View
232
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
Contents
0.1 Introducere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v
Concepte fundamentale 10.2 Notiuni de teoria probabilit¼atilor . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
0.2.1 Câmp de probabilitate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2.2 Variabile aleatoare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20.2.3 Procese stochastice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50.2.4 Martingale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
0.3 Notiuni de matematic¼a �nanciar¼a . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60.3.1 Optiuni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60.3.2 Arbitraj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70.3.3 Piete viabile si complete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
Optiuni europene în modelul discret 90.4 Modelul Cox-Ross-Rubinstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90.5 Strategii admisibile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90.6 Viabilitate si completitudine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110.7 Pretul de vânzare si de cump¼arare . . . . . . . . . . . . . . . . . 130.8 Formula lui Black-Scholes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Optiuni europene în modelul continuu 170.9 Introducere în calcul stochastic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
0.9.1 Miscare Brownian¼a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170.9.2 Integrale stochastice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180.9.3 Integrala Itô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200.9.4 Formula Itô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
0.10 Modelul Black-Scholes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250.10.1 Rezolvarea problemei pricing-ului si acoperiirii riscului
unei optiuni europene. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250.10.2 Generalizarea modelului Black-Scholes . . . . . . . . . . . 270.10.3 Alt¼a variant¼a a formulei Black-Scholes . . . . . . . . . . . 280.10.4 Viabilitate si completitudine . . . . . . . . . . . . . . . . 31
iii
iv CONTENTS
Optiuni americane în modelul discret 330.11 Timpuri de oprire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340.12 Pretul optiunii americane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380.13 Optiuni americane si optiuni europene . . . . . . . . . . . . . . . 39
Optiuni americane în modelul continuu 41
Rata dobânzii si obligatiuni 430.14 Rata dobânzii într-un viitor cert . . . . . . . . . . . . . . . . . . 430.15 Rata dobânzii într-un viitor incert.Obligatiuni . . . . . . . . . . . 440.16 Optiuni cu obligatiuni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 460.17 Un model pentru rata dobânzii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
Simulare în Matlab 490.18 Pretul unei optiuni în Matlab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 490.19 Modelul Black-Scholes în Matlab . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
Bibliogra�e 55
0.1. INTRODUCERE v
0.1 Introducere
Capacitatea imens¼a a computerelor din zilele noastre a permis folosireaunor modele stochastice complexe, pentru c¼a datele din sistemele studiate pot �obtinute într-un num¼ar mare si analizate prin tehnici de simulare sau prin altemetode numerice. Matematica �nanciar¼a este exemplul unui domeniu care s-adezvoltat surprinz¼ator în ultimul timp, în care s-au creat multe modele, si în careanaliza datelor se face destul de des cu ajutorul modelelor traditionale discrete,chiar dac¼a cele mai multe dintre modelele folosite pentru �xarea preturilor activesunt modele continue. Modelele continue au în plus, avantajul c¼a pot �analizatecu ajutorul instrumentelor calculului stochastic, si se pot obtine rezultate chiarsi pentru modele foarte complicate.Scopul acestei lucr¼ari este de a prezenta modelele stochastice folosite în �-
nante, problemele de �xare a preturilor optiunilor europene si americame, si nuîn ultimul rând, strategiile de convertur¼a asociate. Se vor prezenta, în paralel,modelele discrete si modelele continue ale lui Black si Scholes. Modelele discretepermit demonstrarea rezultatelor de natur¼a elementar¼a, iar cele continue dez-volt¼a formule care sunt folosite în mod curent de c¼atre profesionistii în �nante.Ultimul capitol al lucr¼arii cuprinde o simulare în limbajul de programare Matlaba unor modele analizate pe parcursul primelor capitole.Primul model stochastic în matematici �nanciare a fost introdus de Bachelier
in 1900 în teza sa "La théorie de la spéculation", în care propunea un modelpentru cursul pretului grâului
St = S0 +Bt:
Acest model avea îns¼a,defectul c¼a pretul putea deveni negativ.Prin intermediul acestei lucr¼ari aduc sincere multumiri profesorului coordo-
nator Profesor.dr Aurel R¼ascanu pentru sprijinul acordat si pentru profesional-ismul dovedit în elaborarea prezentei lucr¼ari.
Concepte fundamentale
0.2 Notiuni de teoria probabilit¼atilor
0.2.1 Câmp de probabilitate
Plec¼am cu o multime abstract¼a,pe care o not¼am ,ale c¼arei submultimi levom interpreta ca �ind evenimente.
De�nitia 1 Numim câmp de probabilitate (abreviat: c.p.) un triplet (;F ;P) ;unde
(I) este o multime abstract¼a;
(II) F este �-corp (�-algebr¼a ) peste ; adic¼a
(�c1) 2 F � P () ;(�c2) A 2 F =) Ac (= nA) 2 F ;(�c3) fAn : n 2 N�g � F =)
Sn2N�An 2 F ;
(III) P : F ! [0; 1] ; este o (m¼asur¼a de) probabilitate, adic¼a
(p1) P () = 1;(p2) (num¼arabila aditivitate) dac¼a fAn : n 2 N�g � F si Ai
TAj = ;
(adic¼a evenimentele sunt incompatibile dou¼a câte dou¼a) pentru oricei 6= j; atunci
P� 1Sn=1
An
�=
1Xn=1
P (An)
Notatia 2 Adef= Ac = nA
Elementele lui F se numesc evenimente aleatoare. Un eveniment A esteeveniment elementar dac¼a din ; 6= B � A rezult¼a B = A: Perechea (;F) senumeste câmp de evenimente .
Propozitia 3 (Propriet¼ati ale probabilit¼atii) Dac¼a (;F ; P ) este un câmp deprobabilitate atunci:
1
2 CONCEPTE FUNDAMENTALE
(i) P (;) = 0;
(ii) P�A�= 1� P (A) ;
(iii) P (A nB) = P (A)� P (ATB) ;
(iv) (substractivitate) dac¼a B � A atunci P (A nB) = P (A)� P (B) ;
(v) (monotonie) dac¼a B � A atunci P (B) � P (A) ;
(vi) (�nit¼a aditivitate) dac¼a�Ai : i 2 1; n
� F si Ai
TAj = ; pentru orice
i 6= j; atunci
P�
nSi=1
Ai
�=
nXi=1
P (Ai) :
0.2.2 Variabile aleatoare
De�nitia 4 Numim ��algebra generat¼a de A � P () cea mai mic¼a ��algebr¼acare contine pe A; adic¼a
� (A) =\
A�F = ��algebr�aF :
A se numeste sistem de generatori pentru � (A) :
De�nitia 5 Numim ��corpul (��algebra) Borel pe Rn ��corpul (��algebra)generat de multimile deschise din Rn adic¼a cea mai mic¼a ��algebr¼a care continetoate multimile deschise din Rn :
Bn = � (fG : int (G) = G � Rng)
def=
\F = ��algebr�a
�F : fG : int (G) = G � Rng � F
�
=\
F = ��algebr�a
�F :
�F : F = F � Rn
� F
�:
Presupunem c¼a f este o functie nenegativ¼a, integrabil¼a, astfel încâtRRn f(x)dx = 1: De�nim
P(B) =ZB
f(x)dx
pentru �ecare B 2 Bn Atunci (Rn;Bn;P) este un câmp de probabilitate. Numimf densitatea probabilit¼atii P.
De�nitia 6 Fie (;F ; P ) un câmp de probabilitate.
0.2. NOTIUNI DE TEORIA PROBABILIT¼ATILOR 3
(a) X : ! R este o variabil¼a aleatoare real¼a (v.a.) dac¼a X este o functie(F ;B1)-m¼asurabil¼a, adic¼a,�
FX def=�X�1 (B1) = fX�1 (B) : B 2 B1g � F
(se va scrie X : (;F ;P)! (R;B1) );
(b) X =
0B@ X1
...Xn
1CA = (X1; :::; Xn)�: ! Rn este un vector aleator (sau
variabil¼a aleatoare cu valori în Rn) dac¼a X este o functie (F ;Bn)-m¼asurabil¼a,adic¼a, �
FX def=�X�1 (Bn) = fX�1 (B) : B 2 Bng � F
(se va scrie X = (X1; :::; Xd)�: (;F ;P)!
�Rd;Bd
�).
De obicei,scriem X si nu X(!). De asemenea,not¼am P(X�1(B)) = P(X 2B), ca �ind probabilitatea evenimentului ca X s¼a apartin¼a lui B:
De�nitia 7 Numim repartitie a v.a. X : ! Rn masura de probabilitatePX : Bn ! [0; 1] dat¼a prin
PX (B) = P (X 2 B) :
Dac¼a X : ! R atunci functia FX : R! [0; 1] dat¼a prin
FX (x) = PX (]�1; x])= P (X � x)
se numeste functia de repartitie a v.a. X:
Exemple de repartitii
Exemplu 8 1.Repartitia binomial¼aDac¼a A este un eveniment asociat unui experiment aleator astfel încât P(A) =p,
si dac¼a experimentul este repetat de n ori (experimentele �ind independente),atunci num¼arul X de aparitii ale lui A, numit si frecventa lui A în acesterepetitii, are repartitia binomial¼a
pk = P (X = k) =
�nk
�pk (1� p)n�k ; 0 � k � n:
Exemplu 9 2.Repartitia normal¼aSpunem c¼a v.a X urmeaz¼a o repartitie normal¼a de parametri m si �; si
not¼am X � N (m;�) dac¼a
FX (x) =�2��2
��1=2 Z x
�1e�(1=2�
2)(y�m)2dy
4 CONCEPTE FUNDAMENTALE
Integrarea în raport cu o m¼asur¼a
Dac¼a (;F ;P) este un câmp de probabilitate si X =kPi=1
ai1Aieste o vari-
abil¼a aleatoare simpl¼a, atunci de�nim integral¼a din X astfel:Z
XdP =kXi=1
aiP(Ai):
Dac¼a X este o variabil¼a aleatoare nenegativ¼a, atunci de�nimZ
XdP = sup0�Y�X; Y simpl¼a
Z
Y dP:
Si, dac¼a X este o variabil¼a aleatoare arbitrar¼a, de�nimZ
XdP =Z
X+dP�Z
X�dP
considerând c¼a cel putin una din integralele din membrul stâng este �nit¼a, iarX+ = max(X; 0), X� = max(�X; 0); deci X = X+ �X�:
De�nitia 10 Dac¼a (;F ;P) este un câmp de probabilitate si X : ! R este ovariabil¼a aleatoare, numim valoarea medie sau media lui X si o not¼am E(X)cantitatea:
E(X) =Z
XdP:
De�nitia 11 Numim
D2 (X) = V ar(X) :=
Z
jX � E(X)j2dP
dispersia (în francez¼a si englez¼a: variance) variabilei aleatoare X:
Se observ¼a c¼a
V ar(X) = E(jX � E(X)j2) = E(jXj2)� jE(X)j2:
De�nitia 12 Functia 'X : R! C de�nit¼a prin
'X (t) = E�eitX
�se numeste functia caracteristic¼a a v.a. X:
De�nitia 13 Fie (;F ;P) un câmp de probabilitate si presupunem c¼a G este o�-algebr¼a, G � F .Dac¼a X : ! R este o variabil¼a aleatoare, de�nim
E(XjG)
ca �ind orice variabil¼a aleatoare pe astfel încât:
(i) E(XjG) este G�m¼asurabil¼a
(ii)RAXdP =
RAE(XjG)dP; pentru 8A 2 G:
(iii) E(XjG) se numeste media conditionat¼a a variabilei aleatoare X.
0.2. NOTIUNI DE TEORIA PROBABILIT¼ATILOR 5
0.2.3 Procese stochastice
Procesele stochastice apar în modelarea matematic¼a a fenomenelor aleatoarecare depind de timp. Un proces stochastic este o functie de doua variabile (unargument aleator ! si un parametru "timp" t).
De�nitia 14 Dac¼a (;F ;P) este un câmp de probabilitate si T este o sub-multime a multimii numerelor reale R, atunci functia
X : � T ! Rd; X(!; t) def= Xt(!) : ! Rd; t 2 T; ! 2
este un proces stochastic cu valori în Rd, dac¼a, pentru �ecare t 2 T; ! 7!Xt(!) este o variabil¼a aleatoare (adic¼a este (F ;B1)�m¼asurabil¼a).
Dac¼a T = f1; 2; ::::g, atunci procesul stochastic Xt; t 2 T este doaro secventa de variabile aleatoare si în acest caz vorbim de proces stochastic cutimp discret, sau proces stochastic discret. Dac¼a T este o multime continu¼a (un interval ) atunci procesul se numeste proces stochastic cu timp continuu.
