Statistika - PMF Niš

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 1/349

STATISTIKA

Miroslav M. Risti

Katedra za MatematikuPrirodno-matematiqki fakultet

Univerzitet u Nixu

2008/2009

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 2/349

Literatura

Miroslav M. Risti, Biljana Q. Popovi, Miodrag S.orevi, Statistika za studente geografije,Prirodno-matematiqki fakultet, Nix, 2006.

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 3/349

Naqin polaganja ispita

Deo ispita Poena Naqin polaganjaI kolokvijum 20 PismenoII kolokvijum 20 PismenoDomai zadaci 10Ukupno 50Uslov 15

Zavrxni deo 50 PismenoAktivnost na qasu Maksimalno 10

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 4/349

Osnovni elementi teorije verovatnoe

Eksperimenti

Mogu biti:

deterministiqki (u svakom ponavljanju eksperimenta priistim uslovima dobija se uvek isti rezultat)

sluqajni (ne moemo da predvidimo rezultat)

Primer

Uslov eksperimenta: Zagrevanje vode preko 100 pri

normalnom atmosferskom pritiskuRezultat eksperimenta: Agregatno stanje vode (uvek gasovito)Uslov eksperimenta: Bacanje kocke numerisane brojevima od 1do 6Rezultat eksperimenta: Broj koji se pojavio na gornjoj strani

kocke (moe 1, 2, 3, 4, 5 ili 6)

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 5/349

Ishodi

Ishod

Rezultat eksperimenta naziva se i ishodom.

Napomena

Prilikom izvoenja eksperimenta potrebno je preciziratixta se registruje kao rezultat eksperimenta.

Primer

Eksperiment: Bacanje jednog novqiaXta se registruje: Gornja strana novqia

Ishodi:

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 6/349

Primer

Eksperiment: Bacanje dva novqiaXta se registruje: Strane u prvom i drugom bacanjuIshodi:

PP

PG

GP

GG

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 7/349

PrimerEksperiment: Novqi se baca dva putaXta se registruje: Broj palih grbovaIshodi: 0, 1, 2

Primer

Eksperiment: Baca se kocka

Xta se registruje: Broj koji je pao na gornjoj strani

Ishodi:

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 8/349

Primer

Eksperiment: Novqi se baca sve dok ne padne grbXta se registruje: Broj bacanjaIshodi: 1, 2, 3, . . .

... ...

... . . .

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 9/349

Primer

Eksperiment: Na odreenom mestu i u odreeno vreme meri sevlanost vazduha u %Ishodi: Bilo koji broj iz intervala [0, 100]

Elementaran ishod

Elementaran ishod je osnovni pojam teorije verovatnoe ioznaqava se sa ω.

Skup svih moguih ishodaSkup svih moguih ishoda jednog eksperimenta oznaqava se saΩ.

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 10/349

Primer

Eksperiment: Bacanje jednog novqia i registrovanje gornjestrane novqiaSkup moguih ishoda: Ω = P, G

PrimerEksperiment: Bacanje dva novqia i registrovanje gornjihstrana novqiaSkup moguih ishoda: Ω = PP, PG, GP, GG

Primer

Eksperiment: Novqi se baca dva puta i registruje se brojpalih grbovaSkup moguih ishoda: Ω = 0, 1, 2

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 11/349

Primer

Eksperiment: Baca se kocka numerisana brojevima od 1 do 6 iregistruje se broj koji je pao na gornjoj strani kockeSkup moguih ishoda: Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6

PrimerEksperiment: Novqi se baca sve dok ne padne grb iregistruje se broj bacanjaSkup moguih ishoda: Ω = 1, 2, 3, . . .

Primer

Eksperiment: Na odreenom mestu i u odreeno vreme meri sevlanost vazduha u %Skup moguih ishoda: Ω = v |0 ≤ v ≤ 100

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 12/349

Skup moguih ishoda

Skup moguih ishoda moe biti:

konaqan

Ω = P, G,Ω = PP, PG, GP, GG,Ω = 0, 1, 2,Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6

beskonaqno prebrojiv

Ω = 1, 2, 3, . . . neprebrojiv

Ω = v |0 ≤ v ≤ 100

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 13/349

Sluqajni dogaaji

Sluqajni dogaaj

Bilo koji podskup skupa Ω zove se sluqajni dogaaj.

Oznaqavanje

Sluqajne dogaaje oznaqavamo velikim slovima abecede A, B ,C , itd.

Realizacija dogaajaSluqajni dogaaj A se realizuje ako i samo ako se realizujeneki od elementarnih ishoda koji pripada dogaaju A.

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 14/349

Specijalni dogaaji

Siguran dogaaj

Skup moguih ishoda Ω je takoe dogaaj. On sadri sveelementarne ishode, te se uvek realizuje. Zove se sigurandogaaj.

Nemogu dogaaj

Prazan skup ∅ je takoe dogaaj. On ne sadri elementarneishode, te se nikada ne realizuje. Zove se nemogu dogaaj.

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 15/349

PrimerBaca se homogena numerisana kocka i registruje se broj kojise pojavio na gornjoj strani kocke. Odrediti skup moguihishoda i dogaaje: a) A-”pada broj 6”, b) B -”pada broj ne veiod 3”, v) C -”pada neparan broj”, g) D -”padaju istovremeno

brojevi 2 i 3”, d) E -”pada broj razliqit od 2”.

Rexenje:Skup moguih ishoda je Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6.A = 6

B = 1, 2, 3C = 1, 3, 5D = ∅E = 1, 3, 4, 5, 6

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 16/349

Primer

Baca se homogena numerisana kocka i registruje se broj kojise pojavio na gornjoj strani kocke. Odrediti skup moguihishoda i dogaaje: a) A-”pada broj 3”, b) B -”pada broj manjiod 3”, v) C -”ne pada nijedan broj”, g) D -”pada paran broj”, d)E -”padaju dva broja”, ) F -”pada jedan od brojeva 2 ili 3”, e)

G -”pada broj vei od 1”.Rexenje:Skup moguih ishoda je Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6.A = 3

B = 1, 2C = ∅D = 2, 4, 6E = ∅F = 2, 3

G = 2, 3, 4, 5, 6

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 17/349

Primer

Novqi se baca qetiri puta i registruje se gornja strananovqia u svakom bacanju. Odrediti skup moguih ishoda idogaaje: a) A-”pismo pada vixe puta nego grb”, b) B -”pismopada taqno dva puta”, v) C -”pismo pada vixe od dva puta”, g)D -”rezultati svih bacanja su isti”, d) E -”sva qetiri puta

pada grb”.Rexenje:Skup moguih ishoda je Ω = PPPP, PPPG, PPGP, PGPP,GPPP, PPGG, PGPG, PGGP, GPPG, GPGP, GGPP, PGGG,

GPGG, GGPG, GGGP, GGGGA = PPPP, PPPG, PPGP, PGPP, GPPPB = PPGG, PGPG, PGGP, GPPG, GPGP, GGPPC = PPPP, PPPG, PPGP, PGPP, GPPP = A

D = PPPP,GGGG

E = GGGG

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 18/349

Primer

Bacaju se dve numerisane kocke i registruju se brojevi nagornjim stranama kocki. Odrediti skup moguih ishoda idogaaje: a) A-”na obema kockama pada broj qetiri”, b) B -”na

obema kockama pada isti broj”, v) C -”padaju brojevi 2 i 3”, g)D -”padaju brojevi qiji je zbir 10”, d) E -”padaju brojevi qiji je zbir 8 ili 10”.

Rexenje:

Ishod moemo predstaviti kao ureeni par (x , y ), gde je x broj na prvoj, a y broj na drugoj kocki.

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 19/349

Ω = (x , y )|1 ≤ x , y ≤ 6

1 2 3 4 5 6

1

2

3

4

5

6

(1,1)

(1,2)

(1,3)

(1,4)

(1,5)

(1,6)

(2,1)

(2,2)

(2,3)

(2,4)

(2,5)

(2,6)

(3,1)

(3,2)

(3,3)

(3,4)

(3,5)

(3,6)

(4,1)

(4,2)

(4,3)

(4,4)

(4,5)

(4,6)

(5,1)

(5,2)

(5,3)

(5,4)

(5,5)

(5,6)

(6,1)

(6,2)

(6,3)

(6,4)

(6,5)

(6,6)

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 20/349

A = (4, 4)

1 2 3 4 5 6

1

2

3

4

5

6

(1,1)

(1,2)

(1,3)

(1,4)

(1,5)

(1,6)

(2,1)

(2,2)

(2,3)

(2,4)

(2,5)

(2,6)

(3,1)

(3,2)

(3,3)

(3,4)

(3,5)

(3,6)

(4,1)

(4,2)

(4,3)

(4,4)

(4,5)

(4,6)

(5,1)

(5,2)

(5,3)

(5,4)

(5,5)

(5,6)

(6,1)

(6,2)

(6,3)

(6,4)

(6,5)

(6,6)

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 21/349

B = (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)

1 2 3 4 5 6

1

2

3

4

5

6

(1,1)

(1,2)

(1,3)

(1,4)

(1,5)

(1,6)

(2,1)

(2,2)

(2,3)

(2,4)

(2,5)

(2,6)

(3,1)

(3,2)

(3,3)

(3,4)

(3,5)

(3,6)

(4,1)

(4,2)

(4,3)

(4,4)

(4,5)

(4,6)

(5,1)

(5,2)

(5,3)

(5,4)

(5,5)

(5,6)

(6,1)

(6,2)

(6,3)

(6,4)

(6,5)

(6,6)

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 22/349

C = (2, 3), (3, 2)

1 2 3 4 5 6

1

2

3

4

5

6

(1,1)

(1,2)

(1,3)

(1,4)

(1,5)

(1,6)

(2,1)

(2,2)

(2,3)

(2,4)

(2,5)

(2,6)

(3,1)

(3,2)

(3,3)

(3,4)

(3,5)

(3,6)

(4,1)

(4,2)

(4,3)

(4,4)

(4,5)

(4,6)

(5,1)

(5,2)

(5,3)

(5,4)

(5,5)

(5,6)

(6,1)

(6,2)

(6,3)

(6,4)

(6,5)

(6,6)

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 23/349

D = (4, 6), (5, 5), (6, 4)

1 2 3 4 5 6

1

2

3

4

5

6

(1,1)

(1,2)

(1,3)

(1,4)

(1,5)

(1,6)

(2,1)

(2,2)

(2,3)

(2,4)

(2,5)

(2,6)

(3,1)

(3,2)

(3,3)

(3,4)

(3,5)

(3,6)

(4,1)

(4,2)

(4,3)

(4,4)

(4,5)

(4,6)

(5,1)

(5,2)

(5,3)

(5,4)

(5,5)

(5,6)

(6,1)

(6,2)

(6,3)

(6,4)

(6,5)

(6,6)

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 24/349

E = (2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2), (4, 6), (5, 5), (6, 4)

1 2 3 4 5 6

1

2

3

4

5

6

(1,1)

(1,2)

(1,3)

(1,4)

(1,5)

(1,6)

(2,1)

(2,2)

(2,3)

(2,4)

(2,5)

(2,6)

(3,1)

(3,2)

(3,3)

(3,4)

(3,5)

(3,6)

(4,1)

(4,2)

(4,3)

(4,4)

(4,5)

(4,6)

(5,1)

(5,2)

(5,3)

(5,4)

(5,5)

(5,6)

(6,1)

(6,2)

(6,3)

(6,4)

(6,5)

(6,6)

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 25/349

Dogaaji

Implikacija dogaaja

Dogaaj A implicira dogaaj B i pixemo A ⊂ B , ako kad god se realizuje A realizuje se i B .

Ω

B

A

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 26/349

Dogaaji

Suprotan dogaaj

Suprotan dogaaj dogaaju A, u oznaci Ac , je dogaaj koji serealizuje onda i samo onda kada se dogaaj A ne realizuje.

Ω

A

Ac

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 27/349

Dogaaji

Presek dogaaja

Presek dva dogaaja A i B , u oznaci A ∩ B , je dogaaj koji serealizuje ako i samo ako se istovremeno realizuju obadogaaja A i B .

Oznaka

Presek dva dogaaja A ∩ B moe se zapisati i kao proizvod dva dogaaja AB .

A B

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 28/349

Dogaaji

Unija dogaaja

Unija dva dogaaja A i B , u oznaci A ∪ B , je dogaaj koji serealizuje ako i samo ako se realizuje bar jedan od dogaaja A

ili B .

A B

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 29/349

Dogaaji

Disjunktni dogaaji

Dogaaji A i B su disjunktni ili uzajamno iskljuqivi ako jeA ∩ B = ∅.

Zbir dogaaja

Ako su dogaaji A i B disjunktni, tada se umesto termina

unija dogaaja koristi termin zbir dogaaja i pixe A + B .

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 30/349

Dogaaji

Razlika dogaaja

Razlika dogaaja A i B , u oznaci A\B , je dogaaj koji serealizuje ako i samo ako se realizuje dogaaj A i ne realizujedogaaj B .

A B

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 31/349

Primer

Neka se eksperiment sastoji u istovremenom bacanju kocke inovqia. Registruju se broj koji se pojavio na gornjoj stranikocke i gornja strana novqia. Odrediti sledee dogaaje:

A-”pojavljuje se paran broj”, B -”pojavljuje se pismo”,C -”pojavljuje se broj deljiv sa 4”, A ∪ B , A ∩ B , Ac , A\B . Da lidogaaj C implicira dogaaj A?

Rexenje:

Ishod moemo predstaviti kao ureeni par (x , y ), gde je x broj na kocki, a y je pojavljivanje jedne strane novqia.

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 32/349

Ω = (x , y )|1 ≤ x ≤ 6, y ∈ P,G

1 2 3 4 5 6

P

G

(1,P) (2,P) (3,P) (4,P) (5,P) (6,P)

(1,G) (2,G) (3,G) (4,G) (5,G) (6,G)

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 33/349

A = (2, P), (2, G), (4, P), (4, G), (6, P), (6, G)

1 2 3 4 5 6

P

G

(1,P) (2,P) (3,P) (4,P) (5,P) (6,P)

(1,G) (2,G) (3,G) (4,G) (5,G) (6,G)

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 34/349

B = (1, P), (2, P), (3, P), (4, P), (5, P), (6, P)

1 2 3 4 5 6

P

G

(1,P) (2,P) (3,P) (4,P) (5,P) (6,P)

(1,G) (2,G) (3,G) (4,G) (5,G) (6,G)

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 35/349

C = (4, P), (4, G)

1 2 3 4 5 6

P

G

(1,P) (2,P) (3,P) (4,P) (5,P) (6,P)

(1,G) (2,G) (3,G) (4,G) (5,G) (6,G)

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 36/349

A ∪ B = (1, P), (2, P), (3, P), (4, P), (5, P), (6, P), (2, G), (4, G), (6, G)

1 2 3 4 5 6

P

G

(1,P) (2,P) (3,P) (4,P) (5,P) (6,P)

(1,G) (2,G) (3,G) (4,G) (5,G) (6,G)

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 37/349

A ∩ B = (2, P), (4, P), (6, P)

1 2 3 4 5 6

P

G

(1,P) (2,P) (3,P) (4,P) (5,P) (6,P)

(1,G) (2,G) (3,G) (4,G) (5,G) (6,G)

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 38/349

Ac = (1, P), (1, G), (3, P), (3, G), (5, P), (5, G)

1 2 3 4 5 6

P

G

(1,P) (2,P) (3,P) (4,P) (5,P) (6,P)

(1,G) (2,G) (3,G) (4,G) (5,G) (6,G)

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 39/349

A\B = (2, G), (4, G), (6, G)

1 2 3 4 5 6

P

G

(1,P) (2,P) (3,P) (4,P) (5,P) (6,P)

(1,G) (2,G) (3,G) (4,G) (5,G) (6,G)

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 40/349

Primer

Neka dogaaj A znaqi da je bar jedan od tri proizvedenaartikla neispravan, a neka dogaaj B znaqi da su najmanje dva

artikla neispravna. Odrediti dogaaje Ac

, B c

, AB , AB c

, Ac

B ,A ∪ B .

Rexenje:Oznaqimo sa I pojavu ispravnog artikla, a sa D pojavu

neispravnog artikla.

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 41/349

IDD

DID

DDI

IID

IDI

DII

III DDD

Ω

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 42/349

A

IDD

DID

DDI

IID

IDI

DII

III DDD

Ω

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 43/349

A B

IDD

DID

DDI

IID

IDI

DII

III DDD

Ω

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 44/349

AAc

IDD

DID

DDI

IID

IDI

DII

III DDD

Ω

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 45/349

B B c

IDD

DID

DDI

IID

IDI

DII

III DDD

Ω

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 46/349

AB = B

IDD

DID

DDI

IID

IDI

DII

III DDD

Ω

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 47/349

AB c

IDD

DID

DDI

IID

IDI

DII

III DDD

Ω

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 48/349

Ac B

IDD

DID

DDI

IID

IDI

DII

III DDD

ΩAc B = ∅

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 49/349

A ∪ B = A

IDD

DID

DDI

IID

IDI

DII

III DDD

Ω

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 50/349

Primer

Neka su A, B i C tri dogaaja. Napisati pomou osnovnihoperacija izraze za dogaaje: 1. ostvari se samo A, 2. ostvare

se A i B , 3. ostvare se sva tri dogaaja, 4. ostvari se bar jedan od tih dogaaja, 5. ostvare se bar dva dogaaja, 6.ostvari se samo jedan od tih dogaaja, 7. ostvare se taqno dvadogaaja, 8. ne ostvari se ni jedan od tih dogaaja, 9.ostvari se vixe od dva dogaaja.

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 51/349

Ω

A

B

C

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 52/349

”Ostvari se samo A” = AB

c

C

c

Ω

A

B

C

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 53/349

”Ostvare se A i B ”= AB

Ω

A

B

C

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 54/349

”Ostvare se sva tri dogaaja”= ABC

Ω

A

B

C

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 55/349

”Ostvari se bar jedan dogaaj”= A

∪B

∪C

Ω

A

B

C

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 56/349

”Ostvare se bar dva dogaaja”= AB

∪AC

∪BC

Ω

A

B

C

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 57/349

”Ostvari se samo jedan dogaaj”= AB c C c + Ac BC c + Ac B c C

Ω

A

B

C

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 58/349

”Ostvare se taqno dva dogaaja”= ABC c + AB c C + Ac BC

Ω

A

B

C

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 59/349

”Ne ostvari se ni jedan dogaaj”= Ac B c C c

Ω

A

B

C

Potpun sistem dogaaja

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 60/349

Potpun sistem dogaaja

Definicija

Za meusobno disjunktne dogaaje A1, A2, . . . , An kaemo daqine potpun sistem dogaaja ako je njihov zbir sigurandogaaj Ω, tj. A1 + A2 + · · · + An = Ω.

Ω

A1 A2 A3

A4 A5

Potpun sistem dogaaja

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 61/349

Potpun sistem dogaaja

Primer

Neka je skup moguih ishoda Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Ispitati da li sledei dogaaji qine potpun sistemdogaaja:

1 A1 = 1, 2, 3, A2 = 4, 5, A3 = 7, 8, 9

2 A1 = 1, 2, 3, A2 = 4, 5, 6, 9, A3 = 4, 7, 8

3 A1 = 1, 2, 3, A2 = 4, 5, 6, 9, A3 = 7, 8

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 62/349

A1 = 1, 2, 3, A2 = 4, 5, A3 = 7, 8, 9

Ω

1 2 3

4 5 6

7 8 9

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 63/349

A1 = 1, 2, 3, A2 = 4, 5, 6, 9, A3 = 4, 7, 8

Ω

1 2 3

4 5 6

7 8 9

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 64/349

A1 = 1, 2, 3, A2 = 4, 5, 6, 9, A3 = 7, 8

Ω

1 2 3

4 5 6

7 8 9

Zadaci

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 65/349

Zadaci

Zadatak 1

Strelac ima 4 metka i gaa u cilj sve dok ne pogodi dva puta

uzastopno ili dok ne izgubi xansu da ispuni taj uslov.Belei se rezultat svakog gaanja. Odrediti skup moguihishoda Ω i dogaaje:

A-”cilj je pogoen bar dva puta”

B -”ostao je neiskorixen bar jedan metak”

C -”bilo je vixe promaxaja nego pogodaka”

Zadaci

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 66/349

Zadaci

Zadatak 2Neka je Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A = 1, 2, 3, 4, B = 2, 4, 6, 8 iC = 3, 4, 5, 6. Odrediti dogaaje Ac , AC , (AC )c , A ∪ B , B \C .

