Modelos en Tiempo Discreto

8/16/2019 Modelos en Tiempo Discreto

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Sistemas en tiempo discreto

Introducción

A/D Regulad or D/A G(s)y(t)r(t) e(t) es(t)

û(t)Muestreador

Regulador Digital

Planta

e(t)

t

es(t)

tT

û(t)

tT

y(t)

t


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Emulación analógica

Primero se realiza el análisis y la síntesis del regulador en tiempo continuo

y luego se usa un proceso de discretización usando el periodo de muestreo

T.

• La planta se modela en tiempo continuo

•

El regulador se diseña en tiempo continuo usando los métodosconocidos.

• El regulador obtenido del proceso anterior se discretiza usando un período de muestreo T y empleando alguna de las aproximaciones

conocidas


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Diseño digital directo

La planta en tiempo continuo es discretizada, generalmente por el método

del retenedor de orden cero, obteniéndose así una aproximación digital y

luego se calcula o sintetiza un compensador digital.

•

La planta se modela en tiempo continuo

• La planta es discretizada usando el periodo de muestreo T y un

método de aproximación de los antes enumerados.

•

El regulador se calcula o sintetiza directamente en tiempo discreto

usando cualquiera de los métodos siguientes:


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f(t)

t

f s(t)

tT 2T 3T 4T 5T 6T

Retenedor Muestreador

f s(t)f(t) ^ f(t)

^f(t)

tT 2T 3T 4T 5T 6T

Proceso de la señal de tiempo continuo a tiempo

discreto


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Discretización de sistemas descritos

por ecuaciones diferencialesDiscretización de la ecuación diferencial de primer orden

)()( t but ay

dt

dy=+

cteba =,;

Sustituimos en la ecuación anterior kT t = para k = 0, 1, 2 ...

y despejando

dt

dy para obtener:


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( )kT t

kT t

t but aydt

dy=

=

+−= )()(

)()( kT bukT aydt

dy

kT t

+−==

Aproximamos la derivadaKT t dt

dy

= por el método de Euler para una función

y(t) continua.

T

kT yT k y

dt

dy

KT t

)())1(( −+

==

La cual es una buena aproximación si el periodo T es pequeño.


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)()()())1((

kT bukT ayT

kT yT k y+−=

−+

Multiplicamos a ambos lados por T y simplificamos el resultado

escribiendo únicamente k en lugar de kT :

)()( k ykT y = y )()( k ukT u =

y obtenemos:

)()()()1( k yk ubT k yaT k y +⋅+⋅−=+

Sustituyendo una vez más k k →−1 :

)1()1()1()( −⋅+−−= k ubT k yaT k y Ecuación de diferencias correspondiente a la ecuación diferencial de

primer orden.


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Comportamiento de un sistema

discreto de primer orden.Los valores discretos y(k) = y(kT) de la solución de y(t) pueden ser

calculados resolviendo la ecuación de diferencias.

Primero calculamos la solución homogénea: 0)( =k u k ∀ por recursión:

1=k )0()1()1( yaT y −= 2=k [ ])0()1()1()1()1()2( yaT aT yaT y −−=−=

)0()1()2( 2 yaT y −= 3=k )0()1()2()1()3( 3 yaT yaT y −=−=

)0()1()( yaT k y K −= ; k = 0, 1, 2 ...


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La solución exacta

Sustituyendo obtenemos

)0(...!3!2

1)(3322

yT aT a

aT k y

K

+−+−=

; k = 0, 1, 2 ...

Si 1


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Satisfacción de las condiciones

Para cumplir la condición 1


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La solución completa obtenida por recursión, es:

( )[ ]∑=

−−⋅−+−=

k

i

ik k iubT aT yaT k y

1

)1(1)0()1()(

y(0)

tT 2T 3T 4T 5T 6T

1)1(0 − aT

Sucesión de valores de salida y(kT) con (1-aT ) > 1


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ResultadosPodemos observar que la respuesta natural de y(kT) se amortigua al

aumentar el valor de k cuando 0 < (1-aT ) < 1 y vemos que la salida crecesin límite al aumentar el valor de k cuando (1-aT ) > 1.

De la ecuación de diferencias podemos concluir que el valor (1-aT ) es

la raíz de la ecuación de diferencias de primer orden. También podemos

observar que el valor de esta raíz depende no sólo del coeficiente a de la

ecuación diferencial; sino además del periodo de muestreo T .

¿Cómo es la forma de la salida cuando )1( aT − es negativo para loscasos en que su magnitud es menor que uno o mayor que uno?

En conclusión, si las magnitudes de las raíces de la ecuación de

diferencias son todas menores que 1 el sistema discreto es estable y laestabilidad se ve afectada por el valor escogido para el periodo de

muestreo T .


