Tổ Toán trường THPT Đông Hà

T Toán trng THPT ông Hà1
LI GII THIU
Trong chng trình Toán THPT, chng trình lp 12, hc sinh c hoàn thin hiu bit ca mình v các
tp hp s thông qua vic cung cp mt tp hp s, gi là S phc. Trong chng này, hc sinh ã bc u
làm quen vi các phép toán cng, tr, nhân, chia, ly mô un, …các s phc. Trong k thi THPT Quc gia
nhng nm gn ây, chng s phc ra trong thi trc nghim có 5 câu trong ó có 1 câu nhn bit, 2 câu
thông hiu, 1 câu vn dng thp, 1 câu vn dng cao. Trong ó cc tr s phc thng c ra ch yu trong
phn vn dng cao. Trong chuyên này t toán trng ông Hà tp trung khai thác v cc tr modun s
phc, vn dng linh hot các phng pháp nh dùng Bt ng thc, dùng Kho sát hàm s, phng pháp
lng giác hóa, dùng phng pháp hình hc … gii quyt bài toán. ng thi a ra mt s cách sáng to
các bài toán cc tr cùng h thng câu hi trc nghim cho tng ng c th. Hy vng chuyên này giúp
hc sinh c bit hc sinh gii gii quyt c câu vn dng trong thi THPT Quc gia.
MC LC
1. Các bài toán có tp hp các s phc tha mãn bài là ng thng
1.1. Nhn dng
1.2. Phng pháp
1.3. Bài tp minh ho
1.4. Bài tp tng t
2. Các bài toán có tp hp các s phc tha mãn bài là mt ng tròn.
2.1. Nhn dng
2.2. Phng pháp
2.3. Bài tp minh ha
3. Các bài toán có tp hp các s phc tha mãn bài là mt ng Elip.
3.1. Nhn dng
3.2. Phng pháp
3.3. Bài tp minh ha
4. Các bài toán có tp hp các s phc tha mãn bài là hai ng tròn.
4.1. Nhn dng
4.2. Phng pháp
4.3. Bài tp minh ho
5. Các bài toán có tp hp các s phc tha mãn bài là mt ng tròn và mt ng thng.
5.1. Nhn dng
5.2. Phng pháp
6. Sáng to bài toán cc tr môun s phc.
7. Câu hi trc nghim khách quan.
8. Hng dn gii câu hi trc nghim khách quan.
T Toán trng THPT ông Hà
2
MT S BÀI TOÁN THNG GP V GIÁ TR LN NHT,
GIÁ TR NH NHT CA MÔUN S PHC
1. Các bài toán có tp hp các s phc tha mãn bài là ng thng
1.1. Nhn dng
Bài toán: Trong các s phc z tho mãn iu kin z a bi z c di . Tìm s phc z biu
thc ( )P z p qi t giá tr nh nht.
1.2. Phng pháp
Phng pháp i s
Bc 1. T iu kin T, bin i tìm cách rút n ri th vào biu thc P c hàm mt bin
Bc 2. Tìm giá tr nh nht hàm s mt bin va tìm c.
Phng pháp hình hc.
Bc 1. Tìm phng trình ng thng là biu din hình hc ca tp hp các s phc.
Bc 2. S phc z tha mãn ( )P z a bi t giá tr nh nht c biu din bi im M là hình
chiu vuông góc ca im ;I a b trên và giá tr nh nht ca P là ,P d I .
1.3. Bài tp minh ho
Bài 1: Trong các s phc z tho mãn iu kin 1 5 3z i z i , tìm s phc có môun nh nht
Li gii:
Cách 1: Phng pháp i s
Gi ;z x yi x y
2 2 2 21 5 3 ( 1) ( 5) ( 3) ( 1)z i z i x y x y
3 4 0 4 3x y x y
2
2 2 2 2 2 6 8 2 10 (4 3 ) 10 24 16 10


5 5 y x
Vy z t giá tr nh nht bng 2 10
5 khi
2 6
Cách 2: Phng pháp hình hc.
Gi ;z x yi x y
2 2 2 21 5 3 ( 1) ( 5) ( 3) ( 1)z i z i x y x y
3 4 0 x y d
T Toán trng THPT ông Hà
3
S phc z tha mãn z t giá tr nh nht c biu din bi im M là hình chiu vuông góc ca gc O
trên (d). Gi (d’) là ng thng i qua gc O và vuông góc vi (d). Khi ó d ct (d’) ti 2 6
; 5 5
ta có 2 6
5 5 z i .
Nhn xét: Nu bài ch yêu cu tìm giá tr nh nht ca z thì ta tính nh sau: z t giá tr nh nht
bng khong cách t gc O n ng thng d và bng 2 2
0 3.0 4 2 10 ,
51 3 d O d


Bài 2: Cho s phc z tha mãn 1 3z i z i . Tính môun nh nht ca s phc z i .
Li gii
Cách 1: Phng pháp i s
Gi ; ; z x yi x y có im ;M x y biu din z trên mt phng ta .
T gi thit 1 3z i z i suy ra : 2 4 7 0 1M x y .
7
Ta có: 2
2 22 27 53 3 5 1 1 2 1 5 16




Cách 2: Phng pháp hình hc.
Gi ; ; z x yi x y có im ;M x y biu din z trên mt phng ta .
T gi thit 1 3z i z i , suy ra : 2 4 7 0M x y .
im 0;1I biu din z i trên mt phng ta , z i là khong cách t im I n im M. Vy
min 2 2

.
Chúng ta cng có th gp mt s bài toán phc tp hn. Sau ây là mt ví d nh th.
Bài 3: Trong các s phc z có phn thc, phn o không âm và tho mãn:
3 1
1 2
. Tìm s phc z sao cho biu thc
2 2 2 2 2 (1 ) (1 )P z z i z z z i z i t giá tr
ln nht, nh nht.
Gi *;z x yi x y
33 1 1 3 1 2
1 2 1 2
zz z z i
z i z i


2 2 2 2( 3) ( 1) ( 2) 1x y x y x y
T Toán trng THPT ông Hà
4
(luôn tho mãn iu kin vì 1; 2x y không tho mãn phng trình)
2 2 2 24 . 4z x yi z z xy i z z xy (vì ;x y không âm)
2 2 2 2. 4 4z z i xy z z xy
(1 ) (1 ) 2 2z i z i x y
Do ó 2 2 2 216 4 .(2 2 ) 16 8P x y xy x y x y xy
t



Xét hàm s 2( ) 16 8f t t t liên tc trên
1 0;
4 f t t t f t t t (loi)
1 0;
4 16 16 4 2
0; 1 min ( ) 0 0
1; 0
x y f t t
x y






Vy P t giá tr ln nht bng 33 1 1
khi 16 2 2
z i
P t giá tr nh nht bng 0 khi 1z z i
Nhn xét: Bài tp này cng có th gii c bng cách rút 1y x và th vào biu thc P ta c hàm s
2 2( ) 16 (1 ) 8 (1 )g x x x x x ri i tìm giá tr ln nht, giá tr nh nht ca hàm s ( )g x trên 0;1
1.4. Bài tp tng t
Bài 1: Cho s phc z tho mãn (2 )( )z i z là mt s o, tìm s phc có môun nh nht
Bài 2: Trong các s phc z tho mãn (1 ) (1 )i z i z . Tìm s phc sao cho biu thc
2
2
3
t giá tr nh nht, ln nht.
Bài 3: Trong các s phc z tho mãn 2 4 2z i z i . Tìm s phc có môun nh nht.
Bài 4: Trong các s phc z tho mãn 2 2z i z z i . Tìm s phc z sao cho biu thc
4
t giá tr nh nht
2. Các bài toán có tp hp các s phc tha mãn bài là mt ng tròn.
2.1. Nhn dng
Bài toán: Trong các s phc z tho mãn iu kin 0z a bi R R , (hoc
0 1z z a bi z z c di vi 0 1, z z là hai s phc cho trc và 0 1z z ). Tìm s phc z biu thc
( )P z p qi t giá tr nh nht, ln nht.
T Toán trng THPT ông Hà
5
Thng áp dng mt trong các phng pháp sau ây:
Áp dng bt ng thc v môun: ' ' 'z z z z z z , du ' ' khi 'z kz
' ' 0, ' ' 0. z z z z khi k z z z z khi k
Áp dng bt ng thc Bunhia- Cpxki: Cho 2 cp s , ; ,a b x y , ta luôn có:
2 2 2 2.ax by a b x y
Lng giác hóa: Nu x, y tha mãn phng trình 2 2 2( ) ( )x a y b R thì luôn tn ti t R
tha mãn sin
S dng bt ng thc vect.
u v u v . ng thc xy ra khi ,u v cùng hng.
u v u v . ng thc xy ra khi ,u v ngc hng.
S dng kho sát hàm s.
S dng bt ng thc hình hc.
S dng phng pháp hình hc. C s ca phng pháp hình hc là bài toán sau:
Bài toán 1: Cho ng tròn ( )T c nh có tâm I bán kính R và im A c nh. im M di ng
trên ng tròn ( )T . Hãy xác nh v trí im M sao cho AM ln nht, nh nht.
Li gii:
TH1: A thuc ng tròn (T)
Ta có: AM t giá tr nh nht bng 0 khi M trùng vi A
AM t giá tr ln nht bng 2R khi M là im i xng vi A qua I
TH2: A không thuc ng tròn (T)
Gi B, C là giao im ca ng thng AI và ng tròn (T); gi s AB < AC
+) Nu A nm ngoài ng tròn (T) thì vi im M bt kì trên (T), ta có:
AM AI IM AI IB AB . ng thc xy ra khi M B
AM AI IM AI IC AC . ng thc xy ra khi M C
+) Nu A nm trong ng tròn (T) thì vi im M bt kì trên (T), ta có:
AM IM IA IB IA AB . ng thc xy ra khi M B
AM AI IM AI IC AC . ng thc xy ra khi M C
Vy khi M trùng vi B thì AM t giá tr nh nht.
Vy khi M trùng vi C thì AM t giá tr ln nht.
2.3. Bài tp minh ha:
Bài 1: Trong các s phc z tho mãn 3 4 4z i . Tìm giá tr ln nht, giá tr nh nht ca z
Li gii:
Cách 1: Áp dng bt ng thc v môun:
3 4 3 4 4z i z i 5 4 4 5 4 1 9z z z
(Du bng xy ra khi 3 4z k i )
Vy z nh nht bng 1; z ln nht bng 9.
T Toán trng THPT ông Hà
6
Cách 2: Phng pháp lng giác hóa.
Gi ;z x yi x y ( ; )M x y biu din cho s phc z trong h to Oxy
2 2 2 23 4 4 ( 3) ( 4) 4 ( 3) ( 4) 16z i x y x y
t 3 4sin 3 4sin
4 4cos 4 4cos
x t x t
y t y t


Suy ra 2 22 2 3 4sin 4 4cos 25 24sin 32cos 16z x y t t t t
Do ó
24 32 24sin 32cos 24 32
40 4sin 32cos 40
1 25 40 16 25 24sin 32cos 16 25 40 16 9 1 9
z x y t t t t
t t
t t




Vy z nh nht bng 1; z ln nht bng 9.
Cách 3: S dng bt ng thc hình hc
Gi ;z x yi x y ( ; )M x y biu din cho s phc z trong h to Oxy
3 4i (3; 4)A biu din cho s phc
; 5;z OM OA z AM ; 3 4 4 4 4z i z AM
Ta có: 4 4 4 4 1 9OM OA AM OM OA OA OM OA OM
1 9z ;
Vy z nh nht bng 1; z ln nht bng 9.
Cách 4: Phng pháp hình hc.
Gi ;z x yi x y ( ; )M x y biu din cho s phc z trong h to Oxy
2 2 2 23 4 4 ( 3) ( 4) 4 ( 3) ( 4) 16z i x y x y
Vy im M biu din cho s phc z thuc ng tròn (T) có tâm (3; 4)I , bán kính R = 4.
2 2z x y OM ; 5OI R nên O nm ngoài ng tròn (T)
z ln nht , nh nht khi OM ln nht, nh nht. (Bài toán qui v Bài toán 1- Trng hp 2)
Ta có: 1 9OI R OM OI R
Vy z nh nht bng 1, z ln nht bng 9.
Chú ý:
Nu bài yêu cu tìm z z nh nht, z ln nht thì ta thc hin tip nh sau:
ng thng OI ct ng tròn (T) ti hai im phân bit 3 4 27 36
; ; ; 1; 9 5 5 5 5
A B OA OB

