemova
Razlikujemo cetiri osnaovna tipa kalemova koja su prikazana na slici 1.26. i to:
)a )b )c )d
Slika 1.26:
1. Linearni vremenski nepromjenljiv kalem - slika 1.26a).
2. Linearni vremenski promjenljiv kalem - slika 1.26b).
3. Nelinearni vremenski nepromjenljiv kalem - slika 1.26c).
4. Nelinearni vremenski promjenljiv kalem - slika 1.26d).
31
1.12.2 Napon kalema
Napon na pristupu kalema izrazava se pomocu obuhvacenog magnetskog fluksa prema Faraday-
ovom zakonu izvodom:
u(t) =dΦ(t)
dt
Induktivnost kalema je definisana parcijalnim izvodom:
L =∂Φ
dt= L(Φ, i, t)
Ona je data koeficijentom pravca tangente u radnoj tacki karakteristike.
1.12.3 Akumulisana energija
Magnetska energija akumulisana u kalemu u trenutku t, odreuje se na slican nacin kao i
akumulisana energija u kondenzatoru. Zamisli se da je karakteristika kalema zamrznuta u
trenutku t, pa se kalem isprazni preko jednog linearnog vremenski nepromjenljivog otpornika
kao što to pokauje slika 1.27. Akumulisana energija se tada sva pretvori u toplotu te je data
Ru u=
i
Ri
L
R
Slika 1.27:
integralom:
w(t) =
∞∫
0
uR(τ )iR(τ )dτ
S obzirom da je sada:
uR(τ ) = u(τ ) =dΦ(τ )
dτ
i
iR(τ ) = −i(τ ) = −g [Φ(τ), t]
ova energija se moze izraziti u obliku:
w(t) =
Φ(t)∫
0
g [Φ(τ); t] dΦ(τ ) = h(Φ, t)
32
uzimajuci da je Φ(∞) = 0. U ravni i−Φ akumulisana energija je predstavljena površinom koja
zaklapa karakteristika kalema u trenutku t sa Φ− osom od koordinatnog pocetka do radne
tacke.
1.12.4 Ulozena energija
Ulozena energija u kalem od trenutka t0 do trenutka t odreena je integralom:
a(t0, t) =
t∫
t0
p(τ)dτ =
t∫
t0
g [Φ(τ); t]dΦ(τ)
dτdτ
Analogno ulozenoj energiji kondenzatora, za vremenski nepromjenljive kalemove ona je jednaka
promjeni akumulisane magnetske energije. Za vremenski promjenljive kalemove, ova energija
je jednaka zbiru promjene akumulisane energije i mehanickog rada koji izvrše elektrodinamicke
sile u kalemu.
1.12.5 Uslov pasivnosti
Uslov pasivnosti za kalem je identican sa uslovom pasivnosti za kondenzator:
w(t0) + a(t0, t) ≥ 0 (1.4)
Naime, kalem je pasivan, ako zbir akumulisane energije u trenutku t0 i ulozene energije u
trenutku t0 do trenutka t nije negativan i to:
- za svaki pocetni trenutak t0.
- za svaki trenutak t ≥ t0 i
- za sve vremenske varijacije struje.
1.12.6 Linearan vremenski nepromjenljiv kalem
U ovom kursu uglavnom cemo se baviti ovim kalemom. Njegova karakteristika je prava kroz
koordinatni pocetak što je prikazano na slici 1.28.
Φ = Li
L = tanα
33
Φ
i0
( )t( )tΦ
( )i t
Slika 1.28:
Γ =1
L
Parametar induktivnost L za linearan vremenski nepromjenljiv kalem je konstanta. Veza
izmeu napona i struje je data sledecim relacijama:
u =dΦ
dt= L
di
dt=
1
Γ
di
dt
i(t) = i(0) +1
L
t∫
0
u(τ )dτ (1.5)
Prema ovim relacijama vidimo da je ovakav kalem potpuno odreen sa dvije velicine: pocetnom
vrijednosšcu struje i(0) i induktivnošcu L. Integlal:
t∫
0
u(τ )dτ = Li(t)− Li(0) = Φ(t)−Φ(0)
koji se javlja u relaciji (1.5) predstavlja promjenu magnetskog fluksa kalema.
1.12.7 Teorema o neprekidnosti struje kalema
Ako je napom linearnog vremenski nepromjenljivog kalema ogranicen u zatvorenom vremen-
skom intervalu [t1, t2], njegova struja je neprekidna vremenska funkcija u otvorenom intervalu
(t1, t2). Struja ne moze imati skokove dok god je napon ogranicen.
Dokaz: Dokaz teoreme izvršicemo na taj nacin što cemo pokazati da priraštaj struje tezi
ka nuli, kada priraštaj vremena tezi ka nuli, za svako t iz posmatranog intervala. Znaci, kada
∆t → 0 priraštaj fluksa ∆Φ = Φ(t+∆t)−Φ(t) koji je dat integralom:
∆Φ =
t+∆t∫
t
u(τ )dτ → 0
34
takoe tezi ka nuli, jer i površina odreena ovim integralom tezi nuli, pošto je napon ogranicen.
Stoga i priraštaj struje:
∆i =∆Φ
L→ 0
za svako t iz posmatranog intervala. Time je teorema dokazana.
1.12.8 Akumulisana i ulozena energija
Kako je za ovaj kalem:
i(τ) =1
LΦ(τ)
magnetska energija akumulisana u njemu je data opštim obrascom:
w(t) =
Φ(t)∫
0
g [Φ(τ); t] dΦ(τ) =1
L
Φ(t)∫
0
Φ(τ )dΦ(τ) =Φ2(t)
2L=
1
2Li2(t)
Ulozena energija u ovaj kalem od trenutka t0 do trenutka t je prema obrascu:
a(t0, t) =1
L
Φ(t)∫
Φ(t0)
Φ(τ )dΦ(τ) =Φ2(t)
2L−
Φ2(t0)
2L=
1
2Li2(t)−
1
2Li2(t0) (1.6)
jednaka promjeni akumulisane energije.
1.12.9 Uslov pasivnosti
Prema izrazu za ulozenu energiju, uslov pasivnosti za posmatrani kalem se moze izraziti u
sledecem obliku:
w(t) =1
2Li2(t) ≥ 0
Navedeni uslov ce biti zadovoljen ako i samo ako je induktivnost kalema:
L ≥ 0
Stoga je linearan vremenski nepromjenljiv kalem pasivan ako i samo ako mu karakteristika
prolazi kroz I i III kvadrant. U suprotnom on je aktivan.
35
1.13 Rezistivni elementi sa dva pristupa
1.13.1 Definicija elemenata sa dva pristupa
Element iz koga su izvucena dva para krajeva naziva se elementom sa dva pristupa.Svaki od
ova dva para krajeva obrazuju po jedan pristup elementu za koji se vezuju drugi elementi.
Bitno je da se oni ne mogu vezivati za krajeve koji pripadaju razlicitim pristupima, vec uvijek
za krajeve istog pristupa. Šematski se ovakav element predstavlja kao na slici 1.29. Na
1u
1i1
1′
2u
2i 2
2′2i1i
Slika 1.29:
pristupima elemenata razlikujemo napone i struje za koje su uobicajeni referentni smjerovi
prema šemi. Aksiomatski se podrazumijeva da su struje u oba kraja jednog pristupa iste
velicine a suprotnog smjera. Ulazna snaga elementa sa dva pristupa je zbir ulaznih snaga na
njegovim pristupima:
p = u1i1 + u2i2
1.13.2 Rezistivni elementi sa dva pristupa
Rezistivni element sa dva pristupa je karakterisan sa dvije algebarske relacije izmeu napona
i struja na njegovim pristupima. Ove relacije se mogu mijenjati tokom vremena. Analiticki se
one izrazavaju:
F1(u1, i1, u2, i2; t) = 0
F2(u1, i1, u2, i2; t) = 0
Ako se jednacine karakteristika mogu pisati u obliku:
u1 = f1(i1, i2, t)
u2 = f2(i1, i2, t)
za rezistivni element kazemo da je kontrolisan strujom. A ako se jednacine karakteristike mogu
napisati u obliku:
i1 = g1(u1, u2, t)
36
i2 = g2(u1, u2, t)
onda kazemo da kontrolisan naponom. Rezistivan element moze imati obje ove osobine
odnosno, on moze biti kontrolisan i strujom i naponom.
1.13.3 Klasifikacija rezistivnih elemenata
Najprije prema obliku jednacina karakteristika, analogno elementima sa jednim pristupom
vršimo i klasifikaciju rezistivnih elemenata sa dva pristupa. Element je linearan ako su mu jed-
nacine karakteristika u svakom trenutku linearne. U suprotnom slucaju on je nelinearan. Ako
jednacine karakteristika ne zavise eksplicitno od vremena, vec u svakom trenutku zadrzavaju
svoj oblik, rezistivni element sa dva pristupa je vremenski nepromjenljiv. Jednacine karakter-
istika vremenski nepromjenljivog elementa su:
F1(u1, u2, i1, i2) = 0
F2(u1, u2, i1, i2) = 0
Ako se pak u ovim jednacinama pojavljuje vrijeme eksplicitno, element je vremenski prom-
jenljiv. Prema znaku ulazne snage rezistivane elemente dijelimo na pasivne i aktivne. Element
je pasivan, ako mu ulazna snaga nije negativna
p(t) = u1i1 + u2i2 ≥ 0
ni u jednom trenutku i za sve moguce vrijedbnosti napona i struja koje mogu postojati na
pristupima elementa. Specijalni slucaj pasivnog rezistivnog elementa je element bez gubitaka
za koji je ulazna snaga u svakom trenutku
p(t) = 0
Elment koji nije pasivan naziva se aktivnim elementom.
1.14 Zavisni ili kontrolisani izvori
Zavisni ili kontrolisani generatori (izvori) spadaju u grupu rezistivnih elemenata sa dva pris-
tupa, jer su okarakterisani sa dvije algebarske jednacine izmeu napona i struja na pristupima.
Zavisne generatore dijelimo na naponske i strujne zavisne generatore. Napon naponskog gen-
eratora u2 ne zavisi od njegove struje i2,ali nasuprot obicnom naponskom generatoru, on zavisi
od ulazne struje i1 ili ulaznog napona u1. U stvari struja i1, odnosno napon u1 mogu biti struja
37
i napon neke grane u kolu. Ubacivanjem kratke, odnosno otvorene veze sa posmatranim gener-
atorom obrazujemo tada element sa dva pristupa, na cijem ulazu se pojavljuje struja, odnosno
napon te grane.
Kada u sastav elementa ulazi strujni generator, njegova struja i2 ne zavisi od napona u2 ali
ona zavisi od struje kratke veze ili napona otvorene veze na ulazu. Ulazni pristup se stoga zove
kontrolišuci a izlazni kontrolisani pristup. Kada je ulazni pristup obrazovan od kratke veze,
napon u1 je jednak nuli, a kada je on obrazovan od otvorene veze struja i1 je jednaka nuli.
U zavisnosti od prirode kontrolisane i kontrolišuce velicine razlikujemo cetiri vrste zavisnih
generatora:
1. Naponom kontrolisani naponski izvor NKNI
2. Strujom kontrolisani naponski izvor SKNI
3. Naponom kontrolisani strujni izvor NKSI
4. Strujom kontrolisani strujni izvor SKSI
Kontrolisani izvori se koriste za modelovanje elektronksih komponenti tako da u prvoj
aproksimaciji dioda postaje strujni generator kontrolisan naponom a tranziastor sa uzeml-
jenom bazom strujni generator kontrolisan strujom.
1. Naponom kontrolisan naponski izvor (NKNI)
Šema naponom kontrolisanog naponskog izvora prikazana je na slici 1.30.
1uµ1u 2u
1i 2i
2′
21
1′
Slika 1.30: Naponom kontrolisani naponski izvor
a njegove jednacine su:
i1 = 0
u2 = µu1
Ovo je aktivan element i cesto se naziva idealni naponski pojacavac. U literaturi se cesto
nalazi, pored navedene i šematska predstava data slikom 1.31.
2. Strujom kontrolisan naponski izvor (SKNI)
38
1uµ1u 2u
1i 2i
2′
21
1′
21µili
Slika 1.31:
1ri1u 2u
1i 2i
2′
21
1′
Slika 1.32: Strujom kontrolisani naponski izvor
Šema strujom kontrolisanog naponskog izvora prikazana je na slici 1.32.
a njegove jednacine su:
u1 = 0
u2 = ri1
On spada u grupu aktivnih elemenata sa dva pristupa.
3. Naponom kontrolisan strujni izvor (NKSI)
Šema naponom kontrolisanog strujnog izvora prikazana je na slici 1.33
1gu1u 2u
1i 2i
2′
21
1′
Slika 1.33: Naponom kontrolisani strujni izvor
a njegove jednacine su:
i1 = 0
i2 = gu1
I ovo je aktivan element sa dva pristupa.
39
4. Strujom kontrolisan strujni izvor (SKSI)
Šema strujom kontrolisanog strujnog izvora prikazana je na slici 1.34.
1iα1u 2u
1i 2i1
1′ 2′
2
Slika 1.34: Strujom kontrolisani strujni izvor
a njegove jednacine su:
u1 = 0
i2 = αi1
I ovaj element spada u grupu aktivnih elemenata sa dva pristupa. Cesto se naziva i idealnim
strujnim pojacavacem.
5. Idealni operacioni pojacavac (OP)
Šema idealnog operacionog pojacavaca je prikazana na slici 1.35.
On je opisan relacijama:
u3 = A(u1 − u2)
pri cemu vazi da ako pojacanje A → ∞, i1 = i2 → 0 i u1 − u2 → 0. To ima za posledicu da je
ulazna otpornost beskonacna a izlazna otpornost nula. Kada se idealni operacioni pojacavac
veze u elektricno kolo, napon u3 zadrzava konacnu vrijednost. Mnogi ovaj element nazivaju
nulor da bi ga razlikovali od fizickog operacionog pojacavaca (vazne komponente u mnogim
elektricnim sklopovima). Ostale elemente sa dva pristupa upoznacemo u narednim poglavljima
ovog kursa (idealni transformatori, ziratori, konvertori i invertori impedanse i td.).
1u
3u
2u
1i
2iA
Slika 1.35: Operacioni pojacavac
ELEMENTI TOPOLOGIJE
GRAFOVA I ANALIZA
ELEKTRICNIH KOLA
2.1 Uvod
Teorija grafova je posebna, savremena matematicka disciplina. Svoj neobicno intezivan razvoj,
primjenu u najrazlicitijim naucnim i tehnickim disciplinama i veliku popularnost, teorija
grafova dozivjela je u drugoj polovini prošlog vijeka zahvaljujuci, posre- dno ili neposredno,
sve vecoj proizvodnji i primjeni elektronskih racunara.
Na taj nacin, graf je od pomocnog dijagrama kojim su se slikovito predstavljali razni prob-
lemi postao objekat obimne matematicke teorije. Uz to se pokazalo da pojam grafa spada
u grupu osnovnih matematickih pojmova, ako što su binarne relacije, funkcije, operacije i
slicno. Govoreci apstraktnim matematickim jezikom, graf je konacan skup snadbjeven bina-
rnom relacijom. U primjenama pojam grafa dobija svoju punu vrijednost kada se skupovi
i relacije nad njima predstavljaju geometrijskim figurama koje su obrazovane od niza tacaka
spojenim krivim linijama. Teorija grafova proucava osobine svih figura koje ostaju invarijantne
pri kontinualnim deformacijama, tj. neprekidnim preslikavanjima.
Gipkost aparata teorije grafova omogucava da se brojni problemi sa konacnim skupo-
vima, iz veoma raznorodnih naucnih oblasti formulišu i rješavaju na jedinstven nacin. Prim-
jena teorije grafova i njenih metoda zauzima danas znacajno mjesto u teoriji elektricnih kola,
teoriji sistema, teoriji sistema automatskog upravljanja, operacionim istrazivanjima, teoriji in-
formacija, zatim u hemiji, ekonomskim naucnim disciplinama, biologiji, sociologiji i dr. Glavni
razlog za ovako širok raspon primjena lezi, u prvom redu, u jasnoj geometrijskoj predstavi koju
graf sadrzi i koja je bliska intuitivnoj predstavi koju covjek ima o osbinama i ponašanju ob-
jekata koji se predstavljaju grafom.
Jednu od najvaznijih primjena teorija grafova nalazi u analizi slozenih fizickih i tehnickih
sistema koji su predstavljeni modelom elektricne mreze. Prije više od jednog vijeka i to
[1847 g.] njemacki fizicar G R K [1824− 1887] je prvi koristio neke
kombinatorno-topološke pojmove za rješavanje jednacina elektricnih mreza. U ono vrijeme,
40
41
teorija grafova nije postojala kao posebna matematicka disciplina, pa su njegove ideje ostale
dugi niz godina nedovoljno iskorišcene i razvijene. Znatno kasniji fundamentalni radovi na
polju savremene teorije grafova, vršili su snazan uticaj i na fizicko-tehnicke naucne oblasti,
narocito na teoriju elektricnih kola i sistema. Mada je znacaj modela elektricne mreze bio
još odavno uvazen kao mocno sredstvo za tretiranje sa jedinstvenog stanovišta širokog kruga
tehnickih problema, moze se reci da intezivno i sistematsko proucavanje elektricnih mreza u
okviru teorije grafova pocinje šezdesetih godina prošlog vijeka. To je vrijeme u kome do tada
razvijene metode analize dobijaju strogo opravdanje, razvijaju se i nove metode što sve do-
prinosi boljem upoznavanju osobina mreza, odnosno razvijanju savršenijih postupaka analize,
sinteze i projektovanja. Prilagoavanje aparata teorije grafova koji se koristi u elektricnim
mrezama na proizvoljne fizicke sisteme, stvorilo je osnovu za njihovo proucavanje u okviru
savremene teorije sistema.
Kao posebna motivacija za primjenu metoda zasnovanih na teoriji grafova, javlja se prim-
jena savremenih digitalnih racunara u analizi i projektovanju elektricnih mreza za koje su ove
metode posebno pogodne. Analiza elektricnih kola (mreza) se, u krajnjoj liniji, svodi na dva
osnovna pitanja:
a) Formulisanje sistema nezavisnih jednacina cije rješenje odreuje sve napone i struje
elemenata kola, i
b) Rješavanje (efektivno) ovog sistema jednacina.
2.2 Graf mreze
Za rješavanje oba pomenuta pitanja presudnu ulogu igra nacin na koji su elmenti meusobno
povezani. Ta povezanost se izrazava “geometrijskom” strukturom mreze, odnosno topologijom
ili grafom mreze. Stoga u svim pitanjima koja su vezana za graf elektricne mreze priroda
elemenata je irelevantna i ona se potpuno moze apstrahovati. Tako dolazimo do pojma grafa
mreze koji cemo jednostavno dobiti zamjenom svakog elementa mreze jednim orjentisanim
linijskim segmentom koji zovemo granom grafa. U grafu je sacuvana potpuna informacija
o meusobnom povezivanju elemenata, ne ulazeci u fizicku prirodu samih elemenata. Na
osnovu grafa elektricnog kola mogu se jednostavno izraziti zakoni povezivanja elemenata. Na
primjer, graf mreze na slici 2.36. prikazan je na slici 2.37. Prije detaljnog razmatranja zakona
povezivanja definisacemo neke osnovne pojmove iz topologije.
Grana je linija grafa koja odgovara pristupu elementa koji se predstavlja. Za elemente
sa dva kraja (jednim pristupom) grana odgovara samom elementu, dok se element sa više
krajeva predstavlja pomocu onoliko grana koliko elemnt ima pristupa. Nekada, jednom granom
se moze predstaviti i veza više elemenata, ako za to postoji neki valjani razlog (detaljno
objašnjeno u poglavlju Karakteristike elemenata). Grane se oznacavaju na pogodan nacin.
42
21 3
45
1( )gu t
( )gu t
2 3
45
6
78
1
1( )gi t
Slika 2.36: Elektricno kolo
2
1 3
2 3
45
6
8
5 4
7
1
Slika 2.37: Graf elektricnog kola
Cvor je mjesto gdje se vrši spajanje krajeva grana. Drugim rijecima krajevi grana su
cvorovi. U grafu se oni predstavljaju kruzicima, slicno kao u elektricnim šemama. Cvorovi se
takoe, da bi se razlikovali, oznacavaju na pogodan nacin. Na osnovu prethodnih definicija
grane i cvora, mozemo reci da graf predstavlja skup grana i cvorova.
Orjentisani graf (Di graf) je onaj graf koji ima orjentisane grane.
Subgraf (pod graf) je dio grafa. Odvojenim djelovima se smatraju i pojedini izolovani
cvorovi, tj. cvorovi za koje nije vezana nijedna grana.
Incidencija pokazuje meusobni odnos grane i cvora. Ako je k−ti cvor krajnja tacka l−te
grane, tada kazemo da su oni incidentni. Jedna grana moze moze biti incidentna najviše sa dva
cvora, dok jedan cvor moze biti incidentan sa proizvoljnim brojem grana. Prema meusobnoj
vezi grana i cvorova definišu se i pojmovi susjednosti, kao i stepen cvora. Dva cvora su
susjedna ako su spojena granom. Za neki k−ti cvor stepen cvora je broj grana koji se sticu u
njemu. Dvije ili više grana su susjedne ako imaju zajednicki cvor. Od svih mogucih subgrafova
koji se mogu obrazovati od jednog povezanog grafa, narocito su vazni put (putanja, lanac),
43
kontura, stablo i snop.
Put izmeu cvorova j i k je subgraf koji predstavlja ureeni niz meusobno povezanih
grana sa svojstvom da je svaki unutrašnji cvor stepena dva., a krajnji (spoljašnji) cvorovi j i
k su stepena jedan. Put se moze orjentisati od polaznog ka krajnjem cvoru.
Kontura (petlja) je zatvoren put: polazni i krajnji cvor su isti, znaci svaki cvor je stepena
dva. Kontura se takoe, moze orjentisati u smjeru kazaljke na satu ili u suprotnom smjeru.
Povezani graf je onaj u kome postoji put izmeu bilo koja dva cvora. Ako to nije
ispunjeno, graf je nepovezan - ima odvojene djelove.
Planarni graf je onaj koji se moze predstaviti u ravni, tako da se grane ne sijeku nigje
osim u cvorovima. Pitanje planarnosti je veoma vazno za savremenu elektroniku (VLSI - kola).
Stablo grafa je povezan subgraf obrazovan od grana koje povezuju sve cvorove grafa ali
ne obrazuju konture. Za jedan graf od c−cvorova svako stablo sadrzi tacno n = c− 1 grana.
Ako graf G ima ukupno b−grana, tada svako stablo T dijeli grane grafa u dva skupa: n = c−1
grana koje se nalaze u stablu i m = b− n = b− c+ 1 grana koje se ne nalaze u njemu. Ovih
m grana cine spojnice datog stabla T . Za njih se kaze da obrazuju komplement stabla, ili
krace ko-stablo L. Za definiciju stabla dovoljne su tri osobine od mogucih cetiri:
1. Stablo T je povezan graf.
2. Sadrzi n = c− 1 granu.
3. Sadrzi c cvorova.
4. Ne sadrzi konture.
Na primjer na slici 2.37. subgrafovi (1, 2, 4, 6), (2, 3, 5, 7) i (4, 5, 6, 8) su stabla grafa.
Subgraf (3, 5, 7, 8) je ko-stablo za stablo (1, 2, 4, 6), subgraf (1, 4, 6, 8) je ko-stablo za stablo
(2, 3, 5, 7) i subgraf (1, 2, 3, 7) je ko-stablo za stablo (4, 5, 6, 8). Za jedan graf moze se
formirati veci broj stabala. Relacije n = c − 1 i m = b − n = b − c + 1 su u teoriji grafova
poznate pod nazivom Ojlerove relacije [L E 1707-1883]. U slucaju da graf nije
povezan, vec se sastoji iz s izolovanih djelova, za svaki od djelova se moze obrazovati stablo,
odnosno ko-stablo. Skup svih stabala pojedinih subgrafova obrazuje šumu. Broj grana šume
jednak je broju grana svih pojedinih stabala.
Snop grafa je subgraf koji sadrzi minimalni broj grana koje je potrebno ukloniti iz grafa
G da bi se ovaj rastavio tacno na dva dijela. Pri tome jedan ili oba rastavljena dijela mogu
biti cvorovi. Tada se govori o snopovima oko cvorova. Na primjer, subgrafovi (1, 2, 5, 6),
(4, 5, 7, 8) i (2, 3, 5, 7) su snopovi grafa na slici 2.37. pri cemu je (1, 2, 4) snop oko cvora 1,
a (2, 3, 5, 7) snop oko cvora 2. Nalazenje nekog snopa u grafu G vrši se jednostavno ako se
snop svih cvorova V podijeli na dva disjunktna podskupa V1 i V2 [V1 ∪ V2 = V, V1 ∩ V2 = 0].
Tada se grane ciji se jedan kraj nalazi u V1 a drugi u V2 sacinjavaju snop. Drugi je nacin
da se graf presijece nekom zatvorenom površinom tako da jedna grupa cvorova bude unutar
44
površine a druga van nje. Ova površina koja se naziva presjekom sijece grane koje obrazuju
jedan snop [neki autori upotrebljavaju termin “presjek” da oznace kako presjecnu površinu
tako i same presjecene grane (=snop)]. Snop se orjentiše prema orjentaciji presjeka koji ga
definiše. Na slici 2.38. isprekidanim linijama su oznacene površi koje definišu gore navedene
snopove. Strelice na slici prikazuju orjentacije presjeka odnosno snopova.
2
1 3
2 3
45
6
8
5 4
7
11ν
2ν
4ν
3ν
Slika 2.38: Orjentacija snopa
Ako se u nekom grafu G izabere jedno stablo T , odnosno njemu odgovarajuce ko-stablo L,
tada je iz samih definicija ocigledno da proizvoljna kontura mora da sadrzi bar jednu spojnicu
ko-stabla L, a proizvoljni snop barem jednu granu stabla T . Od svih mogucih kontura i snopova
od narocitog (znacaja) interesa su konture koje sadrze samo jednu granu ko-stabla L, odnosno
snopovi (presjeci) koji sadrze samo jednu granu stabla T . U odnosu na stablo T , osnovna
kontura definisana spojnicom s predstavlja jedinstvenu konturu koju ova spojnica zatvara sa
nekim granama stabla T . Osnovna kontura se orjentise u istom smjeru kao i spojnica koja
je definiše. Ako je b broj grana grafa G, a broj grana stabla n (n = c − 1), tada je broj
osnovnih kontura m = b− n = b− c + 1. Broj n se naziva rangom grafa ρ(G) = n, a broj m
nultošcu grafa η(G) = m. Na slici 2.39. prikazane su sve cetiri osnovne konture u odnosu na
izabrano stablo T = 4, 5, 7, 8 i ko-stablo L = 1, 2, 3, 6; µ1= 1, 4, 5, 7, 8, µ2 = 2, 4, 5 ,
µ3= 3, 7, 8 i µ
4= 5, 6, 7 .
U odnosu na stablo T , osnovni snop (presjek) definisan granom stabla T predstavlja
jedinstveni snop koji sadrzi samo ovu granu stabla i neke spojnice. Osnovni snop se orjentiše
prema pozitivnoj orjentaciji grane stabla koja ga definiše. Na slici 2.40. prikazana su sva
cetiri osnovna snopa u odnosu na stablo T = 4, 5, 7, 8 ; ν1 = 4, 1, 2, ν2 = 5, 1, 2, 6,
ν3 = 7, 1, 3, 6 i ν4 = 8, 1, 3. Neka osnovna kontura definisana spojnicom s sadrzi one i
samo one grane stabla koje definišu osnovne snopove što sadrze spojnicu s. Isto tako, neki
45
2
1 3
2 3
4
5
6
8
5 4
7
1
4µ
1µ
2µ 3µ
Slika 2.39: Cetiri osnovne konture u odnosu na izabrano stablo T = 4, 5, 7, 8 ; L =1, 2, 3, 6
osnovni snop, definisan granom stabla T , sadrzi one i samo one spojnice koje definišu osnovne
konture što sadrze granu stabla T . Definicija osnovnih (glavnih, fundamentalnih) kontura i
osnovnih (glavnih, fundamentalnih) presjeka (snopova) je znacajna iz prostog razloga što se
proizvoljna kontura u jednom grafu moze dobiti linearnom kombinacijom osnovnih kontura.
Isto tako proizvoljni presjek se moze dobiti linearnom kombinacijom osnovnih presjeka.
2
1 3
2 3
45
6
8
5 4
7
1
2ν
1ν
3ν
4ν
Slika 2.40: Cetiri osnovna snopa u odnosu na izabrano stablo T = 4, 5, 7, 8
Rang grafa ρ(G) = n = c − 1 je u vezi sa pojmom nezavisnih presjeka. Nezavisnim
presjecima zovemo skup od n presjeka koji se ne mogu dobiti nikakvom kombinacijom jedan iz
drugoga, ali se iz njih mogu mogu dobiti linearnom kombinacijom svi ostali presjeci. Osnovni
presjeci se specijalan slucaj nezavisnih presjeka. Rang grafa jednak je broju nezavisnih presjeka
u jednom grafu.
46
Pojam nultosti grafa je u vezi sa nezavisnim konturama. Nezavisne konture su one koje se
ne mogu jedna pomocu druge izraziti nikakvom kombinacijom ali se pomocu njih mogu izraziti
sve ostale konture. Specijalan slucaj nezavisnih kontura su osnovne konture. Broj nezavisnih
kontura jednak je nultošcu grafa η(G) = m = b − n = b − c + 1. Ako je graf sastavljen od s
djelova onda imamo: n = c− s i m = b− n. Ovo su osnovne topološke relacije jednog grafa.
2.3 Topološke matrice grafa elektricnog kola
U ovom poglavlju uvesti cemo algebarsko-matricno karakterisanje relacija pripadnosti, inci-
dencije, susjedstva koje postoje izmeu grana grafa, kontura, presjeka i cvorova.
2.3.1 Matrica kontura Ba
∼
To je matrica u kojoj vrste (redovi) odgovaraju proizvoljnim konturama a kolone (stupci)
granama grafa. To je pravougaona matrica razmjere p× b.
Ba∼
= [bik]p×b
gdje je p− broj kontura a b− broj grana. Funkcija bik, element matrice na presjeku i− te
vrste i k− te kolone definisana je na sledeci nacin:
bik =
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
1 ako grana “k” pripada konturi “i” a orjentacija grane se poklapa sa
orjentacijom konture
−1 ako grana “k” pripada konturi “i” a orjentaciuja grane je suprotna
orjentaciji konture
0 ako grana “k” ne pripada konturi “i”
Sve vrste u ovoj matrici nijesu meusobno nezavisne. Neke se iz njih mogu dobiti linearnom
kombinacijom ostalih. Skupovi nezavisnih vrsta, pomocu kojih se mogu izraziti sve ostale vrste
odgovaraju nezavisnim konturama. Broj nezavisnih kontura je m.
2.3.2 Matrica nezavisnih kontura B∼
Matrica nezavisnih kontura B∼
je pravougaona matrica razmjere m× b gdje vrste odgovaraju
nezavisnim konturama a kolone granama grafa.
B∼
= [bik]m×b
47
1 2
3 4
2µ
3µ
1µ
a
b
c
de
f
Slika 2.41:
Na primjer za graf prema slici 2.41. matrica nezavisnih kontura je:
a b c d e f
B∼
=
µ1
µ2
µ3
⎡⎢⎣ 0 0 0 1 −1 0
1 1 0 0 1 0
0 −1 −1 0 0 −1
⎤⎥⎦
Za nezavisne konture odabrana su takozvana “okca” (engleski izraz “mesh”) tj. konture
unutar kojih nema grana. Specijalni slucaj matrice nezavisnih kontura je matrica glavnih
(osnovnih kontura) Bf∼
. Za posmatrani graf prikazan na slici 2.42. i izabrano stablo T =
a, b, c, L = d, e, f ta matrica bila bi:
a b c d e f
Bf∼
=
µ1
µ2
µ3
⎡⎢⎣ 1 1 0 1 0 0
1 1 0 0 1 0
0 1 1 0 0 1
⎤⎥⎦
1 2
3 4
2µ
3µ
1µ
a
b
c
de
f
Slika 2.42:
Osnovne konture (engleski izraz “loop”- proizvoljna kontura) su orjentisane u smjeru spo-
48
jnica (grana ko-stabla) koje ih definišu. Svaki red (vrsta) ove matrice odgovara jednoj osnovnoj
konturi u odnosu na jedno izabrano stablo T . Ako u matrici nezavisnih kontura B∼
za izabrano
stablo T grafa grane uredimo tako da prvo imamo grane stabla a potom grane ko-stabla
(spojnice) onda matricu B∼
mozemo razbiti na dva bloka:
B∼
=[BT∼
| BL∼
]stablo︸ ︷︷ ︸ spojnice︸ ︷︷ ︸
BT∼ m×n
- submatrica matrice B∼
cije grane odgovaraju granama izabranog stabla T.
BL∼ m×m
- submatrica matrice B∼
cije grane odgovaraju granama pripadnog ko-stabla L (spo-
jnicama).
Ako se to primijeni na matricu osnovnih kontura ona se moze napisati u takozvanom
kanonicnom obliku:
Bf∼
=
[BfT∼
| 1mm∼
]1mm∼
- jedinicna matrica reda m.
BfT∼
- submatrica matrice osnovnih kontura Bf∼
cije grane odgovaraju granama izabranog
stabla T.
Rang jedne matrice jednak je broju nezavisnih vrsta u njoj. Iz kanonicnog oblika jasno se
vidi da je rang matriceBf∼
jednak nultosti grafa η G = m. To nam omogucava da formulišemo
vaznu teoremu o rangu matrica kontura.
Teorema 1. (Formulacija bez dokaza)
Za jedan povezani graf G koji ima c cvorova i b grana vazi:
r
(Ba∼
)= r
(B∼
)= r
(Bf∼
)= η (G) = m = b− n = b− c+ 1
Matrica nezavisnih kontura B∼
moze se dobiti pomocu jedne nesingularne transformacije
matrice Bf∼
, tj.
B∼
= K∼
Bf∼
K∼
- nesingularna matrica m− tog reda ciji su elementi 1,−1, 0. Specijalni slucaj te matrice
je matrica BL∼
, B∼
= BL∼
Bf∼
(dokaz slijedi kasnije). Iz kanonicnog oblika matrice osnovnih
kontura Bf∼
, Bf∼
= [BfT∼
| 1mm]∼
se vidi da matrica sadrzi jedinicnu submatricu m− tog reda
koja odgovara spojnicama ili ko-stablu. Ovo je samo specijalni slucaj nesingularne submatrice
BL∼
matrice nezavisnih kontura B∼
za koju vazi sledeca teorema.
Teorema 2. Kvadratna submatrica m− tog reda (m = b − c + 1) matrice nezavisnih
kontura B∼
povezanog grafa od b grana i c cvorova je nesingularna ako i samo ako kolone ove
submatrice odgovaraju nekom ko-stablu L (spojnicama).
49
Dokaz. Na osnovu Teoreme 1. i definicije matrice B∼
, matrice B∼
i Bf∼
imaju isti rang m.
Kada se na matricnu relaciju B∼
= BL∼
Bf∼
primijeni Silvesterova teorema koja kaze da je rang
proizvoda matrice Kp×q∼
i matrice Lq×r∼
zadovoljava relacije:
rK∼
L∼
≥ r
(K∼
)+ r
(L∼
)− q
rK∼
L∼
≤ min
[r(K∼
), r
(L∼
)]dobija se:
r
BL∼
Bf∼
≥ r
(BL∼
)+ r
(Bf∼
)−m
r
BL∼
Bf∼
≤ min
[r
(BL∼
), r
(Bf∼
)]
r
(Bf∼
)= m; r
(B∼
)= r
(BL∼
Bf∼
)= m
r
(BL∼
Bf∼
)≥ r
(BL∼
)+m−m
r
(BL∼
Bf∼
)≤ min
[r
(BL∼
), m
]⎫⎪⎪⎬⎪⎪⎭⇒
m ≥ r
(BL∼
)m ≤ r
(BL∼
)⎫⎪⎪⎬⎪⎪⎭ ⇒ r
(BL∼
)= m
Iz obje nejednakosti slijedi: r
(BL∼
)= m što znaci da je ona nesingularna. Formiranje jednog
sistema nezavisnih kontura neposrednim pregledom grafa nije uvijek ocigledno i, osim sistema
osnovnih kontura, moze se prikazati da sledeci postupak dovodi do jednog sistema nezavisnih
kontura, tj. takvih kontura cija matrica ima maksimalni rang m = b− c+ 1. U grafu G treba
proizvoljno izabrati jednu konturu, koja se potom razara prekidanjem jedne proizvoljne grane.
U preostalom grafu se ponovo izabere jedna kontura koja se potom razara prekidanjem jedne
grane. Postupak se tako nastavlja sve dok se ne iscrpu sve konture. Lako je vidjeti da su
prekinute konture spojnice za neko stablo. Meutim, dobijene konture u opštem slucaju nece
biti osnovne za ovo stablo, jer za razliku od osnovnih kontura, ovdje jedna spojnica moze biti
sadrzana u više od jedne konture.
2.3.3 Matrica skupova (presjeka) Qa
∼
Ova matrica opisuje odnos izmeu snopova (presjeka) i grana. Matrica Qa
∼
= [qik]s×b ima b -
kolona i onoliko redova s koliko ima snopova u grafu G. Funkcija qik koja predstavlja element
te matrice definisana je na sledeci nacin:
50
qik =
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
1 ako grana “k” pripada snopu “i” i njena orjentacija se poklapa sa
orjentacijom snopa
−1 ako grana “k” pripada snopu “i” i njena orjentaciuja je suprotna od
orjentacije snopa
0 ako grana “k” ne pripada snopu “i”
U ovoj matrici sve vrste nijesu nezavisne. Neke od njih se mogu dobiti linearnom kombinacijom
od drugih. Ako imamo n - nezavisnih presjeka neki proizvoljni presjek se moze definisati kao
linearna kombinacija ovih nezavisnih presjeka.
ν = β1ν1 + β
2ν2 + ...+ β
kνk + ...+ β
nνn
βk = 1,−1, 0
2.3.4 Matrica nezavisnih presjeka (snopova) Qn×b
∼
Matrica nezavisnih presjeka je pravougaona matrica razmjere n × b gdje vrste odgovaraju
nezavisnim presjecima a kolone granama kola. Na primjer, za prilozeni graf prikazan na slici
2.43. i nezavisne presjeke ν1, ν2 i ν3 ta matrica bila bi:
a b c d e f
Q∼
=
ν1
ν2
ν3
⎡⎢⎣ 1 0 0 −1 −1 0
1 −1 1 0 0 0
0 0 −1 0 0 1
⎤⎥⎦
Matrica osnovnih presjeka Qf∼
ima n vrsta i b kolona. Svaki red odgovara jednom osnovnom
presjeku u odnosu na izabrano stablo T . Za isti graf prikazan na slici 2.44. i za isto izabrano
stablo ta matrica bila bi:
a b c d e f
Qf∼
=
ν1
ν2
ν3
⎡⎢⎣ 1 0 0 −1 −1 0
0 1 0 −1 −1 −1
0 0 1 0 0 −1
⎤⎥⎦
Ako se prvo napišu grane stabla T a potom grane ko-stabla (spojnica) Lmatrica nezavisnih
51
1 2
3 4
a
b
c
de
f
1ν
2ν
3ν
Slika 2.43:
1 2
3 4
a
b
c
d ef
1ν
2ν
3ν
Slika 2.44:
presjeka se moze razbiti na blokove:
Q∼
=[QT∼
| QL∼
]stablo︸ ︷︷ ︸ spojnice︸ ︷︷ ︸
QT∼ n×n
- submatrica matrice Q∼
cije grane odgovaraju granama stabla T.
QL∼ n×m
- submatrica matrice Q∼
cije grane odgovaraju spojnicama.
Ako se ovo primijeni na matricu osnovnih presjeka dobijamo takozvani kanonicni oblik te
matrice za izabrano stablo T .
Qf∼
=
[1nn∼
| QfL∼
]
52
1nn∼
- jedinicna matrica n - tog reda.
QfL∼ n×m
- submatrica matrice Qf∼
cije grane odgovaraju ko-stablu L.
Iz kanonicnog oblika matrice Qf∼
neposredno se vidi da je r
(Qf∼
)= n = c − 1 tj. rang
matrice Qf∼
jednak je rangu grafa G :
r
(Qf∼
)= ρ (G) = n = c− 1
To je samo specijalni slucaj teoreme o rangu matrice presjeka.
Teorema 3. Za povezani graf G od c cvorova imamo da je:
r
(Qa∼
)= r
(Q∼
)= r
(Qf∼
)= ρ (G) = n = c− 1
Takoe se matrica Q∼
moze dobiti ako nesingularna transformacija matrice Qf∼
, tj. Q∼
=
T1∼
Qf∼
gdje je T1
∼
− nesingularna matrica n− tog reda ciji su elementi 1,−1, 0. Specijalan slucaj
te matrice jeste submatrica QT∼
(dokaz slijedi kasnije).
Teorema 4. Kvadratna matrica n− tog reda matrice nezavisnih presjeka Q∼
jednog
povezanog grafa G od c− cvorova je nesingularna ako i samo ako n− njenih kolona odgo-
vara granama nekog stabla.
Dokaz: Dokaz se izvodi na osnovu Teoreme 3. i Silvesterove teoreme primijenjene na
proizvod matrica QT∼
Qf∼
= Q∼
.
r
(Q∼
)= r
(Qf∼
)= n
r
(Q∼
)= r
(QT∼
Qf∼
)= m ≥ r
(QT∼
)+ r
(Qf∼
)− n
r
(Q∼
)= r
(QT∼
Qf∼
)= m ≤ min
[r
(QT∼
), r
(Qf∼
)]Iz gornjih nejednakosti slijedi:
r
(QT∼
)= n
I ovdje se postavlja pitanje da li se mogu odrediti i drugi sistemi nezavisnih snopova naposred-
nim pregledom grafa. Ovdje cemo samo navesti jedan od mogucih nacina izbora sistema
nezavisnih snopova. U grafu G proizvoljno se izabere jedan snop i u njemu se sazima jedna
proizvoljna grana. U preostalom grafu se ponovo bira jedan snop i u njemu se sazima jedna
grana. Postupak se ponavlja sve dok se graf ne svede na jedan cvor. Sazimljene grane sacin-
javaju jedno stablo, ili dobijeni snopovi nijesu osnovni za ovo stablo jer neki od njih sadrze
više od jedne grane stabla.
53
2.3.5 Matrica cvorova (incidencije) Aa
∼
Relacija incidencije izmeu grana i cvorova jednog grafa se moze izraziti algebarski pomocu
matrice incidencije cvorovi-grane, ili krace matrice cvorova. Znaci to je pravougla matrica
razmjere c× b u kojoj vrste predstavljaju cvorove a kolone grane. Predpostavlja se da svaka
grana ima dva razlicita kraja, odnosno da grana nema petlji:
Aa
∼
= [aik]c×b
Funkcija koja definiše element matrice aik odreuje se na sledeci nacin:
aik =
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
1 ako je grana “k” vezana za cvor “i” i orjentisana je od cvora
−1 ako je grana “k” vezana za cvor “i” i orjentisana je ka cvoru
0 ako grana “k” nije incidentna cvoru “i”
Na primjer za graf prikazan na slici 2.45. matrica incidencije je:
2
1 3
b c
de
f
h
5 4
g
a
Slika 2.45:
a b c d e f g h
Aa
∼
=
1
2
3
4
5
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
1 1 0 −1 0 0 0 0
0 −1 −1 0 1 0 1 0
−1 0 1 0 0 0 0 1
0 0 0 0 0 1 −1 −1
0 0 0 1 −1 −1 0 0
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
54
Vidi se da u svakoj koloni matrice Aa
∼
postoje samo dva elementa koji nijesu nula: jedan je +1
a drugi −1. Osim toga, pošto je graf povezan, on nema izolovanih cvorova, pa mogu postojati
vrste ciji su elementi samo nule (nula-vrste), a pošto graf nema petlji, ne mogu postojati ni
nula-kolone. Zbir ma kojih q (q < c) vrsta matrice Aa
∼
jednog povezanog grafa sadrzi bar jedan
element +1 ili −1. Ako se u matrici Aa
∼
izostavi jedna vrsta dobija se nova matrica A∼
razmjere
n × b. Ova matrica, koja u potpunosti karakteriše graf kao i matrica Aa
∼
naziva se matricom
nezavisnih cvorova a izostavljeni cvor referentnim ili stozernim cvorom. Ako u predhodnom
primjeru izostavimo cvor 5 onda je on referentni cvor a matrica A∼
je:
a b c d e f g h
A∼
=
1
2
3
4
⎡⎢⎢⎢⎢⎣
1 1 0 −1 0 0 0 0
0 −1 −1 0 1 0 1 0
0 0 0 0 0 1 −1 −1
0 0 0 1 −1 −1 0 0
⎤⎥⎥⎥⎥⎦
Matrica cvorova Aa
∼
se moze posmatrati kao specijalni slucaj matrice Qa
∼
ako se presjeci uzmu
oko cvorova i svi orjentišu od cvora.
Teorema 5. Rang matrice Aa
∼
jednog povezanog grafa je n = c− 1 tj.
r
(Aa
∼
)= r
(A∼
)= ρ (G) = n = c− 1
Teorema 6. Kvadratna submatrica AT
∼
reda n = c−1matrice nezavisnih cvorova A∼
jednog
povezanog grafa G koji ima c cvorova je nesingularna ako i samo ako n kolona submatrice AT
∼
odgovaraju granama nekog stabla.
A∼
=[AT
∼
| AL
∼
]stablo︸ ︷︷ ︸ spojnice︸ ︷︷ ︸
Dokaz: Neka je T jedno stablo grafa G. Tada je AT
∼
matrica cvorova jednog povezanog
grafa koji ima c cvorova i n = c − 1 grana. Na osnovu teoreme 5 r
(AT
∼
)= n = c − 1
tj. matrica AT
∼
je nesingularna. Obratno, predpostavimo da je AT
∼
nesingularna submatrica
n = (c − 1)− og reda matrice A∼
. Tada je AT
∼
matrica cvorova jednog subgrafa G koji ima
sledece osobine:
a) ima c cvorova.
b) ima c− 1 grana
c) povezan je (jer je AT
∼
po predpostavci nesingularna) tj. ranga n = c − 1 pa je broj
55
komponenti p = 1.
Ove tri osobine su upravo potrebne i dovoljne da subgraf bude stablo T , što dokazuje
teoremu. Ova teorema je od osnovnog znacaja u teoriji grafova i u njenim primjenama, is-
ticuci osnovnu ulogu stabla kao jednog subgrafa cija je matrica cvorova nesingularna. Posled-
ica ove teoreme je da determinanta neke nesingularne submatrice matrice A∼
ima vrijednost
det
AT
∼
= 1 ili −1.
2.4 Veze izmeu topološkihmatrica. Centralna topološka
teorema
Ako se za jedan isti graf kolone matrice presjeka (cvorova) i kolone matrice kontura Ba
∼
pišu u
istom redosledu tada izmeu ove dvije matrice postoji fundamentalna relacija koja se formuliše
centralnom topološkom teoremom.
Teorema 7. Proizvod matrice presjeka Qa
∼
i transponovane matrice kontura Bt
a
∼
je nula
matrica.
Qa
∼
Bt
a
∼
= 0∼
Aa
∼
Bt
a
∼
= 0∼
Ba
∼
Qt
a
∼
= 0∼
Ba
∼
At
a
∼
= 0∼
Dokaz: Oznacimo sa C∼
= Qa
∼
Bt
a
∼
. Matrica Qa
∼
je matrica razmjere s× b; s - broj presjeka
(snopova), b - broj grana. Matrica Ba
∼
je matrica razmjere p × b; p - broj kontura, b - broj
grana. Bt
a∼
- transponovana matrica matrice Ba∼
razmjere b× p. Prema tome, matrice Qa∼
i Bta∼
ispunjavaju uslove za mnozenje (broj kolona prve matrice u proizvodu jednak je broju vrsta
druge matrice u proizvodu). Element matrice C∼
= [cik]s×p na presjeku i− te vrste i k− te
kolone cik bio bi:
cik =
b∑j=1
qijbjk
gdje je: i = 1, 2, ..., s; k = 1, 2, ..., p. Vidjeli smo da elementi qij i bjk mogu poprimati
vrijednosti (1,−1, 0). Da bi jedan ovakav element postojao potrebno je da se odgovarajuce
56
grane nalaze i na i− tom presjeku i na k− toj konturi, inace odgovarajuci element je nula.
Uzmimo jednu konturu. Neka je to k− ta kontura (slika 2.46.).
jβ
rβ
kµ
iν
Slika 2.46:
Na njoj je j− ta grana βj. Ali, ako postoji neka grana na k− toj konturi i na i− tom
presjeku, onda postoji, mora da postoji i još jedna grana na toj konturi koja ce se presjeci tim
presjekom. Dakle, pojavice se parovi:
cik = qijbjk + qirbrk = 1 · (−1) + 1 · 1 = 0
Moze se desiti da su grane βk i βr druge orjentacije kao što je prikazano na slici 2.47. Sada
imamo:
cik = qijbjk + qirbrk = (−1) · 1 + 1 · 1 = 0
jβ
rβ
kµ
iν
Slika 2.47:
Moze se pojaviti i kombinacija prikazana na slici 2.48. Tada je:
cik = qijbjk + qirbrk = 1 · (−1) + (−1) · (−1) = 0
Najzad i cetvrta kombinacija (imamo ukupno cetiri kombinacije) je prikazana na slici 2.49.
57
jβ
rβ
kµ
iν
Slika 2.48:
Imamo da je:
cik = qijbjk + qirbrk = (−1) · 1 + (−1) · (−1) = 0
jβ
rβ
kµ
iν
Slika 2.49:
Prema tome, elementi matrice C∼
, cik su nula pa je matrica C∼
- nul matrica a proizvod
Qa∼
Bta∼
= 0∼
. Time je ova teorema dokazana. Ovo je jedna od najvaznijih topoloških relacija u
teoriji grafova. Kao posledica ove teoreme moze se generisati citav niz veoma vaznih relacija:
Q∼
Bt
∼
= 0∼
; Q∼
Btf∼
= 0∼
; Qf∼
Btf∼
= 0∼
Qf∼
Bt
∼
= 0∼
; A∼
Bt
∼
= 0∼
; A∼
Btf∼
= 0∼
Koristeci ove relacije uradicemo nekoliko vaznih primjera.
Primjer 1: Data je matrica osnovnih presjeka Qf∼
. Odrediti matricu osnovnih kontura.
Qf∼
=
[1nn∼
| QfL∼
]; Bf
∼
=
[BfT∼
| 1mm∼
]
58
Qf∼
Btf∼
= 0∼
ili Bf∼
Qtf∼
= 0∼
Qtf∼
=
⎡⎢⎣ 1nn
∼
QtfL∼
⎤⎥⎦
[BfT∼
| 1mm∼
]⎡⎢⎣ 1nn∼
QtfL∼
⎤⎥⎦ = BfT
∼
+ QtfL∼
= 0∼
BfT∼
= − QtfL∼
Pa imamo:
Bf∼
=
[− Qt
fL∼
| 1mm∼
]Odnosno ako je data matrica Bf
∼
a trazi se Qf∼
imamo da je:
Qf∼
=
[1nn∼
| −BtfT∼
]
Primjer 2: Data je matrica Q∼
. Odrediti matricu osnovnih kontura Bf∼
.
Q∼
=
[QT∼
| QL∼
]; Bf
∼
=
[BfT∼
| 1mm∼
]
Bf∼
Qt
∼
= 0∼
;
Qt
∼
=
⎡⎢⎣ Qt
T∼
QtL∼
⎤⎥⎦
[BfT∼
| 1mm∼
] ⎡⎢⎣ Qt
T∼
QtL∼
⎤⎥⎦ = 0
∼
BfT∼
QtT∼
+QtL∼
= 0∼
BfT∼
QtT∼
= −QtL∼
/
(QtT∼
)−1
59
BfT∼
= −QtL∼
(QtT∼
)−1
= −QtL∼
(Q−1T∼
)t
= −
(Q−1T∼
QL∼
)t
Bf∼
=
[BfT∼
| 1mm∼
]=
[−
(Q−1T∼
QL∼
)t
| 1mm∼
]
Matrica se odreuje jednostavno za izabrano stablo T i pripadno ko-stablo L.
Primjer 3: Data je matrica nezavisnih kontura B∼
. Odrediti matricu Qf∼
.
Qf∼
=
[1nn∼
| QfL∼
]; B
∼
=
[BT∼
| BL∼
]
Qf∼
Bt
∼
= 0∼
[1nn∼
| QfL∼
]⎡⎢⎣ BtT∼
BtL∼
⎤⎥⎦ = 0
∼
BtT∼
+QfL∼
BtL∼
= 0∼
QfL∼
BtL∼
= −BtT∼
/
(BtL∼
)−1
QfL∼
= −BtT∼
(BtL∼
)−1
= −BtT∼
(B−1L∼
)t
= −
(B−1L∼
BT∼
)t
Qf∼
=
[1nn∼
| QfL∼
]=
[1nn∼
| −
(B−1L∼
BT∼
)t]
Matrica se odreuje jednostavno za izabrano stablo T i pripadno ko-stablo L.
Primjer 4: Data je matrica Q∼
. Odrediti matricu B∼
.
B∼
=
[BT∼
| BL∼
]; Q
∼
=
[QT∼
| QL∼
]
B∼
Qt
∼
= 0∼
[BT∼
| BL∼
]⎡⎢⎣ QtT∼
QtL∼
⎤⎥⎦ = 0
∼
60
BT∼
QtT∼
+BL∼
QtL∼
= 0∼
BT∼
QtT∼
= −BL∼
QtL∼
/
(QtT∼
)−1
BT∼
= −BL∼
QtL∼
(QtT∼
)−1
= −BL∼
QtL∼
(Q−1T∼
)t
= −BL∼
(Q−1T∼
QL∼
)t
B∼
=
[BT∼
| BL∼
]=
[−BL
∼
(Q−1T∼
QL∼
)t
| BL∼
]= BL
∼
[−
(Q−1T∼
QL∼
)t
| 1mm∼
]︸ ︷︷ ︸
Bf∼
Dobili smo vaznu relaciju koju smo koristili u predhodnim izvoenjima a sada smo je eksplicitno
pokazali:B∼
= B∼
LBf∼
; Bf∼
= B−1L∼
B∼
Primjer 5: Data je matrica B∼
. Odrediti matricu Q∼
.
Q∼
=
[QT∼
| QL∼
]; B
∼
=
[BT∼
| BL∼
]
Q∼
Bt
∼
= 0∼
[QT∼
| QL∼
]⎡⎢⎣ BtT∼
BtL∼
⎤⎥⎦ = 0
∼
QT∼
BtT∼
+QL∼
BtL∼
= 0∼
QL∼
BtL∼
= −QT∼
BtT∼
/
(BtL∼
)−1
QL∼
= −QT∼
BtT∼
(BtL∼
)−1
= −QT∼
BtT∼
(B−1L∼
)t
= −QT∼
(B−1L∼
BT∼
)t
Q∼
=
[QT∼
| QL∼
]=
[QT∼
| QT∼
(B−1L∼
BT∼
)t]= QT
∼
[1nn∼
| −
(B−1L∼
BT∼
)t]
︸ ︷︷ ︸Qf∼
Dobili smo vaznu relaciju koju smo koristili u predhodnim relacijama a sada smo je eksplicitno
61
dokazali:Q∼
= Q∼
TQf∼
; Qf∼
= Q−1T∼
Q∼
Primjer 6: Data je matrica nezavisnih cvorova A∼
. Odrediti matricu nezavisnih kontura
B∼
.
A∼
=
[AT∼
| AL∼
]; B
∼
=
[BT∼
| BL∼
]
B∼
At
∼
= 0∼
[BT∼
| BL∼
]⎡⎢⎣ AtT∼
AtL∼
⎤⎥⎦ = 0
∼
BT∼
AtT∼
+BL∼
AtL∼
= 0∼
BT∼
AtT∼
= −BL∼
AtL∼
/
(AtT∼
)−1
BT∼
= −BL∼
AtL∼
(AtT∼
)−1
= −BL∼
AtL∼
(A−1T∼
)t
= −BL∼
(A−1T∼
AL∼
)t
B∼
=
[BT∼
| BL∼
]=
[−BL
∼
(A−1T∼
AL∼
)t
| BL∼
]= BL
∼
[−
(A−1T∼
AL∼
)t
| 1mm∼
]︸ ︷︷ ︸
Bf∼
Bf∼
=
[−
(A−1T∼
AL∼
)t
| 1mm∼
]
Primjer 7: Data je matrica nezavisnih cvorova A∼
. Odrediti matrice osnovnih Qf∼
i neza-
visnih presjeka Q∼
.
Qf∼
Bf∼
= 0∼
Matricu Bf∼
smo u predhodnom primjeru izrazili preko matrice A∼
:
Bf∼
=
[−
(A−1T∼
AL∼
)t
| 1mm∼
]
62
[1nn∼
| QfL∼
]⎡⎢⎣ −A−1T∼
AL∼
1mm∼
⎤⎥⎦ = 0
∼
−A−1T∼
AL∼
+QfL∼
= 0∼
QfL∼
= A−1T∼
AL∼
Qf∼
=
[1nn∼
| QfL∼
]=
[1nn∼
| A−1T∼
AL∼
]
A∼
=
[AT∼
| AL∼
]= AT
∼
[1nn∼
| A−1T∼
AL∼
]︸ ︷︷ ︸
Qf∼
A∼
= AT∼
Qf∼
; Qf∼
= A−1T∼
A∼
Q∼
= QT∼
Qf∼
= QT∼
A−1T∼
AL∼
= T∼
A∼
2.5 Kirhofovi zakoni i nezavisne promjenljive elektricnog
kola
Pojmovi razvijeni u predhodnim izlaganjima omogucavaju nove, potpune, stroge i vrlo oper-
ativne formulacije kirhofovih zakona. Ako se svakom elementu kola (grani grafa elektricnog
kola) pridruze dvije promjenljive, napon i struja, onda za b− elemenata (grana) imamo matrice
kolone:
u∼
=
⎡⎢⎢⎢⎢⎣
u1
u2...
ub
⎤⎥⎥⎥⎥⎦ ; i
∼
=
⎡⎢⎢⎢⎢⎣
i1
i2...
ib
⎤⎥⎥⎥⎥⎦
Koristeci topološke matrice, Kirhofovi zakoni se mogu napisati u vrlo kompaktnom i jednos-
tavnom obliku. KZS (Kirhofov zakon za struje):
Qa
∼
i∼
= 0∼
Aa
∼
i∼
= 0∼
63
Algebarska suma struja svakog presjeka (snopa) ili cvora jednaka je nuli za sve vremenske
varijacije struja i za svaki trenutak vremena t. KZN (Kirhofov zakon za napone):
Ba
∼
u∼
= 0∼
Osobine topoloških matrica grafa elektricnog kola omogucavaju nam da pišemo Kirhofove
zakone u obliku minimalnog broja nezavisnih jednacina.
Teorema 8: Broj nezavisnih jednacina po KZS je n = c − 1 = ρ (G), a broj nezavisnih
jednacina po KZN je m = b− n = b− c+ 1 = η (G) .
Dokaz: Neposredna je posledica teorema o rangovima odgovarajucih matrica, buduci da
rang matrica Qa
∼
(Aa
∼
) odreuje broj nezavisnih jednacina po KZS, a rang matrice Ba
∼
broj
nezavisnih jednacina za KZN. Ova teorema nam daje pravo da mozemo pisati za KZS:
Q∼
i∼
= 0∼
ili A∼
i∼
= 0∼
gdje imamo n− nezavisnih jednacina. Za KZN mozemo pisati:
B∼
u∼
= 0∼
gdje imamo m− nezavisnih jednacina. Ove jednacine nam kazuju da je dovoljno da Kirhofovi
zakoni budu zadovoljeni za samo n nezavisnih presjeka - snopova (cvorova) i za samo m
nezavisnih kontura da bi ovi zakoni bili zadovoljeni za sve presjeke - snopove (cvorove) odnosno
za sve konture.
Buduci da b struja i∼
(rješenje ovog sistema) zadovoljava n nezavisnih jednacina, to se struje
i∼
mogu izraziti u funkciji samo m = b − n struja. Ovih m struja koje odreuju sve struje
u mrezi nazivaju se nezavisnim strujama. Isto tako, buduci da b napona u∼
zadovoljava
m− nezavisnih jednacina to se naponi u∼
mogu izraziti u funkciji samo n = b − m napona.
Ovih n - napona koji odreuju sve napone kola nazivaju se nezavisnim naponima. Prema
tome, odreivanje svih struja i svih napona elemenata kola moze se svesti u krajnjoj liniji na
odreivanje samo nezavisnih struja ili na odreivanje samo nezavisnih napona.
Teorema 9: Struje spojnica i naponi grana stabla su nezavisne velicine.
Dokaz:
64
Q∼
i∼
= 0∼
Q∼
=
[QT
∼
| QL
∼
]; i∼
=
⎡⎢⎣ iT
∼
iL∼
⎤⎥⎦
[QT
∼
| QL
∼
]⎡⎢⎣ iT∼
iL∼
⎤⎥⎦ = 0
∼
QT
∼
iT∼
+QL
∼
iL∼
= 0∼
QT
∼
iT∼
= −QL
∼
iL∼
/
(Q−1T
∼
)iT∼
= −Q−1T
∼
QL
∼
iL∼
i∼
=
⎡⎢⎣ iT
∼
iL∼
⎤⎥⎦ =
⎡⎢⎣ −Q−1
T
∼
QL
∼
iL∼
iL∼
⎤⎥⎦
i∼
=
⎡⎢⎣ −Q−1
T
∼
QL
∼
1mm∼
⎤⎥⎦
︸ ︷︷ ︸Btf∼
iL∼
⇒ i∼
= Btf∼
iL∼
B∼
u∼
= 0∼
B∼
=
[BT∼
| BL∼
]; u∼
=
⎡⎢⎣ uT
∼
uL∼
⎤⎥⎦
[BT∼
| BL∼
]⎡⎢⎣ uT∼
uL∼
⎤⎥⎦ = 0
∼
BT∼
uT∼
+BL∼
uL∼
= 0∼
BL∼
uL∼
= −BT∼
uT∼
/
(B−1L∼
)uL∼
= −B−1L∼
BT∼
uT∼
u∼
=
⎡⎢⎣ uT
∼
uL∼
⎤⎥⎦ =
⎡⎢⎣ uT
∼
−B−1L∼
BT∼
uT∼
⎤⎥⎦
u∼
=
⎡⎢⎣ 1nn
∼
−B−1L∼
BT∼
⎤⎥⎦
︸ ︷︷ ︸Qt
f∼
uT∼
⇒ u∼
= Qtf∼
uT∼
Struje spojnica iL∼
i naponi grana stabla uT∼
su samo jedan od mogucih skupova nezavisnih
struja i nezavisnih napona kola. Naredne dvije teoreme obrazlazu uvoenje drugih skupova
nezavisnih napona i nezavisnih struja kola.
Teorema 10. KZS ekvivalentan je relaciji:
i∼
= B∼
tj∼
gdje je j∼
proizvoljan sistem nezavisnih struja oblika:
j∼
=
⎡⎢⎢⎢⎢⎣
j1
j2...
jm
⎤⎥⎥⎥⎥⎦
Dokaz:
Q∼
i∼
= 0∼
65
Q∼
Bt
∼︸︷︷︸0∼
j∼
≡ 0∼
Teorema 11: KZN ekvivalentan je relaciji:
u∼
= Q∼
tv∼
ili u∼
= A∼
tv∼
gdje je v∼
proizvoljan sistem nezavisnih napona oblika:
v∼
=
⎡⎢⎢⎢⎢⎣
v1
v2...
vn
⎤⎥⎥⎥⎥⎦
Dokaz:
B∼
u∼
= 0∼
B∼
Q∼
t
︸︷︷︸0∼
v∼
≡ 0∼
Teorema 12: TELLEGENOVA TEOREMA
Naponi i struje elemenata zadovoljavaju Kirchhoffove zakone bez obzira na fizicku
prirodu elemenata. Ovi zakoni iskljucivo zavise od nacina meusobnog vezivanja elemenata u
mrezi, koji je sa svoje strane opisan grafom mreze. Pored Kirchhoffovih zakona, naponi i struje
elemenata zadovoljavaju još jednu interesantnu relaciju koja takoe zavisi iskljucivo od grafa
mreze, odnosno posledica je Kirchhoffovih zakona. Teorema 12 (B. D. H. T) glasi:
Za jednu proizvoljnu mrezu naponi uk i struje ik pristupa elemenata zadovoljavaju relaciju:
b∑k=1
ukik = 0
Dokaz: Lijeva strana se moze napisati u obliku:
p =b∑
k=1
ukik =[u1 u2 · · · ub
]⎡⎢⎢⎢⎢⎣
i1
i2...
ib
⎤⎥⎥⎥⎥⎦ = ut
∼
i∼
66
u∼
= Qt
∼
v∼
; i∼
= Bt
∼
j∼(
Qt
∼
v∼
)t(Bt
∼
j∼
)= v∼
t
(Q∼
Bt
∼
)j∼
≡ 0
Ova teorema izrazava cinjenicu da je ukupna trenutna snaga mreze jednaka nuli, odnosno
da se ukupna trenutna snaga mreze odrzava. Ovo je jedna od rijetkih opštih teorema koje
vaze za sve mreze. Danas ona nalazi mnogobrojne primjene. Posebno je interesantna njena
primjena na odreivanje osjetljivosti kola u odnosu na promjenu parametara elemenata kola.
Vazno je podvuci da su u pokazivanju teoreme korišceni samo Kirchhoffovi zakoni. Stoga
je ona posledica zadovoljavanja tih zakona. Samim tim ona vazi za mreze obrazovane od
bilo koje vrste elemenata, linearnih, nelinearnih, stacionarnih ili nestacionarnih i za sve vrste
rezima u kolu.Stoga ona ima fundamentalni karakter, ima snagu postulata i moze zamijeniti
jedan od Kirchhoffovih zakona.
Primjer 8: Polazeci od KZS i Tellegenove teoreme izvesti KZN.
Q∼
i∼
= 0∼
odnosno i∼
= Bt
∼
j∼
ut
∼
i∼
= ut
∼
Bt
∼
j∼
=(B∼
u∼
)t
j∼
= 0∼
Iz predhodne relacije slijedi da je:
B∼
u∼
= 0∼
Primjer 9: Polazeci od KZN i Tellegenove teoreme izvesti KZS.
B∼
u∼
= 0∼
odnosno u∼
= Qt
∼
v∼
ut
∼
i∼
=
(Qt
∼
v∼
)t
i∼
= v∼
t
(Q∼
i∼
)= 0∼
Iz predhodne relacije slijedi da je:
Q∼
i∼
= 0∼
2.6 Karakteristike elemenata
Do sada smo razmatrali samo pitanja koja se odnose na meusobno vezivanje elemenata u
mrezu. Ova pitanja smo mogli da rješavamo potpunoi nezavisno od fizicke prirode elemenata
mreze buduci da Kirhofovi zakoni i Telegenova teorema ne zavise od njihovih karakteristika.
Tako smo ustanovili neke topološke osobine mreze vezane za formulaciju Kirhofovih zakona
i pisanje nezavisnih jednacina po Kirhofovim zakonima, koristeci pri tome samo graf mreze
67
i njegove topološke matrice. Utvrdili smo minimalni broj nezavisnih jednacina koje daju
Kirhofovi zakoni, nezavisne promjenljive mreze kao i neke “koordinate sistema” mreze tj.
nezavisne presjeke i nezavisne konture u kojima su jednacine po ovim zakonima nezavisne.
Za elektricno kolo sa b - grana imamo 2b - promjenljivih: b - struja i b - napona. Kirhofovi
zakoni na osnovu topološke informacije gtafa kola daju b - nezavisnih jednacina. Da bi smo
mogli formulaisati potpuni sistem jednacina mreze, potrebno je Kirhofovim zakonima pridodati
karakteristike elemenata. Svaki element je karakterisan nekom relacijom izmeu napona i
struje koja se naziva karakteristika elementa. Elektricna mreza se sastoji od nekoliko vrsta
elemenata koji su na pogodan nacin meusobno povezani preko svojih krajeva. U vecini
slucajeva krajevi elemenata se grupišu u parovima koji se zovu i pristupi elemenata. Svakom
paru krajeva se pridruzuju dvije promjenljive: napon i struja. Naponi i struje su funkcije
vremena t i orjentisane su velicine. Za isticanje orjentacije, svaki par krajeva se predstavlja
jednim orjentisanim linijskim segmentom.
Odreenu kombinaciju elemenata nazivamo standardnim elementima mreze. Elementi su
modeli pojedinacnih djelova na koji se posmatrani fizicki sistem moze rastaviti. Za oblik
eksitacije uzecemo uopšteni eksponencijalni oblik koji obuhvata sve glavne oblike eksitacije u
elektricnim mrezama:
u(t) = Uest
i(t) = Iest
gdje je s - kompleksna velicina i ima prirodu ucestanosti. Imamo cetiri vrste standardnih
elemenata sa jednim pristupom i to:
I. Element prikazan na slici 2.50. cija je karakteristika:
U = Z(s)I
I = Y (s)U
( )I s
[ ]( ) ( )Z s Y s( )U s ( )I s ( )U s
Slika 2.50:
68
II. Element prikazan na slici 2.51. cija je karakteristika:
U(s) + Ug(s) = Z(s)I(s)
( )U s
( )I s
( )I s ( )U s
( )Z s
( )gU s
Slika 2.51:
III. Element prikazan na slici 2.52. cija je karakteristika:
I(s) + Ig(s) = Y (s)U(s)
( )U s ( )I s ( )U s( )Y s( )gI s
Slika 2.52:
IV. Element koji nazivamo generalisana grana koji je prikazan na slici 2.53. a cija je
karakteristika:
U(s) + Ug(s) = Z(s)
(I(s) + I
g(s)
)I(s) + I
g(s) = Y (s)
(U(s) + U
g(s)
)Predhodna tri oblika su specijalni slucaj generalisanog elementa (grane). Ako u mrezi
ima ukupno b - generalisanih elemenata (grana) tada se njihove karakteristike mogu pisati u
matricnom obliku:
U∼
+ Ug
∼
= Z∼
(I∼
+ Ig∼
)
69
( )gI s
( )gU s ( )Z s( )I s
( )U s
( )U s
( )I s
Slika 2.53:
I∼
+ Ig∼
= Y∼
(U∼
+ Ug
∼
)Predhodne relacije predstavljaju matricni oblik karakteristika elemenata generalisane grane
ili Omov zakon u matricnom obliku gdje su: U∼
, Ug
∼
, I∼
, i Ig∼
matrice kolone (b × 1) napona i
struja nezavisnih generatora i napona i struja grana; Z∼
i Y∼
su kvadratne dijagonalne matrice
razmjere (b × b) impedansi i admitansi grana. Za slucaj kola bez induktivne sprege imamo
da je[Z∼
= Y∼
−1; Y∼
= Z∼
−1
]. Ako postoji induktivna sprega izmeu pojedinih grana tada ce
postojati elementi i van glavne dijagonale. Formulisanje jednacina elektricne mreze karakteris-
tike elemenata zajedno sa Kirchhoff-ovim zakonima obrazuju jedan potpun sistem nezavisnih
jednacina, cijim se rješavanjem uz date pocetne uslove. Uslove odreuju naponi U∼
i struje
I∼
svih elemenata. Polazne jednacine su:
Q∼
I∼
= 0∼
n− nezavisnih jednacina (2.7)
A∼
I∼
= 0∼
n− nezavisnih jednacina (2.8)
B∼
U∼
= 0∼
m− nezavisnih jednacina (2.9)
U∼
+ Ug
∼
= Z∼
(I∼
+ Ig∼
)b− nezavisnih jednacina (2.10)
I∼
+ Ig∼
= Y∼
(U∼
+ Ug
∼
)b− nezavisnih jednacina (2.11)
Dakle, imamo na raspolaganju sistem od ukupno n+m+ b = 2b nezavisnih jednacina za isto
toliko napona i struja.
EKSITACIJE U ELEKTRICNIM
KOLIMA
Eksitacije (pobude) u elektricnim kolima date su naponima i strujama nezavisnih generatora.
U intervalu vremena dok djeluju u kolu, eksitacije se mogu mijenjati sa vremenom na razlicite
nacine. Upoznacemo se sa osnovnim vremenskim oblicima eksitacija, uz napomenu da se
pomocu ovih elementarnih funkcija, mogu aproksimirati i druge slozene funkcije.
3.1 Osnovni vremenski oblici eksitacija
3.1.1 Hevisajdova funkcija (Heviside function)
Ova funkcija se još naziva i jedinicna funkcija, odskocna funkcija, step funkcija a prikazana je
na slici 3.54. Oznacavacemo je sa h(t). Hevisajd je definisao kao:
h (t) =
0, t < 0
1, t > 0
(3.12)
1
( )h t
t
Slika 3.54: Hevisajdova funkcija h(t)
Ova funkcija nam omogucava da preko nje izrazimo druge funkcije sa jedinstvenim anali-
tickim izrazom a sa druge strane ona modeluje idealni prekidac. Do sada, kao prekidac smo
imali kondezator. Posmatrajmo kolo na slici 3.55. U trenutku t = 0 ukljucimo DC struju
(napon). Poslije nekog vremenskog intervala napon na kondezatoru ce biti jednak E.
70
71
E
C
0t =
Slika 3.55: Ukljucivanje eksitacije u trenutku t = 0
Znaci treba definisati trenutak t = 0 analiticki. Definiciju ne bi mogli uraditi bez Hevisaj-
dove funkcije. Njenim korišcenjem imamo:
e (t) =
0, t < 0
E, t > 0
(3.13)
tj. analiticki (jedinstven) izraz bi bio:
e (t) = Eh (t) (3.14)
gdje je e(t) - napon na kondezatoru. U opštem slucaju funkcijef(t) imamo:
f(t)h (t) =
0, t < 0
f(t), t > 0
(3.15)
Definišimo i pomjerenu Hevisajdovu funkciju kao:
h (t− T ) =
0, t < T
1, t > T
(3.16)
1
( )h t T−
T t
Slika 3.56: Hevisajdova funkcija h(t− T )
72
U opštem slucaju funkcije f(t) imali bi:
f(t)h (t− T ) =
0, t < T
f(t), t > T
(3.17)
Funkcije h(−t) i h(T − t) imale bi grafik:
11
t tT
( )h T t−( )h t−
Slika 3.57: Hevisajdove funkcije h(−t) i h(T − t)
3.1.2 Funkcija sgnt
Finkcija sgnt ili funkcija znaka prikazana je na slici 3.58 a opisana je sa
sgnt =
−1, t < 0
1, t > 0
(3.18)
1
t
sgn t
1−
Slika 3.58: Funkcija znaka
U opštem slucaju funkcije f(t) imali bi:
f(t)sgn t =
−f(t), t < 0
f(t), t > 0
(3.19)
Veza izmeu Hevisajdove funkcije i funkcije znaka je:
h (t) =1
2+
1
2sgn t (3.20)
73
3.1.3 Funkcija pa(t)
Funkcija pa(t) se naziva pravougaoni (video) impuls
1
( )a
p t
ta− a
Slika 3.59: Pravougaoni impuls
pa(t) =
1
0
−a < t < a
|t| > a
(3.21)
3.1.4 Usponska funkcija r(at)
Usponska ili “rampa” funkcija je definisana kao:
r (at) =
0, t < 0
at, t > 0
(3.22)
t
1
1
( )r t
Slika 3.60: Jedinicna usponska funkcija
Usponska funkcija jedinicnog nagiba (a = 1) tzv. jedinicna usponska funkcija, prikazana je
na slici3.60. Na osnovu relacija (3.12) i (3.22) zakljucujemo da izmeu Hevisajdove i jedinicne
usponske funkcije postoji veza
r (t) =t∫−∞
h(τ)dτ = th (t) (3.23)
Hevisajdovu funkciju mozemo izraziti preko “rampa” funkcije kao:
h (t) =dr (t)
dt(3.24)
74
Pomjerena “rampa” funkcija za neko T prikazana je na slici 3.61.
tT
( )r t
45
Slika 3.61: Pomjerena “rampa” funkcija
a definisana je na sledeci nacin
r (t− T ) = (t− T )h (t− T ) (3.25)
3.1.5 Hevisajdov naponski i strujni generator
Napon nezavisnog generatora sa eksitacijom koja je oblika Hevisajdove funkcije naziva se
Hevisajdov naponski generator i predstavlja se sa
ug (t) = Uh (t) (3.26)
odnosno to je naponski generator konstantnog napona U koji ukljucujemo u trenutku t = 0
(slika 3.62). Ovaj naponski generator kao što vidimo proizvodi DC napon.
U
( )gu t
t
Slika 3.62: Hevisajdov naponski generator
Struja nezavisnog generatora sa eksitacijom koja je oblika Hevisajdove funkcije naziva se
Hevisajdov strujni generator i predstavlja se sa
ig (t) = Ih (t) (3.27)
75
I
( )gi t
t
Slika 3.63: Hevisajdov strujni generator
odnosno to je strujni generator konstantne struje I koji ukljucujemo u trenutku t = 0 (slika
3.63). Ovaj strujni generator proizvodi DC strujnu.
ModelH-ovog naponskog generatora i ekvivalentno kolo prikazani su na slici 3.64.
( )Uh t U Π
0t =
( )Uh t
( )a ( )b
Slika 3.64: (a) Hevisajdov naposki generator; (b) ekvivalentno kolo
Model H-ovog strujnog generatora i ekvivalentno kolo prikazani su na slici 3.65.
( )Ih t
( )Ih t
Π
0t =
( )Ih t
( )a ( )b
Slika 3.65: (a) Hevisajdov strujni generator; (b) ekvivalentno kolo
Ukljucivanje H-ovog naponskog generatora u t = 0 i ekvivalentno kolo prikazani
su na slici 3.66. Ukljucivanje H-ovog strujnog generatora u t = 0 i ekvivalentno kolo
prikazani su na slici 3.67.
76
U
Π
0t =
( )u t
ELEKTRIČNOKOLO
( ) 0
za 0
u t
t
⎡ = ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥<⎢ ⎥⎣ ⎦
( )Uh tELEKTRIČNO
KOLO
( )a ( )b
Slika 3.66: (a) Ukljucivanje naponskog generatora u trenutku t = 0; (b) ekvivalentno kolo
IΠ
0t =
ELEKTRIČNOKOLO
( ) 0
za 0
i t
t
⎡ = ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥<⎢ ⎥⎣ ⎦
( )Ih tELEKTRIČNO
KOLO
( )i t
( )a ( )b
Slika 3.67: (a) Ukljucivanje strujnog generatora u trenutku t = 0; (b) Ekvivalentno kolo
3.1.6 Predstavljanje nekih eksitacija Heaviside-ovom funkcijom
Ako bi imali napon oblika (ili struju):
U
( )gu t
tT
tada bi njegov jedinstveni analiticki izraz preko Hevisajdove fnukcije bio :
ug(t) = Uh(t− T ) ∀ t
Ako bi imali napon oblika (ili struju):
77
U
( )gu t
t1T 2T
tada bi njegov jedinstveni analiticki izraz preko Hevisajdove fnukcije bio :
ug(t) = U [h(t− T1)− h(t− T2)] ∀ t
Ako bi imali napon oblika (ili struju):
U
( )gu t
t
T 2T
U−
tada bi njegov jedinstveni analiticki izraz preko Hevisajdove fnukcije bio :
ug(t) = Uh(t)− 2Uh(t− T ) + Uh(t− 2T ) ∀ t
Ako bi imali napon oblika (ili struju):
U
( )gu t
t
T 2T
U−
tada bi njegov jedinstveni analiticki izraz preko Hevisajdove fnukcije bio :
ug(t) = Uh(t)− 2Uh(t− T ) + 2Uh(t− 2T ) ∀ t
Ako bi imali napon oblika (ili struju):
78
I
( )gi t
t
T 2T 3T
2
I−
tada bi njegov jedinstveni analiticki izraz preko Hevisajdove fnukcije bio :
ig(t) = Ih(t)− 3
2Ih(t− T ) +
1
2Ih(t− 3T ) ∀ t
Ako bi imali napon oblika (ili struju):
U
( )gu t
tT 2T
2U
tada bi njegov jedinstveni analiticki izraz preko Hevisajdove fnukcije bio :
ug(t) = Uh(t) + Uh(t− T )− 2Uh(t− 2T ) ∀ t
Ako bi imali napon oblika (ili struju):
I
( )gi t
tT
tada bi njegov jedinstveni analiticki izraz preko Hevisajdove fnukcije bio :
ig(t) =I
T[th(t)− (t− T )h(t− T )] ∀ t
ig(t) =I
T[r(t)− r(t− T )] ∀ t
79
Ako bi imali napon oblika (ili struju):
U
( )gu t
t1T 2T
tada bi njegov jedinstveni analiticki izraz preko Hevisajdove fnukcije bio :
ug(t) =U
T1r(t)− U
T1r(t− T1)− Uh(t− T2) ∀ t
Ako bi imali napon oblika (ili struju):
U
( )gu t
tT
tada bi njegov jedinstveni analiticki izraz preko Hevisajdove fnukcije bio :
ug(t) =U
Tr(t)− U
Tr(t− T )− Uh(t− T ) ∀ t
Ako bi imali napon oblika (ili struju):
I
( )gi t
tT 2T
I−
tada bi njegov jedinstveni analiticki izraz preko Hevisajdove fnukcije bio :
ig(t) =I
T[r(t)− 2Th(t− T )− r(t− 2T )] ∀ t
Ako bi imali napon oblika (ili struju):
80
I
( )gi t
tT
tada bi njegov jedinstveni analiticki izraz preko Hevisajdove fnukcije bio :
ig(t) = Ih(t)− I
Tth(t) +
I
T(t− T )h(t− T ) ∀ t
ig(t) = Ih(t)− I
Tr(t) +
I
Tr(t− T ) ∀ t
Ako bi imali napon oblika (ili struju):
I
( )gi t
t
2
T T
I−
tada bi njegov jedinstveni analiticki izraz preko Hevisajdove fnukcije bio :
ig(t) = Ih(t)− 2I
Tr(t) +
2I
Tr(t− T ) ∀ t
Ako bi imali napon oblika (ili struju):
U
( )gu t
t1T 2T
tada bi njegov jedinstveni analiticki izraz preko Hevisajdove fnukcije bio :
ug(t) = U
[h(t)− r (t− T1)
T2 − T1+
r (t− T2)
T2 − T1
]∀ t
Ako bi imali napon oblika (ili struju):
81
I
( )gi t
tT 2T
tada bi njegov jedinstveni analiticki izraz preko Hevisajdove fnukcije bio :
ig(t) =I
Tth(t)− 2I
T(t− T )h(t− T ) +
I
T(t− 2T )h(t− 2T ) ∀ t
ig(t) =I
Tr(t)− 2I
Tr(t− T ) +
I
Tr(t− 2T ) ∀ t
Ako bi imali napon oblika (ili struju):
1KT
( )gu t
t1T 2T 3 1 2T T T= +
tada bi njegov jedinstveni analiticki izraz preko Hevisajdove fnukcije bio :
ug(t) = K [th(t)− (t− T1)h(t− T1)− (t− T2)h(t− T2) + (t− T3)h(t− T3)] ∀ t
ug(t) = K [r(t)− r(t− T1)− r(t− T2) + r(t− T3)] ∀ t
Ako bi imali napon oblika (ili struju):
( )e t
t
2
π
ω
2π
ω
0
mE
82
tada bi njegov jedinstveni analiticki izraz preko Hevisajdove fnukcije bio :
e(t) = (Em sinωt)h(t)−[Em cosω
(t− π
2ω
)]h(t− π
2ω
)∀ t
e(t) =
Em sinωt
0
0 ≤ t ≤ τ
t ≤ 0 i t > τ
e(t) = Em sinωt [h(t)− h(t− τ )]
sinωt = sin [ω (t− τ) + ωτ ] = cosωτ sinω(t− τ) + sinωτ cosω(t− τ)
pa je:
e(t) = Em sinωth(t)−Em cosωτ sinω(t−τ )h(t−τ )+Em sinωτ sin(ωt− π
2− τ
)h(t−τ) ∀ t
Ako se prostoperiodicna eksitacija e(t) = Em cos(ωt + θ) ukljucuje u trenutku t0 = 0 ona je
opisna izrazom:
e1(t) = Em cos(ωt+ θ)h(t)
a ako se ukljucuje u trenutku t0 = 0 ona je data sa:
e2(t) = Em cos [ω(t− t0) + θ] h(t− t0) = e1(t− t0)
3.2 Predstavljanje proizvoljne funkcije preko zbira Heaviside-
ove funkcije
Upošte, mozemo bilo kakvu funkciju izraziti preko Hevisajdove funkcije. Posmatrajmo proizvoiljnu
vremensku funkciju prikazanu na slici 3.68.
Funkcija koja je predstavljena stepenastom linijom moze se izraziti zbirom Heaviside-ovih
funkcija:
u(t) ≈ u(0)h(t) +τ=t−∆τ∑
τ=0
∆u(τ)h(t− τ −∆τ ) (3.28)
gdje je ∆u(τ) = u(τ+∆τ)−u(τ ). Zbir predstavljen relacijom (3.28) ce tacno predstavljati
funkciju u(t) kada ∆τ → 0 :
u(t) = lim∆τ→0
[u(0)h(t) +
τ=t−∆τ∑τ=0
∆u(τ )h(t− τ −∆τ )
]
U granicnom prelazu zbir prelazi u integral a priraštaj∆u(τ ) u diferencijal du(τ) = u′(τ)dτ
83
( )u t
tττ∆
( )u τ ( )u τ τ+ ∆
( ) ( ) ( )u u uτ τ τ τ∆ = + ∆ −
( ) ( )u h tτ τ τ∆ − −∆
(0) ( )u h t
(0)u
t
Slika 3.68: Proizvoljna vremenska funkcija
pa je:
u(t) = u0h(t) +
t∫0
u′(τ)h(t− τ )dτ (3.29)
Relacija (3.29) predstavlja Dijamelov (D H) superpozicioni integral. Da ova relacija
predstavlja identitet lako se uvia ako se uzme u obzir da je: h(t− τ ) = 1 za t− τ > 0, to jest
za 0 < τ < t.
3.3 Prostoperiodicna eksitacija
Prostoperiodicna eksutacija je eksitacija koja se moze predstaviti u obliku
ug(t) = Um cos(ωt+ θ) (3.30)
ili
ug(t) = Um sin(ωt + θ) (3.31)
Ako je poznata frekvencija ω, tada je napon ug(t) u potpunosti odreen sa amplitudom Um i
fazom θ. Ove velicine se mogu predstaviti u kompleksnom obliku kao
U = Umejθ (3.32)
84
Velicina U se naziva fazor ili kompleksna amplituda. Eksitaciju ug(t) = Um cos(ωt+θ)mozemo
sada zapisati u formi
ug(t) = ReUme
jθejωt= Um cos(ωt+ θ) (3.33)
Ova eksitacija je periodicna tj.
ug(t+ T ) = ug(t)
a perioda je jednaka
T =2π
ω; f =
1
T=
ω
2π; ω = 2πf
cos(ωt− π
2
)= sinωt
sin(ωt +
π
2
)= cosωt
Ovakva eksitacija naziva se neprigušena eksitacija (sinusoida).
3.3.1 Periodicna (slozenoperiodicna) funkcija
Funkcija koja se periodicno ponavlja sa periodom T ; e(t + nT ) = e(t) za n = 0, 1, 2, 3... ali
nije prostoperiodicna naziva se slozenoperiodicnom funkcijom.
3.4 Pseudoperiodicna eksitacija -prigušena periodicna
eksitacija
Eksitacija oblika:
u(t) = Umeαt cos(ωt+ θ) (3.34)
naziva se pseudoperiodicna ili prigušena eksitacija. Na slici 3.69. prikazana je ova eksitacija
za razlicite vrijednosti parametara σ i ω.
Ekscitaciju u obliku prigušene sinusoide je moguce zapisati i u formi
u(t) = ReUme
σt ej(ωt+θ)= Re
Ume
θt ej(σ+ωt)
(3.35)
Ako definišemo velicinu s = σ+jω koji nazivamo kompleksna ucestanost (ili generalisani broj)
zadnju relaciju mozemo zapisati kao
u(t) = ReUest
(3.36)
85
( )gu t
t
( )u t
t
( )u t
t
( )u t
t
( )u t
t
( )u t
t
( ) 0a σ <
( ) 0b σ >
( ) 0c σ =
( ) 0; 0e σ ω> =
( ) 0; 0d σ ω< =
( ) 0; 0f σ ω= =
Slika 3.69: Eksitacija u(t) = Umeαt cos(ωt+ θ) za razlicite vrijednosti σ i ω
86
gdje je: U = Umejθ fazor. Fazor U(s) koji odgovara naponu u(t) naziva se generalizovani
fazor, a s generalizovana frekvencija. Meutim, pošto je s kompleksan broj, cesto se
naziva i komplesna ucestanost sa komponentama σ = Re s Np
si ω = Im s rad
s. Ako se
funkcija moze zapisati u obliku
f(t) = K1es1t +K2e
s2t + · · ·+Knesnt (3.37)
gdje su Ki i si velicine nezavisne od vremena, onda je ona okarakterisana sa kompleksnim
ucestanostima. Na primjer, ako izraz
u(t) = Umeσt cos(ωt + θ) (3.38)
zapišemo u obliku
u(t) = Umeσt
(ej(ωt+θ) + e−j(ωt+θ)
2
)(3.39)
rezultira sa
u(t) = K1e(σ+jω)t +K2e
(σ−jω)t (3.40)
gdje jeK1 = Umejθ/2 iK2 = Ume
−jθ/2 = K∗
1 . Prema tome, velicina u(t) ima dvije kompleksne
ucestanosti: s1 = σ + jω i s2 = σ − jω = s∗1. Ako imamo kompleksni par polova, onda i
njihovi koeficijenti u razvoju su takoe kompleksno konjugovani. Na primjer, ako F (s) ima
pol s = α± jβ odgovarajuci razvoj je
F (s) =A
s− α− jβ+
B
s− α− jβ(3.41)
Tada je
A = (s− α− jβ)F (s)|s=α+jβ (3.42)
B = (s− α + jβ)F (s)|s=α−jβ (3.43)
Iz relacija (3.42) i (3.43) vidimo da je B = A∗. Inverzna transformacija je
f(t) = Ae(α+jβ)t + A∗e(α−jβ)t (3.44)
Prema tome
f(t) = 2ReAe(α+jβ)t
(3.45)
Ako je A = |A| ejθ onda je
f(t) = 2Re|A| eαtej(βt+θ) = 2 |A| eαt cos (βt+ θ) (3.46)
Primjer 1: Neka je u = 25e−t cos 2t V . Odrediti generalisani fazor i kompleksnu uces-
87
tanost.
