Matematika III Usmeni

5/21/2018 Matematika III Usmeni

1/25

1. Pojam sistema diferencijalnih jednaina

Sistem diferencijalnih jednaina od n nepoznatih funkcija [ ])(),...,(),( 21 xyxyxy n uoptem obiku glasi

( ) !,...,,,...,,...,,,,...,,, "

2

"

221

"

11 =

kn

nnn

kik

i yyyyyyyyyxF ....(1)S#aka diferencijalna jednaina ima s#oj red nkkkq +++= ...21 . $pte rjeenje sistema(1) jeste sistem funkcija koje zado#olja#aju s#aku jednainu sistema (1) iz kojih se mo%edobiti s#ako partikularno rjeenje.

&artikularo rjeenje sistema je ono rjeenje koje zado#olja#a poetne uslo#e.!!2!!21!!1 )(....,,)(,)( nn yxyyxyyxy === ' tz#. oije#e ili poetne uslo#e.

Sistem ...(1) se mo%e zamijeniti sistemom u kome figuriu naj#ie iz#odi reda.

)(

)2(

""

1)*(

"""

1

21

,

,...,,

knkn

nn

n

yy

yyyy

yyy

+

++

=

==

S#aki sistem se mo%e napisati u normalnom obliku, a taj oblik glasi

( ) niyyyxfdx

dyni

i ,...,1,...,,, 21 ==

Teorema 1.+ko u okolini iz poetnih uslo#a ( )!2!1!,! ....,,, nyyyx funkcijenfi ,....,2,1= , ispunjeni uslo#i

a) neprekidne su,b) zado#olja#aju uslo# ipica po -1do -n.tada u okolini poetnih uslo#a postoji jedinst#eno rjeenje sistema (1), za koje #rijedi

2121 )()( xxLxfxf


2/25

=

=

=

=

=

=

nn

nnn

n

n

f

f

f

yyyxdx

dy

yyyxdxdy

yyyxdx

dy

1

22

11

211

2122

2111

),...,,,(

),...,,,(

),...,,,(

....()

!),...,,(

),...,,(

1

*

1

2

1

2

*

2

2

2

1

*

1

2

1

*2

21

=

n

nnn

n

n

n

n

yyy

yyy

yyy

yyy

3ada sistem ima jedninst#eno rjeenje. &retposta#imo da je

!),...,,(

),...,,(

*2

21

n

n

yyy

i da mu je jedinst#eno rjeenje -1,-2,...,-n.

)4....(),...,,,,(

),...,,,,(

),...,,,(

1""

1

"

11

*212

2

21

=

=

=

n

nn

i

n

nni

nii

Fyyyxdx

yd

FFFyxdx

yd

yyyxFy

1) ako su funkcije -2, -*, ..., -nrjeenje sistema () tada je -nrjeenje sistema (4).2) ako su funkcije -2, -*, ..., -nrjeenje sistema () i -1je rjeenje sistema (4) ako je -1,-2, ..., -nrjeenje sistema.

3. Prvi integrali sistema diferencijalnih jednaina

niyyyxfdx

dy

ni

i

,....,2,1)5,...,,,( 21 ==

2


3/25

Definicija.+ko za s#ako rjeenje sistema ),...,,( 21 nyyy , funkcija),...,,,( 21 nyyyx ima konstantnu #rijednost RCCyyyx n = ,),...,,,( 21 , onda za

funkciju ka%emo da je pr#i integral sistema i on u#ijek ima konstantnu #rijednost.Sistem funkcija niCyyyx ini ,...,2,1,),...,,,( 21 == je linearno neza#isan ako je

!),...,,(

),...,,(

21

22

2

2

1

11

2

1

1

21

21

=

n

n

nn

n

n

n

n

yyy

yyy

yyy

yyy

n ,...,, 21 ' linearno su za#isne ako je!...

2211 =+++ nn , ako i samo ako!...21 ==== n ' su skalari nula.

6eka znamo nlinearno neza#isnih integrala niCyyyx ini ,....,2,15),...,,,( 21 ==

!

),...,,(

),...,,(

21

21

n

n

yyy

.

7 tom sluaju sistem se mo%e jednoznano izraunati iz sistema algebraskih jednaina

=

==

),...,,,(

),...,,,(

),...,,,(

21

2122

2111

nnn

n

n

CCCxyy

CCCxyy

CCCxyy

iz kojeg slijedi rjeenje sistema.

4. Pojam sistema linearnih diferencijalnih jednaina. Metoda varijacije

konstanti.