Vi M di ng trên (T), ta có: 1 9OA OM OB OM 1 9z
T Toán trng THPT ông Hà
7
OM nh nht khi M trùng vi A; OM ln nht khi M trùng vi B
Vy z nh nht bng 1 khi 3 4
5 5 z i ; z ln nht bng 9 khi
27 36
Ghi nh:
Cho s phc z tha mãn 0 z a bi R , khi ó ta có qu tích các im biu din s phc z là ng
tròn , ,bk RI a b và
2 2
2 2
z OI R a b R
z OI R a b R
Ngoài ra, ta luôn có công thc bin i z a bi z a bi
Bài 2: Trong các s phc z tho mãn iu kin ( 2 4 )z z i là mt s o, tìm s phc z sao
cho 1z i có môun ln nht
Li gii:
Phng pháp hình hc.
Gi ;z x yi x y ( ; )M x y biu din cho s phc z trong h to Oxy
( 2 4 ) ( ) ( 2) ( 4) ( 2) ( 4) ( 4) ( 2)z z i x yi x y i x x y y x y y x i
( 2 4 )z z i là mt s o
2 2 2 2( 2) ( 4) 0 2 4 0 ( 1) ( 2) 5x x y y x y x y x y
M biu din cho z thuc ng tròn (T) có tâm ( 1;2)I , bán kính 5R
2 21 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)z i x y i x y AM vi (1;1)A
5 ( )IA A T (Bài toán c qui v Bài toán 1 - trng hp 1)
Vì M là im di ng trên (T) nên AM ln nht AM là ng kính ca (T)
M i xng vi A qua I I là trung dim ca AM ( 3;3) 3 3 4 2M z i i
Vy ln nht bng 2 5 khi 3 3z i
Bài 3: Cho các s phc z , w tha mãn 5z , 4 3 1 2w i z i . Giá tr nh nht ca w là :
Li gii
4 3 1 2 4 3
w i w i z i z
i
w i z w i
i

.
Vy tp hp im biu din s phc w là ng tròn tâm 1; 2I và bán kính 5 5 .
Do ó min 4 5w R OI .
Bài 4: Cho s phc 0z tha mãn 2z . Tìm tng giá tr ln nht và giá tr nh nht ca biu thc
z i P
8
Ta có: 1 1
1 1 1 1 1 1 i i i i
z z z z z z . Mt khác
1 1 2
2 2 P , khi
2z thì ng thc xy ra. Suy ra giá tr ln nht và giá tr nh nht ln lt là 3 1
, 2 2
.
Vy tng giá tr ln nht và giá tr nh nht ca biu thc P là 2 .
Bài 5: Trong các s phc z có môun bng 2 2 . Tìm s phc z sao cho biu thc 1P z z i t
giá tr ln nht
Phng pháp áp dng bt ng thc Bunhia-côpxki.
2 2 2 22 2 2 2 8z x y x y
2 2 2 21 ( 1) ( 1)P z z i x y x y
Áp dng bt ng thc Bunhia-côpxki cho hai b s
1;1 và 2 2 2 2( 1) ; ( 1)x y x y , ta có:
2 2 2 2 22 ( 1) ( 1) 4(9 )P x y x y x y
Áp dng bt ng thc Bunhia-cpxki cho hai b s 1;1 và ;x y , ta có:
2 22 4x y x y
2 52 2 13P P . ng thc xy ra khi 2x y
Vy P t giá tr ln nht bng 2 13 khi 2 2z i
Bài 6: Trong các s phc z có môun bng 2 . Tìm s phc z sao cho biu thc 1 1 7P z z i
t giá tr ln nht
Li gii:
Gi ;z x yi x y
2 2 2 22 2 4z x y x y
2 2 2 21 1 7 ( 1) ( 1) ( 7)P z z i x y x y
Xét 1; , 1 ; 7 0; 7u x y v x y u v . Khi ó:
7P u v u v . ng thc xy ra khi ,u v cùng hng
( 1)( 7 ) (1 ) 1x y y x x
1 3x y
Vi 1; 3x y thì ,u v ngc hng (không tho mãn)
Vi 1; 3x y thì ,u v cùng hng (tho mãn)
Vy 1 3z i thì P t giá tr nh nht bng 7
T Toán trng THPT ông Hà
9
Bài 7: Cho s phc z tha mãn 1z . Tìm giá tr ln nht max
M và giá tr nh nht min
M ca biu thc
Li gii:
Ta có: 2 3
1 5 5. z M M
Mt khác:
3 1 1 1 1 1
1 1, 2 2 21


z khi
min 1 1 1. z M M
Bài 8: Cho s phc z tha mãn 1z . Tìm giá tr ln nht ca biu thc 1 3 1 . P z z
Li gii:
Cách 1: Phng pháp kho sát hàm s.
Gi ; ; z x yi x y . Ta có: 2 2 2 21 1 1 1;1 . z x y y x x
Ta có: 2 22 21 3 1 1 3 1 2 1 3 2 1 P z z x y x y x x .
Xét hàm s 2 1 3 2 1 ; 1;1 . f x x x x Hàm s liên tc trên 1;1 và vi 1;1 x ta
có:

Ta có: max
5
cos
x t z x yi
y t . Thay vào P ri dùng mode 7 ri i chiu vi áp án.
Bài 9: Cho s phc z tha mãn 2.z i Bit biu thc 3 2 4z i z i T t giá tr nh nht khi
, .z a bi a b Tính hiu a b .
Hng dn gii
Phân tích: Khai thác kt lun: Bit biu thc 3 2 4z i z i T t giá tr nh nht. Ta phi “cân h
s” (làm xut hin tha s 2 trc biu thc 3z i ) trc khi áp dng bt ng thc Min-cp-xki hoc bt
ng thc tam giác.
Hng 1: t z x yi ( ,x y ). Ta có 2z i 22 1 4x y , t ó :
223 3z i x y
2 22 23 3 1 4 2
4
x y x y 2 22 x y .
2 22 2T 2 4 1x y x y 2 2
2 4 1 2 17x x y y .
ng thc xy ra khi và ch khi



10
Hng 2: t u z i , khi ó 2u ; 4
4 4 2 4
u i ;
T= 4 2 4u i u 2 4 2 4 2 17u i u u i u .
ng thc xy ra khi và ch khi
, 0
4
2
1 1

.
Chú ý: Vi u, v là hai s phc khác 0, ta luôn có công thc v u
u v u v u v

Bài 10: Cho s phc z tha mãn 1 5z i . Bit biu thc 2 8 7 9T z i z i t giá tr ln nht
khi , .z x yi x y Tính hiu 2x y .
Hng dn gii
t 1u z i , khi ó: 5u ; 2 8 7 9 2 1 7 6 8z i z i u i u i T .
Ta có 6 8
u i

2 i u u i .
ng thc xy ra khi và ch khi
, 0
u

.
T 4 3 5 2u i z i .Vy 2 9x y .
3. Các bài toán có tp hp các s phc tha mãn bài là mt ng Elip.
3.1. Nhn dng
Bài toán: Trong các s phc z tho mãn iu kin ' ' 2z m ni z m n i a . Tìm s phc z
biu thc ( )P z p qi t giá tr nh nht, ln nht.
3.2. Phng pháp
Phng pháp i s: S dng các bt ng thc.
Phng pháp hình hc:
Ta xét trng hp n gin. Tp hp các s phc z tha mãn 2z c z c a là ng Elip (E) có
2 tiêu im 1 2;0 , ;0F c F c trc ln 1 2 2A A a , trc bé 1 2 2B B b trong ó 1 2 2 2F F c a . Khi ó s
phc z tha mãn iu kin trên c biu din bi im M thuc (E). Ta có 1 1OB OM OA hay b z a
3.3. Bài tp minh ha
Bài 1: Trong các s phc z tho mãn iu kin 3 3 10z z . Tìm s phc z có môun ln nht
Li gii:
11
Gi ;z x yi x y ( ; )M x y biu din cho s phc z trong h to Oxy
2 2 2 2
1 23 3 10 ( 3) ( 3) 10 10z z x y x y MF MF ;
(vi 1 2( 3;0); (3;0)F F )
( )M E có tâm O, trc ln bng 10; tiêu c bng 6
2 2
x y M E
;z OM OM ln nht 5 (5;0) ( 5;0)OM a M M
Vy z ln nht bng 5 khi 5 5z z
Trong bài tp 1, Elip nhn các trc ta làm trc i xng. Trong bài tp sau ây, các trc ta
không phi là trc i xng ca Elip. Tuy nhiên Elip nhn gc O làm tâm i xng.
Bài 2: Cho s phc z tha mãn 1 2 1 2 4 2i z i z . Gi maxm z , minn z và s phc
w m ni . Tính 2018
w
Li gii
Ta có 1 2 1 2 4 2i z i z 1 1 4z i z i .
Gi M là im biu din ca s phc z , 1 1;1F là im biu din ca s phc 1 1z i và 2 1; 1F là
im biu din ca s phc 2 1z i . Khi ó ta có 1 2 4MF MF . Vy tp hp im M biu din s phc
z là Elip nhn 1F và 2F làm hai tiêu im.
Ta có 1 2 2 2 2 2 2F F c c c .
Mt khác 2 4 2a a suy ra 2 2 4 2 2b a c .
Do ó Elip có dài trc ln là 1 2 2 4A A a , dài trc bé là 1 2 2 2 2B B b .
Mt khác O là trung im ca 1 2F F nên m max z maxOM 1OA 2a
và n min z minOM 1 2OB b .
Do ó 2 2w i suy ra 6w 2018 10096w .
Bài 3: Cho s phc z tha mãn 3 3 8 z z . Gi M , m ln lt giá tr ln nht và nh nht .z Tính
giá tr ca biu thc M m .
Li gii
Gi z x yi vi ; x y .
Ta có 8 3 3 3 3 2 4 z z z z z z .
Do ó 4 M max z .
Mà 2 22 23 3 8 3 3 8 3 3 8 z z x yi x yi x y x y .
Áp dng bt ng thc Bunhiacopxki, ta có
2 2 2 22 2 2 2 2 28 1. 3 1. 3 1 1 3 3
x y x y x y x y
2 2 2 28 2 2 2 18 2 2 2 18 64 x y x y
2 2 2 27 7 7 x y x y z .
T Toán trng THPT ông Hà
12
Vy 4 7 M m .
Cách 2: Phng pháp hình hc
Tp hp các im biu din s phc z là elip
1 2
z b
Chú ý. Trng hp 1 2 2 2F F c a lúc ó Elip suy bin thành on thng 1 2F F
Bài 3: Xét s phc z tha mãn z 2 i z 4 7i 6 2. Gi m, M ln lt là giá tr nh nht và giá tr
ln nht ca z 1 i . Tính P= m+M.
Li gii
Gi z x yi x, y . Trên mt phng ta Oxy gi P x; y là im biu din ca s phc z. Gi
A 2;1 ,B 4;7 thì 6 2 2 4 7AB z i z i
2 2 2 2
2 1 4 7 .x y x y PA PB
Suy ra tp hp các im P tha mãn yêu cu bài chính là on thng AB. Có
2 2
1 1 1z i x y PC vi C 1; 1 .
Suy ra 73M CB và 5 5 2 2 73
, . 22