Rešenje:
U = 25∠0
s = −1 + j2
Primjer 2: Ako je i = Imeσt cos(ωt + θ) , a napon je dat izrazom u = Ldi
dt+Ri dokazati
da je napon takoe oblika prigušene sinusoide i iste ucestanosti.
Rješenje: Definišimo napon u1 = Uest, tada je naš trazeni napon:
u = ReUest
Struja i1 = Iest pa slijedi da je i = Re Iest, pri cemu je fazor struje I = Imax∠0
. Kada se
ove relacije uvrste u relaciju u = Ldidt+ Ri dobija se:
Uest = LsIest +RIest
Diferenciranje u vremenskom domenu ekvivalentno je mnozenju sa s u kompleksnom domenu.
Sreivanjem prethodne relacije dobija se:
U = (R+ sL) I
Sa druge strane : U = |U |∠θ, odnosno:
U = Im
√(R+ σL)2 + ω2L2ej(arctan
ωL
R+σL+θ)
pa je naš trazeni napon:
u = ReUest
= Im
√(R + σL)2 + ω2L2eσt cos
(θ + arctan
ωL
R+ σL+ωt
)
Primjer 3: Ako je U= 6∠30 i s = −3 + j2 odrediti u(t) =?
Rješenje: u(t) = 6e−3t cos(25 + 30)
3.5 Impulsna funkcija i eksitacija (Dirakova funkcija)
Jedinicna Hevisajdova i jedinicna impulsna funkcija predstavljaju idealizacije koje nam omogucavaju
da priblizno matematicki opišemo neke vazne realne signale. Njihovo uvoenje je posledica
uvoenja idealnih naponskih i strujnih generatora, idealnih elemenata (R,L, C) a takoe i ide-
alnih prekidaca. Impulsnu funkciju uveo je P D i ona nosi njegovo ime a oznacava se sa
δ(t). Impulsnu Dirakovu funkciju definisacemo preko niza tzv. “udarnih” funkcija. Udarnim
88
funkcijama nazivamo one vremenske funkcije koje traju samo izvjesno vrijeme (veoma kratko)
ε (slika 3.70). Drugim rijecima, to su funkcije koje imaju vrijednost nula za svako t, sem u
konacnom intervalu širine ε. Integral
( )tεδ
tε
Slika 3.70: Vremenski oblik impulsa
J =
ε∫0
δε (t) dt (3.47)
naziva se jacinom udara udarne funkcije δε (t) i predstavlja površinu koju δε (t) zaklapa sa
vremenskom osom. Efekat udarne funkcije zavisi samo od integrala J a irelevantan je oblik te
funkcije u vremenskom inervalu. Ako je jacina udara jedinica i udarna funkcija je jedinicna.
Impulsna funkcija je idealizovamo priblizno predstavljanje impulsnog signala cije je trajanje
veoma malo u poreenju sa vremenskom konstantom kola pri cemu je oblik signala nebitan u
okviru tog intervala tj. bitna je samo njegova površina sa vremenskom osom. Dakle, impulsna
Dirakova funkcija bi imala zapis:
δ(t) = limε→0
δε (t)
odnosno
δ (t) =
⎧⎪⎨⎪⎩
0, t < 0
∞, t = 0
0, t > 0
⎫⎪⎬⎪⎭ (3.48)
ali tako da je:∞∫−∞
δ (t) dt = 1 (3.49)
Prema tome, površina odnosno jacina udara jednaka je jedinici. Zato se i zove jedinicna
impulsna funkcija. Graficki je predstavljamo kao na slici 3.71:
Pomjerena Dirakova funkcija bi imala grafik:
89
( )tδ
t
1
Slika 3.71: Dirakova funkcija
( )t Tδ −
tT
Slika 3.72: Pomjerena Dirakova funkcija
Za razliku od Hevisajdove funkcije (koja nema fizicku vrijednost) Dirakova funkcija ima
fizicku vrijednost s−1 . Ovo se zakljucuje posmatranjem relacije (3.49). Veza izmeu Hevisaj-
dove i Dirakove funcije je:
δ (t) =dh (t)
dt(3.50)
bez obzira što h(t) nije neprekidna ali ima skok. Integriranjem relacije (3.50) u intevalu
(−∞, t) dobijamo
h (t) =
t∫−∞
δ (τ ) dτ (3.51)
δ(t) = limε→0
h(t)− h(t− ε)
ε
3.6 Predstavljanje eksitacija impulsnom funkcijom
90
Impulsni naponski generator: ug(t) = Φδ(t).
( ) ( )gu t tδ= Φ
t tT
Φ Φ
( ) ( )gu t t Tδ= Φ −
Impulsni strujni generator: ig(t) = Qδ(t).
( ) ( )gi t Q tδ=
t tT
Q Q
( ) ( )gi t Q t Tδ= −
Eksitacija oblika: ig(t) = Q0δ(t) +Q1δ(t− t1) +Q2δ(t− t2).
( ) ( )gi t Q tδ=
t
0Q
1Q
2Q
U elektrotehnici smo ovu funkciju morali uvesti iz razloga rješavanja cak i elementarnih
problema. Na primjer, posmatrajmo kolo kao na slici 3.73:
( )gu t C
( )i t
0t =
Slika 3.73: Kondenzator pri djelovanju Hevisajdovog naponskog generatora
U trenutku t = 0 je
ug (t) = Uh (t) (3.52)
91
Treba odrediti i(t) =? u t = 0. Po definiciji:
i (t) = Cdug (t)
dt= C
d
dt[Uh (t)] = CU
dh (t)
dt= CUδ(t) (3.53)
Relacija (3.53) pokazuje da se struja trenutno uspostavlja a njena udarna vrijednost je CUδ(t)
(znaci u t = 0 kondezator prestavlja kratak spoj a u stacionarnom stanju je prekid). Ovo
vazi samo za idealni kondezator C. Takoe, drugi elementarni problem bi bio idealni kalem.
Posmatrajmo kolo prikazano na slici 3.74:
( )gi t L( )u t0t =
Slika 3.74: Kalem pri djelovanju Hevisajdovog strujnog generatora
U trenutku t = 0 je
ig (t) = Ih (t) (3.54)
U trenutku t = 0 otvorimo prekidac i trazimo vrijednost napona. Po definiciji je
u = Ldi
dt= L
d
dt[Ih (t)] = LIδ (t) (3.55)
Proizvod LI je udarna vrijednost fluksa. Pomocu funkcije δ (t) mozemo opisati idealne impul-
sne strujne i naponske generatore:
ig(t) = Qδ (t) (3.56)
gdje je Q - kolicina elektriciteta.
ug(t) = Φδ (t) (3.57)
gdje je Φ - fluks.
3.7 Impulsne funkcije višeg reda
Ako impulsna funkcija djeluje u kolima sa dinamickim elementima, mogu se pojaviti i njeni
izvodi po vremenu - funkcije koje se nazivaju i impulsnim funkcijama višeg reda.
δ(n)(t) =d(n)δ(t)
dtn
92
Prvi izvod Dirakove funkcije naziva se i impulsnim dubletom (jer se javljaju dva impulsa -
pozitivan i negativan), drugi izvod Dirakove funkcije je impulsni triplet itd.
3.8 Svojstvo odabiranja impulsne funkcije
Ovo svojstvo je, mozda najznacajnije za impulsnu funkciju, a koristi se u raznim digitalnim
kolima, posebno za digitalni prenos informacija. Posmatrajmo proizvod proizvoljne neprekidne
i ogranicene funkcije f(t) i Dirakove funkcije
+∞∫−∞
f (t) δ (t) dt = f (0) (3.58)
+∞∫−∞
f (t) δ (t− T ) dt = f (T ) (3.59)
Za δ (t− 0) imamo vrijednost f (t) u okolini koordinatnog pocetka f (0) i to je konstanta
f (0)
∞∫−∞
δ (t) dt = f (0) 1 = f (0) (3.60)
Znaci, formiranjem proizvoda date funkcije f(t) i Dirakove funkcije postavljene u zeljeni trenu-
tak t0 i integriranjem tog proizvoda, dobija se samo uzorak funkcije f(t0), tj. odabrali smo
vrijednost u zeljenom trenutku. Ako u trenutku t = T funkcija f(t) ima prekid prve vrste
odnosno ima skok od vrijednosti f(T−) na vrijednost f(T+) integral dat relacijom (3.59) je
jednak:∞∫−∞
f(t)δ(t− T )dt =1
2
[f(T−) + f(T+)
]= f(T ) (3.61)
3.9 Osobine Dirac-ove impulsne funkcije
1.
δ(at) =1
|a|δ(t)
93
Dokaz: Koristeci vec navedene osobine:
∞∫−∞
δ(t)dt = 1
∞∫−∞
ϕ(t)δ(t)dt = ϕ(0)
i uvodeci smjenu x = at dobijamo:
∞∫−∞
ϕ(t)δ(at)dt =1
|a|
∞∫−∞
ϕ(xa
)δ(x)dx =
ϕ(0)
|a| =1
|a|
∞∫−∞
ϕ(t)δ(t)dt =1
|a|δ(t)
Posledica: Posledice ove osobine je zakljucak da je Dirack-ova funkcija parna: ako je
a = −1 dobijamo δ(−t) = 1|−1|
δ(t) = δ(t).
2.∞∫−∞
ϕ(τ)δ(t− τ )dt =
∞∫−∞
ϕ(τ )δ(τ − t)dt = ϕ(t)
Dokaz: Uvodeci smjenu τ − t = x dobijamo:
∞∫−∞
ϕ(τ)δ(t− τ )dt =
∞∫−∞
ϕ(t+ x)δ(x)dx = ϕ(t)
Posledica:
ϕ(t) ∗ δ(t) = ϕ(t)
ϕ(t) ∗ δ(t− a) = ϕ(t− a)
3.∞∫−∞
ϕ(τ )δ(n)(τ )dτ = (−1)nϕn(0) (3.62)
Dokaz: Diferencirajuci izraz:
ϕ(t) =
∞∫−∞
ϕ(τ)δ(τ − t)dt
n - puta dobijamo:
(−1)n∞∫−∞
ϕ(τ)δ(n)(τ − t)dτ = ϕn(t) (3.63)
94
Uvrštavajuci vrijednost t = 0 u relaciju (3.63) dobijamo relaciju (3.62).
4. Ako je g(t) neprekidna funkcija za t = a onda vazi:
g(t)δ(t− a) = g(a)δ(t− a)
Dokaz:∞∫−∞
ϕ(t)g(t)δ(t− a)dt = ϕ(a)g(a)
∞∫−∞
ϕ(t)g(a)δ(t− a)dt = ϕ(a)g(a)
5.dh(t)
dt= δ(t)
Dokaz:
∞∫−∞
ϕ(t)dh(t)
dtdt = ϕ(t)h(t)|∞−∞ −
∞∫−∞
h(t)ϕ′(t)dt = ϕ(∞)−∞∫0
ϕ′(t)dt =
= ϕ(∞)− [ϕ(∞)− ϕ(0)] = ϕ(0)
6.
f(t)δ(n)(t) =n∑
k=0
(−a)k
(n
k
)f (k)(0)δ(n−k)(t)
f(t)δ′(t) = f(0)δ′(t)− f ′(0)δ(t)
7.
∞∫−∞
δ′(t)dt = 0
δ′(−t) = −δ′(t)
tδ′(t) = −δ(t)
t2δ′(t) = 0
δ
(t− t0a
)= |a| δ(t− t0)
∞∫−∞
ϕ(t)δ(n)(t)dt = −(1)nϕ(n)(0)
95
3.9.1 Aproksimacije Dirac-ove impulsne funkcije
1.
δ(t) = limc→0
1
c√πe−
t2
c2
2.
δ(t) = limc→0
sin(t
c
)πt
; δ(t) = lima→∞
sin at
πt
3.
δ(t) = limc→0
1
c√jπ
ejt2
c2
4.
δ(t) =1
2π
∞∫−∞
ejωtdω
5.
δ(t) = limλ→0
f(t, λ) =λ
π(1 + λ2t2)
6.
δ(t) = limε→0
h(t)− h(t− ε)
ε
7.
δ(t) = limε→0
1
εe−
t
εh(t)
8.
δ(t) = limε→0
1
2εe−
|t|ε
9.
δ(t) = limε→0
1
π
ε
ε2 + t2
3.9.2 Heaviside-ova funkcija
1.
h(t) = limλ→0
f(t, λ) =1
2+
1
πarctanλt
2. h(t) = limλ→0
f(t, λ) = 1
1+e−λt
INDUKTIVNO SPREGNUTA KOLA
Spregnuta kola su kola izmeu kojih je moguca razmjena energije putem polja. Ako je ta
sprega ostvarena preko magnetnog polja u pitanju su induktivno spregnuta kola. Ako je
sprega ostvarena provodnikom tada su to galvanski spregnuta kola.
4.1 Izvoenje jednacina linearnog transformatora razla-
ganjem fluksa na fluks rasipanja i ukupni meusobni
fluks
Šema linearnog transformatora je prikazana na slici 4.75. a njegove jednacine kada imamo
saglasne krajeve su:
a. za primar
R1i1 +d
dt(N1φ1r
) = u1 (4.64)
b. za sekundar
R2i2 +d
dt(N2φ2r) = −u2 (4.65)
1i 2i
1u 2u
1R 2R
1L 2L
12k
Slika 4.75: Linearni transformator
96
97
Clan d
dt(N1φ1r
) predstavlja varijaciju rezultujuceg fluksa primara, dok clan d
dt(N2φ2r
) pred-
stavlja varijaciju rezultujuceg fluksa sekundara. Ove jednacine napisane su na osnovu Farade-
jevog i Kirhofovih zakona. Ukupni rezultujuci fluks razlazemo na fluks rasipanja i ukupni
meusobni fluks.
φ1r = φ
11+ φM
φ2r
= φ22+ φ
M
φM = φ12+ φ
21
Ukupan meusobni fluks jednak je zbiru pojedinih meusobnih flukseva. Sada zamjenom u
jednacine linearnog transformatora dobijamo:
R1i1 +d
dt(N1φ11
) +d
dt(N1φM) = u1
R2i2 +d
dt(N2φ22
) +d
dt(N2φM) = −u2
Induktivnosti usled rasipanja su:
N1φ11= Lσ1
i1
i
N2φ22= Lσ2
i2
gdje su: Lσ1− induktivnost usled rasipanja od primara, Lσ2
− induktivnost usled rasipanja
od sekundara. Sada su jednacine linearnog transformatora:
R1i1 + Lσ1
di1dt
+N1
dφMdt
= u1
R2i2 + Lσ2
di2dt
+N2
dφM
dt= −u2
Ovo su jednacine linearnog transformatora za proizvoljne varijacije napona i struje i koje su
dobijene razlaganjem rezultujuceg fluksa na fluks rasipanja i ukupni meusobni fluks. Ako pos-
matramo prostoperidicne struje i napone i rezim rada transformatora u stacionarnom stanju,
tada koristeci simbolicki (kompleksni) metod i predstavnike mozemo preci na kompleksne jed-
nacine: u1 → U1, u2 → U2, i2 → I2, i2 → I2 i φM
→ ΦM, pa sada jednacine imaju
oblik
98
R1I1 + jωLσ1I1+ jωN1ΦM
= U1
R1I2 + jωLσ2I2+ jωN2ΦM
= −U2
Ako uvedemo impedansu usled rasipanja (Zσ) tada je:
Zσ1
= jωLσ1
Zσ2
= jωLσ2
i
UM1
= jωN1ΦM
UM2
= jωN2ΦM
jednacine dobijaju oblik:
R1I1 + Zσ1
+ UM1
= U1
(4.66)
R2I2 + Zσ2
+ UM2
= −U2
(4.67)
Ovaj tip jednacina linearnog transformatora našao je veoma veliku primjenu, narocito u oblasti
elektroenergetskih sistema (transformatora i mašina).
4.2 Savršeni transformator
Definicija: Linearni transformator bez gubitaka i bez rasipanja naziva se savršeni transforma-
tor. Bez gubitaka podrazumijeva da je bez elemenata gdje se troši aktivna snaga, dakle bez
termogenih otpornosti. (za posmatrani slucaj R1 = 0 i R2 = 0). Bez rasipanja Lσ1= 0 i
Lσ2= 0. Prevedimo ovo na koeficijente rasipanja
k1 = k2 = k = 1
Polazeci od jednacina linearnog transformatora u vremenskom domenu:
R1i1 +d
dt(N1φ1r
) = u1
99
R2i2 +d
dt(N2φ2r
) = −u2
Za opšti slucaj (i saglasni i nesaglasni krajevi) vazi da je ukupni meusobni fluks:
φM
= φ12± φ
21
pa je ukupan rezultujuci fluks primara jednak
φ1r
= φ11+ φ
M
a ukupan rezultujuci fluks sekunadara
φ2r
= φ22± φ
M
Imajuci ovo u vidu dobijamo:
R1i1 +d
dt(N1φ11
) +d
dt(N1φM) = u1
R2i2 +d
dt(N2φ22
)± d
dt(N2φM) = −u2
Uvodeci Lσ1i Lσ2
dobijamo sledece relacije:
R1i1 + Lσ1
di1dt
+N1
dφM
dt= u1 (4.68)
R2i2 + Lσ2
di2dt
±N2
dφMdt
= −u2 (4.69)
Za savršen transformator koji je prikazan na slici 4.76. vazi R1 = R2 = 0 i Lσ1= Lσ2
= 0 pa
su jednacine savršenog transformatora za proizvoljne vremenske varijacije i jednacine napona
i struje:
N1
dφM
dt= u1
±N2
dφM
dt= −u2
Za slucaj prostoperiodicnih struja i napona u ustaljenom rezimu rada mozemo preci na
kompleksne jednacine preko kompleksnih predstavnika:
jωN1ΦM= U
1
100
1I 2I
1U 2U1L 2L
1k =
Slika 4.76: Savršeni transformator - saglasni krajevi
±jωN2ΦM = −U2
Za slucaj saglasnih krajeva
ΦM
= Φ12+Φ
21(4.70)
Kako je fluks rasipanja primara i sekundara Φ11
= 0 i Φ22
= 0, slijedi da je
Φ1= Φ
11+Φ
12= Φ
12
Φ2= Φ
22+Φ
21= Φ
21,
te kada to uvrstimo u jednacinu (4.70) dobijamo:
ΦM
= Φ1+Φ
2
Jednacine savršenog transformatora sa saglasnim krajevima:
jωN1ΦM = U1
+jωN2ΦM = −U2,
pa je odnos napona
U1
U2
=−jωN1ΦMjωN2ΦM
= −N1
N2
= −m
gdje je m prenosni odnos (odnos broja navojaka primara i sekundara). Za slucaj saglasnih
krajeva savršenog transformatora vazi: U1
U2
= −m. Za slucaj nesaglasnih krajeva (slika 4.77.)
ΦM
= Φ12−Φ
21, a kako je fluks rasipanja Φ
11= 0 i Φ
22= 0, slijedi da je: Φ
M= Φ
1−Φ
2a
jednacine su oblika:
101
1L 2L
1k =2I1I
1U 2U
Slika 4.77: Savršeni transformator - nesaglasni krajevi
jωN1ΦM = U1
−jωN2ΦM = −U2
pa je za odnos napona za slucaj nesaglasnih krajeva savršenog transformatora:
U1
U2
= m
Veza izmeu sopstvenih i meusobnih induktivnosti data je jednacinama:
k1L1 = mL12
k2L2 =L12
m
Za savršen transformator vazi da je k1 = k2 = 1, pa su ove relacije:
L1 = mL12
L2 =L12
m
Dijeljenjem ovih dvaju relacija dobijamo:
mL12
1
mL12
=L1
L2
odnosno
L1
L2
= m2
m =
√L1
L2
Za savršen transformator postoji ova veza izmeu prenosnog odnosa m i induktivnosti L1 i
102
L2.
4.3 Prikaz linearnog transformatora preko savršenog trans-
formatora
Postavlja se pitanje kako linearni transformator prikazati preko savršenog. Da bi to uradili
prvo cemo izraziti sopstvenu induktivnost preko induktivnosti usled rasipanja i meusobne
induktivnosti. Polazeci od cinjenice da su fluksevi koje proizvodi ista struja u fazi, mozemo
preci sa trenutnih na efektivne vrijednosti.
Φ1 = Φ11 +Φ12 Φ2 = Φ22 + Φ21
Izrazavajuci flukseve preko struja i induktivnosti imamo:
L1I1N1
=Lσ1I1N1
+L12I1N2
(4.71)
L2I2N2
=Lσ2I2N2
+L21I2N1
(4.72)
Mnozenjem relacije (4.71) sa N1
I1i relacije (4.72) sa N2
I2dobijamo:
L1 = Lσ1 + L12
N1
N2
L2 = Lσ2 + L12
N2
N1
Uzimajuci u obzir da je N1
N2
= m dobijamo:
L1 = Lσ1 +mL12
L2 = Lσ2 +1
mL12
pa mozemo pisati:
L1 = Lσ1 + L′
1(4.73)
L2 = Lσ2 + L′
2(4.74)
gdje su L′
1= mL12 i L′
2= 1
mL12. Dakle polazeci od osnovne šeme linearnog transformatora za
slucaj saglasnih krajeva koji je prikazan na slici 4.78. mozemo preci na šemu koja je prikazana
103
na slici 4.79. Odavde je:
k′ =L′
12√L′
1L′
2
odnosno
L′
12= k′
√L′
1L′
2= 1
√mL12
1
mL12 = L12
dakle dobijamo da je:
L′
12= L12
1R 2R
1L 2L
12L 2I1I
1U 2U
Slika 4.78:
1R 2R
1L′2L′
12L ′1
Lσ 2
Lσ
12Φ
2I
2U
1I
1U
Slika 4.79:
Sa šeme na slici 4.78. sada mozemo preci na šemu koja je prikazana na slici 4.80.
1R 2R
1L′2L′
12L
1Lσ 2
Lσ
1k =
1I 2I
2U1U
Slika 4.80:
Ovo je prelazak sa linearnog na savršeni transformator. Fluks rasipanja se zatvara samo
104
kroz induktivnosti Lσ1i Lσ2
(to su fluksevi Φ11 i Φ22) jer je Lσ1− induktivnost usled rasipanja
primara a Lσ2− induktivnost usled rasipanja sekundara.
4.4 Idealni transformator
Do pojma idealni transformator doci cemo apstrakcijom i daljem analizom od linearnog trans-
formatora. Definicija: Idealan transformator je savršeni transformator u koga je rezultujuca
magnetno pobudna sila jednaka nuli. Pošto je transformator idealan to za prostoperidicne
struje i napone vazi:
U1
U2
= ±m (4.75)
Iz relacije (4.75) proizilazi da je odnos napona primara i sekundara fiksiran prenosnim odno-
som, bez obzira u kakvom je rezimu rada transformator, dok struje primara i sekundara zavise
od rezima rada i prikljucenih ureaja na primar i sekundar. Za prostoperiodicne struje i
napone za idealni transformator, po definiciji, magnetnopobudna sila je jednaka nuli:
ΘM = N1I1 ±N2I2 = 0
pa odavde vazi:
I1
I2
= ± 1
m.
Na osnovu predhodnog dolazimo do jednacina idealnog transformatora:
U1
U2
= ±m (4.76)
iI1
I2
= ± 1
m(4.77)
Zbog toga se u šemama idealni transformator predstavlja sa dva kalema. Za idealni transfor-
mator dovoljno je znati:
- prenosni odnos m
- oznake saglasnih krajeva
- referentne smjerove napona i struja
Za idealni transformator sa slike 4.81 je:
U1
U2
= −m
105
: 1m
2I1I
1U 2U
Slika 4.81: Idealni transformator (saglasni krajevi)
iI1
I2
= − 1
m
jer su krajevi saglasni. Drugi prototip idealnog transformatora prikazan je na slici 4.82. (ne-
saglasni krajevi):
: 1m
2I1I
1U 2U
Slika 4.82: Idealni transformator (nesaglasni krajevi)
U1
U2
= m
iI1
I2
=1
m
Za druge referentne smjerove napona i struja moramo se prilagoditi jednacinama (recimo za
druge smjerove napona ili struja moramo promijeniti znak). Razmotrimo slucaj prikazan na
slici 4.83.
: 1m
2I1I
1U 2U
Slika 4.83: Idealni transformator
106
Pošto su krajevi saglasni to jeU
1
U2
= −m
ali je U2 suprotno orjentisan pa jeU
1
−U2
= −m
Uvodeci idealni transformator mozemo ovu klasu induktivno spregnutih kola rješavati na preko
R, L, C, m elemenata.
4.4.1 Snage idealnog transformatora i posledice
1. Ako sa S1oznacimo kompleksnu snagu koju uzima idealni transformator, dobijamo:
S1= U
1I∗1= (+mU
2) (+I∗
2) = U
2I∗2= S
2
Kao posledica relacija idealnog transformatora, snaga koja ulazi u idealni transformator jed-
naka je snazi koju on predaje na izlazu. Kako je:
S1= P1 + jQ1
i
S2= P2 + jQ2
iz S1= S
2slijedi da je P1 = P2 i Q1 = Q2. Idealni transformator ne troši aktivnu ni reaktivnu
snagu pa je stoga idealan ureaj.
2. Ako definišemo ulaznu impedansu sa strane primara (slika 4.84.):
: 1m
2I1I
1U 2U
ulZ ′
2Z
Slika 4.84: Ulazna impedansa sa strane primara
Z ′
ul=
U1
I1
107
odnosno
Z ′
ul=
±mU2
± 1
mI2
= m2U
2
I2
a kako je U2= Z
2I2dobijamo:
Z ′
ul= m2Z
2.
Dakle što se tice ulazne impedanse sa strane primara , idealni transformator mozemo pred-
staviti šemom prostog kola kao što je prikazano na slici 4.85.Ovakvi ureaji koji zavise od
1I
1U
ulZ ′
2
2m Z
Slika 4.85:
impedanse na izlazu nazivaju se konvertori (konvertuju impedansu u impedansu. Iste vrste ali
razlicite vrijednosti, koja zavisi od stepena konverzije). Za slucaj kada je ulazna impedansa
sa strane sekundara (slika 4.86.):
: 1m
2I1I
1U 2U
ulZ ′′
1Z
Slika 4.86: Ulazna impedansa sa strane sekundara
−Z1I1+ U
1= 0
Z ′′
ul= −U
2
I2
= −± 1
mU
1
±mI1
= − 1
m2
U1
I1
odnosno:
Z ′′
ul=
1
m2Z
1
108
Dakle što se tice impedanse idealnog transformatora sa strane sekundara mozemo je zamijeniti
sa šemom prostog kola kao na slici 4.87. Idealni transformator nije fizicki elemenat nego model
2I
2U
ulZ ′′
12
1Z
m
Slika 4.87:
kojim se ilustruje neki realni fizicki proces. Ako bi postavili pitanje kolika je magnetna perme-
abilnost jezgra namotaja transformatora da bi on bio idealan, to jest da bi magnetnopobudna
sila bila jednaka nuli, po Kap-Hopkinsonovom zakonu, dobili bi: ΘM = RMΦM , gdje je RM
magnetni otpor. Za idealni transformator je ΘM = 0 i ΦM = 0 odakle slijedi:
ΦM =ΘMRM
=0
0⇒ RM = 0.
Sa druge strane: RM = lµs
= lµ0µrs, pa pošto ovo treba da bude jednako nuli, trebalo bi da
je µr= ∞, što nije moguce ostvariti u praksi. Imamo dobrih magnetnih modela sa veoma
velikim µr, ali ne i sa µ
r= ∞. Zbog toga je idealni transformator idealan (apstraktan) ureaj.
4.5 Ekvivalentne šeme linearnog preko idealnog trans-
formatora.
I nacin: Razlaganje struje primara na komponente.
Predpostavimo da struje I1 i I2 obrazuju sledeci fazorski dijagram prikazan na slici 4.88.:
2I
1I
1I ′
MI
MΦ
12Φ
21Φ
Slika 4.88: Fazorski dijagram struja I1i I
2
Ako su ovo fazori struja I1 i I2, tada su fluksevi Φ12 i Φ21
u fazi sa strujama, a fluks
ΦM
= Φ12+Φ
21. Struju primara razlazemo na:
109
a) I ′
1− komponentu u pravcu struje I2.
b) IM
− komponentu u pravcu vektora ΦM (ukupnog meusobnog fluksa). Prema tome
vazi da je:
I1= I ′
1+ I
M. (4.78)
Iz slicnosti trouglova meusobnih flukseva i trougla struja i komponenti struja imamo (po
intenzitetu):
I ′
1
I1=
Φ21
Φ12
=L21
I2
N1
L12I1
N2
=N2
N1
I2I1
=1
m
I2I1
jer je L12 = L21. Dakle, vidi se da je intenzitet struje I ′
1jednak
I ′
1=
1
mI2
Pošto je struja I ′
1istog pravca, ali suprotnog smjera u odnosu na struju I
2mozemo kompleksni
predstavnik struje I ′
1predstaviti:
I ′
1= − 1
mI2
(4.79)
Znak minus posledica je suprotnih smjerova struja I ′
1i I
2. Nadalje nam treba još pomocnih
relacija pa iz:
ΦM
= Φ12+ Φ
21=
L12I1N2
+L21I2N1
=L12
N2
(I1+
N2
N1
I2
)=
L12
N2
(I1+
1
mI2
)(4.80)
Uvrstimo 1
mI2= −I ′
1iz jednacine (4.79) i dobicemo:
ΦM
=L12
N2
(I1− I ′
1)
pa kada ovdje uvrstimo jednacinu (4.78) dobijamo:
ΦM
=L12
N2
IM
i konacno:
IM
=N2
L12
ΦM. (4.81)
Struje IM
i I ′
1su fiktivne struje (ne postoje u realnom procesu) i zato smo ih jednacinama
(4.79) i (4.81) izrazili preko realnih velicina I2i Φ
M. Sada mozemo izvesti ekvivalentnu šemu.
110
Polazimo od jednacina linearnog transformatora u kompleksnom domenu i proširujemo taj
sistem sa novodobijenim jednacinama:
R1I1 + jωLσ1I1 + jωN1ΦM = U1
(4.82)
R2I2 + jωLσ2I2 + jωN2ΦM = −U2
(4.83)
I1= I ′
1+ I
M(4.84)
Relacija (4.84) se moze shvatiti kao jednacina po Kirhofovom zakonu za struje za cvor u koji
se sticu tri struje.
UM1
−UM2
= −m (4.85)
I ′
1
I2
= − 1
m(4.86)
Relacije (4.85 ) i (4.86 ) predstavljaju jednacine idealnog transformatora koji na krajevima
ima napone UM1
i UM2
i struju primara i sekundara I ′
1i I
2.
IM
=N2ΦML12
(4.87)
Sistem jednacina (4.82), (4.83), (4.84), (4.85), (4.86) i (4.87) predstavlja jednacine lin-
earnog transformatora dobijene razlaganjem fluksa na fluks rasipanja i ukupni meusobni
fluks, proširen jednacinama dobijenim razlaganjem njegove struje primara na komponente
I ′
1i I
M. Pošto linearnom transformatoru, ovim jednacinama, nije nametnut ni jedan uslov
(naponi i struje na pristupima transformatora ostaju nepromijenjeni) zakljucujemo da ekviva-
lentna šema koja odgovara ovim jednacinama odgovara i linearnom transformatoru. Polazeci
od šeme linearnog transformatora koji je prikazan na slici 4.89. i datog sistema jednacina
mozemo doci do šeme kao na slici 4.90.:
2Z
1R 2R
1L 2L
12L 2I1I
1U 2U
Slika 4.89:
Postavlja se pitanje šta predstavlja impedansa ZM
na slici 4.90? Sa slike vidimo da je:
111
1R 2R1Lσ 2
Lσ
: 1m
1I 2I
2U1U1M
UMZ2M
U−2Z
Slika 4.90:
ZM
=UM1
IM
=jωN1ΦMN2ΦM
L12
=N1
N2
jωL12
dakle ZM
= jωmL12 je cista reaktansa (kalem). Ako bi sekundarni krajevi bili zatvoreni
impedansom Z2imali bi sledece: Na osnovu šeme na slici 4.90 vidimo da su sekundarni kra-
jevi idealnog transformatora zatvoreni impedansom: R2 + jωLσ2 + Z2(redna veza na sekun-
daru idealnog transformatora). Koristeci svojstvo idealnog transformatora da ako je sekundar
zatvoren nekom impedansom, tada je ulazna impedansa m2 puta veca od te impedanse, ovdje
cemo sve elemente sekundarne impedanse pomnoziti sa m2. Tada mozemo sa šeme na slici
4.90 preci na šemu prikazanu na slici 4.91.:
1R 1Lσ
1I
1U 1MU12mL
1U ′2
2m Z
MI
1I ′ 2
2m L
σ
2
2m R
Slika 4.91:
Dakle dobili smo šemu linearnog transformatora bez spregnutih elemenata. Napon U ′
1
odreujemo sa slike 4.91. jer je to sada neka nova vrijednost napona na impedansi m2Z2.
U ′
1= m2Z
2I ′
1(4.88)
Uvrstimo jednacinu (4.79) (I ′
1= − 1
mI2), u relaciju (4.88) pa dobijamo:
U ′
1= −mZ
2I2
(4.89)
Sa slike 4.90. vidimo da je U2= Z
2I2, pa kada to uvrstimo u relaciju (4.89) dobijamo:
112
U ′
1= −mU
2(4.90)
Na osnovu ovako dobijenog napona U ′
1mozemo ekvivalentnu šemu linearnog transforma-
tora prikazanu na slici 4.90. dalje uprostiti iskljucujuci napone UM1
i UM2
i to preko jednacina
napona U ′
1i struja, to jest:
U ′
1
U2
= −m (4.91)
I ′
1
I2
= − 1
m(4.92)
Ove jednacine predstavljaju jednacine idealnog transformatora koji na svojim krajevima
ima napone U ′
1i U
2i struje primara i sekundara I ′
1i I
2. Ovakav raspored elemenata
(impedansi) naziva se “T” šema (slika 4.92.).
1Lσ 2R 2
Lσ
12mL
Slika 4.92:
Šema linearnog transformatora prikazana na slici 4.89. zamijenjena je takozvanom “T”
šemom prikazanom na slici 4.91. bez spregnutih elemenata, koju je moguce prema potrebi
transformisati i/ili fizicki realizovati što se cesto i radi kada se transformator nalazi u sklopu
neke slozenije mreze. U šemi na slici 4.91. sve sekundarne velicine sa šeme na slici 4.89.
svedene su na primarnu stranu pa se nazivaju: m2R2 i m2Lσ2svedeni sekundarni parametri
na primarnu stranu, U ′
1− svedena vrijednost sekundarnog napona U
2na primarnu stranu,
I ′
1− svedena vrijednost sekundarne struje I
2na primarnu stranu. Pošto su svedene vrijednosti
sekundarnog napona i struje U ′
1i I ′
1povezane sa stvarnim vrijednostima ovih velicina U
2i I
2
preko jednacina idealnog transformatora izrazene relacijama (4.91) i (4.92) šema na slici 4.91.
se proširuje vezivanjem idealnog transformatora i to prema slici 4.93.
Impedansa na šemi za napon U ′
1je m2Z
2, što je ulazna impedansa primara idealnog trans-
formatora koji je na sekundaru zatvoren impedansom Z2. Cijeli proracun se odvija za šemu
na slici 4.91. to jest za primarne velicine i svedene vrijednosti sekundarnih velicina U ′
1i
I ′
1.Proširena šema na slici 4.93. koristi se samo na kraju da bi odredili stvarne vrijednosti
velicina U2i I
2. Dakle, polaznoj šemi linearnog transformatora koja je prikazana na slici 4.89.
odgovara kompletna šema prikazana na slici 4.93. koja je mnogo pogodnija za proracun U2i
113
1R 1Lσ
1I
1U 12mL1U ′
MI
2
2m L
σ
2
2m R
1U ′ 2Z
: 1m
1I ′2I
Slika 4.93:
I2preko šeme na slici 4.91. i jednacina idealnog transformatora (4.91) i (4.92) nego šeme na
slici 4.90.
II nacin: Razlaganje na komponente sekundarne struje
Analogan postupak kao i za I nacin. Neka struje I1 i I2 obrazuju sledeci fazorski dijagram
prikazan na slici 4.94.:
2I
1I
MI ′
MΦ
12Φ
21Φ
2I ′
Slika 4.94:
Struju I2razlazemo na komponente: I ′
M− u pravcu vektora ukupnog meusobnog fluksa
ΦM, I ′
2− u pravcu vektora struje I
1. Sa fazorskog dijagrama se vidi da je:
I2= I ′
2+ I ′
M
Struje I ′
Mi I ′
2su fiktivne struje ( ne postoje u stvarnosti) i treba ih izraziti preko realnih
vrijednosti (m, N1, L12, ΦM , I1). Iz slicnosti trouglova struja i trouglova flukseva imamo:
I ′
2
I2=
Φ12
Φ21
=L12I1
N2
L12I2
N1
=N1
N2
I1I2
= mI1I2
Po intenzitetu je I ′
2= mI1, a pošto je kao fazor suprotnog smjera od struje I
1to je:
I ′
2= −mI
1
Slicno je za flukseve:
114
ΦM
= Φ12+Φ
21=
L12I1N2
+L21I2N1
=L12
N1
(N1
N2
I1+ I
2
)=
L12
N1
(mI1+ I
2)
Ako sada uvrstimo jednacine I ′
2= −mI
1i I
2= I ′
2+ I ′
M, dobijamo:
ΦM
=L12
N1
I ′
M
odnosno:
I ′
M=
N1
L12
ΦM
Izrazili smo fiktivne vrijednosti struja I ′
Mi I ′
2preko realnih velicina. Sada cemo izvesti ekvi-
valentnu šemu linearnog transformatora, polazeci od jednacina u kompleksnom obliku.
R1I1 + jωLσ1I1 + jωN1ΦM = U1
(4.93)
R2I2 + jωLσ2I2 + jωN2ΦM = −U2
(4.94)
I2= I ′
2+ I ′
M(4.95)
Relaciju (4.95) mozemo shvatiti kao Kirhofov zakon za struje za cvor sa tri grane.
UM1
−UM2
= −m (4.96)
I1
I ′
2
= − 1
m(4.97)
Relacije (4.96) i (4.97) predstavljaju jednacine idealnog transformatora, koji na primaru i
sekundaru ima napone UM1
i UM2
i struje primara i sekunadara I1i I ′
2.
I ′
M=
N1
L12
ΦM
(4.98)
Nije nametnut nikakav novi uslov linearnom transformatoru (naponi i struje ostaju nepromi-
jenjeni na pristupima) pa je šema koja odgovara sistemu jednacina (4.93), (4.94), (4.95), (4.96),
(4.97), (4.98):
Ako pretpostavimo da su primarni krajevi zatvoreni impedansom Z1, pa je tada primar
idealnog transformatora prikljucen na impedansu:
R1 + jωLσ1 + Z1
Polazeci od svojstva idealnog transformatora da ako je primar zatvoren impedansom na sekun-
daru se moze zamijeniti sa 1
m2 puta manjom impedansom, to jest u našem slucaju sa impedan-
115
2R1R 2Lσ1
Lσ
: 1m
2I1I
1U 1U2M
U−MZ ′
1MU
1Z
2I ′
MI ′
Slika 4.95:
som:
R1
m2+
jωLσ1
m2+
Z1
m2
Sa šeme na slici 4.95. odredimo Z ′
M.
Z ′
M=
UM1
I ′
M
=jωN2ΦMN1ΦM
L12
= jN2
N1
ωL12 = jωL12
m
Z ′
M= jω
L12
m
dakle, to je kalem.Sa šeme na slici 4.96 odredimo U ′
2.
2R2Lσ
2I
2U2MU−
2U ′1
2
Z
m
MI ′
2I ′
1
2
L
m
σ1
2
R
m
12L
m
2I ′
Slika 4.96:
U ′
2= −Z
1
m2I ′
2= −Z
1
m2( −mI
1)
odnosno kako je I ′
2= −mI
1i U
1= −z
1I1dobijamo:
U ′
2=
1
mz1I1= −U
1
m
Velicine U ′
2i I ′
2su primarne velicine svedene na sekundarnu stranu i povezane sa stvarno
sekundarnim velicinama gore izvedenim relacijama, to jest:
116
U ′
2= −U
1
m
I ′
2= −mI
1
odnosno:
U ′
2
U1
= −m
I ′
2
I1
= − 1
m
Dvije gornje jednacine predstavljaju i jednacine idealnog transformatora koji na primaru ima
napon U1i struju I
1a na sekundaru U ′
2i I ′
2. R1
m2 i Lσ1m2 su svedeni primarni parametri na
sekundarnu stranu. Imajuci ovo u vidu mozemo proširiti šemu sa slike 4.96. na šemu prikazanu
na slici 4.97. Sav proracun se odnosi na šemu sa slike 4.96 a šema prikazana na slici 4.97 nam
2R2Lσ
2I
1U12L
m2U ′
MI ′
1
2
R
m
1
2
L
m
σ
1U1Z
: 1m
2I ′2I
Slika 4.97:
koristi da bi odredili stvarne vrijednosti primarnih velicina. I i II nacin su potpuno teorijski
ravnopravni.
USTALJENI SLOZENOPERIODICNI
REZIM
Naponi i struje izrazeni relacijama
ug(t) = ug(t + T ) (5.99)
ig(t) = ig(t + T ) (5.100)
nijesu prosto periodicne vec slozeno periodicne velicine. Realni generatori proizvode elektro-
motorne sile cija funkcija nije prostoperiodicna velicina vec neka slozenoperiodicna velicina.
tT
0E
0E−
( )e t
Slika 5.98: Slozenoperiodicna funkcija
Dosadašnja izucavanja prostoperiodicnih struja i prostoperiodicnih napona su od bitne
vaznosti za proucavanje slozenoperiodicnih struja i napona, pošto se svaka slozenoperiodicna
funkcija moze predstaviti redom prostoperiodicnih funkcija cije ucestanosti rastu po arit-
metickoj progresiji. Francuski fizicar Furije je pokazao da ako neka slozenoperiodicna vri-
jednost ima period T
u(t) = u(t+ T )
da se ona moze predstaviti redom oblika
u(t) = co + c1 cos(ωt+ θ1) + c2 cos(2ωt+ θ2) + · · ·+ ck(kωt + θk) + · · · (5.101)
117
118
gdje je
ω =2π
T
ucestanost osnovnog harmonika a co je konstantni clan.
c1 cos(ωt + θ1) (5.102)
Relacija (5.102) predstavlja osnovni (prvi) harmonik i njegov period jednak je periodu date
slozenoperiodicne velicine. Za prvim harmonikom slijedi drugi, treci itd. Clan kω se naziva
k-tim harmonikom. Relaciju (5.101) mozemo zapisati i na sledeci nacin
u(t) = co +∞∑k=1
ck cos(kωt + θk) (5.103)
Koristeci pravila trigonometrije mozemo napisati
u(t) = co+A1 sinωt+A2 sin 2ωt+· · ·+Ak sin kωt+· · ·+B1 cosωt+B2 cos 2ωt+· · ·+Bk cos kωt+· · ·(5.104)
ili u sazetom obliku
u(t) = co +∞∑k=1
(Ak sin kωt +Bk cos kωt) (5.105)
Jednacina (5.103) je I oblik a jednacina (5.105) je drugi oblik Furijeovog reda sa prelazima
(I) =⇒ (II) Ak = −ck sin θk Bk = ck cos θk
(II) =⇒ (I) ck =√A2
k+B2
kθk = arctan
(−Ak
Bk
)
Da bi funkciju razvili u Furijeov red, ona treba da zadovoljava uslove Dirihlea: da je difer-
encijabilna, da ima prekide prve vrste i taj skup prekida je konacan i integral je konacan.
Koeficijenti Furijeovog reda se odreuju
co =1
T
to+T∫to
u(t)dt (5.106)
Ak =2
T
to+T∫to
u(t) sin kωtdt (5.107)
Bk =2
T
to+T∫to
u(t) cos kωtdt (5.108)
119
trenutak to mozemo proizvoljno birati. U nekim udzbenicima Furijeov red se predstavlja kao
f(t) =Ao
2+∞∑n=1
(An cosnωt +Bn sinnωt)
An =2
T
to+T∫to
f(t) cosnωtdt f(t) = f(t+ T ) n = 0, 1, 2, ....
Bn =2
T
to+T∫to
f(t) sinnωtdt n = 1, 2, 3, ....
Obrasci za odreivanje koeficijenata nam pokazuju da je potrebno poznavati vrijednosti funkcije
za cijelu periodu da bi se mogli odrediti koeficijenti Furijeovog reda. Pri tome funkcija moze
biti definisana i sa više analitickih izraza. U tom slucaju se integrali rastavljaju i izracunavaju
odvojeno za svaki interval koji odgovaraju pojedinom analitickom izrazu. Na primjer, ako je
data periodicna funkcija
u(t) =
u1(t) to < t < t1
u2(t) t1 < t < to + T
onda je
Ak =2
T
⎡⎣ t1∫
to
u1(t) sin kωtdt+
to+T∫t1
u2(t) sin kωtdt
⎤⎦
Obrasci za razvijanje u Furijeov red mogu se primjeniti i za neperiodicne funkcije. U tom
slucaju dobijeni red predstavljace funkciju samo u intervalu koji je uzet za odreivanje ko-
eficijenata reda. Za ostale vrijednosti Furijeov red predstavljace periodicnu funkciju koja
se poklapa sa neperiodicnom u posmatranom intervalu. Na intervalu [0− T ] (slika 5.99.)
tT0
( )u t
2T 3T
( )u t
( )v t ( )v t
Slika 5.99: Neperiodicna funkcija
mozemo datu funkciju predstaviti Furijeovim redom uz koeficijent koji se dobija na tom in-
tervalu. Dobijeni Furijeov red predstavljace v(t) na 0 < t < ∞ , a aproksimirace u(t) samo u
[0− T ] . Ovdje je ν(t) - slozeno periodicna, a u(t) - neperiodicna funkcija. Furijeov red spada
u beskonacne redove ali se u praksi uvijek radi sa konacnim brojem clanova zavisno od zeljene
120
tacnosti. Zato konacni Furijeov red priblizno predstavlja datu slozenoperiodicnu funkciju. U
matematici se pokazuje da je predstavljanje konacnim redom bolje preko Furijeovog reda, nego
aproksimacija Tajlorovim redom.
Primjer 1: Odrediti Furijeov red funkcije:
f(t) =
⎧⎪⎨⎪⎩
0 −2 < t < −1
6 −1 < t < +1
0 +1 < t < 2
⎫⎪⎬⎪⎭
Pošto je f(t) = f(t+ 4) odavde slijedi da je period funkcije T = 4. Osnovni harmonik
t
2−
1− 1
2
3 4 5 6
( )f t
4T =
Slika 5.100: Funkcija f(t)
ω =2π
T=
π
2
an =2
T
to+T∫to
f(t) cosnωtdt, n = 0, 1, 2, 3, .....
bn =2
T
to+T∫to
f(t) sinnωtdt, n = 1, 2, 3, .....
ao =2
4
1∫−1
6 dt +2
4
3∫1
0 dt = 6
an =2
4
1∫−1
6 cosnπ
2tdt+
2
4
3∫1
0 cosnπ
2tdt =
12
nπsin
nπ
2
bn =2
4
1∫−1
6 sinnπ
2tdt+
2
4
3∫1
0 sinnπ
2tdt = 0
121
Sada je
f(t) = 3 +12
π
(cos
πt
2− 1
3cos
3πt
2+
1
5cos
5πt
2+ · · ·
)
f(t) = 3 +12
π
∞∑n=1
(−1)n−1 cos(2n− 1)πt
2
1
2n− 1
Primjer 2: Odrediti Furijeov red funkcije
f(t) = t − π < t < π
f(t+ 2π) = t T = 2π
Napomena: Testerasta kriva - slozenoperiodicna
tπ− π
2
2π 3π 4π
( )f t
2π−
Slika 5.101: Funkcija f(t)
Ucestanost osnovnog harmonika
ω =2π
T= 1
ao =1
π
π∫−π
tdt = 0
an =1
π
π∫−π
t cosntdt =1
n2π(cosnt+ nt sinnt)
∣∣∣∣π−π
= 0
bn =1
π
π∫−π
t sinntdt =1
n2π(sinnt− nt cosnt)
∣∣∣∣π−π
=−2 cosnt
n=
2(−1)n+1
n
Furijeov red bi izgledao
f(t) = 2
(sin t
1− sin 2t
2+
sin 3t
3− · · ·
)
122
Primjer 3: Pokazati da je Fourijeov red funkcije
f(t) =
4 0 < t < 1
−4 1 < t < 2
f(t) = f(t+ 2) =⇒ T = 2
( )f t
t
4
4−
0 1 2
Slika 5.102: Funkcija f(t)
jednak:
f(t) =16
π
∞∑n=1
sin(2n+ 1)πt
2n− 1
Tablica integrala i funkcija
1.∫t sin btdt = 1
b2sin bt− t
bcos bt+ C
2.∫t cos btdt = 1
b2cos bt+ t
bsin bt+ C
3.2π/ω∫0
sin(ωt + α)dt = 0
4.2π/ω∫0
cos(ωt + α)dt = 0
5.2π/ω∫0
sin(nωt+ α)dt = 0; n− cio broj
6.2π/ω∫0
cos(nωt + α)dt = 0; n− cio broj
7.2π/ω∫0
sin(nωt+ α) cos(mωt + α)dt = 0; n,m− cijeli brojevi
8.2π/ω∫0
sin2(ωt+ α)dt = πω
123
9.2π/ω∫0
cos2(ωt+ α)dt = πω
10.2π/ω∫0
cos(nωt + α) cos(nωt+ β)dt =
0
π cos(α−β)ω
m = n
m = nn,m− cijeli brojevi
11. cos 2nπ = 1
12. sin 2nπ = 0
13. cosnπ = (−1)n
14. sinnπ = 0
15. cosnπ2=
(−1)n/2,
0,
n = parno
n = neparno
16. sinnπ2=
(−1)(n−1)/2,
0,
n = neparno
n = parno
17. ej2nπ = 1
18. ejnπ = (−1)n
19. ejnπ/2 =
(−1)n/2,
j(−1)(n−1)/2,
n = parno
n = neparno
5.1 Kompleksni oblik Furijeovog reda
Ako poemo od izraza
u(t) = co +∞∑k=1
Ak sin kωt +∞∑k=1
Bk cos kωt (5.109)
i iskoristimo izraze
sin kωt =ejkωt − e−jkωt
2j
cos kωt =ejkωt + e−jkωt
2
cijom zamjenom u relaciju (5.109) dobijamo
u(t) = co +∞∑k=1
ejkωt − e−jkωt
2jAk +
∞∑k=1
Bkejkωt + e−jkωt
2
u(t) = co +∞∑k=1
Bk − jAk
2ejkωt +
∞∑k=1
Bk + jAk
2e−jkωt (5.110)
124
Ako oznacimo
ck =Bk − jAk
2=⇒ c∗k =
Bk + jAk
2
Ako iskoristimo relacije za izracunavanje Ak i Bk
ck =Bk − jAk
2=
1
T
to+T∫to
u(t) (cos kωt− j sin kωt) dt =1
T
to+T∫to
u(t)e−jkωtdt
c∗k =Bk + jAk
2=
1
T
to+T∫to
u(t)ejkωtdt
Sada je red
u(t) = co +∞∑k=1
ckejkωt +
∞∑k=1
c∗ke−jkωt
Pošto se clanovi c∗k mogu dobiti iz ck i pošto se i clan
co =1
T
to+T∫to
u(t)dt
moze dobiti iz izraza za
ck =1
T
to+T∫to
u(t)e−jkωtdt
stavljajuci k = 0 mozemo dobiti kompaktan zapis
u(t) =
k=+∞∑k=−∞
ckejkωt (5.111)
5.2 Veza izmeu slozenoperiodicne funkcije i koeficije-
nata njenog Furijeovog reda
1) Slozenoperiodicna funkcija je parna ako zadovoljava uslove
f(t) = f(−t)
f(t) = f(t+ T )
125
tada je slozenoperiodicna funkcija parna. Grafik slozenoperiodicne funkcije je simetrican u
odnosu na ordinatnu osu, pa je njen red:
u(t) = co +∞∑k=1
Ak sin kωt+∞∑k=1
Bk cos kωt (5.112)
u(−t) = co −∞∑k=1
Ak sin kωt+∞∑k=1
Bk cos kωt (5.113)
Iz uslova da je
u(t) = u(−t)
vidimo da mora biti
Ak = 0 (k = 1, 2, 3, .....) (5.114)
Bk =4
T
π
2∫0
u(t) cos kωtdt (5.115)
2) Ako slozenoperiodicna funkcija zadovoljava uslov
f(t) = −f(t)
f(t) = f(t+ T )
onda je slozenoperiodicna funkcija neparna i grafik je simetrican u odnosu na koordinatni
pocetak. Iz izraza za u(t) i u(−t) vidimo da je u(t) = u(−t) pa mora biti
co = 0 (5.116)
Bk = 0 (k = 1, 2, 3, .....) (5.117)
Ak =4
T
π
2∫0
u(t) sin kωtdt (5.118)
3) Ako je negativna polovina ciklusa slozenoperiodicne funkcije ogledalski lik pozitivne
polovine ciklusa u odnosu na apscisnu osu, tada slozenoperiodicna funkcija zadovoljava
uslov
u
(t+
T
2
)= −u(t)
−u(t) = −co −∞∑k=1
Ak sin kωt−∞∑k=1
Bk cos kωt
126
( )u t
t
U
U−
0
2
T T
Slika 5.103:
u
(t+
T
2
)= co − A1 sinωt+ A2 sin 2ωt− A3 sin 3ωt + · · ·
−B1 cosωt+B2 cos 2ωt−B3 cos 3ωt + · · ·
Da bi uslov bio zadovoljen treba da su svi clanovi jednaki nuli, tj.
co = 0 (5.119)
A2n = 0 (5.120)
B2n = 0 (5.121)
A2n+1 =4
T
π
2∫−
π
2
u(t) sin(2n + 1)ωtdt, n = 1, 2, 3 (5.122)
B2n+1 =4
T
π
2∫−
π
2
u(t) cos(2n + 1)ωtdt (5.123)
4. Ako funkcija ispunjava uslov iz 3) i uz to je simetricna u odnosu na koordinatni pocetak
tj. neparna, tada njen Furijeov red ima samo neparne clanove (sa sinusima)
u(t) = A1 sinωt+ A3 sin 3ωt+ A5 sin 5ωt+ ....
A2n+1 =8
T
π
4∫0
u(t) sin(2n + 1)ωtdt
u(t) =4U
π
(sinωt+
1
3sin 3ωt+
1
5sin 5ωt+ ....
)
127
( )u t
t
U
U−
0
2
T T
Slika 5.104:
Primjer 4: Odrediti kompleksni oblik Furijeovog reda funkcije
f(t) =
4 0 < t < 1
−4 1 < t < 2
Ucestanost osnovnog harmonika je T = 2 pa oslijedi da je ωo =2π
T= π.
f(t) =
∞∑k=−∞
ckejkωot
ck =1
T
T
2∫−
T
2
f(t)e−jkωotdt
ck =1
2
1∫−1
f(t)e−jkωotdt =1
2
0∫−1
(−4)e−jkωotdt+1
2
1∫0
4e−jkωotdt
ck =4
jkπ[1− (−1)n] (5.124)
co =1
2
1∫−1
f(t)dt =1
2
0∫−1
4dt− 1
2
1∫0
4dt = 0
Iz izraza za ck u relaciji (5.124) ako je:
ck = 0
ck =8
jkπ
k − parno
k − neparno
Sada je Furijeov red:
f(t) =8
jπ
∞∑k=−∞
1
2k − 1ej(2n−1)πt
128
Primjer 5:
f(t) =
1 −1 < t < 1
0 1 < |t| < 2
Imamo da je
T = 4
ωo =2π
T=
π
2
Kada se sve izracuna dobijamo:
f(t) =1
2+
1
π
∞∑k=−∞
sin(k π
2
)k
ejkπt
2
ovo ima smisla za
K = 0
5.3 Funkcija odabiranja
Funkcija odabiranja se definiše kao
Sa(x) = sinx
x
Sa(0) = 1
za x = 0
za x = 0
Kao varijantu ove funkcije imamo funkciju "sinc" koja se definiše kao
sincx =sin πx
πx= Sa(πx)
Sada za primjer 5. imamo
co = limk−→∞
ck=⇒ f(t) =
1
2
∞∑k=−∞
Sa(kπ
2)e
jkπt
2
Primjer 6.
f(t) =
1 − δ
2< t < δ
2
0 δ2< |t| < π
2
f(t+ T ) = f(t) tj T je period
Ovo je uopštavanje primjera 6. Tada je
f(t) =δ
T
∞∑k=−∞
Sa(kπδ
T)e
j2kπt
T
129
gdje je δ−proizvoljan cijeli broj a T − proizvoljni period.
Primjer 7. Ako je funkcija f(t) parna funkcija koeficijent ck je jednak
ck =2
T
T2∫0
f(t) cos kωotdt
Ako je funkcija f(t) neparna funkcija koeficijent ck je jednak
ck =2
T
T2∫0
f(t) sin kωotdt
Ovo se lako dokazuje polazeci od opštih relacija za koeficijente. Ako imamo dvije funkcije:
f1(t) i njen Furijeov red f1(t) =∞∑
n=−∞
anejnωot i funkciju f2(t) i njen Fourijeov red f2(t) =
∞∑m=−∞
bmejmωot sa zajednickom ωo =
2πT
:
Teorema 1: Ako su date dvije funkcije f1 i f2 sa gore navedenim osobinama kada je
1
T
T
2∫−
T
2
f1(t− τ )f2(τ )dτ =∞∑
n=−∞
anbmejnωot
Ovo je teorema o konvoluciji Furijeovih redova.
Teorema 2:
1
T
T
2∫−T
2
f1(t)f2(t)e−jnwotdt =
∞∑m=−∞
ambn−m
Dokaz teoreme 1: Polazeci od relacije 1T
T
2∫−T
2
f1(t − τ )f2(τ )dτ u koju uvrstimo Fourijeov red
funkcije f1(t) ali za t− τ dobijamo:
1
T
T
2∫−T
2
f1(t− τ)f2(τ)dτ =1
T
T
2∫−T
2
∞∑n=−∞
anejnωo(t−T )f2(τ)dτ =
=∞∑
n=−∞
anejnωot
1
T
T
2∫−T
2
f2(τ )e−jnωoτdτ =
∞∑n=−∞
anbnejnωot
130
Dokaz teoreme 2: Polazeci od proizvoda
f1(t)f2(t) =∞∑
m=−∞
amejmωot
∞∑k=−∞
bkejkωot =
∞∑m=−∞
∞∑k=−∞
ambkej(m+k)ωot =
=∞∑
m=−∞
(∞∑
k=−∞
an−kbk
)ejnωot (5.125)
gdj je m+ k = n. Iz relacije (5.125) slijedi neposredan dokaz teoreme 2.
Posledice: Kao posljedice ove dvije teoreme imamo dvije teoreme sa specificnom prim-
jenom.
Teorema Parsevala:
1
T
T
2∫−T
2
f1(t)f∗
2(t)dt =
+∞∑m=−∞
amb∗m
(5.126)
U relaciji (5.126) funkcije f1(t) i f ∗2 (t) mogu da imaju svoj imaginarni i realni dio. Dokaz
je direktna posljedica teoreme 2 ako stavimo b∗−m
i n = 0 dobijamo da je b∗m
= b−m
dok su
koeficijenti jednaki
am=
1
T
T
2∫−T
2
f1(t)e−jωm
bm =1
T
T
2∫−T
2
f2(t)e−jωn
Teorema Releja: Ako je
f1(t) = f2(t) = f(t)
tada je
1
T
T
2∫−T
2
(f |t|)2 dt =∞∑
n=−∞
|an|2
Ova se teorema još naziva i Energy-teorema. Ova teorema povezuje f |t| sa koeficijentima
kompleksnog Furijeovog reda.
Dokaz: Ako u Parservalovu relaciju stavimo da je f1(t) = f2(t) = f(t) .
Do relacija iz ovih teorema moguce je doci polazeci od Furijeovih redova ovih funkcija.
Polazeci od Furijeovih redova funkcija
f(t) = Adc +∞∑n=1
An cos (nωot + φn)
131
g(t) = Bdc +∞∑
m=1
Bm cos (mωot+ θm)
i ako formiramo integral proizvoda
1
T
T∫0
f(t)g(t)dt =1
T
T∫0
AdcBdcdt+∞∑n=1
AnBdc
T
T∫0
cos(nωot+ φn)dt
︸ ︷︷ ︸=0 na intervalu 0−T
+
+∞∑m=1
AdcBm
T
T∫0
cos (mωot + θm) dt
︸ ︷︷ ︸=0 na intervalu 0−T
+
+∞∑n=1
∞∑m=1
AnBm
T
T∫0
cos (mωot + θm) cos(nωot + φn)dt
Koristeci tablicu integrala koji se najcešce koriste dobijamo
1
T
T∫0
f(t)g(t)dt =
T∫0
cos (mωot + θm) cos(nωot + φn)dt = · · ·
0 za n = mπ cos(θm+φn)
ω0
za n = m
Tada je
1
T
T∫0
f(t)g(t)dt = AdcBdc +∞∑n=1
AnBn
2cos(φn − θn)
jer je n = m. Ako ovim funkcijama damo fizicki smisao
f(t) = u(t)
g(t) = i(t)
Adc = Udc − jednosmjerni napon
Bdc = Idc − jednosmjerna struja
An = Un
Bn = In
132
tada je po definiciji srednja snaga:
P =1
T
T∫0
u(t)i(t) = VdcIdc +∞∑n=1
VnIn2
cos(φn− θn)
P = Pdc +∞∑n=1
Pn
Ako je f(t) = g(t), tada vaze jednakosti: Adc = Bdc, An = Bn i φn= θn pa dobijamo
1
T
T∫0
f 2(t)dt = A2
dc+∞∑n=1
A2
n
2
što predstavlja Parsevalovu jednacinu. Ako je fizicki smisao f(t) = i(t) (slika 5.105)
( )u t
( )i t
1R = Ω
Slika 5.105:
tada Parsevalova jednacina ima oblik
1
T
T∫0
i2(t)dt = Idc +∞∑n=1
I2n2
(5.127)
Relacija (5.127) predstavlja energiju koja se izdvaja u otporniku R = 1Ω za vrijeme jednog
perioda T. Snaga koja se izdvaja u otporniku R = 1Ω
P =1
T
T∫0
f 2(t)dt =∞∑
n=−∞
|cn|2 (5.128)
a ovo je Parsevalova teorema (Relejeva teorema). Ovdje f(t) moze biti
f(t) = u(t) =⇒ f2(t)
Rf(t) = i(t) =⇒ f 2(t)R
gdje je R = 1Ω.
II nacin do Parsevalove teoreme:
133
Ako je Furijeov red red funkcije f(t) jednak
f(t) =∞∑
n=−∞
cnejnωot
tada je
f2(t) =∞∑
n=−∞
∞∑m=−∞
cncmejnωotejmωot (5.129)
Ako relaciju (5.129) uvrstimo u relaciju (5.128) dobijamo
P =1
T
T∫0
f 2(t)dt =1
T
T∫0
∞∑n=−∞
∞∑m=−∞
cncmejnωotejmωotdt =
∞∑n=−∞
∞∑m=−∞
cncm1
T
T∫0
ejnωotejmωotdt
Ako n i m imaju vrijednosti n,m = 0,±1,±2,±3, · · · onda je integral
T∫0
ejnωotejmωotdt = 0
Ako je m = −n tada imamo
1
T
T∫0
ejnωote−jnωotdt = 1
Samo ako je m = −n tada je ovaj integral jednak jedinici i u tom slucaju je
cm = c−n
a to je
cm = c−n = c∗n
I na kraju dobijamo
P =1
T
T∫0
f 2(t)dt =∞∑
n=−∞
cnc∗
n =∞∑
n=−∞
|cn|2
Time smo dokazali Parsevalovu jednakost na drugi nacin.
5.4 Analiza kola sa slozenoperiodicnim strujama
5.4.1 Efektivna vrijednost slozenoperiodicnih velicina
Efektina vrijednost slozenoperiodicnih struja definiše se na isti nacin kao i efektivna vrijednost
prostoperiodicnih struja. Ona je jednaka onoj stalnoj struji koja za vrijeme periode razvije
134
onu kolicinu toplote u otporniku otpornosti R kao i slozenoperiodicna struja, tj.
RI2T = R
T∫0
i2(t)dt (5.130)
I = Ief =
√√√√√ 1
T
t∫0
i2(t)dt (5.131)
U slucaju prostoperiodicnih velcicina i(t) = Im cos(ωt+ ψ) efektivna vrijednost struje je bila
Ief = Im√2. Za slozenoperiodicne struje imamo da uspostavimo vezu izmeu te struje i efektivne
vrijednosti pojedinih harmonika
i(t) = i(o) + i(1) + · · ·+ i(k) + · · ·
gdje je
i(k) =√2I(k) cos(kωt + ψ(k))
struja k− og harmonika. Sada imamo da je
i2(t) =
( ∞∑k=0
ik
)2
=∞∑k=0
(ik)2
+∞∑
k,l=0
k =l
i(k)i(l) (5.132)
Relaciju (5.132) razbijamo na dva beskonacna clana, pa ovo uvrstimo u relaciju (5.131) koja
predstavlja efektivnu vrijednost struje
I2 =1
T
T∫0
i2(t)dt =1
T
T∫0
[ ∞∑k=0
i(k)
]2dt =
1
T
T∫0
∞∑k=0
(i(k))2
dt+1
T
T∫0
∞∑k,l=0
k =l
i(k)i(l)dt =
=∞∑k=0
1
T
T∫0
(i(k))2
dt +∞∑
k,l=0
k =l
1
T2 I(k) I(l)
T∫0
cos(kωt+ ψ(k)) cos(lωt+ ψ(l))
︸ ︷︷ ︸zbog ortogonalnosti sistema =0
(5.133)
Posmatrajuci relaciju (5.133) imamo da je
I2 =∞∑k=0
(I(K))2
(5.134)
I =
√(I(0))
2+ (I(1))
2+ · · ·+ (I(k))
2+ · · · (5.135)
135
Na isti nacin za napone
U =
√(U (0))
2+ (U (1))
2+ · · ·+ (U (k))
2+ · · · (5.136)
Slozenoperiodicne struje su realnost u inzinjerskoj praksi. Da bi se karakterisala izoblicenost
slozenoperiodicnih struja u odnosu na prostoperiodicne, uvode se faktori poreenja kao npr.
1) Kolicnik izmeu maksimalne i efektivne vrijednosti
K1 =ImIef
=ImI
za prostoperiodicne
K1 =√2
Ako K1 odstupa od√2 to je slozenoperiodicna struja.
2) Kolicnik izmeu kvadratnog korjena, zbira kvadrata efektivnih vrijednosti pojedinih har-
monika bez osnovnog i efektivne struje
K2 =
√(I(2))
2+ · · ·+ (I(k))
2
I
ovaj faktor se naziva kao "klir" (eng. clear) faktor. Za prostoperiodicne struje K2 = 0
i ako K2 odstupa od nule, u pitanju je slozenoperiodicna struja.
3) Treci faktor poreenja je ekvivalentna sinusoida. To je prostoperiodicna kriva linija koja
ima isti period i istu elementarnu vrijednost kao posmatrana slozenoperiodicna struja.
Imamo još faktora poreenja, zavisno od discipline teorije elektricnih kola.
136
5.4.2 Analiza elektricnih kola sa slozenoperiodicnim strujama i napon-
ima
Posmatramo kolo kao na slici 5.106. Zadato jeR, L, C i slozenoperiodicna eksitacija e(t). Trazi
se slozenoperiodicna struja i(t) u stacionarnom stanju (ustaljeni rezim). Slozenoperiodicna
eksitacija je jednaka
CR L
( )e t
( )i t
Slika 5.106:
e(t) = e(o) + e(1) + · · ·+ e(k) + · · ·
gdje je e(k) =√2E(k) cos(kωot + θ(k)) k− ti harmonik slozenoperiodicne eksitacije a ω0 =
2π/T ucestanost osnovnog harmonika. Ovo je matematicki zapis Furijeovog reda, a mi ovu
slozenoperiodicnu eksitaciju mozemo u elektricnom smislu, posmatrati kao rednu vezu beskon-
acnog broja elektromotornih sila prostoperiodicne eksitacije
e(k) za k = 0, 1, 2, ...
Po principu superpozicije:
i(t) = i(o) + i(1) + · · ·+ i(k) + · · ·
gdje je
i(k) =√2I(k) cos(kωot + ψ(k))
pošto su i(k) prostoperiodicne velicine za njih mozemo da primjenimo kompleksne predstavnike
i da iz vremenskog, preemo u kompleksni domen.
e(k)(t) =⇒ E(k) = E(k)∠θ(k)
i(k)(t) =⇒ I(k) = I(k) ∠ψ(k)
137
Po kompleksnoj metodi
I(k) =E(k)
Z
I(k) =E(k)ejθk
Z(k)ejψk=
E(k)
Z(k)ej(θ
(k)−ψ(k))
U slucaju prostog elektricnog kola kao na slici 5.106.
Z(k) = R+ j
(kωL− 1
kωC
)
Z(k) = mod(Z(k))=
√R2 +
(kωL− 1
kωC
)2
ϕ(k) = argmod(Z(k))= arctan
kωL− 1
kωC
R
Tada je
I(k) =E(k)
Z(k)(5.137)
ψ(k) = θ(k) − ϕ(k) (5.138)
Odredili smo moduo i pocetnu fazu struje k− tog harmonika, cime smo odredili trazena stanja.
Pošto u kolu postoji kondenzator C to je Z(o) = ∞ a na osnovu relacije (5.137) I(o) = 0 pa je
i (t) =∞∑k=1
√2I(k) cos
(kωot+ ψ(k)
)
Ovaj princip vazi i za svako linearno slozeno elektricno kolo pa se primjenom Furijeovog reda
i principa superpozicije analiza elektricnih kola sa slozenoperiodicnim velicinama svodi na
analizu elektricnih kola sa prostoperiodicnim velicinama, na koje primjenjujemo kompleksni
metod. Jednacine se pišu za k− ti harmonik vodeci racuna o tome da ne zaboravimo vrijednost
k. Tako na k− ti harmonik mozemo primjeniti sve teoreme i principe: metod napona cvorova,
konturnih struja, principa linearnosti, itd. Napomena: Ne smije se napraviti greška da se
sabiraju kompleksni predstavnici za razlicite harmonike, pošto su to kompleksni predstavnici
harmonika razlicitih ucestanosti. Dakle, prvo se sve izracuna za k− ti harmonik pa se zatim
pree na vremenski domen
i(t) =∞∑k=1
i(k) (t)
Zakljucak: Slozenoperiodicne velicine se mogu sabirati samo u vremenskom domenu po har-
monicima.
138
5.4.3 Snage u kolu slozenoperiodicnih velicina
Ako imamo pasivno kolo proizvoljne topologije kao na slici 5.107.
( )i t
( )u t
Slika 5.107: Pasivno kolo proizvoljne topologije
u(t) = u(o) + u(1) + · · ·+ u(k) + · · ·
i(t) = i(o) + i(1) + · · ·+ i(k) + · · ·
Trenutna snaga se definiše kao
p(t) = u(t)i(t)
Pošto je
u(t) =∑k
u(k)(t)
i(t) =∑k
i(k)(t)
tada je trenutna snaga
p(t) =∑k
u(k) (t)∑k
i(k) (t) (5.139)
Srednja (aktivna) snaga se definiše kao
P =1
T
T∫0
p(t)dt
Izrazimo aktivnu snagu preko aktivnih snaga pojednih harmonika. Polazeci od izraza (5.139)
imamo
p(t) =∑k
u(k) (t)∑k
i(k) (t) =∑k
u(k) (t) i(k) (t) +∑k,l
k =l
u(k) (t) i(l) (t)
139
Sada je
P =1
T
T∫0
p(t)dt =1
T
T∫0
[∑k
u(k) (t) i(k) (t) +∑k,l
u(k) (t) i(l) (t)
]dt =
=1
T
T∫0
(∑k
u(k)i(k)
)dt +
1
T
T∫0
(∑k,l
u(k)i(l)
)dt =
∑k
1
T
T∫0
u(k)i(k)dt+∑k,l
1
T
T∫0
u(k)i(l)dt
=∑k
Pk +∑k,l
1
T2
T∫0
U (k)I(l)dt cos(kωot + θ(k)
)cos(kωot+ ψ(k)
)
Izraz za aktivnu snagu je (ukljucujuci i nulti harmonik) jednak
P =∑k
P (k) (5.140)
Pošto je P (k) = U (k)I(k) cosϕ(k) onda slijedi
P =∑k
P (k) =∑k
U (k)I(k) cosϕ(k) (5.141)
Analogno kao za aktivne snage, definiše se reaktivna snaga
Q =∑k
Q(k) =∑k
U (k)I(k) sinϕ(k)
Kompleksna snaga k− tog harmonika definiše se kao
S(k) = U (k)(I(k))∗
pa je
P (k) = ReS(k)= U (k)I(k) cosϕ(k)
Q(k) = ImS(k)= U (k)I(k) sinϕ(k)
Napomena 1: Postoji kompleksna snaga k− tog harmonika ali ne postoji kompleksna snaga
elektricnog kola slozenoperiodicne struje i slozenoperiodicnih napona, jer ne postoje kom-
pleksni predstavnici slozenoperiodicnih struja i slozenoperiodicnih napona, vec samo njihovih
harmonika, tj. ne vazi S = UI∗ vec je S = UI∗. Ali pošto postoje efektivne vrijednosti
slozenoperiodicnih struja i napona, prividna snaga se definiše
S = UI =
√∑k
(U (k))2∑k
(I(k))2
140
Napomena 2: Još nije definisan pojam reaktivne snage u naucnoj i strucnoj javnosti, jer je
definicija
Q =∑k
Q(k) =∑k
U (k)I(k) sinϕ(k)
prenesena iz prostoperiodicnih velicina. Šta je reaktivna snaga i kako se definiše, nema odgov-
ora. Za prostoperiodicne vrijednosti vazi ralacija (trougao snaga)
S2 = P 2 +Q2
Ova relacija ne vazi za slozenoperiodicne snage vec se mora koristiti sledeca relacija
S2 = P 2 +Q2 +D2 (5.142)
gdje je D - snaga izoblicenja koja je posljedica meusobnog uticaja napona i struja razlicitih
harmonika.
D =√
S2 − P 2 −Q2
Izrazimo snagu izoblicenja D preko efektivnih vrijednosti napona i struja harmonika napona
i struja. Polazeci od definicije snage (prividne)
S2 =∑k
(U (k))2∑
k
(I(k))2
=∑k
(U (k))2∑
k
(I(k))2 (
cos2 ϕ(k) + sin2 ϕ(k))
Jednakost (cos2 ϕ(k) + sin2 ϕ(k)) = 1 nam omogucava da odredimo faznu razliku ϕ napona i
struje k− og harmonika. Dalje je
S2 =∑k
(U (k))2∑
k
(I(k))2
cos2 ϕ(k) +∑k
(U (k))2∑
k
(I(k))2
sin2 ϕ(k) (5.143)
Koristeci Lagranzeov identitet
∞∑k=0
a2k
∞∑k=0
b2k =
(∞∑k=0
akbk
)2
+∞∑
k=0,l=0
k =l
(akbl − albk)2
Tada je
∑k
(U (k))2∑
k
(I(k))2
cos2 ϕ(k) =
[∞∑k
U (k)I(k) cosϕ(k)
]2+
+∞∑
k=0,l=0
k =l
(U (k)I(l) cosϕ(l) − U (l)I(k) cosϕ(k)
)2(5.144)
141
∑k
(U (k))2∑
k
(I(k))2
sin2 ϕ(k) =
[∞∑k
U (k)I(k) sinϕ(k)
]2+
+
∞∑k=0,l=0
k =l
(U (k)I(l) sinϕ(l) − U (l)I(k) sinϕ(k)
)2(5.145)
Kada relacije (5.144) i (5.145) zamijenimo u relaciju (5.143) dobijamo
S2 =
[∞∑k
U (k)I(k) cosϕ(k)
]2+
[∞∑k
U (k)I(k) sinϕ(k)
]2+
+∞∑
k=0,l=0
k =l
[(U (k)I(l) cosϕ(l) − U (l)I(k) cosϕ(k)
)2+
+(U (k)I(l) sinϕ(l) − U (l)I(k) sinϕ(k)
)2] (5.146)
Uporeujuci relacije (5.142) i (5.146) i imajuci u vidu definicije aktivne i reaktivne snage
imamo
D =
√√√√√∞∑
k=0,l=0
k =l
[U (k)I(l) cosϕ(l) − U (l)I(k) cosϕ(k)]
2+ [U (k)I(l) sinϕ(l) − U (l)I(k) sinϕ(k)]
2
Ako razvijemo kvadrat binoma uz korišcenje trigonometrijskih identiteta imamo
D =
√√√√√∞∑
k=0,l=0
k =l
[(U (k))
2(I(l))
2+ (U (l))
2(I(k))
2 − 2U (k)U (l)I(k)I(l) cos (ϕ(k) − ϕ(l))]
(5.147)
Usljed dejstva viših harmonika kriva struje je izoblicena u odnosu na krivu napona i zato se
javlja snaga izoblicenja.
Primjer 8: U kolu prikazanom na slici 5.108. djeluje napon v(t) oblika
v(t) =
4V, 0 < t < 1 s
0V, 1 < t < 4 s
Odrediti struju i(t) =?
Rješenje:
v(t) = v(t + T ) =⇒ T = 4 s
ωo =2π
T=
π
2
142
2Ω
1F
4( )v t
( )i t
Slika 5.108:
Ako napon prikazemo u obliku Furijeovog reda
v(t) =ao2
+∞∑n=1
(an cos (nωot) + bn sin (nwot)) =ao2
+∞∑n=1
An cos (nωot+ φn)
U našem slucaju se dobija, po formulama za koeficijente Furijeovog reda
ao2
= 1
an =4
nπsin
nπ
2
bn =4
nπ
(1− cos
nπ
2
)Tada je
An =√a2n+ b2
n=
√(4
nπsin
nπ
2
)2
+
(4
nπ
(1− cos
nπ
2
))2
=4
nπ
√2(1− cos
nπ
2
)=
=8
nπsin
nπ
2
φn
= − arctanbnan
= − arctan4nπ
(1− cos nπ
2
)4nπ
sin nπ
2
= −nπ
4
Sada je Furijeov red napona
v(t) = 1 +∞∑n=1
An cos
(nπt
2+ φ
n
)V
Impendansa za n− ti harmonik je
Z(n) =
(2− j
8
nπ
)Ω =
2
nπ
√n2π2 + 16 ∠− arctan
4
nπΩ
Sada je struja
i(t) =ao
2Z(0)+∞∑n=1
An∣∣∣Z(n)∣∣∣ cos(nωot+ φ(n) − ϕ(n)
)A
143
Pošto u kolu postoji kondenzator to je Z(0) = ∞ što cini da je clan
ao2Z(0)
= 0
pa je
i(t) = 4
∞∑n=1
sin nπ
4√16 + n2π2
cos
(nπt
2− nπ
4+ arctan
4
nπ
)A
MREZE SA DVA PARA KRAJEVA
6.1 Uvod
Za mreze sa dva para krajeva koriste se i nazivi: mreze sa dva pristupa, cetveropoli, cetvorokra-
jnici, mreze sa dva ulaza i sl. Elektricna kola, odnosno mreze mozemo podijeliti po više osnova:
Prema broju krajeva, odnosno pristupa mreze dijelimo na:
• mreze sa jednim pristupom (svaki element R,L ili C moze se posmatrati kao mreza sa
jednim pristupom)
PROIZVOLJNAKOMBINACIJA
, , ,R L C m⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
U
I1
1′ulZ
Slika 6.109: Mreza sa jednim pristupom
Svakom pristupu dodjeljuje se par velicina (napon i struja) i mreza se definiše ulaznom
admitansom ili impedansom
Zul
=U
I
Yul
=I
U
• mreze sa dva para krajeva ili sa dva pristupa
• mreze sa n-pristupa ili n - pari krajeva, gdje je n - proizvoljni cio broj
144
145
PROIZVOLJNAKOMBINACIJA
, , ,R L C m⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
1U
1I1
1′
2I 2
2′
2U
Slika 6.110: Mreza sa dva pristupa
Koncentrisacemo se na mreze sa dva para krajeva. Svakom paru dodjeljuje se napon
i struja sa referentno oznacenim smjerovima. Za potrebe elektronike cešci je slucaj da je
struja I2 suprotnog smjera od nacrtanog na slici tj. smjera ←− I2. Posmatracemo proizvoljnu
kombinaciju R, L, C, m i to kao nelinearne stacionarne elemente, vremenski nepromjenjive
u ustaljenom rezimu. Pojam: pristup: Mreza sa okolinom ili sa drugim kolima, moze
razmjenjivati energiju preko magnetskog polja izmeu elementa mreze i spoljašnjeg elementa
van mreze. Obicno se za jedan kraj mreze prikljuci izvor elektricne energije (tj. pobude ili
signala), a za drugi, neki prijemnik pa mreza sluzi da prenese energiju (signal) od izvora do
prijemnika.
PROIZVOLJNAKOMBINACIJA
, , ,R L C m⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
1I
1′
2I 2
2′
1
gZ
gE
pZ1U 2U
Slika 6.111:
Mnogi elementi u savremenoj elektronici su mreze sa dva para krajeva i modeli mnogih
ureaja. Do sada su idealni transformator i kontrolni izvor bili mreze sa dva para krajeva.
6.2 Jednacine i parametri mreza sa dva para krajeva
Pod jednacinama mreza sa dva pristupa podrazumijevaju se jednacine koje povezuju napone i
struje na njenim pristupima [povezuju (U1 i I1) i (U2 i I2)]. U zavisnosti od toga na koji nacin
cemo izraziti napone i struje na pristupima, imamo 6 vrsta jednacina, pa prema tome i 6 vrsta
parametara, mreza sa dva para krajeva. Za slucaj mreza koje posmatramo (u ustaljenom
rezimu) te jednacine bice linearne i kompleksne. Parametri mreze bice tada kompleksne velicine
146
sa ili bez fizickih vrijednosti. Od 4 velicine U1, I1, U2 i I2) treba izraziti dvije pa je
(4
2
)= 6
parametara. Tih 6 vrsta parametara i 6 sistema jednacina su:
1. “a” sistem jednacina
U1
= f1(U2, I
2)
I1
= f2(U2, I
2)
1U
1I1
1′
2I 2
2′
2U
Slika 6.112:
Taj “a” sistem jednacina za smjerove struja prikazanih na slici 6.112 bi izgledao:
U1
= a11U
2+ a
12I2
(6.148)
I1
= a21U
2+ a
22I2
(6.149)
ili u matricnom obliku: [U
1
I1
]=
[a11
a12
a21
a22
][U
2
I2
](6.150)
U energetici, ovi parametri aij se oznacavaju A,B,C,D. Jednacine (6.148), (6.149) i (6.150)
se nazivaju “a” sistem jednacina mreza sa dva para krajeva (zato što su parametri u oznaci
aij), gdje je “a∼
” matrica:
a∼
=
[a11
a12
a21
a22
](6.151)
a a11, a12, a21, a22 - su “a” parametri.
2. “b” sistem jednacina sa “b” parametrima je inverzan “a” sistemu. Dobija se, kada je:
U2
= f1(U1, I
1)
I2
= f2(U1, I
1)
147
za referentne smjerove na slici 6.112.
U2= b
11U1+ b
12I1
(6.152)
I2= b
21U1+ b
22I1
(6.153)
ili u matricnom obliku
[U2
I2
]=
[b11
b12
b21
b22
][U1
I1
](6.154)
gdje je “b∼
” matrica
b∼
=
[b11
b12
b21
b22
]
a b11, b12, b21, b22 - su “b” parametri. Sistemi “a” i “b” su inverzni
b∼
= a∼
−1 (6.155)
a∼
= b∼
−1
Ova inverzija je moguca ako je
det(a∼
) = 0
det(b∼
) = 0
tj, da su obje matrice nesingularne.
3. “z” sistemi jednacina i “z” parametri
U1
= f1(I1, I2)
U2
= f2(I1, I2)
Sistem “z” bi izgledao (za smjerove I1−→ I2−→)
U1
= z11I1+ z
12(−I
2) (6.156)
U2
= z21I1+ z
22(−I
2) (6.157)
ili u matricnom obliku
148
[U1
U2
]=
[z11
z12
z21
z22
][I1
I2
](6.158)
gdje je “z∼
” matrica
z∼
=
[z11
z12
z21
z22
]
a z11, z12, z21, z22 - su “z” parametri.
4. “y” sistem jednacina i “y” parametri
I1
= f1(U1, U
2)
I2
= f2(U1, U
2)
Sistem za nacrtane smjerove je
I1
= y11U1+ y
12U2
(6.159)
−I2
= y21U1+ y
22U2
(6.160)
ili u matricnom obliku
[I1
−I2
]=
[y11
y12
y21
y22
][U1
U2
](6.161)
gdje je “y∼
” matrica
y∼
=
[y11
y12
y21
y22
]
a y11, y12, y21, y22 - su “y” parametri. Vidi se da je
z∼
= y∼
−1 (6.162)
y∼
= z∼
−1 (6.163)
tj. matrice“y∼
” i “z∼
” sistema jednacina su mjerene uz uslov
149
det(z∼
) = 0
det(y∼
) = 0
Moze se desiti da postoje “z” ali da ne postoje “y” parametri i obratno kada uslov inverzije
nije ispunjen i nema inverzije.
5. “g” parametri i “g” sistem jednacina
I1
= f1(U1, I
2)
U2
= f2(U1, I
2)
Sistem “g” parametara je oblika
I1
= g11U1+ g
12(−I
2) (6.164)
U2
= g21U1+ g
22(−I
2) (6.165)
ili u matricnom obliku
[I1
U2
]=
[g11
g12
g21
g22
][U1
−I2
](6.166)
gdje je “g∼
” matrica
g∼
=
[g11
g12
g21
g22
]
a g11, g12, g21, g22 - su “g” parametri.
6. “h” parametri i “h” sistem jednacina
U1
= f1(I1, U2)
I2
= f2(I1, U2)
sistem “h” parametara je oblika
150
U1
= h11I1+ h
12U2
(6.167)
−I2
= h21I1+ h
22U2
(6.168)
ili u matricnom obliku
[U1
−I2
]=
[h11
h12
h21
h22
][I1
U2
](6.169)
gdje je “h∼
” matrica
h =
[h11
h12
h21
h22
]
gdje su h11, h12, h21, h22 - “h” parametri. Vidi se da je
h∼
= g∼
−1 (6.170)
g∼
= h∼
−1 (6.171)
tj. matrice “h∼
” i “g∼
” sistema jednacina su mjerene uz uslov
det(g∼
) = 0
det(h∼
) = 0
Dakle, imamo a∼
, b∼
, z∼
, h∼
, g∼
, y∼
matrice. U svakoj jednacini imamo dva parametra što je
uslovljeno time da je u pitanju mreza sa dva para krajeva. U pogledu fizicke dimenzionalnosti
parametri se dijele na:
• homogene
• hibridne
U homogene spadaju z i y parametri jer su u pogledu fizicke dimenzionalnosti svi oni
homogeni. Parametar z ima prirodu otpornosti (impendanse) a sva cetiri y - parametra imaju
prirodu provodnosti (admitanse). U hibridne parametre spadaju a, b, g i h parametri, jer su u
pogledu fizickih dimenzija razlicite prirode. Na primjer, parametri a11 i a12 vezu dvije razlicite
velicine U1 i I1 pa je
a11 - cist kompleksan broj (bez dimenzije)
a12 - priroda otpornosti
151
a21 - priroda provodnosti
a22 - cist kompleksan broj (bez dimenzije)
Slicno je i za b, g i h parametre. Neki od njih su bez dimenzije, neki imaju prirodu
imendanse, a neki prirodu admitanse. Svih ovih 6 vrsta parametara (a, b, h, g, z, y) se
nazivaju primarni parametri mreza sa dva pristupa. Nabrojani parametri zavise od same
mreze sa dva para krajeva bez obzira šta je na njenim pristupima prikljuceno, tj. zavise samo
od konfiguracije odnosno topologije mreze (elemenata mreze R, L, C, m), a ne zavise ni od
jednog parametra spoljašnje mreze. Parametri mreze (a, b, h, g, z ili y) se mogu odrediti
analiticki ili eksperimentalno. Ako je zadata mreza i date vrijednosti elemenata (R, L, C,
m), mreze tada se iz jednacina sistema mogu odrediti parametri. Na primjer, kada je mreza
na drugom pristupu otvorena za “a” imamo:
a11
=U1
U2
∣∣∣∣I2=0
a21
=I1
U2
∣∣∣∣I2=0
a ako je mreza na pristupu (2-2´) kratko spojena imamo
a12
=U1
I2
∣∣∣∣U2=0
a22
=I1
I2
∣∣∣∣U2=0
Ove relacije mogu se koristiti i u analitickom pristupu i u eksperimentalnom pristupu. Ako
nije poznata topologija kola tada se parametri odreuju eksperimentalno. Na primjer za “z”
parametre imamo:
z11
=U1
I1
∣∣∣∣I2=0
z12
=U1
−I2
∣∣∣∣I1=0
z21
=U2
I1
∣∣∣∣I2=0
z22
=U2
−I2
∣∣∣∣I1=0
Postoji i veza izmeu pojedinih vrsta parametara tj. neke mreze mogu imati sve vrste param-
etara ili ne moraju imati sve vrste odnosno mogu imati samo neke parametre.
