View
40
Download
0
Category
Preview:
DESCRIPTION
Matamatika za masinstvo
Citation preview
5/21/2018 Matematika III Usmeni
1/25
1. Pojam sistema diferencijalnih jednaina
Sistem diferencijalnih jednaina od n nepoznatih funkcija [ ])(),...,(),( 21 xyxyxy n uoptem obiku glasi
( ) !,...,,,...,,...,,,,...,,, "
2
"
221
"
11 =
kn
nnn
kik
i yyyyyyyyyxF ....(1)S#aka diferencijalna jednaina ima s#oj red nkkkq +++= ...21 . $pte rjeenje sistema(1) jeste sistem funkcija koje zado#olja#aju s#aku jednainu sistema (1) iz kojih se mo%edobiti s#ako partikularno rjeenje.
&artikularo rjeenje sistema je ono rjeenje koje zado#olja#a poetne uslo#e.!!2!!21!!1 )(....,,)(,)( nn yxyyxyyxy === ' tz#. oije#e ili poetne uslo#e.
Sistem ...(1) se mo%e zamijeniti sistemom u kome figuriu naj#ie iz#odi reda.
)(
)2(
""
1)*(
"""
1
21
,
,...,,
knkn
nn
n
yy
yyyy
yyy
+
++
=
==
S#aki sistem se mo%e napisati u normalnom obliku, a taj oblik glasi
( ) niyyyxfdx
dyni
i ,...,1,...,,, 21 ==
Teorema 1.+ko u okolini iz poetnih uslo#a ( )!2!1!,! ....,,, nyyyx funkcijenfi ,....,2,1= , ispunjeni uslo#i
a) neprekidne su,b) zado#olja#aju uslo# ipica po -1do -n.tada u okolini poetnih uslo#a postoji jedinst#eno rjeenje sistema (1), za koje #rijedi
2121 )()( xxLxfxf
5/21/2018 Matematika III Usmeni
2/25
=
=
=
=
=
=
nn
nnn
n
n
f
f
f
yyyxdx
dy
yyyxdxdy
yyyxdx
dy
1
22
11
211
2122
2111
),...,,,(
),...,,,(
),...,,,(
....()
!),...,,(
),...,,(
1
*
1
2
1
2
*
2
2
2
1
*
1
2
1
*2
21
=
n
nnn
n
n
n
n
yyy
yyy
yyy
yyy
3ada sistem ima jedninst#eno rjeenje. &retposta#imo da je
!),...,,(
),...,,(
*2
21
n
n
yyy
i da mu je jedinst#eno rjeenje -1,-2,...,-n.
)4....(),...,,,,(
),...,,,,(
),...,,,(
1""
1
"
11
*212
2
21
=
=
=
n
nn
i
n
nni
nii
Fyyyxdx
yd
FFFyxdx
yd
yyyxFy
1) ako su funkcije -2, -*, ..., -nrjeenje sistema () tada je -nrjeenje sistema (4).2) ako su funkcije -2, -*, ..., -nrjeenje sistema () i -1je rjeenje sistema (4) ako je -1,-2, ..., -nrjeenje sistema.
3. Prvi integrali sistema diferencijalnih jednaina
niyyyxfdx
dy
ni
i
,....,2,1)5,...,,,( 21 ==
2
5/21/2018 Matematika III Usmeni
3/25
Definicija.+ko za s#ako rjeenje sistema ),...,,( 21 nyyy , funkcija),...,,,( 21 nyyyx ima konstantnu #rijednost RCCyyyx n = ,),...,,,( 21 , onda za
funkciju ka%emo da je pr#i integral sistema i on u#ijek ima konstantnu #rijednost.Sistem funkcija niCyyyx ini ,...,2,1,),...,,,( 21 == je linearno neza#isan ako je
!),...,,(
),...,,(
21
22
2
2
1
11
2
1
1
21
21
=
n
n
nn
n
n
n
n
yyy
yyy
yyy
yyy
n ,...,, 21 ' linearno su za#isne ako je!...
2211 =+++ nn , ako i samo ako!...21 ==== n ' su skalari nula.
6eka znamo nlinearno neza#isnih integrala niCyyyx ini ,....,2,15),...,,,( 21 ==
!
),...,,(
),...,,(
21
21
n
n
yyy
.
7 tom sluaju sistem se mo%e jednoznano izraunati iz sistema algebraskih jednaina
=
==
),...,,,(
),...,,,(
),...,,,(
21
2122
2111
nnn
n
n
CCCxyy
CCCxyy
CCCxyy
iz kojeg slijedi rjeenje sistema.
