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Introd. a la Teoría de Control
Sistemas de Control
en Tiempo Discreto
Michel Hakas
Bibliografía
Phillips & Nagle: Digital Control Systems
Astrom & Wittenmark: Sistemas Controlados por Computador
Este conjunto de transparencias son esencialmente, una guía para el docente, y le servirán al estudiante para tener una referencia de los temas abordados en el curso.No pretende, bajo ningún concepto, ser un material de estudio autocontenido, si bien, complementado con lo que se ve en clase, abarcará lo fundamental.
Introducción (1) Los sistemas de tiempo
discreto trabajan con señales que sólo pueden cambiar de valor en instantes de tiempo discretos (contrastar con sistemas analógicos /continuos).
El controlador es un filtro digital.
Veremos cómo determinar funciones de transferencia discretas, diseñar funciones de transferencia, y analizar la estabilidad de sistemas de tiempo discreto.
Introducción (2) La transformada de Laplace
Ya hemos visto su utilidad para sistemas analógicos lineales e invariantes en el tiempo.
0
. .).()( dtetff(t)sF tsL
Sabemos cómo usar tablas para calcular la transformada de Laplace de una función en el tiempo, y su inversa, para retornar de las funciones de variable compleja al dominio temporal.
Sabemos una serie de propiedades y teoremas (linealidad, valor final, inicial, etc.)
Vamos a buscar algo análogo, que nos facilite el análisis y diseño de sistemas de control en tiempo discreto.
Sistemas en tiempo discreto (1) La computadora digital
implementa el controlador discreto.
La interfaz con el mundo analógico se hace a través de conversores (A/D para las entradas y D/A para las salidas).
Trabajaremos con sistemas donde el tiempo no se representa por una variable en R, sino en Z.Las señales serán sucesiones de reales ,, 10 hhhk
Sistemas en tiempo discreto (2) Supongamos que reemplazamos un controlador PI analógico,
cuya salida, en función de la señal de error a su entrada, es:
donde T es el tiempo entre muestras sucesivas, o sea, el período de muestreo.
tIP deKteKtv
0).(.)(.)(
Con la comp. digital podemos sumar, multiplicar e integrar numéricamente, por lo cual podemos implementar la ecuación del controlador, aproximando la integral (por ej.) por el área del rectángulo: ).(.).1().( TkeTTkxTkx
Así obtenemos la ecuación en diferencias, lineal y de primer orden:
).(.).(.).( TkxKTkeKTkv IP
Sistemas en tiempo discreto (3) La forma general de una ec. en diferencias lineal y de orden n:
con T omitida por conveniencia.Esto describe a un filtro digital (filtro discreto lineal e invariante en el tiempo).
)(.)1(.
)(.)1(.)(.)(
01
01
nkvkv
nkekekekv
n
nn
El problema del diseñador es determinar:
1. T, el período de muestreo
2. n, el orden de la ecuación
3. i y i, los coeficientes del filtro
para que el sistema tenga las características deseadas.
La Transformada Z (1) Es una transformación que se aplica a sucesiones de números
(reales) y devuelve una función de variable compleja.
Usaremos la transformada Z unilateral, porque consideraremos funciones (o sucesiones) que arrancan en determinado tiempo.
Ejemplos1) Sea E(z) = 1 + 3.z-1 - 2.z-2 + z-4 + ..., {e(k)} = ?
0
21 ).().2().1()0()()(k
kzkezezeezEkeZ
e(0) = 1; e(1) = 3; e(2) = -2; e(3) = 0; e(4) = 1; ....
2) Sea e(k) = 1 para todo k, E(z) = ?
111
11)( 1
121
z
z
z
zzzzE
Nota: e(k) = 1 puede ser generada por muestreo de un escalón unitario, o de cualquier otra función que valga 1 cada T seg.
La Transformada Z (2)
Teoremas
Linealidad
Traslación real: retraso
adelanto
Traslación compleja
Valor inicial
Valor final
)(.)(.)(.)(. 2121 zHzHkhkhZ
)(.)( zHznkhZ n
1
0).()(.)(
n
k
kn zkhzHznkhZ
).()(.. aka ezHkheZ
)(lim)0( zHhz
)().1(lim)(lim)(lim1
zHznhnhsiznn
Nota: Existe el limite si todos los polos de H(z) están dentro del círculo unitario, excepto por un posible polo simple en z = 1.