Primjer 1: Imamo “a” parametre i treba da odredimo “z” parametre
152
Rješenje: Sistem jednacina koje odreuju “a” parametre je:
U1
= a11U2+ a
12I2
(6.172)
I1
= a21U2+ a
22I2
(6.173)
Treba najkracim putem preci iz “a” u “z” parametre. Iz (6.173)
a21U2= I
1− a22I2 = I
1+ a22(−I
2)
“z” - jednacina je:
U2=
1
a21
I1+
a22
a21
(−I2) (6.174)
gdje su “z” parametri
z21
=1
a21
i z22
=a22
a21
Ako zamijenimo (6.174) u (6.172) dobijemo
U1 = a11
[1
a21
I1+
a22
a21
(−I2)
]+ a
12I2
=a11
a21
I1+ a
11
a22
a21
(−I2) + a
12I2
=a11
a21
I1+
a11a22− a
21a12
a21
(−I2)
Dakle dobili smo
z11
=a11
a21
z12
=a11a22− a
12a21
a21
=det(a)
a21
Uslov za prelaz iz “a” na “z” kao što vidimo je da je a21
= 0 što znaci da je dominan-
tan parametar a21. Za mreze sa koncentrisanim parametrima, pasivnim elementima u ustal-
jenom rezimu, vremenski nepromjenjivim i linearnim elementima, postavlja se pitanje koji su
parametri nezavisni. Odgovor je: od 4 parametra po vrsti parametara, samo su 3 nezavisna,
a cetvrti je jednoznacno odreen sa preostala 3. Zavisnosti su:
za “a” parametre: det(a∼
) = 1
za “b” parametre: det(b∼
) = 1
za “z” parametre: z12
= z21
za “y” parametre: y12
= y21
za “h” parametre: h12
= −h21
za “g” parametre: g12
= −g21
153
Pošto su ovi parametri meusobno vezani relacijama dovoljno je dokazati jednu od ovih
zavisnosti, pa iz veza meu vrstama parametara moze se izvesti dokaz i za ostale tvrdnje. Ove
relacije su direktna posljedica principa uzajamnosti ili reciprociteta, tj. ove relacije su uslovi
uzajamnosti mreza sa dva pristupa.
Dokaz:
Izvešcemo dokaz za “y” parametre posmatrjuci sliku 6.113.
1I 2I
gU
2
2′
2U
1′
1
1U y
Slika 6.113:
Eksperiment: Prikljucimo Ug na pristupe (1-1’) i kratko spojimo pristupe (2-2’). Polazeci
od “y” sistema jednacina
I1
= y11U
1+ y
12U
2
−I2
= y21U
1+ y
22U
2
i uvrštavajuci vrijdnost napona U2= 0 (slika 6.113.) dobijamo
I1
= y11U
1
−I2
= y21U
1
Sa slike 6.113. je ocigledno da je U1= U
gšto daje
I1
= y11U
g
−I2
= y21U
g
Primjenjujuci princip uzajamnosti, dobijamo sliku 6.114. (mjesto gdje je bio generator zami-
jenimo njegovom impendansom odnosno kratkom vezom jer je Zg= 0)
Sistem “y” parametara u ovom slucaju je oblika
154
y
2I ′1I ′
gU
2
2′
2U
1′
1
1U
Slika 6.114:
I1
= y11U
1+ y
12U
2
−I2
= y21U
1+ y
22U
2
Parametri “y” su ostali isti jer primarni parametri zavise samo od mreze, a ona je ostala ista.
Ovdje je U1= 0 pa je
I1
= y12U
2
−I2
= y22U
2
Pošto je U2= U
gslijedi da je
I1
= y12U
g
−I2
= y22U
g
Struje u odnosu na generator moraju imati isti smjer (po principu uzajamnosti). Dakle, po
principu uzajamnosti mora biti
I2
= −I1
−y21U
g= −y
12U
g
odakle slijedi da je
y12
= y21
cime je dokaz završen. U pogledu napona i struja na pristupima, mreza sa dva para krajeva
je potpuno odreena sa svoja tri nezavisna parametra.
155
6.3 Ulazne impedanse otvorene i kratko spojene mreze
Ukoliko su krajevi 2-2’ otvoreni, po definiciji je (slika 6.115.)
1I 2I 2
2′
gU
1kZ01Z
1′
1
1U 2U
Slika 6.115:
Z01
=U
1
I1
∣∣∣∣I2=0
Zk1
=U1
I1
∣∣∣∣U2=0
Ako ovo izrazimo preko “a” parametara
Z01
=a11U2+ a
12I2
a21U2+ a
21I2
∣∣∣∣I2=0
=a11
a21
Ako ovo izrazimo preko “z” parametara
U1= z
11I1+ z
12(−I
2)
za I2= 0
Z01
=z11I1
I1
= z11
Z01
= z11
=a11
a21
(6.175)
Za impendansu kratko spojene mreze preko “a” parametara
Zk1
=U1
I1
∣∣∣∣U2=0
=a11U2+ a
12I2
a21U2+ a
21I2
=a12
a21
i preko “z” - parametara
Zk1
=z11I1− z
12(−I
2)
I1
∣∣∣∣U2=0
= z11− z
12z21
z22
156
Zk1
=a12
a21
(6.176)
To znaci da mrezu sa slike 6.115. mozemo zamijeniti sa sledecom slikom
1I
gU 1kZ01Z1U
1I
gU 1U
Slika 6.116:
Na slican nacin definišu se impendanse sa pristupa (2-2’)
1I 2I 2
2′
gU
2kZ 02Z
1′
1
1U 2U
Slika 6.117:
Po definiciji: impendansa otvorene mreze na pristupu (1-1’) sa strane pristupa (2-2’) jed-
naka je
Z02
=U2
−I2
∣∣∣∣I1=0
a impendansa kratko spojene mreze na (1-1’) sa strane (2-2’)
Zk2
=U2
−I2
∣∣∣∣U1=0
Izrazavajuci predhodne relacije preko “b” - parametara dobijamo
Z02
=b11U1− b
12I1
−(b21U1+ b
22I1)
∣∣∣∣I1=0
= −b11
b21
Ako hocemo da relacije izrazimo preko “a” - parametara koristimo vezu
157
b11
= a22
b12
= −a12
b21
= a21
b22
= a11
Dakle
Z02
= −b11
b21
= +a22
a21
Preko “z” - parametara
U2
= z21I1− z
22(−I
2) |
I1=0
= −z12I2
Z02
= −z12I2
−I2
= z22
Z02
= −b11
b21
=a22
a21
= z22
Za impendansu
Zk2
=U2
−I2
∣∣∣∣U1=0
=b11U1+ b
12I1
−(b21U1+ b
22I1)
∣∣∣∣U1=0
= −b12
b22
tj.
Zk2
= −b12
b22
=a22
a21
(6.177)
Ove 4 impendanse (Z01, Z
02, Z
k1, Z
k2) takoe spadaju u primarne parametre jer su jednoz-
nacno odreene ako su poznati primarni parametri. Izmeu ovih impendansi postoje odnosi
Z01
Zk1
=
a11
a21
a12
a22
=a11a22
a12a21
Z02
Zk2
=
a22
a21
a12
a11
=a11a22
a12a21
Dakle postoji vezaZ01
Zk1
=Z02
Zk2
(6.178)
odakle zakljucujemo da su tri impendanse nezavisne, a cetvrta je zavisna. Zakljucak : Linearna
pasivna, reciprocna mreza sa dva pristupa, potpuno je u pogledu napona i struja na pristupima
odreena sa tri svoje impendanse otvorene i kratko spojene mreze (bilo koje tri od Z01, Z
02,
Zk1, Z
k2). Sada imamo 7 vrsta primarnih parametara (a, b, h, g, z, y i impendanse Z
01,
Z02, Z
k1, Z
k2).
158
6.4 Simetricne mreze sa dva pristupa
Definicija: Ako postoji osa OO’ koja ne prolazi izmeu istoimenih krajeva (tj. ne prolazi
izmeu 1-1’ i 2-2’) u odnosu na koju je raspored impendansi simetrican, mreza se naziva
simetricnom. tj. ako je jedna polovina ogledalska slika druge polovine kao što to pokazuje
slika 6.118.
1U
1I1
1′
2I 2
2′
2U
1Z 1Z
2Z2Z
4Z 3Z 3Z 4Z
Ο
′Ο
Slika 6.118: Simetricna mreza sa dva pristupa
Ocigledno je da za simetricnu mrezu vazi
Z01
= Z02
= Z0
(6.179)
Zk1
= Zk2
= Zk
(6.180)
Uslov simetrije je izrazen relacijama (6.179) i (6.180) koje dalje daju:
Z01
= Z02
=⇒ a11
= a22
Zk1
= Zk2
=⇒ a22
= a11
Uslov simetrije preko “a” parametara jednostavno se izrazava kao
a11
= a22
Uslov simetrije preko svih parametara je
a11
= a22
b11
= b22
z11
= z22
y11
= y22
det(h∼
) = 1
det(g∼
) = 1
159
Princip uzajamnosti namece vezu izmeu tri parametra, a uslov simetrije namece da su do-
voljna samo dva nezavisna parametra. Zakljucak : Simetricna mreza u pogledu napona i
struje na svojim pristupima potpuno je odreena sa svoja dva nezavisna parametra. Dakle,
proizvoljna mreza sa tri, a simetricna sa dva nezavisna parametra, je potpuno odreena.
6.5 Sekundarni parametri mreza sa dva pristupa
Mreza je zadata sa “a”-parametrima. Na pristupu 1-1’ prikljucen je generator impendanse
Z1, a krajevi 2-2’ su zatvoreni sa impedansom Z
2(slika 6.119).
a
1I
1′
2I 2
2′
1
1Z
gU
2Z1U 2U
1Z ′
Slika 6.119:
Definišu se sljedeci sekundarni parametri.
1. Ulazna impendansa sa strane 1-1’:
Z ′
1=
U1
I1
Jednacine “a”- sistema su:
U1
= a11U
2+ a
12I2
I1
= a21U
2+ a
22I2
Pošto je mreza zatvorena impedansom Z2, sa slike 6.119 vidimo da je napon pristupu 2-2’
jednak U2= Z
2I2. Tada je
Z ′
1=
a11z2+ a
12
a21z2+ a
22
(6.181)
Zbog toga što Z2pripada spoljašnjoj mrezi i što je Z ′
1= f(Z
2) to se Z ′
1naziva sekun-
darnim parametrom.
2. Ulazna impendansa sa strane 2-2’: Z ′
2
160
a
1I
1′
2I 2
2′
1
1Z 1U 2U
2Z ′
1Z
gU
Slika 6.120:
Ulazna impendansa sa strane 2-2’, po definiciji a shodno slici 6.120. uz korišcenje “b”
parametara jednaka je:
Z ′
2=
U2
−I2
U1 = −Z1I1
Z ′
2 =U2
−I2=
b11U1 + b12I1−(b21U1 + b22I1)
Z ′
2 =−b11Z1 + b12b21Z1 − b22
Izrazeno preko “a” parametara imamo:
Z ′
2 =a22Z1 + a12a21Z1 − a11
(6.182)
6.6 Transmitansa
Transmitansa je takoe sekundarni parametar. Postoje transmitanse napona i transmitanse
struje. Transmitansa napona se definiše kao odnos napona na pristupima:
M =U1
U2
preko “a” parametara:
M =a11U2 + a12I2
U2
= a11 + a12I2U2
M = a11 +I2z2
(6.183)
161
Transmitansa stanja se definiše kao odnos struja:
N =I1I2
N =a21U2 + a22I2
I2= a21
U2
I2+ a22
N = a21Z2 + a22 (6.184)
Transmitansa mreze sa definiše kao
T =√M N
T =
√(a11 +
I2Z2
)(a21Z2 + a22) (6.185)
Prenosne funkcije su takoe sekundarni parametri.
6.6.1 Prenosna funkcija napona
Prenosna funkcija napona se definiše kao
Γu = lnM
Γu = ln
(a11 +
I2Z2
)(6.186)
Ako napone zapišemo u obliku:
U1 = U1ejθ1
U2 = U2ejθ2
tada je
Γu = lnM = lnU1
U2
= lnU1
U2ej(θ1−θ2) = ln
U1
U2+ j(θ1 − θ2)
odnosno:
Γu = Au + jBu
gdje je
Au = lnU1
U2
Bu = θ1 − θ2
162
Au - funkcija slabljenja napona. Ako je U1 = U2 tada je Au = 0 odnosno kazemo da nema
slabljenja napona. Bu - fazna funkcija napona tj. funkcija faznog zaostajanja napona.
6.6.2 Prenosna funkcija struje
Prenosna funkcija struje se definiše kao:
Γi = lnN = ln(a21Z
2+ a
22) (6.187)
Ako prikazemo struje u obliku:
I1
= I1ejψ
1
I2
= I2ejψ2
tada je
Γi = Ai + jBi
gdje je
Ai = lnI1I2
Bi = ψ1− ψ
2
Ai - funkcija slabljenja struje. Bi - fazna funkcija struje.
6.6.3 Prenosna funkcija mreze
Prenosna funkcija mreze se definiše kao
Γ = lnT
Γ = ln
√(a11+
I2
Z2
)(a
21Z
2+ a
22) (6.188)
Ako se uzme
Γ = lnT = ln√N M =
1
2(lnM + lnN) =
1
2(Γu + Γi) (6.189)
Dakle prenosna funkcija je algebarska sredina prenosnih funkcija napona i struje. Ako napišemo
163
Γ = A+ jB
gdje je
A =1
2(Au + Ai)
funkcija slabljenja mreze a
B =1
2(Bu +Bi)
fazna funkcija mreze. Dalje je
A =1
2(Au + Ai) =
1
2
(ln
U1
U2
+ lnI1I2
)=
1
2ln
U1I1U2I2
=1
2ln
S1
S2
A =1
2ln
S1
S2
gdje je S prividna snaga.
B =1
2[(θ1 − θ2) + (ψ
1− ψ
2)]
Vidimo da su transmitansa i prenosne funkcije cisti brojevi tj. bez dimenzije. Slabljenje se
moze izraziti i preko prirodnih logaritama i dekadnih logaritama. Da bi se pravila razlika
uvode se opisne jedinice slabljenja. Za B - stepeni ili radijana za
A =1
2ln
S1
S2
= n
gdje je n cisti broj. Meutim, dodjeljujemo mu jedinicu Neper, pa kazemo da je A = nNp tj.
A = n Nepera = n [Np] . Ako transformišemo prethodne izraze, odnosno izrazimo prirodne
algoritne preko dekadskih dobijamo:
A =1
2ln
S1
S2
=1Np
20 log e10 log
S1
S2
n′ = 10 logS1
S2
A = n′1Np
20 log e= n′dB
dB je oznaka za decibel (deseti dio 1 Bela)
1dB =1Np
20 log e=⇒ 1Np = 8.686dB
164
6.7 Izbor sekundarnih parametara
Dvije ulazne impedanse, transmitanse i prenosna funkcije nazivaju se zajednickim imenom
sekundarni parametri mreza sa dva para krajeva. Za razliku od primarnih parametara koji
zavise samo od konfiguracije mreze i njenih impedansi, sekundarni parmetri zavise još od
impedansi Z1 i Z2 kojima je mreza na svojim pristupima zatvorena. Pošto je u pogledu
napona i struja mreza sa dva pristupa potpuno odreena sa svoja tri nezavisna parametra ona
je odreena i sa svoja tri serkundarna parametra. Na primjer:
1. Z ′
1, Z ′
2, (jedna od transmitansi M , N ili T ).
2. Z ′
1, Z ′
2, (jedna od prenosnih funkcija Γu, Γi, Γ).
Obicno se bira sledeca trojka sekundarnih parametara: Z ′
1, Z ′
2, Γ. U sklopu ove posebne
trojke imamo nekoliko vrsta parametara:
a) karakteristicni parametri koji se definišu za simetricne mreze sa dva pristupa,
b) iterativni - parametri,
c) imaz - parametri.
Pored sekundarnih, kao što smo rekli definišu se i radni parametri, prenosni parametri,
parametri rasijanja i sl.
6.8 Karakteristicni parametri
Karakteristicni parametri se definišu samo za simetricnu mrezu sa dva pristupa. Polazeci od:
Z ′
1=
a11Z
2+ a
12
a21Z
2+ a
22
Z ′
2=
a22Z
1+ a
12
a21Z
1+ a
11
Za slucaj simetricnih mreza sa dva pristupa vazi:
a11
= a22
pa je
165
Z ′
1=
a11Z
2+ a
12
a21Z
2+ a
22
Z ′
2=
a11Z
1+ a
12
a21Z
1+ a
11
Prenosna funkcija
Γ =1
2(Γ
u+ Γ
i)
Γu
= ln
(a11+
a12
Z2
)Γi
= ln(a21Z
2+ a
22)
Vrijednosti datih sekundarnih parametara simetricne mreze sa dva pristupa bice potpuno
odreeni ako su pored “a” - parametara (dva “a” - parametra) poznate još i impedanse Z1 i
Z2. Sekundarni parametri simetricne mreze obicno se definišu kada su impedanse Z1 = Z2 i
jednake isto tako ulaznim impedansama Z ′
1i Z ′
2, tj.
Z ′
1= Z ′
2= Z
1= Z
2= Z
c(6.190)
Za ovako definisani rezim simetricne mreze sa dva para krajeva ova zajednicka vrijednost
ulaznih impedansi i impedansi Z1 i Z2 naziva se njenom karakteristicnom impedansom (Zc).
Krakteristicna impedansa se izracunava iz jednog od navedenih izraza za ulazne impedanse
stavljajuci
Z1= Z ′
2= Z
c
ili
Z2= Z ′
1= Z
c
u izraze za Z ′
1ili Z ′
2. Na jedan od ovih nacina dobija se
Zc=
a11Z
c+ a
12
a21Z
c+ a
22
=⇒ Zc=
√a12
a21
=√|Z|
Koristeci vezu za “a” parametre: det(a∼
) = 1 i a11
= a22
za simetricne mreze imamo
Zc=
√a211− 1
a21
(6.191)
Za posmatrani rezim (karakteristicni rezim) prenosne funkcije napona i struje su jednake i to
166
Γu= Γ
i= ln(a
11+√a12a21)
Prenosna funkcija simetricne mreze je:
Γc=
1
2(Γ
u+ Γ
i) = Γ
u= Γ
i= ln(a
11+√a12a21)
Γc= ln(a
11+√a12.a
21) = ln
(a11+√a211− 1
)(6.192)
Prenosnu funkciju simetricne mreze mozemo zapisati u obliku
Γc= Ac + jBc
gdje je: Ac - karakteristicno slabljenje simetricne mreze; Bc - karakteristicno fazno zaostajanje.
Pošto su simetricne mreze sa dva pristupa potpuno odreene sa dva parametra u ovom slucaju
to su Zc i Γc.
,c c
Z Γ
1I
1′
2I 2
2′
1
2Z1U 2U
cZ
Slika 6.121:
U interesu je da se Zc i Γc izraze preko Z0, Zk (impedanse otvorene i kratko spojene
mreze). Izrazimo “a” parametre preko karakteristicnih parametara. Iz jednacine (6.192)
mozemo napisati:
eΓc = a11+√a211− 1
e−Γc =1
a11+√a211− 1
Kada racionališemo predhodni izraz dobijamo
e−Γc = a11−√a211− 1
Definišemo:
167
cosh Γc=
eΓc + e−Γc
2=
a11+√a211− 1 + a
11−√a211− 1
2
tj.
a11
= cosh Γ (6.193)
Definišimo sinus hiperbolni
sinh Γc=
eΓc − e−Γc
2=
√a211− 1
koristeci vezu izmeu “a” - parametara dobijamo da je
sinh Γc=
√a12.a
21
Ako uzmemo u obzir da je
Zc=
√a12
a21
=⇒ Z2
c=
a12
a21
=⇒ a12
= a21Z2
c
i ako ovo uvrstimo u sinhΓcdobijamo:
sinh Γc=
√a221.Z2
c= a
21.Z
c
odakle se dobija
a21
=sinhΓ
c
Zc
(6.194)
Prema tome, za simetricnu mrezu vazi da je
a11
= a22
= cosh Γc
(6.195)
a21
=sinh Γ
c
Zc
(6.196)
a12
= Zcsinh Γ
c(6.197)
Iz relacija (6.195), (6.196) i (6.197) dobijaju se “a” parametri preko karakteristicnih param-
etara. Koristeci ove relacije mozemo “a” sistem jednacina za simetricnu mrezu napisati kao:
U1
= U2cosh Γ
c+ Z
cI2sinh Γ
c(6.198)
I1
= U2
sinh Γc
Zc
+ I2cosh Γ
c(6.199)
Karakteristicni parametri se definišu samo za simetricne mreze.
168
6.9 Iterativni parametri
Iteratirni parametri mreze sa dva para krajeva predstavljaju njene sekundarne parametre kada
je impedansa Z ′
2jednaka impedansi Z
1a Z ′
1jednaka Z
2, tj
Z ′
1= Z
2= Z
1it
Z ′
2= Z
1= Z
2it
Iterativni parametri se definišu za proizvoljnu mrezu sa dva para krajeva, za razliku od karak-
teristicnih parametara koji se definišu samo za simetricnu mrezu sa dva para krajeva. Odabi-
ramo impedansu Z2tako da se ponavlja na ulazu (slika 6.122.) Zato naziv "iterativni".
1I
1′
2I 2
2′
1
2 1itZ Z=1U 2U
1 1itZ Z ′=
a
Slika 6.122:
1I
2′
2I1
1′
2
1 2itZ Z= 2U1U
2 2itZ Z ′=
a
Slika 6.123:
Odabiramo Z1tako da se ona ponavlja na ulazu 2-2’ (slika 6.123), tj.
Z ′
2= Z
1= Z
2it
Ove iterativne (ponavljajuce) impedanse mozemo odrediti iz relacija za Z ′
1i Z ′
2, tj.
169
Z ′
1= Z
1it=
a11Z1it
+ a12
a21Z1it
+ a22
=⇒ a21Z2
1it+ (a
22− a
11)Z
1it− a
12= 0
Z ′
2= Z
2it=
a22Z2it
+ a12
a21Z2it
+ a11
=⇒ a21Z2
2it+ (a
11− a
22)Z
2it− a
12= 0
odakle se dobija
Z1it
=a11− a
22+√(a
11− a
22)2 + 4a
12a21
2a21
(6.200)
Z2it
=a22− a
11+√(a
22− a
11)2 + 4a
12a21
2a21
(6.201)
Treci iterativni parametar, analogno prethodnom razmatranju predstavlja prenosnu funkciju
mreze kada je ona zatvorena svojim iterativnim impedansama.
Z1it
=U1
I1
=U2
I2
Odavde se dobijaU1
U2
=I1
I2
Kao posledica ovog slijedi da je Γu= Γ
i= Γ
ittj.
Γit= ln
I1
I2
= ln(a21Z1it
+ a22)
Ako uvrstimo Z1it
iz relacije (6.200) imamo
Γit= ln
a11+ a
22+√(a
11− a
22)2 + 4a
12a21
2
Uz uslov det(a∼
) = 1 slijedi
Γit= ln
a11+ a
22+√(a
11+ a
22)2 − 4
2(6.202)
Pošto je proizvoljna mreza potpuno odreena sa svoja tri nezavisna parametra (primarna) to
je i potpuno odreena sa tri nezavisna iterativna parametra: Z1it, Z
2it, Γ
it. U interesu je
izraziti “a” parametre preko Z1it, Z
2iti Γ
it. Polazeci od relacija:
eΓit =a11+ a
22+√(a
11+ a
22)2 − 4
2
e−Γit =2
a11+ a
22+√(a
11+ a
22)2 − 4
170
Definišemo
cosh Γit
=a11+ a
22
2
sinh Γit
=
√(a
11+ a
22)2 − 4
2
Sada saberimo Z1it
i Z2it
pa dobijamo
Z1it
+ Z2it
=
√(a
11− a
22)2 + 4a
12a21
a21
=2 sinh Γ
it
a21
Odavde se dobija
a21
=2
Z1it
+ Z2it
sinh Γit
(6.203)
Ako sada napravimo proizvod:
Z1itZ2it
=a12
a21
Iz relacije (6.203) uvrstimo a21
pa dobijamo
a12
= a21Z1itZ2it
= 2Z1itZ2it
Z1it
+ Z2it
sinh Γit
(6.204)
Ako napravimo razliku dobicemo:
Z1it
− Z2it
=a11− a
22
2a21
Koristeci i relaciju
cosh Γit=
a11+ a
22
2
slijedi
a11− a
22= 2a
21(Z
1it− Z
2it)
ako iz relacije (6.203) uvrstimo a21
dobijamo:
a11− a
22= 2
(Z1it
− Z2it)
Z1it
+ Z2it
sinh Γit
a11+ a
22= 2 cosh Γ
it(6.205)
Iz relacije (6.205) sa dvije nepoznate dobijamo:
a11
= cosh Γit+
Z1it
− Z2it
Z1it
+ Z2it
sinh Γit
(6.206)
a22
= cosh Γit− Z
1it− Z
2it
Z1it
+ Z2it
sinh Γit
(6.207)
171
Za slucaj simetricne mreze iterativni parametri se svode na karakteristicne tj.
Γit= Γ
c
i tada takoe vazi
a11
= a22
Z1it
= Z2it
= Zc
6.10 Imaz parametri
Imaz parametri mreze sa dva pristupa su njeni sekundarni parametri kada je: Z1= Z ′
1a
istovremeno Z2= Z ′
2(slika 6.124). Ove dvije impedanse nazivaju se imaz impedansama
mreze sa dva pristupa i oznacavaju:
Z1
= Z ′
1= Z
1im(6.208)
Z2
= Z ′
2= Z
2im(6.209)
1I
1′
2I 2
2′
1
2imZ1U 2U
1imZ
a
1I
2′
2I1
1′
2
1imZ 2U1U
2imZ
a
1Z
2Z
Slika 6.124:
Francuski: imaz ogledalo. Na pristupu je impedansa ogledalska slika uz uslov da je
zatvorena mreza na drugom pristupu istovremeno. Ako relacije (6.208) i (6.209) uvrstimo
u izraze za Z ′
1i Z ′
1dobijamo
172
a21Z1im
Z2im
+ a22Z1im
− a11Z2im
− a12
= 0
a21Z1im
Z2im
− a22Z1im
+ a11Z2im
− a12
= 0
Ove se jednacine svode na prostiji oblik
a21Z1im
Z2im
= a12
a22Z1im
= a11Z2im
Odavde se dobija
Z1im
=
√a12a11
a21a22
(6.210)
Z2im
=
√a12a22
a21a11
(6.211)
Treci parametar mreze, njena prenosna funkcija koja u slucaju kada je mreza yatvorena imaz
- impedansama se naziva imaz - funkcija mreze i ima oblik
Γim
=1
2
(ln
U1
U2
+ lnI1
I2
)=
1
2
[ln
(a11+
a12
Z2im
)+ ln (a
21Z2im
+ a22)
]
Kada se zamijeni Z2im
iz relacije (6.211) dobijamo:
Γim
= ln(√a11a22+√a12a21) (6.212)
Dakle, opšta mreza bi bila odreena sa svoja tr parametra Z1im
, Z2im
, Γim. U interesu je
izraziti “a” parametre preko imaz parametara. Iz relacija
e−Γim =√a11a22+√a12a21
eΓim =1
√a11a22+√a12a21
=√a11a22−√
a12a21
Tada je
coshΓim
=1
2(eΓim + e−Γim) =
√a11a22
(6.213)
sinhΓim
=1
2(eΓim − e−Γim) =
√a12a21
(6.214)
Iz izraza za imaz-impedanse imamo da je
173
a11
a22
=Z1im
Z2im
(6.215)
a12
a21
= Z1im
Z2im
(6.216)
Koristeci (6.213), (6.214), (6.215) i (6.216) odreujemo “a” parametre kao
a11
=
√Z1im
Z2im
cosh Γim
(6.217)
a22
=
√Z2im
Z1im
cosh Γim
(6.218)
a12
=√Z1im
Z2im
sinh Γim
(6.219)
a21
=sinhΓ
im√Z1im
Z2im
(6.220)
U slucaju simetricne mreze imaz parametri se svode na karakteristicne:
a11
= a22
Z1im
= Z2im
= Zc
Γim
= Γc
Sada je “a” sistem jednacina preko imaz -parametara
U1
=
√Z1im
Z2im
(U2cosh Γ
im+ I
2Z2im
sinh Γim) (6.221)
I1
=
√Z2im
Z1im
(U2sinhΓ
im
Z2im
+ I2cosh Γ
im
)(6.222)
Ako se umjesto imaz - impedansi kao treci parametar uvede
n =
√Z1im
Z2im
=
√a11
a22
(6.223)
i u slucaju da je n realan broj (n ∈ R) oblik jednacina (6.221) i (6.222) pokazuje da se jedna
nesimetricna mreza sa dva pristupa moze zamijeniti kaskadnom vezom idealnog transformatora
174
prenosnog odnosa n i simetricne mreze cija je karakeristicna impedansa:
Zc
= Z2im
Γc
= Γim
1 2, ,im im imZ Z Γ
1I1
1′
2I 2
2′
a
ili1U 2U
Slika 6.125:
Šemu prikazanu na slici 6.125., prema relacijama (6.221) i (6.222) uz uslov da n ∈ R
mozemo zamijeniti šemom koja je prikazana na slici 6.126 a da se prilike na pristupima ne
promijene. U ovom sluicaju imamo kaskadnu vezu (za kraj jedne veze se druga mreza).
2c im
c im
Z Z=
Γ = Γ
1I 2I 2
2′
2U
1
1′
1U
Slika 6.126:
6.11 Specijalne mreze sa dva para krajeva
6.11.1 "T" - mreza sa dva para krajeva
Kada je raspored impedansi mreze sa dva pristupa u obliku slova "T" onda se ona naziva T
- mreza. Ovo je jedan od osnovnih i najvaznijih oblika mreza sa dva para krajeva (npr. celije
elektricnih filtara obicno su predstavljene T - šemom). Šema "T" mreze je sledeca
Pošto su 1’i 2’ kratko spojeni moze se mreza nazvati mrezom sa tri kraja. Z ′
1i Z ′
2su redne
impedanse T - mreze, Z2- otocna impedansa T - mreze. U mnogim elektronskim sklopovima
175
1I1
1′
2I 2
2′
1Z ′
2Z1U 2U
1Z ′′
Slika 6.127: "T" mreza sa dva para krajeva
upotrebljavaju se simetricne "T" - mreze za koje vazi
Z ′
1= Z
′′
1=
Z1
2
tako da je šema simetricne simetricne "T" - mreze
1I1
1′
2I 2
2′
1 /2Z
2Z1U 2U
1 /2Z
Slika 6.128: Simetricna "T" mreza
Za impedanse otvorene i kratko spojene mreze imali smo
Z0
=a11
a21
(6.224)
Zk
=a12
a22
(6.225)
a karakteristicna impedansa
Zc=
√a12
a21
(6.226)
Iz relacija (6.224), (6.225) i (6.226) dobija se
Zc=
√Z
0Z
k(6.227)
tj. dobijamo izraz za karakteristicnu impedansu (bilo koje) simetricne mreze sa dva para
krajeva preko Z0i Z
k.
176
6.11.2 Karakteristicni parametri simetricne "T" mreze
Karakteristicna impedansa "T" mreze
Karakteristicna impedansa simetricne "T" mreze jednaka je
ZT
c=
√Z
0Z
k
gdje je Z0- ulazna impedansa sa 1-1’ kada su 2-2’ otvoreni pa je (slika 6.128):
Z0=
Z1
2+ Z
2
Zk- ulazna impedansa sa 1-1’ kada su 2-2’ kratko spojeni pa je (slika 6.128):
Zk=
Z1
2+
Z1Z
2
Z1+ 2Z
2
Ako izraze za Z0i Z
kuvrstimo uvrstimo u ZT
cdobijamo
ZT
c=
√Z
1Z
2
(1 +
Z1
4Z2
)(6.228)
gdje je: Zk- ukupna redna impedansa (za simetricnu "T" mrezu)
Karakteristicna prenosna funkcija "T" mreze
Karakteristicna prenosna funkcija "T" mreze se definiše za karakteristicni rezim kada je 2-2’
zatvoreno svojom karakteristicnom impedansom ZT
ckao što pokazuje slika 6.129 pa mozemo
pisati:
Γc= ln
U1
U2
= lnI1
I2
1I1
1′
2I 2
2′
1 /2Z
2Z1U 2U
1 /2Z
TcZ
T
cZ
Slika 6.129:
177
U1
= ZT
cI1=
Z1
2I1+ (
Z1
2+ ZT
c)I
2=⇒
I1
I2
=ZT
c+ Z
1
2
ZT
c−
Z1
2
I1
I2
= eΓc =
√1 + Z
1
4Z2
+√
Z1
4Z2√
1 + Z1
4Z2
−
√Z1
4Z2
√1 + Z
1
4Z2
+√
Z1
4Z2√
1 + Z1
4Z2
+√
Z1
4Z2
I1
I2
= eΓc =
(√1 +
Z1
4Z2
+
√Z1
4Z2
)2/ln
Γc= 2 ln
(√1 +
Z1
4Z2
+
√Z1
4Z2
)(6.229)
Pored ovog izraza za Γcimamo i izraz preko hiperbolnih funkcija:
cosh Γc= a
11= 1 +
Z1
2Z2
(6.230)
Relacija (6.230) predastavlja Campbell-ovu jednakost.
6.11.3 "Π" mreza sa dva para krajeva
"Π" (pi) - mreza sa dva pristupa ima raspored impedansi u obliku velikog grckog slovaΠ. Pored
"T" mreze, "Π" mreza je jedna od osnovnih mreza sa dva pristupa cija je šema prikazana na
slici 6.130.
1I1
1′
2I 2
2′
2Z ′′1U 2U
1Z
2Z ′
Slika 6.130: Π mreza sa dva para krajeva
Na slici 6.130. Z1- je redna impedansa "Π" - mreze a Z ′
2i Z ′′
2- su otocne impedanse "Π"
- mreze. Najviše je u upotrebi simetricna "Π" mreza kod koje su:
Z ′
2= Z ′′
2= 2Z
2
Obicno se se uzima 2Z2da bi zbog paralelne veza ukupna otocna impedansa bila Z
2, dok
178
je kod redne veze Z1/2 da bi ukupna bila Z
1.Ovo je vazno kod oznacavanja i kod Γ
cradi
jednoobraznosti relacije.
6.11.4 Karakteristicni parametri simetricne "Π" mreze
Karakteristicna impedansa simetricne "Π" mreze
cZΠ
1I1
1′
2I 2
2′
1U 2U
1Z
22Z
cZΠ
22Z
I
I ′ I ′′
Slika 6.131:
Karakteristicni rezim je kada je mreza zatvorena ulaznom impedansom pa je karakteris-
ticna impedansa "Π" - mreze
ZΠ
c=
√Z0Zk
gdje je (slika 6.131.) Z0 impedansa za otvorene 2-2’ krajeve
Z0 =2Z2(Z1 + 2Z2)
Z1 + 4Z2
a Zkimpedansa za kratkospojene 2-2’ krajeve
Zk=
2Z1Z2
Z1 + 2Z2
Zamjenom u ZΠ
cdobijamo
ZΠ
c=
√Z1Z2
1 + Z1
4Z2
(6.231)
U relaciji (6.231) Z2 predstavlja ukupnu otocnu impedansu "Π" ili "T" mreze a Z1 ukupnu
rednu impedansu "Π" ili "T" mreze.
Karakteristicna prenosna prenosna funkcija simetricne "Π" - mreze
Karakteristicna prenosna prenosna funkcija simetricne "Π" - mreze se dobija iz
179
I = I1 − I ′ = I1 −U1
2Z2
(6.232)
I = I2 + I´= I2 +U2
2Z2
(6.233)
Iz relacija (6.232) i (6.233) slijedi da je
I1 −U1
2Z2
= I2 +U2
2Z2
Takoe, znamo da je:
U1 = ZΠ
cI1
U2 = ZΠ
cI2
pa dobijamo:
I1 −ZΠ
cI1
2Z2
= I2 +ZΠ
cI2
2Z2
(6.234)
Iz relacije (6.234) dobijamo odnosI1I2
=2Z2 + ZΠ
c
2Z2− ZΠ
c
(6.235)
Zamjenjujuci relaciju (6.231) u relaciju (6.235) imamo
I1I2
= eΓC =
√1 + Z
1
4Z2
+√
Z1
4Z2√
1 + Z1
4Z2
−
√Z1
4Z2
=
(√1 +
Z1
4Z2
+
√Z1
4Z2
)2
Γc= 2 ln
(√1 +
Z1
4Z2
+
√Z1
4Z2
)(6.236)
Alternativno
cosh Γc= 1 +
Z1
2Z2
(6.237)
što predstavlja Campbell-ovu jednakost. Uporeujuci, dolazimo do zakljucka da je karakter-
isticna prenosna funkcija "T" mreze ista kao i kod "Π" mreze uz oznake: Z1- ukupna redna
impedansa u "T" mrezi; Z2- ukupna otocna impedansa u "Π" mrezi. Tada je proizvod
ZT
cZΠ
c= Z
1Z2
(6.238)
ako znamo ZT
c(ili ZΠ
c) mozemo odrediti ZΠ
c(ili ZT
c).
180
6.11.5 Rešetkasta mreza sa dva para krajeva
Rešetkasta mreza sa dva para krajeva prikazana je na slici 6.132.
1I1
1′
2I 2
2′
1U 2U
aZ
bZ cZ
dZ
Slika 6.132: Rešetkasta mreza
Šemu sa slike 6.132 moguce je nacrtati kao što to pokazuje slika 6.133. koja predstavlja
Vitsonov most.
1I1
1′
2 2′
1U 2U
aZ bZ
cZ dZ
Slika 6.133:
Najcešce je u upotrebi simetricna rešetkasta mreza koja je prikazana na slici 6.134 i
kod koje krajevi 1’ i 2’ nisu kratko vezani za razliku od "Π" i "T" mreza. Za ovu mrezu vazi
da je:
1I1
1′
2I 2
2′
1U 2U2Z
1Z
1Z
2Z
Slika 6.134: Simetricna rešetkasta mreza
181
Za
= Zd= Z
1
Zb
= Zc= Z
2
Napomena: Mreze koje se mogu svesti na mreze sa tri kraja (zbog kratke veze npr. 1’
i 2’ krajeva ), kada se taj zajednicki krak moze uzemljiti nazivaju se neuravnotezene mreze
sa dva pristupa (kao što su "T" i "Π" mreza ). Mreze koje se ne mogu svesti na mreze sa tri
kraja nazivaju se uravnotezene mreze sa dva pristupa (kao što je rešetkasta mreza).
6.11.6 Karakteristicni parametri simetricne rešetkaste mreze
Karakteristicna impedansa Zc.
Polazeci od relacije:
Zc=
√Z
0Z
k
gdje je (sa šeme Vitsonovog mosta) impedansa za otvorene krajeve 2-2’ jednaka
Z0=
Z1+ Z
2
2
a impedansa za kratko spojene krajeve 2-2’
Zk= 2
Z1Z
2
Z1+ Z
2
Dobijamo da je sada
Zc=
√Z
1Z
2(6.239)
Izraz (6.239) za karakteristicnu impedansu simetricne rešetkaste mreze je jednostavniji od istih
izraza za "Π" ili "T" mrezu.
Karakteristicna prenosna funkcija simetricne rešetkaste mreze
Karakteristicna prenosna funkcija simetricne rešetkaste mreze je
cosh Γc= a
11=
Z2+ Z
1
Z2− Z
1
(6.240)
Koristeci elementarne transformacije izmeu hiperbolnih funkcija mozemo zapisati
tanhΓc
2=
√Z
1
Z2
(6.241)
182
Iz (6.239) i (6.241) kao jednostavne funkcionalne zavisnosti Zci Γ
cod Z
1i Z
2tj. od topologije
mreze slijedi velika primjena rešetkastih simetricnih mreza.
6.11.7 Premoštena "T" mreza
Šema premoštene "T" mreze je prikazana na slici 6.135.
1I1
1′
2I 2
2′
1 /2Z
2Z1U 2U
1 /2Z
3Z
Slika 6.135: Premošcena T mreza
Mreza prikazana na slici 6.135 je simetricna premoštena "T" mreza zbog Z1/2.
6.11.8 Karakteristicni parametri simetricne premoštene "T" mreze
Karakteristicna impedansa
Zc=
√Z
0Zk=
√Z
1Z
3(Z
1+ 4Z
2)
4(Z1+ Z
3)
(6.242)
Karakteristicna prenosna funkcija:
cosh Γc= 1 +
Z1
2Z2
⎛⎝ Z
3
Z1+ Z
3+ Z
2
1
4Z2
⎞⎠ (6.243)
6.11.9 "L" mreza
Razlikujemo lijevu "L" mrezu (slika 6.136a).) i desnu "L" - mrezu (slika 6.136a).)
Do "L" mreze se dolazi degeneracijom "T" ili "Π" mreze koje su prikazana na slici 6.137.
"T" - mreza se sastoji od dvije "L" mreze koje su kaskadno vezane što je prikazano na
slici 6.137. Sa iste slike se vidi da se "Π" - mreza sastoji od dvije "L" mreze koje su kaskadno
vezane. Ove mreze su bitne za sklopove koji vrše diferenciranje ili integraljenje ulaznih funkcija
i koji se nazivaju integratori i diferencijatori.
183
1I1
1′
2I 2
2′
1Z
2Z1U 2U
1I1
1′
2I 2
2′
1Z
2Z1U 2U
( )a ( )b
Slika 6.136: Izgled "L" mreze
1I1
1′
2I 2
2′
1 /2Z
2Z1U 2U
1 /2Z
1I1
1′
2I 2
2′
1U 2U
1Z
22Z22Z
Slika 6.137:
6.12 Ekvivalentne mreze sa dva para krajeva
Proizvoljnu mrezu sa dva pristupa mozemo zamijeniti drugom pod uslovom da naponi i struje
na pristupnim krajevima ostanu isti. Mreze koje ispunjavaju ovaj uslov nazivamo ekvivalent-
nim mrezama. Navedeni uslov bice ispunjen za mreze koje imaju iste parametre: primarne ili
sekundarne. Postavka problema je sledeca
Uslov ekvivalentnosti je izrazen sledecom relacijom
a∼
(a) = a∼
(b)
gdje je: a∼
(a) - a∼
matrica mreze prikazane na slci (a) a a∼
(b) - a∼
matrica mreze prikazane na
slici (b). Ako je ovaj uslov zadovoljen tada vaze i ostali uslovi tj.
184
1I1
1′
2I 2
2′
( )aa
1U 2U
1I1
1′
2I 2
2′
( )ba
1U 2U
( )a ( )b
Slika 6.138:
b∼
(a) = b∼
(b)
z∼
(a) = z∼
(b)
y∼
(a) = y∼
(b)
g∼
(a) = g∼
(b)
h∼
(a) = h∼
(b)
Pošto su primarni parametri jednaki tada i sekundarni parametri moraju biti isti tj..
Z(a)01 = Z
(b)c1
Z(a)02 = Z
(b)c2
Pošto je proizvoljna mreza zadata sa tri nezavisna parametra dovoljno je napraviti tri jed-
nakosti nezavisnih parametara mreza prikazanih na slici 6.138a) i 6.138b). Stoga se najprostija
ekvivalentna mreza mora sastojati od tri impedanse (a takve su "T" i "Π" mreza). Dakle,
najprostije ekvivalentne mreze su "T" i "Π" mreza. Zato, mreza sa slike 6.138b) nije bilo koja
proizvoljna mreza vec uzmimo da je to "T" - mreza prikazana na slici 6.139.
1I1
1′
2I 2
2′
1Z ′
2Z1U 2U
1Z ′′
Slika 6.139:
Znaci, data je proizvoljna mreza sa šeme na slici 6.138a) i treba naci njenu ekvivalentnu
185
"T" - mrezu. Impedanse "T" - mreze dobicemo ako izjednacimo jedan sistem parametara
(bilo primarnih ili sekundarnih) za obije mreze. To je najlakše odrediti ako su za mrezu sa
šeme a) poznati “z” parametri pa je uslov ekvivalentnosti:
z∼
(a) = z∼
(b)
Odredimo z∼
(b). Postavljanjem jednacina dobijamo
U1 = Z ′
1I1 + (I1 − I2)Z2
U2 = (I1 − I2)Z2 − I2Z′′
1
Ako ovo uredimo u obliku “z” - sistema jednacina dobijamo
U1 = (Z ′
1 + Z2)I1 + Z2(−I2)
U2 = Z2I1 + (Z2 + Z ′′
1)(−I2)
odakle se dobija
z(b)11 = Z ′
1 + Z2
z(b)12 = Z2
z(b)21 = Z2
z(b)22 = Z2 + Z ′′
1
Iz uslova ekvivalencije sa šemom na slici 6.138a) dobijamo
z(b)11 = Z ′
1 + Z2 = z(a)11
z(b)12 = Z2 = z
(a)12 = z
(a)21
Pošto je z(b)12 = z
(b)21 = Z2 mozemo pisati
z(b)12 = z
(a)12
z(b)21 = z
(a)21
z(b)22 = Z2 + Z ′′
1 = z(a)22
Odavde se dobija
186
Z2 = z(a)12 = z
(a)21
Z ′
1 = z(a)11 − z
(a)12
Z ′′
1 = z(a)22 − z
(a)12
U slucaju simetricne mreze prikazane na slici 6.138a) imamo da je z(a)12 = z
(a)21 pa odavde
slijedi
Z ′
1 = Z ′′
1 =Z1
2= z11 − z12
Pokazacemo prelaz preko “a” - parametara. Dakle, poznata je a∼
matrica mreze na slici 6.138a)
tj. poznati su “a” parametri mreze na slici 6.138a). Napišimo jednacine ekvivalentne "T" -
šeme:
U1 = Z ′
1I1 + (I1 − I2)Z2 (6.244)
U2 = (I1 − I2)Z2 − I2Z′′
1 (6.245)
Relaciju (6.245) mozemo zapisati u obliku
U2 = I1Z2 − I2(Z′′
1 + Z2) (6.246)
a iz relacije (6.246) mozemo izraziti struju I1 koja je jednaka
I1 =1
Z2
U2 +
(Z ′′
1 + Z2
Z2
)I2 (6.247)
Iz relacije (6.247) vidimo da je
a(b)21 =
1
Z2
a(b)22 =
Z ′′
1
Z2
+ 1
Ako relaciju (6.247) uvrstimo u relaciju (6.244) dobijamo:
U´1 = (1 +
Z ′
1
Z2
)U2 +
(Z ′
1 + Z ′′
1 +Z ′
1Z′′
1
Z2
)I2 (6.248)
187
Iz relacije (6.248) vidimo da je
a(b)11 = 1 +
Z ′
1
Z2
a(b)12 = Z ′
1 + Z ′′
1 +Z ′
1Z′′
1
Z2
Daklea(b)11 = 1 +
Z′
1
Z2
a(b)12 = Z ′
1 + Z ′′
1 +Z
′
1Z
′′
1
Z2
a(b)21 = 1
Z2
a(b)22 =
Z′′
1
Z2
+ 1
Da bi našli impedanse "T" - mreze dovoljno je iz uslova a∼
(a) = a∼
(b)izjednaciti tri parametra
(nezavisna), npr.
a(a)11 = a
(b)11
a(a)21 = a
(b)21
a(a)22 = a
(b)22
Odakle se dobija
Z2 =1
a(a)21
Z ′
1 =a(a)11 − 1
a(a)21
Z ′′
1 =a(a)22 − 1
a(a)21
Dominirajuci clan je a(a)21 pa da bi mogli izvršiti ekvivalenciju treba da je a
(a)21 = 0 što
predstavlja uslov sa bi mogli izvršiti ekvivalenciju. U slucaju simetricne mreze (slika 6.138a))
kada je a(a)11 = a
(a)22 impedanse su jednake
Z ′
1 = Z ′′
1 =Z1
2=
a(a)11 − 1
a(a)21
Z2 =1
a(a)21
6.12.1 Ekvivalentna "Π" - mreza
Šemu na slici 6.138b), koja treba da bude ekvivalentna polaznoj šemi na slici 6.138a) pred-
stavicemo Π - mrezom:
Najlakši prelaz se odvija ako je šema a) zadata “y” parametrima, a na šemi b) trazimo
188
1I1
1′
2I 2
2′
1U 2U
1Y
1Y ′1Y ′′
A B
Slika 6.140:
admitanse mreze Y1, Y ′
1, Y ′′
1. Tada su jednacine šeme "Π" - mreze:
- KZS za cvor A:
I1= (U
1− U2)Y 1 + U1Y
′
2
- KZS za cvor B:
I2 = −U2Y′′
2 + (U1 − U2)Y 1
Preuredimo ove jednacine da dobijemo “y”- sistem jednacina
I1 = (Y 1 + Y ′
2)U1 − Y 1U2 (6.249)
−I2 = −Y 1U1 + (Y 1 + Y ′′
2)U2 (6.250)
odakle se dobijaju “y” parametri za šemu b)
y(b)11
= Y 1 + Y ′
2
y(b)12
= y(b)21
= −Y 1
y(b)22
= Y 1 + Y ′′
2
Uslov ekvivalencije je y∼
(a) = y∼
(b)što se dovoljno izrazava preko tri jednakosti:
y(a)11
= y(b)11
= Y 1 + Y ′
2
y(a)12
= y(a)21
= y(b)12
= y(b)21
= −Y 1
y(a)22
= y(b)22
= Y 1 + Y ′′
2
Odavde se dobija:
189
Y 1 = −y(a)12
Y ′
2 = y(a)11
+ y(a)12
Y ′′
2 = y(a)22
+ y(a)12
Dakle, preko Y - parametara šeme a) najlakše se odreuju admitanse "Π"- mreze. Izracu-
nacemo impedanse "Π"- mreze preko “a” parametara šeme a)
1I1
1′
2I 2
2′
2Z ′′1U 2U
1Z
2Z ′
I
Slika 6.141:
U ovom slucaju "Π" mreza je zadata impedansama Z1, Z ′
2, Z ′′
2. Jednacine ove "Π" mreze
su:
U1 = Z1I + U2
I1 =U1
Z´2
+ I
I = I2 +U2
Z´2
Ako ovo I uvrstimo u gornje jednacine i sredimo u obliku “a” jednacina dobicemo
U1 =
(1 +
Z1
Z ′′
2
)U2 + Z1I2
I1 =
(1
Z ′
2
+1
Z ′′
2
+Z1
Z ′
2Z′′
2
)U2 +
(1 +
Z1
Z ′
2
)I2
190
Odavde se dobija
a(b)11 = 1 +
Z1
Z ′′
2
a(b)12 = Z1
a(b)21 =
1
Z ′
2
+1
Z ′′
2
+Z1
Z ′
2Z′′
2
a(b)22 = 1 +
Z1
Z ′
2
Iz uslova ekvivalentnosti a∼
(a) = a∼
(b)koji se svodi na dovoljne tri jednacine jednakosti tj.
a(a)11 = a
(b)22
a(a)12 = a(b)12
a(a)22 = a
(b)22
odakle se dobija
Z1 = a(a)12
Z ′
2 =a(a)12
a(a)22 − 1
Z ′′
2 =a(a)12
a(a)11 − 1
U slucaju simetricne mreze dobijamo
Z ′
2 = Z ′′
2 = 2Z2 =a(a)12
a(a)11 − 1
jer je a11 = a22 za simetricnu "T" - mrezu.
6.12.2 Ekvivalentnost "T" i "Π" mreze
Iz rasporeda impedansi vidi se da je prelaz:
1. "T" −→ "Π" predstavlja prelaz −→
2. "Π"−→ "T" predstavlja prela −→
tj. prelaz se obavlja preko transformacije impedansi polazne "T" tj. "Π" mreze.
191
6.12.3 Ekvivalentnost simetricne "T" mreze i simetricne rešetkaste
mreze
Simetricna mreza potpuno je odreena sa svoja dva primarna ili sekundarna nezavisna parame-
tra pa se ekvivalentnost simetricnih mreza svodi na jednakost dva primarna ili sekundarna
parametra (nezavisna).
1I1
1′
2I 2
2′
1 /2Z
2Z1U 2U
1 /2Z1I1
1′
2I 2
2′
1U 2U
aZ
bZ bZ
aZ
( )a ( )b
Slika 6.142:
U ovom slucaju (simetricne "T" i rešetkaste mreze) jednakost je nalakše izraziti preko
otvorene i kratkospojene mreze tj.
Z(a)0 = Z
(b)0
Z(a)k
= Z(b)k
odakle se dobija (sa slike 6.142):
Z1
2+ Z2 =
1
2(Z
a+ Z
b)
Z1
2+
Z1Z2
Z1 + Z2
= 2ZaZb
Za+ Z
b
odakle se dobija:
ZaZb
=Z1
2
(Z1
2+ 2Z2
)
Za+ Z
b=
Z1
2+
(Z1
2+ 2Z2
)
pa dobijamo dva rješenja ovog sistema jednacina:
192
• prvo rješenje
Za
=Z1
2
Zb
=Z1
2+ 2Z2
• drugo rješenje
Za
=Z1
2+ 2Z2
Zb
=Z1
2
Odavde izvodimo zakljucak da jednoj simetricnoj "T" mrezi odgovaraju dvije simetricne
rešetkaste mreze (prelaz "T"−→"X"). Ako hocemo da dobijemo impedanse simetricne "T"
mreze preko simetricne rešetkaste mreze tada takoe dobijamo dva rješenja i to: (prelaz
"X"−→"T")
• prvo rješenje
Z1 = 2Za
Z2 =Zb− Z
a
2
• drugo rješenje
Z1 = 2Zb
Z2 =Za− Z
b
2
Ovo znaci da jednoj simetricnoj rešetkastoj mrezi odgovaraju dvije simetricne "T" - mreze.
Matematicki, ova dva prelaza su potpuno ista. Sa stanovišta realizacije prelazom "X"−→"T"
moze da se desi da realni dio impedanse Z2 bude negativan što se u stvarnosti ne moze ostvariti
pasivnim elementima. Kada je ovaj realni dio pozitivan prelaz je proizvoljan poprvom ili
drugom rješenju. Matematicki, ova dva prelaza su istovjetna kao i za prelaze "T"−→"X".
6.12.4 Ekvivalentnost simetricne premoštene "T"mreze i simetricne
"T" mreze
Prelaz cemo najlakše odraditi ako (Z1
2, Z3,
Z1
2
)−→ cime se šema a) svodi na oblik
193
1I1
1′
2I 2
2′
1 /2Z
2Z1U 2U
1 /2Z
3Z
1I1
1′
2I 2
2′
/2aZ
bZ1U 2U
/2aZ
( )a ( )b
Slika 6.143:
1I1
1′
2I 2
2′
pZ
2Z
1U 2U
pZ
qZ
Slika 6.144:
Zp =Z1
2Z
3
Z1+ Z
3
Zq =Z2
1
4
Z1+ Z
3
Uporeujuci sa šemom b) dobijamo
Za =Z
1Z
3
Z1+ Z
3
Zb = Z2+
Z2
1
4(Z1+ Z
3)
Ekvivalencija nebi imala smisla za
Z1+ Z
3= 0
(recimo kondenzator i kalem istih vrijednosti reaktivne otpornosti). Obrnuto, tj. dali je
moguce sa "T" - mreze preci na premoštenu "T" - mrezu. Na ovo pitanje dobijamo beskon-
acno mnogo rješenja jer treba preci sa simetricne "T" - mreze (odreene sa dva parametra)
194
na simetricnu premoštenu "T" - mrezu odreenu sa tri parametra odakle je broj rješenja
beskonacan. Postupak: Prvo bi sa šeme b) podijelili na dva dijela Zb
1I1
1′
2I 2
2′
/2a
Z
(1 ) bm Z−
1U 2U
bmZ
/2aZ
Slika 6.145:
m - je proizvoljno pa ima beskonacno mnogo rješenja.
Dalji postupak: −→ (Za
2, Za
2,mZ
b
)dobijemo
Z1
2= 2mZ
b+
Za
2Z
2= (1−m)Z
b
Z3
= Za+
Z2
a
4mZb
1I1
1′
2I 2
2′
1 /2Z
2Z1U 2U
1 /2Z
3Z
Slika 6.146:
Cilj ekvivalentnih šema je da se uprosti polazna šema radi lakšeg odreivanja kola (zato
nikad necemo vršiti prelaz sa simetricne premoštene "T" - mreze na simetricnu "T" - mrezu
uz uslov da to nije teorijski problem koji se rješava gore pomenutim postupkom).
6.13 Vezivanje mreza sa dva para krajeva
Dvije mreze sa jednim pristupom mogu se vezivati na dva nacina i to:
195
-redno
-paralelno
(1)I
U
(1)U
(2)U
MREŽA (1)
MREŽA (2)
(2)I
I
Slika 6.147: Redna veza mreza sa jednim pristupom
U = U (1) + U (2)
I = I(1) = I(2)
Mreza sa jednim pristupom je i pasivni element (otpornik) ili impendansa i slicno
(1)I
(1)U
(2)U
(2)I
MREŽA (1)
MREŽA (2)
U
Slika 6.148: Paralelna veza mreza sa jednim pristupom
U = U (1) = U (2)
I = I(1) + I(2)
Rezultat vezivanja u oba slucaja je slozenija mreza sa jednim pristupom. Za rezliku od mreza
sa jednim pristupom mreze sa dva pristupa mogu se vezivati na više nacina.
196
6.13.1 Redna veza mreza sa dva para krajeva
Šema redne veze dvije mreze sa dva para krajeva prikazana je na slici 6.149.
1 2I 2
1′ 2′
1U
1U ′
1I ′
1I′′
1U ′′
1
2
2U
1I 2I ′
2I′′
2U ′′
2U ′
Slika 6.149: Redna veza mreza sa dva para krajeva
Rezultat vezivanja je ponovo mreza sa dva para krajeva. Vezivanje namece odreene
relacije:
U1
= U ′
1+ U ′′
1(6.251)
I1
= I ′
1= I ′′
1(6.252)
U2 = U ′
2 + U ′′
2 (6.253)
I2 = I ′
2 = I ′′
2 (6.254)
Postavka problema je sljedeca: Izraziti parametre rezultujuce mreze preko parametara dvije
mreze u vezi. Ovaj problem je najlakše riješiti ako su mreze zadate preko "z"-parametara.
[U ′
1
U ′
2
]= z
∼
′
[I ′1−I ′2
][U ′′
1
U ′′
2
]= z
∼
′′
[I ′′1−I ′′2
]
Koristeci veze (6.251), (6.252), (6.253) i (6.254) u matricnom obliku:
197
[U1
U2
]=
[U ′
1
U ′
2
]+
[U ′′
1
U ′′
2
][U1
U2
]= z
∼
′
[I ′1
−I ′2
]+ z
∼
′′
[I ′′1
−I ′′2
]
Mozemo zapisati iz (6.251), (6.252), (6.253) i (6.254):
[I1
−I2
]=
[I ′1
−I ′2
]=
[I ′′1
−I ′′2
]
Sada je
[U1
U2
]= z
∼
′
[I1
−I2
]+ z
∼
′′
[I1
−I2
][U1
U2
]= (z
∼
′ + z∼
′′)
[I1
−I2
][U1
U2
]= z
∼
[I1
−I2
]
gdje je
z∼
′ =(z∼
′ + z∼
′′
)Opšte: Za n− redno vezanih mreza sa dva pristupa, z
∼
′ matrica rezultujuce mreze se dobija
kao
z∼
= z∼
(1) + z∼
(2) + ...+ z∼
(k) + ...+ z∼
(n)
gdje je z∼
(k) (za k = 1, 2, ..., n) z∼
- matrica pojedinacne mreze iz redne veze.
6.13.2 Paralelna veza mreza sa dva pristupa
Šema paralelne veze dvije mreze sa dva para krajeva prikazana je na slici 6.150.
Rezultat paralelne veze je takoer mreza sa dva para krajeva. Relacije koje se namece su
U1 = U ′
1 = U ′
1
I1 = I ′1 + I ′′1
198
1 2I 2
2′
1U
1U ′
1I ′
1I′′
1U ′′
1
2
2U
1I
2I ′
2I′′
2U ′′
2U ′
1′
Slika 6.150: Paralelna veza mreza sa dva para krajeva
U2
= U ′
2= U ′′
2
I2
= I ′
2+ I ′′
2
Najednostavniji nacin za dobijanje parametara rezultujucih mreza je ako su poznati “y” -
parametri mreze 1 i 2 sa slike 6.150.
[I ′
1
−I ′
2
]= y
∼
′
[U ′
1
U ′
2
][
I ′′1
−I ′′2
]= y
∼
′′
[U ′′
1
U ′′
2
]
Koristeci gornje (nametnute) relacije imamo
[I1
−I2
]=
[I ′1
−I ′2
]+
[I ′′1
−I ′′2
][
I1−I2
]= y
∼
′
[U ′
1
U ′
2
]+ y
∼
′′
[U ′′
1
U ′′
2
]
Koristeci da je [U1
U2
]=
[U ′
1
U ′
2
]+
[U ′′
1
U ′′
2
]
sada je [I1
−I2
]= y
∼
′
[U1
U2
]+ y
∼
′′
[U1
U2
]=
(y∼
′ + y∼
′′
)[U1
U2
]
uz uslov
y∼
′ =
(y∼
′ + y∼
′′
)
199
Opšte: Za n - paralelno vezanih mreza sa dva pristupa, “y” - matrice rezultujuce mreze se
dobija kao:
y∼
= y∼
(1) + y∼
(2) + ...+ y∼
(k) + ...+ y∼
(n)
gdje je y∼
(k) (zak = 1, 2, ..., n) y∼
- matrica pojedinacne mreze iz paralelne veze mreze.
6.13.3 Redno-paralelna veza mreza sa dva pristupa
Šema redno-paralelne veze dvije mreze sa dva para krajeva prikazana je na slici 6.151.
1
1′
1U
1U ′
1I ′
1I′′
1U ′′
1
2
1I
2I 2
2′
2U
2I ′
2I′′
2U ′′
2U ′
Slika 6.151: Redno-paralelna veza mreza sa dva para krajeva
Sa pristupa 1-1´ je redna veza, a sa pristupa 2-2´ je paralelna veza pa otuda i naziv redno-
paralelna veza. Rezultat je takoe mreza sa dva pristupa. Uslovi koji se namecu dati su
sledecim relacijama:
U1
= U ′
1+ U ′′
1
I1
= I ′
1= I ′′
1
U2 = U ′
2 = U ′′
2
I2 = I ′
2 + I ′′
2
najednostavniji nacin da izrazimo parametre rezultujuce mreze preko parametara mreza 1 i 2
je preko “h”- parametara.
200
[U ′
1
−I ′
2
]= h
∼
′
[I ′1U ′
2
][
U ′′
1
−I ′′2
]= h
∼
′′
[I ′′1
U ′′
2
]
Dalje je “h” - sistem jednacina za rezultujucu mrezu iz nametnutih relacija
[U1
−I2
]=
[U ′
1
−I ′2
]+
[U ′′
1
−I ′′2
][
I1−I2
]= h
∼
′
[I ′1U ′
2
]+ h
∼
′′
[I ′′1U ′′
2
]
Iz nametnutih relacija imamo da je
[I1U2
]=
[I ′1
U ′
2
]+
[I ′′1
U ′′
2
]
sada je [U1
−I2
]= h
∼
′
[I1U2
]+ h
∼
′′
[I1U2
]=
(h∼
′ + h∼
′′
)[I1U2
]
uz uslov
h∼
=(h∼
′ + h∼
′′
)Opšte: Za n - redno-paralelno vezanih mreza, “h” - matrica rezultujuce mreze se dobija kao
h∼
= h∼
(1) + h∼
(2) + ... + h∼
(k) + ...+ h∼
(n)
gdje je h∼
(k) (za k = 1, 2, ..., n) h∼
- matrica pojedinacne mreze iz redno-paralelne veze mreza.
6.13.4 Paralelno-redna veza mreza sa dva pristupa
Šema paralelno-redne veze dvije mreze sa dva para krajeva prikazana je na slici 6.152.
Na pristupu 1-1´ je paralelna veza a na 2-2´ je redna veza. Relacije koje se namecu su
U1 = U ′
1 = U ′′
1
I1 = I ′1 + I ′′1
201
1
1U
1U ′
1I ′
1I′′
1U ′′
1
2
1I
1′
2I 2
2′
2U
2I ′
2I′′
2U ′′
2U ′
Slika 6.152: Paralelno-redna veza mreza sa dva para krajeva
U2
= U ′
2+ U ′′
2
I2
= I ′
2= I ′′
2
Rezultat vezivanja je takoer mreza sa dva para krajeva. Najednostavnije je izraziti parametre
rezultujuce mreze preko “g” - parametara mreza 1 i 2.
[I ′
1
U ′
2
]= g
∼
′
[U ′
1
−I ′2
][
I ′′1U ′′
2
]= g
∼
′′
[U ′′
1
−I ′′2
]
Za rezultujucu mrezu iz nametnutih relacija
[I1U2
]=
[I ′1
U ′
2
]+
[I ′′1
U ′′
2
][
I1U2
]= g
∼
′
[U ′
1
−I ′2
]+ g
∼
′′
[U ′′
1
−I ′′2
]
nametnute druge relacije su
[U1
−I2
]=
[U ′
1
−I ′2
]+
[U ′′
1
−I ′′2
]
202
sada je [I1
U2
]= g
∼
′
[U ′
1
−I ′2
]+ g
∼
′′
[U ′′
1
−I ′′2
]=
(g∼
′ + g∼
′′
)[U1
−I2
]
gdje je
g∼
=
(g∼
′ + g∼
′′
)
Opšte: Za n - paralelno-redno vezanih mreza, “g” - matrica rezultujuce mreze se dobija kao
g∼
= g∼
(1) + g∼
(2) + ...+ g∼
(k) + ...+ g∼
(n)
gdje je g∼
(k) (za k = 1, 2, ..., n) g∼
- matrica pojedinacne mreze iz paralelno-redne veze mreza.
6.13.5 Povratna sprega (veza) mreza sa dva pristupa
Predstavlja specijalan slucaj redno-paralelne veze. (Engl. feed back) . Povratna sprega je
izuzetno bitna zato je izdvajamo u posebnu vezu.
1
1U 1U ′
1U ′′
1
2
1I
1′
2
2′
2U
( )A s
( )B s
Slika 6.153: Povratna sprega
Sa strane pristupa 1-1´ je redna veza, a sa 2-2´ je paralelna veza. Mreze 1 i 2 se opisuju
funkcijama (ne parametrima). A(s) i B(s) gdje je s - kompleksna ucestanost. Mi cemo uzeti
da su A(s) i B(s) transmitanse napona tj.
A(s) =U
2(s)
U1(s)
obicno se definiše kao velicina izlaznog i ulaznog signala sa mreze i obratno
B(s) =U1(s)
U2(s)
203
jer je za mrezu 2 U ′′
1(s) izlazni napon a U
2(s) je ulazni napon. Mreza sa funkcijom A(s) se
naziva osnovna mreza (sistem), a sa funkcijom B(s) mreza (sistem) povratne sprege. Uslovi
koje namece ova mreza su:
U ′
1= U
1+ U ′′
1
Imamo da je
U ′
1(s) =
U2(s)
A(s)(6.255)
pa je relacija (6.255)
U2(s)
A(s)= U
1(s) +B(s)U
2(s)
odavde je
U2(s)
U1(s)
=A(s)
1−A(s)B(s)
funkcija rezultujuce mreze. Dakle, sa B(s) mozemo da regulišemo rezultujucu funkciju. Za
prikazivanje povratne sprege prvobitno su se koristili blok-dijagrami, a sada se koristi teorija
grafova, tj. teorija signalnih grafova. Prema blok-dijagramu povratna sprega se prikazuje
( )A s
( )B s
( )Q s ( )E s ( )Y s
Slika 6.154:
izlaznu informaciju vracamo i vršimo regulaciju citavog sistema Prema teoriji grafova pro-
toka signala povratna sprega se prikazuje kao
( )Q s ( )E s ( )Y s( )A s
( )B s
1
Slika 6.155:
Kod grafa, grane grafa predstavljaju funkcionalne zavisnosti izmeu cvorova, a cvorovi
204
predstavljaju velicine koje nas interesuju.
E(s) = Q(s) +B(s)Y (s)
Y (s) = A(s)E(s)
Ako eliminišemo E(s) dobijamo
T (s) =Y (s)
Q(s)=
A(s)E(s)
E(s)−B(s)Y (s)=
A(s)E(s)
E(s)−B(s)Y (s)
T (s) =A(s)
1−B(s)A(s)(6.256)
Relacija (6.256) predstavlja rezultujucu mrezu. Postavlja se pitanje: Pod kojim uslovima
izvedene relacije za rednu, paralelnu, redno-paralelnu, paralelno-rednu i povratnu vezu vaze?
Odgovor: Relacije ne vaze uvijek nego se moraju ispuniti uslovi regularnosti. Uslovi regu-
larnosti se odnose na to da poslije vezivanja parametri mreza koje se spajaju ostanu isti tj.
njihova topologija i parametri moraju ostati isti poslije vezivanja. Uzmimo jednostavan slucaj
"T"-mreze i "Π”-mreze (slika 6.156.)
1 2I 2
1′ 2′
1U
1U ′
1I ′
1I′′
1U ′′
2U
1I 2I ′
2I′′
2U ′′
2U ′
Slika 6.156:
Ovom rednom vezom, ove dvije mreze sa dva pristupa smo premostili impendansom "Π"-
mreze pa smo promijenili topologiju "Π" - mreze i ne vazi
z∼
= z1∼
+ z2∼
To je neregularna veza. Ako bi napravili vezu prikazanu na slici 6.157. tada vazi:
z∼
= z1∼
+ z2∼
pa se radi o regularnoj vezi.
205
1 2I 2
1′ 2′
1U
1U ′
1I ′
1I′′
1U ′′
2U
1I 2I ′
2I′′
2U ′′
2U ′
Slika 6.157:
6.13.6 Kaskadna veza mreza sa dva pristupa
Kaskadna veza dvije mreze sa dva para krajeva prikazana je na slici 6.158.
1U ′
1I ′1I′′
1U ′′1 2
1I 2I ′ 2I′′
2U ′′2U ′
1
1′
1U
2I 2
2′
2U
Slika 6.158: Kaskadna veza mreza sa dva krajeva
Kaskadna veza se dobija kada se na jednu mrezu nadoveze druga i tako se moze postici
kaskada ili niz mreza. Rezultat kaskadne veze je takoer mreza sa dva pristupa ili slozenija.
Uslovi koji se namecu na strani pristupa su
U1
= U ′
1
I1
= I ′
1
U2 = U ′′
1
I2 = I ′′
1
U ′′
2 = U2
I ′′
2 = I2
206
Parametri rezultujuce mreze najednostavnije se dobijaju preko “a” - parametara mreza 1 i 2.
Dakle, mreze 1 i 2 opisujemo a∼
- matricama
[U ′
1
I ′1
]= a
∼
′
[U ′
2
I ′2
][U ′′
1
I ′′1
]= a
∼
′′
[U ′′
2
I ′′2
]
Nametnute relacije u matricnom obliku su:
[U1
I1
]=
[U ′
1
I ′1
][U ′
2
I ′2
]=
[U ′′
1
I ′′1
][U ′′
2
I ′′2
]=
[U2
I2
]
sada je
[U ′
1
I ′1
]= a
∼
′
[U ′′
1
I ′′1
]= a
∼
′a∼
′′
[U ′′
2
I ′′2
]= a
∼
′a∼
′′
[U2
I2
]= a
∼
[U2
I2
]
Opšte: za n - kaskadno vezanih mreza sa dva pristupa a∼
- matrica rezultujuce mreze se dobija
kao
a∼
= a∼
(1)a∼
(2)...a∼
(n)
gdje je a∼
(k) − a∼
matrica k-te mreze iz kaskadne veze. Mnogi inzinjerski sklopovi koriste
kaskadnu vezu (elektricni filtri) i sluzi za analizu kola sa rasporeenim parametrima preko
kola sa koncentrisanim parametrima. Na pitanje da li postoje uslovi koje koje sastavne mreze
treba da ispunjavaju, odgovor je da ne treba tj. da za kaskadnu vezu nema uslova regularnosti,
jer se kaskadnom vezom ne moze izmijeniti topologija i parametri sastavnih mreza.
6.14 Konvertori impedansi
Posmatramo mrezu sa dva para krajeva koja je zadata a∼
− matricom i zatvorena na pristupu
2-2’ impendansom Z2 kao što je prikazano na slici 6.159
Definicija: Idealni konvertor impendanse je elektricno kolo sa dva para krajeva koje, kada
je na jednom paru krajeva zatvoreno impendansom Z2, na drugom paru krajeva predstavlja
207
1I
1′
2I 2
2′
1
2Z1U 2U
1Z ′
a
Slika 6.159: Mreza sa dva pristupa
ulaznu impedansu Z′1, koja je direktno proporcionalna Z2 tj.
Z ′
1= kZ
2
Dakle, konvertor impedanse mijenja samo vrijednost impedanse ali ne i njen karakter (pretezno
induktivni ili kapacitivni). Poimo od relacije za ulaznu impendansu preko “a”-parametara
Z ′
1=
a11Z
2+ a
12
a21Z
2+ a
22
da bi od ovog izraza dobili izraz u definiciji, treba da se ispune sledeci uslovi
a12
= 0
a21
= 0
pa je
Z ′
1=
a11
a22
Z2= kZ
2
gdje je
k =a11
a22
faktor konverzije. Dakle, uslovi da bi elektricno kolo bilo idealni konvertor su
a12
= 0
a21
= 0
a11
= 0
a22
= 0
Zatvorimo sada primarne krajeve impendansom Z1kao što to pokazuje slika 6.160
Z ′
2=
a22Z
1+ a
12
a21Z
1+ a
11
208
1I
2′
2I1
1′
2
1Z 2U1U
2Z ′
a
Slika 6.160:
Ako su zadovoljeni uslovi idealnog konvertora imamo
Z ′
2=
a22
a11
Z1= k′Z
1
k′− faktor konverzije
k′ =a22
a11
Dakle, faktor konverzije konvertuje impendansu u oba smjera, ali sa razlicitim stepenom kon-
verzije.
k =1
k′
Izrazeni preko “h”- parametara uslovi idealnog konvertora su
h11
= h11
= 0
h12h21
= −k
Sada cemo pokazati da je tipican predstavnik idealnog konvertora, idealni transformator (slika
6.161).
1I
1′
2I 2
2′
1
2Z1U 2U
1Z ′
: 1m
Slika 6.161: Idealni transformator
209
Jednacine idealnog transformatora su
U1
= −mU2
I1
= −1
mI2
za saglasne krajeve, odnosno u matricnom obliku
[U
1
I1
]=
[−m 0
0 − 1
m
][U
2
I2
]
odakle se dobija da je
a12
= 0
a21
= 0
a11
= −m
a22
= −1
m
pa time idealni transformator zadovoljava uslove idealnog konvertora gdje je
k =a11
a22
=−m
− 1
m
= m2
odakle je
Z ′
1= m2Z
2
Dakle idealni transformator sa pristupa 1-1’ mozemo zamijeniti impendansom m2Z2kao što
je prikazano na slici 6.162.
1I
2
2m Z
1
1′
1U
Slika 6.162:
Obratno, ako bi zatvorili pristup 1-1’ impendansom Z1, tada je ulazna impendansa sa
210
pristupa 2-2’
Z ′
2= k′Z
1
k′ =1
k=
1
m2
Z ′
2=
1
m2Z
1
Dakle idealni transformator sa pristupa 2-2’ mozemo zamijeniti impendansom 1
m2Z2
kao što
je prikazano na slici 6.163.
2I
12
1Z
m
2
2′
2U
Slika 6.163:
Prema tome, idealni transformator vrši konverziju impendanse u oba smjera, ali sa ra-
zlicitim stepenom konverzije. Idealni konvertor ne postoji (kao što ne postoji idealni trans-
formator), ali je to ideal kome se tezi i preko koga se modeluju realni konvertori govoreci o
idealnim konvertorima u oblasti aktivnih linearnih kola.
6.15 Inverotri impedansi
Definicija: Elektricno kolo sa dva pristupa koje, kada je na jednom pristupu zatvoreno
impendansom Z2, ima na drugom pristupu ulaznu impendansu koja je inverzno proporcionalna
sa Z2 za sve frekvencije, naziva se idealnim invertorom.
1I
1′
2I 2
2′
1
2Z1U 2U
1Z ′
a
Slika 6.164:
211
Po definiciji
Z ′
1=
G
Z2
Relacija za ulaznu impendansu preko “a”-parametara je
Z ′
1=
a11Z
2+ a
12
a21Z
2+ a
22
Uporeivanjem ova dva izraza dobijamo
a11
= 0
a22
= 0
Z ′
1=
a12
a21
1
Z2
gdje je
G =a12
a21
faktor inverzije. Dakle, uslovi za idealni invertor preko “a” - parametara su
a11
= 0
a22
= 0
a12
= 0
a21
= 0
Obratno, sa strane pristupa 2-2’ imamo Z ′
2kao ulaznu impendansu za zatvoreni pristup 1-1’
sa Z ′
1kao što je prikazano na slici 6.165.
1I
2′
2I1
1′
2
1Z 2U1U
2Z ′
a
Slika 6.165:
Z ′
2=
a22Z
1+ a
12
a21Z
1+ a
11
212
Uz uslove inverzije imamo i uslov
a11
= 0
a22
= 0
Z ′
2=
a12
a21
1
Z1
= G1
Z1
Dakle, u oba smjera stepen inverzije je isti jer je faktor inverzije u oba smjera isti. Napomena:
Za razliku od konvertora impendanse koji samo mijenja vrijednost zatvorene impendanse na
ulazu, invertor mijenja i vrijednost i karakter impendanse. Na primjer ako je Z2 impendansa,
bila pretezno induktivna ulazna impendansa ce, uz ispunjene uslove inverzije, biti pretezno
kapacitivna i promijenice vrijednost.
Z2= jωL =⇒ Z
1=
G
jωL= −j
1
ω L
G
= −j1
ωC
Uslovi idealnog invertora preko “z”- parametara su
z11
= 0
z22
= 0
z12z21
= G
Tipican predstavnik idealnih invertora je idealni zirator (uveo ga je francuski naucnik Telegen).
Graficki simbol idealnog ziratora je prikazan na slici 6.166.
1I
1′
2I 2
2′
1
1U 2U
( )r g
( )a ( )b
1I
1′
2I 2
2′
1
1U 2U
( )r g
Slika 6.166: Zirator
Kod idealnog transformatora imamo samo vezu izmeu napona i napona ili izmeu struje
i struje (zato idealni transformator i nema z∼
i y∼
matricu, vec samo hibridne matrice). Za
razliku od idealnog transformatora, zirator povezuje napon i struju na suprotnim pristupima,
213
pa je za šemu na slici 6.166a)
U1
= −rI2
U2
= rI1
Smjer ziracije na šemi je suprotan od I2pa je predznak negativan. U matricnom obliku prikaz
z∼
- matrice:
[U
1
U2
]=
[0 −r
r 0
][I1
I2
]
ili prikaz y∼
- matrice [I1
I2
]=
[0 1
r
−1
r0
][U
1
U2
]
gdje je g - provodnost ziratora
g =1
r
Dakle,
z11
= z22
= 0
z12z21
= −r r = G
su uslovi idealnog invertora, gdje je G - faktor inverzije
G = −r2
Za šemu sa slike 6.166b) znak je pozitivan jer smjer ziracije i struje I2 imaju isti smjer pa je
U1
= rI2
U2
= −rI1
u matricnom obliku prikaz z∼
- matrice:
[U
1
U2
]=
[0 r
−r 0
][I1
I2
]
analogno mozemo dobiti i y∼
- matricu. Dakle, ako imamo idealni zirator koji zatvorimo
impendansom Z2 na pristupu 2-2’ kao što je prikazano na slici 6.167
imamo da je ulazna impendansa jednaka
Z ′
1=
G
Z2
=r2
Z2
214
1I
1′
2I 2
2′
1
1U 2U
r
1Z ′
2Z
Slika 6.167:
faktor inverzije G je
G = r2
a sa strane 2-2’
Z2=
r2
Z1
Idealni zirator se ne moze realizovati, ali postoje aktivna kola koja vrše ulogu inverzije (realne).
Razmotrimo sledeci slucaj (slika 6.168.).
1I
1′
2I 2
2′
1
1U 2U
r
1Z ′
C
Slika 6.168:
Na pristupu 1-1’ ulazna impendansa je
Z ′
1=
G
Z2
=r2
Z2
Z2
=1
jωC
Z ′
1=
r2
1
jωC
= jωCr2 = jωL
po svojoj prirodi ova impendansa je kalem
L = Cr2
215
Dakle, sa strane 1-1’ kolo mozemo zamijeniti šemom prikazanom na slici 6.169
1I
1′
1
1U2
L r C=
Slika 6.169:
Ova osobina ziratora je veoma bitna za kola visoke integracije. Kalem je potpuno nekom-
patibilan sa ureajima elektronike, a njegova funkcija je nezamijenjiva, pa se ovakvom kombi-
nacijom ziratora postize njegova funkcija. Ovo je fundamentalna korist ziratora. Napomena:
Ulogu konvertora i invertora mozemo dobiti pomocu aktivnih i linearnih kola. Dakle, os-
novnom skupu idealnih elemenata R, L, C, m idealnog transformatora, dodajemo još i idealni
zirator r(g).
6.16 Kontrolisani izvori - Transdukteri
6.16.1 Naponom kontrolisani naponski izvor (NKNI)
Naponom kontrolisani naponski izvor (NKNI) prikazan je na slci 6.170.
1I
1′
2I 2
2′
1
1U 2U1Uµ
Slika 6.170: Naponom kontrolisani naponski izvor
Relacije su:
I1
= 0
U2
= µU1
216
što znaci da je napon U2kontrolisan sa naponom U
1. U matricnom obliku
[I1
U2
]=
[0 0
µ 0
][U
1
I2
]
“g” - matrica NKNI
g11
= g22
= g12
= 0
g21
= µ
6.16.2 Strujom kontrolisani naponski izvor (SKNI)
Strujom kontrolisani naponski izvor (SKNI) prikazan je na slici 6.171.
1I
1′
2I 2
2′
1
1U 2U1rI
Slika 6.171: Strujom kontrolisani naponski izvor
Relacije su
U1
= 0
U2
= rI1
U matricnom obliku
[U
1
U2
]=
[0 0
r 0
][I1
I2
]
“z” - matrica SKNI
z11
= z22
= z12
= 0
z21
= r
217
6.16.3 Naponom kontrolisani strujni izvor (NKSI)
Naponom kontrolisani strujni izvor (NKSI) je prikazan na slici 6.172
1I
1′
2I 2
2′
1
1U 2U1gU
Slika 6.172: Naponom kontrolisani strujni izvor
I1
= 0
I2
= gU1
U matricnom obliku
[I1
I2
]=
[0 0
g 0
][U
1
U2
]
“y” - matrica NKSI
y11
= y22
= y12
= 0
y21
= g
6.16.4 Strujom kontrolisani strujni izvor (SKSI)
Strujom kontrolisani strujni izvor (SKSI) prikazan je na slici 6.173.
1I
1′
2I 2
2′
1
1U 2U1Iα
Slika 6.173: Strujom kontrolisani strujni izvor
218
U1
= 0
I2
= αI1
U matricnom obliku
[U
1
I2
]=
[0 0
α 0
][I1
U2
]
“h” - matrica SKSI
h11
= h22
= h12
= 0
h21
= α
Po svojoj strukturi, kontrolisani izvori su idealne mreze sa dva para krajeva. Dakle, idealnim
elementima R, L, C, m, r(g) dodajemo i NKNI, SKNI, NKSI, SKSI. Sa svim ovim elementima
mozemo modelovati bilo koji realni elektricni ureaj.
Problem: Da li mozemo šemu idealnog transformatora i idealnog ziratora predstaviti
preko kontrolisanih izvora?
Odgovor: Prvo idealni transformator (slika 6.174) predstavimo kontrolisanim izvorima.
1I
1′
2I 2
2′
1
1U 2U
: 1m
Slika 6.174:
Za ove oznake krajeva i referentne smjereve struja
U1
= mU2
I2
= −mI1
Ekvivalentna šema preko kontrolisanih izvora je prikazana na slici 6.175.
Idealni transformator mozemo predstaviti redno-paralelom vezom NKNI i SKSI (na 1-1’ je
redna, a na 2-2’ je paralelna veza). Sazeta ekvivalentna šema idealnog transformatora preko
kontrolisanih izvora bi bila kao ona prikazana na slici 6.176.:
Napomnimo da je ovo sazeti oblik razvijene šeme idealnog transformatora preko kon-
219
2I1I
2U2mU
1I
1′
2
2′
1
1U
1mI
Slika 6.175: Ekvivalentna šema
1I
1′
2I 2
2′
1
1U 2U1mU 1mI
Slika 6.176:
trolisanih izvora. Ako napišemo jednacine idealnog transformatora
U1
= mU2
I2
= −mI1
kao
U2
=1
mU
1
I1
= −1
mI2
tada je (druga) sazeta šema idealnog transformatora preko kontrolisanih izvora prikazana na
slici 6.177. ili u razvijenom obliku ova bi šema izgledala kao na slici 6.178.
U pitanju je paralelno-redna veza jer na pristupu 1-1’ imamo paralelnu vezu, a na pris-
tupu 2-2’ rednu vezu. Za vjezbu: Nacrtati ekvivalentne šeme idealnog transformatora preko
220
1I
1′
2I 2
2′
1
1U 2U2
1I
m1
1U
m
Slika 6.177:
1I
1′
2I 21
1U
2′
12U
2
1I
m
1
1U
m
Slika 6.178:
kontrolisanih izvora za nesaglasne krajeve. Predstavimo idealni zirator prikazan na slici 6.179.
preko kontrolisanih izvora. Jednacine za postavljeni smjer ziracije su
U1
= −rI2
(6.257)
U2
= rI1
(6.258)
Relacija (6.257) predstavlja naponski generator kontrolisan strujom I2, dok relacija (6.258)
predstavlja takoe naponski generator ali kontrolisan strujom I1. Sazeta ekvivalentna šema
je prikazana na slici 6.180 ili u razvijenom obliku kao na sledecoj slici 6.181.:
Sa slike 6.181 vidimo da je ovo redna veza dva SKNI. Ako izrazimo jednacine idealnog
ziratora kao:
221
1I
1′
2I 2
2′
1
1U 2U
r
Slika 6.179:
1I
1′
2I 2
2′
1
1U 2U2rI 1rI
Slika 6.180:
I2
= −gU1
I1
= gU2
g =1
r
dobijamo šemu koja je prikazana na slici 6.182. Ekvivalentna šema u razvijenom obliku
je prikazana na slici 6.183. Sa slike 6.183. vidimo da je u ovom slucaju ekvivalentna šema
predstavljena preko paralelne veze dva NKSI.
6.17 Osnovne podjele konvertora i invertora
6.17.1 Podjela konvertora:
1. Konvertori pozitivne impendanse (zadovoljavaju uslove idealnog konvertora)
a12
= a21
= 0
a11
= 0
a22
= 0
222
1I 2I 21
1U 2U
1rI
1′ 2′
2rI
Slika 6.181:
1I
1′
2I 2
2′
1
1U 2U2gU 1gU
Slika 6.182:
uz uslov a11a22
> 0. Napomena: Svi konvertori zadovoljavaju opšte uslove
a12
= a21
= 0
a11
= 0
a22
= 0
2. Konvertori negativne impendanse
Kod konvertora negativne impedanse proizvod je a11a22
< 0.
U sklopu konvertora pozitivne impendanse razlikujemo:
a) Ako je a11a22
= 1 tada su u pitanju pasivni konvertori pozitivne impendanse.
Karakteriše ih to da nemaju gubitke i tipican predstavnik je idealni transformator.
b) Ako je a11a22
= 0 to je neka od vrsta kontrolisanih izvora i to
223
1I
1′
2I 21
2′
2U2gU
1gU
1U
Slika 6.183:
- SKSI
a11
= 0
a22
= 0
- NKNI
a11
= 0
a22
= 0
- nulor (idealni operacioni pojacavac)
a11
= a12
= a21
= a22
= 0
c) Ako je a11
= a22
onda je to idealni pojacavac snage.
U sklopu konvertora negativne impendanse razlikujemo sljedece vrste
a) Konvertor negativne impendanse po struji
a11
> 0
a22
< 0
224
b) Konvertor negativne impendanse po naponu
a11
< 0
a22
> 0
Konvertor negativne impedanse po struji prikazan je na slici 6.184.
1i1
1′
2i 2
2′
1u 2uNIC(C)
Slika 6.184: Konvertor negativne impedanse po struji
Ulazni signal i1 poslije prolaska kroz NIC(C) mijenja smjer struje i2 pa se zato naziva
negativni konvertor impendanse po struji (Negative Impendanse Convertor - po struji (C)).
Jednacine su
U1
= kU2
i1 = −1
ki2
pa je matrica “a” parametara jednaka
a∼
=
[k 0
0 − 1
k
]
Napomena: Uvijek se uzima da su parametri k i g veci od nule tj. k > 0; g > 0. Ocigledno
je da su “a” parametri jednaki
a11
= k > 0
a22
= −1
k< 0
Konvertor negativne impedanse ponaponu prikazan je na slici 6.185.
NIC(V) - Negativni konvertor impendanse po naponu. Ako smatramo da je u1ulazni signal
kada NIC(V) mijenja smjer izlaznog signala napona u2
prema
u1= ku
2
ili
225
1i1
1′
2i 2
2′
1u 2uNIC(V)
Slika 6.185: Konvertor negativne impedanse po naponu
u1 = ku2
Jednacine su:
u1 = −ku2
i1 = −1
ki2
a =
[−k 0
0 1
k
]
odakle slijedi
a11
= −k < 0
a11
=1
k> 0
Posmatrajmo slucaj kada je konvertor zatvoren parametrima R, L ili C (slika 6.186.). Relacije
su:
1i1
1′
2i 2
2′
1u 2uNIC(V)
R L C
1R
Slika 6.186:
226
u1i1
= R1 = −k2R = −k2u2−i2
L1 = −k2L
C1 = −C
k2
Dakle, pomocu NIC mozemo da realizujemo negativnu otpornost, induktivnost ili kapaci-
tivnost cime su to aktivni elementi. Vidi se da je NIC-nereciprocan aktivni element jer je
det a∼
= −1.
6.17.2 Podjela invertora:
1. Invertor pozitivne impendanse
Svi invertori zadovoljavaju uslov: a11
= a22
= 0, a12
= 0 i a21
= 0. Invertori pozitivne
impendanse su oni kod kojih je a12a21
> 0 i razlikujemo dva slucaja u zavisnoti od toga da li
je:
a) a12a21
= 1 onda je u pitanju invertor pozitivne impendanse, pasivan i bez gubitaka.
To je idealni zirator.
b) a12a21
= 0 onda je to kontrolisani izvor, i to SKNI ili NKSI
2. Invertori negativne impendanse zadovoljavaju uslov a12a21
< 0 i to:
a) Invertor negativne impendanse prvog tipa koji je prikazan na slici slika 6.187. kod
kojeg je a12
> 0 i a21
< 0.
1i1
1′
2i 2
2′
1u 2uNIV(1)
Slika 6.187:
b) Invertor negativne impendanse drugog tipa koji je prikazan na slici 6.188. kod kojeg
je a12
< 0 i a21
> 0.
