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Sistemas en tiempo discreto Introducción
A/D Regulador D/A G(s)y(t)r(t) e(t) es(t)
û(t)Muestreador
Regulador Digital
Planta
e(t)
t
es(t)
tT
û(t)
tT
y(t)
t
f(t)
t
fs(t)
tT 2T 3T 4T 5T 6T
RetenedorMuestreador
fs(t)f(t) ^f(t)
^f(t)
tT 2T 3T 4T 5T 6T
Proceso de la señal de tiempo continuo a tiempo
discreto
)()()( ttftf TS
0
)()()(K
S kTttftf
)()(^
kTftf TktkT )1(;
Muestreo: En tiempo y frecuencia
Señal analógica Señal muestreada
Espectro de la señal analógica Espectro de la señal muestreada
10
Aliasing: En el dominio del tiempo
12
Aliasing: En el dominio de la
frecuencia
Solapamiento de los espectros al aumentar BW
El solapamiento (aliasing) aparece cuando el ancho de banda es
mayor que la mitad de la frecuencia de muestreo
Mezcla de
datosBanda alias
13
Características del control en t. discr.
La planta es continua pero el regulador trabaja en tiempo discreto.
La estabilidad del sistema en tiempo discreto y la aproximación del
sistema de tiempo continuo a tiempo discreto dependen del periodo de
muestreo T.
Casos típicos de control en tiempo discreto:
Emulación analógica
Diseño digital directo
Emulación analógica
Primero se realiza el análisis y la síntesis del regulador en tiempo continuo
y luego se usa un proceso de discretización usando el periodo de muestreo
T.
La planta se modela en tiempo continuo
El regulador se diseña en tiempo continuo usando los métodos
conocidos.
El regulador obtenido del proceso anterior se discretiza usando un
período de muestreo T y empleando alguna de las aproximaciones
conocidas
Aproximaciones para la
discretización de reguladores
Respuesta invariante (al escalón o al impulso)
Transformación bilineal o de Tustin
Mapeo de polos y ceros
Retenedor de orden cero
Diseño digital directo
La planta en tiempo continuo es discretizada, generalmente por el método
del retenedor de orden cero, obteniéndose así una aproximación digital y
luego se calcula o sintetiza un compensador digital.
La planta se modela en tiempo continuo
La planta es discretizada usando el periodo de muestreo T y un
método de aproximación de los antes enumerados.
El regulador se calcula o sintetiza directamente en tiempo discreto
usando cualquiera de los métodos siguientes:
Métodos de diseño digital directo
El lugar de las raíces
Realimentación de estado
Respuesta de frecuencia o gráficas de Bode (a través de una
transformación bilineal al plano W)
Respuesta de orden n con cancelación de polos
Dead-Beat
Discretización de sistemas descritos
por ecuaciones diferenciales Discretización de la ecuación diferencial de primer orden
)()( tbutaydt
dy
cteba ,;
Se sustituye en la ecuación anterior kTt para k = 0, 1, 2 ...
y se despeja dt
dy para obtener:
kTt
kTt
tbutaydt
dy
)()(
)()( kTbukTaydt
dy
kTt
Se aproxima la derivada KTtdt
dy
por el método de Euler para una función
y(t) continua.
T
kTyTky
dt
dy
KTt
)())1((
La cual es una buena aproximación si el periodo T es pequeño.
)()()())1((
kTbukTayT
kTyTky
Se multiplica a ambos lados por T y se simplifica el resultado escribiendo
únicamente k en lugar de kT:
)()( kykTy y )()( kukTu
y se obtiene:
)()()()1( kykubTkyaTky
Sustituyendo una vez más kk 1 :
)1()1()1()( kubTkyaTky
Ecuación de diferencias correspondiente a la ecuación diferencial de
primer orden.
Comportamiento de un sistema
discreto de primer orden.
Los valores discretos y(k) = y(kT) de la solución de y(t) pueden ser
calculados resolviendo la ecuación de diferencias.
Primero se calcula la solución homogénea: 0)( ku k por recursión:
1k )0()1()1( yaTy
2k )0()1()1()1()1()2( yaTaTyaTy
)0()1()2( 2 yaTy
3k )0()1()2()1()3( 3 yaTyaTy
)0()1()( yaTky K ; k = 0, 1, 2 ...
Comparación de nuestra aprox. con
la solución continua
)0()( yety at ; 0t
Sustituyendo kTt :
)0()( yekTy akT k = 0, 1, 2 ...
)0()( yekykaT
k = 0, 1, 2 ...
Desarrollando aTe
por una serie:
...!3!2!1
13322
TaTaaTe aT
La solución exacta
Sustituyendo obtenemos
)0(...!3!2
1)(3322
yTaTa
aTky
K
; k = 0, 1, 2 ...