Sistem diferencijalnih jednaina u normalnom obliku glasi

+++=

+++=

+++=

)()(...)(

)()(...)(

)()(...)(

11

22121

2

11111

1

xbyxayxadx

dy

xbyxayxadx

dy

xbyxayxadx

dy

nnnnn

n

nn

nn

....(1)

3


4/25

7#est 8emo slijede8e oznake

=

ny

y

y

Y

2

1

5

==

"

"

2

"

1

"

ny

y

y

dxdyy

5

=

nb

b

b

B

2

1

9atricu + mo%emo napisati

=

nnnn

n

n

aaa

aaa

aaa

A

...

...

...

21

22221

11211

BAYdx

dy+= ' u o#om sluaju rjeenje je #ektor i o#aka# sistem se nazi#a nehomogeni

sistem.

ada je !)( =xbi ' dobijamo pojednosta#ljenje sistema.AY

dx

dy= ' homogeni sistem linearnih diferencijalnih jednaina ...(2)

Teorema 1.+ko je - rjeenje sistema (1), onda je :- (:;const.) rjeenje sistema (1).Teorema 2.+ko su -1i -2rjeenja sistema (2) onda je :-1i :-2rjeenje sistema (1).

11 yA

dx

dy= 5 2

2 yAdx

dy= 5 )(

)(21

21 yyAdx

yyd+=

+


5/25

7koliko je !k onda ka%emo da su funkcije nyyy ,....,, 21 linearno za#isne nainter#alu (a,b). ednakost ...(*) znai slijede8e

!...

2

1

2

22

12

2

1

21

11

1 =

++

+

nn

n

n

n

nn y

y

y

y

y

y

y

y

y

Definicija.6eka su nyyy ,....,, 21 rjeenja sistema ...(1) tada =ronskijan skuparjeenja nyyy ,....,, 21 zo#emo slijede8u determinantu

nnnn

n

n

yyy

yyy

yyy

W

....

...

...

21

22221

11211

=

tada od naina da se doe do opteg rjeenja sistema (1) je metod #arijacije konstanti.

6eka je zadato BAYdx

dy+= i neka je

=

m

i

ii yC1

, tada opte rjeenje sistema (1) tra%imo u

obliku

= =m

i

ii yxCy1

)( ...()

5


6/25

&ri emu je :i(>) nepoznata funkcija koju treba odrediti.

====

===

m

i

ii

m

i

ii

m

i

ii

m

i

ii yCAyCyCAyC11

"

1

"

1

ByxCAyxCBAYdxdy m

i

ii

m

i

ii +=

+=

== 1

"

1

)()(

ByxCByxCAyxCyxCm

i

ii

m

i

ii

m

i

ii

m

i

ii +=+=+ ==== 1

"

11

"

1

" )()()()( ...()

?unkcija )(" xCi dobija se iz () ili u obiku

inn byxCyxCyxC =+++ 1

"

12

"

211

"

1 )(...)()(

6


7/25

5. Sistem linearnih diferencijalnih jednaina sa konstantnim

koeficientima

&osmatrajmo homogeni sistem

AYdx

dy

= ijij axa =)(

=

nnnn

n

n

aaa

aaa

aaa

A

...

...

...

21

22221

11211

=

ny

y

y

y

2

1

@jeenje tra%imo u obliku kxnnkxkx

eAyeAyeAy === ,....,,2211 .

nAAAk ,...,,, 21 ' konstante koje treba odrediti.kx

nn

kxkxeAkyeAkyeAky === "2

"

21

"

1 ,....,,

=

kx

n

kx

kx

nnnn

n

n

kx

n

kx

kx

eA

eA

eA

aaa

aaa

aaa

eAk

eAk

eAk

2

1

21

22221

11211

2

1

...

...

...

....()

7


8/25

!)(....

!...)(

!....)(

2211

2222121

1212111

=+++

=+++

=+++

nnnnn

nn

nn

AkaAaAa

AaAkaAa

AaAaAka

ili !