Zadaci

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 67/349

Zadaci

Zadatak 3

Neka je Ω = a , b , c , d , e , f , g . Ispitati da li sledei dogaaji

qine potpun sistem dogaaja:1 A1 = a , c , e , A2 = b , A3 = d , g

2 B 1 = a , e , g , B 2 = c , d , B 3 = b , e , f

3 C 1 = a , b , e , g , C 2 = c , C 3 = d , f

4 D 1 = a , b , c , d , e , f , g

Verovatnoa

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 68/349

r

Ispravan novqi bacamo 100 puta i registrujemo da li jepao grb (dogaaj A).

Neka je n (A) broj eksperimenata u kojima se realizovaodogaaj A.

Izraqunavamo koliqnike n (A)n

za n = 1, 2, 3, . . . , 100.

Taqke

n ,n (A)

n

, n = 1, 2, . . . , 100, spajamo izlomljenom

linijom.

0.5

1001

Verovatnoa

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 69/349

r

Homogenu kocku bacamo 100 puta i registrujemo da li jepao broj 1 (dogaaj A1), broj 2 (dogaaj A2), . . . , broj 6(dogaaj A6).

Neka je n (Ai ) broj eksperimenata u kojima se realizovaodogaaj Ai , i = 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Izraqunavamo koliqnike n (Ai )n

za n = 1, 2, 3, . . . , 100,i = 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Taqke

n , n (Ai )n

, n = 1, 2, . . . , 100, i = 1, 2, 3, 4, 5, 6, spajamo

izlomljenom linijom.

1/6

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 70/349

1/6

1001

1/6

1001

1/6

1001

1/6

1001

1/6

1001

1/6

1001

Verovatnoa

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 71/349

r

Pravilnost

Pri uveanju broja n , koliqnik n (A)n

se sve vixe grupixe okoodreenog broja.

Verovatnoa dogaaja

Broj oko koga se grupixe koliqnik n (A)n

kada se n neograniqenouveava zove se verovatnoa dogaaja A i oznaqava se sa P (A).

Klasiqna definicija

Neka eksperiment ima n elementarnih ishoda i neka je m

ishoda povoljno za dogaaj A. Verovatnoa dogaaja A je broj

P (A) = m

n .

Verovatnoa

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 72/349

Primer

Baca se kocka i registruje se broj na gornjoj strani. Naiverovatnou da taj broj bude:

1 broj 22 broj koji nije vei od 4

3 neparan broj

4 broj 3 ili broj 4

5 broj razliqit od 46 broj koji nije manji od 3

Verovatnoa

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 73/349

Rexenje

Skup moguih ishoda je Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6, te je n = 6.

1 A-”pada broj 2”= 2, m = 1⇒ P (A) = 1

6

2 A-”pada broj ne vei od 4”= 1, 2, 3, 4, m = 4⇒ P (A) = 46

3 A-”pada neparan broj”= 1, 3, 5, m = 3⇒ P (A) = 3

6

4 A-”pada broj 3 ili broj 4”= 3, 4, m = 2⇒ P (A) = 2

6

5 A-”pada broj razliqit od 4”= 1, 2, 3, 5, 6,m = 5⇒ P (A) = 5

6

6 A-”pada broj ne manji od 3”= 3, 4, 5, 6, m = 4⇒ P (A) = 4

6

Primer

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 74/349

r r

Kutija sadri pet artikala. Poznato je da su meu njima dva

defektna. Artikli se izvlaqe jedan za drugim i registruje seda li je izvuqeni artikal defektan ili nije. Naiverovatnou da je trei izvuqeni artikal poslednji defektankoji je izvuqen.

Rexenje: Obeleimo sa ”D” defektan i sa ”I” ispravanartikal. Tada su mogui ishodi

Izvlaqenje IzvlaqenjeI II III IV V I II III IV V

D D I I I I D I D ID I D I I I D I I DD I I D I I I D D ID I I I D I I D I DI D D I I I I I D D

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 75/349

RexenjeUkupno je 10 elementarnih ishoda, te je n = 10.

Posmatramo dogaaj A-”trei izvuqeni artikal je poslednjidefektan koji je izvuqen”.

Povoljni ishodi dogaaja A su DIDII i IDDII, te jem = 2.

Verovatnoa dogaaja A je

P (A) = 2

10 =

1

5.

Verovatnoa

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 76/349

Savremena definicija

Verovatnoa P je funkcija koja preslikava skup svih ishodaΩ u skup realnih brojeva R sa sledeim osobinama:

1 Za svaki dogaaj A iz Ω vai P (A) ≥ 0 (Nenegativnostverovatnoe)

2 P (Ω) = 1 (Normiranost verovatnoe)

3 Za meusobno disjunktne dogaaje A1, A2, . . . , vai

P (A1 + A2 + . . . ) = P (A1) + P (A2) + . . . (σ-aditivnostverovatnoe)

Osobine verovatnoe

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 77/349

Verovatnoa nemogueg dogaaja

Verovatnoa nemogueg dogaaja je 0, tj. P (∅) = 0.

Verovatnoa suprotnog dogaaja

Verovatnoa suprotnog dogaaja Ac je P (Ac ) = 1− P (A).

Monotonost verovatnoe

Ako dogaaj A implicira dogaaj B , tj. A ⊂ B , tada jeP (

A) ≤

P (

B ).

Verovatnoa dogaaja

Za svaki dogaaj A vai 0 ≤ P (A) ≤ 1.

Osobine verovatnoe

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 78/349

Verovatnoa unije dva dogaaja

Za dva dogaaja A i B vai

P (A ∪ B ) = P (A) + P (B )− P (AB ).

Verovatnoa unije dva disjunktna dogaaja

Za dva disjunktna dogaaja A i B vai

P (A ∪ B ) = P (A) + P (B ).

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 79/349

Primer

Neka se eksperiment sastoji u bacanju kocke. Neka je A

dogaaj da se dobije broj deljiv sa 2, a B dogaaj da se dobijebroj deljiv sa 3. Nai verovatnou da se pri bacanju kockedobije broj deljiv sa 2 ili sa 3.

Rexenje:Dati su dogaaji A-”dobija se broj deljiv sa 2” i B -”dobijase broj deljiv sa 3”.Dogaaj ”Dobija se broj deljiv sa 2 ili sa 3” je dogaaj A∪B .

Verovatnoa dogaaja A

∪B

je

P (A ∪ B ) = P (A) + P (B )− P (AB ).

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 80/349

Rexenje

Elementarni ishodi su 1, 2, 3, 4, 5, 6, te je n = 6.Dogaaj A qine elementarni ishodi 2, 4, 6, te je P (A) = 3

6.

Dogaaj B qine elementarni ishodi 3, 6, te je P (B ) = 2

6.

Presek dogaaja A i B je dogaaj ”dobija se broj deljiv i sa 2i sa 3”. On sadri ishod 6, te je P (AB ) = 1

6.

Verovatnoa traenog dogaaja je

P (A ∪ B ) = 3

6

+ 2

6

− 1

6

= 2

3

.

Primer

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 81/349

Primer

Bacamo tri novqia i registrujemo gornje strane novqia u

svakom bacanju. Neka je A dogaaj da se pojave najvixe dvapisma, a B dogaaj da se pojave najmanje dva grba. IzraqunatiP (A ∪ B ).

Rexenje: Skup moguih ishoda je

Ω = PPP, PPG, PGP, GPP, PGG, GPG, GGP, GGG

te je n = 8.Potrebno je odrediti verovatnoe dogaaja A, B i AB .

Suprotan dogaaj dogaaju A je dogaaj ”pojavljuju se vixe od dva pisma”, tj. ”pojavljuju se tri pisma”.Kako je Ac = PPP, to je P (Ac ) = 1

8.

Verovatnoa dogaaja A je P (A) = 1− P (Ac ) = 7

8.

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 82/349

RexenjeKako je B -”pojavljuju se najmanje dva grba”= PGG, GPG, GGP, GGG, to je P (B ) = 4

8.

Odredimo presek dogaaja A i B .Dogaaj B je i dogaaj da padne najvixe jedno pismo, te jepresek AB dogaaj da padne najvixe jedno pismo.Imamo da je AB = PGG, GPG, GGP, GGG, te je P (AB ) = 4

8.

Traena verovatnoa je

P (A ∪ B ) = 7

8 + 4

8 − 4

8 = 7

8.

Zadaci

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 83/349

Zadatak 1

Bacaju se dva novqia i registruju se gornje strane novqia

u svakom bacanju. Kolika je verovatnoa da se pojave dve jednake strane ili najvixe jedan grb?

Zadatak 2

Iz svenja od 52 karte za igru izvlaqimo jednu kartu. Kolika

je verovatnoa da emo izvui kartu boje pik ili damu?

Zadaci

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 84/349

Zadatak 3

Bacamo istovremeno novqi i kocku i registrujemo broj nagornjoj strani kocke i gornju stranu novqia. Kolika je

verovatnoa da na novqiu dobijemo pismo ili na kocki broj3?

Zadatak 4

Bacaju se dve kocke i registruju se brojevi na gornjim

stranama kocki. Kolika je verovatnoa da dve baqene kockenee pokazati brojeve qiji je zbir deljiv sa 2 ili sa 3?

Uslovne verovatnoe

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 85/349

Uslovna verovatnoa

Uslovna verovatnoa dogaaja B , pod uslovom da se ostvariodogaaj A je

P (B |A) = P (AB )

P (A) ,

uz pretpostavku da je P (A) > 0.

Primer

Bacaju se dve kocke i registruju se brojevi na gornjim

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 86/349

Bacaju se dve kocke i registruju se brojevi na gornjim

stranama. Ako su kocke pokazale zbir 10, odreditiverovatnou da na jednoj od njih bude broj 6.

Rexenje:Posmatramo dogaaje A-”pojavljuje se zbir 10” i B -”pojavljujese broj 6”.Skup moguih ishoda Ω = (x , y )|1 ≤ x , y ≤ 6 ima ukupno 36elemenata.Potrebno je izraqunati uslovnu verovatnou P (B |A).A = (4,6), (5, 5), (6,4), te je P (A) = 3

36.

AB = (4,6), (6,4), te je P (AB ) = 2

36 .Uslovna verovatnoa je

P (B |A) =2

36

3

36

= 2

3 .

Primer

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 87/349

Novqi se baca tri puta i registruju se gornje strane

novqia u svakom bacanju. a) Ako prva dva puta padne pismo,kolika je verovatnoa da e i trei put pasti pismo? b) Akou prvom bacanju padne pismo, kolika je verovatnoa da udruga dva bacanja bude najmanje jedan grb?

Rexenje:Ω = PPP,PPG,PGP,GPP,PGG,GPG,GGP,GGG.a) A-”prva dva puta pada pismo”=PPP,PPGB -”trei put pada pismo”AB -”prva dva puta pada pismo i trei put pada

pismo”=PPP

P (B |A) = P (AB )

P (A) =

1

8

2

8

= 1

2

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 88/349

Rexenje

b) C -”prvi put pada pismo”=PPP,PPG,PGP,PGG

D -”u druga dva bacanja pada najmanje jedan grb”

CD -”prvi put pada pismo i u druga dva bacanja pada najmanje jedan grb”=PPG,PGP,PGG

P (D |C ) = P (CD )

P (C ) =

3

8

4

8

= 3

4

Nezavisnost dogaaja

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 89/349

Nezavisnost dva dogaaja

Dogaaji A i B su nezavisni ako je P (AB ) = P (A)P (B ).Dogaaji A i B su zavisni ako je P (AB ) = P (A)P (B ).

Nezavisnost tri dogaaja

Dogaaji A, B i C su nezavisni u potpunosti ako je

P (AB ) = P (A)P (B )

P (AC ) = P (A)P (C )P (BC ) = P (B )P (C )

P (ABC ) = P (A)P (B )P (C )

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 90/349

PrimerBacaju se tri novqia i registruju se gornje strane. Neka sudogaaji

A− ”pala su tri grba ili tri pisma”

B − ”pala su bar dva pisma”

C − ”pala su najvixe dva grba”

a) Koji su od dogaaja A i B , A i C , B i C nezavisni, a kojizavisni?b) Da li su dogaaji A, B i C nezavisni u potpunosti?

R

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 91/349

Rexenje

a) A =PPP,GGG P (A) = 28

B =PPG,PGP,GPP,PPP P (B ) = 4

8

C =PPP,PPG,PGP,GPP,PGG,GPG,GGP P (C ) = 7

8

AB =PPP P (AB ) = 1

8

AC =PPP P (AC ) = 1

8

BC =PPG,PGP,GPP,PPP P (BC ) = 4

8

P (AB ) = 1

8, P (A)P (B ) = 1

8, nezavisni

P (AC ) = 1

8, P (A)P (C ) = 7

32, zavisni

P (BC ) =

1

2

,

P (B )P (C ) =

7

16

,

zavisnib) ABC =PPP, P (ABC ) = 1

8, P (A)P (B )P (C ) = 7

64, zavisni u

potpunosti

Zadaci

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 92/349

Zadatak 1

Iz xpila od 52 karte izvlaqimo dve karte jednu za drugom.Kolika je verovatnoa da, ako je prva izvuqena karta kralj,

bude i druga izvuqena karta takoe kralj?

Zadatak 2

Iz skupa 1,2, . . . , 19, 20 sluqajno je izabran broj. Odreditiverovatnou da je izabran paran broj, ako se zna da jeizabran broj deljiv sa tri.

Zadaci

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 93/349

Zadatak 3

Bacaju se dve kocke i registruju se brojevi na gornjimstranama. Neka A oznaqava pojavu neparnog broja na prvojkocki, B pojavu parnog broja na drugoj kocki i C pojavu brojaveeg od tri na prvoj kocki. Ispitati nezavisnost dogaaja uparovima i u potpunosti.

Sluqajna promenljiva

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 94/349

Registrovanje ishoda eksperimenta

Kod nekih eksperimenata sluqajan ishod ω se registruje kaobroj.

Kao brojevi se mogu registrovati:visina stanovnika

teina stanovnika

vodostaj

broj sunqanih dana u toku godinetemperatura vazduha

liqni dohodak

Sluqajna promenljiva

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 95/349

Nenumeriqki (atributivni) ishodi

Kao nenumeriqki ishodi se mogu registrovati:

pol stanovnika

boja kosezanimanje

braqno stanje

Kodiranje

Postupak pridruivanja broja svakom nenumeriqkom ishoduzove se kodiranje.

Sluqajna promenljiva

Funkcija X koja svakom elementarnom ishodu ω iz Ω dodeljuje

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 96/349

Funkcija X koja svakom elementarnom ishodu ω iz Ω dodeljuje

realan broj X (ω) zove se sluqajna promenljiva.

Oznaqavanje

Sluqajne promenljive se oznaqavaju velikim slovima X , Y , Z ,itd.

Realizacije sluqajne promenljive

Vrednosti x 1, x 2, . . . koje uzima sluqajna promenljiva X zovuse realizacije sluqajne promenljive.

Skup realizacija sluqajne promenljive

Skup svih vrednosti x 1, x 2, . . . sluqajne promenljive X zovese skup realizacija sluqajne promenljive X i oznaqava se saX (Ω).

Sluqajna promenljiva

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 97/349

Primer

Novqi se baca tri puta. Odrediti skup realizacija sluqajnepromenljive X koja predstavlja broj grbova u tri bacanja.

Rexenje:

Skup moguih ishoda jeΩ = PPP,PPG,PGP,GPP,PGG,GPG,GGP,GGG.Realizacije su:X (PPP) = 0,X (PPG) = 1, X (PGP) = 1, X (GPP) = 1,X (PGG) = 2, X (GPG) = 2, X (GGP) = 2,X (GGG) = 3.Skup realizacija sluqajne promenljive X je X (Ω) = 0, 1, 2, 3.

Primer

Istovremeno se bacaju dve homogene numerisane kocke.

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 98/349

r c ju d u r c

Odrediti skup realizacija sluqajne promenljive Y kojapredstavlja zbir brojeva koji se pojavljuju na obe kocke.

Rexenje:Skup moguih ishoda je Ω = (i , j )|1 ≤ i , j ≤ 6.Realizacije su:

Y (1, 1) = 2 Y (1, 2) = 3 Y (1, 3) = 4 Y (1, 4) = 5 Y (1, 5) = 6 Y (1, 6) = 7

Y (2, 1) = 3 Y (2, 2) = 4 Y (2, 3) = 5 Y (2, 4) = 6 Y (2, 5) = 7 Y (2, 6) = 8

Y (3, 1) = 4 Y (3, 2) = 5 Y (3, 3) = 6 Y (3, 4) = 7 Y (3, 5) = 8 Y (3, 6) = 9

Y (4, 1) = 5 Y (4, 2) = 6 Y (4, 3) = 7 Y (4, 4) = 8 Y (4, 5) = 9 Y (4, 6) = 10

Y (5,

1) =

6 Y (

5,

2) =

7 Y (

5,

3) =

8 Y (

5,

4) =

9 Y (

5,

5) =

10 Y (

5,

6) =

11

Y (6, 1) = 7 Y (6, 2) = 8 Y (6, 3) = 9 Y (6, 4) = 10 Y (6, 5) = 11 Y (6, 6) = 12

Skup realizacija sluqajne promenljive Y jeY (Ω) = 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12.

Primer

Lopta se baca u kox dok se ne postignu 2 pogotka ili ne

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 99/349

Lopta se baca u kox dok se ne postignu 2 pogotka ili ne

izvedu 4 bacanja. Neka je X broj bacanja, a Y broj promaxaja.Odrediti skup moguih ishoda Ω i realizacije sluqajnihpromenljivih X i Y .Rexenje:Neka je 0 – promaxaj i 1 – pogodak.

Skup moguih ishoda jeΩ = 11, 011, 101, 0000, 0001, 0010, 0011, 0100, 0101, 1000, 1001.Preslikavanja su

ω 11 011 101 0000 0001 0010 0011 0100 0101 1000 1001X (ω) 2 3 3 4 4 4 4 4 4 4 4

Y (ω) 0 1 1 4 3 3 2 3 2 3 2

Skup realizacija sluqajne promenljive X je X (Ω) = 2, 3, 4.Skup realizacija sluqajne promenljive Y jeY (Ω) = 0, 1, 2, 3, 4.

Realizacija

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 100/349

Sluqajnepromenljive

Diskretne

konaqno

Realizacijaprebro-

jivobeskonaqno

Apsolutnoneprekidne

Diskretne sluqajne promenljive

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 101/349

Sa konaqno mnogo realizacija

Za neku sluqajnu promenljivu X kaemo da je diskretnasluqajna promenljiva sa konaqno mnogo realizacija ako uzima

vrednosti iz nekog konaqnog skupa x 1, x 2, . . . , x n .

Sa prebrojivo beskonaqno mnogo realizacija

Za neku sluqajnu promenljivu X kaemo da je diskretnasluqajna promenljiva sa prebrojivo beskonaqno mnogo

realizacija ako uzima vrednosti iz nekog prebrojivog skupax 1, x 2, . . . .

Sluqajna promenljiva X je odreena ako su poznateverovatnoe p i = P X = x i za svako x i .

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 102/349

Zakon raspodele

Vrednosti x i i njihove verovatnoe p i qine zakon raspodelediskretne sluqajne promenljive X .

Konaqno mnogo vrednostiZakon raspodele diskretne sluqajne promenljive sa konaqnomnogo vrednosti zapisuje se u obliku

x 1 x 2 . . . x n

p 1 p 2 . . . p n

1 Sve verovatnoe p i moraju biti pozitivne.

2 Zbir svih verovatnoa p i mora biti 1.

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 103/349

Prebrojivo beskonaqno mnogo vrednostiZakon raspodele diskretne sluqajne promenljive saprebrojivo beskonaqno mnogo vrednosti zapisuje se u obliku

x 1 x 2 . . .

p 1 p 2 . . .

