View
19
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
Oscilatorno kretanje Tehnička fizika 1
22/11/2019 Tehnološki fakultet
Oscilatorno kretanje
• Periodično kretanje i harmonijske oscilacije
• Oscilovanje tijela obješenog o elastičnu oprugu
• Matematičko klatno, fizičko klatno i torziono klatno
• Prigušene harmonijske oscilacije
• prinudne oscilacije i rezonancija
Oscilatorno kretanje
Periodično kretanje. Oscilacije.
• Kretanje koje se ponavlja u
određenim vremenskim
intervalima naziva se
periodično kretanje.
•Periodično kretanje koje se ponavlja na isti način
naziva se oscilatorno kretanje, a proces oscilovanje.
• Oscilacija je jedan ciklus oscilatornog kretanja poslije
čega se kretanje ponavlja.
Oscilatorno kretanje
Periodično kretanje. Oscilacije.
• Oblici oscilatornog kretanja:
• mehanička
• elektromagnetska;
• elektromehanička.
• Tijelo ili sistem koji vrši oscilatorno kretanje naziva se
oscilator.
• U zavisnosti od prisustva spoljašnjih sila oscilacije
mogu biti:
• slobodne ili sopstvene – izvodi ih oscilatorni sistem ako se izvede
iz ravnotežnog položaja i prepusti sam sebi;
• prigušene i
• prinudne pod dejstvom spoljašnje periodične sile.
Oscilatorno kretanje
Veličine kod periodičnog kretanja.
• Period oscilovanja predstavlja vrijeme koje je potrebno
da sistem izvrši jednu punu oscilaciju.
• Frekvencija oscilovanja predstavlja broj izvršenih
oscilacija u jedinici vremena.
• Elongacija (pomjeraj) predstavlja rastojanje materijalne
tačke ili tijela od ravnotežnog položaja
• Amplituda predstavlja
maksimalni pomjeraj
kod prostoperiodičnog
kretanja.
Harmonijske oscilacije.
• Kretanje materijalne tačke po krugu poluprečnika r je
primjer harmonijskih oscilacija, odnosno oscilatornog
kretanja čija se elongacija mijenja po prostoperiodičnom
zakonu.
•Harmonijsko kretanje može da bude sa početnom
fazom.
tyy sin0
00 sin tyy
Tijelo obješeno o elastičnu oprugu.
• Vertikalni harmonijski oscilator – tijelo mase m obješeno o oprugu
izvodi slobodne oscilacije nakon izvođenja iz ravnotežnog položaja
• Kada se tijelo pomjeri iz ravnotežnog položaja za x(t): • opruga se rasteže takođe za x(t),
• na krajevima opruge dejstvuju jednake sile suprotnog smijera –
elastična sila koja je prema Hukovom zakonu:
• k je konstanta proporcionalnosti, krutost opruge
• Prema III Njutnovom za svaku silu postoji sila reakcije koja djeluje
u suprotnom smijeru
Tijelo se kreće pod
dejstvom elastične
sile opruge.
tkxF
Tijelo obješeno o elastičnu oprugu.
• Prema II Njutnovom zakonu sila koja dejstvuje na tijelo:
• Izjednačavanjem gornjeg izraza za silu sa izrazom za elastičnu
silu dobija se diferencijalna jednačina kretanja:
• znak „-“ ukazuje na činjenicu da je elastična sila uvijek suprotnog
smijera od smijera kretanja.
• Sređivanje gornje jednačine dobija se izraz:
0)(
0)(
0)(
2
0
xtx
xm
ktx
kxtxm
txmF
kxtxm
m
k0
Sopstvena kružna frekvencija
Tijelo obješeno o elastičnu oprugu.
• Rješavanjem diferencijalne jednačine:
• Dobija se jednačina kretanja:
• Tijelo izvodi harmonijske oscilacije sa periodom oscilovanja:
• što je masa tijela veća period oscilovanja je veći.
0)(2
0 xtx
k
mT
2
2
0
tAtx 0sin)(
Tijelo obješeno o elastičnu oprugu.
• Kinetička energija tijela jednaka je:
• Potencijalna energija u odnosu na ravnotežni položaj:
• Za maksimalni pomjeraj u odnosu na ravnotežni položaj:
• Ukupna energija:
2
2mvEk
2
2kxkxdxFdxAEp
2
2kAEp
2222
22
0
222 AmkAkxmvE
Matematičko klatno.
• Materijalna tačka obješena o neistegljivu nit bez težine.
• Izvođenjem matematičkog klatna iz ravnotežni položaj:
• na klatno dejstvuje težina, čija je tangencijalna komponenta
aktivna;
• ova sila je uvijek usmjerena ka ravnotežnom
položaju;
• klatno osciluje oko ravnotežnog položaja,
naizmjenično pretvarajući kinetičku u
potencijalnu energiju.
Matematičko klatno.
• Pri rotacionom kretanju na klatno djeluje moment sile:
•Moment inercije:
• ugaono ubrzanje:
• S druge strane, sila F=mgsinθ ima krak
l u odnosu na osu rotacije, tako da je
moment sile:
IM
2mlI
2
2
dt
d
sinmglM
Matematičko klatno.
• Izjednačavanjem momenata dobija se diferencijalna
jednačina:
• Sređivanjem izraza:
• Za male uglove sinθ=θ:
2
22sindt
dmlmgl
0sin
0sin
2
2
2
22
l
g
dt
d
gldt
dl
02
02
2
dt
d
Matematičko klatno
• Opšte rješenje diferencijalne jednačine daje jednačinu
kretanja:
• Oscilacije matematičkog klatna su harmonijske sa
periodom oscilovanja:
• period oscilovanja ne zavisi od mase klatna;
• zavisi od dužine klatna i gravitacionog ubrzanja.