Chú ý: Nu góc BAC tù thì m CA
4. Các bài toán có tp hp các s phc tha mãn bài là hai ng tròn.
4.1. Nhn dng
Bài toán: Cho các s phc z1, z2 tho mãn 1 1 2 2 1 2, , 0, 0z a bi R z c di R R R ,
tìm s phc z1, z2 sao cho 1 2,P z z t giá tr ln nht, nh nht.
4.2. Phng pháp
13
C s ca phng pháp hình hc là bài toán sau:
Bài toán 2: Cho hai ng tròn 1( )T có tâm I, bán kính R1; ng tròn
2( )T có tâm I, bán kính R2.
Tìm v trí ca im M trên 1( )T , im N trên
2( )T sao cho MN t giá tr ln nht, nh nht
Li gii:
Gi d là ng thng i qua I, J; d ct ng tròn 1( )T ti hai im phân bit A, B (gi s JA > JB) ;
d ct 2( )T ti hai im phân bit C, D ( gi s ID > IC).
A B
C D
I J
M
N
Vi im M bt khì trên 1( )T và im N bt kì trên 2( )T , ta có:
1 2MN IM IN IM IJ JN R R IJ AD .
ng thc xy ra khi M trùng vi A và N trùng vi D
1 2MN IN IM IJ IM JN IJ R R BC .
ng thc xy ra khi M trùng vi B và N trùng vi C.
Vy: khi M trùng vi A và N trùng vi D thì MN t giá tr ln nht bng 1 2R R IJ
khi M trùng vi B và N trùng vi C thì MN t giá tr nh nht 1 2IJ R R
4.3. Bài tp minh ho
Bài 1: Trong các s phc z1, z2 tho mãn: 1 21 1 ; 6 6 6z i z i , tìm s phc z1, z2 sao cho
1 2z z t giá tr ln nht.
Li gii:
Gi 1 2. ; . ;( ; ; ;z a b i z c d i a b c d là nhng s thc); 1z c biu din bi im M(a; b); 2z c biu
din bi im N(c; d) trong mt phng to Oxy 2 2 2
1 11 1 1 1 ( 1) ( 1) 1z i z i a b
Suy ra M thuc ng tròn tâm I(1; 1), bán kính 1 1R
2 2 2
2 26 6 6 6 6 36 ( 6) ( 6) 36z i z i c d
Suy ra N thuc ng tròn tâm J(6; 6), bán kính 2 6R
2 2
1 2 ( ) ( )z z c a d b MN (Bài toán c qui v Bài toán 2)
ng thng IJ có phng trình y = x. ng thng IJ ct ng tròn tâm I ti hai
im 1 2
2 2 2 2 M M

14
ng thng IJ ct ng tròn tâm J ti hai im 1 26 3 2;6 3 2 ; 6 3 2;6 3 2N N
2 1 1 2M N MN M N 1 25 2 7 5 2 7z z
1 2 1 2max 5 2 7 khi ,z z M M N N
Vy 1 2
2 2 2 2 ; 6 3 2 6 3 2
2 2 z i z i
thì 1 2z z t giá tr ln nht.
Bài 2: Cho hai s phc 1z , 2z tha mãn 1 3 5 2z i và 2 1 2 4iz i . Tìm giá tr ln nht ca biu thc
1 22 3T iz z .
Li gii
Ta có 1 13 5 2 2 6 10 4z i iz i 1 ; 2 21 2 4 3 6 3 12iz i z i 2 .
Gi A là im biu din s phc 12iz , B là im biu din s phc 23z . T 1 và 2 suy ra im A
nm trên ng tròn tâm 1 6; 10I và bán kính 1 4R ; im B nm trên ng tròn tâm 2 6;3I và bán
kính 2 12R .
Ta có 2 2
1 2 1 2 1 22 3 12 13 4 12 313 16T iz z AB I I R R .
Vy max 313 16T .
5. Các bài toán có tp hp các s phc tha mãn bài là mt ng tròn và mt ng thng.
5.1. Nhn dng
Bài toán: Cho các s phc 1 2,z z tho mãn 1 1 1 0z a bi R R và 2 2z a bi z c di .
Tìm giá tr ln nht, nh nht ca 1 2,P z z .
5.2. Phng pháp
C s ca phng pháp hình hc là bài toán sau:
Bài toán 3: Cho hai ng tròn ( )T có tâm I, bán kính R; ng thng không có im chung
vi ( )T . Tìm v trí ca im M trên ( )T , im N trên sao cho MN t giá tr nh nht.
Li gii:
15
Gi H là hình chiu vuông góc ca I trên .
I
H
J
M
N
on IH ct ng tròn ( )T ti J
Vi M thuc ng thng , N thuc ng tròn ( )T , ta có:
MN IN IM IH IJ JH const . ng thc xy ra khi ;M H N J
Vy khi M trùng vi H; N trùng vi J thì MN t giá tr nh nht và bng ,d I R
5.3. Bài tp minh ho
Bài 1: Cho hai s phc ,z z tha mãn 5 5z và 1 3 3 6z i z i . Tìm giá tr nh nht ca z z .
Li gii
Gi ;M x y là im biu din ca s phc z x yi ,
;N x y là im biu din ca s phc z x y i .
Ta có 2 2 25 5 5 5 5 5z x yi x y .
Vy M thuc ng tròn 2 2 2: 5 5C x y
1 3 3 6z i z i 1 3 3 6x y i x y i
2 2 2 2
1 3 3 6 8 6 35x y x y x y
Vy N thuc ng thng :8 6 35x y
(Bài toán c qui v Bài toán 3) D thy ng thng không ct C và z z MN
Áp dng bt ng thc tam giác, cho b ba im , ,I M N ta có.
0MN IN IM IN R IN R
2 2
28 6 d I R


ng thc xy ra khi 0 0;M M N N .
Bài 2: Cho các s phc 1 2;z z tho mãn: 1 2 21 ; (1 ) 6 2z z z i i là mt s thc. Tìm s phc
1 2;z z sao cho 2
2 1 2 1 2P z z z z z t giá tr nh nht.
Li gii:
Gi 1 2; ; ; ; ;z a bi z c di a b c d ( ; ), ( ; )M a b N c d ln lt biu din cho 1 2;z z trong h to
Oxy.
1 1 1 1z a b a b

16
( 1) ( 1) 2 ( 1) ( 1) 6
z c di
z z i i c di c d i i
c c d d c d d c i




là s thc ( 1) ( 1) 6 0 6 0c d d c c d
N thuc ng thng : 6 0x y
Ta có ( ; ) 1d O nên và ( )T không có im chung
1 2 1 2 1 2 1 2( ) ; ( ) 2( )z z ac bd bc ad i z z ac bd bc ad i z z z z ac bd
2 2 2 2 22( ) ( ) ( ) 1 1P c d ac bd c a b d MN (vì 2 2 1a b )
Gi H là hình chiu vuông góc ca O trên : 6 0 (3;3)x y H
on OH ct ng tròn ( )T ti 2 2
; 2 2
I
Vi N thuc ng thng , M thuc ng tròn ( )T , ta có:
3 2 1MN ON OM OH OI IH . ng thc xy ra khi ;M I N H
2
3 2 1 1 18 6 2P . ng thc xy ra khi 1 2
2 2 ; 3 3
2 2 z i z i
Vy P t giá tr nh nht bng 18 3 2 khi 1 2
2 2 ; 3 3
6. Sáng to bài toán cc tr môun s phc.
Vic to ra các bài tp v s phc thng xut phát t mt bài tp i s hoc bài tp hình gii tích
trong mt phng. T các bài tp ó bng cách s dng kin thc v s phc, ta chuyn c các bài toán
xut phát sang bài toán: Cc tr ca mô un s phc
Ví d 1: Xut phát t bài toán: “Cho ;x y tho mãn: 2 1 0x y . Tìm giá tr nh nht ca biu thc
2 2P x y ”. to ra bài tp s phc t bài tp này, chúng tôi làm nh sau:
Xét s phc ;z x yi x y ( ; )M x y biu din cho s phc z trong mt phng phc. Khi ó
P z
Chn A, B sao cho ng thng : 2 1 0d x y là ng trung trc ca on thng AB. Chng hn chn
( 1; 1), (1;3)A B . Vy M thuc : 2 1 0d x y thì z phi tho mãn: 1 1 3z i z i .
Vy ta có bài toán: Trong các s phc z tho mãn: 1 1 3 (*)z i z i . Tìm s phc có môun nh
nht.
Nhn xét: iu kin (*) có th thay bi mt iu kin khác sao cho t ó ta thu c ng thc
2 1 0x y . Chng hn: Trong các s phc z tho mãn: 2 1z i z có phn o bng 1. Tìm s
phc có môun nh nht.
Ví d 2: Xut phát t bài toán: “Cho ;x y tho mãn: 2y x .Tìm giá tr nh nht ca biu thc
2
17
2
22 2 2 2 2 2 2 21 1 4 1 2 1