4. Pojam sistema linearnih diferencijalnih jednaina. Metoda varijacije
konstanti.
Sistem diferencijalnih jednaina u normalnom obliku glasi
+++=
+++=
+++=
)()(...)(
)()(...)(
)()(...)(
11
22121
2
11111
1
xbyxayxadx
dy
xbyxayxadx
dy
xbyxayxadx
dy
nnnnn
n
nn
nn
....(1)
3
5/21/2018 Matematika III Usmeni
4/25
7#est 8emo slijede8e oznake
=
ny
y
y
Y
2
1
5
==
"
"
2
"
1
"
ny
y
y
dxdyy
5
=
nb
b
b
B
2
1
9atricu + mo%emo napisati
=
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
A
...
...
...
21
22221
11211
BAYdx
dy+= ' u o#om sluaju rjeenje je #ektor i o#aka# sistem se nazi#a nehomogeni
sistem.
ada je !)( =xbi ' dobijamo pojednosta#ljenje sistema.AY
dx
dy= ' homogeni sistem linearnih diferencijalnih jednaina ...(2)
Teorema 1.+ko je - rjeenje sistema (1), onda je :- (:;const.) rjeenje sistema (1).Teorema 2.+ko su -1i -2rjeenja sistema (2) onda je :-1i :-2rjeenje sistema (1).
11 yA
dx
dy= 5 2
2 yAdx
dy= 5 )(
)(21
21 yyAdx
yyd+=
+
5/21/2018 Matematika III Usmeni
5/25
7koliko je !k onda ka%emo da su funkcije nyyy ,....,, 21 linearno za#isne nainter#alu (a,b). ednakost ...(*) znai slijede8e
!...
2
1
2
22
12
2
1
21
11
1 =
++
+
nn
n
n
n
nn y
y
y
y
y
y
y
y
y
Definicija.6eka su nyyy ,....,, 21 rjeenja sistema ...(1) tada =ronskijan skuparjeenja nyyy ,....,, 21 zo#emo slijede8u determinantu
nnnn
n
n
yyy
yyy
yyy
W
....
...
...
21
22221
11211
=
tada od naina da se doe do opteg rjeenja sistema (1) je metod #arijacije konstanti.
6eka je zadato BAYdx
dy+= i neka je
=
m
i
ii yC1
, tada opte rjeenje sistema (1) tra%imo u
obliku
= =m
i
ii yxCy1
)( ...()
5
5/21/2018 Matematika III Usmeni
6/25
&ri emu je :i(>) nepoznata funkcija koju treba odrediti.
====
===
m
i
ii
m
i
ii
m
i
ii
m
i
ii yCAyCyCAyC11
"
1
"
1
ByxCAyxCBAYdxdy m
i
ii
m
i
ii +=
+=
== 1
"
1
)()(
ByxCByxCAyxCyxCm
i
ii
m
i
ii
m
i
ii
m
i
ii +=+=+ ==== 1
"
11
"
1
" )()()()( ...()
?unkcija )(" xCi dobija se iz () ili u obiku
inn byxCyxCyxC =+++ 1
"
12
"
211
"
1 )(...)()(
6
5/21/2018 Matematika III Usmeni
7/25
5. Sistem linearnih diferencijalnih jednaina sa konstantnim
koeficientima
&osmatrajmo homogeni sistem
AYdx
dy
= ijij axa =)(
=
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
A
...
...
...
21
22221
11211
=
ny
y
y
y
2
1
@jeenje tra%imo u obliku kxnnkxkx
eAyeAyeAy === ,....,,2211 .
nAAAk ,...,,, 21 ' konstante koje treba odrediti.kx
nn
kxkxeAkyeAkyeAky === "2
"
21
"
1 ,....,,
=
kx
n
kx
kx
nnnn
n
n
kx
n
kx
kx
eA
eA
eA
aaa
aaa
aaa
eAk
eAk
eAk
2
1
21
22221
11211
2
1
...
...
...
....()
7
5/21/2018 Matematika III Usmeni
8/25
!)(....
!...)(
!....)(
2211
2222121
1212111
=+++
=+++
=+++
nnnnn
nn
nn
AkaAaAa
AaAkaAa
AaAaAka
ili !
