qap. asignacion cuadratica

DEPARTAMENTO DE INGENIERIA INDUSTRIAL

PLANEACION Y DISEÑO DE INSTALACIONES

4T7E 

PROF. ING. JORGE BENJAMIN CRUZ RAMOS

UNIDAD 2. DISTRIBUCION DE INSTALACIONES

                                     2.2    "ASIGNACION CUADRATICA" Presentan: • Duran Toledo, Nuria de la luz.                             07210852  • Mijares Soto, Hilda Elisa.                           • Perez Castellanos, Alfredo Alejandro.                  07210898    

 7mo semestre.

 Agosto - Diciembre 2010         

INTRODUCCION

La localización de una sola instalación pese a la complejidad que como se ha visto puede llegar a presentar, es solo un caso particular del problema de localización.  De hecho, plantearse el problema de localizar una sola instalación supone ya una respuesta al problema más general, que incluye las siguientes preguntas:  

→       ¿Cuántas instalaciones?→       ¿Dónde deben localizarse?→       ¿Con que capacidad?→       ¿Qué actividades ha de desarrollar cada instalación?→       ¿Con que instalaciones o clientes ha de relacionarse?

Esta última pregunta es la que concierne a nuestro tema. Si las nuevas instalaciones han de relacionarse entre si y además relacionarse con las ya existentes, el problema de localización múltiple se denomina de asignación cuadrática.  Son numerosos los modelos de optimización para instalaciones múltiples, algunos de los cuales revisten gran complejidad y exigen utilización de los más potentes medios de cálculo.  La dificultad para darles respuesta se acentúa por el hecho de que estas instalaciones no son independientes. En un problema de esta complejidad, el objetivo de hallar la mejor solución, no siempre es alcanzable pero, en cualquier caso, conviene cuantificar los resultados de las decisiones y determinar los óptimos exactos o aproximados en los aspectos para los que ello sea factible.

DEFINICION

El problema de asignación cuadrática o mejor conocido como QAP por sus siglas en ingles, es un problema estándar en la teoría de locación.  El problema de asignación cuadrática cubre una amplia clase de problemas que envuelve la minimización del costo total de interacción entre pares de departamentos, nuevos y existentes. Estos problemas involucran desde encontrar la asignación de fábricas a localizaciones fijas que minimizan los costos de transporte, por ejemplo, hasta la localización de subensamblajes en un chasis a fin de minimizar la longitud del cableado que lo interconecta. Todo esto con el fin de minimizar una función que expresa costos, flujos o distancias.

En resumen, consiste en tratar de asignar N instalaciones a una cantidad N de sitios o locaciones en donde se considera un costo asociado a cada una de las asignaciones.  Este costo dependerá de las distancias y flujo entre las instalaciones. De este modo se buscará que este costo, en función de la distancia y flujo, sea mínimo.

ORIGEN

El QAP fue planteado por Koopmans y Beckmann en 1957 como un modelo matemático para un conjunto de actividades económicas indivisibles. Posteriormente Sahni y Gonzales demostraron que a causa de su diversidad de aplicaciones y a la dificultad intrinseca del problema, el QAP pertenece a los problemas no polinomiales duros llamados NP-duros El QAP ha sido investigado extensamente por la comunidad cientifica, lo que sumados a que es un problema aplicable a un sinnumero de situaciones, lo hacen un problema de gran interes para el estudio.

MODELO

EL QAP es quizas, el mas complejo y dificultoso de los problemas de asignacion, en donde, relacionar dos asignaciones particulares tiene un costo asociado; tal estructura   Formalmente, el QAP puede ser definido por tres matrices nxn: 1. D = {dij} es la distancia entre la localidad i y la localidad j2. F = {fhk} es el flujo entre las facilidades h y k, es decir la cantidad

de interacción (tráfico) existente entre las facilidades. Puede representar unidades manejadas entre una instalación y otra.

3. C = {chi} es el costo de asignar la facilidad h en la localidad i.

Ejemplo:         Tenemos las instalaciones i y j, y los sitios k y l.            Usamos el QAP cuando el costo de localizar la instalacion i en el sitio k y la instalacion j en el sitio l, esta en funcion de la distancia entre los dos sitios k y l, y el grado de interaccion entre las dos instalaciones j e i.

      Existe un sistema de n instalaciones  y un sistema de n ubicaciones. Para cada

par de localizaciones, la distancia se especifica y para cada par de las instalaciones el peso o flujo se

especifica (es decir, la cantidad de fuentes transportadas entre las dos

instalaciones). El problema es asignar todas las instalaciones a diversas

localizaciones con la meta de reducir al minimo la suma de las distancias

multiplicadas por los flujos correspondientes.