2 2 4 1z z z i
Vy ta có bài toán: Trong các s phc z tho mãn: 2 2
4 1z z z i . Tìm s phc z sao cho biu thc
2
t giá tr nh nht.
Ví d 3: Xut phát t bài toán: “Tìm im M trên ng tròn 2 2( ) : 2 1 0T x y y và im N trên
ng thng : 1 0x y sao cho MN t giá tr nh nht”.
Coi . 1 2; ; ; ; ;z a bi z c di a b c d . Khi ó 1 2;z z ln lt c biu din bi các im
( ; ), ( ; )M a b N c d .
22 2 2 2 22 1 0 2 1x y y x y x y
1z tho mãn : 1 11 i z z i ( )M T
Chn (1; 2); (3; 4)A B sao cho : 1 0x y là ng trung trc ca AB
2z tho mãn : 2 21 2 3 4z i z i N
22 2 2
1 1 2 1 2 1 2( ) ( )MN a c b d z z i z z z z z
Vy ta có bài toán: Trong các s phc 1 2;z z tha mãn 1 1(1 ) ; 1 2 3 4z i i z z i z i . Tìm s
phc 1 2;z z sao cho biu thc 2
1 1 2 1 2 1 2P z z i z z z z z t giá tr nh nht.
7. Câu hi trc nghim khách quan
Câu 1. Cho s phc z tha mãn 3 3 2z i . Giá tr ln nht ca z i là
A. 7 . B. 9 . C. 6 . D. 8 .
Câu 2. Trong các s phc z tha mãn 2 4z z i , s phc có môun nh nht là.
A. 5z . B. 5
2 z i . C. 1 2z i . D. 3z i .
Câu 3. Trong các s phc z tha 3 4 2z i , gi 0z là s phc có mô un nh nht. Khi ó
A. Không tn ti s phc 0z . B. 0 2z .
C. 0 7z . D.
0 3z .
Câu 4. Cho s phc z tha mãn: 2 2 1z i . S phc z i có môun nh nht là:
A. 5 1 . B. 5 1 . C. 5 2 . D. 5 2 .
Câu 5. Cho s phc z tha mãn 1 2 3z i . Tìm môun nh nht ca s phc 1 .z i
A. 4. B. 2 2. C. 2. D. 2.
Câu 6. Cho các s phc z , w tha mãn 5z , 4 3 1 2w i z i . Giá tr nh nht ca w là :
A. 3 5 B. 4 5 C. 5 5 D. 6 5
T Toán trng THPT ông Hà
18
Câu 7. Cho các s phc z tho mãn 2z . t 1 2 1 2 w i z i . Tìm giá tr nh nht ca w .
A. 2 . B. 3 5 . C. 2 5 . D. 5 .
Câu 8. S phc z nào sau ây có môun nh nht tha | | | 3 4 |z z i :
A. 3– 4z i . B. 7
3 8
2 z i .
Câu 9. Gi M và m ln lt là giá tr ln nht và giá tr nh nht ca z i
P z
tha mãn 2z . Tính 2M m .
A. 3
2 2
M m . C. 2 10M m . D. 2 6M m .
Câu 10. Trong các s phc tha mãn iu kin 4 2 2z i i z , môun nh nht ca s phc z bng:
A. 2 . B. 3 . C. 2 2 . D. 2 3 .
Câu 11. Cho s phc z tha  2z
. Tìm tích ca giá tr ln nht và nh nht ca biu thc z i
P z
3 .
Câu 12. Trong tp hp các s phc z tha mãn: 2
2. 1
z i
z i
Tìm môun ln nht ca s phc z i .
A. 2 2 . B. 3 2 . C. 3 2 . D. 2 2 .
Câu 13. Cho s phc z tha mãn 1z . Giá tr ln nht ca biu thc 1 2 1P z z bng
A. 5 . B. 6 5 . C. 2 5 . D. 4 5 .
Câu 14. Cho s phc z tha mãn 1 3z i z i . Tính môun nh nht ca z i .
A. 3 5
10 .
Câu 15. S phc z nào sau ây có môun nh nht tha | | 3 4z z i :
A. 3– 4z i . B. 7
3 8
2 z i .
Câu 16. Cho s phc 0z tha mãn 2z . Tìm tng giá tr ln nht và giá tr nh nht ca biu thc
z i P
A. 1. B. 3 . C. 4 . D. 2 .
Câu 17. Cho các s phc z tha mãn 3 z z i . Tìm giá tr nh nht ca P z .
A. min
min
3 10
5 P .
Câu 18. Trong các s phc tha mãn iu kin 3 2 .z i z i Tìm s phc có môun nh nht?
A. 1 2z i . B. 1 2
5 5 z i . C.
1 2
T Toán trng THPT ông Hà
19
Câu 19. Cho s phc z tha mãn z không phi s thc và 22
z w
thc 1P z i là?
A. 2 2 . B. 8 . C. 2 . D. 2 .
Câu 20. Cho s phc z tha mãn 2 3
1 2 3 2
. Giá tr ln nht ca môun s phc z là
A. 3 . B. 3 . C. 2 . D. 2 .
Câu 21. Cho s phc tha mãn 2 2 1z i . Giá tr ln nht ca z là.
A. 4 2 2 . B. 2 2 . C. 2 2 1 . D. 3 2 1 .
Câu 22. Cho s phc z tha mãn 2 3 1z i . Tìm giá tr ln nht ca 1z i .
A. 6 . B. 13 1 . C. 13 2 . D. 4 .
Câu 23. Trong tp hp các s phc, gi 1z , 2z là nghim ca phng trình 2 2017 0
4 z z , vi 2z có
thành phn o dng. Cho s phc z tho mãn 1 1z z . Giá tr nh nht ca 2P z z là
A. 2016 1 . B. 2017 1
2
. C.
. D. 2017 1 .
Câu 24. Cho s phc z tha mãn 1z . Tìm giá tr ln nht ca biu thc 1 3 1 .P z z
A. 3 15 . B. 6 5 . C. 20 . D. 2 20 .
Câu 25. Cho s phc z tha mãn 3 3 8z z . Gi M , m ln lt giá tr ln nht và nh nht .z
Khi ó M m bng
A. 4 7. B. 4 7. C. 7. D. 4 5.
Câu 26. Có bao nhiêu giá tr nguyên ca m có úng 2 s phc z tha 1 8z m i và
1 2 3z i z i .
A. 130 . B. 66 . C. 65 . D. 131.
Câu 27. Xét s phc , , 0z a bi a b R b tha mãn 1z . Tính 22 4P a b khi 3 2z z t giá tr
ln nht .
A. 4P . B. 2 2P . C. 2P . D. 2 2P .
Câu 28. Có tt c bao nhiêu giá tr nguyên ca m có úng hai s phc z tha mãn 1 8z m i và
1 2 3z i z i .
A. 131. B. 63 . C. 66 . D. 130 .
Câu 29. Cho các s phc 1 2z i , 2 2z i và s phc z thay i tha mãn 2 2
1 2 16z z z z . Gi
M và m ln lt là giá tr ln nht và giá tr nh nht ca z . Giá tr biu thc 2 2M m bng
A. 15 B. 7 C. 11 D. 8
Câu 30. Cho s phc z tha mãn 2 2 5 1 2 3 1z z z i z i .
Tính min | |w , vi 2 2w z i .
T Toán trng THPT ông Hà
20
min | | 2
w .
Câu 31. Cho s phc z x yi vi ,x y tha mãn 1 1z i và 3 3 5z i . Gi ,m M ln lt là
giá tr nh nht và giá tr ln nht ca biu thc 2P x y . Tính t s M
m .
14
5 .
Câu 32. Cho s phc z tha mãn 1z . Tìm giá tr ln nht max
M và giá tr nh nht min
M ca biu thc
A. max min
5; 2M M .
C. max min
4; 2M M .
Câu 33. Xét các s phc 1 3 4z i và 2 2z mi , m . Giá tr nh nht ca môun s phc 2
1
z
1
5 .
Câu 34. Cho s phc z tha mãn iu kin 1 2z . Tìm giá tr ln nht ca 2T z i z i .
A. max 8 2T . B. max 4T . C. max 4 2T . D. max 8T .
Câu 35. Cho s phc z tha mãn 1z . Tìm giá tr ln nht ca biu thc 5
1 i
A z
A. 5 . B. 4 . C. 6 . D. 8 .
Câu 36. Bit rng 1 2z . Tìm giá tr ln nht ca module s phc 2w z i ?
A. 5 2 B. 5 2 C. 2 5 D. 2 5
Câu 37. Trong các s phc z tha mãn 2 4 2z i z i . S phc z có môun nh nht là
A. 1z i B. 2 2z i C. 2 2z i D. 3 2z i
Câu 38. Gi T là tp hp tt c các s phc z thõa mãn 2z i và 1 4z . Gi 1 2,z z T ln lt là
các s phc có mô un nh nht và ln nht trong T . Khi ó 1 2z z bng:
A. 5 . B. 4 i . C. 5 i . D. 5 i .
Câu 39. Cho s phc z tha mãn 4 4 10.z z Giá tr ln nht và nh nht ca z ln lt là.
A. 10 và 4 . B. 5 và 4 . C. 4 và 3 . D. 5 và 3 .
Câu 40. Cho s phc z tha mãn 2 3 4 10z i . Gi M và m ln lt là giá tr ln nht và giá tr nh
nht ca z . Khi ó M m bng.
A. 5 . B. 15 . C. 10 . D. 20 .
Câu 41. Cho 2018 phc z tho mãn 3 4 5z i . Gi M và m ln lt là giá tr ln nht và giá tr nh
nht ca biu thc 2 2
2P z z i . Tính môun ca 2018 phc w M mi .
A. 1258w . B. 1258w . C. 2 314w . D. 2 309w .
Câu 42. Cho s phc z tha mãn 1 1z . Giá tr nh nht ca z .
A. 1. B. 2 . C. 0 . D. 2 1 .
T Toán trng THPT ông Hà
21
Câu 43. Gi 1z , 2z là các nghim phc ca phng trình 2 4 13 0z z , vi 1z có phn o dng. Bit s
phc z tha mãn 1 22 z z z z , phn thc nh nht ca z là
A. 6 B. 2 C. 1 D. 9
Câu 44. Cho z là s phc thay i tha mãn 1 2 4i z i và ;M x y là im biu din cho z trong
mt phng phc. Tìm giá tr ln nht ca biu thc 3T x y .
A. 4 2 2 . B. 8 . C. 4 . D. 4 2 .
Câu 45. Cho s phc z tha mãn 1z . t 2
2
A. 1A . B. 1A . C. 1A . D. 1A .
Câu 46. Cho s phc z tha mãn 1 6 2 10i z i . Tìm môun ln nht ca s phc .z
A. 4 5 B. 3 5. C. 3. D. 3 5
Câu 47. Cho s phc z tha mãn 3 4 5z i . Gi M và m ln lt là giá tr ln nht và giá tr nh
nht ca biu thc 2 2
2P z z i . Môun ca s phc w M mi là
A. 3 137w B. 1258w C. 2 309w D. 2 314w
Câu 48. Cho s phc z tha mãn 1 1
3 2