)(
)(
)(
21
22221
11211
=
kaaa
akaa
aaka
nnnn
n
n
9ogu8i su slijede8i sluaje#i1. k A realno rjeenje 1=k 2. k A kompleksno rjeenje 1=k
ibak =
=
kx
n
kx
kx
eA
eA
eA
y
2
1
=
kx
n
kx
kx
n
eA
eA
eA
y
2
1
=
xkn
xk
xk
n
eA
eA
eA
y
2
1
*. k A realno rjeenje 1k 4. k A kompleksno rjeenje 1k
=
kxn
n
kx
n
kx
n
exP
exP
exP
y
)(
)(
)(
2
1
=
kxn
n
kx
n
kx
n
exP
exP
exP
y
)(
)(
)(
"
2
1
=
xkn
n
xk
n
xk
n
exP
exP
exP
y
)(
)(
)(
"
2
1
)(...)()()(21! xAxAxAAxP in
iiii
n ++++=
8
5/21/2018 Matematika III Usmeni
9/25
=
+=+)()(
)()()(
xhxh
yhxhyxh
. Pojam i oso!ine vektorske funkcije "ne#rekidnost$ diferencija!ilnost$
integra!ilnost%
i) )(xfy= ' eksplicitni nain zada#anja kri#eii) !),( =yxf ' implicitni nain zada#anja kri#e
iii))(
)(
tyy
txx
==
' parametarski nain zada#anja kri#e.
Brafik funkcije je raspored taaka po kri#oj.
Mr ' #ektor polo%aja take 9.
{ }
*
*
*21*21*
*
),,(
,,
VR
bilobida
kzjyixrzyxM
RaaakajaiaV
Vr
M
M
++=
++=
ako su o#e d#ije osobine ispunjene, tada se ka%e da se radio izomorfnom preslika#anju.
Definicija 1.+ko su )()(),( *21 taitata skalarnefunkcije definisane na nekom skupu RD , onda ka%emo da su
ktajtaitata )()()()( *21 ++= #ektorske funkcije definisane na RD .Definicija 2.
5/21/2018 Matematika III Usmeni
10/25
Definicija 7. Ciferncijal funkcije dttatadta )(")()( =+ , ima slijede8e osobinei) )(")(")()( " tbtatbta =ii) )(")()()(")()( " tbtatbtatbta +=
iii) )(")()()(")()( " tbtatbtatbta +=
Definicija 8.Dektor zo#emo odreenim integralom #ektorske funkcije)(ta
, nasegmentu [ ], ako je neo#isan o podjeli segmenta [ ], i neo#istan broj taaka)( 1ttt ii
dtta =
)(
$sobine
1. dttaCdttaC =
)()(
2. dttaCdttaC =
)()(
*. [ ] dttbdttadttbta +=
)()()()(
4. dttaCdttaC =
)()(
E. dttadtta =
)()(
&. 'etifikacija krive u #rostoru
l ' kri#a
=
=
=
)(
)()(
)(
tzz
RDttyy
txx
l
ktzjtyitxtrr
VR
)()()()(
*
*
++==
Dektorska jednaina kri#e glasi )()()()()( RDtktzjtyitxtrrl ++==
)()()()()( RDtktzjtyitxtrrl
kri!el"kAB
++==
7 o#om sluaju smatramo da taki + odgo#ara #rijednost parametra =t ,[ ])(),(),( zyxA
+nalogno, taki = odgo#ara parametar =t[ ])(),(),( zyxB
uk kri#e u #ektorskom obliku.
(. Prirodni triedar krive. )renet * ove formule
6eka je glatki luk += zadan prirodnim jednainama
10
5/21/2018 Matematika III Usmeni
11/25
[ ]###rr ,!)( =
Dektord#
rdr # =
"
)( predsta#lja #ektor tangente na zadanu
kri#u u posmatranoj taki ije se smijer poklapa sa smijeromrasta prirodnom parametra s.
1)(")(")("
1)(" ====
d#
rdtrt#
t#tr
d#
dt
dt
rd
d#
rd
12
== ttt
d#
rdt= ' jedinini #ektor tangente.
2
2
1d#
rd
d#
tdn == ==
2
2
1
1 d#
rd
n
nn
nd#
td
d#
td
d#
rdn ===
112
2
&r#a ?reneto#a formula
!1
' poluprenik kri#ine kri#e.
11
5/21/2018 Matematika III Usmeni
12/25
Definicija.Skalar oznaa#a torziju kri#e u posmatranoj taki, a oznaa#a se naslijede8i nain
$$
= !
lim , gdje je
' ugao za koji se rotira #ektor b , pri prirataju $ .
Terorema.6eka je luk += gladak i neka je )(#rr = prirodna parametrizacija togluka koja ima neprekidne iz#ode do tre8eg reda, tada #rijedi
nd#
bd
= ' Cruga ?reneto#a formula.
i) b5! ' rotira se u poziti#nom smijeru (suprotan smijer kretanja kazaljke sata),
ii) b5! ' rotira se u negati#nom smijeru (smijer kretanja kazaljke na satu).n
d#
bd=
7 sluaju kada je ! , odnos
1zo#e se poluprenik torzije kri#e.