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Sistemas de orden superior en el

dominio del tiempo discretoSistema en tiempo continuo

Sea la ecuación diferencial

ubdt

dub

dt

ud b

dt

ud b ya

dt

dya

dt

yd a

dt

yd a

q

q

qq

q

qn

n

nn

n

n 011

1

1011

1

1 ++++=++++ −−

−−

−

−

A la cual le corresponde el siguiente modelo SISO en variables de

estado:

u⋅+⋅= BxAx ud c y

T ⋅+⋅= x


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Sistema en tiempo discreto

Sea la ecuación de diferencias

)()1()()()1()( 0101 k ubk bqk ubk yak yank ya qn +−++−=+−++−

A la cual corresponde el modelo SISO en variables de estado

)()()1( k uk k ⋅+⋅=+ dd BxAx

)()()( k ud k ck y T d ⋅+⋅= dx

Note que de nuevo se ha omitido el periodo T ya que es el mismo para

todos los términos.


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Derivación del modelo en tiempo discreto

a partir del modelo en tiempo continuo

Con la condición de que la entrada se mantenga constante durante la

totalidad del tiempo T:

)()( kT ut u = ; para T k t kT )1( +


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kT t

t

d u Bt A

x At

t x ee

=

⋅

−+= ∫

0

)()(

)0()( τ τ τ

∫ ⋅−

+=kT

d u BkT A

x AkT

kT x ee0

)()(

)0()( τ τ τ

para el tiempo (k+1)T tenemos

∫+

⋅−+

++

=+T k

d u BT k A

xT k A

T k x ee)1(

0

)())1((

)0()1(

))1(( τ τ τ

si descomponemos la parte correspondiente a kT y a T


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∫

∫+

⋅−++

+⋅−+

+=+

T k

kT

kT

d u BT k A

d u BT k A

x AkT AT

T k x

e

eee

)1(

0

)())1((

)())1((

)0())1((

τ τ τ

τ τ τ

observamos que la parte en paréntesis rectangulares corresponde a x(kT).

∫∫

+

⋅−+

+

⋅−

+=+

T k

kT

kT

d u BT k A

d u BkT A

x AkT AT

T k x eeee

)1(

0)(

))1(()(

)()0())1(( τ τ

τ

τ τ

τ

Si aplicamos la condición de que u(t) es constante durante el intervalo

T segundos T k t kT )1( +


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)())1((

)())1((

)1(

kT ud BT k A

kT x AT

T k x

T k

kT

ee ⋅⋅−+

+=+ ∫+

τ τ

Realizando una sustitución de variable en la integral, (k+1)T - τ = p, con

d τ = -dp y cambiando los límites de integración tenemos:

)()())1((

0

kT udp B Ap

kT x AT

T k x

T

ee ⋅⋅−=+ ∫

Si además aplicamos el signo a la integral e invirtiendo los límites de

integración obtenemos:

)()())1((

0

kT udp B Ap

kT x AT

T k x

T

ee ∫ ⋅⋅⋅+=+


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simplificando la escritura haciendo kT = k y sustituyendo la variable p de

nuevo por τ tenemos:

)()()1(0

k ud k xk x

T

⋅⋅+=+ ∫ τ BAτAT ee

)()()( k k k uDCxy ⋅+= donde

TAA ed =

[ ] BIAABAτBd

1

d e ⋅−⋅=⋅= −∫

T

d

0

τ ; si A es NO singular

CCd =

T cc

d = DDd = d =dD


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Ejemplo 1: Obtener el modelo en tiempo discreto para un sistema escalar de1

er orden

uT

xT

x11

11+−= ; x(0) = 0

xk y s=

)(1

)()1(0 1

1

1

1 k uT

d k xk x

T T T

T

ee ∫ ⋅+−

=+−

τ

τ

10

1

1

11

)()()1(

T

k uT k xk x

T

T T

T

ee

⋅−+

−=+

− τ

)(1)()1( 11 k uk xk x T

T

T

T

ee ⋅

−+

−=+

−

)()( k xk k y s ⋅=


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donde

111 <−

= T

T

d eT

−=−−

11 11

T T

d eT

La ecuación de diferencias se obtiene al multiplicar x(k+1) por k s.

( ) )(1)()1( 11 k uT k k xT k k xk d sd ss ⋅−⋅+⋅=+⋅

agrupando reconocemos que )1()1( +=+⋅ k yk xk s y )()( k yk xk s =⋅ por lo que escribimos

( ) )(1)()1( 11 k uT k k yT k y d sd ⋅−⋅+=+

si pasamos los términos que contienen y(k) a la izquierda

( ) )(1)()1( 11 k uT k k yT k y d sd ⋅−⋅=−+

sustituyendo la variable k = k - 1 tenemos

( ) )1(1)1()( 11 −⋅−⋅=−− k uT k k yT k y d sd ; 0)1( =− y


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Ejemplo 2: Convertir a tiempo discreto el siguiente modelo de segundo orden