. Tìm giá tr ln nht ca biu thc 2 4 7P z i z i .
A. 8 . B. 10 . C. 2 5 . D. 4 5 .
Câu 49. Cho s phc z tha mãn 1 2 2z i . Tìm môun ln nht ca s phc .z
A. 9 4 5. B. 11 4 5 . C. 6 4 5 . D. 5 6 5 .
Câu 50. Cho s phc z tha mãn 2 4z i z i và 3 3 1z i . Giá tr ln nht ca biu thc 2P z
là:
A. 13 1 . B. 10 1 . C. 13 . D. 10 .
Câu 51. Cho 1z , 2z là hai nghim ca phng trình 6 3 2 6 9i iz z i , tha mãn 1 2
8
ln nht ca 1 2z z bng.
A. 31
56
5 .
Câu 52. Cho các s phc w , z tha mãn 3 5
w i 5
và 5w 2 i 4z . Giá tr ln nht ca biu
thc 1 2i 5 2iP z z bng
A. 6 7 . B. 4 2 13 . C. 2 53 . D. 4 13 .
Câu 53. Cho s phc z tha mãn 1 1z i , s phc w tha mãn 2 3 2w i . Tìm giá tr nh nht ca
z w .
A. 13 3 B. 17 3 C. 17 3 D. 13 3
Câu 54. Cho s phc z và w tha mãn 3 4z w i và 9z w . Tìm giá tr ln nht ca biu thc
T z w .
22
A. max 176T . B. max 14T . C. max 4T . D. max 106T .
Câu 55. Cho các s phc z , 1z , 2z tha mãn 1 24 5 1z i z và 4 8 4z i z i . Tính 1 2M z z
khi 1 2P z z z z t giá tr nh nht.
A. 41 . B. 6 . C. 2 5 . D. 8 .
Cho s phc z tha mãn 1 3 z i z i và s phc 1
w z
A. max
4 5
7 5
10 w .
Cho s phc z tha mãn 2 1 2 1 10z i z i . Gi M , m ln lt là giá tr ln nht và giá tr
nh nht ca z . Tính tng S M m .
A. 9S . B. 8S . C. 2 21S . D. 2 21 1S .
Cho s phc z tho mãn 3 4i 5z và biu thc 2 2
2 iP z z t giá tr ln nht. Môun ca s
phc z bng
A. 10 . B. 5 2 . C. 13 . D. 10 .
Câu 59. Cho s phc z tha mãn 1.z Gi M và m ln lt là giá tr ln nht và giá tr nh nht ca
biu thc 21 1 .P z z z Tính giá tr ca .Mm .
A. 13 3
13
4 .
Câu 60. Cho s phc z tha mãn 1z . Gi M và m ln lt là giá tr ln nht và giá tr nh nht ca
biu thc 21 1P z z z . Giá tr ca .M m bng
A. 13 3
8 .
Cho s phc z tha mãn 1z . Giá tr ln nht ca biu thc 1 2 1P z z bng
A. 5 . B. 6 5 . C. 2 5 . D. 4 5 .
Câu 62. Bit s phc z tha mãn ng thi hai iu kin 3 4 5z i và biu thc 2 2
2M z z i
t giá tr ln nht. Tính môun ca s phc .z i
A. 2 41z i B. 3 5.z i C. 5 2z i D. 41.z i
Câu 63. Gi s 1z , 2z là hai trong s các s phc z tha mãn 2 1iz i và 1 2 2z z . Giá tr ln nht
ca 1 2z z bng
A. 4 . B. 2 3 . C. 3 2 . D. 3 .
Câu 64. Cho 1 2 3, , z z z là các s phc tha mãn 1 2 3 0z z z và 1 2 3 1.z z z Khng nh nào di
ây là sai ?
A. 3 3 3 3 3 3
1 2 3 1 2 3z z z z z z . B. 3 3 3 3 3 3
1 2 3 1 2 3z z z z z z .
C. 3 3 3 3 3 3
1 2 3 1 2 3z z z z z z . D. 3 3 3 3 3 3
1 2 3 1 2 3z z z z z z .
T Toán trng THPT ông Hà
23
Câu 65. Cho các s phc z tha mãn 1 8 3 53 z i z i . Tìm giá tr ln nht ca 1 2 P z i .
A. max 53P . B. max
185
2 P . C. max 106P . D. max 53P .
Câu 66. Cho s phc z tho mãn 3 4 5z i . Gi M và m là giá tr ln nht và giá tr nh nht ca
biu thc 2 2
2P z z i . Tính môun ca s phc .w M mi
A. 2315w . B. 1258w . C. 3 137w . D. 2 309w .
Câu 67. Cho s phc z tha mãn 5 1 3 3 1z i z i z i . Tìm giá tr ln nht M ca 2 3z i ?
A. 10
3 M B. 1 13M C. 4 5M D. 9M
Câu 68. Nu z là s phc tha 2z z i thì giá tr nh nht ca 4z i z là
A. 2 . B. 3 . C. 4 . D. 5 .
Câu 69. Cho hai s phc u , v tha mãn 3 6 3 1 3 5 10u i u i , 1 2v i v i . Giá tr nh nht
ca u v là:
3
Câu 70. Xét s phc z và s phc liên hp ca nó có im biu din là M , M . S phc 4 3z i và s
phc liên hp ca nó có im biu din ln lt là N , N . Bit rng M , M , N , N là bn nh ca hình
ch nht. Tìm giá tr nh nht ca 4 5z i .
A. 1
2 . B.
2
5 .
Câu 71. Cho các s phc z tha mãn 4 3 2 z i . Gi s biu thc P z t giá tr ln nht, giá tr nh
nht khi z ln lt bng 1 1 1 z a b i 1 1, a b và 2 2 2 z a b i 2 2, a b . Tính 1 2 S a a
A. 4S . B. 6S . C. 8S . D. 10S .
Câu 72. Cho s phc z tha mãn 2 3 1 z i . Giá tr ln nht ca 1 z i là
A. 13 2 . B. 4 . C. 6 . D. 13 1 .
Câu 73. Cho s phc z tha mãn 2z . Giá tr nh nht ca biu thc 2 1 2 1 4P z z z z i
bng:
4 15
. D. 7
2 15
.
Câu 74. Cho hai s phc 1z , 2z tha mãn 1 3 5 2z i và 2 1 2 4iz i . Tìm giá tr ln nht ca biu
thc 1 22 3T iz z .
A. 313 16 . B. 313 . C. 313 8 . D. 313 2 5 .
Câu 75. Gi im ,A B ln lt biu din các s phc z và 1
; 0 2
trên mt phng ta
( , ,A B C và , ,A B C u không thng hàng). Vi O là gc ta , khng nh nào sau ây úng?
T Toán trng THPT ông Hà
24
A. Tam giác OAB u. B. Tam giác OAB vuông cân ti O .
C. Tam giác OAB vuông cân ti B . D. Tam giác OAB vuông cân ti A .
Câu 76. Cho s phc z tha mãn 1 2 3z i . Tìm môun ln nht ca s phc 2 .z i
A. 26 6 17 . B. 26 6 17 . C. 26 8 17 . D. 26 4 17 .
Câu 77. Cho s phc z tha mãn iu kin 2 4 2 .z z Khng nh nào sau ây là úng?
A.
C. 6 1 6 1z . D.
2 1 2 1
3 3 z .
Câu 78. Trong các s phc z tha mãn 2 1 2z z gi 1z và 2z ln lt là các s phc có môun nh
nht và ln nht. Khi ó môun ca s phc 1 2w z z là
A. 2 2w . B. 2w . C. 2w . D. 1 2w .
Câu 79. Cho hai s phc 1 2,z z tha mãn 1 1 2z i và 2 1z iz . Tìm giá tr nh nht m ca biu thc
1 2z z ?
A. 2 1m . B. 2 2m . C. 2m . D. 2 2 2m .
Gi M và m ln lt là giá tr ln nht và nh nht ca z i
P z
, vi z là s phc khác 0 và tha mãn
2z . Tính t s M
m .
1
3
M
m
Câu 81. Cho hai s phc ,z z tha mãn 5 5z và 1 3 3 6z i z i . Tìm giá tr nh nht ca
z z .
A. 5
2 . B.
4 . C. 10 . D. 3 10 .
Câu 82. Cho 1 2 3, ,z z z là các s phc tha 1 2 3 1.z z z Khng nh nào di ây là úng?
A. 1 2 3 1 2 2 3 3 1z z z z z z z z z . B. 1 2 3 1 2 2 3 3 1z z z z z z z z z .
C. 1 2 3 1 2 2 3 3 1z z z z z z z z z . D. 1 2 3 1 2 2 3 3 1z z z z z z z z z .
Câu 83. Cho các s phc z tha mãn 2 4 2 1 2 z z i z i . Tìm giá tr nh nht ca 3 2 P z i .
A. min 4P . B. min 2P . C. min
7
2 P . D. min 3P .
Câu 84. Cho z x yi vi x , y là s phc tha mãn iu kin 2 3 2 5z i z i . Gi M , m
ln lt là giá tr ln nht và giá tr nh nht ca biu thc 2 2 8 6P x y x y . Tính M m .
A. 156
20 10 5
. D. 60 2 10 .
Câu 85. Gi n là s các s phc z ng thi tha mãn i 1 2i 3z và biu thc
2 5 2i 3 3iT z z t giá tr ln nht. Gi M là giá tr ln nht ca T . Giá tr tích ca .M n là
T Toán trng THPT ông Hà
25
A. 10 21 B. 6 13 C. 5 21 D. 2 13
Câu 86. Xét các s phc z a bi , ,a b tha mãn 2
4 15 1z z i i z z . Tính 4F a b khi
1 3
2 z i t giá tr nh nht
A. 7F . B. 6F . C. 5F . D. 4F .
Câu 87. Tìm giá tr ln nht ca 2 2 1 P z z z z vi z là s phc tha mãn 1z .
A. 3 . B. 3 . C. 13
4 . D. 5 .
Câu 88. Tìm s phc z tha mãn 1 5z i và biu thc 7 9 2 8T z i z i t giá tr nh nht.
A. 5 2z i . B. 1 6z i .
C. 1 6z i và 5 2z i . D. 4 5z i .
Câu 89. Cho s phc z tha mãn 1 2 1 2 4 2i z i z . Gi maxm z , minn z và s
phc w m ni . Tính 2018
w
A. 10094 . B. 10095 . C. 10096 . D. 10092 .
Câu 90. Xét các s phc z a bi ( ,a b ) tha mãn 3 2 2z i . Tính a b khi
1 2 2 2 5z i z i t giá tr nh nht.
A. 4 3 . B. 2 3 . C. 3 . D. 4 3 .
8. Hng dn gii câu hi trc nghim
Câu 1.
Li gii
Chn A
Cách 1. 2 3 3z i 3 4z i i 3 4z i i 2 3 4z i i
7z i .
Cách 2. t w z i .
Gi M là im biu din ca w trong h trc ta Oxy .
3 3 2z i 3 4 2w i 2MI vi 3; 4I M nm trên ng tròn C tâm 3; 4I , bán
kính 2R .
Ta có z i w OM . Vy maxOM OI R 5 2 7 .
Lu ý: Nu bài hi “Giá tr nh nht ca z i ” thì minOM ON OI R .
Câu 2.
Li gii
Chn C
t , ,z x yi x y R z x yi .
V V n B c
26
Khi ó: 2 4 2 4z z i x yi x yi i .
2 22 2 2 4 2 5 0x y x y x y .
Tp hp im ;M x y biu din s phc z là ng thng 2 5 0x y .
2 22 2 2 25 2 5 4 4 5 5 2 5 5x yi x y y y y y y .
Suy ra: x yi bé nht bng 5 khi 2 1y x .
Câu 3.
Li gii
Chn D
Cách 1:
t ( , )z a bi a b . Khi ó 2 23 4 2 ( 3) ( 4) 4z i a b .
Suy ra biu din hình hc ca s phc z là ng tròn C tâm 3; 4I và bán kính 5R
Gi M z là im biu din s phc z . Ta có: M z C .
3z OM OI R .
Vy z bé nht bng 3 khi M z C IM .
Cách 2:
4 2sin 4 2sin
a a
b b .
2 2z a b 2 2(2cos 3) (2sin 4) 29 12cos 16sin .
3 4 29 20 cos sin 29 20cos( ) 9
5 5 .
0 3z .
Câu 4.
Li gii
Chn A
27
Gi z x yi , ,x y .
Ta có: 2 22 2 1 ( 2) ( 2) 1 ( 2) ( 2) 1z i x y i x y .
Tp hp các im trong mt phng Oxy biu din ca s phc z là ng tròn ( )C tâm (2;2)I và bán kính
1R .
22 1z i x y IM , vi 2;2I là tâm ng tròn, M là im chy trên ng tròn. Khong cách
này ngn nht khi M là giao im ca ng thng ni hai im 0;1 , 2;2N Oy I vi ng tròn (C).
min 5 1IM IN R
Câu 5.
Li gii
Chn C
Gi ; ; 1 1 1z x yi x y z i x y i . Ta có: 2 2
1 2 9 1 2 9z i x y .
t 1 3sin ; 2 3cos ; 0;2 .x t y t t
2 2 2
min 1 3sin 1 3cos 10 6cos 2 2 4 1 2z i t t t z i z i , khi 1 .z i
Câu 6.
Li gii
Chn B
4 3 1 2 4 3
w i w i z i z
i
w i z w i
i

.
Vy tp hp im biu din s phc w là ng tròn tâm 1; 2I và bán kính 5 5 .
Do ó min 4 5w R OI .
Câu 7.
Li gii
Chn D
Gi s phc z a bi vi a , b . Ta có 2 22 2 z a b 2 2 4 a b * .
Mà s phc 1 2 1 2 w i z i
1 2 1 2 w i a bi i 2 1 2 2 w a b a b i .
Gi s s phc w x yi , x y . Khi ó 2 1 1 2
2 2 2 2
1 2 2 2 x y a b a b
2 2 2 2 2 21 2 4 4 4 4 x y a b ab a b ab
2 2 2 21 2 5 x y a b
2 2 1 2 20 x y (theo * ).
Tp hp các im biu din s phc w là ng tròn tâm 1;2I , bán kính 20 2 5 R .
im M là im biu din ca s phc w thì w t giá tr nh nht khi và ch khi OM nh nht.
Ta có 2 21 2 5 OI , 2 5 IM R .
T Toán trng THPT ông Hà
28
Mt khác OM OI IM 5 2 5 OM 5 OM .
Do vy w nh nht bng 5 .
Câu 8.
Li gii
Chn D
Gi z a bi z a bi ;
| | | 3 4 |z z i 6 8 25 0 * .a b Trong các áp án, có áp án 7
3 8
3 2
3
Vy 1
2 m .
Vy 5
2 2
M m .
Câu 10.
Li gii
Chn C
t z x yi , ,x y c biu din bi im ;M x y trên mt phng ta . Ta có:
4 2 2z i i z 2 4 2x y i x y i 2 2 222 4 2x y x y 4 0x y .
Vy tp hp các im M biu din s phc z là ng thng : 4 0d x y .
minmin
.
Vy, giá tr nh nht ca  P là 1
2 , xy ra khi 2 ; z i giá tr ln nht ca P bng
3
Câu 12.
Li gii
Chn A
29
22 2 2
2 1 2 1 1x y i x y i .
2 2 2 2
2 2 2 2
. 22 1 2x y .
1 2 1 2y y .
Ta có: 2 22 21 2 1 2 4x y x y y 2
2 4 2 4 1 2 6 4 2z i y .
1 6 4 2 2 2z .
Vy 1 2 2z là môun ln nht ca s phc z i .
Câu 13.
Li gii
Chn C
Gi s phc iz x y , vi ,x y .
Theo gi thit, ta có 1z 2 2 1x y . Suy ra 1 1x .
Khi ó, 1 2 1P z z 2 22 21 2 1x y x y 2 2 2 2 2x x .
Suy ra 2 21 2 2 2 2 2P x x hay 2 5P , vi mi 1 1x .
Vy max 2 5P khi 2 2 2 2 2x x 3
5 x ,
5 y .
Câu 14.
Li gii
Chn A
Gi ; ; z x yi x y có im ;M x y biu din z trên mt phng ta .
T gi thit 1 3z i z i suy ra : 2 4 7 0M x y .
Ta có: 1z i x y i có im ; 1M x y biu din z trên mt phng ta .
Ta có: 2 4 7 0 2 4 1 3 0 : 2 4 3 0x y x y M x y .
Vy min 2 2