)()(
)()(
)(
tb
nbtnnbtn
d#
tdbt
d#
bdtb
d#
d
d#
nd
tbn
+=
=+=+=
=+==
=
tnb
btn
=
=
btd#
nd+= ' 3re8a ?reneto#a formula.
1+. Prave i ravni #rirodnog triedra
bnt#rrl ,,)( =RtM% = , ' uslo# da je 3 na tangenti.
( )
rRM%
#z#y#x#r
zyxR
=
=
=
)(),(),()(
),,(
12
5/21/2018 Matematika III Usmeni
13/25
d#
rd#rR
zyxd#
rdt
k#zj#yi#x#rr
Rt#rRt
+=
==
++==
+=
)(
,,
)()()()(
)(
...
.
.
.
)(
,)(
)(
z#zz
Ry#yy
x#xx
+=
+=
+=
Rb#rRb
Rn#rRn
+=
+=
,)(
,)(
@a#nik#zj#yi#x#rrl )()()()( ++==
)(#rr = ' ima do#oljno diferencijala),,( bnM zo#e se normalna ra#an kri#e u posmatranoj taki.
!)(!)(
!5
==
==
d#
rdrRtrR
tM%tM%%t&
' #ektorska jednaina normalne ra#ni.
Skalarna jednaina normalne ra#ni glasi
( ) ( ) ( ) !)()()( =++d#
dz#zz
d#
dy#yy
d#
dx#xx
),,( ntM zo#e se oskulatorna ra#an kri#e u posmatranoj taki.
=
=
!)(
5)(
2
2
2
2
d#
rd
d#
rdrR
d#
rd
d#
drbbrRb&
!......
...
=
zyx
zyx
zzyyxx
),,( btM ' zo#e se retrifikaciona ra#an kri#e u posmatranoj taki.
2
2
d#
rdn& =
Dektorska jednaina retrifikacione ra#ni
!)(5!)(2
2
==d#
rdrRnrR
Skalarna jednaina retrifikacione ra#ni
( ) ( ) ( ) !)()()(...... =++ z#zzy#yyx#xx
13
5/21/2018 Matematika III Usmeni
14/25
11. Pojam i orjentacija #ovr,i
7 s#akoj taki po#ri S postoje d#a jedinina jedan drugom suprotna #ektora normalena po#r (#ektor normale na po#r je #ektor normale tangencionalne ra#ni posta#ljen u
tangencionalnoj taki).
6eka je 9!proiz#oljna fiksna taka u po#i S. 6eka je proiz#oljna zat#orena,prosta kri#a koja sadr%i taku 9!, le%i na po#i S i ne sije8e rub . 6eka je lM proiz#oljna taka sa kri#e l, posmatrajmo normalu u lM koja se stalno mijenja, doktaka 9, poe# od 9!, obilazi kri#u l. mamo d#ije mogu8nosti
+ko za s#aku taku $M ! i za s#aku kri#u $l poslije obilaska kri#e l, normala& se poklopi sa poetnim polo%ajem 9!, onda ka%emo da je po#r S d#ostrana po#. +kose normala & poslije obilaska poklopi sa ' !& , onda ka%emo da je po#r S jednostrana.
Definicija.Skup taaka po#ri sa izabranom normalom na p#r, zo#e se strana po#ri.( )xoyDyxyxzz$ = ),(),,(
y
yxzyxqq
x
yxzyx''
defdef
==
==
),(),(5
),(),(
p i F su neparne na definicijonom podruju.
( )1,,1,, =
= q'y
z
x
z&
( ( )( ) ( )( ) ( )
kji
kk&
jj&
ii&
==
==
==
==
1,!,!,
!,1,!,
!,!,1,
( )1,,11
cos
1cos
1cos
22
2222
=++
=
++
=
++
=
q'&q'
q'
q
q'
'
......(1)
zborom predznaka u jednainama ...(1) #rimo izbor smijera normale na po#r.Posljedica. 1coscoscos
222 =++
zborom smijera normale po#ri iz#ili smo i smijer normale po#i. zborom stranepo#ri ka%emo da smo orjentisali po#r. &oziti#nom stranom po#ri mo%emo naz#ati bilokoju od d#ije strane. 7 tom sluaju, ona druga 8e biti negati#na strana po#i.