Sintetizando, el problema QAP es como sencillamente decir:

APLICACIONES

Los QAP son frecuentemente tratados en el campo de la optimizacion. cubren una amplia gama, entre ellos la minimizacion del costo total de interaccion entre pares de facilidades. Los mismos estan caracterizados por la considereacion de una seleccion o permutacion de un conjunto discreto de elementos o por una asignacion entre ellos.  Dentro de las innumerables aplicaciones podemos encontrar: 1. Diseño de centros comerciales donde se quiere que el público recorra la menor

cantidad de distancia para llegar a tiendas de intereses comunes para un sector del público.

2. Diseño de terminales en aeropuertos, en donde se quiere que los pasajeros que deban hacer un transbordo recorran la distancia mínima entre una y otra terminal teniendo en cuenta el flujo de personas entre ellas.      3. Diseño de teclados de computadora, en donde se quiere por ejemplo ubicar las teclas de una forma tal en que el desplazamiento de los dedos para escribir textos regulares sea el mínimo.

4. Diseño de circuitos eléctricos, en donde es de relevante importancia dónde se ubican ciertas partes o chips con el fin de minimizar la distancia entre ellos, ya que las conexiones son de alto costo.

Con los ejemplos anteriores de aplicaciones se puede observar que resolver este problema para un gran número de instancias es de vital importancia, y a la vez que tratar de resolver el problema mediante técnicas completas puede resultar infactible por el alto número de instancias.

PLANTEAMIENTO DE UN PROBLEMA DE QAP

El QAP es muy fácil de plantear pero muy difícil de resolver y consiste en lo siguiente: encontrar un asignación optima de n instalaciones en n ciudades minimizando el costo de transporte de materiales entre las instalaciones siempre considerando la distancia entre las ciudades y puede ser planteado matemáticamente en dos formas: 

1. Como un problema de programacion entera binaria

2. Como problema de optimizacion combinatoria

Optimizacion combinatoria.

Sean F {F=(fij)} y D {D=(dkl)} dos matrices cuadradas de n x n simétricas, se trata de encontrar la asignación de n plantas a n localidades, que minimice:    Donde fij representa el flujo de materiales de la planta i a la planta j y dkl es la distancia de la ciudad k a la ciudad l.El espacio de soluciones factibles es de tamaño n!, de ahí su complejidad. Las matrices de flujo y las distancias F y D respectivamente son simétricas, entonces se tiene que fij = fji y dkl = dlk, además fij = 0 y dkl = 0, para i = j. 

Como ya se menciono, el problema de asignación cuadrática es muy difícil de resolver, sin embargo, existen algoritmos para ello, pero tales que, en general, el tiempo necesario para la resolución del problema crece exponencialmente con las dimensiones del mismo. Por este motivo, en general hay que conformarse con soluciones de buena calidad aunque no sean óptimas o aunque no se tenga la certeza de que lo sean.  Tales soluciones se obtienen mediante algoritmos, que permiten obtener soluciones satisfactorias en tiempos de cálculo razonables, y de los que para resolver el problema de asignación cuadrática, existe un buen número. Uno de tales algoritmos se describe con un ejemplo a continuación.

Metodo del intercambio pareado

Este método comienza con una solución inicial propuesta, en donde cada planta se asigna a un sitio.  Luego, se consideran todos los intercambios pareados, entiéndase como combinaciones posibles, y se efectúa el intercambio que produce la máxima reducción en el costo total.  El proceso continúa hasta que no se encuentren intercambios pareados que produzcan una reducción en el costo total.  La solución resultante, que no necesariamente es un óptimo global, se conoce como la solución 2-opt debido a que ningún intercambio pareado puede reducir más el costo total.

Ejemplo. Metodo intercambio pareadoSuponga que se van a colocar cuatro máquinas en un taller y se disponen 4 sitios para su colocación. A continuación aparecen la matriz de flujo desde-hacia, para las máquinas (de la A a la D) y la matriz de las distancias, para los cuatro sitios (del 1 al 4):      Esta matriz, nos muestra como de la maquina A a la maquina B, existe un flujo de 5, de la maquina A a la C un flujo de 2, de la maquina A a la maquina D no existe flujo, y asi sucesivamente.

Por otro lado, esta segunda matriz, nos muestra las distancias existentes entre los sitios. Ejemplo: la distancia entre el sitio 4 y 1 son 6, entre el sitio 4 y 2 es 6, y asi sucesivamente. 1. Suponga que la solución inicial propuesta es: (A:1, B:2, C:3, D:4). Es decir,

la planta A se asigna al sitio 1, la planta B se asigna al sitio 2 y así sucesivamente.