Gi , ,z a bi a b R .
Ta có: | | 3 4z z i 6 8 25 0 *a b .
Trong các áp án, có áp án 7
3 8
3 2
30
1 1 1 1 1 1 i i i i
z z z z z z . Mt khác
1 1 2
2 2 P . Suy ra
giá tr ln nht và giá tr nh nht là 3 1
, 2 2
. Vy tng giá tr ln nht và giá tr nh nht ca biu thc P là
2 .
Ta có: 2 2 P z a b
Mà 3 z z i
Hay 3 a ib a ib i
3 1 a ib a b i
2 22 23 1 a b a b
4 3 b a
Lúc ó 22 2 2 24 3 10 24 16 P z a b a a a a
2 24 144 8 2 10 10
10 100 5 5
Gi s ,z x yi x y
2 2 223 2 3 2 1 3 2 1z i z i x y i x y i x y x y
6 9 4 4 2 1 4 8 4 0 2 1 0 2 1y x y x y x y x y
2
22 2 2 2 2 1 5 2 1 5 4 1 5


Gi s ,z x yi x y
2 2 223 2 3 2 1 3 2 1z i z i x y i x y i x y x y
T Toán trng THPT ông Hà
31
6 9 4 4 2 1 4 8 4 0 2 1 0y x y x y x y
Vy tp hp các im biu din s phc z tha iu kin 3 2z i z i là ng thng
: 2 1 0d x y .
Phng án A: 1 2z i có im biu din 1; 2 d nên loi A.
Phng án B: 1 2
5 5 z i có im biu din
1 2 ;
B.
Phng án D: 1 2z i có im biu din 1;2 d nên loi
B.
5 5 z i có im biu din
1 2 ;
Câu 19.
Li gii
Chn A
Cách 1.
Xét 0z suy ra 0w suy ra 1 2P z i .
Xét 0z suy ra 1 2
z w z .
Gi , 0z a bi b suy ra 2 2 2 2
1 2 2 2 1
a z a b i
w z a b a b

.

.
Suy ra tp hp im biu din s phc z là ng tròn 2 2: 2C x y .
Xét im 1;1A là im biu din s phc 0 1z i , suy ra P MA .
2 2Max P OA r . (Vi r là bán kính ng tròn 2 2: 2C x y ).
Cách 2.
2 2
wz
1
w
z tha * nên z là nghim phng trình * .
Gi 1 2,z z là hai nghim ca * suy ra 1 2 1 2 1 2. 2 . 2 2 2z z z z z z z .
Suy ra 1 1 2 2 2 2P z i z i .
Câu 20.
Li gii
Chn B
32
x
y
-3
1
I
O
M
Ta có: 222 3
i z iz z i x y
i

.
Vy tp hp im M biu din s phc z nm trên ng tròn tâm 0; 1I và bán kính 2R .
Ta có: z OM .
Do ó giá tr ln nht ca z khi OM ln nht ngha là O , M , I thng hàng max 3z .
Câu 21.
Li gii
Chn C
Cách 1:
t z x yi khi ó ta có 2 2 2 2
2 2 1 2 2 1 2 2 1z i x y x y .
Tp hp các im biu din s phc z là ng tròn tâm 2; 2I bán kính 1r .
Phng trình ng thng :OI y x .
Hoành giao im ca OI và ng tròn tâm 2; 2I là nghim phng trình tng giao:
2 2 1
x x x .
Ta có hai ta giao im là 1 1
2 ; 2 2 2
Vy ti giá tr ln nht ca 2 2 1z .
Cách 2: Casio.
Quy tc tính i vi bài toán tng quát nh sau.
Cho s phc z tha mãn 1z z r . Tìm GTLN, GTNN ca 2P z z .
Bc 1: Tính 1 2a z z .
Bc 2: GTLN ca P a r , GTNN ca P a r .
Áp dng i vi bài này ta có 1 2 1 21; 2 2 , 0 2 2r z i z a z z .
Vy GTLN ca 2 2 1z .
Cách 3:
Xét 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2z i z i z i z .
T Toán trng THPT ông Hà
33
Câu 22.
Li gii
Chn B
t 1w z i .
Ta có 2 3 1 2 3 1 2 3 1z i z i z i 1 3 2 1z i i .
3 2 1w i .
Ta có: 1 3 2 3 2 1 13w i w i w .
1 1 13Max z i .
Câu 23.
Li gii
Chn A
4 z z
Ta có: 2016 0 phng trình có hai nghim phc 1
2
Khi ó: 1 2 2016z z i
2 1 1 2 1 2 1 2016 1z z z z z z z z z z P .
Vy min 2016 1P .
Câu 24.
Li gii
Chn D
Gi ; ;z x yi x y . Ta có: 2 2 2 21 1 1 1;1z x y y x x
Ta có: 2 22 21 3 1 1 3 1 2 1 3 2 1P z z x y x y x x .
Xét hàm s 2 1 3 2 1 ; 1;1 .f x x x x Hàm s liên tc trên 1;1 và vi 1;1x ta
có:
52 1 2 1 f x x
x x
Ta có:
5 f f f P .
Câu 25.
Li gii
Chn B
Gi z x yi vi ;x y .
Ta có 8 3 3 3 3 2 4z z z z z z .
Do ó 4M max z .
T Toán trng THPT ông Hà
34
Mà 2 22 23 3 8 3 3 8 3 3 8z z x yi x yi x y x y .
Áp dng bt ng thc Bunhiacopxki, ta có

2 2 2 28 2 2 2 18 2 2 2 18 64x y x y
2 2 2 27 7 7x y x y z .
Do ó 7M min z .
Vy 4 7M m .
t z x iy ,x y
Ta có: 1 2z m i tp hp các im M biu din s phc z là ng tròn tâm 1; 1I m , bán
kính 8R .
.
Yêu cu bài toán khong cách t I n d nh hn R 2 21 8 68m
21 21 4 68 4 68
2 2 m
Vì m nên 22 43m có 66 giá tr tha yêu cu bài toán.
Câu 27.
Li gii
Chn C
1z 1
z z
1 2 z
2z z z 2
2 bi a bi
2 22 2bi a b abi 2 22 22 2aa b b b
= 2 22 4 1b ab 2 22 1 4 1 1a a a
3 22 4 4 2a a a
Biu thc trên t GTLN trên min 1 1a khi 1
2 a
Câu 28.
Li gii
Chn C
- T gi thit 1 8z m i 2 2
1 1 64x m y , do ó tp hp các im M biu din s
phc z là ng tròn T có tâm 1; 1I m , bán kính 8R .
T Toán trng THPT ông Hà
35
- T gi thit 1 2 3z i z i 2 2 2 2
1 1 2 3x y x y
2 8 11 0x y hay M nm trên ng thng : 2 8 11 0x y .
- Yêu cu bài toán ct T ti 2 im phân bit
;d I R 2 1 8 11
8 2 17
21 16 17 21 16 17
2 2 m
, do m nên 22; 21;...;42;43m .
Vy có tt c 66 giá tr ca m tha mãn yêu cu bài toán.
Câu 29.
Li gii
Chn D
Ta có: 2 2
1 2 16z z z z 2 2
2 2 16x yi i x yi i 22 1 4x y .
Suy ra tp hp im biu din ca s phc z là ng tròn tâm s phc 0;1I bán kính 2R .
Do ó 1m , 3M .
Câu 30.
Li gii
Chn C Ta có



.
Trng hp 1: 1 2 0z i 1 1w w 1 .
Trng hp 2: 1 2 3 1z i z i
Gi z a bi (vi ,a b ) khi ó ta c
2 2 1
a b i a b i b b b .
Suy ra 23 9 3
2 2 2 2 2 4 2
w z i a i w a 2 .
T Toán trng THPT ông Hà
36
Câu 31.
Li gii
Chn B
z .
T gi thit 1 1z i ta có A là các im nm bên ngoài hình tròn 1C có tâm 1;1I bán kính 1 1R .
Mt khác 3 3 5z i ta có A là các im nm bên trong hình tròn 2C có tâm 3;3J bán kính
2 5R .
Ta li có: 2 2 0P x y x y P . Do ó tn ti ,x y thì và phn gch chéo phi có im
chung tc là 9
7 4; 14
1 5 5.z M M
Mt khác:
3 1 1 1 1 1
1 1, 2 2 21
z z z z z M z
z
Câu 33.
Li gii
Chn A
2
1
2 3 4 6 4 3 82 6 4 3 8
3 4 3 4 3 4 25 25 25
mi i m m iz mi m m i
z i i i
25
z
25 25 25 5
z m z m
1 1
z z .
Câu 34.
Li gii
Chn B
2 1 1 1 1T z i z i z i z i .
T Toán trng THPT ông Hà
37
t 1w z . Ta có 1w và 1 1T w i w i .
t .w x y i . Khi ó 2 2 22w x y .
1 1 1 1T x y i x y i 2 2 2 2
1. 1 1 1. 1 1x y x y
2 2 2 22 21 1 1 1 1 1x y x y 2 22 2 2 4 4x y
Vy max 4T .
1 1 1 6. i i
A z z z
Khi 6.z i A
Câu 36.
Li gii
Chn D
Qu tích M z là ng tròn tâm 1,0I bán kính 2R . Còn 2w z i MA vi 0,2A . Khi ó
max 2 5w IA R .
Câu 37.
Li gii
Chn C
t z a bi . Khi ó 2 4 2z i z i
2 4 2a b i a b i
2 2 222 4 2a b a b
4a b (1)
a b a b
ng thc xy ra 1 1
a b (2)
2
a
b
38



z x yi x y


.
Vy T là phn mt phng gia hai ng tròn 1C tâm 1 0;1I bán kính 1 2r và ng tròn 2C tâm
2 1;0I bán kính 2 4r .
Da vào hình v ta thy 1 20 , 5z i z là hai s phc có im biu din ln lt là 1 0; 1 , 5;0M M
có mô-un nh nht và ln nht. Do ó 1 2 5 5z z i i .
Câu 39.
Li gii
Chn D
Gi ;M a b là im biu din s phc z .
Theo : 4 4 10z z 2 22 24 4 10a b a b
2 2 22 2 24 100 4 20 4a b a b a b
2 220 4 100 16a b a
2 25 4 25 4a b a 2 2 225 8 16 625 16 200a a b a a
2 29 25 225a b 2 2
2 2 1
Da vào hình elip.
2 2 5 0a b max a b và 2 2 min 3 0a b b a .
Câu 40.
Li gii
Chn C
2 5 2
z i 2
23 2 25
2 x y