227
1i1
1′
2i 2
2′
1u 2uNIV(2)
Slika 6.188:
Jednacine NIV(1) su
u1 = −rI2
I1
= −1
ru2
pa je matrica “a” parametara
a∼
=
[0 r
−1
r0
]
Vidimo da je
a12
= r > 0
a21
= −1
r< 0
Jednacine NIV(2) su
u1 = rI2
I1
=1
ru2
pa je matrica “a” parametara oblika
a∼
=
[0 −r1
r0
]
Vidimo da je
a12
= −r < 0
a21
=1
r> 0
NIV je aktivan reciprocan element jer je
det a∼
= 1
228
1i1
1′
2i 2
2′
1u 2uNIV G L C
1R
Slika 6.189:
R1 = −r2G (6.259)
C1 = −r2L (6.260)
L1 = −r2C (6.261)
Dakle, NIV vrši inverziju sa negativnim znakom (mijenja i znak i karakter impendanse na
izlazu) što se vidi sa slike 6.189. i relacija (6.259), (6.260) i (6.261).
3. Treca grupa su NULORI jer kod njih vazi
a11
= a12
= a21
= a22
= 0
Dakle, Nulor moze da bude i invertor i konvertor.
6.18 Idealni operacioni pojacavac
Iz opisa kontrolisanih izvora vidimo da svaki od njih ima odreeni tip matrice parametara, pa
je pogodno izraziti “a” matricu kontrolisanih izvora u obliku:
a∼
=
[1
g21
− 1
y21
1
z21
− 1
h21
](6.262)
Kod kontrolisanih izvora egzistira jedan od parametara u matrici “a” koja je data relacijom
(6.262). Imajuci u vidu ovo mozemo definisati 4 tipa operaconih pojacavaca i to:
a. h21
−→ ∞
b. g21
−→ ∞
c. z21
−→ ∞
229
d. y21
−→ ∞
Matrica “a” parametara u ovom slucaju je jednaka
a∼
=
[1
k0
0 0
]
Ako K −→ ∞ u pitanju je idealni operacioni pojacavac ciji je simbol u šemama prikazan na
slici 6.190. ili što je najcešci slucaj šema na slici 6.191.
K1u 2u
Slika 6.190: Idealni operacioni pojacavac
K
1
1′
2
2′
2u1u
Slika 6.191:
Idealni operacioni pojacavac je Nulor jer su svi “a” parametri jednaki nuli, tj.
a11
= a12
= a21
= a22
= 0
6.19 Riordanov zirator
Predstavlja uopštenje konvertora, invertora i moze se od njega dobiti bilo koji invertor, kon-
vertor ili zirator. On se još naziva i Generalni Impendansni Convertor (GIC). Njegova šema
je prikazana na slici 6.192.
Ako trazimo Zul pokazuje se da je
Zul=
Z1Z
3Z
5
Z2Z
4
a u zavisnosti od prirode impendansi imamo:
230
2 2′
1
1′ulZ
2Z
3Z
4Z
5Z
1Z
Slika 6.192: Riordanov zirator
a) Ako je Z1= Z
2= Z
3= Z
5= R odnosno da se radi o otpornicima istih vrijednosti,
tada je ulazna impedansa jednaka
Zul =R2
Z4
tada idealni zirator ima ulogu invertora impendanse
b) Ako je Zi = Ri gdje je i = 1, 2, 3, 4 tada je
Zul =R1R3
R2R4
Z5= m2Z
5
tada idealni zirator ima ulogu idealnog konvertora impendanse, odnosno idealnog trans-
formatora.
c) Ako je Z1= 1
sC1
, Z5= 1
sC5
, Zi = Ri gdje je i = 2, 3, 4 dobija se tzv. FDNR element
(F D N R ), tj. frekventno zavisni negativni
otpornik.
d) Na slican nacin, tj. izabirajuci razlicite vrijednosti impendansi mozemo dobiti i druge
vrijednosti i uloge, zato se i naziva GIC.
6.20 Realni elementi
Uvodeci ove aktivne elemente ušli smo u teoriju aktivnih mreza sa dva para krajeva. U pogledu
opisa linearnih aktivnih mreza sa dva pristupa, ne razlikujemo ih od linearnih pasivnih mreza,
tj. opisuju se takoer sa “a”,“b”, “h”, “g”, “y”, “z” parametrima. Meutim, (kao što smo
vidjeli kod NIC koji je nereciprocan aktivni element) opšta linearno aktivna mreza sa dva
pristupa nije reciprocna. Iz tog razloga, za razliku od opšte pasivne mreze sa dva pristupa, za
231
koju je bilo dovoljno poznavanje tri parametra, aktivna linearna mreza se mora opisati sa sva
cetiri parametra (nezavisna). Dakle, za linearnu aktivnu mrezu ne vazi princip reciprociteta.
Dioda se moze predstaviti šemom kao na slici 6.193. (u odreenom frekventnom domenu).
gi
1′
pi 2
2′
1
gu pugG m gg upG
Slika 6.193:
Jednacine diode su
ig = Ggug
ip = Gpup + gmug
tj. zapisano u matricnom obliku
[ig
ip
]=
[Gg 0
gm Gp
][ug
up
]
vidimo da je
y12
= y21
a to znaci da dioda nije reciprocni element, pa se u odreenom domenu dioda mora opisati sa
4 parametra.
Tranzistor je tropol (iako se moze prikazati kao mreza sa dva pristupa) i šematski je
prikazan na slici 6.194.
E
B
C C
B
E
PNP NPN
Slika 6.194:
Tranzistor se moze posmatrati kao aktivna mreza sa dva pristupa i u zavisnosti od rezima
rada, razlikujemo više vrsta zamijenujucih (ekvivalentnih šema). U zavisnosti od toga koja je
232
elektroda uzemljena, tj. koja je zajednicka ulazno-izlazna elektroda, razlikujemo tri sprege:
— sa zajednickim emitorom
— sa zajednickom bazom
— sa zajednickim konektorom
Emiter je u sve tri sprege jedan od ulaznih krajeva, a konektor je uvijek u izlaznom pristupu.
Tranzistor sa zajednickom bazom za neko podrucje rada, moze se predstaviti šemom kao na
slici 6.195. Šema tranzistora sa zajednickim emitorom prikazana je na slici 6.196.
eI
bR
eR
cR
eIα
CE
B
Slika 6.195: Šema tranzistora sa zajednickom bazom
bI
bR
eR
(1 )cR α−
1 bIα
α−
C
E
B
Slika 6.196: Šema tranzistora sa zajednickim emiterom
6.21 Teorija aktivnih mreza sa dva pristupa
Aktivne mreze sa dva pristupa se zadaju sa sva cetiri nezavisna parametra. Na primjer, za
mrezu prikazanu na slici 6.197. matrica “z” parametara je
z∼
=
[z11
z12
z21
z22
]
233
1I
1′
2I 2
2′
1
1U 2Uz
Slika 6.197:
Za aktivnu mrezu uopšte, potrebno je poznavanje “z” parametara. Mreza je reciprocna ako
je z12
= z21
a ako je z12
= z21
mreza je nereciprocna (i potrebna su sva cetiri parametra jer
izmeu njih nema direktne veze). Za reciprocne mreze najednostavnije su "T" i "Π" mreze.
Postavljamo pitanje: Kakva je ekvivalentna "T" šema za mrezu sa dva pristupa? Bez obzira
da li je reciprocna ili ne? Odgovor : Sistem jednacina
U1
= z11I1+ z
12I2
(6.263)
U2
= z21I1+ z
22I2
(6.264)
prevedimo na sistem jednacina u sledecem obliku:
U1
= (z11− z
12)I
1+ z
12(I
1+ I
2)
U2
= (z22− z
12)I
2+ (z
21− z
12)I
1+ z
12(I
1+ I
2)
Na temelju ovih jednacina mozemo da nacrtamo sljedecu šemu prikazanu na slici 6.198.:
1I
1′
2
2′
1
1U 2U
2I1Z ′
1Z ′′
2Z
1 2I I+
21 12 1( - )z z I
Slika 6.198:
Za slucaj reciprocne mreze “z” parametri z12
= z21
pa je z21
− z12
= 0 i na taj nacin
dobijamo "T" mrezu. Nereciprocna mreza ima z21
= z12
pa dobijemo proširenu "T"-mrezu
kao na slici 6.198. Riješimo prethodno postavljeni problem preko “h” parametara (slika
6.199.)
Mreza je nereciprocna ako je h12
= −h21. Mreza je reciprocna ako je h
12= −h
21. Sistem
234
1I
1′
2I 2
2′
1
1U 2Uh
Slika 6.199:
jednacina za “h” parametre je:
U1
= h11I1+ h
12U
2(6.265)
I2
= h21I1+ h
22U
2(6.266)
Jednacinu (6.265) mozemo shvatiti kao pad napona na impendansi h11 i naponski generator
kontrolisani sa naponom U2. Ovoj opštoj mrezi mozemo prikljuciti sljedecu šemu prikazanu
na slici 6.200.:
1I
1′
2
2′
1
1U 2U
2I
21 1h I
11h
22h12 2h U
Slika 6.200:
Dakle, proizvoljnu mrezu sa dva pristupa mozemo prikazati šemom kao na slic i6.200. Ri-
ješimo postavljeni problem za “y” parametre. Neka je data opšta mreza zadata “y” matricom
kao na slici 6.201.
1I
1′
2I 2
2′
1
1U 2Uy
Slika 6.201:
235
Mreza je reciprocna ako je y12
= y21
a nereciprocna ako je y12
= y21. Sistem jednacina je
I1
= y11U
1+ y
12U
2(6.267)
I2
= y21U
1+ y
22U
2(6.268)
i ako ih preuredimo dodavajuci i oduzimajuci y12U
1dobijamo
I1
= (y11+ y
12)U
1+ y
12(U
1− U
2) (6.269)
I1
= (y22+ y
12)U
2− y
12(U
2− U
1) + (y
21− y
12)U
1(6.270)
Ovom preureenom sistemu jednacina pridruzujemo ekvivalentnu šemu prikazanu na slici
6.202.:
1I
1′
2
2′
1
1U 2U
2I1Y
2Y ′2Y ′′
Slika 6.202:
Ako je mreza nereciprocna imamo šemu na slici 6.202. Ako je mreza reciprocna i kada je
y12− y
21= 0 tada dobijamo standardnu "Π" mrezu bez NKSI. Sistem “y” jednacina mozemo
preurediti na još jedan nacin
I1
= y11U
1+ y
12U
2(6.271)
I2
= y21U
1+ y
22U
2(6.272)
i to kao
I1
= (y11+ y
21)U
1+ (y
12− y
21)U
2+ y
21(U
2− U
1) (6.273)
I2
= (y22+ y
21)U
2− y
21(U
2− U
1) (6.274)
Ovim jednacinama odgovara sljedeca proširena "Π" mreza kao na slici 6.203.
Ako je y12
= y21
proširena "Π" mreza se svodi na obicnu "Π" mrezu.
236
1I
1′
2
2′
1
1U 2U
2I
2Y ′2Y ′′
Slika 6.203:
6.21.1 Negativni konvertor izrazen preko kontrolisanih izvora
Izrazicemo strujni negativni konvertor NCI(C) prikazana na slici 6.204. preko kontrolisanih
izvora.
1i1
1′
2i 2
2′
1u 2uNIC(C)
Slika 6.204:
Jednacine su
u1 = ku2
i2 = ki1
Šema preko kontrolisanih izvora je prikazana na slici 6.205.:
Pitanje: Kako ostvariti negativnu otpornost (provodnost), preko kontrolisanih izvora i na
taj nacin postici aktivne elemente? Odgovor: Mozemo ostvariti na 2 nacina
Prvi nacin: Kao što pokazuje slika 6.206.:
Sa šeme se vidi da je
I = −GV
Rul =V
I= − 1
G
tj. na pristupu se kolo ponasa kao negativna otpornost.
Drugi nacin: Kao što to pokazuje slika 6.207.:
237
1I
1′
2I 21
2′
2U2kU
1kI
1U
1I
Slika 6.205:
I
V GV
ulR
Slika 6.206:
Dakle, vidi se da je
V = −rI
Rul =V
I= −r
6.21.2 Nulator i Norator
Nulator i norator su elementi (rezistivni) sa jednim pristupom. Na slici 6.208. je šematski
prikazan nulator dok su njegove karakteristike
V = 0
I = 0
238
I
rIV V
ulR
Slika 6.207:
V
I
Slika 6.208:
Karakteristika noratora je da struja i napon imaju proizvoljne vrijednosti a šematski prikaz
je kao na slici 6.209.:
V
I
Slika 6.209:
Naravno, ne postoji realni element sa osobinom nulatora ili noratora, ali su oni pogodni za
mreze sa dva pristupa i uvijek se javljaju u paru kao patološka mreza sa dva pristupa, kao na
sljedecoj šemi (slika 6.210.):
Nulor moze da predstavlja ili idealni tranzistor ili idealni operacioni pojacavac. Tamo gdje
je nulor, tacke napona su na istom potencijalu, pa je struja jednaka nuli i = 0. Predstavimo
kontrolisane izvore pomocu nulatora, noratora i nulora. Strujom kontrolisani strujni izvor
(SKSI) prikazan na slici 6.211. a ekvivalentna šema data je na slici 6.212.
Napon U1 = 0 što se moze zakljuciti i posmatranjem šeme na slici 6.211. pa mozemo taj
dio kola zamijeniti sa nulatorom po njegovoj osobini da mu je napon na ulazu V = 0. Sa šeme
na slici 6.212 se vidi da je
RAI1 = RBIB
IB =RARB
I1
239
1i
1′
2i 2
2′
1
1u 2u
Slika 6.210:
1I
1′
2I 2
2′
1
1U 2U1Iα
Slika 6.211:
odnosno
I2
= −(1 +RARB
)I1
I2
= −IA − IB
Napon U1= 0 zamjenjujemo sa nulatorom u paralelnoj grani jer je I
1= 0 tj. I
1= IA dok
je struja kroz nulator jednaka nuli. Naponom kontrolisani naponski izvor (NKNI) je prikazan
na slici 6.213. gdje je
U2= µU
1
Pošto je I1= 0 vidimo da te osobine posjeduje i nulator, odnosno da je
V = 0
I = 0
pa je ekvivalentna šema kao na slici 6.214.:
u2 =
(1 +
RBRA
)U2
Nulator se nalazi u rednoj grani da bi struja I1= 0. Napon U
1= UAB bez obzira što je
U1A = 0 kao napon na nulatoru. Strujom kontrolisani naponski izvor (SKNI) prikazan je na
240
1I
1′
2
2′
1
1U 2U
2I
AIAR
BR
BI
Slika 6.212:
1I
1′
2I 2
2′
1
1U 2U1Uµ
Slika 6.213:
slici 6.215. Jednacine su
U2 = rI1
U1
= 0
pa tu osobinu mijenjamo nulatorom a ekvivalentna šema je prikazana na slici 6.216.
Naponom kontrloisani strujni izvor (NKSI) prikazan je na slici 6.217. Jednacine se
I2= gU1
Pošto je I1= 0 ekvivalentna šema sa nulatorom prikazana je na slici 6.218.:
I1
= 0
I2
=1
RU1
Na slici 6.219 prikazana je kaskadna veza dva ziratora. Postavlja se pitanje šta ona pred-
stavlja? Jednacine su
U1
= r1I
U2
= r1I1 =⇒ I1=
1
r1U
2
241
1I
1′
2
2′
1
1U 2U
2I
AR
BR
B
A
Slika 6.214:
1I
1′
2I 2
2′
1
1U 2U1rI
Slika 6.215:
U matricnom obliku [U
1
I1
]=
[0 r11
r1
0
][U
2
I
]
gdje je ovo “a” matrica prvog ziratora. Za drugi zirator
U = r2I2
U2
= r2I =⇒ I =1
r2U
2
u matricnom obliku [U
I
]=
[0 r21
r2
0
]
gdje imamo “a” matricu drugog ziratora. Zbog kaskadne veze rezultujuca “a” matrica se
dobija kao
a = a1a2=
[0 r11
r1
0
][0 r21
r2
0
]=
[r1
r2
0
0 r2
r1
]
a odavde se vidi da je
a12
= a21
= 0
a11
=r1r2
= m
a22
=r2r1
=1
a11
=1
m
242
1I
1′
2
2′
1
1U 2U
R1I
0I =
Slika 6.216:
1I
1′
2I 2
2′
1
1U 2U1gU
Slika 6.217:
Ovo su osobine idealnog transformatora, pa ova kaskadna veza dva ziratora predstavlja idealni
transformator.
6.21.3 L - mreze
Ako su uslovi rada dvije mreze prikazane na slici 6.220 a) i b) takvi da je I2 I
1onda se
moze za neku ucestanost s u kompleksnom obliku napisati:
1. Za šemu R− L kola
U2(s) ≈ sLI1(s) ≈ sL
R+ sLU1(s)
odakle se dobija da je transmitansa napona
M(s) ≈ U2(s)
U1(s)≈ sL
R + sL
Ako su parametri tako izabrani da je vremenska konstanta
T =L
R
243
1I
1′
2
2′
1
1U 2U
2I
R
Slika 6.218:
1I
1′
I1
1U U
1r2I 2
2′
2U
2r
Slika 6.219:
mnogo manja u odnosu na interval t u toku kojeg se napon U1(s) znacajnije promijeni,
mozemo priblizno da pišemo
I1(s) ≈ U1(s)
R(6.275)
U2(s) ≈ L
RsU1(s) (6.276)
i da je transmitansa napona
M(s) ≈ L
Rs
1I
1′
2
2′
1
1U
R
L 2U
2I 1I
1′
2
2′
1
1U
C
R 2U
2I
( )a ( )b
Slika 6.220:
244
U vremenskom domenu relaciji (6.276) odgovara relacija
u2(t) =L
R
du1dt
(6.277)
Relacija (??) pokazuje da ovo kolo ostvaruje funkciju diferencijatora ulaznog napona u1 i
naziva se diferencijator.
2. Za šemu R− C kola
U2(s) ≈ RI1(s) ≈ R
R + 1
SC
U1(s)
Ako je vremenska konstanta
T = RC
dovoljno mala u odnosu na interval vremena u okviru kojeg se U1(s) znacajnije promijeni
tada vazi
I1(s) ≈ sCU1(s)
U2(s) ≈ RCsU1(s)
U vremenskom domenu
u2(t) = RCdu1(t)
dt
pa je ovo kolo diferencijator ulaznog napona.
Posmatrajmo mreze date na slici 6.221. a) i b). Ako su uslovi rada takvi da je I2 I1
tada je:
1I
1′
2
2′
1
1U R
L
2U
2I 1I
1′
2
2′
1
1U C
R
2U
2I
( )c ( )d
Slika 6.221:
3. Za šemu L−R kola
U2(s) ≈ R
R+ sLU
1(s)
M(s) ≈ U2(s)
U1(s)≈ R
R + sL
245
Ako je vremenska konstanta
T =L
R
mnogo veca u odnosu na interval t za vrijeme za koje se U1(s) znacajnije promijeni,
mozemo da napišemo
U2(s) ≈ R
L
1
sU1(s)
M(s) ≈ 1
s
R
L
U vremenskom domenu imamo relaciju
u2(t) =R
L
t∫0
u1(t)dt
Prema tome, izlazni napon je integral ulaznog napona, pa se ovo kolo naziva integrator.
4. Šema R− C kola
U2(s) ≈1
sC
R+ 1
sC
U1(s)
M(s) ≈1
sC
R+ 1
sC
Ako je vremenska konstanta
T = RC
mnogo veca u odnosu na interval t za vrijeme kojeg se U1(s) znacajnije promijeni,
mozemo priblizno da pišemo
U2(s) ≈ 1
RC
1
sU1(s)
M(s) ≈ 1
sRC
U vremenskom domenu imamo relaciju
u2(t) =1
RC
t∫0
u1(t)dt
i ovo je kolo je takoe integrator.
Sa stanovišta tehnologije i za diferencijator i za integrator, pogodnije su šeme sa R i C
elementima, jer su R i C kompatibilni elementi sa ureajima visoke tehnologije. Pošto je
246
T = L
Rmalo ili T = RC veliko, to je izlazni signal u2(t) mali pa se dodaje operacioni
pojacavac. Idealni diferencijator je prikazan na slici 6.222.
1i
1′
2
2′
1
1u
R
C
2u
2i
Slika 6.222: Diferencijator
Cdu1dt
+u2R
= 0
u2R
= −Cdu1dt
u2(t) = −RCdu1dt
što je zaista diferenciranje. Idealni integrator je prikazan na slici 6.223.
1i
1′
2
2′
1
1u
R
2u
2i
Slika 6.223: Integrator
u1R
+ Cdu2dt
= 0
du2dt
= − 1
RCu1(t) =⇒ u2 = − 1
RC
t∫0
u1(t)dt
što predstavlja integrator.
247
6.22 FILTRI
6.22.1 Opis i karakteristicni parametri filtra
TcZ
1I 1 /2Z 1 /2Z 1 /2Z 1 /2Z1 /2Z 1 /2Z
2U1U 3U 4U
1 2 3 4
4′3′2′1′
2Z 2Z 2ZT
cZ
2I 3I
T
cZ
Slika 6.224: Filtar sastavljen od 3 celije "T" tipa
Filtar je slozena elektricna mreza sa dva para krajeva formirana od kaskadne veze obicno
simetri-
cnih "T" i "Π" mreza. Svaku mrezu u sastavu filtra nazivamo celijom filtra. Broj celija
je u opštem slucaju n, a u našem slucaju n = 3 celije koje predstavljaju "T"-mreze kao što
je prikazano na slici 6.224. Pristupni krajevi 1-1’ i 4-4’ zatvoreni su karakteristicnom im-
pendansom ZTc jedne njegove celije. Ovim je postignuto da je ulazna impendansa filtra
racunata u bilo kojem presjeku izmeu dvije celije sa jedne i druge strane presjeka jednaka
impendansi jedne celije filtra. Za karakteristicne transmitanse napona i struja pojedinih celija
filtra, uzimajuci da je filtar obrazovan od n− celija koje su iste, vazi
M c =U
1
U2
=U2
U3
= · · · = Un
Un+1
N c =I1I2
=I2I3
= · · · = InIn+1
Pošto je mreza simetricna, vazi da je
M c = N c
Ako obrazujemo proizvode transmitansi pojedinih celija, dobijamo
I1I2
I2I3
· · · InIn+1
=I1In+1
uzimajuci u obzir da su struje celija iste tj.
I1I2
I2I3
=
(I1I2
)2
248
proizvod je jednakI1I2
I2I3
· · · InIn+1
=
(I1I2
)n
pa jeI1In+1
=
(I1I2
)n
=⇒ N filtra = Nnc
Karakteristicna prenosna funkcija filtra
Γfiltra = lnN filtra = lnInIn+1
= ln
(I1I2
)n
= n lnI1I2
= nΓc
Γfiltra = nΓc
za kaskadnu vezu. Imajuci u vidu da je
Γfiltra = Afiltra + jBfiltra = n(Ac+ jBc)︸ ︷︷ ︸jedme celije
(6.278)
Afiltra = nAc− funkcija slabljenja je n− puta veca od funkcije slabljenja jedne celije
Bfiltra = nBc− funkcija faznog slabljenja je takoe n− puta veca od funkcije faznog
slabljenja jedne celije
Pošto je ulazna impendansa filtra u bilo kojem presjeku jednaka karakteristicnoj impen-
dansi jedne celije, a karakteristicna funkcija filtra je n puta veca od karakteristicne funkcije
jedne celije (gdje je n broj celija filtra) mozemo izvesti zakljucak : Filtar je u pogledu napona
i struja na pristupnim krajevima 1-1’ i (n+1)-(n+1)’ (u opštem slucaju) potpuno odreen
karakteristicnim parametrima Zc, Γc, n gdje je n− broj celija filtra.
6.22.2 Osnovne jednacine filtra
Za celije od "T" − mreza
ZTc =
√Z1Z2
(1 +
Z1
4Z2
)Za celije od "Π"− mreza
ZΠ
c =
√√√√ Z1Z2(1 + Z
1
4Z2
)
Γc = 2 ln
(√1 +
Z1
4Z2
+
√Z1
4Z2
)
ili preko Campbell-ove jednacine
cosh Γc = 1 +Z1
2Z2
249
6.22.3 Propusni i nepropusni opseg
Definicija. Propusni opseg je onaj opseg ucestanosti u kome filtar propušta struje bez
slabljenja tj. za koji vazi
I1 = In+1
odnosno
Ac = lnI1I2
(6.279)
Kada relaciju (6.279) pomnozimo sa n dobijamo
nAc = ln
(I1I2
)n
Afiltra = lnI1I2
= 0
tada je
Afiltra = nAc = lnI1In+1
= 0 =⇒ Afiltra = 0
pa je i slabljenje struje svake celije filtra
Ac = 0
Definicija: Nepropusni opseg je onaj opseg ucestanosti u kojem filtar propušta oslabljene
struje tj.
I1 > In+1
po efektivnoj vrijednosti. Tada jeI1In+1
> 0
Afiltra = nAc = lnI1In+1
> 0 =⇒ Afiltra > 0
Dakle, u nepropusnom opsegu slabljenje filtra u cjelini i svake celije je vece od nule. Na osnovu
ovoga mozemo filtre podijeliti u 4 realne grupe:
1. Filtri niskih ucestanosti, su filtri koji bez slabljenja propuštaju struje ucestanosti ω
u opsegu
0 < ω < ωc
a izvan tog opsega ih slabe, gdje je ωc− kriticna vrijednost niske ucestanosti.
2. Filtri visokih ucestanosti, propuštaju bez slabljenja struje ucestanosti ω > ωc a slabi
250
0cA = 0
cA >
propusniopseg
nepropusniopseg
ωcω
Slika 6.225:
struju ucestanosti
0 < ω < ωc
gdje je ωc− kriticna vrijednost visoke ucestanosti.
0cA =0
cA >
propusniopseg
nepropusniopseg
ωcω
Slika 6.226:
3. Filtri propusnici opsega ucestanosti, bez slabljenja propustaju struje ucestanosti u
opsegu
ωc1≤ ω ≤ ωc2
a izvan tog opsega ih slabe, gdje su ωc1i ωc2
− kriticna vrijednost filtra propusnika opsega
ucestanosti. Ponekad se naziva i pojasni filtar.
4. Filtri nepropusnici opsega ucestanosti, filtri koji slabe struje u opsegu
ωc1≤ ω ≤ ωc2
a izvan tog opsega ih propuštaju bez slabljenja, gdje su ωc1i ωc2
− kriticna vrijednost
filtra nepropusnika opsega ucestanosti.
251
0cA =0
cA >
propusniopseg
nepropusniopseg
ω1cω
nepropusniopseg
0cA >
2cω
Slika 6.227:
0cA = 0
cA >
propusniopseg
nepropusniopseg
ω1cω
propusniopseg
2cω
0cA =
Slika 6.228:
6.22.4 K-filtri
"K"-filtri niskih ucestanosti
"K" filtar niskih ucestanosti prikazan je na slici 6.229. Ukupna redna impendansa
Z1= jωL1 = ωL1e
j π2
a ukupna otocna impendansa
Z2=
1
jωC2
=1
ωC2
e−j π2
Proizvod ove dvije impedanse je jednak
Z1Z
2=
L1
C2
ejπ
2 e−j π2 =
L1
C2
= R2 = const (6.280)
Proizvod ukupne redne i ukupne otocne impendanse je konstantan (relaicja (6.280)), i to
252
1 /2L
2C
1 /2L1L
2
2
C 2
2
C
( )a ( )b
Slika 6.229: "K" filtar niskih ucestanosti: (a) T-celija; (b) Π-celija
je osobina svih "K"-filtara. Zato se i zovu K filtari (k-const).
ZT
c=
√Z
1Z
2
(1 +
Z1
4Z2
)ZTc Z
Π
c = Z1Z
2= R2
ZΠ
c =R2
ZTc
Γc = 2 ln
√1 +
Z1
4Z2
+
√Z
1
4Z2
Ako oznacimo
N =Z
1
4Z2
=ωL1e
j π2
4
ωC2
e−jπ
2
=ω2L1C2
4ej
π
2
N =ω2L1C2
4ejπ
tada je moduo velicine N jednak
N = mod(N) =ω2L1C2
4
odnosno
N = Nejπ
253
Dakle, za ovaj filtar mozemo napraviti tablicu osnovnih relacija
Γc = 2 ln(√1 +Nejπ +
√Nejπ)
N =ω2L1C2
4ejπ
ZTc = R
√1 +Nejπ
ZΠ
c =R2
ZTc
R2 =L1
C2
Posmatrajmo prvo karakteristicnu prenosnu funkciju i opseg u kome se ona krece
Γc = 2 ln(√1 +Nejπ +
√Nejπ)− 2 ln
(√1−N + ej
π
2
√N)= 2 ln
(√1−N + j
√N)
Opseg√1−N ≥ 0 je neki realan broj, pa je dalje
Γc = 2 ln
(√(√1−N
)2
+(√
N)2
ej arctan
√N
1−N
)= 2 ln
(√1−N +Ne
j arctan
√N
1−N
)=
= 2 ln
(1− e
j arctan
√N
1−N
)= 2 ln 1 + 2 ln e
j arctan
√N
1−N
Γc = j2 arctan
√N
1−N= Ac + jBc (6.281)
Iz relacije (6.281) zakljucujemo da je
Ac = 0
iz cega proizilazi da nema slabljenja, pa je ovo propusni opseg.
Bc = 2arctan
√N
1−N
Ako je 1 < N < ∞ tada vazi√1 +Nejπ =
√1−N pa imamo:
Γc = 2 ln(√
1 +Nejπ +√Nejπ
)= 2 ln
(√ejπe−jπ +Nejπ +
√Nejπ
)=
= 2 ln(√
ejπ(√
Nejπ +√N))
== 2 ln(ejπ
(√N − 1 +
√N))
=
= 2 ln ejπ + 2 ln(√
N − 1 +√N)= 2 ln
(√N − 1 +
√N)+ jπ = Ac + jBc
254
odakle proizilazi
Ac = 2 ln(√
N − 1 +√N)> 0
Bc = π
Granica propusnog i nepropusnog opsega je 1 i to se postize za neku ucestanost
ω = ωc
N = 1L1C2ω
2
c
4= 1 =⇒ ωc =
2√L1C2
Opseg koji se karakteriše preko N
0 ≤ N ≤ 1
moze preko ucestanosti izraziti
0 ≤ ω ≤ ωc
propusni opseg
1 < N < ∞
nepropusni opseg
ωc ≤ ω ≤ ∞
propusniopseg
nepropusniopseg
ωcω
π
cB
cA
=0N =1Nω → ∞
N → ∞
Slika 6.230: Karakteristicna funkcija "K" filtra niskih ucestanosti
Karakteristicna impendansa
Karakteristicna impedansa "T" mreze jednaka je:
ZT
c=
√Z
1Z2
(1 +
Z1
4Z2
)= R
√1 +Nejπ
255
Ako je 0 ≤ N ≤ 1 onda je√1−N > 0 realno pa je karakteristicna impedansa
Zc = R√1−N = RT
c
Na osnovu ove relacije vidimo da se karakteristicna impedansa ponaša kao cista termogena
otpornost u propusnom opsegu. U nepropusnom opsegu je:
ZTc = R
√1 +Nejπ = R
√ejπe−jπ +Nejπ = Rej
π
2
√N − 1 = jR
√N − 1 = jXT
c (6.282)
Na osnovu relacije (6.282) vidimo da je
XTc = R
√N − 1 (6.283)
ZΠ
c =R2
ZTc
=R2
jXTc
=R2
R√1−N
=R√
1−N= RΠ
c
Za propusni opseg
ZΠ
c =R2
ZTc
=R2
jXTc
=R2
jR√N − 1
= −jR√
N − 1= jXΠ
c
XΠ
C = − R√N − 1
(6.284)
Posmatrajuci relaciju (6.284) zakljucujemo da je ovo reaktivna otpornost ali za razliku od
slucaja izrazenog relacijom (6.283) ima kapacitivni karakter. Za karakteristicnu impendansu
prikazanu na slici 6.231. (mijenja karakter pri prelazu iz PO u NO i da slozeno zavisi od f(ω))
N =L1C2ω
2
c
4
ωc =2√L1C2
ω2c =4
L1C2
pa je
N =
(ω
ωc
)2
256
ωcω
R
T
cX
cXΠ
T
cR
cRΠ
Slika 6.231: Karakteristicna impedansa "K" filtra niskih ucestanosti
Vidimo da ulogu filtra igraju "T" i "Π" mreza sa otpornostima u rednoj i kalemovima u
otocnoj grani. Obicno se zadaju R,ωc. Kako je
R2 =L1
C2
(6.285)
ω2
c=
4
L1C2
(6.286)
Iz relacije (6.285) izracunamo C2
C2 =L1
R2
(6.287)
i ako relaciju (6.287) uvrstimo u relaciju (6.286) imacemo
ω2
c=
4
L1
R2
L1
=4R2
L2
1
4
L2
1
=(ωc
R
)2
=⇒ L1 =
√4R2
ω2c
L1 =2R
ωc
C2 =2R
ωc
R2
=2
ωcR
K-filtar visokih ucestanosti
Celija T tog filtra, u rednim granama bili bi kondenzatori, a u otocnoj kalem
257
1C
22L 22L
12C
2L
12C
( )a ( )b
Slika 6.232: (a) T-celija "K" filtra visokih ucestanosti; (b) Π-celija "K" filtra visokih uces-tanosti
Z1
=1
jωC1
=1
ωC1
e−j Π2
Z2
= jωL2 = ωL2ejΠ2
Z1Z
2=
1
ωC1
ωL2ejΠ2 e−jΠ
2 =L2
C1
= R2 = const
(Osobina "K" filtra da je proizvod redne i otocne impendanse konstantna vrijednost)
N =Z
1
4Z2
=1
ωC1e−j
π
2
4ωL2ej π2
=1
4ω2L2C1
e−jπ
N = mod (N) =1
4ω2L2C1
N = Ne−jπ
Γc = 2 ln(√
1 +Ne−jπ +√Ne−jπ
)ZTc = R
√1 +Ne−jπ
ZΠ
c =R2
ZTc
Analiziramo Γc za opseg 0 ≤ N ≤ 1
Γc = 2 ln(√
1 +Ne−jπ +√Ne−jπ
)= 2 ln
(√1−N + e−j
π
2
√N)=
= 2 ln(√
1−N − j√N)= 2 ln
(√(√1−N
)2
+(√
N)2
e−j arctan
√N
1−N
)
= 2 ln
(1− e
−j arctan
√N
1−N
)= 0− j2 arctan
√N
1−N= Ac + jBc
Ac = 0
Bc = −2 arctan
√N
1−N
Propusni opseg 1 < N < ∞
258
Γc = 2 ln(√
1 +Ne−jπ +√Ne−jπ
)= 2 ln(
√ejπe−jπ +Ne−jπ +
√Ne−jπ)
= 2 ln(e−jπ
(√N − 1 +
√N))
= 2 ln(√
N − 1 +√N)− jπ = Ac + jBc
Ac = 2 ln(√
N − 1 +√N)
Bc = −π
propusniopseg
nepropusniopseg
ωcω
π− cB
cA
=N ∞
=1Nω → ∞
0N =
Slika 6.233: Karakteristicna funkcija "K" filtra visokih ucestanosti
Granica izmeu propusnog i nepropusnog opsega
N = 1
ω = ωc
1 =1
4ω2L2C1
ωc =1
2√L2C1
N1 = 1 ω = ωc
N −→ 0 ω −→ ∞N −→ ∞ ω −→ 0
Propusni opseg
0 ≤ N ≤ 1 ω = ωc
Nepropusni opseg
1 ≤ N ≤ ∞ 0 ≤ ω ≤ ωc
259
Ponašanje karakteristicne impedanse
0 ≤ N ≤ 1 ωc ≤ ω ≤ ∞ZTc = R
√1 +Ne−jπ = R
√1−N = RT
c
ZNc =
R2
ZTc
=R2
RTc
=R√
1−N= RΠ
c
U nepropusnom opsegu je 1 ≤ N ≤ ∞ i 0 ≤ ω ≤ ωc pa imamo:
ZTc = R
√ejπe−jπ +Ne−jπ = Re−jπ
√N − 1 = −jR
√N − 1 = jXT
c
XTc = −R
√N − 1
ZΠ
c =R2
ZTc
=R2
jXc
=R2
−jR√N − 1
= jXΠ
c
XΠ
c =R√N − 1
Polazeci od ovoga
N =1
4ω2L2C1
ω2c =1
4L2C1
N =(ωc
ω
)2
ωcω
R
cXΠ
T
cX
T
cR
cRΠ
Slika 6.234: Karakteristicna impedansa "K" filtra visokih ucestanosti
260
Parametri koji se zadaju su R i ωc. Treba odrediti L2 =? i C1 =? Kako je
R2 =L2
C1
(6.288)
ω2
c=
1
4L2C1
(6.289)
i ako iz relacije (6.288) vrijednost za C1 uvrstimo u relcaciju 6.289)
ω2
c=
1
4L2C1
=⇒ ω2
c=
R2
4L2L2
L2
2=
R2
4ω2=⇒ L2 =
R
ωc
C1 =L2
R2=
R
2ωc
R2=
1
2ωcR
K-filtri propusnici opsega ucestanosti
1 /2L
2C
1 /2L
( )a ( )b
1L 1C
2
2
C
12C 12C
2L 22L 22L2
2
C
Slika 6.235: "K" - filtri propusnici opsega ucestanosti: (a) T - celija; (b) Π - celija
Polazeci da se ukupni parametri nalaze u otocnoj i prvoj i u drugoj slici u rednoj, kako su
ukupne impendanse bile izrazene na isti nacin.
Z1
= j
(ωL1 − 1
ωC1
)= j
ω2L1C1 − 1
ωC1
Z2
=1
j(ωC2 − 1
ωL2
) = −jωL2
ω2L2C2 − 1
Z1Z
2= 1
L2
C1
ω2L1C1 − 1
ω2L2C2 − 1(6.290)
Proizvod Z1Z
2u opštem slucaju nije konstanta a da bi to bio K-filtar ovaj proizvod mora
biti konstanta, stoga moramo uciniti da u relaciji (6.290) i brojilac i imenilac budu jednaki
jedinici odnosno:ω2L1C1 − 1
ω2L2C2 − 1= R2 = const
261
odnosno
L1C1 = L2C2 (6.291)
Razmotrimo opseg ucestanosti u kome je ω2L1C1 − 1 = ω2L2C2 − 1 < 0 i tada imamo
ω <1√L1C1
=1√L2C2
= ωo
Z1
= −jω2L1C1 − 1
ωC1
= −j1− ω2L1C1
ωC1
=1− ω2L1C1
ωC1
e−jπ
2
mod (Z1) =
1− ω2L1C1
ωC1
(6.292)
U ovom opsegu reaktansa je kapacitivnog karaktera što se vidi i iz relacije (6.292). Za
impedansu Z2imamo
Z2
= −jωL2
ω2L2C2 − 1=
ωL2
1− ω2L2C2
ejπ
2
mod (Z2) =
ωL2
1− ω2L2C2
Z2se ponaša kao reaktansa kalema u ovom opsegu. Iz ovog razmatranja zakljucujemo da se
Z1i Z
2ponašaju kao impendanse filtra visokih ucestanosti, jer je redna impendansa pretezno
kapacitivna, a otocna pretezno induktivna.
N =Z
1
4Z2
=(1− ω2L1C1)
2
4ω2L1C1
e−jπ =
(1− ω2L1C1
2ω√L1C1
)2
e−jπ (6.293)
Posmatrajmo drugi slucaj tj. opseg kada je ω2L1C1 − 1 = ω2L2C2 − 1 > 0 odnosno
ω >1√L1C1
=1√L2C2
= ωo
Ukupna redna impedansa ce biti
Z1=
ω2L1C1 − 1
ωC1
ejπ (6.294)
dok je njen moduo
mod [Z1] =
ω2L1C1 − 1
ωC1
> 0 (6.295)
i na osnovu relacije (6.295) vidimo da ima pretezno induktivni karakter. Ukupna otocna
impedansa ce biti jednaka
Z2=
ωL2
ω2L1C1 − 1e−j
π
2 (6.296)
262
a njen moduo
mod [Z2] =
ωL2
ω2L1C1 − 1(6.297)
ima pretezno kapacitivni karakter. Dakle u ovom opsegu radi isto kao filtar niskih ucestanosti.
Sada je
N =Z
1
4Z2
=(ω2L1C1 − 1)2
4ω2L2C1
ejπ =
(ω2L1C1 − 1
2ω√L2C1
)2
ejπ (6.298)
Uporeujuci relacije (6.298) i (6.293), mozemo napisati
N = mod [N ] =
(ω2L1C1 − 1
2ω√L2C1
)2
(6.299)
N = Ne±jπ (6.300)
Sada mozemo napraviti tablicu osnovnih relacija
Γc = 2 ln(√
1 +Ne±jπ +√Ne±jπ
)ZTc = R
√1 +Ne±jπ
ZΠ
c =R2
ZTc
N =
(ω2L1C1 − 1
2ω√L2C1
)2
L1C1 = L2C2 ωo =1√L1C1
(−) za ω < ωo (+) za ω > ωo
Analizirajmo Γc u opsegu 0 ≤ N ≤ 1. Tada je√1−N realno pa je karakteristicna funkcija
jednakaDakl
Γc = 2 ln(√
1−N ± j√N)= 2 ln
(1e±j arctan
√N
1−N
)= 0± j arctan
√N
1−N= Ac + jBc
(6.301)
Na osnovu relacije (6.301) vidimo da je:
Ac = 0
Bc = −2 arctan
√N
1−Nza ω < ωo
Bc = 2 arctan
√N
1−Nza ω > ωo
Pošto je Ac = 0 u pitanju je propusni opseg. Za N > 1 vidimo da je√1−N imaginarno pa
263
je karakteristicna funkcija
Γc = 2 ln(√
1 +Ne±jπ +√Ne±jπ
)= 2 ln
(√−e−jπejπ +Ne±jπ +
√Ne±jπ
)= 2 ln
(√N − 1 +
√N)± jπ = Ac + jBc
Ac = 2 ln(√
N − 1 +√N)
Bc = −π za ω < ωo
Bc = π za ω > ωo
Granica izmeu propusnog i nepropusnog opsega je N = 1
1 =
(ω2L1C1 − 1
2ω√L2C1
)2
ω2L1C1 − 1
2ω√L2C1
= ±1 =⇒ ω2L1C1 ± 2√L2C1ω − 1 = 0
ω =±√
L2C1 ±√L2C1 + L1C2
L1C1
ω =1√L1C1
(±√
L2
L1
+
√1 +
L2
L1
)
Od ova 4 rješenja biramo ono koja su pozitivna jer je ω realna fizicka velicina i dobijemo
ωc1=
1√L1C1
(−√
L2
L1
+
√1 +
L2
L1
)(6.302)
ωc2=
1√L1C1
(√L2
L1
+
√1 +
L2
L1
)
Relacije (6.302) i (??) predstavljaju kriticne ucestanosti filtra propusnika ucestanosti. Ako
obrazujemo njihov proizvod dobijamo
ωc1ωc2
=1
L1C1
(1 +
L2
L1
− L2
L1
)=
1
L1C1
= ω2
o(6.303)
ωo =√ωc1
ωc2(6.304)
264
Prema tome ωo lezi u intervalu
ωc1< ωo < ωc2
N = 0 ω = ωo
N = 1 ω = ωc1
N = 1 ω = ωc2
N = ∞ ω = 0
N = ∞ ω = ∞
propusniopseg
nepropusni opseg nepropusni opseg
0ω1cω
2cω0
N = ∞ 1N = 0N = 1N = N = ∞
ω
ponaša se kao filtarvisokih učestanosti (VF)
ponaša se kao filtarniskih učestanosti (NF)
Slika 6.236:
Za opseg 0 ≤ N ≤ 1 impedanse ce biti
ZTc = R
√1−N = RT
c
ZΠ
c =R2
ZTc
=R2
RTc
= RΠ
c
Za nepropusni opseg je N > 1 pa imamo
ZTc = R
√1 +Ne±jπ = R
√e−jπejπ +Ne±jπ = ±jR
√N − 1
za ω < ωo
ZTc = jXT
c
XTc = R
√N − 1
XΠ
c = − R2
XTc
XΠ
c > 0 ω < ωo
XΠ
c < 0 ω > ωo
Za ove filtare zadaju se R, ωc1, ωc2, a cetvrti parametar se dobija preko ova tri. Koristeci
ωo =√ωc1ωc2
265
ponaša se kao filtarvisokih učestanosti (VF)
ω1cω
π
cB
cA
0ω 2cω
cA
ponaša se kao filtarniskih učestanosti (NF)
π−
ponaša se kao filtarvisokih učestanosti (VF)
ω1cω
π
0ω 2cω
ponaša se kao filtarniskih učestanosti (NF)
π−
T
cX
cXΠ
cRΠ
TcR
cXΠ
T
cX
Slika 6.237:
dobijamo parametre
L1 =2R
ωc2− ωc1
C2 =2
(ωc2− ωc1
)R
C1 =ωc2
− ωc1
2Rωc1ωc2
"K"- filtar nepropusnik opsega ucestanosti
Ukupna redna impedansa jei otocna impedansa
Z1=
1
j(ωc1
− 1
ωL1
) = − jωL1
ω2L1C1 − 1(6.305)
266
1 /2L
2C
1 /2L
( )a ( )b
12C 12C2L
2
2
C2
2
C
22L22L
1C
1L
Slika 6.238: "K" - filtar nepropusnik opsega ucestanosti: (a) T - celija; (b) Π - celija
a ukupna otocna impedansa je
Z2= j
(ωL2 − 1
ωC2
)=
jω2L2C2 − 1
ωC2
(6.306)
Ako napravimo proizvodi
Z1Z2=
ω2L2C2 − 1
ω2L1C1 − 1
L1
C2
= R2 (6.307)
U relaciji (6.307) proizvod mora biti da bude konstantna vrijednost za "K"-filtar pa mora biti
ispunjen uslov
L1C1 = L2C2
ωo =1√L1C1
=1√L2C2
Posmatramo opseg ω2L1C1 − 1 = ω2L2C2 − 1 < 0 tj.
ω <1√L1C1
=1√L2C2
= ωo
Tada je
Z1= j
L1ω
1− ω2L1C1
=ωL1
1− L1C1ω2e−j
π
2
Za ovaj opseg takoe imamo
N =Z1
4Z2
=ω2L1C2
4 (1− L1C1ω2)ejπ (6.308)
ako oznacimo
N =
(ω√L1C2
2 (1− L1C1ω2)
)2
(6.309)
N = Nejπ (6.310)
267
Posmatrajmo slucaj opsega ω2L1C1 − 1 = ω2L2C2 − 1 > 0 uz uslov da je ω > ωo tada su
impedanse
Z1=
ωL1
ω2L1C1 − 1e−j
π
2 (6.311)
Relacija (6.311) predstavlja kapacitet kao kod V.F
Z2=
ω2L2C2 − 1
ωC2
ejπ
2 (6.312)
Relacija (6.312) predstavlja kalem kao kod V.F
N =Z1
4Z2
=ω2L1C2
4 (L1C1ω2 − 1)e−jπ =
(ω√L1C2
2 (ω2L1C1 − 1)
)2
(6.313)
N = Ne−jπ (6.314)
Tabela osnovnih relacija je
Γc = 2 ln(√
1 +Ne±jπ +√Ne±jπ
)N = Ne±jπ
N =
(ω√L1C2
2 (ω2L1C1 − 1)
)2
ZTc = R
√1 +Ne±jπ
ZΠ
c =R2
ZTc
R2 =L1
C2
(+) za ω < ωo (−) za ω > ωo
ωo =1√L1C1
L1C1 = L2C2
Analizirajmo slucaj kada je 0 ≤ N ≤ 1 odnosno kada je√1−N realna vrijednost. Karakter-
isticna funkcija je jednaka
Γc = Ac + jBc
a na analogan nacin kao i za predhodni filtar dobijamo
Ac = 0 (6.315)
Bc = 2 arctan
√N
1−Nza ω > ωo (6.316)
Bc = −2 arctan
√N
1−Nza ω < ωo (6.317)
268
Pošto je Ac = 0 (relacija (6.316)) zakljucujemo da se radi o propusnom opsegu. Posmatrajmo
opseg N > 1, tada je
Γc = Ac + jBc
Ac = 2 ln(√N − 1 +
√N) > 0 (6.318)
Bc = π za ω < ωo (6.319)
Bc = −π za ω < ωo (6.320)
Zakljucujemo (relacija (6.318))da je ovo nepropusni opseg jer je Ac > 0. Granica izmeu
propusnog opsegu i nepropusnog opsega je N = 1, pa kao relaciju (6.313) izjednacimo sa
jedinicom dobijamo
(ω√L1C2
2 (ω2L1C1 − 1)
)2
= 1 =⇒ ω√L1C2
2 (ω2L1C1 − 1)= ±1 (6.321)
odnosno
2L1C2ω2 ± ω
√L1C2 − 2 = 0 (6.322)
Ako relaciju (6.322) riješimo po ω dobijamo relaciju
ω =±√
L1C2 ±√16L1C1
4L1C1
(6.323)
iz koje vidimo da postoje 4 rješenja. Biramo samo ona rješenja za ω koja su fizicki realna za
ω > 0 i dobijamo
ωc1 =1
4√L1C1
(−√
C2
C1
+
√16 +
C2
C1
)(6.324)
ωc1 =1
4√L1C1
(√C2
C1
+
√16 +
C2
C1
)(6.325)
Relacije (6.324) i (6.325) predstavljaju kriticne ucestanosti filtra nepropusnika opsega. Ako
napravimo proizvod
ωc1ωc2 = · · · = ω2
o =⇒ ωo =√ωc1ωc2
tj
ωc1 < ωo < ωc2
Tablica:
269
N = 0 ω = 0
N = 0 ω = ∞N = ∞ ω = ωo
N = 1 ω = ωc1
N = 1 ω = ωc2
propusniopseg
nepropusni opseg
0ω1cω
2cω0
1N =0N = 1N =N = ∞
ω
propusniopseg
0N =
ponaša se kao filtarvisokih učestanosti (VF)
ponaša se kao filtarniskih učestanosti (NF)
Slika 6.239:
I za ovaj filtar zadaju se tri nezavisna parametra R, ωc1, ωc2
a odavde se dobijaju elementi
filtra
C1 =1
2R (ωc2− ωc1
)
L1 =2R (ωc2
− ωc1)
ωc2ωc1
C2 =2 (ωc2
− ωc1)
Rωc2ωc1
Opšte:"K"-filtri imaju samo teorijski ali ne i inzinjerski znacaj iz dva razloga. Prvi razlog
je što su u pitanju idealni elementi R, L, C, a u stvarnosti se javljaju parazitne kapacitivnosti
i induktivnosti. Drugi razlog je što je ZT
cveoma slozena funkcija frekvencije pa bi vrlo teško
bilo prilagoavati R, L, C da bi se odredilo ZT
c. Dakle kombinacija L i C vrši raznu filtraciju
signala koja se zasniva na rezonantnim pojavama elektricnog i magnetnog polja, imaju ve-
liku primjenu u oblasti telekomunikacije. Filtri su elektricna kola koja ostvaruju odreenu
transformaciju ulaznog signala u frekventnoj ili vremenskoj oblasti. Operacija transformacije
signala sa filtarom se naziva filtracija. Svojstva filtara mogu biti opisana kako u vremenskom
domenu diferencijalnim jednacinama ili u frekventnom domenu pomocu frekventnih karakter-
istika. Filtri se mogu dijeliti po više osnova:
-prema propusnom opsegu (niske, visoke ucestanosti, propusnici i nepropusnici)
-prema obliku ulaznog signala: na analogne i na digitalne filtare
270
ponaša se kao filtarvisokih učestanosti (VF)
ω1cω
π
0ω 2cω
cA
ponaša se kao filtarniskih učestanosti (NF)
π−
ponaša se kao filtarvisokih učestanosti (VF)
ω1c
ω
π
0ω2c
ω
ponaša se kao filtarniskih učestanosti (NF)
π−
T
cX cXΠ
cRΠ
TcR
cXΠ T
cX
cA
cA
cA
cB
cB
cRΠ
TcR
Slika 6.240:
-prema karakteru: na pasivne i aktivne filtare, linearne i nelinearne, sa koncentrisanim i
rasporeenim parametrima. Teroija filtara se tretira u okviru sinteze elektricnih kola, a sinteza
ima dva dijela: aproksimaciju i teoriju razrade. Zato imamo podjele filtra prema aproksimaciji
na: Besselove filtre (funkcije) i Cebišeljeve filtre (polinomi).
Idealni filtar
Transmitansa napona
M(jω) =U
2(jω)
U1(jω)
= |M(jω)| e−jθ(ω)
ako je
|M(jω)| = K = const
θ (ω) = ωtk
U2(jω) = M(jω)U1(jω) = Ke−jθ(ω)U1(jω)
271
1U 2U
Slika 6.241: Idealni filtar
Prema pravilima za Furijeovu transformaciju, onda u frekventnom domenu imamo
U2(t) = KU1(t− tk)
tk =dθ(ω)
dω=
θ(ω)
ω
uslovi
|M(jω)| = k = const
θ (ω) = ωtk
Dakle pod ovim uslovima ulazni signal U1 prolazi kroz filtar bez izoblicenja uz pomjeranje
po osi za tk (vremesnko pomjeranje). Ako je još ispunjen uslov k = 1 u pitanju je idealni filtar
jer je U1 po modulu jednak U2
ANALIZA SLOZENIH
ELEKTRICNIH KOLA
7.1 Metode formiranja sistema jednacina elektricnih kola
Karakteristike elemenata zajedno sa K zakonima obrazuju izvorno jedan sis-
tem diferencijalno - integralnih jednacina cijim se rješavanjem uz date pocetne uslove odreuju
naponi u˜
i struje i∼
svih grana (elemenata). Kao središnji problem analize kola, potrebno je
svesti taj sistem na jedan sistem od minimalnog broja potrebnih i dovoljnih jednacina cije
rješenje odreuje svve napone i sve struje elemenata kola i ovaj sistem potom efektivno ri-
ješiti. Prema tome, analiza elektricnih kola (mreza) se, u krajnjoj liniji, svodi na dva osnovna
pitanja:
a) Formulisanje sistema jednacina cije rješenje odreuje sve napone i sve struje elemenata
i
b) Efektivno rješavanje ovih sistema jednacina
7.2 Sistemi jednacina promjenljivih grana
Svaka grana je definisana naponom i strujom. U opštem slucaju to su nepoznate velicine. Za
kolo od b grana imamo ukupan broj promjenljivih grana 2b (b− napona i b− struja). Polazeci
od osnovnih jednacina u kompleksnom domenu:
Kirhofov zakon za struje (KZN):
Q∼
I∼
= 0∼
A∼
I∼
= 0∼
ili I∼
= B∼
tj∼
(7.326)
Kirhofov zakon za napone (KZN):
272
273
B∼
U∼
= 0∼
iliU∼
= Q∼
tv∼
U∼
= A∼
tv∼
(7.327)
Karakteristike elemenata (KE):
U∼
+ Ug
∼
= Z∼
(I∼
+ Ig∼
)(7.328)
ili
I∼
+ Ig∼
= Y∼
(U∼
+ Ug
∼
)(7.329)
Jedan sistem promjenljivih grana dobijamo uzimajuci jednacine (7.326), (7.327) i (7.328):
Q∼
I∼
= 0∼
n jednacina
B∼
U∼
= 0∼
m jednacina
U∼
+ Ug∼
= Z∼
(I∼
+ Ig∼
)b jednacina
(7.330)
ukupno n+m+b = b+b = 2b jednacina. Drugi sistem jednacina promjenljivih grana dobijamo
ako uzmemo jednacine (7.326), (7.327) i (7.329):
Q∼
I∼
= 0∼
n jednacina
B∼
U∼
= 0∼
m jednacina
I∼
+ Ig∼
= Y∼
(U∼
+ Ug
∼
)b jednacina
(7.331)
7.3 Sistem jednacina struja grana
Ovaj sistem je moguce formirati ukoliko su grane strujno kontrolisane, tj. ukoliko postoji
impedansna matrica kola. Polazeci od jednacina (7.326) i (7.327)
Q∼
I∼
= 0∼
B∼
U∼
= 0∼
a iz jednacine (7.328) izrazimo matricu napona U∼
U∼
= Z∼
I∼
− Ug
∼
+ Z∼
Ig∼
(7.332)
274
i zamijenimo u jednacinu (7.327) dobijamo:
B∼
U∼
= B∼
(Z∼
I∼
− Ug
∼
+ Z∼
Ig∼
)= 0∼
B∼
Z∼
I∼
= B∼
(Ug
∼
− Z∼
Ig∼
)(7.333)
Jednacina (7.333) zajedno sa jednacinama KZS formira sistem od b− jednacina
Q∼
I∼
= 0∼
n jednacina
B∼
Z∼
I∼
= B∼
(Ug
∼
− Z∼
Ig∼
)m jednacina
(7.334)
znaci ukupno n+m = b jednacina. Sistem (7.334) se moze kompaktno zapisati
⎡⎣ Q
∼
B∼
Z∼
⎤⎦
︸ ︷︷ ︸I∼
N∼
=
⎡⎣ 0
∼
Ug
∼
− Z∼
Ig∼
⎤⎦
︸ ︷︷ ︸vgekv∼
(7.335)
gdje se kao promjenljive javljaju samo struje grana. Rješavanjem sistema (7.335) po strujama
grna dobijamo
I∼
= N∼
−1vgekv∼
(7.336)
Zamjenom relacije (7.336) u relaciju (7.332) mozemo odrediti i napone grana. N:
Kvadratna matrica N∼
je regularna jer se po njenim vrstama javljaju vrste matrice nezavisnih
presjeka Q∼
i nezavisnih kontura B∼
koje su linearno nezavisne.
7.4 Sistem jednacina napona grana
Ovaj sistem je moguce formirati u slucaju kada su grane naponski kontrolisane, tj. ukoliko
postoji admitansna matrica kola. Polazimo od KZS i KZN u osnovnom obliku
Q∼
I∼
= 0∼
B∼
U∼
= 0∼
i jednacine grana I∼
+ Ig∼
= Y∼
(U∼
+ Ug∼
)pomocu koje izrazimo matricu struja I
∼
u obliku
I∼
= Y∼
U∼
− Ig∼
+ Y∼
Ug∼
(7.337)
275
Zamjenom jednacine (7.337) u jednacinu (7.326) imamo
Q∼
I∼
= Q∼
(Y∼
U∼
− Ig∼
+ Y∼
Ug∼
)= 0∼
Q∼
Y∼
U∼
= Q∼
(Ig∼
− Y∼
Ug∼
)(7.338)
Jednacina (7.338) zajedno sa KZN formira sistem jednacina oblika
Q∼
Y∼
U∼
= Q∼
(Ig∼
− Y∼
Ug∼
)n jednacina
B∼
U∼
= 0∼
m jednacina(7.339)
znaci ukupno n+m = b jednacina. Sistem (7.339) se moze kompaktno zapisati
⎡⎣ Q
∼
Y∼
B∼
⎤⎦
︸ ︷︷ ︸U∼
M∼
=
⎡⎢⎣ Q
∼
(Ig∼
− Y∼
Ug∼
)
0∼
⎤⎥⎦
︸ ︷︷ ︸jgekv∼
(7.340)
tj.
M∼
U∼
= jgekv∼
(7.341)
sa
M∼
=
⎡⎣ Q
∼
Y∼
B∼
⎤⎦ ; jgekv
∼
=
⎡⎢⎣ Q
∼
(Ig∼
− Y∼
Ug∼
)
0∼
⎤⎥⎦
Rješavanjem sistema (7.341) po ovim naponima
U∼
= M∼
−1jgekv∼
(7.342)
i zamjenom dobijenog rješenja za U∼
u jednacinu (7.337) mozemo odrediti i struje grana.
Kvadratna matrica M∼
je regularna iz istih razloga kao matrica N∼
.
7.5 Sistemi jednacina nezavisno promjenljivih
Mada predhodna dva sistema: sistem jednacina struja grana i sistem jednacina napona grana,
rade sa redukovanim brojem jednacina b, umjesto 2b, njihova prakticna primjena nije narocito
pogodna jer se, uz matrice impedansi/admitansi kola zahtijeva i poznavanje matrica Q∼
i B∼
.
Dok je odreivanje matrice Q∼
( A∼
) relativno jednostavno, matrica B∼
se za slozena kola
teze nalazi, osim za planarne grafove. Pokazacemo da se broj nezavisnih jednacina, dovoljan
276
za potpuno rješavanje kola, moze još više smanjiti ako kao promjenljive velicine odaberemo
nezavisne struje ili nezavisne napone.
7.5.1 Sistem jednacina nezavisnih struja
Ovaj sistem se oslanja na sistem jednacina struja grana i stoga ga je moguce formirati ukoliko
su grane strujno kontrolisane, tj. ukoliko postoji impedansna matrica kola Z∼
. Jednacinu KZN
ovdje posmatramo u alternativnom obliku
I∼
= B∼
tj∼
(7.343)
gdje je j∼
- matrica kolona nezavisnih struja. Ako relaciju (7.343) zamijenimo u relaciju (7.333)
dobija se redukovani sistem oblika
B∼
Z∼
B∼
tj∼
= B∼
(Ug
∼
− Z∼
Ig∼
)(7.344)
gdje se kao promjenljive javljaju nezavisne struje. Dakle, dobili smo sistem od m nezavisnih
jednacina. Matricni proizvod
B∼
Z∼
B∼
t = Zm∼
kao rezultat daje novu kvadratnu matricu Zm∼
redam ciji clanovi imaju dimenziju impedanse.
ona se naziva matrica impedansi nezavisnih kontura. Matricni proizvod
B∼
(Ug
∼
− Z∼
Ig∼
)= Vg
∼
je matrica ekvivalentnih naponskih izvora nezavisnih kontura, pa se sistem nezavisnih struja
moze moze kompaktno zapisati
Zm∼
j∼
= Vg∼
(7.345)
Rješavanjem relacije (7.345) po j∼
dobijamo m jednacina oblika
j∼
= Z−1m∼
Vg∼
(7.346)
Struje grana odreujemo iz
I∼
= B∼
tj∼
a napone grana iz jednacina
U∼
= Z∼
I∼
+ Z∼
Ig∼
− Ug
∼
277
7.5.2 Sistem jednacina nezavisnih napona
Ovaj sistem jednacina se oslanja na sistem jednacina napona grana i stoga ga je moguce
formirati ukoliko su grane naponski kontrolisane, tj. ukoliko postoji admitansna matrica kola
Y∼
. Jednacine KZN ovdje posmatramo u alternativnom obliku
U∼
= Q∼
tv∼
(7.347)
gdje je v∼
matrica kolona nezavisnih napona. Ako relaciju (7.347) zamijenimo u relaciju (7.338)
dobija se redukovan sistem od n nezavisnih jednacina
Q∼
Y∼
Q∼
tv∼
= Q∼
(Ig∼
− Y∼
Ug
∼
)
gdje se kao promjenljive javljaju nezavisni naponi. Dakle, dobili smo sistem od n− nezavisnih
jednacina. Matricni proizvod
Q∼
Y∼
Q∼
t = Yn∼
kao rezultat daje novu kvadratnu matricu reda n ciji clanovi imaju dimenziju admitansi, Yn∼
- je matrica admitansi nezavisnih presjeka. Matricni proizvod Q∼
(Ig∼
− Y∼
Ug
∼
)ima dimenziju
struja: u pitanju je matrica ekvivalentnih strujnih izvora nezavisnih presjeka koju cemo
oznaciti sa Jg∼
Jg∼
= Q∼
(Ig∼
− Y∼
Ug
∼
)
pa se sistem jednacina nezavisnih napona moze kompaktno zapisati
Yn∼
v∼
= Jg∼
(7.348)
Rješavanje kola pomocu tog sistema daje nezavisne napone u obliku
v∼
= Y −1n∼
Jg∼
Naponi grana kola odreuju se prema relaciji
U∼
= Q∼
tv∼
a struje grana po relaciji
I∼
= Y∼
U∼
+ Y∼
Ug
∼
− Ig∼
278
Ako umjesto matrice nezavisnih presjeka Q∼
koristimo matricu cvorova A∼
KZS glasi A∼
I∼
= 0∼
odnosno alternatini oblik KZN U∼
= A∼
tv∼
dobijamo jednacine napona nezavisnih cvorova
(metoda napona cvorova)
A∼
Y∼
A∼
tv∼
= A∼
(Ig∼
− Y∼
Ug
∼
)(7.349)
7.6 Premještanje nezavisnih generatora
Jednacine nezavisnih struja i nezavisnih napona izvedene su iz K-ovih zakona i
karakteristika elemenata za standardne grane. Meutim, ako u kolu imamo “degenerisane”
grane (nestandardne grane) koje sadrze samo naponski i samo strujni generator onda vršimo
premještanje tih generatora kako bi obrazovali kolo sa samo standardnim granama. Na primjer
u kolu prema slici 7.242. postoje dvije nestandardne grane: jedna sa naponskim generatorom
ug a druga sa strujnim generatorom ig.
1R 1L 2R
3R
2C
3C
4Cgu gi
4
3
2
1
Slika 7.242: Kolo sa nestandardnim granama
Formiranje kola sastavljenog od samo standardnih grana vrši se na taj nacin što se naponski
generator “progura” kroz jedan od cvorova za koji je vezan, a strujni generator premjesti par-
alelnim vezivanjem sa granama s kojima obrazuje jednu konturu. Grane sa naponskim genera-
torom kao i grane sa strujnim generatorom zamijenimo sa njihovim unutrašnjim impedansama.
Tako dobijamo kolo sa svim standardnim granama prikazano na slici 7.243.
Sa slike 7.243. vidimo da smo dobili kolo koje ima jedan cvor i jednu konturu manje u
odnosu na polazno kolo. Naponi i struje ostalih grana nece se promijeniti jer se jednacine
pisane po Kirhofovim zakonima nijesu promijenile. Meutim, ako zelimo da primijenimo
metodu nezavisnih napona strujne generatore ne treba premještati vec se samo u matrici ad-
mitansi grana Y∼
za tu granu stavi nulta vrijednost admitanse. Premješta se samo naponski
279
1R 1L
2R
3R
2C3C
4C
gu
gi
4
3
2
1
gi
gu
gu
Slika 7.243: Kolo sa standardnim granama
generator. Isto tako, ako zelimo da primijenimo metodu nezavisnih struja, naponske genera-
tore ne treba premještati (“proguravati” kroz cvor) vec se samo u matrici impedansi grana Z∼
za tu granu stavi nulta vrijednost impedanse. Premješta se samo strujni generator.
7.7 Dualnost. Princip dualnosti
Sa pojmom dualnosti se srecemo u mnogim oblastima nauke i tehnike. Dva sistema (ili po-
jave) su dualni jedan drugom ako se, na neki nacin, moze uspostaviti obostrana veza izmeu
razlicitih velicina ili svojstava u oba sistema. U slucaju elekricnih kola, za dva kola N i N ′
(koja sadrze samo elemente sa dva kraja) kazemo da su dualna ako imaju isti broj grana i
ako u jednacinama kola svakom naponu ul kola N odgovara struja i′lkola N ′, svakoj struji il
odgovara napon u′
l, fluksu φl odgovara kolicina elektriciteta q′
la naelektrisanju ql fluks φ
′
l, što
simbolicki mozemo izraziti:
N ←→ N ′
ul ←→ i′l
il ←→ u′
l
φl ←→ q′
l
ql ←→ φ′
l
Kako pod jednacinama kola podrazumijevamo relacije koje odrazavaju zakonitosti povezivanja
(Ki-
rchhoff-ove zakone) i zakonitosti karakteristicne za elemente u kolu (karakteristike elemenata),
to znaci da ce dualna kola imati dualnu strukturu i da ce sadrzavati dualne komponente.
Dualnost ima svoju kvalitativnu i kvantitativnu stranu. Kvalitativna strana dualnosti odnosi
280
se na topološka svojstva kola koja izrazava graf kola.
7.7.1 Dualni grafovi
Dva grafa se nazivaju dualnim ako je matrica nezavisnih cvorova jednog iz njih A1
∼
jednaka
matrici nezavisnih kontura B2
∼
i obratno
A1
∼
= B2
∼
B1
∼
= A∼2
Iz ovih jednakosti proizilazi da dualni grafovi imaju jednak broj grana grafa. Osim toga,
cvorovi jednoga grafa odgovaraju konturama drugoga i obratno. Kvalitativna strana dualnosti
izrazava se sledecim dualnim topološkim svojstvima i pojmovima:
G ←→ P
S ←→ K-
K ←→ P (S)
O ←→ K
S ←→ P
N ←→ O
G ←→ D
R ←→ N
M ←→ M
Da bi formirali dualni graf zadatom grafu neophodno je:
1. Unutar svakog okca (nezavisne konture ciju površinu ne presijeca ni jedna grana grafa)
polaznog grafa postaviti cvor.
2. Jedan cvor (referentni) postaviti van površine grafa.
3. Zatim svaki par novih cvorova povezati granom, tako da ta grana sijece granu polaznog
grafa.
4. Orjentaciju grana novoga grafa vršimo saglasno sa sledecom slikom.
Na slici 7.244. prikazana je jedna kontura µ polaznog grafa, cvor i grane dualnog grafa.
Grane i cvorovi dualnog grafa imaju indeks d. Ako se orjentacija grane polaznog grafa poklapa
281
d2
µ
d1
d3
d4
d(1 )
3
2
1
4
Slika 7.244:
sa orjentacijom obilaska konture µ orjentacija odgovarajuce grane dualnog grafa je od cvora
u toj konturi. Ako je ta orjentacija suprotna - orjentacija dualne grane je ka tom cvoru.
Primjer 1: Dat je graf prema slici 7.245. Nacrtati dualni graf.
2
4 3
5
76
1
1
2
3
4
5
Slika 7.245:
U skladu sa izlozenim pravilima crtanja dualnog grafa, dualni graf dat je isprekidanim
linijama i prikazan je na slici 7.246.
Bilo kom stablu polaznog grafa odgovara ko-stablo dualnog grafa. Granama kontura (pres-
jeka) polaznog grafa odgovaraju grane presjeka (kontura) dualnog grafa. Rednom vezivanju
grana polaznog grafa odgovara paralelna veza dualnih grana i obratno. Iz pravila formi-
ranja dualnog grafa moguce je izvuci zakljucak da se dualni graf ne moze uvijek formirati za
proizvoljni polazni graf. Dualni graf se moze formirati samo za planarne grafove tj. grafove
koji se mogu razviti na površini bez presijecanja grana. Svi grafovi su planarni ako ne sadrze
jednu od dvije strukture prikazane na slici 7.247.
Kvantitativna strana dualnosti vezana je za karakteristike elemenata. Ova strana dualnosti
izrazava se dualnim velicinama i jednacinama:
282
d1
d2
d3
d4
d5
d7d
6
d1
d2
d3
d4
Slika 7.246:
Slika 7.247:
283
N ←→ S
K ←→ M
O ←→ P
I ←→ K
I ←→ A
R ←→ S
N ←→ S
K (KZS) ←→ K (KZN)
N ←→ N
N ←→ S
J ←→ J
Elementi sa jednim pristupom nazivaju se dualnim ako je zavisnost napona u(i) jednoga
elementa ista kao zavisnost i(u) drugoga i obratno. Na primjer, dualne relacije su:
u = Ri i = Gu
uL = LdiL
dtiC = C duC
dt
iL = 1
L
t∫
−∞
uL(τ)dτ uC = 1
C
t∫
−∞
iC(τ)dτ
Dvije šeme elektricnih kola, koje sadrze elemente sa jednim pristupom nazivaju se dualnim,
ako one imaju dualne grafove i svakom elementu jedne šeme odgovara dualni element druge.
Primjer 2: Dato je elektricno kolo prema šemi na slici 7.248. Nacrtati dualno kolo.
Pri formiranju dualne šeme, prvo se formira dualni graf i svaki element zadate šeme za-
mjenjuje se dualnim elementom. Pri crtanju dualnog grafa svaki element (E, J, R, L, C)
treba posmatrati kao posebnu granu (slika 7.249).
Osnovnim svojstvom dualnih šema jeste poklapanje jednacina, sastavljenih po KZS (KZN)
jedne šeme s jednacinama sastavljenim po KZN (KZS) druge šeme. Uopštenije jednacine
nezavisnih struja (napona) jednog kola poklapaju se sa jednacinama nezavisnih napona (struja)
drugoga kola.
Primjer 3: Dato je kolo prema šemi na slici 7.250. Nacrtati dualno kolo.
Primjer 4: Dato je kolo prema šemi na slici 7.252. Nacrtati dualno kolo.
Pri usklaivanju orjentacija naponskih i strujnih generatora dualnih šema rukovodimo se
sledecim pravilom: ako se referentna orjentacija naponskog generatora poklapa sa referentnom
284
1 2
3
1i 2i 4i
3i
1e 4J
4R2L
1R 3R3C
Slika 7.248:
1u1 1=J e1 1=G R
3u
3 3=CL3 3=G R 4 4=E J
4 4=G R2 2=C Ld1
d2
d3
d4
2u 4u
Slika 7.249:
d1
d2
d3
Vgu
1R 2R
L
C
Agi
=0t1
2
Slika 7.250:
285
AguVgi
=0t
C
L2G1G
d3
d1
d2
Slika 7.251:
( )e t R L C
d1
d2
Slika 7.252:
( )i t G ′ C ′ L ′
d1
d2
Slika 7.253:
286
orjentacijom konture (u smjeru kazaljke na satu) onda struja strujnog generatora u dualnoj
šemi usmjerena je ka cvoru koji odgovara datoj konturi u polaznoj šemi. Pojam dualnosti
i princip dualnosti je od velike vaznosti u teoriji elektricnih kola. Na osnovu njega, ako
poznajemo odzive jednog kola, mozemo odmah napisati i izraze za odzive njemu dualnog kola.
7.8 Analiza slozenih elektricnih kola u vremenskom domenu
Posmatrajmo kolo sa c cvorova i b grana. Osnovne jednacine kola se, u matricnoj formulaciji
mogu zapisati kao:
KZS: A∼
i∼
(t) = 0∼
ili i∼
(t) = B∼
tj∼
(t) (7.350)
KZN: B∼
u∼
(t) = 0∼
ili u∼
(t) = A∼
tv∼
(t) (7.351)
KE: F∼
[u∼
(t), Du∼
(t), i∼
(t),D i∼
(t), e∼
(t)]= 0 (7.352)
gdje su u∼
(t) i i∼
(t) matrice kolone (vektori) napona i struja grana:
u∼
(t) = [u1(t), u2(t), ..., ub(t)]t
i∼
(t) = [i1(t), i2(t), ..., ib(t)]t
A∼
(t) i B∼
(t) su matrice nezavisnih presjeka i nezavisnih kontura, v∼
(t) i j∼
(t) su vektori
nezavisnih napona i nezavisnih struja:
v∼
(t) = [v1(t), v2(t), ..., vb(t)]t , n = c− 1
j∼
(t) = [j1(t), j2(t), ..., jb(t)]t , m = b− n
Clan e∼
(t) je vektor nezavisnih izvora u granama:
e∼
(t) = [e1(t), e2(t), ..., eb(t)]t
Ako grana l ne sadrzi nezavisni izvor tada je el(t) = 0. Matrica F∼
iskazuje vezu napona i
struja grana, dok D oznacava operator izvoda po vremenu posmatrane funkcije. Matrica F∼
se
moze razloziti na operatorske submatrice nad vektorima napona i struja grana i na submatricu
nezavisnih izvora u granama u obliku:(N0
∼
+N1
∼
D
)i∼
(t) +
(M0
∼
+M1
∼
D
)u∼
(t) = e∼
(t) (7.353)
287
gdje su: N0
∼
, M0
∼
, N1
∼
, M1
∼
kvadratne matrice reda b koeficijenata mreze vezane za krajeve
nezavisnih izvora. Relacija (7.353) se moze, kompaktnije zapisati kao:
N∼
(D) i∼
(t) +M∼
(D)u∼
(t) = e∼
(t) (7.354)
gdje je: N∼
(D) =
(N0
∼
+N1
∼
D
)i M∼
(D) =
(M0
∼
+M1
∼
D
). Sistem jednacina (7.350) - (7.353)
se moze prikazati u jedinstvenoj matricnoj formi:
b b
n
m
b
⎡⎢⎢⎢⎣
A∼
0∼
0∼
B∼
N∼
(D) M∼
(D)
⎤⎥⎥⎥⎦⎡⎣ i∼
(t)
u∼
(t)
⎤⎦ =
⎡⎢⎢⎢⎣
0∼
0∼
e∼
(t)
⎤⎥⎥⎥⎦ (7.355)
Matrice: N0
∼
, M0
∼
, N1
∼
, M1
∼
su rijetke, slabo-popunjene matrice (matrice sa mnogo nultih el-
emenata - S M). Ako kolo ne sadrzi elemente sa više pristupa, što znaci da
grane nijesu spregnute, ove matrice su dijagonalne. Dalje, diferencijalna veza u− i (a time
i submatrice N1
∼
, M1
∼
) postoji samo ako kolo sadrzi dinamicke elemente: kalemove i konden-
zatore. Takoe, ne moze grana biti opisana obostranom diferencijalnom vezom napon-struja
i struja-napon.
Formiranje matrice nezavisnih presjeka A∼
(u ovom slucaju radi se o presjecima koji odgo-
varaju cvornim snopovima) je jednostavno: inspekcijom se direktno odreuje incidencija grana
i cvorova matrice A∼
jer je u tom slucaju matrica cvorna. Nasuprot tome, odreivanje matrice
nezavisnih kontura B∼
, nije jednostavno u slucaju neplanarnih grafova. Stoga se umjesto KZN
u obliku B∼
u∼
= 0∼
, radije koristi alternativni oblik KZN: u∼
(t) = At
∼
v∼
(t) pa koristimo sledeci
polazni sistem jednacina za rješavanje elektricnih kola:
A∼
i∼
(t) = 0∼
u∼
(t) = A∼
tv(t)(N0
∼
+N1
∼
D
)i∼
(t) +
(M0
∼
+M1
∼
D
)u∼
(t) = e∼
(t)
ili u matricnom obliku jedinstvenog sistema jednacina:
288
b b n
n
b
b
⎡⎢⎢⎢⎣
A∼
0∼
0∼
0∼
1b∼
−A∼
t
N∼
(D) M∼
(D) 0∼
⎤⎥⎥⎥⎦
︸ ︷︷ ︸T∼
(D)
⎡⎢⎢⎢⎣
i∼
(t)
u∼
(t)
v∼
(t)
⎤⎥⎥⎥⎦
︸ ︷︷ ︸w∼
(t)
=
⎡⎢⎢⎢⎣
0∼
0∼
e∼
(t)
⎤⎥⎥⎥⎦
︸ ︷︷ ︸eg∼
(t)
(7.356)
gdje je sa T∼
(D) oznacena tablo matrica (T- ). Relaciju (7.356) mozemo zapisati
i krace kao:
T∼
(D)w∼
(t) = eg∼
(t)
Matrica T∼
(D) je kvadratna matrica reda 2b + n, w∼
(t) je vektor (matrica kolona 2b + n × 1)
promjenljivih: struje grana, napona grana i potencijali nezavisnih cvorova, eg∼
(t) je vektor
eksitacija.
Mada je tablo matrica nešto višeg reda nego osnovni sistem jednacina (2b + n jednacina
umjesto 2b) koristi se u opštoj analizi elektricnih kola, jer, slicno modelu stanja, daje potpunu
sliku o ponašanju cijelog kola, odjednom, a ne samo za pojedine promjenljive, kao što je
slucj svoenja na jednu diferencijalnu jednacinu odziva. Tablo analiza je opšteg znacaja i
moze se primijeniti na linearna i nelinearna, vremenski invarijantna i vremenski promjenljiva
kola. Napomenimo da prakticna primjena tablo matrice ima smisla pretezno u analizi kola
primjenom racunara.
Primjer: Za kolo prikazano na slici 7.254. odrediti minimalni skup nezavisnih jednacina
oblika datih relacijama (7.355).
gigu3C
4R 5L
1µ
1
2i1i 3i
4i 5i3 2
(0)
2µ
Slika 7.254:
Rješenje:
Osnovne jednacine kola (7.350) - (7.353) u razvijenoj formi su:
289
KZS 1: i1 +i4 = 0
2: i2 −i5 = 0
3: i3 −i4 + i5 = 0
KZN µ1: u1 −u3 − u4 = 0
µ2: u2 −u3 +u5 = 0
KE: u1 = ug
−i2 = ig
−i3 +C3Du3 = 0
R4i4 −u4 = 0
L5Di5 −u5 = 0
To je trazeni (sistem) skup jednacina, gdje se prepoznaju matrice: A∼
, B∼
,N∼
(D) =
(N0
∼
+N1
∼
D
),
M∼
(D) =
(M0
∼
+M1
∼
D
).
A∼
=
⎡⎢⎣ 1 0 0 −1 0
0 1 0 0 −1
0 0 1 −1 1
⎤⎥⎦ ; B
∼
=
[1 0 −1 −1 0
0 1 −1 0 1
]
N0
∼
=
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
0
−1 0∼
−1
0∼
R4
0
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦; M0
∼
=
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
1
0 0∼
0
0∼
−1
−1
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
N1
∼
=
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
0
0 0∼
0
0∼
0
R5
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦; M1
∼
=
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
0
0 0∼
C3
0∼
0
0
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
i∼
(t) =
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
i1
i2
i3
i4
i5
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ ; u
∼
(t) =
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
u1
u2
u3
u4
u5
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ ; e
∼
(t) =
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
ug
ig
0
0
0
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
290
Za formiranje T-M dat relacijom (7.356) koristicemo vec dobijene rezultate za
KZS i KE, a pišemo nove jednacine KZN i uvodimo matricu napona cvorova v∼
(t).
KZN: u1 −v1 = ug
u2 −v2 = ig
u3 −v3 = 0
u4 −v1 +v4 = 0
u5 +v2 −v3 = 0
što je ekvivalentno sa u∼
(t) = At
∼
v∼
(t).
At
∼
=
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
1 0 0
0 1 0
0 0 1
1 0 −1
0 −1 1
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ ; v
∼
(t) =
⎡⎢⎣ v1
v2
v3
⎤⎥⎦
7.9 Metod nezavisnih struja. Operatorski oblik u vre-
menskom domenu uzimajuci u obzir i pocetne uslove
Osnovne relacije:KZS: A
∼
i∼
(t) = 0∼
ili i∼
(t) = B∼
tj∼
(t)
KZN: B∼
u∼
(t) = 0∼
ili u∼
(t) = A∼
tv∼
(t)
KZE:
u∼
(t) + ug∼
(t) = Z∼
(D)
[i∼
(t) + ig∼
(t)
]i∼
(t) + ig∼
(t) = Y∼
(D)
[u∼
(t) + ug∼
(t)
]gdje su Z
∼
(D) i Y∼
(D) matrice operatorskih impedansi i admitansi grana. Ove matrice su
kvadratne matrice reda b×b. Ako kolo ne sadrzi induktivno spregnute elemente ili kontrolisaen
izvore onda su ove matrice dijagonalne matrice. Elementi ovih matrica povezuju napone i
291
struje k-te grane ili obratno:
uk(t) =
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
Rkik(t);
Lkdik(t)
dt± ∑
l,k; l =k
Lkldil(t)dt
= LkDik ±∑
l,k; l =k
LklDil(t);
Sk
t∫0
ik(τ )dτ = SkD−1ik(t);
Sk ⇐⇒ 1
Ck;
ik(t) =
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
Gkuk(t);
Ckduk(t)dt
= CkDuk(t);
Γk
t∫0
uk(τ)dτ +∑
l,k; l =k
Γkl
t∫0
ul(τ )dτ = ΓkD−1uk(t) +
∑l,k; l =k
ΓklD−1ul(t);
Γk ⇐⇒ 1Lk;
Pocetni uslovi se mogu ukljuciti u matrice naponskih i strujnih nezavisnih generatora grana
prema sledecim ekvivalentnim šemama:
za kondenzator
C 0U
C
0 ( )U h tu u
i i
C 0 ( )CU tδu
i
Slika 7.255:
u(t) =1
C
t∫−∞
i(τ )dτ =1
C
0∫−∞
i(τ)dτ +1
C
t∫0
i(τ )dτ = U0h(t) +1
C
t∫0
i(τ)dτ
i(t) = −CU0
dh(t)
dt+ C
du(t)
dt= −CU0δ(t) + C
du(t)
dt
za kalem
i(t) =1
L
t∫−∞
u(τ)dτ =1
L
0∫−∞
u(τ)dτ +1
L
t∫0
u(τ )dτ =Φ0
Lh(t) +
1
L
t∫0
u(τ)dτ
i(t) = I0h(t) +1
L
t∫0
u(τ)dτ
292
L 0I
L
0 ( )LI tδ
u u
i i
C 0 ( )I h tu
i
Slika 7.256:
u(t) = −LI0dh(t)
dt+ L
di(t)
dt= −LI0δ(t) + L
di(t)
dt
Operatorske jednacine nezavisnih struja su:
B∼
Z∼
(D)B∼
tj∼
(t) = vg(t)∼
Zm∼
(D) = B∼
Z∼
(D)B∼
t
Zm∼
(D)j∼
(t) = vg∼
(t)
vg∼
(t) = B∼
[ug∼
(t)− Z∼
(D)ig∼
(t)
]Operatorske jednacine nezavisnih napona su:
A∼
Y∼
(D)A∼
tv∼
(t) = jg(t)∼
Yn∼
(D) = A∼
Y∼
(D)A∼
t
jg∼
(t) = A∼
[ig∼
(t)− Y∼
(D)ug∼
(t)
]
ODZIVI U ELEKTRICNIM KOLIMA
8.1 Klasicna metoda
"Klasicna metoda" najbolje opisuje fiziku kola. Posmatrajmo prosto kolo prikazano na slici
8.257.
( )gu t
( )Ru t ( )Lu t
R L
( )i t
( )Cu t
C
Slika 8.257: Redno RLC kolo
Odziv moze biti ili ig (t), uR(t), uL(t) ili uC(t).
ug (t) = uR(t) + uL(t) + uC(t)
ug (t) = Ri(t) + Ldi(t)
dt+
1
C
t∫0
i(τ )dτ (8.357)
Relacija (8.357) predstavlja jednacinu dinamicke ravnoteze kola prikazanog na slici 8.257. Ako
koristimo operator d/dt ≡ D i∫
dt ≡ D−1 tada mozemo pisati
ug (t) = Ri(t) + LDi(t) +1
CD−1i(t) (8.358)
Ako relaciju (8.358) diferenciramo po vremenu dobijamo
RDi(t) + LD2i(t) +i(t)
C= Dug (t)
293
294
(D2 +
R
LD +
1
LC
)i(t) =
1
LDug (t) (8.359)
što predstavlja operatorsku jednacinu ako je odziv struja i(t). Pošto je operator D na drugom
stepenu to je operatorska jednacina drugog stepena a to odgovara i broju dinamickih elemenata
u kolu (kalem i kondezator). Ako bi kao odziv trazili napon na otporniku uR (t) onda lijeva
strana ostaje ista (D2 +
R
LD +
1
LC
)uR (t) =
R
LDug (t)
jer je
uR (t) = i(t)R =⇒ i(t) =uR (t)
R
Ako je odziv na pon na kondenzatoru uC (t)(D2 +
R
LD +
1
LC
)uC (t) =
1
LCug (t)
jer je
i(t) = CduC (t)
dt= CDuC (t)
Kada bi odziv bio napon na kalemu uL (t) imali bi(D2 +
R
LD +
1
LC
)uL (t) = D2ug (t)
jer je
uL (t) = Ldi (t)
dt
Po klasicnoj metodi odziv y se za bilo koje kolo moze dobiti kao:
ardry
dtr+ ar−1
dr−1y
dtr−1+ ... + a1
dy
dt+ a0y = F (t) (8.360)
Najveci stepen ove diferencijalne jednacine predstavlja red kola. Svi koeficijenti ai (i = 1, 2, ..., r)
su realni i pozitivni i zavise od topologije i vrste parametara kola. Funkcija F (t) predstavlja
vremensku funkciju koja je odreena eksitacijama nezavisnih naponskih i strujnih generatora
u kolu. Po pravilu red kola jednak je broju dinamickih elemenata. Precizno je:
r = nL + nC (8.361)
gdje nL i nC predstavljaju broj kalemova i broj kondenzatora u kolu, respektivno. U slozenijim
kolima:
r = nL + nC − nEC − nJL (8.362)
295
gdje nEC predstavlja broj kontura koje se sastoje samo od naponskih generatora i kondenza-
tora a nJL predstavlja broj presjeka (snopova) koji se sastoje samo od strujnih generatora i
kalemova. Posmatrajmo slucaj tzv. kondenzatorske petlje (petlje koja sadrzi samo kondenza-
tore i eventualno, naponske generatore) kao na slici 8.258 (a). Kontura µ se sastoji samo od
naponskih generatora i kondenzatora. Po Kirhofovom zakonu za napone dobija se:
−ug5 + u1 − u2 + u3 − u4 = 0 (8.363)
Posmatrajuci relaciju (8.363) zakljucujemo da od cetiri napona na kondenzatorima samo su
1C
2C
3C
4C
R5gu µ
1u
2u
3u
4u
4gi
ν
1i
2i
3i
1L
2L
3L
( )a ( )b
Slika 8.258: (a) Kondenzatorska petlja. (b) Kalemski presjek
tri nezavisna. Svaka kontura koja sadrzi samo naponski generator i kondenzator smanjuje red
kola za jedan. Posmatrajmo sada slucaj tzv. kalemskog presjeka (presjeka koji sijece samo
kalemove i eventualno strujne generatore) kao na slici 8.258 (b). Presjek (snop) je površina
koja sijece samo grane sa kalemovima i strujnim generatorima. Po Kirhofovom zakonu za
struje:
−i1 + i2 − i3 − ig = 0. (8.364)
Iz relacije (8.364) je ocigledno da su samo dvije, od tri, struje nezavisne, pa svaka ovakva
jednacina smanjuje red kola za jedan. Red kola se naziva i stepen slozenosti kola, ili slozenost
kola. Uvodeci operator D ≡ d/dt (iz prakticnih razloga se podešava da je ar = 1, što se
uvijek moze uraditi), pa je:
A(D)y(t) = F (t) (8.365)
gdje je: A(D)− operatorski polinom, definisan kao:
A(D) = Dr + ar−1Dr−1 + ...+ a1D + a0 (8.366)
Primjer: Posmatrajmo kolo prikazano na slici 8.259. Jednacine kola su
296
Cu
Ru
Ci
Ri
( )gu t
( )gi t
R
C
Slika 8.259: RC kolo sa naponskim i strujnim generatorom
ig = iC + iR
ug = uC + uR
iC = CDuC
uR = −RiR
Ako nas interesuje napon na kondenzatoru kao odziv, dobija se:
(D +
1
RC
)uC =
1
RCug +
1
Cig
ako nas interesuje struje iC:
(D +
1
RC
)iC =
1
RCDug +
1
CDig
ako nas interesuje struja iR:
(D +
1
RC
)iR =
1
RDug +
1
RCig
Odnosno:
A(D)y(t) = Fy,e(t)
Funkcija F (t) zavisi i od odziva y i od ekscitacije e pa zbog toga imamo dva indeksa. Na
osnovu izlozenog moze se izvesti još jedan vazan zakljucak koji proizilazi iz osobina linearnih
kola i predstavlja princip superpozicije.