La Antitransformada Z (1)
Método de las series de potenciasCuando E(z) se expresa como cociente de polinomios en z, se divide el polinomio numerador entre el denominador, de manera de obtener una serie de potencias de la forma:
22
110 ..)( zhzhhzE
2.3)(
2
zz
zzE
y se identifican coeficientes según la definición de la transf. Z.
Para que la transformada Z sea útil, se requieren métodos para determinar la inversa.
Ejemplo
e(0) = 0; e(1) = 1; e(2) = 3; e(3) =7; e(4) = 15; ... ; e(k) = 2k – 1
En general, no es fácil reconocer la expresión general de {e(k)} por este método.
La Antitransformada Z (2) Método de la expansión en fracciones simples
Es análogo a lo usado para la Transf. de Laplace: se expande en fracciones simples y se usan tablas para cada término.
Transf. Laplace, E(s) Función temporal, e(t) Func. muestreada, {e(k)} Transf. Z, E(z)
s
1
2
1
s
as 1
).(
1
ass
2)(
1
as
22 as
a
22 as
s
22)( abs
a
22)( abs
bs
)(tY
t
tae .
tae .1
taet ..
ta.sin
ta.cos
tae tb .sin.
tae tb .cos.
1
Tk.
Tkae ..
Tkae ..1
TkaeTk ....
)..sin( Tka
)..cos( Tka
)..sin(.. Tkae Tkb
)..cos(.. Tkae Tkb
1z
z
21
.
z
zT
Taez
z.
Ta
Ta
ezz
ez.
.
.1
1.
2.
...Ta
Ta
ez
ezT
1.cos..2
.sin.2 Tazz
Taz
1.cos..2
.cos.2
Tazz
Tazz
TbTb
Tb
eTaezz
Taez..2.2
.
.cos..2
.sin.
TbTb
Tb
eTaezz
Taezz..2.2
.
.cos..2
.cos.
La Antitransformada Z (3) Método de la expansión en fracciones simples
Notemos en la tabla anterior que en el numerador generalmente hay factores de z, así que conviene hacer la expansión a E(z)/z, para que la identificación de términos sea más fácil.
Ejemplo2.3
)(2
zz
zzE
2
1
1
1
2.1
1)(
zzzzz
zE
21)( 111
z
zZ
z
zZzEZ
Las tablas indican entonces que kke 21
La Antitransformada Z (4) Método de la fórmula de inversión
Fórmula general, obtenida vía la teoría de variable compleja.
donde encierra todos los polos finitos del integrando.
Usando el Teorema de los Residuos, se puede evaluar la integral anterior a través de la expresión
dzzzEj
ke k ..)(..2
1)( 1
1
).(
).(
1
k
zzEdepolos
zzEreske
k
Para un polo en z = a,de orden 1:
de orden m:
az
kaz zzEazres
1).(.
az
kmm
m
az zzEazdz
d
mres
11
1
).(.!1
1
con condiciones iniciales nulas (por ahora, las sucesiones son causales).
Esto define a un sistema causal (yK no depende de valores posteriores a k); y de parámetros concentrados (alcanza conocer hasta n valores anteriores de entrada y salida).
Función de transferencia (1) Consideremos la ecuación en diferencias lineal y de orden n:
)(.)1(.
)(.)1(.)(.)(
01
01
nkyky
nkukukuky
n
nn
Aplicamos Transf. Z:
Reordenando
)(..)(..
)(..)(..)(.)(
01
1
01
1
zYzzYz
zUzzUzzUzYn
n
nnn
)(...)(...1 01
101
1 zUzzzYzz nnn
nn
)(...1
..)(
01
1
01
1 zUzz
zzzY
nn
nnn
Luego
Existe una función de transferencia H(z) / Y(z) = H(z).U(z) que relaciona entrada y salida, con condiciones iniciales nulas.
Función de transferencia (2)
Así tenemos, para un sist. de 1 entrada y 1 salida:
)(..
..)(
01
1
01
1 zUzz
zzzY
nn
n
nn
nn
H(z)U(z) Y(z)
01
1
01
1
.