5/21/2018 Matematika III Usmeni
15/25
12. Povr,ina #ovr,i
Definicija.&o#ina je skalar koji se dodaje po#rini. 2RD ka%emo da ima po#r
&(C)ako za proiz#oljno malo ! postoji konana familija paralelograma { } 1=jia takoda je
$-
ra#an koja ima po#rinu =D
D dxdyP
)( .
6eka su Cj(j;1,2,...,n) paralelogrami koji pokri#aju po#rinu C.
!,....,*,1 = nLjDj
5/21/2018 Matematika III Usmeni
16/25
oblasti xy$D= . &odijelimo oblast C an dijelo#e C1, C2, ..., Cnpri emu jiDiD ji imaju zajednike e#entualno samo rubne take.
==
==n
j
DD
n
j
j jPPDD
1
)()(
1
,
$#a podjela oblasti C odgo#ara pra#ilnoj podjeli po#ri S na podoblasti S1, S2,..., Sn.Cjje ortogonalna projekcija sa po#ri Sj, uoa#amo tangencijalnu ra#an j . 6a osno#uteoreme 1 dobijamo da je
ednaina tangencijalne ra#ni je )()(1 jjjj yyqxx'zz +=
jj M
j
M
jy
zq
x
z'
=
=
)(
1 1
22
)( 1 jj D
n
j
n
j
( Pq'P ++= = =
' &osljednja jednakost integralne sume
22
22 11
+
+=++=y
z
x
zq'W
=
=
=),( =ddiamDdijametardiamD jj
)(
1
)(
22
)(
1!
)(
1
22
!
lim1),(
),(lim1lim
$
n
j
(n
DD
D
n
j
jjd
D
n
j
jjd
PPdxdyq'dxdyyxW
PyxWPq'
j
jj
==++==
=++
=
=
=
dxdyy
z
x
zdxdyq'P$
+
+=++=22
22
)( 11
+ko su date smjene "d!)!"!"yy!"xx == ),(),(),(
( ) ),(),(),,(),(
),(
1 !"z!"y!"xzz
!"yy
!"xx
====
)!"k!"zj!"yi!"x!"r$ ++= ),(),(),(),(),(
d!d"rr$P)
!" =.
)(
.
)()(
13. Povr,inski integral - vrste "#ojam i oso!ine%
6eka je glatka po#r S zadana jednainomD!"k!"zj!"yi!"x!"rr ++== ,5),(),(),(),( ...(1)
ako je po pretposta#ci po#r S glatka to znai da su ),(),,(),,( !"z!"y!"x neprekidne na C i da imaju neprekidne pr#e iz#ode. Drijedi da je !
""
!" rr #ektornormale. $sim toga, za funkciju ),( !"rr = dodatno pretposta#ljamo da oblast !"*D ", obostrano jednoznano preslika#a na po#r S. 6eka je nDDD ,...,, 21 pra#ilno
podijeljena oblast C. 3o znai
1. n
j
jDD1=
=
2. jizaDiD ji , imaju zajedniko e#entualno samo rubne take.
5/21/2018 Matematika III Usmeni
17/25
1. n
j
j$$1=
=
2. jiza$i$ ji , imaju zajedniko e#entualno samo rubne take.6eka je funkcija )(),,( 1* RRfzyxff = definisana i ograniena na po#ri S.
zaberimo proiz#oljne take ),...,2,1(),,( ni$zyxM ii = .?ormirajmo sada integralnu sumu funkcije f za podjelu " uz na#edeni izbor taaka.
)(
1
" ),,( $i
n
i
i
def
Pzyixif = =
...(2)
ini
def
$diamd
=1
ma>"
Definicija.=roj nazi#a se po#rinski integral pr#e #rste funkcije ),,( zyxf po
po#ri S, ako za proiz#oljno malo !,! )( , tak#o da #rijedi
5/21/2018 Matematika III Usmeni
18/25
14. Povr,inski integral -- vrste "#ojam i oso!ine%.
**
**
VV
RRa
kzyxRjzyx+izyxPzyxaraa
aaakajaia
VRkzjyixrzyxM
),,(),,(),,(),,()(
),,()(
),,(
*21*21
*
*11
11
++===
=++
++=
Definicija 1.deka je zadana glatka po#r S i #ektorski fluks )(raa = . =roj
= d$&aadef
nazi#amo fluks #ektora a kroz onu stranu po#ri S koja odgo#ara
#ektoru normale & .6apomena Hesto piemo da je d$d$& =6eka se glatka po#r S mo%e izraziti na jedan od naina
==
=
yz
xz
xy
$zyxzyxx
$zxyzxyy
$yxzyxzz
),(),,(.*
),(),,(.2
),(),,(.1
&retposta#imo da se glatka po#r obostrano i jednoznano preslika#a (ortogonalnopreslika#a) na s#aku koordinatnu ra#an. zborm normala na po#r $M iz#rimoorjentaciju po#ri S. Strana po#ri S koja odgo#ara #ektoru & koji sa z A osom zaklapaotar ugao proglasimo poziti#nom stranom i oznaimo je sa ( )+$ , a suprotnu sa ( )$ .