Napomena

1 Sve verovatnoe p i moraju biti pozitivne.

2 Zbir svih verovatnoa p i mora biti 1.

Primer

Jedan novqi se baca tri puta, pri qemu se registruje koliko

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 104/349

d c r u , r u r ruj

puta je pao grb. Pretpostavljajui da grb i pismo imaju isteverovatnoe pojavljivanja (svaki ishod se pojavljuje saverovatnoom 1/2), odrediti raspodelu sluqajne promenljiveX koja predstavlja broj dobijenih grbova u tri nezavisnabacanja jednog novqia.

Rexenje:Skup realizacija sluqajne promenljive X je X (Ω) = 0, 1, 2, 3.Odredimo verovatnoe P X = 0, P X = 1, P X = 2 iP X = 3.

P X = 0 = P PPP = 1/8P X = 1 = P PPG,PGP,GPP = 3/8

P X = 2 = P PGG,GPG,GGP = 3/8

P X = 3 = P GGG = 1/8

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 105/349

Primer

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 106/349

Primer

Novqi se baca sve dok ne padne grb. Odrediti raspodelusluqajne promenljive Y koja predstavlja broj bacanja.

Rexenje:Sluqajna promenljiva Y uzima vrednosti 1, 2, 3 itd.

Verovatnoe su redomP Y = 1 = P G = 1/2

P Y = 2 = P PG = 1/4

P Y = 3 = P PPG = 1/8

..

.

...

...

P Y = n = P P ...P G = 1/2n

Rexenje

Zakon raspodele sluqajne promenljive Y je

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 107/349

1 2 . . . n . . .1/2 1/4 . . . 1/2n . . .

Grafiqki prikaz zakona raspodele

y 1 2 . . . . . . n

P (Y = y )

1/2n

1/4

1/2

Funkcija raspodele verovatnoa

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 108/349

Funkcija raspodele verovatnoa

Realna funkcija F definisana kao

F (x ) = P X ≤ x , x ∈ R,

zove se funkcija raspodele verovatnoa sluqajne promenljiveX .

Osobina 1

Funkcija raspodele verovatnoa je neopadajua funkcija, tj.ako je x < y , tada je F (x ) ≤ F (y ).

Osobina 2

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 109/349

Funkcija raspodele verovatnoa uzima vrednosti izmeu 0 i1, pri qemu je

F (−∞) = limx →−∞

F (x ) = 0

F (∞) = lim

x →∞

F (x ) = 1

Osobina 3

Funkcija raspodele verovatnoa je neprekidna sa desnestrane, tj.

limε↓0

F (x + ε) = F (x )

Ako je zakon raspodele sluqajne promenljive X oblika

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 110/349

Ako je zakon raspodele sluqajne promenljive X oblika

x 1 x 2 . . . x n p 1 p 2 . . . p n

,

tada je funkcija raspodele verovatnoa zadata sa

F (x ) =

0, x < x 1,p 1, x 1 ≤ x < x 2,p 1 + p 2, x 2 ≤ x < x 3,

..

.

...1, x ≥ x n .

Primer

Odrediti funkciju raspodele verovatnoa sluqajne

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 111/349

promenljive X zakona raspodele −1 0 1 2 3

0, 2 0, 2 0, 1 0, 4 0, 1

.

Rexenje:Funkcija raspodela verovatnoa sluqajne promenljive X je

F (x ) =

0, x < −1,0, 2, −1 ≤ x < 0,

0, 4, 0 ≤ x < 1,0, 5, 1 ≤ x < 2,0, 9, 2 ≤ x < 3,1, x ≥ 3.

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 112/349

Apsolutno neprekidne sluqajne promenljive

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 113/349

Apsolutno neprekidne sluqajne promenljiveSluqajna promenljiva X je apsolutno neprekidna ako je skupnjenih vrednosti neki interval, podskup skupa realnihbrojeva ili ceo skup realnih brojeva, i ako postojinenegativna funkcija f (x ), x ∈ R, takva da je

F (x ) =

x −∞

f (t )dt , x ∈ R.

Gustina raspodele

Funkcija f (x ) zove se gustina raspodele sluqajne promenljiveX .

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 114/349

Povrxina xrafirane oblasti je 1

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 115/349

a b

Verovatnoa da sluqajna promenljiva X uzima vrednost izintervala (a ,b ]

Zadaci

Zadatak 1

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 116/349

d

Automobil se kree u pravcu gde e naii na tri semafora.Svaki od njih dopuxta dalje kretanje sa verovatnoom 2/3, azabranjuje kretanje sa verovatnoom 1/3. Nai zakonraspodele prolaska automobila pored semafora do prvog

zaustavljanja. Grafiqki prikazati zakon raspodeleverovatnoa. Odrediti i grafiqki predstaviti funkcijuraspodele verovatnoa.

Zadatak 2

Novqi se baca 4 puta. Sluqajna promenljiva X se definixekao broj pojavljivanja grba. Nai i grafiqki prikazati zakonraspodele sluqajne promenljive X . Odrediti i grafiqkipredstaviti funkciju raspodele verovatnoa.

Zadaci

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 117/349

Zadatak 3

Kocka se baca tri puta. Sluqajnu promenljivu Y definixemokao broj pojavljivanja xestice. Nai i grafiqki prikazatizakon raspodele sluqajne promenljive Y . Odrediti i

grafiqki predstaviti funkciju raspodele verovatnoa.

Zadatak 4

Strelac sa 4 metka gaa u cilj dok ne pogodi. Sluqajnapromenljiva Z je broj utroxenih metaka. Nai i grafiqkiprikazati zakon raspodele sluqajne promenljive Z . Odreditii grafiqki predstaviti funkciju raspodele verovatnoa.

Vixedimenzionalne sluqajne

promenljive

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 118/349

Istovremeno se moe posmatrati i vixe sluqajnihpromenljivih.

Primer

Temperatura vazduha i nadmorska visina.

Vazduxni pritisak, relativna vlanost vazduha itemperatura vazduha.

Dvodimenzionalna sluqajna promenljiva

Funkcija Z = (X , Y ) koja skup svih moguih ishoda preslikavau R2 zove se dvodimenzionalna sluqajna promenljiva.

Napomena

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 119/349

Dvodimenzionalna sluqajna promenljiva se moe posmatratikao par jednodimenzionalnih sluqajnih promenljivih.

Dvodimenzionalna sluqajna promenljiva moe biti:

diskretna

apsolutno neprekidna.

Diskretna dvodimenzionalna sluqajna promenljiva

Diskretna dvodimenzionalna sluqajna promenljiva uzima

vrednosti iz konaqnog ili beskonaqno prebrojivog diskretnogskupa (x i , y i ).

Apsolutno neprekidna dvodimenzionalna sluqajna

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 120/349

promenljivaApsolutno neprekidna dvodimenzionalna sluqajna promenljivauzima vrednosti iz (a , b ] × (c , d ].

n -dimenzionalna sluqajna promenljiva

Funkcija Z koja skup svih moguih ishoda preslikava u Rn

zove se n -dimenzionalna sluqajna promenljiva.

Zakon raspodele diskretne dvodimenzionalne sluqajne

promenljive odreen je verovatnoama p ij = P X = x i , Y = y j ,i , j = 1, 2, . . . .

Zakon raspodele diskretne dvodimenzionalne sluqajnepromenljive se najqexe predstavlja u obliku tabele.

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 121/349

j u uPretpostavimo da sluqajna promenljiva X uzima vrednosti izskupa x 1, x 2, . . . , x m , a sluqajna promenljiva Y uzimavrednosti iz skupa y 1, y 2, . . . , y n .Tada je zakon raspodele diskretne dvodimenzionalne sluqajne

promenljive (X , Y ) oblika

X \Y y 1 y 2 . . . y n

x 1 p 11 p 12 . . . p 1n

x 2 p 21 p 22 . . . p 2n

... ... ... . . . ...

x m p m 1 p m 2 . . . p mn

Tabela kontingencije

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 122/349

Formirana tabela zove se tabela kontingencije.

Napomena

Zbir svih verovatnoa p ij , i = 1, 2, . . . , m , j = 1, 2, . . . , n , morabiti 1.

Primer

Novqi se baca tri puta. Posmatraju se sluqajne promenljiveX -broj grbova u tri bacanja i Y -broj grbova u poslednja dva

bacanja. Odrediti zakon raspodele dvodimenzionalnesluqajne promenljive (X , Y )

Rexenje

Skup svih moguih ishoda Ω ima 8 elemenata

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 123/349

Ω = PPP,PPG,PGP,GPP,PGG,GPG,GGP,GGG.

Dvodimenzionalna sluqajna promenljiva (X , Y ) prevodi skup Ωu R2 na sledei naqin:

(X , Y )(PPP) = (0, 0), (X , Y )(PGG) = (2, 2),(X , Y )(PPG) = (1, 1), (X , Y )(GPG) = (2, 1),(X , Y )(PGP) = (1, 1), (X , Y )(GGP) = (2, 1),(X , Y )(GPP) = (1, 0), (X , Y )(GGG) = (3, 2).

Skup realizacija za (X , Y ) je skup parova (0, 0), (1, 0), (1, 1),(2, 1), (2, 2), (3, 2).

Rexenje

Verovatnoe su redom

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 124/349

P (X , Y ) = (0, 0) = P PPP = 1

8,

P (X , Y ) = (1, 0) = P GPP = 1

8,

P (X , Y ) = (1, 1) = P PPG,PGP = 1

4,

P (X , Y ) = (2, 1) = P GPG,GGP = 1

4,

P (X , Y ) = (2, 2) = P PGG =

1

8 ,

P (X , Y ) = (3, 2) = P GGG = 1

8,

R

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 125/349

Rexenje

Zakon raspodele dvodimenzionalne sluqajne promenljive(X , Y ) je

X \Y 0 1 2

0 1/8 0 01 1/8 1/4 0

2 0 1/4 1/8

3 0 0 1/8

Iz zajedniqke raspodele diskretnih sluqajnih promenljivih X

i Y mogu se odrediti pojedinaqni zakoni raspodela

j j X

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 126/349

jednodimenzionalnih diskretnih sluqajnih promenljivih X iY .Zakon raspodele sluqajne promenljive X je oblika

x 1 x 2 . . . x m

p 1• p 2• . . . p m •

,

gde je p i • = p i 1 + p i 2 + · · ·+ p in , i = 1, 2, . . . , m , verovatnoa da esluqajna promenljiva X uzeti vrednost x i .Zakon raspodele sluqajne promenljive Y je oblika

y 1 y 2 . . . y n

p •1 p •2 . . . p •n

,

gde je p • j = p 1 j + p 2 j + · · ·+ p mj , j = 1, 2, . . . , n , verovatnoa da esluqajna promenljiva Y uzeti vrednost y i .

Marginalne raspodele

R j X Y b

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 127/349

Raspodele sluqajnih promenljivih X i Y , posebno, u odnosu nazajedniqku raspodelu sluqajnih promenljivih X i Y zovu semarginalne raspodele.

Marginalne verovatnoe

Verovatnoe p i • i p • j se zovu marginalne verovatnoe.

Napomena

Marginalne verovatnoe se jednostavno dobijaju sabiranjem

odgovarajuih verovatnoa u pojedinim vrstama, odnosnokolonama tabele kontingencije.

Primer

Odrediti marginalne raspodele sluqajnih promenljivih X iY iz prethodnog primera.

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 128/349

Rexenje

Sluqajna promenljiva X uzima vrednosti iz skupa0, 1, 2, 3 sa verovatnoama

p 1• = P X = 0 = 1

8+ 0 + 0 =

1

8, p 2• = P X = 1 =

1

8+

1

4+ 0 =

3

8,

p 3• = P X = 2 = 0 + 1

4+

1

8=

3

8, p 4• = P X = 3 = 0 + 0 +

1

8=

1

8.

Marginalna raspodela sluqajne promenljive X je

0 1 2 3

1/8 3/8 3/8 1/8

.

Rexenje

Skup realizacija sluqajne promenljive Y je 0, 1, 2, a

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 129/349

verovatnoe su

p •1 = P Y = 0 = 1

8 +

1

8 + 0 + 0 =

1

4 ,

p •2 = P Y = 1 =

0+

1

4 +

1

4 +0

=

1

2 ,

p •3 = P Y = 2 = 0 + 0 + 1

8 +

1

8 =

1

4 .

Marginalna raspodela sluqajne promenljive Y je

0 1 2

1/4 1/2 1/4

.

Funkcija raspodele diskretne dvodimenzionalne sluqajne

promenljive

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 130/349

promenljiveFunkcija raspodele diskretne dvodimenzionalne sluqajnepromenljive je

F (x , y ) = P X ≤ x , Y ≤ y .

Osobine

Ovako definisana funkcija raspodele ima sledee osobine:

monotono je neopadajua funkcija po svakom argumentu,

neprekidna s desna po svakom argumentu,

F (−∞, y ) = F (x ,−∞) = 0, F (∞,∞) = 1.

Funkcija raspodele apsolutno neprekidne

dvodimenzionalne sluqajne promenljive

F j

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 131/349

Funkcija raspodele apsolutno neprekidne dvodimenzionalnesluqajne promenljive je

F (x , y ) =

x −∞

y −∞

f (s , t ) dt ds .

Marginalne gustine

Marginalne gustine su redom f X (x ) =∞

−∞

f (x , y ) dy za sluqajnu

promenljivu X , i f Y (y ) =∞ −∞

f (x , y ) dx za sluqajnu promenljivu Y .

Nezavisnost sluqajnih promenljivih

Sluqajne promenljive X i Y su nezavisne ako i samo ako su

dogaaji X ≤ x i Y ≤ y nezavisni za svaki par (x y) iz R2

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 132/349

dogaaji X ≤ x i Y ≤ y nezavisni za svaki par (x , y ) iz R2.

Ako su sluqajne promenljive X i Y diskretne, tada senezavisnost sluqajnih promenljivih moe iskaziti

jednakoxu

P X = x i , Y = y j = P X = x i · P Y = y j , ∀i , j .

Ako su sluqajne promenljive X i Y apsolutno neprekidne,

tada se nezavisnost sluqajnih promenljivih moe iskaziti jednakoxu

f (x , y ) = f X (x ) · f Y (y ).

Primer

Novqi se baca dva puta. Neka je X broj pisama u ta dvabacanja, a Y broj pisama u prvom bacanju. Odrediti zakon

raspodele dvodimenzionalne sluqajne promenljive (X Y ) i

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 133/349

raspodele dvodimenzionalne sluqajne promenljive (X , Y ) iispitati nezavisnost sluqajnih promenljivih X i Y .

Rexenje

Preslikavanja su

ω PP PG GP GGX (ω) 2 1 1 0Y (ω) 1 1 0 0

Zakon raspodele sluqajne promenljive (X , Y ) je

X \Y 0 1 p i •0 1/4 0 1/4

1 1/4 1/4 1/2

2 0 1/4 1/4

p • j 1/2 1/2 1

Rexenje

S X Y

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 134/349

Sluqajne promenljive X i Y nisu nezavisne, jer jeP X = 0, Y = 1 = 0, P X = 0 · P Y = 1 = 1/8.

Zadatak 1.

Dve karte se sluqajno izvlaqe iz xpila od 52 karte. Neka X predstavlja broj dobijenih asova, a Y broj dobijenih dama. a)Nai raspodelu dvodimenzionalne sluqajne promenljive(X , Y ). b) Nai marginalne raspodele za X i Y . v) Ispitatinezavisnost sluqajnih promenljivih X i Y .

Zadatak 2.

Dva strelca, nezavisno jedan od drugog, gaaju istu metu,svaki po jedan hitac, pri qemu je verovatnoa da prvi pogodi

metu 0 5 a da drugi pogodi 0 4 Neka sluqajna promenljiva X

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 135/349

metu 0.5, a da drugi pogodi 0.4. Neka sluqajna promenljiva X predstavlja broj pogodaka prvog strelca, a sluqajnapromenljiva Y broj pogodaka drugog strelca. a) Nairaspodelu dvodimenzionalne sluqajne promenljive (X , Y ). b)Nai marginalne raspodele za X i Y .

Zadatak 3.

Zakon raspodele dvodimenzionalne sluqajne promenljive(X , Y ) je

X \Y 0 1 20 0.10 0.20 0.201 0.04 0.08 0.082 0.06 0.12 0.12

Ispitati nezavisnost sluqajnih promenljivih X i Y .

Diskretne raspodele

Raspodele diskretnih sluqajnih promenljivih nazivaju se

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 136/349

Raspodele diskretnih sluqajnih promenljivih nazivaju sediskretnim raspodelama.

Bernulijeva xema

Eksperiment ponavljamo n puta pod istim uslovima.

Ponavljanja eksperimenta su meusobno nezavisna.

U svakom ponavljanju eksperimenta moe se ilirealizovati ili ne realizovati dogaaj A.

Verovatnoa realizacije dogaaja A u svakom ponavljanjueksperimenta je ista i iznosi p .

Binomna raspodela

Sluqajna promenljiva S n

predstavlja broj realizacijadogaaja A u n ponavljanja eksperimenta

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 137/349

dogaaja A u n ponavljanja eksperimenta.

Sluqajna promenljiva S n je diskretnog tipa, jer uzimavrednosti iz skupa 0, 1, 2, . . . , n .

Verovatnoa da e se dogaaj A realizovati taqno k puta

u n ponavljanja eksperimenta iznosi

P S n = k =

n

k

p k (1 − p )n −k , 0 ≤ p ≤ 1 ,

gde je n

k

=

n !

k !(n − k )! , n ! = n (n − 1) . . . 3 · 2 · 1.

Za sluqajnu promenljivu S kaemo da ima binomnu raspodelu

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 138/349

Za sluqajnu promenljivu S n kaemo da ima binomnu raspodelusa parametrima n i p i pixemo S n : B (n , p ).

Ako stavimo da je p k = P S n = k , tada sluqajna promenljiva

S n ima zakon raspodele oblika 0 1 . . . n − 1 n

p 0 p 1 . . . p n −1 p n

.

Primer

Verovatnoa da padne kixa u toku dana u mestu NN iznosi0,3. Pod pretpostavkom da su vremenske prilike u razliqitimdanima nezavisne odrediti verovatnoe da u tri uzastopna

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 139/349

danima nezavisne, odrediti verovatnoe da u tri uzastopnadana bude: a) taqno dva kixna dana, b) ne vixe od jednogkixnog dana, v) najmanje dva kixna dana, g) jedan ili dvakixna dana.

Rexenje

Posmatraju se tri uzastopna dana, tako da je n = 3.

Oznaqimo sa S 3 sluqajnu promenljivu koja predstavljabroj kixnih dana u tri uzastopna dana.

Verovatnoa da dan bude kixan je ista za sva tri dana iiznosi p = 0, 3.

Sluqajna promenljiva S 3 ima binomnu raspodelu B (3; 0, 3).

Rexenje

Verovatnoe su redom

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 140/349

r u r d

p 0 = P S 3 = 0 =

3

0

(0, 3)0(0, 7)3 = 0, 343,

p 1 = P S 3 = 1 =3

1

(0, 3)1

(0, 7)2

= 0, 441,

p 2 = P S 3 = 2 =

3

2

(0, 3)2(0, 7)1 = 0, 189,

p 3

= P S 3

= 3

=3

3

(0

,3

)

3

(0

,7

)

0

= 0

,027

.

Rexenje

Sluqajna promenljiva S 3 ima zakon raspodele

0 1 2 3

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 141/349

0, 343 0, 441 0, 189 0, 027

.

a) Neka je A dogaaj ”u tri dana bila su taqno dva danakixna”. Tada je P (A) = P S 3 = 2 = 0, 189.

b) Neka je B dogaaj ”u tri dana nije bilo vixe od jednogkixnog dana”. Tada je

P (B ) =P S 3 ≤ 1=P S 3 = 0+P S 3 = 1= 0, 343 + 0, 441 = 0, 784.

v) Neka je C dogaaj ”u tri dana bila su najmanje dva kixnadana”. Tada je

P (C ) =P S 3 ≥ 2=P S 3 = 2+P S 3 = 3= 0, 189 + 0, 027 = 0, 216.

Rexenje

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 142/349

g) Neka je D dogaaj ”u tri dana bio je jedan ili bila su dvakixna dana”.