..)(
nn
n
nn
nn
zz
zzzH
El shift register: el retardo de tiempo T
Diagrama de bloques (1) Una tercera forma de representar un sist. en tiempo discreto, l.i.t.
Otros: multiplicación de una señal por una constante suma de señales
Ejemplo
)1()1()()( kmkekekm
Diagrama de bloques (2) Para la ecuación en diferencias genérica de un sist. de orden n
)(.)1(.)(.
)(.)1(.)(
01
01
nkekeke
nkmkmkm
nn
n
Solución no mínima (son 2.n retardos o shift registers)
an
Diagrama de bloques (3) Para la función de transferencia de un sistema de orden n
Solución mínima (son n retardos)
01
1
01
1
.
..)(
)(
)(
bzbz
azazazH
zU
zYn
nn
nn
nn
Definición: Sucesión Pulso Unitario
Respuesta al pulso y convolución (1) Consideremos un sistema en
tiempo discreto, causal, lineal e invariante en el tiempo, S:
La sucesión {uk} la podemos considerar como la suma de infinitas sucesiones:
01
00)(
k
kk k
nkn
nk uu
.
0
Su(k) y(k)
k
1
0 1 2
k
u0
0 1 2
u1
u2 ...
k0 1 2
u1 ...
k
u0
0 1 2
...= + + ...
(suma de pulsos unitarios ponderados)
Respuesta al pulso y convolución (2)
Si llamamos {hk} a la sucesión de salida cuando aplicamos a la entrada {k}, entonces, como el sist. es lineal e invariante:
Si el sistema es causal
y el término yk sólo depende del efecto de entradas anteriores.
kkknkn
nk huyhuy *.0
Basta conocer la respuesta al pulso unitario, {hk}, para caracterizar al sistema.
La salida se obtiene como la convolución discreta de la entrada con la respuesta al pulso unitario.
0)(0..00
nksihhuhuy nknk
k
nnnk
nnk
Respuesta al pulso y transferencia Teorema: Convolución discreta
Si lo aplicamos al resultado anterior
se obtiene
)().()(
*
)(
)(
zGzFcZzC
gfc
gZzG
fZzF
k
kkk
k
k
kkk uhy *)().()( zUzHzY
Tenemos que la función de transferencia es la Transformada Z de la respuesta al pulso unitario.
Todo lo anterior se extiende para más de 1 entrada y 1 salida, y hablamos de sucesiones de vectores y de una matriz de transferencia.
Modelo en variables de estado (1) Consideremos modelos en tiempo discreto, de la forma:
00
1
0
,..
..
xxcon
k
RuyRyRxuDxCy
uxx rk
mk
nk
kkk
kkk
y , , C y D matrices de dimensión adecuada.
Conocidos el estado inicial y la entrada a partir de ese estado inicial, se puede saber cómo evolucionan el estado y la salida.
Novedoso: la 1ª ecuación, conocidos el estado y la entrada actual, se tiene el estado siguiente.
¿C y D no cambian? Recordemos que la 1ª ecuación en tiempo continuo era una integral, en tanto que la 2ª ecuación era
, y muestreada en t = k.T queda como arriba.
)(.)(.)( tuDtxCty
Modelo en variables de estado (2) Si aplicamos la Transformada Z al M.V.E.:
)(.)(.)(
)(.)(.)(. 0
zUDzXCzY
zUzXxzXz
Trabajamos la 1ª:
Luego:
De aquí se deduce:
0
11
0
...)(...)(
.)(.)(..
xzIzzUIzzX
xzzUzXIz
011 ....)(....)( xzIzCzUDIzCzY
DIzCzH ...)( 1
Cada elemento de la matriz de transferencia, es la función de transferencia entre un elemento de la entrada y uno de la salida; es una función racional en z, con gr(num) gr(den), y un denominador común a todos: el polinomio característico de , o sea Iz.det
Modelo en variables de estado (3) Otra forma de resolverlo es aplicar la recursividad:
El primer término representa la contribución del estado inicial, y los restantes la de la entrada.
112
01
0
1002
2
001
00
......
....
..
kkkk
k uuuxx
uuxx
uxx
xx
ki
k
i
ikkk
i
k
i
ikkk
uDuCxCy
uxx
......
...