0.2.4 Martingale
Motivatie:Presupunem c¼a Y1; Y2; Y3,....sunt variabile aleatoare independente,cu valori reale, astfel încât
E(Yi) = 0; (i = 1; 2; : : :):
De�nim suma Sn := Y1 + Y2 + Y3 + :::Yn: Cum putem a�a Sn+k;cunoscândS1; S2; S3; : : : Sn? R¼aspunsul este
E(Sn+kjS1; S2; : : : ; Sn) = E(Y1 + Y2 + : : :+ YnjS1; S2; : : : ; Sn)+E(Yn+1 + Yn+2 + : : :+ Yn+kjS1; S2; : : : ; Sn)
= Y1 + Y2 + : : :+ Yn + E(Yn+1 + Yn+2 + : : :+ Yn+k)| {z }=0
= Sn:
Deci, cea mai bun¼a estimare medie a "valorilor viitoare " Sn+k; cunoscând val-orile pân¼a în momentul n, S1; S2; S3; : : : Sn; este Sn:Dac¼a interpret¼am Yi ca �ind câstigul la un joc de noroc în momentul i; si
Sn suma tuturor câstigurilor pân¼a în momentul n, calculul de mai sus indic¼a,c¼a în orice moment viitor valoarea medie a câstigului, dându-se câstigul curent(pân¼a în momentul prezent), va reprezenta câstigul curent (suma detinut¼a înmomentul prezent). Incorporând aceste idei într-o de�nitie formal¼a obtinem:
De�nitia 15 (Xi)1n=1 este martingal¼a discret¼a dac¼a E(jXij) < 1; 8 i =
1; 2; : : : siXk = E(Xj jX1; X2; : : : Xk) a:s:
pentru 8j � k � 1.
6 CONCEPTE FUNDAMENTALE
De�nitia 16 Fie X(�) un proces stochastic real. Atunci
FXt = F(Xsj0 � s � t),
�-algebra generat¼a de variabilele aleatoare Xs, pentru 0 � s � t ,se numestetrecutul (sau istoria) procesului pân¼a în momentul t (inclusiv t):
De�nitia 17 Fie fXt : t � 0g un proces stochastic, astfel încât E(jXtj) < 1;pentru toti t � 0:
1. Dac¼aXs = E(XtjFXs ) a:s:, pentru toti t � s � 0;
atunci fXt : t � 0g se numeste martingal¼a.
2. Dac¼aXs � (resp �) E(XtjFXs ) a:s:, pentru toti t � s � 0;
atunci fXt : t � 0g se numeste submartingal¼a (supramartingal¼a).
0.3 Notiuni de matematic¼a �nanciar¼a
In continuare, vom de�ni anumite notiuni de matematic¼a �nanciar¼a carevor � utilizate pe parcursul lucr¼arii.
De�nitia 18 Un contract viitor (future) este un acord de a cump¼ara (sau dea vinde) o cantitate dintr-un activ dat (care poate � o actiune, o obligatiune,un titlu, un deviz, o materie prim¼a,etc) la o dat¼a viitoare speci�cat¼a, la un pretspeci�cat si în anumite conditii standard impuse de contractul respectiv.
De�nitia 19 Numim portofoliu ansamblul activelor �nanciare (actiuni, oblig-atii, titluri, devize,asigur¼ari) detinute la un moment dat de c¼atre un agent eco-nomic.
0.3.1 Optiuni
De�nitia 20 O optiune este un contract în termenii c¼areia detin¼atorul aredreptul (dar nu si obligatia ) de a cump¼ara (optiune de cumparare sau "calloption") sau de a vinde (optiune de vânzare sau "put option") o cantitate�xat¼a dintr-un activ dat ,la un pret �xat de la început (numit pret de exerciciusau "strike") la o dat¼a de scadent¼a T �xat¼a în avans pentru o optiune eu-ropean¼a. O optiune american¼a poate � exercitat¼a în orice moment dintresemnarea contractului si data de scadent¼a T.
In cazul unei optiuni europene, dac¼a not¼amT = data de scadent¼aSt = cursul activului la momentul tK = pretul de exercitiu
0.3. NOTIUNI DE MATEMATIC¼A FINANCIAR¼A 7
atunci, în cazul optiunii de cump¼arare, cantitatea (ST � K)+ va reprezentacâstigul detin¼atorului (cump¼ar¼atorului) optiunii la momentul T , iar în cazuloptiunii de vânzare, cantitatea (K � ST )
+ va reprezenta câstigul detin¼atorului(vânz¼atorului) optiunii la momentul T .Observatie: Câstigul detin¼atorului (deci cump¼ar¼atorului) optiunii este pierderea
vânz¼atorului. Prima (suma v¼arsat¼a de cump¼ar¼ator vânz¼atorului) este pentru acompensa aceast¼a pierdere; prima este pretul optiunii rezultat din confruntareaordinelor de cump¼arare si de vânzare de pe piat¼a.Optiunile americane sunt mai greu de analizat decât cele europene, motiv
pentru care vom insista mai mult asupra lor.Teoria matematic¼a a optiunilor trateaz¼a dou¼a mari probleme:
1. Fixarea pretului optiunii ("pricing"), adic¼a �xarea sumei pe care cump¼ar¼a-torul optiunii trebuie s¼a o verse vânz¼atorului în momentul semn¼arii con-tractului.
2. Acoperirea riscului: cum vânz¼atorul actiunii va gestiona prima încasat¼aîn momentul semn¼arii contractului, pentru a compensa (în cazul unei opti-uni europene), pierderea (ST �K)+, respectiv (K � ST )+:
Propriet¼ati ale optiunilor
Factori care afecteaz¼a pretul optiunilor:
� pretul curent de stocare si pretul de exercitiu (optiunile de cump¼araresunt mai valoroase dac¼a pretul de stocare creste si mai putin valoroasedac¼a pretul de exercitiu creste).
� data scadentei ( optiunile americane de vânzare si de cump¼arare cresc învaloare cu cât data scadentei creste; cele europene nu sunt în mod necesarmai valoroase ).
� volatilitatea pretului de stocare, �, astfel încât �p�t reprezint¼a deviatia
standard a pretului de stocare într-o perioad¼a de timp scurt¼a �t (cu câtvolatilitatea creste,cu atât valoarea optiunilor de vânzare si de cump¼ararecreste).
� rata dobânzii (dac¼a rata dobânzii creste valoarea unei optiuni de vânzaredescreste iar cea a unei optiuni de cump¼arare creste).
0.3.2 Arbitraj
Una dintre ipotezele care intervin în teoria matematic¼a a optiunilor esteabsenta oportunit¼atii de arbitraj, adic¼a imposibilitatea câstig¼arii de bani fararisc. Aceast¼a ipotez¼a antreneaz¼a o asa-zis¼a relatie de paritate între optiuneade vânzare si cea de cump¼arare european¼a pentru acelasi activ suport (actiune,
8 CONCEPTE FUNDAMENTALE
obligatie, indice bursier) si data de scadent¼a. Dac¼a T = data de scadent¼a siK = pretul de exercitiu avem relatia de paritate:
Ct � Pt = St �Ke�r(T�t)
unde Ct este pretul de cump¼arare, Pt este pretul de vânzare, St reprezint¼a cursulactiunii la momentul t, si r dobânda constant¼a la care se realizeaz¼a tranzactia.
Dac¼a presupunem, de exemplu, c¼a la momentul t, relatia de paritate nueste satisf¼acut¼a, adic¼a:
Ct � Pt > St �Ke�r(T�t)
atunci rezult¼a o oportunitate de arbitraj. La momentul t, operatiunea respectiv¼ava aduce la un pro�t net egal cu
Xt = Ct � Pt � St
Dac¼a Xt > 0, atunci se plaseaz¼a Xt cu dobânda r pân¼a la data de scadent¼aT ; dac¼a Xt < 0, atunci se împrumut¼a cu aceeasi doband¼a pân¼a la data descadent¼a T . In momentul T , avem dou¼a situatii:
1. ST > K:atunci se realizeaz¼a cump¼ararea (si nu se realizeaz¼a vânzarea) ,se încaseaz¼a K si se pl¼ateste împrumutul, deci va rezulta un pro�t egal cu
K + er(T�t)(Ct � Pt � St) > 0:
2. ST < K:atunci se realizeaz¼a vânzarea (si nu se realizeaz¼a cump¼ararea), sise va obtine un acelasi pro�t ca mai sus.
Deci, în cele dou¼a cazuri se obtine, la data de scadent¼a T , un pro�t pozitivf¼ar¼a nici o depunere de capital la momentul t:acesta este un exemplu de arbitraj.
0.3.3 Piete viabile si complete
O piat¼a se numeste viabil¼a dac¼a nu are oportunit¼ati de arbitraj.O piat¼a se numeste complet¼a dac¼a orice activ conditionat la momentul T
(adic¼a orice functie de fSt : 0 � t � Tg, în particular ST ; sau (ST �K)+,sau(K�ST )+,etc) este simulabil, adic¼a exist¼a o strategie admisibil¼a a c¼arei valoarela momentul T este egal¼a cu (ST �K)+ (respectiv (K � ST )+ ).
Notiunea de strategie admisibil¼a va �precizat¼a in cadrul celor dou¼a modele(discret si continuu).
Pretul exact al call -ului sau put-ului european va � valoarea initial¼a astrategiei admisibile valorii �nale (ST �K)+ (respectiv (K � ST )
+ ). O astfelde valoare realizeaz¼a acoperirea de risc a optiunii.
Optiuni europene înmodelul discret
0.4 Modelul Cox-Ross-Rubinstein
Se consider¼a un model în timp discret cu un singur activ cu risc, al c¼aruicurs la momentul t îl vom nota cu St; t = 0; 1; 2::::; T si cu un singur activ f¼ar¼arisc, al c¼arui curs la momentul t îl vom nota cu Rt; unde T reprezint¼a datascadentei optiunii.
Presupunem c¼a exist¼a r > 0 astfel încât
Rt+1 = Rt(1 + r);
si, pentru simpli�care,dac¼a lu¼am R0 = 1, atunci obtinem
Rt = (1 + r)t; t 2 0; T :
Presupunem c¼a S0 (cursul actiunii,activului la momentul initial) este con-stant, si c¼a exist¼a succesiunea de variabile aleatoare independente în ansamblusi identic repartizate �t, 1 � t � T; care ia valori în multimea fa; bg; 0 < a < b,astfel încât :
St+1 = St�t+1; t 2 0; T � 1:Câmpul nostru de probabilitate este (;F ;P),cu = fa; bgT , F = P();
iar probabilitatea P este astfel încât sub P variabilele aleatoare �t; 1 � t � T;sunt independente si identic repartizate si P(�1 = a) > 0, P(�1 = b) > 0:
De�nim pretul actualizat la momentul t al activului cu risc astfel:
~St =StRt; t 2 0; T
0.5 Strategii admisibile
O strategie de gestiune este o succesiune de variabile aleatoare f(Xt; Yt),t 2 0; Tg cu valori în R2; astfel încât, dac¼a
F�1 = F0def= f;;g
9
10 OPTIUNI EUROPENE ÎN MODELUL DISCRET
Ftdef= �f�1; �2; � � � ; �tg; t � 1;
perechea (Xt; Yt) este Ft�1�m¼asurabil¼a, pentru toti 0 � t � T: Se zice c¼aperechea f(Xt; Yt)g este previzibil¼a.
Valoarea portofoliului la momentul t este dat¼a de relatia:
Vt(X;Y ) = XtRt + YtSt
si valoarea sa actualizat¼a reprezint¼a cantitatea
~Vt(X;Y ) =Vt(X;Y )
Rt= Xt + Yt ~St:
Spunem c¼a strategia este de auto�nantare dac¼a
XtRt + YtSt = Xt+1Rt + Yt+1St;
sau, sub o form¼a echivalent¼a
Vt+1(X;Y )� Vt(X;Y ) = Xt+1(Rt+1 �Rt) + Yt+1(St+1 � St)
sau înc¼aXt + Yt ~St = Xt+1 + Yt+1 ~St;
adic¼a~Vt+1(X;Y )� ~Vt(X;Y ) = Yt+1( ~St+1 � ~St)
In cele ce urmeaz¼a, vom nota
�St = St � St�1;�~St = ~St � ~St�1:
Propozitia 21 Urm¼atoarele conditii sunt echivalente:
(i) Strategia f(Xt; Yt); t 2 0; Tg este de auto�nantare.
(ii) Pentru toti t 2 0; T :
Vt(X;Y ) = V0(X;Y ) +tX
s=1
(Xs�Rs + Ys�Ss) :
(iii) Pentru toti t 2 0; T
~Vt(X;Y ) = ~V0(X;Y ) +tX
s=1
Ys�~Ss:
Propozitia 22 Pentru toate procesele previzibile fYt; t 2 0; Tg si toate valo-rile initiale V0 (deterministe) ale portofoliului, exist¼a un unic proces previzibilfXt; t 2 0; Tg astfel încât strategia f(Xt; Yt); t 2 0; Tg s¼a �e de auto�nantare sis¼a corespund¼a unui portofoliu cu valoare initial¼a V0:
0.6. VIABILITATE SI COMPLETITUDINE 11
Demonstratie. Conditia de auto�nantare impune ca, pentru toti t 2 0; T ;
~Vt(X;Y ) = Xt + Yt ~St = ~V0 +tX
s=1
Ys�s ~S
Previzibilitatea este usor de veri�cat.
De�nitia 23 O strategie (X;Y ) se numeste admisibil¼a dac¼a este de auto�-nantare si are loc Vt(X;Y ) � 0;8t 2 0; T .
De�nitia 24 O strategie de arbitraj este o strategie admisibil¼a (X;Y ) astfelîncât V0(X;Y ) = 0 si VT (X;Y ) 6= 0, sau echivalent V0(X;Y ) = 0 si ~Vt(X;Y ) 6=0.
Propozitia 25 Fie fVt; 0 � t � Tg o martingal¼a, iar fXt; 0 � t � Tg o succe-siune previzibil¼a. Atunci succesiunea fV (X)t; 0 � t � Tg de�nit¼a astfel.
V (X)0 = X0V0
V (X)t = X0V0 +X1�s�t
Xt�Vs
este o martingal¼a.