)(

)(

)(

21

22221

11211

=

kaaa

akaa

aaka

nnnn

n

n

9ogu8i su slijede8i sluaje#i1. k A realno rjeenje 1=k 2. k A kompleksno rjeenje 1=k

ibak =

=

kx

n

kx

kx

eA

eA

eA

y

2

1

=

kx

n

kx

kx

n

eA

eA

eA

y

2

1

=

xkn

xk

xk

n

eA

eA

eA

y

2

1

*. k A realno rjeenje 1k 4. k A kompleksno rjeenje 1k

=

kxn

n

kx

n

kx

n

exP

exP

exP

y

)(

)(

)(

2

1

=

kxn

n

kx

n

kx

n

exP

exP

exP

y

)(

)(

)(

"

2

1

=

xkn

n

xk

n

xk

n

exP

exP

exP

y

)(

)(

)(

"

2

1

)(...)()()(21! xAxAxAAxP in

iiii

n ++++=

8


9/25

=

+=+)()(

)()()(

xhxh

yhxhyxh

. Pojam i oso!ine vektorske funkcije "ne#rekidnost$ diferencija!ilnost$

integra!ilnost%

i) )(xfy= ' eksplicitni nain zada#anja kri#eii) !),( =yxf ' implicitni nain zada#anja kri#e

iii))(

)(

tyy

txx

==

' parametarski nain zada#anja kri#e.

Brafik funkcije je raspored taaka po kri#oj.

Mr ' #ektor polo%aja take 9.

{ }

*

*

*21*21*

*

),,(

,,

VR

bilobida

kzjyixrzyxM

RaaakajaiaV

Vr

M

M

++=

++=

ako su o#e d#ije osobine ispunjene, tada se ka%e da se radio izomorfnom preslika#anju.

Definicija 1.+ko su )()(),( *21 taitata skalarnefunkcije definisane na nekom skupu RD , onda ka%emo da su

ktajtaitata )()()()( *21 ++= #ektorske funkcije definisane na RD .Definicija 2.


10/25

Definicija 7. Ciferncijal funkcije dttatadta )(")()( =+ , ima slijede8e osobinei) )(")(")()( " tbtatbta =ii) )(")()()(")()( " tbtatbtatbta +=

iii) )(")()()(")()( " tbtatbtatbta +=

Definicija 8.Dektor zo#emo odreenim integralom #ektorske funkcije)(ta

, nasegmentu [ ], ako je neo#isan o podjeli segmenta [ ], i neo#istan broj taaka)( 1ttt ii

dtta =

)(

$sobine

1. dttaCdttaC =

)()(

2. dttaCdttaC =

)()(

*. [ ] dttbdttadttbta +=

)()()()(

4. dttaCdttaC =

)()(

E. dttadtta =

)()(

&. 'etifikacija krive u #rostoru

l ' kri#a

=

=

=

)(

)()(

)(

tzz

RDttyy

txx

l

ktzjtyitxtrr

VR

)()()()(

*

*

++==

Dektorska jednaina kri#e glasi )()()()()( RDtktzjtyitxtrrl ++==

)()()()()( RDtktzjtyitxtrrl

kri!el"kAB

++==

7 o#om sluaju smatramo da taki + odgo#ara #rijednost parametra =t ,[ ])(),(),( zyxA

+nalogno, taki = odgo#ara parametar =t[ ])(),(),( zyxB

uk kri#e u #ektorskom obliku.

(. Prirodni triedar krive. )renet * ove formule

6eka je glatki luk += zadan prirodnim jednainama

10


11/25

[ ]###rr ,!)( =

Dektord#

rdr # =

"

)( predsta#lja #ektor tangente na zadanu

kri#u u posmatranoj taki ije se smijer poklapa sa smijeromrasta prirodnom parametra s.

1)(")(")("

1)(" ====

d#

rdtrt#

t#tr

d#

dt

dt

rd

d#

rd

12

== ttt

d#

rdt= ' jedinini #ektor tangente.

2

2

1d#

rd

d#

tdn == ==

2

2

1

1 d#

rd

n

nn

nd#

td

d#

td

d#

rdn ===

112

2

&r#a ?reneto#a formula

!1

' poluprenik kri#ine kri#e.

11


12/25

Definicija.Skalar oznaa#a torziju kri#e u posmatranoj taki, a oznaa#a se naslijede8i nain

$$

= !

lim , gdje je

' ugao za koji se rotira #ektor b , pri prirataju $ .

Terorema.6eka je luk += gladak i neka je )(#rr = prirodna parametrizacija togluka koja ima neprekidne iz#ode do tre8eg reda, tada #rijedi

nd#

bd

= ' Cruga ?reneto#a formula.

i) b5! ' rotira se u poziti#nom smijeru (suprotan smijer kretanja kazaljke sata),

ii) b5! ' rotira se u negati#nom smijeru (smijer kretanja kazaljke na satu).n

d#

bd=

7 sluaju kada je ! , odnos

1zo#e se poluprenik torzije kri#e.