(( )( )
( ) ( ) ( )kji&kji&
k&
dPd$j&
i&
$
++=++=
=
==
=
coscoscos
coscoscos
,
,
,
)(
( ) ( )
++
=++=++=
=++++==
$$$
$$
$$
d$Rd$+d$P
d$Rd$+d$Pd$R+P
d$kjikRj+iPd$&aa
coscoscos
coscoscoscoscoscos
coscoscos
=$
d$zyxR cos),,(*
xy$yxzyxzz = ),(,),(' $rtogonalna projekcija
)(
22
)( 1 xy$$ Pq'P ++=
dxdyd$dxdydPd$
dxdyPP
q'
k&
k&
q'
$
$$ xy
===
==
=++
=
++=
cos
cos
1
coscos
1
cos
11
cos1
1cos
)(
)()(
22
22
18
5/21/2018 Matematika III Usmeni
19/25
==$$
dxdyyxzyxRd$zyxR )),(,,(cos),,(*
=roj =$
dxdyyxzyxR )),(,,(* nazi#amo po#rinski integral druge #rste
funkcije ),,( zyxR po poziti#noj strani po#ri (S) i po koordinatama > i -. 7budu8e
8emo ga obilje%a#ati sa = $ dxdyzyxR ),,(* .6a isti nain se definiu po#rinski integrali #rste od ),,( zyxP i ),,( zyx+ po
koordinatama - i z odnosno > i z.
=$
d$zyxR cos),,(1
yz$zyzyxx$ = ),(),,(
+
===$$$
PdydzdydzzyzyxPd$zyxR ),),,((cos),,(1
=$
d$zyx+ cos),,(2
xz$zxzxyy$ = ),(),,(
+
===$$$
+dxdzdxdzzzxyx+d$zyx+ )),,(,(cos),,(2
onano fluks #ektorskog polja glasi
+++
++=++==$$$$
dxdyRdxdz+dydzPd$&aa *21
$dnosno
[ ]+
++=$
dxdyRdxdz+dydzPa
15. Pojam skalarnog #olja. -vod u adanom #ravcu. /radijent.
Definicija1.skalarno polje z#a8emo preslika#anje 1* RRf ,*
),,,( RDzyxfff= .
*
*11
11
),,( VRkzjyixrzyxM ++=
1
* RVf ' skalarno polje.*
* RVf ' #ektorsko polje.Definicija 2.ednainom .,)(,),,( 1 ,on#tCCrfCzyxf === zadan je ni#o
po#rinskog skalarnog polja f.Czyxf =),,( ' po#r zadana implicitno.
&1) !,5),,( 2222
2
2 =++++= CCzyxzyxzyxf6eka nam je zadano skalarno polje ff D,baARDzyxff int),,(,),,,(
* = (int'unutranja taka).
( ) ( ) ( )kejeiekjie
5,5,5
coscoscos
===
++=
6eka je fDzyxM ),,( proiz#oljna taka na polupra#oj )5( eAl . 6eka surir A)( #ektori polo%aja taaka + i 9, a oznaa#amo ih sa ),( MA= . Guklidska
udaljenost izmeu + i 9
eAM
erAMrr AA
=
+=+=
19
5/21/2018 Matematika III Usmeni
20/25
Definicija 3.z#od skalarnog polja f po pra#cu l u oznacil
f
, definie se na
slijede8i nain
),(
),,(),,(lim
)(
MA
,bafzyxf
l
fAM
A
l
=
Codatno pretposta#imo da je funkcija ),,( zyxff = diferencijabilna na fDint .
( ) ( ) ( ))(
)!(!)(
)(
222
zyjzxiyx
zyx
zz
fy
y
fx
x
ff
+++
++=
+
+
+
=
( )
e
AAAA
AAAAAA
AAAAA
AAAAA
kjikz
rfj
y
rfi
x
rf
dl
rdf
z
rf
y
rf
x
rfrferf
dl
rdf
z
rf
y
rf
x
rfrferf
zf
yf
xf
zz
fy
y
fx
x
frferff
coscoscos)()()()(
cos)(
cos)(
cos)()()(
lim)(
cos)(
cos)(
cos)()()(
!/)(coscoscos
)()()(
!