P (D ) = P S 3 = 1 + P S 3 =

2 =

0,

441+

0,

189 =

0,

63.

Napomena

Sloena izraqunavanja ako je n veliko i p malo.

Puasonova raspodela

Teorema

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 143/349

r

Ako u Bernulijevoj xemi sa n ponavljanja eksperimenta qiji jeishod dogaaj A ili dogaaj Ac , verovatnoa dogaaja Azavisi od broja ponavljanja eksperimenta, tj. ako je P (A) = p n

i ako np n konvergira ka λ > 0, kad n → ∞, tada je verovatnoarealizacije dogaaja S n = j jednaka

P S n = j = λ j

j ! · e −λ , j = 0, 1, 2, . . . ,

kada n → ∞, gde je e ≈ 2, 718 osnova prirodnog logaritma.

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 144/349

Primer

U jednoj velikoj seriji artikala je 2% defektnih. Iz serijese na sluqajan naqin uzima 100 artikala. Odrediti

verovatnoe da meu izvuqenim artiklima bude: a) taqno 2efe a b) aj a e a efe a ) aj e 5 efe )

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 145/349

defektna, b) najmanje dva defektna, v) najvixe 5 defektnih, g)manje od 6, a ne manje od 2 defektna.

Rexenje

Imamo da je n = 100.Neka sluqajna promenljiva S 100 predstavlja broj defektnihartikala. Kako je n = 100, p = 0, 02 i np = 2 < 10, to se umestobinomne raspodele koristi Puasonova raspodela.Tako S 100 ima P (2) raspodelu i njen zakon raspodeleverovatnoa je odreen verovatnoama

P S 100 = j = e −2 · 2 j

j ! , j = 0, 1, 2, . . .

Rexenje) PS 2 e−2 22

0 2707

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 146/349

a) P S 100 = 2 = e −2 · 2

2! = 0.2707.

b) P S 100 ≥ 2 = 1 −1

i =0

P S 100 = i = 0.5940.

v) P S 100 ≤ 5 =5

i =0

P S 100 = i = 0.9834.

g) P 2 ≤ S 100 < 6 =5

i =2

P S 100 = i = 0.5774.

Uniformna diskretna raspodela

Neka sluqajna promenljiva X uzima vrednosti iz skupa x1 x2

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 147/349

Neka sluqajna promenljiva X uzima vrednosti iz skupa x 1, x 2,. . . , x n . Kaemo da sluqajna promenljiva X ima uniformnudiskretnu raspodelu na skupu x 1, x 2, . . . , x n , ako se svevrednosti x 1, x 2, . . . , x n , realizuju sa jednakim verovatnoama.

Zakon raspodele sluqajne promenljive X koja ima uniformnudiskretnu raspodelu moe se zapisati u obliku

x 1 x 2 . . . x n 1/n 1/n . . . 1/n

.

Primer

Sluqajna promenljiva X ima uniformnu diskretnu raspodeluna skupu 1, 2, 3, 4, 5, 6. Odrediti verovatnoe dogaaja: a)

1 < X ≤ 4, b) 2 ≤ X < 3 i v) X > 1.

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 148/349

Rexenje

Sluqajna promenljiva X ima uniformnu diskretnu raspodelu

na skupu 1

,2

,3

,4

,5

,6

, xto znaqi da je njen zakon raspodeleoblika 1 2 3 4 5 6

1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6

.

Verovatnoe su redom jednake:

a) P 1 < X ≤ 4 = P X ∈ 2, 3, 4 = 36 = 1

2 .

b) P 2 ≤ X < 3 = P X = 2 = 1

6 .

v) P X > 1 = 1 − P X = 1 = 1 − 1

6 = 5

6 .

Apsolutno neprekidne raspodele

Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih

nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 149/349

a b

Verovatnoa da sluqajna promenljiva X uzima vrednost izintervala (a ,b ]

Uniformna raspodela

Za sluqajnu promenljivu X kaemo da ima uniformnu

raspodelu na intervalu [a ,b ], a < b , i pixemo X : U (a ,b ), akoima gustinu raspodele oblika

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 150/349

ima gustinu raspodele oblika

f (x ) =

1

b −a , x ∈ [a ,b ],

0, x

∈[a ,b ].

a b x

f (x )1

b −a

Gustina raspodele za X : U (a , b )

Funkcija raspodele

Funkcija raspodele sluqajne promenljive X sa uniformnomraspodelom na intervalu [a ,b ] je

0 , x < a

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 151/349

F (x ) =

,1

b −a · x − a

b −a , a ≤ x < b

1 , x ≥ b .

1

a b x

F (x )

Funkcija raspodele za X : U (a ,b )

Pomou funkcije raspodele F (x ) moe se izraqunativerovatnoa proizvoljnog dogaaja c < X < d kao

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 152/349

P c < X ≤ d = F (d ) − F (c ).

PrimerSluqajna promenljiva X ima uniformnu raspodelu naintervalu [2; 4]. Odrediti funkciju raspodele sluqajnepromenljive X , a zatim izraqunati verovatnoe dogaaja: a)

X

≤3

, b)

1 < X

≤2, 5

, v)

2,5 < X

≤3,5

.

Rexenje

Sluqajna promenljiva X ima uniformnu raspodelu naintervalu [2; 4], xto znaqi da je a = 2 i b = 4, tako da je

funkcija raspodele

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 153/349

F (x ) =

0, x < 2,1

2 · x − 1, 2 ≤ x < 4,

1, x ≥ 4.

1

2 4 x

F (x )

Funkcija raspodele za X : U (2,4)

Rexenje

a)

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 154/349

1

32 4 x

F (x )

P

X

≤3

= F (3) =

1

2

.

Rexenje

b)

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 155/349

1

2, 51 2 4 x

F (x )

P

1 < X ≤

2, 5

= F (2,5)

−F (1) = F (2,5) = 0,25 .

Rexenje

v)

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 156/349

2, 5 3, 52 4 x

F (x )

P

2,5 < X ≤

3,5

= F (3,5)

−F (2,5) = 0, 5.

Normalna (Gausova) raspodela

Za sluqajnu promenljivu X kaemo da ima normalnu raspodelu

sa parametrima m ∈ R i σ2

> 0 i pixemo X : N (m , σ2

), ako jenjena gustina raspodele oblika

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 157/349

f (x ) = 1√

2πσ2· e −

(x −m )2

2σ2 , x ∈ R .

f (x )

x m

Osobine gustine raspodele

Gustina raspodele je pozitivna funkcija, tj. za svakox ∈ R vai f (x ) > 0.

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 158/349

Gustina raspodele je simetriqna u odnosu na pravux = m , tj. za svako x ∈ R vai f (m + x ) = f (m − x ).

Gustina raspodele dostie maksimum u x = m i on iznosif (m ) = 1/√ 2πσ2.

Gustina raspodele konvergira ka 0 kada x tei ka ∞ ili−∞, tj. vai

limx →−∞ f (x ) = limx →∞ f (x ) = 0.

F (x )

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 159/349

x

Grafik funkcije raspodele za X : N (m , σ2

)

Osobine funkcije raspodele

Funkcija raspodele je pozitivna i rastua funkcija.

Funkcija raspodele konvergira ka 0 kada x tei ka −∞ ikonvergira ka 1 kada x tei ka ∞, tj. vailimx →−∞ F (x ) = 0 i limx →∞ F (x ) = 1.

Normalnu raspodelu imaju visina ljudi, koliqina padavina utoku godine, pritisak i tako dalje.

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 160/349

Mnoge diskretne raspodele se mogu svesti na normalnuraspodelu, ako je broj moguih vrednosti veliki, a one su

bliske jedna drugoj.

Promena vrednosti parametara m i σ2 utiqe na grafikgustine raspodele.

Promena vrednosti parametra m

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 161/349

x m = −2 m = 0 m = 2

Promena vrednosti parametra σ2

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 162/349

x σ2 = 1/4 σ2 = 1 σ2 = 4

Standardna normalna raspodela

Ukoliko sluqajna promenljiva koja ima normalnu raspodelu

ima parametre m = 0 i σ2

= 1, tada kaemo da ima standardnunormalnu raspodelu. Ovu sluqajnu promenljivu najqexe

X ∗ X ∗ N (0 1)

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 163/349

oznaqavamo sa X ∗ i pixemo X ∗ : N (0,1).

f (x )

x 0

F (x )

x 0

Verovatnoe P a ≤ X ∗ ≤ b izraqunavaju se pomou funkcije

Φ(t ) = P 0 ≤ X ∗ ≤ t .

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 164/349

f (x )

x 0 t

Vrednosti funkcije Φ(t )

t 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0.0 .0000 .0040 .0080 .0120 .0160 .0199 .0239 .0279 .0319 .0359

0.1 .0398 .0438 .0478 .0517 .0557 .0596 .0636 .0675 .0714 .0754

0.2 .0793 .0832 .0871 .0910 .0948 .0987 .1026 .1064 .1103 .1141

0 3 1179 1217 1255 1293 1331 1368 1406 1443 1480 1517

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 165/349

0.3 .1179 .1217 .1255 .1293 .1331 .1368 .1406 .1443 .1480 .1517

0.4 .1554 .1591 .1628 .1664 .1700 .1736 .1772 .1808 .1844 .1879

0.5 .1915 .1950 .1985 .2019 .2054 .2088 .2123 .2157 .2190 .2224

0.6 .2258 .2291 .2324 .2357 .2389 .2422 .2454 .2486 .2518 .2549

0.7 .2580 .2612 .2642 .2673 .2704 .2734 .2764 .2794 .2823 .2852

0.8 .2881 .2910 .2939 .2967 .2996 .3023 .3051 .3078 .3106 .3133

0.9 .3159 .3186 .3212 .3238 .3264 .3289 .3315 .3340 .3365 .3389

1.0 .3413 .3438 .3461 .3485 .3508 .3531 .3554 .3577 .3599 .3621

1.1 .3643 .3665 .3686 .3708 .3729 .3749 .3770 .3790 .3810 .3830

1.2 .3849 .3869 .3888 .3907 .3925 .3944 .3962 .3980 .3997 .4015

1.3 .4032 .4049 .4066 .4082 .4099 .4115 .4131 .4147 .4162 .4177

1.4 .4192 .4207 .4222 .4236 .4251 .4265 .4279 .4292 .4306 .43191.5 .4332 .4345 .4357 .4370 .4382 .4394 .4406 .4418 .4429 .4441

1.6 .4452 .4463 .4474 .4484 .4495 .4505 .4515 .4525 .4535 .4545

1.7 .4554 .4564 .4573 .4582 .4591 .4599 .4608 .4616 .4625 .4633

1.8 .4641 .4649 .4656 .4664 .4671 .4678 .4686 .4693 .4699 .4706

1.9 .4713 .4719 .4726 .4732 .4738 .4744 .4750 .4756 .4761 .4767

Primer

Pretpostavljajui da sluqajna promenljiva X ima standardnu normalnu raspodelu,

odrediti verovatnoe sledeih dogaaja: a) 1, 21 ≤ X ≤ 2, 52, b)

−1, 24 ≤ X < 2, 58, v) −0, 52 < X ≤ 0, 52, g) −2, 12 ≤ X ≤ −1, 17, d) X ≥ 3, 01,

) X < −1, 36, e) X < 2, 59, ) X ≥ −3, 56.

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 166/349

Rexenje

a)

1, 21 2, 52

P 1, 21 ≤ X ≤ 2, 52 = Φ(2, 52) − Φ(1, 21) = 0, 4941 − 0, 3869 = 0, 1072.

Rexenje

b)

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 167/349

−1, 24 2, 58

P −1, 24 ≤ X < 2, 58 = Φ(2, 58) + Φ (1, 24) = 0, 4951 + 0, 3925 = 0, 8876.

Rexenje

v)

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 168/349

−0, 52 0, 52

P −0, 52 < X ≤ 0, 52 = Φ(0, 52) + Φ (0, 52) = 2 · 0, 1985 = 0, 397.

Rexenje

g)

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 169/349

−2, 12 −1, 17

P −2, 12 ≤ X ≤ −1, 17 = Φ(2, 12) − Φ(1, 17) = 0, 483 − 0, 379 = 0, 104.

Rexenje

d)

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 170/349

3, 01

P X ≥ 3, 01 = 0, 5 − Φ(3, 01) = 0, 5 − 0, 4987 = 0, 0013.

Rexenje

)

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 171/349

−1, 36

P X < −1, 36 = 0, 5 − Φ(1, 36) = 0, 5 − 0, 4131 = 0, 0869.

Rexenje

e)

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 172/349

2, 59

P X < 2, 59 = 0, 5 + Φ(2, 59) = 0, 5 + 0, 4952 = 0, 9952.

Rexenje

)

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 173/349

−3, 56

P X ≥ −3, 56 = Φ(3, 56) + 0, 5 = 0, 4998 + 0, 5 = 0, 9998.

Standardizacija

Postupak prelaska sa normalne raspodele N (m , σ2) nastandardnu normalnu raspodelu

N (0,1) zove se

standardizacija.

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 174/349

Veza izmeu sluqajnih promenljivih X i X ∗ koje imaju redom N (m , σ2) i N (0, 1) raspodele zadata je formulom

X ∗ = X −m √

σ2.

Tada vai

P a ≤ X ≤ b = P

a −m √

σ2≤ X ∗ ≤ b −m √

σ2

.

Primer

Vodostaj (izraen u cm ) jedne reke ima normalnu raspodelu N (150,100). Odrediti verovatnou da e sluqajno izabranog

dana vodostaj: a) biti manji od 140 cm , b) biti vei od 170cm , v) biti izmeu 135 i 160 cm , g) biti vei od 120 cm , d)biti manji od 165 cm .

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 175/349

d

Rexenje

Neka je X sluqajna promenljiva koja predstavlja vodostaj rekesluqajno izabranog dana.Sluqajna promenljiva X ima normalnu N (150,100) raspodelu,tako da je potrebno izvrxiti standardizaciju.Kako je m = 150 i σ2 = 100, odnosno σ =

√ 100 = 10, to je

formula standardizacije

X ∗ = X − 150

10 .

Rexenje

a)

P X < 140 = P X − 150

10<

140 − 150

10 = P X ∗ < −1

= 0, 5 − Φ(1) = 0, 1587.

b)

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 176/349

b)

P X > 170 = P X − 150

10>

170 − 150

10 = P X ∗ > 2

= 0, 5 − Φ(2) = 0, 0228.

v)

P 135 ≤ X ≤ 160 = P 135 − 150

10≤ X − 150

10≤

160 − 150

10 = P −1, 5 ≤ X ∗ ≤ 1

= Φ(1, 5) + Φ (1) = 0, 7745.

Rexenje

g)

PX > 120 = P

X − 150

10>

120 − 150

10

= PX ∗ > −3

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 177/349

P X > 120 P

10

>10

P X > 3

= Φ(3) + 0,5 = 0,9987.

d)

P X < 165 = P

X − 150

10 <

165 − 150

10

= P X ∗ < 1,5

= 0,5 + Φ(1,5) = 0,9332.

χ2 raspodela

Neka su sluqajne promenljive X 1, X 2, . . . , X n nezavisne i nekaN (0 1) Z

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 178/349

svaka ima standardnu normalnu N (0,1) raspodelu. Zasluqajnu promenljivu Y definisanu formulom

Y = X 21 + X 22 + · · · + X 2n

kaemo da ima χ2 raspodelu sa n stepeni slobode i pixemoY : χ2

n .

f (x )

n = 1

n = 2

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 179/349

x

n 2

n = 3

n = 5

Grafik gustine raspodele χ2n raspodele

F (x )

n = 1

n = 2

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 180/349

x

n = 3

n = 5

Grafik funkcije raspodele χ2n raspodele

Verovatnoe P a ≤ χ2n ≤ b izraqunavaju se pomou funkcije

h n (x ) = P X ≤ x .

f (x )

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 181/349

x x

n \ p 0.005 0.010 0.025 0.050 0.95 0.975 0.990 0.995

1 .0000 .0002 .0010 .0039 3.84 5.02 6.63 7.88

2 .0100 .0201 .0506 .103 5.99 7.38 9.21 10.6

3 .0717 .115 .216 .352 7.81 9.35 11.3 12.8

4 .207 .297 .484 .711 9.49 11.1 13.3 14.95 .412 .554 .831 1.15 11.1 12.8 15.1 16.7

6 .676 .872 1.24 1.64 12.6 14.4 16.8 18.5

7 .989 1.24 1.69 2.17 14.1 16.0 18.5 20.3

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 182/349

8 1.34 1.65 2.18 2.73 15.5 17.5 20.1 22.0

9 1.73 2.09 2.70 3.33 16.9 19.0 21.7 23.6

10 2.16 2.56 3.25 3.94 18.3 20.5 23.2 25.2

11 2.60 3.05 3.82 4.57 19.7 21.9 24.7 26.812 3.07 3.57 4.40 5.23 21.0 23.3 26.2 28.3

13 3.57 4.11 5.01 5.89 22.4 24.7 27.7 29.8

14 4.07 4.66 5.63 6.57 23.7 26.1 29.1 31.3

15 4.60 5.23 6.26 7.26 25.0 27.5 30.6 32.8

16 5.14 5.81 6.91 7.96 26.3 28.8 32.0 34.3

17 5.70 6.41 7.56 8.67 27.6 30.2 33.4 35.7

18 6.26 7.01 8.23 9.39 28.9 37.5 34.8 37.2

19 6.84 7.63 8.91 10.1 30.1 32.9 36.2 38.6

20 7.43 8.26 9.59 10.9 31.4 34.2 37.6 40.0

Primer

Neka sluqajna promenljiva X ima χ25

raspodelu. Odreditisledee verovatnoe: a) P X < 0,412, b) P X ≥ 0, 831, v)

P 0,554 < X ≤ 1,15.

Rexenje

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 183/349

a)

f (x )

x 0,412

P X < 0, 412 = h 5(0, 412) = 0,005.

Rexenje

b)

f (x )

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 184/349

x 0,831

P X ≥ 0, 831 = 1 − h 5(0, 831) = 0,975.

Rexenje

v)

f (x )

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 185/349

x 0,554 1, 15

P 0,554< X ≤1, 15=h 5(1,15)− h 5(0,554) = 0,05 − 0,01 = 0,04.

Studentova raspodela

Neka su sluqajne promenljive X : N (0,1) i Y :χ2n nezavisne. Za

sluqajnu promenljivu T definisanu formulom

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 186/349

sluqajnu promenljivu T definisanu formulom

T = X √ Y √ n

kaemo da ima Studentovu raspodelu sa n stepeni slobode ipixemo T : t n .

f (x )

n = 1

n = 5

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 187/349

x

n = 10

n = 30

Grafik gustine raspodele t n raspodele

F (x )

n = 1

n = 5

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 188/349

x

n = 10

n = 30

Grafik funkcije raspodele t n raspodele

Verovatnoe P a ≤ t n ≤ b izraqunavaju se pomou funkcije

t n (x ) = P 0 ≤ X ≤ x .

f (x )

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 189/349

x 0

n \ p 0.100 0.200 0.300 0.400 0.450 0.475 0.490 0.495

1 .325 .727 1.376 3.078 6.314 12.706 31.821 63.657

2 .289 .617 1.061 1.886 2.920 4.303 6.965 9.925

3 .277 .584 .978 1.638 2.353 3.182 4.541 5.841

4 .271 .569 .941 1.533 2.132 2.776 3.747 4.604

5 .267 .559 .920 1.476 2.015 2.571 3.365 4.032

6 .265 .553 .906 1.440 1.943 2.447 3.143 3.707

7 .263 .549 .896 1.415 1.895 2.365 2.998 3.499

8 262 546 889 1 397 1 860 2 306 2 896 3 355

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 190/349

8 .262 .546 .889 1.397 1.860 2.306 2.896 3.355

9 .261 .543 .883 1.383 1.833 2.262 2.821 3.250

10 .260 .542 .879 1.372 1.812 2.228 2.764 3.169

11 .260 .540 .876 1.363 1.796 2.201 2.718 3.10612 .259 .539 .873 1.356 1.782 2.179 2.681 3.055

13 .259 .538 .870 1.350 1.771 2.160 2.650 3.012

14 .258 .537 .868 1.345 1.761 2.145 2.624 2.977

15 .258 .536 .866 1.341 1.753 2.131 2.602 2.947

16 .258 .535 .865 1.337 1.746 2.120 2.583 2.921

17 .257 .534 .863 1.133 1.740 2.110 2.567 2.898

18 .257 .534 .862 1.330 1.734 2.101 2.552 2.878

19 .257 .533 .861 1.328 1.729 2.093 2.539 2.861

20 .257 .533 .860 1.325 1.725 2.086 2.528 2.845

Primer

Neka sluqajna promenljiva X ima Studentovu t 5 raspodelu. Odrediti verovatnoe:

a) P 0, 267 ≤ X ≤ 1, 476, b) P −0, 267 ≤ X ≤ 1, 476 i v) P −1, 476 ≤ X ≤ −0, 267.