297
8.2 Princip superpozicije:
Pri djelovanju jednog ili više generatora u kolu, odziv u ma kojoj grani kola se moze odrediti
kao suma pojedinacnih odziva na svaku od ekscitacija, pri iskljucenim ostalim ekscitacijama.
Pri tome, ako se iskljucuje naponski izvor ug = 0 granu u kojoj se nalazi modelujemo kratkom
vezom, a ako se iskljucuje strujni izvor ig = 0 tada granu u kojoj se nalazi modelujemo
otvorenom vezom. Ako u kolu djeluje samo jedan generator, tada diferencijalna jednacina
(8.360) ima oblik:
(Dr+ar−1D
r−1 + · · ·+ a1D + a0)y(t) =
(btD
t + bt−1Dt−1 + · · ·+ b1D + b0
)e(t) (8.367)
Obicno je r = t. Relaciju (8.367) mozemo krace zapisati na sledeci nacin
A(D)y(t) = B(D)e(t) (8.368)
ili preciznije
A(D)y(t) = By,e(D)e(t) (8.369)
Polinom A(D) zavisi samo od topologije kola i vrste parametara, dok polinom B(D) zavisi od
odziva i ekscitacije kao i od topologije kola i vrste parametara (otuda i indeksi y i e). Jednacine
(8.368) i (8.369) kada u kolu postoji samo jedna ekscitacija, nazivaju se relacije ulaz-izlaz.
8.3 Specificnosti primjene teorije diferencijalnih jednacina
na linearna kola
Opšti princip rešavanja diferencijalnih jednacina, je da se odziv trazi kao:
y(t) = yh(t) + yp(t) (8.370)
gdje je yh(t) rešenje odgovarajuce homogene diferencijalne jednacine (to jest rešenje jednacine
A(D)yh(t) = 0), a yp(t) je prinudna komponenta odziva (partikularno rešenje, odnosno rešenje
jednacine A(D)yp(t) = B(D)e(t)). Posmatrajmo prvo homogenu diferencijalnu jednacinu u
obliku
A(D)y(t) = 0 (8.371)
Pošto je polinom A(D) stepena r to ova diferencijalna jednacina ima r nezavisnih rešenja
oblika y(t) = est. Uvrštavanjem ovog rešenja u relaciju (8.371) dobija se:
298
A(D)est = estA(s) = 0 (8.372)
gdje je A(s) jednako A(s) = sr + ar−1sr−1+ ...+ a1s+ a0 i naziva se karakteristicni polinom.
Da bi bilo ispunjeno A(s)est = 0, treba da je A(s) = 0, odnosno:
sr + ar−1sr−1 + ...+ a1s+ a0 = 0 (8.373)
Relacija (8.373) predstavlja karakteristicnu jednacinu sistema. Koeficijenti ai (i = 1, 2, ..., r),
i kod karakteristicnog polinoma i kod karakteristicne jednacine su realni pozitivni brojevi.
Pošto je karakteristicna jednacina r-tog stepena, to imamo r realnih rešenja jednacine. Nule
(rešenja) karakteristicne jednacine nazivaju se sopstvene ucestanosti kola oblika sk = σk+ jωk
za k = 0, 1, 2, ..., r. Rešenja diferencijalne jednacine dobijena preko sopstvenih ucestanosti
oblika
y = est (8.374)
nazivamo sopstvenim odzivom, ili odzivom usled akumulisane energije (pocetnih uslova). U
ovom slucaju ekscitacije su jednake nuli i tada rješavamo homogenu diferencijalnu jednacinu.
Ukoliko je karakteristicna jednacina jednaka
sr + ar−1sr−1 + ...+ a1s+ a0 = 0
mozemo razlikovati sledeca dva slucaja:
1. Svi korjeni su prosti i meusobno razliciti
s1 = s2 = ... = sr
Linearno nezavisna rješenja su
yh1(t) = es1t, yh2(t) = es2t, . . . , yhr(t) = esrt
a ukupno rješenje homogenog dijela jednako je linearnoj kombinaciji ovih clanova
yh(t) =r∑
i=1
K(i)esit (8.375)
Integralne konstante K(i) odreuju se iz pocetnih uslova (struje u kalemu i naponi na kon-
denzatorima). Karakter integralnih konstanti isti je kao i karakter korjena karakteristicne
jednacine. Ako je karakter rešenja sk = σk+ jωk tada se oni obavezno javljaju u konjugovano
kompleksnom paru s∗k = σk − jωk, pa se i integralne konstante javljaju kao konjugovano
kompleksni par K(i) i K∗(i).
299
2. Ako se javljaju višestruki korjeni, to jest:
s1 = s2 = ... = sp
sp+1 = sp+2 = ... = sr
gdje je p višestrukost rešenja. U ovom slucaju rešenje (odziv) diferencijalne jednacine se
trazi u obliku
yhp(t) =(K(1) + tK(2) + · · ·+ t(p−1)K(p)
)es1t
yh0(t) =r∑
i=p+1
K(i)esit (8.376)
Tada je ukupno rešenje
yh(t) = yhv(t) + yh0(t) (8.377)
Sada treba naci prinudnu komponentu odziva. U teoriji diferencijalnih jednacina primijenjenoj
na teoriju elektricnih kola ova komponenta se uvijek trazi u obliku ekscitacije (pobude) u kolu.
U sledecoj tabeli su dati najceši oblici eksitacija i odzivi na te eksitacije.
f(t)− funkcija pobude yp(t)− prinudni odziv
k A
t At+B
t2 At2 +Bt+ C
eat Aeat (a = si)
sin bt, cos bt A sin bt +B cos bt
eat sin bt, eat cos bt eat(A sin bt+B cos bt)
U slucaju da je a koje se javlja takvo da je ono jednako nekom korijenu karakteristicne
jednacine tada se rešenje trazi u obliku:
yp(t) = tpKeat (8.378)
gdje je p višestrukost korjena a konstanta K je jednaka
K =B(a)
A(p)(a)
300
8.4 Sopstveni odziv
Sopstveni odziv je odziv usled akumulisane energije. Nastaje u kolima sa akumulisanom
energijom. Obiljezava se sa y0(t), a opisan je diferncijalnom jednacinom:
A(D)y0(t) = 0 (8.379)
U relaciji (8.379) y0(t) = y0h(t) je opšte rešenje (oblika eksponencijalne funkcije) i dobija
se kao linearna kombinacija nezavisnih rešenja karakteristicne jednacine. Integralne konstante
se odreuju iz nezavisnih pocetnih uslova (koji se još nazivaju stvarnim pocetnim uslovima),
a to su: uCk(0−) = U0k− napon na kondezatoru kao ekvivalent akumulisane elektricne en-
ergije, iLj(0−) = I0j− struje kroz kalem kao ekvivalent akumulisane magnetne energije,
w0C = 12CkU
20k− pocetna akumulisana energija u kondenzatoru, w0L = 1
2LjI
20j− pocetna
akumulisana magnetna energija u kalemu. Za odreivanje r konstanti, koje se odnose na
trazeni odziv, k(i) i = 1, 2, ..., r potrebno je r nezavisnih jednacina koje povezuju ove kon-
stante sa stvarnim pocetnim uslovima. Te relacije nazivaju se izvedeni pocetni uslovi i opisane
su vrijednostima promjenljivih koje posmatramo i svih (r− 1) izvoda po vremenu u trenutku
t = 0+, to jest:
y(0+), y′(0+), y′′(0+), ..., y(r−1)(0+)
Dakle da bi riješili diferencijalnu jednacinu A(D)y0(t) = 0 kola reda r, potrebno je r neza-
visnih pocetnih uslova. Zakljucak : Broj nezavisnih pocetnih uslova potrebnih za jednoz-
nacno rešavanje diferencijalne jednacine jednak je najvišem stepenu karakteristicne jednacine,
odnosno broju integralnih konstanti odnosno redu slozenosti kola.
8.5 Komutacija
Komutacija znaci ukljucivanje ili iskljucivanje jedne ili više grana u kolu, to jest podrazumujeva
se skokovita promjena nekog od parametara u kolu. Razlikuje su regularna i neregularna
komutacija. Regularna komutacija je ona za koju vaze zakoni komutacije, a to znaci da napon
na kondenzatoru i struja u kalemu ne mogu imati skokovite promjene, to jest:
uC(0−) = uC(0+)
iL(0−) = iL(0+)
Dvije predhodne jednacine predstavljaju zakone o neprekidnosti napona na kondezatoru i
struje u kalemu, i nazivaju se zakoni komutacije. Zakon neprekidnosti napona kondenzatora
vazi ako je struja kondenzatora ogranicena, a zakon neprekidnosti struje kalema vezi ako je
301
napon kalema ogranicen. Ako ovi uslovi nijesu ispunjeni tada je rijec o neregularnoj komutaciji.
Primjer: Posmatrajmo prosto kolo prikazano na slici 8.260. Diferencijalna jednacina po
( )Cu t
Ci
GiG
0,C U
Slika 8.260: Odreivanje sopstvenog odziva u prostom GC kolu
naponu kondenzatora je
A(D)uC(t) = 0
Operatorski polinom je jednak
A(D) = D +G
C
dok je karakteristicni polinom jednak
A(s) = s+G
C
Korjeni karakteristicnog polinoma se dobijaju kada je A(s) = 0 i u ovom slucaju imamo
s+G
C= 0 (8.380)
Relacija (8.380) se naziva karakteristicna jednacina i ona ima jedan korijen i to realni koji je
jednak s = −G
C. Tada je rješenje oblika
uCh(t) = K1es1t = Ke−
G
Ct (8.381)
Pocetni uslov je: uC(0−) = uC(0+) = U0 i zamjenom u relaciju (8.381) slijedi da je K = U0.
Sada je odziv (sopstveni) jednak
uCh(t) = U0e−
G
Ct
Struja iC se moze dobiti kao iC = CDuc, a iC + iG = 0.
Primjer: Posmatrajmo kolo prikazano na slici 8.261. Imamo da je
A(D)iL(t) = 0
302
LiR
0I
L
Slika 8.261: Prosto RL kolo
A(s) = s+R
L
Korjeni karakteristicnog polinoma se dobijaju kada je A(s) = 0 i jednaki su
s = −R
L
Rješenje trazimo u obliku iL = Ke−R
Lt. Uz pocetni uslov iL(0−) = iL(0+) = I0 dobijamo
konstantu K koja je jednaka K = I0, pa je sopstveni odziv:
iLh(t) = I0e−
R
Lt
Primjer: Posmatrajmo kolo kao na slici 8.262. Ovakvo kolo se naziva i kolom bez gubitaka
jer nema rezistivne elemente. Jednacine kola su:
Cu 0,C U
Li
Ci
0,L I
Slika 8.262: LC kolo drugog reda
uL + uC = 0
iL = iC
uL = LDiL
iC = CDuC
Operatorska jednacina je:
303
A(D)y(t) = 0
gdje je:
A(D) = D2 +1
LC.
Karakteristicna jednacina:
A(s) = s2 +1
LC
s2 +1
LC= 0
s1/2 = ±jω0
ω0 =1√LC
.
Rešenje za y(t) se trazi u obliku (konjugovano kompleksni par polova):
y(t) = K1es1t +K2e
s2t = A cosω0t +B sinω0t
Ako odreujemo odziv kao y(t) = uC(t), tada imamo pocetne uslove:
uC (0+) = uC (0−
) = U0
iL (0+) = iL (0−) = I0
odnosno
uC(t) = A cosω0t+B sinω0t (8.382)
DuC(t) =1
CiC(t) =
1
CiL(t)
jer je iC(t) = iL(t). Ako u relaciju (8.382) stavimo t = 0 dobijamo da je uC (0+) = A odnosno
A = uC (0+) = U0
Diferencirajuci relaciju (8.382) dobijamo izraz
DuC(t) = −ω0A sinω0t+ ω0B cosω0t (8.383)
304
Zamjenom t = 0 u relaciju (8.383) imamo da je DuC(0+) = ω0B = 1
CI0, pa je
B =1
ω0CI0
Konacno se dobija:
uC(t) = U0 cosω0t +I0ω0C
sinω0t (8.384)
Relacija (8.384) predstavlja sopstveni odziv (odziv usled pocetne energije), a iz te relacije
preko veza sa uC moze se dobiti bilo koji sopstveni odziv u kolu.
Primjer: Posmatrajmo kolo kao na slici 8.263.Diferencijalna jednacina po jednoj (ma
Cu 0,C U
Li
0,L I
R
Slika 8.263: Uprošcen model kola sa realnim kalemom i kondenzatorom
kojoj) promjenljivoj je oblika
A(D)y(t) = 0
A(D) = D2 +R
LD +
1
LC
Karakteristicna jednacina:
A(s) = s2 +R
Ls+
1
LC(8.385)
Relaciju (8.385) mozemo napisati i u obliku
A(s) = s2 + a1s+ a0
Rješenje ove jednacine je:
s1/2 = − R
2L±√
R2
4L2− 1
LC= −a1
2±√
a214
− a0 (8.386)
gdje je
ω2
0 = a0 =1
LC
ucestanost neprigušenih oscilacija. Rješenja oblika (8.386) je moguce prikazati i u obliku
s1/2 = −α±√
α2 − ω20 (8.387)
305
gdje je: α = a1/2 = R/2L− ucestanost prigušenja. Ako izrazimo α = ξω0 gdje je ξ koeficijent
prigušenja koji je jednak
ξ =a1
2√a0
=R
2
√C
L. (8.388)
Uvodi se i faktor dobrote kalema pri ucestanosti ω0, kao:
QL0 =ω0L
R=
1
R
√L
C
pa se sada koeficijent prigušenja ξ odnosno ucestanost prigušenja α mogu izraziti kao:
ξ =1
2QL0
α =1
2
ω0
QL0
U zavisnosti od odnosa parametara razlikuju se tri slucaja za prosto RLC kolo:
1. α > ω0, tada su korjeni jednacine s1/2 = −α±√
α2 − ω20 realni i razliciti.
2. α = ω0, korjeni su realni i jednaki (dostruki).
3. α < ω0, korjeni su razliciti i u konjugovano-kompleksnom paru.
Razmotrimo posebno ove slucajeve:
1. Ako je α > ω0, korjeni karakteristicne jednacine su oblika s1/2 = −α ± β, gdje je
β =√α2 − ω2
0 < α. Rešenje se trazi u obliku:
y(t) = K1eσ1t +K2e
σ2t = e−αt(A coshβt+B sinh βt) (8.389)
Konkretno, za napon kondenzatora je
y(t) = e−αt(AC cosh βt +BC sinh βt)
uz pocetne uslove:
uC(0+) = uC(0−) = U0,
iL(0+) = iL(0−) = I0.
DuC(0+) =1
CiL(0+) =
1
CiL(0−) =
1
CI0
Ovakav rezim naziva se aperiodican rezim.
2. Ako je α = ω0, korjeni karakteristicne jednacine su dvostruki realni s1/2 = −α = −ω0.
Rješenje se trazi u obliku:
306
y(t) = (K1 + tK2)es1t = (K1 + tK2)e
σ1t (8.390)
gdje suK1 iK2 konstante koje se odreuju iz pocetnih uslova. Ovakav rezim naziva se kritican
rezim.
3. Ako je α < ω0 korjeni karakteristicne jednacine su konjugovano kompleksn oblika s1/2 =
−α± jω1, gdje je ω1 =√ω20 − α2. Rešenje se trazi u obliku:
y(t) = K1es1t +K2e
s2t = e−αt(A cosω1t+B sinω1t) = e−αtYm cos(ω1t + δ) (8.391)
Konstante A i B se odreuju iz pocetnih uslova. Ovaj rezim se naziva pseudoperiodican
rezim.
8.6 Opšti slucaj kola drugog reda
Na osnovu rezultata izvedenih u predhodnom poglavlju, zakljucimo da kola drugog reda, bez
eksitacija, sadrze dva nezavisna reaktivna (dinamicka) elementa i rezistivnu mrezu. Diferen-
cijalna jednacina odziva je oblika
(D2 + a1D + a0)y(t) = 0 (8.392)
sa (izvedenim) pocetnim uslovima
y(0+) = f1(0+); Dy(0+) = f2(0+) (8.393)
gdje su vrijednosti f1(0+) i f2(0+) izrazene stvarnim pocetnim uslovima uC(0+) i iL(0+).
Karakteristicni polinom:
A(s) = s2 + a1s+ a0 (8.394)
se moze pisati i u obliku
A(s) = s2 + 2αs+ ω20 = s2 +
ω0
Q0
s+ ω20
pri cemu je
307
ω0 =√a0
α =a12
= ξω0
ξ =a1
2√a0
Q0 =
√a0a1
=1
2ξ
gdje su: ω0− centralna ucestanost (ucestanost neprigušenih oscilacija), α− ucestanost prigušenja,
ξ− koeficijent prigušenja, Q0− faktor nula karakteristicnog polinoma (s1/2). Iz s1,2 = −α ±√α2 − ω2
0, se vidi da se, za sva tri slucaja, korjeni nalaze u lijevoj poluravni kompleksne
ravni. U granicnom slucaju oni mogu biti na imaginarnoj osi. Znaci karakteristicni polinom
je strogo Hurvicov polinom, a u granicnom slucaju imamo obican Hurvicov polinom. Korjeni
karakteristicnog polinoma su
s1,2 = −α±√α2 − ω2
0 (8.395)
pri cemu sopstvene ucestanosti mogu biti u jednom od tri oblika:
1. realne, razlicite, što je ispunjeno pri α > ω0
s1,2 = σ12 = −α± β (8.396)
2. realne, dvostruke, što je ispunjeno pri α = ω0
s1,2 = σ1 = −α = −ω0 (8.397)
3. konjugovano-kompleksne, što je ispunjeno pri α < ω0
s1,2 = σ1 ± jω1 = −α±√ω20 − α2 (8.398)
Odgovarajuci odzivi za slucajeve 1., 2. i 3., jesu aperiodican, kritican i pseudoperiodican,
respektivno. Pri tome, ako je kolo striktno pasivno (samo R elementi) tada je
Re s1,2 < 0 (8.399)
ako je kolo bez gubitaka (samo dinamicki L,C elementi), tada je
Res1/2
= 0 (8.400)
dok je u slucaju kada je
Res1/2
> 0 (8.401)
308
rijec o aktivnom kolu. Tada su korjeni s1,2 u desnoj poluravni kompleksne ravni. Razni
slucajevi, izrazeni relacijama (8.396)-(8.401) se mogu opisati i pomocu Q faktora kola, ili
pomocu koeficijenta prigušenja, ξ na analogan nacin. Na primjer, ako je 0 < Q0 > +∞, to
odgovara striktno pasivnom kolu, Q0 = +∞ se dobija za kolo bez gubitaka, a za aktivna kola
je Q0 < 0.
8.7 Osnovne osobine sopstvenog odziva
Sopstveni odziv (odziv usled akumulisane energije) posjeduje osobine linearnosti i vremenske
invarijantnosti, što je poledica takve prirode kola. Osobina linearnosti se moze iskazati na
sledeci nacin: Ako stvaran pocetni uslov, npr. uC1(0+) izaziva odziv y′
1(t), a pocetni uslov
uC2(0+) izaziva (u istoj grani) odziv y′
2(t), tada ce linearna kombinacija pocetnih uslova
K1uC1(0+)+K2uC2(0+) davati linearnu kombinaciju odziva na tom mjestu u obliku K1y1(t)+
K2y2(t) za t ≥ 0. Osobina vremenske invarijantnosti se naziva i osobinom nezavisnosti
odziva od momenta posmatranja pojave a vazi za vremenski nepromjenljiva kola. Ova se
osobina za sopstveni odziv moze iskazati na sledeci nacin: Ako neki pocetni uslov, na primjer
uC1(0+) = U0, izaziva odziv y1(t) za t ≥ 0, tada ce pocetni uslov uC1(t0) = U0, gdje je
t0 = 0+ izazvati odziv y2(t) za t ≥ 0 koji je identicnog oblika kao i y1(t) ali je pomjeren po
vremenskoj osi za t0, to jest: uC1(0+) = U0 odziv je y1(t) za t > 0 a uC1(t0) = U0 odziv je
y2(t) = y1(t − t0) za t ≥ 0. Ova se osobina naziva i osobinom stacionarnosti. Za rješavanje
kola proizvoljnog reda vazi sledece:
1. Ako kolo, pored rezistivnih, sadrzi reaktivne elemente koji su svi istog tipa (samo L ili
samo C), govorimo o tzv. RL ili RC kolima. Za striktno pasivna kola je, tada, sopstveni
rezim aperiodican, opadajuce amplitude, što je logican rezultat, jer energija kola opada.
Korjeni karakteristicne jednacine, si = σi + jωi su realni (ωi = 0), razliciti i na nega-
tivnom dijelu Re-ose, a odziv odgovara sumi odziva u kolima prvog reda. Odgovarajuci
faktor dobrote polova je 0 < Q0 < 1/2. Ako je rijec o kolu bez gubitaka, sopstvene
ucestanosti su na imaginarnoj osi u kompleksnoj s-ravni: si = jωi. Sopstveni rezim
je, tada, konstantne amplitude, jer energija kola ostaje nepromijenjena. Pri tome, ako
je ωi = 0, odziv je konstantan. To se dešava u kolima koja sadrze rezistivne elemente
bez gubitaka sa jednim pristupom i/ili idealne transformatore. Ako kolo sadrzi ziratore,
sopstveni rezim moze biti prostoperiodican (ωi = 0) iako u njemu postoji samo jedna
vrsta reaktivnih elemenata. Ako kolo sadrzi aktivne rezistivne elemente, sopstveni odziv
moze biti rastuce amplitude: korjeni karakteristicne jednacine mogu, tada, biti u desnoj
poluravni: σi > 0.
2. Ako kolo, pored rezistivnih, sadrzi oba tipa reaktivnih elemenata (RCL kolo), sopstveni
rezim se dobija kao kombinacija odziva za kola prvog i drugog reda. Za svaki od clanova
drugog reda moguc je jedan od tri slucaja (aperiodican, kritican ili pseudoperiodican),
309
zavisno od karaktera korijena posmatranog faktora koji je oblika si = −αi±√
α2i− ω2
0i,
tj. zavisno od odnosa ucestanosti prigušenja i centralne ucestanosti para polova, αi i
ω20i.
3. Za striktno pasivna kola korjeni karakteristicnog polinoma su uvijek u lijevoj poluravni
kompleksne ucestanosti s (za kola bez gubitaka su na ω osi) - karakteristicni polinom je
tzv. H-ov polinom. Kao posledica, slijedi da su svi koeficijenti karakteristicnog
polinoma (ar = 1, ar−1, . . . , a0) pozitivni. Ovo je korisna cinjenica jer olakšava provjeru
tacnosti formiranja diferencijalne jednacine. Naime, ako je kolo pasivno tada polinom
A(s) mora biti Hurwitz-ov, tako da pojabva nekog negativnog koeficijenta ai, oznacava
da smo negdje pogriješili pri sreivanju (ili postavljanju) polaznog sistema jednacina
(mada, ako su svi koeficijenti pozitivni, to ne mora znaciti i da je polinom A(s) tacan,
niti da je Hurwitz-ov)
4. Najzad, u dosadašnjim razmatranjima je koeficijent uz najveci izvod ar bio jednak je-
dinici. To naravno ne mora da bude ispunjenom ali je sa prakticnog stanovišta korisno
jer olakšava provjeru tacnosti koeficijenata ai. Naime, stavljanjem ar = 1 dimenzije
narednih koeficijenata moraju biti sledece: ar−1(=) ω (=) 1/RC (=) R/L (=) 1/√LC,
ar−2 (=) ω2,. . . , a1(0) ωr−1, a0 (=) ωr. gdje simbol (=) ima znacenje “dimenziono
jednako”, a velicine ω, R, L, C, takoe imaju dimenziona znacenja. Na ovaj nacin se,
provjerom izraza moze provjeriti tacnost (dimenziona) koeficijenata ai.
8.8 Odziv usled djelovanja generatora (odziv ukljucenja)
Odziv usled djelovanja generatora se definiše u kolu bez pocetne energije, odnosno, kada je
uCk(0−) = 0 i iLj(0−) = 0. Dakle, u elektricnom smislu mozemo da smatramo, da u pocetnom
trenutku kalem predstavlja prekid kola (jer je iL = 0), kondenzator kratak spoj (jer je napon
uC = 0). Odziv ukljucenja se definiše kada je kolo bez pocetne energije i kada djeluje jedna
ekscitacija proizvoljnog oblika. Diferencijalna jednacina po zeljenoj promjenljivoj je oblika
A(D)y(t) = Fy,e(t) = B(D)e(t) (8.402)
gdje je: Fy,e(t)− funkcija koja zavisi od odziva y(t) i ekscitacije e(t). U slucaju da djeluje više
ekscitacija primjenjuje se teorema superpozicije i odzivi se sabiraju. Rešenje diferencijalne
jednacine (8.402) trazimo u obliku
y(t) = yh(t) + yp(t) (8.403)
gdje je: yh(t)− rešenje homogene diferencijalne jednacine (opšte rešenje) A(D)y(t) = 0, yp(t)−prinudno (partikularno) rešenje. Rješenje homogenog dijela je odreeno korjenima karakter-
isticne jednacine i ima jedan od dva moguca oblika:
310
1. Ako su korjeni karakteristicnog polinoma A(s) prosti tj. slozenosti 1, rješenje je oblika
yh(t) =r∑
l=1
K(l)eslt (8.404)
2. Ako korjen s1 ima slozenost p a ostali su prosti rješenje je oblika
yh(t) =
[p∑
l=1
t(l−1)K(l)
]es1t +
r∑l=p+1
K(l)eslt (8.405)
dok je, u slucaju da je red operatorskog polinoma B(D) nizi od reda polinoma A(D),
partikularno rješenje (prinudni odziv) dato funkcijom istog oblika kao Fy,e(t), a to je sa druge
strane, odreeno eksitacijom
y(t) ∼ Fy,e(t) ∼ e(t)
gdje znak “∼” oznacava da je rijec o funkcijama iz iste klase. Napomena: Opšte rješenje
yh(t) diferencijalne jednacine oblika (8.402) trazi se kao A(D)yh(t) = 0 i ima isti oblik kao i
sopstveni odziv. Vremenska zavisnost, odnosno karakter tog rešenja isti je kao i kod sopstvenog
odziva, ali su razlicite integracione konstante. Kod sopstvenog odziva postoje pocetni uslovi
dok su u ovom slucaju oni jednaki nuli. Zbog toga, u slucaju odziva ukljucenja yh(t) imamo
drugacije rešenje i to nije sopstveni odziv. U ovom slucaju se yh(t) naziva sopstveni odziv
ukljucenja. Razlika je u tome što kod sopstvenog odziva ukljucenja integracione konstante
zavise od oblika ekscitacije.
Uveli smo pojam regularne komutacije, koja se odnosi na odziv ukljucenja i neregularnu ko-
mutaciju. Neregularna komutacija je posledica idealizacije R,L, C, jer u praksi, realni kalemi,
kondenzatori i otpornici nijesu ciste otpornosti, induktivnosti i kapacitativnosti, pa u praksi ne
postoji neregularna komutacija. Postavlja se pitanje kako ocijeniti neregularnu komutaciju?
Ako je polinom A(D) r− tog, a polinom B(D) t− tog reda tada:
1. Ako je r > t imamo regularnu komutaciju (funkcija kola je pravi razlomak).
2. Ako je r = t tada pri proizvoljnom odzivu imamo regularnu komutaciju, ali ako je odziv
struja u kalemu, ili napon na kondenzatoru, moze biti i neregularna komutacija.
3. Ako je r = t+ k gdje je k > 1 imamo neregularnu komutaciju.
Za prva dva slucaja odziv se trazi kao:
y(t) = z(t)h(t) (8.406)
gdje je h(t) Hevisajdova funkcija. Za treci slucaj odziv se trazi u obliku:
311
y(t) = z(t)h(t) +H1h′(t) + ...+Hkh
(k)(t) = z(t)h(t) +H1δ(t) + ... +Hkδ(k−1)(t) (8.407)
u kom je: h(t) Hevisajdova funkcija a δ(t) impulsna (delta) funkcija. Moze se pokazati da
ako je pobuda u vidu Hevisajdovog generatora a polinom A(D) višeg reda od polinoma B(D)
vrijednost izlazne promjenljive y(t) nepromjenljiva u trenutku komutacije
y(0+) = y(0−) (8.408)
Ukoliko je to ispunjeno za svaki napon kondenzatora i svaku struju kalema, komutacija ce biti
regularna. Rješenje (8.408) se moze zapisati i u obliku
y(t) = f(t)E =
0,
ϕ(t)E,
t < 0
t ≥ 0(8.409)
gdje je f(t) funkcija koja je karakterisana mrezom vezanom za krajeve nezavisnog genera-
tora (eksitacije), a ne zavisi od vrijednosti skoka eksitacije E. Ta se funkcija, stoga, naziva
funkcijom mreze a odreuje se kao kolicnik odziva y(t) i skoka (eksitacije) E
f(t) =y(t)
E=
0,
ϕ(t),
t < 0
t ≥ 0(8.410)
što se krace moze zapisati u obliku
f(t) = ϕ(t)h(t), ∀t (8.411)
U gornjim izrazima je ϕ(t) neprekidna funkcija vremena koja odrazava prirodu funkcije mreze.
Funkcija mreze je ovdje definisana za odziv na djelovanje Hevisajdovog generatora. Takva se
funkcija naziva i indicionom funkcijom ili jedinicnim odzivom, s obzirom da se moze
dobiti direktno iz polazne diferencijalne jednacine, ako djeluje eksitacija jedinicne amplitude
(E = 1). Pošto preko odziva na impulsnu i Hevisajdovu funkciju mozemo odrediti odziv na
proizvoljnu ekscitaciju, to je bitno odrediti odzive na ove dvije ekscitacije.
Primjer: Posmatrajmo kolo prema slici 8.264. Neka ug(t) = Uh(t) i uC(0−) = 0.
Odrediti:
(a) uC(t) =?
(b) iC(t) = i(t) =?
Diferencijalna jednacina odziva po naponu kondenzatora je
(D +
1
RC
)uC(t) =
1
RCug(t) =
1
RCUh(t)
312
( )gu t
( )i t R
Cu
Slika 8.264: RC kolo u kome djeluje Hevisajdov generator napona
Za t > 0, h(t) = 1, pa se dobija:
(D +
1
RC
)uC(t) =
U
RC(8.412)
Operatorski polinom A(D) = (D + 1/RC) je prvog reda r = 1. Operatorski polinom B(D) =
U/RC je nultog reda t = 0. Kako je r > t to je komutacija regularna. Sa druge strane,
struja iC(t) je ogranicena zbog R, pa je napon uC(t) neprekidan i na taj nacin zadovoljen je
zakon komutacije o neprekidnosti napona na kondenzatoru pa je i na ovaj nacin komutacija
regularna. Rešenje jednacine (8.412) trazimo u obliku:
uC(t) = Kes1t + uCp(t) (8.413)
gdje je uCp(t) prinudna komponenta. Karakteristicna jednacina:
s+1
RC= 0, s = − 1
RC
Dakle
uC(t) = Ke−t
RC + uCp(t)
Imamo da je uCp(t) = UCp = const tj. trazimo yp(t) u obliku konstante jer je F (t) = U/RC
takoe konstanta. Iz neprekidnosti napona kondenzatora uC(0+) = uC(0−) za t > 0 dobijamo
UCp = U = ug(t). Da bi odredili konstantu K zamjenjujemo pocetne uslove u relaciju (8.413)
uC(0+) = K + uCp(0+) = K + U
Kako je uC(0+) = 0 dobija se K = −U. Vidi se da konstanta K zavisi od oblika ekscitacije što
nije bio slucaj kod sopstvenog odziva. Konacno se dobija:
uC(t) = U(1−e−
t
RC
)h(t)
za ∀t, ili
313
uC(t) = U(1−e−
t
RC
)za t > 0
(b) I nacin
i(t) = CduC(t)
dt
i(t) = Cd
dt
[U(1−e−
t
RC
)h(t)
]
i(t) = C
[U
1
RCe−
t
RC h(t)+U(1−e−
t
RC
)δ(t)
]
i(t) =U
Re−
t
RC h(t) + 0δ(t)
Napomena: Impulsna funkcija definisana je samo za t = 0, a tada je U(1−e−
t
RC
)= 0.
II nacin:
(D +
1
RC
)i(t) =
1
RDug(t) =
1
RD Uh(t) =
U
Rδ(t)
Kada imamo impulsnu funkciju po pravilu (ima i izuzetaka) imamo neregularnu komutaciju,
to jest dolazi do promjene pocetnih uslova. Tada treba odrediti nove pocetne uslove, odnosno
odrediti i(0−
). Jedan od nacina je integracija operatorske jednacine na intervalu od 0−
do 0+
(D +
1
RC
)i(t)=
U
Rδ(t)
/0+∫0−
dt
i(t)|0+0−
+1
RC
0+∫0−
i(τ )dτ =U
R
0+∫0−
δ(t)dt
i(0+)− i(0−
) = U/R, a kako je i(0−
) = 0, dobija se:
i(0+) =U
R
Drugi nacin bi bio na osnovu sledece analize:
(D +
1
RC
)i(t) =
1
RDug(t)
Kako je stepen operatorskih polinoma jednak, a pošto trazimo struju kroz kondenzator (a
ne napon na kondenzatoru) tada je to proizvoljan odziv i zadrzavamo regularnu komutaciju.
Rješenje se trazi u obliku:
314
i(t) = z(t)h(t)
Di(t) = z′(t)h(t) + z(t)δ(t) = z′(t)h(t) + z(0+)δ(t)
Dakle imamo da je:
z′(t)h(t) + z(0+)δ(t) +1
RCz(t)h(t) =
U
Rδ(t)
Balansiranjem (izjednacavanjem koeficijenata uz h(t) i δ(t)) dobija se:
[z′(t) +
1
RCz(t)
]h(t) = 0
z(0+) =U
R
Sada imamo da riješimo homogenu diferencijalnu jednacinu:
z′(t) +1
RCz(t) = 0
uz izmijenjeni pocetni uslov z(0+) = U/R. Rešenje trazimo u obliku:
z(t) = Ke−t
RC
z(0+) = K =U
R
z(t) =U
Re−
t
RC
Tada je:
i(t) = z(t)h(t) =U
Re−
t
RC h(t)
za ∀t. Treci nacin bi bio da naemo neku relaciju sa pocetnim uslovima koji su poznati. U
ovom primjeru to je relacija:
ug(t) = Ri(t) + uC(t)
i(t) =1
R[ug(t)− uC(t)]
i(0+) =1
R[U − 0] =
U
R
315
jer vaze pocetni uslovi uC(0+) = uC(0−) = 0.
8.9 Odziv na impulsnu ekscitaciju
Po pravilu (ima izuzetaka) odziv na impulsnu ekscitaciju spada u neregularne komutacije.
Posmatrajmo linearno i vremenski nepromjenljivo kolo r− tog reda, bez akumulisane energije,
u kome djeluje impulsna eksitacija
e(t) = Φδ(t)
Diferencijalna jednacina odziva je
A(D)y(t) = B(D)Φδ(t)
sa
Di−1y(0−
) = 0, i = 1, 2, ..., r
Za posredno rješavanje koristi se veza Dirakove i Hevisajdove funkcije. Odziv na impulsnu
eksitaciju je srazmjeran jacini udara eksitacije Φ, i izvodu indicione funkcije po vremenu
y(t) = Φdf(t)
dt
Ovaj drugi clan je, takoe, funkcija vremena, a slicno kao i indiciona funkcija, ne zavisi od
jacine udara same eksitacije, vec zavisi samo od mreze vezane za krajeve impulsnog generatora.
Funkcija koja se dobija kao kolicnik odziva na impulsnu eksitaciju i jacine udara eksitacije
je funkcija mreze koja se u ovom slucaju, naziva Grinovom (Green-ovom) funkcijom (ili
impulsnim odzivom) i oznacava se sa g(t):
g(t) =y(t)
Φ=
df(t)
dt(8.414)
Priroda Grinove funkcije jednaka je odgovarajucoj prirodi indicione funkcije podijeljenoj sa
vremenom (ili pomnozenom sa ucestanošcu).
Primjer: Posmatrajmo kolo kao na slici 8.265, sa ug(t) = Φδ(t) i uC(0−) = 0. Diferencijalna
( )gu t
( )i t R
Cu
Slika 8.265: RC kolo u kome djeluje impulsni generator napona
316
jednacina odziva po naponu kondenzatora je
(D +
1
RC
)uC(t) =
1
RCug(t) =
1
RCΦδ(t)
I nacin: Imamo rešenje za uC(t) kada djeluje Hevisajdova funkcija, tada definišemo indicionu
funkciju za napon kondenzatora.
f(t) =(1−e−
t
RC
)h(t)
Koristeci vezu Grinove i indicione funkcije, nalazimo Grinovu funkciju.
g(t) = Df(t) =1
RCe−
t
RC h(t) + δ(t)
Imajuci u vidu da impulsna funkcija izdvaja vrijednosti date funkcije u t = 0, dobija se:
g(t) =1
RCe−
t
RC h(t), ∀t
Odziv je, po definiciji:
uC(t) = g(t)Φ =Φ
RCe−
t
RC h(t) ∀t
II nacin: Direktno rešavanje:
(D +
1
RC
)uC(t) =
1
RCΦδ(t)
Pošto je Grinova funkcija za napon uC(t)
g(t) =uC(t)
Φ
dobijamo operatorsku jednacinu po g(t)
(D +
1
RC
)g(t) =
1
RCδ(t)
Posmatrajuci stepene polinoma A(D) i B(D) mogli bi zakljuciti da je u pitanju regu-
larna komutacija, ali impulsna ekscitacija mijenja pocetne uslove u kolu pa iz tog razloga
pretpostavimo rešenje u obliku:
g(t) = z(t)h(t) +H1δ(t)
Tada je:
Dg(t) = z′(t)h(t) + z(t)δ(t) +H1δ′(t)
Ako ovu jednakost uvrstimo u operatorsku jednacinu, koristeci osobine impulsne funkcije,
317
dobijamo:
z′(t)h(t) + z(t)δ(t) +H1δ′(t) +
1
RCz(t)h(t) +
1
RCH1δ(t) =
1
RCδ(t)
Balansiranjem se dobija:
• uz funkciju h(t):
z′(t) +1
RCz(t) = 0
• uz funkciju δ(t):
z(0+) +1
RCH1 =
1
RC
• uz prvi izvod funkcije δ(t):
H1 = 0
Dakle dobijamo sistem:
z′(t) +1
RCz(t) = 0 (8.415)
uz novi pocetni uslov z(0+) = 1/RC. Kako smo dobili da je H1 = 0, komutacija je regularna
bez obzira na impulsnu funkciju. Rješenje jednacine (8.415) je:
z(t) = Ke−t
RC
a iz pocetnog uslova dobijamo da je konstanta K = 1/RC, pa je konacno
z(t) =1
RCe−
t
RC
Sada je Grinova funkcija
g(t) = z(t)h(t) =1
RCe−
t
RC h(t)
pa je odziv:
uC(t) = g(t)Φ =Φ
RCe−
t
RC h(t)
III nacin: Polazeci od relacije za Grinovu funkciju u diferencijalnom obliku
(D +
1
RC
)g(t) =
1
RCδ(t) (8.416)
318
za t = 0
(D +
1
RC
)g(t) = 0
Koristeci g(t) = z(t)h(t), dolazimo do relacije:
(D +
1
RC
)z(t) = 0, t > 0
Trazimo novi pocetni uslov z(0+). Ako integralimo relaciju (8.416) u granicama od 0− do 0+
dobija se
g(t)|0+0−
+1
RC
0+∫0−
g(t)dt =1
RC
0+∫0−
δ(t)dt
Znaci imamo
g(0+)− g(0−
) =1
RC
a pošto je g(0−
) = 0, dobija se:
g(0+) =1
RC
(D +
1
RC
)z(t) = 0 t > 0
Dalji postupak je identican prethodnom (II nacin).
Primjer: Posmatrajmo kolo kao na slici 8.266 sa ug(t) = Φδ(t) i uC(0−) = 0. Odrediti
i(t) =? I nacin: Koristeci rešenje prethodnog primjera dobija se:
( )gu t
( )i t R
Cu
Slika 8.266: RC kolo sa impulsnim generatorom
i(t) = CduC(t)
dt= C
Φ
RCe−
t
RC
(− 1
RC
)h(t) + C
Φ
RCe−
t
RC δ (t)
odnosno
i(t) = − Φ
R2Ce−
t
RC h(t) +Φ
Rδ (t)
319
II nacin: Predpostavimo da imamo odziv na Hevisajdovu funkciju to jest da imamo indicionu
funkciju:
f(t) =1
Re−
t
RC h(t)
Tada je
g(t) = Df(t) = − 1
RCe−
t
RC h(t) +1
Rδ(t)
pa je
i(t) = Φg(t) = − Φ
R2Ce−
t
RC h(t) +Φ
Rδ (t)
III nacin: Direktno rešavanje diferencijalne jednacine po struji:
(D +
1
RC
)i(t) =
1
RDug(t) =
Φ
Rδ′(t)
Kako je stepen operatorskih polinoma jednak, a u pitanju je impulsna funkcija, tada je to
sigurno neregularna komutacija. Ako uvedemo Grinovu funkciju kao:
g(t) =i(t)
Φ
dobijamo diferencijalnu jednacinu po g(t) u obliku
(D +
1
RC
)g(t) =
1
Rδ′(t) (8.417)
Predpostavimo rešenje u obliku
g(t) = z(t)h(t) +H1δ(t)
Dg(t) = z′(t)h(t) + z(t)δ(t) +H1δ′(t)
Koristeci osobine impulsne funkcije dobijamo
Dg(t) = z′(t)h(t) + z(0+)δ(t) +H1δ′(t) (8.418)
Zamjenom relacije (8.418) u diferencijalnu jednacinu po g(t), relacija (8.417), dobija se
z′(t)h(t) + z(0+)δ(t) +H1δ′(t) +
1
RCz(t)h(t) +
1
RCH1δ(t) =
1
RCδ′(t)
Balansiranjem se dobija:
• uz funkciju h(t)
320
z′(t) +1
RCz(t) = 0
• uz funkciju δ(t)
z(0+) +1
RCH1 = 0
• uz prvi izvod funkcije δ(t)
H1 =1
RC
Sada rešavamo novu diferencijalnu jednacinu uz novi pocetni uslov
z′(t) +1
RCz(t) = 0, z(0+) = − 1
R2C
Pa je rešenje
z(t) = − 1
R2Ce−
t
RC
g(t) = z(t)h(t) +H1δ(t)
g(t) = − 1
RCe−
t
RC h(t) +1
Rδ(t)
i(t) = Φg(t) = − Φ
R2Ce−
t
RC h(t) +Φ
Rδ (t)
IV nacin:
Odredimo pocetne uslove integracijom
(D +
1
RC
)g(t) =
1
Rδ′(t)
/0+∫0−
dt
g(t) +1
RC
0+∫0−
g(t)dt =1
R
0+∫0−
δ′(t)dt (8.419)
Ako u relaciju (8.419) uvrstimo izraz g(t) = z(t)h(t) + H1δ(t) dobijen u prethodnom dijelu
(nacin III) imamo
g(0+)− g(0−) +1
RC
0+∫0−
z(t)h(t)dt+1
RC
0+∫0−
H1δ(t)dt =1
R[δ(0+)− δ(0−)]
Koristeci uslov zadatka g(0−) = 0 i osobine delta funkcije, dobija se
g(0+) +H1
RC= 0
Pošto imamo još dvije nepoznate (g i H1 ), da bi ih odredili integralimo relaciju (8.419)
321
( ) ( )gu t tδ= Φ
L
(0 ) 0Li − =
L0(0 )Li I
L+
Φ= =
Slika 8.267:
0+∫0−
g(t)dt =1
R
0+∫0−
g(t)dt +0+∫0−
H1δ(t)dt =1
R
pa se dalje dobija H1 = 1/R,odnosno
g(0+) = − 1
R2C
Dalji postupak je identican kao u prethodnom dijelu (nacin III).
8.10 Interpretacija odziva na impulsnu eksitaciju kao
odziva usled akumulisane energije
Redna veza neopterecenog kalema i generatora impulsnog napona moze se zamijeniti kalemom
sa akumulisanom energijom koja odgovara struji:
I0 =Φ
L
Rješenje odziva u oba slucaja je isto. Stoga postoji ekvivalencija izmeu sledeca dva elementa
prikazana na slici 8.267:
Moramo napomenuti da ova ekvivalencija vazi pod uslovom da se redna veza kalema i
kondenzatora nalazi bar u jednoj konturi ili petlji koja ne sadrzi kalemove. Potvrdu pomenute
tvrdnje ilustrovacemo na primjeru prikazanom na slici 8.268:
Struju neopterecenog kalema datu relacijom:
iL(t) =1
L
t∫0−
uL(τ )dτ (8.420)
322
( ) ( )gu t tδ= Φ
( )i t R L C
( )Ru t ( )Lu t ( )Cu t
Slika 8.268: Redna veza otpornika, kalema i kondenzatora
C (0 ) 0u−
=( ) ( )gi t Q tδ= C 0(0 )Q
u UC
+ = =
Slika 8.269: Ekvivalencija paralelne veze neopterecenog kondenzatora i strujnog generatora
mozemo nakon rastave granica integraljenja predstaviti u obliku:
iL(t) =1
L
0+∫0−
uL(τ)dτ +1
L
t∫0+
uL(τ)dτ (8.421)
Posmatrajuci sliku 8.268. mozemo napisati da je:
uL(t) = Φδ(t)− uR(t)− uC(t) (8.422)
Smjenom relacije (8.422) u (8.421) dobijamo izraz za struju kalema u obliku:
iL(t) =1
L
0+∫0−
[Φδ(τ )− uR(τ)− uC(τ )] dτ +1
L
t∫0+
uL(τ )dτ (8.423)
odnosno:
iL(t) =Φ
L+
1
L
t∫0+
uL(τ )dτ (8.424)
jer su integrali napona otpornika i kondenzatora jednaki nuli pošto ne sadrze impulsne funkcije.
Relacija (8.424) predstavlja struju kalema sa pocetnom vrijednošcu iL(0+) = I0 = Φ/L. Otuda
i navedena ekvivalencija. Isto tako, paralelna veza neopterecenog kondenzatora i generatora
impulsne struje moze se zamijeniti za pozitivne vrijednosti vremena (t > 0) jednim opterecenim
kondenzatorom sa pocetnim uslovom uC(0+) = U0 = Q/C, tj. postoji ekvivalencija izmeu
dva elementa prikazana na slici 8.269:
Ova ekvivalencija vazi ako za zajednicki cvor (presjek) neopterecenog kondenzatora i gen-
323
( ) ( )gi t Q tδ= ( )u t LG C
( )Gi t ( )Li t ( )Ci t
Slika 8.270: Paralelna veza otpornika, kalema i kondenzatora
eratora nije vezan nijedan drugi kondenzator. Potrvdu predhodne tvrdnje ilustrovacemo na
primjeru prikazanom na slici 8.270:
Napon neopterecenog kondenzatora uC(t) = u(t) predstavljen je integralom:
u(t) =1
C
t∫0−
iC(τ)dτ
koji se moze rastaviti na dva integrala oblika:
u(t) =1
C
0+∫0−
iC(τ)dτ +1
C
t∫0+
iC(τ )dτ (8.425)
Posmatrajuci sliku 8.270. mozemo napisati da je:
iC(t) = Qδ(t)− iG(t)− iL(t) (8.426)
Zamjenom relacije (8.426) u relaciju (8.425) napon kondenzatora dobija oblik:
u(t) =1
C
0+∫0−
[Qδ(τ )− iG(τ)− iL(τ )] dτ +1
C
t∫0+
iC(τ)dτ
odnosno:
u(t) =Q
C+
1
C
t∫0+
iC(τ)dτ (8.427)
jer su integrali struja otpornika i kalema jednaki nuli pošto ne sadrze impulsne funkcije.
Relacija (8.427) predstavlja napon kondenzatora sa pocetnom vrijednošcu u(0+) = Q/C pa
otuda slijedi i navedena ekvivalencija.
324
8.11 Izmjena pocetnih uslova pri djelovanju impulsne
eksitacije
Pri djelovanju impulsnog generatora u kolu, s obzirom da eksitacija trenutno dostize veoma ve-
liku vrijednost, ne moraju biti ispunjeni uslovi za neprekidnost napona kondenzatora, odnosno
struje kalema. Stoga u nekim dinamickim elementima, zavisno od toga kako su vezani u kolu,
moze doci do trenutne izmjene pocetnih uslova. U nekim slucajevima se analiza rada kola
sa Dirakovim eksitacijama moze uprostiti time što djelovanje generatora opisujemo pomocu
izmjene pocetnog uslova. Posmatrajmo na primjer kolo bez akumulisane energije, u kome
djeluje impulsni generator napona: ug(t) = Φδ(t), kao na slici 8.271.
≡
0t ≥
1L1L
i
( )gu t ( )u t
(0 ) 0
(0 ) 0
i
j
C
L
u
i
−
−
=
=
N
1 01,L I1L
i
( )u t
(0 ) 0
(0 ) 0
i
j
C
L
u
i
+
+
=
=
N
1 01
1
(0 )Li IL
+Φ
= =
1
( ) ( )
(0 ) 0
g
L
u t t
i
δ
−
= Φ
=
( )a ( )b
Slika 8.271: Imjena pocetnih uslova kalema pri djelovanju impulsnog generatora napona
Ako na red sa kalemom L1 nije vezan nijedan drugi kalem iz mreze N , tada je kolo sa slike
8.271(b) ekvivalentno predhodnom kolu. Jednacina dinamicke ravnoteze kola sa slike 8.271(a)
je
ug(t) = L1
di1dt
+ u(t) (8.428)
gdje je u(t) napon na pristupu mreze N . Ako mreza N ne sadrzi neki kalem Lj, j = 1, u
rednoj grani sa kalemom L1, tada, gledano prema toj mrezi, napon u(t) nece sadrzati clan sa
izvodom struje i1(t) po vremenu, pa ce, stoga, biti ogranicena funkcija vremena. Stoga, ako
integralimo relaciju (8.428) u granicama (0−, 0+), dobicemo
i1(0+) =
Φ
L1
(8.429)
jer je i1(0−) = 0, a
0+∫0−
u(t)dt = 0. Znaci da se grana sa rednom vezom impulsnog generatora
napona ug(t) = Φδ(t) i kalema L1 bez akumulisane energije, moze zamijeniti granom sa
kalemom iste induktivnosti i strujom i1(0+) = Φ
L1. Uslov je da za kalem L1 nije vezan redno
nijedan drugi kalem. U protivnom bi se fluks Φ raspodijelio na oba kalema: npr. ako je neki
kalem L2 vezan na red sa L1, tada bi izmijenjen pocetni uslov za struju kalemova bio
325
i1(0+) = i2(0
+) =Φ
L1 + L2(8.430)
Posmatrajmo kolo bez akumulisane energije kao na slici 8.272.Ako se u mrezi N ne nalazi
≡
0t ≥
1C( )gi t1( )Cu t
(0 ) 0
(0 ) 0
i
j
C
L
u
i
−
−
=
=
N
1( )Cu t
(0 ) 0
(0 ) 0
i
j
C
L
u
i
+
+
=
=
N
1 01
1
(0 )C
Qu U
C+= =
1
( ) ( )
(0 ) 0
g
C
i t Q t
u
δ
−
=
=
1 01,C U
( )a ( )b
Slika 8.272: Izmjena pocetnih uslova kondenzatora pri djelovanju impulsnog generatora struje.
nijedan kondenzator u paralelnoj vezi sa C1, tada je mreza sa slike 8.272(b) ekvivalentna
predhodnoj. Drugim rijecima, paralelna veza impulsnog generatora struje, ig(t) = Qδ(t), i
kondenzatora C1 bez akumulisane energije, ekvivalentna je grani sa kondenzatorm iste kapac-
itivnosti i izmijenjenim pocetnim uslovom
uC1(0+) =
Q
C1
(8.431)
I ovdje, u slucaju da mreza N sadrzi kondenzator, npr. C2, u paralelnoj vezi sa C1, izmijenjen
pocetni uslov ce biti
uC1(0+) = uC2
(0+) =Q
C1 + C2
(8.432)
8.12 Osobine odziva ukljucenja
Za linearna i vremenski nepromjenljiva kola odziv usled djelovanja generatora posjeduje ista
osnovna svojstva kao i odziv usled pocetnih uslova (sopstveni odziv), a to su: svojstvo lin-
eranosti i svojstvo vremenske invarijantnosti (odnosno nezavisnosti oblika odziva od mo-
menta ukljucenja generatora), što je odreeno prirodom diferencijalne jednacine odziva. Sluca-
jevi djelovanja impulsnih generatora u kolima sa dinamickim elementima mogu se posmatrati
i u skladu sa zakljuccima datim u predhodnom poglavlju što je ponovo prikazano na slici
8.273.Tada se paralelna veza impulsnog strujnog generatora ig(t) = Qδ(t) i kondenzatora bez
akumulisane energije, uC(0−) = 0, moze zamijeniti granom koja sadrzi samo kondenzator sa
izmijenjenim pocetnim uslovom: uC(0+) = Q/C - slika 8.273 (a). Analogno se pokazuje za
rednu vezu impulsnog generatora napona ug(t) = Φδ(t) i kalema bez energije - slika 8.273
(b). Ekvivalencija vazi za svako t ≥ 0. Pokazimo ovo za slucaj kola prikazanog na slici
326
Cu( )= ( )gi t Q tδ C ⇒
0
C
U
(0 ) 0Cu −
=
0= (0 )=C
QU u
C+
( )= ( )gu t tδΦ
(0 ) 0Li − =
Li
Cu
0= (0 )=LI iL
+
Φ
LiL 0,L I
( )a
( )b
⇒
Slika 8.273: Ekvivalentne šeme: (a) Paralelna veza ig(t) = Qδ(t) i kondenzatora, (b) Rednaveza ug(t) = Φδ(t) i kalema.
8.274 u kome djeluje impulsni naponski generator ug(t) = Φδ(t) uz pocetni uslov iL(0−) = 0.
Jednacina glasi
( )gu t
( )Ru t ( )Lu t
R L
( )i t
Slika 8.274: Prosto RL kolo sa impulsnim generatorom
Ldi(t)
dt+Ri(t) = Φδ(t) (8.433)
Koristicemo direktno rešavanje. Za t > 0 (znamo da je δ(t > 0) = 0)
Ldi(t)
dt+Ri(t) = 0
Rješenje ove diferencijalne jednacine je
i(t) = I0eR
Lt
gdje je i(0+) = I0 nepoznata vrijednost koju treba odrediti. Za ∀t vazi
327
i(t) = I0e−
R
Lth(t) (8.434)
Ako predhodnu relaciju diferenciramo po vremenu dobijamo
di(t)
dt= −R
LI0e
−
R
Lth(t) + I0δ(t) (8.435)
jer δ(t) izdvaja vrijednosti za t = 0 tj. e−R
Lt
∣∣∣t=0
= 1. Kada relaciju (8.435) uvrstimo u
diferencijalnu jednacinu, relacija (8.433), tada se balansiranjem (izjednacavanjem koeficijenata
uz iste funkcije) dobijene jednacine dobija
LI0δ(t) = Φδ(t)
odnosno
I0 =Φ
L
Konacno se dobija:
i(t) =Φ
Le−
R
Lth(t)
Zakljucak: Ako imamo odziv ukljucenja dat relacijom:
Ldi(t)
dt+Ri(t) = Φδ(t)
uz pocetni uslov i(0−
) = 0, odziv je
i(t) =Φ
Le−
R
Lth(t)
što je potpuno ekvivalentno odzivu usled pocetnih uslova. Taj slucaj dat je jednacinom
Ldi(t)
dt+Ri(t) = 0
i(0+) = I0 =Φ
L
pa je odziv
i(t) =Φ
Le−
R
Lth(t)
8.13 Potpuni (kompletan) odziv
U najopštijem slucaju kolo sadrzi generatore i posjeduje akumulisanu energiju. Odziv koji
pritom nastaje predstavlja tzv. potpuni (ili ukupni) odziv, a posledica je uticaja oba
328
navedena uzroka. Posmatracemo, kao i do sada, linearna i vremenski nepromjenljiva kola.
Slika 8.275. simbolicki prikazuje jedno takvo kolo koje se sastoji iz linearne i vremenski
nepromjenljive mreze N, koja posjeduje akumulisanu energiju, i ukupno g = f + h nezavisnih
generatora: ug1, ..., ugf , ig1, ..., igh, koji su predstavljeni van mreze.
(0 )
1,2,...,
kC ok
C
u U
k b
−
=
=
(0 )
1,2,...,
jL oj
L
i I
j b
−
=
=
lu
li
N
1( )gu t
( )fg
u t
1( )gi t
( )hg
i t
Slika 8.275: Slozeno kolo. Odreivanje potpunog odziva
Diferencijalna jednacina odziva za ma koju promjneljivu y(t) ∈ ul, il , l = 1, 2, ...b, je
oblika
A(D)y(t) =g∑
s=1
[By,s(D)es(t)] = Fy,e(t) (8.436)
Za rješenje jednacine (8.436) potrebno je znati prvih r pocetnih (izvedenih) uslova
y(0+) = h10
Dy(0+) = h20...
Dr−1y(0+) = hr0 (8.437)
gdje su vrijednosti hi0, i = 1, 2, 3, ..., r, odreene stvarnim pocetnim uslovima: uCk(0+),
iLj(0+), k = 1, 2, ..., bC, j = 1, 2, ..., bL kao i vrijednostima eksitacija ugm(0
+), ign(0+), m =
1, 2, ..., f, n = 1, 2, ..., h. Pri tome, ako je komutacija regularna tada je uCk(0+) = uCk(0
−)
i iLj(0+) = iLj(0
−), dok u protivnom treba odrediti izmijenjene pocetne uslove. Tehnika
rješavanja jednacine (8.436) moze biti dvojaka. Jednacina se moze rješavati direktno, ili super-
pozicijom. Prvi nacin je preporucljiv jedino u slucaju da djeluju samo Hevisajdovi generatori:
es(t) = Esh(t). U slucaju djelovanja generatora iz razlicitih klasa funkcija, posebno ako su
329
neke od njih impulsne, podesnije je rješavati primjenom superpozicije, s obzirom na prakticne
poteškoce koje se mogu javiti pri odreivanju (izmijenjenih) pocetnih uslova.
8.13.1 Direktno rješavanje
U ovom slucaju se rješava polazna nehomogena diferencijalna jednacina (8.436) na isti nacin
kao u slucaju djelovanja generatora, s tim što na izvedene pocetne uslove (8.437) uticu i stvarni
pocetni uslovi, a ne samo eksitacije. Rješenje jednacine je u obliku
y(t) = yh(t) + yp(t) (8.438)
dakle, rješenje y(t) se dobija kao suma rješenja odgovarajuce homogene diferencijalne jed-
nacine, što je oznaceno indeksom “h”, i partikularnog rješenja koje je istog oblika kao neho-
mogeni dio diferencijalne jednacine a to je oznaceno indeksom “p”. Partikularno rješenje se
naziva i prinudnim odzivom. Clan yh(t) predstavlja rješenje odgovarajuce homogene diferen-
cijalne jednacine
A(D)yh(t) = 0 (8.439)
i ima jedan od oblika
yh(t) =
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
r∑l=1
K(l)eslt,(
p∑l=1
tl−1K(l)
)es1t +
r∑l=p+1
K(l)eslt
(s1 = s2 = · · · = sr)
(s1 je reda p)
(8.440)
zavisno od toga da li su sopstvene ucestanosti proste ili ima i višestrukih. Ovo rješenje je
moguce predstaviti i krace u vidu izraza
yh(t) =r∑
l=1
yhl(t) (8.441)
gdje clanovi yhl(t), l = 1, 2, ..., r, odgovaraju sabircima koji figurišu pod znakom sume u
(8.440), bez obzira na red višestrukosti sopstvenih ucestanosti.
Clan yp(t) je partikularno rješenje koje je istog oblika kao nehomogeni dio jednacine (8.436),
dakle, srazmjerno je eksitacijama
yp(t) =g∑
s=1yps(t), yps(t) ∼ es(t) (8.442)
Partikularno rješenje se moze odrediti clan-po-clan, zamjenom predpostavljenih odziva yps(t)
u polaznu diferencijalnu jednacinu (8.436) i balansiranjem lijeve i desne strane. Konstante
K(l) u rješenju homogenog dijela se, potom, odreuju na osnovu pocetnih uslova (8.437).
330
8.13.2 Rješavanje superpozicijom
U mnogim slucajevima korisno je primijeniti superpoziciju. Odvojeno trazimo odziv na aku-
mulisanu energiju, y0(t), u kolu bez generatora kao na slici 8.276a), i odziv usled djelovanja
generatora, ye(t), u istom kolu, ali bez pocetnih uslova - slika 8.276b). Ukupni odziv je jednak
(0 )
1,2,...,
kC ok
C
u U
k b
−
=
=
(0 )
1,2,...,
jL oj
L
i I
j b
−
=
=
0lu
0li
N
10gu =
0kg
u =
10gi =
0hg
i =
(0 ) 0
1,2,...,
kC
C
u
k b
−
=
=
(0 ) 0
1,2,...,
jL
L
i
j b
−
=
=
leu
lei
N
1gu
kgu
1gi
hgi
)a )b
Slika 8.276: Primjena principa superpozicije pri odreivanju potpunog odziva. a) Odziv usledpocetnih uslova, b) odziv usled djelovanja generatora.
sumi ova dva
y(t) = y0(t) + ye(t) (8.443)
Ovaj postupak smijemo da primijenimo u linearnim kolima, što se lako ovjerava na osnovu
svojstva linearnosti za odziv usled djelovanja generatora. Naime, elemente sa akumulisanom
energijom u t = 0 mozemo, za t ≥ 0, predstaviti vezom konstantnih generatora i elemenata
bez energije, cime se slucaj svodi na kolo sa generatorima. Sopstveni odziv se odreuje iz
homogene diferencijalne jednacine
A(D)y0(t) = 0 (8.444)
sa izvedenim pocetnim uslovima
y0(0+) = f10, Dy0(0
+) = f20, ..., Dr−1y0(0+) = fr0 (8.445)
331
koji su odreeni sa uCk(0+) i iLj
(0+), k = 1, 2, ..., bC, j = 1, 2, ..., bL, pri cemu vazi ista
napomena kao za regularnu i neregularnu komutaciju. Rješenje jednacine (8.444) je
y0(t) = y0h(t) =r∑
l=1
yohl(t) (8.446)
gdje su clanovi yohl(t) istog oblika kao u (8.440). Konkretno, ako su svi korjeni karakteristicne
jednacine prosti, clanovi yohl(t) su oblika
yohl(t) = K(l)0 eslt (8.447)
Koeficijente K(l)0 nalazimo iz pocetnih uslova (8.445), odnosno iz sistema jednacina koji se
dobija formiranjem vrijednosti y0(0+), ..., Dr−1y0(0+).
Odziv usled djelovanja generatora se odreuje iz nehomogene diferencijalne jednacine istog
oblika kao (8.436), ali sa uCk(0−) = 0 i iLj
(0−) = 0, odnosno
A(D)ye(t) = Fy,e(t) (8.448)
i izvedenim pocetnim uslovima
ye(0+) = k10, Dye(0
+) = k20, ..., Dr−1ye(0+) = kr0 (8.449)
koji su odreeni samo eksitacijama. Rješenje jednacine (8.448) je dato sa
ye(t) = yeh(t) + yep(t) (8.450)
gdje je yeh(t) oblika (8.440), dok je yep(t) srazmjerno eksitacijama. Konkretno, ako za kolo
na slici 8.275 predpostavimo da su sopstvene ucestanosti proste, rješenje homogenog dijela
jednacine je jednako
yeh(t) =r∑
l=1
K(l)e eslt (8.451)
a yep(t) je dato istim izrazom kao (8.442)
yep(t) = yp(t) (8.452)
i moze se odrediti kao i ranije.
Ovdje smo rješenje homogenog dijela posmatrali u jedinstvenom obliku (8.451). Mogli smo
i njega naci superpozicijom. Naime, odziv usled djelovanja generatora se moze posmatrati
clan-po-clan u obliku
ye(t) =g∑
s=1
yes(t) (8.453)
gdje je yes(t) rješenje na jednu od eksitacija es(t), s = 1, 2, ..., g, što dobijamo iz pojedinacnih
332
diferencijalnih jednacina
A(D)yes(t) = By,s(D)es(t), s = 1, 2, ..., g (8.454)
sa pocetnim uslovima Diyes(0+) koji su odreeni samo posmatranom eksitacijom es(t) u t =
0+.
U svakom slucaju, rješenje y(t), dobijeno direktnim putem - relacija (8.438)
y(t) = yh(t) + yp(t)
mora biti identicno rješenju koje smo odredili superpozicijom - relacija (8.443)
y(t) = y0(t) + ye(t)
Kako je, sa druge strane
y0(t) = y0h(t)
ye(t) = yeh(t) + yep(t)
poreenjem ovih oblika zakljucujemo da je
yh(t) = y0h(t) + yeh(t) (8.455)
yp(t) = yep(t) (8.456)
Konkretno, iz (8.455) i predhodnih relacija (8.446) i (8.451), dobijamo vezu izmeu koeficije-
nata koji karakterišu rješenje homogenog dijela
K(l) = K(l)0 +K(l)
e , l = 1, 2, ..., r (8.457)
pri cemu, ako primijenimo superpoziciju i za djelovanje svakog od generatora, imamo da je
K(l)e =
g∑s=1
K(l)es (8.458)
na osnovu relacije (8.453). Tehnika odreivanja potpunog odziva moze biti proizvoljna, uz
vec izrecenu napomenu da je rješavanje superpozicijom, mozda, jednostavnije.
Primjer: Posmatrajmo kolo sa akumulisanom energijom kao na slici 8.277 u kome djeluje
Hevisajdov generator napona ug(t) = U0h(t). Odrediti struju i(t) =?
333
( )i t
L
R
( )gu t0I
Slika 8.277: Prosto RL kolo - trazenje kompletnog odziva
I nacin: Pocetni uslov je jednak iL(0−) = I0 pa je struja u kolu jednaka
i(t) = i1(t) + i2(t)
gdje je komponenta i1(t)− odziv usled pocetnih uslova a i2(t)− odziv usled ukljucenja. Za
odziv usled pocetnih uslova posmatramo kolo na slici 8.278 za koje je diferencijalna jednacina
odziva jednaka
1( )i t
L
R
0I
Slika 8.278: Odreivanje komponente sopstvenog odziva
Ldi1(t)
dt+Ri1(t) = 0
Rešenje ove diferencijalne jednacine je:
i1(t) = I0e−
R
Lt
Za odziv ukljucenja posmatramo kolo na slici 8.279 u kome je iL(0−) = 0 a diferencijalna
jednacina odziva je jednaka
2( )i t
L
R
( )gu t
Slika 8.279: Odreivanje komponente prinudnog odziva
334
Ldi2(t)
dt+Ri2(t) = ug(t)
Rešenje ove diferencijalne jednacine je:
i2(t) = −ip(0)e−
R
Lt + ip
Za odziv ukljucenja rešenje se trazi kao suma rešenja homogenog i prinudnog rešenja. Ako je
ug(t) = Uh(t), tada je:
i2(t) =U
R
(1− e−
R
Lt
)h(t)
Ukupan odziv je
i(t) = I0e−
R
Lt +
U
R
(1− e−
R
Lt
)h(t) (8.459)
Napomena: Pošto su pocetni uslovi “istorija” ( ne znamo šta je izazvalo akumulisanje energije
u intervalu vremena od −∞ do 0−
), uz odziv usled pocetnih uslova ne piše se h(t), što nije
slucaj za odziv usled ukljucenja. Relacija (8.459) predstavljena je na graficki na slici 8.280.II
( )i t
1( )i t
2( )i t
1 2( )= ( )+ ( )i t i t i t
U
R
0I
t0
Slika 8.280: Grafici prikaz struje i(t)
nacin: Posmatrano diferencijalnu jednacinu odziva
Ldi(t)
dt+Ri(t) = 0
i(0−
) = I0
Rešenje trazimo kao: homogeni dio
is(t) = Ae−R
Lt
(indeks s - slobodna komponenta), prinudno rješenje
ip(t) =U
R
335
Sada je:
i(t) = is(t) + ip(t) = Ae−R
Lt +
U
R
Konstantu A odreujemo iz pocetnog uslova: i(0−
) = I0 pa slijedi da je
A = I0 +U
R
Dalje je
is(t) =
(I0 +
U
R
)e−
R
Lt
ip(t) =U
R
Graficki prikaz je dat na slici 8.281. II nacin se svodi na odreivanje rešenja diferencijalne
( )i t
( )si t
( )pi t
( )= ( )+ ( )s pi t i t i t
U
R
0I
t0
( )0
UI
R
⎧⎪⎪⎪⎪− ⎨⎪⎪⎪⎪⎩
Slika 8.281: Graficki prikaz struje i(t) - II nacin
jednacine višeg reda kao sume rešenja homogene diferencijalne jednacine i jednog partikularnog
rešenja nehomogene diferencijalne jednacine. Oba nacina su jednako tacna, ali je pristupacniji
nacin superpozicije odziva usled ukljucenja i odziva usled pocetnih uslova, a za njih je moguca
primjena svojstva linearnosti i stacionarnosti.
8.13.3 Opšti zakljucak za klasicnu metodu:
Klasicna metoda je sistematska metoda ali je slozenija iz razloga što treba rešavati diferenci-
jalne jednacine n - tog reda (r algebarskih jednacina za dobijanje pocetnih uslova). Vazno:
Za kompletan odziv ne vaze osobine linearnosti i stacionarnosti. Ove dvije osobine vaze za
odzive usled ukljucenja i pocetnih uslova, ali ne i za njihov zbir. Dakle, za rešavanje dinamike
kola imamo Furijeovu i Laplasovu transformaciju i klasicnu metodu. Furijeova transformacija
vazi za odziv ukljucenja, dok je Laplasova transformacija najefektivniji metod.
Zadatalk 1: U kolu prikazanom na slici 8.282 odrediti struju kroz kalem za t > 0 ako
je i(0−
) = 2A. Rješenje: Prvo cemo odrediti komponentu struje i koja potice od pocetnih
336
80V
1Ω 2Ω
2Ω
3v
10A
4H
5
v
i
Slika 8.282: Kolo uz zadatak 1
uslova. Oznacicemo ovu komponentu sa ih. Ova komponenta se racuna kada su svi nezavisni
izvori (naponski i strujni) u kolu ukinuti (naponski-kratak spoj, strujni-prekid). U ovom
slucaju sve otpornosti u kolu mogu biti zamijenjene sa ekvivalentnom otpornošcu Re = 4/5 Ω
i kolo je prikazano na slici 8.283. Primjenom KZN na kolo sa slike 8.283 dobijamo
3v
4H
5ici
v
4
5Ω
Slika 8.283: Odreivanje komponente ih
4
5
(dihdt
)+ 3v +
4
5ih = 0 (8.460)
Koristeci Omov zakon, v = 4
5ih, i dijeljenjem sa 4/5 relacija (8.460) postaje
dihdt
+ 4ih = 0
Pocetna vrijednost je i(0+) = i(0−
) = 2A, dok je karakteristicna jednacina: s + 4 = 0, pa je
ova komponenta jednaka
ih(t) = 2e−4t (8.461)
Sada treba odrediti komponente ove struje koje nastaju usled djelovanja nezavisnih gtener-
atora. Svi pocetni uslovi su jednaki nuli a primjenjujemo metod superpozicije. Komponente
su: ip1 koja nastaje usljed djelovanja naponskog generatora (slika 8.284 (a)) i ip2 koja nastaje
usled djelovanja strujnog generatora (slika 8.284 (b)). Primjenom KZN u kolu na slici 8.284
337
80V
1Ω
4Ω
3v
4H
5
v
1fi
2Ω
2Ω
3v
10A
4H
5i
1i 2i 2Ω1i 2i
( )a ( )b
Slika 8.284: (a) Kolo za komponentu ih1; (b) Kolo za komponentu ih2
(a) dobijamo
i1 + 4(i1 − i2) = 80
4
5
di2dt
+ 3i1 + 4(i1 − i2) = 0
Rjšavanjem prve jednacine po i1 i zamjenom u drugu dobijamo
di2dt
+ 4i2 = 20, i2(0+) = 0
jer su svi pocetni uslovi sada jednaki nuli. Rješenje gornje diferencijalne jednacine je
i2(t) = 5(1− e−4t) = ip1 (8.462)
Komponenta ove struje kada djeluje samo strujni generator dobijamo kada na kolo prikazano
na slici 8.284 (b) primijenimo KZN i na taj nacin dobijamo
4
5
(di1dt
)+ (i1 − i2)− 3(i2 − i1) = 0
2i2 + 2(i2 + 10) + (i2 − i1) = 0
Rješavajuci drugu relaciju po i2 i zamjenom u prvu dobijamo
di1dt
+ 4i1 = −20; i1(0+) = 0
jer su svi pocetni uslovi jednaki nuli. Rješenje gornje diferencijalne jednacine je oblika
i1(t) = −5(1− e−4t)A
338
Sa slike 8.284 (b) vidimo da je
ip2(t) = −i1 = 5(1− e−4t)A
Koristeci princip superpozicije ukupnu struju dobijamo kao sumu pojedinih komponenti tj.
i(t) = ih(t) + ip1(t) + ip2(t) = 2e−4t + 10(1− e−4t) = 10− 8e−4t A
Zadatak 2: U kolu prikazanom na slici 8.285 odrediti napone v1 i v2 za t > 0 ako je
ono bilo u stacionarnom stanju u trenutku t = 0−
.Rješenje: Prvo treba odrediti napone na
=0t
1Ω
1F 2F1
2Ω12A
1v 2v
1i
Slika 8.285: Kolo za zadatak 2
kondenzatorima u trenutku t = 0−
. Za t < 0 prekidac je ztvoren, kolo je u stacionarnom
stanju pa je
v1(0−)− v2(0−) = 12(1) = 12V
Kondenzator od 2F je kratko spojen sa masom pa je za t < 0, v2(0−) = 0V i v1(0−) = 12V.
Usled neprekidnosti napona na kondenzatoru slijedi da je v1(0−) = v1(0+) = 12V i v2(0−) =
v2(0+) = 0V. Ove vrijednosti su potrebne da bi se izracunali pocetni uslovi u trenutku t = 0+
koji su nepohodni za rješavanje diferencijalnih jednacina. Primjeno KZS u cvorovima u kojima
se racunaju naponi v1 i v2 imamo
dv1dt
+ (v1 − v2) = 12 (8.463)
2dv2dt
+ 3v2 − v1 = 0 (8.464)
Rješavajuci jednacinu (8.463) po v2 dobijamo
v2 =dv1dt
+ v1 − 12 (8.465)
i zamjenom u relaciju (8.464) dobijamo
2d
dt
(dv1dt
+ v1 − 12
)+ 3
(dv1dt
+ v1 − 12
)− v1 = 0
339
a nakon dijeljenja sa 3 dobijamo
d2v1dt2
+5
3
dv1dt
+ v1 = 18 (8.466)
Relacija (8.466) predstavlja diferencijanu juednacinu po naponu v1. Karakteristicna jednacina
(polinom) je
s2 +5
2s+ 1 = (s+ 2)
(s+
1
2
)= 0
Odvade slijedi da je homogeno rješenje diferencijalne jednacine jednako
vh1 = K1e−2t +K2e
−t/2
Pošto je eksitacija oblika konstante (f(t) = 18) to ce i prinudna komponenta ili partikularno
rješenje biti oblika konstante tj. vp1 = A. Zamjenom u relaciju (8.466) dobijamo da je A = 18.
Prema tome, kompletan (ukupni) odziv je jednak
v1(t) = K1e−2t +K2e
−t/2 + 18 (8.467)
Smjenom t = 0+ u relaciju (8.467) i izvod te relacije po vremenu dobijamo
v1(0+) = K1 +K2 + 18 (8.468)
dv1dt
∣∣∣∣t=0+
= −2K1 − 1
2K2 (8.469)
Napon na kondenzatoru je jednakdv
dt=
i
C
Buduci da je napon v1 napona na kondenzatoru ‚od 1F imamo da je
dv1dt
∣∣∣∣t=0+
=i1(0+)
1(8.470)
Primjenom KZS na cvor 1 dobijamo
i1(0+) + (v1(0+)− v2(0+)) = 12
ili
i1(0+) = 12− 12 = 0
ili prema relaciji (8.470) dv1/dt|0+ = 0. Sada mozemo izracunati konstante K1 i K2 prema
relacijama (8.468) i (8.469):
K1 +K2 = −6
340
−2K1 − 1
2K2 = 0
Odvade slije da je K1 = 2 a K2 = −8. Tada je kompletan odziv jednak
v1 = 2e−2t − 8e−t/2 + 6V
Drugi napon dobijamo shodno relaciji (8.465) a koji je jdnak
v2 =d
dt
(2e−2t − 8e−t/2 + 6
)+ (2e−2t − 8e−t/2 + 6)− 12 = −2e−2t − 4e−t/2 − 6V
JEDNACINE STANJA - MODEL
STANJA
Osnovni sistem jednacina elektricniog kola dobijenih na osnovu Kirhofovih zakona i karak-
teristika elemenata moze se svesti na sistem od r nezavisnih diferencijalnih jednacinaprvog
reda po promjenljivim koje definišu stanje elektricnog kola. Promjenljive velicine kojima
se opisuje stanje kola jesu promjenljive stanja, a dobijeni sistem diferencijalnih jednacina pr-
vog reda jeste sistem jednacina stanja. Stanje kola (stanje nekog fizicko tehnickog sistema )
odreeno je sopstvenom energijom kola i pobudama. Izabrane promjenljive stanja u oznaci
xi(t) za i = 1, 2, ..., r, bice promjenljive stanja ako su ispunjeni sledeci uslovi:
1. Iz poznatih vrijednosti tih promjenljivih u proizvoljnom pocetnom trenutku t0 datih kao
xi(t) i poznatih ekscitacija es(t), s = 1, 2, ..., g, u trenutku t0 pa nadalje mogu se
odrediti:
xi(t) za ∀t ≥ t0
2. Na osnovu vrijednosti xi(t) i es(t) moze se odrediti bilo koja promjenljiva yj(t) za
j = 1, 2, ..., p. Velicine yj(t) se nazivaju izlaznim promjenljivim.
U elektricnim kolima pocetni uslovi su odreeni akumulisanom energijom u dimanickim
elemetima. Ona se moze opisati kolicinom elektriciteta u nezavisnim kondenzatorima qCk(t0)
gdje je k = 1, 2, ..., (bC − mC), i fluksevima u nezavisnim kalemovima φLj(t0) za j =
1, 2, ..., (bL − mL). Umjesto qCk i φLk koriste se UCk i iLk. Ove velicine se nazivaju
nezavisnim pocetnim uslovima. Ovdje je: bC− ukupan broj kondenzatora, mC− broj kontura
koje sadrze samo kalemove i nezavisne naponske generatore, bL− ukupan broj kalemova imL−broj presjeka koji sadrze samo kalemove i nezavisne strujne generatore
Iz toga je razloga korisno i racionalno za promjenljive stanja izabrati napone na konden-
zatorima, odnosno struje u kalemovima, jer se u tom slucaju koriste direkno nezavisni pocetni
uslovi pa je rešavanje kola jednostavnije. Rešavanje kola pomocu jednacina stanja ima pred-
nost nad ostalim metodima rešavanja u sledecim slucajevima:
1. Ako se zahtijeva rešavanje kola po vecem broju promjenljivih, ili po svim promjenljivim.
341
342
2. Ako se zahtijeva analiza cijelog kola u smislu ispitivanja stabilnosti i uticaja pojedinih
parametara na rješavanje kola.
3. Ako se zahtijeva sinteta elektricnog kola, koje elemente i sa kojim vrijednostima treba
odabrati da bi se kolo ponašalo na zeljeni nacin.
4. Rešavanje kola je efektivno posebno ako se koriste savremeni kompjuteri. Danas postoje
izuzetno efikasni algoritmi za rešavanje ovih jednacina.
5. Mogu se rešavati i nelinearna i vremenski promjenljiva kola.
Pored rešavanja elektricnih kola jednacine stanja imaju veliku primjenu u analizi i sintezi
raznih fizicko tehnickih sistema. Kod klasicne metode došli smo do diferencijalne jednacine
r-tog reda:
ardry
dtr+ ar−1
dr−1y
dtr−1+ ... + a1
dy
dt= F (t)
po promjenljivoj y = y (t). Koeficijenti ai su realni za linearna i reciprocna kola, dok F (t)
zavisi od topologije i vrste elemenata u kolu. Za rješavanje nam treba r algebarskih jednacina
da bi dobili integracione konstante iz pocetnih uslova. Ovu diferencijalnu jednacinu tezimo
dovesti u takozvanu Košijevu formu (sistem od r diferencijalnih jednacina prvog reda):
Dx1 = A11x1 + A12x2 + ...+ A1rxr + f1
Dx2 = A21x1 + A22x2 + ...+ A2rxr + f2
...
Dxr = Ar1x1 + Ar2x2 + ...+ Arrxr + fr,
gdje su: xi, i = 1, 2, ..., r− promjenljive stanja, D = d/dt− operator. Koeficijenti Aij i, j =
1, 2, ..., r su realne velicine i zavise od topologije i vrijednosti parametara kola. Neki od
njih mogu biti jednaki nuli, fi i = 1, 2, ..., r− zavise od pobude ali i od topologije kola. U
matricnom obliku ovaj sistem bi se mogao napisati kao:
Dx∼
(t) = A∼
x∼
(t) + f∼
(t)
Koristeci znaku
Dx∼
(t) = x∼
(t)
pa mozemo pisati
x∼
(t) = A∼
x∼
(t) + f∼
(t)
343
gdje je
x∼
(t) =
⎡⎢⎢⎢⎢⎣
x1(t)
x2(t)...
xr(t)
⎤⎥⎥⎥⎥⎦ ; x
∼
(t) =
⎡⎢⎢⎢⎢⎣
x1(t)
x2(t)...
xr(t)
⎤⎥⎥⎥⎥⎦ ; A
∼
=
⎡⎢⎢⎢⎢⎣
A11 A12 · · · A1r
A21 A22 · · · A2r
......
Ar1 Ar2 · · · Arr
⎤⎥⎥⎥⎥⎦
A∼
− matrica sistema (zavisi od topologije kola, vrste elemenata, vrijednosti). Red matrice
sistema odreuje red slozenosti kola. Matrica A∼
je nesingularna. Matricu f∼
(t) mozemo za
kolo koje posmatramo (linearno i reciprocno) predstaviti preko ekscitacije e∼
(t).
f∼
(t) = B1
∼
e∼
(t) +B2
∼
e∼
(t)
e∼
(t) =
⎡⎢⎢⎢⎢⎣
e1(t)
e2(t)...
er(t)
⎤⎥⎥⎥⎥⎦
B1
∼
− matrica reda r× s, B2
∼
− matrica reda r× s. Drugi clan u izrazu za f∼
(t) dat kao B2
∼
e∼
(t),
pojavljivace se samo u slucajevima kada kolo sadrzi EC konture i/ili LJ presjeke. Ako kolo
ne sadrzi RC konture i LJ presjeke tada pišemo:
x∼
(t) = A∼
x∼
(t) +B∼
e∼
(t)
Na slican nacin mozemo odrediti izlaze (kada su poznate promjenljive stanja)
y1(t) = C11x1 + C12x2 + ...+ C1rxr + g1
y2(t) = C21x1 + C22x2 + ...+ C2rxr + g2
...
yp(t) = Cp1x1 + Cp2x2 + ...+ Cprxr + gp
Konstante Cij ( i, j = 1, 2, ..., p, r) su realne velicine i zavise od topologije i vrijednosti param-
etara kola. Neki od njih mogu biti jednaki nuli, g1...gp− su funkcije koje zavise od ekscitacije.
U matricnom obliku
y∼
(t) = C∼
x∼
(t) + g∼
(t)
344
Matrica C∼
je reda p× r a matrica g∼
(t) se moze napisati kao
g∼
(t) = D1
∼
e∼
(t) +D2
∼
e∼
(t)
Matrice D1
∼
i D2
∼
su reda p × s. I u ovom slucaju vazi da se clan D2
∼
e∼
(t) javlja samo u
slucaju kada se u kolu pojavljuju EC konture i/ili LJ presjeci. U suprotnom je:
y∼
(t) = C∼
x∼
(t) +D∼
e∼
(t)
Dakle, dobili smo sistem:
x∼
(t) = A∼
x∼
(t) +B∼
e∼
(t) (9.471)
y∼
(t) = C∼
x∼
(t) +D∼
e∼
(t) (9.472)
Jednacine (9.471) i (9.472) cine sistem stanja. Ovaj se sistem naziva još i model stanja ili
prostor stanja. Matrica A∼
je matrica sistema dimenzija r × r, gdje je r
r = bL + bC −mC −mL
gdje je: bL− ukupan broj kalemova, bC− ukupan broj kondenzatora, mL − broj LJ presjeka
i mC − broj EC kontura.
Primjer: Za kolo prikazano na slici 9.286 formirati sistem jednacina stanja. Rešenje:
J
eL
2RCCu1R 2u
1i
Li
1µ
1
Slika 9.286: Formiranje jednacina stanja
KZS za cvor 1:
CduCdt
= −G1uC − iL + J
KZN za konturu µ1
LdiLdt
= uC −R2iL − e
345
gdje je:
G1 =1
R1
U kolu imamo dva dinamicka elementa i nema LJ presjeka niti EC kontura te je r = 2 a
promjenljive stanja su
x∼
(t) =
[uC
iL
]
x∼
(t) =
[uC
iL
]
Potrebno je formirati sistem dat relacijama (9.471) i (9.472). Matrica e∼
(t) je jednaka
e∼
(t) =
[e
J
]
Po jednacini (9.471)[uC
iL
]=
[−G1
C− 1
C
1
L−R2
L
][uC
iL
]+
[0 1
C
1
L0
][e
J
]
Ako za izlazne promjenljive odaberemo struju i1 i napon u2, vidimo da je:
y∼
(t) =
[i1
u2
]
Sa slike 9.286 vidimo da je i1 = G1uC i u2 = iLR2. pa je po relaciji (9.472)[i1
u2
]=
[G1 0
0 R2
][uC
iL
]+ 0∼
Matrica D∼
je jednaka nuli jer smo struju i1 i napon u2 izrazili preko promjenljivih stanja x∼
(t).
9.1 Nacini rešavanja jednacina stanja
Polazeci od:
x∼
(t) = A∼
x∼
(t) +B∼
e∼
(t)
y∼
(t) = C∼
x∼
(t) +D∼
e∼
(t)
analiziracemo sledece slucajeve:
346
1. Ako su svi izvori u kolu iskljuceni (naponske kratko spojimo, a strujne ostavimo u
praznom hodu ) tada je:
e∼
= 0
U ovom slucaju dinamika u kolu se vrši na nacin akumulisane energije, pa je
x∼
(t) = A∼
x∼
(t) (9.473)
Rješenje trazimo u obliku:
x∼
(t) = eA∼
t
x∼
(0) (9.474)
Vektor (matrica kolona) x∼
(0) predstavlja vrijednosti pocetnog stanja, odnosno pocetne en-
ergije. Ako je ekscitacija razlicita od nule e∼
= 0, rešenje jednacine(9.473) se trazi u obliku:
x∼
(t) = eA∼
tF∼
(t) (9.475)
gdje je F∼
(t) neka matricna vremenska funkcija. Diferenciranje jednacine (9.475) po vre-
menudobija se:
x∼
(t) = A∼
eA∼
tF∼
(t) + eA∼
tF∼
(t) = A∼
x∼
(t) + eA∼
tF∼
(t) (9.476)
Poreenjem jednacina (9.471) i (9.476) dobija se:
eA∼
tF∼
(t) = B∼
e∼
(t) (9.477)
Mnozenjem jednacine (9.477) slijeva sa e−A∼
t, pa njenom integracijom, dobija se
F∼
(t) =
t∫−∞
e−A∼
τB∼
(τ)e∼
(τ)dτ =
0∫−∞
e−A∼
τB∼
(τ)e∼
(τ )dτ +
t∫0
e−A∼
τB∼
(τ )e∼
(τ)dτ
Kombinacijom ovog izraza sa jednacinom (9.475) dobija se
x∼
(t) = eA∼
t
0∫−∞
e−A∼
τB∼
(τ )e∼
(τ )dτ + eA∼
t
t∫0
e−A∼
τB∼
(τ)e∼
(τ )dτ (9.478)
Jednacina (9.478) za t = 0 dobija oblik
x∼
(0) = eA∼
t
0∫−∞
e−A∼
τB∼
(τ)e∼
(τ )dτ
Konacno dobijamo:
347
x∼
(t) = eA∼
tx∼
(0) + eA∼
t
t∫0
e−A∼
τB∼
(τ )e∼
(τ )dτ (9.479)
gdje je:
eA∼
tx∼
(0)
odziv usled pocetnih uslova a
eA∼
t
t∫0
e−A∼
τB∼
(τ )e∼
(τ )dτ
odziv usled ukljucenja. Dalje imamo da je
y∼
(t) = C∼
eA∼
tx∼
(0) + C∼
eA∼
t
t∫0
e−A∼
τB∼
(τ)e∼
(τ)dτ (9.480)
gdje je:
C∼
eA∼
tx∼
(0)
odziv usled pocetnih uslova, a
C∼
eA∼
t
t∫0
e−A∼
τB∼
(τ)e∼
(τ)dτ
odziv usled ukljucenja. Napomena: Uvijek je lakše riješiti r diferencijalnih jednacina prvog
reda nego jednu diferencijalnu jednacinu r - tog reda. Metod jednacina stanja je sistematski
metod i za razliku od Laplasove transformacije daje rešenja direktno u vremenskom domenu.