•Pošto svako klatno ima period oscilovanja koristi se za izradu
časovnika.
tt 00 sin)(
g
lT
2
2
0
Fizičko klatno
• Tijelo u ravnotežni položaj vraća sila:
• Na klatno djeluje moment:
𝑀 = −𝑚𝑔𝑠sin𝜃
• Za male uglove je: 𝑀 = −𝑚𝑔𝑠𝜃
• Na osnovu drugog Njutnovog zakona:
𝑀 = 𝐼𝑑2𝜃
𝑑𝑡2
𝑑2𝜃
𝑑𝑡2+ 𝜔0
2𝜃 = 0
𝜔0 =𝑚𝑔𝑠
𝐼
𝑇 =2𝜋
𝜔𝑜= 2𝜋
𝐼
𝑚𝑔𝑠
𝐹 = 𝑚𝑔𝑠𝑖𝑛𝜃
s
CM
Fizičko klatno
• Opšte rješenje diferencijalne jednačine daje jednačinu
kretanja:
• Oscilacije fizičkog klatna su harmonijske sa periodom
oscilovanja:
• period oscilovanja zavisi od momenta inercije I;
mase m i rastojanja s.
tt 00 sin)(
𝑇 =2𝜋
𝜔𝑜= 2𝜋
𝐼
𝑚𝑔𝑠
M
r F1 F2
Torziono klatno
• Ako neko tijelo čvrsto vežemo za donji kraj elastične
žice, onda će uvrtanjem žice za ugao φ na tijelo djelovati
moment elastične sile:
𝑀 = −𝑐 ∙ 𝜑
• Konstanta proporcionalnosti c naziva se torziona
konstanta. Ona predstavlja moment sile potreban da se
žica uvrne za ugao od 1 rad.
𝑇 = 2𝜋𝐼
𝑐
Prigušene harmonijske oscilacije.
• Na oscilatorni sistem veoma često, pored elastične i
gravitacione sile, dejstvuju i druge sile (sile trenja).
• Realni sistemi imaju određeno prigušenje koje dovodi
do smanjenja ampitude oscilovanja i postepenog
prestanka kretanja sistema.
• Mehanizmi prigušenja (viskozno trenje, suvo trenje) uzrokuju da se
energija nepovratno gubi npr. pretvaranjem u toplotnu energiju pri
trenju.
• Oscilacije koje nastaju u takvim sistemima nazivaju se prigušene
harmonijske oscilacije.
• Kod sistema u prisustvu trenja amplituda oscilovanja će postepeno
opadati ka nuli usljed trošenja energije oscilatornog sistema na rad
savladavanja sile trenja.
Prigušene harmonijske oscilacije.
• Kada se tijelo pomjeri iz ravnotežnog položaja za x(t): opruga se rasteže takođe za x(t),
na krajevima opruge dejstvuju jednake sile suprotnog smijera
– elastična sila koja je prema Hukovom zakonu:
• k je konstanta proporcionalnosti, krutost opruge
• Javlja se sila prigušenja (viskozno trenje) koja je za male brzine
srazmjerna brzini, a suprotnog smijera
od brzine:
Sila prigušenja djeluje na krajevima
prigušivača.
tkxF
txrFtr
Prigušene harmonijske oscilacije.
•Prema II Njutnovom zakonu rezultanta sila koja djeluje
na tijelo, tijelu saopštava ubrzanje:
• Izjednačavanjem gornjeg izraza za silu sa rezultantom sila dobija
se diferencijalna jednačina:
Znak „-“ ukazuje na činjenicu da su elastična
sila i sila viskoznog trenja uvijek suprotnog
smijera od smijera kretanja.
txmF
xrkxtxm
Prigušene harmonijske oscilacije.
• Jednačina kretanja može se napisati u obliku:
Rješenje diferencijalne jednačine zavisi
od prigušenja.
0 txm
ktx
m
rtx
02 2 txtxtx nn
km
r
2
Prigušene harmonijske oscilacije.
• Kada je prigušenje malo javljaju se prigušene
periodične oscilacije:
• Kada je prigušenje veliko javljaju se prigušene aperiodične
(neperiodične) oscilacije, ne javljaju se oscilacije već sistem odmah
ide u ravnotežni položaj.
km2r ,1
km2r ,1
Prinudne oscilacije.Rezonansa.
• Ako se kod sistema sa prigušenjem želi održavati
oscilovanje, neophodno je primjeniti spoljašnju silu koja
će da nadoknadi gubitak usljed prigušenja.
• Usljed dejstva neke spoljašnje sile nastaju prinudne
oscilacije.
•Frekvencija oscilovanja sistema zavisi od frekvencije
prinudne sile.
Prinudne oscilacije.Rezonansa.
• Ako se frekvencija prinudne sile mijenja:
• Za frekvencije koje su manje od sopstvene frekvencije,
amplituda vibracionog sistema će se povećavati sa
porastom frekvencije prinudne sile;
• Maksimum se postiže na sopstvenoj frekvenciji;
• Ukoliko u sistemu ne postoji prigušenje, amplituda
dostiže beskonačnu vrijednost.
• Kada je frekvencija prinudne sile mnogo veća od
sopstvene, prinudne oscilacije ne postoje.
• Pojava maksimalnog pojačanja amplitude prinudnih
oscilacija pod dejstvom prinudne periodične sile naziva
se rezonansa.
• Pri rezonansi može doći i do razaranja sistema.
•The first Tacoma Narrows Bridge, which
collapsed in 1940.
Recommended