Rexenjea)

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 191/349

f (x )

0,267 1,476

P 0,267 ≤ X ≤ 1,476 = t 5(1, 476) − t 5(0, 267) = 0,3.

Rexenje

b)

f (x )

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 192/349

−0, 267 1, 476

P −0,267 ≤ X ≤ 1,476 = t 5(0,267) + t 5(1,476) = 0,5.

Rexenje

v)

f (x )

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 193/349

−0, 267−1,476

P −1,476 ≤ X ≤ −0,267 = t 5(1,476)− t 5(0,267) = 0,3.

Numeriqke karakteristike sluqajnih promenljivih

Raspodela neke sluqajne promenljive daje potpunu informaciju o toj sluqajnojpromenljivoj. U veini sluqajeva dovoljno je poznavati neke numeriqke

karakteristike sluqajne promenljive koje opisuju pojedina svojstva njene raspodele.

Matematiqko oqekivanje diskretne sluqajne promenljive sa konaqno mnogovrednosti

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 194/349

Neka je X diskretna sluqajna promenljiva sa konaqno mnogo

vrednosti i zakonom raspodele x 1 x 2 . . . x n p 1 p 2 . . . p n

.

Matematiqko oqekivanje sluqajne promenljive X , u oznaci

E (X ), je brojE (X ) = x 1p 1 + x 2p 2 + · · ·+ x n p n =

n i =1

x i p i .

Primer

Odrediti matematiqko oqekivanje sluqajne promenljive X zakona raspodele

0 1 2 3

0, 343 0,441 0,189 0, 027

.

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 195/349

RexenjeMatematiqko oqekivanje sluqajne promenljive X je

E (X ) = 0 · 0,343 + 1 · 0, 441 + 2 · 0, 189 + 3 · 0,027 = 0,9.

Matematiqko oqekivanje sluqajne promenljive binomneraspodele B (n , p ) jednako je np .

Matematiqko oqekivanje sluqajne promenljive uniformnediskretne raspodele zakona raspodele

x 1 x 2 . . . x n 1/n 1/n . . . 1/n

jednako je 1 (x + x + + x )

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 196/349

jednako je 1

n (x 1 + x 2 + · · · + x n ).

Primer

Sluqajna promenljiva X je broj koji se pojavljuje prilikombacanja kocke. Matematiqko oqekivanje sluqajne promenljive X je

E (X ) = 1 · 1

6 + 2 · 1

6 + 3 · 1

6 + 4 · 1

6 + 5 · 1

6 + 6 · 1

6 = 3,5.

Matematiqko oqekivanje diskretne sluqajne promenljive

sa prebrojivo beskonaqno mnogo vrednosti

Neka diskretna sluqajna promenljiva X ima prebrojivobeskonaqno mnogo vrednosti i neka je njen zakon raspodeleoblika

x 1 x 2 . . . x n . . .p 1 p 2 . . . p n . . .

.

Matematiqko oqekivanje sluqajne promenljive X je zbir

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 197/349

Matematiqko oqekivanje sluqajne promenljive X je zbir

E (X ) =∞i =1

x i p i ,

ukoliko zbir∞i =1

|x i |p i postoji.

Matematiqko oqekivanje sluqajne promenljive Puasonoveraspodele P (λ) jednako je λ.

Matematiqko oqekivanje apsolutno neprekidne sluqajne

promenljive

Neka je X apsolutno neprekidna sluqajna promenljiva gustineraspodele f (x ). Matematiqko oqekivanje sluqajne promenljiveX je broj

∞

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 198/349

E (X ) =

−∞

xf (x )dx ,

ukoliko integral∞

−∞|x |f (x )dx postoji.

Matematiqko oqekivanje sluqajne promenljive normalneraspodele N (m , σ2) jednako je m .

Matematiqko oqekivanje sluqajne promenljive χ2

n raspodele jednako je n .

Matematiqko oqekivanje sluqajne promenljive Studentove

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 199/349

Matematiqko oqekivanje sluqajne promenljive Studentoveraspodele t n jednako je 0.

Matematiqko oqekivanje sluqajne promenljive uniformneraspodele U (a , b ) jednako je a +b

2 .

Osobine matematiqkog oqekivanja

oqekivanje konstante c je konstanta c , tj. E (c ) = c ,

E (aX + b ) = aE (X ) + b , gde su a i b konstante, a X jesluqajna promenljiva

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 200/349

sluqajna promenljiva,

E (X + Y ) = E (X ) + E (Y ) za bilo koje dve sluqajnepromenljive X i Y ,

E (XY ) = E (X ) · E (Y ), ukoliko su sluqajne promenljive X iY nezavisne.

Moment reda k sluqajne promenljive

Moment reda k sluqajne promenljive X , u oznaci E (X k ), je

matematiqko oqekivanje sluqajne promenljive X k , ukoliko onopostoji.

Moment reda k sluqajne promenljive sa konaqno mnogo

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 201/349

Moment reda k sluqajne promenljive sa konaqno mnogo

vrednosti

Moment reda k diskretne sluqajne promenljive X sa konaqnomnogo vrednosti jednako je

E (X k ) =n

i =1

x k i p i .

Moment reda k diskretne sluqajne promenljive sa

prebrojivo beskonaqno mnogo vrednosti

Moment reda k diskretne sluqajne promenljive X sa

prebrojivo beskonaqno mnogo vrednosti, ukoliko postoji, jednako je

E (X k ) =∞

x k i p i .

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 202/349

i =1

Moment reda k apsolutno neprekidne sluqajne promenljive

Moment reda k apsolutno neprekidne sluqajne promenljive X ,ukoliko postoji, jednako je

E (X k ) =

∞ −∞

x k f (x )dx .

Matematiqko oqekivanje je moment reda 1.

Primer

Sluqajna promenljiva X ima zakon raspodele

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 203/349

−1 1 2

1/4 1/3 5/12.

Odrediti momente drugog i treeg reda sluqajne promenljiveX .

Rexenje

Moment drugog reda sluqajne promenljive X je

E (X 2) = (−1)2 · 1

4 + 1

2 · 1

3 + 2

2 · 5

12 =

9

4 .

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 204/349

4 3 12 4

Moment treeg reda sluqajne promenljive X je

E (X 3) = (−1)3 · 1

4 + 1

3 · 1

3 + 2

3 · 5

12 =

41

12 .

Disperzija sluqajne promenljive

Disperzija sluqajne promenljive X , u oznaci D (X ), je broj

D (X ) = E [X −

E (X )]2 ,

ukoliko oqekivanje E (X ) postoji.

Disperzija diskretne sluqajne promenljive sa konaqno

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 205/349

Disperzija diskretne sluqajne promenljive sa konaqno

mnogo vrednostiDisperzija diskretne sluqajne promenljive X sa konaqnomnogo vrednosti jednaka je

D (X ) =n

i =1

(x i −

m )2p i ,

gde je m matematiqko oqekivanje sluqajne promenljive X .

Disperzija diskretne sluqajne promenljive sa prebrojivo

beskonaqno mnogo vrednosti

Disperzija diskretne sluqajne promenljive X sa prebrojivo

beskonaqno mnogo vrednosti jednaka je

D (X ) =∞i 1

(x i −m )2p i ,

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 206/349

i =1

ukoliko moment drugog reda postoji.

Disperzija sluqajne promenljive binomne raspodele B (n ,p ) jednaka je np (1 − p ).

Disperzija sluqajne promenljive Puasonove raspodele P (λ) jednaka je λ.

Disperzija apsolutno neprekidne sluqajne promenljive

Disperzija apsolutno neprekidne sluqajne promenljive X jednaka je

D(X ) =

∞ (x −m)2f (x)dx .

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 207/349

D (X )

−∞

(x m ) f (x )dx .

Disperzija sluqajne promenljive normalne raspodele N (m , σ2) jednaka je σ2.

Disperzija sluqajne promenljive χ2

n raspodele jednaka je 2n .

Disperzija sluqajne promenljive Studentove raspodele t n jednaka je n

n 2 za n > 2.

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 208/349

j d j n −2>

Disperzija sluqajne promenljive uniformne raspodele U (a , b ) jednaka je (b −a )2

12 .

Disperzija sluqajne promenljive X moe se zapisati u obliku

D (X ) = E (X 2

) − [E (X )]2

.

Osobine disperzije

D(X ) ≥ 0 za svaku sluqajnu promenljivu X

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 209/349

D (X ) ≥ 0 za svaku sluqajnu promenljivu X ,

D (X ) = 0 ako i samo ako je X konstanta,D (aX + b ) = a 2D (X ), gde su a i b konstante, a X sluqajnapromenljiva,

D (X + Y ) = D (X ) + D (Y ) ukoliko su X i Y nezavisnesluqajne promenljive.

Standardna devijacija

Standardna devijacija sluqajne promenljive X jednaka je

σX = D (X ).

Primer

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 210/349

r r

Sluqajna promenljiva X ima zakon raspodele 1 2 3

1/4 1/4 1/2

.

Odrediti njenu disperziju.

Rexenje

Oqekivanje sluqajne promenljive X jednako je

E (X ) = 1 · 1

4 + 2 · 1

4 + 3 · 1

2 =

9

4 .

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 211/349

Disperzija sluqajne promenljive X jednaka je

D (X ) =

1 − 9

4

2

· 1

4 +

2 − 9

4

2

· 1

4 +

3 − 9

4

2

· 1

2 =

11

16 .

Centralni moment reda k

Centralni moment reda k sluqajne promenljive X je oqekivanjesluqajne promenljive (X − E (X ))k i pixemo µk = E (X − E (X ))k

ukoliko postoji.

Disperzija je centralni moment drugog reda.

Centralni moment reda k diskretne sluqajne promenljive

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 212/349

Centralni moment reda k diskretne sluqajne promenljive

sa konaqno mnogo vrednostiCentralni moment reda k diskretne sluqajne promenljive X sakonaqno mnogo vrednosti je

µk =

n

i =1

(x i −m )k

p i ,

gde je sa m oznaqeno oqekivanje sluqajne promenljive X .

Centralni moment reda k diskretne sluqajne promenljive

sa prebrojivo beskonaqno mnogo vrednosti

Centralni moment reda k diskretne sluqajne promenljive X saprebrojivo beskonaqno mnogo vrednosti je

µk =∞i =1

(x i − m )k p i ,

ukoliko momenti reda k postoje

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 213/349

ukoliko momenti reda k postoje.

Centralni moment reda k apsolutno neprekidne sluqajne

promenljive

Centralni moment reda k apsolutno neprekidne sluqajnepromenljive je

µk =

∞ −∞

(x − m )k f (x )dx ,

ukoliko momenti reda k postoje.

Primer

Odrediti centralne momente drugog i treeg reda sluqajnepromenljive X zakona raspodele

0 1 2

1/4 1/2 1/4

.

Rexenje: Matematiqko oqekivanje sluqajne promenljive X

jednako je1 1 1

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 214/349

m = 0 · 1

4

+ 1 · 1

2

+ 2 · 1

4

= 1.

Centralni momenti drugog i treeg reda sluqajnepromenljive X su

µ2 = E (X − 1)2 = (0 − 1)2 · 1

4+ (1 − 1)2 ·

1

2+ (2 − 1)2 ·

1

4=

1

2.

µ3 = E (X − 1)3 = (0 − 1)3 · 1

4+ (1 − 1)3 ·

1

2+ (2 − 1)3 ·

1

4= 0.

Mod sluqajne promenljive diskretnog tipa

Mod diskretne sluqajne promenljive je ona vrednost sluqajne

promenljive koja ima veu verovatnou javljanja od susednihvrednosti.

Primer

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 215/349

Mod sluqajne promenljive X zakona raspodele 0 1 2

1/4 1/2 1/4

je M o = 1.

Mod sluqajne promenljive apsolutno neprekidnog tipa

Mod sluqajne promenljive X apsolutno neprekidnog tipa jeona vrednost za koju gustina raspodele f (x ) ima lokalnimaksimum.

f (x )

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 216/349

x m

Gustina raspodele f (x ) dostie maksimum u m , te je mod M o = m .

Sluqajna promenljiva normalne raspodele N (m , σ2) ima mod

M o = m .

Sluqajna promenljiva χ2n raspodele ima mod M o = n − 2, za

n ≥ 2.

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 217/349

Sluqajna promenljiva Studentove raspodele t n ima mod 0.

Sluqajna promenljiva uniformne raspodele U (a ,b ) nema jednoznaqno odreen mod.

Sluqajna promenljiva moe da ima:

jedan mod (unimodalna sluqajna promenljiva)

dva moda (bimodalna sluqajna promenljiva)

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 218/349

tri moda (trimodalna sluqajna promenljiva)

vixe modova (multimodalna sluqajna promenljiva).

Medijana apsolutno neprekidne sluqajne promenljive

Medijana apsolutno neprekidne sluqajne promenljive X se oznaqava sa M e (X ) ipredstavlja rexenje jednaqine

P X ≤ M e (X ) = 1/2.

Kod apsolutno neprekidne sluqajne promenljive, medijana je uvek jedinstvena i

odgovara ordinati koja deli krivu gustine raspodele sluqajne promenljive X na

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 219/349

r r j r u u r u j r

takva dva dela da je povrxina pod svakim delom krive taqno 1/

2.

f (x )

x m

Sluqajna promenljiva normalne raspodele N (m , σ2) imamedijanu M e = m .

Sluqajna promenljiva Studentove raspodele t n ima medijanuM e = 0.

Sluqajna promenljiva uniformne raspodele U (a ,b ) imaM a+b

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 220/349

medijanu M e = a +b

2 .

Medijana diskretne sluqajne promenljive

Medijana diskretne sluqajne promenljive je rexenje sistemanejednaqina

P X < M e (X ) ≤ 1

2 ≤ P X ≤ M e (X ).

Koeficijent varijacije

Pod uslovom da matematiqko oqekivanje i disperzija postoje ida je E (X ) = 0, koeficijent varijacije se definixe kao broj

C v =

D (X )

E(X ) .

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 221/349

E (X )

Koeficijent varijacije se koristi za uporeivanje rasturanjavrednosti sluqajnih promenljivih sa razliqitim raspodelamaoko matematiqkog oqekivanja.

Primer

Neka su oqekivane godixnje padavine E (X ) = 85 cm , sastandardnim odstupanjem D (X ) = 17 cm , a oqekivane

padavine u junu E (Y ) = 12 mm , sa standardnim odstupanjem D (Y ) = 18 mm . Ispitati da li padavine vixe variraju u

junu nego preko cele godine.

R

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 222/349

Rexenje

Koeficijent varijacije sluqajne promenljive X jeC v =

17

85 · 100% = 20%.

Koeficijent varijacije sluqajne promenljive Y jeC v =

18

12 · 100% = 150%.

Kako je 150 > 20, to moemo zakljuqiti da padavine vixevariraju u junu nego preko cele godine.

Koeficijent asimetrije

Koeficijent asimetrije se definixe kao broj

C s = E (X − E (X ))3

D (X )3/2 ,

gde su E (X ), D (X ) i E (X − E (X ))3 matematiqko oqekivanje,

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 223/349

disperzija i centralni moment treeg reda sluqajnepromenljive X .

Koeficijent asimetrije se koristi za grubo procenjivanjeoblika raspodele neke sluqajne promenljive X u pogledu

simetriqnosti u odnosu na pravu x = E (X ).

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 224/349

Koeficijent spljoxtenosti

Koeficijent spljoxtenosti se definixe kao broj

C k = E (X − E (X ))4

D (X )2 ,

ukoliko sluqajna promenljiva X ima moment qetvrtog reda.

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 225/349

Koeficijent spljoxtenosti se koristi za merenjespljoxtenosti gustine raspodele u odnosu na x osu.

Kod normalne raspodele je koeficijent spljoxtenosti jednak

3.

Koeficijent ekscesa

Koeficijent ekscesa se definixe kao broj

C E = C k − 3.

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 226/349

Koeficijent korelacije

Koeficijent korelacije sluqajnih promenljivih X i Y sedefinixe kao broj

ρX ,Y = E (X − E (X ))(Y − E (Y ))

D (X ) ·

D (Y )

.

Gornja formula moe se zapisati u obliku

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 227/349

Gornja formula moe se zapisati u obliku

ρX ,Y = E (X · Y )− E (X ) · E (Y )

D (X ) · D (Y )

.

Koeficijent korelacije meri stepen linearne zavisnosti dvesluqajne promenljive X i Y , odnosno daje informaciju o tomekoliko je taqna linearna veza Y = aX + b .

Osobine koeficijenta korelacije

−1 ≤ ρX ,Y ≤ 1.

ρX ,Y = ±1 ako i samo ako su sluqajne promenljive X i Y povezane linearnom vezom Y = aX + b . Pri tome, ako jeρX ,Y = 1, tada je a > 0, odnosno, ako je ρX ,Y = −1, tada jea < 0.

Ako su X i Y nezavisne sluqajne promenljive tada je

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 228/349

Ako su X i Y nezavisne sluqajne promenljive, tada jekoeficijent korelacije ρX ,Y = 0. Obrnuto u opxtemsluqaju ne vai.

Ako je Z = aX + b i W = cY + d , tada je ρZ ,W = ρX ,Y ako sukoeficijenti a i c istog znaka, odnosno ρZ ,W = −ρX ,Y ako

su koeficijenti a i c suprotnih znakova.

Primer

Dvodimenzionalna sluqajna promenljiva (X ,Y )zadata je zakonom raspodele

X \Y 1 2 3

1 0,1 0,1 0,2 .

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 229/349

−1 0,05 0,15 0,4

Odrediti koeficijent korelacije izmeu sluqajnihpromenljivih X i Y .

Rexenje

Sluqajna promenljiva X ima zakon raspodele −1 1

0,4 0,6

,

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 230/349

te su njeno oqekivanje i disperzija jednaki

E (X ) = −1 · 0,4 + 1 · 0, 6 = 0,2,

D (X ) = (−1)2 · 0,4 + 12 · 0, 6 − (0,2)2 = 0,96.

Rexenje

Sluqajna promenljiva Y ima zakon raspodele 1 2 3

0,15 0,25 0,6

,

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 231/349

a oqekivanje i disperzija ove sluqajne promenljive su

E (Y ) = 1 · 0,15 + 2 · 0,25 + 3 · 0,6 = 2,45,

D (Y ) = 12 · 0, 15 + 2

2 · 0,25 + 32 · 0,6 − (2, 45)2 = 0,5475.

Rexenje

E (XY ) se izraqunava po formuli

E (XY ) = i , j

x i y j P

X = x

i ,Y = y

j ,

te je jednako

E (XY ) = 1 1 0,1 + ( 1) 2 0,1 + ( 1) 3 0, 2 + 1 1 0,05+

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 232/349

( )

− · ·, + (

−)

· ·, + (

−)

· ·, +

· ·, +

+ 1 · 2 · 0,15 + 1 · 3 · 0,4 = 0, 65.

Konaqno, koeficijent korelacije izmeu sluqajnihpromenljivih X i Y jednak je

ρX ,Y = 0,65 − 0,2 · 2,45√

0,96 · √ 0,5475

= 0,221.

Osnovni statistiqki pojmovi

Statistika

Statistika je nauka koja se bavi prouqavanjem skupova savelikim brojem elemenata, koji su jednorodni u odnosu na jedno ili vixe svojstava.

Populacija

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 233/349

Populacija je skup elemenata qija zajedniqka svojstvaprouqavamo statistiqkim metodama.