Si 1aT entonces, las potencias de aT serán mucho menores que (1-aT)
y por lo tanto se puede aproximar la solución a:
)0()1()( yaTky K
La cual es una buena aproximación a la solución exacta si 1aT , y
coincide con la solución encontrada antes.
Satisfacción de las condiciones
Para cumplir la condición 1aT hacemos que a
T1
con lo que se
puede escoger el periodo de muestreo como:
aT
1
10
1
Donde a representa el polo de lazo cerrado
Se puede también utilizar la siguiente recomendación:
BWT
f s 201
Donde BW es el ancho de banda de lazo cerrado del sistema
La solución completa obtenida por recursión, es:
k
i
ikk iubTaTyaTky1
)1(1)0()1()(
y(0)
tT 2T 3T 4T 5T 6T
1)1(0 aT
Sucesión de valores de salida y(kT) con 0 < (1-aT) < 1
y(0)
tT 2T 3T 4T 5T 6T
1)1( aT
Sucesión de valores de salida y(kT) con (1-aT) > 1
Resultados Se observa que la respuesta natural de y(kT) se amortigua al aumentar
el valor de k cuando 0 < (1-aT) < 1 y vemos que la salida crece sin límite
al aumentar el valor de k cuando (1-aT) > 1.
De la ecuación de diferencias se puede concluir que el valor (1-aT) es
la raíz de la ecuación de diferencias de primer orden. También se puede
observar que el valor de esta raíz depende no sólo del coeficiente a de la
ecuación diferencial; sino además del periodo de muestreo T.
¿Cómo es la forma de la salida cuando )1( aT es negativo para los casos en que su magnitud es menor que uno o mayor que uno?
En conclusión, si las magnitudes de las raíces de la ecuación de
diferencias son todas menores que 1 el sistema discreto es estable y la
estabilidad se ve afectada por el valor escogido para el periodo de
muestreo T.
Sistemas de orden superior en el
dominio del tiempo discreto Sistema en tiempo continuo
Sea la ecuación diferencial
ubdt
dub
dt
udb
dt
udbya
dt
dya
dt
yda
dt
yda
q
q
q
qn
n
nn
n
n 011
1
1011
1
1
A la cual le corresponde el siguiente modelo SISO en variables de
estado:
u BxAx
udy T xc
Sistema en tiempo discreto
Sea la ecuación de diferencias
)()1()()()1()( 0101 kubkbqkubkyakyankya qn
A la cual corresponde el modelo SISO en variables de estado
)()()1( kukk dd BxAx
)()()( kudkky T
d dxc
Note que de nuevo se ha omitido el periodo T ya que es el mismo para todos los términos.
Derivación del modelo en tiempo discreto
a partir del modelo en tiempo continuo
Con la condición de que la entrada se mantenga constante durante la
totalidad del tiempo T:
)()( kTutu ; para TktkT )1( Nk
Se desea encontrar las matrices y vectores Ad, Bd, cd y dd (Cd y Dd para
MIMO)
Se parte de la ecuación de movimiento para el sistema en variables de
estado, el cual es evaluado en t = kT.
kTt
t
duttt ee
0
)()(
)0()( BAxAx
kT
dukTkTkT ee
0
)()(
)0()( BAxAx
para el tiempo (k+1)T se tiene:
Tk
duTkTk
Tk ee)1(
0
)())1((
)0()1(
))1(( BAxAx
si se descompone la parte correspondiente a kT y a T
Tk
kT
kT
duTk
duTkkTTTk
)1(
0
)())1((
)())1((
)0())1((
BA
BAxAAx
e
eee
Se observa que la parte en paréntesis rectangulares corresponde a x(kT).
Tk
kT
kT
duTk
dukTkTTTk e
)1(
0
)())1((
)()(
)0())1((
BABAxAAx eee
Si se aplica la condición de que u(t) es constante durante el intervalo T
segundos TktkT )1( , esto es u(t) = u(kT), entonces se puede sacar a
u(t) de la integral.