)()(

)()(

)(

tb

nbtnnbtn

d#

tdbt

d#

bdtb

d#

d

d#

nd

tbn

+=

=+=+=

=+==

=

tnb

btn

=

=

btd#

nd+= ' 3re8a ?reneto#a formula.

1+. Prave i ravni #rirodnog triedra

bnt#rrl ,,)( =RtM% = , ' uslo# da je 3 na tangenti.

( )

rRM%

#z#y#x#r

zyxR

=

=

=

)(),(),()(

),,(

12


13/25

d#

rd#rR

zyxd#

rdt

k#zj#yi#x#rr

Rt#rRt

+=

==

++==

+=

)(

,,

)()()()(

)(

...

.

.

.

)(

,)(

)(

z#zz

Ry#yy

x#xx

+=

+=

+=

Rb#rRb

Rn#rRn

+=

+=

,)(

,)(

@a#nik#zj#yi#x#rrl )()()()( ++==

)(#rr = ' ima do#oljno diferencijala),,( bnM zo#e se normalna ra#an kri#e u posmatranoj taki.

!)(!)(

!5

==

==

d#

rdrRtrR

tM%tM%%t&

' #ektorska jednaina normalne ra#ni.

Skalarna jednaina normalne ra#ni glasi

( ) ( ) ( ) !)()()( =++d#

dz#zz

d#

dy#yy

d#

dx#xx

),,( ntM zo#e se oskulatorna ra#an kri#e u posmatranoj taki.

=

=

!)(

5)(

2

2

2

2

d#

rd

d#

rdrR

d#

rd

d#

drbbrRb&

!......

...

=

zyx

zyx

zzyyxx

),,( btM ' zo#e se retrifikaciona ra#an kri#e u posmatranoj taki.

2

2

d#

rdn& =

Dektorska jednaina retrifikacione ra#ni

!)(5!)(2

2

==d#

rdrRnrR

Skalarna jednaina retrifikacione ra#ni

( ) ( ) ( ) !)()()(...... =++ z#zzy#yyx#xx

13


14/25

11. Pojam i orjentacija #ovr,i

7 s#akoj taki po#ri S postoje d#a jedinina jedan drugom suprotna #ektora normalena po#r (#ektor normale na po#r je #ektor normale tangencionalne ra#ni posta#ljen u

tangencionalnoj taki).

6eka je 9!proiz#oljna fiksna taka u po#i S. 6eka je proiz#oljna zat#orena,prosta kri#a koja sadr%i taku 9!, le%i na po#i S i ne sije8e rub . 6eka je lM proiz#oljna taka sa kri#e l, posmatrajmo normalu u lM koja se stalno mijenja, doktaka 9, poe# od 9!, obilazi kri#u l. mamo d#ije mogu8nosti

+ko za s#aku taku $M ! i za s#aku kri#u $l poslije obilaska kri#e l, normala& se poklopi sa poetnim polo%ajem 9!, onda ka%emo da je po#r S d#ostrana po#. +kose normala & poslije obilaska poklopi sa ' !& , onda ka%emo da je po#r S jednostrana.

Definicija.Skup taaka po#ri sa izabranom normalom na p#r, zo#e se strana po#ri.( )xoyDyxyxzz$ = ),(),,(

y

yxzyxqq

x

yxzyx''

defdef

==

==

),(),(5

),(),(

p i F su neparne na definicijonom podruju.

( )1,,1,, =

= q'y

z

x

z&

( ( )( ) ( )( ) ( )

kji

kk&

jj&

ii&

==

==

==

==

1,!,!,

!,1,!,

!,!,1,

( )1,,11

cos

1cos

1cos

22

2222

=++

=

++

=

++

=

q'&q'

q'

q

q'

'

......(1)

zborom predznaka u jednainama ...(1) #rimo izbor smijera normale na po#r.Posljedica. 1coscoscos

222 =++

zborom smijera normale po#ri iz#ili smo i smijer normale po#i. zborom stranepo#ri ka%emo da smo orjentisali po#r. &oziti#nom stranom po#ri mo%emo naz#ati bilokoju od d#ije strane. 7 tom sluaju, ona druga 8e biti negati#na strana po#i.


15/25

12. Povr,ina #ovr,i

Definicija.&o#ina je skalar koji se dodaje po#rini. 2RD ka%emo da ima po#r

&(C)ako za proiz#oljno malo ! postoji konana familija paralelograma { } 1=jia takoda je

$-

ra#an koja ima po#rinu =D

D dxdyP

)( .

