Prvi parcijalni pismeni ispit iz Linearne algebre - ff.unze.ba · Prvi parcijalni pismeni ispit iz...

Univerzitet u ZeniciFilozofski fakultetOdsjek: Matematika i informatikaZenica, 29.11.2013.

Prvi parcijalni pismeni ispit iz Linearne algebre

Pravila: Svaku formulu koju mislite koristit, u sva 4 zadatka, obavezno napisati,kao i znacenja simbola iz formule. Ispit pisati iskljucivo hemiskom olovkom plaveili crne tinte. Prije rjesenja prepisati postavku (tekst) zadatka.

1. U prostoru R5 zadan je podprostor M razapet (generisan) vektorima (0, 0, 1, 0, 0)> i(0, 1, 0, 1, 0)> i podprostor

L = {(x1, x2, x3, x4, x5)> ∈ R5 |x1 − x2 + x3 = 0, 2x1 − 2x2 + x3 + x4 = 0}

(a) Odrediti bazu i dimenziju vektorskih prostora M i L.(b) Odrediti bazu i dimenziju vektorskih prostora M∩L i M+ L.

2. Zadan je linearni operator T : Mat2×2(R) −→ Mat2×2(R) sa

T

([a bc d

])=

[a− b −a + b + 2c

a− c− d −a + 2c + d

].

(a) Odrediti po jednu bazu za ker(T ) i im(T ).(b) Odredite matricu koordinata od T u odnosu na standardnu bazu prostora Mat2×2(R).

3. Neka je T linearan operator na prostoru R2 koji vektor najprije reflektuje (zrcali) s obzirom napravac y = −x, zatim ga rotira za ugao π

4oko koordinatnog pocetka (oko izvorista) u negativnom

smjeru, te zatim reflektuje (zrcali) s obzirom na pravac y = x. Naci matricu (matricu koordinata)

operatora T u bazi B =

{2

(10

)−

(01

),−

(10

)+ 2

(01

)}.

4. Neka je M = Rn i neka je d funkcija sa M×M u R definisana sad(xxx,yyy) = max{|x1 − y1|, |x2 − y2|, ..., |xn − yn|}. Provjeriti da li je (M, d) metricki prostor. Zaslucaj kada je n = 3 graficki prikazati kugle B(111; 1) i B(000; 2).

Zadaci su skinuti sa stranice pf.unze.ba/nabokov.Za uocene greske pisati na infoarrt@gmail.com