2. A continuación se formulan combinaciones posibles de maquinas, basadas en los flujos de una maquina a otra, tomando como referencia la matriz de flujo.  

Para formular las combinaciones, no se deben tomar en cuenta aquellas combinaciones cuyo flujo es cero.

 Combinaciones: AB, AC, BC, DB, CA, CB, DC.

3. Se construye la primera parte una tabla que después será expandida, donde se insertan los datos del flujo y las distancias para las combinaciones determinadas, como sigue:

De manera que el flujo de la maquina A a la B es de 5, y como la maquina A esta ubicada en el sitio 1 y la maquina B en el sitio 2 (según la solución inicial propuesta), la distancia entre el sitio 1 y el sitio 2 es de 5. Para obtener el costo total, se hace una multiplicacion de los flujos por las distancias, para despues sumarse.

Nota: S.I. (A:1, B:2, C:3, C:4)

Tabla 1.

4. Se buscan los intercambios de sitios de las maquinas que se pueden realizar.     Ejemplo: Intercambiar maquina A que se encuentra en el sitio 1 por la maquina B que se encuentra en el sitio 2 (segun la solucion inicial), de manera que A quede en el sitio 2 y B en el 1. Quedandonos como posibles intercambios pareados:                                     AB              BC                                    AC              BD                                    AD              CD Nota: Son todas las combinaciones posibles que se pueden hacer.

5.  Estas combinaciones (intercambios pareados) se añaden a la tabla 1 como posibles soluciones.

6.  Para poder rellenar sus columnas es necesario realizar el intercambio en la matriz de distancias: a) Se intercambian los sitios de las maquinas A y B horizontalmente (renglones) de la matriz de distancia:     b) Se intercambian los sitios de las maquinas A y B verticalmente (columnas) de la nueva matriz de distancias:

De esta manera, con la nueva matriz de distancia AB, vamos rellenando la columna del intercambio AB de la tabla 1, con los valores de la nueva matriz construida, considerando solo los sitios de los pares de maquinas.

Ejemplo.A(1)B(2): Del sitio 1 al sitio 2 la distancia es 4.A(1)C(3): Del sitio 1 al sitio 3 la distancia es 6.

Y así sucesivamente hasta completar los pares. Para terminar este paso se realiza la multiplicación de los flujos por las distancias para sumarse y determinar el costo total de dicha combinación.

Ejercicio AC 

Ejercicio AD

Ejercicio BC

Ejercicio BD

Ejercicio CD

7. Una vez completada la tabla, se elige la opción que nos da el menor costo total.

Entonces, recordando que nuestra solución inicial propuesta fue: A:1, B:2, C:3, D:4 y obtenemos que intercambiar C por D nos da un menor costo que el de la solución propuesta procedemos a realizar el intercambio de sitios quedándonos como nueva solución: 

A:1, B:2, C:4, D:3

8. Puesto que se tiene una nueva solución inicial, es decir una nueva colocación de las maquinas en los sitios, se toma la matriz resultante del intercambio de CD como la nueva matriz de distancia base, y se comienza la tabla 2.

Tabla 2

La columna flujo y pares de maquinas se quedan igual, en la columna de solución inicial se escriben los valores del intercambio CD.

9. Los intercambios pareados son los mismos, por lo que solo se prosigue al llenado de datos.

Ejercicio AB  T2

Ejercicio AC T2

Ejercicio AD T2

Ejercicio BC T2

Ejercicio BD T2

Ejercicio CD T2

10. Una vez completada la segunda tabla, nuevamente se busca la opción que brinde el menor costo.

Como podemos ver, el intercambio AD es el de menor costo con 120, por lo que a nuestra solución optima anterior A:1 B:2 C:4 D:3 le hacemos el intercambio AD, obteniendo: 

A:3 B:2 C:4 D:1 

A la cual se le nombra solución 2-opt.

El procedimiento puede seguir tantas veces como se encuentren costos totales menores.

 La calidad de la solución final depende mucho de la solución con la que se comenzó, por lo que se recomienda que el procedimiento se

ejecute con soluciones iniciales alternas.

DINAMICADiseño de tablero de circuito.

 Se tienen 3 (A, B, C) módulos electrónicos y 3 posiciones (1,2,3) en donde situarlos sobre una placa. Sea fik el número de cables que conectan los módulos i y k y sea djl la distancia entre las posiciones i y l de la placa. El problema consiste en determinar la ubicación de los módulos minimizando la longitud total del cable utilizado. La solucion inicual propuesta es A:1, B:2, C:3. Los valores para el número de cables y la distancia se dan a continuación:

POR SU ATENCION. 

GRACIAS