0.6 Viabilitate si completitudine
Teorema 26 Piata de�nit¼a anterior este viabil¼a (nu exist¼a strategie de arbitraj)dac¼a si numai dac¼a a < 1 + r < b.
Demonstratie. Nu este di�cil de demonstrat c¼a, dac¼a 1 + r =2 (a; b), exist¼a ostrategie de arbitraj.Reciproc, dac¼a a < 1+ r < b, probabilitatea P�( numit¼a si probabilitatea
cu risc neutru) pe câmpul (;F) astfel încât, sub P�, variabilele aleatoare �tsunt independente în ansamblu si identic repartizate astfel încât
E�(�t) = 1 + r
este echivalent¼a cu P (deoarece P�(�1 = a) > 0 si P�(�1 = b) > 0). Mai mult,sub P�, feStg este o martingal¼a, deci conform propozitiei de mai sus, ~V (X;Y )este o martingal¼a pentru toate strategiile (X;Y ). Deci si
V0(X;Y ) = 0; E� ~Vt(X;Y ) = 0:
Conditia de admisibilitate impune ca ~Vt(X;Y ) � 0, deci ~Vt(X;Y )=0. Not¼amc = 1 + r: Se veri�c¼a c¼a:
P�(�1 = a) =b� cb� a; P�(�1 = b) =
c� ab� a :
12 OPTIUNI EUROPENE ÎN MODELUL DISCRET
Teorema 27 Dac¼a a < 1 + r < b, piata de�nit¼a mai sus este complet¼a, adic¼apentru toate variabilele aleatoare Ft m¼asurabile, 9 H � 0, exist¼a o strategieadmisibil¼a (X;Y ), astfel încât VT (X;Y ) = H. In alte cuvinte, pentru oricet 2 0; T ,
Vt(X;Y ) =RtRT
E�(HjFt):
Demonstratie. Dac¼a exist¼a o strategie admisibil¼a astfel încât VT (X;Y ) = H,atunci conform Propozitiei 21( punctul (iii)), pentru toti t 2 0; T ,
H
RT= ~Vt(X;Y ) +
TXs=t+1
Ys�~Ss:
Deci, sub P�,n~Vt(X;Y ) ; t 2 0; T
oeste o martingal¼a, adic¼a
~Vt(X;Y ) = E�(H
RTjFt)
sau
Vt(X;Y ) =RtRT
E�(HjFt):
In particular dac¼a H � 0, atunci Vt(X;Y ) � 0, deci dac¼a exist¼a o strategiede auto�nantare care genereaz¼a succesiunea
�Vt(X;Y ) ; t 2 0; T
de mai sus,
ea este admisibil¼a. Având în vedere Propozitia 22, r¼amâne s¼a demonstr¼am c¼aexist¼a o succesiune previzibil¼a
�Yt; t 2 0; T
astfel încât:
TXs=1
Ys�~Ss =H
RT� E�( H
RT):
Succesiunea�Yt; t 2 1; T
se caracterizeaz¼a prin:
Yt eSt�1(�tc� 1) = E�( ~HjFt)� E�( ~HjFt�1);
unde ~H :=H
RT, sau
Yt =c(E�( ~HjFt)� E�( ~HjFt�1))eSt�1(�t � c) :
Mai r¼amâne s¼a demonstr¼am c¼a Yt este Ft�1 m¼asurabil¼a (adic¼a nu depinde de�t).
Not¼am �t�1 = (�1; �2; : : : ; �t�1). Atunci variabila aleatoareE�( ~HjFt)eSt�1 este o
functie de dou¼a variabile (�t�1; �t).
0.7. PRETUL DE VÂNZARE SI DE CUMP¼ARARE 13
Not¼am
gt(�t�1; �t) := c
E�( ~HjFt)eSt�1 :
Atunci avem
Yt =gt(�
t�1; �t)� E�(gt(�t�1; �t)jFt�1)�t � c
:
Notând
E�(gt(�t�1; �t)jFt�1) = gt(�t�1; a)
b� cb� a � gt(�
t�1; b)c� ab� a ;
obtinem
Yt =(gt(�
t�1; �t)� gt(�t�1; a))b� cb� a + (gt(�
t�1; �t)� gt(�t�1; b))c� ab� a
�t � c:
Ramâne de remarcat c¼a în cele dou¼a cazuri, �t = a, �t = b, se obtine:
Yt =gt(�
t�1; b)� gt(�t�1; a)b� a :
Observatia 28 Ultima formul¼a d¼a fractiunea din pro�t care poate � investit¼aîn activul cu risc în momentul t, pentru a obtine o strategie de conversie.Observând forma particular¼a a membrului drept, ea poate � asem¼anat¼a cu oderivat¼a.
0.7 Pretul de vânzare si de cump¼arare
In continuare, vom preciza formula pentru Vt(X;Y ) (valoarea portofoliuluila momentul t) în cele dou¼a cazuri:de vânzare si de cump¼arare. Not¼am
p =b� cb� a = P
�(�1 = a);
deci,1� p = P�(�1 = b):
In cazul optiunii de vânzare europene,
Vt(X;Y ) = c�(T�t)E�[(StTY
s=t+1
�s �K)+jFt)]:
Ins¼a, pentru toti 0 � k � T � t;
P�(TY
s=t+1
�s = akbT�t�k) =(T � t)!
k!(T � t� k)!pk(1� p)T�t�k:
14 OPTIUNI EUROPENE ÎN MODELUL DISCRET
Deci,
Vt(X;Y ) = c�(T�t)T�tXk=0
(T � t)!k!(T � t� k)!p
k(1� p)T�t�k(Stk �K)+ ;
si în cazul optiunii de cump¼arare european¼a,
Vt(X;Y ) = c�(T�t)T�tXk=0
(T � t)!k!(T � t� k)!p
k(1� p)T�t�k(K � Stk)+:
0.8 Formula lui Black-Scholes
In cele ce urmeaz¼a vom stabili formulele modelului continuu, ce vor �folosite în sectiunea urm¼atoare (cunoscute sub numele de formulele lui BlackScholes), si care se obtin prin trecerea la limit¼a în modelul discret.Presupunem c¼a T este un num¼ar real, pozitiv, arbitrar, t ia valorile
0;1
N; : : : ;
[NT ]
N;
si
St = S0
[NT ]Yk=1
�Nk ;~St = S0 exp(
[NT ]Xk=1
�Nk );
cu�Nk = log �Nk �
r
N:
Presupunem c¼a �Nk ia valori din multimea���pN;�pN
�. Acest lucru semni�c¼a,
în baza notatiilor de mai sus, c¼a (indicii superiori N nu sunt exponenti! ) :
cN = exp(r
N); aN = exp(
r
N� �p
N), bN = exp(
r
N+
�pN).
Formula pentru pretul de cump¼arare (respectiv de vânzare) devine deci, dac¼a
ZNt :=
[Nt]Xk=1
�Nk :
E�h�S0 exp(Z
NT )�Ke�rT
�+
i(respectiv
E�h�Ke�rT � S0 exp(ZNT )
�+
i):
R¼amâne s¼a g¼asim limita lui ZNT când N !1 sub P� (convergenta în lege). Areloc :
0.8. FORMULA LUI BLACK-SCHOLES 15
Teorema 29 Dac¼a ZNt :=
[Nt]Xk=1
�Nk si pentru �ecare N variabilele aleatoare��Nk ; k � 0
sunt independente în ansamblu, identic repartizate si iau valori din multimea���pN;�pN
�, cu E�Nk = �N si N�N ! � când N ! 1, atunci sub P, când
N !1; are locZNt ! �t+ �Bt; t � 0:
Demonstratie. Se stie c¼a, dac¼a o variabil¼a aleatoare real¼a X admite un mo-ment de ordin 3, pentru toti r 2 R,
E(exp(irX)) = 1 + irE(X)� r2
2E(X2)� i r
3
6(E(X3) + �(X; r));
cu j�(X; r)j � 3E(jXj3). Deci,
E(exp(ir�Nk )) = 1 + ir�N �r2�2
2N+O(N�3=2);
si, prin urmare
E(exp(irZNt )) = (1 + ir�N �r2�2
2N+O(N�3=2))[Nt] ! exp(ir�t� r2�2
2t);
când N !1.Pentru a putea aplica aceast¼a teorem¼a, r¼amâne s¼a calcul¼am media vari-
abilelor aleatoare �Nk sub P�. Are loc identitatea:
E� exp(�Nk ) = 1;
sau, notând pa := P�(�Nk =��pN),
exp(��pN)pa + exp(
�pN)pb = 1;
de unde rezult¼a c¼a
pa =e
�pN � 1
e�pN � e
��pN
; pb =1� e
��pN
e�pN � e
��pN
si
E��Nk = � �2
2N+O( 1
N):
Rezult¼a atunci, conform teoremei de mai sus c¼a sub P�,
ZNtN!1�! ��
2
2t+ �Bt
16 OPTIUNI EUROPENE ÎN MODELUL DISCRET
Se poate deduce formula limit¼a pentru pretul de cump¼arare (call) al optiunii
C0 = (2�)� 12
Z +1
�1(S0e
��2T2 +�
pTy �Ke�rT )+e�
y2
2 dy
si pentru cel de vânzare
P0 = (2�)� 12
Z +1
�1(Ke�rT � S0e�
�2T2 +�
pTy)+e
� y2
2 dy:
Aceste formule se rescriu ca functii de functia de repartitie F a legii normaleastfel:
C0 = S0F (d1)�Ke�rTF (d2)P0 = Ke�rTF (�d2)� S0F (�d1)
cu
d1 =1
�pTlog(
S0K) +
rpT
�+�pT
2
d2 =1
�pTlog(
S0K) +
rpT
�� �
pT
2:
Se observ¼a c¼a aici se regaseste paritatea vânzare-cump¼arare (call-put), remar-când c¼a F (di) + F (�di) = 1; i = 1; 2:
Optiuni europene înmodelul continuu
In cele ce urmeaz¼a, consider¼am c¼a St 2 R+ (cursul actiunii la momentul t)variaz¼a continuu în raport cu timpul t 2 R+.
0.9 Introducere în calcul stochastic
Toate variabilele aleatoare si procesele stochastice ce intervin vor �de�nitepe câmpul de probabilitate (;F ;P) :
Dintre modelele stochastice continue ne vom ocupa de modelul lui Black-Scholes care stipuleaz¼a c¼a
St = S0 exp(�t+ �Bt)
unde �; � 2 R (� se numeste volatilitate ) iar fBt; t � 0g este o miscare Brow-nian¼a.
0.9.1 Miscare Brownian¼a
Modelele discrete reprezint¼a doar o aproximare in�del¼a a modului în carese lucreaz¼a în realitate cu pietele. Un model mai e�cient ar � unul în carepreturile de stocare se pot modi�ca în orice moment. In 1900, Bachelier, înlucrarea sa "Teoria speculatiei", a propus miscarea Brownian¼a ca un model de�uctuatie a preturilor de stocare. Este remarcabil c¼a o portiune larg¼a a teoriei�nantelor moderne utilizeaz¼a misarea Brownian¼a geometric¼a ca model de baz¼aîn modi�carea preturilor de stocare. Importanta misc¼arii Browniene în teoriamodern¼a a probabilit¼atilor este foarte mare.
De�nitia 30 Un proces stochastic continuu fBt; t � 0g se numeste miscareBrownian¼a (sau proces Wiener) dac¼a:
1. B0 = 0:
2. Procesul are cresteri independente, adic¼a pentru �ecare n � 1, si 0 � t0 �t1 � � � � � tn variabilele aleatoare Btn �Btn�1 sunt independente.
17
18 OPTIUNI EUROPENE ÎN MODELUL CONTINUU
3. Bt � Bs � N(0; t� s), pentru orice 0 � s < t:(adic¼a variabilele aleatoareBt �Bs urmeaz¼a o repartitie normal¼a de medie 0 si dispersie t� s).
Se deduce c¼a procesul flog(StS0) , t � 0g are cresteri independente (adic¼a
posed¼a proprietatea 2 din de�nitia de mai sus) si c¼a pentru 0 � s < t variabilele
aleatoare logStS0
urmeaz¼a o repartitie normal¼a N(�(t � s); �2(t � s)): Procesul
fStg se numeste miscare Brownian¼a geometric¼a.O proprietate fundamental¼a a misc¼arii Browniene este dat¼a de propozitia:
Propozitia 31 (Variatia p¼atratic¼a a misc¼arii Browniene) Fie t > 0 si 0 = tn0 <tn1 < � � � < tnn = t o subdiviziune a intervalului [0; T ], astfel încât
�ndef= sup
k21;n(tnk � tnk�1)! 0;
când n!1. AtuncinXk=1
(Btnk �Btnk�1)2 ����!n!1
t;
în medie p¼atratic¼a:
Demonstratie. Deoarece
E[nXk=1
(Btnk �Btnk�1)2 � t] = 0
atunci
E
�����nXk=1
(Btnk �Btnk�1)2 � t
�����2
= V ar
nXk=1
(Btnk �Btnk�1)2
!