.
Tp hp im biu din s phc tha là ng tròn tâm 3
;2 2
M IO R
39
2 2
3 4 5 3 4 5z i a b (1) .
2 2 2 22 22 2 1 4 2 3P z z i a b a b a b
(2) .
T (1) và (2) ta có 2 220 64 8 22 137 0a P a P P (*) .
Phng trình (*) có nghim khi 24 184 1716 0P P
13 33 1258P w .
Câu 42.
Li gii
Chn C
Ta có: 1 1z Qu tích im M biu din s phc z là ng tròn C tâm 1;0I , bán kính 1R .
Mt khác
z OM
O C
min 0z .
Câu 43.
Li gii
Chn B
Ta có 2 4 13 0z z 1 2 3iz hoc 2 2 3iz .
Gi iz x y , vi ,x y .
Theo gi thit, 1 22 z z z z 2 2 2 2
2 2 3 2 3x y x y
2 2 2 2
2 2 2 5 16x y .
Suy ra tp hp các im biu din s phc z là min trong ca hình tròn C có tâm 2;5I , bán kính
4R , k c hình tròn ó.
Do ó, phn thc nh nht ca z là min 2x .
Câu 44.
Li gii
Chn B
2 2 2 2
z i . Vy qu tích im biu din cho s phc z là ng tròn
C tâm 1 3
T Toán trng THPT ông Hà
40
Biu thc 3T x y , vi 0T thì ta có 3 0
3 0
(2).
Khi ó im M là im thuc ng tròn C và mt trong hai ng thng trong (2).
iu kin mt trong hai ng thng trên ct ng tròn C là
4 2 2
Câu 45.
Li gii
Chn A




2 2 2
iz b ai b a
Ta chng minh
2 2
2
b a
Vy 1A .
Câu 46.
Li gii
Chn B
Ta có: 2 26 2
1 6 2 10 1 . 10 2 4 5 2 4 5. 1
i i z i i z z i x y
i
t
2 5 sin ; 4 5 cos ; 0;2x t y t t .
Lúc ó:
2 22
2 2
2 5 sin 4 5 cos 25 4 5 sin 8 5 cos
25 4 5 8 5 sin ;
z t t t t
t
2
max 3 5z t c khi 3 6z i .
Câu 47.
Li gii
Chn B
T Toán trng THPT ông Hà
41
Ta có: 3 4 5z i 3 4 5x y i 2 2
3 4 5x y , hay tp hp các im biu din
s phc z là ng tròn C có tâm 3;4I , bán kính 5r .
- Khi ó : 2 2
2P z z i 2 22 22 1x y x y 4 2 3x y
4 2 3 0x y P , kí hiu là ng thng .
- S phc z tn ti khi và ch khi ng thng ct ng tròn C
;d I r 23
Suy ra 33M và 13m 33 13w i .
Vy 1258w .
Câu 48.
Li gii
Chn B
Gi z x yi vi ,x y , gi M là im trong mt phng ta biu din s phc z . Ta
có: 1 1

2 1 3z z i 2 1 3x yi x y i
2 22 22 1 3x y x y
2 2
2 3 20x y .
Nh vy, tp hp im M biu din s phc z là ng tròn C tâm 2;3I và bán kính 2 5R .
Gi 0; 1A , 4;7B ln lt là các im biu din các s phc 1z i , 2 4 7z i . D thy ,A B thuc
ng tròn C . Vì 4 5 2AB R nên AB là ng kính ca ng tròn C 2 2 2 20MA MB AB .
T ó:
2 4 7P z i z i 2 4 7z i z i 2 2 2 22 1 2 10MA MB MA MB .
Du " " xy ra khi 2 2
2 2
Gi ; ;z x yi x y . Ta có: 2 2
1 2 2 1 2 4.z i x y
t 1 2sin ; 2 2cos ; 0;2x t y t t .
Lúc ó: 2 2 2 2 21 2sin 2 2cos 9 4sin 8cos 9 4 8 sin ;z t t t t t
2
9 4 5 sin 9 4 5 ; 9 4 5z t z
max 9 4 5z t c khi

5 5 z i .
42
Gi ;M x y là im biu din s phc z ta có: 2 4z i z i 2 22 22 4x y x y
3y ; 3 3 1z i im M nm trên ng tròn tâm 3;3I và bán kính bng 1. Biu thc
2P z AM trong ó 2;0A , theo hình v thì giá tr ln nht ca 2P z t c khi 4;3M nên
2 2
Câu 51.
Li gii
Chn D
t z a bi , ,a b .


3 4 1
z i
Ta li có: 2 22 2
1 2 1 2 1 22 3 4 3 4 6 8 hbh
z i z i z z z z i
.
25 5 z z i z z i .
Ta có: 1 2 1 2 1 2
6 56 6 8 6 8 6 8 6 8 10
5 5 z z z z i i z z i i .
Câu 52.
Li gii
Chn C
Gi iz x y , vi ,x y . Khi ó ;M x y là im biu din cho s phc z .
Theo gi thit, 5w 2 i 4z 5 w i 2 i 4 5iz 2 i w i 3 2iz
3 2i 3z . Suy ra ;M x y thuc ng tròn 2 2
: 3 2 9C x y .
Ta có 1 2i 5 2iP z z MA MB , vi 1;2A và 5;2B .
T Toán trng THPT ông Hà
43
Gi H là trung im ca AB , ta có 3;2H và khi ó:
P MA MB 2 22 MA MB hay 2 24P MH AB .
Mt khác, MH KH vi mi M C nên 2 24P KH AB 2 24 IH R AB 2 53 .
Vy max 2 53P khi M K
MA MB
5 5 .
Câu 53.
Li gii
Chn B
Gi ;M x y biu din s phc z x iy thì M thuc ng tròn 1C có tâm 1 1;1I , bán kính 1 1R .
;N x y biu din s phc w x iy thì N thuc ng tròn 2C có tâm 2 2; 3I , bán kính 2 2R .
Giá tr nh nht ca z w chính là giá tr nh nht ca on MN .
Ta có 1 2 1; 4I I 1 2 17I I 1 2R R 1C và 2C ngoài nhau.
minMN 1 2 1 2I I R R 17 3
Câu 54.
Li gii
Chn D
t ,z x yi x y . Do 3 4z w i nên 3 4w x y i .
Mt khác 9z w nên 2 2 2 22 3 2 4 4 4 12 16 25 9z w x y x y x y
2 22 2 6 8 28x y x y 1 . Suy ra 2 22 2 3 4T z w x y x y .
Áp dng bt ng thc Bunyakovsky ta có 2 2 22 2 2 6 8 25T x y x y 2 .
Du " " xy ra khi 2 22 2 3 4x y x y .
T 1 và 2 ta có 2 2. 28 25 106 106T T . Vy 106MaxT .
Câu 55.
Li gii
Chn C
44
Gi 4;5I , 1;0J .
Gi ,A B ln lt là các im biu din s phc 1 2,z z .
Khi ó A nm trên ng tròn tâm I bán kính 1R , B nm trên ng tròn tâm J bán kính 1R .
t z x yi , ,x y . Ta có:
4 8 4z i z i
4 8 4x yi i x yi i
2 2 22 4 8 4x y x y
16 16 64 0x y
: 4 0x y
Gi C là im biu din s phc z thì C .


,
21 1 d R

.
.
Gi 1A là im i xng vi A qua , suy ra 1A nm trên ng tròn tâm 1I bán kính 1R (vi 1I là im
i xng vi I qua ). Ta có 1 9;0I .
Khi ó: 1 1P CA CB CA CB A B nên minP 1 minA B 1A A
B B
1 1
8 I B I J 2;0B .

Câu 56.
Li gii
Chn B
45
2 2 221 3 1 1 3 z i z i a b a b
7 2
2
7
Gi s z a bi , ,a b z a bi .
Chia hai v cho i ta c: 2 2 10z i z i .
t ;M a b , ;N a b , 2;1A , 2; 1B , 2;1C NB MC .
Ta có: 10MA MC 2 2
: 1 25 21
X Y M E .
Elip này có phng trình chính tc vi h trc ta IXY , 0;1I là trung im AC .
Áp dng công thc i trc
22 1 1
1 25 21
X x yx
225sin 1 21cost t
max
1 21
1 21
Câu 58.
Li gii
Chn B
t iz x y vi ,x y và gi ;M x y là im biu din ca z trên Oxy , ta có
3 4 5z i 2 2
3 4 5x y
Và 2 2
2P z z i 2 22 22 1x y x y 4 2 3x y .
Nh vy 4 2 3P x y 4 3 2 4 23x y 2 22 24 2 . 3 4 23x y 33
Du “=” xy ra khi và ch khi

x y t
46
Vy P t giá tr ln nht khi 5 5z i 5 2z .
Câu 59.
Li gii
Chn A
Gi ; ;z x yi x y . Ta có: 1 . 1z z z
t 1t z , ta có 0 1 1 1 2 0;2 .z z z t
Ta có 2
2

Suy ra 22 2 21 . 1 2 1 2 1 3z z z z z z z z z x x t .
Xét hàm s 2 3 , 0; 2 .f t t t t Bng cách dùng o hàm, suy ra
13 13 3
f t f t M n .
Câu 60.
Li gii
Chn A
t 1 1 2t z z nên 0;2t .
Do 1z nên . 1z z 21 . 1 1P z z z z z z z z .
Ta có 22 1 1 1 . 1 2t z z z z z z z z z nên 2 2z z t .
Vy 2 3P f t t t , vi 0;2t .
Khi ó, 2
t t t
2 1 khi0 3
t t f t
Gi s phc iz x y , vi ,x y .
Theo gi thit, ta có 1z 2 2 1x y . Suy ra 1 1x .
Khi ó, 1 2 1P z z 2 22 21 2 1x y x y 2 2 2 2 2x x .
Suy ra 2 21 2 2 2 2 2P x x hay 2 5P , vi mi 1 1x .
Vy max 2 5P khi 2 2 2 2 2x x 3
5 x ,
47
Gi ; ;z x yi x y . Ta có: 2 2
3 4 5 : 3 4 5z i C x y : tâm 3; 4I và
5.R

Do s phc z tha mãn ng thi hai iu kin nên d và C có im chung
23

53 4 5
yx y
Câu 63.
Li gii
Chn A
Ta có 2 1 1 2 1iz i z i . Gi 0 1 2z i có im biu din là 1; 2I .
Gi A , B ln lt là các im biu din ca 1z , 2z . Vì 1 2 2z z nên I là trung im ca AB .
Ta có 2 2 2 2
1 2 2 4 16 4z z OA OB OA OB OI AB .
Du bng khi OA OB .
Câu 64.
Li gii
Chn D
Cách 1: Ta có: 1 2 3 2 3 10 z z z z z z
3 3 3 3
1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 1 2 3 2 3 2 33 3 z z z z z z z z z z z z z z z z z
3 3 3
1 2 3 1 2 33 z z z z z z 3 3 3
1 2 3 1 2 33 z z z z z z .
3 3 3
1 2 3 1 2 3 1 2 33 3 3 z z z z z z z z z
Mt khác 1 2 3 1 z z z nên 3 3 3
1 2 3 3 z z z . Vy phng án D sai.
Cách 2: thay th 1 2 3 1z z z vào các áp án, thy áp án D b sai
Câu 65.
Li gii
Chn C
các im biu din z là on thng AB
1 2 P z i MM vi M là im biu din s phc z , M là im biu din s phc 1 2 z i
Phng trình ng thng : 2 7 5 0 AB x y
Hình chiu vuông góc ca M lên AB là 1
87 13 ;
53 53
M
Ta có A nm gia 1M và B nên P MM ln nht 1 MM ln nht
8 3 M B z i
max 106 P .
48
Li gii
Chn B
.
3 4 5 3 4 5z i x y .
t 3 5 sinx t , 4 5 cosy t
Suy ra 4 5 sin 2 5 cos 23P t t .
Ta có 10 4 5sin 2 5 cos 10t t .
Do ó 13 33 33P M , 2 213 33 13 1258m w .
Câu 67.
Chn C
Li gii
Gi 0;1A , 1;3 , 1; 1B C . Ta thy A là trung im ca BC
2 2 2 2
2
BC MB MC MA MA .
Ta li có : 5 1 3 3 1z i z i z i
2 25 3 10.MA MB MC MB MC
2 225 10 2 10MA MA 2 5MA
Mà 2 3 2 4z i z i i 2 4z i i 2 5 4 5z i .
Du " " xy ra khi
2 3
2 5
Câu 68.
Li gii
Chn D
t z x yi vi x , y theo gi thit 2iz z 1y . d
Vy tp hp các im biu din s phc z là ng thng d .
Gi 0;1A , 4;0B suy ra 4z i z P là tng khong cách t im ; 1M x n hai im A , B .
Thy ngay 0;1A và 4;0B nm cùng phía vi d . Ly im i xng vi 0;1A qua ng thng d
ta c im 0; 3A .
Do ó khong cách ngn nht là 2 23 4 5A B .
Câu 69.
Li gii
Chn B
Ta có: 3 6 3 1 3 5 10u i u i 5 10
6 1 3 3
5 10
49
u có im biu din M thuc elip vi hai tiêu im 1 20;6 , 1;3F F , tâm 1 9
; 2 2
5 10 2
3 a
5 10
6 a .
1 2 1 21; 3 :3 6 0F F F F x y .
Ta có: 1 2v i v i v i NA NB
v có im biu din N thuc ng thng d là trung trc ca on AB vi 1; 2 , 0;1A B .
1;3AB , 1 1



min min , 3
Câu 70.
Li gii
Chn A
Gi ; , ;z a bi M a b M a b .
Ta có: 4 3 4 3z i a bi i 4 3 3 4a b a b i 4 3 ;3 4 , 4 3 ; 3 4N a b a b N a b a b .
Vì MM và NN cùng vuông góc vi trc Ox nên M , M , N , N là bn nh ca hình ch nht khi
MM NN
MN MM
3 3 .0 3 3 . 2 0
0,3 4 0
b a b
b a b