1
0
10
1
0
10
Muestreo y retención de señales (1) Muestreador ideal (sampler)
Genera una sucesión de valores e(k) a partir de una señal de tiempo continuo:
Recordar Teo. de muestreo de Shannon (T < 1/(2.fmax)
)().()().0(
)().()().()(*
TtTete
Tttettete
).()( Tkeke
Es un sist. lineal e invariante en los instantes de muestreo.
Muestreo y retención de señales (2) Mantenedor de orden cero (MOC)
Es el que vamos a usar.
TntTn
Tnete
).1(.
),.()(
Genera una señal en el tiempo continuo, escalonada, a partir de una sucesión de valores.
Es un sist. lineal e invariante en los instantes de muestreo.
Muestreo de sist. continuo: TM (1) Relación entrada-salida:
Teorema de la Transmitancia Muestreada
Sea un sist. en tiempo continuo caracterizado por su función de transferencia G(s). G(s)
u(t) y(t)
¿Cómo se relacionan las Transf. Z de las señales de entrada y salida en esta configuración?
G(s)u(t) y(t)
MOCykuk
T
)(zG?)(¿ zG
Tkts
sGLZ
z
z
zU
zYzG
.
1 )(.
1
)(
)()(
Muestreo de sist. continuo: TM (2) Relación entrada-salida:
Teorema de la Transmitancia Muestreada
Demostración
1) El nuevo sist. es lineal e invariante en los instantes de muestreo (todos sus componentes lo son).Luego, la función de transferencia existe y es única.
2) Elijo una señal particular, conveniente a la entrada: un escalón unitarioPues la salida del MOC es un escalón unitario en tiempo continuo.
3) Veo la relación entre transformadas Z de entrada y salida.
Muestreo de sist. continuo: TM (3)
Muestreo de sist. continuo: TM (4) Relación entrada-salida:
Teorema de la Transmitancia Muestreada
Ejemplo
Nota:
G(s)y(t)
MOCykek
Tuk
wk
H(s)T
+_
)(.)(.1
)()(
)(.1
)()(
)().(.)(
)()()(
)().()(
zUzHG
zGzY
zHG
zUzE
zEzHGzW
zWzUzE
zEzGzY
)().()(. zHzGzHG
Muestreo de sist. continuo: MVE (1) Modelo en variables de estado
Sea un sist. en tiempo continuo caracterizado por su representación en variables de estado.
¿Cómo se relacionan las matrices A y B con las matrices y , para esta nueva configuración?
00
1
0
,..
..
xxcon
k
RuyRyRxuDxCy
uxx rk
mk
nk
kkk
kkk
0)0(
)()(,)(
)(.)(.)(
)(.)(.)(
xxcon
RtuyRtyRtx
tuDtxCty
tuBtxAtx rmn
u(t)S
y(t)MOC
ykuk
Txk
T
x(t)
x0
?¿?¿
Muestreo de sist. continuo: MVE (2) Modelo en variables de estado
La solución para el sistema en tiempo continuo es:
Considerando como instante inicial t0 = k.T y como instante de evaluación t = (k + 1).T
duBetxetxt
t
tAttA ).(..)(.)(0
0 )(.0
)(.
duBeTkxeTkxTk
Tk
TkATA ).(..).(.).1().1(
.
).1(..
u() vale u(k.T) en el intervalo [k.T; (k + 1).T), luego
k
Tk
Tk
TkAk
TAk uBdexex ....
).1(
.
).1(..1
Hago un cambio de variable s = (k + 1).T -
T
T
Tk
Tkdsdsd
0
0).1(
....
Muestreo de sist. continuo: MVE (3) Modelo en variables de estado
Sustituyendo:
De donde
kT sA
kTA
k uBdsexex ....0
..1
Bdse
eT sA
TA
..0
.
.
xk+1z-1
ykuk xk
D
C ++
Estabilidad (1) Estabilidad BIBO
Un sist. discreto es estable en el sentido entrada acotada – salida acotada, BIBO estable, si para toda entrada acotada y cualquier condición inicial, la salida es acotada.
Teorema
El sistema es BIBO estable
todos los autovalores de la matriz tienen módulo menor que 1, o sea todos los polos (las soluciones de
) están dentro del círculo unitario. 0.det Iz
kkk
kkk
uDxCy
uxx
..