)()()(
++
+
+
=
+
+
=+
=
+
+
=+
++
+
=
=+
+
+
=+=
Definicija 4.Dektor kzf
jy
f
ix
f
+
+
z#at 8emo gradijentom skalarnog polja f oznaa#ati kao grad f.
Definicija 5.$perator definie se kao
kz
jy
ix
def
+
+
=
6apomena 1. ako je nabla ( ) oito diferencijabilni operator on je oitolinearan (homogen i akti#an)2. [ ]),,( zyxfff-radf ==
$sobine1. .! )()( ,on#tff MM ==
2. 2121 )( ffff +=+*. 212121 )( ffffff +=
4. ( ) !51
22121222
1 =
fffff
ff
f
E. ( )),,()(")( zyxfrr
rrfrf ==
1. Pojam vektorskog #olja. 0ektorske linije vektorskog #olja.
Definicija 1.preslika#anje ),(,, **** VVaRRa nazi#amo #ektorskim poljem.)(, *VaDRDR
20
5/21/2018 Matematika III Usmeni
21/25
7budu8e 8emo #ektorsko polje predsta#ljati u obliku
krRjr+irPraa
odno#nokzyxRjzyx+izyxPzyxaa
)()()()(
5),,(),,(),,(),,(
++==
++==
&ri emu su &,I i @ skalarna polja.Definicija 2.Dektorskom linijom , #ektorskog polja )(ra , nazi#a se geometrijsko
mjesto taaka koje s#e imaju osobinu da tangente na liniju u tim takama le%e napra#cima odreenim #ektorom )(ra , pri emu je r #ektor polo%aja posmatrane take.
kdzjdyidxrd
rardrard
krajrairara
rdt
rat
k#zj#yi#xrL
++=
=
++=
=
++=
)()(
)()()()(
)(
)()()(
*21
*21
*
2
1
a
dz
a
dy
a
dx
adzady
adx
L
==
= =
=
@jeenja posljednjeg sistema su d#olinearno neza#isna rjeenja pr#og integrala. 6ekasu to 2211 ),,(),,( CzyxeiCzyxe ==
&rimijetimo da s#ki od pr#ih integrala predsta#lja familiju po#i. Dektorske linije ,#ektorskog polja )(ra nalaze se u presjecima po#ri uzetih iz o#e d#ije familije.
21
5/21/2018 Matematika III Usmeni
22/25
1(. Prostorni ivod skalarnog #olja.
6eka nam je zadano skalano polje f, odnosno #ektorsko polje a . $znaimo njiho#adefiniciona podruja sa fD odnosno aD .
*RD
f
6eka je + unutranja taka definicijonog podruja fDA int .6eka je fDD int , oblasti fD , tak#a da sadr%i taku + kao s#oju unutranju taku.
$sim toga tra%it 8emo da oblast D bude zat#orena i ograniena oblast ija je rub glatkapo#r S. Sa Dme#D= oznait 8emo zapreminu od D . $sim toga, definiimo diametaroblasti Ddiam .
{ }
===
$
d$&$drdrdrf
D&M&MdDdiam
(.)(
,),(sup
+ko ADDdiam !Definicija 1.
a) &rostornim iz#odom skalarnog polja )(rf nazi#amo graninu #rijednost
D
drf
Ddiam
)(lim
!
, ukoliko limes postoji.
b) &rostornim iz#odom #ektorskog polja )(ra u skalarnom obliku nazi#amoslijede8u graninu #rijednost
D
dra
Ddiam
)(lim
!
, ukoliko limes postoji.
c) &rostornim iz#odom #ektorskg polja )(ra u #ektorskom obliku nazi#amoslijed8u graninu #rijednost
Ddra
Ddiam )(lim ! , ukoliko limes postoji.Teorema 1.&rostorni iz#od skalarnog polja )(rf (ukoliko postoji) jednak je
gradijentu tog polja u posmatranoj taki +.
)(!
)(lim A
Ddiamf-rad
D
drf=
1. ivergencija vektorskog #olja. eorema /aus * strogradskog.
Definicija 1.Ci#ergencija #ektorskog polja je po definiciji jednaka prostornom
iz#odu #ektorskog polja )(ra u skalrnom obliku, tj
D
draradi!
Ddiam
def
=
)(lim)(
!
$sobime di#ergencije)()())()((.1 2121 radi!radi!raradi! +=+
!
!