Matematicki gledano, prelaz sa jednacina stanja do diferencijalne jednacine r - tog reda je jed-
noznacan (uzastopnim diferenciranjem po nekoj izlaznoj promjenljivoj [r − 1] puta). Meu-
tim, i sa diferencijalne jednacine r - tog reda moguce preci na sistem od r diferencijalnih
jednacina prvog reda, ali taj prelaz nije jednoznacan. Postavlja se pitanje kako dobiti karak-
teristicnu jednacinu i njena rešenja preko slozenosti matrice A∼
i same matrice A∼
. Uvedimo
sopstvene vrijednosti matrice λi, i = 1, 2, ..., r, koje se dobijaju iz:
∆(λ) = detλ1∼
−A∼
= 0,
gdje je: 1∼
jedinicna matrica. Sopstvene vrijednosti matrice A∼
se poklapaju sa korijenima
karakteristicne jednacine. Primjenom Laplasove transformacije, dobija se:
x∼
(t)L−→ sx
∼
Pa je karakteristicna jednacina po s data kao:
348
∆(s) = dets 1∼
−A∼
= 0
Rešavanjem ove jednacine po s dobija se karakteristicna jednacina:(sx∼
− A∼
x∼
)=
(s1∼
− A∼
)x∼
= 0
Sada se postavlja pitanje kako naci Grinovu i indicionu funkciju? Ove dvije funkcije se traze
za kolo bez pocetne energije pa je x∼
(0) = 0 i ako je e∼
(t) = h(t) (Hevisajdova funkcija) dobija
se:
x∼
= eA∼
t[−e
A∼
tA∼
−1
]∣∣∣t0
B∼
=(eA∼
t − 1)A∼
−1B∼
(9.481)
y∼
= C∼
(eA∼
t − 1)A∼
−1B∼
(9.482)
Relacije (9.481) i (9.482) predstavljaju indicione funkcije za promjenljive stanja x∼
i ulazne
promjenljive y∼
. Ako je e∼
(t) = δ(t) (impulsna funkcija), dobija se:
x∼
= eA∼
tB∼
(9.483)
y∼
= C∼
eA∼
tB∼
+D∼
δ(t) (9.484)
Zadne dvije relacije predstavljaju Grinove funkcije za promjenljive stanja x∼
i ulazne prom-
jenljive y∼
.
FURIJEOVA TRANSFORMACIJA
Furijeovi redovi su nam omogucili da analizu slozenoperiodicnih stanja svedemo na analizu
prostoperiodicnih stanja.
10.1 Direktna Furijeova transformacija
Ako imamo vremensku funkciju f(t) tada njenu Furijevu transformaciju oznacavamo i definišemo:
Ff(t) = F (jω) =
+∞∫−∞
f (t) e−jωt dt (10.485)
Dakle, vremenskoj funkciji f(t) dodjeljujemo kompleksnu funkciju F (jω). To je D
F T (DFT) ili kratko Furijeva transformacija. Integral u relaciji
(10.485) se moze dobiti transformacijom nad kompleksnim Furijeovim redom.
10.1.1 Osnovni uslovi za egzistenciju direktne Furijeve transforma-
cije
Da bi postojala Furijeova trenasformacija neke funkcije f(t) moraju biti zadovoljeni sledeci
uslovi:
1. Vremenska funkcija f(t) ne smije da ima drugih prekida sem prekida prve vrste (konacni
prekidi).
2. Broj ovakvih prekida mora biti konacan.
3. Uslov apsolutne integrabilnosti odnosno
+∞∫−∞
f (t) dt
mora da ima konacnu vrijednost što znaci da je f (±∞) = 0.
349
350
Uslovi (1,2,3) smatraju se strogim uslovima pa veliki broj funkcija u klasicnom smislu nema
DFT. Npr. prostoperiodicne velicine (sin t i cos t) pa i Hevisajdova funkcija nemaju DFT.
10.2 Inverzna Furijeova transformacija
Za funkciju f(t), I F T (IFT) se definiše kao
f (t) =1
2π
+∞∫−∞
F (jω) ejωt dω (10.486)
Relacija (10.486) se naziva i Furijeov integral. Inverza Furijeova transformacija predstavlja
uopštenje Furijeovog reda u kompleksnom obliku za bilo koju vremensku funkciju f(t) koja
zadovoljava svojstva 1,2,3. Ovo se kratko obeljezava:
F−1 F (jω) = f(t)
Primjer: Odrediti Furijeovu transformaciju funkcije f(t) = e−αth(t) (h(t) - Hevisajdova
funkcija)
1
t
( )= ( )tf t e h tα−
Da bi ova funkcija f(t) imala Furijevu transformaciju treba da je α > 0 i tada imamo:
F (jω) = F f(t) =
+∞∫−∞
f (t) e−jωtdt =
+∞∫−∞
e−αth(t)e−jωtdt =
∞∫0
e−αte−jωtdt =
∞∫0
e−(α+jω)tdt
= e−(α+jω)t 1
− (α + jω)
∣∣∣∣+∞0
0−(
1
− (α + jω)
)=
1
α+ jω
Dakle, DFT od f(t) je:
Fe−αth(t)
=
1
α + jω
uz uslov da je α > 0. Relacije (10.485) i (10.486) kojima se izrazavaju DFT i IFT nazivaju
se prvim oblicima Furijeve transformacije.
351
10.3 Drugi oblik za DFT i IFT
Polazeci od prvog oblika za DFT oblika (10.485) i Ojlerovog obrasca ejα = cosα + j sinα
mozemo pisati
F (jω) =
+∞∫−∞
f (t) e−jωtdt =
+∞∫−∞
f (t) (cosωt− j sinωt) dt =
+∞∫−∞
f (t) cosωtdt− j
+∞∫−∞
f (t) sinωtdt
Kosinusna transformacija je data izrazom
F1 (ω) =
+∞∫−∞
f (t) cosωtdt
dok je sinusna transformacija.
F2 (ω) =
+∞∫−∞
f (t) sinωtdt
pa na kraju dobijamo da je Furijeova transformacije funkcije f(t) jednaka
F (jω) = F1 (ω)− jF2 (ω) (10.487)
Relacija (10.487) predstavlja drugi oblik DFT. Polazeci od osnovnog oblika za inverzni Furi-
jeovu transformaciju
f (t) =1
2π
+∞∫−∞
F (jω) ejωtdω =1
2π
+∞∫−∞
[F1 (ω)− jF2 (ω)] [cosωt− j sinωt] dω
f(t) =1
2π
+∞∫−∞
[F1 (ω) cosωt+ F2 (ω) sinωt] dω + j1
2π
+∞∫−∞
[F1 (ω) sinωt− F2 (ω) cosωt] dω
(10.488)
Gledajuci fizicki, funkcija f(t) je realna i bilo kakva njena transformacija mora biti realna.
Zato je dio uz "j" u relaciji (10.488) jednak nuli pa je:
f (t) =1
2π
+∞∫−∞
[F1 (ω) cosωt + F2 (ω) sinωt] dω (10.489)
Relacija (10.489) predstavlja drugi oblik inverzne Furijeove transformacije. Napomena:
Funkcija F1 (ω) je parna funkcija zato što sadrzi cosωt. Funkcija F2 (ω) je neparna funkcija
352
zato što sadrzi sinωt. Proizvod (neparna · parna) = neparna =⇒ F1 (ω) sinωt = neparna.
F2 (ω) cosωt = neparna, pa je integral
+∞∫−∞
[F1 (ω) sinωt− F2 (ω) cosωt] dω = 0 (10.490)
Cinjenica da je integral u relaciji (10.490) jednak nuli izrazava zavisnost F1 (ω) i F2 (ω)
tj. F1 (ω) i F2 (ω) se ne mogu nezavisno zadavati jer moraju zadovoljiti dati integral. To
je posledica K-R uslova diferencijabillnosti kompleksne funkcije koja zavisi i od
realnog i imaginarnog dijela.
10.4 Treci oblik za DFT i IFT
Treci oblik za DFT dobijamo polazeci od relacije F (jω) = F1 (ω)− jF2 (ω) pa imamo
F (ω) = mod F (jω) =√
F 21 (ω) + F 2
2 (ω) (10.491)
θ(ω) = arg F (jω) = arctanF2 (ω)
F1 (ω)(10.492)
Funkcija izrazena relacijom (10.491) je parna funkcija po ω a funkcija izrazena relacijom
(10.492) je neparna funkcija po ω. Na kraju imamo
F (jω) = F (ω) ejθ(ω) (10.493)
što predstavlja treci oblik za DFT. Funkcije F (ω) i θ(ω) nazivaju se zajednickim imenom
spektar ucestanosti vremenske funkcije f(t) i to: F (ω) - amplitudski spektar i θ(ω) -
fazni spektar. Iz ovog se razloga i primjena Furijeovih transformacija u elektrotehnici naziva
spektralna analiza. Treci oblik za IFT dobijamo polazeci od drugog oblika za IFT odnosno
relacije (10.489) imamo
F1 (ω) = F (ω) cos θ (ω)
−F2 (ω) = F (ω) sin θ (ω)
Sada je:
f (t) =1
π
+∞∫0
[F (ω) cos θ (ω) cosωt− F (ω) sin θ (ω) sinωt] dt
353
f (t) =1
π
+∞∫0
F (ω) cos [θ (ω) + ωt] dω (10.494)
Relacija (10.494) predstavlja treci oblik IFT.
10.5 Osobine Furijeove transformacije
Ako imamo vremensku funkciju f(t) koja zadovoljava uslove egzistencije Furijeve transforma-
cije, tada je njena Furijeva transformacija F (jω) (Furijeva transformacija = DFT u tekstu)
f(t)F−→ F (jω)
1. Ako imamo zbir C1f1(t) + C2f2(t) tada je Furijeva transformacija jednaka
C1F1(jω) + C2F2 (jω)
Ova osobina naziva se osobina linearnosti.
2. Ako imamo funkciju f( t
a) gdje je a =const tada je Furijeva transformacija
|a|F (jωa)
Ova osobina se naziva teorema skaliranja (ili promjena mjerila). Ova teorema ukazuje
na sledece: što funkcija f(t) krace traje u vremenu treba širi kompleksni spektar i
obratno.
3. Ako imamo pomjerenu vremensku funkciju f(t− τ) tada je Furijeva transformacija
e−jωτF (jω)
Ovo je teorema kašnjenja.
4. Ako imamo proizvod ejω0τf(t) tada je Furijeova transformacija
ejω0τf(t)F−→ F (jω − jω0)
Ova teorema se naziova teorema pomjeraja u vremensakom domenu. Pomjeranje
u vremenu za τ znaci mnozenje sa e−jωτ u kompleksnom domenu dok pomjeranje u
kompleksnom domenu za jω0 znaci mnozenje sa ejω0τ u vremenskom domenu.
354
5. Teorema simetricnosti (vazna osobina): Ako imamo F (jt) tada je Furijeva trans-
formacija 2πf(−ω). Ako zamijenimo mjesta promjenjivim (ω i t) dobijamo teoremu
simetricnosti.
6. Ako imaamo funkciju f(−t) tada je
f(−t)F−→ F (−jω)
7. Teorema o diferenciranju u vremenskom domenu
dn
dtn[f(t)]
F−→ (jω)n F (jω) za n = 1, 2, 3.....
8. Teorema o diferenciranju u kompleksnom odmenu
tnf(t)F−→ (−1)n
dn
d (jω)nF (jω)
9. Konvolucija dvije funkcije u vremenskom domenu:
f1 (t) ∗ f2 (t) F−→ F1 (jω)F2 (jω)
10. Konvolucija u kompleksnom domenu
f1 (t) f2 (t)F−→ 1
2πF1 (jω) ∗ F2 (jω)
11. Osobina modulacije
f (t) cosω0tF−→ 1
2[F (jω + jω0) + F (jω − jω0)]
f (t) sinω0tF−→ 1
2j[F (jω − jω0)− F (jω + jω0)]
12. Paservalova teorema u Furijevoj transformaciji
+∞∫−∞
f1 (t) f∗
2 (t) dt =1
2π
+∞∫−∞
F1 (jω)F∗
2 (ω) dω
f ∗2 (t) - konjugovano kompleksna funkcija iako mi radimo samosa realnim funkcijama radi
opštosti koristimo mogucnost kompleksne funkcije. Specijalno, ako je f1 (t) = f2 (t) = f (t)
355
dobijamo teoremu Releja ili teoremu energije:
+∞∫−∞
f 2 (t) dt =1
2π
+∞∫−∞
|F (jω)|2 dω
gdje je
|F (jω)| = F (ω) = mod F (jω)
Ispostavlja se da neke vazne funkcije u elektrotehnici nemaju Furijevu transformaciju u klasicnom
smislu (npr. sin, cos, Hevisajdova funkcija itd.). Zato moramo napraviti neka uopštenja: Ako
posmatramo vremenskom funkciju f (t) = f1 (t) + jf2 (t) i njoj pridruzimo Furijevu trans-
formaciju F (jω) = R (ω) + jX (ω) i polazeci od definicije DFT i IFT mozemo napisati:
R (ω) =
+∞∫−∞
[f1 (t) cosωt+ f2 (t) sinωt] dt
X (ω) =
+∞∫−∞
[f2 (t) cosωt− f1 (t) sinωt] dt
i obrnuto
f1 (t) =1
2π
+∞∫−∞
[R (ω) cosωt−X (ω) sinωt] dω
f2 (t) =1
2π
+∞∫−∞
[R (ω) sinωt+X (ω) cosωt] dω
Za realni signal (nema imaginarnog dijela) f2 (t) = 0 i f (t) = f1 (t) pa dobijamo
R (ω) =
+∞∫−∞
f (t) cosωtdt
koja je parna funkcija
X (ω) = −+∞∫−∞
f (t) sinωtdt
koja je neparna funkcija. Dalje, R(−ω) = R(ω) i X(−ω) = −X(ω) pa kao posledicu imamo
da je za realne signale
F ∗ (jω) = F (−jω)
356
Ako je f(t) - parna funkcija odnosno f(−t) = f(t) tada je X (ω) = 0 (ako je f(t) parana
funkcija tada je F (jω) realna funkcija) pa vazi
F (jω) = R (ω) =
+∞∫−∞
f (t) cosωt︸ ︷︷ ︸parna×parna
dt = 2
+∞∫0
f (t) cosωtdt
Ako je f(t) - neparna funkcija odnosno f(−t) = −f(t) tada je R (ω) = 0 (za neparnu funkciju
f(t) funkcija F (jω) je cisto imaginarna i eventualno kompleksna) i
F (jω) = jX (ω) = −j
+∞∫−∞
f (t) sinωtdt = −2j
+∞∫0
f (t) sinωtdt
Primjer: Posmatrajmo funkciju f (t) = 1
t. Ovo je neparna funkcija odakle slijedi da je
R (ω) = 0 pa je Furijeova transformacija
F (jω) = −j
+∞∫−∞
1
tsinωtdt
Da bi riješili ovaj integral, prelazimo na kompleksnu funkciju i preko teoreme o rezidiumima
imamo da je:+∞∫−∞
ejtx
xdx = jπ za t > 0
+∞∫−∞
ejtx
xdx = −jπ za t < 0
Preko funkcije znaka ovo mozemo sazeti u:
+∞∫−∞
ejtx
xdx = jπ sgnt
Sada imamo
+∞∫−∞
ejtx
xdx =
+∞∫−∞
cos tx+ j sin tx
xdx =
+∞∫−∞
cos tx
xdx+ j
+∞∫−∞
sin tx
xdx == j
+∞∫−∞
sin tx
xdx
357
jer je cos tx parna funkcija, 1
xneparna funkcija a njihov proizvod je neparna funkcija pa je
integral
+∞∫−∞
cos tx
xdx = 0. Sada je:
F (jω) = −j
+∞∫−∞
sinωt
tdt =
−jπ ω > 0
jπ ω < 0
Koristeci funkciju znaka imamo
F
1
πt
= −j sgnω
Kao posledicu ovog razmatranja imamo i relaciju:
+∞∫−∞
sin at
πt= 1
Ako imamo funkciju f(−t) onda je po definiciji Ff(−t) = F (−jω) i F (−jω) = R(ω) −jX(ω) jer smatramo da je f(−t) realan signal tj. F (−jω) = F ∗(jω). Tada funkciji f(t)
odgovara R(ω)+ jX(ω) tj. f(−t)F−→ R(ω)− jX(ω). Pošto proizvoljna funkcija ima parni i
neparni dio to mozemo pisati da je parni dio funkcije (engleski: even) jednak fe(t) =Evf(t)a neparni dio funkcije (engleski: odd) jednak fo(t) =Odf(t). Tada se parni i neparni dio
mogu dobiti kao
fe(t) =f(t) + f(−t)
2
fo(t) =f(t)− f(−t)
2
Odavde zakljucujemo da parnom dijelu funkcije f(t) odgovara realni dio F (jω) odnosno
neparnom dijelu funkcije f(t) odgovara imaginarni dio F (jω):
fe(t) −→ R(ω)
fo(t) −→ X(ω)
Ako funkcija ispunjava uslov da je f(t) = 0 za t < 0 tada za nju kazemo da je kauzalna.
Tada za kauzalne funkcije vazi:
f(t) = 2fe(t) = 2fo(t) za t > 0 (10.495)
358
pa je:
f(t) =2
π
+∞∫−∞
R (ω) cosωtdω = −2
π
+∞∫0
X (ω) cosωtdω
Ova relacija je posledica diferencijabilnosti kompleksne funkcije kod koje se kao posledica
Koši-Rimanovih uslova R(ω) i X(ω) ne mogu posebno i nezavisno zadavati.
Primjer: Naimo Furijevu transformaciju funkcije: f(t) = e−α|t| tj. Fe−α|t|
=?
Rješenje: Imali smo da je za α > 0
Fe−αth(t)
=
1
α + jω=
α
α2 + ω2− j
ω
α2 + ω2
Kako je e−α|t| parni dio funkcije 2e−αth(t) tj. e−α|t| =Ev2e−αth(t) tada koristeci osobinu
(10.495) imamo:
Fe−α|t|
= 2Re(ω) =
2α
α2 + ω2
Koristeci teoremu simetrije imamo:
F (jt) ⇐⇒ 2πf(−jω)
pa iz
e−α|t| −→ 2α
α2 + ω2
dobijamo2α
α2 + t2−→ 2πe−α|ω|
10.6 Funkcija prozora (Window Function)
Ako imamo funkciju w(t) sa osobinom da je w(t) = 0 za |t| > T onda se za funkciju w(t)
definiše Furijeva transformacija funkcije fw(t)
Fw(jω) =
+∞∫−∞
f (t)w (t) e−jωtdt
gdje je fw (t) = f (t)w (t) . Pravougaona prozorska funkcija ne vrši nikakvu modifikaciju
ulaznog signala, osim odsijecanja u slucajevima kada je posmatrana funkcija (signal) beskon-
acnog trajanja ili kada je njegova duzina veca od duzine upotrijebljene prozorske funkcije.
Furijeova transformacija funkcije w(t) je jednaka
W (jω) =
+∞∫−∞
w (t) e−jωtdt
359
Koristeci osobinu konvolucije funkcija u kompleksnom domenu imamo da je (proizvodu funkcija
f(t)w(t) u vremenskom domenu odgovara konvolucija funkcija u kompleksnom domenu)
Fw(jω) =1
2π
+∞∫−∞
F (jω − jy)W (jy)dy
Definisali smo inverznu Furijevu transformaciju (IFT) kao:
f(t) = F−1 F (jω) =1
2π
+∞∫−∞
F (jω)ejωtdω (10.496)
Relacija (10.496) predstavlja funkciju f(t) u citavom domenu (−∞,+∞). Ako se ogranicimo
na interval (−σ,+σ) funkciju f(t) aproksimiramo sa funkcijom fσ(t) definisanom kao:
fσ(t) =1
2π
+σ∫−σ
F (jω)ejωtdω
Jasno je da fσ(t) −→σ−→∞
f(t). To znaci da sve transformacije (i DFT i IFT) treba shvatiti kao
glavne vrijednosti Furijevih integrala.
fσ(t) =1
2π
+σ∫−σ
F (jω)ejωtdω =1
2π
+σ∫−σ
ejωt
⎡⎣+∞∫−∞
f (τ) e−jωτdτ
⎤⎦
︸ ︷︷ ︸F (jω)
dω =1
2π
+∞∫−∞
f (τ )
⎡⎣+σ∫−σ
ejω(t−τ)dω
⎤⎦ dτ
fσ(t) =
+∫−σ
f (τ )sin σ (t− τ )
π (t− τ)dτ (10.497)
Relacija (10.497) predstavlja Furijev integral sa jezgrom.
sin σ (t− τ )
π (t− τ)
360
sinat
tπ
a
π
−
a
π
a
π
t
sin at
πt→a→ω
δ (t)
Da bi dokazali da je sinat
πtaproksimacija δ (t) funkcije (impulsne Dirakove funkcije), imamo:
( )a
p t
1
a− a t
pa (t) =
1
0
|t| < a
|t| > a
Furijeva transformacija funkcije pa (t) je:
Fpa (t) =
+∞∫−∞
pa (t) e−jωtdt =
a∫−a
1e−jωtdt =e−jωt
−jω
∣∣∣∣∣∣a
−a
=e−jωa
−jω+
ejωa
jω=
2 sin aω
ω
Oznacavajuci Si(t) kao:
Si(t) =
t∫0
sin τ
τdτ
koji se naziva integral sinus tada imamo
fσ(t) =
+σ∫−σ
1sinσ (t− τ )
π (t− τ)dτ =
1
πSi [σ (t+ a)− Siσ (t− a)]
361
Za realne signale IFT zapisujemo kao:
f(t) =1
2π
+∞∫−∞
F (jω)ejωtdω
tj.
f(t) =1
πRe
⎧⎨⎩
+∞∫0
F (jω)ejωtdω
⎫⎬⎭
Furijeova transformacija impulsne funkcije Fδ (t) je jednaka po definiciji
Fδ (t) =
+∞∫−∞
δ (t) e−jωtdt
Koristeci osobinu filtracije impulsne funkcije δ (t)
+∞∫−∞
f (t) δ (t) dt = f (0)
a kako je f (t) = e−jωt odakle slijedi da je f(0) = 1 dobijamo
F δ (t) = 1 (10.498)
Ovdje se vidi teorema skaliranja, što funkcija f(t) krace traje u vremenskom domenu treba
širi kompleksni spektar i obratno. Primjenjujuci IFT mozemo doci do jednog definicionog
obrasca Dirakove (impulsne) funkcije
δ(t) =1
2π
+∞∫−∞
F δ (t) ejωtdω =1
2π
+∞∫−∞
ejωtdω
Koristeci svojstvo simetrije imamo da iz Fδ (t) = 1 slijedi da je inverzna Furijeova trans-
formacija izraza (10.498) jednaka
F−1 1 = 2πδ (−ω) = 2πδ (ω)
što znaci da je
δ (t)F−→ 1
1F−1−→ 2πδ (ω)
362
Ako postoji konstanta A tada bi njoj odgovarala IFT oblika
AF−1−→ 2πAδ (ω)
Ovdje mozemo postaviti pitanje: Cemu je je jednaka Furijeova transformacija Hevisajdove
funkcije (koja u klasicnom smislu nema Furijevu transformaciju ali je pokušajmo dobiti preko
δ funkcije)? Hevisajdovu funkciju mozemo zapisati u obliku
h (t) =1
2+
1
2sgnt
Furijeva transformacija od konstante je jednaka 2πAδ (ω) . Treba odrediti još Furijevu trans-
formaciju Fsgnt. Utvrdili smo da je
F
1
πt
= −jsgnω
pa koristeci svojstvo simetrije [zamijenimo ω i t tj. f(t) −→ F (jω), F (jt) −→ 2πf(−ω)] imamo:
sgnt −→ 2
jω
Sada je
F h (t) = F
1
2+
1
2sgnt
= F
1
2
+
1
2F sgnt =
2πδ (ω)
2+
1
2
2
jω= πδ (ω) +
1
jω
Fh (t) = πδ (ω) +1
jω︸ ︷︷ ︸posotji realni i imaginarni dio
(10.499)
Dakle, Furijeova transformacija Hevisajdove funkcije h(t) se ne moze prikazati preko klasicnih
vec preko generalisanih funkcija (δ (t)). Ako postoji funkcija f(t) cija je Furijeova transfor-
macija F (jω) treba odrediti Furijeovu transformaciju integrala
F
⎧⎨⎩
t∫−∞
f (τ) dτ
⎫⎬⎭ =?
Integral∫
t
−∞f (τ) dτ mozemo shvatiti kao konvoluciju funkcija f (t) ∗ h (t), odnosno
t∫−∞
f (τ ) dτ = f(t) ∗ h(t)
363
Dokaz: Koristeci osobinu da je
Ff (t) ∗ h (t) = F (jω)F h (t)
imamo da je
F
⎧⎨⎩
t∫−∞
f (τ ) dτ
⎫⎬⎭ = F (jω)
[πδ (ω) +
1
jω
]= πF (jω) δ (ω) +
F (jω)
jω= πF (0) δ (ω) +
F (jω)
jω
F
⎧⎨⎩
t∫−∞
f (τ) dτ
⎫⎬⎭ = πF (0) δ (ω) +
F (jω)
jω(10.500)
Ovdje treba napomenuti da je F
∫t
−∞
f (τ ) dτ
= F (jω)
jωako je F (0) = 0 gdje je
F (0) =
∫ +∞
−∞
f (t) e−jωtdt
∣∣∣∣ω=0
=
∫ +∞
−∞
f (t) dt. Kao posljedice ovih osobina imamo niz koris-
nih relacija:
1. Koristeci teoremu pomaka imamo da je
δ (t− a) e−jωa
2. Koristeci teoremu o pomjeraju u kompleksnom domenu
ejωt 2πδ (ω − a)
Sada mozemo naci Furijevu transformaciju funkcija sin i cos:
cosω0t =1
2
(ejω0t + e−jω0t
)=⇒ F cosω0t = πδ(ω − ω0) + πδ(ω + ω0)
sinω0t =1
2j
(ejω0t − e−jω0t
)=⇒ F sinω0t =
π
j[δ(ω − ω0)− δ(ω + ω0)]
Koristeci ove osobine naci Furijeove transformacije: F(cosω0t)h (t) =? i F(sinω0t)h (t) =
? (cosω0t - je parna funkcija i ima samo realni dio spektra sinω0t - neparna funkcija i ima
samo imaginarni dio spektra). Iskoristimo teoremu modulacije:
Ff (t) cosω0t =1
2[F (jω − jω0) + F (jω + jω0)]
364
F f (t) sinω0t =1
2j[F (jω − jω0)− F (jω + jω0)]
gdje je F (jω) =Ff (t). U ovom slucaju je f (t) = h (t). Furijeva transformacija
Hevisajdove funkcije je Fh (t) = πδ (ω) + 1
jωpa imamo
F(cosω0t) h (t) =1
2
[πδ(ω − ω0)− πδ(ω + ω0) +
1
j (ω − ω0)+
1
j (ω + ω0)
]=
=π
2[δ(ω − ω0)− δ(ω + ω0)] +
1
2
ω + ω0 + ω − ω0
j (ω − ω0) (ω + ω0)=
=π
2[δ(ω − ω0)− δ(ω + ω0)] +
ω
j (ω2
0− ω2)
F (cosω0t)h (t) =π
2[δ(ω − ω0)− δ(ω + ω0)]︸ ︷︷ ︸
realni dio
+ jω
(ω2
0− ω2)︸ ︷︷ ︸
imaginrni dio
Ova dva dijela su zavisna tj. ne mogu se zadavati zbog Koši-Rimanovih uslova. Na isti nacin
dobijamo za sledecu funkciju
F(sinω0t) h (t) =1
2j
[πδ(ω − ω0)− πδ(ω + ω0) +
1
j (ω − ω0)− 1
j (ω + ω0)
]=
= jπ
2[δ(ω + ω0)− δ(ω − ω0)] +
1
2j
ω + ω0 − ω + ω0
j (ω − ω0) (ω + ω0)=
= jπ
2· [δ(ω + ω0)− δ(ω − ω0)]− 1
2
2ω0
(ω2 − ω2
0)=
= jπ
2[δ(ω + ω0)− δ(ω − ω0)]︸ ︷︷ ︸
imaginrni dio
+ω0
(ω2
0− ω2)︸ ︷︷ ︸
realni dio
F(sinω0t) h (t) =ω0
(ω2
0− ω2)
+ jπ
2[δ(ω + ω0)− δ(ω − ω0)]
Dakle, uvoenjem impulsne δ - funkcije dobili smo Furijeve fransformacije i onih funkcija
koje nemaju Furijevu fransformaciju u klasicnom obliku (npr. sin, cos) a izuzetno su vazne u
elektrotehnici.
10.7 Primjena Furijeove transformacije u analizi elek-
triocnih kola
Sa primjenom Furijeove transformacije u analizi elektricnih kola ulazimo u analizu dinamike
elektricnih kola, jer smo do sada analizirali samo stacionarno stanje i ustaljeni rezim kola a
nismo razmatrali dinamiku kola koja u sebi sadrzi prelazne procese.
Posmatrajmo prosto RL - kolo i naponski generator proizvoljne vremenske zavisnosti ug (t)
365
( )gu t
( )Ru t ( )Lu t
R L
Π
( )i t
Slika 10.287: Prosto RL kolo
kao na slici 10.287. i u trenutku t0 "ukljucujemo" generator u kolo zatvaranjem prekidaca
Π. Sve radnje gdje vršimo neke izmjene: ukljucivanje, iskljucivanje kola, promjena neke
grane itd. nazivamo komutacijom (promjena strukture kola ili ON/OFF). Izvori (naponski
ili strujni) nazivaju se eksitacijom. Pod uticajem eksitacije u kolu ce nastupiti promjena
struja i napona i ta posledica komutacije (ukljucivajnem eksitacije u kolo) naziva se odziv.
U posmatranom kolu ug (t) je eksitacija a i (t) , uR (t) , uL (t) su odzivi. Pretpostavimo
da je kalem imao neku pocetnu energiju izrazenu strujom I0 koja je posledica akumulacije u
kalemu prije komutacije. Koristimo termin: I0 - pocetni uslov. Promjene u kolu se vrše na
racun promjene energije eksitacije i na racun promjene akumulisane energije u kolu.
10.8 Vrste odziva
10.8.1 Odziv usled akumulisane energije (pocetnih uslova)
Akumulisana energija moze postojati samo dinamickim elementima (magnetna u kalemu i
elektrostaticka u kondezatoru). Pocetni uslovi su: iL (0−) - struja u kalemu i uC (0−
) - napon
na kondenzatoru, jer se magnetna energija moze prikazati kao 1
2Li2L a energija kondezatora
1
2Cu2C. U ovom slucaju odziv neke grane se racuna tako što eliminišemo sve eksitacije u kolu
tj. naponske generatore zamijenimo kratkom vezom a strujne generatore zamijenimo prekidom
kola tj. e (t) = 0.
10.8.2 Odziv ukljucenja
To je odziv usled djelovanja eksitacija u kolu uz nulte pocetne uslove tj. za kolo bez pocetne
akumulisane energije gdje je uC (0−
) = 0 i iL (0−) = 0. U okviru ovog odziva bitni su:
(a) Odziv usled ukljucenja Hevisajdovog generatora (bilo naponskog ili strujnog)
ug (t) = Uh (t)
ig (t) = Ih (t)
366
(b) Odziv usled ukljucenja impulsnog generatora:
ug (t) = Φδ (t)
ig (t) = Qδ (t)
Pokazacemo da ako znamo odziv na Hevisajdov generator ili odziv na impulsni generator
mozemo odrediti odziv za proizvoljnu vremensku eksitaciju (proizvoljna zavisnost naponskog
ili strujnog generatora od vremena)
10.8.3 Kompletan (potpun) odziv
Ovaj odziv ukljucuje i pocetne uslove i komutaciju usled eksitacije u kolu. Vratimo se na RL
- kolo prikazano na slici 10.287. Napon generatora je jednak
ug (t) = uR (t) + uL (t) (10.501)
dok su naponi na otporniku i kalemu jednaki
uR (t) = Ri (t) (10.502)
uL (t) = Ldi (t)
dt(10.503)
Zamjenom (10.502) i (10.503) u (10.501) dobijamo
Ri (t) + Ldi (t)
dt= ug (t) (10.504)
Rlacija (10.504) je diferencijalna jednacina koja opisuje dinamiku prikazanog RL kola. Odziv
usled pocetnih uslova (akumulisane energije) bi bio
Ri (t) + Ldi (t)
dt= 0 ∧ i (0
−
) = I0
Pošto se komutacija vrši u trenutku t = t0 obicno se uzima t0 = 0 pa razlikujemo 0, 0−
, 0+.
Ovdje je ug (t) = 0 jer po definiciji odziva usled pocetnih uslova eliminišemo sve eksitacuje u
kolu (naponski generator predstavlja kratak spoj a strujni prekid). Odziv usled ukljucenja
Ri (t) + Ldi (t)
dt= ug (t) ∧ i (0
−
) = 0
Jednacinu
Ri (t) + Ldi (t)
dt= ug (t)
367
dobro je napisati u operatorskom obliku uvodeci operator
d
dt= D
i ∫()dt = D−1
pa je data jednacina oblika
Ri + LDi = ug (t)
ili
LDi +Ri = ug (t)
a uobicajeno je da se prvi stepen D ostavi sam(D +
R
L
)i =
1
Lug (t) (10.505)
Ako relaciju (10.505) pomnozimo sa R imajucu i vidu da je uR = Ri imamo(D +
R
L
)Ri =
R
Lug (t)
odnosno (D +
R
L
)uR =
R
Lug (t) (10.506)
Ako relaciju (10.505) diferenciramo po t i imajuci u vida da je odziv
uL = Ldi
dt= LDi =⇒ Di =
uLL
dobijamo (D +
R
L
)Di =
1
LDug (t)
(D +
R
L
)uLL
=1
LDug (t)
(D +
R
L
)uL = Dug (t) (10.507)
Posmatrajuci relacije (10.505), (10.506) i (10.507) vidimo da bez obzira koji odziv trazimo,
lijeva strana (D+ R
L) ostaje ista i zakljucujemo da je to posljedica topologije kola dok su desne
strane su razlicite. Riješimo dato RL kolo preko Furijeove transformacije.(D +
R
L
)i (t) =
1
Lug (t) (10.508)
368
Pošto za Furijeovu transformaciju posmatramo ukljucenje u trenutku t = 0 bilo koje vremenske
promjene eksitacije e(t) (slika ??) to je
t
( )e t
E (jω) = F e (t) =
∞∫0
e (τ) e−jωtdt
Ako kolo raspolaze pocetnom energijom to znaci da je u vremenu −∞ < t < 0 kolo bilo
prikljuceno na generator (ili generatore) koji su proizveli tu energiju. Funkcija kojom je
odreena vremenska zavisnost te eksitacije je nepoznata tj. poznati su samo pocetni uslovi
(pocetna energija) kola. Pošto se u F.T. vrši integraljenje u cijelom vremenskom domenu
−∞ < t < +∞ a poznata je eksitacija e(t) koja se ukljucuje u trenutku t = 0, slijedi
zakljucak: Furijeova transformacija se ne moze primijeniti u analizi dinamike elektricnih
kola sa pocetnom energijom. Drugim rijecima, Furijeovu transformaciju u analizi dinamike
elektricnih kola mozemo primijeniti samo za odreivanje odziva ukljucenja (jer su tada pocetni
uslovi jednaki nuli) i moze se primijeniti na one eksitacije koje ispunjavaju uslove egzistencije
Furijeove transformacije i samo u slucaju odziva ukljucenja. Oznacimo:
I (jω) = F i (t)
Ug (jω) = F ug (t)
Primijenimo Furijeovu transformaciju na relaciju (10.508)
F
(D +
R
L
)i
= F
1
Lug (t)
Na osnovu osobine linearnosti umjesto D = d/dt pišemo jω(jω +
R
L
)I (jω) =
1
LUg (jω)
I (jω) =1
LUg (jω)
jω + R
L
=Ug (jω)
R+ jωL
Ovaj izraz nas podsjeca na kompleksnu struju za prostoperiodicnu eksitaciju u ustaljenom
rezimu
Z (jω) = R + jωL
369
Dakle, impedansa Z (jω) = R + jωL je ista bilo za prostoperiodicnu eksitaciju ili za
proizvoljnu vremensku eksitaciju. Ako posmatramo ustaljeni rezim za prostoperiodicnu
eksitaciju tada je Ug (jω) - kompleksni predstavnik a ako posmatramo dinamiku kola tada
je Ug (jω) Furijeova transformacija napona ug (t) - proizvoljna zavisnost. Posmatrajmo kolo
prikazano na slici 10.288. i napišimo jednacinu po II Kirhofovom zakonu
( )gu t
( )Ru t ( )Lu t
R L
( )i t
( )Cu t
C
Slika 10.288: Redno RLC kolo
Ri (t) + Ldi (t)
dt+
1
C
+∞∫−∞
i (τ ) dτ = ug (t) (10.509)
Ako relaciju (10.509) diferenciramo i zapišemo u operatorskom obliku iamcemo
Ldi2 (t)
dt2+R
di (t)
dt+
i (t)
C=
dug (t)
dt
(D2 +
R
LD +
1
LC
)i (t) =
1
LDug (t) (10.510)
Relacija (10.510) predstavlja operatorsku jednacina kada je odziv struja i(t). Za vjezbu:
Posmatrajuci isto kolo naci odzive za uR (t) , uL (t) , i uC (t). Primjenjujuci F.T. na (10.509)
imamo (R + jωL+
1
jωC
)I (jω) = Ug (jω)
I (jω) =Ug (jω)
R+ jωL+ 1
jωC
Z (jω) = R+ jωL+1
jωC
Umjesto kompleksnog predstavnika napona uzimamo njegovu F.T. Isto vazi za struju. Za-
kljucak: Sve metode koje su razvijene za analizu ustaljenih rezima u kolima sa prostope-
riodicnom eksitacijom preko kompleksne metode mozemo primjeniti za odreivanje odziva
ukljucenja preko F.T. samo što se umjesto kompleksnih predstavnika struja i napona po-
370
javljuju njihove F.T. Dakle, mogu se primijeniti sve metode i teoreme kao što smo uvoenjem
Furijevog reda sveli analizu kola sa slozenoperiodicnim strujama na kompleksnu analizu uz
ogradu: F.T. mozemo primijeniti na one eksitacije cije vremenske zavisnosti zadovoljavaju
uslove za primjenu F.T. u prelaznom rezimu. Kada odredimo
I (jω) =1
LUg (jω)
jω + RL
pomocu inverzne F.T. dobijamo vremensku promjenu odziva
i (t) = F−1 I (jω) = F−1
1
LUg (jω)
jω + RL
Oblik struje (odziva) i(t) zavisice od oblika eksitacije ug (t). Ako je ug (t) = Uh (t) tj. u RL
- kolu ukljucujemo Hevisajdov generator, tada je F.T.
Fug (t) = FUh (t) = UF h (t) = U
[πδ (ω) +
1
jω
]Zamjenom u polaznu relaciju dobijamo
I (jω) =
UL
[πδ (ω) + 1
jω
]jω + R
L
=Uπδ(ω)
R+ jωL+
U 1
jω
R+ jωL(10.511)
Pošto je δ (ω) = 0 samo za ω = 0 i δ (ω) = 0 za ω = 0, tada zamjenom ω = 0 u relaciju
(10.511) (zamjena ω = 0 se vrši u dijelu izraza u kome se nalaze i ω i δ(ω)) dobijamo
I (jω) =Uπδ(ω)
R+
U
jω(R + jωL)
Da bi našli IFT rastavimo sledeci izraz
1
jω(jω + R
L
) =A
jω+
B
jω + RL
=A(jω + R
L
)+Bjω
jω(jω + R
L
)
1 = (A+B) jω + AR
L
A+B = 0
ARL= 1
=⇒ A =
L
R,B = −A = −L
R
Prema tome, izraz za struju postaje
I(jω) =U
R
(1
jω− 1
RL+ jω
)+
uπδ(ω)
R
371
Odavde se na osnovu osobina F.T. lako dobija:
i(t) = F−1 I(jω) = F−1Uπδ(ω)
R
+ F−1
U
R
1
jω
− F−1
U
R
1RL+ jω
Na osnovu osobina koje smo naveli ranije slijedi da je
⎧⎪⎨⎪⎩
δ(t) ←→ 1
1 ←→ 2πδ(ω)
sgnt ←→ 2
jω
=⇒ δ(ω) =1
2π
dobijamo
i(t) =U
R
[π1
2π+
1
2sgnt− e−
R
Lt
]h(t)
Pošto se radi o kauzalnoj funkciji, izraz za struju moramomnoziti sa h(t). Proizvod(1
2sgnt
)h(t) =
1
2pa konacno dobijamo izraz za struju koji je jednak
i(t) =U
R
[1− e−
R
Lt
]h(t) (10.512)
Osobine Furijeove transformacije
Fδ(t) = 1
Fh(t) = πδ(ω) +1
jω
F
⎧⎨⎩
t∫−∞
f(τ)dτ
⎫⎬⎭ = πF(0)δ(ω) +
F(jω)jω
F
⎧⎨⎩
t∫−∞
f(t)dt
⎫⎬⎭ = F(jω) ovo vazi samo ako je
∞∫−∞
f(t)dt = 0
Fsinω0t = −jπ [δ(ω − ω0)− δ(ω + ω0)]
Fcosω0t = π [δ(ω − ω0) + δ(ω + ω0)]
372
F[cosω0t] h(t) =π
2[δ(ω + ω0) + δ(ω − ω0)] +
jω
ω2
0− ω2
F[sinwot] h(t) =jπ
2[δ(w + wo)− δ(w − wo)]− ω0
ω2
0− ω2
ejω0tf(t)def= F(jω − jω0)
f(t− τ) = e−jωτF(jω)
h(t) =1
2+
1
2sgnt gdje je sgnt =
−1 t < 0
1 t > 0
F(jω) = Fsgnt =2
jω
Primjer: U kolu prema slici 10.289 djeluje naponski generator napona ug(t) = Ue−ath(t),
a > 0. Odrediti i(t) =?
( )gu t
( )Ru t ( )Lu t
R L
( )i t
Slika 10.289:
Koristeci Furijeovu transformaciju imamo slicno kao za prostoperiodicne struje
I(jω) =Ug(jω)
Z(jω)
Ug(jω) = Fug(t) = FUe−ath(t)
=
U
a+ jω
Z(jω) = R+ jωL
I(jω) =U
(a + jω)(R+ jωL)=
U
L
1
(a + jω)(RL+ jω)
Sada je
i(t) = F−1 I(jω) = F−1U
L
1
(a+ jω)(RL+ jω)
=
U
LF−1
1
(a + jω)(RL+ jω)
373
Da bi sveli na tablicne relacije Furijeove transformacije koristimo razdvajanje
1
(a + jω)(RL+ jω)
=A
a+ jω+
BR
L+ jω
1 = A
(R
L+ jω
)+B (a + jω)
Izjednacavuajuci kompleksne brojeve imamo:
A +B = 0
AR
L+Ba = 1
⇒ A =
1R
L− a
; B =1
a− R
L
i(t) =U
LF−1
1(
R
L− a
)(a + jω)
− 1(R
L− a
) (R
L+ jω
)
i(t) =U
L(R
L− a
) [e−at − e−
R
Lt
]h(t)
Ovo vazi kada je R/L = a.
LAPLASOVA TRANSFORMACIJA
Laplasova transformacija je integralna transformacija i definiše se kao
Lf(t) = F (s) =
+∞∫0−
f(t)e−stdt (11.513)
gdje je s = σ+jω kompleksna ucestanost. Laplasova transformacija je uopštenje Furijeove
transformacije kao
Lf(t) = Fe−σtf(t)h(t)
Uslovi egzistencije Laplasove transformacije funkcije f(t) su znatno blazi nego za Furijeovu
transformaciju. Uslovi egzistencije Laplasove transformacije su Dirihleovi uslovi integrabil-
nosti funkcije upravo zbog e−σt. Iz tog razloga sve funkcije u elektrotehnici imaju Laplasove
transformacije bez uvoenja generalisanih funkcija (Hevisajdove, impulsne itd.). Moze se za-
kljuciti da svaka funkcija koja ima Furijeovu transformaciju ima i Laplasovu transformaciju.
Obrnuto ne vazi. Primjer: Posmatrajmo funkciju f(t) = e−ath(t), a > 0. Njena Laplasova
transformacija je
Lf(t) = Le−ath(t)
=
+∞∫0−
e−ate−stdt = − 1
s+ ae−(s+a)t
∣∣∣∣∣∣∞
0−
=1
s+ a
Uslov za egzistenciju je Re s = σ > −a. Koristimo sledece oznake:
Lf(t) = F (s) =1
s+ a
ili
f(t) F (s) =1
s+ a
Dalje imamo
Lh(t) =1
s
374
375
uz uslov
Re(s) > 0
11.1 Osobine i svojstva Laplasove transformacije
Koristeci ove osobine (koje su teoreme i treba ih dokazati) tada mozemo naci Laplasovu
transformaciju bilo koje funkcije.
f(t) F (s)
1 cf(t) cF (s)
2 f1(t) + f2(t) F1(s) + F2(s)
3 df(t)dt
sF (s)− f(0−)
4 d2f(t)dt2
s2F (s)− sf(0−)− f(0−)
5 dnf(t)dtn
snF (s)− sn−1f(0−)− sn−1f(0−)− f (n−1)(0−)
6t∫o
f(τ )dτ F (s)s
7t∫−∞
f(τ)dτ F (s)s
+ 1s
o∫−∞
f(τ)dτ
8 e−atf(t) F (s+ a)
9 f(t− τ) e−sτF (s)
10f(t) ∗ g(t) =
=t∫o
f (τ ) g (t− τ ) dτF (s)G(s)
11 f(ct) c > 0 1cF
(sc
)12 tf(t) −dF (s)
dS
13 tnf(t) (−1)nF (n) (s)
14 f(t)t
+∞∫s
F (s)ds
Ako imamo periodicnu funkciju f(t+ τ ) tada je njena Laplasova transformacija
15 f(t+ T ) =⇒T∫
o
f(t)e−stdt
1−e−sT
Teoreme o granicnim uslovima i pocetnim uslovima
16 limt−→o
f(t) =⇒ lims−→∞
sF (s)
17 limt−→∞
f(t) =⇒ lims−→o
sF (s)
376
11.2 Inverzna Laplasova transformacija
Ako je Lplasova transformacija neke funkcije jednaka
Lf(t) = F (s) =
+∞∫0−
f(t)e−stdt
tada se inverzna Laplasova transformacija definiše
f(t) = L−1 F (s) =1
2πj
σ+jw∫σ−jw
F (s)estds
11.3 Neke Laplasove Transformacije
f(t) F (s)
1 f(t) 1
2 h(t) 1s
3 e−at 1a+s
4 sinω0tω0
s2+ω20
5 cosω0ts
s2+ω20
6 te−at 1(s+a)2
7 e−at sinω0tω0
(s+a)2+ω20
8 e−at cosω0tω0
(s+a)2−ω20
9 sin(ω0t+ θ) s sin θ+ω0 cos θs2+ω2
0
10 cos(ω0t + θ) s sin θ−ω0 cos θs2+ω2
0
11 e−at sin(ω0t+ θ) (s+a) sin θ+wo cos θ(s+a)2+w2
o
12 e−at cos(ω0t + θ) (s+a) sin θ−ω0 cos θ(s+a)2−ω2
0
13 e−at shω0tω0
1(s+a)2+ω0
14 e−atchω0ts+a
(s+a)2+ω0
Cesto se javi u zadacima da se nae i Laplasova transformacija od
s(s+b)2+a2
=⇒ e−bt[cos at− b
asin at
]1
s[(s+b)2+a2]=⇒ 1
a2+b2
[1− e−bt
(cos at+ b
asin at
)]U mnogim udzbenicima se kaze da se od Laplasove transformacije moze dobiti Furijeova trans-
formacija, meutim, treba biti oprezan jer ako funkcija ima Laplasovu transformaciju, ne mora
da ima i Furijeovu transformaciju. U svim slucajevima gdje egzistira Furijeova transformacija,
377
egzistirace i Laplasova transformacija uz izraz
F (jω) = F (s)|s=jω
Meutim, ovo ne vazi ako funkcija nema Furijeovu transformaciju (a moze da ima Laplasovu
transformaciju). Na primjer za sin t
F(sinω0t) h(t) = L(sinω0t)h(t)|s=jω =ω0
ω2
0+ s2
∣∣∣∣s=jω
=ω0
ω2
0− ω2
Ovo je samo realni dio spektra funkcije (sinω0t)h(t). Mnogi udzbenici zanemaruju imaginarni
spektar. Dakle, ne moze se uvijek od Laplasove transformacije dobiti Furijeova transformacija
(osim u slucaju kada funkcija ima i Furijeovu transformaciju. Tada sigurno ima Laplasovu
transformaciju). Isti je primjer sa cos t
F(cosω0t) h(t) = L(cosω0t)h(t)|s=jω =s
ω2
0+ s2
∣∣∣∣s=jω
=jω
ω2
0− ω2
Nedostaje realni dio spektra pa vazi
F = L
Primjer za h(t)
Fh(t) = Lh(t)|s=jω =1
s
∣∣∣∣s=jω
=1
jω
ali nedostaje dio πδ(ω).Realni i imaginarni dio Furijeove transformacije se ne mogu nezav-
isno zadavati jer su povezani Koši-Rimanovim uslovima. Zato, je relacija izmeu Furijeove i
Laplasove transformacije data izrazom
Ff(t) = F (jω) = Lf(t)|s=jω +1
2
∑k
Resk
F (s) 2πδ(ω − ωk)
Da bi funkcija f(t) imala Laplasovu transformaciju treba da je zadovoljen uslov
∞∫0−
|f(t)| e−σtdt < ∞
gdje je σ = Re s.
1. Naci Laplasovu transformaciju od f(t) = h(t).
Rješenje:
F (s) =
∞∫0−
h(t)e−stdt = −e−st
s
∣∣∣∣∣∣∞
0−
=1
s
378
2. Naci Laplasovu transformaciju f(t) = eath(t)
Rješenje:
F (s) =
∞∫0−
eath(t)e−stdt =1
s− a
3. Naci Laplasovu transformaciju f(t) = e−ath(t)
Rješenje:
F (s) =1
s+ a
11.4 Osobine Laplasove Transformacije
Svaku osobinu cemo dokazati kroz primjere:
1. Osobina linearnosti
L
∑i
fi(t)
=
∑i
Lfi(t)
Dokaz: na osnovu definicije Laplasove transformacije
Lc1f1(x) + c2f2(x) = c1F1(s) + c2F2 (s)
gdje je F1(s) =Lf1(x) a F2 (s) =Lf2(x) .Primjer: Naci Laplasovu transformaciju funkcije f(t) = sinωt
Rješenje:
f(t) =1
2j
(ejωt − e−jωt
)= sinωt
Lsinωt =1
2j
(Lejωt
− Le−jωt
)=
1
2j
(1
s− jω− 1
s+ jω
)=
ω2
s2 + ω2
2.
c1f1(t) + c2f2(t) = L−1 c1F1(s) + c2F2 (s)
Primjer: Naci f(t) ako je F (s) = 4
s− 3
s+2
Rješenje:
f(t) = L−14
s− 3
s+ 2
= 4L−1
1
s
− 3L−1
1
s+ 2
= 4h(t)− 3e−2th(t)
379
( )gu t
6Ω 3H
( )i t
Slika 11.290:
Primjer: Dato je kolo kao na slici 11.290. Naci i(t) za t > 0 ako je ug(t) = 24h(t)V i
i(0) = 1A
Rješenje: U kalemu je postojala pocetna energija pa je i(0) = 1A. Prvo napišemo diferen-
cijalne jednacine
3di
dt+ 6i = 24h(t)
Sada primjenimo Laplasovu transformaciju
3L
di
dt
+ 6Li = 24Lh(t)
Iskoristimo osobinu diferenciranja
3sI(s)− i(0−
) + 6I(s) =24
s
I(s) =s+ 3
(s+ 2)s=
A
s+
B
s+ 2
i(t) = L−1 I(s) =(4− 3e−2t
)h(t) = 4− 3e−2t
3. Realno diferenciranje (Laplasove transformacije vremenskog izvoda). Ako je Lf(t) =
F (s) tada je
L
df(t)
dt
= sF (s)− f (0
−
)
gdje je f (0−
) vrijednost funkcije f(t) u t = 0.
Dokaz:
Lf ′(t) def=
+∞∫0−
f ′(t)e−stdt = f(t)e−st
∣∣∣∣∣∣+∞
0−
+ s
+∞∫0−
f(t)e−stdt = sF (s)− f (0−)
380
4.
L
dnf(t)
dtn
= snF (s)− sn−1f(0−)− ...− fn−1(0−)
Primjer: Naci Laplasovu transformaciju izvoda funkcije f(t) = sinωt
Rješenje: za f(t) = cosωt
Lcosωt = L
1
ω
d
dtsinωt
=
s
ω
ω
s2 + ω2=
s
s2 + ω2
sada je
L
d
dtsinωt
= s
ω
s2 + ω2
5. Realni integral (integracija u vremenskom domenu). Ako postoji Lf(t) = F (s) tada
je
L
⎧⎨⎩
t∫0−
f(τ)dτ
⎫⎬⎭ =
F (s)
s
Dokaz: Po definiciji
L
⎧⎨⎩
t∫0−
f(τ)dτ
⎫⎬⎭ =
t∫0−
e−st
⎡⎣ t∫0−
f(τ )dτ
⎤⎦ dt = −e−st
s
t∫0−
f(τ )dτ +1
s
t∫0−
e−stf(τ )dτ =F (s)
s
6. Teoreme pocetnih i krajnji vrijednosti
Teorema pocetne vrijednosti povezuje pocetnu vrijednost funkcije f(t) za t = 0 sa
granicnom vrijednošcu izraza sF (s) kada s −→ ∞ tj.
f(0+) = limt−→0+
f(t) = lims−→∞
sF (s)
Jedino ogranicenje je da funkcija f(t) mora biti neprekidna ili moze sadrzati najvoše
odskocni diskontinuitet za t = 0. To znaci da transformacija F (s) =Lf(t)) mora biti
pogodna funkcija. (Pogodna funkcija - stepen polinoma imenioca mora biti veci od stepena
brojioca, da bi se rastavio u razlomke)
Teorema o krajnjim vrijednostima
limt−→∞
f(t) = lims−→0
sF (s)
Ova jednacina je zadovoljena pod uslovom da imenilac funkcije F (s) ima nule sa negativnim
realnim dijelom ili realnim dijelom jednakim nuli, tj. da se polovi funkcije F (s) ne smiju
nalaziti u desnoj poluravni kompleksne ravni.
381
Dokaz teoreme pocetne vrijednosti:
Lf ′(t) =
+∞∫0−
f ′(t)e−stdt = sF (s)− f(0−)
(a) Kada je funkcija f(t) neprekidna u t = 0 tj. f(0−) = f(0+) Naimo limes:
lims−→∞
+∞∫0−
f´(t) e−stdt = lims−→∞
[sF (s)− f(0−)] = 0
Primjer: Da ta je funkcija oblika
F (s) =4 (s+ 1)
s2 + 2s+ 5
Ispitati da li data funkcija zadovoljava teoremu o pocetnim uslovima
f(0+) = lims−→∞
sF (s) = lims−→∞
4s (s+ 1)
s2 + 2s+ 5= 4
Naimo I.L.T. funkcije F (s)
f(t) = L−1 F (s) = 4e−t cos 2t
i mora da bude
f(0+) = 4
Primjer: Da li funkcija
F (s) =5s + 2
s (s+ 1)
zadovoljava uslove teoreme o krajnjim vrijednostima
lims−→0
sF (s) = lims−→0
s (5s+ 2)
s (s+ 1)= 2
I.L.T. funkcije F (s) je
f(t) = L−1
5s + 2
s (s+ 1)
= 2h (t) + 3e−t
tj. zadovoljeni uslovi teoreme o krajnjim vrijednostima jer je
limt−→∞
f(t) = 2
pa nema polova u desnoj poluravni
382
7. Diferenciranje u kompleksnom domenu:
Ltf (t) = −dF (s)
ds
Dokaz:
dF (s)
ds=
+∞∫0−
f (t)d
dse−stdt = −
+∞∫0−
tf (t) e−stdt = −L tf (t)
Primjer: Data je funkcija f (t) = e−αt cija je transformacija
F (s) =1
s+ α
Odrediti L.T. Lte−αt
Lte−αt
= − d
ds
(1
s+ α
)=
(1
s + α
)2
Primjer: Data je funkcija f (t) = e−αt cija je transformacija
F (s) =1
s+ α
Odrediti L.T. Ltne−αt
Ltne−αt
=
n!
(s + α)n+1 =
(1
s+ α
)2
Ltnf (t) = (−1)ndnF (s)
dsn
8. Translacija u kompleksnom domenu. Ako je F (s) =Lf (t) tada je
F (s+ a) = Le−atf (t)
gdje je a - kompleksan broj.
Dokaz:
Le−atf (t)
=
+∞∫0−
e−atf (t) e−stdt =
+∞∫0−
e−(a+s)tf (t) dt = F (s+ a)
Leatf (t)
= F (s− a)
Primjer: Odrediti Laplasovu transformaciju funkcije f (t) = e−αt sinωt
383
f (t) = sinωt
F (s) = Lf (t) =ω2
s2 + ω2
Le−αt sinωt
=
ω2
(s + a)2 + ω2= F (s + a)
Na isti nacin:
Le−αt cosωt
=
ω2
(s+ a)2 + ω2=
s+ a
(s+ a)2 + ω2
9. Translacija u vremenskom domenu. Ako je F (s) =Lf (t) tada je
Lf (t− τ) h (t− τ ) = e−τsF (s)
Dokaz:
Lf (t− τ) h (t− τ) =
+∞∫0−
e−stf (t− τ )h (t− τ) dt =
+∞∫τ
f (t− τ) e−sτdt
Uvodeci smjenu t = τ + x imamo
Lf (t− τ) h (t− τ ) =
+∞∫0
f (x) e−s(τ+x)dx = e−sτ+∞∫0
f (x) e−sxdx = e−sτF (s)
Primjer: Naci L.T. funkcije f (t) = e−3th (t− 2)
f (t) = e−3(t−2)−6h (t− 2) = e−6−3(t−2)h (t− 2)
Le−3th (t)
= F (s) =
1
s+ 3
Le−3th (t− 2)
= F (s) = e−6
e−2s
s+ 3
10. Promjena skaliranja:
Lf (ct) =1
cF
(sc
)za c > 0.
384
Primjer: Koristeci teoremu translacije i transformaciju od tnh (t)dokazati da je
Le−attnh (t)
=
n!
(s+ a)n+1
za n = 0, 1, 2.....(za vjezbu)
11. Konvolucija: Ako je Y (s) - izlaz, G (s) - ulaz i F (s) - prenosna funkcija mreze tada je:
Y (s) = F (s)G (s)
y (t) = L−1 Y (s) = L−1 F (s)G (s)
i po definiciji
F (s) =
+∞∫0
f (τ) e−stdτ (11.514)
Ako pomnozimo relaciju (11.514) sa G(s) dobijamo
F (s)G (s) =
+∞∫0
f (τ)[G (s) e−st
]dτ
F (s)G (s) =
+∞∫0
f (τ)Lg (t− τ )h (t− τ) dτ =
+∞∫0
f (τ)
⎡⎣+∞∫
0
g (t− τ) h (t− τ ) e−stdt
⎤⎦ dτ
Mijenjajuci redosljed integracije i znajuci da je h (t− τ ) = 0 za τ > t imamo da je
F (s)G (s) =
+∞∫0
e−st
⎡⎣ t∫
0
f (τ) g (t− τ) dτ
⎤⎦ dt
odnosno
L−1 F (s)G (s) =
t∫0
f (τ) g (t− τ ) dτ (11.515)
Relacija (11.515) predstavlja teoreu konvolucije. Obicno se konvolucija oznacava sa
f (τ ) ∗ g (t) =t∫0
f (τ) g (t− τ) dτ (11.516)
385
Relacija koja povezuje Laplasovu i Furijeovu transformaciju za neku funkciju f(t) je:
F (jω) = Lf (t)|s=jω +1
2
∑k
Ress=sk
2πδ (ω − ωk)
gdje je sk = jωk a rezidium se racuna za funkciju Lf (t) = F (s) u polovima sk.
Primjer: Data je funkcija f(t) = h(t) cija je Laplasova transformacija
Lh (t) =1
s
Odrediti Furijeovu transformaciju. Funkcija ima pol u s = 0 pa odavde slijedi da je ωk = 0
pa je
Ress=0
F (s) = Ress=0
1
s= lim
s−→0sF (s) = lim
s−→0s1
s= 1
F (jω) =1
s
∣∣∣∣s=jω
+1
2
∑k
Ress=sk
F (s) 2πδ (ω − ωk)
Dakle
F (jω) =1
jω+ 2πδ (ω)
Primjer: Data je funkcija f (t) = (cosω0t) h (t). Odrediti Furijeovu transformaciju ako
znamo Laplasovu.
L(cosω0t)h (t) =s
s2 + ω2
Polovi F (s) =L(cosω0t)h (t) su u tackama sk = ±jω0 i oni su prosti.. Rezidium je
Ress=s1
F (s) = Ress=jω0
F (s) = lims−→jω0
sF (s) =1
2
Ress=s2
F (s) = Ress=−jω0
F (s) =1
2
Vidimo da je s1 = jω1, ω1 = −js1, ω1 = ω0 i ω1 = ω0, ω2 = −ω0. Dakle, sada je F.T.
F (jω) = L(cosω0t) h (t)|s=jω +1
2
∑k
Ress=sk
2πδ (ω − ωk)
F (jω) =s
s2 + ω2
∣∣∣∣s=jω
+1
2
[1
22πδ (ω − ω0) +
1
22πδ (ω + ω0)
]
=jω
−ω2 + ω2
0
+1
2[πδ (ω − ω0) + πδ (ω + ω0)]
386
Odnosno
F (jω) = Fcosω0t h (t) =π
2[δ (ω − ω0) + δ (ω + ω0)]− jω
ω2 − ω2
0
11.5 Primjena Laplasove transformacije
Uocimo prosto kolo prikazano na slici 11.291.
( )gu t
(0 )Li −
R L
( )i t
(0 )Cu −
C
Slika 11.291: Redno RLC kolo sa pocetnim uslovima
Poznato ug (t) i treba naci i (t) =? Poznati su pocetni uslovi: iL (0−) = I0 i uC (0−
) = U0.
Relacija pisana po drugom Kirhofovom zakonu u diferencijalnom obliku je
Ri (t) + Ldi (t)
dt+
1
C
t∫−∞
i (τ ) dτ = ug (t) (11.517)
Ug (s) = Lug (t)
I (s) = Li (t)
Primjenjujuci L.T. na (11.517) dobijamo
L
⎧⎨⎩Ri (t) + L
di (t)
dt+
1
C
t∫−∞
i (τ ) dτ
⎫⎬⎭ = Lug (t)
Koristeci osobinu linearnosti L.T. imamo:
LRi (t)+ L
Ldi (t)
dt
+ L
⎧⎨⎩ 1
C
t∫−∞
i (τ ) dτ
⎫⎬⎭ = Lug (t)
387
RI (s) + L[sI (s)− iL (0−)]︸ ︷︷ ︸po osobini dif. L.T.
+ L
⎧⎨⎩ 1
C
0−∫
−∞
i (τ ) dτ +1
C
t∫0−
i (τ) dτ
⎫⎬⎭ = Lug (t)
1
C
0−∫
−∞
i (τ ) dτ =q (0−)
C= uC (0−)
Sa q (0−) smo oznacili proteklu kolicinu elektriciteta u vremenu od -∞ do 0− i to je uC (0−).
RI (s) + L [sI (s)− iL (0−)] +uC (0−)
s+
I (s)
Cs= Ug (s)
(R + sL+
1
sC
)I (s) +
uC (0−)
s− LiL (0−) = Ug (s)
Velicina Z(s) =(R+ sL+ 1
s·C
)po svojoj strukturi je impendansa jer umjesto jω imamo s.
Zato se ovo naziva operatorska (simbolicna) impedansa Z(s). Ona je ista kao impedansa
kod prosoperiodicnih eksitacija ali koristimo umjesto jω kompleksnu ucestanost s. Velicina(uC(0
−
)s
− LiL (0−))je dio koji zavisi od pocetnih uslova i tu funkciju oznacimo kao F (s) pa
imamo:
Z(s)I (s) = Ug (s) + F (s)
gdje je:
F (s) = LiL (0−)− uC (0−
)
s= LI0 − U0
s
Sada je struja:
I (s) =Ug (s)
Z (s)+
F (s)
Z (s)
Na ovom primjeru vidimo da L.T. ukljucuje pocetne uslove (za razliku od F.T.) pa je ona kao
metodologija opštija od metodologije F.T. Vidimo da se struja u kompleksnom domenu I(s)
sastoji od dvije komponente
I (s) = Ip (s) + I0 (s)
gdje je
Ip (s) =Ug (s)
Z (s)
struja koja se pojavljuje samo pod uticajem generatora kada su svi pocetni uslovi jednaki nuli.
To je odziv ukljucenja u kompleksnom domenu jer je iL (0−) = 0 i uC (0−
) = 0. Komponenta
I0 (s) =F (s)
Z (s)
predstavlja odziv koji se pojavljuje samo usled pocetnih uslova tj. kada su sve eksitacije
naponskih ili strujnih izvora jednake nuli (u ovom primjeru ug (t) = 0). To je odziv usled
388
pocetnih uslova (akumulisane energije) u kompleksnom domenu. Tada je struja I (s) - potpuni
(kompletni) odziv kola (jer je sastavljena i od odziva usled ukljucenja i odziva usled pocetnih
uslova). Znaci, L.T. omogucuje odreivanje svih vrsta odziva. U tom smislu, L.T. je opšta,
sistemska metoda za rješavanje odziva u kolu (za razliku od F.T. koja vazi samo za odziv
ukljucenja).
Problemu odreivanja L.T. mozemo pristupiti na dva nacina:
1. Postavljanjem jednacina u diferencijalnom obliku
2. Crtanjem operatorske šeme (što cemo vidjeti u sledecem dijelu)
Otpornik( )i t
R( )u t
i (t) =u (t)
R
Ako preemo na L.T. imamo
I (s) =U (s)
R
( )I s
R( )U s
Dakle, operatorska šema, L.T. za otpornik je ista kako za vremenski tako i za kompleksni
domen.
Kalem
( )u t
L
(0 )Li −
389
u (t) = Ldi (t)
dt
Primijenimo L.T.
U (s) = Ls (s)− LiL (0−)
Ovoj L.T. mozemo da pridruzimo sledecu operatorsku šemu
( )U s
( )I s
sL(0 )LLi−
Sada je
I (s) =U (s)
sL+
iL (0−)
s
Po K.Z.S. mozemo ovome izrazu za I(s) pridruziti cvor
( )U s
( )I s
sL
(0 )Li
s
−
1( )I s
I (s) = I1 (s) +iL (0−)
s
I1 (s) =U (s)
sL
Vidimo da kalemu mozemo pridruziti dvije operatorske šeme: U pogledu napona na kalemu
U(s) slika (a) a u pogledu struje slika b)
Kondezator
( )u t
C
( )i t(0 )Cu −
i (t) = Cdu (t)
dt
390
Primijenimo L.T. i imamo
I (s) = sCU (s)− Cu (0−
)
Ovoj jednacini mozemo da pridruzimo sledecu operatorsku šemu
( )U s
( )I s
sC
(0 )CCu−
1( )I s
Ako izrazimo napon iz gornje relacije u kompleksnom domenu
U (s) =I (s)
sC+
u (0−
)
s
Ovoj jednacini odgovara operatorska šema
( )U s
( )I s
1
sC
(0 )Cu
s
−
Spregnuto kolo
1( )i t
1( )u t 1L
∗∗
2L 2( )u t
2( )i t
12L
U vremenskom domenu
L1
di1 (t)
dt+ L12
di2 (t)
dt= u1 (t)
L12
di1 (t)
dt+ L2
di2 (t)
dt= u2 (t)
Ako primijenimo L.T. na ove jednacine imamo:
U1 (s) = L1sI1 (s)− L1i1 (0−) + L12sI2 (s)− L12i2 (0−) (11.518)
391
U2 (s) = L12sI1 (s)− L12i1 (0−) + L2sI2 (s)− L2i2 (0−) (11.519)
Ovim jednacinama mozemo da pridruzimo sledecu operatorsku šemu
1( )I s
1( )U s1sL
∗∗
2sL 2( )U s
2( )I s
12sL1 1(0 )L i
−
12 2(0 )L i−
2 2(0 )L i−
12 1(0 )L i−
Ako bi iz jednacina (11.518) i (11.519) izrazili struje I1 (s) i I2 (s) dobili bi sledeci sistem
I1 (s) =sL1
∆U1 (s)− sL12
∆U2 (s) +
i1 (0−)
s
I2 (s) =−sL12
∆U1 (s) +
sL2
∆U2 (s) +
i2 (0−)
s
gdje je ∆ determinanta sistema oblika
∆ = s2L1L2 − s2L212
Ovo mozemo napisati u matricnom obliku
[I1 (s)
I2 (s)
]=
[sL1
∆−sL12
∆−sL12
∆sL2
∆
][U1 (s)
U2 (s)
]+
[i1(0−)
s
i2(0−)s
]
Ovim jednacinama za I1 (s) i I2 (s) mozemo pridruziti sledecu operativnu šemu
1( )I s
1( )U s 1sL
∗∗
2sL 2( )U s
2( )I s
12sL
1(0 )i
s
− 2(0 )i
s
−
Za kola prostije topologije ove operatorske šeme su dobre ali za slozenija kola bolje je pisati
jednacine u vremenskom domenu sa orginalne šeme. Operatorskim šemama pocetne uslove
zamjenjujemo naponskim ili strujnim generatorima pa svodimo problem na trazenje odziva
ukljucenja. Uopštimo ovu metodologiju. Posmatrajmo kolo prikazano na slici 11.292.
392
( )gu t
( )Ru t ( )Lu t
R L
( )i t
( )Cu t
C
Slika 11.292:
gdje ug (t) - eksitacija a i (t) - odziv.
Ri (t) + Ldi (t)
dt+
1
C
t∫−∞
i (τ ) dτ = ug (t) (11.520)
Ako diferencirajmo (11.520) po vremenu dobijamo
Rdi (t)
dt+ L
di2 (t)
dt2+
i (τ )
C=
dug (t)
dt
Ldi2 (t)
dt2+R
di (t)
dt+
i (τ )
C=
dug (t)
dt(11.521)
Ovo je sada diferencijalna jednacina drugog reda. Ukoliko bi odziv bio uR, uL ili uC lijeva
strana bi bila jednaka (tj. isti izraz bi bio sa lijeve strane jednakosti) a razlikovao bi se izraz sa
desne strane jednakosti. Pošto je stepen diferencijalne jednacine jednak dva, to se i kolo naziva
kolo drugog reda jer se opisuje (to kolo) sa diferencijalnom jednacinom drugog reda. Dakle,
red kola je jednak stepenu diferencijalne jednacine kojom se kolo opisuje. Sa druge strane,
po pravilu, stepen diferencijalne jednacine a samim tim i red kola pokazuje broj dinamickih
elemenata (kalema i kondezatora u kolu). Iako ima izuzetaka od ovog pravila ipak vecina kola
zadovoljava ovo pravilo. Kolo se opisuje jednacinom bez integrala u njoj. Kada u kolu imamo
samo jedan generator pa se u kolu izrazi bilo koja velicina kao odziv onda se takva relacija
naziva relacija ulaz - izlaz ili kratko RUI. Radi opštosti oznacicemo sa x (t) vremensku
funkciju jedne eksitacije (bilo naponski ili strujni generator) a sa y (t) odziv (bilo koji) u kolu.
Ako posmatramo neko slozeno kolo sa samo jednom eksitacijom x (t) i trazimo neki odziv y (t)
tada mozemo uopšteno napisati
n∑i=0
bn−iy(n−i) (t) =
m∑i=0
am−ix(m−i) (t)
Ovo je opšta relacija ulaz - izlaz (RUI). Ako primjenjujemo L.T. kao Ly (t) = Y (s) i
393
Lx (t) = X (s) tada imamo jednacinu RUI u kompleksnom domenu
n∑i=0
bn−i
[s(n−i)Y (s)−
n−i∑j=1
sn−i−jy(j−1) (0−
)
]=
m∑i=0
am−1
[s(m−i)X (s)−
m−i∑j=1
sm−i−jx(j−1) (0−
)
]
Iz ove relacije mozemo odrediti odziv u kompleksnom domenu kao:
Y (s) = X (s)
m∑i=0
am−1s(m−i)
(n∑i=0
bn−is(n−i)
) +
n∑i=0
bn−i
n−i∑j=1
sn−i−jy(j−1) (0−
)−m∑i=0
am−1
m−i∑j=1
sm−i−jx(j−1) (0−
)
(n∑i=0
bn−is(n−i)
)
(11.522)
Prvi sabirak u izrazu (11.522) predstavlja odziv usled ukljucenja (i to bi bio jedini clan da
nema pocetnih uslova) a drugi sabirak predstavlja odziv usled pocetnih uslova (i to bi bio
jedini clan da nema eksitacija u kolu).
11.6 Metod konturnih struja
Ako je m broj nezavisnih kontura tada bi se jednacine konturnih struja u L.T. mogle napisati
kao:m∑j=1
Zij (s) Ij (s) = Ug (s) + Fi (s) (11.523)
gdje izraz Ij (s) =Lij (t) predstavlja L.T. struje j-te konture Ug (s) =Lug (t) predstavlja
algebarski zbir L.T. napona nezavisnih naponskih generatora za i-tu konturu. Zajednicka
operatorska impedansa izmeu i-te i j-te konture oznacena je sa Zij (s). Fi (s)− je funkcija u
kompleksnom domenu koja zavisi od pocetnih uslova
Fi (s) =∑k
po konturi
[±LkiLk (0−)∓ uCk (0−)
s
](11.524)
Gornji znaci u izrazu (11.524) se uzimaju ako se smjerovi pocetne struje u kalemovima i
smjerovi pocetne kolicine elektriciteta u kondezatorima poklapaju sa smjerom obilaska i - te
konture. U suprotnom, uzimaju se donji znaci. Koristeci ove jednacine mozemo direktno (bez
crtanja operatorskih šema) primijeniti metod konturnih struja u L.T.
394
11.6.1 Laplasova transformacija - metod nezavisnih struja za elek-
tricna kola bez spregnutih elemenata
Za kolo prema šemi formirati jednacine nezavisnih struja u Laplasovoj transformaciji.
2L2R 3L2( )e t
1L
3C
3R
5C 3( )e t
4C
1R1( )e t
4R
3(0)u
5(0 )u−
4(0)u
3(0)i2(0)i
1(0)i
321
0
1µ
2µ
3µ
1j
2j
3j
Rješenje: Jednacine nezavisnih struja u Laplasovoj transformaciji u matricnom obliku su
Z∼
(s)J∼
(s) = E∼
(s) + F∼
(s)
Izaberimo nezavisne konture µ1, µ2 i µ3 i pridruzimo njima nezavisne struje J1(s), J2(s) i J3(s)
pa imamo
Z∼
(s) =
⎡⎢⎣
Z11(s) Z12(s) Z13(s)
Z21(s) Z22(s) Z23(s)
Z31(s) Z32(s) Z33(s)
⎤⎥⎦
J∼
(s) =
⎡⎢⎣
J1(s)
J2(s)
J3(s)
⎤⎥⎦ ; E
∼
(s) =
⎡⎢⎣
E1(s)
E2(s)
E3(s)
⎤⎥⎦ ; F
∼
(s) =
⎡⎢⎣
F1(s)
F2(s)
F3(s)
⎤⎥⎦
Z∼
(s) =
⎡⎢⎢⎣
R1 +R2 +R3 + s (L1 + L2) +1
sC3
−(R3 +
1sC3
)− (R2 + sL2)
−(R3 +
1sC3
)R3 +R4 + sL3 +
1sC3
+ 1sC4
−sL3
− (R2 + sL2) −sL3 R2 + s (L2 + L3) +1
sC5
⎤⎥⎥⎦
E∼
(s) =
⎡⎢⎣
−e1(s)− e2(s)
0
e2(s) + e3(s)
⎤⎥⎦
395
Fi(s) =∑k
po konturi i
[±LkiLk(0)∓
uCk(0)
s
]
F∼
(s) =
⎡⎢⎣
F1(s)
F2(s)
F3(s)
⎤⎥⎦ =
⎡⎢⎣
L1i1(0)− L2i2(0) +u3(0)s
−L3i3(0)− u3(0)s
− u4(0)s
L2i2(0) + L3i3(0)− u5(0)s
⎤⎥⎦
Jednacine nezavisnih struja u vremenskom domenu su:
kontura µ1 :
(R1+R2+R3)j1+(L1 + L2)dj1dt
+1
C3
∫j1(t)dt−R3j2− 1
C3
∫j2(t)dt−R2j3−L2
dj3dt
= −e1(t)−e2(t)
kontura µ2 :
−R3j1 − 1
C3
∫j1(t)dt + (R3 +R4)j2 + L3
dj2dt
+
(1
C3+
1
C4
)∫j2(t)dt− L3
dj3dt
= 0
kontura µ3 :
−R2j1 − L2dj1dt
− L3dj2dt
+R2j3 + (L2 + L3)dj3dt
+1
C5
∫j3(t)dt = e2(t) + e3(t)
sa naznacenim pocetnim uslovima.
11.7 Metod nezavisnih napona
U L.T. metod nezavisnih napona moze se iskazati relacijom
n∑j=1
Yij (s)Uj (s) = Igi (s) +Gi (s) (11.525)
gdje je Uj (s) =Luj (t)- L.T. nezavisnih napona a Igi (s) =Lig (t)- L.T. struja ekvivalentnihstrujnih generatora koje se sticu u cvor i. Yij (s) - je operatorska (simbolicka) admitansa svih
grana koje spajaju i-ti i j-ti cvor
Gi (s) =∑k
po cvoru
[±CkuCk (0−)∓ iLk (0−)
s
](11.526)
Relacija (11.526) predstavlja funkciju koja zavisi od pocetnih uslova u granama k koje se
sticu u cvor i. Gornji znaci se uzimaju ako su smjerovi pocetne struje u kalemovima i smjerovi
396
pocetne kolicine elektriciteta u kondezatorima orjentisani od cvora. Ako to nije slucaj uzimaju
se donji znaci.
11.7.1 Laplasova transformacija - metod nezavisnih napona za elek-
tricna kola bez spregnutih elemenata
Za kolo prema šemi formirati jednacine nezavisnih napona u Laplasovoj transformaciji.
2(0)i
4(0)i
321
3(0)i
2L
3L 4L3G 4G 2( )gj t
1( )gj t
1C 1(0)u
2(0)u
2C
2G
5G1( )e t
Rješenje: Jednacine nezavisnih napona u Laplasovoj transformaciji u matricnom obliku
je
Y∼
(s)V∼
(s) = Jg∼
(s) +G∼
(s)
Nezavisni cvorovi su: 1, 2 i 3 a njima pridruzeni nezavisni naponi su:
V∼
(s) =
⎡⎢⎣
V1(s)
V2(s)
V3(s)
⎤⎥⎦
Y∼
(s) =
⎡⎢⎣
Y11(s) Y12(s) Y13(s)
Y21(s) Y22(s) Y23(s)
Y31(s) Y32(s) Y33(s)
⎤⎥⎦
Y∼
(s) =
⎡⎢⎣
G2 +G5 + s(C1 + C2) −(G2 + sC2) −G5
−(G2 + sC2) G2 +G3 + sC2 +1
sL2+ 1
sL3− 1
sL2
−G5 − 1
sL2G4 +G5 +
1
sL2+ 1
sL4
⎤⎥⎦
397
Jg∼
(s) =
⎡⎢⎣
Jg1(s)
Jg2(s)
Jg3(s)
⎤⎥⎦ =
⎡⎢⎣
jg1(s) +G5e1(s)
0
−jg2(s)−G5e1(s)
⎤⎥⎦
Gi(s) =∑k
za cvor i
[±CkuCk
(0)∓ iLk(0)
s
]
G∼
(s) =
⎡⎢⎣
G1(s)
G2(s)
G3(s)
⎤⎥⎦ =
⎡⎢⎣
C1u1(0) + C2u2(0)
−C2u2(0) +i3(0)s
− i2(0)s
i2(0)s
− i4(0)s
⎤⎥⎦
Jednacine nezavisnih napona u vremenskom domenu su:
cvor 1:
(G2 +G5)v1(t) + (C1 + C2)dv1(t)
dt−G2v2(t)− C2
dv2(t)
dt−G5v3(t) = jg1(t) +G5e1(t)
cvor 2:
−G2v1(t)− C2dv1(t)
dt+ (G2 +G3)v2(t) + C2
dv2(t)
dt+
(1
L2+
1
L3
)∫v2(t)dt− 1
L2
∫v3(t)dt = 0
cvor 3:
−G5v1(t)− 1
L2
∫v2(t)dt+ (G4 +G5)v3(t) +
(1
L3+
1
L4
)∫v3(t)dt = −jg2(t)−G5e1(t)
sa naznacenim pocetnim uslovima.
11.8 Operatorske šeme za spregnuto kolo
∗ ∗
1u 2u1L 2L
12L
1i 2i
Slika 11.293:
398
u1 = L1
di1dt
+ L12
di2dt
u2 = L12
di1dt
+ L2
di2dt
U1(s) = Lu1(t)U2(s) = Lu2(t)I1(s) = Li1(t)I2(s) = Li2(t)
U1(s) = sL1I1(s)− L1i1(0−) + sL12I2(s)− L12i2(0−)
U2(s) = sL12I1(s)− L12i1(0−) + sL2I2(s)− L2i2(0−)(11.527)
∗ ∗
1( )U s 2( )U s1sL 2sL
12sL
2( )I s2 2(0 )L i
−
1 1(0 )L i−
12 1(0 )L i−12 2(0 )L i
−
1( )I s
Slika 11.294:
[U1(s) + L1i1(0−) + L12i2(0−)
U2(s) + L12i1(0−) + L2i2(0−)
]=
[sL1 sL12
sL12 sL2
][I1(s)
I2(s)
](11.528)
Iz (11.527)sL1I1(s) + sL12I2(s) = U1(s) + L1i1(0−) + L12i2(0−)
sL12I1(s) + sL2I2(s) = U2(s) + L12i1(0−) + L2i2(0−)
∆ =
∣∣∣∣∣ sL1 sL12
sL12 sL2
∣∣∣∣∣ = s2L12L2 − s2L212
∆1 =
∣∣∣∣∣ U1(s) + L1i1(0−) + L12i2(0−) sL12
U2(s) + L12i1(0−) + L2i2(0−) sL2
∣∣∣∣∣ = U1(s)sL12 + si1(0−)(L1L2 − L2
12
)−U2(s)sL12
399
∆2 =
∣∣∣∣∣ sL1 U1(s) + L1i1(0−) + L12i2(0−)
sL12 U2(s) + L12i1(0−) + L2i2(0−)
∣∣∣∣∣ = −U1(s)sL12+U2(s)sL1+si2(0−)(L1L2 − L2
12
)
I1 =∆1
∆=
U1(s)sL12 + si1(0−) (L1L2 − L212)− U2(s)sL12
s2 (L12L2 − L212)
I2 =∆2
∆=
−U1(s)sL12 + U2(s)sL1 + si2(0−) (L1L2 − L212)
s2 (L12L2 − L212)
I1(s) = U1(s)L2
s (L12L2 − L212)
− U2(s)L12
s (L12L2 − L212)
+i1(0−)
s(11.529)
I2(s) = −U1(s)L12
s (L12L2 − L212)
+ U2(s)L1
s (L12L2 − L212)
+i2(0−)
s(11.530)
Ako uvedemo smjenu
Γ11 =L2
s (L12L2 − L212)
Γ22 =L1
s (L12L2 − L212)
Γ12 = − L12
s (L12L2 − L212)
[I1(s)
I2(s)
]=
[Γ11s
Γ12s
Γ12s
Γ22s
][U1(s)
U2(s)
]+
[i1(0−)
s
i2(0−)s
](11.531)
∗ ∗
11
s
Γ
12
s
Γ
22
s
Γ1(0 )i
s
− 2(0 )i
s
−
1( )U s 2( )U s
1( )I s 2( )I s
Slika 11.295:
Drugi nacin
u1 = L1
di1dt
+ L12
di2dt
u2 = L12
di1dt
+ L2
di2dt
400
u1 = L1Di1 + L12Di2
u2 = L12Di1 + L2Di2
i1 = Γ11D−1u1 + Γ12D
−1u2 (11.532)
i2 = Γ12D−1u1 + Γ22D
−1u2 (11.533)
Ako na relacije (11.532) i (11.533) primijenimo Laplasovu transformaciju
I1(s) = U1(s)Γ11
s+ Γ11
φ1(0−
)
s+ U2(s)
Γ12
s+ Γ12
φ2(0−
)
s
I2(s) = U1(s)Γ12
s+ Γ12
φ1(0−
)
s+ U2(s)
Γ22
s+ Γ22
φ2(0−
)
s
φ1
= L1i1 + L12i2
φ2
= L2i2 + L12i1
φ1(0−
) = L1i1(0−) + L12i2(0−)
φ2(0−
) = L2i2(0−) + L12i1(0−)
I1(s) = U1(s)Γ11
s+ U2(s)
Γ12
s+
Γ11
s[L1i1(0−) + L12i2(0−)] +
Γ12
s[L2i2(0−) + L12i1(0−)]
I2(s) = U1(s)Γ12
s+ U2(s)
Γ22
s+
Γ12
s[L1i1(0−) + L12i2(0−)] +
Γ22
s[L2i2(0−) + L12i1(0−)]
I1(s) = U1(s)Γ11
s+ U2(s)
Γ12
s+
(Γ11
sL1 +
Γ12
sL12
)i1(0−) +
(Γ12
sL12 +
Γ22
sL2
)i2(0−)
(Γ11
sL1 +
Γ12
sL12
)i1(0−) =
[L1L2
s (L1L2 − L2
12)− L2
12
s (L1L2 − L2
12)
]i1(0−) =
i1(0−)
s(Γ12
sL12 +
Γ22
sL2
)i2(0−) =
[ −L2
12
s (L1L2 − L2
12)+
L1L2
s (L1L2 − L2
12)
]i2(0−) =
i2(0−)
s
401
I1(s) = U1(s)Γ11
s+ U2(s)
Γ12
s+
i1(0−)
s
I2(s) = U1(s)Γ12
s+ U2(s)
Γ22
s+
i2(0−)
s
FUNKCIJA KOLA
U mnogim problemima kako teorijske tako i prakticne prirode veliki znacaj imaju ne same
eksitacije i odzivi, vec njihovi odnosi. Funkcije kola definišu se u kompleksnom i vremenskom
domenu za kola bez pocetne energije.
12.1 Definicija i oblik funkcije kola u kompleksnom domenu
Funkcija kola se u kompleksnom domenu definiše kao
Funkcija kola =Laplasova transformacija odziva
Laplasova transformacija eksitacije
W (s) =R(s)
E(s)(12.534)
gdje je: W (s)− funkcija kola, R(s)− odziva, E(s)− eksitacija. Najprije cemo posmatrati
eksitaciju strujnim generatorom struje ig(t) kao što je prikazano na slici 12.296.Ova eksitacija
( )U s
( )Z s
( )gI s
( )I s
N
Slika 12.296:
proizvodi na pristupu mreze odziv - napon u(t). Za ovakvu eksitaciju definisana je ulazna
impedansa kao funkcija kola. Prema opštoj definiciji ove funkcije, ona je data kolicnikom
W (s) = Z(s) =U(s)
Ig(s)(12.535)
gdje je U(s) =Lu(t) a Ig(s) =Lig(t). Za eksitaciju naponskim generatorom ug(t) što
pokazuje slika 12.297. kao funkciju kola definišemo ulaznu admitansu koja je data kolicnikom
402
403
( )Y s
( )gU s
( )I s
N
Slika 12.297:
W (s) = Y (s) =I(s)
Ug(s)(12.536)
gdje je I(s) =Li(t) a Ug(s) =Lug(t). I ovdje vazi da je
Y (s) =1
Z(s)(12.537)
Ulazna impedansa i ulazna admitansa su funkcije istih osobina za pasivna, linearna i reciprocna
kola sa konstantnim parametrima te je za obje funkcije uvedeno zajednicko ime imitansa.
Da bismo odredili analiticki izraz za impedansu, moramo najprije izracunati odziv za datu
eksitaciju. U slucaju kada se kolo eksituje naponskim generatorom odziv cemo odrediti pomocu
jednacina nezavisnih struja. Nezavisne konture cemo birati tako da prva obuhvata pristupne
krajeve kola, to jest da je prva nazavisna struja jednaka ulaznoj struji mreze. Jednacine
nezavisnih struja u matricnoj formi su
Zm∼
J∼
= Vg∼
(12.538)
J∼
=
⎡⎢⎢⎢⎢⎣
J1
J2...
Jm
⎤⎥⎥⎥⎥⎦ ; Vg
∼
=
⎡⎢⎢⎢⎢⎣
Ug
0...
0
⎤⎥⎥⎥⎥⎦
J1(s) =∆
(µ)11 (s)
∆(µ)(s)Ug(s) (12.539)
U ovom izrazu je sa ∆(µ)(s) oznacena determinanta sistema jednacina nezavisnih struja, a sa
∆(µ)11 (s) njen kofaktor prve vrste i prve kolone. Kako je J1(s) = I(s) to je admitansa mreze
data kolicnikom
Y (s) =I(s)
Ug(s)=
∆(µ)11 (s)
∆(µ)(s)(12.540)
404
Za eksitaciju strujnim generatorom odziv cemo odrediti pomocu jednacina nezavisnih napona.
Nezavisne presjeke cemo birati tako da pridruzeni napon prvom nezavisnom presjeku V1(s)
bude jednak naponu na pristupu kola. Jednacine nezavisnih napona u matricnoj formi su
Yn∼
V∼
(s) = Jg∼
(s) (12.541)
Iz navedenih jednacina dobijamo za prvi nezavisni napon izraz
V1(s) =∆
(ν)11 (s)
∆(ν)(s)Ig(s) (12.542)
U relaciji (12.542) sa ∆(ν)(s) je oznacena determinanta sistema jednacina napona nezavisnih
presjeka, a sa ∆(ν)11 (s) njen kofaktor prve vrste i prve kolone. Kako je V1(s) = U(s) to je
ulazna impedansa jednaka
Z(s) =U(s)
Ig(s)=
∆(ν)11 (s)
∆(ν)(s)(12.543)
Prema dosadašnjem razmatranju vidimo da se ulazna admitansa moze predstaviti u jednom
od oblika
Y (s) =∆
(µ)11 (s)
∆(µ)(s)=
∆(ν)(s)
∆(ν)11 (s)
(12.544)
a impedansa
Z(s) =∆(µ)(s)
∆(µ)11 (s)
=∆
(ν)11 (s)
∆(ν)(s)(12.545)
S obzirom na pomenuti oblik koeficijenata jednacina, to jest elemenata uvedenih determi-
nanti, ulazna impedansa i ulazna admitansa se mogu izraziti u obliku kolicnika dva polinoma
po kompleksnoj ucestanosti s. Do tih izraza dolazimo razvijanjem pomenutih determinanti.