=nXk=1
V ar[(Btnk �Btnk�1)2]
= 2nXk=1
�tnk � tnk�1
�2� 2t �n ! 0
când n!1:
0.9.2 Integrale stochastice
In continuare, vom de�ni o integral¼a de tipulZ t
0
'sdBs; t � 0
0.9. INTRODUCERE ÎN CALCUL STOCHASTIC 19
(care nu se poate scrie sub formaR t0''sdBsds
ds pentru c¼a derivatadBsds
nu
exist¼a). Consider¼am cazul unei functii ff(s); s � 0g, deterministe, astfel încâtZ T
0
f2(s)ds < +1:
Atunci se de�neste integrala Wiener (sau integrala stochastic¼a)Z t
0
f(s)dBs; pentru 0 � t � T:
Presupunem, pentru început, c¼a f este o functie în scar¼a, adic¼a poate � scris¼asub forma
f(s) = f01[t0;t1] +n�1Xk=1
fk1(tk;tk+1];
cu 0 � t0 < t1 < � � � < tn � T . Atunci o de�nitie natural¼a a integralei Wienerva � Z t
0
f(s)dBs =n�1Xk=1
fk(Bt^tk+1 �Bt^tk):
Observ¼am c¼aR t0f(s)dBs este o variabil¼a aleatoare si are urm¼atoarele propriet¼ati,
care se deduc din propriet¼atile misc¼arii Browniene:
Lema 32 (Propriet¼ati ale integralei Wiener)
(i) E(R t0f(s)dBs) = 0:
(ii) E[(R t0f(s)dBs)
2] =R t0f2(s)ds:
Demonstratie. (i) Se foloseste punctul 3 din de�nitia misc¼arii Browniene:
E(Z t
0
f(s)dBs) = E[n�1Xk=1
fk(Bt^tk+1 �Bt^tk)]
=n�1Xk=1
fkE(Bt^tk+1 �Bt^tk) = 0:
(ii)Se bazeaz¼a pe o proprietate a misc¼arii Browniene (Propozitia 31 ):
E[(Z t
0
f(s)dBs)2] = Ej
n�1Xk=1
fk(Bt^tk+1 �Bt^tk)j2
=n�1Xk=1
f2k (t ^ tk+1 � t ^ tk)
=
Z t
0
f2(s)ds:
20 OPTIUNI EUROPENE ÎN MODELUL CONTINUU
A doua proprietate a integralei Wiener,
E[(Z t
0
f(s)dBs)2] =
Z t
0
f2(s)ds;
reprezint¼a formula de izometrie si permite extinderea integralei stochas-tice(Wiener) de la clasa functiilor în scar¼a la clasa tuturor functiilor de p¼atratintegrabil. Se veri�c¼a cu usurint¼a c¼a procesul
fZ T
0
f(s)dBs; 0 � t � Tg
este un proces gaussian, cu cresteri independente, cu media egal¼a cu zero si careveri�c¼a relatia:
E[(Z t
0
f(s)dBs)2] =
Z t
0
f2(s)ds; 0 � t � T:
0.9.3 Integrala Itô
Pentru a putea indica constructia integralei Itô, trebuie s¼a introducem noti-unea de �ltrare a unei misc¼ari Browniene. Fie B(�) o miscare Brownian¼a de�nit¼ape câmpul de probabilitate (;F ;P) :
De�nitia 33 (i) �-algebra
B(t) := FB(t) = �fB(s)j0 � s � tg
se numeste trecutul (sau istoria) misc¼arii Browniene pân¼a în momentult (si incluzând t).
(ii) �-algebraB+(t) := �fB(s)�B(t)js � tg
se numeste viitorul misc¼arii Browniene începând cu momentul t.
De�nitia 34 O famile Ft de �-sub-algebre � F se numeste non-anticipativ¼a(se mai foloseste si notiunea de �ltrare), în raport cu miscarea Brownian¼a B(�),dac¼a:
(i) Ft � Fs, pentru toti t � s � 0:
(ii) Ft � B(t), pentru toti t � 0:
(iii) Ft este independent¼a de B+(t), pentru toti t � 0:
Putem interpreta Ft ca continând toate informatiile disponibile, pân¼a înmomentul t:
FieX : �[0;1)! R un proces stochastic (adic¼aXt (!)def= X (!; t) : !
R este (F ;B1)�m¼asurabil¼a). Pentru ! 2 �xat, t 7�! Xt (!) : [0;1) ! R,se numeste traiectorie a procesului stochastic.
0.9. INTRODUCERE ÎN CALCUL STOCHASTIC 21
De�nitia 35 Un proces stochastic real X(�) se numeste non-anticipativ ( înraport cu Ft) dac¼a pentru �ecare t � 0; Xt este Ft-m¼asurabil¼a.
De�nitia 36 X este proces stochastic (Ft)�progresiv m¼asurabil dac¼a
(!; s) 7�! X (!; s) : � [0; t]! R este�Ft B[0;t];B1
��m¼asurabil¼a, 8t � 0
Se noteaz¼a cu L0pm (;C [0; T ]) spatiul proceselor stochastice progresiv m¼asura-bile si continue .
De�nim, mai întâi, integrala Itô pentru procese stochastice în scar¼a Ft�progresivm¼asurabile adic¼a de forma
Xt = X01[t0;t1] (t) +n�1Xk=1
Xk1(tk;tk+1] (t) ;
cu 0 � t0 < t1 < � � � < tn � T .De�nim integrala stochastic¼a Itô
It (X) =
Z t
0
XsdBsdef=
n�1Xk=0
Xk
�Btk+1^t �Btk^t
�;
Se demonstreaz¼a c¼a
E
"1 ^ sup
t2[0;T ]
����Z t
0
XsdBs
����#� 3
"E
1 ^
Z T
0
jXsj2 ds!#1=3
si în consecint¼a integrala se extinde prin continuitate (în raport cu convergentaîn probabilitate) la un operator liniar continuu
I : L0pm�;L2 (0; T )
�! L0pm (;C [0; T ])
In plus pentru procese stochastice Ft�progresiv m¼asurabile continue X :� [0; T ]! R si 0 = t0 < t1 < : : : < tn = t astfel încât
�ndef= max
�tk+1 � tk : k = 0; n� 1
! 0; pentru n!1:
are loc
IT (X) =
Z t
0
XsdB = limn!1
n�1Xk=0
Xtk
�Btk+1 �Btk
�;
unde limita este în sensul convergentei în probabilitate; dac¼aX 2 L2pm (;C [0; T ])atunci convergenta este in L2 (;F ;P;R)
Lema 37 (Propriet¼ati ale integralei stochastice Itô) Integrala Itô veri�c¼a:
(i) EZ T
0
jXsj ds <1 ) E(Z T
0
XsdBs) = 0;
22 OPTIUNI EUROPENE ÎN MODELUL CONTINUU
(ii) EZ T
0
jXsj2 ds < 1 ) E
�����Z T
0
XsdBs
�����2
= EZ T
0
jXsj2 ds. (Formula de
izometrie)
In plus, procesul fR t0XsdBs; 0 � t � Tg este o martingal¼a, deoarece dac¼a
0 < s < t, atunci
E[Z t
0
XrdBrjFs] =Z s
0
XrdBr:
0.9.4 Formula Itô
De�nitia 38 Numim proces Itô un proces stochastic X de forma :
Xt = X0 +
Z t
0
Fsds+
Z t
0
GsdBs; 8t � 0; a:s:;
unde F; G : � [0;1)! R sunt procese stochastice progresiv m¼asurabile astfelîncât Z T
0
jFsjds+Z T
0
jGsj2ds <1; P�a:s::
In acest caz diferentiala stochastic¼a a procesului X
dXtdef= Ftdt+GtdBt; 0 � t � T: (1)
Scrierea de mai sus este formal¼a deoarece t ! Bt nu este diferentiabil¼a.Forma (1) trebuie inteleas¼a în sensul
Xt �Xs =
Z t
s
Frdr +
Z t
s
GrdBr; 8 0 � s � t; a:s::
Teorema 39 (Formula Itô).Presupunem c¼a X(�) are diferentiala stochastic¼a
dXt = Ftdt+GtdBt ;
' 2 C1;2 (R+ � R) (adic¼a ' este o functie continu¼a si@'
@t;@'
@x;@2'
@x2exist¼a si
sunt continue) atunci
d' (t;Xt) =
�'0t (t;Xt) + '
0x (t;Xt)Ft +
1
2'00xx (t;Xt)G
2t
�dt+'0x (t;Xt)GtdBt ;
adic¼a
' (t;Xt) = ' (0; X0) +
Z t
0
�@' (s;Xs)
@t+ Fs
@' (s;Xs)
@x+1
2G2s
@2' (s;Xs)
@x2
�ds
+
Z t
0
@' (s;Xs)
@xGsdBs; P� a:s::
0.9. INTRODUCERE ÎN CALCUL STOCHASTIC 23
Observatia 40 Dac¼a folosim un calcul liniar simbolic intuitiv bazat pe
dtdt = 0; dtdBt = 0 si dBtdBt = dt;
atunci formula Itô poate � rescris¼a formal astfel
d' (t;Xt) = '0t (t;Xt) dt+ '0x (t;Xt) dXt +
1
2'00xx (t;Xt) (dXt)
2:
Demonstratie pentru formula Itô (schit¼a)Fie 0 = t0 < t1 < : : : < tn = T si
�ndef= max
�tk+1 � tk : k = 1; n
! 0; pentru n!1:
Atunci
' (T;XT )� ' (0; X0) =n�1Xk=0
�'�tk+1; jjXtk+1
�� ' (tk; Xtk)
�=
n�1Xk=0
�'�tk+1; Xtk+1
�� '
�tk; Xtk+1
��+
nXk=1
�'�tk; Xtk+1
�� ' (tk; Xtk)
�=
n�1Xk=0
'0t��k; Xtk+1
�(tk+1 � tk) +
nXk=1
'0x (tk; Xtk)�Xtk+1 �Xtk
�+1
2
n�1Xk=0
'00xx (tk; X�k)�Xtk+1 �Xtk
�2si formula Itô rezult¼a prin trecere la limit¼a pentru n!1:
Corolarul 41 Dac¼a ' 2 C1;2�R+ � Rk;C
�atunci
' (t; Bt) = ' (0; 0) +
Z t
0
�'0t (s;Bs) +
1
2'00xx (s;Bs)
�ds
+
Z t
0
'0x (s;Bs) dBs; P� a:s::
Ecuatii diferentiale stochastice
Fie F;G : [0; T ]� R! R dou¼a functii astfel încât
(i) t! F (t; u) si t! G(t; u) sunt masurabile, 8u 2 R;
(ii) sup0�t�T;
(jF (t; 0)j+ jG(t; 0)j) <1
si exist¼a K astfel încât 8z; y 2 R; t 2 [0; T ] are loc conditia Lipschitz:
(iii) jF (t; z)� F (t; y)j+ jG(t; z)�G(t; y)j � Kjz � yj:
Atunci are loc:
24 OPTIUNI EUROPENE ÎN MODELUL CONTINUU
Teorema 42 In ipotezele (i) ; (ii) si (iii) si x 2 R, ecuatia diferential¼a sto-chastic¼a
Xt = x+
Z t
0
F (s;Xs)ds+
Z t
0
G(s;Xs)dBs; 0 � t � T (2)
admite o singur¼a solutie X 2 L2pm (;C [0; T ]) :Demonstratie. Not¼am cu � aplicatia � : L2pm (;C [0; T ])! L2pm (;C [0; T ])de�nit¼a astfel
�(X)t = x+
Z t
0
F (s;Xs)ds+
Z t
0
G(s;Xs)dBs; 0 � t � T:
Deci o solutie a ecuatiei diferentiale stochastice (1) este un punct �x al functiei�. Si pentru ca functia � s¼a admit¼a un singur punct �x, este su�cient s¼a �eo contractie pentru o norm¼a bine aleas¼a în L2pm (;C [0; T ]). Aplic¼am formulaItô procesului Itô �(X)t � �(Y )t si functiei '(t; x) = e��tjxj2 (� > 0). Atunciobtinem
� e��T j�(X)T � �(Y )T j2 + �Z T
0
e��tj�(X)t � �(Y )tj2dt
= 2
Z T
0
e��t(�(X)t � �(Y )t)[F (t;Xt)� F (t; Yt)]dt (3)
+ 2
Z T
0
e��t(�(X)t � �(Y )t)[G(t;Xt)�G(t; Yt)]dBt
+
Z T
0
e��tjG(t;Xt)�G(t; Yt)j2dt:
Aplicând media egalit¼atii 3 si utilizând conditia Lipschitz rezult¼a
� e��TEj�(X)T � �(Y )T j2 + �EZ T
0
e��tj�(X)t � �(Y )tj2dt
= EZ T
0
e��t[2(�(X)t � �(Y )t)(F (t;Xt)� F (t; Yt)) + jG(t;Xt)�G(t; Yt)j2]dt
� EZ T
0
e��t[2Kj�(X)T � �(Y )T j � jXt � Ytj+K2jXt � Ytj2]dt:
Folosind inegalitatea lui Cauchy-Schwarz obtinem
2KER T0e��tj�(X)T � �(Y )T j � jXt � Ytjdt
� ER T0e��tj�(X)t � �(Y )tj2dt+K2E
R T0e��tjXt � Ytj2]dt:
Deci,
(�� 1)EZ T
0
e��tj�(X)T � �(Y )T j2dt � 2K2EZ T
0
e��tjXT � YT j2dt:
0.10. MODELUL BLACK-SCHOLES 25
Alegem � = 2K2 + 2 si rezult¼a
EZ T
0
e�(2K2+2)tj�(X)T � �(Y )T j2dt �
2K2
2K2 + 1EZ T
0
e�(2K2+2)tjXt � Ytj2]dt:
Deci, functia � este o contractie, si prin urmare, admite un singur punct �x.