Obeleje

Posmatrano zajedniqko svojstvo elemenata populacije zove seobeleje.

Primer

Populacija: stanovnici Srbije.

Obeleja: pol, struqna sprema, braqni status, starost . . .

Primer

Populacija: reke crnomorskog sliva.

Obeleja: vodostaj, duina reke, temperatura vode,proticaj, elektroprovodljivost . . .

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 234/349

Primer

Populacija: turistiqki objekti u Srbiji.

Obeleja: vrsta turistiqkog objekta, broj turista koji

su posetili turistiqki objekat u odreenom vremenskomperiodu, kapacitet turistiqkog objekta, kvalitet prueneusluge . . .

Obeleja mogu biti:

jednodimenzionalna (posmatra se samo jedno svojstvo)

vixedimenzionalna (posmatraju se dva ili vixe svojstavaistovremeno)

Obeleja mogu biti:

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 235/349

kvantitativna (njihove vrednosti se registruju kaobrojevi)

kvalitativna (njihove vrednosti se registruju kaonenumeriqki podaci)

Primer

Kvantitativna obeleja su:

vodostaj reke,

starost stanovnika,temperatura vode,

broj turista

Primer

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 236/349

Kvalitativna obeleja su:

pol stanovnika,

braqno stanje,

xkolska sprema,

vrsta turistiqkog objekta,

vrsta uglja

Obeleja mogu biti:

diskretna (uzimaju konaqno mnogo ili prebrojivobeskonaqno mnogo vrednosti)

apsolutno neprekidna (uzimaju neprebrojivo beskonaqnomnogo vrednosti)

Primer

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 237/349

Obeleja diskretnog tipa su:pol ispitanika,

vrsta uglja,

struqna sprema,

broj sunqanih dana u toku posmatrane godine

Primer

Obeleja apsolutno neprekidnog tipa su:

temperatura vode,

vodostaj,koliqina padavina,

visina snenog pokrivaqa

Osnovni zadatak statistike

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 238/349

Za datu populaciju nai raspodelu posmatranog obeleja nanjenim elementima.

Napomena

Ne posmatraju se svi elementi populacije, ve se na sluqajannaqin izdvaja jedan deo populacije koji se dalje prouqava i naosnovu njega se donosi zakljuqak za celu populaciju.

Uzorak

Uzorak je izdvojeni deo populacije koji se dalje prouqava.

Obim uzorka

Izdvojeni uzorak uvek ima konaqan broj elemenata i taj brojelemenata se zove obim uzorka.

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 239/349

Reprezentativan uzorak

Ukoliko je uzorak takav da se na osnovu njega moe donetizakljuqak za celu populaciju, onda je on reprezentativan.

Strategije izbora uzoraka

Uzorak se moe na vixe naqina izdvojiti iz populacije.

Naqin izdvajanja uzorka iz populacije se zove strategijaizbora uzorka.

Najqexe primenjivane strategije su:

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 240/349

sluqajni,periodiqni,stratifikovani,grupni,vixeetapni.

Sluqajni uzorak

Sluqajni uzorak se formira pomou tablice sluqajnih

brojeva.

51772 74640 42331 29044 4662124033 23491 83587 06568 2196045939 60173 52078 25424 1164530586 02133 75797 45406 31041

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 241/349

03585 79353 81938 82322 9679964937 03355 98683 20790 6530415630 64759 51135 98527 6258609448 56301 57683 30277 9462321631 91157 77331 60710 5229091097 17480 29414 06829 87843

Deo tablice sluqajnih brojeva.

Tablica sluqajnih brojeva moe da se koristi samo akose zna broj elemenata populacije, odnosno ako je

populacija konaqna.Svakom elementu populacije se dodeljuje taqno jedanprirodan broj.

Sluqajni uzorak se moe ostvariti na dva naqina:

1

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 242/349

Izvuqe se jedan element iz populacije, belei se vrednostposmatranog obeleja na njemu, a zatim se vraa nazad uskup (sluqajni uzorak sa vraanjem).

2 Izvuqe se jedan element iz populacije, belei se vrednostobeleja na njemu, ali se sada ovaj element ne vraa uosnovni skup (sluqajni uzorak bez vraanja).

Primer

Broj domainstava (u hilj.) 1971. godine za opxtine sa ueteritorije Srbije (50 opxtina) bio je: 5, 33, 9, 13, 13, 31, 15,

42, 16, 23, 5, 8, 2, 29, 5, 3, 10, 9, 5, 5, 5, 4, 8, 3, 5, 4, 4, 5, 17,56, 8, 19, 9, 7, 29, 19, 8, 2, 13, 5, 6, 33, 44, 32, 45, 41, 7, 14, 12,5. Koristei brojeve iz tablice sluqajnih brojeva, poqevxiod prvog reda s leva na desno, formirati sluqajni uzorak

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 243/349

obima 6.Rexenje

Populacija ima ukupno 50 elemenata.

Qitamo po dve cifre, ali pri qitanju ne uzimamo u obzir

brojeve 00, 51, 52, . . .

, 99.

51 77 27 46 40 42 33 12 904446621

2403323491835870656821960

4593960173520782542411645

3058602133757974540631041

0358579353819388232296799

6493703355986832079065304

1563064759511359852762586

0944856301576833027794623

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 244/349

2163191157773316071052290

9109717480294140682987843

Iz populacije uzimamo elemente sa rednim brojevima 27, 46,

40, 42, 33 i 12 i od elemenata formiramo uzorak.Dobijeni sluqajni uzorak obima 6 je 4, 41, 5, 33, 9, 8.

Periodiqni uzorak

Periodiqni uzorak takoe zahteva ureenost elemenatapopulacije.

Iz populacije se biraju elementi na istom razmaku, npr.svaki peti, deseti itd.

Prednosti periodiqnog uzorka:1 Jednostavno se formira i za njegovo formiranje nije

b b b

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 245/349

potrebna tablica sluqajnih brojeva.2 On je ravnomerno rasporeen po populaciji.

Napomena

Periodiqni uzorak nee biti reprezentativan ukoliko je

ureenje elemenata populacije u vezi sa posmatranimobelejem.

Primer

Posmatra se grupa studenata tree godine i belei se koliko

godina imaju. Dobijene godine starosti su: 22, 21, 20, 23, 22,24, 25, 21, 22, 23, 21, 22, 21, 23, 22, 22, 21, 25, 21, 26, 23, 21,22, 21, 21. Formirati periodiqni uzorak obima 6 uzimajuisvaki qetvrti element poqevxi od prvog elementa populacije.

R

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 246/349

RexenjePoqinjemo od prvog elementa i uzimamo svaki qetvrti element22 , 21, 20, 23, 22 , 24, 25, 21, 22 , 23, 21, 22, 21 , 23, 22, 22,

21 , 25, 21, 26, 23 , 21, 22, 21, 21.Dobijeni uzorak obima 6 je 22, 22, 22, 21, 21, 23.

Stratifikovani uzorak

Populacija se deli na disjunktne delove tako da deo

populacije unutar svakog sloja bude homogen po nekomsvojstvu.

Na primer, stanovnici se mogu podeliti prema tome da liive u gradu ili u selu, putevi prema znaqaju, ljudiprema polu, rudnici uglja prema vrsti uglja itd.

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 247/349

Ovako nastali delovi populacije zovu se stratumi ilislojevi.

Iz svakog stratuma se na sluqajan naqin bira unapred predvieni broj elemenata i tako se formira

stratifikovani uzorak.

U zavisnosti od toga koliko se elemenata bira iz svakogstratuma, razlikuju se dva tipa stratifikovanog uzorka:

1 ravnomerni (iz svakog stratuma bira se isti brojelemenata)

2

proporcionalni (iz svakog stratuma uzima se brojelemenata stratuma koji je proporcionalan veliqinistratuma).

Primer

M j

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 248/349

Meu stanovnicima jednog grada se vrxi anketa o tome koliko su zadovoljniuslovima ivota. Graani su podeljeni u tri grupe prema duini ivota u gradu, ina osnovu ispitivanja se zna da 15% graana ivi u gradu do 5 godina, 25% ivivixe od 5, a manje od 10 godina, dok 60% ivi 10 ili vixe godina u gradu. Trebaformirati uzorak obima 300.Ravnomerni stratifikovani uzorak: iz svakog stratuma se uzima po 100 elemenata.

Proporcionalni stratifikovani uzorak: iz prvog stratuma se uzima 300 · 0

,15 = 45

elemenata, iz drugog 300 · 0, 25 = 75, a iz treeg stratuma 300 · 0, 6 = 180 elemenata.

Grupni uzorak

Grupni uzorak zahteva mogunost podele populacije nadisjunktne delove, ali ne zahteva da delovi budu

homogeni po bilo kom svojstvu.Disjunktni delovi populacije se zovu grupe.

Ne uzimaju se sve grupe, ve se bira samo odreeni brojgrupa i to na sluqajan naqin, pa se iz izabranih grupa

j

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 249/349

uzimaju svi elementi.Prednost grupnog uzorka u odnosu na stratifikovaniuzorak je ta xto se grupni uzorak dobija jednostavnije ibre.

Prednost stratifikovanog uzorka u odnosu na grupnuzorak je ta xto stratifikovani uzorak daje bolju sliku opopulaciji.

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 250/349

Vixeetapni uzorak

Vixeetapni uzorak se kreira u vixe etapa.

Populacija se deli na stratume, ovi na poddelove i takoredom zavisno od situacije.

Na primer, grad se deli na opxtine, opxtine na mesnezajednice, mesne zajednice na ulice, ulice na kue itd.

Primer vixeetapnog uzorka je sledei dvoetapni uzorak.

U j b b j

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 251/349

1 U prvoj etapi dvoetapnog uzorka bira se odreeni brojgrupa,

2 u drugoj etapi iz odabranih grupa bira se samo odreenibroj elemenata na sluqajan naqin.

Vixeetapni uzorak se koristi u situacijama kadastratumi imaju veliki broj elemenata.

Izbor taqaka sa tla u uzorak

Kod analize slivova, putne mree, nekih geoloxkihistraivanja i sliqno, potreban je izbor taqaka sa tla,tj. sa nekog dela povrxine Zemlje.

Zbog toga je potrebno izvrxiti izbor uzorka izdvodimenzionalnog prostora.

Izbor taqaka moe biti

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 252/349

Izbor taqaka moe bitisluqajan,periodiqni,stratifikovani,grupni.

Postupak

Posmatrana oblast sa tla se prekrije minimalnimpravougaonikom, a zatim se vrxi izbor taqaka unutar togpravougaonika.

Napomena

Ukoliko posmatrana oblast nije pravougaona tada treba

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 253/349

Ukoliko posmatrana oblast nije pravougaona, tada trebavoditi raquna da se u uzorak uzimaju samo one sluqajnoizabrane taqke pravougaonika koje pripadaju posmatranojoblasti.

Sluqajni izbor taqaka (I naqin)

Sluqajni izbor taqaka moe da se simulira tablicomsluqajnih brojeva. To se postie na taj naqin xto se paroviizabranih sluqajnih brojeva koriste kao koordinate taqakasa tla.

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 254/349

Sluqajni izbor taqaka (II naqin)

Najpre se vrxi sluqajan izbor taqaka na stranicama kvadrataili pravougaonika. Zatim se od svake dve sluqajno izabranetaqke sa razliqitih ivica formiraju linije unutar kvadrata.

Na kraju se od preseqnih taqaka linija formira uzorak.

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 255/349

Periodiqni izbor taqaka

Periodiqni izbor taqaka se uspexno primenjuje za izbortaqaka po kvadratnoj mrei.

I naqin

Taqke se mogu birati naqvorovima mree.

II naqin

Koordinate jedne taqke se

odreuju preko tablice

sluqajnih brojeva, a ostale sej

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 256/349

sluqajnih brojeva, a ostale seuzimaju na istom razmaku.

Stratifikovani izbor taqaka

Posmatrana oblast se deli na manje celine homogene po nekomsvojstvu (vrsta zemljixta, nadmorska visina i sliqno) izkojih se na sluqajan naqin bira odreeni broj taqaka u

uzorak.

Napomena

Stratifikovani izbor taqaka podrazumeva izbor odreenogbroja taqaka iz svakog stratuma, te omoguava ravnomernuraspodelu uzorka po posmatranom delu tla

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 257/349

raspodelu uzorka po posmatranom delu tla.

Grupni izbor taqaka

Posmatrana oblast se deli na manje celine, najqexepravilnog oblika, recimo kvadrata ili pravougaonika istihdimenzija koji imaju ulogu grupa. Uzorak se formira takoxto se na sluqajan naqin izabere odreen broj grupa, a zatim

se iz svake grupe uzimaju svi elementi, tj. ceo deo tlab b

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 258/349

se iz svake grupe uzimaju svi elementi, tj. ceo deo tlaobuhvaen izabranom grupom.

Statistiqko prouqavanje

Statistiqko prouqavanje populacije qine tri etape:

1 Prikupljanje podataka.

2 Sreivanje i grafiqko prikazivanje podataka.

3 Statistiqka obrada podataka.

Prikupljanje podataka:

1 Definisanje populacije koja se prouqava.

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 259/349

Definisanje populacije koja se prouqava.2 Definisanje obeleja koja se posmatraju.

3 Izbor strategije izbora uzorka.

4 Izbor procedure prikupljanja podataka (popunjavanje

obrazaca, merenja itd.).5 Prikupljanje podataka.

Statistiqka obrada podataka:

1 Sreeni podaci se obrauju statistiqkim metodama.

2 Donose se zakljuqci za celu populaciju.

Sluqajni uzorak

Neka se posmatra obeleje X i vrxi n posmatranja qiji surezultati sluqajne promenljive X 1, X 2, . . . , X n . Ureenan -torka (X 1, X 2, . . . , X n ) se zove sluqajni uzorak obima n za

obeleje X .

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 260/349

j

Realizovani uzorak

Posle obavljenog eksperimenta ili posmatranja na

raspolaganju je niz konkretnih podataka (x 1,

x 2, . . . ,

x n ) koji sezove realizovani uzorak.

Statistika

Statistika je funkcija uzorka (X 1, X 2, . . . , X n ) qiji analitiqkiizraz ne zavisi od nepoznatih parametara raspodele obelejapopulacije iz koje je uzet.

Primer

Neka obeleje X ima normalnu raspodelu sa parametrima m iσ2 i neka je iz populacije uzet uzorak (X 1, X 2, . . . , X n ). Neka je

1 n Xi m

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 261/349

Z n =n

i =1

X i − m

σ .

Ukoliko su parametri m i σ2 poznati, tada funkcija Z n

predstavlja jednu statistiku. Ukoliko je bar jedan parametarnepoznat, tada ova funkcija nije statistika.

Parametri obeleja

Parametri obeleja su numeriqke karakteristike obeleja.

Parametri raspodele obeleja mogu biti poznati ili

nepoznati.Ukoliko su parametri raspodele nepoznati, tada se oniprocenjuju na osnovu realizovanog uzorka.

Taqkasta ocena nepoznatog parametra

Ako je procena nepoznatog parametra konkretan broj tada za

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 262/349

Ako je procena nepoznatog parametra konkretan broj, tada zatakvu procenu kaemo da je taqkasta ocena nepoznatogparametra.

Intervalna ocena nepoznatog parametraUkoliko je procena interval, tada takvu procenu nazivamointervalnom ocenom nepoznatog parametra.

Taqkaste ocene

Uzoraqka sredina

Neka je (X 1, X 2, . . . , X n ) uzorak obima n iz populacije sa

obelejem X . Statistika X n definisana kao

X n = 1

n (X 1 + X 2 + · · · + X n ) =

1

n

n

i =1

X i

naziva se uzoraqkom sredinom ili sredinom uzorka.

R

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 263/349

Realizovana uzoraqka sredina

Realizovana uzoraqka sredina oznaqava se sa x n i definixese kao broj

x n =

1

n (x 1 + x 2 + · · · + x n ),

gde je (x 1, x 2, . . . , x n ) realizovani uzorak.

Primer

Broj zemljotresa u Srbiji u periodu 1991-1999. godine bio je:

26, 10, 11, 6, 5, 10, 26, 103, 81. Koliki je bio oqekivanigodixnji broj zemljotresa u Srbiji u periodu 1991-1999.godine?

Rexenje

Oqekivani godixnji broj zemljotresa u Srbiji u periodu1991 1999 godine bio je

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 264/349

1991-1999. godine bio je

x 9 = 26 + 10 + 11 + 6 + 5 + 10 + 26 + 103 + 81

9 = 30,89.

Tabelarno sreen uzorak

Ukoliko je uzorak oblika

Realizovane vrednosti obeleja X x 1 x 2 · · · x k

Apsolutne uqestanosti f i f 1 f 2 · · · f k n

tada se realizovana uzoraqka sredina izraqunava po formuli

1 1k

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 265/349

x n = 1

n (f 1x 1 + f 2x 2 + · · · + f k x k ) =

1

n

i =1

f i x i .

Intervalno sreen uzorak

Ukoliko je uzorak oblika

Intervali [x 1; x 2) [x 2; x 3) · · · [x k −1; x k ]

Apsolutne uqestanosti f i f 1 f 2 · · · f k n

tada se realizovana uzoraqka sredina izraqunava po formuli

1 1k

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 266/349

x n = 1

n (f 1x

1 + f 2x

2 + · · · + f k x

k ) = 1

n

i =1

f i x

i ,

gde je x i sredina uzorka [x i , x i +1), i = 1,2, . . . ,k − 1.

Uzoraqki mod

Uzoraqki mod ili mod uzorka je ona vrednost u uzorku kojaima najveu apsolutnu (relativnu) uqestanost pojavljivanja u

svojoj okolini.

Primer

Dat je broj kixnih dana u mesecu julu u mestu A u toku 20godina: 5, 6, 8, 10, 9, 8, 4, 7, 7, 3, 6, 4, 8, 7, 6, 6, 5, 3, 6, 6.

Odrediti uzoraqki mod.

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 267/349

Rexenje

Vrednost 6 se najvixe puta javlja, taqnije 6 puta, tako da jeuzoraqki mod broja kixnih dana vrednost 6 i drugih modovanema.

Modalni interval

Modalni interval je interval koji ima veu apsolutnuuqestanost od oba svoja suseda.

Intervalno sreen uzorak 1 Najpre se odreuje modalni interval [a µ, b µ).

2 Mod uzorka se raquna po formuli

M o = a µ + h µ · N 2

N 1 + N 2 ,

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 268/349

gde je a µ donja granica modalnog intervala [a µ, b µ), h µ jeduina modalnog intervala i raquna se po formulih µ = b µ − a µ, N 1 je apsolutna uqestanost intervala ispred modalnog, a N 2 je apsolutna uqestanost intervala izamodalnog.

Napomena

Vixe intervala mogu biti modalni i tada uzorak ima vixemodova.

Primer

Godixnje korixenje xuma (u hilj. m 3) u Srbiji i Crnoj Goriu periodu od 1959-1997. godine predstavljeno je sledeomtabelom:

Iskorixenost xuma [2500; 3000) [3000; 3500) [3500; 4000)Broj godina 2 7 6

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 269/349

Broj godina 2 7 6

Iskorixenost xuma [4000; 4500) [4500; 5000) [5000; 5500)

Broj godina 15 5 4

Odrediti mod datog uzorka.

Rexenje

1 Uzorak ima dva modalna intervala [3000;3500) i[4000; 4500), te je posmatrano obeleje bimodalno.

2 Vrednost moda na osnovu intervala [3000;3500):

m o = 3000 + 500 · 6

2 + 6 = 3375.

3 V [4000 4500)

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 270/349

3 Vrednost moda na osnovu intervala [4000;4500):

m o = 4000 + 500 · 5

6 + 5 = 4227, 27.

Uzoraqka medijanaUzoraqka medijana ili medijana uzorka je taqka M e koja deliuzorak na dva dela, takva da se u svakom od delova nalazi jednak broj elemenata uzorka.

Odreivanje uzoraqke medijane

1 Najpre se od elemenata uzorka formira varijacioni nizx (1), x (2), . . . , x (n ), tj. niz vrednosti koje su poreane uneopadajuem redosledu.