.
Khi ó: 4 5 5 4z i a b i 2 2
5 4a b 2 2
5 4a a

.
Vy giá tr nh nht ca 4 5z i là 1
2 khi
9 9
Gi z a bi , , a b
4 3 2 4 3 2 4 3 2 z i a ib i a b i
2 2
4 3 4 a b
Khi ó tp hp các im ;M a b biu din s phc z a bi thuc vào ng tròn C có tâm 4; 3I ,
2R . Ta có 2 23 4 5 OI .
Suy ra max
5 2 3 z OI R .
T Toán trng THPT ông Hà
50
Gi là ng thng qua hai im OI ta có
phng trình ca :3 4 0 x y . Gi M và N ln lt là hai giao im ca và C
sao cho 3OM và 7ON khi ó
3 12 9 ;
5 5 5
7 28 21 ;
5 5 5
Câu 72.
Li gii
Chn D
Gi z x yi ta có 2 3 2 3 2 3 z i x yi i x y i .
Theo gi thit 2 2
2 3 1 x y nên im M biu din cho s phc z nm trên ng tròn tâm 2;3I
bán kính 1R .
Ta có 2 2
1 1 1 1 1 1 z i x yi i x y i x y .
Gi ;M x y và 1;1H thì 22
1 1 HM x y .
Do M chy trên ng tròn, H c nh nên MH ln nht khi M là giao ca HI vi ng tròn.
Phng trình 2 3
x t HI
y t , giao ca HI và ng tròn ng vi t tha mãn:
2 2 1 9 4 1
13 t t t nên
3 2 3 2 2 ;3 , 2 ;3
13 13 13 13
M M .
Tính dài MH ta ly kt qu 13 1 HM .
Câu 73.
Li gii
Chn A
Gi i, ,z x y x y . Theo gi thit, ta có 2 22 4z x y .
Suy ra 2 , 2x y .
Khi ó, 2 1 2 1 4P z z z z i 2 22 22 1 1 2x y x y y
2 22 22 1 1 2P x y x y y 22 2 1 2y y .
Du “” xy ra khi 0x .
Xét hàm s 22 1 2f y y y trên on 2; 2 , ta có:
2
51
Suy ra
2; 2
khi 1
3 y .
Do ó 2 2 3 4 2 3P . Vy min 4 2 3P khi 1
i 3
Câu 74.
Li gii
Chn A
Ta có 1 13 5 2 2 6 10 4z i iz i 1 ; 2 21 2 4 3 6 3 12iz i z i 2 .
Gi A là im biu din s phc 12iz , B là im biu din s phc 23z . T 1 và 2 suy ra im A
nm trên ng tròn tâm 1 6; 10I và bán kính 1 4R ; im B nm trên ng tròn tâm 2 6;3I và bán
kính 2 12R .
Ta có 2 2
1 2 1 2 1 22 3 12 13 4 12 313 16T iz z AB I I R R .
Vy max 313 16T .
Ta có:
1 1 2
. 2 2 2
i i BA OA OB BA z z z z z z
Suy ra: 2 2 2OA OB AB và AB OB OAB là tam giác vuông cân ti B .
Câu 76.
Li gii
Chn A
Gi ; ; 2 2z x yi x y z i x y i . Ta có: 2 2
1 2 9 1 2 9z i x y .
t 1 3sin ; 2 3cos ; 0;2 .x t y t t
2 2 2
2 1 3sin 4 3cos 26 6 sin 4cos 26 6 17 sin ;z i t t t t t
max
26 6 17 2 26 6 17 2 26 6 17z i z i .
Câu 77.
Li gii
Chn B
52
Áp dng bt ng thc , u v u v ta c
2 222 4 4 4 2 4 0 5 1z z z z z z
2 22 22 4 4 2 4 0 5 1z z z z z z z
Vy, z nh nht là 5 1,  khi 5z i i và z ln nht là 5 1,  khi 5.z i i
Câu 78.
Li gii
Chn A
t z a bi ,a b thì 2 1 2z z 2
1 2a bi a bi
2 2 1 2 2a b abi a bi 2
2 2 2 2 2 21 4 4a b a b a b
4 4 2 2 2 21 2 6 2 0a b a b a b 2
2 2 21 4 0a b b 2 2 2 21 2 1 2 0a b b a b b
2 2
2 2


TH1: 2 2 1 2 0a b b 22 1 2a b .
Khi ó tp hp im ;M a b biu din s phc z là ng tròn có tâm 1 0;1I , bán kính 2R , giao
im ca OI (trc tung) vi ng tròn là 1 0; 2 1M và 2 0;1 2M
2 1 1 2w i i 2w i 2w
TH2: 2 2 1 2 0a b b 22 1 2a b .
Khi ó tp hp im ;M a b biu din s phc z là ng tròn có tâm 2 0; 1I , bán kính 2R , giao
im ca OI (trc tung) vi ng tròn là 3 0; 2 1M và 4 0; 2 1M
2 1 1 2w i i 2w i 2w .
Vi áp án ca trng H Vinh a ra là A thì ta chn s phc 1M và 3M có 2 2w i 2 2w nên
bài cha chun, có th chn phng án B.
Câu 79.
Li gii
Chn D
t 1 ; ,z a bi a b 2z b ai
1 2z z a b b a i .
Nên 2 2
1 2 12.z z a b b a z
Ta li có 1 1 12 1 1 2z i z i z
1 2 2z . Suy ra 1 2 12. 2 2 2z z z .
Du " " xy ra khi 0 1 1
a b
Câu 80.
Li gii
53
.
Nu 1T Không có s phc nào tho mãn yêu cu bài toán.
Nu 1
T T
.
Vy tp hp im biu din s phc T là hình tròn tâm 1;0I có bán kính 1
2 R .
Chn A
Gi ;M x y là im biu din ca s phc z x yi , ;N x y là im biu din ca s phc z x y i .
Ta có 2 2 25 5 5 5 5 5z x yi x y .
Vy M thuc ng tròn 2 2 2: 5 5C x y
1 3 3 6z i z i 1 3 3 6x y i x y i
2 2 2 2
1 3 3 6 8 6 35x y x y x y
T Toán trng THPT ông Hà
54
Vy N thuc ng thng :8 6 35x y
D thy ng thng không ct C và z z MN
Áp dng bt ng thc tam giác, cho b ba im , ,I M N ta có.
0MN IN IM IN R IN R
2 2
28 6 d I R


Câu 82.
Li gii
Chn A
Cách 1: Kí hiu Re : là phn thc ca s phc.
Ta có 2
1 2 3z z z 2 2 2
1 2 3 1 2 2 3 3 12Rez z z z z z z z z 1 2 2 3 3 13 2Re z z z z z z (1).
2
1 2 2 3 3 1z z z z z z 2 2 2
1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 2 3 3 1 3 1 1 22Rez z z z z z z z z z z z z z z z z z
2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 2 2 3 3 1 1 2 3 2 3 1 3 1 2. . . 2Rez z z z z z z z z z z z z z z
1 3 2 1 3 2 1 2 3 3 3 13 2Re 3 2Rez z z z z z z z z z z z (2).
T 1 và 2 suy ra 1 2 3 1 2 2 3 3 1z z z z z z z z z .
Các h khác: B hoc C úng suy ra D úngLoi B,
C.
Chn 1 2 3z z z A úng và D sai
Cách 2: thay th 1 2 3 1z z z vào các áp án, thy áp án D b sai
Câu 83.
Li gii
Chn D
Ta có 2 4 2 1 2 z z i z i 2 2 1 2 0 z i z i z i 2 0
2 1 2
z i z i .
Do ó tp hp các im N biu din s phc z trên mt phng ta Oxy là im 0;2A và ng trung
trc ca on thng BC vi 0; 2B , 1; 2C .
Ta có 1;0BC , 1
;0 2

M là trung im BC nên phng trình ng trung trc ca BC là : 2 1 0 x .
t 3;2D , 3DA , 7
, 2
d D .
Khi ó 3 2 P z i DN , vi N là im biu din cho z .
Suy ra min min , , 3 P DA d D .
Câu 84.
Li gii
Chn B
55
6
4
2
2
4
6
8
10
x
y
-1
A
B
-1
2
J
I
K
- Theo bài ra: 2 3 2 5z i z i 2 2 2 2
2 3 2 1 5x y x y
2 2


tp hp im biu din s phc z là min mt phng T tha mãn
2 2


- Gi 2; 6A , 2;2B là các giao im ca ng thng 2 2 0x y và ng tròn
2 2
: 2 1 25C x y .
- Ta có: 2 2 8 6P x y x y 2 2
4 3 25x y P .
Gi C là ng tròn tâm 4; 3J , bán kính 25R P .
- ng tròn C ct min T khi và ch khi
JK R JA IJ IK R IA 2 10 5 25 3 5P 40 20 10 20P
20M và 40 20 10m .
Vy 60 20 10M m .
Câu 85.
Li gii
Chn A
Gi iz x y , vi ,x y . Khi ó ;M x y là im biu din cho s phc z .
Theo gi thit, i 1 2i 3z 2 i 3z 2 2
2 1 9x y .
Ta có 2 5 2i 3 3iT z z 2 3MA MB , vi 5; 2A và 0;3B .
Nhn xét rng A , B , I thng hàng và 2 3IA IB .
Cách 1:
56
Gi là ng trung trc ca AB , ta có : 5 0x y .
2 3T MA MB PA PB . Du “” xy ra khi M P hoc M Q .
Gii h
2 2
5 0
; 2 2
Vy . 10 21M n .
Cách 2:
Ta có A , B , I thng hàng và 2 3IA IB nên 2 3 0IA IB .
2 22 3MA MB 2 2
2 3MI IA MI IB 2 2 25 2 3MI IA IB 105 .
Do ó 2
2 2. 2 3. 3T MA MB 2 25 2 3MA MB 525 hay 5 21T .
Khi ó max 5 21M T . Du “” xy ra khi M P hoc M Q .
Vy . 10 21M n .
4 15 1z z i i z z 2
4 15 1a bi a bi i i a bi a bi 2
8 15 2 1b a suy ra
15
2 2 2 21 1 1 1
3 2 1 2 6 8 15 4 24 36 4 32 21 2 2 2 2
z i a b b b b b b
Xét hàm s 24 32 21f x x x vi 15
8 x
8 32 0, 8
f x x x suy ra f x là hàm s ng bin trên 15
; 8

.
z i t giá tr nh nht bng 1 4353
2 16 khi
Câu 87.
Li gii
Chn C
t , z a bi a b . Do 1z nên 2 2 1 a b .
S dng công thc: . u v u v ta c&oac