0.10 Modelul Black-Scholes
0.10.1 Rezolvarea problemei pricing-ului si acoperiirii riscu-lui unei optiuni europene.
In continuare, vom prezenta un prim mod de rezolvare a problemei "pricing-ului"(de �xare a preturilor) si de conversie a unei optiuni europene, demonstrândcum putem transforma problema noastr¼a într-o ecuatie cu derivate partiale.Fie
St = S0 exp(�t+ �Bt)
cursul actiunii la momentul t, unde �; � 2 R (� se numeste volatilitate ) iarfBt; t � 0g este o miscare Brownian¼a.Din formula Itô
dSt = (�+�2
2)St dt+ �StdBt:
In cazul optiunii europene, consider¼am H = h(ST ) ca �ind câstigul detin¼a-torului optiunii în momentul T . Vom lua în considerare cele dou¼a cazuri :cândh(x) = (x �K)+ (ceea ce reprezint¼a câstigul cump¼ar¼atorului optiunii în cazuloptiunii de cump¼arare) si când h(x) = (K � x)+ (ceea ce reprezint¼a câstigulvânz¼atorului optiunii în cazul optiunii de vânzare), K reprezentând pretul deexercitiu. Fie Pt pretul optiunii în momentul t; 0 � t � T . Cu sigurant¼a areloc:PT = h(ST ). Presupunem c¼a exist¼a o functie
u : [0; T ]� R+ ! R+
astfel încât putem de�ni procesul
Pt = u(t; St)
= u(t; S0 exp(�t+ �Bt)):
Acesta este aleator deoarece pretul de stocare St, este aleator. Ceea ce neintereseaz¼a în continuare este u (0; S0).Presupunem c¼a u 2 C1;2((0; T ) � R+). Aplicând formula Itô din Teorema
39 obtinem:
dPt =
�@u
@t(t; St) +
@u
@x(t; St) (�+
�2
2 )St +1
2
@2u
@x2(t; St)�
2S2t
�dt
+@u
@x(t; St)�StdBt
26 OPTIUNI EUROPENE ÎN MODELUL CONTINUU
Absenta oportunit¼atii de arbitraj impune existenta unei strategii admisibilef(Xt; Yt) : t 2 [0; T ]g astfel încât capitalul asociat la momentul �nal s¼a �e
VT (X;Y ) = h (ST ) si Vt(X;Y ) = Pt pentru orice t 2 [0; T ] :
Pe de alt¼a parte avemVt(X;Y ) = XtRt + YtSt;
si conditia de auto�nantare va �
dVt(X;Y ) = Xt dRt + Yt dSt:
Ins¼adRt = rRtdt,
unde constanta r > 0 reprezint¼a rata dobânzii. Conditia de auto�nantare devine
dPt = dVt(X;Y )
= Xt dRt + Yt dSt
= r XtRtdt+ Yt
�(�+
�2
2)St dt+ �St dBt
�=
�r XtRt + (�+
�2
2)YtSt
�dt+ �YtSt dBt:
Identi�când coe�cientii obtinem8><>: r XtRt + (�+�2
2)YtSt =
@u
@t(t; St) +
@u
@x(t; St) (�+
�2
2)St +
1
2
@2u
@x2(t; St)�
2S2t
�YtSt =@u
@x(t; St)�St
de unde rezult¼a
Yt =@u
@x(t; St)
r XtRt =@u
@t(t; St) +
1
2
@2u
@x2(t; St)�
2S2t
Asadar
r u (t; St) = r Pt
= r Vt(X;Y )
= r XtRt + r YtSt
=
�@u
@t(t; St) +
1
2
@2u
@x2(t; St)�
2S2t
�+ r
@u
@x(t; St)St
sau înc¼a
0.10. MODELUL BLACK-SCHOLES 278<: @u
@t(t; St) + r
@u
@x(t; St)St +
1
2
@2u
@x2(t; St)�
2S2t = r u (t; St)
u (T; ST ) = h (ST )(4)
În �nal deducem c¼a u (t; St) veri�c¼a (4) P � a:s: ! 2 dac¼a si numai dac¼au (t; x) este solutie a EDP de tip parabolic8><>:
@u
@t(t; x) + rx
@u
@x(t; x) +
�2x2
2
@2u
@x2(t; x) = r u (t; x) ; 0 � t < T; x > 0
u (t; 0) = 0; 0 � t < Tu (T; x) = h (x) ; x > 0
(5)Reamintim c¼a u (0; S0) este pretul care ne interesa.
0.10.2 Generalizarea modelului Black-Scholes
In cazul optiunii de cump¼arare (call option) se remarc¼a c¼a h(x) � 0 si neastept¼am ca
@u
@x(t; x) � 0:dac¼a câstigul detin¼atorului optiunii creste, si pretul
optiunii creste, deci ne astept¼am ca Yt � 0. Observ¼am c¼a aceste inegalit¼ati seinverseaz¼a în cazul optiunii de vânzare(put option).
Ceea ce nu stim este dac¼a variabila Xt, în cadrul activului cu risc, ia valoripozitive sau negative (adic¼a actioneaz¼a ca un depozit sau ca un împrumut) siipoteza c¼a rata dobânzii (r) în cele dou¼a cazuri (Xt > 0 sau Xt < 0) ar �aceeasi,este nerealist¼a. Presupunem atunci c¼a depozitul (cazul Xt > 0) bene�ciaz¼a deo rat¼a a dobânzii r+, iar împrumutul (cazul Xt < 0) bene�ciaz¼a de o rat¼a adobânzii r�. Considerând
R+t = er+t; R�t = er
�t;
X+t = max(0; Xt); X
�t = max(0;�Xt);
se obtine, în cadrul unei strategii de auto�nantare,
dVt = (X+t r
+R+t �X�t r
�R�t )dt+ YtdSt: (6)
Dac¼a relu¼am calculul din sectiunea anterioar¼a, în cazul în care conditia de aut-o�nantare este (6), vom obtine din nou
Yt =@u
@x(t; St)
si
X+t R
+t = (u(t; St)� St
@u
@x(t; St))+
X�t R
�t = (u(t; St)� St
@u
@x(t; St))�
28 OPTIUNI EUROPENE ÎN MODELUL CONTINUU
de unde rezult¼a ecuatia cu derivate partiale neliniar¼a8><>:@u
@t(t; x) +
�2x2
2
@2u
@x2(t; x) = r+(u(t; x)� x@u
@x(t; x))+ � r�(u(t; x)� x@u
@x(t; x))�
u (t; 0) = 0; 0 � t < Tu (T; x) = h (x) ; x > 0
(7)
0.10.3 Alt¼a variant¼a a formulei Black-Scholes
In continuare, vom aborda într-o modalitate mai general¼a modelul Black-Scholes. Fiind dat¼a o optiune care aduce detin¼atorului acesteia un câstig H(� 0) în momentul T (data scadentei) ne intereseaz¼a care este pretul just alacestei optiuni. Presupunem c¼a variabila aleatoare H este FT -m¼asurabil¼a,unde
Ft = �fBs; 0 � s � tg = �fSs; 0 � s � tg:
Un exemplu particular este cazul
H = h(ST )
valabil pentru call-ul si put-ul european, îns¼a în cazul altor tipuri de optiuni,variabila aleatoare H nu mai are aceast¼a form¼a particular¼a.
Prin urmare, vom folosi modelul discret (formula Black-Scholes), din capi-tolul precedent(Sectiunea 09 ). Vom pune intrebarea sub urm¼atoarea form¼a:trebuies¼a gasim V0 (valoarea portofoliului în momentul initial) si o strategie de auto�-nantare f(Xt; Yt); 0 � t � Tg astfel încât
VT (X;Y ) = V0 +
Z T
0
XtdRt +
Z T
0
YtdSt = H:
Consider¼am Rt = ert si de�nim valoarea actualizat¼a a portofoliului la momentult astfel:
~Vt(X;Y ) = R�1t Vt(X;Y ) = Xt + ~Yt;
unde ~Yt := R�1t YtSt , reprezint¼a valoarea actualizat¼a a portofoliului investit înactivul cu risc. Atunci
~Yt = ~Vt �Xt:
Pe de alt¼a parte
d ~Vt(X;Y ) = �r ~Vtdt+R�1t dVt= �r ~Vtdt+ rXtdt+R
�1t YtdSt
= �r ~Ytdt+R�1t YtdSt:
Tinând cont c¼a
dSt = (�+�2
2)St dt+ �StdBt;
0.10. MODELUL BLACK-SCHOLES 29
obtinem
d ~Vt = (�� r +�2
2) ~Ytdt+ � ~YtdBt:
Not¼amB�t = (
�� r�
+�
2)t+Bt:
Atuncid ~Vt = � ~YtdB
�t ;
si rezolvând aceast¼a ecuatie diferential¼a, obtinem
~Vt = e�rTH � �Z T
t
~YsdB�s :
Fie P� o probabilitate de�nit¼a pe spatiul (;Ft), astfel încât
fB�t ; 0 � t � Tg ;
s¼a �e o miscare Brownian¼a. Presupunem c¼a E�(H2) <1. In aceste ipoteze, sepoate ar¼ata cu usurint¼a c¼a
E�Z T
0
j ~Ytj2dt <1;
deci, în particular~Vt = e�rTE�(HjFt);
sauVt = e�r(T�t)E�(HjFt);
si obtinem din nou formula lui Black-Scholes pentru pretul de call si put euro-pean.
Care este strategia de conversie? Sub P�,n~Vt
oeste o martingal¼a în raport
cu �ltratia Ft. Folosind o teorem¼a general¼a a lui Itô, obtinem
~Vt = V0 +
Z t
0
ZsdB�s ; 0 � t � T;
cu Z 2 L0pm (;C [0; T ]) : Atunci g¼asim
Yt =RtZt�St
:
In cazul în care H = h(St); obtinem ecuatia cu derivate partiale a lui Black-Scholes (5), si Yt se calculeaz¼a în functie de derivata solutiei sistemului EDPde tip parabolic. In cazul mai general, calculul se poate face cu ajutorul altorunelte din calculul stochastic, de exemplu calculul lui Malliavin.
Finaliz¼am aceast¼a sectiune prin dou¼a exemple clasice de optiuni care nu maisunt de forma H = h(St) (optiuni cu barier¼a de cump¼arare si optiuni asiatice).
30 OPTIUNI EUROPENE ÎN MODELUL CONTINUU
Optiuni cu barier¼a de cump¼arare
Aportul unei optiuni cu barier¼a de cump¼arare la momentul de scadent¼a este
H = 1[0;�[( supt2[0;T ]
St) (ST �K)+
altfel spus, are loc acelasi câstig ca si pentru o optiune european¼a de cump¼arare,dar optiunea este exercitat¼a numai dac¼a cursul activelor nu atinge bariera �:
Not¼am
�� = inf ft � T : ST � �g ;S�t = St^��
si
h (x) =
8><>:0; dac¼a x � K;
x�K; dac¼a K � x < �
0; dac¼a x � �:
DeciH = h
�S�t
�:
În acest caz pretul optiunii la momentul t este
Pt =
8<: 0; dac¼a t � �� ;
u�t; S�t
�; dac¼a 0 � t < �� ;
unde8><>:@u
@t(t; x) + rx
@u
@x(t; x) +
�2x2
2
@2u
@x2(t; x) = r u (t; x) ; 0 � t < T; 0 < x < �;
u (t; 0) = u (t; �) = 0; 0 � t < T;u (T; x) = h (x) ; 0 < x < �:
Optiuni asiatice
O optiune asiatic¼a aduce cump¼ar¼atorului la momentul de scadent¼a suma
H =
1
T
Z T
0
Stdt�K!+
:
Dac¼a not¼am
Ut =
Z t
0
Srdr
atunci aportul optiunii la momentul T este
H = h (UT ) ; unde h (x) =� xT�K
�+:
0.10. MODELUL BLACK-SCHOLES 31
Se arat¼a c¼a pretul optiunii la momentul t este
Pt = u (t; St; Ut)
unde8<:@u
@t(t; x; y) + rx
@u
@x(t; x; y) + x
@u
@y(t; x; y) +
�2x2
2
@2u
@x2(t; x; y) = r u (t; x; y) ; 0 < t < T; x; y > 0;
u (T; x; y) = h (y) ; x; y > 0; :
0.10.4 Viabilitate si completitudine
Notiunea de piat¼a viabil¼a si complet¼a se de�neste ca si în cazul modeluluidiscret, cu diferenta c¼a acum o piat¼a complet¼a este o piat¼a, astfel încât, tuturorvariabilelor aleatoare H � 0, FT�m¼asurabile si integrabile se poate asocia unpro�t initial (o valoare initial¼a a portofoliului) V0 si o strategie admisibil¼a (X;Y ),astfel încât:
H = V0 +
Z T
0
XtdRt +nXi=1
Y it dSit :
Restrictia caH s¼a �e integrabil¼a este inutil¼a în cazul modelului discret, deoarece,în modelul discret este o multime �nit¼a, deci toate variabilele aleatoare suntde�nite pe o multime �nit¼a. Atunci are loc rezultatul fundamental:
Teorema 43 Piata este viabil¼a dac¼a si numai dac¼a exist¼a cel mult o probabil-itate risc neutru P�, echivalent¼a cu P. Piata este complet¼a dac¼a exist¼a exact oprobabilitate risc neutru P�, echivalent¼a cu P.
