Su alcuni problemi nella Teoria dei Linguaggi Formali Marcella Anselmo Clelia De Felice Rosalba...

“Su alcuni problemi nella Teoria dei Linguaggi

Formali”

Marcella Anselmo

Clelia De Felice

Rosalba Zizza

Unita’ di Salerno

Splicing Systems

Proposition

Let L be a regular language, t N, mi = wi [xi] be a constant class, with [xi] being a simple or finite class, i {1, ..., t}. Let

L(mi)={y L | y=y’1 m y’2, y’1 , y’2 A*, m mi }

Then, the language

L’ = t

i 1

L(mi)

is a finite splicing language.

Head, Goode, Pixton 2002 (?)

[Bonizzoni, cdf, Mauri, Zizza 2002]

Codici(teoria classica)

C A* code c1 , c2 , ..., ck , c’1 , c’2 , ..., ch C

[ c1 c2 ... ck= c’1 c’2 ... c’h h=k, i ci = c’i ]

(Finite codes)

C A* prefix code C C A+ =

C A* maximal code over A

(C’ code, C C’ C = C’ )

DEFINITIONS

Conjecture 1 (Schützenberger). Every finite maximal code can be obtained by composition of prefix and suffix codes.

(FALSE)

(Cèsari 1974, Boë 1978, Vincent 1985)

Conjecture 2 Every factorizing code can be obtained by substitution of prefix and suffix codes.

RESULTS

Proposition 1 Conjecture 2 is true for C=P(A-1)(1+w), w A*

Counterexamples to Conjecture 1 (Cèsari 1974, Boë 1978, Vincent

1985) can be obtained by substitution of prefix and suffix codes.

Proposition 2 C factorizing code, an C, n >1 such that

ai bz C i<n ; ybaj C j <n.

C can be obtained by substitution of factorizing codes C(h) with

ak C(h) , k < n.

Proposition 3 C=P(A-1)S+1 maximal code, PZ<a>, S Z<A>.

C can be obtained by substitution of prefix and suffix codes

[cdf, MFCS 00, IC 01]

Proposition 4 [cdf 02] The relation

defines a 3-code C which cannot be obtained by substitution (with other codes).

C=(a{0,2,4} + a{0,2,4}ba{0,7,9,11} ) (a+b-1) (a{0,1,6,7} + a{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}ba19 ) + 1

[cdf 02] Characterization of subsets C1 a*ba* such that

n N , a factorizing code C with

C1 an = C (a*ba* an)

Corollary [cdf 02] Given X a*ba* we can decide

whether a factorizing code C such that X C.

Proposition 5 [cdf IJAC 99]

Let C1 be a subset of a*ba* which satisfies inequalities

Then, there exists an arrangement of C1 over a matrix

• C1 = aI baJ + ai baLi (a-1) aJ + aMj (a-1) aI b aj 0iI’ jJ’

• aI aJ = (an-1) / (a-1)

such that, for any row Tp and any column Rq , (Tp, Rq) is a Hajós factorization of Zn having (I,J) as a Krasner companion factorization.

baabaa

baabaabaabaa

jiji

jiji

jiji

tstststs

tt

tt

, , , ,

,2,21,21,2

,1 ,11,11,1

C1 =

Equazioni tralinguaggi

Equazione di coniugazione XZ=ZY per linguaggi X,Y,Z.

Problema 1: Dato Z, caratterizzare (X,Y) tali che XZ=ZY

Problema 2: Data (X,Y), caratterizzare Z tale che XZ=ZY

• Generalizzazione della equazione di commutazione XZ=ZX tra linguaggi (risolta per |X|=2 e per X prefisso [ Choffut, Karhumaki, Ollinger 1999; Ratoandramanana 1989] ).

• Estensione ai linguaggi della equazione di coniugazione tra parole xz=zy.

RISULTATI NOTI

Caratterizzazione di Z tale che XZ=ZY con |X|=|Y|=2

Caratterizzazione di (X,Y) tali che XZ=ZY con:

- Z biprefisso e |Z|=2

- Z biprefisso, con soluzioni non overlapping

[Cassaigne, Karhumaki, Manuch 2001]

Z biprefisso

X,Y overlapping

X,Y non overlappingx z

z’ y

x z

z’ y

OPEN: XZ=ZY, Z biprefisso, X,Y overlapping

Z uniforme X=Y

XZ = ZX risolta per Z prefisso

[Choffut, Karhumaki, Ollinger 1999; Ratoandramanana 1989]

CONTRIBUTI [cdf, Zizza 02]z’ y

x z

i, wZ t.c. |w|=i X=Y

Codici(teoria non classica)

Decifrabilita’ di codici

UD (unica decodifica di concatenazione di parole di codice)

MSD (unica decodifica a meno di una permutazione delle parole di codice)

SD (unica decodifica sullo stesso insieme delle parole di codice)

UD MSD SD

• Ogni UD soddisfa la disuguaglianza di Kraft-McMillan.

• Esistono MSD che non soddisfano la disuguaglianza di Kraft-

McMillan [Restivo, 1989]

|C|=2 UD = MSD = SD

|C|=4 UD MSD SD

C={c1 , c2 , c3 }

UD = MSD =SD|c1 | = | c2 | | c3 |

[Blanchet-Sadri, 2001]

[Guzman 95;

Head,Webwer 95]

[Lempel 86; Guzman 95]

RISULTATI NOTI E PROBLEMI APERTI

?

Distribuzione di lunghezze

uX =(un) n1(length ditribution of XA+ )un= Card(XAn)

uX(z)= un zn

Problema 1 Caratterizzazione della distribuzione delle lunghezze

di un codice biprefisso

Problema 2 Semplificazione della caratterizzazione della

distribuzione delle lunghezze di un codice circolare

(Risultati parziali ed una congettura [Ahlswede, Balkenhol, Khachatrian, 1997])

1. CONVEGNO

2. LETTERA

3. INVITI