2 Ako je obim uzorka n neparan broj, uzoraqka medijana jej j

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 271/349

jednaka elementu varijacionog niza x ((n +1)/2).

3 Ako je obim uzorka n paran broj, tada je uzoraqkamedijana jednaka

M e =x ( n

2) + x ( n

2+1)

2 .

Primer

Broj diplomiranih studenata po kalendarskoj godini ucentralnoj Srbiji u periodu 1980-1997. godine bio je: 10304,

9881, 9984, 9860, 9213, 9019, 8894, 7971, 8004, 8008, 7003,7825, 7845, 7097, 7433, 8005, 8658 i 7663. Kolika je medijana?

Rexenje

Uzorak je obima 18, tako da je medijana aritmetiqka sredina

devetog i desetog elementa varijacionog niza 7003, 7097,7433 7663 7825 7845 7971 8004 8005 8008 8658 8894

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 272/349

7433, 7663, 7825, 7845, 7971, 8004, 8005, 8008, 8658, 8894,9019, 9213, 9860, 9881, 9984, 10304, taqnije

m e = 8005 + 8008

2

= 8006,5.

Medijanski interval

Medijanski interval je prvi interval qija je zbirnauqestanost vea ili jednaka n /2.

Intervalno sreen uzorak 1 Najpre se odreuje medijanski interval [a M , b M ).

2 Medijana se raquna po formuli

M e = a M + h M ·

n

2 −

M

N M ,

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 273/349

gde je a M donja granica medijanskog intervala [a M , b M ), h M

je duina medijanskog intervala i raquna se kaoh M = b M − a M , N M je apsolutna uqestanost medijanskogintervala, a

M je zbirna uqestanost intervala ispred

medijanskog intervala.

Primer

Raspodela opxtina u SFR Jugoslaviji prema broju osnovnih

xkola, stanje 1974/75 xkolske godine data je sledeomtabelom:

Broj xkola [0;5) [5;10) [10;15) [15; 20) [20;25)

Broj opxtina 13 47 75 85 63

Broj xkola [25;30) [30;40) [40; 50) [50;70)Broj opxtina 57 74 41 53

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 274/349

Broj opxtina 57 74 41 53

Odrediti medijanu broja xkola.

Rexenje

Tabela sa apsolutnim i zbirnim apsolutnim uqestanostima jesledea

Broj xkola [0; 5) [5; 10) [10; 15) [15; 20) [20; 25)

Broj opxtina 13 47 75 85 63Zbirne uqestanosti 13 60 135 220 283

Broj xkola [25; 30) [30; 40) [40; 50) [50;70)

Broj opxtina 57 74 41 53Zbirne uqestanosti 340 414 455 508

Medijanski interval je interval [20;25), jer je njegova zbirna

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 275/349

uqestanost (283) prva zbirna uqestanost vea od 508/2 = 254.Tada je uzoraqka medijana jednaka

m e = 20 + 5 · 254

−220

63 = 22,7.

Uzoraqka disperzija

Neka je (X 1, X 2, . . . , X n ) uzorak obima n ≥ 30 iz populacije sa

obelejem X . Statistika S 2

n definisana kao

S 2

n = 1

n

n i =1

X i − X n 2

naziva se uzoraqkom disperzijom posmatranog uzorka.

Realizovana uzoraqka disperzija

A

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 276/349

Ako se posmatra realizovani uzorak, onda se moedefinisati realizovana uzoraqka disperzija kao

s 2n = 1

n

n

i =1

(x i − x n )2 .

Napomena

Za izraqunavanje S

2

n i s

2

n mogu se mogu se koristiti formule

S 2

n = 1

n

n i =1

X 2

i −

X n

2

is2 =

1n

X2

i −

X n

2

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 277/349

s n =n

i =1

X i

X n

.

Popravljena uzoraqka disperzija

Ako je uzorak obima n < 30, tada se umesto uzoraqkedisperzije izraqunava popravljena uzoraqka disperzija S 2n kao

S 2n =

1

n − 1

n i =1

X i − X n

2.

Napomena

Za izraqunavanje popravljene uzoraqke disperzije moe sekoristiti formula

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 278/349

koristiti formula

S 2n =

1

n −1

n

i =1

X 2

i − n

n −1

X n

2.

PrimerMinimalne meseqne temperature na Dunavu kod Zemuna 1998.godine su bile: 3, 2, 6, 7, 13, 19, 19,5, 20,5, 15, 11, 4 i 1.Odrediti uzoraqku sredinu i disperziju.

RexenjeNeka je obeleje X minimalna meseqna temperatura naDunavu kod Zemuna.Uzoraqka sredina jednaka je

x 12 = 3 + 2 + 6 + 7 + · · · + 4 + 1

12 = 10,08.

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 279/349

12

Kako je 12 < 30, to je potrebno izraqunati popravljenuuzoraqku disperziju i ona je jednaka

s 212 =

32 + 22 + 62 + 72 + · · · + 12

11 −

12

11(10,08)2 = 52, 02.

Ako je uzorak tabelarno sreen, tada se realizovana uzoraqkadisperzija izraqunava po formuli

s 2

n = 1

n

k i =1

f i (x i − x n )2 ,

odnosno, po formuli

s2

n = 1

k fi x

2

i − (x n)2 ,

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 280/349

s n n

i =1

f i x i (x n ) ,

gde je f i apsolutna uqestanost realizovane vrednosti x i .

Ako je uzorak obima manjeg od 30, tada se popravljenauzoraqka disperzija izraqunava kao

s 2n = 1

n − 1

k

i =1

f i (x i − x n )2 ,

odnosno, kao

s 2n = 1n − 1

k i=1

f i x 2i − n n − 1

(x n )2 .

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 281/349

i =1

Ako je uzorak i intervalno sreen, tada se za realizovane

vrednosti uzorka uzimaju sredine tih intervala.

Uzoraqka standardna devijacija

Uzoraqka standardna devijacija oznaqava se sa S n i definixeformulom S n =

S 2

n .

Popravljena uzoraqka standardna devijacija

Popravljena uzoraqka standardna devijacija oznaqava se sa S n

i definixe formulom Sn =

S2

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 282/349

i definixe formulom S n =

S n .

Uzoraqki koeficijent korelacije

Za uzorak ((X 1, Y 1), (X 2, Y 2), . . . , (X n , Y n )) obima n ≥ 30,uzoraqki koeficijent korelacije jednak je

R X ,Y =

1n

n i =1

X i − X n Y i − Y n S X S Y

,

gde su X n i Y n uzoraqke sredine obeleja X i Y , a S X i S Y su

uzoraqke standardne devijacije obeleja X i Y .

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 283/349

Napomena

Ako je uzorak mali (n < 30), tada se umesto uzoraqkih

standardnih devijacija S

X i S

Y koriste popravljene uzoraqkestandardne devijacije S X i S Y .

NapomenaZa izraqunavanje uzoraqkog koeficijenta korelacije moe sekoristiti formula

R X ,Y =

1

n

n

i =1

X i Y i − X n Y n

S X S Y

.

Uzoraqki koeficijent korelacije se koristi za utvrivanjelinearne povezanosti dva obeleja.

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 284/349

Osobine uzoraqkog koeficijenta korelacije

Uzoraqki koeficijent korelacije uzima vrednosti izintervala [−1,1].

Uzoraqki koeficijent korelacije jednak je 1 ako izmeuobeleja X i Y postoji linearna veza Y = aX + b pri qemu je a > 0.

Uzoraqki koeficijent korelacije jednak je −1 ako izmeuobeleja X i Y postoji linearna veza Y = aX + b pri qemu

je a < 0.Vrednost uzoraqkog koeficijenta korelacije se ne menja

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 285/349

ako se izvrxi transformacija uzorka, tj. ako jeZ i = aX i + b i W i = cY i + d , tada je R Z ,W = R X ,Y , ukoliko sua i c istog znaka, i R Z ,W = −R X ,Y , ukoliko su a i c

suprotnog znaka.

Tumaqenje vrednosti uzoraqkog koeficijenta korelacije

Ako je |r X ,Y | < 0,25, tada smatramo da izmeu obeleja X iY ne postoji linearna zavisnost.

Ako je 0, 25 ≤ |r X ,Y | < 0,5, onda izmeu obeleja X i Y

postoji sasvim neznatna linearna povezanost.

Ako je 0, 5 ≤ |r X ,Y | < 0,7, tada postoji znaqajna linearnapovezanost izmeu obeleja X i Y .

Ako je 0, 7 ≤ |r X ,Y | < 0,9, onda postoji visoko znaqajnapovezanost izmeu obeleja X i Y .

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 286/349

u j

Ako je 0, 9 ≤ |r X ,Y | < 1, onda je povezanost izmeu obelejaX i Y praktiqno linearnog oblika.

Intervalno ocenjivanje parametara

Potreba za intervalnim ocenjivanjem

elimo da znamo u kojim se granicama kree prava vrednostparametra.

Postupak:

Posmatra se obeleje X qija raspodela zavisi od nepoznatog

parametra θ. Potrebno je za dati uzorak (X 1,X 2, . . . ,X n ) obiman nai dve statistike ϕ1(X 1,X 2, . . . ,X n ) i ϕ2(X 1,X 2, . . . ,X n )

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 287/349

takve da je

P

ϕ1(X 1,X 2, . . . ,X n )

≤θ

≤ϕ2(X 1,X 2, . . . ,X n )

= 1

−α.

Sluqajni interval

Interval [ϕ1, ϕ2] zove se sluqajni interval parametra θ nivoapoverenja 100(1− α)% ili skraeno, interval poverenja.

Dvostrani interval poverenja

Ako su obe granice intervala poverenja sluqajne promenljive,tada je req o dvostranom intervalu poverenja.

Jednostrani interval poverenjaAko je samo jedna granica intervala poverenja sluqajnapromenljiva tada je req o jednostranom intervalu poverenja

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 288/349

promenljiva, tada je req o jednostranom intervalu poverenja.

Vrednosti nivoa poverenja

Najqexe se uzima visok nivo poverenja: 90%, 95%, 99%.

Napomena

Znaqenje izraza

P ϕ1(X 1,X 2, . . . ,X n ) ≤ θ ≤ ϕ2(X 1,X 2, . . . ,X n ) = 1− α.

Od vixe intervala koji se iz vixe uzoraka istog obima n dobijaju, njih 100(1−α)% zahvata pravu vrednost parametra θ.

Intervalne ocene parametara normalne raspodele

Neka obeleje X ima normalnu raspodelu N (m σ2) i neka je

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 289/349

Neka obeleje X ima normalnu raspodelu N (m , σ ) i neka je(X 1,X 2, . . . ,X n ) uzorak obima n .

Interval poverenja za m kada je σ2 poznato

Interval poverenja za parametar m je oblika

I m = X n − σ

√ n ·z 1−α

2

; X n + σ

√ n ·z 1−α

2 ,pri qemu je X n uzoraqka sredina, a z 1−α

2

je broj koji se qita

iz tablice normalne raspodele i zadovoljava uslov

Φz 1−α2 = 1−α

2

.

Neke karakteristiqne vrednosti za z 1

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 290/349

Neke karakteristiqne vrednosti za z 1−α

2

1− α 0,9 0,95 0,99

z 1−α

2 1,64 1,96 2,57

PrimerPosmatrano obeleje X , proseqne godixnje padavine u Africi, ima

normalnu raspodelu sa disperzijom σ2 = 324 i nepoznatim parametrom m .

Iz datog uzorka obima 50 realizovana uzoraqka sredina iznosi x 50 = 85.

Odrediti interval poverenja za parametar m za nivo poverenja 0,95.

Rexenje

Uzorak je obima n = 50.

Nivo poverenja je 1− α = 0, 95.

Standardna devijacija je σ

=

√ 324

= 18

.Realizovana uzoraqka sredina je x 50 = 85.

Za dati nivo poverenja je z 1 α = 1 96

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 291/349

Za dati nivo poverenja je z 1−α2

= 1, 96.

Traeni interval poverenja za parametar m je

I m =85

−18√ 50

·1, 96 ; 85 +

18√ 50

·1,96

= [80, 01 ; 89, 99].

Interval poverenja za m kada je σ2 nepoznato, n < 30

Interval poverenja za m je oblika

I m = X n − S n

√ n ·t n −1

;

1−α

2

; X n + S n

√ n ·t n −1

;

1−α

2 ,gde je S n popravljena uzoraqka standardna devijacija, at n −1; 1−α

2

je vrednost koja se qita iz tablice Studentoveraspodele.

Neke karakteristiqne vrednosti za t n −1; 1−α

2

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 292/349

;2

1− α = 0,9

n 5 10 15 20

t n −1; 1−α

2

2,132 1,833 1,761 1,729

Interval poverenja za m kada je σ2 nepoznato, n ≥ 30

Interval poverenja za m je oblika

I m = X n − S n √

n − 1· t n −1; 1−α

2; X n +

S n √

n − 1· t n −1; 1−α

2 ,

gde je S n uzoraqka standardna devijacija.

PrimerU sluqajnom uzorku od 10 gradova procenti stanovnika

4 4

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 293/349

starijih od 65 godina su: 15,4; 19,7; 24,6; 18,9; 15,2; 19; 21,3;17,9; 15,5 i 16. Odrediti 95% interval poverenja oqekivanogprocenta stanovnika starijih od 65 godina.

Rexenje

Neka je X procenat stanovnika starijih od 65 godina.

Ne postoji nikakva pretpostavka o disperziji, xto znaqi

da je ona nepoznata.Uzorak je mali (10 < 30).

Uzoraqka sredina je x 10 = 18,35.

Popravljena uzoraqka disperzija je

s 210

= 9, 2.

Interval poverenja za m u sluqaju nepoznate disperzije je √ 9,2

√ 9,2

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 294/349

I m =

18, 35−

√9,2√ 9

· 2, 262 ; 18,35 +

√9,2√ 9

· 2,262

= [16,06 ; 20, 64].

Interval poverenja za σ2

kada je m poznatoInterval poverenja za σ2 je oblika

I σ2 = n

i =1

(X i −m )2

χ2

n ;1−α

2

;

n

i =1

(X i −m )2

χ2

n ;α2

,

pri qemu su χ2

n ;α2

i χ2

n ;1−α

2

vrednosti koje se qitaju iz tablice

χ2

raspodele.

Neke karakteristiqne vrednosti za χ2α kada je 1− α = 0 9

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 295/349

Neke karakteristiqne vrednosti za χn ;α

2

kada je 1 α = 0,9

n 5 10 15 20

χ2

n ;α2 1,15 3,94 7,26 10,9

χ2

n ;1−α

2

11,1 18,3 25 31,4.

Interval poverenja za σ2

kada je m nepoznatoInterval poverenja za parametar σ2 je oblika

I σ2 =

nS 2

n

χ2

n −1;1−α

2

; nS

2

n

χ2

n −1;α

2 .Jednostrani intervali poverenja

Jednostrani donji interval poverenja je oblika

I σ2 =

nS

2

n

χ2

n −1;α

; ∞

.

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 296/349

Jednostrani gornji interval poverenja je

I σ2 =0 ;

nS 2

n

χ2

n −1;1−α

.

PrimerPosmatramo obeleje X , procenat qistog metala u rudi koji ima normalnu

raspodelu. Iz uzorka obima 30 dobijena je uzoraqka disperzija s 2

30 = 7, 27. Za nivo

poverenja 0,9 odrediti dvostrani i jednostrani donji interval poverenja za

parametar σ2.

Rexenje

Ne postoji nikakva pretpostavka o parametru m , xto znaqi da je on nepoznat.

Dvostrani interval poverenja za parametar σ2 je

I σ2 =

30 · 7,27

45, 7; 30 · 7

,27

16

= [4, 77 ; 13, 63].

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 297/349

Jednostrani donji interval poverenja je

I σ2 =

30 · 7, 2742, 6 ;

∞ = [

5,12

; ∞

).

Testiranje statistiqkih hipoteza

Testiranje statistiqkih hipoteza je vid statistiqkog

zakljuqivanja koji se primenjuje u situacijama:kada se unapred pretpostavlja postojanje odreene vezemeu izuqavanim pojavama,

kada se pretpostavlja da posmatrano obeleje ima

odreenu raspodelu.

Statistiqka hipoteza

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 298/349

Statistiqka hipoteza je svaka pretpostavka koja se odnosi naraspodelu obeleja.

Statistiqka hipoteza moe biti taqna ili pogrexna.

Odluka o prihvatanju ili odbacivanju statistiqke hipoteze

donosi se na osnovu uzorka.

Statistiqki test

Statistiqki test je postupak verifikovanja statistiqkehipoteze na osnovu uzorka.

Test statistika

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 299/349

Statistiqki test koristi neku statistiku koja se zove teststatistika.

Istovremeno se posmatraju dve hipoteze koje su jedna drugojsuprostavljene.

Nulta hipoteza

Hipoteza koja se lakxe verifikuje se uzima za polaznu ili”nultu” hipotezu. Oznaqava se sa H 0.

Alternativna hipoteza

Druga hipoteza se zove alternativna hipoteza. Oznaqava se saH 1 ili H a .

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 300/349

Hipoteza moe biti:

prosta (u potpunosti odreuje raspodelu obeleja)

sloena.

Kritiqna oblastSkup C takav da se hipoteza H 0 odbacuje ako realizovaniuzorak (x 1, x 2, . . . , x n ) pripada skupu C zove se kritiqna oblast.

Mogue je naqiniti dve grexke:grexku prve vrste,

grexku druge vrste.

Grexka prve vrste

Grexka prve vrste nastaje u situacijama kada je hipoteza H 0odbaqena, a bila je faktiqki taqna.

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 301/349

Grexka druge vrste

Grexka druge vrste qini se kada se nulta hipoteza prihvati,a zapravo nije taqna.

Verovatnoa da se naqini grexka prve vrste

Verovatnoa da se uqini grexka prve vrste oznaqava se sa α:

α = P H 0(X 1, X 2, . . . , X n ) ∈ C .

Verovatnoa da se naqini grexka druge vrste

Verovatnoa da se naqini grexka druge vrste oznaqava se saβ :

β = P H 1

(X 1, X 2, . . . , X n )

∈ C

.

Prag znaqajnosti

Verovatnoa α se zove i prag znaqajnosti testa

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 302/349

Verovatnoa α se zove i prag znaqajnosti testa.

Za prag znaqajnosti se najqexe uzimaju vrednosti 0

,1

; 0

,01

i 0,05.

Statistiqki testovi mogu biti:

parametarski,

neparametarski.

Parametarski testovi

Kod parametarskih testova raspodela test statistike zavisiod raspodele posmatranog obeleja.

Neparametarski testovi

Kod neparametarskih testova raspodela test statistike ne

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 303/349

Kod neparametarskih testova raspodela test statistike nezavisi od raspodele posmatranog obeleja.

Testiranje hipoteze o parametru m kada je σ2 poznato

Obeleje X ima normalnu N (m , σ2) raspodelu.

Postavlja se pitanje da li se vrednost parametra m

promenila.

Testiramo nultu hipotezu H 0(m = m 0), gde je m 0 konkretanbroj, protiv jedne od alternativnih H 1(m = m 0),H 1(m > m 0) ili H 1(m < m 0).

Posmatra se test statistika Z 0 = X n −m 0σ

· √ n , gde je X n

sredina posmatranog uzorka.

A j H Z

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 304/349

Ako je hipoteza H 0 taqna, test statistika Z 0 imastandardnu normalnu raspodelu.

Kritiqne oblasti C zavise od alternativnih hipoteza iprikazane su u tabeli:

H 0 H 1 C

m = m 0 m = m 0 |z 0| ≥ z 0,5−α

2

m = m 0 m > m 0 z 0 ≥ z 0,5−αm = m 0 m < m 0 z 0 ≤ −z 0,5−α

Broj z α je rexenje jednaqine Φ(z α) = α i odreuje se iztablice normalne raspodele.

Ako realizovana vrednost z 0 upada u kritiqnu oblast C ,tada odbacujemo nultu hipotezu H 0 i prihvatamoalternativnu H 1 da je doxlo do promene vrednosti

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 305/349

parametra m .

U suprotnom, prihvatamo nultu hipotezu H 0, odnosno

moemo smatrati sa pragom znaqajnosti α da nije doxlodo promene vrednosti parametra m .