Faptul c¼a existenta unei probabilit¼ati risc neutru întretine caracterul via-bil al pietei se demonstreaz¼a ca si în cazul modelului discret. Vom admite caadev¼arate celelalte a�rmatii din teorema de mai sus.Observatie: Am asociat tuturor optiunilor întâlnite în acest capitol e
ecuatie cu derivate partiale. Ne-ar interesa îns¼a, dac¼a se poate da o formul¼aprobabilistic¼a pentru pretul optiunii în cazul modelului general al lui Black-Scholes (Sectiunea 0.11.2 ). R¼aspunsul la aceast¼a întrebare este da, dac¼a facemapel la teoria ecuatiilor cu derivate partiale retrograde, si exist¼a mai multemetode.
Optiuni americane înmodelul discret
Contrar optiunilor zise "europene", o optiune american¼a poate � exercitat¼aîn orice moment de la data semn¼arii contractului (momentul 0) pân¼a la datascadentei (momentul T ). Not¼am cu h(St) câstigul detin¼atorului optiunii lamomentul t. In cazul call-ului american
h(x) = (x�K)+;
iar în cazul put-ului american
h(x) = (K � x)+:
Not¼am Zt = h(St); 0 � t � T; si At pretul optiunii americane la momentult; 0 � t � T: In particular, A0 reprezint¼a suma pe care cump¼ar¼atorul optiuniiamericane trebuie s¼a o achite în momentul semn¼arii contractului (momentul 0).
Presupunem din nou c¼a
Rt = (1 + r)t; 0 � t � T;
si de�nim valorile actualizate la momentul t astfel:
~Zt =Zt
(1 + r)t; ~At =
At(1 + r)t
:
In continuare, vom preciza valoarea At a optiunii americane prin recurent¼aretrograd¼a. Este evident c¼a
AT = ZT :
La momentul T � 1, detin¼atorul optiunii are dou¼a posibilit¼ati:de a exercitaoptiunea imediat, sau de a o p¼astra, în speranta obtinerii unui pro�t mai mareîn momentul T . Atunci are loc:
AT�1 = ZT�1 _1
1 + rE�(ZT jST�1):
Prin acelasi rationament, pentru toti 0 � t � T; are loc:
At�1 = Zt�1 _1
1 + rE�(AtjSt�1):
33
34 OPTIUNI AMERICANE ÎN MODELUL DISCRET
In termenii valorii actualizate, se obtine�~AT = ~ZT~At�1 = ~Zt�1 _ E�( ~AtjSt�1); 0 � t � T:
(8)
Propozitia 44 Succesiunean~At; 0 � t � T
oeste o P��supramartingal¼a. In
plus, aceast¼a supramartingal¼a majoreaz¼a succesiunean~Zt; 0 � t � T
o:
Demonstratie. Proprietatea succesiuniin~At; 0 � t � T
ode a � supramartin-
gal¼a si faptul c¼an~At
omajoreaz¼a succesiunea
n~Zt
o; rezult¼a imediat din relatia
(8). Fie acum fMtg o alt¼a P��supramartingal¼a care majoreaz¼an~Zt
o: Atunci
MT � ~ZT = ~AT si dac¼a Mt � ~Zt;
Mt�1 � E�(MtjFt�1) � E�( ~AtjFt�1);
si la fel Mt�1 � ~Zt�1, deci
Mt�1 � ~Zt�1 _ E�( ~AtjFt�1) = ~At�1:
0.11 Timpuri de oprire
Fie (;F ;P) un câmp de probabilitate si Ft o �ltrare (o familie de �-subalgebre � F).
De�nitia 45 O variabil¼a aleatoare � cu valori în multimea f0; 1; � � �Tg se nu-meste timp de oprire (în englez¼a "stopping time") dac¼a pentru orice 0 � t � T;
f� = tg 2 Ft:
Fiind dat¼a o succesiune de variabile aleatoare fXt; 0 � t � Tg ; Ft�m¼asurabilesi un timp de oprire �, sirul de variabile aleatoare (numite de oprire) fXt^� ; 0 � t � Tgeste deasemeni Ft�m¼asurabil. De aici rezult¼a c¼a � este un timp de oprire dac¼asi numai dac¼a f� � tg 2 Ft; pentru 0 � t � T:
Teorema 46 (Propriet¼ati ale timpurilor de oprire) Fie �1 si �2 timpuri deoprire. Atunci :
(i) f� < tg 2 Ft; 0 � t � T:
(ii) �1 ^ �2 := min(�1; �2) si �1 _ �2 := max(�1; �2) sunt timpuri de oprire.
Demonstratie. Observ¼am c¼a
f� < tg =1[k=1f� � t� 1
kg| {z }
2Ft� 1
k�Ft
:
0.11. TIMPURI DE OPRIRE 35
Deasemeni avem
f�1 ^ �2 � tg = f�1 � tg [ f�2 � tg 2 Ft;
sif�1 _ �2 � tg = f�1 � tg \ f�2 � tg 2 Ft:
Teorema 47 Dac¼a fMt; 0 � t � Tg este o martingal¼a (respectiv o supramartin-gal¼a), atunci fMt^� ; 0 � t � Tg este deasemeni o martingal¼a (respectiv o supra-martingal¼a).Demonstratie. Este su�cient s¼a remarc¼am, folosind conditiile din Propozitia25 ,c¼a
Mt^� =M(Y )t; 0 � t � T;
dac¼a Yt = 1ft��g: Deoarece ft � �g = f� � t� 1gc ; succesiunea Y este pre-vizibil¼a si are loc rezultatul din Propozitia 25. Acelasi rationament, exploatândpozitivitatea lui Y , duce la rezultatul pentru supramartingal¼a.
Plicul lui SnellFiind dat un sir de variabile aleatoare fZt; 0 � t � Tg ; Ft�m¼asurabile,
vrem s¼a studiem "plicul lui Snell", altfel zis, cea mai mic¼a supramartingal¼a caremajoreaz¼a sirul de variabile aleatoare dat. Aceast¼a supramartingal¼a reprezint¼achiar sirul de variabile aleatoare fUt; 0 � t � Tg ; de�nit prin�
UT = ZTUt = Ut _ E(Ut+1jFt); 0 � t � T:
Se observ¼a c¼a, atât timp cât Ut > Zt; are loc Ut = E(Ut+1jFt). Aceast¼a remarc¼ase poate formaliza astfel:
Propozitia 48 Variabila aleatoare de�nit¼a astfel
� = inf f0 � t � T jUt = Ztg
este un timp e oprire si sirul de oprire fUt^� ; 0 � t � Tg este o martingal¼a.Demonstratie. Observ¼am c¼a
f� = tg = fU0 > Z0g \ � � � \ fUt�1 > Zt�1g \ fUt = Ztg :
Consider¼am din nou Yt = 1ft��g:
U(Y )t+1 � U(Y )t = 1ft+��g(Ut+1 � Ut);
si pe multimea ft+ 1 � �g ; Ut = E(Ut+1jFt), deci
E(U(Y )t+1 � U(Y )tjFt) =0:
36 OPTIUNI AMERICANE ÎN MODELUL DISCRET
Not¼am cu Tt multimea timpilor de oprire care iau valori în multimeaft; t+ 1; t+ 2; � � � ; Tg :
Corolarul 49 Are loc egalitatea
U0 = E(Z jF0) = sup 2T0
E(Z jF0):
Demonstratie. Conform propozitiei de mai sus (Propozitia 48), fU�^�g este omartingal¼a, deci
U0 = E(UT^� jF0)= E(Z� jF0):
Dac¼a 2 T0; conform Teoremei 47, fU�^ g este o supramartingal¼a, deci
U0 � E(UN^ jF0)� E(Z jF0):
Corolarul se poate generaliza astfel
Ut = sup 2Tt
E(Z jFt)
= E(Z�tjFt);
dac¼a � = inf fs � tjUs = Zsg : Se numeste timp de oprire optimal un timp deoprire care veri�c¼a proprietatea de optimalitate a timpului de oprire � stabilit¼aîn Corolarul 49. Teorema urm¼atoare a�rm¼a c¼a � este cel mai mic dintre timpiide oprire optimali.
Teorema 50 Timpul de oprire � este optimal dac¼a si numai dac¼a sunt îndepli-nite urm¼atoarele conditii:
(i) Z� = U�
(ii) fUt^� ; 0 � t � Tg este o martingal¼a.
Demonstratie. (i) si (ii) implic¼a U0 = E(Z�jF0), deci optimalitatea lui � dinCorolarul 49. Reciproc, presupunem c¼a � este optimal. Atunci
U0 = E(Z�jF0) � E(U�jF0);
si deoarece fU�^�g este o supramartingal¼a, E(U�jF0) �U0, deci
E(U�jF0) = E(Z�jF0) =U0;
de unde, întrucât U domin¼a Z, rezult¼a c¼a U� = Z� (deci (i)). fU�^�g este osupramartingal¼a, deci
U0 � E(Ut^�jF0) � E(U�jF0);
0.11. TIMPURI DE OPRIRE 37
si, deoarece cei doi termeni extremi coincid, rezult¼a
E(Ut^�jF0) = E(U�jF0) = E(E(U�jFt)jF0):
Pe de alt¼a parte Ut^� � E(U�jFt), deci are loc egalitatea
Ut^� = E(U�jFt):
Descompunerea lui Doob
Propozitia 51 (Descompunerea lui Doob) Orice supramartingal¼a fUt; 0 � t � Tgse poate scrie în mod unic sub forma
Ut =Mt � Ct;
unde fMt; 0 � t � Tg este o supramartingal¼a si fCt; 0 � t � Tg este un sircresc¼ator, previzibil astfel încât C0 = 0:Demonstratie. In mod necesar M0 = U0 si C0 = 0: Pe de alt¼a parte, avem
Ut+1 � Ut =Mt+1 �Mt � Ct+1 + Ct;
de unde rezult¼a c¼aE(Ut+1jFt)� Ut = �Ct+1 + Ct;
siMt+1 �Mt = Ut+1 � E(Ut+1jFt):
Propozitia 52 Fie fZt; 0 � t � Tg un sir de variabile aleatoare, Ft�m¼asurabileavând "plicul lui Snell"(Snell envelope) Ut =Mt�Ct: Atunci cel mai mare timpde oprire optimal este
�max = inf ft � T;Ct+1 6= 0g :
Demonstratie. Faptul c¼a �max este un timp de oprire rezult¼a din previzibili-tatea sirului fCt; 0 � t � Tg : Din Ct = 0 pentru t � �max, se deduce c¼a
U�^�max =M�^�max ;
deci fU�^�maxg este o martingal¼a. Conform Teoremei 50, este su�cient s¼ademonstr¼am c¼a �max este optimal, adic¼a are loc egalitatea U�max = Z�max : Con-sider¼am Yt = 1ftmax��g:
U�max =PT�1
t=0 Ut + YTUT=
PT�1t=0 Ytmax(Zt;E(Ut+1jFt)) + YTZT
=PT�1
t=0 YtZt + YTZT= Z�max :
38 OPTIUNI AMERICANE ÎN MODELUL DISCRET
unde se foloseste faptul c¼a :E(Ut+1jFt) =Mt � Ct+1; si pe multimea fYt = 1g ;Ct = 0; sau E(Ut+1jFt) = Mt � Ct+1 < Ut+1, de unde rezult¼a în mod necesarc¼a Ut = Zt:R¼amâne s¼a demonstr¼am c¼a nu exist¼a un timp de oprire optimal �, astfel
încât � � �max si P(� � �max) >0: Intr-adev¼ar, avem
E(U�) = E(M�)� E(C�) = E(U0)� E(C�) < E(U0);
deci fU�^�g nu este o martingal¼a.
Preciz¼am acum forma "plicului lui Snell" în cazul unei situatii markoviene.Fie fXt; 0 � t � Tg un lant Markov omogen cu valori în multimea �nit¼a E,având matricea de tranzitie P = fPxy; x; y 2 Eg : Presupunem c¼a 0 � t � T;Ft = � fX0; X1; � � � ; Xtg :
Propozitia 53 Fie fZtg o succesiune de�nit¼a prin Zt = (t;Xt); cu :f0; 1; � � � ; Tg � E ! R: Atunci "plicul lui Snell" fUtg al succesiunii fZtg estedat prin formula Ut = u(t;Xt); unde functia u este de�nit¼a prin(
u(T; x) = (T; x); x 2 Eu(t; x) = (t; x) _
PyPxyu(t+ 1; y); x 2 E; 0 � t � T:
In practic¼a, pentru a determina timpul de oprire
� = inf ft; Ut = Ztg
se calculeaz¼a solutia u a sistemului retrograd din Propozitia 53, si se opreste lamomentul � = inf ft � T; u(t;Xt) = (t;Xt)g :
0.12 Pretul optiunii americane
Conform propozitiei 42, pretul actualizatn~At
oal optiunii americane este
P��"plicul lui Snell" al succesiuniin~Zt = (1 + r)
�th(St) = R�1t h(St)o: Se stie
c¼a (ca generalizare a Corolarului 49)c¼a
~At = sup�2Tt
E�(R�1� h(S�)jFt);
sauAt = Rt sup
�2TtE�(R�1� h(S�)jFt):
Conform descompunerii lui Doob, ~At = ~Mt � ~Ct; unden~Mt
oo P��martingal¼a
si ~Ct un sir cresc¼ator, previzibil cu C0 = 0:Deoarece piata este complet¼a, exist¼a o valoare initial¼a a portofoliului V0,
si o strategie de auto�nantare f(Xt; Yt)g astfel încât
VT (X;Y ) = RT ~Mt;
0.13. OPTIUNI AMERICANE SI OPTIUNI EUROPENE 39
sau~Vt(X;Y ) = ~MT ;
si întrucât sunt dou¼a P�-martingale, 80 � t � T; ~Vt(X;Y ) = ~Mt; rezult¼a c¼a
~At = Vt(X;Y )� ~Ct;
siAt = Vt(X;Y )� Ct;
unde Ct = Rt ~Ct: Un timp optimal veri�c¼a A = h(S ): Acesta trebuie s¼averi�ce si relatia
� �max = inf ft; Ct+1 6= 0g ;deoarece optiunea se exercit¼a la data max.Proprietarul ei îsi constituie capitalulA max = V max(X;Y ) si datorit¼a strategiei f(X;Y )g, portofoliul s¼au valoreaz¼amai mult decât optiunea în momentele max + 1; max + 2; � � � ; N:
Se veri�c¼a c¼a dac¼a cump¼ar¼atorul optiunii nu exercit¼a optiunea la un timpoptimal, vânz¼atorul realizeaz¼a un pro�t strict pozitiv.