6eka su Cj(j;1,2,...,n) paralelogrami koji pokri#aju po#rinu C.

!,....,*,1 = nLjDj


16/25

oblasti xy$D= . &odijelimo oblast C an dijelo#e C1, C2, ..., Cnpri emu jiDiD ji imaju zajednike e#entualno samo rubne take.

==

==n

j

DD

n

j

j jPPDD

1

)()(

1

,

$#a podjela oblasti C odgo#ara pra#ilnoj podjeli po#ri S na podoblasti S1, S2,..., Sn.Cjje ortogonalna projekcija sa po#ri Sj, uoa#amo tangencijalnu ra#an j . 6a osno#uteoreme 1 dobijamo da je

ednaina tangencijalne ra#ni je )()(1 jjjj yyqxx'zz +=

jj M

j

M

jy

zq

x

z'

=

=

)(

1 1

22

)( 1 jj D

n

j

n

j

( Pq'P ++= = =

' &osljednja jednakost integralne sume

22

22 11

+

+=++=y

z

x

zq'W

=

=

=),( =ddiamDdijametardiamD jj

)(

1

)(

22

)(

1!

)(

1

22

!

lim1),(

),(lim1lim

$

n

j

(n

DD

D

n

j

jjd

D

n

j

jjd

PPdxdyq'dxdyyxW

PyxWPq'

j

jj

==++==

=++

=

=

=

dxdyy

z

x

zdxdyq'P$

+

+=++=22

22

)( 11

+ko su date smjene "d!)!"!"yy!"xx == ),(),(),(

( ) ),(),(),,(),(

),(

1 !"z!"y!"xzz

!"yy

!"xx

====

)!"k!"zj!"yi!"x!"r$ ++= ),(),(),(),(),(

d!d"rr$P)

!" =.

)(

.

)()(

13. Povr,inski integral - vrste "#ojam i oso!ine%

6eka je glatka po#r S zadana jednainomD!"k!"zj!"yi!"x!"rr ++== ,5),(),(),(),( ...(1)

ako je po pretposta#ci po#r S glatka to znai da su ),(),,(),,( !"z!"y!"x neprekidne na C i da imaju neprekidne pr#e iz#ode. Drijedi da je !

""

!" rr #ektornormale. $sim toga, za funkciju ),( !"rr = dodatno pretposta#ljamo da oblast !"*D ", obostrano jednoznano preslika#a na po#r S. 6eka je nDDD ,...,, 21 pra#ilno

podijeljena oblast C. 3o znai

1. n

j

jDD1=

=

2. jizaDiD ji , imaju zajedniko e#entualno samo rubne take.


17/25

1. n

j

j$$1=

=

2. jiza$i$ ji , imaju zajedniko e#entualno samo rubne take.6eka je funkcija )(),,( 1* RRfzyxff = definisana i ograniena na po#ri S.

zaberimo proiz#oljne take ),...,2,1(),,( ni$zyxM ii = .?ormirajmo sada integralnu sumu funkcije f za podjelu " uz na#edeni izbor taaka.

)(

1

" ),,( $i

n

i

i

def

Pzyixif = =

...(2)

ini

def

$diamd

=1

ma>"

Definicija.=roj nazi#a se po#rinski integral pr#e #rste funkcije ),,( zyxf po

po#ri S, ako za proiz#oljno malo !,! )( , tak#o da #rijedi


18/25

14. Povr,inski integral -- vrste "#ojam i oso!ine%.

**

**

VV

RRa

kzyxRjzyx+izyxPzyxaraa

aaakajaia

VRkzjyixrzyxM

),,(),,(),,(),,()(

),,()(

),,(

*21*21

*

*11

11

++===

=++

++=

Definicija 1.deka je zadana glatka po#r S i #ektorski fluks )(raa = . =roj

= d$&aadef

nazi#amo fluks #ektora a kroz onu stranu po#ri S koja odgo#ara

#ektoru normale & .6apomena Hesto piemo da je d$d$& =6eka se glatka po#r S mo%e izraziti na jedan od naina

==

=

yz

xz

xy

$zyxzyxx

$zxyzxyy

$yxzyxzz

),(),,(.*

),(),,(.2

),(),,(.1

&retposta#imo da se glatka po#r obostrano i jednoznano preslika#a (ortogonalnopreslika#a) na s#aku koordinatnu ra#an. zborm normala na po#r $M iz#rimoorjentaciju po#ri S. Strana po#ri S koja odgo#ara #ektoru & koji sa z A osom zaklapaotar ugao proglasimo poziti#nom stranom i oznaimo je sa ( )+$ , a suprotnu sa ( )$ .