Prema tome, funkciju W (s) mozemo pisati u obliku
W (s) =bms
m + bm−1sm−1 + · · ·+ b1s+ b0
ansn + an−1sn−1 + · · ·+ a1s+ a0=
A(s)
B(s)(12.546)
Nakon faktorizacije brojioca i imenioca u izrazu za W (s), relaciju (12.546) mozemo zapisati u
sledecem obliku
W (s) = K(s− s1)(s− s2) · · · (s− sm)
(s− s′1)(s− s′2) · · · (s− s′n)= K
m∏k=1
(s− sk)
n∏k=1
(s− s′k)(12.547)
gdje je
K =bman
405
Velicina K se naziva koeficijent skaliranja (normiranja) ili koeficijent kriticne tacke funkcije
kola. Kriticne tacke imitanse nazivaju se nule i polovi. sk(1 ≤ k ≤ m) nazivaju se nu-
lama funkcije kola a s′k(1 ≤ k ≤ n) se nazivaju polovima funkcije kola. Definicija polova
funkcije kola: Racionalno razlomljena funkcija W (s) kompleksne ucestanosti s ima pol reda
(višestrukosti) r pri s = s′k, ako je lims→s′
k
W (s) → ∞ i ako lims→s′
k
W (s)(s − s′k)r tezi konacnoj,
nenultoj vrijednosti. Ako je r = 1 pol se naziva prostim polom. Definicija nula funkcije
kola: Racionalno razlomljena funkcija W (s) ima nulu reda (višestrukosti) r pri s = sk ako
funkcija 1/W (s) ima pol reda r pri s = sk. Ako je r = 1 nula se naziva prostom nulom. Na
osnovu izraza (12.547) za funkciju kola W (s) vidimo da funkcija kola ima polove pri s = s′1,
s = s′2, · · · , s = s′k. Svi oni su prosti pri uslovu da je s′1 = s′2 = · · · = s′
n. Ako je r polova jed-
nako meu sobom, na primjer s′k= s′
k+1 = · · · = s′k+r−1, tada je taj pol r-tog reda. Analogno
predhodnom, funkcija W (s) ima nule pri s = s1, s = s2, · · · s = sm. One su proste ako su
sve razlicite meu sobom tj. s1 = s2 = · · · = sm. Ako je r iz njih identicno onda je ta nula
r-tog reda. Iz izraza (12.546) slijedi da ako je m > n tada lims→∞
W (s) → ∞ tako da funkcija
W (s) ima pol reda (m− n) pri s = ∞. Analogno, ako je m < n tada lims→∞
1W (s)
→ ∞ tako
da funkcija W (s) ima nulu reda (n −m) pri s = ∞. Pri odreivanju punog broja polova i
nula u funkciji kola W (s) pol (ili nula) r-tog reda uzima se r puta. Kao rezultat dobijamo:
1. Ako je n > m, W(s) ima m nula [korijena polinoma B(s) = 0] i (n − m) nula u
beskonacnosti. Dakle funkcija W (s) ukupno ima m+ (n−m) = n nula. Funkcija W (s)
ima takoe n polova [korijena polinoma A(s) = 0] .
2. Ako je m = n, funkcija W (s) ima n nula i n(= m) polova [korijena jednacine A(s) = 0]
u beskonacnosti W (s) = K.
3. Ako je n < m, funkcija ima n konacnih polova i (m−n) polova u beskonacnosti. Prema
tome, ukupno ima n+ (m− n) = m polova.
Zakljucak: Racionalno razlomljena funkcija kompleksne ucestanosti ima jednak broj
polova i nula uzimajuci u obzir i one koje se nalaze u tacki u beskonacnosti. Taj broj jednak
je najvecem stepenu po s u izrazu za funkciju kola W (s).
Primjer 1: Data je funkcija u obliku
W (s) = 4(s− 1)2(s2 + s+ 1)
s(s+ 3)2
Nule funkcijeW (s): FunkcijaW (s) ima dvostruku nulu pri s = 1 i proste nule pri s = −12+j
√32
i s = −12− j
√32. Polovi funkcije W (s): Funkcija W (s) ima prosti pol pri s = 0 i dvostruki
pol pri s = −3. U zakljucku podvucimo da je funkcija kola W (s) potpuno i jednoznacno
odreena rasporedom nula i polova i njihovim redom u kompleksnoj s - ravni kao i dopunskom
informacijom za odreivanje koeficijenta skaliranja K.
406
12.2 Osobine funkcije kola
1. Pošto su koeficijenti polinoma u brojiocu i imeniocu imitanse realni, ona ima osobinu
da je W (s∗) = W ∗(s) gdje je sa zvjezdicom oznacena konjugovano kompleksna velicina.
Posledica ove osobine je da se nule i polovi javljaju u konjugovano kompleksnim parovima
kada nijesu realni. Koeficijenti imitansnih polinoma su realni jer se se dobijaju osnovnim
racunskim operacijama iz koeficijenata elemenata determinanti, koji su takoe realni. Na
imaginarnoj osi gdje je s = jω, relacija koja izrazava navedenu osobinu imitanse postaje
W (−jω) = W ∗(jω). Ako je W (jω) = R(ω) + jX(ω), imamo R(−ω) + jX(−ω) =
R(ω)− jX(ω) i nju mozemo predstaviti sa dvije realne jednacine
R(−ω) = R(ω) (12.548)
X(−ω) = −X(ω) (12.549)
Relacije (12.548) i (12.549) nam kazuju da je na imaginarnoj osi realni dio imitanse
parna a imaginarni dio neparna funkcija ucesatanosti ω.
2. U analizi elektricnih kola je pokazano, da su sa nulama impedanse date kompleksne
ucestanosti sopstvenog rezima kada je mreza u kratkom spoju, a sa nulama admitanse
kompleksne ucestanosti sopstvenog rezima kada je ona otvorena. Sopstvene kompleksne
ucestanosti ne mogu imati pozitivan realni dio, jer vremenske funkcije sopstvenog rezima
ne mogu rasti neograniceno. Drugim rijecima, nule i polovi imitanse mogu biti samo u
lijevoj poluravni ili na imaginarnoj osi kompleksne kompleksne s - ravni. Iz istog razloga
kriticne tacke imitanse, ako se nalaze na imaginarnoj osi moraju biti proste.
3. Pri razvoju funkcije kola koja je data relacijom (12.547) na proste parcijalne (djelimicne)
razlomke dobijamo clanove sledecih oblika:
(a) Ks, koji odgovara prvom koraku dijeljenja B(s) sa A(s) ako je m = n + 1.
(b) H, konstanta
(c) kc
(s−s′
c), za prosti pol pri s = s′
c.
(d) kd,r
(s−s′
d)r, za pol reda (višestrukosti) r pri s = s′d
Kc i Kd,r su rezidijumi u odgovarajucim polovima. U vremenskom domenu gornjim parci-
jalnim razlomcima odgovarali bi:
(a) K δ′(t)
(b) H δ(t)
(c) kc es′
ct
(d) kd,r
(r−1)!tr−1es
′
dt
407
U pasivnom kolu odziv na impulsnu eksitaciju ne moze rasti neograniceno u vremenu. Ona
treba da opada sa vremenom ili da bude konstanta kao i pseudoperiodicna ili prostoperiodicna.
To znaci , da realni dio pola s = σ + jω ne moze biti pozitivan, tj. pri σc < 0
limt→∞
kces′
ct = limt→∞
eσ′
ctejω′
ct = 0
a pri σd < 0
limt→∞
kd,r(r − 1)!
tr−1es′
dt = 0 (12.550)
Osim toga, ako pol lezi na imaginarnoj osi jω (njegov realni dio jednak je nuli), on treba
da bude prost (r = 1), u protivnom funkcija u relaciji (12.550) bice rastuca po vremenu.
Zakljucak: Polovi funkcija pasivnih kola ograniceni su u lijevoj poluravni kompleksne s
ravni, kada oni mogu biti proizvoljnog reda r i na imaginarnoj osi jω gdje oni moraju biti
prosti.
Osim imitansnih funkcija definišu se još prenosne funkcije: prenosna admitansa i prenosna
impedansa kao i transmitansa napona i transmitansa struja. Posmatrajmo mrezu prikazanu
na slici 12.298. Ulazna admitansa je jednaka
1( )U s( )gU s
1( )I s
N
1
1′
2( )U s2Z
2( )I s 2
2′
Slika 12.298:
Y11(s) =I1(s)
Ug1(s)
Prenosna admitansa
Y21(s) =
I2(s)
Ug1(s)
Transmitansa napona
M21(s) =U2(s)
Ug1(s)
Za kolo prikazano na slici 12.299. ulazna impedansa je jednaka
Z11(s) =U1(s)
Ig1(s)
408
1( )U s( )gI s
1( )I s
N
1
1′
2( )U s2Z
2( )I s 2
2′
Slika 12.299:
Prenosna impedansa
Z21(s) =
U2(s)
Ig1(s)
Transmitansa struja
N21(s) =I2(s)
Ig1(s)
Izmeu ovih funkcija, direktna veza postoji samo izmeu ulazne impedanse i ulazne admitanse
koja je data relacijom
Z11(s) =
1
Y11(s)
Za eksitacije izmeu krajeva 2 i 2′ mozemo definisati još šest funkcija mreze. Zakljucak: Po
svojoj fizickoj prirodi funkcije kola W (s) mogu imati dimenzije:
(a) Impedanse
(b) Admitanse
(c) Bez dimenzija (transmitanse napona i struje)
12.3 Funkcije kola u vremenskom domenu
Ove funkcije se takoe definišu za kola bez pocetne energije (svi pocetni uslovi su jednaki
nuli).
12.3.1 Indiciona funkcija kola
Indiciona funkcija kola f(t) se definiše kao
Indiciona funkcija ≡ f(t) =Odziv na Hevisajdovu eksitaciju
Skok Hevisajdove eksitacije
odnosno
f(t) =rh(t)
E=
0
ϕ(t)h(t)
t < 0
t ≥ 0
409
gdje je rh(t) - odziv na Hevisajdovu eksitaciju, eh(t) = Eh(t) - Hevisajdova eksitacija a
f(t) = ϕ(t)h(t) za ∀t. U gornjim izrazima funkcija ϕ(t) je neprekidna kauzalna funkcija
vremena koja odrazava prirodu funkcije mreze. Priroda indicione funkcije zavisi od prirode
odziva i eksitacije. Ako je eksitacija naponski generator eh(t) = ug(t) = Uh(t) odziv moze
biti ulazna struja, struja ili napon neke druge grane što je predstavljeno na slici 12.300(a).
1( )u t( )gi t
1( )i t
N
( )ji t( )ju t
( )gu t
1( )i t
1( )u t
N
( )ji t( )ju t
)a )b
Slika 12.300:
Odgovarajuce indicione funkcije mreze su:
− I fY11(t) =i1(t)U
= a(t)
− I fYj1 =ij(t)
U
− I fMj1=
uj(t)
U
Ako je eksitacija strujni generator eh(t) = ig(t) = Ih(t) odzivi mogu biti: ulazni napon
u1(t), napon ili struja neke druge grane uj(t), ij(t) prema šemi na slici 12.300(b). Odgovara-
juce indicione funkcije su:
− I fZ11(t) =u1(t)I
= J(t)
− I fZj1=
uj(t)
I
− I fNj1=
ij(t)
I
12.3.2 Grinova funkcija (impulsna karakteristika)
Grinova funkcija se defiše kao
Grinova funkcija ≡ g(t) =Odziv na impulsnu eksitaciju
Jacina udara impulsne eksitacije
odnosno
g(t) =rδ(t)
F
410
gdje je rδ(t) - odziv na impulsnu eksitaciju, eδ(t) = Fδ(t) - impulsna eksitacija a F - jacina
udara impulsne eksitacije. Treba naglasiti da je priroda Grinove funkcije jednaka odgovara-
jucoj prirodi indicione funkcije podijeljenoj sa vremenom (ili pomnozenoj sa ucestanošcu), tako
da ono što se naziva na primjer, Grinovom ulaznom impedansom ima dimenziju otpornosti
podijeljene sa vremenom . Veza izmeu ovih dviju vaznih vremenskih funkcija je
g(t) =df(t)
dt=
d
dt[ϕ(t)h(t)] = ϕ′(t)h(t) + ϕ(t)δ(t) = ϕ′(t)h(t) + ϕ(0+)δ(t) (12.551)
f(t) =t∫−∞
g(τ)dτ
12.4 Veza izmeu funkcija kola u kompleksnom i vre-
menskom domenu
Iz definicije funkcije kola u kompleksnom domenu (s - domenu) koja je data relacijom (12.534)
imamo
W (s) =R(s)
E(s)
odnosno
R(s) = E(s)W (s)
Ako je eksitacija Hevisajdov generator eh(t) = Eh(t) odziv je rh(t)
Eh(s) = Leh(t) = E Lh(t) =E
s
Rh(s) = Lrh(t) = Eh(s)W (s) = EW (s)
s
rh(t) = L−1 Rh(s) = E L−1W (s)
s
Na osnovu definicije indicione funkcije imamo
f(t) =rh(t)
E= L−1
W (s)
s
(12.552)
Dobili smo veoma vaznu relaciju koja nam omogucava da odredimo indicionu funkciju ako je
poznata funkcija kola W (s) i obratno. Ito tako ako je eksitacija impulsni generator eδ(t) =
Fδ(t), odziv je rδ(t)
Eδ(s) = Leδ(t) = F Lδ(t) = F 1
411
Rδ(s) = Lrδ(t) = Eδ(s)W (s) = F W (s)
rδ(t) = L−1 Rδ(s) = F L−1 W (s)
Na osnovu definicije Grinove funkcije
g(t) =rδ(t)
F= L−1 W (s) (12.553)
Dobili smo vaznu relaciju iz koje vidimo da je Grinova funkcija direktno povezana sa funkcijom
kola. Relacije (12.552) i (12.553) su i najlakši put za odreivanje indicione i Grinove funkcije
iz funkcije kola. Znacaj ovih funkcija je veoma veliki u teoriji elektricnih kola i sistema kao što
cemo vidjeti u narednim izlaganjima (superpozicioni i konvolucioni integrali). Ako se poznate
funkcije f(t) i g(t) mozemo odrediti odziv ukljucenja na proizvoljnu eksitaciju. Preko Grinove
funkcije mozemo definisati kriterijum apsolutne stabilnosti kola
∞∫0
|g(τ )| dτ < ∞
12.5 Primjena funkcije kola za odreivanje ustaljenog
odziva
[Steday-State Response]
Polovi odziva R(s) komponavani su od polova funkcije kola W (s) i od polova eksitacije E(s)
R(s) = E(s)W (s) =B(s)
A(s)=
B(s)
An(s)Af(s)=
B(s)
(s− pn1)(s− pn2) · · · (s− pf1)(s− pf2) · · ·(12.554)
gdje pn1, pn1, . . . predstavljaju prirodne polove (polovi funkcije kola) a pf1, pf2, . . . pred-
stavljaju prinudne polove (polovi eksitacije). Predpostavljajuci da su svi polovi prosti i da
je stepen polinoma B(s) manji od stepena polinoma A(s) odziv R(s) se moze razloziti u
parcijalne (djelimicne) razlomke
R(s) =
(Kn1
s− pn1+
Kn2
s− pn2+ · · ·
)+
(Kf1
s− pf1+
Kn2
s− pf2+ · · ·
)= Rn(s) +Rf(s) (12.555)
gd je Rn(s) prirodni dio odziva R(s) a Rf (s) predstavlja prinudni dio odziva R(s). U vre-
menskom domenu imamo
r(t) =(Kn1e
pn1 t +Kn2epn2 t + . . .
)+
(Kf1e
pf1 t +Kf2epf2t + . . .
)= rn(t) + rf(t) (12.556)
412
Primjer: U kolu prema slici 12.301. odrediti odziv v(t) =?
11( ) singi t t=
( )v t
Slika 12.301:
Ig(s) = Lig(t) = Lsin t =1
s2 + 1
W (s) =V (s)
Ig(s)=
1
s2 + 1
Odziv je jednak
R(s) = V (s) =
(1
s+ 1
)(1
s2 + 1
)
Polovi su: pn1 = −1 , pf1 = j, pf2 = −j pa imamo
V (s) = Vn(s) + Vf (s) =1
2
1
s+ 1− 1
2
s− 1
s2 + 1
Vn(s) =1
2
1
s+ 1; Vf (s) = −1
2
s− 1
s2 + 1
U vremenskom domenu
v(t) = vn(t) + vf(t)
pri cemu je prirodni odziv jednak
vn(t) =1
2e−t
a prinudni
vf (t) =1√2sin
(t− π
4
)
Primjer: : U kolu prema slici 12.302. odrediti odziv v2(t) =? ako je v1(t) = h(t).
V1(s) = Lv1(t) =1
s
W (s) =V2(s)
V1(s)=
s
s+ 1
RC
413
C
R1( )v t 2( )v t
Slika 12.302:
Polovi su: pn1 = 0, pf1 = − 1
RCpa je napon V2(s) jednak
V2(s) = W (s)V1(s) =s
s+ 1
RC
1
s=
1
s+ 1
RC
U vremenskom domenu
v2(t) = vn(t) = e−t
RC ; vf1(t) = 0
Primjer: U kolu prema slici 12.303. odrediti odziv v2(t) =? ako je i1(t) = e−t cos t.
111( )i t 2( )v t
Slika 12.303:
I1(s) = Li1(t) = Le−t cos t
=
s+ 1
(s + 1)2 + 1
Pri cemu je I1(s) = 0 za s = −1. Prenosna funkcija je
W (s) =V2(s)
I1(s)=
1
s+ 1
i imamo pol pn1 = −1. Napon V2(s) je jednak
V2(s) = W (s)I1(s) =1
s+ 1
s+ 1
(s+ 1)2 + 1=
1
(s+ 1)2 + 1
Prinudni odziv je jednak
v2(t) = e−t sin t
dok je prirodni odziv jednak nuli
vn(t) = 0
414
Polovi funkcije kola se poklapaju sa nulama eksitacije.
12.5.1 Prostoperiodicni ustaljeni rezim
1. Posmatrajmo eksitaciju oblika
( ) ?fr t =
( )W s
( )= sin( + )m
e t E tω θ
R(s) = W (s)E(s)
E(s) = Le(t) = LEm sin (ωt+ θ) = Ems sin θ + ω cos θ
s2 + ω2
R(s) = W (s)
[Em
s sin θ + ω cos θ
s2 + ω2
]= W (s)
Em (s sin θ + ω cos θ)
(s− jω)(s+ jω)
Polovi pobude su pf1 = jω i pf2 = −jω pa je
Rf(s) =K
s− jω+ konjugovani dio
K = (s− jω)R(s)|s=jω = W (jω)
[Em (jω sin θ + ω cos θ)
2jω
]
Rf(s) = Em
W (jω)
2j(cos θ + j sin θ)
1
s− jω+ konjugovani dio
Rf(s) =
Em
|W (jω)|2
ej[θ+θW (ω)−π2]
1
s− jω+ konjugovani dio
gdje je |W (jω)| = mod W (jω) a θW (ω) = arg W (jω).
rf(t) = L−1 Rf(s) =
Em
|W (jω)|2
ej[θ+θW (ω)−π2]ejωt + konjugovani dio
rf (t) = 2Re
Em
|W (jω)|2
ej[ωt+θ+θW (ω)−π2]
= Em |W (jω)| cos[ωt+ θ + θW (ω)− π
2
]
rf (t) = Em |W (jω)| sin [ωt+ θ + θW (ω)]
415
( )= sin( + )m
e t E tω θ [ ]( )= ( ) sin + + ( )f m Wr t E W j tω ω θ θ ω( )W s
2. Posmatrajmo eksitaciju oblika
( ) ?fr t =
( )W s
( )= cos( + )me t E tω θ
E(s) = Le(t) = LEm cos (ωt+ θ) = Ems cos θ − ω sin θ
s2 + ω2
R(s) = W (s)E(s) = W (s)
[Em
s cos θ − ω sin θ
s2 + ω2
]= W (s)
Em (s cos θ − ω sin θ)
(s− jω)(s+ jωω)
Polovi pobude su s1 = jω i s2 = −jω pa je
Rf(s) =K
s− jω+ konjugovani dio
K = (s− jω)R(s)|s=jω = W (jω)
[Em (jω cos θ − ω sin θ)
2jω
]
Rf (s) = Em
W (jω)
2j(j cos θ − sin θ)
1
s− jω+ konjugovani dio
Rf(s) =
Em
|W (jω)|2
ej[θ+θW (ω)]
1
s− jω+ konjugovani dio
rf(t) = L−1 Rf(s) =
Em
|W (jω)|2
ej[θ+θW (ω)]
ejωt + konjugovani dio
rf (t) = 2Re
Em
|W (jω)|2
ej[ωt+θ+θW (ω)]
= Em |W (jω)| cos [ωt + θ + θW (ω)]
( )= cos( + )m
e t E tω θ [ ]( )= ( ) cos + + ( )f m Wr t E W j tω ω θ θ ω( )W s
416
12.5.2 Pseudoperiodicni ustaljeni rezim
3. Posmatrajmo pseudoperiodicnu eksitaciju oblika
( ) ?fr t =
( )W s
( )= sin( + )tme t E e t
α
ω θ
R(s) = W (s)E(s)
E(s) = Le(t) = LEme
αt sin (ωt + θ)= Em
(s− α) sin θ + ω cos θ
(s− α)2 + ω2
R(s) = W (s)
[Em
(s− α) sin θ + ω cos θ
(s− α)2 + ω2
]= W (s)
Em
(s− α) sin θ + ω cos θ
[s− (α + jω)] [s+ (α− jω)]
Polovi pobude su s1 = α+ jω i s2 = α− jω pa je
Rf (s) =K
s− (α + jω)+ konjugovani dio
K = [s− (α + jω)]R(s)|s=α+jω = W (α + jω)
[Em
(α + jω − α) sin θ + ω cos θ)
α + jω − α + jω
]
K = W (α + jω)
[Em (jω sin θ + ω cos θ)
2jω
]
Rf (s) = Em
W (α + jω)
2j(cos θ + j sin θ)
1
s− (α + jω)+ konjugovani dio
W (s)|s=α+jω = W (α + jω) = |W (α + jω)| ejθW (α,ω)
gdje je |W (α + jω)| = mod W (α+ jω) a θW (α, ω) = arg W (α+ jω). Odziv je sada
jednak
Rf (s) =
Em
|W (α+ jω)|2
ej[θ+θW (α,ω)−π2]e(α+jω)t + konjugovani dio
Rf(s) =
Eme
αt |W (α + jω)|2
ej[ωt+θ+θW (α,ω)−π2]+ konjugovani dio
rf(t) = 2Re
Eme
αt |W (α+ jω)|2
ej[ωt+θ+θW (α,ω)−π2]
417
rf(t) = Emeαt |W (α + jω)| cos
[ωt + θ + θW (α, ω)− π
2
]
rf (t) = Emeαt |W (α + jω)| sin [ωt+ θ + θW (α, ω)]
[ ]( )= ( + ) sin + + ( , )tf m Wr t E e W j tα
α ω ω θ θ α ω( )W s
( )= sin( + )tme t E e tα
ω θ
Za razlicite vrijednosti α, ω i θ prinudni odziv se moze izracunati za razlicite varijacije
pobude. Na primjer, ako je ω = 0, θ = π/2, eksitacijaje eksponencijalna e(t) = Emeαt a
prinudni odziv je rf(t) = Emeαt |W (α)| ejθW (α) pri cemu je θW (α) = 0.
4. Posmatrajmo pseudoperiodicnu eksitaciju oblika
( ) ?fr t =
( )W s
( )= cos( + )t
me t E e tα
ω θ
R(s) = W (s)E(s)
E(s) = Le(t) = LEme
αt cos (ωt+ θ)= Em
(s− α) cos θ − ω sin θ
(s− α)2 + ω2
R(s) = W (s)
[Em
(s− α) cos θ − ω sin θ
(s− α)2 + ω2
]= W (s)
Em
(s− α) cos θ − ω sin θ
[s− (α+ jω)] [s+ (α− jω)]
Polovi pobude su s1 = α+ jω i s2 = α− jω pa je
Rf (s) =K
s− (α + jω)+ konjugovani dio
K = [s− (α + jω)]R(s)|s=α+jω = W (α+ jω)
[Em
(α+ jω − α) cos θ − ω sin θ)
α + jω − α + jω
]
K = W (α + jω)
[Em (jω cos θ − ω sin θ)
2jω
]
Rf(s) = Em
W (α + jω)
2j(j cos θ − sin θ)
1
s− (α + jω)+ konjugovani dio
W (s)|s=α+jω = W (α + jω) = |W (α + jω)| ejθW (α,ω)
418
gdje je |W (α + jω)| = mod W (α+ jω) a θW (α, ω) = arg W (α+ jω). Odziv je sada
jednak
Rf (s) =
Em
|W (α + jω)|2
ej[θ+θW (α,ω)]
e(α+jω)t + konjugovani dio
Rf(s) =
Eme
αt |W (α + jω)|2
ej[ωt+θ+θW (α,ω)]
+ konjugovani dio
rf(t) = 2Re
Eme
αt |W (α+ jω)|2
ej[ωt+θ+θW (α,ω)]
rf(t) = Emeαt |W (α + jω)| cos
[ωt+ θ + θW (α, ω)
π
2
]
[ ]( )= ( + ) cos + + ( , )tf m Wr t E e W j tα
α ω ω θ θ α ω( )W s
( )= cos( + )tme t E e t
α
ω θ
Prinudni odziv rf (t) je identican odzivu koji koji nastupi kada se prirodni odziv (prelazni
odziv) završi tj. ustaljenom odzivu rf(t) = rss(t) (steady-state response). Do istih rezultata
moze se doci i na druge nacine. Posmatrajmo na primjer, linearno, vremenski nepromjenljio
elektricno kolo u kome djeluje pseudoperiodicna eksitacija:
e(t) = Emeσt cos (ωt+ θ)
Ako je za krajeve generatora vezana pasivna mreza bez akumulisane energije, odziv kola ce,
poslije “dovoljno dugo vremena” (ustaljeni odziv), biti jednak prinudnom odzivu a on je opisan
funkcijom istog oblika kao eksitacija:
y(t) = yh(t) + yp(t)|t→∞ = yp(t) = Ymeσt cos (ωt+ ψ)
( )e t ( )y t
Slika 12.304:
e(t) = Emeσt1
2
[ej(ωt+θ) + e−j(ωt+θ)
]=
1
2Eme
jθe(σ+jω)t +1
2Eme
−jθe(σ−jω)t
y(t) = Ymeσt1
2
[ej(ωt+ψ) + e−j(ωt+ψ)
]=
1
2Yme
jψe(σ+jω)t +1
2Yme
−jψe(σ−jω)t
419
gdje je s= σ + jω i predstavlja kompleksnu ucestanost.
e(t) = e1(t) + e2(t)
e1(t) =1
2e(t); e2(t) = e∗1
e(t) = Emejθe(σ+jω)t = Eme
st; Em = Emejθ
y(t) = y1(t) + y
2(t)
y1(t) =
1
2y(t); y
2(t) = y∗
1
y(t) = Ymejψe(σ+jω)t = Y me
st; Y m = Ymejψ
e(t) = Re e(t)y(t) = Re
y(t)
Od diferencijalne jednacine:
A(D)y1(t) = B(D)e1(t)
dobija se kompleksna algebarska jednacina oblika:
A(s)y(t) = B(s)e(t)
iz koje slijedi:
A(s)Y m = B(s)Em
Y m =B(s)
A(s)Em = W (s)Em
Velicina:
W (s) =y(t)
e(t)=
Y m
Em
=B(s)
A(s)
se naziva kompleksna funkcija kola. Odziv y(t) je jednak:
y(t) = ReW (s)Eme
st= Re
B(s)
A(s)Eme
st
420
12.5.3 Rezonantni odziv
( )e t ( )y t
Slika 12.305:
A(D)y(t) = B(D)e(t)
e(t) = Emeσt cos (ωt+ θ)
y(t) = Ymeσt cos (ωt + ψ)
Y m =B(s)
A(s)Em = Yme
jψ ⇒ y(t) = ReY me
st
Šta se dešava ako je ucestanost pobude jednaka nakoj od sopstvenih ucestanosti kola. Sop-
stvene ucestanosti su, kao što je poznato, jednake korijenima karakteristicne jednacine kola:
A(s) = 0 ⇒ s1, s2, ..., sr
i mogu biti proste i/ili višestruke. Karakteristicni polinom se moze predstaviti u faktorizo-
vanom obliku kao:
A(s) = (s− s1) (s− s2) ... (s− sr) =r
Πi=1
(s− si)
Neka je jedna od sopstvenih ucestanosti, na primjer, s1 reda p, a ostale su proste. Tada je:
A(s) = (s− s1)p
r
Πi=p+1
(s− si)
Pobuda je proizvoljna i nezavisna od elektricnog kola tako da njena ucestanost moze biti
jednaka nekoj od sopstvenih ucestanosti sistema:
s = si = σi + jωi, i = 1, 2, ..., r
W (s)|s=si
=B(si)
A(si)= ∞
jer je tada A(si) = 0.
Y m = W (s) Em|s=si
= ∞
421
Kakav je tada prinudni odziv u vremenskom domenu, y(t) =? Ovakav odziv se naziva rezo-
nantni odziv. Iz teorije diferencijalnih jednacina je poznato rješenje jednacine A(D)y(t) =
B(D)e(t) ako je s = si = σi + jωi, i = 1, 2, ..., r i ono je oblika:
y(t) = Re
tp
B(si)
A(p)(si)Eme
sit
gdje je A(p)(si) izvod p - og reda po si karakteristicnog polinoma A(s) u tacki s = si:
A(p)(si) =dpA(s)
dsp
∣∣∣∣s=s
i
a si je sopstvena ucestanost p - og reda. Iz predhodnih izraza mozemo zakljuciti kakav ce biti
rezonantni odziv poslije dovoljno dugo vremena (teorijski pri t → ∞) od momenta ukljucenja
pobude. Od znacaja je samo proizvod tpeσit s obzirom da y(t) mozemo pisati u formi:
y(t) = tpeσitF (σi, ωi, t)
gdje je:
F (σi, ωi, t) = Re
B(si)
A(p)(si)Eme
ωit
ogranicena funkcija vremena. Kako je:
limt→∞
tpeσit =
0 σi < 0
∞ σi ≥ 0
Primjer 1: Posmatrajmo prosto kolo prikazano na slici 12.306. Kolo je bez pocetne energije.
Odrediti prinudni odziv kola, struju i(t), ako je napon generatora oblika:
a) ug(t) = Ugmeσt cos (ωt + θg)
b) ug(t) = Ug
( )gu t
( )i t
L
Slika 12.306:
Jednacina kola u vremenskom domenu je:
LDi(t) = ug(t)
422
A(D) = LD; B(D) = 1
odnosno u s - domenu je:
LsIm = Ugm
A(s)Im = B(s)Ugm
Im = W (s)Ugm
W (s) =B(s)
A(s)=
1
Ls
Ugm = Ugmejθg ; s = σ + jω
Sopstvena ucestanost kola dobija se iz relacije A(s) = 0 i ona je jednaka:
Ls = 0 ⇒ s1= 0 σ1 = 0 ∧ ω1 = 0
a)
i(t) = Re
B(s)
A(s)U
gmest
= Re
1
L (σ + jω)Ugme
jθge(σ+jω)t
i(t) =Ugm
L√σ2 + ω2
eσt cos (ωt+ θg − ϕ)
gdje je:
ϕ = arctg(ωσ
)b) Ako je eksitacija konstantna, odnosno ug(t) = Ug tada je:
s = 0; σ = 0; ω = 0
Ucestanost generatora je jednaka sopstvenoj frekvenciji kola s = s1 te je ostvarena rezo-
nancija:
Y (s1) = ∞ ⇒ Im = ∞
Ugm = Ug; p = 1
i(t) = tUg
L→ ∞ ako t → ∞
Primjer 2: Posmatrajmo prosto kolo prikazano na slici 12.307. Kolo je bez pocetne energije.
423
Odrediti prinudni odziv kola, struju i(t), ako je napon generatora oblika ug(t) = Ugmeσt.
Jednacina kola u vremenskom domenu je:
( )gu t
( )i t R L
Slika 12.307:
Ri+ LDi = ug
A(D)i(t) = B(D)ug(t)
A(D) = R+ LD; B(D) = 1
A(s)Im= B(s)U
gm
A(s) = R+ Ls; B(s) = 1
Im= W (s)U
gm
W (s) =B(s)
A(s)=
1
R+ Ls
Sopstvena ucestanost kola dobija se iz relacije A(s) = 0 i ona je jednaka:
s1
= −R
L= σ1
s = s1; σ = σ1 = −R
L
Sopstvena ucestanost je prosta p = 1 pa imamo da je:
A′(s) = L
i(t) = Re
tB(s
1)
A′(s1)Ugm
es1t
= tUgm
Leσ1t = t
Ugm
Le−
R
Lt
424
12.5.4 Odziv u kolu kada su polovi eksitacije blizu polova funkcije
kola
Neka su polovi eksitacije i funkcije kola rasporeeni u s - ravni kao na slici 12.308. Pred-
postavka je da su oba pola prosta.
Re
Imjs∆
p s+ ∆
p
PolEksitacije
Pol FunkcijeKola
Slika 12.308:
An(s) = (s− p)Anr(s)
Sa slike se vidi da je p pol funkcije kola
Af(s) = (s− p−∆s)Afr(s)
s = p+∆s je pol eksitacije. Anr(s) i Afr(s) su ostaci odgovarajucih polinoma
R(s) =B(s)
A(s)=
B(s)
An(s)Af (s)=
B(s)
[(s− p)Anr(s)] [(s− p−∆s)Afr(s)]
Predpostavlja se da polinom B(s) nema nula u s = p i s = p+∆s. Odziv je tada
R(s) =Kn
s− p+
Kf
s− p−∆s+ clanovi od ostatka polova R(s)
Kn =B(s)
Anr(s) [(s− p−∆s)Afr(s)]
∣∣∣∣s=p
=−B(p)
Anr(s)Afr(s)∆s=
K(p)
∆s
Kf =B(s)
Afr(s) [(s− p)Anr(s)]
∣∣∣∣s=p+∆s
=B(p+∆s)
Anr(p+∆s)Afr(p+∆s)∆s= −K(p+∆s)
∆s
U vremenskom domenu odziv je
r(t) =K(p)
∆sept − K(p+∆s)
∆se(p+∆s)t + (ostali clanovi)
425
Primjer: Oba pola leze u lijevoj poluravni s - ravni.
11te
α− ( )v t
1+
j+
1−α−
+ =
0
10
( )nv t
10−
( )fv t
0
( )v t
prirodni odziv prinudni odziv odziv
1.1α =
Za α = 1 odziv je
vn(t) =1
α− 1e−t
i
vf (t) = − 1
α− 1e−αt
v(t) = vn(t) + vf(t)
Primjer: Jedan pol u lijevoj poluravni a drugi na imaginarnoj osi s - ravni.
1 1sin tω( )v t50
0.01−
1j
1j−
1+
j+
41 10j −
−
Polovi funkcije kola su s = −0.01 ± j√1− 10−4 dok su polovi eksitacije ±jω. Prirodni
odziv je tada
vn(t) =−50ω√
1− 10−4√2500(ω2 − 1)2 + ω2
e−t
100 sin√
1− 10−4t− arctan(100
√1− 10−4
)+
+arctan
[100
√1− 10−4
5000(ω2 − 1) + 1
]
vf (t) =50ω√
2500(1− ω2)2 + ω2sin
ωt− arctan
[ω
50(1− ω2)
]+
π
2
426
Ukupan odziv je jednak
v(t) = vn(t) + vf(t)
a za ω = 1 dobijamo
vn(t) = − 50√1− 10−4
e−t
100 sin√1− 10−4t
vf (t) = 50 sin t
12.5.5 Odziv kada se polovi funkcije kola i eksitacije poklapaju -
rezonantni odziv
Polazeci od relacije
r(t) =K(p)
∆sept − K(p+∆s)
∆se(p+∆s)t + (ostali clanovi)
r(t) = − lim∆s→0
[K(p+∆s)e(p+∆s)t −K(p)ept
∆s
]︸ ︷︷ ︸
po definiciji dds[K(s)est]
s=p
+ (ostali clanovi)
r(t) = − d
ds
[K(s)est
]s=p
+ (ostali clanovi) = −[K(s)
d
ds(est)
]s=p
−
−est
d
ds[K(s)]
s=p
+ (ostali clanovi)
r(t) = −K(p)tept − dK(s)
ds
∣∣∣∣s=p
+ (ostali clanovi)
Primjer:
Funkcija kola je data izrazom
1 1sin tω ( )v t
1j
1j−
1+
j+
1j
4j−
1+
j+
Polovi Funkcie Kola Polovi Eksitacije
W (s) =s
s+ 1
427
Polovi funkcije kola su p1 = +j1 i p2 = −j1. Eksitacija je
E(s) = Le(t) = Lsinωt =ω
s2 + ω2
Polovi eksitacije su p1 = +jω i p2 = −jω. Ako je ω = 1 odziv je tada
v(t) = vn(t) + vf(t) = − ω
1− ω2cos t +
ω
1− ω2cosωt
Kada je ω = 1 dobijamo
v(t) =t
2sin t
SPECIJALNE METODE
RJEŠAVANJA ELEKTRICNIH
KOLA
13.1 Odreivanje odziva ukljucenja pomocu konvolu-
cionog integrala
Polazeci od relacije R(s) = E(s)W (s), veze Grinove funkcije i funkcije kola i osobine kon-
volucije Lplasove transformacije mozemo napisati da je odziv ukljucenja R(s) =Lr(t) na
proizvoljnu eksitaciju E(s) =Le(t) je jednak
R(s) = E(s)W (s) = Le(t)Lg(t)
r(t) =t∫0
e(τ )g(t− τ )dτ (13.557)
i
r(t) =t∫0
e(t− τ )g(τ )dτ (13.558)
Dobili smo dva oblika konvolucionog integrala za izracunavanje odziva ukljucenja ako je poz-
nata Grinova funkcija na pobudu proizvoljnog oblika. Do istog rezultata mozemo doci i
na druge nacine. Jedan je koristeci svojstva Dirakove funkcije δ(t). Proizvoljnu vremensku
funkciju mozemo predstaviti kao konvoluciju nje same sa Dirakovom funkcijom
e(t) = e(t) ∗ δ(t) =t∫0
e(τ )δ(t− τ)dτ =t∫0
e(t− τ )δ(τ )dτ (13.559)
428
429
Koristeci osobine linearnosti i stacionarnosti odziva ukljucenja mozemo napisati da pobuda
e(τ )δ(t− τ)dτ izaziva odziv ukljucenja e(τ )g(t− τ )dτ ili e(t− τ )δ(τ)dτ a ukupni odziv je
r(t) =t∫0
e(τ)g(t− τ)dτ =t∫0
e(t− τ)g(τ)dτ (13.560)
U teoriji sistema, matematici i fizici ovaj se integral naziva i F - ovim integralom.
13.2 Odreivanje odziva ukljucenja pomocu superpozi-
cionog (DuHamel-ov) integrala
Polazeci od relacije R(s) = E(s)W (s) i koristeci osobinu konvolucije u Laplasovoj transfor-
maciji
t∫0
f1(τ)f2(t− τ )dτL⇐⇒ F1(s)F2(s)
d
dt
t∫0
f1(τ )f2(t− τ )dτL⇐⇒ sF1(s)F2(s)
kao i relaciju (12.552) mozemo pisati da je odziv
R(s) = s E(s)W (s)
s
r(t) = L−1
[s E(s)
W (s)
s
]= L−1 [s Le(t) Lf(t)]
r(t) =d
dt
t∫0
e(τ)f(t− τ)dτ =d
dt
t∫0
e(t− τ)f(τ)dτ
Koristeci L-ovu formulu o diferenciranju integrala po parametru (α - parametar)
Q(α) =z2(α)∫z1(α)
f(x, α)dx
dQ(α)
dα=
z2(α)∫z1(α)
∂f(x, α)
∂αdx+ f(z2, α)
dz2dα
− f(z1, α)dz1dα
iz oblika (VI - oblik)
r(t) =d
dt
t∫0
e(τ )f(t− τ )dτ (13.561)
430
dobijamo dva oblika (III - oblik)
r(t) = e(t)f(0) +t∫0
e(τ)f ′(t− τ)dτ (13.562)
i (IV - oblik)
r(t) = e(t)f(0) +t∫0
e(t− τ)f ′(τ)dτ (13.563)
Iz oblika (V - oblik)
r(t) =d
dt
t∫0
e(t− τ )f(τ )dτ (13.564)
dobijamo dva oblika (I - oblik)
r(t) = e(0)f(t) +t∫0
e′(τ)f(t− τ)dτ (13.565)
i (II - oblik)
r(t) = e(0)f(t) +t∫0
e′(t− τ)f(τ)dτ (13.566)
Dobili smo šesto oblika Dijamelovog integrala za izracunavanje odziva ukljucenja u nekoj grani
kola na proizvoljnu pobudu. Prelaz sa oblika (I) na oblik (II) vrši se zamjenom promjenljivih
kao i sa oblika (III) na oblik (IV). Do istog rezultata mozemo doci i na druge nacine koristeci
svojstva i osobine Laplasove transformacije.
II nacin
1.
R(s) = s E(s)W (s)
s
E(s) = Le(t)
Le′(t) = sE(s)− e(0)
sE(s) = Le′(t)+ e(0)
r(t) = L−1 R(s)
431
Lf(t) =W (s)
s
R(s) = [Le′(t)+ e(0)] Lf(t) = e(0) Lf(t)+ Le′(t) Lf(t)
r(t) = L−1 [e(0) Lf(t)+ Le′(t) Lf(t)]
Odavde dobijamo I oblik
r(t) = e(0)f(t) +t∫0
e′(τ)f(t− τ)dτ
i II oblik Dijamelovog integrala
r(t) = e(0)f(t) +t∫0
e′(t− τ)f(τ)dτ
2.
R(s) = E(s)W (s) = E(s) sW (s)
s
sW (s)
s= s Lf(t) = Lf ′(t)+ f(0)
r(t) = L−1 [f(0)E(s) + Le(t) ∗ f ′(t)]
Iz zadnje relacije dobijamo III oblik
r(t) = e(t)f(0) +t∫0
e(τ)f ′(t− τ)dτ
i IV oblik Dijamelovog integrala
r(t) = e(t)f(0) +t∫0
e(t− τ)f ′(τ)dτ
III nacin
R(s) = s E(s)W (s)
s
E(s) = Le(t)
R(s) = Lr(t)
432
Le′(t) = sE(s)− e(0)
sE(s) = Le′(t)+ e(0)
Lf(t) =W (s)
s
sE(s) = e(0) + Le′(t) = Le(0)δ(t) + e′(t)
R(s) = s E(s)W (s)
s= Le(0)δ(t) + e′(t)Lf(t)
R(s) = Le(0)δ(t)Lf(t)+ Le′(t) Lf(t)
R(s) = Le(0)δ(t) ∗ f(t)+ Le′(t) ∗ f(t)
r(t) =t∫0
e(0)f(τ)δ(t− τ )dτ +t∫0
e′(τ)f(t− τ)dτ
r(t) = e(0)t∫0
f(τ)δ(t− τ )dτ︸ ︷︷ ︸f(t)
+t∫0
e′(τ)f(t− τ)dτ
Iz zadnje relacije dobijamo I oblik
r(t) = e(0)f(t) +t∫0
e′(τ)f(t− τ)dτ
i II oblik Dijamelovog integrala
r(t) = e(0)f(t) +t∫0
e′(t− τ)f(τ)dτ
R(s) = s E(s)W (s)
s
sW (s)
s= s Lf(t) = Lf ′(t) + f(0) = Lf ′(t) + f(0)δ(t)
R(s) = E(s) Lf ′(t) + f(0)δ(t) = E(s) Lf(0)δ(t)+ E(s) Lf ′(t)
433
R(s) = Le(t) ∗ f(0)δ(t)+ Le(t) ∗ f ′(t)
r(t) =t∫0
e(τ)f(0)δ(t− τ )dτ +t∫0
e(τ)f ′(t− τ)dτ
r(t) = f(0)t∫0
e(τ)δ(t− τ )dτ︸ ︷︷ ︸e(t)
+t∫0
e(τ)f ′(t− τ)dτ
Iz zadnje relacije dobijamo III oblik
r(t) = e(t)f(0) +t∫0
e(τ)f ′(t− τ)dτ
i IV oblik Dijamelovog integrala
r(t) = e(t)f(0) +t∫0
e(t− τ)f ′(τ)dτ
IV nacin
Polazeci od tvrdnje da svaku vremensku funkciju mozemo izraziti preko Dijamelovog integrala
e(t) = e(0)h(t) +t∫0
e′(τ )h(t− τ)dτ
i polazeci od osobine linearnosti i stacionarnosti odziva ukljucenja imamo: e(t) daje odziv
r(t), clan e(0)h(t) daje odziv e(0)f(t) tada
e′(τ )h(t− τ)dτ =⇒ e′(τ )f(t− τ )dτ
t∫0
e′(τ )h(t− τ)dτ =⇒t∫0
e′(τ)f(t− τ)dτ
Konacno dobijamo I oblik Dijamelovog integrala
r(t) = e(0)f(t) +t∫0
e′(τ)f(t− τ)dτ
a iz njega mozemo dobiti sve ostale oblike zamjenom promjenljivih i parcijalnom integracijom.
Teorijski Dijamelov superpozicioni integral i Fredholmov konvolucioni integral za izracuna-
vanje odziva ukljucenja u nekoj grani kola pri proizvoljnoj eksitaciji su potpuno ravnopravni.
Oba pripadaju specijalnim metodama analize elektricnih kola. Oni nemaju opštost sistem-
atskih metoda za analizu odziva kakve su klasicna metoda, metoda Laplasove transformacije
434
i metoda promjenljivih struja. Sa prakticne strane prednost treba dati metodi Dijamelovog
superpozicionog integrala jer se indiciona funkcija f(t) kako kazu matematicari, ljepše ponaša
od Grinove funkcije. Kako superpozicioni integral ima šest oblika, pogodno je birati onaj gdje
se izbjegava izvod eksitacije pod integralom u slucajevima kada je eksitacija prekidna funkcija.
U tom slucaju najpogodniji je III - oblik Dijamelovog integrala.
Primjer 1: Data je eksitacija ug(t) = u(t) koja se mijenja prema prilozenom dijagramu
na slici 13.309. Poznato je Zul(s) [Yul(s)] . Odrediti odziv ukljucenja i(t) =?
( )gu t
( )i t
( )u t
N
( )ulZ s
(0)u
1( )u t2( )u t
c
a
bbu
au
cu
( )gu t
1t 2t t
Slika 13.309:
Rješenje: Indiciona funkcija kola u ovom slucaju je indiciona admitansa f(t) = a(t).
W (s) = Yul(s) =1
Zul(s)
a(t) = L−1Yul(s)
s
= L−1
1
s Zul(s)
I oblik Dijamelovog integrala
0 < t < t1
i(t) = u(0)a(t) +t∫0
u′
1(τ )a(t− τ )dτ
t1 < t < t2
i(t) = u(0)a(t) +t1∫0
u′
1(τ )a(t− τ)dτ + (ub − ua)a(t− t1) +
t∫t1
u′
2(τ)a(t− τ )dτ
t > t2
i(t) = u(0)a(t) +t1∫0
u′
1(τ)a(t− τ )dτ + (ub − ua)a(t− t1) +
t2∫t1
u′
2(τ)a(t− τ )dτ +
+t∫t2
0 a(t− τ )dτ︸ ︷︷ ︸=0
+ (0− uc)a(t− t2)
III oblik Dijamelovog integrala
435
0 < t < t1
i(t) = u1(t)a(0) +t∫0
u1(τ)a′(t− τ )dτ
t1 < t < t2
i(t) = u2(t)a(0) +t1∫0
u1(τ)a′(t− τ )dτ +
t∫t1
u2(τ)a′(t− τ )dτ
t > t2
i(t) = 0 a(t) +t1∫0
u1(τ)′a(t− τ)dτ +
t2∫t1
u2(τ)a′(t− τ)dτ +
t∫t2
0 a′(t− τ)dτ︸ ︷︷ ︸=0
Ovaj primjer potvruje pogodnost primjene III oblika Dijamelovog integrala.
Primjer: Data je eksitacija ug(t) = u(t) koja se mijenja prema prilozenom dijagramu na
slici 13.310. Poznato je Zul(s) [Yul(s)] . Odrediti odziv ukljucenja i(t) =?
( )gu t
( )i t
( )u t
N
[ ]( ) ( )ul ulZ s Y s
1( )u t
1(0)u
( )gu t
t1T 2T 3T 4T
2( )u t
3( )u t
4( )u t
5( )=0u t
Slika 13.310:
Indiciona admitansa je jednaka
a(t) = L−1Yul(s)
s
= L−1
1
sZul(s)
0 ≤ t ≤ T1 - Funkcija neprekidna
I oblik
i(t) = u1(0)a(t) =t∫0
u′
1(τ)a(t− τ )dτ
II oblik
i(t) = u1(0)a(t) =t∫0
u′
1(t− τ)a(τ )dτ
III oblik
i(t) = u1(t)a(0) =t∫0
u1(τ )a′(t− τ)dτ
436
IV oblik
i(t) = u1(t)a(0) =t∫0
u(t− τ )a′(τ )dτ
T1 ≤ t ≤ T2 - Funkcija neprekidna (ima singularnu tacku)
I oblik
i(t) = u1(0)a(t) =T1∫0
u′
1(τ )a(t− τ)dτ +
t∫T1
u′
2(τ )a(t− τ)dτ
II oblik
i(t) = u1(0)a(t) =T1∫0
u′
1(t− τ )a(τ)dτ +
t∫T1
u′
2(t− τ )a(τ)dτ
III oblik
i(t) = u2(t)a(0) =T1∫0
u1(τ )a′(t− τ)dτ +
t∫T1
u2(τ )a′(t− τ )dτ
IV oblik
i(t) = u2(t)a(0) =T1∫0
u1(t− τ )a′(τ)dτ +t∫T1
u2(t− τ )a′(τ )dτ
T2 ≤ t ≤ T3 - Funkcija prekidna t = T2
I oblik
i(t) = u1(0)a(t) =T1∫0
u′
1(τ)a(t− τ )dτ +
T2∫T1
u′
2(τ )a(t− τ )dτ + [u3(T2)− u2(T2)] a(t− T2) +
+t∫T2
u′
3(τ )a(t− τ)dτ
III oblik
i(t) = u3(t)a(0) =T1∫0
u1(τ)a′(t− τ )dτ +
T2∫T1
u2(τ)a′(t− τ)dτ +
t∫T2
u3(τ)a′(t− τ)dτ
T3 ≤ t ≤ T4 - Funkcija neprekidna (ima singularnu tacku)
I oblik
i(t) = u1(0)a(t) =T1∫0
u′
1(τ)a(t− τ )dτ +
T2∫T1
u′
2(τ )a(t− τ )dτ + [u3(T2)− u2(T2)] a(t− T2) +
+T3∫T2
u′
3(τ )a(t− τ)dτ +
t∫T3
u′
4(τ )a(t− τ)dτ
III oblik
i(t) = u4(t)a(0) =T1∫0
u1(τ )a′(t−τ)dτ+
T2∫T1
u2(τ)a′(t−τ )dτ+
T3∫T2
u3(τ )a′(t−τ)dτ+
t∫T3
u4(τ)a′(t−τ)dτ
T4 ≤ t ≤ ∞ - Funkcija prekidna t = T4
437
I oblik
i(t) = u1(0)a(t) =T1∫0
u′
1(τ)a(t− τ )dτ +
T2∫T1
u′
2(τ )a(t− τ )dτ + [u3(T2)− u2(T2)] a(t− T2) +
+T3∫T2
u′
3(τ )a(t− τ)dτ +
T4∫T3
u′
4(τ )a(t− τ)dτ + [u5(T4)− u4(T4)] a(t− T4) +
+t∫T4
u′
5(τ )a(t− τ)dτ︸ ︷︷ ︸
=0
III oblik
i(t) = u5(t)a(0)︸ ︷︷ ︸=0
=T1∫0
u1(τ)a′(t− τ)dτ +
T2∫T1
u2(τ)a′(t− τ)dτ +
T3∫T2
u3(τ )a′(t− τ )dτ +
+T4∫T3
u4(τ)a′(t− τ )dτ +
t∫T4
u5(τ)a′(t− τ)dτ︸ ︷︷ ︸=0
I iz ovog primjera se vidi pogodnost primjene III oblika Dijamelovog integrala.
VODOVI
Pri proucavanju raznih elektromagnetskih pojava treba jasno utvrditi u koje podrucje ulazi
postavljeni problem. Teorija elektromagnetskog polja je osnovna teorija koja svojim zakon-
ima objašnjava i opisuje elektromagnetske fenomene u prirodi i u elektrotehnickim sistemima,
postrojenjima, mašinama i drugim sklopovima i ureajima. Ova teorija zahtijeva slozeni
naucno-matematicki aparat, jer su elektricne i magnetske velicine uglavnom date u difer-
encijalnom obliku. Kao specijalan slucaj teorije elektromagnetskog polja razvila se teorija
elektricnih kola za proucavanje velike klase elektricnih sistema. Ova teorija daje relativno
jednostavna rješenja (dovoljne tacnosti) za veliku klasu problema koja bi inace bila vrlo kom-
plikovana i skoro nerješiva kada bi se koristila teorija polja. U teoriji elektricnih kola fizici
procesi se uglavnom opisuju pomocu integralnih velicina. Model kola koristi se u onim sluca-
jevima u kojima prostorne dimenzije ureaja ili sistema u poreenju sa brzinom prostiranja
elektromagnetskih procesa su takve da se moze smatrati da se procesi dešavaju trenutno u
sistemu. Za takve sisteme koristimo izraz: ”Sistemi sa koncentrisanim parametrima” da
bi smo naglasili da prostorne dimenzije sistema ne ulaze u model kola. Odnos talasnih duzina
elektromagnetskih velicina i dimenzija (prostornih) sistema mjerodavan je, da li ce se sistem
posmatrati kao kolo, vod ili polje. Postoji vazna fizicka relacija:
λ =v
f
gdje je: λ-talasna duzina, v-brzina prostiranja talasa, f -frekvencija.
Primjer :
a) Energetski sistem: f = 50Hz, v = v0 = 3× 108m/ s ⇒ λ = 3× 108/50 = 6000 km.
- Svi ureaji koji imaju znatno manje dimenzije od 6000 km mogu se analizirati modelom
kola.
- Vodovi za prenos energije su sistemi sa rasporeenim parametrima. Osim vremena
moraju se uzeti u obzir i prostorne koordinate.
b) Radio signali: f = 109Hz ⇒ λ = 0.3m - fizicke dimenzije reda cm su vazne.
438
439
x x∆
e
0u u du
dii0i
d
Slika 14.311: Monofazni homogeni vod
Treba naglasiti da se neki sistemi moraju tretirati dvojako ili cak trojako (kolo, vod polje).
Tu spadaju savremeni mikrotalasni sistemi, antenski sistemi i slicno. Prema tome, vodovi su
sistemi koji se drugacije nazivaju: ”Elektricna kola sa rasporeenim parametrima”.
14.1 Parcijalne diferencijalne jednacine voda
U ovom poglavlju razmotricemo samo monofazni homogeni vod (slika 14.311), što znaci, vod
sastavljen od dva provodnika koji po cijeloj svojoj duzini ima jednak poprecni presjek provod-
nika i jednak poprecni presjek dielektrika.
Ukupni parametri voda: R− ukupna otpornost, L− ukupna induktivnost, C− ukupna ka-
pacitivnost, G− ukupna (poprecna) provodnost dielektrika, koja se naziva odvodnost (odvode
se konvekcione struje zato što nijedan dielektrik nije idealan). Kod vodova se mora uzeti u
obzir rasporeenost parametara po cijeloj duzini voda d. Zato se uvode poduzni parametri:
r =R
d− poduzna otpornost voda
l =L
d− poduzna induktivnost voda
c =C
d− poduzna kapacitivnost voda
g =G
d− poduzna odvodnost voda
Posmatra se element voda duzine ∆x na odstojanju x od pocetka voda. Ovaj element
moze se predstaviti mrezom sa dva para krajeva koja je prikazana na slici 14.312:
Pošto napon i struja na ulaznim i izlaznim krajevima elementa nemaju jednake vrijednosti,
ove velicine zavise od mjesta na kome ih posmatramo. Ako se elektromotorna sila prikljucenog
generatora mijenja u vremenu (na primjer, prostoperiodicna je funkcija vremena) napon i
struja na bilo kojem mjestu ce zavisiti i od vremena. Prema tome, napon i struja voda su
funkcije dvije promjenljive: mjesta x i vremena t tj. u(x, t) i i(x, t). Ako napon i struju na
440
uu u+ ∆
i i+ ∆i
xx∆
r x∆ l x∆
g x∆ c x∆
Slika 14.312: Element voda duzine ∆x predstavljen mrezom sa dva para krajeva
pocetku voda (x = 0) oznacimo sa u0, i0 a na kraju voda (x = d) sa ud, id onda, jednacine
elementa voda duzine ∆x mozemo napisati kao:
u− (u+∆u) = 2∆xi + l∆x∂i
∂t
i− (i+∆i) = g∆x(u+∆u) + c∆x∂
∂t(u+∆u) (14.567)
U prethodnim relacijama javljaju se parcijalni izvodi po vremenu umjesto obicnih, jer su
naponi i struje funkcije dvije promjenljive. Jednacine (14.567) mozemo napisati u sledecem
obliku:
−∆u
∆x= 2i+ l
∂i
∂t
−∆i
∆x= g(u+∆u) + c
∂
∂t(u+∆u) (14.568)
U granicnom prelazu kada ∆x → 0 ⇒
∆u → 0
∆i → 0dobijamo da je:
− lim∆x→0
∆u
∆x= lim
∆x→0
(ri+ l
∂i
∂t
)
− lim∆x→0
∆i
∆x= lim
∆x→0
[g(u+∆u) + c
∂
∂t(u+∆u)
]Poslije granicnog prelaza dobijamo jednacine:
−∂u
∂x= ri+ l
∂i
∂t(14.569)
− ∂i
∂x= gu+ c
∂u
∂t(14.570)
koje predstavljaju parcijalne diferencijalne jednacine voda. Iz relacija (14.569) i
(14.570) moze se eliminisati jedna funkcija u(x, t) ili i(x, t). Diferenciranjem jednacine (14.569)
441
po x a jednacine (14.570) po t dobijamo:
−∂2u
∂2x= r
∂i
∂x+ l
∂2i
∂x∂t(14.571)
− ∂2i
∂x∂t= g
∂u
∂t+ c
∂2u
∂2t(14.572)
Smjenom relacija (14.570) i (14.572) u relaciju (14.571) dobijamo:
∂2u
∂2x= rgu+ (rc+ lg)r
∂u
∂t+ lc
∂2u
∂2t(14.573)
Analognim postupkom, uzimajuci ∂
∂tod jednacine (14.569) i ∂
∂xod jednacine (14.570)
dobijamo:
∂2i
∂2x= rgi+ (rc+ lg)r
∂i
∂t+ lc
∂2i
∂2t(14.574)
Jednacine (14.573) i (14.574) predstavljaju jednacine voda poznate pod nazivom ”jednacine
telegraficara”. Opšti integral u(x, t) i i(x, t) parcijalnih diferencijalnih jednacina (14.568) i
(14.569) odnosno (14.573) i (14.574) daje rješenje za napon i struju na proizvoljnom mjestu x
u trenutku t. U opštem slucaju, ovo rješenje je veoma slozeno i oblika je:
u(x, t) = f1
(t− x
v
)+ f2
(t+
x
v
)−i(x, t) = ϕ1
(t− x
v
)+ ϕ
(t− x
v
)Meutim, kada je prikljucena elektromotorna sila e(t) prostoperiodicna funkcija vremena,
vrši se prelazak sa parcijalnih diferencijalnih jednacina (14.569) i (14.570) na obicne diferen-
cijalne jednacine sa kompleksnim velicinama.
14.2 Kompleksne diferencijalne jednacine voda
Vod se moze predstaviti kaskadnom vezom mreza sa dva para krajeva od kojih svaka odgovara
elementu voda duzine ∆x. Na ovaj nacin vod zamjenjujemo jednom slozenom mrezom sa
dva para krajeva. Ako je na ovakvu mrezu prikljucen generator prostoperiodicne elektromo-
torne sile, onda ce napon i struja u bilo kom presjeku mreze biti, takoe, prostoperiodicna
funkcija vremena. Prema tome, ako je vod prikljucen na generator prostoperiodicne elektro-
motorne sile e(t) =√2E0 cos (ωt+ θ0g), napon i struja voda na bilo kom mjestu bice, takoe,
prostoperiodicne funkcije vremena ucestanosti ω i neke funkcije mjesta x na kome ih posma-
tramo (unaprijed nije poznato kakve). To znaci da efektivne vrijednosti i pocetne faze napona
i struje nijesu konstantne velicine nego funkcije mjesta x:
442
u(x, t) =√2U(x) cos [ωt + θ(x)]
i(x, t) =√2I(x) cos [ωt+ ψ(x)]
Pošto su napon i struja voda prostoperiodicne funkcije uvodimo njihove kompleksne pred-
stavnike na mjestu x u trenutku t:
U(x, t) = U(x)ej[ωt+θ(x)] = U(x)ejθ(x)ejωt
Na mjestu x u trenutku t = 0:
U(x, 0) = U(x)ejθ(x)
pa je:
U(x, t) = U(x, 0)ejωt
Analogno imamo za struju:
I(x, t) = I(x)ej[ωt+ψ(x)] = I(x)ejψ(x)ejωt
Na mjestu x u trenutku t = 0:
I(x, 0) = I(x)ejψ(x)
pa je:
I(x, t) = I(x, 0)ejωt
Da bismo prešli sa jednacina (14.569) i (14.570) u kojima se javljaju trenutne vrijednosti
napona i struje na jednacine sa kompleksnim predstavnicima, potrebno je prvo da naemo
kompleksne predstavnike izvoda velicina napona i struje po mjestu i vremenu:
∂u(x, t)
∂x⇒ ∂
∂x
U(x, 0)ejωt
=
dU(x, 0)
dxejωt
∂u(x, t)
∂t⇒ ∂
∂t
U(x, 0)ejωt
= jωU(x, 0)ejωt
∂i(x, t)
∂x⇒ ∂
∂x
I(x, 0)ejωt
=
dI(x, 0)
dxejωt
∂i(x, t)
∂t⇒ ∂
∂t
I(x, 0)ejωt
= jωI(x, 0)ejωt
Na taj nacin jednacinama (14.569) i (14.570) poslije skracenja zajednickog faktora ejωt s
obje strane znaka jednakosti odgovaraju jednacine:
443
−dU(x, 0)
dx= rI(x, 0) + jωlI(x, 0) (14.575)
−dI(x, 0)
dx= gU(x, 0) + jωcU(x, 0) (14.576)
Pošto se u jednacinama (14.575) i (14.576) vrijeme ne javlja kao promjenljiva (svi kom-
pleksni predstavnici odgovaraju trenutku t = 0). U toku daljeg izlaganja pisacemo U umjesto
U(x, 0) i I umjesto I(x, 0) pa je jednacine (14.575) i (14.576) moguce napisati na sledeci nacin:
−dU
dx= (r + jωl) I (14.577)
−dI
dx= (g + jωc)U (14.578)
Jednacine (14.577) i (14.578) vaze za slucaj kada je elektromotorna sila generatora prostope-
riodicna funkcija vremena. Uvoenjem kompleksnih napona omogucava nam prelazak sa par-
cijalnih diferencijalnih jednacima oblika (14.568) i (14.569) na obicne diferencijalne jednacine
oblika (14.577) i (14.578). Ako sa z = r + jωl oznacimo poduznu renu impedansu a sa
y = g + jωc poduznu otocnu admitansu, tada jednacine (14.577) i (14.578) mozemo pisati u
sazetom obliku kao:
−dU
dx= zI (14.579)
−dI
dx= yU (14.580)
Iz jednacina (14.579) i (14.580) moze se eliminisati jedna od velicina U ili I. Diferenciran-
jem relacije (14.579) po x dobijamo:
d2U
dx2= −z
dI
dx(14.581)
Ako jednacinu (14.580) zamijenimo u jednacinu (14.581) dobijamo:
d2U
dx2= zyU
Diferenciranjem relacije (14.580) po x dobijamo:
d2I
dx2= −y
dU
dx(14.582)
444
j+
1+
β
α
γ
γϕ
Slika 14.313: Koeficijent prostiranja voda
Ako jednacinu (14.579) zamijenimo u jednacinu (14.582) dobijamo:
d2I
dx2= zyI
Uvoenjem velicine γ2 = zy dobijamo:
d2U
dx2= γ2U (14.583)
d2I
dx2= γ2I (14.584)
14.3 Koeficijent prostiranja
Velicinu:
γ =√zy (14.585)
koja se javlja u jednacinama (14.583) i (14.584) nazivamo koeficijentom prostiranja
voda.
z = zejϕ1
y = yejϕ2
γ =
√zyej(ϕ1+ϕ2) =
√zyej
ϕ1+ϕ22 = γejϕγ
0 ≤ ϕ1 ≤ π2
0 ≤ ϕ2 ≤ π2
0 ≤ ϕγ ≤
π
2
γ - uvijek lezi u I-kvadrantu kompleksne ravni što je prikazano na slici 14.313.
γ = α + jβ (14.586)
α− koeficijent slabljenja
445
β− fazni koeficijent
Odredimo zavisnost α i β u funkciji poduznih parametara i ucestanosti:
γ2 = zy = (r + jωl) (g + jωc) = (rg − ω2lc) + j (rc+ lg)ω (14.587)
γ2 = (α + jβ)2 = α2 − β2 + j2αβ (14.588)
γ2 = α2 + β2 (14.589)
Uporeujuci jednacine (14.587), (14.588) i (14.589) dobijamo:
α2 − β2 = rg − ω2lc
α2 + β2 = γ2 = zy
α =
√zy + rg − ω2lc
2
β =
√zy − rg + ω2lc
2
zy =√(r2 + ω2l2) (g2 + ω2c2)
14.4 Opšte rješenje kompleksnih diferencijalnih
jednacina voda
Opšte rješenje jednacina (14.583) i (14.584) je oblika:
U = C1e−γx + C
2e−γx (14.590)
I = C3e−γx + C
4e−γx (14.591)
C1, C
2, C
3i C
4su integralne konstante koje se odreuju iz granicnih uslova voda (granicni
uslovi se odnose na prostornu koordinatu x a pocetni uslovi se odnose na vremensku koordinatu
t) a to su:
- Kompleksni napon i struja na pocetku voda (x = 0) U0, I
0.
- Kompleksni napon i struja na kraju voda (x = d) Ud, Id.
Pokazacemo da su integralne konstante struja (C3, C
4) srazmjerne integralnim konstan-
446
tama napona (C1, C
2). Diferenciranjem jednacine (14.590) dobijamo:
−dU
dx= γC
1e−γx − γC
2e−γx = zI (14.592)
I =γ
zC
1e−γx − γ
zC
2e−γx (14.593)
Poreenjem jednacine (14.593) sa jednacinom (14.591) dobijamo:
C3=
γC1
z; C
4= −γC
2
z
odnosno:
C3=
C1√z
y
; C4= − C
2√z
y
Ovim je srazmjernost konstanti C1i C
3, C
2i C
4dokazana. Uvodeci velicinu: Zc =
√z
y
tada jednacine (14.590), (14.591) postaju:
U = C1e−γx + C
2e−γx (14.594)
I =C
1
Zc
e−γx − C2
Zc
e−γx (14.595)
Pošto u opštem rješenju za napon i struju postoje samo dvije integralne konstante dovoljno
je poznavati samo dva granicna uslova da bi se one odredile. Velicina:
Zc =
√z
y=
√r + jωl
g + jωc(14.596)
koja ima fizicku dimenziju impedanse naziva se karakteristicnom impedansom voda.
Zc =
√zejϕ1
yejϕ2=
√z
yej
ϕ1−ϕ2
2
mod Zc =
√z
y=
√r2 + ω2l2
g2 + ω2c2
arg Zc = ϕ
c=
ϕ1− ϕ
2
2
−π
4≤ ϕ
c≤ π
4
Pošto je vod obicno pretezno kapacitivan ϕ2> ϕ
1, pa je −π
4≤ ϕ
c≤ 0, što znaci da Z
clezi
samo u šrafiranom dijelu cetvrtog kvadranta što je prikazano na slici 14.314.
447
j+
1+
4π
4π− cϕ
cZ
Slika 14.314: Oblast u kojoj se nalazi Zc kada je vod pretezno kapacitivan
x
0U U
I0I
ulZ
( )Z x
Slika 14.315: Neogranicen vod
14.5 Neogranicen vod
Pod neogranicenim vodom podrazumijeva se vod beskonacne duzine d → ∞ koji je prikazan
na slici 14.315.
14.5.1 Kompleksne jednacine
Polazimo od opšteg rješenja:
U = C1e−γx + C
2e−γx
I =C1
ZC
e−γx − C2
ZC
e−γx
Kada bi bilo C2 = 0 napon i struja voda neograniceno bi rasli sa porastom koordinate x, a
samim tim i snaga voda što je protivno zakonu odrzanja energije (snaga na bilo kojem mjestu
voda ne moze da bude veca od snage koju generator predaje vodu). Prema tome, mora biti
448
C2 = 0 i tada dobijamo:
U = C1e−γx
I =C1
Zc
e−γx
Ako je poznat granicni uslov U0 (x = 0) za C1 se dobija da je C1 = U0, pa je:
U = U0e−γx (14.597)
I =U0
Zc
e−γx (14.598)
Struja na pocetku voda je I0 =U0
Zc
pa struju mozemo izraziti u obliku:
I = I0e−γx (14.599)
Ulazna impedansa voda je:
Zul =U0
I0= ZC (14.600)
Ulazna impedansa voda na mjestu x je:
Z(x) =U
I= ZC
Impedansa neogranicenog voda, racunata na bilo kojem mjestu, jednaka je njegovoj karak-
teristicnoj impedansi Zc.
14.5.2 Efektivne vrijednosti napona i struje i njihove pocetne faze
Napon na pocetku voda (x = 0): U0 = U0ejθ0.
Koeficijent prostiranja: γ = α + jβ.
Karakteristicna impedansa: Zc = Zcejϕ
c.
Kompleksne jednacine voda: U = U0e−γx; I = U
0
ZC
e−γx = I0e−γx.
U = U0e−γx = U0e
jθ0e−(α+jβ)x = U0e−αxej(θ0−βx)
I =U0
Zc
e−γx =U0e
jθ0
Zcejϕce−(α+jβ)x =
U0
Zc
e−αxej(θ0−βx−ϕc)
449
0U
0IU
I
0ψ
ψ0θ
θ
cϕ
)a )b
Slika 14.316: Koeficijent slabljenja i fazni koeficijent
14.5.3 Efektivna vrijednost na mjestu x
U = mod U = U0e−αx (14.601)
I = mod I =U0
Zc
e−αx = I0e−αx (14.602)
14.5.4 Pocetne faze (t = 0) na mjestu x
θ = arg U = θ0 − βx (14.603)
ψ = arg I = θ0 − βx− ϕc
(14.604)
ψ = θ − ϕ
c
ψ0= θ0 − ϕ
c
za x = 0
za x = 0
ψ = ψ0− βx (14.605)
Prema jednacinama (14.601) i (14.602) efektivne vrijednosti napona i struje eksponenci-
jalno opadaju duz voda. Kaze se da napon i struja slabe duz voda, zato se koeficijent α od
koga ovo slabljenje zavisi naziva koeficijentom slabljenja (slika 14.316 a)).
Prema jednacinama (14.603) i (14.604) odnosno (14.605) pocetne faze napona i struje
linearno opadaju duz voda (slika 14.316 b)) pošto ovo opadanje zavisi od koeficijenta β, dat
mu je naziv fazni koeficijent.
14.5.5 Fazna razlika izmeu napona i struje
Fazna razlika izmeu napona i struje neogranicenog voda je konstantna i jednaka argumentu
karakteristicne impedanse:
450
0θ
xβ
0U
U
0ψ
xβ
0I
I
Slika 14.317: Relacije (14.607) i (14.608) prikazane u polarnim koordinatama
θ − ψ = θ0 − ψ0= ϕC = arg Zc = const (14.606)
14.5.6 Fazorski dijagram napona i struje
U = U0e−αx; θ = θ0 − βx ⇒ −x =
θ − θ0β
I = I0e−αx; ψ = ψ0 − βx ⇒ −x =
ψ − ψ0
β
U = U0eαβ(θ−θ0) (14.607)
I = I0eαβ(ψ−ψ
0) (14.608)
Jednacine (14.607) i (14.608) predstavljaju jednacine logaritamske spirale u polarnim ko-
ordinatama što je prikazano na slici 14.317.
14.5.7 Trenutne vrijednosti napona i struje
Efektivne vrijednosti napoa i struje na mjestu x su:
U = U0e−αx
I =U0
Zc
e−αx = I0e−αx
451
dok su pocetne faze (t = 0) na mjestu x:
θ = θ0 − βx
ψ = θ0 − βx− ϕc = ψ0 − βx
Tada su trenutne vrijednosti napona i struje:
u(x, t) =√2U0e
−αx cos (ωt+ θ0 − βx) (14.609)
i(x, t) =√2U0
Zc
e−αx cos (ωt+ θ0 − βx− ϕc) (14.610)
Iz jednacina (14.609) i (14.610) ocigledno je da su napon i struja posmatrani na jednom
odreenom mjestu x = const prostoperiodicne funkcije vremena (slika 14.318), a posmatrani
u odreenom trenutku t = const pseudoperiodicne funkcije mjesta (slika 14.319).
02x
U eα−
2T
π
ω
=
0xβ θ−
ω
t
constx =
( )u t
Slika 14.318: Napon i struja na vodu kada je x = const
Prostorne, prostoperiodicne ili pseudoperiodicne promjene napona i struje, nazivamo ta-
las napona i struje a njhovu “prostornu periodu” λ− talasnom duzinom.Prema jednacinama
(14.609) i (14.610) u vremenskom domenu, kruzna ucestanost ω i vremenska perioda T = 2π/ω
u prostornom domenu fazni koeficijent β (koji igra ulogu “prostorne kruzne ucestanosti”), ta-
lasna duzina λ (koja ima ulogu prostorne periode)
λ =2π
β(14.611)
452
02U
0tω θ+
β
( )u x
02x
U eα−
−
02x
U eα−
2πλ
β=
x
constt =
Slika 14.319: Napon i struja na vodu kada je t = const
14.6 Vod bez gubitaka
Ako je r = g = 0 kazemo da je vod bez gubitaka. ada je koeficijent prostiranja:
γ =√zy =
√(r + jωl) (g + jωc) = jω
√lc
γ = α + jβ ⇒ α = 0; β = ω√lc
Karakteristicna impedansa:
Zc=
√z
y=
√r + jωl
g + jωc=
√l
c= Zc
Karakteristicna impedansa je u ovom slucaju realna: Zc= Zce
jϕc = Zc =
√lc
(ϕc = 0).
Posledica toga je: θ − ψ = ϕc = 0; θ = ψ, napon i struja su u fazi. Pošto je α = 0 i ϕc = 0
imamo:
u(x, t) =√2U0 cos (ωt+ θ0 − βx) (14.612)
i(x, t) =√2U0
Zc
cos (ωt+ θ0 − βx) (14.613)
Naponi i struje su prostoperiodicne funkcije i mjesta x i vremena t i u fazi su.
453
14.7 Vod prikljucen na vremenski konstantan izvor
U ovom slucaju je ω = 0 pa imamo da je:
γ =√zy =
√(r + jωl) (g + jωc) =
√rg
γ = α+ jβ ⇒ α =√rg; β = 0
Zc =
√z
y=
√r + jωl
g + jωc=
√r
g= Zc
14.8 Vod prikljucen na izvor veoma visoke ucestanosti
U ovom slucaju je r ωl i g ωc pa imamo da je:
γ =√zy =
√(r + jωl) (g + jωc) ≈ jω
√lc
Iz relacije γ = α+jβ slijedi da je β ≈ ω√lc dok je α = 0 ali je veoma malo.Karakteristicna
impedansa je jednaka:
Zc =
√z
y=
√r + jωl
g + jωc≈√
l
c= Zc
14.9 Opšte jednacine ogranicenog voda
Polazimo od opšteg rješenja kompleksnih diferencijalnih jednacina voda:
U = C1e−γx + C
2eγx
I =C
1
Zc
e−γx − C2
Zc
eγx
Ako su poznati granicni uslovi na kraju voda (x = d) Ud, Id za odreivanje konstanti
C1i C
2imamo sledece jednacine:
C1e−γd + C2e
γd = Ud
C1e−γd + C2e
γd = ZcId
iz kojih dobijamo da su konstante C1 i C2 jednake:
454
C1 =1
2(Ud + ZcId) e
γd (14.614)
C2 =1
2(Ud − ZcId) e
−γd (14.615)
U =1
2(Ud + ZcId) e
γ(d−x) +1
2(Ud − ZcId) e
−γ(d−x)
I =1
2
(Ud
Zc
+ Id
)eγ(d−x) − 1
2
(Ud
Zc
− Id
)e−γ(d−x)
U = Ud
(eγ(d−x) + e−γ(d−x)
2
)+ ZcId
(eγ(d−x) − e−γ(d−x)
2
)
I =Ud
ZC
(eγ(d−x) − e−γ(d−x)
2
)+ Id
(eγ(d−x) + e−γ(d−x)
2
)
U = Ud ch γ (d− x) + ZcId sh γ (d− x) (14.616)
I =Ud
Zc
sh γ (d− x) + Id ch γ (d− x) (14.617)
Jednacine (14.616) i (14.617) predstavljaju opšte jednacine ogranicenog voda kada su poz-
nati granicni uslovi na kraju voda. Ako su poznati granicni uslovi na pocetku voda (x = 0)
U0, I0 tada dobijamo sledece jednacine za odreivanje konstanti C1 i C2:
C1 + C2 = U0
C1 − C2 = ZCId
⇒ C1 =
U0+Z
CId
2
C2 =U0−Z
CId
2
(14.618)
U =U0 + ZcId
2e−γx +
U0 − ZcId2
eγx
I =U0 + ZcId
2e−γx − U0 − ZcId
2eγx
poslije sreivanj dobijamo:
U = U0 chγx+ ZcI0 shγx (14.619)
I = −Ud
Zc
shγx+ Zc chγx (14.620)
Jednacine (14.619) i (14.620) predstavljaju opšte jednacine ogranicenog voda kada su poz-
455
x
gU
0U U dU
dII0I
d
gZ
pZ
Slika 14.320: Vod zatvoren proizvoljnom impedansom
nati granicni uslovi na pocetku voda.
14.10 Vod zatvoren proizvoljnom impedansom
Polazeci od opštih jednacina ogranicenog voda (14.616) i (14.617) i zamjenjujuci struju Id=
Ud/Z
P(slika 14.320) dobijamo:
U = Udchγ (d− x) + U
d
Zc
Zp
shγ (d− x) (14.621)
I =Ud
Zc
shγ (d− x) +Ud
Zp
chγ (d− x) (14.622)
Efektivne vrijednosti i pocetne faze napona i struje ogranicenog voda na mjestu x su:
U = mod U = mod
Ud chγ (d− x) + Ud
Zc
Zp
shγ (d− x)
I = mod I = mod
Ud
Zc
shγ (d− x) +Ud
Zp
chγ (d− x)
θ = arg U = arg
Ud chγ (d− x) + Ud
Zc
Zp
shγ (d− x)
ψ = arg I = arg
I =
Ud
Zc
shγ (d− x) +Ud
Zp
chγ (d− x)
Ocigledno je da su efektivne vrijednosti i pocetne faze napona i struje veoma slozene
funkcije mjesta x. Trenutne vrijednosti napona i struje su:
u(x, t) =√2U(x) cos [ωt + θ(x)]
i(x, t) =√2I(x) cos [ωt+ ψ(x)]
456
Kada je poznat jedan par granicnih uslova, bilo onaj na pocetku voda ili onaj na kraju
voda, drugi par se moze uvijek neposredno odrediti. Naponi i struje na pocetku i na kraju
voda vezani su relacijama:
U0
= Ud chγd+ ZcId shγd (14.623)
I0
=Ud
Zc
shγd+ Id chγd (14.624)
Posmatrajuci ogranicen vod kao mrezu sa dva para krajeva (što on u stvari i jeste) jednacine
(14.623) i (14.624) pokazuju da su ”a” parametri:
a11 = chγd a12 = Zc shγd
a21 =1Zc
shγd a22 = chγd
Odnosno njena a∼
matrica:
a∼
=
[chγd Zc shγd1Zc
shγd chγd
](14.625)
Pošto je a11 = a22 ⇒ mreza je simetricna.
14.11 Otvoren vod
U slucaju otvorenog voda kompletna struja na njegovom kraju je nula Id = 0, pa su jednacine
voda:
U = Ud chγ (d− x) (14.626)
I =Ud
Zc
shγ (d− x) (14.627)
Ud = Udejθd; Zc = ZCe
jϕc;
chg = chγ (d− x) ; g = γ (d− x)
chg = ch(a+ jb) = ch a cos b+ jsh a sin b
shg = sh(a+ jb) = sh a cosb+ jch a sin b
a = α(d− x); b = β(d− x)
457
modchg
=√ch2a cos2b+ sh2a sin2 b
modshg
=√sh2a cos2b+ ch2a sin2 b
ili
modchg
=√sh2a + cos2b
modshg
=√sh2a + sin2 b
argchg
= arctg (tha tgβ)
argshg
= arctg (cthb tgβ)
pa za napon i struju dobijamo izraze:
U = Ud
√sh2a+ cos2bej[θd+arctg(thatgβ)] (14.628)
I =Ud
ZC
√sh2a+ sin2 bej[θd+arctg(cthatgβ)−ϕC ] (14.629)
Efektivne vrijednosti napona i struje duz voda odreene su modulima gornjih kompleksnih
velicina:
U = Ud
√sh2α(d− x) + cos2β(d− x)
I =Ud
ZC
√sh2α(d− x) + sin2 β(d− x)
Dijagramom se obicno predstavljaju kvadrati ovih efektivnih vrijednosti:
U2 = U2d sh
2α(d− x) + U2dcos
2β(d− x) (14.630)
I2 =U2d
Z2c
sh2α(d− x) +U2d
Z2c
sin2 β(d− x) (14.631)
Iz ovih izraza vidimo da efektivne vrijednosti napona i struje duz voda (otvorenog) ne
opadaju monotono, vec fluktuiraju. Za vod odreene duzine ova fluktuacija je utoliko jaca
ukoliko je ucestanost visoka, jer je tada perioda π/β drugih clanova u gornjim izrazima, od
kojih i potice ova fluktuacija, mala. Ako je ucestanost niska, vod mora biti vrlo dugacak da
bi se ova fluktuacija primijetila. Iz izraza takoe vidimo da kod dugackih vodova na efektivnu
vrijednost napona i struje prvenstveno uticu prvi clanovi, sem za mjesta koja su blizu njegovog
kraja. Nasuprot tome, kod kratkih vodova ovaj uticaj prvenstveno pripada drugim clanovima.
458
Iz izraza za kvadrat efektivne vrijednosti napona vidimo još i da efektivna vrijednost napona
na pocetku otvorenog voda moze biti manja od njegove efektivne vrijednosti na kraju voda,
narocito ako je vod kratak.
Impedansa otvorenog voda nije konstantna kao kod neogranicenog voda. Ona zavisi od
mjesta na kome se racuna i data je izrazom:
Z0(x) =U
I= ZC cthγ(d− x) (14.632)
Ukupna impedansa otvorenog voda, racunata na njegovom pocetku (x = 0) prema gornje
obrascu je:
Z0 =U0
I0= Zc cthγd (14.633)
Kada d → ∞, ona prirodno tezi impedansi neogranicenog voda, to jest karakteristicnoj
impedansi Zc.
14.12 Trenutne vrijednosti napona i struje
Na osnovu dobijenih izraza za kompleksni napon i struju, mozemo neposredno napisati i izraze
za trenutne vrijednosti napona i struje u obliku:
u(x, t) =√2Ucos ωt + θd + arctg [thα(d− x)tgβ(d− x)]
i(x, t) =√2Icos ωt+ θd + arctg [cthα(d− x)tgβ(d− x)] + ϕ
c
U njima U i I predstavljaju efektivne vrijednosti napona i struje koje su jednake:
U = Ud
√sh2α(d− x) + cos2β(d− x)
I =Ud
Zc
√sh2α(d− x) + sin2β(d− x)
Ovi izrazi nam pokazuju da napon i struja imaju vrlo slozenu prostornu raspodjelu na
otvorenom vodu. Iz njih takoe vidimo da fazna razlika izmeu napona i struje nije konstantna
kao u slucaju neogranicenog voda.
14.13 Vod u kratkom spoju
U slucaju voda u kratkom spoju napon na njegovom kraju jednak je nuli: Ud = 0 (slika
14.321). Stoga, prema opštim jednacinama ogranicenog voda njegovi izrazi za kompleksni
napon i struju glase:
459
gU
0U dU
dI0I
d
gZ
Slika 14.321: Vod u kratkom spoju
U = ZcId shγ(d− x) (14.634)
I = Id chγ(d− x) (14.635)
Uzimajuci s jedne strane da je:
Id = Idejψd i Zc = Zce
jϕc
a sa druge strane da je:
shg =√sh2a + sin2 bejarctg(cthatgb)
chg =√sh2a + cos2bejarctg(thatgb)
gdje su: g, a i b kao kod ogranicenog voda: g = γ(d− x); a = α(d− x); b = β(d− x).
Kompleksni napon i struju voda u kratkom spoju mozemo pisati u obliku:
U = ZcId
√sh2α(d− x) + sin2 β(d− x)ejψd+arctg[cthα(d−x) tgβ(d−x)]+ϕc (14.636)
I = Id
√sh2α(d− x) + cos2β(d− x)ejψd+arctg[thα(d−x) tgβ(d−x)]+ϕc (14.637)
Efektivne vrijednosti napona i struje odreene su modulima ovih izraza:
U = mod U = ZcId
√sh2α(d− x) + sin2 β(d− x)
I = mod I = Id
√sh2α(d− x) + cos2β(d− x)
Uporeujuci gornje izraze sa izrazima za ograniceni vod, vidimo da efektivna vrijednost
struje voda u kratkom spoju ima oblik efektivne vrijednosti napona otvorenog voda i obratno,
efektivna vrijednost napona u kratkom spoju ima oblik efektivne vrijednosti struje otvorenog
voda. Prema tome, i u slucaju voda u kratkom spoju mozemo reci da efektivne vrijednosti
napona i struje ne opadaju monotono duz voda, vec fluktuiraju i to utoliko jace ukoliko je
460
ucestanost generatora veca. Takoe, da kod dugackih vodova na njihovu vrijednost prven-
stveno uticu clanovi izrazeni hiperbolicnim sinusom, dok kod kratkih vodova clanovi izrazeni
prostoperiodicnim funkcijama. Kod voda u kratkom spoju efektivna vrijednost struje na
pocetku voda moze biti manja od njene efektivne vrijednosti na kraju voda.
Impedansa voda u kratkom spoju na nakommjestu x od njegovog pocetka data je relacijom:
Zk(x) =U
I= Zc thγ(d− x) (14.638)
Njegova ukupna impedansa racunata na pocetku (x = 0) iznosi:
Zk =U0
I0= Zc thγd (14.639)
Mnozeci relaciju (14.639) sa relacijom (14.633) dobijamo veoma vaznu relaciju:
Z0Zk = Zc cthγd Zc thγd = Z2c
odnosno
Zc =√Z0Zk (14.640)
Pomocu ove dvije impedanse mozemo odrediti i koeficijent prostiranja voda γ na sledeci
nacin:
Zk
Z0
= th2γd
γ =1
dArth
√Zk
Z0
(14.641)
Na osnovu izraza za kompleksni napon i struju mozemo napisati i izraze za trenutne vri-
jednosti napona i struje voda u kratkom spoju:
u(x, t) =√2Ucos ωt+ ψd + arctg [cthα(d− x)tgβ(d− x)] + ϕc
i(x, t) =√2Icos ωt+ ψd + arctg [thα(d− x)tgβ(d− x)]
Vidimo da je prostorna raspodjela napona i struje na vodu u kratkom spoju takoe veoma
slozena. Iz njih, takoe, vidimo da fazna razlika izmeu napona i struje nije konstantna kao
u slucaju neogranicenog voda.