Optiuni americane si modelul markovianRelu¼am o optiune american¼a care aduce detin¼atorului un câstig Zt = h(St)
dac¼a este exercitat¼a la momentul t si presupunem c¼a fSt; 0 � t � Tg este un lantMarkov. Atunci pretul At se poate scrie sub forma At = u(t; St): Consider¼am~u(t; x) = R�1t u(t; x) si ~h(t; x) = R�1t h(x): Din Propozitia 53 rezult¼a c¼a
~u(t; x) = ~h(t; x) _Xy
Pxy~u(t+ 1; y);
de unde se deduce formula de recurent¼a
u(t; x) = h(x) _Xy
Pxyu(t+ 1; y)
1 + r: (9)
Un timp de exercitiu optimal este de�nit prin
� = inf ft � T; u(t; St) = h(St)g :
0.13 Optiuni americane si optiuni europene
Propozitia 54 Fie At pretul unei optiuni americane la momentul t, optiunecare aduce detin¼atorului acesteia un câstig Zt dac¼a este exercitat¼a la momentult si Et pretul unei optiuni europene la momentul t, optiune care aduce detin¼a-torului un câstig ZT , la exercitare. Atunci At � Et; 80 � t � T: Dac¼a, în plusEt � Zt; 8t; atunci Et = At; 8t:Demonstratie. Prima inegalitate (At � Et) este evident¼a, si aceasta rezult¼adin proprietatea de a � martingal¼a (respectiv supramartingal¼a) a lui fEtg (re-spectiv fAtg) sub P�: Dac¼a Et � Zt;
n~Et
oeste o P�-martingal¼a (deci si o
supramartingal¼a) care majoreaz¼an~Zt
o; deci
n~Et
omajoreaz¼a si
n~At
oconform
Propozitiei 44.
40 OPTIUNI AMERICANE ÎN MODELUL DISCRET
Corolarul 55 In cazul call-ului european si american cu aceeasi dat¼a de sca-dent¼a T , acelasi pret de exercitiu K; având un singur activ cu risc cu pretul Stla momentul t, avem At = Et; 0 � t � T:Demonstratie. Are loc Zt = (St �K)+; si
~Et = R�1T E�((ST �K)+jFt)� E�( ~ST �R�1T KjFt)= ~St �R�1T K;
deci
Et � St �RtRT
K
� St �K;
dar Et � 0; deci Et � Zt: Restul se poate demonstra folosind propozitia ante-rioar¼a.
Aceast¼a proprietate nu este veri�cat¼a pentru un put, nici pentru un callreferitor la un activ distribuitor de dividende.
Optiuni americane înmodelul continuu
Studiul optiunilor americane în modelul Black-Scholes cere notiuni matem-atice complexe. Vom prezenta ecuatia cu derivate partiale asociat¼a, prin trecereala limit¼a în formulele din sectiunea "Optiuni americane si modelul markovian".
Rescriem formula (9) în cadrul sectiunii 0.9 (Formula lui Black-Scholes),cu schimb¼arile de variabile:
g(x) = h(ex)v(t; x) = u(t; ex):
Se obtine
v(t� 1
N;x) = g(x)_e�r=N (pN+v(t; x+
r
N+
�pN)+pN�v(t; x+
r
N� �p
N)) (10)
cupN+ = P(�Nk =
�pN) = 1
2 ��
4pN+O(N�3=2)
pN� = P(�Nk = ��pN) = 1
2 +�
4pN+O(N�3=2):
Consider¼am
(ANv)(t; x) = e�r=N (pN+v(t; x+r
N+
�pN) + pN�v(t; x+
r
N� �p
N)):
Atunci (10) se poate rescrie astfel
v(t� 1
N;x) � g(x);
(ANv)(t; x)� v(t�1
N;x) � 0;
(v(t� 1
N;x)� g(x))((ANv)(t; x)� v(t�
1
N;x)) = 0:
41
42 OPTIUNI AMERICANE ÎN MODELUL CONTINUU
Multiplic¼am relatia (ANv)(t; x) � v(t � 1N ; x) cu N; admitem c¼a functia v este
su�cient de regulat¼a si prin trecere la limit¼a pentru N !1, obtinem
N [(ANv)(t; x)� v(t�1
N;x)]
N!1!
Av(t; x) :=@v
@t(t; x) + (r � �2
2)@v
@x(t; x) +
�2
2
@2v
@x2(t; x)� rv(t; x):
Deci, pretul optiunii americane este
At = v(t; logSt);
unde v este solutia inecuatiei variationale
v(t; x) � g(x);Av(t; x) � 0;(v(t; x)� g(x))Av(t; x) = 0;
si un timp optimal de exercitare a optiunii este dat de timpul de oprire
� = inf ft � T; v(t; logSt) = g(logSt) = h(St)g :
Rata dobânzii si obligatiuni
Pân¼a acum am presupus c¼a rata dobânzii este constant¼a (nu depinde detimp sau de �uctuatiile pietei). O astfel de ipotez¼a este acceptat¼a în cazul încare se fac tranzactii cu actiuni si optiuni cu actiuni, îns¼a acest lucru nu maieste valabil când avem de-a face cu obligatiuni si optiuni cu obligatiuni.
Se numeste obligatiune cupon-zero ( în englez¼a "zero coupon bond") cudata de scadent¼a T , un titlu care îi d¼a posesorului dreptul de a încasa o unitatemonetar¼a (de exemplu un Euro) la data scadentei T . Se noteaz¼a cu Ot;T valoareatitlului la momentul t. Este evident c¼a OT;T = 1, pentru orice dat¼a de scadent¼aT .
0.14 Rata dobânzii într-un viitor cert
Rata dobânzii unui credit depinde de data emiterii creditului t, si de datascadentei T . O persoan¼a care împrumut¼a un euro în momentul t trebuie s¼arestituie suma RtT la data T . In cazul ratei constante a dobânzii în modelulBlack-Scholes, avem
RtT = exp[(T � t)r]:
Generalizând, într-un cadru determinist, adic¼a atunci când cantit¼atile fRtT ; 0 � t � Tgsunt cunoscute, absenta oportunit¼atii de arbitraj impune ca functia R s¼a veri�ce
RtT = RtuRuT ; 80 � t < u < T:
Din aceast¼a relatie, împreun¼a cu Rtt = 1 si cu continuitatea lui R, se deducefaptul c¼a exist¼a o functie t! r(t) astfel încât
RtT = exp(
Z T
t
r(s)ds); 80 � t � T:
In acest caz, trebuie s¼a aib¼a loc
Ot;T = exp(�Z T
t
r(s)ds):
43
44 RATA DOBÂNZII SI OBLIGATIUNI
0.15 Rata dobânzii într-un viitor incert.Obligatiuni
Not¼am Rt = R0t si presupunem c¼a
Rt = exp(
Z t
0
rsds);
unde frt; t � 0g este un proces stochastic în raport cu �ltratia fFt; t � 0g a uneimisc¼ari Browniene fBt; t � 0g (Ft = � fBs; 0 � s � tg):
Facem urm¼atoarea ipotez¼a:
(H)
8<:Exist¼a o probabilitate P�, echivalent¼a cu P, sub careeOt;u := (Rt)�1Ot;u; 0 � t � T
este o martingal¼a, 80 � u � T:
Deoarece Ou;u = 1; ~Ou;u = (R0u)�1, prin urmare (H) implic¼a faptul c¼a
eOt;u := E�(exp ��Z u
0
rsds
�jFt);
deci
Ot;u = E�(exp��Z u
t
rsds
�jFt):
Pentru a explica cantitateaOt;u, trebuie s¼a preciz¼am densitatea Radom-Nikodyma probabilit¼atii P� în raport cu P. Not¼am cu LT aceast¼a densitate. Aceasta esteastfel încât pentru toate variabilele aleatoare X, m¼arginite
E�(X) = E(XLT ):
LT este densitatea restrictiei lui P� la Ft în raport cu P. Dintr-o teorem¼a a luiGirsanov rezult¼a
Propozitia 56 Exist¼a un proces fqt; 0 � t � Tg Ft�m¼asurabil, care veri�c¼aZ T
0
q2t dt < +1; a:s;
astfel încât pentru toti 0 � t � T; a:s
Lt = exp(
Z t
0
qsdBs �1
2
Z t
0
q2sds):
Corolarul 57 Pretul unei obligatiuni "zero-cupon", cu data de scadent¼a u � tse poate scrie
Ot;u = E( exp[�Z u
t
(rs +q2s2)ds+
Z u
t
qsdBs]jFt):
0.15. RATA DOBÂNZII ÎNTR-UN VIITOR INCERT.OBLIGATIUNI 45
Demonstratie. Consider¼am X = exp(�R utrsds): Trebuie s¼a calcul¼am E�(XjFt):
Fie Yt o variabil¼a aleatoare, m¼arginit¼a si Ft�m¼asurabil¼a. Atunci are loc
E�(XY ) = E(XY LT )= E(E[XLT jFt]Y )
= E�(E[XLT jFt]
LtY );
si, conform caracteriz¼arii lui E�(XjFt)
E�(XjFt) =E[XLT jFt]
Lt;
de unde decurge concluzia corolarului.
Propozitia 58 Pentru orice dat¼a de scadent¼a u, exist¼a un proces Ft�m¼asurabilf�ut ; 0 � t � ug ; astfel încât pe intervalul [0; u]
dOt;u = (Rt � �ut qt)Ot;udt+Ot;u�ut dBt:
Demonstratie. Utilizând, pentru început, formula stabilit¼a în demonstratia
anterioar¼a si, în plus, proprietatea luin eOt;u; 0 � t � u
ode a � martingal¼a sub
P�, se obtine c¼a, pentru 0 � s � t � u;
E( eOt;uLtjFs)= E�( eOt;ujFs)= eOs;uLs:
Decin eOt;uLt; 0 � t � u
oeste o martingal¼a sub P, strict pozitiv¼a, deci log eOt;uLt
este o semimartingal¼a, deci partea sa martingal¼a este de formaZ t
0
�us dBs;
si din nou folosind c¼an eOt;uLt; 0 � t � u
oeste o P�martingal¼a, rezult¼a c¼a
eOt;uLt = eO0;u exp(Z t
0
�us dBs �1
2
Z t
0
(�us )2ds):
Multiplicând relatia cu Rt(Lt)�1; se obtine
Ot;u = O0;u exp(
Z t
0
rs � [(�us )2 � q2s ]=2)ds+Z t
0
(�us � qs)dBs):
Concluzia teoremei se deduce utilizând formula lui Itô, si punând conditia �ut =�ut � qu:
46 RATA DOBÂNZII SI OBLIGATIUNI
Dac¼a raport¼am formula din propozitia de mai sus la rata dobânzii, stiindc¼a
dRt = rtRtdt;
se observ¼a c¼a obligatiunea este mai riscat¼a decât un depozit la banc¼a. Termenul��ut qt reprezint¼a diferenta dintre pro�t si dobânda f¼ar¼a risc. Deci �qt se poateinterpreta ca o "prim¼a f¼ar¼a risc". Observ¼am c¼a sub probabilitatea risc neutruP�; �B�t = Bt �
R t0qsds este o miscare Brownian¼a standard, si
dOt;u = rtOt;udt+Ot;u�ut dBt:
0.16 Optiuni cu obligatiuni
Consider¼am o optiune european¼a cu obligatiuni, data de scadent¼a a optiunii�ind T , iar cea a obligatiunii �ind T
0, cu T � T
0: Consider¼am c¼a pretul de
exercitiu (în cazul unei optiuni de tip call) este K, iar valoarea optiunii lamomentul T este (OT;T 0 � K)+; si vrem s¼a vedem cum evolueaz¼a portofoliul.Evolutia portofoliului este dat¼a, în cazul unei strategii de auto�nantare prinformula
dVt(X;Y ) = XtdRt + YtdOt;T :
De�nitia 59 O strategie f(Xt; Yt); 0 � t � Tg este admisibil¼a dac¼a este de aut-o�nantare si valoarea actualizat¼a
~Vt(X;Y ) = Xt + Yt ~Ot;T
a portofoliului la momentul t, este, pentru orice t, pozitiv¼a si integrabil¼a sub P�:
In conditii rezonabile, se poate acoperi o optiune european¼a cu data de sca-dent¼a T < T
0:
Propozitia 60 Presupunem c¼a sup0�t�T
jrtj < +1 a.s, inf0�t�T
j�T0
t j > 0; si T <
T0: Fie H o variabil¼a aleatoare FT�m¼asurabil¼a, astfel încât He�
R T0rsds este
integrabil¼a sub P�: Atunci exist¼a V0 si o strategie admisibil¼a f(X;Y )g astfelîncât VT (X;Y ) = H: In plus
Vt(X;Y ) = E�(e�R TtrsdsHjFt):
Demonstratie. Are loc
d ~Vt(X;Y ) = Ytd ~Ot;T 0
= Yt ~Ot;T 0�T0
t dB�t :
Se deduce c¼an~Vt; 0 � t � T
oeste o P�-martingal¼a, deci
Vt(X;Y ) = eR t0rsdsE�(e�
R T0rsdsHjFt):
0.17. UN MODEL PENTRU RATA DOBÂNZII 47
R¼amâne s¼a g¼asim o strategie corespondent¼a. Din teorema de reprezentare a luiItô, rezult¼a c¼a
He�R T0rsds = E�(e�
R T0rsds) +
Z T
0
Jtd ~Bt;
unde fJt; 0 � t � Tg este un proces astfel încâtR T0J2t dt < +1 a.s. Atunci este
su�cient s¼a alegem
Yt =Jt
~Ot;T 0�T 0
t
; Xt = E�(He�R T0rsdsjFt)�
Jt
�T0
t
:
0.17 Un model pentru rata dobânzii
Vom examina modelul lui Vasicek, care este cel mai simplu, dar si cel maisatisf¼ac¼ator. In acest model, procesul frt; 0 � t � Tg este solutie a ecuatiei cuderivate partiale
drt = a(b� rt)dt+ �dBt;unde a, b; si � sunt constante pozitive si q este deasemeni o constant¼a, qt = ��:Dac¼a B�t = Bt + �t si b� = b� ��=a; atunci
drt = a(b� � rt)dt+ �dB�t :
Se arat¼a cu usurint¼a c¼a rt se poate rescrie
rt = r0e�at + b(1� e�at) + �e�at
Z t
0
easdBs;
si c¼a rt urmeaz¼a sub P repartitia normal¼a de parametri
N(r0e�at + b(1� e�at); �2 1� e
�2at
2a);
si sub P� urmeaz¼a aceeasi repartitie, cu b� în locul lui b: Deci rt ia o valoarenegativ¼a cu o probabilitate nenul¼a.