(( )( )

( ) ( ) ( )kji&kji&

k&

dPd$j&

i&

$

++=++=

=

==

=

coscoscos

coscoscos

,

,

,

)(

( ) ( )

++

=++=++=

=++++==

$$$

$$

$$

d$Rd$+d$P

d$Rd$+d$Pd$R+P

d$kjikRj+iPd$&aa

coscoscos

coscoscoscoscoscos

coscoscos

=$

d$zyxR cos),,(*

xy$yxzyxzz = ),(,),(' $rtogonalna projekcija

)(

22

)( 1 xy$$ Pq'P ++=

dxdyd$dxdydPd$

dxdyPP

q'

k&

k&

q'

$

$$ xy

===

==

=++

=

++=

cos

cos

1

coscos

1

cos

11

cos1

1cos

)(

)()(

22

22

18


19/25

==$$

dxdyyxzyxRd$zyxR )),(,,(cos),,(*

=roj =$

dxdyyxzyxR )),(,,(* nazi#amo po#rinski integral druge #rste

funkcije ),,( zyxR po poziti#noj strani po#ri (S) i po koordinatama > i -. 7budu8e

8emo ga obilje%a#ati sa = $ dxdyzyxR ),,(* .6a isti nain se definiu po#rinski integrali #rste od ),,( zyxP i ),,( zyx+ po

koordinatama - i z odnosno > i z.

=$

d$zyxR cos),,(1

yz$zyzyxx$ = ),(),,(

+

===$$$

PdydzdydzzyzyxPd$zyxR ),),,((cos),,(1

=$

d$zyx+ cos),,(2

xz$zxzxyy$ = ),(),,(

+

===$$$

+dxdzdxdzzzxyx+d$zyx+ )),,(,(cos),,(2

onano fluks #ektorskog polja glasi

+++

++=++==$$$$

dxdyRdxdz+dydzPd$&aa *21

$dnosno

[ ]+

++=$

dxdyRdxdz+dydzPa

15. Pojam skalarnog #olja. -vod u adanom #ravcu. /radijent.

Definicija1.skalarno polje z#a8emo preslika#anje 1* RRf ,*

),,,( RDzyxfff= .

*

*11

11

),,( VRkzjyixrzyxM ++=

1

* RVf ' skalarno polje.*

* RVf ' #ektorsko polje.Definicija 2.ednainom .,)(,),,( 1 ,on#tCCrfCzyxf === zadan je ni#o

po#rinskog skalarnog polja f.Czyxf =),,( ' po#r zadana implicitno.

&1) !,5),,( 2222

2

2 =++++= CCzyxzyxzyxf6eka nam je zadano skalarno polje ff D,baARDzyxff int),,(,),,,(

* = (int'unutranja taka).

( ) ( ) ( )kejeiekjie

5,5,5

coscoscos

===

++=

6eka je fDzyxM ),,( proiz#oljna taka na polupra#oj )5( eAl . 6eka surir A)( #ektori polo%aja taaka + i 9, a oznaa#amo ih sa ),( MA= . Guklidska

udaljenost izmeu + i 9

eAM

erAMrr AA

=

+=+=

19


20/25

Definicija 3.z#od skalarnog polja f po pra#cu l u oznacil

f

, definie se na

slijede8i nain

),(

),,(),,(lim

)(

MA

,bafzyxf

l

fAM

A

l

=

Codatno pretposta#imo da je funkcija ),,( zyxff = diferencijabilna na fDint .

( ) ( ) ( ))(

)!(!)(

)(

222

zyjzxiyx

zyx

zz

fy

y

fx

x

ff

+++

++=

+

+

+

=

( )

e

AAAA

AAAAAA

AAAAA

AAAAA

kjikz

rfj

y

rfi

x

rf

dl

rdf

z

rf

y

rf

x

rfrferf

dl

rdf

z

rf

y

rf

x

rfrferf

zf

yf

xf

zz

fy

y

fx

x

frferff

coscoscos)()()()(

cos)(

cos)(

cos)()()(

lim)(

cos)(

cos)(

cos)()()(

!/)(coscoscos

)()()(

!