)()(
)()(.2
brb-radrbdi!
brbrb
=
=
)()(
,)()()()(
.*
*21
raradi!
jeda!rijedikrajrairara
kaozadato'olje!ektro#koje&eka
=
++=
22
5/21/2018 Matematika III Usmeni
23/25
( ) )(
)()()(
)()()()()()()(
)(
*21
*21
***222
111
*21
*21*21
rakajaiakz
jy
ixz
a
y
a
x
a
kkz
aj
y
ai
x
ajk
z
aj
y
ai
x
a
ikz
aj
y
ai
x
akra-radjra-radira-rad
kradi!jradi!iradi!krajrairadi!radi!
ra
=++
+
+
=
+
+
=
=
+
+
+ +++
+
+
+
=++=
=++=++=
)()( raradi! =
Teorema (Gaus-Osro!rads"o!#.+ko za #ektorsko polje )(ra postoji po#rinskiintegral po zat#orenoj glatkoj po#ri S koja je rub oblasti D , i ako su )(ra i )(radi! neprekidne funkcije u oblasti D , tada #rijedi
)()()( dxdydzdVdDdDradi!dra$
===
2+. 'otor vektorskog #olja.
@otor #ektorskog polja )(ra je po definiciji jednak prostornom iz#odu#ektorskog polja )(ra u #ektorskom obliku, tj
D
drararot
Ddiam
def
=
)(lim)(
!
$sobine rotora)(1212 raa =
2121 )(.1 arotarotaarot +=+
!
!!
)()(
.)()()(.2
brb-radrbrot
,on#tbbrbrb
=
==
)()(
,)()()()(
.*
*21
rararot
jeda!rijedikrajrairara
kaozadato'olje!ektro#koje&eka
=
++=
23
5/21/2018 Matematika III Usmeni
24/25
Cokaz
( ) ( ) ( ) ( )
)(
1!!!1!!!1
)(
*21
121*2*
**2211
***222111
*21
2
2
*21
1
221
ra
aaa
zyx
kji
ky
a
x
aj
z
a
x
ai
z
a
y
a
jx
ai
y
ai
z
ak
x
ak
y
aj
z
a
z
a
y
a
x
a
kji
z
a
y
a
x
a
kji
z
a
y
a
x
a
kji
ka-radja-radia-rad
karotjarotiarotkajaiarotrarot
=
=
+
=
=
+
+
=
=
+
+
=
=++=
=++=++=
arota
adi!af-radf
=
==
21. lasifikacija vektorskog #olja.
Definicija 1.Dektorsko polje )(ra zo#emo potencijalno polje ako je!)( =rarot i )(!)( aDrradi! .
Teorema 1.+ko je )(rf skalarno polje, onda je )(ra definisano kao
)()( rf-radradef
= potencijalno polje.
Cokaz. &oka%imo da je !)( =rarot !)()()()()( ===== ffrf-radrararot
Teorema 2.ako je #ektorsko polje )(ra potencijalno polje, onda postoji skalarnopolje )(rf tak#o da #rijedi
)()( rf-radra =
6apomena Skalarno polje )(rf iz posljednje teoreme nazi#amo potencijalom.S#ako potencijalno polje ima s#oj potencijal.
Definicija 2.7koliko postoji #ektorski kri#olinijski integral oblika rdraL
)( ,onda se on zo#e cirkulacija #ektorskog polja )(ra du% orjentisane kri#e .
Teorema 3.:irkulacija potencijalnog #ektorskog polja du% kri#e , jednaka jerazlici potencijala u krajnjoj i poetnoj taki kri#e .6eka je )(ra potencijalno polje, onda je
)()()( rf-radrarf =
( )
)()(
)(
AB
LL
LL
ffdfdzz
fdy
y
fdx
x
f
kdzjdyidxkz
fj
y
fi
x
frdf-radrdra
==
+
+
=
=++
+
+
==
Definicija 3.Dektorsko polje )(ra nazi#amo aplaso#im poljem ako #rijedi da!)( =rarot i !)( =radi! .
2
2
2
2
2
2
zyx
def
+
+
=== ' aplasijan
24
5/21/2018 Matematika III Usmeni
25/25
22. Stoksova teorema.
+ko #ektorsko poljekzyxRjzyx+izyxPkrRjr+irPraa ),,(),,(),,()()()()( ++=++==
ima neprekidne funkcije &, I, @,yRi
xR
z+
x+
zP
yP
,,,, , na glatkoj
po#ri S koja je odreena kri#om , tada je cirkulacija #ektorskog polja )(ra du% kri#e jednaka fluksu kroz po#r S.
dxdyy
P
x
++dyPdx
drarotrdra
L D
$L
=+
= )()(
rdraL
)( ' cirkulacija #ektorskog polja )(ra .
drarot$
)( ' rotor #ektorskog polja )(ra .
25
Recommended