Pretul obligatiunii va �
Ot;T = E�(e�R TtrsdsjFt);
unde fXs = rs � b�g este solutie a ecuatiei cu derivate partiale
dXs = �aXsds+ �dB�s : (11)
AtunciE�(e�
R TtXsdsjFt) = F (T � t; rt � b�);
unde functia F este de�nit¼a prin
F (s; x) = E�(e�R s0Xxt dt);
48 RATA DOBÂNZII SI OBLIGATIUNI
iar fXxt g reprezint¼a solutia ecuatiei (11) si veri�c¼a X0 = x: Intrucât
R s0Xxt dt
este o variabil¼a aleatoare real¼a gaussian¼a,
F (s; x) = exp(�E�Z s
0
Xxt dt+
1
2V ar[
Z s
0
Xxt dt]):
Sau
E�Z s
0
Xxt dt = x
1� e�asa
;
si
V ar[
Z s
0
Xxt dt] =
Z s
0
Z s
0
Cov(Xxt ; X
xr )dtdr;
dar
Cov(Xxt ; X
xr ) = �2e�a(t+r)E�(
Z t
0
easdB�s
Z r
0
easdB�s )
= �2e�a(t+r)e2a(t^r) � 1
2a;
de unde rezult¼a c¼a
V ar[
Z s
0
Xxt dt] =
�2s
a2� �2
a3(1� e�as)� �2
2a3(1� e�as)2:
In sfârsit,Ot;T = exp(�(T � t)R(T � t; rt));
unde R(T � t; rt); rata medie a dobânzii pe intervalul [t; T ], este dat¼a prinformula
R(s; r) = R� (as)�1[(R� r)(1� e�as)� �2
4a2(1� e�as)2];
cu R = b� � �2=2a2: R se poate interpreta ca o dobând¼a pe termen lung, careeste independent¼a de rata instantanee r:
Simulare în Matlab
0.18 Pretul unei optiuni în Matlab
Programul "option_price.m" a�seaz¼a pretul unei optiuni in functie depretul de exercitiu si de timpul r¼amas pân¼a la expirarea optiunii.Vom folosiurm¼atoarele formule
C0 = S0F (d1)�Ke�rTF (d2)
d1 =1
�pTlog(
S0K) +
rpT
�+�pT
2;
pe care le-am obtinut în capitolul "Optiuni europene în modelul discret". Inrelatiile de mai sus
� St (t = 0; 1; 2 � � �T ) reprezint¼a cursul activului cu risc la momentul t,
� C0 reprezint¼a pretul de cump¼arare al optiunii europene,
� F reprezint¼a functia de repartitie a repartitiei normale,
� r reprezint¼a rata dobânzii,
� � reprezint¼a volatilitatea pretului de stocare,
� K reprezint¼a pretul de exercitiu,
� T reprezint¼a data de scadent¼a.
option_price.mr=log(1.04)/365;//rata dobânziimu=log(1.05)/365;//rata de crestere a pretului de stocaresigma=0.01;//volatilitatea pretului de stocare (� mai sus)init=100;//pretul initial de stocarec=95;//pretul de exercitiu (K mai sus)[S_0,t]=meshgrid(60:1:120,0.05:3:180);
//creeaz¼a reteaua de puncte(grid)C_0=profit(S_0,t,c,r,sigma);//apeleaz¼a functia pro�t.m
49
50 SIMULARE ÎN MATLAB
clf;//cur¼at¼a ecranulsubplot(2,2,1);//creeaz¼a axele pentru gra�cmesh(t,S_0,C_0);//gra�cul pretului optiunii functie de activul cu risc
S0shading faceted;//modul de colorare al gra�culuixlabel(�Time remaining�);//eticheta axei Oxylabel(�Stock price�);//eticheta axei Oyzlabel(�Option price�);//eticheta axei Oztitle(�[Option price function C_0 for strike price c=�int2str(c)]);axis([0 180 60 120 0 25]);//deseneaz¼a axelegrid on;T=[10 90 180];//vector cu date de scadent¼a diverseK=80:0.5:120;//vector cu diverse preturi de exercitiuS_0=init;for i=1:3
subplot(2,2,i+1);t=T(i);C_0=profit(S_0,t,K,r,sigma);plot(K,C_0);hold on;C_0=profit(S_0,t,c,r,sigma);plot(c,C_0,�*�,�markersize�,5);//deseneaz¼a gra�culgrid on;title([�Option price with T=�int2str(t)�.Initial price=100.�]);xlabel(�Strike price c�);ylabel(�Option price�);
endIn continuare, vom de�ni functia "pro�t.m" care este apelat¼a în progra-
mul de mai sus, si care returneaz¼a pro�tul unui portofoliu care administreaz¼avaloarea unei optiuni cu pretul de exercitiu c, cursul activului cu risc �ind S_0si timpul r¼amas pân¼a la scadent¼a �ind t. Volatilitatea este sigma (�) si rataconstant¼a a dobânzii r.pro�t.m
function C_0=profit(S_0,t,c,r,sigma)d_1=(log(S_0)-log(c)+(r+(sigma^2)/2)*t)./(sigma*sqrt(t));
// d1 =1
�ptlog
S0c+rpt
�+�pt
2;
C_0=S_0.*normcdf(d_1)-c*exp(-r*t).*normcdf(d_1-sigma*sqrt(t));// C0 = S0F (d1)� ce�rtF (d1 � �
pt); d2 = d1 � �
pt
Prin compilarea în Matlab a programului de mai sus (pentru pretul uneioptiuni) se vor obtine urm¼atoarele gra�ce:(�gura OptionPrice)
0.19. MODELUL BLACK-SCHOLES ÎN MATLAB 51
0.19 Modelul Black-Scholes în Matlab
Programul "blackscholes.m" genereaz¼a preturile obligatiunilor si preturilede stocare si simuleaz¼a portofoliul Black-Scholes (echivalent cu detinerea uneioptiuni de cump¼arare a activului).Se vor folosi formulele
C0 = S0F (d1)�Ke�rTF (d2)
d1 =1
�pTlog(
S0K) +
rpT
�+�pT
2;
d2 = d1 � �pT ;
care au fost deduse în capitolul "Optiuni europene în modelul discret", sectiunea"Formula lui Black Scholes". In relatiile de mai sus,
� St (t = 0; 1; 2 � � �T ) reprezint¼a cursul activului cu risc la momentul t,
� C0 reprezint¼a pretul de cump¼arare al optiunii europene,
� F reprezint¼a functia de repartitie a repartitiei normale,
� r reprezint¼a rata dobânzii,
� � reprezint¼a volatilitatea pretului de stocare,
� K reprezint¼a pretul de exercitiu,
� T reprezint¼a data de scadent¼a.
52 SIMULARE ÎN MATLAB
blackscholes.mr=log(1.04)/365;//rata dobânziimu=log(1.05)/365;//rata de crestere a pretului de stocaresigma=0.01;//volatilitatea pretului de stocareinit=100;//pretul initial de stocarec=95;//pretul de exercitiuN=500;//num¼arul de iteratii,de pasiT=180;//data maxim¼a a scadenteih=T/N;//lungimea unui intervalt=(0:h:T);// t este vectorul [0 1h 2h 3h � � �Nh]clf;//cur¼at¼a ecranulfor k=1:4
subplot(2,2,k)b=zeros(size(t));//pretul obligatiunii (bonds)p=zeros(size(t));//pretul activelor cu risc (St mai sus)m=zeros(size(t));//num¼arul de obligatiunin=zeros(size(t));//num¼arul de active cu riscx=zeros(size(t));//pretul optiunii din functia option_price.my=zeros(size(t));//pretul optiunii rezultat din sistemul de ecuatii cu derivate partiale
//Valori initialeb(1)=init;//pretul initial al obligatiuniip(1)=init;//pretul initial al activului cu riscs=T;//argumentul timpv=(log(p(1)/c)+(r+(sigma^2)/2)*s)./(sigma*sqrt(s));
//d1 în formulele de mai sus
// d1 =1
�pTlog(
S0K) +
rpT
�+�pT
2
w=v-sigma*sqrt(s);// d2 = d1 � �pT
x(1)=p(1).*normcdf(v)-c*exp(-r*s).*normcdf(w);//pretul optiunii (mai sus) C0 = S0F (d1)�Ke�rTF (d2)
y(1)=x(1);n(1)=normcdf(v)+(normcdf(v)-c*exp(-r*s)*normcdf(w)/p(1))
/(sigma*sqrt(s));//nr activelor cu risc la momentul initial
m(1)=(x(1)-n(1)*p(1))/b(1);//nr.de obligatiuni la momentul initial
for i=1:Nb(i+1)=b(i)+r*b(i);p(i+1)=p(i)+mu*p(i)*h+sigma*p(i)*sqrt(h)*randn;
//randn=normally distributed random numbersy(i+1)=y(i)+n(i)*(p(i+1)-p(i))+m(i)*(b(i+1)-b(i));
0.19. MODELUL BLACK-SCHOLES ÎN MATLAB 53
//pretul optiuniis=T-t(i+1);//argumentul timpv=(log(p(i+1)/c)+(r+(sigma^2)/2)*s)./(sigma*sqrt(s));
//se actualizeaz¼a d1 la momentul i+ 1w=v-sigma*sqrt(s);//se actualizeaz¼a d2
x(i+1)=p(i+1).*normcdf(v)-c*exp(-r*s).*normcdf(w);n(i+1)=normcdf(v)+(normcdf(v)-c*exp(-r*s)*normcdf(w)/p(i+1))
/(sigma*sqrt(s));//nr.de active cu risc la momentul i+ 1
m(i+1)=(x(i+1)-n(i+1)*p(i+1))/b(i+1);//obligatiuni la mom. i+ 1
end
[xx,tt]=meshgrid(60:1:120,0.05:3:180);//creeaz¼a reteaua de puncte(grid),xx = St; tt = t mai sus
gg=(log(xx/c)+(r+(sigma^2)/2)*tt)./(sigma*sqrt(tt));//gg=d1 în formule
uu=xx.*normcdf(gg)-c*exp(-r*tt).*normcdf(gg-sigma*sqrt(tt));mesh(tt,xx,uu);//realizeaz¼a gra�cul C(S(t))shading faceted;xlabel(�Time remaining�);ylabel(�Stock price�);zlabel(�Wealth�);title(�Function C_0 graphed with wealth of Black Scholes
portofolio�);axis([0 180 60 120 0 25]);grid on;hold on;d_1=(log(S_0/c)+(r+(sigma^2)/2)*t)./(sigma*sqrt(t));
// d1 =1
�ptlog
S0c+rpt
�+�pt
2;
C_0=S_0.*normcdf(d_1)-c*exp(-r*t).*normcdf(d_1-sigma*sqrt(t));// C0 = pF (d1)� ce�rtF (d1 � �
pt);
plot3(T-t,S_0,x+0.1);end.
Prin compilarea în Matlab a programului de mai sus se vor obtine urm¼a-toarele gra�ce
Bibliogra�e
1. Janos Galambos:"Advanced Probability Theory", 2nd edition,M.Decker,NewYork, 1995.
2. Lawrence C.Evans:"An introduction to Stochastic Di¤erential Equations",Version 1.2
3. M.Baxter,A.Rennie:"Financial Calculus:An Introduction to Derivative Pric-ing", Cambridge U.Press, 1996
4. Etienne Pardoux:"Introduction aux Mathématiques Financiéres"
55
Recommended