)()()(

++

+

+

=

+

+

=+

=

+

+

=+

++

+

=

=+

+

+

=+=

Definicija 4.Dektor kzf

jy

f

ix

f

+

+

z#at 8emo gradijentom skalarnog polja f oznaa#ati kao grad f.

Definicija 5.$perator definie se kao

kz

jy

ix

def

+

+

=

6apomena 1. ako je nabla ( ) oito diferencijabilni operator on je oitolinearan (homogen i akti#an)2. [ ]),,( zyxfff-radf ==

$sobine1. .! )()( ,on#tff MM ==

2. 2121 )( ffff +=+*. 212121 )( ffffff +=

4. ( ) !51

22121222

1 =

fffff

ff

f

E. ( )),,()(")( zyxfrr

rrfrf ==

1. Pojam vektorskog #olja. 0ektorske linije vektorskog #olja.

Definicija 1.preslika#anje ),(,, **** VVaRRa nazi#amo #ektorskim poljem.)(, *VaDRDR

20


21/25

7budu8e 8emo #ektorsko polje predsta#ljati u obliku

krRjr+irPraa

odno#nokzyxRjzyx+izyxPzyxaa

)()()()(

5),,(),,(),,(),,(

++==

++==

&ri emu su &,I i @ skalarna polja.Definicija 2.Dektorskom linijom , #ektorskog polja )(ra , nazi#a se geometrijsko

mjesto taaka koje s#e imaju osobinu da tangente na liniju u tim takama le%e napra#cima odreenim #ektorom )(ra , pri emu je r #ektor polo%aja posmatrane take.

kdzjdyidxrd

rardrard

krajrairara

rdt

rat

k#zj#yi#xrL

++=

=

++=

=

++=

)()(

)()()()(

)(

)()()(

*21

*21

*

2

1

a

dz

a

dy

a

dx

adzady

adx

L

==

= =

=

@jeenja posljednjeg sistema su d#olinearno neza#isna rjeenja pr#og integrala. 6ekasu to 2211 ),,(),,( CzyxeiCzyxe ==

&rimijetimo da s#ki od pr#ih integrala predsta#lja familiju po#i. Dektorske linije ,#ektorskog polja )(ra nalaze se u presjecima po#ri uzetih iz o#e d#ije familije.

21


22/25

1(. Prostorni ivod skalarnog #olja.

6eka nam je zadano skalano polje f, odnosno #ektorsko polje a . $znaimo njiho#adefiniciona podruja sa fD odnosno aD .

*RD

f

6eka je + unutranja taka definicijonog podruja fDA int .6eka je fDD int , oblasti fD , tak#a da sadr%i taku + kao s#oju unutranju taku.

$sim toga tra%it 8emo da oblast D bude zat#orena i ograniena oblast ija je rub glatkapo#r S. Sa Dme#D= oznait 8emo zapreminu od D . $sim toga, definiimo diametaroblasti Ddiam .

{ }

===

$

d$&$drdrdrf

D&M&MdDdiam

(.)(

,),(sup

+ko ADDdiam !Definicija 1.

a) &rostornim iz#odom skalarnog polja )(rf nazi#amo graninu #rijednost

D

drf

Ddiam

)(lim

!

, ukoliko limes postoji.

b) &rostornim iz#odom #ektorskog polja )(ra u skalarnom obliku nazi#amoslijede8u graninu #rijednost

D

dra

Ddiam

)(lim

!

, ukoliko limes postoji.

c) &rostornim iz#odom #ektorskg polja )(ra u #ektorskom obliku nazi#amoslijed8u graninu #rijednost

Ddra

Ddiam )(lim ! , ukoliko limes postoji.Teorema 1.&rostorni iz#od skalarnog polja )(rf (ukoliko postoji) jednak je

gradijentu tog polja u posmatranoj taki +.

)(!

)(lim A

Ddiamf-rad

D

drf=

1. ivergencija vektorskog #olja. eorema /aus * strogradskog.

Definicija 1.Ci#ergencija #ektorskog polja je po definiciji jednaka prostornom

iz#odu #ektorskog polja )(ra u skalrnom obliku, tj

D

draradi!

Ddiam

def

=

)(lim)(

!

$sobime di#ergencije)()())()((.1 2121 radi!radi!raradi! +=+

!

!