Testiranje hipoteze o parametru m kada je σ2

nepoznato

Obeleje X ima normalnu N (m , σ2) raspodelu.

Postavlja se pitanje da li se vrednost parametra m

promenila.

Testiramo nultu hipotezu H 0(m = m 0), gde je m 0 konkretanbroj, protiv jedne od alternativnih H 1(m = m 0),H 1(m > m 0) ili H 1(m < m 0).

Posmatra se test statistika t n −1 = X n −m 0S n

· √ n − 1, gde je

X n sredina uzorka, a S n standardna devijacija uzorka.Ako je hipoteza H 0 taqna, test statistika t n −1 imaStudentovu raspodelu sa n − 1 stepeni slobode

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 306/349

Studentovu raspodelu sa n 1 stepeni slobode.

Ako je uzorak mali, tada se koristi test statistika

t n −1 = X n −m 0S n · √ n , gde je S n popravljena uzoraqka

disperzija.

Kritiqne oblasti C zavise od alternativnih hipoteza iprikazane su u tabeli:

H 0 H 1 C

m = m 0 m

= m 0

|t n −1

| ≥ t n −1;0,5−α

2

m = m 0 m > m 0 t n −1 ≥ t n −1;0,5−α

m = m 0 m < m 0 t n −1 ≤ −t n −1;0,5−α

Broj t n −1;α se odreuje iz tablice Studentove raspodele.

Ako realizovana vrednost t n −1 upada u kritiqnu oblast

C , tada odbacujemo nultu hipotezu H 0 i prihvatamoalternativnu H 1 da je doxlo do promene vrednostiparametra m .

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 307/349

r r

U suprotnom, prihvatamo nultu hipotezu H 0, odnosno

moemo smatrati sa pragom znaqajnosti α da nije doxlodo promene vrednosti parametra m .

Testiranje hipoteze o parametru σ2 kada je m nepoznato

Obeleje X ima normalnu N (m , σ2) raspodelu.

Postavlja se pitanje da li se vrednost parametra σ2

promenila.

Testiramo nultu hipotezu H 0(σ2 = σ20), gde je σ2

0 konkretanbroj, protiv jedne od alternativnih H 0(σ2 = σ2

0),

H 0(σ2 > σ20

) ili H 0(σ2 < σ20

).

Posmatra se test statistika χ20

= nS 2

n

σ2

0

, gde je S 2

n disperzija

uzorka.

Ako je hipoteza H 0 taqna, test statistika χ20

ima χ2

raspodelu sa n − 1 stepeni slobode

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 308/349

raspodelu sa n − 1 stepeni slobode.

Ako je uzorak mali, tada se koristi test statistika

χ20 = (n −1)S

2

n σ2

0

, gde je S 2n popravljena uzoraqka disperzija.

Testiranje hipoteze o parametru σ2 kada je m poznato

Obeleje X ima normalnu N (m , σ2) raspodelu.

Postavlja se pitanje da li se vrednost parametra σ2

promenila.

Testiramo nultu hipotezu H 0(σ2 = σ20

), gde je σ20

konkretanbroj, protiv jedne od alternativnih H 0(σ2 = σ2

0),

H 0(σ2 > σ2

0) ili H 0(σ2 < σ2

0).

Posmatra se test statistika χ2

0 =

n

i =1

(X i −m )2

σ2

0

.

Ako je hipoteza H taqna test statistika χ2 ima χ2

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 309/349

Ako je hipoteza H 0 taqna, test statistika χ20

ima χ2

raspodelu sa n stepeni slobode.

Kritiqne oblasti C zavise od alternativnih hipoteza iprikazane su u tabeli:

H 0 H 1 C

σ2 = σ20

σ2 = σ20

χ20 ≤ χ2

n ;α2

χ20 ≥ χ2

n ;1−α

2

σ

2 = σ20 σ2 > σ20 χ20 ≥ χ2n ;1−α

σ2 = σ20

σ2 < σ20

χ20 ≤ χ2

n ;α

Broj χ2n ;α se odreuje iz tablice χ2 raspodele.

Ako realizovana vrednost χ2

0 upada u kritiqnu oblast C ,

tada odbacujemo nultu hipotezu H 0 i prihvatamoalternativnu H 1 da je doxlo do promene vrednostiparametra σ2.

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 310/349

r r

U suprotnom, prihvatamo nultu hipotezu H 0, odnosno

moemo smatrati sa pragom znaqajnosti α da nije doxlodo promene vrednosti parametra σ2.

Pirsonov χ2-test

Pirsonov χ2 test je neparametarski test koji se koristi zaispitivanje:

saglasnosti uzorka sa pretpostavljenom raspodelom,

nezavisnosti dva obeleja.

Ispitivanje saglasnosti uzorka sa pretpostavljenom

raspodelom

U zavisnosti od toga da li je obeleje diskretno iliapsolutno neprekidno, crta se trakasti dijagram ilihistogram relativnih uqestanosti.

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 311/349

Testira se nulta hipoteza da posmatrano obeleje X imaodreenu raspodelu protiv alternativne hipoteze da nematu raspodelu.

Ako izabrana raspodela ima nepoznate parametre, tada seoni ocenjuju na osnovu uzorka.

Realna prava se deli na k disjunktnih intervala S 1, S 2,

. . . , S k qija je unija taqno R .Vodi se raquna da svaki interval u sebi sadri najmanje5 elemenata realizovanog uzorka. Ako postoje intervalikoji sadre manje od 5 elemenata realizovanog uzorka,tada se oni pridruuju susednim intervalima.

Izraqunavaju se teorijske verovatnoe

p 0i = P H 0X ∈ S i , i = 1, 2, . . . , k

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 312/349

0

uz pretpostavku da je nulta hipoteza H 0 taqna.

Izraqunavaju se oqekivane apsolutne uqestanosti f i uzorka obima n , u svakom intervalu S i

f i = n · p 0i .

Izraqunava se realizovana vrednost test statistike

χ2

0 =k

i =1

(f i − f i )2

f i ,

pri qemu je f i ostvarena apsolutna uqestanost u intervaluS

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 313/349

S i .

Test statistika χ2

0 ima χ2

raspodelu sa k

−1

stepenislobode.

Ako raspodela ima l nepoznatih parametara koje smoocenili na osnovu uzorka, tada test statistika ima χ2

raspodelu sa k − l − 1 stepeni slobode.

Odreuje se kritiqna oblast C veliqine α

χ2

0 ≥ χ2

k −1;1−α ,

pri qemu se vrednost χ2

k −1;1−α qita iz tablice χ2

raspodele.

U sluqaju l nepoznatih parametara raspodele, kritiqnaoblast je χ2

0 ≥ χ2

k −l −1;1−α.

Donosi se zakljuqak o prihvatanju ili odbacivanju nulte

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 314/349

Donosi se zakljuqak o prihvatanju ili odbacivanju nultehipoteze na osnovu realizovane vrednosti test statistike

χ2

0 i dobijene kritiqne oblasti.

Ispitivanje nezavisnosti dva obeleja

Nulta hipoteza je H 0(X i Y su nezavisna obeleja), aalternativna je H 1(X i Y nisu nezavisna obeleja).

Uzorak obima n je zadat tabelom kontingencije

X \Y J 1 J 2 . . . J s I 1 f 11 f 12 . . . f 1s f 1•I 2 f 21 f 22 . . . f 2s f 2•...

... ...

. . . ...

...

I r f r 1 f r 2 . . . f rs f r • f •1 f •2 . . . f •s n

gde su I 1, . . . , I r , J 1, . . . , J s konkretni brojevi ilif j b j j (I J )

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 315/349

intervali, f ij je broj pojavljivanja para (I i , J j ) urealizovanom uzorku, f i • = f i 1 + f i 2 +

· · ·+ f is i

f • j = f 1 j + f 2 j + · · · + f rj .

Test statistika je oblika

χ2

0 =r

i =1

s j =1

(f ij − f ij )2

f ij ,

gde je f ij oqekivani broj parova (I i , J j ) i izraqunava se poformuli

f ij = f i • · f

• j

n .

Statistika χ2

0 ima χ2 raspodelu sa (r − 1)(s − 1) stepeni

slobode.2 2

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 316/349

Kritiqna oblast je χ2

0 ≥ χ2

(r −1)(s −1);1−α.

Na kraju donosimo zakljuqak o odbacivanju iliprihvatanju nulte hipoteze.

Regresija

U velikom broju eksperimenata uoqava se veza izmeu dve ilivixe promenljivih.

PrimerMoe se uoqiti veza izmeu stepena erozije i koliqinepadavina.

Primer

Moe se uoqiti veza izmeu xirine reke i maksimalnoggodixnjeg proticaja.

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 317/349

Primer

Moe se uoqiti veza izmeu broja roene dece po eni, nivoaobrazovanja i vrste zaposlenja.

Ako posmatramo obeleja X 1, X 2, . . . , X p i Y , tada traimofunkciju ϕ(x 1, x 2, . . . , x p ) za koju e biti

Y ≈ ϕ(X 1,X 2, . . . ,X p ).

Funkcija ϕ se bira tako da srednjekvadratno odstupanje uoznaci

E (Y − ϕ(X 1,X 2, . . . ,X p ))2

bude najmanje.

Regresija

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 318/349

Funkcija ϕ se zove regresija Y po X 1, X 2, . . . , X p .

Najjednostavnija regresija je jednostruka regresija, kadase posmatraju dve promenljive Y i X .

Trai se funkcija ϕ takva da je Y ≈ ϕ(X ).

Iz populacije se izdvaja realizovani uzorak((x 1, y 1), (x 2, y 2), . . . , (x n , y n )) i predstavlja se u Dekartovojravni.

Na osnovu dobijenog dijagrama, koji se zove dijagram

rasturanja, bira se familija funkcija sa kojom e seraditi.

Na kraju se odreuju vrednosti parametara regresije.

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 319/349

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 320/349

Jednostruka linearna regresijaAko je zavisnost ϕ izmeu promenljivih Y i X linearna, tj.oblika Y = aX + b , tada kaemo da je ϕ jednostruka linearnaregresija.

Jednostruka linearna regresija moe biti:

prve vrste,

druge vrste.

Jednostruka linearna regresija prve vrsteObeleje Y zavisi od sluqajne promenljive X .

J j

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 321/349

Jednostruka linearna regresija druge vrste

Obeleje Y zavisi od nesluqajne (kontrolisane) promenljivex .

Jednostruka linearna regresija prve vrste

Zavisnost je oblika Y = aX + b .

a i b su nepoznati parametri koji se odreuju iz uslovada je srednje-kvadratno odstupanje E (Y − aX − b )2 najmanje.

Ocene parametara su:

a =

X i Y i −

1n

X i

Y i X 2i −

1n (

X i )2

,

b = Y n − aX n .

Procena vrednosti

Y Y ˆX b Y

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 322/349

Vrednost Y i dobijena kao Y i = aX i + b je procena vrednosti Y i

na osnovu vrednosti X i .

Grexka ocenjivanjaGrexka ocenjivanja se definixe kao

S 2Y −Y

= 1

n

n

i =1

Y i − Y i

2.

Grexka ocenjivanja sadri informaciju o tome kolikoizabrana funkcija dobro aproksimira zavisnost obeleja Y po X .

Grexka ocenjivanja (mali uzorak)

Ako je uzorak mali, tada se grexka ocenjivanja definixe kao

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 323/349

S 2

Y −Y =

1

n − 1

n

i =1

Y i − Y i

2.

Primer

Na osnovu merenja pretprolenog minimalnogsrednjemeseqnog nivoa podzemnih voda (X ), i srednjeggodixnjeg nivoa (Y ) u godinama 1952-1958. dobijeno je

X 19,51 19,02 19,04 15,80 17,52 15,96 16,31

Y 17,57 17,66 18,74 14,48 15,44 13,92 15,22

Odrediti pravu linearne regresije Y po X i na osnovu njeprognozirati Y za izmerenu vrednost x = 16, 99 u 1959.godini. Izraqunati grexku ocenjivanja.

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 324/349

Dijagram rasturanja je

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 325/349

Koeficijenti prave linearne regresije su:

a = 2005,18−

17 · 123, 16 · 113, 03

2182,25− 17 · (123, 16)2

= 1,076,

b = 113, 037

− 1, 076 · 123,167

= −2, 784.

Traena prava linearne regresije Y = 1, 076 · X − 2,784.

Procenjujemo da je 1959. godine srednji godixnji nivo bioy (16,99) = 1, 076 · 16,99− 2,784 = 15,50.

Grexka ocenjivanja je s 2Y −Y

= 2,37956 = 0,3966 i kako je ona

b j Y j

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 326/349

mala u odnosu na vrednosti obeleja Y , to zakljuqujemo da

smo dobro aproksimirali zavisnost obeleja Y po X .

Grafik prave linearne regresije je

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 327/349

Moe se posmatrati i linearna regresija X po Y .

Ona je oblika X = cY + d , gde su c i d nepoznati

parametri koji se odreuju iz uslova da srednjekvadratnoodstupanje E (X − cY − d )2 bude najmanje.

Ocene parametara c i d su:

c =X i Y i −

1n X i Y i

Y 2i − 1n (

Y i )2 ,

d = X n − cY n .

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 328/349

Grexka ocenjivanja

Grexka ocenjivanja se definixe kao

S 2X −X = 1n

n i =1

X i − X i

2.

Grexka ocenjivanja (mali uzorak)

Ako je uzorak mali, tada se grexka ocenjivanja definixe kao

S 2X −X

= 1

n − 1

n i=1

X i − X i

2.

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 329/349

i 1

Jednostruka linearna regresija druge vrste

Zavisnost je oblika Y = ax + b + ε, gde je ε sluqajnapromenljiva, koja se najqexe identifikuje kao grexka

merenja. Pretpostavlja se da je E (ε) = 0 i D (ε) = σ2

.a i b su nepoznati parametri koji se odreuju iz uslovada je srednje-kvadratno odstupanje E (Y − ax − b )2 najmanje.

Ocene parametara su:

a =

x i Y i − 1

n

x i

Y i x 2i −

1n (

x i )2

,

b = Y n − ax n .

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 330/349

Nelinearni modeli zavisnosti

Nelinearni modeli zavisnosti

Nelinearni modeli zavisnosti su modeli koji se jednostavnim

transformacijama mogu da svedu na linearne modele.

Posmatraemo:

model linearan po parametrima,

stepeni model,

eksponencijalni model.

N b

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 331/349

Nelinearni modeli mogu biti prve i druge vrste.

Model linearan po parametrima

Model linearan po parametrima prve vrste je oblika

Y = ag (X ) + b ,

gde je g unapred poznata funkcija od sluqajne promenljiveX , a a i b su nepoznati parametri.

Model se smenom Z = g (X ) svodi na linearan model prvevrste Y = aZ + b .

Nepoznati parametri a i b se ocenjuju na osnovu uzorka((Z 1,Y 1), (Z 2,Y 2), . . . , (Z n ,Y n )) koji je dobijentransformacijom Z i = g (X i ), i = 1,2, . . . ,n , poqetnog uzorka((X Y ) (X Y ) (X Y ))

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 332/349

((X 1,Y 1), (X 2,Y 2), . . . , (X n ,Y n )).

Ocene parametara a i b regresionog modela Y = aZ + b su:

a =Z i Y i −

1n Z i ·Y i

Z 2i − 1n (

Z i )2 ,

b = Y n − a · Z n .

U tom sluqaju, poqetni regresioni model je oblika

Y = ag (X ) + b .

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 333/349

Primer

Odrediti regresionu krivu Y = a logX + b

veze izmeu xirinereke Y i maksimalnog godixnjeg proticaja X (u m 3/sec ), naosnovu uzorka od 10 reka:

maks. proticaj 5,7 17 22 31 50 61 85 120 12 19

xirina reke 63 260 92 230 720 890 2500 1150 93 210

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 334/349

Dijagram rasturanja je

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 335/349

Realizovane vrednosti ocena a i b su redom:

a = 25857, 48−

110 · 33,781 · 6208

122,108− 1

10

· (33,781)2 = 611, 360,

b = 6208

10 − 611,360 ·

33,781

10 = −1407,754.

Regresiona prava izmeu obeleja Y i Z je oblikaY = 611,360 · Z − 1407,754.

Regresiona kriva kojom se opisuje veza izmeu xirinereke i maksimalnog godixnjeg proticaja jeY = 611 360 logX 1407 754

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 336/349

Y = 611,360 · logX − 1407,754.

Grafik regresione krive je

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 337/349

Stepeni model

Stepeni model prve vrste je oblika

Y = bX a ,

gde su a i b su nepoznati parametri.

Model se smenama Z = lnX , W = lnY i c = lnb svodi nalinearan model prve vrste W = aZ + c .

Nepoznati parametri a i c se ocenjuju na osnovu uzorka((Z 1,W 1), (Z 2,W 2), . . . , (Z n ,W n )) koji je dobijentransformacijama Z i = lnX i i W i = lnY i , i = 1,2, . . . , n ,poqetnog uzorka ((X 1,Y 1), (X 2,Y 2), . . . , (X n ,Y n )).

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 338/349

Ocene parametara a i c regresionog modela W = aZ + c su:

a =

Z i W i −

1n

Z i W i

Z 2i − 1n (

Z i )2 ,

c = W n − aZ n .

Parametar b ocenjujemo kao b = e c

.U tom sluqaju, poqetni regresioni model je oblikaY = bX a .

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 339/349

Primer

Na obali zaliva se ispituje vlanost mulja (u gramima vodena 100 grama suve materije). Iz jedne buxotine je dobijeno

dubina (x ) 1,5 3 4,5 6 7,5 9 10,5

vlanost (y ) 84 50 32 28 24 23 20

Odrediti regresionu krivu Y = bx a + ε.

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 340/349

Dijagram rasturanja je

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 341/349

Realizovane vrednosti ocena nepoznatih parametara su

a = 37,614−

17 ·

11,363 · 24,450

21,259− 17

(11,363)2 = −0,738,

c = 24,4507

+ 0, 738 ·11, 363

7 = 4,691,

b = e 4,691 = 108,962.

Regresiona prava izmeu obeleja W i Z je oblikaW = −0.738 · Z + 4.691.

Regresiona kriva kojom se opisuje veza izmeu dubine ivlanosti mulja je Y = 108 962 · x−0,738 + ε

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 342/349

vlanosti mulja je Y = 108,962 · x , + ε.

Grafik regresione krive je

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 343/349

Eksponencijalni model

Eksponencijalni model prve vrste je oblika

Y = be aX ,

gde su a i b nepoznati parametri.

Model se smenama W = lnY i c = lnb svodi na linearanmodel prve vrste W = aX + c .

Nepoznati parametri a i c se ocenjuju na osnovu uzorka((X 1,W 1), (X 2,W 2), . . . , (X n ,W n )) koji je dobijentransformacijom W i = lnY i , i = 1,2, . . . , n , poqetnog uzorka((X 1,Y 1), (X 2,Y 2), . . . , (X n ,Y n )).

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 344/349

Ocene parametara a i c regresionog modela W = aX + c su:

a =

X i W i −

1n

X i

W i

X 2i − 1n (

X i )2 ,

c = W n − aX n .

Parametar b ocenjujemo kao b = e c

.U tom sluqaju, poqetni regresioni model je oblikaY = be aX .

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 345/349

Primer

Na obali zaliva se ispituje vlanost mulja (u gramima vodena 100 grama suve materije). Iz jedne buxotine je dobijeno

dubina (x ) 1,5 3 4,5 6 7,5 9 10,5

vlanost (y ) 84 50 32 28 24 23 20

Odrediti regresionu krivu Y = be ax + ε.

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 346/349

Dijagram rasturanja je

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 347/349

Realizovane vrednosti ocena nepoznatih parametara su

a = 137,48−

17 ·

42 · 24,45

315− 17

(42)2 = −0,146,

c = 24,457

+ 0,146 ·427

= 4,369,

b = e 4,369 = 78,965,

Regresiona prava izmeu obeleja W i X je oblikaW = −0,146x + 4,369 + ε.

Regresiona kriva kojom se opisuje veza izmeu dubine ivlanosti mulja je Y = 78,965 · e −0,146x + ε.

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 348/349

u j ,

Grafik regresione krive je

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 349/349