..1
1
DIzCzH ...)( 1Nota: Recordar que
y que
1-1
j
-j
kZ
z
1
Estabilidad (2) Relación de los polos del sist. en tiempo continuo y discreto
Los polos del sist. en tiempo continuo se transforman en polos del sist. discreto con z = es.T
(recordar que )
Luego, un polo en s = 0, se transforma en un polo en z = 1
11-1
j
-j
TAe .
Criterios de estabilidad (1) Necesitamos criterios que nos digan si el módulo de los polos
de la función de transferencia es menor que 1.
Habrá que transformar los criterios para tiempo continuo:
1) Routh-Hurwitz2) Nyquist3) Lugar de las raíces4) Respuesta en frecuencia
Sólo veremos criterios que nos permitan decidir sobre la estabilidad y no valorar la estabilidad relativa.
Criterios de estabilidad (2)
Acabo de agregar n polos en w = 1. Debo sacarlos.
Routh-Hurwitz modificado
Si d’(w) tiene todas las raíces en el semiplano izquierdo, entonces d(z) tiene todas las raíces dentro del círculo unitario.
Se aplica el criterio de estabilidad de R-H a: )(.)1(' wzdwwd n
Cambio de variable (transf. de Möbius) que mapea el interior del círculo unitario (en z) en el semiplano izquierdo (en w).
1
1
1
1
w
wz
z
zw
1-1
j
-j
0
wz
Si el polinomio característico es: 01..)( azazazd n
n
01 1
1.
1
1.)( a
w
wa
w
wawzd
n
n
Criterios de estabilidad (3) Criterio de Juri – Schur – Kohn
Si a0 > 0, el sist. es estable los a0
k, k = 0, 1, ... , n-1 son >0.
Para determinar si un polinomiotiene todas sus raíces dentro del círculo unitario.
nnn azazazA ..)( 10
00
10
11
11
012
11
11
11
10
0011
110
a
a
aaaa
aaa
a
aaaaa
aaaa
n
nn
nnn
nnn
nn
nn
nnnn
nn
k
kk
k
kikk
ki
ki
aa
aaa
0
1 .
Criterios de estabilidad (4) Criterio de Juri – Schur – Kohn
Si ningún a0k es nulo, entonces el nº de a0
k negativos es igual al número de raíces fuera del círculo unitario.
Si todos los a0k son positivos (k = 0, 1, ... , n-1),
entonces a00 >0 es equivalente a las condiciones:
0)1(.)1(
0)1(
A
An
Estas condiciones son necesarias para la estabilidad y pueden usarse antes de formar la tabla.
Criterios de estabilidad (5) Criterio de Juri – Schur – Kohn
Estable
Ejemplo: 212 .)( azazzA
2
2212
2
2
11
2221
2122
2212
21
1
)1.(1
11)1.(
)1.(1
1
1
a
aaa
a
aaaa
aaa
aaa
aa
01.1
101
21
22
2
2
22
aaa
aa
12
12
2
1
1
1
aa
aa
a
1-1
1
-1
a2
a1
Control (1) Hasta ahora nos preocupamos esencialmente por las
herramientas y el análisis de sistemas dados.Pero, ¿cómo diseñamos una función de transferencia (o la ecuación en diferencias) de un controlador digital que satisfaga las especificaciones de diseño de un cierto sistema de control?
Especificaciones
Error en estado estacionarioSe mejora agregando polos en z = 1 a la función de transferencia en lazo abierto y/o aumentando la ganancia de lazo abierto.Contrapartida: se compromete la estabilidad.
Respuesta transitoria
Para sist. de 1er y 2º orden hay fórmulas para tR, tS y sobretiro.Se mejora la velocidad aumentando el ancho de banda.Contrapartida: se incrementa la repuesta al ruido.
Control (2) Especificaciones
Estabilidad relativaExisten fórmulas que relacionan los márgenes con la respuesta de sist. de 2º orden. Para órdenes mayores sólo hay aproximaciones.
SensibilidadHay parámetros que varían con la temp., humedad, altitud, edad, etc. Se busca reducir la sensibilidad de las características del sist. a estos cambios.Esto se consigue, en general, aumentando la ganancia del lazo abierto.
Rechazo a perturbacionesEs deseable que nuestro sistema responda mínimamente a cambios en entradas que no son usadas para controlar la salida.Para eso, se precisan ganancias de lazo abierto grandes, pero que no ocurran en el camino directo entre la entrada perturbadora y la salida.