)())1((
)())1((
)1(
kTudTk
kTxTTk
Tk
kT
BAAx ee
Realizando una sustitución de variable en la integral, (k+1)T - = p, con
d = -dp y cambiando los límites de integración se tiene:
)()())1((
0
kTudpp
kTTTkT
BAxAx ee
Si además se aplica el signo a la integral invirtiendo los límites de
integración se obtiene:
)()())1((0
kTudpp
kTTTk
T
BAxAx ee
simplificando la escritura haciendo kT = k y sustituyendo la variable p de
nuevo por tenemos (escrito para un sistema MIMO):
)()()1(0
kdτkTk
T
uBAxAx ee
)()()( kkk uDCxy
donde
Td
AA e
BIAABAB 1e
d
T
d dτ
0
; si A es NO singular
CC d T
d cc DD d ddd
Ejemplo: Convertir a tiempo discreto el siguiente modelo (SISO) de segundo orden
)(10
)(0
10)( tu
M
t
M
kt f
xx
)(01)( tty x
Donde x1 es la posición, x2 es la velocidad y u(t) es la fuerza de
manejo o de frenado aplicada a un carro. Calculamos las matrices
discretizadas Ad y Bd para este sistema; para lo cual es necesario primero
calcular la matriz de transición de estados tAe para la matriz A dada; para
ello usamos la definición )()( 1 sLt t AeΦ
sM
ks
M
kssM
ks
sss
f
f
f
0
11
0
1)()(
1
1AIΦ
Así
M
tk
M
tk
ft
f
f
e
ek
M
0
11Ae
Entonces, sustituyendo t = T
M
Tk
M
Tk
fT
d
f
f
e
ek
M
0
11AeA
TM
k
f
TM
k
ff
TM
k
TM
k
fT
τ
df
f
f
f
ek
ek
M
k
T
deM
dek
d
11
1
1
11
2
0
0
0
BeB A
Nótese que ya que la matriz A original en tiempo continuo es singular, y se ha
realizado el proceso de encontrar la matriz Bd resolviendo directamente la integral.
Solución numérica
Si M = 1, kf = 0.1 y T = 0.1 entonces las matrices en tiempo discreto son:
9900.00
0995.01dA
,
0995.0
0050.0dB
El modelo en variables de estado para el sistema en tiempo discreto es:
)1.0(0995.0
0050.0
)1.0(
)1.0(
9900.00
0995.01
))1(1.0(
))1(1.0(
2
1
2
1ku
kx
kx
kx
kx
)1.0(
)1.0(01)1.0(
2
1
kx
kxky
El comportamiento de los sistemas
de orden superior en tiempo discreto
Sea el sistema SISO en variables de estado en tiempo discreto con x(0) = x0.
)()()1( kukk dd BxAx
)()()( kukxky dd DC
Se evalúa para valores de k desde 0 en adelante
0k )0()0()1( udd BxAx
1k )1()0()0()1()1()2(2
uuu dddddd BBAxΑBxAx
2k )2()1()0()0()2()2()3(23
uuuu dddddddd BBABAxABxAx
)1()2()0()0()(1
kukuuk dddd
k
d
k
d BBABAxAx
1
0
1)()0()(
k
j
d
jk
d
k
d juk BAxAx
donde
:)(k
dk AΦ Matriz de transición de estados discreta
por lo que
)()()1()0()()(1
0
kudjujkckkyk
j
d
TT
BΦxΦc
Conclusión
Tenemos que la respuesta total está formada por la respuesta homogénea y
la respuesta forzada.
Respuesta homogénea: )0()( xΦc kT
Respuesta forzada: )()()1(1
0
kudjujkk
j
d
T
BΦc
Representación de sistemas en t.
discr. en el dominio de la frecuencia Propiedades de la transformada Z
Linealidad
)()()()( kvbkuakvbkua
Si
)()( kuzU y
)()( kvzV
entonces:
)()()()( zVbzUakvbkua
Desplazamiento a la derecha en el
tiempo
)()( zXkx
)1()()1( 1 xzXzkx
)1()2()()2( 12 xzxzXzkx
)1()2()1()()()( 21 xzqxzqxzqxzXzqkx qq
Si 0)( kx k = -1, -2 , -3, ... –q
entonces:
)()( zXzqkx q
Desplazamiento a la izquierda en el
tiempo
)()( zXkx
zxzXzkx )0()()1(
zxzxzXzkx )1()0()()2( 22
zqxzxzxzXzqkx qqq )1()1()0()()( 1
Teorema del valor inicial
)(lim)0( zXxz
)0()(lim)1( xzzXzxz
)1()1()0()(lim)( 1
qxzxzxzzXzqx qqq
z
Teorema del valor final
)()1(lim)(lim1
zXzkxzk
Relación entre la transformada Z y la transformada de Laplace
sTez
Función tr. del modelo en variables
de estado en tiempo discreto (MIMO)
)()()1( kkk dd uBxAx
)()()( kkk dd uDxCy
Transformando a Z con las condiciones iniciales iguales a cero, 0)0( x
)()()( zzzz dd UBXAX
)()()( zzz dd UDXCY
Agrupando
)()()( zzzz dd UBXAX
)()( zzz dd UBXAI
Premultiplicando por 1 dz AI
)()(1
zzz dd UBAIX
Sustituyendo X(z) en la ecuación para Y(z).
)()()(1
zzzz dddd UDUBAICY
Agrupando
)()(1
zzz dddd UDBAICY
y finalmente se obtiene la función de transferencia G(z).
dddd zz
zz DBAIC
UYG
1
)(
)()(
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