“Su alcuni problemi nella Teoria dei Linguaggi

Formali”

Marcella Anselmo

Clelia De Felice

Rosalba Zizza

Unita’ di Salerno

Splicing Systems

Proposition

Let L be a regular language, t N, mi = wi [xi] be a constant class, with [xi] being a simple or finite class, i {1, ..., t}. Let

L(mi)={y L | y=y’1 m y’2, y’1 , y’2 A*, m mi }

Then, the language

L’ = t

i 1

L(mi)

is a finite splicing language.

Head, Goode, Pixton 2002 (?)

[Bonizzoni, cdf, Mauri, Zizza 2002]

Codici(teoria classica)

C A* code c1 , c2 , ..., ck , c’1 , c’2 , ..., ch C

[ c1 c2 ... ck= c’1 c’2 ... c’h h=k, i ci = c’i ]

(Finite codes)

C A* prefix code C C A+ =

C A* maximal code over A

(C’ code, C C’ C = C’ )

DEFINITIONS

Conjecture 1 (Schützenberger). Every finite maximal code can be obtained by composition of prefix and suffix codes.

(FALSE)

(Cèsari 1974, Boë 1978, Vincent 1985)

Conjecture 2 Every factorizing code can be obtained by substitution of prefix and suffix codes.

RESULTS

Proposition 1 Conjecture 2 is true for C=P(A-1)(1+w), w A*

Counterexamples to Conjecture 1 (Cèsari 1974, Boë 1978, Vincent

1985) can be obtained by substitution of prefix and suffix codes.

Proposition 2 C factorizing code, an C, n >1 such that

ai bz C i<n ; ybaj C j <n.

C can be obtained by substitution of factorizing codes C(h) with

ak C(h) , k < n.

Proposition 3 C=P(A-1)S+1 maximal code, PZ<a>, S Z<A>.

C can be obtained by substitution of prefix and suffix codes

[cdf, MFCS 00, IC 01]

Proposition 4 [cdf 02] The relation

defines a 3-code C which cannot be obtained by substitution (with other codes).

C=(a{0,2,4} + a{0,2,4}ba{0,7,9,11} ) (a+b-1) (a{0,1,6,7} + a{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}ba19 ) + 1

[cdf 02] Characterization of subsets C1 a*ba* such that

n N , a factorizing code C with

C1 an = C (a*ba* an)

Corollary [cdf 02] Given X a*ba* we can decide

whether a factorizing code C such that X C.

Proposition 5 [cdf IJAC 99]

Let C1 be a subset of a*ba* which satisfies inequalities

Then, there exists an arrangement of C1 over a matrix

• C1 = aI baJ + ai baLi (a-1) aJ + aMj (a-1) aI b aj 0iI’ jJ’

• aI aJ = (an-1) / (a-1)

such that, for any row Tp and any column Rq , (Tp, Rq) is a Hajós factorization of Zn having (I,J) as a Krasner companion factorization.

baabaa

baabaabaabaa

jiji

jiji

jiji

tstststs

tt

tt

, , , ,

,2,21,21,2

,1 ,11,11,1

C1 =

Equazioni tralinguaggi

Equazione di coniugazione XZ=ZY per linguaggi X,Y,Z.

Problema 1: Dato Z, caratterizzare (X,Y) tali che XZ=ZY

Problema 2: Data (X,Y), caratterizzare Z tale che XZ=ZY

• Generalizzazione della equazione di commutazione XZ=ZX tra linguaggi (risolta per |X|=2 e per X prefisso [ Choffut, Karhumaki, Ollinger 1999; Ratoandramanana 1989] ).

• Estensione ai linguaggi della equazione di coniugazione tra parole xz=zy.

RISULTATI NOTI

Caratterizzazione di Z tale che XZ=ZY con |X|=|Y|=2

Caratterizzazione di (X,Y) tali che XZ=ZY con:

- Z biprefisso e |Z|=2

- Z biprefisso, con soluzioni non overlapping

[Cassaigne, Karhumaki, Manuch 2001]

Z biprefisso

X,Y overlapping

X,Y non overlappingx z

z’ y

x z

z’ y

OPEN: XZ=ZY, Z biprefisso, X,Y overlapping

Z uniforme X=Y

XZ = ZX risolta per Z prefisso

[Choffut, Karhumaki, Ollinger 1999; Ratoandramanana 1989]

CONTRIBUTI [cdf, Zizza 02]z’ y

x z

i, wZ t.c. |w|=i X=Y

Codici(teoria non classica)

Decifrabilita’ di codici

UD (unica decodifica di concatenazione di parole di codice)

MSD (unica decodifica a meno di una permutazione delle parole di codice)

SD (unica decodifica sullo stesso insieme delle parole di codice)

UD MSD SD

• Ogni UD soddisfa la disuguaglianza di Kraft-McMillan.

• Esistono MSD che non soddisfano la disuguaglianza di Kraft-

McMillan [Restivo, 1989]

|C|=2 UD = MSD = SD

|C|=4 UD MSD SD

C={c1 , c2 , c3 }

UD = MSD =SD|c1 | = | c2 | | c3 |

[Blanchet-Sadri, 2001]

[Guzman 95;

Head,Webwer 95]

[Lempel 86; Guzman 95]

RISULTATI NOTI E PROBLEMI APERTI

?

Distribuzione di lunghezze

uX =(un) n1(length ditribution of XA+ )un= Card(XAn)

uX(z)= un zn

Problema 1 Caratterizzazione della distribuzione delle lunghezze

di un codice biprefisso

Problema 2 Semplificazione della caratterizzazione della

distribuzione delle lunghezze di un codice circolare

(Risultati parziali ed una congettura [Ahlswede, Balkenhol, Khachatrian, 1997])

1. CONVEGNO

2. LETTERA

3. INVITI