)()(

)()(.2

brb-radrbdi!

brbrb

=

=

)()(

,)()()()(

.*

*21

raradi!

jeda!rijedikrajrairara

kaozadato'olje!ektro#koje&eka

=

++=

22


23/25

( ) )(

)()()(

)()()()()()()(

)(

*21

*21

***222

111

*21

*21*21

rakajaiakz

jy

ixz

a

y

a

x

a

kkz

aj

y

ai

x

ajk

z

aj

y

ai

x

a

ikz

aj

y

ai

x

akra-radjra-radira-rad

kradi!jradi!iradi!krajrairadi!radi!

ra

=++

+

+

=

+

+

=

=

+

+

+ +++

+

+

+

=++=

=++=++=

)()( raradi! =

Teorema (Gaus-Osro!rads"o!#.+ko za #ektorsko polje )(ra postoji po#rinskiintegral po zat#orenoj glatkoj po#ri S koja je rub oblasti D , i ako su )(ra i )(radi! neprekidne funkcije u oblasti D , tada #rijedi

)()()( dxdydzdVdDdDradi!dra$

===

2+. 'otor vektorskog #olja.

@otor #ektorskog polja )(ra je po definiciji jednak prostornom iz#odu#ektorskog polja )(ra u #ektorskom obliku, tj

D

drararot

Ddiam

def

=

)(lim)(

!

$sobine rotora)(1212 raa =

2121 )(.1 arotarotaarot +=+

!

!!

)()(

.)()()(.2

brb-radrbrot

,on#tbbrbrb

=

==

)()(

,)()()()(

.*

*21

rararot

jeda!rijedikrajrairara

kaozadato'olje!ektro#koje&eka

=

++=

23


24/25

Cokaz

( ) ( ) ( ) ( )

)(

1!!!1!!!1

)(

*21

121*2*

**2211

***222111

*21

2

2

*21

1

221

ra

aaa

zyx

kji

ky

a

x

aj

z

a

x

ai

z

a

y

a

jx

ai

y

ai

z

ak

x

ak

y

aj

z

a

z

a

y

a

x

a

kji

z

a

y

a

x

a

kji

z

a

y

a

x

a

kji

ka-radja-radia-rad

karotjarotiarotkajaiarotrarot

=

=

+

=

=

+

+

=

=

+

+

=

=++=

=++=++=

arota

adi!af-radf

=

==

21. lasifikacija vektorskog #olja.

Definicija 1.Dektorsko polje )(ra zo#emo potencijalno polje ako je!)( =rarot i )(!)( aDrradi! .

Teorema 1.+ko je )(rf skalarno polje, onda je )(ra definisano kao

)()( rf-radradef

= potencijalno polje.

Cokaz. &oka%imo da je !)( =rarot !)()()()()( ===== ffrf-radrararot

Teorema 2.ako je #ektorsko polje )(ra potencijalno polje, onda postoji skalarnopolje )(rf tak#o da #rijedi

)()( rf-radra =

6apomena Skalarno polje )(rf iz posljednje teoreme nazi#amo potencijalom.S#ako potencijalno polje ima s#oj potencijal.

Definicija 2.7koliko postoji #ektorski kri#olinijski integral oblika rdraL

)( ,onda se on zo#e cirkulacija #ektorskog polja )(ra du% orjentisane kri#e .

Teorema 3.:irkulacija potencijalnog #ektorskog polja du% kri#e , jednaka jerazlici potencijala u krajnjoj i poetnoj taki kri#e .6eka je )(ra potencijalno polje, onda je

)()()( rf-radrarf =

( )

)()(

)(

AB

LL

LL

ffdfdzz

fdy

y

fdx

x

f

kdzjdyidxkz

fj

y

fi

x

frdf-radrdra

==

+

+

=

=++

+

+

==

Definicija 3.Dektorsko polje )(ra nazi#amo aplaso#im poljem ako #rijedi da!)( =rarot i !)( =radi! .

2

2

2

2

2

2

zyx

def

+

+

=== ' aplasijan

24


25/25

22. Stoksova teorema.

+ko #ektorsko poljekzyxRjzyx+izyxPkrRjr+irPraa ),,(),,(),,()()()()( ++=++==

ima neprekidne funkcije &, I, @,yRi

xR

z+

x+

zP

yP

,,,, , na glatkoj

po#ri S koja je odreena kri#om , tada je cirkulacija #ektorskog polja )(ra du% kri#e jednaka fluksu kroz po#r S.

dxdyy

P

x

++dyPdx

drarotrdra

L D

$L

=+

= )()(

rdraL

)( ' cirkulacija #ektorskog polja )(ra .

drarot$

)( ' rotor #ektorskog polja )(ra .

25

Documents

Matematika III Usmeni