461
14.14 Impedansa voda zatvorenog proizvoljnom impedan-
som Zp
Impedansa na nekom mjestu x od pocetka voda je:
Z(x) =U
I= Z
c
Zp chγ(d− x) + Zc shγ(d− x)
Zp shγ(d− x) + Zc chγ(d− x)(14.642)
Ako impedansu racunamo na pocetku voda (x = 0) imamo:
Z =U
0
I0
= Zc
Zp chγd+ Zc shγd
Zp shγd+ Zcchγd(14.643)
Uzimajuci u obzir relacije (14.633) i (14.639) moze se napisati i sledeci izraz za ulaznu
impedansu voda:
Z = Z0
Zp + Zk
Zp + Z0
(14.644)
Ako u relaciji (14.642) uvedemo novu promjenljivu Zp/Zc = thM i izvršimo smjenu d−x = y
ona postaje:
Z(x) = Zc
thM chγy + shγy
thM shγy + chγy
odnosno:
Z(x) = Zc th(γy +M ) (14.645)
pa relacija (14.643) postaje:
Z = Zc th(γy +M ) (14.646)
Ako je impedansa Zp takva da je odnos M
γ, (koji je po prirodi duzina) realan, M
γ= d1,
tj ako se ona moze predstaviti u obliku Zp = Zc thγd1 onda se ona moze zamijeniti jednim
vodom u kratkom spoju duzine d1 istih karakteristika kao i dati vod, jer je impedansa voda
u kratkom spoju data gornjom relacijom. Ukupnu impedansu voda mozemo tada pisati u
obliku:
Z = Zc thγ(d+ d1 ) (14.647)
14.15 Slucaj vrlo dugackog voda
Kada je vod vrlo dugacak, obrasci koji se odnose na ogranicen vod zatvoren impedansom Zp
mogu se uprostiti. U tom slucaju moze se zanemariti clan e−γd u odnosu na eγd, te uzeti da
je priblizno: shγd ≈ chγd ≈ 1
2eγd. Tada, obrasci kojima su izrazeni kompleksni napon i struja
462
na kraju voda pomocu napona na njegovom pocetku, postaju:
Ud =2Zp
Zp + Zc
U0e−γd
Id =2
Zp + Zc
U0e−γd
Ukupna impedansa ovakvog voda priblizno je jednaka impedansi neogranicenog voda: Z ≈Zc pa je i struja na njegovom pocetku:
I0=
U0
Zc
14.16 Vod zatvoren karakteristicnom impedansom Zp =
Zc
Ako je vod zatvoren svojom karakteristicnom impedansom tj. ako je Zp = Zc tada ulazna
impedansa na pocetku voda (x = 0) na osnovu relacije (14.643) postaje:
Z = Zc
Zp chγd+ Zc shγd
Zp shγd+ Zcchγd= Zc
Zc
(chγd+ shγd
)Zc
(shγd+ chγd
) = Zc
Z = Zul = Zc
pa je struja na pocetku voda:
I0=
U0
Zul
=U
0
Zc
Polazeci od jednacina ogranicenog voda:
U = U0chγx− ZcI0 shγx
I = −U0
Zc
shγx+ I0chγx
i uvodeci smjenu: ZcI0 = U0
dobijamo:
U = U0
(chγx− shγx
)= U
0
(eγx + e−γx
2− eγx − e−γx
2
)= U
0e−γx
I =U
0
Zc
(chγx− shγx
)=
U0
Zc
(eγx + e−γx
2− eγx − e−γx
2
)=
U0
Zc
e−γx
Kao što se vidi to su jednacine neogranicenog voda. Odavde slijedi vazan zakljucak: da
je rezim ogranicenog voda zatvorenog karakteristicnom impedansom identican sa
rezimom neogranicenog voda.
463
14.17 Prirodna snaga voda
Kada je vod zatvoren svojom karakteristicnom impedansom kompleksna snaga na njegovom
pocetku iznosi:
S0= U
0I∗0=
U2
0
Z∗
c
Uzimajuci da je Zc= Zc e
jϕc dobijamo:
S0=
U2
0
Zc
ejϕc =U2
0
Zc
cosϕc + jU2
0
Zc
sinϕc
gdje je:
P0 =U2
0
Zc
cosϕc - aktivna snaga na pocetku voda
Q0 =U2
0
Zc
sinϕc - reaktivna snaga na pocetku voda
Kompleksna snaga na nekom mjestu x od pocetka voda je:
S = UI∗ =U2
Z∗
c
=U2
0e−2αx
Zc
ejϕc
P = Re S =U2
0e−2αx
Zc
cosϕc (14.648)
Q = Im S =U2
0e−2αx
Zc
sinϕc (14.649)
Na kraju voda kompleksna snaga je:
S = UdI∗
d =U2
d
Z∗
c
=U2
0e−2αd
Zc
ejϕc
Pd = Re S =U2
0
Zc
e−2αd cosϕc
Qd = Im S =U2
0
Zc
e−2αd sinϕc
464
Kako je: Ud = U0e−αd izrazi za aktivnu i reaktivnu snagu postaju:
Pd =U2
d
Zc
cosϕc (14.650)
Qd =U2
d
Zc
sinϕc (14.651)
Snage izrazene relacijama (14.650) i (14.651) nazivaju se cesto karakteristicnim ili prirod-
nim snagama voda.
14.18 Prostiranje talasa napona i struje duz voda. Brz-
ina prostiranja
Kao što smo vidjli u predhodnim izlaganjima talasi napona i struje u ustaljenom prostoperi-
odicnom rezimu imaju oblik:
u(x, t) =√2U(x) cos [ωt + θ(x)]
i(x, t) =√2I(x) cos [ωt+ ψ(x)]
Odaberimo proizvoljne faze napona i struje θk i ψk.Na mjestu x, u trenutku t one zadovoljavaju
jednacine:
θk = θ + ωt
ψk
= ψ + ωt
Posmatracemo duz voda u razlicitim trenucima uvijek iste faze θk i ψk pa je u vom razmatranju
tada θk = const i ψk = const. Cisto matematicki gledano, da bi θk i ψk ostalo konstantno
kada se mijenja vrijeme t mora da se mijenja i x i to u zavisnosti od t. Fizicki to znaci da
se mjesto x faze θk odnosno ψk mijenja u zavisnosti od vremena, odnosno, da se faze θk i ψk
prostiru duz voda. pošto napon u(x, t) i njegova faza ωt + θ(x), a isto tako struja i(x, t) i
njena faza ωt + ψ(x), imaju zajednicke koordinate x i t. Brzine prostiranja napona i njegove
faze su jednake, a isto tako jednake su i brzine prostiranja struje i njene faze. Odredimo ove
brzine.
dθkdt
=dθ
dx
dx
dt+ ω ⇒ vu =
ω
−dθ(x)dx
(14.652)
dψk
dt=
dψ
dx
dx
dt+ ω ⇒ vi =
ω
−dψ(x)dx
(14.653)
Brzine prostiranja napona i struje duz voda vu i vi su razlicite i mijenjaju se duz voda tj.
465
nijesu konstantne. Brzina prostiranja napona vu i struje vi su konstantne ako je:dθ(x)dx
= A1 idψ(x)dx
= A2 i tada vazi:
θ(x) = A1x+B1 (14.654)
ψ(x) = A2x+B2 (14.655)
iz relacija (14.654) i (14.655) zakljucujemo: brzine prostiranja napona i struje duz voda
su konstantne ako su njihove faze linearne funkcije mjesta. Ocigledno da u vodu
ogranicee duzine te relacije nijesu zadovoljene. Zakljucak: u vodu ogranicene duzine koji
je zatvoren proizvoljnom impedansom napon i struja prostiru se brzinama koje duz voda
nijesu konstantne. Brzine prostiranja napona i struje bice jednake (vu = vi) ako vazi da jedθ(x)dx
= dψ(x)dx
tj. ako vazi da je θ(x) = ψ(x) + ϕ odnosno:
θ − ψ = ϕ = const (14.656)
Iz relacije (14.656) zakljucujemo: brzine prostiranja napona i struje su jednake samo
kada je fazna razlika izmeu napona i struje duz voda konstantna. Ocigledno je da
ovaj uslov nije zadovoljen kod ogranicenog voda zatvorenog proizvoljnom impedansom Zp.
Zakljucak: u vodu ogranicene duzine, koji je zatvoren proizvoljnom impedansom,
napon i struja prostiru se duz voda razlicitim brzinama. U neograni
cenom vodu, kao što smo ranije izveli, vaze relacije:
θ(x) = θ0 − βx
ψ(x) = θ0 − βx− ϕc
pa su brzine prostiranja talasa napona i struje:
vu = vi =ω
β(14.657)
θ(x)− ψ(x) = ϕc = arg Zc = const
Prema tome, za neogranicen vod zadovoljene su obje relacije (14.654) i (14.655) kao i relacija
(14.656). Zato se napon i struja u neogranicenom vodu prostiru konstantnim i jednakim
brzinama. Isto vazi i za ograniceni vod kada je zatvoren svojom karakteristicnom impedansom.
466
14.19 Zavisnost izmeu talasne duzine i brzine prosti-
ranja kog neogranicenog voda
Talasna duzina prostiranja definiše se relacijom λ = 2πβdok je perioda jednaka T = 2π
ω. Njihov
odnos je jednak:λ
T=
2πβ
2πω
=ω
β= v
Uvodeci pojam ucestanosti kao f = 1Tdolazimo do relacije:
λ = vT =v
f(14.658)
14.20 Zavisnost v, α i β od poduznih parametara i uces-
tanosti
γ = α + jβ
γ2 = (α + jβ)2 = α2 − β2 + j2αβ
γ2 = zy = (r + jωl) (g + jωc) = rg − ω2lc+ jω (rc+ lg)
Ako izjednacimo imaginarne djelove dobijamo:
2αβ = ω (rc+ lg)
v =ω
β=
2α
rc+ lg
v
α=
2
rc + lg= const (14.659)
α
v=
1
2(rc+ lg) = const (14.660)
Koeficijent slabljenja α i brzina prostiranja u neogranicenom vodu su srazmjerne velicine.
Ako je napon prikljucenog generatora vrmenski konstantan (ω = 0) tada za brzinu prostiranja
dobijamo neodreen izraz v = ωβ= 0
0jer je i β = 0.
γ =√(r + jωl) (g + jωc)
∣∣∣ω=0
=√rg
γ = α + jβ|ω=0 = α =√rg
467
Brzina v se moze odrediti iz relacije (14.659):
v =2√rg
rc+ lg(14.661)
Ako je ucestanost prikljucenog napona veoma visoka, onda semoze pisati β ≈ ω√lc i za brzinu
v ≈ ωβ= 1√
lc.Za vod koji se nalazi u vazduhu dobijamo:
v =1√ε0µ0
= v0 = 3× 108ms
jer je1√lc
=1√ε0µ0
Koeficijent slabljenja je u ovom slucaju jednak:
α ≈ v
2(rc+ lg) =
1
2√ε0µ0
(rc+ lg)
14.21 Vod Hevisajdovog tipa
Ako poduzni parametri jednog voda zadovoljavaju uslov rc = lg ili r/l = g/c onda kazemo
da je on Hevisajdovog tipa. Tada se moze napisati:
γ =√(r + jωl) (g + jωc) =
√l(rl+ jω
)c(gc+ jω
)=(rl+ jω
)√lc (14.662)
γ = α + jβ pa je β = ω√lc
Tada je brzina prostiranja:
v =ω
β=
ω
ω√lc
=1√lc
= const
To znaci da se u vodu Hevisajdovog tipa naponi i struje svih ucestanosti prostiru konstantnim
i jednakim brzinama vu = vi = 1/√lc.Koeficijent slabljenja Hevisajdovog voda uzima za sve
ucestanosti vrijednost α =√rg. Karakteristicna impedansa Hevisajdovog voda je nezavisna
od ucestanosti. Ona je pored toga i realna:
Zc =
√r + jωl
g + jωc=
√√√√ r(1 + jω l
r
)g(1 + jω c
g
) =
√r
g=
√l
c(14.663)
468
14.22 Razlaganje napona i struje na direktnu i reflek-
tovanu komponentu
Kao što smo vidjeli u predhodnim izlaganjima, analiza ustaljenih rezima u vodu konacne
duzine koji je zatvoren proizvoljnom impedansom Zp pomocu relacija (14.621) i (14.622) je
veoma slozena i nepregledna. Rezimirajmo te teškoce:
- Efektivne vrijednosti napona i struje veoma su slozene funkcije mjesta x.
- Naponi i struje prostiru se razlicitim brzinama koje duz voda nijesu konstantne.
Pošto je rezim neogranicenog voda najprostiji moguci (efektivne vrijednosti napona i struja
eksponencijalno opadaju, brzine prostiranja su im jednake i konstantne duz voda), u teoriji
kola sa raspodijeljenim parametrima napon i struju voda konacne duzine koji je zatvoren
proizvoljnom impedansom razlazemo na dvije komponente koje imaju oblik napona i struje
u neogranicenom vodu. Polazeci od jednacina ogranicenog voda zatvorenog proizvoljnom
impedansom [relacije (14.621) i (14.622)] u kojima hiperbolne funkcije izrazimo preko ekspo-
nencijalnih dolazimo do novih relacija oblika:
U =Ud
2
[eγ(d−x) + e−γ(d−x)
]+
Ud
2
Zc
Zp
[eγ(d−x) − e−γ(d−x)
]I =
Ud
2Zc
[eγ(d−x) + e−γ(d−x)
]− Ud
2Zp
[eγ(d−x) − e−γ(d−x)
]Grupišuci clanove uz eγ(d−x) i e−γ(d−x) dobijamo:
U = Ud
Zp + Zc
2Zp
eγde−γx + Ud
Zp − Zc
2Zp
e−γdeγx (14.664)
I = Ud
Zp + Zc
2ZpZc
eγde−γx − Ud
Zp − Zc
2ZpZc
e−γdeγx (14.665)
Ako u relacijama (14.664) i (14.665) druge clanove pomnozimo i podijelimo sa e−γd dobijamo:
U = Ud
Zp + Zc
2Zp
eγde−γx + Ud
Zp − Zc
2Zp
eγd e−γ(2d−x)
I = Ud
Zp + Zc
2ZpZc
eγde−γx − Ud
Zp − Zc
2ZpZc
eγd e−γ(2d−x)
Konacno dobijamo:
U = U′
0 e−γx + U′′
0 e−γ(2d−x) = U′
+ U′′
(14.666)
I =U
′
0
Zc
e−γx − U′′
0
Zc
e−γ(2d−x) = I′
+ I′′
(14.667)
469
x
gU
0U U dU
dII0I
d
gZ
pZ
x
gU
0U ′ U ′ dU ′
I ′0I ′
d
gZ
x
gU
U ′′0U ′′
0I ′′I0I
gZ
U ′
2d xξ = −
d d
dI ′′
dU ′′U ′′
Slika 14.322: Razlaganje napona i struje na direktnu i reflektovanu komponentu
Komponente U′
i I′
imaju oblik napona i struje na neogranicenom vodu sa pocetkom na
mjestu x = 0 kao što se moze vidjeti sa slike 14.322. Na ovom mjestu vrijednost napona i
struje su: U′
0i I
′
0= U
′
0/Z
c. Ako uvedemo smjenu ξ = 2d − x (slika 14.322) mozemo pisati
da je: U′′
= U′′
0e−γξ i I
′′
= −U′′
0/Zce
−γξ. Komponente U′′
i I′′
imaju oblik napona i struje
na neogranicenom vodu sa pocetkom namjestu ξ = 0, odnosno x = 2d − ξ (slika 14.322).
Vrijednost napona i struje na pocetku ovog voda su: U′′
0i I
′′
0= −U
′′
0/Zc. Znak minus u izrazu
za struju znaci da je njen pozitivan smjer suprotan od uobicajenog. Fizicki postoji zadati vod
duzine d zatvoren impedansom Zp. Neograniceni vodovi su fiktivni. Komponente U′
, I′
, U′′
i
I′′
imaju takav oblik kao da se prostiru duz ovih vodova.
14.23 Brzine prostiranja
v′
=ω
β
Pošto se komponente U′
i I′
prostiru u pozitivnom smjeru x-ose tj. od pocetka zadatog voda
prema njegovom kraju, nazivamo ih direktnim komponentama (talasima) napona i struje.
U′′
0= U
′′
0ejθ
′′
0
U′′
= U′′
0ejθ
′′
0 e−(α+jβ)(2d−x) = U′′
0 e−α(2d−x)e
j[θ′′
0−β(2d−x)
]
470
Pocetna faza je: θ′′
= θ′′
0 − β(2d− x), dok je faza u trenutku t jednaka: θ′′
+ωt = θ′′
0 − β(2d−x) + ωt. Duz voda u raznim trenucima uvijek posmatramo istu fazu:
θk = θ′′
0 − β(2d− x) + ωt (14.668)
pa je prema tome θk = const. Diferenciranjem relacije (14.668) po vremenu dobijamo relaciju:
dθkdt
= βdx
dt+ ω (14.669)
pa je brzina prostiranja shodno relaciji (14.669) jednaka:
v′′
= −ω
β< 0
Komponente U′′
i I′′
prostiru se u negativnom smjeru x-ose brzinom koja je po apsolutnoj
vrijednosti jednaka brzini komponenti U′
i I′
. Po analogiji sa reflektovanjem svjetlosnog zraka
od ogledala, smatra se, da se direktne komponente U′
i I′
odbijaju od kraja zadatog voda
x = d i vracaju prema pocetku kao reflektovane komponente U′′
i I′′
.Velicina:
Γp =U
′′
d
U′
d
(14.670)
naziva se koeficijent refleksije za napon na kraju voda tj. na mjestu prijemnika. Zamjenom
vrijednosti U′′
d i U′
d u relaciji (14.670) dobijamo:
Γp =U
′′
0 e−γ(2d−x)
U′
0 e−γx
∣∣∣∣∣x=d
=U
′′
0
U′
0
(14.671)
Nadalje je:
Γp =U
′′
0
U′
0
=Ud
Zp−Z
c
2Zp
eγd
Ud
Zp+Z
c
2Zp
eγd=
Zp − Zc
Zp + Zc
(14.672)
Koeficijenti refleksije za struju su isti kao za napon ali sa suprotnim znakom. Prema relaciji
(14.671) mozemo pisati da je:
U′′
0 = Γp U′
0
Odnosno:
U′′
= Γp U′
0 e−γ(2d−x) (14.673)
I′′
= −Γp U′
0
Zc
e−γ(2d−x) (14.674)
471
Relacije (14.673) i (14.674) predstavljaju reflektovane talase napona i struje.
14.24 Trenutne vrijednosti direktne i reflektovane kom-
ponente
Trenutne vrijednosti direktnih talasa napona i struje su izrazene relacijama:
u′
(x, t) =√2U
′
0e−αx cos
(ωt+ θ
′
0− βx
)(14.675)
i′
(x, t) =√2I
′
0e−αx cos
(ωt+ θ
′
0− βx− ϕc
)(14.676)
Koeficijent refleksije mozemo zapisati i na sledeci nacin:
Γp = Γp ejηp (14.677)
a izraze za reflektovane talase napona i struje u sledecoj formi:
U′′
= Γp ejηp U′
0ejθ
′
0 e−(α+jβ)(2d−x) =
= ΓpU′
0 e−α(2d−x) ej[θ′
0−β(2d−x)+η
p
](14.678)
I′′
= −Γp ejηp U′
0 ejθ′
0
1
Zcejϕce−(α+jβ)(2d−x) =
= −Γp
U′
0
Zc
e−α(2d−x) ej[θ′
0−β(2d−x)+η
p−ϕ
c
](14.679)
Dok su izrazi za trenutne vrijednosti reflektovanih talasa napona i struje jednaki:
u′′
(x, t) =√2ΓpU
′
0e−α(2d−x) cos
[ωt+ θ
′
0− β (2d− x) + ηp
](14.680)
i′′
(x, t) = −√2Γp
U′
0
Zc
e−α(2d−x) cos[ωt+ θ
′
0 − β (2d− x) + ηp − ϕc
](14.681)
Na ovaj nacin smo analizu ustaljenog rezima ogranicenog voda koji je zatvoren proizvo
ljnom impedansom sveli na analizu dva neogranicena fiktivna voda:
u(x, t) = u′
(x, t) + u′′
(x, t)
i(x, t) = i′
(x, t) + i′′
(x, t)
472
14.25 Ulazna impedansa
Ulazna impedansa se definiše kao:
Z(x) =U
I=
U′
0 e−γx + Γp U′
0 e−γ(2d−x)
U′
0
Zc
e−γx − ΓpU
′
0
Zc
e−γ(2d−x)= Zc
e−γx + Γp e−γ(2d−x)
e−γx − Γp e−γ(2d−x)
Z(x) = Zc
1 + Γp e−2γ(d−x)
1− Γp e−2γ(d−x)(14.682)
Zul = Z(x)|x=0 = Zc
1 + Γp e−2γd
1− Γp e−2γd(14.683)
Uvodeci koeficijent refleksije na mjestu x, Γ(x) kao:
Γ(x) = Γp e−2γ(d−x) (14.684)
dobijamo sledeci izraz za ulazn impedansu:
Z(x) = Zc
1 + Γ(x)
1− Γ(x)(14.685)
Polazeci od relacije (14.672) dobijamo sledece vrijednosti za koeficijent refleksije:
- Za otvoren vod Zp = ∞ ⇒ Γp = 1.
- Za vod u kratkom spoju Zp = 0 ⇒ Γp = −1.
- Za vod zatvoren svojom karakteristicnom impedansom Zp = Zc ⇒ Γp = 0. U ovom
slucaju nema refleksije pa je: u′′
(x, t) = 0 i i′′
(x, t) = 0.
14.26 Stojeci talasi u ogranicenom vodu
Ako je ucestanost generatora vrlo visoka tako da je r ωl i g ωc karakteristicnu
impedansu voda mozemo smatrati realnom velicinom:
Zc=
√r + jωl
g + jωc= 4
√r2 + ω2l2
g2 + ω2c2ej
1
2(arctgωl
r−arctg
ωcg ) (14.686)
473
Koeficijent slabljenja i fazni koeficijent uzimaju tada priblizne vrijednosti:
α =
√zy + rg − ω2lc
2≈ r
2
√c
l+
g
2
√l
c(14.687)
β =
√zy − rg + ω2lc
2≈ ω
√lc (14.688)
Ako je vod i kratak mozemo uzeti priblizno da je: a = α(d− x) ≈ 0. Velicinu b = β(d− x) ne
mozemo zanemariti zbog visine vrijednosti koeficijenta β koju uzima pri visokoj ucestanosti.
Takvi kratki otvoreni vodovi sa visokom ucestanošcu predstavljaju antene u radiotehnici.
Usvajanjem gornjih pribliznih vrijednosti, velicina γ postaje: γ = jβ (d− x) = jω√lc(d− x),
te se izrazi za kompleksni napon i struju otvorenog voda predstavljeni relacijama (14.626) i
(14.627) svode na:
U = Udcos β(d− x) (14.689)
I = j
√c
lU
dsin β(d− x) (14.690)
Efektivne vrijednosti napona i struje duz voda u ovom slucaju date su relacijama:
U = |Ud cosβ(d− x)|I =
∣∣∣∣√
c
lUd sin β(d− x)
∣∣∣∣Kao pozitivne velicine one su predstavljene apsolutnim vrijednostima gornjih prostoperi-
odicnih funkcija. One su periodicne funkcije periode (prostorne) πβ= λ
2. λ− je talasna duzina
prostoperiodicnih funkcija cosβ(d − x) i sin β(d − x). Mjesta na vodu u kojima su efektivne
vrijednosti napona i struje jednake nuli nazivaju se cvorovima. Na vodu razlikujemo cvorove
napona i cvorove struje. Rastojanje od jednog do drugog cvora napona jednako je λ2. Iz gornjih
izraza vidimo još da je efektivna vrijednost struje maksimalna u cvorovima napona i obratno,
efektivna vrijednost napona je maksimalna u cvorovima struje. Cvorove napona imamo na
mjestima gdje je: cosβ(d− x) = 0, odnosno:
β(d− x) = (2n + 1)π
2(14.691)
odakle slijedi da je:
x = d− (2n + 1)π
2β= d− (2n+ 1)
λ
4(14.692)
474
U relacijama (14.691) i (14.692) n je cio broj i n uzima samo one vrijednosti za koje je
0 ≤ x ≤ d. Cvorove struje imamo na mjestima gdje je sin β(d− x) = 0, odnosno:
x = d− nπ
β= d− n
λ
2(14.693)
Prelaskom sa kompleksnih na trenutne vrijednosti dobijamo u slucaju kratkog, otvore
nog voda sa visokom ucestanošcu sledece izraze za napon i struju:
u(x, t) =√2Ud cosβ (d− x) cos (ωt + θd) (14.694)
i(x, t) =√2
√c
lUd sin β (d− x) cos
(ωt+ θd +
π
2
)(14.695)
U ovom slucaju ne bismo imali nepredovanje talasa. Talasi napona i struje se ne pomjeraju duz
voda vec tokom vremena samo mijenjaju svoju amplitudu. Njihova talasna duzina iznosi λ =
2π/β. Ovakve talase koji se ne pomjeraju nazivamo stojecim talasima a pojavu talasanjem
u mjestu.
14.27 Stojeci talasi ogranicenog voda u kratkom spoju
Ako je ucestanost vrlo visoka, a vod kratak, za vod u kratkom spoju uzimamo priblizne
obrasce kao i za otvoreni vod:
a = α (d− x) ≈ 0
γ = jβ (d− x) ≈ jω√lc (d− x)
Zc = ≈√
l
c
Kompleksni napon i struja voda u kratkom spoju tada postaju:
U = j
√l
cId sin β (d− x) (14.696)
I = Id cosβ (d− x) (14.697)
S toga su efektivne vrijednosti napona i struje ovakvog voda:
U =
∣∣∣∣∣√
l
cId sin β (d− x)
∣∣∣∣∣I = |Id cosβ (d− x)|
Cvorovi, tj. mjesta na kojima su efektivne vrijednosti jednake nuli nalaze se na rastojanjuλ2= π
βjedan od drugog. Efektivna vrijednost napona maksimalna je u cvorovima struje i
475
obratno. Cvorove napoa imamo na mjestima:
x = d− nπ
β= d− n
λ
2; (n = 0, 1, 2, ...) (14.698)
a cvorove struje na mjestima:
x = d− (2n + 1)π
2β= d− (2n+ 1)
λ
4; (n = 0, 1, 2, ...) (14.699)
Pri prelasku sa kompleksnih na trenutne vrijednosti, ako je ucestanost visoka, za napon i
struju kratkog voda koji se nalazi u kratkom spoju dobijamo sledece relacije:
u(x, t) =√2
√l
cId sin β (d− x) cos
(ωt + ψd +
π
2
)(14.700)
i(x, t) =√2Id cosβ (d− x) cos (ωt+ ψd) (14.701)
Prema tome, i u slucaju voda u kratkom spoju pod gornjim uslovima ne bismo imali napre-
dovanje talasa, vec stacionarne ili stojece talase talasne duzine λ = 2πβ.
DODATAK
476
FOURIER-ovi redovi - matematicki
dio
Slozeno periodicna funkcija f(t) = f(t + T ) moze se predstaviti Fourier-ovim redom, koji
predstavlja sumu prostoperiodicnih funkcija u obliku:
f(t) =a02
+
∞∑n=1
(an cosnω0t + bn sinnω0t) (15.702)
gdje je ω0 = 2π/T osnovna ili fundamentalna ucestanost. Oblik dat relacijom (15.702) naziva
se trigonometrijski oblik Fourier-ovog reda. Pojedini clanovi Fourier-ovog reda nazivaju se
harmonicima. Clan ucestanosti ω0 naziva se osnovnim harmonikom, a clan ucestanosti nω0 n
- tim harmonikom. Clan a0
2naziva se nultim harmonikom. a0, an i bn - nazivaju se koeficijenti
Fourier-ovog reda i oni se izracunavaju po formulama:
a0 =2
T
t0+T∫t0
f(t)dt
an =2
T
t0+T∫t0
f(t) cosnω0tdt n = 0, 1, 2, ...
bn =2
T
t0+T∫t0
f(t) sinnω0tdt n = 1, 2, ...
Da bi se neka slozenoperiodicna funkcija razvila u Fourier-ov red ona treba da ispuni Dirchlet-
ove uslove:
1. Da ima prekide prve vrste i to konacan broj.
2. Da ima konacan broj minimuma i maksimuma.
3. Da jet∫0
|f(t)| dt < 0
U tackama prekida red konvergira vrijednosti 1
2[f(t+) + f(t−)].
477
478
Primjer 1: Razviti u Fourier-ov red funkciju f(t) = t; −π < t < π; f(t + 2π) = f(t) što
znaci da je T = 2π (slika 15.323).
( )f t
tπ 3π3π−
π−
π
π−
Slika 15.323:
Koeficijenti su:
a0 =1
π
π∫−π
tdt = 0
Za n = 1, 2, 3, ... imamo da je:
an =1
π
π∫−π
t cosntdt =1
n2π(cosnt+ nt sinnt)
∣∣∣∣π−π
= 0
i
bn =1
π
π∫−π
t sinntdt =1
n2π(sinnt− nt cosnt)
∣∣∣∣π−π
= −2 cosnπ
n=
2(−1)n+1
n
Prema tome, funkcija f(t) zapisana preko Fourier-ovog reda je:
f(t) = 2
(sin t
1− sin 2t
2+
sin 3t
3− ...
)Primjer 2: Razviti u Fourier-ov red funkciju f(t) koja je jednaka (slika 15.324.):
t
( )f t
1−2− 1 2
6
Slika 15.324:
479
f(t) =
⎧⎪⎨⎪⎩
0
6
0
−2 < t < −1
−1 < t < 1
1 < t < 2
f(t+ 4) = f(t) ⇒ T = 4 ; ω0 =2π
T= π
2. Koeficijenti su:
a0 =2
4
1∫−1
6dt+2
4
3∫1
0dt = 6
an =2
4
1∫−1
6 cosnπt
2dt+
2
4
3∫1
0 cosnπt
2dt =
12
nπsin
nπ
2
bn =2
4
1∫−1
6 sinnπt
2dt+
2
4
3∫1
0 sinnπt
2dt = 0
f(t) = 3 +12
π
(cos
πt
2− 1
3cos
3πt
2+
1
5cos
5πt
2− ...
)
f(t) = 3 +12
π
∞∑n=1
(−1)n+1 cos [(2n− 1)πt] /22n− 1
Primjer 3: Razviti u Fourier-ov red funkciju f(t) koja je jednaka:
f(t) =
4
−4
0 < t < 1
1 < t < 2
f(t) = f(t+ 2); T = 2
Koeficijenti su jednaki:
an = 0; n = 0, 1, 2, ...
bn =4
2
1∫0
4 sinnπtdt =8
nπ[1− (−1)n] ⇒
bn = 0;
bn = 16
nπ;
n - parno
n - neparno
f(t) =16
π
∞∑n=1
sin(2n− 1)πt
2n− 1
Oblik Fourier-ovog reda zavisi od svojstva vremenske funkcije f(t) :
1. Ako je funkcija f(t) parna tj. f(−t) = f(t) Fourier-ov red ce sadrzati konstantni clan i
480
kosinusne clanove:
an =4
T
T
2∫0
f(t) cosnω0tdt n = 0, 1, 2, ...
bn = 0 n = 1, 2, 3, ...
2. Ako je funkcija f(t) neparna tj. f(−t) = −f(t) Fourier-ov red ce sadrzati samo sinusne
clanove:
an = 0 n = 1, 2, 3, ...
bn =4
T
T
2∫0
f(t) sinnω0tdt n = 0, 1, 2, ...
3. Ako je negativni talas vremenske funkcije ogledalska slika pozitivnog talasa tj. ako je:
f(t+ T/2) = −f(t) onda je:
an = 0 za n - parno
an =4
T
T
2∫0
f(t) cosnω0tdt za n - neparno
bn = 0 za n - parno
bn =4
T
T
2∫0
f(t) sinnω0tdt za n - neparno
tj. Fourier-ov red ce sadrzavati samo neparne clanove.
4. Ako funkcija f(t) ispunjava uslov iz treceg slucaja i uz to je simetricna u odnosu na
koordinatni pocetak, tj. neparna, njen Fourier-ov red imace samo neparne sinusne har-
monike:
b2n+1 =8
T
T
4∫0
f(t) sin (2n+ 1)ω0tdt n = 1, 2, 3, ...
Primjer 4: Razviti u Fourier-ov red funkciju f(t):
f(t) =
⎧⎪⎨⎪⎩
0
4 cos 2t
0
−π
2< t < −π
4
−π
4< t < π
4
π
4< t < π
2
f(t+ π) = f(t)
481
a0 =8
π; a1 = 2; a2 =
8
π(1− n2)cos
nπ
2, n = 2, 3, 4, ...
bn = 0, n = 1, 2, 3, ...
Primjer 5: Razviti u Fourier-ov red funkciju f(t):
f(t) = |4 sin 2t|
Odgovor:
f(t) =16
π
(1
2+∞∑n=1
1
1− 4n2cos 4nt
)
Primjer 6: Razviti u Fourier-ov red funkciju f(t) prikazanu na slici 15.325.
( )f t
1 2 t1−2−
1
2−
1
2
4
4−
Slika 15.325:
Odgovor:
f(t) =16
π
∞∑n=1
(−1)n+1
2n− 1cos(2n− 1)πt
Drugi oblici trigonometrijskog Fourier-ovog reda su:
f(t) =a02
+∞∑n=1
An cos (nω0t+ θn) (15.703)
Koristeci sledeci identitet:
an cosnω0t+ bn sinnω0t = An cos (nω0t+ θn)
dobijamo izraze za An i θn koji su jednaki:
482
An =√a2n+ b2
n
θn = arctanbnan
iz kojih slijedi:
an = An cos θn
bn = −An sin θn
ili:
f(t) =a02
+∞∑n=1
An sin(nω0t + θ
′
n
)(15.704)
gdje je:
θ′
n= θn +
π
2
Kompleksni oblik Fourier-ovog reda
Polazeci od relacija:
cosnω0t =1
2
(ejnω0t + e−jnω0t
)sinnω0t =
1
2j
(ejnω0t − e−jnω0t
)i oblika (15.702) Fourier-ovog reda dobijamo:
f(t) =a02
+∞∑n=1
[(an − jbn
2
)ejnω0t +
(an + jbn
2
)e−jnω0t
]
Uvodeci novi koeficijent cn koji je jednak:
cn =an − jbn
2
Zamjenjujuci izraze za izracunavanje konstanti an i bn ako je t0 = −T/2 dobijamo:
cn =1
T
T
4∫−T
2
f(t) (cosnω0t− j sinnω0t) dt
483
ili koristeci Euler-ovu formulu:
cn =1
T
T
4∫−T
2
f(t)e−jnω0tdt (15.705)
c∗n =an + jbn
2=
1
T
T
4∫−T
2
f(t) (cosnω0t+ j sinnω0t) dt
Evidentno je c−n (ako n zamijenimo sa −n) da je:
c−n =
an + jbn2
= c∗n
a02
=1
T
T
4∫−T
2
f(t)dt = c0
Sada mozemo napisati:
f(t) = c0 +∞∑n=1
cnejnω0t +
∞∑n=1
c−ne
jnω0t (15.706)
Pošto je c0 = cn|n=0 relaciju (15.706) mozemo zapisati u sledecem obliku:
f(t) =∞∑n=0
cnejnω0t +
−∞∑n=−1
cnejnω0t
Pa konacno dobijamo:
f(t) =∞∑
n=−∞
cnejnω0t (15.707)
Relacija (15.707) predstavlja kompleksni oblik Fourier-ovog reda dok se koeficijent cn izracu-
nava koristeci relaciju (15.705).
Primjer 7: Naci kompleksni oblik Fourier-ovog reda funkcije f(t) :
f(t) =
4
−4
0 < t < 1
1 < t < 2
ako je f(t + 2) = f(t). Odavde slijedi da je: T = 2 i ω0 = 2π/T = π pa je:.
cn=
1
2
1∫−1
f(t)e−jnπtdt =1
2
0∫−1
(−4)e−jnπtdt+1
2
1∫0
4e−jnπtdt =4
jnπ[1− (−1)n]
484
Takoe, imamo da je:
c0 =1
2
1∫−1
f(t)dt =1
2
0∫−1
4dt− 1
2
1∫0
4dt = 0
Pošto je cn = 0 za parno n i cn = 8/jnπ za neparno n kompleksni oblik Fourier-ovog reda
funkcije f(t) ima sledeci oblik:
f(t) =8
jnπ
∞∑n=−∞
1
2n− 1ej(2n−1)πt
Primjer 8: Naci kompleksni oblik Fourier-ovog reda funkcije f(t) :
f(t) =
1
0
−1 < t < 1
1 < t < 2
ako je f(t + 4) = f(t) :
Odgovor:
f(t) =1
2+
1
π
∞∑n=−∞n=0
sin(nπ
2
)n
ejnπt
2
Funkcija
Sa(x) =sin x
x, x = 0
Sa(0) = 1
naziva se funkcija odabiranja (sampling funkcija). Funkcija:
sincx =sin πx
πx= Sa(πx)
naziva se sinc funkcija. Pošto je:
c0 = limn→0
cn
rezultat iz Primjera 8 se moze napisati u sledecem obliku:
f(t) =1
2
∞∑n=−∞
Sa(nπ
2
)ej
nπt
2
Primjer 9:Naci kompleksni oblik Fourier-ovog reda funkcije f(t) :
f(t) =
1
0
− b2< t < b
2
b
2< t < T
2
ako je f(t + T ) = f(t) :
485
Odgovor:
f(t) =b
T
∞∑n=−∞
Sa
(nπb
T
)ej
nπt
T
Ako je funkcija f(t) parna, koeficijenti kompleksnog oblika Fourier-ovog reda su jednaki:
cn=
an2
=2
T
T
2∫0
f(t) cosnω0tdt
Ako je funkcija f(t) neparna, koeficijenti kompleksnog oblika Fourier-ovog reda su jednaki:
cn=
bn2j
=2
jT
T
2∫0
f(t) sinnω0tdt
Ako je funkcija f(t) polu-talasno simetricna (half-wave simetry) tada su koeficijenti komplek-
snog oblika Fourier-ovog reda su jednaki:
cn
= 0 n - parno
cn
=2
T
T
2∫0
f(t)e−jnω0t n - neparno
Frekventni spektar
Razmatramo kompleksni (eksponencijalni) oblik Fourier-ovog reda:
f(t) =∞∑
n=−∞
cnejnω0t
gdje je:
cn =an − jbn
2
ili u polarnim koordinatama:
cn =
√a2n + b2n2
∠− tan−1bnan
U funkciji od An i θn imamo da je:
cn=
An
2∠θn
486
c−n
=An
2∠− θn
Takoe, imamo da je:
co = An∠θn =a02
Na osnovu predhodnih relacija mozemo pisati da je:
|cn| =
∣∣c−n
∣∣ = An
2=
√a2n+ b2
n
2, n = 1, 2, 3, ...
|c0| = A0 =a02
gdje je: |cn| − Diskretni amplitudski spektar a θn− Diskretni fazni spektar.
Neke osobine Fourier-ovih redova
1. Linearnost
Ako su x(t) i y(t) dva periodicna signala sa periodom T tada vazi:
x(t)FS
ak
y(t)FS
bk
z(t) = Ax(t) +By(t)FS
ck= Aa
k+Bb
k
Ova osobina je direktna posledica relacija za Fourier-ov red u kompleksnom obliku.
2. Pomak (Time Shifting)
x(t)FS
ak
x(t− t0)FS
e−jkω0t0ak
Dokaz:
bk =1
T
T∫0
x(t− t0)e−jkω0tdt (15.708)
Uvodeci smjenu τ = t− t0 u relaciju (15.708) dobijamo:
1
T
T∫0
x(τ)e−jkω0(τ+t0)dτ = e−jkω0t01
T
T∫0
x(τ)e−jkω0τdτ
︸ ︷︷ ︸ak
= e−jkω0t0ak
487
|bk| = |ak|3. Time reversal
y(t) = x(−t)
x(−t) =
∞∑k=−∞
ake−jkω0t
Ako uvedemo smjenu k = −m dobijamo:
y(t) = x(−t) =∞∑
k=−∞
a−me
jmω0t
bk = a−k
x(t)FS
ak
x(−t)FS
a−k
Posledice: Ako je funkcija x(t) parna tj: x(−t) = x(t) onda je a−k = ak. Ako je funkcija
x(t) neparna tj: x(−t) = −x(t) onda je a−k = −ak.
4. Conjugation and conjugate symmetry
Ako je:
x(t)FS
ak
tada je
x∗(t)FS
a∗−k
Dokaz:
x(t) =∞∑
k=−∞
akejkω0t
x∗(t) =∞∑
k=−∞
a∗ke−jkω0t
Zamjenjujuci k → −k dobijamo:
x∗(t) =∞∑
k=−∞
a∗−ke
jkω0t
488
Posledice: Ako je x(t) realan signal onda je x(t) = x∗(t) pa imamo:
a−k = a∗k (15.709)
Relacija (15.709) izrazava conjugate symmetry.
|ak| = ∣∣a
−k
∣∣Ako je funkcija x(t) realna i parna imamo
ak= a
−k; a∗
k= a
−k⇒ a
k= a∗
k
5. Time scaling
Ako je x(t) periodicna funkcija sa osnovnim periodom T i ucestanošcu ω0 = 2π/T i x(αt)
sa fundamentalnim periodom T/α i ucestanošcu ω = α ω0 gdje je α realno i pozitivno imano
da je:
x(αt) =∞∑
k=−∞
akejk(αω0)t
i koeficijenti Fourier-ovog reda se ne mijenjaju.
6. Teorema konvolucije
Ako imamo dvije funkcije f1(t) =∞∑
n=−∞ane
jnω0t i f2(t) =∞∑
n=−∞bne
jnω0t sa istim periodom
T i ucestanošcu ω0 = 2π/T tada je:
1
T
T
4∫−T
2
f1(τ )f2(t− τ )dτ =∞∑
n=−∞
anbnejnω0t (15.710)
1
T
T
4∫−T
2
f1(t)f2(t)e−jnω0tdt =
∞∑m=−∞
ambn−m (15.711)
Dokaz:
1
T
T
4∫−T
2
f1(t− τ )f2(τ )dτ =1
T
T
4∫−T
2
∞∑n=−∞
anejnω0(t−τ)f2(τ )dτ =
∞∑n=−∞
anejnω0t
1
T
T
4∫−T
2
f2(τ)e−jnω0τdτ =
=∞∑
n=−∞
anbnejnω0t
489
ft(t)f2(t) =∞∑
m=−∞
amejmω0t
∞∑k=−∞
bkejkω0t =
∞∑m=−∞
∞∑k=−∞
ambkej(m+k)ω0t =
=∞∑
m=−∞
(∞∑
k=−∞
am−kbk
)ejmω0t
7. Parseval-ova teorema
Ako su f1(t) i f2(t) dvije periodicne funkcije sa istim periodom T onda je:
1
T
T
4∫−T
2
f1(t)f∗
2 (t)dt =∞∑
m=−∞
amb∗
m (15.712)
Dokaz: Na osnovu izvedenih predhodnih osobina koeficijenti Fourier-ovog reda funkcije
f ∗2 (t) su b∗−m. Ako u relaciju (15.711) umjesto funkcije f2(t) stavimo f ∗2 (t) dobijamo:
1
T
T
4∫−T
2
f1(t)f∗
2 (t)e−jnω0tdt =
∞∑m=−∞
ambm−n
Stavljajuci n = 0 dobijamo:
1
T
T
4∫−T
2
f1(t)f∗
2 (t) =∞∑
m=−∞
ambm
Posledica ove teoreme je je teorema Releja ili Energy theorema.
1
T
T
4∫−T
2
|f1(t)|2 dt =∞∑
n=−∞
|an|2 (15.713)
Dokaz: Ako u teoremi Parsevala stavimo f1(t) = f2(t) = f(t) dobijamo relaciju (15.713)
Napomena: Na osnovu veza izmeu razlicitih formi Fourier-ovog reda teoremu Releja je
moguce napisati i na sledeci nacin:
1
T
T
4∫−
T
2
f 2(t)dt =(a02
)2+∞∑n=1
A2
n
2=(a02
)2+∞∑n=1
a2n+ b2
n
2(15.714)
Relacija (15.714) se ponegdje u literaturi naziva i Parserval-ovom jednacinom.
FOURIER-ova transformacija -
matematicki dio
Direktna Fourier-ova transformacija neke vremenske funkcije se definiše kao:
F (jω) =
+∞∫−∞
f(t)e−jωtdt
To se moze napisati i oznaciti na sledeci nacin:
Ff(t) = F (jω) =
+∞∫−∞
f(t)e−jωtdt
ili krace:
f(t)F
F (jω)
Inverzna Fourier-ova transformacija se definiše na sledeci nacin:
f(t) =1
2π
+∞∫−∞
F (jω)ejωtdω
ili:
f(t) = F−1 F (jω) =1
2π
+∞∫−∞
F (jω)ejωtdω
Da bi funkcija f(t) imala Fourier-ovu transformaciju ona treba da zadovolji Dirichlet-ove
uslove i uslov apsolutne integrabilnosti:∫ +∞−∞
|f(t)| dt < ∞.
Primjer 1: Odrediti Fourier-ovu transformaciju funkcije: f(t) = e−ath(t) gdje je a > 0.
Fe−ath(t)
=
+∞∫−∞
e−ath(t)e−jωtdt =
+∞∫0
e−(a+jω)tdt =
=1
−(a + jω)e−(a+jω)t
∣∣∣∣∞0
=1
a+ jω
490
491
jer je zbog a > 0 limt→∞
e−at (cosωt− j sinωt) = 0.
Primjer 2: Odrediti Fourier-ovu transformaciju funkcije:
f(t) =
A −a
2< t < a
2
0 |t| > a
2
F (jω) =
+∞∫−∞
f(t)e−jωtdt =
a
2∫−
a
2
Ae−jωtdt =2A
ω
(ej
ωa
2 − e−jωa
2
j2
)=
=2A
ωsin
ωa
2= AaSa
(ωa2
)Primjer 3: Odrediti Fourier-ovu transformaciju funkcije:
f(t) =
⎧⎪⎨⎪⎩
t+ 1 −1 < t < 0
−t + 1 0 < t < 1
0 van tih intervala
Ff(t) = F (jω) =2 (1− cosω)
ω2= S2
a
(ω2
)Primjer 4: Odrediti Fourier-ovu transformaciju funkcije: f(t) = e−a|t| gdje je a > 0.
Ff(t) = F (jω) =2a
ω2 + a2
Primjer 5: Odrediti inverznu Fourier-ovu transformaciju funkcije:
F (jω) =
1 −1 < ω < 1
0 |ω| > 1
f(t) = F−1 F (jω) =1
πSa(t)
Primjer 6: Odrediti Fourier-ovu transformaciju funkcije: f(t) = δ(t).
Fδ(t) = F (jω) =
+∞∫−∞
δ(t)e−jωtdt = 1
Ako formiramo funkciju:
fσ(t) =1
2π
+σ∫−σ
F (jω)ejωtdω
tada je:
fσ(t)−−−−→σ → ∞ f(t)
492
fσ(t) =1
2π
+σ∫−σ
ejωt+∞∫−∞
f(τ )e−jωτdτdω =1
2π
+∞∫−∞
f(τ)
+σ∫−σ
ejω(t−τ)dωdτ
fσ(t) =
+∞∫−∞
f(τ )sin σ (t− τ )
π (t− τ )dτ
Gornji integral jednak je konvoluciji funkcije f(t) i F - sinσt
πti on
tezi za σ → ∞ vremenskoj funkciji f(t). Ako f(t) ima diskontinuitet u t onda je:
fσ(t)−−−−→σ → ∞ f(t+) + f(t−)
2
Primjer 7: Jedinicni pravougaoni impuls pa(t) ima grafik prikazan na slici 15.326.
( )a
p t
1
a− a t
Slika 15.326: Jedinicni pravougaoni impulas
koji je definisan sa:
pa(t) =
1
0
|t| < 0
|t| > 0
Fourier-ova transformacija jedinicnog impulsa je:
F (jω) = Fpa(t) =
+a∫−a
1 e−jωtdt =2 sin aω
ω
i prikazana je na slici 15.327:
fσ(t) =
+a∫−a
1sin σ (t− τ)
π (t− τ )dτ =
1
πSi [σ(t+ a)]− Si [σ(t− a)]
Sa slike 15.328. se vidi da u svakom opsegu postoje odstupanja koja imaju oscilatorni
karakter. Ovaj fenomen se u literaturi naziva Gibsove oscilacije.
493
( )F jω
ω
a
π
a
π
( )F jω
ω
)a )b
Slika 15.327: a) F (jω)− Realni dio frekevencijskog spektra; b) |F (jω)| − Amplitudski spektar
a− a t
1
( )f t
( )f tσ
Slika 15.328: Gibsove oscilacije
Si(t) =
t∫0
sin τ
τdτ
Funkcija Si(t) naziva se I .
Oblici Fourier-ove transformacije
Ako je u opštem slucaju vremenska funkcija kompleksna:
f(t) = f1(t) + jf2(t)
494
tada je
F f(t) = F (jω) = R(ω) + jX(ω)
Iz definicionih oblika direktne i inverzne Fourier-ove transformacije dobijamo:
R(ω) =
+∞∫−∞
[f1(t) cosωt + f2(t) sinωt] dt
X(ω) =
+∞∫−∞
[f2(t) cosωt− f1(t) sinωt] dt
f1(t) =1
2π
+∞∫−∞
[R(ω) cosωt−X(ω) sinωt] dω
f2(t) =1
2π
+∞∫−∞
[R(ω) sinωt+X(ω) cosωt] dω
Kada je f(t) realan signal onda je: f(t) = f1(t); f2(t) = 0 pa imamo drugi oblik Fourier-ovih
transformacija:
F (jω) = R(ω) + jX(ω)
R(ω) =
+∞∫−∞
f(t) cosωtdt (15.715)
X(ω) = −+∞∫−∞
f(t) sinωtdt (15.716)
Relacija (15.715) predstavlja kosinusnu transformaciju a relacija (15.716) predstavlja si-
nusnu transformaciju.
f(t) = f1(t) =1
2π
+∞∫−∞
[R(ω) cosωt−X(ω) sinωt] dω
Pošto je: R(−ω) = R(ω); X(−ω) = −X(ω), onda je za realni spektar:
F ∗(jω) = F (−jω)
495
Ako je f(t) parna funkcija onda je X(ω) = 0, odnosno:
F (jω) = R(ω) =
+∞∫−∞
f(t) cosωtdt = 2
+∞∫0
f(t) cosωtdt (15.717)
Iz relacije (15.717) slijedi da je Fourier-ova transformacija realne parne funkcije realna. Ako
je f(−t) = −f(t) tj. ako je realna funkcija neparna tada je R(ω) = 0, odnosno:
F (jω) = jX(ω) = −j
+∞∫−∞
f(t) sinωtdt = −2j
+∞∫0
f(t) sinωtdt (15.718)
To znaci da je Fourier-ova transformacija realne neparne funkcije cisto imaginarna.
Primjer 8: Funkcija f(t) = 1
tje neparna funkcija. Fourier-ova transformacija je jednaka:
F (jω) = −j
+∞∫−∞
sinωt
tdt =
−jπ
jπ
ω > 0
ω < 0
To se moze napisati i na sledeci nacin:
F
1
πt
−jsgnω
Primjer 9: Odrediti Fourier-ovu transformaciju funkcije f(−t) =?
Ff(−t) =
+∞∫−∞
f(−t)e−jωtdt =
+∞∫−∞
f(t)ejωtdt = F (−jω)
pošto je F (−jω) = R(ω)− jX(ω).
Ako je f(t) realno onda vazi da je:
f(t) R(ω) + jX(ω) i f(−t) R(ω)− jX(ω).
Tada je parni dio od f(t) jednak je:
fe(t) = Ev f(t) =f(t) + f(−t)
2
dok je neparni dio funkcije f(t) jednak:
fo(t) = Oddf(t) =f(t)− f(−t)
2
Na osnovu predhodnog vazi da je: fe(t) R(ω) i fo(t) jX(ω). Ako je f(t) kauzalna
496
funkcija tj. ako je f(t) = 0 za t < 0 tada je:
f(t) = 2fe(t) = 2fo(t) za t > 0
Ako je funkcija f(t) kauzalna realna funkcija onda je ona jednoznacno odreena preko R(ω)
ili X(ω):
f(t) =2
π
∞∫0
R(ω) cosω dω = −2
π
∞∫0
X(ω) sinω dω; t > 0
Primjer 10:
e−αth(t) 1
α + jω=
α
α2 + ω2− j
ω
α2 + ω2
Primjer 11.
e−α|t| 2α
α2 + ω2
zato što je e−α|t| parni dio od funkcije 2e−αth(t).
Polazeci od drugog oblika Fourier-ove transformacije mozemo pisati:
F (jω) = R(ω) + jX(ω)
F (ω) = mod F (ω) =√R2(ω) +X2(ω)
φ(ω) = arctgX(ω)
R(ω)
gdje je F (ω) parna funkcija od ω a φ(ω) je neparna funkcija od ω. Na osnovu gornjih relacija
dolazimo do treceg oblika direktne Fourier-ove transformacije:
F (jω) = F (ω)ejφ(ω) (15.719)
Krive F (ω) i φ(ω) nazivaju se zajednickim imenom spektar ucestanosti vremenske funkcije
f(t): F (ω)− amplitudski spektar ; φ(ω)− fazni spektar. Po tome se primjena Fourier-ove trans-
formacije u elektrotehnici cesto naziva spektralnom analizom.
R(ω) = F (ω) cosφ(ω) (15.720)
X(ω) = F (ω) sinφ(ω) (15.721)
Ako relacije (15.720) i (15.721) uvrstimo u drugi oblik inverzne Fourier-ove transformacije
497
dobijamo:
f(t) =1
2π
∞∫−∞
[R(ω) cosωt−X(ω) sinωt] dω =1
π
∞∫0
[R(ω) cosωt−X(ω) sinωt] dω
f(t) =1
π
∞∫0
F (ω) [cosφ(ω) cosωt− sinφ(ω) sinωt] dω =1
π
∞∫0
F (ω) cos [φ(ω) + ωt] dω (15.722)
Relacija (15.722) predstavlja treci oblik inverzne Fourier-ove transformacije.
Osobine (svojstva) Fourier-ove transformacije
1. Linearnost
Ako je x(t)F
X(jω) i y(t)F
Y (jω) tada je:
ax(t) + by(t)F
aX(jω) + bY (jω)
Ova osobina direktno slijedi iz definicije Fourier-ove transformacije.
2. Pomak u vremenskom domenu ( )
Ako je x(t)F
X(jω) tada je:
x(t− t0)F
e−jωt0X(jω)
Dokaz:
x(t) =1
2π
∞∫−∞
X(jω)ejωtdω
Ako t zamijenimo sa t− t0 imamo:
x(t− t0) =1
2π
∞∫−∞
X(jω)ejω(t−t0)dω =1
2π
∞∫−∞
[e−jωt0X(jω)
]ejωtdω
što znaci da je:
F x(t− t0) = e−jωt0X(jω)
3. Conjugation and conugate symmetry
498
Ako je x(t)F
X(jω) tada je:
x∗(t)F
X∗(−jω)
Dokaz:
X∗(jω) =
⎡⎣ ∞∫−∞
[x(t)] e−jωtdt
⎤⎦∗ = ∞∫
−∞
x∗(t)ejωtdt
Zamjenjujuci ω sa −ω imamo:
X∗(−jω) =
∞∫−∞
x∗(t)e−jωtdt
Posledica: Ako je x(t) - realan signal (x∗(t) = x(t)) imamo:
X(−jω) = X∗(jω) (15.723)
Ova osobina se naziva conjugate symetry:
X∗(−jω) =
∞∫−∞
x∗(t)ejωtdt = X(jω)
Zamjenjujuci ω sa −ω imamo u prethodnom izrazu dobijamo relaciju 15.723.
4. Diferenciranje u vremenskom domenu
Ako je x(t)F
X(jω) tada je:dx(t)
dt
F
jωX(jω)
Dokaz:
x(t) =1
2π
∞∫−∞
X(jω)ejωtdω
Diferenciranjem prethodnog izraza po vremenu dobijamo:
dx(t)
dt=
1
2π
∞∫−∞
[jωX(jω)] ejωtdω
pa slijedi:dx(t)
dt
F
jωX(jω)
Uopštenije:dnx(t)
dtnF
(jω)nX(jω) (n = 1, 2, 3, ...) (15.724)
499
5. Time and Frequency scaling
Ako je x(t)F
X(jω) tada je:
x(at)F
1
|a|X(jω
a
)
Dokaz:
Fx(at) =
∞∫−∞
x(at)e−jωtdt
Uvodeci smjenu: at = τ , dt = dτ
adobijamo:
Fx(at) =
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
1
a
∞∫−∞
x(τ)e−j(ω
a)τdτ ; a > 0
− 1
a
∞∫−∞
x(τ)e−j(ω
a)τdτ ; a < 0
Posledica: Ako je a = −1 imamo da je:
x(−t)F
X(−jω)
6. Frequency shifting
Ako je x(t)F
X(jω) tada je:
ejωt0x(t)F
X(jω − jω0)
Dokaz:
Fejωt0x(t)
=
∞∫−∞
ejωt0x(t)e−jωtdt =
∞∫−∞
x(t)e−j(ω−ω0)tdt = X (jω − jω0)
7. Modulacija
Ako je x(t)F
X(jω) i ako su date funkcije: g1(t) = (cosω0t)x(t) i g2(t) = (sinω0t)x(t)
tada je:
g1(t) = (cosω0t)x(t)F
1
2[X (jω − jω0) +X (jω + jω0)] (15.725)
g2(t) = (sinω0t)x(t)F
1
2j[X (jω − jω0)−X (jω + jω0)] (15.726)
500
Dokaz:
g1(t) = (cosω0t)x(t) =1
2
[ejω0x(t) + e−jω0x(t)
](15.727)
g2(t) = (sinω0t)x(t) =1
2j
[ejω0x(t)− e−jω0x(t)
](15.728)
Izrazi dati relacijama (15.725) i (15.726) slijede kao posledica primjene osobina linearnosti
i pomaka u frekventnom domenu nad relacijama (15.727) i (15.728) .
8. Osobina simetrije (symmetry)
Ako je x(t)F
X(jω) tada je:
x(jt)F
2πx(−ω)
Dokaz:
x(t) =1
2π
∞∫−∞
X(jω)ejωtdω
Zamjenom ω sa y dobijamo:
x(t) =1
2π
∞∫−∞
X(jy)ejytdy
Ako sada promjenljivu t zamijenimo sa promjenljivom −ω dobijamo:
x(−ω) =1
2π
∞∫−∞
X(jy)e−jyωdy
2πx(−ω) =
∞∫−∞
X(jy)e−jyωdy
Odnosno:
x(jt)F
2πx(−ω)
Primjer 12:
e−α|t|F
2α
α2 + ω2
2α
α2 + t2F
2πe−α|ω|
501
Primjer 13:
e−ath(t)F
1
a+ jω, a > 0
1
a + jt
F
2πeaωh(−ω), a > 0
Primjer 14:
f(t) =
A − b
2< t < b
2
0 |t| > b
2
F (jω) =2A
ωsin
ωb
2
2A
tsin
bt
2
F
2πA,
0,
|ω| < b
2
|ω| > b2
8. Izvod u frekventnom domenu
Ako je x(t)F
X(jω) tada je:
tnx(t)F
(−1)ndn
d(jω)nX(jω), n = 1, 2, 3, ...
Dokaz: Diferencirajuci izraz za direktnu Fourier-ovu transformaciju:
X(jω) =
+∞∫−∞
x(t)e−jωtdt
n - puta po ω dobijamo:
X(n)(jω) =
+∞∫−∞
(−jt)nx(t)e−jωtdt
Posmatrajuci prethodni izraz slijedi da je:
(−jt)nx(t)F
X(n)(jω)
9. Teorema konvolucije u vremenskom odmenu
Ako je x1(t)F
X1(jω) i x2(t)F
X2(jω) tada je:
x1(t) ∗ x2(t)F
X1(jω)X2(jω)
502
Dokaz:
x1(t) ∗ x2(t) =∞∫−∞
x1(τ)x2(t− τ)dτ
F x1(t) ∗ x2(t) =
∞∫−∞
e−jωt
⎡⎣ ∞∫−∞
x1(τ)x2(t− τ)dτ
⎤⎦ dt
Uvodeci smjenu t = τ + y i zamjenjujuci redosled integraljenja dobijamo:
∞∫−∞
x1(τ )
∞∫−∞
e−jω(τ+y)x2(y)dydτ =
∞∫−∞
x1(τ )e−jωτdτ
∞∫−∞
x2(y)e−jωydy = X1(jω)X2(jω)
Posledica:∞∫−∞
x1(τ)x2(t− τ)dτ =1
2π
∞∫−∞
X1(jω)X2(jω)e−jωtdω
10. Konvolucija u frekventnom domenu
Ako je x1(t)F
X1(jω) i x2(t)F
X2(jω) tada je:
x1(t) ∗ x2(t)F
1
2πX1(jω) ∗X2(jω) =
1
2π
∞∫−∞
X1(jθ)X2(jω − jθ)dθ
Dokaz:
F−1
1
2πX1(jω) ∗X2(jω)
=
1
2π
∞∫−∞
1
2πejωt
⎡⎣ ∞∫−∞
X1(jθ)X2(jω − jθ)dθ
⎤⎦ dω =
=1
2π
∞∫−∞
X1(jθ)1
2π
∞∫−∞
ej(θ+z)tX2(jz)dzdθ =
=1
2π
∞∫−∞
X1(jθ)ejθtdθ
1
2π
∞∫−∞
X2(jz)ejztdz = x1(t)x2(t)
U prethodnom izrazu uvedena je smjena ω = θ + z.
Primjer 15: Signali pa(t) i qc(t) su prikazani na slici 15.329. a konvloucija signala pa(t)
je jednaka:
pa(t) ∗ pa(t) = 2aq2a(t)
dok je signal qc(t) jednak:
qc(t) =
1− |t|
c
0
|t| < c
|t| > c
503
( )a
p t
1
a− a t
( )c
q t
1
a− a tc− c
Slika 15.329:
pa(t)F
2sin (aω)
ω
2aq2a(t)F
4 sin2 (aω)
ω2
Ako uvedemo smjenu: c = 2a dobijamo da je:
qc(t)F
4 sin2
(cω
2
)cω2
Na osnovu osobine simetrije imamo da je:
2 sin2(ct
2
)πct2
F
qc(ω)
Primjer 16: Ako je:
ρ(t)F
|F (jω)|2
odrediti funkciju ρ(t) =?
|F (jω)| = F (jω) ∗ F (jω)
ρ(t) = f(t) ∗ f ∗(−t) =
∞∫−∞
f(t− τ )f∗(−τ )dτ =
∞∫−∞
f(t+ α)f ∗(α)dα
Funkcija ρ(t) se naziva autokorelacija signala f(t).
11. Prozori (Windows)
Ako je w(t) = 0 za |t| > T tada je:
Fw(jω) =
T∫−T
f(t)w(t)e−jωtdt
504
fw(t) = f(t)w(t)
W (jω) =
T∫−T
w(t)e−jωtdt
Fw(jω) =1
2π
∞∫−∞
F (jω − jy)W (jy)dy
Primjer 17:
w(t) = fT (t); W (jω) =2 sin(Tω)
ω
Fw(jω) =
T∫−T
f(t)w(t)e−jωtdt =
∞∫−∞
F (jω − jy)sin(Ty)
πydy
12. Teorema PARSEVALA
Ako je x1(t)F
X1(jω) i x2(t)F
X2(jω) tada je:
∞∫−∞
x1(t)x∗
2(t)dt =1
2π
∞∫−∞
X1(jω)X∗
2(jω)dω
Dokaz: Ako u relaciju:
∞∫−∞
f1(τ )f2(t− τ )dτ =1
2π
∞∫−∞
F1(jω)F2(jω)e−jωtdω
stavimo da je t = 0 dobijamo:
∞∫−∞
f1(τ )f2(−τ)dτ =1
2π
∞∫−∞
F1(jω)F2(jω)e−jωtdω
x1(t) = f1(t); x∗2 = f2(−t)
X1(jω) = F1(jω); X2(jω) = F ∗2 (jω)
f∗(t)F
F ∗(−jω)
12.1. Posledica: Teorema Releja (Energy Theorem)
505
Ako je x1(t) = x2(t) = x(t) iz Parsevalove teoreme slijedi da je:
∞∫−∞
|x(t)|2 dt = 1
2π
∞∫−∞
|X(jω)|2 dω
Primjer 17:sin(at)
t
F
πpa(ω)
∞∫−∞
sin2(at)
t2dt =
1
2π
a∫−a
π2dω = aπ
Primjer 18: Ako je:
f(t)F
F (jω); F (jω) = A(ω)ejϕ(ω)
tada je:∞∫−∞
t2 |f(t)|2 dt = 1
2π
∞∫−∞
[A
′
(ω)]2
+ A2(ω)[ϕ
′
(ω)]
dω
∞∫−∞
t |f(t)|2 dt = − 1
2π
∞∫−∞
A2(ω) ϕ′
(ω)dω
Fourier-ova transformacija nekih za elektrotehniku vaznih
vremenskih funkcija
1. Impulsna funkcija
Na osnovu odabiranja impulsne funkcije imamo da je:
Fδ(t) =
∞∫−∞
δ(t)e−jωtdt = 1
2. f(t) = A
Na osnovu osobine simetrije iamo da je:
δ(t)F
1
1F
2πδ(ω)
Prema tome:
AF
2πAδ(ω)
506
3. f(t) = sgn(t)
Ranije smo izveli da je:1
πt
F
−jsgnω
pa na osnovu osobine simetrije imamo da je:
sgntF
2
jω
4. f(t) = h(t)
h(t) =1
2+
1
2sgnt
F h(t) = F
1
2+
1
2sgnt
= πδ(ω) +
1
jω
h(t)F
πδ(ω) +1
jω
5. Fourier-ova transformacija integrala funkcije
t∫−∞
f(τ)dτF
πF (0)δ(ω) +F (jω)
jω
Dokaz: Ako je f(t)F
F (jω) tada je:
t∫−∞
f(τ )dτ = f(t) ∗ h(t)
F
⎧⎨⎩
t∫−∞
f(τ )dτ
⎫⎬⎭ = Ff(t) ∗ h(t) = F f(t)F h(t) = F (jω)
[πδ(ω) +
1
jω
]=
= πF (jω)δ(ω) +F (jω)
jω= πF (0)δ(ω) +
F (jω)
jω
jer je:
F (jω)δ(ω) = F (0)δ(ω)
6. f1(t) = cosω0t; f2(t) = sinω0t
507
Fcosω0t = F
1
2
(ejω0t + e−jω0t
)=
1
2Fejω0t
+
1
2Fe−jω0t
Na osnovu teorema pomaka:
δ(t− a)F
e−jaω; ejatF
2πδ(ω − a)
Imamo da je:
Fcosω0t = πδ(ω − ω0) + πδ(ω + ω0)
F sinω0t = F
1
2j
(ejω0t − e−jω0t
)=
1
2jFejω0t
− 1
2jFe−jω0t
Fsinω0t =π
j[δ(ω − ω0)− δ(ω + ω0)]
7. Posledica teoreme konvolucije (koristan identitet):
δ(t− a) ∗ f(t) = f(t− a)
8. f1(t) = (cosω0t)h(t); f2(t) = (sinω0t) h(t)
Koristeci osobinu modulacije imamo:
F(cosω0t) h(t) =1
2
[πδ(ω − ω0) +
1
j(ω − ω0)+ πδ(ω + ω0) +
1
j(ω + ω0)
]=
π
2[δ(ω − ω0) + δ(ω + ω0)] +
jω
ω20− ω2
(cosω0t)h(t)F
π
2[δ(ω − ω0) + δ(ω + ω0)] +
jω
ω20− ω2
F(sinω0t) h(t) =1
2j
[πδ(ω − ω0) +
1
j(ω − ω0)− πδ(ω + ω0)− 1
j(ω + ω0)
]=
=π
2j[δ(ω − ω0)− δ(ω + ω0)] +
ω
ω20− ω2
(sinω0t)h(t)F
π
2j[δ(ω − ω0)− δ(ω + ω0)] +
ω
ω20− ω2
9. Fourier-ova transformacija periodicne funkcije.
508
Ako je: x(t) =∞∑
k=−∞
akejkω0t tada je:
Fx(t) = X(jω) =∞∑
k=−∞
2πakδ(ω − kω0)
Dokaz: Ranije smo vidjeli da je:
ejω0tF
2πδ(ω − ω0)
10. Fourier-ova transformacija povorke impulsa.
Povorka impulsa opisana relacijom δN(t) =N∑
n=−N
δ (t+ nT ) prikazana je na slici 15.330a).
( )N tδ
T nT t t
0( )f t
t
( )Nf t
T
)a )b )c
Slika 15.330:
Kn(jω) = FδN(t) =N∑
n=−N
ejnωt =sin(N + 1
2
)ωT
sin(ωT
2
)ω0 =
2π
T
ω0
2∫−
ω0
2
Kn(jω)dω = ω0
fN(t) =N∑
n=−N
f0(t+ nT )
Funkcije f0(t) i fN(t) su prikazane na slici 15.330b) i 15.330c) respektivno. Fourier-ova trans-
formacija funkcije fN(t) je jednaka:
FN(jω) = F0(jω)KN (jω)
509
δ(t+ nT ) ∗ f0(t) = f0(t + nT )
fN(t) = δN(t)f0(t)
δN(t)F
KN(ω) N → ∞
δ(t) =∞∑
n=−∞
δ(t + nT ) δ(ω) =∞∑
n=−∞
δ(ω − nω0)
δ(t)F
ω0δ(ω)
∞∑n=−∞
δ(t− nT )F
2π
T
∞∑k=−∞
δ(ω − 2πk
T); a
k=
1
Tza svako k
Ako je funkcija f0(t) definana na sledeci nacin (slika 15.331):
f0(t) =
f(t)
0
|t| < T
2
|t| > T
2
tada je:
t
2
T−
2
T0
0( )f t
t
2
T−
2
T0
( )f t
T 3
2
TT−
Slika 15.331:
f(t) =∞∑
n=−∞
f0(t+ nT ) = δ(t) ∗ f0(t)
F (jω) = ω0 δ(ω)F0(jω) = ω0F0(jω)∞∑
n=−∞
δ(ω − nω0)
F (jω) = ω0
∞∑n=−∞
F0(jnω0)δ(ω − nω0)
510
jer je:
F0(jω)δ(ω − nω0) = F0(jnω0)δ(ω − nω0)
Veza izmeu Fourier-ove transformacije i Fourier-ovog reda
an=
1
TF0(jnω0) =
1
T
T
2∫−T
2
f(t)e−jnω0tdt
f(t) =∞∑
n=−∞
anejnω0t ω0 =
2π
T
jer je inverzna transformacija:
ω0δ(ω − nω0)F−1
ejnω0t
T
Primjer 19: Data je funkcija f0(t) = qc(t).
F0(jω) =4 sin2
(cω
2
)cω2
( )f t
1
0t
c− cT− T
Slika 15.332:
an=
ω0
2πF0(jnω0) =
2 sin2(nω0c
2
)πω0cn2
The poisson sum formula
f(t) =∞∑
n=−∞
f0(t + nT ) F (jω) =∞∑
n=−∞
F (jω + jnω1)
gdje su T i ω1 a F (jω) nije Fourier-ova transformacija finkcije f(t).
f(t) =1
T
∞∑n=−∞
F (jnω0)ejnω0t, ω0 =
2π
T(15.729)
511
Relacija (15.729) predstavlja P . Na osnovu osobine simetrije moze se
napisati:
F (jω) =2π
ω1
∞∑n=−∞
f(nT1)e−jnT1ω, T1 =
2π
ω1
ili direktno:∞∑
n=−∞
δ(ω + nω1) =1
ω1
∞∑n=−∞
e−jnT1ω
δ(ω + nω1) ∗ F (jω) =
∞∫−∞
δ(ω − y + nω1)F (jy)dy = F (ω + nω1)
e−jnT1ω ∗ F (jω) =
∞∫−∞
e−jnT1(ω−y)F (jy)dy = 2πf(nT1)e−jnT1ω
Primjer 20: Za ω = 0 i T1 = 1 imamo:
e−α|t|F
2α
α2 + ω2
∞∑n=−∞
2α
α2 + (2πn)2=
∞∑n=−∞
e−α|n|
Prelaz sa Fourier-ovog reda u kompleksnom obliku na Fourier-ovu
transformaciju
Neka je data neperiodicna funkcija: f(t) = fT (t); − T
2< t < T
2; fT (t + T ) = fT (t). Funkcija
fT (t) se naziva periodicni razvoj funkcije f(t) i obje su prikazane na slici 15.333.
t
2
T−
2
T0
0( )f t
t
2
T−
2
T0
( )f t
T 3
2
TT−
Slika 15.333:
fT (t) =∞∑
n=−∞
cnej 2πnt
T
512
cn=
1
T
T
2∫−
T
2
fT (x)e−j 2πnx
T dx
Ako T → ∞ tada fT (t) → f(t). Kada T → ∞ tada ω0 =2πT
→ 0; 2πT
→ ∆ω, tada je:
fT (t) =∞∑
n=−∞
⎡⎢⎣∆ω
2π
T
2∫−T
2
fT (x)e−j 2πnx
T dx
⎤⎥⎦ ejtn∆ω =
∞∑n=−∞
⎡⎢⎣ 1
2π
T
2∫−T
2
fT (x)e−j(x−t)n∆ωdx
⎤⎥⎦∆ω
g(ω, t) =1
2π
T
2∫−T
2
fT (x)e−jω(x−t)dx
f(t) = limT→∞(∆ω→0)
∞∑n=−∞
g(n∆ω, t)∆ω
Na osnovu fundamentalne teoreme integralnog racuna:
f(t) =
∞∫−∞
g(ω, t)dω
gdje: fT → f T → ∞ imamo:
limT→∞
g(ω, t) =1
2π
∞∫−∞
f(x)e−jω(x−t)dx
f(t) =1
2π
∞∫−∞
⎡⎣ ∞∫−∞
f(x)e−jω(x−t)dx
⎤⎦ dω (15.730)
Relacija (15.730) predstavlja Fourier-ov integral.
f(t) =1
2π
∞∫−∞
⎡⎣ ∞∫−∞
f(x)e−jωxdx
⎤⎦ ejωtdω
F (jω) =
∞∫−∞
f(t)e−jωtdt (15.731)
Relacija (15.731) predstavlja Direktnu Fourier-ovu transformaciju.
513
f(t) =1
2π
∞∫−∞
F (jω)ejωtdω (15.732)
Relacija (15.732) predstavlja Inverznu Fourier-ovu transformaciju.
Neki vazni nesvojstveni integrali - integrali sa beskonacnim grani-
cama
1.∞∫0
sinωtω
dω =
π2
−π2
t > 0
t < 0
2.∞∫0
ω sinωtα2+ω2
dω = π2e−αt
3.∞∫0
cosωtα2+ω2
dω = π2αe−αt
4.∞∫0
α sinωtω(α2+ω2)
dω = π2α
(1− e−αt)
5.∞∫−∞
cos (ωt) dω = 2πδ(t)
6.∞∫−∞
δ(ω)ejωtdω = 1; δ(t) = 12π
∞∫−∞
ejωtdω
7.∞∫−∞
ejtx
xdx =
jπ
−jπ
t > 0
t < 0;
∞∫−∞
ejtx
xdx = jπsgnnt
8.∞∫0
sinx cos axx
dx =
⎧⎪⎨⎪⎩
π2
−π4
0
|a| < 1
|a| = 1
|a| > 1
9.∞∫0
sinx√xdx =
∞∫0
cosx√xdx =
√π2
10. 12+ 1
π
∞∫0
sinωtω
dω = h(t)
11.∞∫−∞
e−st2
dt =√
πs; Re
√πs
> 0
∞∫−∞
ejβt2
dt =√
jπ
β=√
πβej
π4
514
∞∫−∞
ejs(t+c)2dt =√
πs; c = a+ jb, s = α + jβ α > 0
e−st2F
√
π
se−
ω2
4s ; Re s ≥ 0. Ako je s = α imamo: e−αt2F
√
π
αe−
ω2
4α
Dokaz:
F (jω) =∞∫−∞
e−st2
e−jωtdt
st2 + jωt = s(t+ jω
2s
)2+ ω2
4s
F (jω) = e−ω2
4s
∞∫−∞
e−s(t+jω
2s )2
dt =√
π
se−
ω2
4s
12.∞∫0
cos axx
dx = ∞ (α = 0, a− proizvoljno)
13.∞∫0
tanax
xdx =
π2
−π
2
a > 0
a < 0
14.∞∫0
sin2 axx
dx = π2|a|
15.∞∫−∞
sinx2dx =∞∫0
cosx2dx =√
π
2
16.∞∫0
cos ax−cos bxx
dx = ln b
a(a, b > 0)
17.∞∫0
sinx cos axx
dx =
⎧⎪⎨⎪⎩
π
2
π4
0
|a| < 1
|a| = 1
|a| > 1
18.∞∫0
x sinax
x2+b2dx = π
2e−|ab|sgna
19.∞∫0
cos ax
1+x2dx = π
2e−|a|
Odreeni integrali sa beskonacnim granicama poimaju se u smislu “uslovne vrijednosti”
tj.
limp→∞q→∞
+q∫−p
f(x)dx =
∞∫−∞
f(x)dx
kada p = q → ∞.
LAPLACE-ova transformacija -
matematicki dio
Nesvojstveni integral:
F (s) =
∞∫0
f(t)e−stdt (15.733)
gdje je s = σ + jω naziva se direktna Laplace-ova transformacija, a integral:
f(t) =1
2πj
σ+jω∫σ−jω
F (s)estds (15.734)
inverzna Laplace-ova transformacija.
|f(t)| < Meσ0t
Re s = σ > σ0
Konstante M i σ0 su realne i pozitivne. Lapalce-ova transformacija se oznacava na sledeci
nacin:
F (s) = Lf(t)
ili
f(t)L
F (s)
Inverzna Laplace-ova transformacija se oznacava na sledeci nacin:
f(t) = L−1 F (s)
f(t) =∑
Ressk
F (s)est (t > 0)
gdje su sa sk - polovi funkcije F (s).
515
516
Primjer 1: Odrediti Laplace-ovu transformaciju funkcije f(t) = e−ath(t).
F (s) =
∞∫0
e−ate−stdt = − 1
s + ae−(s+a)t
∣∣∣∣∞0
=1
s + a
Le−ath(t) = 1s+a
jer je Re s = σ > −a pa je integral za gornju granicu jednak nuli.
Osnovna svojstva Laplace-ove transformacije
1. Svojstvo linearnosti
Ako je Lf1(t) = F1(s) i Lf2(t) = F2(s) onda je:
Lc1f1(t) + c2f2(t) = c1F1(s) + c2F2(s)
c1f1(t) + c2f2(t) = c1L−1 F1(s)+ c2L
−1 F2(s)
2. Teorema pomaka
Ako je Lf(t) = F (s) tada je:
Le−atf(t)
= F (s+ a)
3. Teorema kašnjenja
Ako je Lf(t) = F (s) tada je:
Lf(t− τ )h(t− τ) = e−sτF (s)
4. Teorema skaliranja
Ako je Lf(t) = F (s) tada je:
Lf(ct) =1
cF(sc
)c > 0
5. Diferenciranje u vremenskom domenu
Ako je Lf(t) = F (s) tada je:
L
df(t)
dt
= sF (s)− f(0)
517
Lf (n)(t)
= L
dnf(t)
dtn
= snF (s)−
n∑k=1
f (k−1)(t)s(n−k)
6. Integracija u vremenskom domenu
Ako je Lf(t) = F (s) tada je:
L
⎧⎨⎩
t∫0
f(t)dt
⎫⎬⎭ =
F (s)
s
L
⎧⎨⎩
t∫0
· · ·t∫0
f(t) (dt)n
⎫⎬⎭ =
F (s)
sn
7. Integracija u kompleksnom domenu
Ako je Lf(t) = F (s) tada je:
L
f(t)
t
=
∞∫s
F (s)ds
8. Diferenciranje po parametru
Ako je Lf(t) = F (s) tada je:
L
∂
∂xf(t, x)
=
∂
∂xF (s, x)
9. Integracija po parametru
Ako je Lf(t) = F (s) tada je:
L
⎧⎨⎩
x∫x0
f(t, x)dx
⎫⎬⎭ =
x∫x0
F (s, x)dx
10. Konvolucija
Ako je Lf(t) = F (s) i Lg(t) = G(s) tada je:
Lf(t) ∗ g(t) = F (s)G(s)
L
⎧⎨⎩
t∫0
f(τ)g(t− τ )dτ
⎫⎬⎭ = F (s)G(s)
518
L−1 F (s)G(s) =
t∫0
f(τ )g(t− τ)dτ
Dokaz:
F (s) =
∞∫0
f(τ )e−stdτ
F (s)G(s) =
∞∫0
f(τ )[G(s)e−st
]dτ
F (s)G(s) =
∞∫0
f(τ)Lg(t− τ )h(t− τ)e−stdt
dτ =
∞∫0
f(τ)
⎡⎣∞∫
0
g(t− τ )h(t− τ)e−stdt
⎤⎦ dτ
Kako je h(t− τ) = 0 za τ > t dobijamo:
F (s)G(s) =
∞∫0
e−st
⎡⎣ t∫
0
f(τ)g(t− τ )dτ
⎤⎦ dt
iz cega slijedi da je:
F (s)G(s) = L
⎡⎣ t∫
0
f(τ )g(t− τ)dτ
⎤⎦
11. Diferenciranje u kompleksnom domenu
Ako je Lf(t) = F (s) tada je:
Ltnf(t) = (−1)ndnF (s)
dsn; n = 0, 1, 2, 3, ...
12. Laplace-ova transformacija periodicne funkcije
Ako je Lf(t) = F (s) i f(t+ T ) = f(t) tada je:
Lf(t) =
T∫0
e−stf(t)dt
1− e−sT
Ako je f(t) = p(t), 0 < t < T , p(t) = f(t) [h(t)− h(t− T )] i f(t+ T ) = f(t) imamo:
Lf(t) =Lp(t)1− e−sT
13. Teoreme o granicnim vrijednostima
519
Ako je funkcija f(t) neprekidna i kada u tacki t = 0 ima konacni diskontinuitet onda vazi:
limt→0
f(t) = lims→∞
sF (s)
Ako egistira limt→∞
f(t) < ∞ onda vazi:
limt→∞
f(t) = lims→0
sF (s)
Dokazi:
Dokaz za prvu teoremu:
Lf
′
(t)=
∞∫0−
f ′(t)e−stdt = sF (s)− f(0−)
Ako je f(t) neprekidna u t = 0 odnosno f(0+) = f(0−) onda imamo:
lims→∞
∞∫0−
f ′(t)e−stdt =
∞∫0−
f ′(t)[lims→∞
e−st]dt = 0 = lim
s→∞sF (s)− f(0−)
lims→∞
sF (s) = f(0−) = f(0+)
Ako f(t) ima konacni diskontinuitet u t = 0 onda mozemo pisati: f(t) = g(t) + Ah(t)
gdje za funkciju g(t) vazi g(0+) = g(0−) i za t < 0 f(t) = g(t). Onda je f(0−) = g(0−) i
A(0+) = g(0+) + A, odnosno:
A = f(0+)− g(0+) = f(0+)− g(0−) = f(0+)− f(0−)
sF (s) = sG(s) + A
lims→∞
sF (s) = lims→∞
sG(s) + A = g(0+) + A = f(0+)
Dokaz za drugu teoremu:
lims→0
sF (s)− f(0−) =
∞∫0−
f ′(t)dt = limt→∞
f(t)− f(0−)
iz cega slijedi da je:
limt→∞
f(t) = lims→0
sF (s)
Na sledecim primjerima cemo ispitati da li vaze ili ne teoreme o granicnim vrijednostima.
520
Primjer 2:
F (s) =4(s+ 1)
s2 + 2s+ 5
f(0+) = lims→∞
sF (s) = lims→∞
4s(s+ 1)
s2 + 2s + 1= 4
f(t) = L−1 F (s) = 4e−t cos 2t
f(0+) = 4
Primjer 3:
f(t) = δ(t) + 4e−t
F (s) = 1 +4
s+ 1=
s+ 5
s+ 4
lims→∞
sF (s) = lims→∞
s(s+ 5)
s+ 4= ∞
f(0+) = 4
Teorema ne vazi jer funkcija f(t) u tacki t = 0 nema konacni diskontinuitet vec beskonacni.
Primjer 4:
F (s) =5s+ 2
s(s+ 1)
lims→0
sF (s) = 2
f(t) = 2h(t) + 3e−t
limt→∞
f(t) = 2
Teorema vazi.
Primjer 5:
F (s) =1
s− 1
lims→0
sF (s) = 0
f(t) = et
521
limt→∞
f(t) = ∞
Teorema ne vazi.
14. Konvolucija u kompleksnom domenu
Lf(t)g(t) =1
2πjF (s) ∗G(s)
F (s) ∗G(s) =
σ+jω∫σ−jω
F (z)G(s− z)dz =
σ+jω∫σ−jω
F (s− z)G(z)dz
Dokaz: Po definiciji je:
f(t)g(t) =
⎡⎣ 1
2πj
σ+jω∫σ−jω
F (z)eztdz
⎤⎦ g(t) = 1
2πj
σ+jω∫σ−jω
F (z) eztg(t)︸ ︷︷ ︸L−1G(s−z)
dz
f(t)g(t) =1
2πj
σ+jω∫σ−jω
F (z)[L−1 G(s− z)] dz = L−1
⎧⎨⎩ 1
2πj
σ+jω∫σ−jω
F (z)G(s− z)dz
⎫⎬⎭
f(t)g(t) = L−1
1
2πjF (s) ∗G(s)
15. Inverzna Laplace-ova transformacija racionalnih funkcija
H : Ako je data funkcija F (s) oblika:
F (s) =A(s)
B(s)=
amsm + am−1s
m−1 + · · ·+ a1s+ a0bnsn + bn−1sn−1 + · · ·+ b1s+ b0
i ako je m < n, a sk su prosti korjeni polinoma B(s) = 0 onda je funkcija f(t) :
f(t) = L−1 F (s) =n∑
k=1
A(sk)
B(sk)eskt
za t > 0. Ako B(s) = 0 ima korjen s = 0 tj. B(s) = sB1(s) onda je funkcija f(t) jednaka:
f(t) = L−1 F (s) =A(0)
B1(0)+
n∑k=2
A(sk)
B(sk)eskt
522
za t > 0. Ako B(s) = 0 ima višestruke korjene tj: B(s) = bn(s−s1)k1(s−s2)
k2 · · · (s−sl)kl
gdje je k1 + k2 + · · · kl = n tada je:
f(t) = L−1 F (s) =l∑
i=1
1
(kl − 1)!lims→si
dki−1
dski−1[(s− si)
kiF (s)est]
16. Rezidijum
f(t) =∑
Ressk
F (s)est t > 0
Ako se funkcija F (s) moze zapisati u obliku pravog razlomka tj:
F (s) =F1(s)
F2(s)
i ako je pol sk reda m imamo:
Ressk
F1(s)
F2(s)est =
1
(m− 1)!
[dm−1
dsm−1F1(s)
F2(s)(s− sk)
mest]s=sk
Ressk
F1(s)
F2(s)est = eskt
m∑i=1
t(m−i)A(i−1)(sk)
(m− i)!(i− 1)!
Posledica: Ako funkcija F (s) u imeniocu ima faktor (s+ a)n onda je:
F (s) =An
(s+ a)n+
An−1
(s+ a)n−1+ · · ·+ A1
s+ a+ F1(s)
Ak =1
(n− k)!
dn−k
dsn−k[(s+ a)nF (s)]
s=−a
Ako funkcija F (s) sadrzi kompleksne korjene oni se uvijek javljaju u kompleksnim parovima
s = α± jβ:
F (s) =A
s− α− jβ+
B
s− α + jβ
A = (s− α− jβ)F (s)|s=α+jβ
B = (s− α + jβ)F (s)|s=α−jβ
B = A∗
f(t) = Ae(α+jβ)t + A∗e(α−jβ)t
523
A = |A| ejθ
f(t) = 2ReAe(α+jβ)t
= 2Re
|A| eαtej(βt+θ)= 2 |A| eαt cos(βt + θ)
Drugi nacin nalazenja invrerzne Laplace-ove transformacije (originala) pri postojanju višestrukih
polova sk koji ne zahtijeva diferenciranje, sastoji se u razvoju racionalno-razlomljene funkcije
na djelimicne (parcijalne) proste razlomke po poznatim metodama. Za prelaz od prostih
razlomaka ka originalu koriste se relacije:
1
(s− sk)iL
1
(i− 1)!ti−1eskt
Za razvoj F1(s)F2(s)
na djelimicne razlomke pri postojanju m− to strukog pola sk moze se koristiti
formula:F1(s)
F2(s)=
m∑i=1
Ki
(s− sk)i
Ki =1
(m− 1)!A(m−i)(sk)
što dovodi do ranije naveden formule.
Primjer 6: Primjenom inverzne Laplace-ove transformacije odrediti funkciju f(t) ako je
F (s) jednako:
F (s) =6
s4(s + 1)
Znamo da je:
Ltn =1
snLn! =
n!
sn+1; n = 1, 2, 3, ...
Razvojem funkcije F (s) na parcijalne razlomke dobijamo:
F (s) =A
s4+
B
s3+
C
s2+
D
s+
E
s+ 1
ili putem “ ” za realne polove višeg reda:
F (s) =6
s4
[1
s+ 1
]=
6
s4
[1− s+ s2 − s3 +
s4
s+ 1
]=
6
s4− 6
s3+
6
s2− 6
s+
6
s+ 1
F (s) =3!
s4− 3
2!
s3+ 6
1!
s2− 6
s+
6
s+ 1
f(t) = L−1 F (s) = t3 − 3t2 + 6t− 6 + 6e−t
524
Primjer 7:F (s)
G(s)=
ω3
(s2 + ω2)2=
ω3
(s+ jω)2(s− jω)2
Polovi su: s1 = jω i s2 = −jω. Za nalazenje inverzne Laplace-ove transformacije funkcije
koja ima višestruke polove (p > 1) koristimo:
L−1F (s)
G(s)
=
l=p∑l=1
K l
tp−l
(p− l)!es1t +
l=p∑l=1
K ′
l
tp−l
(p− l)!es2t
K l = lims→s1
1
(l − 1)!
dl−1
dsl−1
[(s− s1)
pF (s)
G(s)
]l = 1, 2, ..., p
K ′
l = lims→s2
1
(l − 1)!
dl−1
dsl−1
[(s− s2)
pF (s)
G(s)
]l = 1, 2, ..., p
K1= −ω
4; K
2=
1
j4
K ′
1= −ω
4; K ′
2= − 1
j4
L−1F (s)
G(s)
= −ω
4tejωt +
1
j4ejωt − ω
4te−jωt − 1
j4e−jωt = −ωt
2cosωt +
1
2sinωt
VAZNA NAPOMENA: Ako egzistira Fourier-ova transformacija funkcije f(t)F
F (jω)
onda sigurno egistira i Laplace-ova transformacija f(t)L
F (s) jer su uslovi egzitencije Fourier-
ove transformacije rigorozniji od uslova za egzitenciju Laplace-ove transformacije. Obrnuto
ne vazi. Laplace-ova transformacija je u velikoj upotrebi za analizu elektricnih kola. Postoje
bogato uraene tablice za parove Laplace-ovih transformacija. Mnogi autori kazu da se one
mogu koristiti i za odreivanje Fourier-ove transformacije zamjenjujuci s → jω. Na primjer:
Lh(t) =1
s
F h(t) =1
jω
to je pogrešno jer znamo da je Fourier-ova transformacija funkcije h(t) jednaka:
Fh(t) = πδ(ω) +1
jω
525
Pravilno je:
Fh(t) = F (jω) = Lh(t)s=jω +1
2
∑k
Ressk
F (s) 2πδ(ω − ωk)
Recommended