Control (3) Controladores para sistemas realimentados
Compensadores (atraso, adelanto y atraso-adelanto de fase)Similares a tiempo continuo.
Controladores PIDSu sintonía también se apoya en la respuesta en frecuencia.Existen técnicas similares a las de tiempo continuo.
Diseño con el Lugar de las RaícesAgregado de ceros y polos de manera de ubicar los polos del sistema en lazo cerrado en lugares más adecuados del plano z.
zT
zK
z
zTKKzPID DIP .
1.
1
1.
2.)(
Nota: Todas se basan en la función de transferencia.
Esa información ¡está en el vector de estados!Especificado matemáticamente cuál es el mejor sistema de control, para su implementación debemos contar con el vector de estados completo.
Control: Realimentación de estados (4)
Hasta ahora sólo una señal era realimentada.Parece razonable pensar que contar con mayor información sobre la condición actual del sistema nos permitirá generar una acción de control mejor.
Para la mayoría de los sistemas de control, la medida del vector de estados completo es impráctica.Para superar esto se estiman los estados a partir de medidas más prácticas.
Afortunadamente se puede separar el diseño en 2 partes:1) Diseñar el sistema asumiendo que se cuenta con todos los estados.2) Diseñar el estimador de estados.
Control: Realimentación de estados (5)
La ubicación de polosLas especificaciones de funcionamiento de un sistema de control pueden traducirse en una región adecuada para la ubicación de los polos de la función de transferencia en lazo cerrado.
La idea es generar la entrada a la planta como una entrada de referencia más un combinación lineal de los estados:
xk+1z-1
ykuk xk
D
C +++rk
K
)(.)()( kxKkrku K es la matriz de ganancias de realimentación
Control: Realimentación de estados (6)
La ubicación de polos
Si el sistema original es:
El sistema con realimentación de estados queda:
kkk
kkk
uDxCy
uxx
..
..1
kkkk
kkkk
xKrDxCy
xKrxx
...
...1
kkk
kkk
rDxKDCy
rxKx
...
...1
Si notamos , los elementos de la matriz K se determinan a partir de la ubicación de los polos del sistema, o sea de las raíces de la ecuación característica .
K.'
0)'.det( Iz
Control: Realimentación de estados (7)
La ubicación de polos
No podemos ubicar los polos en cualquier lugar
1. Si intentamos que el sistema responda demasiado rápido, las señales de control serán muy grandes y la planta entrará en una zona de funcionamiento no lineal, y nuestro modelo ya no será válido. Por lo tanto, al ubicar los polos debemos tener en cuenta al sistema físico.
2. No se puede asegurar que para cualquier sistema se pueda ubicar los polos de la función de transferencia en lazo cerrado en lugares arbitrarios.Para ello se necesita una propiedad adicional: la controlabilidad.
Controlabilidad (1) Para el modelo en variables de estado
00
1
0
,..
..
xxcon
k
RuyRyRxuDxCy
uxx rk
mk
nk
kkk
kkk
la solución era:
Pregunta: Partiendo de un estado inicial cualquiera, ¿puedo llevarlo al estado nulo en un tiempo finito?
ki
k
i
ikkk
i
k
i
ikkk
uDuCxCy
uxx
......
...
1
0
10
1
0
10
Un sistema es controlable la matriz C = es de rango completo (n)
Un estado x0 es controlable si existe un entrada {u(k)} que lleva al sistema, en un tiempo finito N, desde la condición inicial x0 al estado nulo.
Controlabilidad (2)
Definiciones
kkk uxx ..1
Un sistema es (completamente) controlable si todos los estados son controlables.
Teorema
.,,.,., 12 n
Nota: Se demuestra que pedir que C sea de rango n me permite alcanzar cualquier estado desde cualquier estado inicial.
Si un sistema (, , C, D) es controlable siempre se puede encontrar una matriz de realimentación de estados K,que ubique los polos del sistema realimentado en las posiciones deseadas. (que tenga el polinomio característico que se desee).
Controlabilidad y realimentación (1)
Teorema
Nota: La realimentación de estados y la controlabilidad, las hemos visto para tiempo discreto, pero es análogo para tiempo continuo.