)(1

0

)(0

10

)( t u M

t M k t f ⋅

+⋅

−= xx

[ ] )(01)( t t y x⋅=

Donde x1 es la posición, x2 es la velocidad yu(t)

es la fuerza demanejo o de frenado aplicada a un carro. Calculamos las matrices

discretizadas Ad y Bd para este sistema; para lo cual es necesario primero

calcular la matriz de transición de estadosAte para la matriz A dada; para

ello usamos la definición { })()( 1

s Lt Φ== −AteΦ


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+

+

=

+

−=−=

−

−

s M

k s

M

k ss M

k s

ssI s

f

f

f

0

11

0

1)()(

1

1AΦ

Así

−

=

−

−

M

t k

M

t k

f

f

f

e

ek

M

0

11Ate


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Entonces

−

==

−

−

M

T k

M

T k

f

f

f

e

e

k

M

0

11

ATd eA

−

−−

=

−

=⋅=

−

−

−

−

∫

∫∫

T M

k

f

T

M

k

f f

T M

k

T

M

k

f T

f

f

f

f

ek

ek M

k T

d e M

d ek

d

11

1

1

11 2

0

0

0

τ

τ

τ

τ

τ

BeB Aτ

d

Nótese que ya que la matriz A original en tiempo continuo es singular, se harealizado el proceso de encontrar la matriz Bd resolviendo directamente la integral.


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Solución numéricaSi M = 1, k f = 0.1 y T = 0.1 entonces las matrices en tiempo discreto son:

=

9900.00

0995.01d

A,

=

0995.0

0050.0dB

El modelo en variables de estado para el sistema en tiempo discreto es:

)1.0(0995.0

0050.0

)1.0(

)1.0(

9900.00

0995.01

))1(1.0(

))1(1.0(

2

1

2

1k u

k x

k x

k x

k x⋅

+

⋅

=

+

+

[ ]

⋅= )1.0(

)1.0(

01)1.0(2

1

k x

k x

k y


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)1()2()0()0()( 1

−⋅+−⋅++⋅+⋅= −

k u Bk u B Au B A x Ak x d d d d k

d

k

d

∑

−

=

−−⋅+⋅=

1

0

1)()0()(

k

j d

jk

d

k

d

ju B A x Ak x

donde

:)( k

d k AΦ = Matriz de transición de estados discreta

por lo que

)()()1()0()()(1

0

k ud ju jk ck k yk

j

d

T T ⋅+⋅⋅−−⋅+⋅⋅= ∑−

=

BΦxΦc


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Conclusión

Tenemos que la respuesta total está formada por la respuesta homogénea yla respuesta forzada.

Respuesta homogénea: )0()( xΦc ⋅⋅ k T

Respuesta forzada: )()()1(

1

0k ud ju jk

k

j

d T ⋅+⋅⋅−−⋅∑

−

=BΦc


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Representación de sistemas en t.

discr. en el dominio de la frecuenciaPropiedades de la transformada Z

Linealidad

{ } { } { })()()()( k vbk uak vbk ua ⋅Ζ+⋅Ζ=⋅+⋅Ζ

Si

{ })()( k u zU Ζ= y { })()( k v zV Ζ=

entonces:

{ } )()()()( zV b zU ak vbk ua ⋅+⋅=⋅+⋅Ζ


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Desplazamiento a la derecha en el

tiempo)()( z X k x ↔

)1()()1( 1 −+↔− − x z X zk x

)1()2()()2( 12 −+−+↔− −− x z x z X zk x

)1()2()1()()()( 21 −+++−++−+−+↔− −−−− x zq x zq x zq x z X zqk x qq

Si 0)( =k x ∀ k = -1, -2 , -3, ... – q

entonces:

)()( z X zqk x q−↔−


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Teorema del valor inicial

)(lim)0( z X x z ∞→=

[ ])0()(lim)1( x z z X z x z

⋅−⋅=∞→

)1()1()0()(lim)( 1 −⋅−−−−= −∞→

q x z x z x z z X zq x qqq z


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Teorema del valor final

)()1(lim)(lim1

z X zk x zk

−=→∞→

Relación entre la transformada Z y la transformada de Laplace

sT e z =


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Función tr. del modelo en variables

de estado en tiempo discreto)()()1( k uk k d d ⋅+⋅=+ BxAx

)()()( k uk k y d d ⋅+⋅= DxC

Transformando a Z con las condiciones iniciales iguales a cero, 0)0( = x

)()()( zU z z z d d ⋅+⋅=⋅ BXAX

)()()( zU z zY d d ⋅+⋅=

DXC

A d


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Agrupando

)()()( zU B z X A z X z d d ⋅=⋅−⋅

( ) )()( zU B z X A I z d d ⋅=−⋅

Premultiplicando por( ) 1−−⋅ d A I z

( ) )()( 1 zU B A I z z X d d ⋅−⋅= −

Sustituyendo X(z) en la ecuación para Y(z).

( ) )()()( 1 zU D zU B A I zC zY d d d d ⋅+⋅−⋅⋅= −

A d


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Agrupando

( ) )()( 1 zU D B A I zC zY d d d d ⋅+−⋅⋅= −

y finalmente obtenemos la función de transferencia G(z).

( ) d d d d z zU

zY zG DBAIC +−⋅⋅==

−1

)(

)()(

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